Fråga Lund om matematik

Sökresultat


7 september 2000 00.18.47
Hejsan! Jag har en fråga runt hur man bevisar att ett uttryck är irrationellt. Om vi utgår ifrån att sqrt(n) är irrationellt, hur bevisar man då enklast att n^2 + sqrt(n) även är irrationellt?
Fredde W

Svar:

Vi gör ett så kallat motsägelsebevis. Låt oss antaga att n2+sqrt(n) är ett rationellt tal. Då gäller att n2+sqrt(n)=a/b, för några heltal a och b, b skilt från noll. Härifrån fås att sqrt(n)=a/b-n2, dvs.  sqrt(n) är ett rationellt tal, vilket är en motsägelse mot det vi utgick ifrån. Alltså kan vårt antagande inte vara sant, och således är n2+sqrt(n) ett irrationellt tal.

Catarina Petersson


6 september 2000 13.51.29
hej jeg lurte på om du har noen informasjon om negative tall, historie og sånn. min epost er erl@most-wanted.com der kan du sende hvis du hvet noe
Erling Hjorthaug

Svar:

Du hittar lite information i svaren till frågorna 28 november 1997 14.27.27  och  18 mars 1999 10.33.22  .

Catarina Petersson


6 september 2000 07.59.29
Hej! Jag undrar hur division har sett ut genom tiderna och varför det har ändrats. Jag känner till tre olika sätt att räkna ut en division.
Christel på lärarprogrammet

Svar:

Jag hänvisar till boken D.E. Smith: History of Mathematics, vol II, Dover, för en utförlig beskrivning av divisionsalgoritmens historia.

Catarina Petersson


5 september 2000 22.05.03
Hej! Jag undrar om ni lättfattligt kan förklara för mig vad multiplicitet är?
Michael

Svar:

Det gäller att om

f(x)= a0+a1*x+a2*x2+.... an*xn

är ett polynom av grad n (dvs. an skilt från noll), så kan alltid skrivas på formen

f(x)=an(x-c1)(x-c2)...(x-cn),

där c1,...,cn är komplexa tal. Härifrån ser vi att f har precis nollställena c1,...,cn, alltså n stycken. Det kan dock hända att två eller flera av dessa c1,...,cn är lika med varandra, och man talar då om multipla nollställen. Man säger att multipliciteten av ett nollställe är m om det förekommer precis m gånger bland talen c1,...,cn.

Här är ett exempel:

Låt f(x)=x4-5x3+9x2-7x+2. Då kan f skrivas f(x)=(x-1)(x-1)(x-1)(x-2) (kontrollera genom att multiplicera ihop paranteserna). Härifrån fås nu enligt ovanstående att nollstället 1 har multipliciteten tre och nollstället 2 har multipliciteten ett.

Catarina Petersson


5 september 2000 15.22.58
Vad är ekvivalensrelationer?
Annika Pettersson

Svar:

En relation R på en mängd A är ett förhållande mellan elementen i A. R sägs vara en ekvivalensrelation på A om följande är uppfyllt:

(1) x R x för alla x i A  (R är reflexiv).

(2) Om x R y så är y R x för alla x och y i A (R är symmetrisk).

(3) Om x R y och y R z så är x R z för alla x,y och z i A (R är transitiv).

Ett exempel på en vanlig ekvivalensrelation är  =.

Vi tar ytterligare ett exempel:
Låt A vara Sveriges befolkning och låt relationen R definieras genom xRy om person x och person y har samma hårfärg. R är då en ekvivalensrelation, vilket vi lätt kan kontrollera.
(1) R är reflexiv eftersom en person har samma hårfärg som sig själv.
(2) R är symmetrisk ty om x har samma hårfärg som y så har y samma hårfärg som x.
(3) R är transitiv ty om x har samma hårfärg som y och y har samma hårfärg som z så har x samma hårfärg som z.

Catarina Petersson


5 september 2000 12.57.51
Hej! Skulle vara tacksam för hjälp med mellanleden (alt. tips på litteratur),kan inte reglerna för räkning med potenser av typen 1/1-b (w/b)^1/b-1 - (((a-1)[(w/b)^b/b-1 - w(w/b)^1/b-1]+taw)/w) = ((1-a+ab)/b)((w/b)^1/b-1)-ta
Marie Larsson

Svar:

För räkning med potenser finns ett antal räknelagar. Dessa är följande:
För alla a>0, b>0 och alla reella x och y gäller
(1) axay=ax+y
(2) ax/ay=ax-y
(3) axbx=(ab)x
(4) ax/bx=(a/b)x
(5) (ax)y=axy.

Du kan läsa mer i någon grundläggande bok i analys tex "Envariabelanalys" av Hellström, Morander och Tengstrand.

Catarina Petersson


5 september 2000 00.23.56
Hej. Tack för en bra hemsida ! Jag undrar hur man löser följande: Beräkna arean av en kvadrat inskriven i ellipsen x^2/4+y^2=1 (kvadratens fyra hört är punkter på ellipsen)
Matias Henttunen

Svar:

Vi lägger ellipsen i ett koordinatsystem, och låter kvadraten inskriven i ellipsen ha sidlängden 2x0. Dess hörn har då koordinaterna (x0,x0), (-x0,x0), (-x0,-x0) och(x0,-x0). Eftersom hörnen ligger på ellipsen, måste var och en av dessa punkter uppfylla ekvationen x2/4+y2=1. Vi får att x02/4+x02=1, vilket ger x02=4/5. Arean blir nu 2x0*2x0=4x02=4*4/5=16/5 areaenheter.

Catarina Petersson


4 september 2000 18.52.06
Jag är förälder till ett barn som nu börjat sjuan, det är längesedan jag själv läste matematik och kommer inte ihåg alla räknesätt som primtal, differenser m.m m.m finns det någon handledning så att man kan läsa sig till hur man använder dessa räknesätt så att man lätt kan förklara för sitt barn och hjälpa honom på traven?
Charlotte

Svar:

Jag känner tyvärr inte till någon sådan handledning, utan mitt enda tips är att du läser i din sons böcker. Om du vill ha bättre råd föreslår jag att du hör av dig till  Fråga Kristianstad om matematikdidaktik.

Catarina Petersson


4 september 2000 10.22.19
vad är pytagoras sats
nils

Svar:

Pythagoras sats är nog matematikens mest berömda och kända sats. Den säger följande:

Låt ABC vara en rätvinklig triangel och antag att vinkeln C är rät. Om sidorna a, b och c står mot vinklarna A, B respektive C så gäller att

a2+b2=c2 .

Med andra ord säger alltså satsen att i en rätvinklig triangel är summan av kvadraterna på kateterna lika med kvadraten på hypotenusan.

Catarina Petersson


4 september 2000 09.58.52
Could you indicate the Swedish equivalent for hinge location? Could it be kvartilposition?
Birgit Laursen

Svar:

I agree to your proposal. You can read more on  this page .

