Fråga Lund om matematik

Sökresultat


23 oktober 2000 21.09.55
Hej! man har ett "rör" i R3 med oändlig utsträckning och radien r och rikningen c liksom... med det menar jag att om r=0 får man en linje med riktningen v (|v|==1) och en punkt i origo. vad har denna figur för ekvation egentligen? mvh
Samuel

Svar:

Ytan är en rak cirkulär cylindrisk yta. Dess axel går genom origo och är parallell med v. Eftersom |v| = 1 kan v kompletteras till en ortonormerad bas, e1, e2, e3 = v, för rummet. En punkt P med koordinaterna y = (y1,y2,y3) i denna bas ligger på ytan om och endast om

y12 + y22 = r2.

Om T är den matris vars kolonner är koordinaterna för e1, e2, e3 i någon ursprunglig ortonormerad bas och x = (x1,x2,x3) är koordinaterna för P i den ursprungliga basen gäller att y = T tx. Detta kan sättas in i ovanstående ekvation för ytan varvid man får dess ekvation i den ursprungliga basen.

Kjell Elfström


23 oktober 2000 20.46.18
Jag skulle vilja veta hur pi har påverkat kemi, fysik, astronomi och andra naturvetenskapliga ämnen. Vad har pi betytt??Vill läsa på svenska.
Camilla Johansson

Svar:

Jag känner inte till någon litteratur som handlar om Pi, sedd ur den synvinkeln. En sida med många litteraturreferenser är annars http://www.mathsoft.com/asolve/constant/pi/pi.html.

Kjell Elfström


23 oktober 2000 15.30.10
Om man använder sig av endast matematikens grundläggande axiom, hur bevisar man då att (-1)*(-1)=+1?
Markus

Svar:

Axiom

1. a + b = b + a
2. ab = ba
3. (a + b) + c = a + (b + c)
4. a(bc) = (ab)c
5. a(b + c) = ab + ac
6. a + 0 = a
7. a.1 = a
8. Det finns ett entydigt bestämt tal -a sådant att a + (-a) = 0
9. Om a <> 0 finns ett entydigt bestämt tal a-1 sådant att a.a-1 = 1.

Bevis av att a.0 = 0.

0 = a.0 + (-(a.0)) = a(0 + 0) + (-(a.0)) = (a.0 + a.0) + (-(a.0)) = a.0 + (a.0 + (-(a.0)))
= a.0 + 0 = a.0.

Bevis av att (-1)(-1) = 1

1 = 0 + 1 = (-1).0 + 1 = (-1)(-1 + 1) + 1 = ((-1)(-1) + (-1).1) + 1
= ((-1)(-1) + (-1)) + 1 = (-1)(-1) + ((-1) + 1) = (-1)(-1) + 0 = (-1)(-1).

Kjell Elfström


23 oktober 2000 15.02.38
Hej! Jag skulle vilja ha hjälp med några övningsfrågor.
1. Rita kurvan y= ruten ur(x^2+x)- ruten ur(x^2+1). Ange eventuella asymptoter och extrempunkter. Undersök särskilt kurvans utseende i närheten av definitionsmängdens randpunkter.
2. En rät cirkulär kon inskrivs i en sfär med radie R 8dvs. konen har sin topp och basytans randcirkel på sfärens yta). Hur stor volym kan konen maximalt ha?
3. Bevis likheten 2 arcsin(2x ruten ur(1-x^2)) för 0 <= x =< 1/ruten ur 2.
4. Från ett fartyg observerar man två fyrar. Fartygets kurs är längs mittpunktsnormalen till sträckan mellan fyrarna. Man vet att avståndet mellan fyrarna är 1 nautisk mil. Man mäter på fartyget vinkeln mellan fyrarna och gör observationen att när vinkeln är 1/3pi radianer, avtar vinkeln med hastifheten 1/200 radianer per sekund. Bestäm fartygets hastighet i detta ögonblick. (Svaret skall ges i knop = nautiska mil per timme.)
tack på förhand.
goodir

Svar:

Jag börjar med att påpeka att roten stavas just så.

1. Derivera och sätt derivatan lika med noll för att finna eventuella lokala extrempunkter. Gör teckenundersökning. k-värdena för sneda asymptoter y = kx + m till kurvan y = f(x) fås som gränsvärdena av f(x)/xx går mot ±oo. Eftersom (x2 + 1)1/2 är definierad för alla x och (x2 + x)1/2 är definierad då x2 + x = x(x + 1) >= 0, dvs då x >= 0 eller x <= -1 är detta också funktionens definitionsmängd. Randpunkterna är alltså -1 och 0. Undersök gränsvärdet av funktionen och av derivatan då x går mot -1 från vänster och mot 0 från höger.

2. Kalla konens höjd för h och radien i dess bas för r och sätt x = h - R. Betraktar vi ett tvärsnitt genom sfärens medelpunkt och konens topp ser vi en triangel inskriven i en cirkel. Drag radien från cirkelns medelpunkt till ett av triangelhörnen vid konens bas. Pythagoras sats ger att r2 = R2 - x2. Eftersom h = R + x är konens volym

(Pi/3)hr2 = (Pi/3)(R + x)(R2 - x2).

Derivera!

3. Jag tror det fattas en del av frågan. Påståendet skall nog vara

2arcsin x = arcsin(2x(1 - x2)1/2), 0 <= x <= 1/21/2.

Varje x i intervallet kan skrivas x = sin t, där 0 <= t <= Pi/4, så det räcker att visa formeln för sådana x. Eftersom -Pi/2 <= t <= Pi/2 så är 2arcsin x = 2t. Eftersom cos t >= 0 så är

2x(1 - x2)1/2 = 2(sin t)(cos2t)1/2 = 2(sin t)(cos t) = sin 2t.

och eftersom 0 <= 2t <= Pi/2 är arcsin(sin 2t) = 2t.

4. Låter vi y vara avståndet från fartyget till linjen mellan fyrarna och a vinkeln (båda beror på tiden t) har vi att

y = (cot a)/2.

Vi deriverar och får, enligt kedjeregeln, att

y' = -a'/(2sin2a).

Sätt nu in de kända värdena på a och a'.

Kjell Elfström


23 oktober 2000 13.38.13
En plankas bärförmåga är direkt proportionell mot plankans bredd, direkt proportionell mot tjocklekens kvadrat och omvänt proportionell mot plankans längd. Genom experiment och undersökningar har man kommit fram till följande resultat: en 3,00m lång, 10,0cm bred och 5,0cm tjock planka vägde 170 kg.
a) Hur stor massa kan en planka av samma trämaterial bära om den är sågad till följande mått: 4,00m lång, 15,0cm bred och 10,0cm tjock?
b) Hur bred skall en 2,00m lång och 2,0 cm tjock breda vara för att den kan bära 100 kg?
Jag är helt borta, kan ni snälla hjälpa mig!!!
Jan-Anders Salenius

Svar:

Beteckna längden med L, bredden med B och tjockleken med T. Bärförmågan är då

kBT 2/L,

där k är en konstant. Plankan skall nog inte väga 170 kg utan ha bärförmågan 170 kg. Vi får

170 = k.0,1.0,052/3,00.

Lös ut k ur denna ekvation. När nu k-värdet är känt kan man direkt använda formeln för att lösa a-uppgiften. I b-uppgiften använder man samma formel och kan lösa ut B.

Kjell Elfström


23 oktober 2000 10.57.32
Klotets area är direkt proportionell mot radien i kvadrat och volymen är direkt proportionell mot radien i kubik. Hur mycket mångfördubblas en luftballongs area och volym, då man blåser in luft i ballongen, så att radien blir
a) fyrfalldig
b) tiofalldig

Svar:

För t ex arean A gäller alltså att A = kr2, där k är en konstant och r är radien. Förhållandet mellan areorna då radien är 4r och då radien är r är k(4r)2/(kr2) = 16. Arean blir alltså 16 gånger så stor när radien fyrfaldigas.

Kjell Elfström


23 oktober 2000 09.59.40
Lutningsfråga?
En lärobok för gymnasiets kurs B i matematik söker i en uppgift ekvationen för en linje som saknar lutning och går genom punkten (3,2). Facit svarar x=3, vilket betyder att i matematisk mening är lutning samma sak som riktningskoefficient.
Hur får jag eleverna att få ordning på begreppen när de flesta tycker att en horisontell linje är just en sådan linje som inte lutar alls medan en vertikal linje är extremfallet av en linje med väldigt kraftig lutning?
Klas
Klas Lunderup

Svar:

Jag tycker läroboken skulle ha undvikit att använda begreppet lutning utan i stället skrivit riktningskoefficient. Riktningskoefficient är ett mått på lutningen och då riktningskoefficienten är 0 lutar det inte alls. När det däremot lutar som mest finns det ingen riktningskoefficient definierad.

Kjell Elfström


23 oktober 2000 04.32.19
Vad är definitionen på en regel. Regler som har undantag är väl inte speciellt bra regler? Undantag verkar komma till i efterhand. Används undantag för att man skall slippa förkasta en regel?
Mattias E

Svar:

Jag kan inte ge någon exakt definition av regel.

Kjell Elfström


22 oktober 2000 19.12.05
Hej! Varför är cirkeln indelad i 360 grader, och vem kom på det? Har det med tideräkningen att göra?
Bodil Johansson

Svar:

Se 17 april 1997 14.41.41.

Kjell Elfström


21 oktober 2000 01.30.04
Sitter och har glömt 31 år gamla kunskaper, kan Ni hjälpa mig? Hur ser en lösning (inkl. härledning) ut av defferentialekvationen y=dy/dx ??????????????????
Svar snarast tack, jag kan inte sova.
sune.sandberg@lg.se

Svar:

Man kan lösa den på flera olika sätt. Dels är den separabel eftersom den kan skrivas om som

y'(x)/y(x) = 1.

Här är vänsterledet derivatan av ln|y(x)| och högerledet derivatan av x. Vi får att ln|y(x)| = x + A, vilket ger att

|y(x)| = ex + A = Cex.

Vi kan baka in tecknet i konstanten och på så sätt ta bort absolutbeloppet kring y(x). Vi dividerade med y(x) och förutsatte då att y(x) inte var noll. Lösningen y(x) = 0 tillkommer (vilket svarar mot C = 0). Vi får att

y = Cex.

Frågan är om det finns lösningar som är noll för några värden på x men inte alla. Det finns det inte eftersom två lösningskurvor inte kan skära varandra, men det har vi inte visat här.

Man kan också betrakta den som lineär

y' - y = 0

och multiplicera med den integrerande faktorn e-x. Då får man ett nytt vänsterled som är derivatan av y(x)e-x. Att denna är 0 innebär att y(x)e-x är konstant lika med C, vilket ger samma lösning som tidigare.

