Fråga Lund om matematik

Sökresultat


4 mars 2001 23.02.34
Hej! och tack för en oerhört bra och trevlig sida. Ibland är det tur att ni finns, och nu är nog ett sådant tillfälle.
Jag har 3 uppgifter av geometrisk karaktär som jag är lite frågande på, och därför behöver er hjälp till en lösning.
1. I en rät cirkulär kon inskrives 2 sfärer, som inbördes tangerar varanndra. Den ena sfärens yta är dubbelt så stor som den andra. Hur många procent av konens volym upptar sfärerna
Jag har fått svaret till 25*(3*SQR(2)-2) % (SQR = roten ur), men på ett oerhört krånligt vis, och hoppas därför ni kan lösa den enklare.
2. I en rät cirkulär kon inskrives en rätvinklig parallellpiped. Den begränsningsyta som ligger i konens basyta är en kvadrat. Hur många procent av konens volym upptar parallellpipeden då dess volym är så stor som möjligt?
Tacksam för svar
Andreas Andersson

Svar:

1) Skär vi konen med ett plan längs axeln får vi två inskrivna cirklar i en triangel. Antag att den mindre cirkelns radie är r. Då är den störres s = 21/2r. Kalla radien i konens botten för R och konens höjd för h. Volymförhållandet är då

(4Pi/3)(2·21/2 + 1)r3/(PiR2h/3) = 4(2·21/2 + 1)r3/(hR2).

Koncirklar

Låt k vara avståndet från konens spets till den mindre cirkelns medelpunkt. Likformiga trianglar ger då att k/r = (k + r + 21/2r)/(21/2r) varav k(21/2 - 1) = r(21/2 + 1), vilket medför att k = (3 + 2·21/2)r. Detta ger att

h = k + r + 2s = 4(1 + 21/2)r.

Pythagoras sats ger att d2 = R2 + h2 och likformiga trianglar att R/d = (s - r)/(s + r). Kvadrerar vi den senare likheten kan vi lösa ut R2 och få

R2 = (s - r)2h2/(4rs) = (21/2 - 1)2h2/(4·21/2).

Nu kan vi beräkna förhållandet och få det till (3·21/2 - 2)/4. Min lösning var också ganska lång.

2) Antag att konens bottenradie är R och att dess höjd är h. Kalla rätblockets höjd för k och dess bottenytas halva diameter för d. Skär konen och rätblocket med ett plan utefter konens axel genom två motstående kanter på rätblocket. Likformiga trianglar ger att R/h = d/(h - k) vilket ger att k/h = (R - d)/R. Rätblockets volym är 2d2k och volymförhållandet blir 6d2k/(Pi R2h). Här kan du ersätta k/h med (R - d)/R och få en funktion av enbart d.

Kjell Elfström


4 mars 2001 22.56.01
Hej. Har en trevlig geometrisk fråga som jag gärna vill ha ett svar på.
Frågan lyder: I en regelbunden sexsidig pyramid är baskanten 4cm, och sidokanten 8 cm. Hur stor är vinkeln mellan två närliggande sidoytor?
Har försökt flera gånger utan att lyckas, så ni är mitt enda hopp!
Tack på förhand
Tommy Andersson

Svar:

Pyramidens botten är en regelbunden sexhörning och den består av sex likbenta likformiga trianglar. Medelpunktsvinkeln i varje triangel är 2Pi/6 = Pi/3. Eftersom triangeln är likbent och vinkelsumman är Pi är den liksidig, alla sidor i triangeln är alltså 4. Pythagoras sats ger att pyramidens höjd är (82 - 42)1/2 = 4·31/2. Inför ett koordinatsystem med bottnens tyngdpunkt i origo, ett av dess hörn på den positiva x-axeln och pyramidens topp på den positiva z-axeln. Vi vill nu bestämma vinkeln mellan de två plan som har hörnet på den positiva x-axeln gemensamt. Båda planen innehåller punkterna (0,0,4·31/2) och (4,0,0). Det ena innehåller dessutom det närliggande hörnet (2,2·31/2,0) och det andra innehåller det andra närliggande hörnet (2,-2·31/2,0). Nu har du tillräcklig information för att bestämma var sin normalvektor till planen och när du gjort det kan du bestämma vinkeln mellan normalvektorerna med hjälp av skalärproduktens definition.

Kjell Elfström


4 mars 2001 22.53.58
Hej. Har ett problem som jag inte får ro förrän jag får det löst, och som en sista utväg vänder jag mig därför till er.
Problemet är: En parallellt stympad kon är omskriven kring en given sfär. När är den stympade konens begränsningsarea minst? (svaret är då den är en cylinder, vilket är logiskt, men hur visar man det med derivata?)
Conny Carlsson

Svar:

Vi beräknar först arean av en stympad kon. Antag att en rak cirkulär kon skärs av med två plan vinkelräta mot konens axel. Planens tvärsnitt med konen utgörs av cirklar med radierna r och s. Låt d och e vara som i figuren.

Stympad kon

Arean av en cirkelsektor med radien r och vinkeln v är r2v/2 = r(rv)/2 och rv är längden av sektorns båge. Den större cirkelsektorn i figuren har därför arean (d + e)(2Pi r)/2 = (d + e)Pi r och den mindre har arean ePi s. Den stympade konens area är skillnaden (d + e)Pi r - ePi s. Likformighet ger att (d + e)/(2Pi r) = e/(2Pi s) varav es = er - ds. Insatt ger detta att den stympade konens area är Pi d(r + s), en formel som gäller också för arean av en cylinder, där r = s.

Betrakta nu följande genomskärning av konen och sfären med ett plan genom sfärens medelpunkt.

Genomskärning

M är cirkelns medelpunkt och MC är vinkelrät mot BD. Trianglarna ABC och EDC är båda likbenta. Detta ger att r + s = d. Arean av den omskrivna stympade konen är alltså Pi d2 och d är minst då den stympade konen är en cylinder.

Kjell Elfström


4 mars 2001 21.56.56
Jag har sett att det finns program som man använder till att skriva matematiska formler/artiklar med, de heter väl LaTeX och AmsTeX eller liknande. Vet ni var man kan få tag på något sådant program, ladda ned det eller så? Jag skulle bli glad om ni hade något tips då jag sökt över hela internet efter det.
Tack på förhand!
Joakim Munkhammar

Svar:

Eftersom TeX följer med flertalet installationer av operativsystemet Linux förutsätter jag att du har DOS på din dator. TeX förekommer i flera olika installationer. En för DOS (och Windows) är MiKTeX. Var beredd på att det krävs en hel del arbete för att lyckas med installationen, det är inte bara att trycka på en knapp, men i gengäld så är det ju gratis.

Kjell Elfström


3 mars 2001 22.02.07
Jag har en fraga angaende 29 april 1999 17.28.09. I svaret utveclar ni:
dV/dt = p - kA
r = h/5
V = Pi h3/75 dV/dt = (dV/dh)(dh/dt) = (Pi h2/25)(dh/dt) = p - ch2.
dh/dt = 0
p = ch2
Vart har c kommit ifran och vad har det för betydelse? vad är:
dV/dt = p - kA
r = h/5
V = Pi h3/75
dV/dt = (dV/dh)(dh/dt) = (Pi h2/25)(dh/dt) = p - ch2.
dh/dt = 0
p = ch2
Pelle Johansson

Svar:

dV/dt är ju derivatan av V med avseende på tiden t, dvs hastigheten med vilken volymen V ökar. Man kommer fram till att arean A är proportionell mot h2 och därför är kA också proportionell mot h2. Vi har alltså kA = ch2 för någon proportionalitetskonstant c.

Kjell Elfström


3 mars 2001 20.39.19
Jag undrar om det finns nån finurlig formel för att räkna ut hur många 10:or, 11:or samt 12:or man har fått på måltipset?
Patrik Sjöberg

Svar:

Nu är jag inte med riktigt. På måltipset tippar man väl de åtta målrikaste matcherna. Det är kanske stryktipset du menar. Om man i ett system med m halvgarderade och n helgarderade matcher får en rad med tretton rätt, hur många rader får man då med tolv, elva och tio rätt? För att få precis 13 - k rätt skall vi ha k matcher fel och det är bara de garderade matcherna som kan tippas fel. En helgarderad match kan tippas fel på två olika sätt, en halvgarderad bara på ett sätt. Väljer vi ut p halvgarderade och q helgarderade och kräver att alla dessa skall vara feltippade så har vi alltså 2q möjligheter. Vi kan välja ut p av de halvgarderade och q av de helgarderade matcherna på (mp)(nq) olika sätt, givetvis under förutsättning att p <= m och q <= n. Antalet rader med k fel är alltså

(mk)(n0)20 + (mk - 1)(n1)21 + (mk - 2)(n2)22 + ... + (m0)(nk)2k,

där vi använder konventionen att (ab) = 0 om b > a.

Kjell Elfström


3 mars 2001 16.00.53
Hej Kjell!
Jag undrar vad används Bernoullis tal och polynom till? Känner du till någon fiffig metod att bestämma dessa tal? Skulle du kunna med hjälp av sambandet av koefficienter och rötter bestämma värdet av zeta(2) dvs. pi^2/6
Marko

Svar:

Bernoullital och Bernoullipolynom används bl a i talteori, kombinatorik och i samband med finita differenser. Bernoullitalen Bm definieras rekursivt genom B0 = 1, (m + 1)Bm = -summak = 0m - 1 (m + 1k)Bk.

Låt a1,a2,...,an vara nollställena till polynomet 1 + c1x + c2x2 + ... + cnxn. Då är bk = 1/ak nollställena till polynomet zn + c1zn - 1 + c2zn - 2 + ... + cn. Det vanliga sambandet mellan rötter och koefficienter ger den modifierade varianten

1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an = -c1.

Låt nu p(x) vara potensserien

p(x) = 1 - x/3! + x2/5! - x3/7! + ...

Då är p(t2) = (sin t)/t. Nollställena till p(x) är alltså Pi2k2, k = 1,2,... Sambandet mellan rötter och koefficienter ger nu att

1/12 + 1/22 + 1/32 + ... = Pi2/6.

För att göra ett stringent bevis av detta gäller det att visa att sambandet mellan rötter och koefficienter gäller inte bara för polynom utan även för potensserier av ovan nämnt slag samt att övertyga sig om att inte funktionen sin har icke-reella nollställen.

Kjell Elfström


3 mars 2001 14.57.20
vi har en rektangel med arean 4dm2 Hur får vi fram den största volymen ?? Lock och botten skall ej medräknas
Putte

Svar:

Jag förstår inte. Man skall tydligen få någon låda från rektangeln. Hur?

Kjell Elfström


2 mars 2001 21.23.29
Hej.
Vad innebär det när man säger att något tal är modulo ett annat och kan du ge ett exempel. Jag försöker göra lite extra studier utöver vad jag behöver (går i 9:an) och kom till ett kapitel gällande aritmetik och algebra med geometri i en bok där detta förekomm nästan uteslutande.
Tack på förhand
Pierre

Svar:

När man säger att a = b (mod n) (likhetstecknet skall ha tre streck och utläses är kongruent med) menar man att heltalen a och b ger samma rest vid heltalsdivision med det positiva heltalet n. Då n = 1 är alla heltal konguenta så detta fall brukar man inte betrakta. Villkoret att talen ger samma rest är ekvivalent med att b - a är delbart med n. Addition och multiplikation kan utföras som om kongruenstecknet vore ett likhetstecken. Om a = b och c = d (mod n) (kongruenser, inte nödvändigtvis likheter) så är ac = bd och a + c = b + d (mod n) (fortfarande kongruenser).

Som en illustration kan jag visa att ett tal är delbart med 9 om och endast om dess siffersumma är delbar med 9. Eftersom 10 = 1 (mod 9) är 100 = 10·10 = 1·1 = 1 (mod 9) och allmänt 10k = 1k = 1 (mod 9). Om talet är a = am10m + am - 110m - 1 + ... + a110 + a0 är alltså

a = am + am - 1 + ... + a1 + a0 (mod 9).

Talet och dess siffersumma ger alltså alltså samma rest vid division med 9. Av detta följer det att om den ena är delbar med 9 så är också den andra det.