Catarina Petersson


3 september 2000 23.05.11
Hej! Jag behöver hjälp med följande bevis: Bevisa att om k och n är naturliga tal, så är Integral från -pi till pi (cos(kx)*cos(nx)) dx = 0, då n /= k pi, då n = k >= 1 2*pi, då n = k = 0
Markus Jonsson

Svar:

Till att börja med kan vi konstatera att saken är klar i fallet k = n = 0, så vi kan hädanefter anta att k och n > 0. Partialintegrerar man cos(kx)*cos(nx) från -pi till pi så får man:

integral[-pi till pi] cos(kx)*cos(nx) dx = k/n integral[-pi till pi] sin(kx)*sin(nx) dx.  (1)
Ännu en partialintegration ger
integral[-pi till pi] cos(kx)*cos(nx) dx = (k/n)2 integral[-pi till pi] cos(kx)*cos(nx) dx,
varur fallet då k /= n följer. Det återstår att undersöka integralen då k = n > 0. Av (1) följer att
integral[-pi till pi] cos(kx)2 dx
= 1/2*integral[-pi till pi] ( cos(kx)2 + sin(kx)2 ) dx
= 1/2*integral[-pi till pi] dx
= pi.

Adam Jonsson


3 september 2000 21.06.31
Om man vet följande - K är en utvidgningskropp av en ändlig kropp L, där L består av q stycken stycken element. - z som tillhör K är algebraisk över L av grad n. Vad menas med algebraisk? Hur bevisar man att L(z) har q^n element?
Johan

Svar:

Man säger att z är algebraisk över K om det finns ett (nollskilt) polynom p med koefficienter i K så att p(z) = 0. Vidare sägs då graden vara n om det lägsta möjliga gradtalet på alla sådana polynom är n. Det här betyder då att L(z) består av alla uttryck

k0 + k1z + k2z2 + ... + kn-1zn-1,
där alla ki tillhör K. Eftersom det finns q element i K finns det alltså qn element i L(z).

Adam Jonsson


2 september 2000 14.16.30
Under en mattekurs som jag gick inte för så länge sedan sa läraren att man inte kan logaritmera negativa tal. Jag påpekade då att det kan man visst det, men jag blev nobbad. Vem har rätt?
Andreas på KTH

Svar:

Logaritmfunktionen är definierad som inversen till exponentialfunktionen. Eftersom exponentialfunktionen alltid är positiv är logaritmfunktionen inte definierad för icke-positiva tal, så din lärare har rätt. Men med tanke på principen med analytisk fortsättning kan man säga att du har rätt också. Om du inte hänger med i resonemanget som följer så ska du inte hänga läpp för det, utan i stället anmäla dig till en kurs i analytiska funktioner. Om vi låter M beteckna komplexa talplanet med en halvstråle borttagen, t ex M = alla komplexa tal utom de icke-positiva imaginära, så är M en enkelt sammanhängande öppen mängd som omfattar de positiva reella talen, där alltså logaritmfunktionen är definierad. Enligt välkända resultat har logaritmfunktionen då en entydigt bestämd utvidgning till en analytisk funktion definierad i hela M. Om vi använder log för att beteckna både den ursprungliga logaritmen och dess utvidgning, så gäller att

log(z) = log(|z|) + i arg(z),
dvs med detta synsätt skulle man säga att log(-x) = log(x) + i*pi, där x är ett positivt tal.

Adam Jonsson


1 september 2000 16.27.09
Detta är ingen fråga, men jag hittade ingen annan stans att skriva meddelande till er... Jag läser på högskolan och har ofta problem med matematiken, men jag har en stark känsla av att jag kommer att få stor hjälp av denna sida. Tack på förhand!
Kristina

Svar:

Vi tackar för förtroendet!

Adam Jonsson


1 september 2000 13.04.57
Hej! Jag behöver hjälp att reda ut ett sannolikhetsproblem. Antag att någon har lagt pengar i två stycken burkar. Jag får veta att det är dubbelt så mycket pengar i den ena som i den andra. Jag får titta i den första, och om jag vill så får jag byta till den andra. Låt säga att det ligger 100 kr i den första. Då ligger det 50 eller 200 kr i den andra med lika sannolikhet. Väntevärdet om jag byter är alltså 125 kr. Alltså bör jag byta och ta pengarna i den andra burken. Men det gäller ju oavsett beloppet i den första. Alltså behöver jag inte ens titta efter i den första burken. Jag vet att jag alltid tjänar på att byta till den andra - bara jag först har bestämt för den första. Är det något skumt i problemformuleringen eller i mitt resonemang???
Ulf Pettersson

Svar:

Till och börja med är det klart att man inte tjänar på att byta burk eftersom man inte får någon relevant information när man tittar i bara en av burkarna. Vad är det då som är fel med ditt resonemang? Jag skulle vilja säga att ditt resonemang är rätt lösning till fel problem, nämnligen det följande: Antag att du någon har lagt pengar i två burkar. Du vet att i den högra finns hundra kronor och att det i den vänstra finns antingen 50 eller 200 kr, med lika sannolikhet. Är det mest fördelaktigt att välja de säkra hundra kronorna i den högra burken, eller att chansa och välja den vänstra? I din fråga visar du att det i det långa loppet är bäst att välja den vänstra burken.

Adam Jonsson


31 augusti 2000 15.16.34
Vad är magnetism och varför är jorden magnetisk
Dejan

Svar:

Jag ber att få hänvisa dig till våra vänner på fysicum och deras  frågelåda .

Adam Jonsson


31 augusti 2000 14.30.48
Hej! Jag har en råga av lite mer fysikalisk art. Men jag undrar i alla fall hur man kan räkna ut sambandet mellan vindhastighet och kraften som blir på dels en plan och dels en rund yta.
Jonathan

Svar:

Även den här frågan vill jag överlämna åt fysikerna .

Adam Jonsson


31 augusti 2000 09.27.31
Hej! Jag är en ny student på lärarlinjen i Ma/NO 4-9. Eftersom jag inte tillhör de allra yngsta så har jag ett annat sätt att lösa divisionsuppgifter än tex min 10-åriga son har. Jag undrar om du kan ge en förklaring till de olika sätt som har funnits genom tiderna (gärna med uppställningar till desamma) och dessutom förklara varför man har bytat en del gånger (jag känner till tre sätt).
Christel

Svar:

De olika divisionsuppställningar som finns ("liggande stolen", "trappan" etc) är just bara olika sätt att ställa upp, presentera, räkningarna i divisionsalgoritmen (i bestämd form singular, för det finns bara en). Hur divisionsalgoritmen fungerar beskrevs den 21 april 1998 19.43.21 . Enda skillnaden mellan t ex "liggande stolen" och "trappan" är att i "liggande stolen" skrivs täljaren till vänster och nämnaren till höger och i "trappan" vice versa. Vissa människor har åsikter om att den ena uppställningen är mer pedagogisk än den andra, men det är något jag har mycket svårt att förstå.

Adam Jonsson


30 augusti 2000 23.03.22
Hur visa att D(fg) = fD(g) + gD(f) Frågan kan verka enkel, men jag skulle ändå vilja ha svar.
Mona

Svar:

För att göra det enkelt för oss definierar vi df := f(x+dx)-f(x), dvs f(x+dx) = f(x) + df, och motsvarande för g. Vi får då

(f(x+dx)g(x+dx) - f(x)g(x))/dx
= ((f(x) + df)(g(x) + dg) - f(x)g(x))/dx
= (f(x)g(x) + f(x)dg + dfg(x) + dfdg - f(x)g(x))/dx
= f(x)*dg/dx + df/dx*g(x) + df*dg/dx
--> f(x)*g'(x) + f'(x)*g(x) + 0*g'(x),
då dx --> 0. Enligt definitionen på derivata är därför (f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x).