Kjell Elfström


20 oktober 2000 22.25.49
Hej!
Jag skulle behöva hjälp med en övningsfråga inför tentan: "Visa mha vektorer att diagonalerna i en romb skär varandra under rät vinkel:"
Helena

Svar:

Låt sidorna i romben representeras av vektorerna u och v. Då är diagonalerna u + v resp. u - v. Beräkna skalärprodukten mellan dessa och visa att den är noll.

Kjell Elfström


20 oktober 2000 16.24.58
i^i=(e^(i*pi/2))^i= e^(i^2*pi/2)=e^(-pi/2) i^i=(e^(i*5pi/2))^i= e^(i^2*5pi/2)=e^(-5pi/2) men e^(-pi/2) är inte lika med e^(-5pi/2)
Kamal

Svar:

Man kan inte entydigt definiera ii. Det är ett flervärt uttryck och problemet är detsamma som när man "definierar" (-1)1/2 som i och kommer fram till att 1 = -1.

Kjell Elfström


20 oktober 2000 09.08.51
Funktionen f är överallt deriverbar, dess graf går genom origo och dess derivata i varje punkt x är:
a) x
b) 2-x
Rita grafen
Ralf Palmgren

Svar:

De primitiva funktionerna till x är x2/2 + C, där C är en godtycklig konstant. Eftersom kurvan skall gå genom origo måste C = 0. Kurvan är alltså y = x2/2 i det första fallet.

Kjell Elfström


20 oktober 2000 00.08.54
Finns det några tal utöver de komlexa?
Peter

Svar:

Kroppen av komplexa tal är algebraiskt sluten, vilket innebär att det inte finns några algebraiska utvidgningar. Detta följer av att varje icke konstant polynom med komplexa koefficienter kan faktoriseras i komplexa förstagradsfaktorer.

Däremot finns utvidgningar i andra riktningar. De komplexa talen kan ju betraktas som ett tvådimensionellt vektorrum över de reella. Hamiltons kvaternioner är en utvidgning till "tal" på formen a + bi + cj + dk där man kan definiera räkneoperationerna addition och multiplikation så att alla räknelagar gäller utom den kommutativa för multiplikation. Den kommutativa lagen säger att u·v = v·u. Det hela är egentligen en fråga om vad man menar med tal. En ring är en mängd element där man har en addition och en multiplikation mellan elementen definierade och där dessa uppfyller vissa räkneregler. T ex är mängden av hela tal, rationella tal, reella tal, komplexa tal (med de vanliga betydelserna av addition och multiplikation), kvaternionerna, matriser, p-adiska tal mm. alla ringar försedda med lämpliga operationer.

Kjell Elfström


19 oktober 2000 21.37.20
hur räknar man ut arean av ett område som begränsas av funktionerna y=5cos(x) och y=5sin(x) för x [45, 225]
Kalle

Svar:

Jag antar att det skall stå 45° och 225° vilket motsvarar Pi/4 resp. 5Pi/4. Rita upp området så ser du att det är sammanhängande och att 5sin x >= 5cos xx ligger mellan Pi/4 och 5Pi/4. Arean är alltså integralen av skillnaden mellan funktionerna, dvs

intPi/45Pi/4(5sin x - 5cos x)dx = 10.21/2.

Kjell Elfström


19 oktober 2000 20.30.03
Hej Fråga Lund.
Jag har kört fast med tre uppgifter i statistik och ber dig om hjälp. (Alla medel är tillåtna) Jag vill veta hur man gör så att jag lär mig något. Förklara gärna utförligt så jag förstår och kan följa tankegångarna. Skriv t ex ut integreringar om sådana behövs för jag har upptäckt att jag är rejält ringrostig på den fronten. Det är ett antal år sedan jag integrerade matematiska funktioner. Jag har alltså gått vilse bland stokastiska variabler under två veckor och nu vill jag hitta fram ur den stokastiska dimman.
1.
The rv X has probability function px(k) = (e^-m * m^k) / k! for k=0,1,2,.... and is such that P(X) = 0) = 1/2 Compute P(X>=2)
2.
Let X be the total score of throwing two dice. Determine E(X).
Detta kast kan ge 11 olika värdsummor och det finns 36 möjliga summeringar. Minsumma är 2 och maxsumma är 12 om det är vanliga "1 till 6" tärningar
Men ...... Vad är det egentligen jag ska beräkna och hur???
3. Ett mätinstrument har ett stokastiskt mätfel X, som följer täthetsfunktionen
fX(x)= 100(1-100|x|) -0,01 <= x <= 0,01
0 för övrigt
Bestäm E(X) och D(X)
Hur räknar jag detta tal?
Jag tror E(X) är ett lägesmått och D(X) är standardavvikelsen. Behöver då även V(X). Men det kan vara fel spår.
MVH och Tack på förhand
Lillemor
Lillemor M

Svar:

I uppgift 1 är sannolikheterna givna för att X skall anta något av de möjliga värdena 0,1,2... Problemet är att det finns ett tal m i formeln som du inte känner. Detta kan dock bestämmas med hjälp av informationen om att P(X = 0) = 1/2. Eftersom P(X = 0) = e-m enligt denna formel är alltså m = ln 2. För att beräkna sannoliketen att X >= 2 skall man alltså summera de oändligt många sannolikheterna för att X = 2,3,4 osv. Då är det enklare att beräkna sannolikheten för komplementhändelsen, dvs för att X = 0 eller 1. Denna fås som

e-m + e-mm.

Drag nu detta tal från 1 så får du den sökta sannolikheten.

E(X) är väntevärdet av X. Tanken är att om en stor serie försök utförs så skall detta tal vara ungefär medelvärdet av de olika utfallen. Vid kast med en tärning är alla utfall lika sannolika och väntevärdet är (1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 7/2. Se 18 oktober 2000 20.31.37.

3. Se 18 oktober 2000 20.18.18.

Kjell Elfström


19 oktober 2000 17.01.56
Kan ni ge ett "enkelt" exempel på användningen av transfinit induktion?
Bengt Månsson

Svar:

Nej, går man utanför ren ordinaltalsteori verkar det svårt att hitta enkla exempel.

Kjell Elfström


19 oktober 2000 16.25.06
z=2+2*i
vad är sjätteroten av z
magnus karlsson

Svar:

Det finns inte bara en sjätterot utan sex stycken. Högerledet kan skrivas på polär form som 23/2ePi i/4. Sätter man z = reit är z6 = r6e6it varför r = 21/4 och t = Pi/24 + kPi/3, där k är ett godtyckligt heltal. Eftersom k och k + 6 ger samma värde på z ger k = 0,1,2,3,4,5 de sex olika värdena på z.

Vill man bestämma z = ePi i/24 genom rotutdragningar kan man först utnyttja att

w = ePi i/12 =  ePi i/3e-Pi i/4

och sedan att z2 =w.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 20.31.37
Let X be the total score of throwing two dice. Determine E(X)
lil, m fl

Svar:

X, som är en diskret stokastisk variabel, antar något av heltalsvärdena x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4, ... , x11 = 12. Beräkna sannolikheterna pk = P(X = xk). Väntevärdet E(X) definieras som

p1x1 + p2x2 + ... + p11x11.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 20.26.24
Bestäm konstanten a så att funktionen blir en täthetsfunktion.
f(x)=a(1-Xi kvadrat) -1<x<1
Nytt problem som vi kämpat med denna vecka
lil, m fl

Svar:

Att f skall vara en täthetsfunktion innebär att f(x) >= 0 för alla x och att integralen av f från -oo till oo är 1. Det första villkoret är uppfyllt om a inte är negativt. Integralen blir

int-11(a(1 - x2)dx).

Beräkna denna uttryckt i a och bestäm sedan a så integralen blir 1.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 20.18.18
Stokastisk variable X har fördelningsfunktion
FX(x) 0 om X mindre/likamed 0
x3/64 om mellan 0 och 4 i värde
1 om x större än
Beräkna väntevärde och varians.
Detta har jag letat efter hur man gör i flera dagar Tacksam för svar Lil

Svar:

Om fördelningsfunktionen är F är täthetsfunktionen f = F '. I detta fall är täthetsfunktionen 3x2/64 då x ligger mellan 0 och 4 och annars är den noll. Väntevärdet är

m = int-oooo(xf(x)dx),

i detta fall int04( 3x3/64dx). Variansen definieras som

int-oooo((x - m)2f(x)dx).

Kjell Elfström


18 oktober 2000 19.54.16
Jag sitter med en integral, som vägrar att ge sig :o| \int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{1+x^3}} dx Jag pluggar inför en tentamen i Analytiska funktioner, men vet ej om denna går att lösa med hjälp av detta trevliga verktyg. Integralen har jag hittat på själv, Mathematica spottar ut svaret, som är \frac{2*\Gamma(1/3)\Gamma(7/6)}{\sqrt{\pi}} Jag har kikat i Beta och tittat runt på nätet. Men har inte hittat nån väg till lösning. Jag har frågat min föreläsare också, men han viftade bort det med att vi inte behöver kunna lösa sådana integraler på denna kursen typ. Tacksam för svar :o)
Micke Persson

Svar:

Ett snyggare svar är (1/3)Beta(1/6,1/3), där Beta definieras genom

Beta(x,y) = Gamma(x)Gamma(y)/Gamma(x + y).

Gamma-funktionen kan kanske betraktas som en elementär funktion, men om frågan är om man kan uttrycka integralen med hjälp av de från skolan välbekanta elementära funktionerna är svaret nej. Gamma-funktionen kan fortsättas analytiskt och studiet av denna hör till teorin för analytiska funktioner.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 14.27.52
En helikopter rör sig över marken med två formler:
1: h=jämn->h(ny)=h/2
2: h=udda->h(ny)=3h+1
h=höjden
Ett krav är att höjden måste vara ett heltal. Min undran är om det finns ngt heltal som gör att helikoptern inte störtar? Ex börjar på 50m nästa höjd blir h/2=25=udda tal, nästa 3h+1=76->38->19->58->29->88..osv tills den störtar.
Sven

Svar:

Vi har alltså en rekursiv talföljd hn som är sådan att hn + 1 = hn/2 om hn är ett jämnt tal och hn + 1 = 3hn  + 1 annars. Frågan är om det finns ett startvärde h0, som är sådant att hn aldrig är 1. Detta problem är mig veterligt inte löst ännu.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 14.17.31
Hur ska man lösa en ökänd sinuskurva som går genom punkterna:
2=170759,3
3=244821,2
5=350986,7
9=337235,2
13=57291,85
14=-30931,35
15=-117523,3
19=-362462
21=-381597,3
24=-264683,7
29=146592,5
31=289189,4
33=371586,6
36=349159,7
41=-4423,449
42=-91992,94
43=-174711
47=-378301,3
50=-335089,8
52=-216540,2
56=121727,2
//Sven W

Svar:

På sidan Nonlinear Least Squares Fitting i Eric Weisstein's World of Mathematics tas ickelineär regression upp. I ditt problem är

f(x,l1,l2,l3) = l1sin(l2x + l3).