Kjell Elfström


2 mars 2001 21.12.32
Hejsan. Tack för en otroligt bra sida. Kul att det finns vissa sidor man kan lära sig något av i alla fall. Jag vet att detta troligen inte spelar någon roll, men eftersom jag hållt på mycket med det så skulle jag bara vilja lägga in en sak till diskussionen om skillnaden mellan två följande kvadrattal. Att se att skillnaden är ett annat kvadrattal är inte speciellt svår att se, eftersom man som du nämner, kan titta på de första "skillnaderna" 9, 16, 25 är alla kvadrattal och skillnader mellan två andra kvadrattal. Lättast att se det hela är med hjälp av formeln n^2=(2n-1)+(n-1)^2. Då se man direkt sambanden mellan kvadrattalen. Ur denna formeln kan man sedan härleda ett enkelt och primitivt sätt att räkna ut kvadrattalen. Genom att ta (2n-1) och räkna varje udda tal neråt, och sedan lägga på 4 i slutet så får man fram n^2. En liten och simpel fråga är förresten var 4:an kommer ifrån? Jag trodde mig kunna det ett tag, men dessa anteckningar är borta och jag har inget minne. Så det vore roligt att friska upp det. Jag förstår att detta är enkla saker och frågor för er bara genom att titta på det andra som finns skrivet här, men jag var bara tvungen att få skriva detta någonstans och ställa min fråga. Jag går fortfarande bara i högstadiet, och att där ha matte som hobby är inte direkt populärt. Så det är roligt att man kan sitta och "umgås" med folk som har samma intressen, och som man kan ställa frågor till. Tack än en gång för att jag fick slösa er tid
"Högstadieeleven"

Svar:

Av rekursionsformeln du anger får man att

n2 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1).

Jag kan inte se att någon fyra skall adderas på slutet. Är det månne 1 och 3 som klumpas ihop?

Kjell Elfström


2 mars 2001 17.22.19
Hej Kjell! Jag vill passa på och tacka för denna fantastiska sida, och ber hjälp än en gång. En kropp begränsas av sfären x^2+y^2+z^2=12 och paraboloiden 4z=x^2+y^2.Beräkna arean av denna kroppsbegränsningsyta(2 fall). Tack så mycket!
Tobias

Svar:

Vi bestämmer först skärningskurvan. Drar vi ekvationerna från varandra får vi z2 + 4z = 12. Lösningen är z = 2 eftersom z är positiv. Detta ger sedan att skärningskurvans projektion på xy-planet är x2 + y2 = 8. Låt D vara området i xy-planet som begränsas av denna cirkel. Arean av ett område som ges av en ekvation z = f(x,y), (x,y) tillhör D, är ∫∫D (1 + (fx')2 + fy')2)1/2 dxdy. Arean av paraboloiddelen är därför

∫∫D(1 + x2/4 + y2/4)1/2 dxdy = ∫02Pidt02sqrt(2) r(1 + r2/4)1/2 dr.

Arean av den övre sfäriska delen beräknas på liknande sätt. Summan av dessa areor är arean i det ena fallet. Den undre sfäriska delens area beräknar du som hela sfärens area minus den övre delens.

Kjell Elfström


2 mars 2001 17.13.00
Hej! Jag undrar om ni kan hjälpa mig med följande:
Låt C vara kurvan som består av kvartscirkeln x^2+y^2=4,x> eller lika med 0,y> eller lika med 0 från (2,0) till (0.2). Beräkna kurvintegralen
§x^2y dx+(y^3-xy^2) dy
på följande två sätt.
a) Med hjälp av parametrisering av kurvan.
b) Med hjälp av Greens formel på området D={(x,y):x^2+y^2< eller = med 4,x> eller = med 0; y> eller = med 0}
Tack för hjälpen
Rune

Svar:

En parametrisering är (x,y) = 2(cos t,sin t), 0 <= t <= Pi/2. Beräknad med hjälp av denna parametriseringe blir integralen

16 ∫0Pi/2 sin3t cos t dt - 32 ∫0Pi/2 cos2t sin2 t dt.

Den första integralen beräknas genom att man sätter u = sin t, du = cos t dt, den andra genom att man utnyttjar att integranden är (1/8)(1 - cos 4t).

Räknar man med Greens formel får man

∫∫D (-x2 - y2) dxdy,

där D är kvartscirkelskivan. Enligt radialformeln blir detta -2Pi. Detta är enligt Greens formel kurvintegralen längs randen av kvartscirkelskivan genomlöpt moturs. Man får förutom den sökta integralen med integralerna längs y-axeln från (0,2) till (0,0) och längs x-axeln från (0,0) till (2,0). Dessa skall alltså dras bort. Den senare är 0 och den förra är ∫20 y3 dy = -4. Den sökta integralen är alltså 4 - 2Pi.

Kjell Elfström


2 mars 2001 15.26.34
Jag vet ju att man kan bevisa att roten ur 2 är irrationellt, genom att sätta a/b=sqrt(2) och sedan visa att det leder till en motsägelse. Min fråga är nu om man kan bevisa att roten ur 4 är rationellt genom att sätta a/b=sqrt(4) och sedan fortsätta, om inte hur bevisar man det annars?
Johan

Svar:

När man bevisar att roten ur 2 är irrationellt visar man ju att det inte finns heltal a och b sådana att 21/2 = a/b. För att visa att roten ur 4 är rationellt skall man ju visa att det finns heltal a och b sådana att 41/2 = a/b. Eftersom man vet att 41/2 = 2 är det bara att sätta t ex a = 2 och b = 1.

Kjell Elfström


2 mars 2001 15.23.02
Är R,R^2,R^3,...,R^n alla vektorrum ? Och finns det andra vektorrum än dessa i såfall vilka?
Johan

Svar:

Definitionsmässigt är ett vektorrum över de reella talen en icke-tom mängd V tillsammans med en operation V×V->V som kallas vektoraddition och brukar betecknas med +, och en operation R×V->V som brukar kallas multiplikation med skalär och betecknas med multiplikationstecken ·. Dessa operationer skall uppfylla följande regler:

1) u + v = v + u,
2) u + (v + w) = (u + v) + w,
3) a(bu) = (ab)u,
4) 1·u = u,
5) det finns ett element 0 i V sådant att 0·u = 0 för alla u i V,
6) (a + b)u = au + bu,
7) a(u + v) = au + av

för alla reella tal a och b och för alla element u, v och w i V.

Kontrollera att additionen av element i Rn och multiplikation av sådana element med reella tal uppfyller dessa lagar. Det finns många andra exempel på vektorrum än Rn. Ett är Pn, rummet av polynom av grad högst n, där vektoradditionen definieras som vanlig polynomaddition och multiplikation med skalär också definieras på det naturliga sättet. I detta vektorrum utgör polynomen 1, x, x2, ... , xn en bas eftersom varje polynom p(x) i Pn på ett entydigt sätt kan skrivas som en lineärkombination

p(x) = a0·1 + a1x + a2x2 + ... + anxn.

Koordinaterna för p(x) är (a0,a1,a2,...,an) med avseende på denna bas. Denna bas kan förtjäna att kallas standardbasen i Pn på grund av sin enkelhet. Pn är (n + 1)-dimensionellt och kan, när man väl infört en bas, identifieras med Rn + 1. Alla vektorrum som har en bas med ändligt många element kan efter att man infört en bas identifieras med Rn, där n är dimensionen av vektorrummet, genom att varje vektor identifieras med sina koordinater med avseende på basen. Det finns också vektorrum som inte har ändliga baser, t ex rummet av alla polynom. Vanligt förekommande vektorrum är funktionsrum, t ex mängden av alla funktioner som är kontinuerliga på ett intervall. Summan av två sådana funktioner och skalärmultiplikation defineras på det naturliga sättet, dvs (f + g)(x) = f(x) + g(x) och (af)(x) = a(f(x)). Oändligtdimensionella vektorrum kan inte identifieras med Rn.

Kjell Elfström


2 mars 2001 15.20.18
Om vi börjar med att betrakta R^2. Min fråga är nu om man direkt kan införa basen f1=(1,1),f2=(1,3) utan att först ha infört standardbasen e1=(1,0),e2=(0,1)? Vektorerna f1 och f2 kan väl inte ha några koordinater då eller?
Johan

Svar:

Om vektorrummet V är R2 är ju (1,1) och (1,3) vektorer i V och det behövs ingen bas i vilken vektorernas komponenter är koordinater. I vektorrummet V av mängden av ekvivalensklasser av riktade sträckor i ett plan (som ju brukar representeras av riktade pilar) har inte vektorerna några inbyggda komponenter. Här är det meningslöst att tala om (1,1) och (1,3) om man inte först har en bas. Att i detta senare fall införa (1,0) och (0,1) som bas är lika meningslöst. Det krävs något mera påtagligt som t ex att den första basvektorn är en vektor av längden 1 som pekar österut och att den andra har längden ett och pekar norrut.

Kjell Elfström


2 mars 2001 15.01.53
Jag har ett tekniskt problem som jag behöver hjälp med att lösa. Jag har ett diagram där X-axeln är frekvensen i log-skala och Y-axeln är Amplitud i linjär skala. Problemet är att jag behöver ha reda på värdet av Y som funktion av X i ett intervall mellan 2 kända koordinater (x,y) Pga log-skalan antar jag att det inte går att använda räta linjens ekvation. Hur gör jag ?
Anders

Svar:

Logaritmerna av x-värdena ligger på en lineär skala. Vid x-axeln är kanske talen 1, 10, 100, 1000 utsatta. 10-logaritmerna 0, 1, 2, 3 av dessa ligger då på en lineär skala. Förutsatt att grafen till kurvan är en rät linje gäller att f(x) = k lg x + m. Det gäller att k = (f(y) - f(x))/(lg y - lg x) och när nu k är känd får du m som skillnaden mellan f(x) och k lg x.

Kjell Elfström


2 mars 2001 14.36.53
Hejsan!
Jag hoppas ni kan hjälpa mig med följande. I Z2[x] finns fyra polynom av grad 2. Beskriv kvotringarna Z2[x]/(p(x)) för alla dessa. Är några isomorfa?
Hälsningar
Lisa

Svar:

Polynomen är x2, x2 + 1, x2 + x och x2 + x + 1. I samtliga fall kan vi enligt divisionsalgoritmen välja 0, 1, a = x och b = x + 1 som representanter för restklasserna.

För att beskriva kvotringarna behöver vi känna till additionstabellen och multiplikationstabellen. Att utreda vad summorna och produkterna är vid multiplikation med 0 och 1 är trivialt. Räknar vi modulo x2 finner vi att a2 = 0, ab = a och b2 = 1. Modulo x2 + 1 får vi a2 = 1, ab = b, b2 = 0. Modulo x2 + x får vi a2 = a, ab = 0 och b2 = b. Slutligen får vi, när vi räknar modulo x2 + x + 1, att a2 = b, ab = 1 och b2 = a.

x -> x + 1 är en isomorfi mellan de båda första kvotringarna. Den näst sista kvotringen har nolldelare men inga nilpotenta element, den sista är en kropp, vilket vi visste från början eftersom x2 + x + 1 är ett primpolynom.

Kjell Elfström


2 mars 2001 14.35.23
Hej! Hoppas kunna få hjälp med följande.Låt R vara en kommutativ ring med etta och låt N vara mängden av alla nilpotenta element i R , dvs N={a tillhör R:a^n=0 för något n tillhörZ, n>0}
Visa att N är en delring.
Visa att N är ett ideal.
Hälsningar
Peter

Svar:

Vanligen brukar man kräva att 1 tillhör en delring och i så fall är N bara en delring om 1 = 0 och sådana ringar är ju inte särskilt intressanta. Vi visar att N är ett ideal. Antag att a tillhör N och r tillhör R. Då är an = 0 för något positivt heltal n. Men då är också (ra)n = rnan = 0, vilket visar att ra tillhör N. Antag nu att a och b tillhör N. Då är am = 0 och bn = 0. Då är (a + b)m + n = 0 enligt binomialsatsen eftersom am + n - kbk = 0 såväl då n <= k <= m + n som då 0 <= k < n.

Kjell Elfström


2 mars 2001 14.33.59
Låt R vara en kommutativ ring. Givet två element a,b tillhör r, definiera ({a,b})={ra+sb:r,s tillhörR} Visa att ({a,b}) är ett ideal i r. Låt I vara mängden av alla polynom i Z[x] som har en konstant term som är jämn. Visa att I=({a,b}) för några a,b tillhör Z[x]. Hälsningar
Karin

Svar:

I är ett ideal om a + b och ta tillhör I för alla a och b i I och t i R. Eftersom (r1a + s1b) + (r2a + s2b) = (r1 + r2)a + (s1 + s2)b och t(ra + sb) = (tr)a + (ts)b så är ({a,b}) ett ideal. Detta ideal kallas idealet som genereras av a och b. Idealet av polynom med jämn konstant term genereras av 2 och x.