Adam Jonsson


30 augusti 2000 14.23.47
När man drar roten ur ett tal använder man vanligen en miniräknare. Man kan också prova sig fram, om man har tålamod. Men hur gör man egentligen när man räknar ut roten med bara papper och penna?
Alexander

Svar:

Det finns inte något sätt att räkna ut roten ur ett godtyckligt tal i ett ändligt antal steg med bara de fyra räknesätten. Man måste alltså använda approximativa metoder som ger acceptabelt små fel. Jag vet inte exakt hur miniräknare gör men ett exempel på en metod är Taylorutveckling. T ex har vi då att

sqrt(1 + x) = summa[i från 0 till n](1/2 över k) xk + F,
där F, felet, är en funktion som beror på xn+1. Om x är litet blir alltså också felet litet.

Adam Jonsson


30 augusti 2000 11.58.37
Ett rep(längd 5m) hänger i en friktiosnfri ögla med två meter på ena sidan och tre på den andra Starthstigheten är noll och repets massa m Hur lång tid tar det för repet att glida ur öglan?
Kaj

Svar:

Vi betecknar repets längd på öglans högra sida vid tiden t med x(t). Repet på högra sidan ger med sin tyngd upphov till en nedåt riktad kraft F1 = m*x(t)/5*g, där g är den vanliga tyngdaccelerationen. Å vänstra sidan var vi en motverkande kraft F2 = m*(5-x(t))/5*g. Den resulterande kraften F = F1 - F2 ger repet en acceleration a(t) enligt F = m*a. Eftersom a(t) = x''(t) får vi följande differentialekvation:

m*g/5*x(t) - m*g/5*(5 - x(t)) = m*x''(t).
Om vi skriver k := 2/5*g, så förenklas detta till
x''(t) - k*x(t) = g,
som har den allmänna lösningen
x(t) = -g/k + C1*exp(sqrt(k)*t) + C2*exp(-sqrt(k)*t)
= -5/2 + C1*exp(sqrt(k)*t) + C2*exp(-sqrt(k)*t).
Begynnelsevillkoren x(0) = 3 och x'(0) = 0 ger lösningen
x(t) = -5/2 + 11/4(exp(sqrt(k)*t) + exp(-sqrt(k)*t))
= -5/2 + 11/2*cosh(sqrt(k)*t).
Uppgiften var att hitta den tid, T, då repet gled av öglan, dvs lösa ekvationen x(T) = 5. Detta är nu lätt att göra.

Adam Jonsson


29 augusti 2000 23.34.52
vad ar en fourierserie?
tony

Svar:

Jag rekomenderar varmt  Eric's treasure trove i den här frågan.

Adam Jonsson


29 augusti 2000 19.48.13
1) Finns det någon metod för hur man kan räkna ut hur många heltalslösningar det finns till y^2=x^3+ax^2+bx+c om a, b och c är givna heltal. 2) Finns det någon formel varifrån man kan få ut z och q om a och b är givna heltal i a/b = z rest q. (z och q måste givetvis följdakligen också vara heltal) 3) (x+1)*(x+2)*(x+3)*...*(x+n) Går det att trycka ihop det här i en formel och hur gör man då?
Niklas Wahlström

Svar:

Fråga 1 kan jag inte svara på på rak arm, men jag förmodar att ett svar finns någonstans i den mycket omfattande talteorilitteraturen.

Fråga 2. För att få ut kvoten och resten (z och q) vid division med två heltal använder man den vanliga divisionsalgoritmen, dvs "trappan" eller "liggande stolen". Se  31 augusti 2000 09.27.31 .

Fråga 3. Jag vet inte riktigt vad du menar med "trycka ihop i en formel", men man kan i alla fall ge relativt enkla formler för polynomets koefficienter. Helt allmänt är det så att om p(x) är ett n:te grads polynom med n (komplexa) rötter r1,...,rn, och vi skriver

p(x) = xn + an-1xn-1 + ... + a0,
så gäller det att
ak-1 = summa[0 < =i1 < i2 < ... < ik <= n] (-1)k *ri1*...*rik.
I polynomet p(x) = (x + 1)...(x + n) är rk = -k, så med följande beteckning för koefficienterna i p(x),
p(x) = xn + bn-1xn-1 + ... + b0,
har vi därför
bk-1 = summa[0 <= i1 < ... < ik <=n] i1*...*ik.

Adam Jonsson


28 augusti 2000 22.30.35
Hej!Jag undrar något angående linjärt beroende.Kan man räkna med olika vektorer i olika rum?Om vi har ett femdimensionellt rum kan man då räkna med fyrdimensionella och tredimensionella vektorer i samma rum?Och hur är då dessa i förhållande till linjärt oberoende?Jag antar att det endast går att räkna med samma dimensioner.Alltså att vektorerna måste ha samma dimension som rummet verkar logiskt! Tackar för svaret i förhand!
Bo Lindeberg

Svar:

Första frågan: Om du med "räkna med" menar addera så måste två vektorer tillhöra samma rum för att man ska kunna räkna med dem. Men om vektorn u tillhör rummet U och v tillhör ett ennat rum V så kan vi beräkna u+v t ex genom att betrakta U och V som delrum i U+V (direkt summa).

Övriga frågor: Observera att en vektor inte har någon dimension. En vektor är ett element i ett linjärt rum, och det är detta som vi tillmäter en dimension. Om du med t ex "fyrdimensionell vektor" menar en vektor i ett fyrdimensionellt rum, så tänk på att en given vektor i ett n-dimensionellt rum alltid samtidigt tillhör delrum av det senare av alla dimensioner lägre än n.

Adam Jonsson


28 augusti 2000 21.01.06
Hej! Jag har länge brottats med ett problem där uppgiften består i att beräkna determinanten för en NxN matris med en icke-rekursiv algoritm för användning i t ex. ett datorprogram. Finns det någon sådan alogritm, och om den finns -- vart hittar jag en bra beskrivning av den? (Jag är ledsen om frågan är en dubblett av någon existerande fråga, men jag kunde ej hitta svaret på min fråga i Er databas.)
Henrik Holst

Svar:

Jag vet inte om detta är ett bra svar ur datorimplementeringssynpunkt, men hur som helst gäller följande (icke-rekursiva) formel:

det(A) = summa[alla s i Sn] sgn(s) A1s(1) A2s(2) ... Ans(n),
där Sn är mängden av alla permutationer av n element, sgn(s) är 1 om s är en jämn permutation och -1 om den är udda, och slutligen är Aij förstås elementet på plats (i,j) i matrisen.

Adam Jonsson


28 augusti 2000 12.44.42
vill ni vara vänliga att utveckla begreppet tröghetsradie för oss är ni vänliga (mekanik)
konstruktörerna i S-vall

Svar:

Antag att vi har en kropp med ett visst tröghetsmoment, J, och en viss massa, m. Tröghetsradien definieras då som den radie ett tunnväggigt cirkelformat föremål med masssa m måste ha för att få tröghetsmomentet J. Räknar man ut tröghetsmomentet för ett tunnväggigt cirkelformat föremål så finner man att

J = mr2,
där r betecknar tröghetsradien. Vi har alltså
r = sqrt(J/m).