Då är

df/dl1 = sin(l2x + l3)
df/dl2 = l1xcos(l2x + l3)
df/dl3 = l1cos(l2x + l3)

Välj nu lämpliga startvärden. Amplituden l1 verkar vara omkring 380000. Avståndet mellan två intilliggande nollställen verkar vara omkring 28 varför ett lämpligt startvärde på l2 är 2Pi/28. Kurvan verkar skära x-axeln ungefär vid 29. Sätt l3 till -29.2Pi/28.

Låt nu A vara 21×3-matrisen

df/dl1(x1,l1,l2,l3) df/dl2(x1,l1,l2,l3) df/dl3(x1,l1,l2,l3)
df/dl1(x2,l1,l2,l3) df/dl2(x2,l1,l2,l3) df/dl3(x2,l1,l2,l3)
...
df/dl1(x21,l1,l2,l3) df/dl2(x21,l1,l2,l3) df/dl3(x21,l1,l2,l3)

och db kolonnvektorn bestående av de 21 differenserna

yi - f(xi,l1,l2,l3).

Beräkna AtA och Atdb, där At är den transponerade matrisen. Lös ut kolonnvektorn dl med tre element dl1, dl2, dl3 ur normalekvationerna

AtAdl = Atdb.

Ersätt nu l1, l2, l3 med l1 + dl1, l2 + dl2, l3 + dl3 och upprepa proceduren tills differenserna dli är tillräckligt små. Fem iterationer ger l1 = 384400,0067, l2 = 0,2301533095, l3 = -6,283185348.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 12.25.08
Hej Lund. Jag vill först av allt tacka för en otroligt bra tjänst och säga att ni gör ett väldigt bra jobb. Min fråga är följande Omkretsen av en cirkelsektor med medelpunktsvinkeln pii/10 är 1,00 m. Om vinkeln görs dubbelt så stor blir omkretsen 1,50 m. Vad blir då radien? Tackar så mycket
Bävern

Svar:

Se 18 oktober 2000 12.16.27.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 12.23.11
Hej lund. Tack för en jättebra sida. Jag undrar hur följande ekvation löses
cos2 x-sin2 x=0,5
Tack på förhand
Patrik

Svar:

Uttrycket i ekvationens vänsterled är cos 2x så lösningarna ges av 2x = ±Pi/3 + 2Pi n, där n är ett godtyckligt heltal. Vi får alltså att x = ±Pi/6 + Pi n.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 12.21.11
Hej Lund. Först vill jag tacka för en otroligt bra sida. Jag har ett problem med en ekvation.
Finn den lösning till ekvationen x2+x=sin 2x som ligger i intervallet 0<x_<1
Tack på förhand
Patrik

Svar:

Man kan inte lösa denna ekvation exakt. Däremot kan man lösa den numeriskt. Tillämpa Newton-Rapsons metod, se 31 mars 1997 11.44.13, på ekvationen

f(x) = x2 + x - sin 2x = 0.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 12.18.10
Hej fråga lund.
Har lite problem med en ekvation och vore mycket tacksam om ni kunde hjälpa mig (min lärare är inte till någon större hjälp).
4sin x=3cos x
Tack på förhand
Patrik

Svar:

Jag är kanske inte heller till någon större hjälp. Det beror på hurdant svar du förväntar dig.

Då cos x är noll är inte sin x noll. Vi kan därför dividera med cos x och skriva ekvationen som

tan x = 3/4.

Denna ekvation har lösningarna x = arctan(3/4) + nPi, där n är ett godtyckligt heltal. arctan b är den lösning till ekvationen tan x = b, som ligger mellan -Pi/2 och Pi/2. För att beräkna arctan(3/4) är man hänvisad till numeriska metoder.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 12.16.27
Hej Fråga Lund.
Har kommit över ett tal som jag har legat sömnlös över i flera nätter, och jag skulle vara evigt tacksam om ni kunde hjälpa mig.
Omkretsen av en cirkelsektor med medelpunktsvinkeln pii/10 är 1,00 m. Om vinkeln görs dubbelt så stor blir omkretsen 1,50 m. Hur stor är radien?
Tack på förhand
Patrik

Svar:

Omkretsen är 2r + b, där r är radien och b bågen. Före vinkelfördubblingen är b = (pi/10)r och efteråt är b = (pi/5)r. Vi får dels att (2 + pi/10)r = 1 och dels att (2 + pi/5)r = 3/2, en orimlighet! Om radien också förändras är det inte orimligt men då behövs bara den sista ekvationen ur vilken man kan lösa ut radien.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 11.36.23
Finns det nåt sätt att lösa en sån här typ av ekvation?:
x^5 = 7^x
Mogge

Svar:

Nej, man kan i allmänhet inte lösa sådana ekvationer exakt. För ekvationen i frågan kan man dock säga att det inte ens finns någon lösning. Ekvationen

xa = bx

är ekvivalent med

f(x) = (ln x)/x = (ln b)/a

och deriverar man f och gör teckenundersökning ser man att dess största värde är 1/e. Eftersom (ln 7)/5 > 1/e kan det alltså inte finnas någon lösning.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 11.14.55
Den 27 nov 1998 19.47.24 har ni fått en fråga om annuitetslån där ni svarar på ett sätt då månadskosnaden beräknas på årsbasis och sedan delas på 12. Min fråga är då denna, skall inte räntekostnaden justeras efter varje månad då amorteringen betalas in månadsvis och inte 1 ggr / år? Tack på förhand.
Sami Paloaho, Wenströmskagymn. V-ås

Svar:

Enligt formeln i 27 november 1998 19.47.24 görs denna justering. Man betalar alltså bara ränta på den skuld som man har under en viss period, och inte på den skuld man hade vid årets början. Däremot brukar inte räntesatsen justeras på annat sätt än att den årliga räntesatsen divideras med antalet återbetalningstillfällen per år. Man kompenseras alltså inte för de ränteförluster man gör genom att betala in räntan tidigare än vid årsskiftet.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 10.18.53
Högsta namngivna tal?
Jag har fått för mig att det var ett tal som hette "Gogol" som var 100 upphöjt till 100 upphöjt till 100. Efter att ha sökt hos Er hittade jag "Gogolplex" som är 10 upphöjt till 100. Missminner jag mig så eller kan någon förklara hur det ligger till? Jag skulle uppskatta lite bakgrundshistoria. MVH
Hans Strelow

Svar:

Googol = 10100, Googolplex  = 10Googol. Det lär ha varit matematikern Eward Kasners nioårige son (alternativt bror- eller systerson) som uppgett namnet Googol när han blev ombedd att namnge ett tal med en etta följd av hundra nollor. Han var medveten om att detta tal var ändligt men stort. Han förstod då att en etta följd av en Googol nollor också var ett ändligt tal och hittade på namnet Googolplex för detta tal.

I serien av tal som namnges efter mönstret biljon, triljon osv. brukar centiljon anses vara det största. Detta är en miljon upphöjt till 100, dvs 10600.

Kjell Elfström


17 oktober 2000 08.57.22
Vad är pi och hur har det påverkat tex, inom astronomi, kemi och andra naturvetenskapliga ämnen??
Camilla Johansson

Svar:

För information om pi, se t ex Pi through the ages.

Kjell Elfström


16 oktober 2000 21.20.12
Jag skulle vilja veta talet pi i VÄLDIGT många decimaler (ca 10000-)
Min mailadress är Jonte_heter_jag@hotmail.com
p.s Zippa ihop filen först!
Jonathan Fors

Svar:

Se PI för de omkring 50000 första decimalerna. Från Search In 10 Million Digits of Pi Page kan du ladda ner fler.

Kjell Elfström


16 oktober 2000 18.59.57
Hur förhåller sig längden på en linje dragen i en cirkel och den avskärmade cirkelperiferin. Vad blir kurvans ekvation?
magnus

Svar:

Låt M vara cirkelns medelpunkt och P och Q skärningspunkterna mellan linjen och cirkeln. Låt a vara vinkeln PMQ mätt i radianer och låt r vara cirkelns radie. Längden av sträckan PQ är då s = 2rsin(a/2). Längden av bågen PQ är b = ra. Löser vi ut a ur den förra längden och sätter in i den senare får vi

b = 2rarcsin(s/(2r)).

Kjell Elfström


15 oktober 2000 22.13.55
Två frågor: Jag antar att lösningarna till andra, tredje och fjärde- gradsekvationen är kända, men hur långt har matimatikerna hitills kommit? Samt; Vad är en algoritm egentligen?
Andreas på KTH

Svar:

En algoritm kan sägas vara en lista med precisa instruktioner för att i ändligt många steg lösa en speciell typ av problem, till exempel Euklides algortim för att finna största gemensamma delaren till två givna heltal. Vad gäller den första frågan kom matematiken redan på 1800-talet fram till att det inte finns någon liknande formel för att lösa femtegradsekvationen. Du kan titta på 11 april 1999 och de där givna länkarna.

Martin Svensson.


14 oktober 2000 23.00.51
Hej. Jag undrar om det finns en explicit formel för att utveckla ett karakteristiskt polynom av n:te grad, dvs från determinanten av xE-A till ett polynom av typ x^n + a1*x^(n-1) +...+ an, där E är enhetsmatris och A konstant nxn-matris? Om du nu inte finner det möjligt att plottra ner formeln här, i så fall, tipsa gärna om någon sida eller litteratur om detta. Tacksam för ditt svar.
Shastar of Wierd

Svar:

Det finns ju en explicit formel för determinanten av en matris (se 28 augusti 2000, kl 21.01.06) som i princip kan användas här. Annars kan man visa att det du kallar aj faktiskt är (-1)j gånger spåret av den av A inducerade lineära transformationen av den j'te yttre produkten av Rn. Speciellt är a1 (-1) gånger spåret av A och an (-1)n gånger determinianten av A. Denna formel brukar dock inte vara till någon hjälp i explicita beräkningar.

Martin Svensson.


14 oktober 2000 13.21.04
Hej! Jag skulle vara tacksam om ni kunde förklara begreppet "mångfald". Gärna både intuitivt och tekniskt.
Johan P

Svar:

En topologisk mångfald av dimension n är ett topologiskt rum sådant att varje punkt har en (öppen) omgivning som är homeomorf med en öppen delmängd av Rn. Det är alltså bara ett topologiskt rum som lokalt "ser ut" precis som Rn, till exempel sfären Sn och även mer abstrakta rum som RPn, det reella projektiva rummet vilket är Sn med diametralt motstående punkter identifierade. En differentierbar mångfald är en toplologisk mångfald där man har valt ut en övertäckning av öppna mängder, lokalt homeomorfa med öppna mängder i Rn, så att närhelst två sådana öppna mängder på mångfalden har icke-tomt snitt, är motsvarande sammansättning av de lokala homeomorfismerna (en funktion mellan två öppna mängder i Rn) differentierbar. På en sådan mångfald kan vi alltså även derivera funktioner och tala om tangentplan och vektorfält och man kan tilldela både Sn och RPn sådana övertäckningar. En differentierbar mångfald ska alltså inte bara topologiskt utan även till sin differentierbara struktur lokalt "likna" Rn.