Kjell Elfström


2 mars 2001 14.19.41
Hej!
Jag har ett problem som jag hoppas kunna få hjälp med. Betrakta Z[(6^½]={a+(b*(6^½)):a,b tillhörZ}. Låt N:Z[6^½]pilZ, där N(a+6^½*b)=absolutbeloppet(a^2-6b^2) Kontrollera att N(alfa,beta)=N(alfa)N(beta), för alla alfa,beta som tillhörZ[6^½] Visa att N(alfa)=1 för alfa som tillhör Z[6^½] omm alfa är en enhet i Z[6^½]. Visa att om n(alfa)=p, där p är ett primtal, alfa tillhör Z[6^½] så är alfa irreducibelt i Z[6^½]
Hälsningar
Emma

Svar:

För att visa att N(zw) = N(z)N(w) behöver du bara ansätta z = a + 61/2b, w = c + 61/2d, och visa att vänsterledet och högerledet är lika. Antag att z är en enhet så att det finns ett element w i Z[61/2], sådant att zw = 1. Då är N(z)N(w) = N(zw) = N(1) = 1. Eftersom N(z) och N(w) är naturliga tal måste båda vara 1. N(a + 61/2b) = |(a + 61/2b)(a - 61/2b)| visar att omvändningen också gäller. Om N(z) = p, där p är ett primtal och om z = vw så är N(v)N(w) = p. Eftersom p är irreducibelt i Z är N(v) = 1 eller N(w) = 1, vilket visar att v eller w är en enhet i Z[61/2]. Detta visar att z är irreducibelt i Z[61/2].

Kjell Elfström


2 mars 2001 14.06.16
Hej!
Jag hoppas kunna få hjälp med följande problem.Låt p vara ett primtal. Visa att polynomet x^p+a i Zp[x] är reducibelt för varje a som tillhör Zp. Hälsningar
Therese

Svar:

Om p är udda är x = -a ett nollställe enligt Fermats lilla sats. Även då p = 2 är x = -a = a ett nollställe, både då a = 0 och då a = 1.

Kjell Elfström


2 mars 2001 11.45.00
Vad är Covarians för någon? används till?
Daniel Svensson

Svar:

Statistik är inte mitt område men jag kan ge dig definitionen. Kovariansen sigmaXY av två stokastiska variabler X och Y är väntevärdet av (X - E[X])(Y - E[Y]). Om X och Y är oberoende är kovariansen 0.

Kjell Elfström


2 mars 2001 11.44.12
Vad är moment inom statistiken?
Karl O

Svar:

Det k:e momentet kring a av en stokastisk variabel X definieras som väntevärdet E[(X - a)k]. Om a = E[X] så är det första och andra momentet 0 resp. variansen av X.

Kjell Elfström


2 mars 2001 01.24.30
Hej,
antag att en stads folkmängd 1970 är 35 miljoner. Den fördubblas på 15 år.
a) Beskriv folkmängdens tillväxt med en formel.
b) Vid vilket år uppgår folkmängden till 46 miljoner?
Anders

Svar:

Det verkar som om folkmängden alltid fördubblas under en 15-årsperiod oberoende av när perioden börjar. Då måste funktionen f(t), som anger antalet miljoner människor år t, vara proportionell mot en exponentialfunktion, dvs f(t) = f(0)at. Om vi låter 1970 motsvara t = 0 så är f(0) = 35. f(15) = 2f(0) ger att a15 = 2 så a = 21/15. Vi får f(t) = 35·2t/15 = 35e t(ln 2)/15.

Ekvationen f(t) = 35e t(ln 2)/15 = 46 är ekvivalent med et(ln 2)/15 = 46/35. Vi får alltså t(ln 2)/15 = ln(46/35), vilket ger att t är ungefär 5,9. Året är alltså 1976.

Kjell Elfström


1 mars 2001 22.06.39
Vad innebär det att ett axiom i ett motsägelsefritt system inte är oberoende av resten av axiomen? Som jag fattat det så är axiomet A oberoende av det motsägelsefria axiomsystemet B om dels (B + A) utgör ett motsägelsefritt axiomsystem samt (B + C) utgör ett motsägelsefritt axiomsystem, där C är något axiom som motsäger A.
Antag nu att vi har ett axiom D i B som inte är oberoende av (B - D). Då kan vi alltså inte hitta något axiom som både motsäger D och kan bilda ett motsägelsefritt system tillsammans med (B - D). Speciellt vet vi att om vi antar ~D (~ = negation) så kan vi härleda någon motsägelse tillsammans med (B - D) ty annars vore (B - D + ~D) motsägelsefritt. Är inte detta ett absurdum-bevis för D med (B - D) som axiom? I sådana fall bör vi väl enligt "enklast möjliga"-principen plocka bort D ur B.
Alltså, alla axiom som inte är oberoende av det övriga systemet är satser. Borde man inte då enligt principen ovan plocka bort begreppet "oberoende" då det endast gäller för alla axiom i ett motsägelsefritt system som inte följer ur de övriga axiomen i systemet?
tack på förhand, ni är bäst
dav

Svar:

Ett axiom s är oberoende av axiomsystemet S om det finns en modell som gör s och alla axiom i S sanna och en annan modell som gör ~s och axiomen i S sanna. Att s är beroende av S innebär alltså att det antingen är så att s är sann i alla modeller för S eller så att ~s är sann i alla modeller för S. Om systemet inte är fullständigt är detta inte det samma som att säga att antingen s eller ~s kan härledas från S. Begreppet oberoende har nog sitt berättigande. Den ovan angivna minimalistiska principen gäller axiomsystem, inte definitioner.

Kjell Elfström


1 mars 2001 21.19.20
Hur deriverar man abs(x(t), y(t), z(t)) m.a.p. t?
Bror

Svar:

Om

u = |(x(t),y(t),z(t))| = (v(t))1/2, där v(t) = (x(t))2 + (y(t))2 + (z(t))2

så är enligt kedjeregeln

du/dt = (du/dv)(dv/dt) = (1/2)v-1/2(dv/dt).

Kedjeregeln använd på var och en av de tre termerna i uttrycket för v ger att

dv/dt = 2x(t)x'(t) + 2y(t)y'(t) + 2z(t)z'(t),

varför

du/dt = (x(t)x'(t) + y(t)y'(t) + z(t)z'(t))/|(x(t),y(t),z(t))|.

Kjell Elfström


1 mars 2001 21.00.35
hur bestämer jag alla reella tal x,y sådana att
(3-i)x^2-(3+2i)x-(1-i)y=13-10i
guran

Svar:

För komplexa tal z och w gäller att z = w om och endast om Re z = Re w och Im z = Im w. Eftersom x och y är reella är Re VL = 3x2 - 3x - y, Re HL = 13, Im VL = -x2 - 2x + y och Im HL = -10. Ekvationen är alltså ekvivalent med ekvationssystemet

3x2 - 3x - y = 13
-x2 - 2x + y = -10

Addera ekvationerna så blir du av med y och får en andragradsekvation i x. Lös denna och sätt sedan in lösningarna i någon av ekvationerna i systemet för att bestämma y.

Kjell Elfström


1 mars 2001 15.30.27
Hej!
Jag skulle gärna vilja ha hjälp med denna uppgift i topologi:
Visa att om X och Y är topologiska rum och X är kompakt, så avbildar projektionen p:X x Y -> Y, p(x,y)=y slutna mängder på slutna mängder, dvs p är en sluten avbildning.
Tack på förhand!
Erik G

Svar:

De öppna mängderna i X×Y är alla unioner av mängder på formen S×T, där S och T är öppna mängder i X resp. Y. Antag att U är en sluten mängd i X×Y. Då är U ' öppen, där U ' betecknar komplementet av U. Vi visar att (p(U))' är öppen. Om y är ett element i (p(U))' så tillhör (x,y) U ' för alla x i X. Eftersom U ' är öppen finns till varje x en omgivning Ux = Sx×Tx av (x,y) som är innehållen i U '. Eftersom X är unionen av mängderna Sx och X är kompakt är X unionen av ändligt många, Sx 1,Sx 2,...,Sx n, av mängderna. Låt T vara snittet att de ändligt många mängderna Tx 1,Tx 2,...,Tx n. Då är T öppen i Y och y tillhör T. Det återstår att visa att T är innehållen i (p(U))'. Om z tillhör T och x är ett element i X så tillhör z alla mängderna Tx 1,Tx 2,...,Tx n och x någon mängd Sx k. (x,z) tillhör därför Ux k = Sx k×Tx koch därmed U ' för alla x i X och därför ligger inte z i p(U).

Kjell Elfström


1 mars 2001 11.51.16
vad är talteori
Linda Jansson

Svar:

Talteori är läran om heltalen. Begrepp som hör dit är t ex delbarhet, primtal, diofantiska ekvationer och kedjebråk. En elementär sats som handlar om primtal är aritmetikens fundamentalsats som säger att varje heltal större än eller lika med 2 kan skrivas som en produkt av primtal på precis ett sätt om man bortser från faktorernas ordning. Ett exempel på diofantisk ekvation är ax + by = c. a, b och c är givna heltal och det gäller att finna de par x och y av heltal som löser ekvationen. En välkänd diofantisk ekvation är xn + yn = zn, där n är ett heltal. Pierre de Fermat skrev omkring år 1630 i en marginalanteckning i en bok att han hade ett bevis för att denna ekvation saknar positiva heltalslösningar om n > 2. Denna förmodan kom att kallas Fermats stora sats och det var inte förrän 1994 som Andrew Wiles bevisade den. Goldbachs förmodan, som säger att varje jämnt heltal större än 2 kan skrivas som en summa av två primtal, är ännu inte bevisad. Typiskt för talteoretiska resultat är att de är ganska lätta att förstå, även för den oinvigde, men väldigt svåra att bevisa.

Kjell Elfström


28 februari 2001 21.23.27
Hej Fråga Lund!
Jag undrar lite om det s.k Sylvesters Kriterie som finns innom flervariabelanalysen. Vår föreläsare har pratat om det, men det står ingenting om det i vår kurslitteratir och jag undrar ifall ni vet var man kan hitta information om hur det fungerar alt. om ni skriver vad det är och hur det används.
Anders Gustafsson

Svar:

Låt A vara en n×n-matris och antag att man vill lösa ekvationssystemet Ax = y med Gausselimination. Systemet har en entydig lösning om det(A) <> 0 så då kan man genom elimination erhålla ett ekvivalent system Rx' = y', där R är en högertriangulär matris sådan att elementen på huvuddiagonalen är skilda från noll och x' en vektor som fås genom att permutera komponenterna i x. Detta är ekvivalent med att det(R) <> 0. Att permutera elementen i x svarar mot att byta plats på kolonner i ekvationssystemet. Vid direkt Gausselimination får man inte byta plats på kolonnet utan börjar man med att dra multipler av den första raden från de övriga för att åstadkomma nollor i den första kolonnen i raderna under den första. Sätter vi A(1) = A inser vi att detta bara kan göras om a(1)11 <> 0. Man får då en ny matris A(2). Därefter använder man a(2)22 som pivotelement och eliminerar nedåt varefter man får en ny matris A(3) osv. Slutligen, om alla pivotelementen a(k)kk, k = 1,2,...,n - 1 är skilda från noll får man en högertriangulär matris R vars diagonalelement är skilda från noll. Beteckna nu med Ak den k×k-matris man får från en n×n-matris A genom att stryka alla rader och kolonner med större index än k. Eftersom determinanten inte ändras om man adderar en multipel av en rad till en annan är det(Ak) = det(Rk) <> 0, k = 1,2,...,n. Om direkt Gausselimination är möjlig måste alltså alla determinanterna det(Ak) vara skilda från noll. Man inser att detta också är ett tillräckligt villkor. Detta konstaterande kallas Sylvesters kriterium.

Kjell Elfström


28 februari 2001 16.57.29
hej kjell!
jag tackar för att du besvarade min fråga angående volymen av klot i n-dimensionellt rum. du tipsade om kompendiet Böiers, Claesson: Analys för funktioner av flera variabler Jag undrar bara hur jag kan få tag på detta. ska jag vända mig till matteinstitutionen (LU eller LTH) och ungefär hur mycket kostar det. Tack för ett mycket bra svar på min fråga, jag blev mycket nöjd.
F-00

Svar:

Kompendiet behandlar differential- och integralkalkyl för funktioner av flera variabler ingående. Huvuddelen av exemplen på integralkalkyl handlar om dubbel- och tripelintegraler. Det finns några exempel på integraler i fler dimensioner, bl a det som behandlar volymen av det n-dimensionella klotet. Kompendiet kostar 125 kronor och frakt tillkommer. Kontakta Royny Retzlaff, Royny.Retzlaff@math.lu.se, och uppge ditt ärende, så skickar hon kompendiet mot faktura.

Kjell Elfström


28 februari 2001 15.14.39
Hur tar man reda på om ett kraftfält är konservativt m.h.a. potentialer?
Malin

Svar:

Definitionsmässigt är kraftfältet u konservativt i ett område om ∫C w, där w = u1dx1 + u2dx2, bara beror på ändpunkterna till kurvan C för varje kurva i området. Detta är ekvivalent med att differentialformen w är exakt. Om området är enkelt sammanhängande och u1, u2 är kontinuerligt deriverbara där så är w exakt om och endast om w är sluten, dvs ð1u2 = ð2u1 i området, och detta är ju ett användbart kriterium.