Adam Jonsson


28 augusti 2000 12.41.56
PÅ ett matteprov som jag fick förrut var en fråga att man skulle defeniera derivata så utförligt som möjligt. Hur skulle NI göra det?
J .Tilly

Svar:

Antag att vi har givet en funktion f som är definerad i en viss punkt x0. Derivatan av f i punkten x0 defineras då som

lim[x går mot x0] (f(x)-f(x0))/(x-x0).
Beteckningen lim[x går mot 0] betyder intuitivt att vi beräknar kvoten för olika tal x som succesivt ligger allt närmre x0, och låter derivatan av f i x0 vara det värde som kvoten får då x är "hur nära x0 som helst". Det finns naturligtvis en noggrannare definition av lim, men jag misstänker att den inte är så intressant i det här sammanhanget.

Adam Jonsson


27 augusti 2000 21.40.40
Skulle vara tacksam om jag kunde få hjälp med att förstå följande sats (Burnside's formel): Let G be a finite group and X a finite G-set. If r is the number of orbits in X under G, then r * |G| = summan av |Xg|, där g tillhör G. Vad står egentligen r för ?, vad betyder |G| ?, |Xg| ?
Jennifer

Svar:

G är alltså en ändlig grupp som verkar på en ändlig mängd X. Vi kan säga att två element a och b i X är ekvivalenta om det finns ett g i G så att g.a=b. Detta är en ekvivalensrelation på X och följaktligen är X en disjunkt union av ekvivalensklasser, vilka i det här sammanhanget kallas banor (orbits) i X under G. Givet a i X är alltså banan genom a mängden av alla g.a, där g tillhör G. För varje g i G får vi en delmängd Xg av X som består av alla element a i X sådana att g.a=a. Slutligen, för vilken ändlig mängd M somhelst, låter vi |M| beteckna antalet element i M. Då säger Burnsides formel att om vi adderar |Xg| för alla g i G så får vi antalet banor gånger |G|. I kombinatoriska sammanhang är det ofta enkelt att räkna ut  |Xg| för varje g i G och man andvänder sedan Burnsides formel för att räkna ut antalet banor.

Martin Svensson.


26 augusti 2000 23.40.34
Låt R vara en ändlig kommutativ ring med enhet. Visa att varje primideal i R är ett maximalideal. Tackar på förhand.
Sofia Johansson

 Svar:

Om I är ett primideal i en kommutativ ring R med etta, så är R/I ett ändligt integritetsområde, dvs en ändlig kommutativ ring med etta utan nolldelare. Men en sådan mängd är alltid en kropp, dvs varje element utom 0 har en multiplikativ invers; detta följer av att om x inte är noll, så ger multiplikation med x en injektiv avbildning från de nollskilda elementen till densamma. Men en injektiv avbildning mellan två lika stora ändliga mängder är också bijektiv. Alltså finns det y så att x.y=1. Eftersom en kropp saknar äkta, icketriviala ideal, följer det direkt att om I vore innehållet i ett ideal J till R, så måste J=I eller J=R. Alltså är I maximalt.

Martin Svensson.


26 augusti 2000 23.36.22
Behöver hjälp med denna fråga. Låt F vara en kropp med karakteristiken 0 och låt D vara den formella polynom differential avbildningen så att D(a0+a1x+a2x2+...+anxn=a1+2a2x+...+nanxn-1 Första siffran i formeln är nedsänkt och den andra är upphöjd. Hittade ej i verktygsfältet. Nu kommer frågan. Bestäm kärnan och bilden av F[x].
Ulla Andersson

 Svar:

Jag tror att du vill bestämma kärnan och bilden av D. Bilden av D är hela F[x],  ty givet ett polynom f(x) kan du ju bara integrera upp det. Tillämpar du D på detta polynom får du ju f(x). Vad kärnan beträffar är det klart att denna är F, dvs alla konstanta polynom. Naturligtvis är det viktigt att karakteristiken är 0.

Martin Svensson.


26 augusti 2000 20.02.18
Hej! Det är väldigt länge sedan jag gick i skolan och räknade ekvationer. Jag behöver hjälp med följande: 0,3x + 0,7y = 14,9 Snälla förklara för mig hur man räknar fram värdena för x och y. Tack på förhand!
Kalle

Svar:

Lösningen är alltså mängden av alla talpar (x,y), där x och y uppfyller ekvationen. Om alla reella värden på x och y är tillåtna så består lösningen av alla punkter på linjen

y=149/7-3/7.x.

Om endast heltalspar är tillåtna betraktar vi den ekvivalenta ekvationen 3x+7y=149. Om vi först tar en lösning till 3x+7y=1, till exempel (x,y)=(5,-2), blir den allmänna lösningen alla x och y sådana att

                                                                                                          x=5.149-7n=745-7n

y=-2.149+3n=-298+3n,

för något heltal n. Detta är den allmänna formeln för lösningen till en diofantisk ekvation och för dess enkla härledning kan du titta i Anders Vretblads bok "Algebra och Geometri".

Martin Svensson.


26 augusti 2000 11.14.28
Jeg lurer på hvordan jeg løser matriser på TI 83. Jeg vet hvordan man man taster inn matrisen, men hvordan finner man løsningen på den? Jeg har lett etter bruksanvisning på nettet, men finner det ikke.
miranda

 Svar:

Först får du fundera över vad du menar med att "lösa en matris". Om du menar lösa ett lineärt ekvationssystem eller invertera en matris är jag säker på att det står i bruksanvisnigen.

Martin Svensson.


25 augusti 2000 22.07.29
Hej! Jag undrar om du har någon lösning på följande problem: I klostret i dalen förvaras äpplen från höstens skörd. Äpplena ligger i källaren omsorgsfullt packade i lådor. Var och en av de 117 lådorna innehåller minst 80 och högst 102 äpplen. Hur många lådor innehåller samma antal äpplen?
Kristian

Svar:

Frågan är konstigt ställd: det finns till exempel inget som motsäger att de alla innehåller lika många äpplen. Eftersom 117=5.23+2 finns det alltid minst 6 stycken lådor som innehåller lika många äpplen.

Martin Svensson.


25 augusti 2000 21.17.34
Hej. Jag har precis börjat med trigonometri i skolan, men jag har inte lyckats få någon riktig förklaring av vad tangens är för något. Det enda jag har fått lära mig är att: tan v = motståemde katet/närliggande katet Sedan måste vi överlåta resten åt kalkulatorn. Detta gör mig vansinnig efterssom jag gärna vill veta hur denna kalkyl går till. Jag menar... det borde ju finnas nån form av ekvation som kan visa hur man räknar ut detta, eller nån graf som visar förhållandet mellan dessa element. Jag vore väldigt tacksam om jag kunde få ett svar :) MVH Ashraf Ansari Fredrika Bremergymnasiet www.fredrika.se
Ashraf Ansari

Svar:

Tyvärr finns det ingen enkel formel för att räkna ut tangens för en vinkel. Du kan se det såhär: föreställ dig en rätvinklig triangel i vilken en katet har längd 1. För varje val av närliggande vinkel till denna katet (mellan 0 och pi/2) är tangens för denna vinkel bara längden av den andra kateten.

Martin Svensson.