Martin Svensson.


13 oktober 2000 22.47.30
Hej Jag går på högstadiet och är mkt intresserad. idag kom jag och min lärare in på sambandet mellan jämna baser som har exponent två. Jag visade henne hur skillnaden mellan dom alltid var nästa udda tal i serien. Till exempel skillnaden mellan 2^2 och 3^2 är ju 5 (9-4=5) Detta är ju då första talet vi valde att utvå ifrån. Om du sedan tar skillnaden emellan 3^2 och 4^2 så får du att skillnaden är 7 (16-9=7) Och nästa tal i den udda talserien efter 5 är ju 7. Och så här fortsätter det ju. Vi började skriva formler och tillslut började vi få ihop ett ganska bra resultat. Men senare ville jag få en enkel uppställning för att räkna ut längre tal med exponent två. Så jag valde att använda summatecken. Frågan jag vill ha besvarad är hur jag ska få den funktionen att man med hjälp av summatecknet visar att man ska räkna ex.5+7+9+11+13+15 Som ni förstår vill jag ha det så att man visar med summatecknet att man inte ska räkna med dom jämna talet. utgångstalet n ska alltid vara 5. Jag vet att frågan säkert är enkel eller att jag har skrivit allting för konstigt för att ni ska förstå vad jag menar men jag går ju abra på högstadiet och har inte så avancerade skickligheter Tack för hjälpen
Pierre

Svar:

Det finns en formel som säger att 1+2+...+n=n(n+1)/2. För att bevisa den, låt s=1+2+...+n. Då är s=n+(n-1)+...+2+1, eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning vi summerar. Adderar vi dessa två likheter får vi att 2s=n+1+(n-1)+2+...+1+n=n(n+1), dvs s=n(n+1)/2. För att så räkna ut summan 5+7+...+(2n+1), kan vi göra såhär: 5+7+...+(2n+1)=(summan av (2k+1) då k går från 1 till n) - 3=2(summan av k då k går från 1 till n) + (summan av 1 då k går från 1 till n) - 3=2n(n+1)/2+n-3=n2+2n-3. Hoppas att detta svarar på din fråga.

Martin Svensson.


13 oktober 2000 14.55.09
Hej! Jag undrar om ni kan härleda varför man kan vid små vinklar(x) approximera följande: tan(x)=y ----> x=arctan(y)=sin(y) Hur kan man byta ut arctan(y) mot sin (y)? Tack för hjälpen
Sofia

Svar:

Både sinus och arcus tangens har värdet 0 och derivatan 1 i punkten noll. Alltså har båda funktionerna tangenterna y=x i punkten 0. Vi kan tänka oss att vi approximerar dessa funktioners värden i punkter nära 0 med deras tangenters värden i dessa punkter. Alltså bör för små y, x=arctan(y) vara ungefär lika med y som i sin tur är ungefär lika med sin(y), återigen för små y. Med hjälp av Taylors formel kan man få kunskap om dessa approximationers nogrannhet.

Martin Svensson.


13 oktober 2000 09.37.58
En kontinuerlig funktion f största värde mellan (a,b) (klammer inåt) är 3 och minsta värde -5. a) Vilket är det största värdet och det minsta värdet, som funktionen 1/(1+(absoluta beloppet eller modulen av f)) får mellan (a,b), (klammer inåt)? b) Bevisa, att funktionen 1/f får mellan (a,b),(klammer inåt), värden, som är större än 10^6, och värden, som är mindre än 10^(-6).

Svar:

Enligt satsen om mellanliggande värden kommer funktionen 1/(1+|f(x)|), x i [a,b], att ha samma värdemängd som funktionen 1/(1+x), x i [0,5]. Alltså blir dess minsta värde 1/6 och dess största värde 1. Funktionen f kommer alltså att anta både positiva och negativa värden och sålunda godtyckligt små positiva värden och godtyckligt stora negativa värden. Detta betyder att funktionen 1/f antar godtyckligt stora positiva värden och godtyckligt små negativa värden.

Martin Svensson.


13 oktober 2000 09.22.52
Bestäm konstanterna a och b så, att funktionen: f(x)=(ax+4, då x är mindre än -1 (x^2, då -1 är mindre än eller lika med x och x är mindre än eller lika med 2 (1/2x+b, då x är större än 2 är överallt kontinuerlig.

Svar:

Vad som krävs för kontinuitet är att höger- och vänstergränsvärdena är lika i punkterna -1 och 2. Högergränsvärdet i punkten -1 är 4-a och vänstergränsvärdet 1. Alltså ska a=3. Högergränsvärdet i punkten 2 är 4 och vänstergränsvärdet 1+b, så att b=3.

Martin Svensson.


12 oktober 2000 23.08.03
Hej Lund! Har problem att lösa ett ekvationssystem enl följande: log(bas a)x + log(bas a^2)y = 3/2 log(bas b^2)x - log(bas b)sqrt(y) = 1 Förmodar att basbyten måste göras, men vet ej hur. Snälla hjälp mig. Tack på förhand!
Carl-Johan

Svar:

Till exempel kan man använda formeln clog z=ln z/ln c, varefter vi får en enhetlig bas. Systemet övergår då nämligen i

ln x/ln a+ln y/ln a2=3/2,
ln x/ln b2-ln y1/2/ln b=1.

Efter lite förenkling får vi så att

ln x2+ln y=ln a3,
ln x-ln y=ln b2,

vilket ju betyder att x2y=a3, x/y=b2. Enligt den andra ekvationen är x=yb2, så insättning i den första ger att y3b4=a3, dvs y=a/b4/3 och x=ab2/3. Ett annat sätt att lösa problemet är att ta båda sidor upphöjt till a2 i den första ekvationen och till b2 i den andra och sedan använda logaritmlagarna.

Martin Svensson.


11 oktober 2000 20.35.49
Så långt jag vet är talet (Jag kan inte skriva det med siffror så jag skriver det med bokstäver) 9 upphöjt till 9 upphöjt till 9 det största tresiffriga talet. Men hur stort är det om man skrive det normalt?
Behöber fakta om Oscar Reutersvärd

Svar:

Det största tresiffriga talet är faktiskt 999. Talet du anger är betydligt större än så: du får det genom att multiplicera ihop 387420489 stycken 9'or. För fakta om Oscar Reutersvärd kan du till exempel söka på altavista.

Martin Svensson.


11 oktober 2000 11.12.08
En fråga som ofta uppkommer i mitt huvud på kvällarna är som lyder: Hur stor är cantormängden jämfört med Q och R? Tack på förhand!
Johnny

Svar:

Det beror på vad man menar med storleken av en mängd. Om man menar storlek i kardinalitet så har Cantormängden samma kardinalitet som R, och därmed är den betydligt större än Q som ju är uppräknelig. Om man å andra sidan menar storlek i Lebesgues mening så är faktiskt Cantormängden och Q lika stora eftersom de båda är  Lebesgue-nollmängder. Då R har oändligt Lebesguemått är R med detta sättet att mäta alltså betydligt större.

Martin Svensson.


10 oktober 2000 20.31.51
Vad är McNemars test?
Kerstin

Svar:

För ett bra svar på denna fråga rekommenderar jag att du ställer den till en statistiker.

Martin Svensson.


10 oktober 2000 09.14.11
Hej! Jag skulle vilja ha reda på hur man navigerade efter stjärnorna på 1700-talet? Jag skulle vara tacksam om svaret var på ett ganska enkelt språk för jag går i tvåan på gymnasiet!
Sofie Källström

Svar:

Jag föreslår att du skickar denna fråga till fråga astronomen eller kanske till någon som sysslar med sjöfartshistoria.

Martin Svensson.


9 oktober 2000 20.55.04
Hej fråga Lund Jag undrar hur man löser (2*8^x + 8)^0.5 = 2^(3x -1) -1 Tack på förhand
Johan Holmgren

Svar:

Om vi inför en hjälpvariabel y=23x-1 så kan vi skriva ekvationen som (4y+8)1/2=y-1. Kvadrerar vi båda sidor får vi efter förenkling y2-6y-7=0, som har lösningarna y=7 respektive y=-1. Den sista av dessa förkastas eftersom y>0. Alltså måste 23x-1=7, dvs x=(2log(7)+1)/3.

Martin Svensson.


9 oktober 2000 12.51.24
Planet P1 innehåller linjen L: x=2y=3z+4 och är vinkelrätt mot planet P2: y-2z=5 . I vilken punkt skär planet P1 y-axeln?
Tommy

Svar:

Att linjen L ligger i planet P1 betyder att planet går genom punkten (0,0,-4/3) samt är parallellt med vektorn (1,1/2,1/3). Att P1är vinkelrätt mot P2 betyder att det är parallellt med P2's normalvektor (0,1,-2). Då har vi två vektorer som är parallella med P1 och en punkt däri, och därmed kan vi enkelt räkna ut ekvationen för P1. På normalform blir denna 4x-6y-3z-4=0. Då P1 skär y-axeln är x=z=0 så -6y-4=0, dvs y=-2/3. Svaret är alltså i punkten (0,-2/3,0).

Martin Svensson.


9 oktober 2000 11.56.38
Har fått ett till synes hiskeligt tal att lösa... men var ska jag börja. Ska visst få fram samtliga lösningar till det. (3+3^(1/2))sin^2x - (3+3^(1/2))sinxcosx + 2*3^(1/2)cos^2x = 3^(1/2) Tack på förhand!
Tony

Svar:

Observera att högerledet är lika med 31/2(sin2x+cos2x). Använder vi detta och förenklar får vi ekvationen

3sin2x-3sinxcosx-31/2sinxcosx+31/2cos2x=0.

Vi ser så att vi kan faktorisera denna till

31/2(sinx-cosx)(31/2sinx-cosx)=0.

Genom att använda additionsformeln på vänsterledet får vi slutligen ekvationen

31/221/22sin(x-pi/4)sin(x-pi/6)=0,

som är uppfylld exakt då x=pi/4+n.pi eller x=pi/6+n.pi för något heltal n.

Martin Svensson.