Kjell Elfström


28 februari 2001 04.29.55
Hur beräknar jag tröghetsmomentet för ett massivt klot med massan M och radien R kring en diameter, utan att använda dubbel- eller trippelintegraler?
Stephan Forkelid

Svar:

Vi antar att densiteten är konstant 3M/(4PiR3) och kan räkna på fallet att densiteten är 1 och multiplicera med aktuell densitet på slutet. Dela upp klotet i cylindriska skal med rotationsaxeln som axel, alla med tjockleken dr. Ett skal med avståndet r till axeln har höjden 2(R2 - r2)1/2 och omkretsen 2Pi r. Dess volym (och massa) är därför (ungefär) 4Pi r(R2 - r2)1/2dr. Tröghetsmomentet fås nu genom att multiplicera varje skalmassa med kvadraten på skalets avstånd till axeln, summera alla bidragen och låta dr gå mot noll. Gränsvärdet blir

4Pi0R r3(R2 - r2)1/2dr.

En liknande integral beräknades den 27 februari 2001 00.36.30. Glöm nu inte att multiplicera med densiteten på slutet.

Kjell Elfström


28 februari 2001 01.37.49
Hej Kjell! Jag undrar vad volymen V(n) är av en n-dimensionell boll ("sfär") av radien 1. En mattelärare gav mig nöten, men jag har inte ännu lyckats knäcka den. Jag har inga ideér hur jag skall bemästra detta problem emedan man saknar geometrisk åskådning.
En följdfråga till denna fråga är uppenbart för vilket n funktionen V(n) har max respektive min.
Kan man vidare beräkna V(n) för en kub i n-dimensioner och vilken given kropp som helst?
Skulle vara mycket tacksam för svar samt hänvisning till litteratur eller dylikt som behandlar liknande frågor.
F-00

Svar:

För att beräkna volymen av det n-dimensionella klotet använder man satsen om upprepad integration. Låt Bn vara enhetsklotet i n dimensioner och skriv punkterna i Rn + 2 som (x,y,z), där x tillhör Rn och y och z är reella tal. Definiera Bn + 2(x) som

{(y,z) i R2 ; (x,y,z) tillhör Bn + 2} = {(y,z) i R2 ;  y2 + z2 <= 1 - |x|2}.

Volymen av B = Bn är definitionsmässigt V(n) = ∫B 1 dx. Låt B = Bn och B'' = Bn + 2. Satsen om upprepad integration ger att

V(n + 2) = ∫∫∫ B'' 1 dxdydz = ∫B (∫∫B''(x) 1 dydz) dx = ∫B Pi(1 - |x|2)dx.

Använder vi nu radialformeln i n dimensioner får vi

V(n + 2) = Pi nV(n)∫01 (1 - r2)rn - 1dr = Pi n V(n)(1/n - 1/(n + 2)) = (2/(n + 2))Pi V(n).

Eftersom V(1) = 2 och V(2) = Pi får man ur denna rekursionsformel att

V(n) = Pip/p! om n = 2p  och  V(n) = 2(2Pi)p/(2p + 1)!! om n = 2p + 1.

Volymen av en kub med sidan d är dn. Detta följer direkt av definitionen av volymen som integralen av 1 över kuben. Man kan i princip beräkna volymen av vilket område som helst som har en integrerbar karakteristisk funktion. Den karakteristiska funktionen är 1 i området och 0 utanför.

Saker som dessa behandlas ofta i böcker om flervariabelanalys eller integrationsteori, t ex i kompendiet Böiers, Claesson: Analys för funktioner av flera variabler som vi fortfarande har några exemplar av.

Kjell Elfström


27 februari 2001 22.56.08
god morgon!
Jag har ett kraftfält; tjockt F=(P(x,y),Q(x,y)) och skall beräkna arbetet den uträttar längs någon kurva C. Frågan är nu kan jag omvandla denna till exakt differentialform, dvs integralC(f(x,y)dx + g(x,y)dy)? Jag vill göra detta för att kunna använda Green's formel (som omvandlar integralen till en dubbelintegral), eller går det att använda den direkt på kraftfältet?
olle

Svar:

Arbetet är ∫C P dx + Q dy. Om differentialformen som integreras är exakt beror naturligtvis på funktionerna P och Q. I fysiken är kraftfälten ofta konservativa och då är differentialformen exakt. Är kurvan sluten blir i så fall arbetet 0. Annars kan du försöka finna en potentialfunktion F, dvs bestämma F så att differentialformen kan skrivas dF, och beräkna integralen som F(x1,y1) - F(x0,y0).

Kjell Elfström


27 februari 2001 19.50.08
Hej!
Vi har en uppgift i linjär algebra som vi inte vet hur vi ska göra med. Nummer skrivna inom [] är index.
Den linjära avbildningen F: R^3 -> R^3 ges i basen e av sambandet
F(x[1], x[2], x[3]) = (x[1] + x[2] - 2x[3], 2x[1] - 2x[3], -2x[1] + 2x[2] + x[3]).
Bestäm F:s matris i basen (e[1] + e[2], 2e[1] + 2e[2] + e[3], e[1] + e[3]).
Vi skulle gärna vilja veta hur vi ska lösa uppgiften, alltså själva strategin för att lösa sådana här uppgifter, dvs vilka steg och i vilken följd ska vi göra dem.
Tack på förhand!
Fredrik

Svar:

Om u har koordinaterna x och v = F(u) koordinaterna y så ges sambandet mellan y och x av y = Ax, där A är matrisen

1 1 -2
2 0 -2
-2 2 1

Sambandet mellan basvektorerna är f = T te där T t är matrisen

1 1 0
2 2 1
1 0 1

Jag skriver matrisen som en transponerad matris för att slippa transponat i fortsättningen. Om x är koordinaterna för en vektor med avseende på basen e och x' koordinaterna för samma vektor med avseende på basen f bör det vara bekant att sambandet mellan koordinaterna ges av x = Tx'. Sätter vi in detta i sambandet y = Ax får vi Ty' = ATx'. Multiplicerar vi med T -1 från vänster får vi y' = T -1ATx'. Matrisen i basen f är alltså T -1AT. T är alltså transponatet av matrisen för basbytet. Beräkna dess invers och multiplicera ihop de tre matriserna T -1, A och T.

Kjell Elfström


27 februari 2001 19.22.48
Jag undrar över svaret på denna fråga:
>>28 januari 1997 16.01.14
>>Under en av tre koppar ligger en skatt, du väljer en av de tre
>>kopparna. Jag vet var den inte ligger och tar bort en tom kopp, en
>>av de andra två. Hur stor chans är det att du har valt rätt kopp?
>>Tack på förhand
>>Per Andersson
>>Svar:
>>1/3. Oavsett hur jag väljer tar du ju bort en tom kopp. Får jag
>>välja en gång till bör jag alltså välja den andra kvarvarande
>>koppen. Sannolikheten är då 2/3 att jag får skatten.
>>Kjell Elfström
Hur kan sannolikheten bli 2/3 om man väljer en gång till. Eftersom det finns två koppar och endast den ena innehåller skatten borde väl sannorlikheten vara 1/2 oavsett hur jag väljer, rätta mig om jag har fel.
Stefan Karlsson

Svar:

Du har fel. Genom att byta kopp efter att en tom plockats bort får jag ju skatten om jag valde fel första gången och sannolikheten för detta är 2/3. Det är ju inte slumpen som avgör vilken kopp som plockas bort. Om någon av de två kopparna som inte valdes innehåller skatten kommer ju skatten att ligga under den som är kvar av dessa båda efter bortplockandet.

Kjell Elfström


27 februari 2001 19.16.45
Hej Jag behöver er hjälp med följande: Beräkna trippel integralen
§§§ ____z________ dxdydz
    1+x^2+y^2+z^2
där D= {(x,y,z):x^2+y^2+z^2<= 1, z>=0} Tack för hjälpen
Rune

Svar:

Inför rymdpolära koordinater, x = r sin u cos v, y = r sin u sin v, z = r cos u. r varierar mellan 0 och 1, u mellan 0 och Pi/2 och v mellan 0 och 2Pi. Funktionaldeterminanten är r2sin u. Integralen blir

02Pidv0Pi/2sin u cos u du01r3dr/(1 + r2).

Tack för att du visade på denna användning av paragraftecknet.

Kjell Elfström


27 februari 2001 17.20.50
Hur visar man med matematisk induktion att 7 delar 6^(2n+1)+8^(2n) då n=0,1,2,3...
Tack på förhand

Svar:

Jag förstår inte varför man skall göra det med induktion, men låt gå. Då n = 0 skall man visa att 7|7 vilket är fallet. Antag att påståendet är sant för ett visst värde på n. Då är

62n + 3 + 82n + 2 = 8282n + 6262n + 1 = 8282n + 82·62n + 1 - 82·62n + 1 + 6262n + 1
= 82(82n + 62n + 1) - 28·62n + 1.

Här är båda termerna delbara med 7, den första enligt induktionsantagandet och den andra eftersom 7|28.

Kjell Elfström


27 februari 2001 17.07.53
Hej !! Ursäkta en jättesimpel fråga... Hur ser partikulärlösningen till
y´´-y´-6y=e^-2x
ut ?? och hur kommer jag fram till den ? Jag får 0=e-2^x...Tack !!
Iso

Svar:

Jag antar att du bara har problem med att finna en partikulärlösning. När högerledet är på formen ekx fungerar ofta ansatsen y = Aekx, dvs det finns ofta en lösning på den formen. Det gör det dock inte i detta fall och det såg du ju eftersom du kom fram till en motsägelse. Om k är en rot till den karakteristiska ekvationen finns ingen sådan lösning. En ansats som alltid ger resultat är y = zekx, där z är en funktion och inte nödvändigtvis en konstant. I detta fall är k = -2 och deriverar man får man att y' = (z' - 2z)e-2x och y'' = (z'' - 4z' + 4z)e-2x. Sätter man in detta i ekvationen får man efter att ha förenklat och dividerat bort e-2x den nya differentialekvationen

z'' - 5z' = 1.

Här kan du göra ansatsen z = Ax och hitta en partikulärlösning z0. y0 = z0e-2x blir sedan en partikulärlösning till den ursprungliga ekvationen.

Kjell Elfström


27 februari 2001 15.14.18
Vi antar att g(x) är en funktion, g^(n)(x) är n:e derivatan av funktionen(n = reell). vi antar följande funktioner:
f(n) = g^(x)(k)
där k = konstant
h(n,x) = g^(n)(x)
Finns dessa typer av funktioner(f(x) & h(x)) definierade som en viss funktiontyp?
tack på förhand
Joakim Munkhammar

Svar:

Jag förstår inte frågan. Om du menar om denna typ av funktioner har något särskilt namn så tror jag inte det.

Kjell Elfström


27 februari 2001 14.31.35
Hej!
Jag letar efter statistiska "tankenötter". Som exempel kan nämnas 'Tre luckor och en skatt' som du tidigare behandlat här. Vet du var jag kan hitta liknande problem (hemsida, böcker eller om du själv kan några)?
Tack på förhand!
Annika

Svar:

Jag sökte på Internet efter probability+puzzles och fann några sidor, t ex Probability.

Kjell Elfström


27 februari 2001 14.08.36
Vad menas med Q.E.D som står i slutet av bevis? Jag antar att det är latin för V.S.B, men vad är det uttskrivet?
Daniel

Svar:

Det är mycket riktigt latin och står för quod erat demonstrandum, vilket skulle bevisas.

Kjell Elfström


27 februari 2001 13.00.58
Antag att vi i R^2 inför standardbasen e1=(1,0),e2=(0,1) och sedan inför basvektorerna f1=(1,1),f2=(1,3) (om dessa är angivna som koordinater med avseende på (e1,e2) eller komponenter är jag osäker på för att uppgiften skall gå att lösa?). Hur räknar man då ut koordinaterna för vektorn u=(4,5) (den har komponenterna 4,5) dels med avseende på standardbasen (e1,e2) och dels med avseende på basen (f1,f2)? Tacksam för svar.
Johan

Svar:

För att vara riktigt tydlig skriver jag element i R2 som (x1,x2) med runda parenteser och koordinater för element i R2 med avseende på någon bas som [y1,y2] med hakparenteser. Vi har alltså att e1 = (1,0) och e2 = (0,1) medan f1 = (1,1) och f2 = (1,3). Eftersom u = (4,5) = 4e1 + 5e2 så är koordinaterna för u med avseende på basen e1,e2 [4,5]. För att bestämma koordinaterna [x1,x2] för u med avseende på basen f1,f2 skall vi lösa ekvationssystemet

(4,5) = u = x1 f1 + x2 f2 = x1(1,1) + x2(1,3) = (x1 + x2, x1 + 3x2),

dvs

x1 + x2 = 4
x1 + 3x2 = 5

och lösningen till detta är x1 = 7/2, x2 = 1/2. Koordinaterna för u med avseende på f1,f2 är alltså [7/2,1/2]. Jag har överdrivit betydelsen av att skilja på koordinater och komponenter här. Räkningarna skulle ha blivit likadana om det i stället var koordinaterna för u, e1, e2, f1, f2 som var givna med avseende på någon tredje bas.