25 augusti 2000 09.17.18
Jag har grubblat länge över en fråga, nämligen hur man BEVISAR att x^2-3 är irreducibelt över Q(2^1/3)
Andreas Westin

Svar:

Här är ett enkelt bevis: om x2-3 vore reducibelt över Q(21/3) skulle 31/2 ligga i denna kropp, och följaktligen skulle Q(31/2) vara en underkropp till Q(21/3). Om vi med [L;K] betecknar graden av en utvidgning L av K så skulle enligt den så kallade tornlagen gälla att

3=[Q(21/3);Q]=[Q(21/3);Q(31/2)].[Q(31/2);Q]=[Q(21/3);Q(31/2)].2,

vilket är omöjligt eftersom 2 inte delar 3.  Är du inte bekant med dessa begrepp kan du titta i någon bok om Galoisteori.

Martin Svensson.


24 augusti 2000 14.37.00
Jag har en fråga som berör ett klassiskt exempel känt av grekerna redan på 400-talet f. Kr. Betrakta en kvadrat med sidan 1. Är mätetalet för diagonalens längd ett rationellt tal. Jag hittade samma exempel i en matte bok de hade löst problemet på följande sätt. Antag diagonalens längd kan skrivas x=p/q där p och q saknar gemensamma faktorer förutom +/-1. På grund av pytagoras sats är x^2=1^2 + 1^2=2. Alltså kan man skriva (p^2/q^2)=2 och efter omskrivning p^2=2q^2. Härav framgår att p^2, och därför p, måste vara ett jämnt tal säg p=2n. Insättning i sambandet ger 4n^2=2q^2 dvs q^2=2n^2. Som visar att även talet q är jämnt. Alltså har p och q den gemensamma faktorn 2 vilket strider mot angtagandet ovan om p/q. därför kan ej x vara ett rationellt tal. Min fråga lyder som följande hur kan det utgå från att p är jämnt ifrån sambandet p^2=2q^2 ovan. Mvh Henrik Walén

Svar:

Sambandet p2=2q2 visar att talet 2 delar talet p2. Men 2 är ett primtal och om ett primtal delar produkten av två heltal så måste det dela något av dessa. Då p2 är produkten av p med sig själv måste alltså 2 dela p, dvs p är jämt. Påståendet att om ett primtal delar produkten av två heltal så delar det ett av dessa följer direkt ur Euklides algortim. Ty låt a vara ett primtal som delar produkten bc, b och c heltal, och antag att a inte delar b. Eftersom a är primtal måste då a och b vara relativt prima. Enligt Euklides algoritm finns det då heltal x och y så att 1=xa+yb. Multiplikation med c ger att c=xac+ybc och här är högerledet, och då även vänsterledet, delbart med a.

Martin Svensson.


24 augusti 2000 12.20.56
Jag läste en formel för att räkna ut den n:te hexadecimala siffran av pi. Att det gick över huvud taget förvånade mig. Vad jag tyckte var ännu konstigare var att det inte gick att räkna ut en valfri siffra decimalt!!! Varför skulle det vara någon skillnad beroende på vilken talbas man använder? Tack så mycket för denna sidan!
Jonas Olson

Svar:

Det finns flera formler för att räkna ut siffrorna i pi, detta för godtycklig bas. Det speciella med formeln som jag tror att du tänker på, Bailey-Borwein-Plouffe algorithmen, är att man direkt kan få veta siffran i en viss position utan att först räkna ut de föregående (en så kallad digit-extraction algorithm). Det finns en liknande snabbare formel för binär bas, Bellards formel, men såvitt jag vet har man inte funnit någon för det decimala talsystemet. För lite historik kring dessa formler och relaterade länkar kan du titta på The Miraculous Bailey-Borwein-Plouffe Pi Algorithm och för allmän information om talet pi kan du titta på The Pi Page.

Martin Svensson.


23 augusti 2000 14.30.32
En fråga om primtal: Bland de första 10 positiva heltalen är andelen primtal 50% (1,2,3,5,7). Andelen primtal bland de första 100 positiva heltalen är 29% (viss felmarginal). Kan man säga något om andelen primtal bland alla positiva heltal, dvs faller andelen till någon kvot som håller sig relativt konstant mellan t.ex. den första miljonen och den första miljarden, eller varierar andelen på något sätt ju fler av heltalen man mäter bland?
Jörgen Olofsson

Svar:

Det är ett välkänt faktum ("primtalssatsen") att om pi(x) är antalet primtal som är mindre än eller lika med x, så så är pi(x) asymptotisk med x/ln(x) för stora x, dvs pi(x)/(x/ln(x)) går mot 1 då x går mot oändligheten. Följaktligen är för stora x andelen primtal mindre än eller lika med x, pi(x)/x, av storleksordningen 1/ln(x) som alltså går mot 0 då x går mot oändligheten. Du kan även titta på How may primes are there,  The prime pages  samt 11 maj 1999 11.32.51

Martin Svensson.


23 augusti 2000 10.04.06
Hej! Jag skulle vilja ha en formel där jag kan lägga in en pejlad nivå(cm) på en cylindrisk liggande tank och enkelt räkna ut volymen i tanken. Förutsättningen är att den ligger helt vågrätt på marken. Tack på förhand.
Anders Alm

 Svar:

Om r är tankens radie, d nivån i tanken, t=(d-r)/r, så får man vätskevolymen i tanken genom formeln

r2.(t.sqrt(1-t2)+arcsin(t)+Pi/2).längden av tanken.

För en härledning av denna formel se  30 januari 1997 09.59.08.

Martin Svensson.


22 augusti 2000 17.06.40
Hejsan En dag så skulle jag räkna ut ett stort matematiskt problem så jag gjorde ett program i Q-basic och jag fick svaret 1.84466E+19. Vad är detta och vad blir det om man skriver ut hela talet?
Niclas Wänström

 Svar:

Betyder att talet 1,84466 ska multipliceras med 10 nitton gånger, dvs kommatecknet ska flyttas 19 steg åt höger: 18446600000000000000.

Martin Svensson.


22 augusti 2000 15.15.05
HAr matematiker någon användning av fingeräkning...dvs sån typ av beräkningar som småbarn utför.
Klacken

 Svar:

Minst lika mycket som andra yrkesgrupper.

Martin Svensson.


22 augusti 2000 14.58.42
Hej! Jag undrar vad som utmärker en sk cirkulant matris. Tacksam för svar,
Christian

 Svar:

 Detta får du svar på om du klickar på följande länk till Eric Weisstein's world of mathematics.

Martin Svensson.


21 augusti 2000 18.08.04
Låt N vara en n*n reell symmetrisk matris med nollor på diagonalen. Varje element n_ij, för i<j, är en oberoende stokastisk variabel från samma fördelning D. Låt e_1 vara (någon) egenvektor till det minsta egenvärdet för N. Låt vidare x vara den vektor i {-1,1}^n som maximerar e_1'*x, dvs teckenvektorn för e_1. (om något element 0, så välj godtyckligt) Hur kan jag räkna ut det förväntade värdet av x'*N*x, uttryckt i n och storheter beroendes på fördelningen D? Om ett godtyckligt y väljs uniformt från {-1,1}^n är det förväntade värdet av y'*N*y lika med 0, oavsett fördelningen D. Empiriska resultat visar att x'*N*x är betydligt mindre (och har mindre varians?) för D uniform i [0,1]. Varje icke-trivial övre gräns är av intresse.
Andreas

 Svar:

Då n=2 är problemet enkelt: det minsta egenvärdet är -|n21| och en motsvarande egenvektor är e1=x=(-c,1), där c=tecknet av n21. Så ser man enkelt att den kvadratiska formen x'Nx i detta fall blir -2|n21|, vars väntevärde är enkelt att räkna ut om man känner fördelningen för n21. Enligt statistiker jag har talat med finns det för allmänt n ingen känd lösning på problemet.