9 oktober 2000 10.25.02
Hejsan! Hur ska jag gå tillväga för att lösa ekvationer med absolutbelopp. Undrar om ni skulle kunna visa mig på et exempel som jag har här: 3 - 2x = |12-|x+12||
Mats

Svar:

Man får dela upp i tänkabara fall. Om x>-12 får vi ekvationen 3-2x=|12-x-12|=|x|. Om sedan x>0 så får vi 3-2x=x, dvs x=1. Om däremot -12<x=<0 får vi 3-2x=-x, dvs x=3 vilket inte ligger i det aktuella intervallet. Sedan betraktar vi fallet med x=<-12. Då får vi 3-2x=|12+x+12|=|24+x|. Om -24<x=<-12 så ska alltså 3-2x=24+x, dvs x=-7 som inte ligger i intervallet. Om istället x=<-24, så är 3-2x=-24-x, så att x=27 vilket inte heller accepteras. Alltså har ekvationen endast lösningen x=1.

Martin Svensson.


9 oktober 2000 10.04.08
Låt oss fantisera att det är möjligt att från markytan resa rakt uppåt, så att under den första sekunden har vi rört oss 1 km, under den andra sekunden 10 km och under den tredje sekunden 100 kilometer o.s.v.. Alltså under varje sekund rör vi oss 10 gånger så långt som under den förra sekunden. a) Efter hur många sekunder åker vi snabbare än ljusets hastighet (3*10^5 km/s)? Efter hur lång tid skulle vi vara: b) På samma avstånd som Månen är från Jorden (380000 km)? c) Solens avstånd från Jorden (150000000 km)? d) Alfa Centauris avstånd från Jorden (4,1*10^13 km)?

Svar:

Om vi låter s(n) vara hur långt vi hinner under den n'te sekunden, så är alltså s(n)=10n-1 km. Detta är också den genomsnittliga hastigheten under den n'te sekunden. Hur långt vi har hunnit efter n sekunder är följaktligen s(n)+s(n-1)+...+s(1)=10n-1+10n-2+...+1=(10n-1)/9 km enligt formeln för geometrisk summa. Nu kan du säkert själv svara på frågorna.

Martin Svensson.


9 oktober 2000 00.55.48
Hej jag har problem!!!!!!! Hur bryter man ut D från F=(1-(D/L))^3
Karin Nordqvist

Svar:

Om F=(1-D/L)3 så är 1-D/L=F1/3 och alltså D=L.(1-F1/3).

Martin Svensson.


8 oktober 2000 23.33.27
Hej! Sitter med en Exponentialekvation som jag inte riktigt vet hur jag ska lösa. Vore hemsk tacksam för fullständig vägledning genom hela talet, alltså med så många moment som ni kan tänkas vilja visa mig.
9^x = 4 / (1 - 3^(1-x))
Tony

Svar:

Eftersom 9x = (3x)2 är mitt förslag att du sätter t = 3x. Ekvationen övergår då i

t2 = 4/(1 - 3/t).

multiplicera båda leden med nämnaren i högerledet så får du en andragradsekvation i t. Lös ut t ur denna. Du får två lösningar t = t1 eller t = t2. Om t inte är positivt finns inte något tal x sådant att 3x = t. Om t är positivt är x = ln t/ln 3.

Kjell Elfström


8 oktober 2000 19.15.42
Vet du någon hemsida med gånger träning på???
Min e-post:
bnh066n@tninet.se
Anonym

Svar:

Jag känner inte till någon sådan sida (även om det förmodligen finns). Jag antar att du vill träna huvudräkning och ett förslag är att du med miniräknare räknar ut ett antal produkter, skriver ner dem på ett papper, svaren på ett annat, glömmer bort svaren och sedan kör igång med träningen.

Kjell Elfström


8 oktober 2000 14.53.43
Hej! Jag skulle vilja få hjälp med att hitta en bra modell ill min uppgift. Jag har fått i uppgift att göra en matematisk modell i form av ett vekterrum. Vi ska även ta med vad begreppen skalärprodukt, underrum,linjärkombination,linjärtberoende,bas och dimension betyderi den verkligheten vi modellerar. Detta ger min andra fråga: Vad innebär underrum?. Jag skulle vara väldigt taksam om du hjälpte mig med dessa två saker.
Per

Svar:

Ett underrum är en delmängd U av vektorrummet som själv är ett vektorrum med samma definition av addition och multiplikation med skalär. Detta betyder att om u och v är vektorer i U och s en skalär så ligger också u + v och su i U. Jag föreslår att du ber din lärare om hjälp med idéer till den första delen av frågan, eftersom jag inte vet hur ni infört begreppet vektorrum eller på vilken nivå arbetet skall göras.

Kjell Elfström


8 oktober 2000 10.39.09
Jag återkommer till min fråga den 8 september ang. Keplers lagar och Newtons gravitationsteori. Vilken lärobok i mekanik kan rekommenderas? Tack på förhand. Sture

Svar:

Jag känner inte till vilka böcker som används i undervisningen nu. Du kan titta i bokhandeln eller se på någon fysikinstitutions hemsida.

Kjell Elfström


8 oktober 2000 09.28.28
På en viss semesterort är antalet solskenstimmar under en sommarvecka approximativt normalfördelat med väntevärdet 43 och standardavvikelsen 17. Av fyra veckor i juli tillbringar familjen A de tre första och familjen B de två sista på orten. Hur stor är sannolikheten för att familjen A skall få minst dubbelt så mycket sol som familjen B? Beräkna sannolikheten under nödvändiga oberoendeantaganden. Är dessa rimliga?
Magnus

Svar:

Om X1, X2, X3, X4 är antalet solskenstimmar de fyra olika veckorna skall alltså

Y = X1 + X2 - X3 - 2X4 >= 0.

Hur man bestämmer täthetsfunktionen för Y kan du säkert se i dina läroböcker.

Kjell Elfström


8 oktober 2000 01.49.22
Hej. Tack för denna site ! Jag undrar om det finns någon förklarning till att om man deriverar formeln för en sfärs volym får formeln för dess Area ? stälde den frågan till min mattelärare när jag läste D kursen, och han svarade "visst är det vackert" men det säger inte så mycket, finns det något bevis eller geometrisk förklarning till det? En annnan sak jag undrar är hur man räknar ut sinus/cosinus värden för en vinkel dvs tex: sin(50) alltså hur går det till,exakta värden är ju enkelt som Sin(1/2) (med enhets cirkel) jag skulle gärna vilja ha ett exempel tex 50 grader
Matias Henttunen

Svar:

Samma sak gäller för arean och omkretsen av en cirkel, liksom för en kvadrat om man anger arean och omkretsen som funktioner av halva sidan. Skillnaden mellan areorna av en cirkel med radien r och en med radien r + h är för små värden på h ungefär h.omkretsen. Dividerar man med h och låter h gå mot noll får man alltså att derivatan av volymen är omkretsen. Samma resonemang kan genomföras för ett klot. Genomför gärna räkningarna för en kvadrat eller kub där man kan uttrycka alla ingående storheter exakt.

sin och cos brukar beräknas med hjälp av Taylors formel. Se 4 april 2000 18.47.47. Vinklarna där skall anges i radianer.

Kjell Elfström


6 oktober 2000 20.06.17
Min fråga (4 i en) rör hållfasthet, men är ändå av matematisk karaktär så jag hoppas att ni kan hjälpa mig. (läroboken är till föga hjälp. suck...)
Låt T:R^2 -> R^2 vara multiplikation med systemet
[[4 -3]
 [2 0]]=A
Ange den geometriska effekten av T som en sammansättning av några av följande avbildningar: (1)skjuvning, (2)kompression, (3)töjning och (4)spegling. Tacksam för svar
Krister

Svar:

Man kan arbeta baklänges, så att man genom att sätta samman avbildningen A med avbildningar av angivet slag, får en sådan avbildning. Vektorerna (1,0) och (0,1) avbildas på (4,2) resp (-3,0). Rotera (R) resultatet ett kvarts vart medurs. Sammansättningen avbildar då (1,0) och (0,1) på (2,-4) resp (0,3). En rotation kan erhållas som sammansättningen av två speglingar. Sätt sedan samman med avbildningen K1 som förkortar (0,1) med en tredjedel. Den sammansatta avbildningen avbildar nu (1,0) och (0,1) på (2,-4/3) resp (0,1). Förkortar vi nu (med K2) (1,0) med hälften avbildar den sammansatta avbildningen (1,0) och (0,1) på (1,-4/3) resp. (0,1) och vi har fått en skjuvning S. Genom att multiplicera med inverserna får vi

A = R-1K1-1K2-1S.

Kjell Elfström


6 oktober 2000 17.06.23
1<eller=p<s => Ls-rummetpå I1=(a,b)är en delmängd av Lp-rummet på samma I1 dvs f tillhör Ls-rummetpå I1 => f tillhör Lp-rummetpå I1. Utifrån detta skall man konstruera en fkn g på I2=(0,1)-> R sådan att g tillhör Lp-rummet på I2 men g tillhör inte Ls-rummet då 1<eller=p<s. Hur kan g se ut? (Med Lp-rum menar jag Lebesgue-integrabla rum) Tack
Carina

Svar:

Eftersom xa är integrerbar om och endast om a < 1 ligger det nära till hands att försöka med en potens av x, t ex x2/(p + s).

Kjell Elfström


6 oktober 2000 15.37.52
Hej. Jag har problem att ställa upp det här, vore tacksam för hjälp med en utförlig uppställning Visa mha induktion
uppg1:3^n>=4*n^2+2^n
uppg2:Visa att för alla naturliga tal n (induktion) 3^(2*n)-l
Tack på förhand
Ronny Keinvall

Svar:

Det framgår inte för vilka värden på n olikheten i den första uppgiften skall gälla. I den andra uppgiften framgår inte vad som skall visas. Jag visar ändå att den första olikheten gäller då n >= 4.

För n = 4 är det bara att räkna ut de båda leden och konstatera att olikheten är uppfylld. Antag nu att den är uppfylld för ett visst heltal n >= 4. Vi ska utifrån detta induktionsantagande visa att

3n + 1 >= 4(n + 1)2 + 2n + 1.

Enligt induktionsantagandet är

3n + 1 = 3.3n >= 3(4n2 + 2n).

Det räcker alltså att visa att

3(4n2 + 2n) >= 4(n + 1)2 + 2n + 1

n >= 4. Bilda skillnaden, som är

8n2 - 8n - 4 + 2n = 8n(n - 1) - 4 + 2n.

Eftersom detta uttryck uppenbarligen är växande för n >= 4 och positivt för n = 4, är det större än eller lika med 0 då n >= 4.

Kjell Elfström


6 oktober 2000 14.13.00
Hej! Jag lyckas inte lösa denna ekvation: [sin(x)+sqrt(3)/2*cos(x)]*sin(4x) = 2
Ana

Svar:

Ekvationen har inga lösningar. Enligt metoden med hjälpvinkel kan den första faktorn i vänsterledet skrivas

(71/2/2)sin(x + a),

vilket visar att denna ligger mellan -71/2/2 och 71/2/2. Eftersom den andra faktorn ligger mellan -1 och 1 kan det inte finnas någon lösning.