Kjell Elfström


27 februari 2001 00.36.30
Hej!
Jag undrar hur man beräknar arean under kurvan y^2=x^4*(1-x^2). Integrationsgränserna är uppenbarligen +/-1 och funktionen är jämn, men sen? Har en svag känning att det har något med absolutbelopp att göra, kan detta stämma?
Daniel

Svar:

Kurvan begränsar ett område som är symmetriskt såväl med avseende på x-axeln som på y-axeln. Den delen av området som befinner sig i den första kvadranten begränsas av kurvan

y = f(x) = (x4(1 - x2))1/2 = x2(1 - x2)1/2

och axlarna. Den sökta arean är alltså fyra gånger arean av det senare området, dvs 4 int01 f(xdx. För att beräkna denna integral kan man sätta x = sin t. Då är dx = cos t dt så integralen övergår i 4 int0Pi/2 sin2t cos2t dt. Denna är lätt att beräkna om man noterar att

sin2t cos2t = (sin t cos t)2 = (1/4)sin22t = (1/8)(1 - cos 4t).

Kjell Elfström


26 februari 2001 23.01.48
Hej Kjell!
Hur kan man visa att det alltid finns två kvadratiska rester av p (om p är större än eller lika med 7 och är ett primtal).
Elisabeth

Svar:

Detta påstående kan jag till och med bevisa för alla primtal p som är större än eller lika med 5. Vi tänker på heltalen 1,2,...,p - 1 som element i Zp. Om x2 = y2 så är (x - y)(x + y) = 0 och eftersom Zp är en kropp så måste x = ±y. Om p > 2 så är x och -x olika. Detta visar att det finns precis (p - 1)/2 kvadratiska rester (och därför lika många icke kvadratiska rester). Om p >= 5 så är (p - 1)/2 >= 2 och detta bevisar påståendet.

Kjell Elfström


26 februari 2001 22.58.30
Jag har stött på två frågor om primitiva rötter som gäckar mig. Hoppas att du kan hjälpa mig.
Fråga 1)
Vilken är den minsta positiva resten av produkten av mängden {phi}(p-1) inkongruenta rötter modulo ett primtal p? ({phi} är Eulers phi-funktion.)
Fråga 2)
Vilket är det minsta udda primtalet p som har en rot r, vilken inte är en primitiv rot modulo p^2?
Michael

Svar:

1) Om p = 2 är 1 den enda primitiva roten. Om p = 3 är 2 den enda primitiva roten. Antag att primtalet p är större än 3. Det är lätt att se att om r är en primitiv rot så är också r -1 en primitiv rot. (Vi tänker på r och r -1 som element i Zp). Vidare är r <> r -1, ty annars vore ju r 2 = 1, vilket strider emot att r är en primitiv rot. Produkten av alla primitiva rötter kan alltså skrivas r1r1-1r2r2-1...rnrn-1 = 1, där n = fi(p - 1)/2.

2) För att svara på denna fråga tror jag att det krävs en del ansträngning. Om r är en primitiv rot modulo p är dess ordning modulo p2 antingen p - 1 eller p(p - 1). Att den inte är en primitiv rot modulo p2 är alltså ekvivalent med att r p - 1 = 1 (mod p2). Om p är ett udda primtal så är r p - 1 = (r (p - 1)/2 - 1)(r (p - 1)/2 + 1). Låt nu r vara en primitiv rot modulo p. Då är inte den första faktorn delbar med p. Om r inte är en primitiv rot modulo p2 måste alltså den andra faktorn vara delbar med p2. (Detta är bara ett nödvändigt villkor, inte ett tillräckligt.) Jag hittade ingen annan metod än att pröva mig fram och kom fram till att det minsta udda primtalet var p = 29. Motsvarande värde på r är 14.

Kjell Elfström


26 februari 2001 18.54.19
Hej!
Finns det något sätt att räkna ut hur många udda tal det finns mellan 0 och n+1 om när ett positivt heltal? Tack på förhand, Sandvikaren.

Svar:

Jag vet inte exakt vad du menar med mellan. Låt oss beräkna hur många udda tal det finns bland talen 1,2,3,...,n. Om n är jämnt är det väl klart att det finns lika många jämna som udda, alltså n/2 udda tal. Om n är udda finns det (n + 1)/2 udda tal bland talen 1,2,3,...,n,n + 1 och lika många bland de n första eftersom det sista är jämnt. Detta kan sammanfattas som att heltalsdivisionen (n + 1)/2 ger antalet udda tal oavsett om n är jämnt eller udda. Om du med mellan inkluderar något av talen 0 och n + 1 kan du nu säkert modifiera resonemanget själv till att gälla den situationen.

Kjell Elfström


26 februari 2001 15.21.53
Är det korrekt att standardbasen i R^2 definieras som en linjärkombination av sig själv (jag syftar på att e1,e2 förekommer i både vänster och högerledet) enligt:
e1 = 1*e1 + 0*e2 = (1,0)
e2 = 0*e1 + 1*e2 = (0,1)
Johan

Svar:

Jag skulle inte i ord uttrycka det så men det är riktigt att e1 och e2 har koordinaterna (1,0) resp. (0,1) med avseende på basen e1,e2 oavsett om det är standardbasen eller någon annan bas.

Kjell Elfström


26 februari 2001 14.39.36
Hur löser man ekvationen
sinus x + cosinus x = 1
MVH
Daniel

Svar:

Om a2 + b2 = 1 så är (a,b) en punkt på enhetscirkeln. Det finns alltså en vinkel v sådan att a = cos v och b = sin v. Detta ger att

a sin x + b cos x = cos v sin x + sin v cos x = sin(x + v).

I vänsterledet i ekvationen i frågan är inte a2 + b2 = 1. Vi börjar därför med att dividera ekvationen med (a2 + b2)1/2 = (1 + 1)1/2 = 21/2 och får

2-1/2sin x + 2-1/2cos x = 2-1/2.

Nu skriver vi om vänsterledet. För vinkeln v gäller att cos v = sin v = 2-1/2 och vi kan välja v = Pi/4. Vi får

sin(x + Pi/4) = 2-1/2 <==> x + Pi/4 = Pi/4 + 2Pi n eller x + Pi/4 = 3Pi/4 + 2Pi n
<==> x = 2Pi n eller x = Pi/2 + 2Pi n.

Denna metod går under namnet hjälpvinkelmetoden och lämpar sig även för andra högerled än 1.

Kjell Elfström


26 februari 2001 13.31.04
Till sommarstugan byggs av vågplåt ett lider med utsendet av ett rätblock med kvadratiska ändor och som är stadigt fast i marken. Volymen skall vara 4,5m^3. Hur skall lidrets mått väljas, så att det sammanlagt till väggarna och taket går åt så litet plåt som möjligt? Jag vet att de kvadratiska ändornas sidor är 1,5m, och att längden är 2,0m. Men hur skall jag komma fram till detta svar? Förstår man någonting av min översättning?

Svar:

Se 23 februari 2001 13.16.25.

Kjell Elfström


26 februari 2001 13.21.33
Man skall bygga ett rätblock med en så liten area som möjligt. Volymen är 225cm^3 och baskanternas förhållande är 2:3. Hur långa är kanterna?

Svar:

Du anger bara ett förhållande för baskanterna men det är ju tre dimensioner. Är någon av rätblockets sidor kvadratisk och vilken är det i så fall. Se också 23 februari 2001 13.16.25 och 14 februari 2001 11.26.20.

Kjell Elfström


26 februari 2001 13.01.11
Hej ! I ett tidigare svar skrev du att koordinaterna och komponenterna är de samma i standardbasen men inte i andra baser detta har gjort mig förbryllad. Jag vill nu hänvisa till Tengstrands bok "Lineär algebra med vektorgeometri" sid 83, exempel 10. Där har ju vektorerna f1 och f2 samma koordinater som komponenter måste inte det innebära att basen (e1,e2) då är standardbasen? Vidare så beräknas ju vektorn u i basen (f1,f2) som inte är standardbasen och där är ju koordinaterna samma som komponenterna? Tacksam för svar.
Johan

Svar:

När man inför vektorer som ekvivalensklasser av riktade sträckor har man inte detta problem. Där är vektorerna i sig just sådana ekvivalensklasser. Inför man en bas får varje vektor koordinater med avseende på denna bas. Problemet när man betraktar vektorrummet Rn är att vektorerna ser ut som koordinater för vektorer. Därför skilde jag på begreppen komponenter och koordinater. En vektor i rummet R3 är en tripel (x1,x2,x3) oavsett vilken bas man har eller om man inte har någon bas alls. Dessa tal x1x2x3 kallade jag för vektorns komponenter. Inför man sedan en bas får denna vektor koordinater som sammanfaller med komponenterna i standardbasen (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). I andra baser får vektorn (som fortfarande har samma komponenter, det är ju samma vektor) andra koordinater. I exemplet i Tengstrands bok framgår det inte vilket vektorrum vektorerna tillhör och det står heller ingenting om vilka deras komponenter skulle vara, de kanske inte har några. I de flesta exempel av detta slag har det heller ingen betydelse vad vektorerna egentligen är, enbart vilka deras koordinater är med avseende på någon bas.

Kjell Elfström


26 februari 2001 11.08.24
Från ett tyg med utseendet av en triangel klipper man bort en rektangulär bit, med sidorna 20 cm och 10 cm. Rektangeln står rakt upp inne i triangeln, så att den längre sidan (20cm) utgör höjden och den kortare sidan (10 cm) utgör basen i tektangeln. Bestäm triangelns mått så, att så lite tyg som möjligt går åt skogen. Facit: Basen är 20 cm och höjden 40 cm. Men hur kommer man fram till detta svar?

Svar:

Antag att hörnen i triangeln är A, B och C och att AB är basen. Rektangeln har ett hörn D på sidan AC och ett hörn E på sidan BC. Trianglarna ABC och DEC är likformiga. Om b och h är basen resp. höjden är därför

b/h = 10/(h - 20) <==> b = 10h/(h - 20).

Eftersom rektangelns area är konstant är det tillräckligt att minimera triangelns area

f(h) = bh/2 = 5h2/(h - 20).

Derivera och studera tecknet av derivatan.

Kjell Elfström


26 februari 2001 11.04.26
Ett lider, med kvadratiska ändor och en volym på 65 m^3 planeras, lidret skall byggas av stålrör enligt figuren. Planera måtten så, att så litet rör som möjligt går åt.
Tyvärr kan jag inte ge en bild men kapitlet handlar om största och minsta värdet för rationella funktioner, och svaret är att i vardera ändan har kvadraterna sidorna 3,5m och att lidrets längd är 5,3m.

Svar:

Se 23 februari 2001 13.16.25.

Kjell Elfström


26 februari 2001 10.17.27
Hej! Jag behöver hjälp med en fråga, och hoppas att ni kan hjälpa mej med den.
Beräkna volymen av området som begränsas av paraboloiden z= x^2+4y^2 och planet 2x+8y-z=1
Rune

Svar:

Integrera skillnaden

2x + 8y - 1 - x2 - 8y2 = 4 - (x - 1)2 - 4(y - 1)2

över det elliptiska område där skillnaden är större än eller lika med 0. Gör ett variabelbyte, x - 1 = r cos t, 2(y - 1) = r sin t.

Kjell Elfström


23 februari 2001 13.16.25
Ett lider, med kvadratiska ändor och 65 m^3 volym, planeras att stödjas av stålrör enligt figuren. Planera måtten för lidret, så att så litet rör som möjligt går åt.
Tyvärr kan jag inte rita figuren men kanske facit kan hjälpa: Kvadraterna i vardera ändan har sidorna 3,5m och lidrets längd är 5,3m. Hoppas ni förstår och kan hjälpa mig med detta problem!
Harry

Svar:

Kan det vara så att lidrets stomme utgörs av fyra upprättstående rör, ett i varje hörn, och att dessa två och två är förbundna upptill med liggande rör? Låt x vara längden av de stående rören. Två av de liggande rören har också längden x. Låt y vara längden av de båda övriga. Volymen av lidret är x2y = 65, varför y = 65/x2. Röråtgången är

f(x) = 6x + 2y = 6x + 130/x2.

Nu kan du fortsätta undersökningen själv.

Kjell Elfström


23 februari 2001 12.20.51
Vill bara säga att du är duktig på matte =) Sen undrar jag varför derivatan av e är e?
Undrande

Svar:

Man definierar talet e på det sättet. Om f(x) = ax är det ganska lätt att visa att f '(x) = kax, där k är en konstant. För a = 2 är k < 1 och för a = 3 är k > 1. Man kan visa att det finns precis ett tal a sådant att k = 1 och detta tal kallar man e.