Martin Svensson.


21 augusti 2000 10.56.40
Hur kan man med ord förklara innebörden av definitionen av kontinuitet(epsilon,delta versionen)?
F

Svar:

Tag en punkt p i definitionsmängden av funktionen f och ett intervall kring värdet f(p) av f i punkten p, till exempel ett intervall av längd epsilon. Då betyder kontinuitet av f i punkten p att det garanterat finns något litet intervall kring p, till exempel av längd delta, så att f's värden i detta intervall ligger i det givna intervallet kring f(p). Detta ska fungera oavsett hur litet epsilon är. Enkelt uttryckt att värdena f antar i punkter nära p är nära värdet av f i p.

Martin Svensson.


30 maj 2000 21.02.48
En vanlig dörrkod har siffrorna 0-9, och en fyrsiffrig kod. Detta ger 10000 kombinationer. Om man vill knäcka koden, och måste slå tex fyrkant emellan varje försök, går det åt 40000 siffertryckningar för att täcka in alla kombinationer. Men hemma hos mig behövs inte det, utan för varje siffertryckning kollas om de sista fyra siffrorna är rätt kod. Om man kunde skapa en optimal sträng av siffror, skulle det då räcka med 10003 knapptryckningar. Går det, och om inte hur många tryckningar behövs?
jesper wallentin

Svar:

Detta verkar vara en typ av portlås som breder ut sig. Se 10 mars 2000 21.32.09.

Kjell Elfström


30 maj 2000 17.57.08
En fluga sitter på utsidan av en kon med höjden 8 cm och basradien 3 cm. Flugan sitter 4 cm från konens topp. Hur lång blir sträckan för att det ska bli så kort sträcka som möjligt?
A. Lindqvist

Svar:

Vad menar du? Om det är avståndet från flugans nuvarande position till toppen måste väl svaret bli 4 cm. Du menar kanske att flugans vinkelräta avstånd mot bottnen till toppen är 4 cm. Skär du bort nederdelen av konen så att den återstående delen bildar en kon med höjden 4 cm, kommer radien i denna kon att vara 3/2. Enligt Pythagoras sats blir det avstånd flugan måste gå till toppen (42 + (3/2)2)1/2 = 731/2/2.

Kjell Elfström


30 maj 2000 17.54.45
Hej! Vad är ett kardinaltal och vad är ett ordinaltal? Hur kan man behandla dessa parallelliteter på ett bra sätt i grundskolan?
P. Andersson

Svar:

Se 20 april 2000 02.21.49. Jag tror inte att detta är något som behöver tas upp i grundskolan.

Kjell Elfström


30 maj 2000 17.47.18
I ett koordinatsystem är F (1,p) en punkt på positiva y-axeln och S (x,-p) en punkt på linjen y=-p. Punkten P (x, y) är så belägen att PF=PS. Ange sambandet mellan x och y.
Marie Johansson, Göteborg

Svar:

Skall det inte vara F = (0,p)? F ligger ju på y-axeln. Vi byter också namn på x-koordinaten för S så att S = (s,-p). Mittpunkten M på sträckan FS har enligt mittpunktsformeln koordinaterna (s/2,0). Antag först att s inte är 0. Om Q = (x,0) och O = (0,0) är trianglarna MQP och FOM likformiga. Detta ger att y/(x - s/2) = (s/2)/p, vilket också kan skrivas

4yp = (2x - s)s.

Denna senare formel är giltig även då s = 0.

Kjell Elfström


30 maj 2000 17.19.41
Hej jag har försökt förgäves lösa en tankenöt och jag undrar om ni kunde hjälpa mig. I uppgiften står det att man ska mäta 12 sfärer i en våg tre gånger och bestämma vilka av sfärerna ändrar sin vikt. Sfärerna ser likadana ut!!
MVH
FN
nepolson@hotmail.com
Mohammad

Svar:

Se 9 april 1997 20.59.45.

Kjell Elfström


30 maj 2000 16.20.23
Tjenare! Tänkte fråga om man vilken formel man ska använda sig av om man vill beräkna avståndet mellan två föremål? Till hjälp är det tänkt att man har två kameror som sitter på det ena föremålet. Vå kamerorna kommer att riktas in på på det andra föremålet. Vi äger kännedom om kamerornas avstånd från varandra. Tack på förhand! Maila gärna svaret till ali-abed@dsv.su.se
ali-abed@dsv.su.se

Svar:

Antag att kamerorna är placerade i punkterna A och B och det andra föremålet i punkten C. Givet är att sträckan AB = d är känd. Det verkar vara höjden h mot sidan AB i triangeln ABC som söks. Antag att vi känner vinklarna a = BAC och b = ABC och till att börja med att dessa är spetsiga. Om D är skärningspunkten mellan höjden och sträckan AB är

d = AD + DB = hcot a + hcot b = h(cot a + cot b),

vilket ger att

h = d/(cot a + cot b) = d sin a sin b /sin(a + b).

Denna formel är riktig även då en av vinklarna är rät eller trubbig, vilket frågeställaren själv uppmanas övertyga sig om.

Kjell Elfström


30 maj 2000 13.00.38
Är vi ytterligare ett socialdemokratiskt bluffmakeri på spåren, eller läste han (Tage Erlander) vid något annat universitet? Eller var det helt enkelt så att han, likt mången modern student, helt enkelt inte klarade av (alternativt inte fullföljde) sina matematikstudier?
Dogge III, Uppföljaren

Svar:

Det råder ingen tvekan om att Tage Erlander läste matematik vid Lunds universitet och att han varit ordförande i Lunds matematiska sällskap. Se Lunds Matematiska Sällskap.

Kjell Elfström


30 maj 2000 08.23.21
Hej, jag undrar om du vet hur man kan omvandla vindhastighet till kraft!
Jonte

Svar:

Fråga vetenskapen om fysik.

Kjell Elfström


30 maj 2000 00.24.23
Herons formel. Den grekiska matematikern Heron har fått ge namn åt en formel för beräkning av en triangels area A om man vet sidornaslängder a, b och c. A=(s(s-a)(s-b)(s-c))^½ där s=(a+b+c)/2 Bevis denna formel och undersök om den kan generaliseras till fyrhörningar(ev till n-hörningar).
vian malam

Svar:

Se 31 januari 1997 12.32.10 och 18 maj 1998 18.50.19.

Kjell Elfström


29 maj 2000 23.34.33
Hej Kjell! Hur många poäng matte har du läst? Hur mycket matte finns det, det måste ju finnas någon gräns? Jag tycker matte är skoj och ska nog läsa det på universitetet om ett år när jag går ut gymnasiet, men vilka är framtidsutsikterna och hur många poäng måste man läsa för att få ett "mattejobb", jag har hört att man måste doktorera.

Svar:

Formellt har jag läst 80 poäng på grundnivån och en del forskarkurser. Du har nog rätt i att man måste doktorera om man vill arbeta vid ett universitet. Utanför universitetet kan man t ex arbeta inom tillverkningsindustrin, vid försäkringsbolag, finansbolag och inom bio- och miljöområdet samt naturligtvis som lärare. Förutom ren matematik behöver man ofta ha kunskaper inom matematisk statistik, numerisk analys, datavetenskap mm.