Kjell Elfström


5 oktober 2000 21.12.35
Varför har e upphöjt till x och log kommit till. Pi förstår jag när det gäller cirklar och diameter
Yngve Aronsson

Svar:

Se 4 oktober 2000 14.10.30.

Kjell Elfström


5 oktober 2000 17.35.39
Hejan!
Först vill jag tacka för lösningen på att räkna ut arean på en polygon med koordinater för hörnen.(2december 1998 09.57.02)
Nu till min fråga.
Kan man på ett någolunda enkelt sätt räkna ut var tyngdpunkten i en polygon ligger om koorinaterna för varje hörn är kända ?
Tack på förhand
Johan

Svar:

Se Polygon Area and Centroid.

Kjell Elfström


5 oktober 2000 15.02.34
Serien 1+2+3+...+n har summan n*(n+1)/2. Hur ser härledningen till denna summa ut?
Peter V

Svar:

Kalla summan för s och beräkna den dels genom att lägga ihop termerna i stigande ordning, dels i fallande. Vi får

s = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n
s = n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 3 + 2 + 1.
Adderar vi dessa utvecklingar får vi

2s = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) = n(n + 1),

varefter formeln följer genom division med 2.

Kjell Elfström


5 oktober 2000 11.17.59
I hur många femsiffriga naturliga tal finns åtmninstone en nolla?

Svar:

I ett femsiffrigt tal får inte den första siffran vara noll. Det finns därför 99999 - 9999 femsiffriga tal. Antalet som inte innehåller någon nolla är 9.9.9.9.9. Svaret är skillnaden mellan dessa tal.

Kjell Elfström


4 oktober 2000 23.05.23
Jag har ett tal som jag inte får löst. Hoppas att ni kan hjälpa mig. Jag ska lösa följande andragradsekvation med valfri metod.
(12y-1)(4y-1)=16
svaren har jag ju redan i facit så det är hur jag räknar ut det jag behöver hjälp med.
Lotta "Flamman"

Svar:

Multiplicera ihop faktorerna i vänsterledet och flytta över allt till den ena sidan. Dividera sedan hela ekvationen med högstagradskoefficienten 48 så får du en andragradsekvation på en form som du säkert behärskar.

Kjell Elfström


4 oktober 2000 21.44.16
I en bok om elektroteknik visar man på följande sätt att rotE=0: Här är E=1/(kr^2)e_r (där k är en konstant och e_r radiella enhetsvektorn). Man observerar Int(E*dr)=0 för varje sluten kurva. Sedan hänvisar man då till att enligt stokes sats gäller då rotE=0. Men om jag minns rätt gäller stokes sats (iaf såsom jag visar den) enbart då E är kont och deriverbart i hela det området som den slutna kurvan omsluter. men detta är ju inte fallet i detta fall då E ej är kont i origo. Så i mitt tycke borde man inte kunna tillämpa stokes sats här. Men det är ju möjligt att man på ngt sätt i beviset för stokes sats kringgå detta. Eller? Tacksam för en utredning.
Erik

Svar:

Stokes sats gäller ju ytor och deras randkurvor i tre dimensioner. Det väsentliga här är att vektorfältet är kontinuerligt i en omgivning av området tillsammans med randen. Enligt satsen följer att int(rot E | N)dS = 0 över varje orienterat ytstycke med enhetsnormal N och med vissa egenskaper. Av detta följer att rot E = 0.

Kjell Elfström


4 oktober 2000 21.24.36
Varför bildas det alltid ett parallellogram när jag sammanbinder mittpunkterna för en godtyckligt ritad fyrhörning? Enligt min lärare på universitetet räcker inte svaret den 17 mars 2000 som bevis.
L. Jansson

Svar:

Jag vet inte vilka invändningar din lärare har. Du får väl fråga honom eller henne.

Kjell Elfström


4 oktober 2000 14.10.30
1)Den matematiska konstanten pi går relativt lätt att förstå som en del i relationen mellan en cirkels omkrets och dess radie.
Går det att på ett lika enkelt sätt att inse innebörden av den matematiska konstanten e?
2) e är ju basen i det naturliga logaritmsystemet. Vari ligger egetligen det naturliga i detta system?
Sören Karlsson

Svar:

Att tillväxten av en storhet y i tidsintervallet [t,t + h] är proportionell mot intervallets längd h och mot storhetens värde vid tiden t betyder att

(y(t + h) - y(t))/(hy(t)) = k,

där k är en konstant. Låter man h gå mot noll får man

y'(t)/y(t) = k
.

Denna differentialekvationen har lösningen y(t) = Cekt. Om en bank som betalar p procents ränta en gång om året skulle börja betala p/n procents ränta n gånger om året skulle den, då n går mot oändligheten, årligen få betala ut ett belopp som var ep/100 gånger så stort som kapitalet var vid årsskiftet. Konstanten uppträder tyvärr inte vid ränteutbetalning, men i många naturliga sammanhang som populationstillväxt, radioaktivt sönderfall mm.

Kjell Elfström


4 oktober 2000 13.14.20
Undrar om formel för att plocka koordinater på en cirkelbåge.
X0 = Cirkelcentrum
Y0 = Cirkelcentrum
Kända värden : Cirkel radie
: Vinkel till koordinat på cirkel
Okända värden : X o Y koordinat på cirkelbågen
Jonny Schönqvist

Svar:

Hade cirkeln varit en enhetscirkel med centrum i origo hade, enligt definitionen av cosinus och sinus, koordinaterna varit (cos v,sin v), där v är vinkeln mellan x-axeln och sträckan mellan origo och punkten på cirkeln. Om cirklens radie är r blir på grund av likformighet koordinaterna (rcos v,rsin v). Är medelpunkten i (x0,y0) blir koordinaterna (x0 + rcos v,y0 + rsin v).

Kjell Elfström


4 oktober 2000 13.07.56
Heja snälla ni hjälp mig att lösa ut och förenkla så långt som möjligt denna polynomekvation. Jag har försökt lösa denna ekvation på alla möjliga sätt och viss som jag har vetat, men jag har misslyckat jämt.
x^4 - 2x^3 + (1-2pi - pi^2)x^2 - 2x - pi^2 -2pi=0
har komplexa rötter med realdel = 0
pi = 3.14 talet pi
MVH Johan
Johan Almqvist

Svar:

Att ekvationen har en rot x med realdel noll betyder att x = ai. Sätt in detta i ekvationens vänsterled. Imaginärdelen av detta blir då 2a3 - 2a, och denna är noll då a = 0 eller a = ±1. Endast a = ±1 uppfyller att realdelen är noll, varför x = ±i är två rötter till ekvationen. Enligt faktorsatsen är ekvationens vänsterled delbart med (x - i)(x + i) = x2 + 1. Dividera nu vänsterledet med denna faktor för att få de återstående rötterna. (Man ser för övrigt direkt att x = -pi är en rot.)

Kjell Elfström


4 oktober 2000 11.10.36
Vad är lösningen till pendelns ekvation?
x(t)=.....integral....
x''+sinx=0
x(0)=0
x'(0)=1
Hur kommer man fram till det?
Emina

Svar:

Enligt Newtons andra lag (kraften = massan.accelerationen) är

mLx''(t) = -mgsin x(t).

pendel
x(0) = 0 betyder att klockan är ställd så att pendeln befinner sig i viloläget vid tiden t = 0. x'(t) är hastigheten vid tiden t.

Kjell Elfström


4 oktober 2000 11.07.49
Differentialekvationen y'=x^2-y^2 då y(0)=0 saknar lösningar men man vet ändå hur den ser ut. Hur går detta till? Har den ett namn så man kan söka efter mer information? Finns det bevis för att den saknar lösningar och hur lyder det ?
Anne-Marie

Svar:

Differentialekvationen har en lösning men den kan inte uttryckas genom sammansättningar av elementära funktioner. Ekvationen hör till en klass som kallas Riccati-ekvationen,

y' + ay2 = bxn.

Jacob Bernoulli angav en lösning till ekvationen i frågan år 1703 i form av en potensserie, dvs som en oändlig serie på formen

y = a0 + a1x + a2x2 + ...

Kjell Elfström


3 oktober 2000 18.36.02
Hej! Jag vet inte så mycket om Kinesiska restsatsen mer än bara att x= a mod n och x = b mod m men hur räknar man ut sånt här?
pierre lemon

Svar:

Kinesiska restklasssatsen hittar du hos Eric Weisstein's World of Mathematics och den bevisas i de flesta böcker i abstrakt algebra. Till denna sats refereras i följande frågor: sökresultat.

Kjell Elfström


3 oktober 2000 13.43.43
Hej! Jag skriver om gravitationen på specialarbetet och vill gärna ha förslag på litteratur om differentialgeometri och Riemann-geometri.
Mikael Gunnarsson

Svar:

De böcker jag känner till i dessa ämnen verkar alla kräva alltför mycket förkunskaper i matematik. Det verkar ju som om du går på gymnasiet. En sida med länkar till litteratur hittar du hos Eric Weisstein's World of Mathematics. En bok vi använt i undervisningen är John Oprea: Differential Geometry and Its Applications. Prentice Hall (1997).

Kjell Elfström


3 oktober 2000 13.15.24
När jag jobbar med minsta kvadrat metoden och inte vet vilken klass av kurvor ett problem tillhör. Hur bär man sig åt för att hitta en lämplig modellfunktion att använda i mk-metoden?
Erika

Svar:

Valet av modellfunktion styrs ofta av teoretiska kunskaper om hur modellen ser ut. Har man ingen kunskap om modellen ligger polynomfunktioner (speciellt lineära funktioner), exponentialfunktioner och potensfunktioner nära till hands.

Kjell Elfström


3 oktober 2000 12.36.34
Hej!
Lite talteori!
När talet 35337 kvadreras får man som resultat 1248703569, ett tal med 10 siffror. Var och en av siffrorna 0 ... 9 ingår precis en gång i resultatet. Frågan är nu många tal (heltal), k, det finns sådana att k^2 har denna egenskap?
Stefan

Svar:

Jag vet inte hur man löser detta problem annat än genom direkt uträkning.

Kjell Elfström


2 oktober 2000 13.11.41
Kan ni ge mig Heines och Cauchys definitioner av kontinuitet, samt visa att de är ekvivalenta
Marko

Svar:

De definitioner av kontinuitet som finns i Cours d'Analyse de l'École royale polytechnique från 1821 av Cauchy och i Heines artikel Die Elemente der Functionenlehre i Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1872, verkar båda vara i stort sett identiska med den definition som finns i moderna läroböcker.