Kjell Elfström


23 februari 2001 11.50.04
1)Hur bevisar man att klotet ger största möjliga volym gentemot minsta möjliga begränsningsarea?
2)Hur stor är chansen att få 12 rätt på stryktipset?
3) Hur hinner du med att svara på alla dessa frågor???
Michael

Svar:

1) Beviset finns i ett examensarbete av Patrik Nordbeck med titeln Isoperimetriska problemet eller Varför ser man så få fyrkantiga träd. Har du ingen postscriptläsare kan du spara filen och skriva ut den med en postscriptskrivare. Gå till DOS när du har sparat den och skriv COPY fil LPT1, där fil är filens namn.

2) Se 16 februari 2001 16.13.51.

3) Se 30 januari 2001 17.46.35.

Kjell Elfström


23 februari 2001 09.57.37
Hur derivierar man f(x)=x^x med hjälp av definitionen(differenskvoten)? Använder man logaritmisk derivering är det lätt, men med differenskvot har jag inte lyckats.
Fredde

Svar:

Man utnyttjar att ab = eb ln a.

((x + h)x + h - xx)/h = xx((x + h)x + h/xx - 1)/h = xx(e(x + h)ln(x + h) - x ln x - 1)/h.

Sätt nu t = (x + h)ln(x + h) - x ln x. Då gäller att t --> 0 då h --> 0 och differenskvoten kan skrivas

xx(et - 1)/h = xx((et - 1)/t)(t/h).

Eftersom

t/h = ln(x + h) + x(ln(x + h) - ln x)/h = ln(x + h) + ln(1 + h/x)/(h/x)

följer det av gränsvärdeslagarna och standardgränsvärdena (et - 1)/t --> 1, t --> 0 och ln(1 + s)/s --> 1, s --> 0, att derivatan är xx(ln x + 1).

Kjell Elfström


22 februari 2001 23.46.53
Vad kallas "Method of Finite Differences" ( http://www.math.uic.edu/~fields/comb_dic/F.html#FiniteDifference ) på svenska?
Johan Winge

Svar:

Detta är metoder som vanligen används inom numerisk analys och de kallas finita differensmetoder eller kortare FDM.

Kjell Elfström


22 februari 2001 23.01.04
Ett tillägg till frågan 6 februari 2001 16.21.11
Antag att det finns A st kulor i en låda. B st av dessa har en avvikande färg. Ur lådan plockas C st kulor per D sek. Hur stor är sannolikheten att man får upp kulan inom E sek? Finns det någon gilltig formel? Tack för en trevlig sida, även om det är mycket jag inte förstår
Anders Eriksson

Svar:

Du frågar förmodligen efter vad sannolikheten är att få upp någon av kulorna med avvikande färg. Det finns totalt A kulor i lådan. På E sekunder plockar man upp CE/D kulor. Jag antar att vi plockat upp ett helt antal kulor n = [CE/D], där hakparenteserna betecknar heltalsdelen. Dessa n kulor kan väljas på (An) olika sätt. Det finns (A - Bn) sätt att inte få med en avvikande kula. Sannolikheten att inte få en avvikande kula är alltså (A - Bn)/(An). Den sökta sannolikheten är därför 1 - (A - Bn)/(An) så länge som n <= A - B. Därefter blir den 1.

Kjell Elfström


22 februari 2001 22.32.31
Derivera uttrycket
f(h)= 0,5arcsin(v(h-h2)/0,5)-2v(h-h2)*(0,5-h)
f´(h)= ?
Niklas Olson

Svar:

Varför ber du mig utföra dylika akrobatkonster? Vi börjar med att derivera (1/2)arcsin(2v(h - h2)). Derivatan av arcsin x är 1/(1 - x2)1/2 och derivatan av 2v(h - h2) är 2v(1 - 2h). Derivatan av den första termen är därför

2v(1 - 2h)/(1 - 4v2(h - h2)2)1/2.

Derivatan av v(h - h2)(1 - 2h) är enligt produktregeln

v(1 - 2h)(1 - 2h) - 2v(h - h2) = v((1 - 2h)2 - 2(h - h2)).

Vi får att

f '(h) = v(2(1 - 2h)/(1 -  4v2(h - h2)2)1/2 - (1 - 2h)2 + 2(h - h2)).

Kjell Elfström


22 februari 2001 22.32.22
Hej!
Hur löser man ut x ur funktionen:
3cos(Pi/2+(2Pi/365)(x-15))+8,5x=1800
Tack på förhand
Nisse

Svar:

Numeriskt. Se 5 februari 2001 23.21.43. Du har förmodligen tillgång till något matematikprogram. Vill du lösa ekvationen (inte funktionen) numeriskt för hand kan du söka efter Newton-Raphsons metod på vår söksida.

Kjell Elfström


22 februari 2001 19.10.57
Två personer springer mot varandra från ortena A och B. Den ena håller en hastighet av 4m/s och den andra 5m/s. Avståndet mellan orterna är 27 km. Efter hur många minuter möts de?
Sanna Karvinen Larsson 12 år

Svar:

På en sekund kommer de 9 meter närmare varandra. Man kan lika väl tänka sig att den ene står stilla och att den andre springer med hastigheten 9 m/s mot den stillastående. Eftersom 27 km = 27000 m möts de efter 27000/9 = 3000 s, dvs efter 3000/60 = 50 minuter.

Kjell Elfström


22 februari 2001 17.09.18
Hur loser man ut x och y ur foljande system:
x^2 = 1 - y^2 = (0.8y - 0.4y^2 + 0.2)^2
x>0 y>0
Morgan Gunnarsson

Svar:

Kvadrerar man uttrycket längst till höger får man att den sista ekvationen kan skrivas

f(y) = 4y4 - 16y3 + 37y2 + 8y - 24 = 0.

Även om man kan lösa fjärdegradsekvationer exakt har man troligen ingen glädje av det i detta fall eftersom lösningarna blir väldigt otympliga. Det är dock klart att f har ett positivt nollställe eftersom f(0) < 0 och f(y) --> oo då y --> oo. Deriverar man två gånger finner man att f '' saknar reella nollställen. Det visar sig att f ' är strängt växande och har precis ett nollställe. f har följaktligen precis ett negativt och ett positivt nollställe. Löser man ekvationen f(y) = 0 numeriskt, t ex med Newton-Raphsons metod, får man y = 0,5141772497. Att sedan lösa ut x är ju enkelt.

Kjell Elfström


22 februari 2001 16.44.49
Hej Kjell!
Frågan är egentligen lite suspekt. Finns det raka linjer, eller är det endast vi som tror det?? Gäller egentligen den euklidiska geometrin på vår jord? Eller är det den sfäriska geometrin som är "den korrekta" Kortaste vägen mellan punkten A och B är ju en geodetisk linje och inte ett rakt streck. Tack för én go sida´!

Svar:

De objekt som kallas linjer i den Euklidiska geometrin uppfyller parallellaxiomet och det är lätt att konstruera sådana objekt, till exempel punktmängder i R3 som uppfyller vissa ekvationer. När man diskuterar frågan om huruvida "verkliga" linjer uppfyller Euklides postulat måste man ha klart för sig att det ingalunda är klart vad en verklig linje är. Olika människor kan ju tänkas ha olika uppfattning i frågan. Huruvida de geodetiska linjerna i rymden uppfyller parallellaxiomet är en fysikfråga som handlar om hur rymden är krökt. De geodetiska linjerna på jordytan uppfyller som bekant inte parallellaxiomet. Vill man ta sig från en punkt på jordytan till en annan finns det kortare vägar att gå än längs storcirklarna, åtminstone om man inte är rädd för att få litet jord under naglarna, men om dessa förtjänar att kallas linjer vill jag alltså låta vara osagt.

Kjell Elfström


22 februari 2001 15.50.46
På sidan http://home.student.uu.se/m/mabe1293/Knep.htm finns ett triangelproblem som jag gått bet på. Nånting ni geometrisk kunniga kan hjälpa mig med
johan h

Svar:

Den röda och den mörkgröna triangeln är inte likformiga. Det som verkar vara en hypotenusa buktar in i den övre figuren och buktar ut i den undre.

Kjell Elfström


21 februari 2001 21.11.32
Hej !
På senare år har det kommit indikatoter på att elever klarar matten sämre än tidigare. På gymnasiet har detta visat sig vid analys av resultaten på nationella prov och på högskolans grundkurser har bla studierektorer vid matematiska institutioner beklagat sig över resultaten på grundkurserna i matematik. Med anledninga av detta kan man ställa sig en mängd frågor. Frågorna som jag undrar över är till sin karaktär öppna och allmänna så det kan självfallet vara svår att ge exakta svar.
Tack på förhand
/ Per Svensson
1. a) Tycker ni att det resonemang som jag refererar ger en korrekt bild av situationen ? Hur är läget i Lund ? b) Om a) är riktigt vad tror ni att detta beror på ? Sämre förkunskaper ? Timplaner ? Läromedel ? etc.
2. Om man ser lite framåt så kan man fråga sig vad som händer med t ex lärarkompetens, industriutveckling mm om "vi" är sämre på matte än tidigare ?
3. En annan fråga som jag är nyfiken på är om ni vet om några intressanta studier/rapporter som belyser hur studenter lär sig matematik. Det kan gälla alltifrån antal timmar som man lägger ner på sina studier, analys av tankeprocesser vid problemlösning t ex i geometri till hur studievanor och undervisningsformer skiljer sig jämfört med tidigare etc.
Per Svensson, blivande gymnasielärare i matematik

Svar:

Detta är inte rätt forum för denna typ av frågor men att den grundläggande räknefärdigheten försämrats är en sak vi observerat. Det gäller så kallad bokstavsräkning där det bland annat gäller att förenkla uttryck, lösa ekvationer och hantera logaritmlagarna. Kanske kan de ge dig ett fylligare svar på Nationellt resurscentrum för matematikundervisning.

Kjell Elfström


21 februari 2001 20.47.50
Jag undrar hur man visar att alla tal i intervallet (0,1) har samma kardinalitet som mängden av alla tal i intervallet (0,2).
Linda

Svar:

f(x) = 2x är en bijektion av det första intervallet på det andra.

Kjell Elfström


21 februari 2001 18.50.37
Hej Kjell!
Skulle du kunna:
Betrakta en vätska som strömmar genom ett rakt cylindriskt rör med cirkulärt tvärsnitt med radien R. Vid vissa betingelser är vätskans hastighet störst längs rörets axel och noll invid rörväggen. Mera precist ges vätskehastigheten v av v = k(R^2-r^2) för någon positiv konstant k, på avståndet r från rörets axel. >Bestäm den vätskevolym som under en tidsenhet passerar ett tvärsnitt av röret.
>Bestäm motsvarande vätskevolym om istället v = k(R^2-r^2)^b för någon konstant b.
>Är b<0 fysikaliskt rimligt i denna modell?
Vore tacksam för lite hjälp
en förlorad själ i matematikens värld :)

Svar:

Vi betraktar ett tvärsnitt av röret vinkelrätt mot axeln. I en smal ring med bredden dr på avståndet r från denna cirkels medelpunkt kan vi antaga att hastigheten är konstant k(R2 - r2)b. Ringens inre omkrets är 2Pi r så dess area är ungefär 2Pi r dr. Genom ringen rinner alltså 2Pi kr(R2 - r2)b dr volymsenheter av vätskan per tidsenhet. Summerar vi alla ringarnas bidrag och låter deras bredd gå mot noll får vi integralen

2Pi k int0Rr(R2 - r2)bdr = 2Pi k [-(R2 - r2)b + 1/(2(b + 1))]0R = k Pi Rb + 1/(b + 1).

Kjell Elfström


21 februari 2001 17.35.36
Hej !
Vad har man för nytta av QR faktorisering ?
Vad avvänds Gram - Schmidts ortognaliseringsmetod till ?

Svar:

QR-metoden används bland annat till att numeriskt beräkna egenvärden. Metoden bygger på Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod. Den senare metoden används till att bestämma en ortonormerad bas i ett vektorrum utifrån en bas, vilken som helst. Ortonormerade baser är att föredra i många sammanhang. Det är t ex mycket lättare att beräkna koordinaterna för en vektor med avseende på en ortonormerad bas än på andra baser. Ofta approximerar man funktioner med funktioner i vissa klasser som bildar Euklidiska rum. Skalärprodukten är ofta integralI fg dx, där I är ett intervall, eller varianter på detta. Då kan man använda Gram-Schmidts metod för att hitta en ortonormerad bas av approximerande funktioner. Om I = [0,2Pi] utgör funktionerna ekit ett ortogonalt system, något som används inom Fourieranalysen. När funktionerna är komplexa skall man taga konjugatet av g i skalärprodukten.