Kjell Elfström


29 maj 2000 09.31.54
hur är det möjligt att en fotboll kan skruvas?
johan

Svar:

Fråga vetenskapen om fysik.

Kjell Elfström


29 maj 2000 01.02.32
Hej
Tack för en trevlig sida! Jag undrar om det finns någon möjlighet att lösa ekvationen sin(x)+x=C ?
mvh
Martin Andersson

Svar:

Nej, inte exakt.

Kjell Elfström


28 maj 2000 22.08.14
Kan man entydigt säga att ett system(linjärt)är instabilt om stegsvaret innehåller en delta-funktion? Ger ett sådant system icke begränsade svar på alla begränsade insignaler?
Jonas

Svar:

Jag är tyvärr inte bekant med terminologin.

Kjell Elfström


28 maj 2000 10.43.56
Hej, jag har en fråga som ställt till lite problem för mig. Den generande funktionen för Fibonacci-tal, f(x)=sum(k=0 till +inf)F(k)x^k = x/(1-x-x^2) vill jag ska konvergera. Å ena sidan får jag en konvergensradie, R = 0.618 (Hadamards formel), å andra sidan ett konvergensintervall mellan -1.618 till 0.618 (genom att observera när 1/(1-(x+x^2) = 1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+..), dvs. |x+x^2|<1 och det är en konvergent geometrisk serie). Varför får jag olika resultat? (jag sitter och leker lite med serier på formen q1=1, q0=0, q_n=aq_(n-1)+q_(n-2)) Trevlig sida ni har!
Dennis Eriksson

Svar:

Du får olika resultat för att

x + x2 + 2x3 + 3x4 + 5x5 + ...

och

x + x(x + x2) + x(x + x2)2 + x(x + x2)3 + ...

är olika serier. Man förstår kanske skillnaden bättre om man betraktar serierna

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

och

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ...

Den första är divergent och den andra är konvergent med summan 0. Om termerna i en serie däremot är positiva har en dylik omstuvning av termerna ingen betydelse eftersom summan då måste vara supremum av delsummorna. För positiva x är ju serierna i frågan också antingen båda konvergenta eller båda divergenta. För t ex x = -1 är den ena konvergent och den andra divergent.

Kjell Elfström


27 maj 2000 14.45.56
Hur räknar man ut hur många decimaler som behövs för att produkten av två tal skall bli "exakt"?
t ex X * 668 = 100,00
* hur många decimaler måste X ha?
Andreas

Svar:

I ekvationen ovan har inte X = 100/668 en ändlig decimalutveckling. Det behövs alltså oändligt många decimaler. Om decimalutvecklingen av en kvot a/b skall vara ändlig måste 10n·a/b vara ett heltal för något heltal n. Eftersom 668 innehåller primtalsfaktorn 167 kan någon sådan produkt aldrig bli ett heltal. Allmänt kan man primtalsfaktorisera a och b och förkorta bråket så långt det går. När detta är gjort får det endast finnas primtalsfaktorer 2 och 5 kvar i b om kvoten a/b skall ha en ändlig decimalutveckling. Om det finns i tvåor och j femmor blir antalet decimaler i utvecklingen av a/b det största av talen i och j.

Kjell Elfström


26 maj 2000 12.10.43
Hej! vi har lite funderingar som vi skulle vilja ha hjälp med.
Hur visar man att ekationen x^3+aX^2+bx+c=0 (ekv 1) övergår i x^3+px+q=0 (ekv 2), om x ersätts med x-a/3.
När har ekvationen (1) tre reella rötter som är olika stora?
Samt hur visar man io ett pq-system de områfen där ekvation (2) har en, två respektive tre reella rötter?
Sara S

Svar:

Se 28 januari 1997 10.06.25.

Kjell Elfström


26 maj 2000 08.52.45
Hejsan Samuel heter jag. Jag går andra året på Gymnasiet och min älskade mattelärare säger man med basen sex kan få pi exakt. Jag tyckte att detta lät otroligt. Stämmer detta? Jag har redan frågat på en annan sida och de svarade att pi inte kan fås exakt med någon heltalsbas. Bäst att kolla en gång till; kan man det?
Samuel Karlsson

Svar:

pi är irrationellt, dvs kan inte skrivas som kvoten mellan två heltal. Ett tal som har en ändlig utveckling i någon heltalsbas måste vara rationellt, varför pi inte kan ha en ändlig utveckling. pi kan av samma skäl inte ha någon periodisk utveckling i någon heltalsbas eftersom reella tal med periodiska utvecklingar är rationella. Att pi är irrationellt bevisades första gången av Johann Heinrich Lambert.

Kjell Elfström


26 maj 2000 08.45.57
Har följande problem som uppstått vid studier av molekylspektra. Jag har en matris H som är symmetrisk, denna diagonaliserar jag och studerar dess egenvärden och egenvektorer. Olika delar i matrisen har olika fysikaliska tolkning varför jag skulle vilja studera hur de olika delarna påverkar egenvärdena. Jag skriver om matrisen som H=Homega+Hs där Homega är en diagonalmatris. Kan jag genom att studera Homega och Hs var för sig på något sätt uttala mig om deras bidrag till H:s egenvärden?
Bo-Göran Wallner

Svar:

Jag tror inte att jag kan ge något allmängiltigt svar som du kan ha användning av.

Kjell Elfström


26 maj 2000 08.45.47
Hejsan! Vi går på Polhemskolan i Lund och håller på med ett arbete om pi, så vi undrar om du skulle kunna skriva lite viktig och intressant information till oss. Vi skulle vara evigt tacksamma om du kunde svara innan måndag! Tack på förhand

Svar:

Se Eric Weisstein's World of Mathematics och Pi through the ages.

Kjell Elfström


25 maj 2000 21.12.53
I en intervju i Lundagård för länge sedan tillfrågades statsminister Tage Erlander mycket försynt vad han skulle ägnat sig åt om han inte blivit statsminister. Svaret blev: "Förmodligen skulle jag velat fortsätta med mina matematiska studier." - Tage Erlander studerade matematik i Lund och blev sedemera Lunds Matematiska Sällskaps förste ordförande (hans son, Sven, blev småningom professor i matematik och även rektor vid Linköpings universitet), men min fråga gäller om ni känner till hur mycket matematik han läste innan han bröt av till den politiska banan.
Dogge III, Uppföljaren

Svar:

Enligt tämligen säkra källor tog han inget betyg i matematik vid Lunds universitet.

Kjell Elfström


25 maj 2000 12.16.23
har ett specialarbets problem: kurvan Y=cosx , 0<x<(3.1415) har en tangent som går genom origo. Tangeringspunktens x-koordinat är P, ställ upp en ekvation för bestämmning av P
David S.

Svar:

Ekvationen för tangenten till kurvan y = f(x) i en punkt (P,f(P)) har ekvationen

y - f(P) = f '(P)(x - P).

Att tangenten går genom origo innebär att x = y = 0 satsifierar tangentens ekvation. Vi får

f(P) = f '(P)P.

Man kan också direkt utnyttja att tangentens riktningskoefficient dels är f '(P), dels (f(P) - 0)/(P - 0).

Kjell Elfström


25 maj 2000 12.12.02
Bestäm samtliga rötter till ekvationen:
2sin^4x + cos^2x =1
David S.