Kjell Elfström


1 oktober 2000 20.51.00
Hej! Snälla hjälp mig reda ut detta angående absolutbelopp. Absolutbeloppsekvationer av följande karaktär |2x+7| = |77-3x|, har jag sett. Hur får man ut fallen ur denna ekv -3-2x = |9-|x-15||. Förstår inte högerledet.
Pelle

Svar:

Vi får fyra olika fall.
Antag först x<=15. Då är |9-|x-15||=|9+(x-15)|=|x-6|. Vi får här två fall; x<=6 och x>6.
Antag därefter x>15. Då är |9-|x-15||= |9-(x-15)|=|24-x|. Vi får även här två fall; x<=24 och x>24.
Detta ger sammantaget ekvationerna
-3-2x =-x+6     då  x<=6
-3-2x = x-6      då  6<x<=15
-3-2x = 24-x    då  15<x<=24
-3-2x = -24+x  då  x>24.

Catarina Petersson


1 oktober 2000 20.18.56
Rörelseekvationen för en enkel pendel i harmonisk svängning ges av diffekvationen d^2x/dt^2+w^2*sin(x)=0 där sin(x) taylorutvecklas för små svängningar/vinklar och approximeras då till sin(x)~x. Då blir rörelseekvationen d^2x/dt^2+w^2*x=0. Om man vill studera pendeln för stora svängningar/vinklar bör man lösa den ursprungliga diffen. Hur gör jag och vad blir den?
Magnus

Svar:

Differentialekvationen innehållande sinus kan inte lösas exakt i den meningen att x(t) kan uttryckas bara med hjälp av elementära funktioner. Vi kan dock hitta ett implicit uttryck för x.
Vi multiplicerar med 2dx/dt och integrerar vilket ger ekvationen

(dx/dt)2-2w2cosx=C.
Om x0 är den maximala utslagsvinkeln så är
-2w2cosx0=C,
eftersom dx/dt=0 vid maximalt utslag.
Vi får därmed
(dx/dt)2=2w2(cosx-cosx0).
Så länge x växer är
dx/dt=sqrt(2w2)*sqrt(cosx-cosx0).
Detta är en separabel differentialekvation:
(dx/dt)/sqrt(cosx-cosx0)=sqrt(2w2).
Eftersom x=0 då t=0 får vi
integralen[0,x]1/sqrt(cosy-cosx0)=sqrt(2w2)*t.
Längre än så här kommer vi tyvärr inte eftersom de primitiva funktionerna till funktionen g(x)=1/sqrt(cosx-cosx0) inte kan uttryckas i de elementära funktionerna.

Catarina Petersson


1 oktober 2000 15.54.51
Sätt 4 punkter godtyckligt på ett papper. Sammanbind dessa punkter till en sluten fyrhörning. Sammanbind mittpunkterna för fyrhörningens sidor. Bevisa varför det alltid bildas ett parallellogram.
Laila Nilson

Svar:

Du hittar beviset i svaret till frågan  17 mars 2000 16.25.30.

Catarina Petersson


1 oktober 2000 09.30.57
Tittade på svaret till Anders 19 september 2000 11.59.51. Jag fastnadet dock vid följande avsnitt: Gausselimination av systemet A(2)Y = B1. Jag uppfattar detta som följande matriser.
[[2 2 1]  [[Y1]    [[2]
 [4 0 4]   [Y2]     [4]
 [6 2 5]]  [Y3] =   [2]]
Jag vet mycket väl vad Gausselimination är. Jag vet även hur man löser ut X i Ax=b (X=A^-1b), men vet inte hur man eliminerar till det givna svaret: 2y1 + 2y2 + y3 = 2 -4y2 + 2y3 = 0 0 = -4 Så frågan är: Hur utför man Gausselimination av en matrisekvation som står i formen Ax=B (eller A(2)Y = B1 som det var i detta fall).
Peter

Svar:

Vi har ekvationssystemet

(1)  2y1+2y2+y3=2
(2)  4y       +4y3=4
(3)  6y1+2y2+5y3=2
Att utföra Gausselimination på ett ekvationssystem innebär att överföra det på triangelform.
Vi använder först (1) för att eliminera y1 från (2) och (3). Detta gör vi genom att subtrahera två gånger (1) från (2) och 3 gånger (1) från (3). Vi får då ekvatonssystemet
(4)   2y1+2y2+y3=2
(5)      -4y2+2y3=0
 (6)     -4y2+2y3=-4.
Därefter använder vi (5) för att eliminera y2 från (6). Om vi subtraherar (5) från (6) får vi
2y1+2y2+y3=2
      -4y2+2y3=0
                  0=-4.
Allmänt utförs Gausselimination genom att använda den första ekvationen för att eliminera y1 från de övriga. Därefter den andra ekvationen för att eliminera y2 från de ekvationer som står nedanför och så vidare. Vidare kan man byta plats på ekvationerna om den ekvation man ska använda för att eliminera yk saknar yk-termer.

Catarina Petersson


30 september 2000 21.22.55
Jag skulle vilja ha en ganska enkel förklaring på hur Derivatans Definition uppkommer, alltså varför man tar (f(x)-f(x+h))/ h
Thomas Backman

Svar:

Låt f vara en funktion. Vi tar en punkt P=(x,f(x)) och en punkt Q=(x+h,f(x+h)) i närheten av P. Riktningskoefficienten för linjen genom P och Q är då

(f(x+h)-f(x))/(x+h-x)=(f(x+h)-f(x))/h.

Om vi låter h gå mot noll kommer detta tal att gå mot rikningskoefficienten för tangenten i punkten P. Detta är ett mått på funktionens förändringshastighet i punkten x, och vi kallar det för derivatan av funktionen i punkten x.

Catarina Petersson


29 september 2000 15.49.09
Jag håller på att undervisa i komplexa tal på gymnasiet och undrar över följande saker. Ett komplext tal kan beskrivas på polär form e^(ix) som man kan rita i det komplexa talplanet men vad betyder e^(a+bi)x och dessutom finns det någon förklaring till dess derivata. MVH Ulrika
Ulrika

Svar:

Ett komplext tal z=a+ib kan skrivas

z=r*(cosx+i*sinx),
där r=sqrt(a2+b2)=absolutbeloppet av z och x=argumentet av z.

Istället för cosx+i*sinx skriver man nu eix.

Detta ser ut som ett exponentialuttryck, och borde lyda de vanliga räknelagarna för exponenter. Detta är också fallet. Vi har att

eix*eiy=(cosx+i*sinx)*(cosy+i*siny)=cos(x+y)+i*sin(x+y)=ei(x+y) ,

där vi använder formeln för dubbla vinkeln för cosinus respektive sinus. Det gäller även att eix/eiy=ei(x-y)och (eix)n=einx.
Alltså är

e(a+bi)x=eax+bix=eax*ebix=eax*(cos(bx)+i*sin(bx)),

dvs. ett komplext tal med absolutbeloppet eax och argumentet bx. Vidare är

D(e(a+ib)x) = D(eax(cos(bx)+i*sin(bx))
= a*eax(cos(bx)+i*sin(bx))+eax(-b*sin(bx)+i*bcos(bx))
= eax(a+ib)(cos(bx)+i*sin(bx))=(a+ib)eax*eibx=(a+ib)e(a+ib)x,

dvs. precis det man skulle tro.

Catarina Petersson


29 september 2000 14.16.15
Hej! Har påbörjat en kurs i flera variabler och undrar nu om och hur man kan bilda en funktion som avbildar en punkt från R^2 till R dvs. från planet till tallinien, som förmodar jag även går att avbilda i omvänd rikting.Själv har jag provat men ej lyckats,så någonting måste ha blivit fel!Det kanske inte ens är möjligt?
Peter Elven,Stockholm

Svar:

Jo, det är möjligt. Det är ett välkänt faktum att R och R2 har samma kardinalitet, dvs att det finns en bijektiv avbildning mellan dem. Hur denna funktion ska konstrueras är dock inte helt uppenbart, och för detta hänvisar jag till någon bok i topologi.

Catarina Petersson


29 september 2000 14.03.35
Den "21 september 2000 09.51.13 Hej! Jag undrar vad historien bakom lådagram är. Hur har den kommit till? Vem uppfann lådagram, och varför? Marie Andersson" Hon menade nog Dirchlets lådprincip. Skulle du kunna besvara hennes fråga nu, samt svara mig vad är Dirichlets princip, den infördes såvitt jag vet av Riemann, men har blivit kritiserad av bl.a. Weierstrass där han påkedade att man kan inte anta att det existerar lösningar till vissa variationsproblem.
Marko

Svar:

Vad Dirichlets princip är kan du läsa om här .
Angående lådagram har jag av Bengt Månsson den 26 september 2000 17.58.38 fått boktipset Boken om kreativ statistik med EDA av Kerstin Vännman och Andrejs Dunkels.

Catarina Petersson


28 september 2000 18.36.24
Hej! Jag har hör talas om att babylonierna hade ett sexagesimalt talsystem, vad är det? Kan Ni klar göra min uppfattning och berätta lite gärna tippsa om mer info. Tack på förhand!
/Adam Enderborg

Svar:

Vad ett sexagesimalt talsystem är finns beskrivet i svaret till frågan  14 oktober 1997 14.15.45Här kan du läsa lite mer om babylonisk matematik.

Catarina Petersson


28 september 2000 12.37.02
Hej! Antag att en delmängd A av R har positivt Lebesguemått. Innehåller i så fall A säkert ett intervall som delmängd? Bevis eller motexempel? Mvh
Bengt Månsson

Svar:

Nej, A behöver inte innehålla något intervall, vilket ses av följande exempel:
Från R tar vi bort alla rationella tal, vilket är en nollmängd, och låter A vara mängden av alla irrationella tal. Lebesguemåttet av A är då oändligt. A innehåller dock inget intervall, eftersom varje intervall på R innehåller något rationellt tal.

Catarina Petersson


28 september 2000 09.45.47
Hur bestämmer jag kordinaterna för ett föremål som färdas kortaste vägen mellan två punkter (x1,y1 och x2, y2) i i en given hastighet (h) och vid en given tidpunkt (t) ?
Bobby

Svar:

Ekvationen på parameterform för en linje ges av x=a*t+b, y=c*t+d, där (a,c) är en riktningsvektor för linjen. Hastigheten är längden av riktningsvektorn. I vårt fall är en riktningsvektor (x2-x1,y2-y1). För att denna ska få längden h multiplicerar vi med h/sqrt((x2-x1)2+(y2-y1)2).
Koordinaterna vid tiden t ges alltså av följande uttryck:

x=h*(x2-x1)/sqrt((x2-x1)2+(y2-y1)2)*t+x1
y=h*(y2-y1)/sqrt((x2-x1)2+(y2-y1)2)*t+y1.