Kjell Elfström


21 februari 2001 16.06.06
Jag såg att du häromdan löste ett bevis för resolutionsmetoden för satslogik såväl sund som fulständig. Jag läste igenom ditt svar,men förstod inte riktigt resonemanget. Kan du förklara det lite mer detaljerat. (Jag hittade tyvärr inte boken som du rekommenderade)
Mvh
Björn Rosengren

Svar:

Med resolutionsmetoden bevisar man att ett påstående C följer av premisserna Ci, i = 1,2,...,n genom att från konjunktionen icke C och C1 och C2 och ... och Cn härleda tomma mängden med den regel som finns angiven i 11 februari 2001 15.58.18. Som exempel kan vi bevisa att q följer av pp==>q. Vi skriver först om implikationen som icke p eller q och bildar mängden {icke qpicke p eller q}. Vi börjar med att tillämpa kalkylen på det andra och tredje påståendet och kan lägga till noden q. Kalkylen på det första påståendet och den nya noden ger sedan tomma mängden. Att metoden är sund, dvs att man bara kan erhålla tomma mängden om C logiskt följer av de övriga påståendena är nästan självklart eftersom alla nya påståenden logiskt följer av dem som man redan har. Att visa att metoden är fullständig är tekniskt komplicerat. Boken som jag hänvisade till finns inte i tryck längre men går förmodligen ändå att få tag på. Se t ex Amazon.com eller författarens egen hemsida, Jean Gallier, Professor, på vilken han uppmanar en att ta kontakt med honom om man är intresserad av boken. En sökning hos Libris gav också positivt besked.

Kjell Elfström


21 februari 2001 13.19.09
Finns det någon primitiv funktion till den normala frekvensfunktionen
y=(1/sqrt(2pi))exp(-0.5x^2)
eller hur beräknar man ytan under kurvan för olika intervall ?
Kjell Karlsson

Svar:

Alla kontinuerliga funktioner har primitiva funktioner. Ett problem är att dessa ofta inte kan uttryckas med hjälp av de elementära funktionerna och de fyra räknesätten. Så är fallet med funktionen i frågan. Därför är man hänvisad till numeriska metoder för att beräkna integralen. Exempel på sådana är trapetsmetoden och Simpsons formel.

Kjell Elfström


21 februari 2001 09.45.06
Hej,
Jag har en följdfråga angående fråga 17 januari 2001, om en rektangels största area med hjälp av en begränsad omkrets i detta fallet 100 m staket. Är det sant att svaret på detta fråga alltid är när alla sidor är lika långa, oavsett omkretsen. Om inte finns det exempel..
Mats

Svar:

Den rektangel, med föreskriven omkrets, som har störst area är alltid en kvadrat. Byter man ut 100 mot en godtycklig konstant s i 17 januari 2001 10.28.14 får man ett bevis för detta.

Kjell Elfström


20 februari 2001 22.27.11
Kan ni förklara för mig hur man räknar ut detta tal? En kille lånade pengar av en kompis räntefritt. Han skulle betala tillbaka på 3 avbetalningar. Första var 2/5 (två femtedelar) Andra var 5/9 (fem niondelar) och tredje var 800kr. Hur stor var skulden från början.
Emmie

Svar:

Antag att skulden var x. Då är

(2/5)x + (5/9)x + 800 = x <==> (1 - 2/5 - 5/9)x = 800 <==> (2/45)x = 800 
<==> x = 18000.

Kjell Elfström


20 februari 2001 22.04.55
Vad är det enklaste sättet att få ut avståndet mellan två punker (x0,y0 och x1,y1) i en graf?. Jag vet att det går bra om man tar differensen mellan (x0,x1) och (y0,y1) och sen använder Pythagoras sats men finns det verkligen inget enklare sätt?
Johan

Svar:

Nej, och det är ju heller inte särskilt besvärligt!

Kjell Elfström


20 februari 2001 20.05.36
Hej och tack för att ni finns! Min fråga är: Hur mycket får "cirka" (ca) avvika? När jag för länge sedan gick ekonomisk linje angavs avvikelsen till +-10%. Är det så nu, eller? Exempel: Jag har ca 200 frimärken. Hur mycket får det "diffa" uppåt respektive neråt?
Jack Hansen

Svar:

Det finns mig veterligen ingen allmänt accepterad standard för hur stor avvikelsen får vara. Den standard du angav gäller kanske i vissa områden inom ekonomi, men den kunde också införts för att underlätta kommunikationen i ekonomiundervisningen vid din skola.

Kjell Elfström


20 februari 2001 14.23.48
Om man förkortar fem tusen så kan man skriva 5´ om man förkortar fem miljarder så kan man skriva 5´´ hur förkortar man fem miljoner?
Niklas

Svar:

Jag känner inte till dessa förkortningsregler. Möjligen har jag sett att 1000 kan förkortas 1' men i så fall tycker jag det ligger närmare till hands att förkorta 1 miljon som 1'' och inte en miljard. I så fall kan man tolka ' som tusen gånger. 1'' = (1')' = 1000·1000 = 1000000. Enligt denna regel skulle 1''' vara en miljard och 1'''' en biljon.

Kjell Elfström


20 februari 2001 12.36.52
Integral e upphöjd(x + ln x)dx . Jag och min kompis skulle vara jätte taksam om du kan visa hur man löser såna problem
Violeta

Svar:

Se 16 februari 2001 13.53.21. Formeln för partiell integration är

integral f '(x)g(x) dx = f(x)g(x) - integral f(x)g'(x) dx.

Formeln följer av att

(d/dx)(f(x)g(x)) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x).

Använd formeln med f '(x) = ex och g(x) = x för att bestämma integralen i frågan.

Kjell Elfström


20 februari 2001 09.49.38
Om man går en viss runda i skogen en dag är sannolikheten att få se en eller flera skäggmesar 70 %. Om man går denna runda först en dag och sedan en annan dag hur stor är då sannolikheten att en av dessa dagar ha sett en eller flera skäggmesar? Den måste rimligtvis vara större än 70!
Thomas Österlind

Svar:

Vilken sannolikheten blir beror på vilka förutsättningarna är. Antar man att händelsen att se en skäggmes en dag och händelsen att se en den andra dagen är oberoende kan man resonera på följande sätt. Sannolikheten att inte se en skäggmes dag 1 är 0,3 och sannolikheten att inte se någon dag 2 är 0,3. Sannolikheten att inte se någon under de båda dagarna är då 0,3·0,3 = 0,09. Sannolikheten att se någon under de två dagarna är därför 1 - 0,09 = 0,91. Ofta är nog sådana händelser beroende. Ser man ingen den första dagen bedömer man nog med rätta sannolikheten att se någon den andra dagen som mindre.

Kjell Elfström


20 februari 2001 00.01.16
Hej! Jag skulle vara tacksam om ni svarade på de här 3 frågorna!
1) Vid studier av en population var antalet organismer i början av det första året 1000. Populationens storlek ökar varje år med 45 %. I slutet av varje år flyttar 400 organismer bort. Efter hur många år är antalet i början av året första gången mer än 2000?
2) Storleken av älgstammen inom ett område uppskattades i början av år 1991 till 1200. Man antar att stammen varje år ökar med 8 %. Varje år efter förökningsperioden får jaktlag skjuta 60 älgar. Vilket år är stammens storlek i början av året första gången över 1500?
3) Den 1 januari berättar du en hemlighet för en bekant som följande dag för den vidare till en och därpå följande dag till två bekanta. Anta att alla som hör hemligheten följer samma mönster. Hur många har hört hemligheten den 10 januari?
Albert

Svar:

1) Kalla det första året år 0. I början av år 0 finns 1000 organismer. Sätt r = 1,45 = 29/20. Efter 1 år, dvs i början av år 1 finns det 1000r - 400. I början av år 2 finns det (1000r - 400)r - 400. I början av år 3 finns det ((1000r - 400)r - 400)r - 400. Efter n år finns det 1000rn - 400(1 + r + r2 + ... + rn - 1) individer. Enligt formeln för den geometriska summan är detta

1000rn - 400(rn - 1)/(r - 1) = (1000 - 400/(1 - r))rn + 400/(r - 1) = (1000rn + 8000)/9.

Antalet är 2000 då

1000rn + 8000 = 18000 <==> rn = 10 <==> n = (ln 10)/(ln r) = 6,2.

Efter 7 år.

2) är samma typ av problem som 1).

3) Låt an vara antalet som nåddes av ryktet dag n. Dagarna kan numreras så att dag 1 är den 1 januari. Den ursprunglige ryktesspridaren kan antas ha hört ryktet dag 0. Vi har då a0 = a1 = 1 och an + 1 = an + 2an - 1. Sätt bn = an - 2an - 1. Då är b1 = -1 och bn + 1 = -bn. Det följer att bn = (-1)n, varför an = 2an - 1 + (-1)n. Sätt sedan cn = an/2n. Då är c0 = 1 och cn = cn - 1 + (-1/2)n. Det följer nu att cn = 1 + (-1/2) + (-1/2)2 + ... + (-1/2)n = (2/3)(1 - (-1/2)n + 1), varför an = (1/3)(2n + 1 - (-1)n + 1). Använder vi åter formeln för den geometriska summan får vi att antalet som känner till ryktet dag n är

a0 + a1 + ... + an = (2/3)(2n + 1 - 1) + (1/6)(1 - (-1)n + 1).

Sätt nu in n = 10. Denna fråga hade ju en annan svårighetsgrad än de båda första. Möjligen har jag tolkat den fel.

Kjell Elfström


19 februari 2001 23.47.58
Jag skulle vara väldigt tacksam om ni svarade på de här två frågorna!
Ha gärna tydliga uträkningar med!
1) Ett bostadslån på 300 000 mk återbetalas på 15 år så att man varje halvår avkortar lånet med lika stor summa. Samtidigt betalar man ränta enligt 7 % för det föregående halvåret. Hur stor summa går det sammanlagt till a) räntor b) amorteringar och räntor?
2) Längden av strängarna i ett piano bildar en geometrisk talföljd så att längden av en sträng en oktav lägre ner är dubbelt så lång. I ett piano är längden av strängen ettstrukna a 42 cm. Hur lång är närmast lägre c-sträng?
Robert

Svar:

1) Skulden från början är S = 300000. Amorteringen är a = S/30 = 10000 varje halvår. Den totala amorteringen är naturligtvis S = 300000. Det sista halvåret betalas ränta på den kvarvarande skulden a, det näst sista på skulden 2a och så vidare. Det första halvåret betalas ränta på 30a. Den sammanlagda räntan är alltså

0,07(a + 2a + ... + 30a) = 0,07a(1 + 2 + ... + 30) =0,07a(30 + 1)·30/2 = 0,07·31·15a

enligt formeln för den aritmetiska summan.

2) Längden av sträng nr n efter ettstrukna a är alltså 42kn. Då n = 12 har vi nått a i nästa oktav. Den strängen är dubbelt så lång som strängen för ettstrukna a. Vi får k12 = 2 varav k = 21/12. Nästa lägre c-sträng är den nionde från ettstrukna a. Dess längd är alltså 42k9 = 42·29/12 = 42·23/4.

Kjell Elfström


19 februari 2001 15.42.59
Hej, vi är tre grabbar som håller på med ett miniprojekt i matematik 2000 e-kurs på gymnasiet. Uppgiften har nummer 4227 och är följande: Bästa skottläge. En fotbollsspelare springer längs en linje AB, vinkelrät mot planens kortsida. På planens kortsida befinner sig ett mål som ligger mellan punkterna C och D. Längden mellan C och D är 7,32 m. Mellan A och C finns en strecka a som är en konstant som man själv kan välja värde på. Vi söker bästa skottvinkeln för spelaren när han rör sig längs linjen AB. Vi hoppas att ni har fått uppgiften klar för er. Vi önskar gärna ett snabt svar. tack på föhand.
Jonte, Fredda & P-A

Svar:

A, C och D är alltså tre punkter på planens kortsida, C emellan A och D. Fotbollspelaren befinner sig i punkten SAB och AB är vinkelrät mot kortsidan. Antag att längden av AB är d. Längden av AC är a och längden av CD kallar vi b. Om längden av AS är x skall vi bestämma x så att vinkeln v = CSD blir så stor som möjligt. Låt u vara vinkeln CSA. Då är tan u = a/x och tan(u + v) = (a + b)/x. Vi får att

tan v = tan((u + v) - u) = (tan(u + v) - tan u)/(1 + tan u tan(u + v))
= (b/x)/(1 + a(a + b)/x2) = bx/(x2 + a(a + b)) = f(x).

v antar sitt största värde då tan v antar sitt största. Därför är det nu bara att derivera och undersöka derivatans teckenväxlingar. Derivatan är

f ′(x) = b(a2 + abx2)/(a2 + ab + x2)2.

Derivatan är noll då x = √(a2 + ab) och derivatan växlar från att vara positiv till negativ i detta nollställe. Om √(a2 + ab) < d så är det största värdet av f lika med f(√(a2 + ab)) = b/(2√(a2 + ab)) och annars är det f(d) = bd/(d2 + a2 + ab). Det största värdet av v är därför arctan(b/(2√(a2 + ab))) resp. arctan(bd/(d2 + a2 + ab)) i de båda fallen.