Catarina Petersson


28 september 2000 01.25.22
Kan man lägga t ex Geometrin i en matematisk kategori som är härledd från några axiom? Finns det någon slags hierarkisk struktur i matematiken? Alltså vad är grunden? Talet? Hur grenar sig matematikens alla delar?
Henrik Holmgren

Svar:

I början av 1900-talet gav David Hilbert ett förslag till axiomatisk uppbyggnad av geometrin. I hans bok "Grundlagen der Geometrie", som utkommit i många upplagor , tas som odefinierade begrepp "punkt", "linje" och "plan". Därefter införs axiom som handlar om vissa relationer mellan dessa. T.ex. kan en punkt "tillhöra" en linje. Vad som menas med  "tillhöra" behöver inte förklaras; allt vi behöver veta är att vissa punkter "tillhör" en viss linje, andra kanske inte gör det. Ett exempel på ett axiom är då det första:
Om A och B är två skilda punkter så finns det exakt en linje som såväl A som B tillhör.
Poängen med denna s.k. axiomatiska metod, som innebär att grundbegreppen lämnas odefinierade, är att den teori som byggs upp är giltig närhelst axiomsystemet i någon tolkning är giltigt. Orden "punkt", "linje", "plan", "tillhör", "mellan" osv. kan då ges en annan innebörd än den gängse.
Vad beträffar hela matematikens uppbyggnad, så kan man nog skönja en hierarkisk struktur. Nu råder inte enighet bland matematiker om hur grunden skall läggas. Oenigheten vållar dock inte konflikter på samma sätt som inom andra vetenskaper. Det är inte frågan om att någon har fel, utan skillnaderna i uppfattning beror på en skillnad i smak och kynne, och det är alla kontrahenter medvetna om. Den axiomatiska skolan låter matematiken grunda sig på den axiomatiska mängdläran. Om Du vill ha en beskrivning av dess axiomsystem måste jag hänvisa Dig till ett matematiskt bibliotek vid någon högskola.
Går vi vidare från grundvalarna, så kan att man i lineär algebra studera lineära avbildningar på lineära rum.
Från den lineära algebran går en linje till analys som handlar om nästan lineära (dvs differentierbara) avbildningar på rum av ändlig dimension och en linje till lineär funktionalanalys som handlar om lineära avbildningar på rum av oändlig dimension. Det finns även icke-lineär funktionalanalys: nästan lineära avbildningar på rum av oändlig dimension. Från båda dessa utvecklingslinjer kan vi sedan dra trådar till topologin där man studerar kontinuerliga avbildningar på topologiska rum. Sidogrenar går till differentialgeometri (avbildningar på nästan lineära rum), Morse-teori (nästan lineära rum av oändlig dimension) algebraisk topologi m.m.

Catarina Petersson


27 september 2000 23.06.31
En funktion av två variabler z=f(x,y) går ju att åskådliggöra grafiskt. En funktion av tre variabler däremot är ju lite svårare. Men jag har tänkt att tänk om man skulle ha en funktion f(x,y,z), så skulle man låta funktionsvärdet i den punkten i rummet motsvaras av en viss färg (lämpligtvis med dator så att man kan "gå innåt förbi färglager"). Det borde kunna ge en del intressanta figurer. Vet ni om det redan är gjort? Vad har ni för tankar om detta?
Peter

Svar:

När Du skriver att en funktion av två variabler kan åskådliggöras grafiskt verkar det som om Du tänker på grafen (funktionsytan) i ett tredimensionellt koordinatsystem. En funktion av tre variabler kan inte åskådliggöras på samma sätt i ett tredimensionellt koordinatsystem, och koordinatsystem av högre dimension vållar svårigheter för vår föreställningsförmåga. Däremot kan man i stället tänka sig en skara av s.k. nivåytor som uppstår då man sammanbinder de punkter i det tredimensionella rummet som ger samma funktionsvärde med varandra. Detta kan man t.ex. göra genom att låta ett visst funktionsvärde motsvaras av en viss färg. Om jag förstått Dig rätt är det detta som Du menar. Idén är alltså gammal, och med modern teknik kan den naturligtvis också lätt genomföras, och detta har gjorts i många sammanhang.

Catarina Petersson


27 september 2000 19.44.19
Hej. Jag undrar hur man löser diffekvationen: k/f^2=d^2f/dt^2 där k är en konstant. (om den nu är lösbar).
Erik

Svar:

Vi multiplicerar båda led med 2*df/dt och integrerar. Vi får då

(df/dt)2=c-2*k/f,

där c är någon konstant. Därefter drar vi roten ur båda led, vilket ger

+-(df/dt)/sqrt(c-2*k/f)=1.

Ny integration ger
+-int(sqrt(f/(cf-2k))=t+d,

för någon konstant d.
För att beräkna  en primitiv funktion till sqrt(f/(cf-2k)) gör vi variabelbytet f/(cf-2k)=g, och får då en rationell funktion i g som kan integreras.

Catarina Petersson


27 september 2000 17.07.48
Vad går Gödels ofullständighetsteorem ut på?Kan man förklara detta enkelt?
Ulf Courin

Svar:

När en matematisk teori byggs upp fastslås vissa utsagor, som kallas axiom. Dessa står alltså längst fram i texten och är därför sanna i teorin. Med hjälp av logiska slutledningar, så kallade bevis, byggs från dessa axiom teorins satser och påståenden. Gödels ofullständighetsteorem, som publicerades 1931, säger att varje axiomatiskt uppbyggd matematisk teori, som är någorlunda komplicerad, logiskt leder till påståenden som man aldrig kan bevisa eller motbevisa med systemets egna axiom och regler.

Catarina Petersson


27 september 2000 17.05.28
Hej!Tack för svaret,men tyvärr blev jag inte klokare!När det gäller topologisk ekvivalens eller homeomorfi av rum från R^2 till R,så kan man väl välja att en cirkelskiva är antingen öppen eller sluten och således även göra det på en sträcka.Välj en cirkelskiva x^2+y^2=4,och en sträcka från 1 till 4 som är ett slutet intervall.Nu kan man väl skapa funktioner som avbildar punkter från cirkelskivan till sträckan och omvänt eller?Varför nu detta inte är möljligt ska enligt Brouwer bero på invariansen av dimensionsantalet,som för mig är svårbegripligt, och inte bara för mig tydligen!Även mera kunniga på detta område har här tydligen kapitulerat! Hoppas ni kan förstå vad jag menar!Kan detta inte visas på ett mera enklare tillämpad sätt så att även en stackars amatör begriper detta?
Karin Lövstrand,Kungsholmen

Svar:

Jo, visst finns det funktioner som avbildar punkterna på en sträcka på punkterna på en cirkelskiva på ett omvändbart entydigt sätt. En sådan funktion kan dock inte vara en homeomorfism, dvs det är inte möjligt att både den och dess inversa funktion är kontinuerliga. Det enklaste argumentet för att detta är omöjligt är nog det som Adam Jonsson gav förra gången Du frågade. Vissa egenskaper hos mängder med topologi bevaras under homeomorfa avbildningar. En sådan egenskap är sammanhang. En sträcka är sammanhängande (öppen eller sluten eller halvöppen spelar ingen roll). Avlägsnar man en punkt som inte är en ändpunkt, så är återstoden inte längre sammanhängande utan består av två komponenter.
Om sträckan vore homeomorf med en cirkelskiva, så skulle exakt samma förhållande gälla för skivan. Nu är det dock så, att om man från en
cirkelskiva (som ju är sammanhängande) avlägsnar en punkt, vilken som helst, så är återstoden av cirkelskivan faktiskt sammanhängande! Denna skillnad visar att sträckan och skivan ej är homeomorfa.

Catarina Petersson


27 september 2000 14.25.20
Svarar ni på frågor om LOGIK? I så fall undrar om det går att bevisa följande: X tillhör den tomma mängden implicerar X är ett grönögt lejon. En sanningsvärdestabell ger följande utseende (tror jag)
p q pÞq S S S S F F F S S F F S Betyder detta att påståendet är falskt om X tillhör den tomma mängden men sant för övrigt?
Kjell Gustafsson

Svar:

Tomma mängden innehåller inga element, och därför kan X ej tillhöra tomma mängden. Påståendet att X tillhör tomma mängden är alltså alltid falskt. Vidare gäller inom logiken att ett falskt påstående implicerar vad som helst. Påståendet  "X tillhör tomma mängden implicerar X är ett grönögt lejon" är således alltid sant.

Catarina Petersson


27 september 2000 11.59.21
ehj jag råkade skriva fel på en fråga som jag ställde här är den rätta!! Bestäm den linjära funktionen f(x) om f(5)-f(2)=18 och f(3)+f(6)=38
Tony

Svar:

En linjär funktion är av typen f(x)=a*x+b, där a och b är konstanter.
Vi får att f(5)-f(2)=a*5+b-(a*2+b)=a*3 och f(3)+f(6)=a*3+b+a*6+b=a*9+b*2.  Detta ger ekvationerna
a*3=18
a*9+b*2=38,
som har lösningen a=6 och b=-8.
Den linjära funktionen är alltså f(x)=6x-8.

Catarina Petersson


27 september 2000 11.54.26
Hejsan, körde fast inatt! Jag har funktionen p = z^3+c*z^2+b*z+a Hur bestämmer jag a, b och c så de har nollställena z1=1-i och abs(z2)=1, arg(z2)=arg(z1)+Pi/4. De gjorde mig sömnlös inatt½!"#@£ MVH
Martin Stoll

Svar:

Eftersom arg(z1)=-pi/4,får vi att arg(z2)=arg(z1)+pi/4=0. z2 ligger alltså på positiva reella axeln med abs(z2)=1, så z2=1. Sätter vi in  nollstället z=1  får vi ekvationen
1+c+b+a=0.
Insättning av z=1-i ger
-2+b+a+i(-2-2c-b)=0,
vilket ger ekvationerna
-2+b+a=0 och -2-2c-b=0.
Om detta ekvationssystem löses fås a=-2, b=4 och c=-3, och sålunda är p=z3-3z2+4z-2.
Jag förutsätter att a, b och c ska vara reella tal. I annat fall är de inte entydigt bestämda.

Catarina Petersson


27 september 2000 00.41.30
Hur löser man den partiella diff.ekv. y*z*p+x*z*q+2*x*y=0,där p=dz/dx och q=dz/dy av z(x,y)?Jag vet att Mathematica löser ekvationen men den ger bara själva svaret!För mig är det av intresse att lösa den på egen hand.Tack på förhand!
Lena Wiqvist,Sollentuna

Svar:

Om vi inskränker oss till någon av kvadranterna i xy-planet, t.ex. x>0, y>0, så kan man t.ex. göra variabelbytet

u=  (x2-y2)/2,  v= (x2+y2)/2,

vilket överför ekvationen till   z dz/dv +1=0 med lösningarna

z2=f(u)-2v=f((x2-y2)/2)-(x2+y2).

Om Du undrar över hur man finner ett lämpligt variabelbyte så kan jag bara hänvisa Dig till någon lärobok om partiella differentialekvationer där det beskrivs vad som menas med karakteristiska kurvor och karakteristiska projektioner.

Catarina Petersson


19387 frågor av sammanlagt 19811 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)