Kjell Elfström


19 februari 2001 14.27.34
Hej, jag har en liten fråga angående Runge-Kutta metoden.
Pn = f(Xn , Yn)
Qn = f(Xn + h/2 , yn + h/2*Pn)
Det jag har förstått är att man finner flertalet olika punkter för att sedan hitta tangenternas medellutning. Vid beräkningar med "Improved Euler" använder man sig av två punkters medellutning, men hur många använder vi med Runge-Kutta metoden? Och varför multiplicera lutingen i den första stegningen(Qn) med lutningen i Pn?
Finns det någon enkel förklaring till varför h/2?
Något som skulle hjälpa är en grafisk illustrering om detta är möjligt.
Tack på förhand.
- Oskar

Svar:

Det är 1/2 framför h2 i Taylorutvecklingen som ligger bakom 1/2 framför h. Differentialekvationen som skall lösas numeriskt är y' = f(x,y). Taylorutvecklar man y får man

y(x + h) = y(x) + hy'(x) + h2y''(x)/2 + ...

Deriverar man nu sambandet y' = f(x,y) och stoppar in i Taylorutvecklingen får man

y(x + h) = y + (1/2)hf + (1/2)h(f + hfx' + hffy') + O(h3).   (1)

Taylorutvecklar man f får man att

f(x + h,y + hf) = f + hfx' + hffy' + O(h2).

Sätter man in detta i utvecklingen (1) får man

y(x + h) = y + (1/2)hf + (1/2)hf(x + h,y + hf) + O(h3).

Det är denna formel som ligger bakom Heuns metod

y(x + h) = y(x) + (1/2)(P + Q), P = hf(x,y), Q = hf(x + h,x + P).

I en andra ordningens Runge-Kutta-metod har man

y(x + h) = y + uhf + vhf(x + ah,y + bhf) + O(h3).

Taylorutvecklar man f och sätter in får man

y(x + h) = y + uhf + vh(f + ahfx' + bhffy') + O(h3).

Jämför man detta med (1) skall man ha u + v = 1, va = 1/2, vb = 1/2. u = v = 1/2, a = b = 1 ger Heuns metod. Den modifierade Eulermetoden erhålls när man sätter u = 0, v = 1, a = b = 1/2.

Kjell Elfström


19 februari 2001 14.15.59
ett bildäck har diametern 62cm.efter 7500mil har däcket slitits ut. hur många varv har det rullat då?svara i grundpotensform.avrunda faktorn före tiopotensen till en decimal.
olle högfors

Svar:

Jag antar att vi kan bortse från att diametern minskar efterhand som däcket slits. Däckets omkrets är 0,62Pi m. Antalet varv är 75000000/(0,62Pi).

Kjell Elfström

Kjell Elfström


19 februari 2001 08.31.29
Jag undrar hur räknar man med intergraler?
woow@dobedo.se

Svar:

Ett tillfredsställande svar skulle bli alltför omfattande. Integraler ingår i gymnasiekursen i matematik och därför hänvisar jag till gymnasiets kursböcker för en introduktion.

Kjell Elfström


19 februari 2001 01.06.05
Hej!
Oftast ser man klart hur saker hänger ihop, men jag har inte lyckats förstå det här: om man slår in tan(89.99) får man 5729.57789. Lägger man till fler 9:or, tan(89.999999) osv, får man nästan samma siffror, och till slut har man 57295779513082. 180/pi=57.295779513082=1 rad. Varför detta samband?
Karl Salomonsson

Svar:

Det beror på att

tan((90 - 10-n)°) = 1/tan((10-n)°) = 1/tan((Pi/180)·10-n)

och att tan x är ungefär lika med x för små vinklar.

Kjell Elfström


18 februari 2001 19.01.34
Hejsan! Jag har en fråga angående matriser, hur löses X i ekvation som ser ut som följande? (AX+B)upphöjt till -1=A
Om A=(1 1 1)    Och B=(1 2 3)
     (1 0 1)          (4 5 6)
     (1 1 0)          (7 8 9) 
Kan ni skicka svaret till ti00tbe@student.hk-r.se
Tomas Bengtsson

Svar:

T ex på följande sätt.

(AX + B)-1 = A <==> AX + B = A-1 <==> AX = A-1 - B <==> X = (A-1 - B)-1.

Kjell Elfström


18 februari 2001 14.10.40
Hej Jag undrar hur man enklast löser: Lim x går mot oändligh.(x^3+x^2)^(1/3)-x ? Jag vet tex. hur man löser Lim x går mot oändligh.(x^4+x^3)^(1/4)-x med att multiplicera med konjugatet i täljare och nämnare(så att talet multipliceras med 1) och har försökt med samma metod för det första talet men misslyckats.Retsamt nog vet jag att svaret för första talet är 1/3 och 1/4 för det andra. Tacksam för svar.
Jari O T

Svar:

En generalisering av konjugatregeln är

(a - b)(an - 1 + an - 2b + an - 3b2 + ... + a2bn - 3 + abn - 2 + bn - 1) = an - bn.

Vi får

(x3 + x2)1/3 - x = (x3 + x2 - x3)/((x3 + x2)2/3 + x(x3 + x2)1/3 + x2)
= 1/((1 + 1/x)2/3 + (1 + 1/x)1/3 + 1) --> 1/3 då x --> oo.

Kjell Elfström


18 februari 2001 12.47.20
Hur bevisar jag att "tredje roten ur 3" inte är rationellt?
Adnan+gänget

Svar:

Jag börjar med att påminna om att om p är ett primtal och p|abp|a eller p|b. Det följer att om p|anp|a. Antag nu att 31/3 är rationellt. Då finns det positiva heltal a och b, vars största gemensamma delare är 1, sådana att 31/3 = a/b. Detta ger att 3 = (a/b)3 = a3/b3, varför a3 = 3b3. Detta visar att 3|a3 och därför 3|a, vilket innebär att a = 3c för något heltal c. Men då är a3 = 27c3 varför 27c3 = 3b3, vilket ger att b3 = 9c3, varför 3|b3 och därmed 3|b. Detta medför att den största gemensamma delaren till a och b inte är 1 och vi har fått en motsägelse.

Kjell Elfström


18 februari 2001 08.33.46
Hej Jag vet inte om jag har fatta detta rätt ,men har cosinus,sinus och tangens ett värde. Om det nu är så vilket värde har dom då? Mvh Mats
Mats

Svar:

De är funktioner. Det betyder att deras värde beror på en variabel v. Om hur sin v och cos v definieras kan du läsa i 8 januari 2001 20.35.45. tan v = sin v/cos v.

Kjell Elfström


17 februari 2001 22.11.30
En tårta i form av ett rätblock med kvadratisk basyta är överdragen med ett jämntjockt lager chokladkräm på ovansidan och på alla fyra sidytorna. Fem personer skall dela på tårtan så att alla får precis lika mycket tårta och chokladkräm. OBS hela tårtan ska användas!
Andreas

Svar:

Jag antar att det räcker att se till att alla får lika volym tårta och lika area av den chokladkrämstäckta delen. I så fall är det lämpligt att börja med att dra upp snittens konturer på tårtans sidor så att alla får lika mycket av sidoarean. Därefter räcker det att se till att alla också får lika mycket av ovansidans area. Ett lösningsförslag framgår av bilden nedan.

tårta

Kjell Elfström


17 februari 2001 15.08.53
Hej! Tack för svaret!! Nu har jag ett problem till i mina analysstudier; en vattentank i form av en rät cirkulär kon har spetsen vänd nedåt. Toppradien är 6 m. Tankens djup är 8 m. Vatten fylls på med hastigheten 0,1 m^3/min. Med vilken hastighet stiger vattenytan då vattendjupet är 4 m?
Henrik

Svar:

Likformiga trianglar ger att radien är r = (6/8)d, där d är djupet. Vattenvolymen är

V = Pi r2d/3 = 3Pi d3/16.

Deriverar vi detta med avseende på tiden får vi

0,1 = V ' = 9Pi d2d'/16 = 9Pi d',

d = 4. Lös ut d'.

Kjell Elfström


17 februari 2001 12.13.41
Finns det något sätt att skriva talet 5 på med 5 femmor och alla kända små räknefinesser likt fakultet, parenteser och alla små räknesätt?? Jag kan godkänna roten ur trots att det är upphöjt 0,5 - det vill säga ^(5/(5+5)). Med fyra och sex femmor vet jag att det går - men går det med fem femmor?? Tack på förhand
Pontus Stenberg

Svar:

5 = 5·(5/5)·(5/5).

Kjell Elfström


16 februari 2001 21.09.50
Hej!
Jag undrar om jag kan få hjälp med det här uppgiften, Gör en slinga som med intervallhalveringsmetoden ger ett nollställe till en föreskriven funktion f, felgränsen epsilon och intervallet (a,b).
Susanne Faraj

Svar:

Vi förutsätter att funktionen är kontinuerlig och strängt monoton i intervallet och att funktionsvärdena i ändpunkterna har olika tecken. I så fall har funktionen precis ett nollställe i intervallet. Inför variablerna v, m och h, vänster ändpunkt, mittpunkt och höger ändpunkt samt fv, fm och fh för funktionsvärdena i dessa. Sätt från början v = a och h = b och beräkna fv och fh. Gör nu en slinga där m = (v + h)/2 och fm beräknas. Om fm och fv har samma tecken sätter du fv = fm, i annat fall sätter du fh = fm. Om m - v < epsilon är du klar och kan svara med fm annars kör du ett varv till.

Kjell Elfström


16 februari 2001 20.16.46
hej!jag har en fråga som går så här: en upp och nervänd kon med höjden 60 cm och radien 12 cm är delvis fylld med vatten.vattnet läcker ut genom konen med en hastighet som är proportionell mot den area som är i kontakt med vatten. Man fyller på vatten i konen uppifrån. Om påfyllnadshastigheten är 100 cm^3/min kommer vattenytan att sjunka med hastigheten 0,6 cm/min då vattenhöjden i konen är 24 cm.hur stor ska påfyllnadshastighet vara om man vill att vattenytan ska hålla sig konstant på en viss nivå? tack på förhand!

Svar:

Se 29 april 1999 17.28.09.

Kjell Elfström


16 februari 2001 16.13.51
Hej! Får jag be om hjälp för följande uppgifter:
1. I landet Oktalien har alla bilar registreringsskyltar med två av bokstäverna A,B,C,D,E,F,G och H och två av siffrorna 0,1,2,3,4,5,6 och 7. Hur många olik registreringsskyltar kan man få på detta sätt om
a) Varje tänkbar sådan skylt får användas?
b) Samma bokstäver eller samma siffra inte få användas två gånger på samma skylt?
2.
a) På hur många olika sätt kan man fylla i en rad på stryktipskupong som omfattar 13 matcher så att man får exakt 12 rätt?
b) Hur stor är sannolikheten att få exakt 12 rätt om man tippar en stryktipsrad helt på måfå?
Med tack på förhand.
Nisse.
Nisse

Svar:

1. Det står inte att siffrorna och bokstäverna skall vara i någon bestämd ordning. AB12 och 1A2B är alltså båda tillåtna.

a) Välj ut sifferpositionerna. Detta kan göras på (42) = 6 sätt. Bokstäverna kan sedan väljas på 8·8 = 64 sätt och det kan siffrorna också. Vi får 6·64·64.

b) 6·(8·7)·(8·7).

2.

a) Precis en match skall tippas fel. Det ger oss 13 möjligheter. Den utvalda matchen kan tippas fel på två sätt. Svaret blir 2·13 = 26.

b) Det finns 313 olika sätt att tippa en rad. Dividera 26 med detta tal.

Kjell Elfström


16 februari 2001 14.18.03
Jag undrar vad man använder e till. Jag vet redan att e=2.16 men jag undrar om det finns fler decimaler för att talet är oändligt. Och jag undrar om detta är rätt pi= 3.1415926535897932384626643383279502884197169399375
10582097494459230781640286208998628034825342117068.
Kim

Svar:

Med nio korrekta decimaler är e = 2.718281828. De 50000 första decimalerna i Pi återfinns på sidan PI. Båda dessa tal är irrationella, dvs de kan inte skrivas som kvoter mellan två heltal. Därför har de inte periodiska decimalutvecklingar, speciellt kan inte deras decimalutvecklingar vara ändliga. Derivatan av ex är lika med ex, dvs funktionen är sin egen derivata. Många storheter växer med en hastighet som är proportionell mot storhetens värde. Detta förekommer t ex i populationer av olika växter och djur. Byter man ut växer mot avtar gäller det t ex antalet radioaktiva kärnor vid radioaktivt sönderfall. I sådana situationer blir storheten proportionell mot ekx för någon konstant k.

Kjell Elfström


16 februari 2001 13.53.21
Integral (e upphöjd (x+ln x))dx Hur kan man lösa en sånt problem?!
demaadnan@hotmail.com

Svar:

Eftersom ex + ln x = xex kan man använda partiell integration.

Kjell Elfström


19988 frågor av sammanlagt 20434 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Logisk operator

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)