Svar:

Ekvationen är alltså 2sin4x + cos2x = 1. Ersätt först cos2x med 1 - sin2x. Sätt därefter y =  sin2x. Du får då ekvationen 2y2 - y = 0, som har rötterna y = 0, y = 1/2. Nu återstår bara att lösa ekvationerna sin x = 0 och sin x = ±2-1/2.

Kjell Elfström


25 maj 2000 11.35.10
Hej !
Tack för en bra sajt...hoppas jag kan få hjälp även med detta problem:
Funktionen är F(x,y,z)=yz^2-xz^3-z sambandet F(x,y,z)=2 och z def. som en funktion av (x,y) då (x,y,z) ligger nära (1,3,2). hur bräknar man då dz/dx och dz/dy för (x,y)=(1,3) ?
Vidare så skall man beräkna riktiningsderivatan av z i punkten (1,3) i riktning (1,1). Hur görs det? Och till sist, vilken riktning är riktningsderivatan i (x,y)=(1,3) som störst, och vad blir dess värde? tack på förhand !!
peter

Svar:

För den första delen av frågan, använd implicita funktionssatsen i tre variabler.

Låt F vara en funktion av tre variabler, som är C1 i en omgivning av punkten a = (a1,a2,a3) och antag att f(a) = k, där k är en konstant. Om (df/dx3)(a) inte är 0 så finns det i någon omgivning av a en entydigt bestämd C1-funktion f av två variabler, sådan att

F(x1,x2,f(x1,x2)) = k.

För funktionen f gäller att

(df/dx1)(x1,x2) = -(dF/dx1)(x)/(dF/dx3)(x),    (df/dx2)(x1,x2) = -(dF/dx2)(x)/(dF/dx3)(x),

där x = (x1,x2,f(x1,x2)).

Riktningsderivatan i en punkt i riktningen v, där v är en enhetsvektor, är skalärprodukten av v och gradienten till f i punkten. Vektorn v = 2-1/2(1,1) är en enhetsvektor som har samma riktning som (1,1). Riktningsderivatan i gradientens riktning är den riktningsderivata som är störst.

Kjell Elfström


25 maj 2000 11.27.04
Hur deriveras funktionen: y= x^( e^x ) ??
Staffan E.

Svar:

För att derivera funktioner på formen f(x) = (g(x))h(x) brukar man göra omskrivningen f(x) = eh(x) ln(g(x)). Se 24 maj 2000 11.16.50 för en liknande fråga.

Kjell Elfström


24 maj 2000 23.16.25
På MaD-slutprovet förekom en fråga med en parabel-liknande graf i första och andra kvadranten som hade ett positivt maximum för x=0. Under grafen fanns en kvadrat med nedre vänstra hörnet i origo och det övre högra hörnet tangerande grafen. Uppgiften var att dels ange en trigonometrisk funktion som hade en liknande graf. Jag valde y=cos x. Problemet var att man sedan skulle beräkna arean för kvadraten: Hur löser jag ekvationen x=cos x. Det borde vara enkelt egentligen! Vad är det jag inte ser?!
Peter

Svar:

Man kan inte lösa ekvationen x = cos x exakt.

Kjell Elfström


24 maj 2000 20.28.43
Låt p och q vara två punkter påp hyperbel sådan att den rätta linjen pq går genom hyperbelns ena brännpunkt. Tangenterna i dessa båda punkter skär varandra i r. Bestäm avståndet mellan r och den räta linje som går genom hyperbelns medelpunkt och som är vinkelrät mot hyperbelns axel. Vi antar att hyperbelns transversalaxel är 2a och avståndet mellan hyperbelns brännpunkter är 2c. Vi förutsätter att p och q ligger på samma hyperbelgren. Tack Dan (Vart ligger hyperbelns medelpunkt?)

Svar:

Hyperbelns medelpunkt är punkten mitt emellan brännpunkterna. Se 10 april 2000 12.58.11, eller sök efter hyperbel för att se andra svar på denna fråga.

Kjell Elfström


24 maj 2000 20.22.51
Bestäm konstanten "a" så att funktionen f(x)=x^2 + a/x får ett minimum för x=2
Johanna

Svar:

Denna funktion har inget minimum. Däremot kan man bestämma a så att den får ett lokalt minimum. Se 24 maj 2000 16.26.19. Vi har här att f '(x) = 2x - a/x2. Om 2 skall vara en lokal minimipunkt måste f '(2) = 4 - a/4 = 0, varför det enda möjliga värdet på a är 16. Visa nu att funktionen verkligen har ett lokalt minimum i x = 2 för detta värde på a genom att göra teckenundersökning av derivatan eller bestämma andraderivatans tecken i x = 2.

Kjell Elfström


24 maj 2000 20.22.06
Hej igen
Jag ställde en fråga igår om en funktion:
Funktionen f(x)= 2x^3 - 3x^2 - 12a + a
har ett maximi och ett minimivärde. Hur stort är minimivärdet om maximivärdet är 30?
och fick svaret att det inte fanns varken maxi eller minimivärde. detta finner jag konstigt eftersom det enligt boken (matematik 2000 kurs C) finns en lösning på problemet. Härligt med denna bok är att liknande uppgift inte finns förklarad någonstans och endast svar är utsatt i facit.
Jag är förvirrad.
Sara igen

Svar:

Se 24 maj 2000 16.26.19, där det finns ett nytt svar.

Kjell Elfström


24 maj 2000 19.41.51
Goddagens.
I brist på matematikböcker och bra idéer, skulle man kunna få hjälp med följande funderingar. Två sträckor u och v har sina resp. -start eller baspunkter som beskrivs med koordinaterna,
u=(x1,y1) v=(x3,y3).
Längden på vardera stäcka beskrivs med multiplerna 't' resp. 's'. Riktningen eller basvektorerna beskrivs,
u=(t*a, t*b) resp. v=(s*c, s*d).
Man kan väl då hävda att koordinaterna för spetsarna av vektorena beskrivs i 2-D rummet som:
ux=x1+a*t uy=y1+b*t och vx=x3+c*s vy=y3+d*s ?
Min fråga tillslut då, om man antar att de två riktade sträckorna skär varandra i en punkt, hur bestämmer man värdet på de oberoende multiplarna 't' och 's', dvs. sträckornas längd? Går det att göra utan att blanda in räta linjens ekvation då en sådan lösning gör mitt program stort och långsamt? Är vektorsubtraktion det jag letar efter?
Det känns som om problemet är alltför enkelt, men jag har fastnat...
10^3 tack till den som hjälper mig.
Emil Eriksson

Svar:

Den ena sträckan börjar i punkten P med koordinaterna (x1,y1). Riktningen ges av vektorn (a,b) och sträckan slutar i punkten A + u, där u = s(a,b). På samma sätt börjar den andra sträckan i Q = (x3,y3), har riktningen (c,d) och slutar i Q + v, där v = t(c,d). Som jag förstått problemet är s och t konstanter och vi väljer att skriva u1 = sa, u2 = sb, v1 = tc, v2 = td. Om vi betraktar linjerna på vilka sträckorna ligger är deras ekvation på parameterform

(x,y) = P + pu = (x1 + pu1, y1 + pu2)

resp.

(x,y) = Q + qv = (x3 + qv1, y3 + qv2).

Innebörden av detta är att (x,y) ligger på den första linjen om och endast om det finns ett tal p sådant att den första likheten gäller. Motsvarande gäller naturligtvis för den andra linjen. Att en punkt (x,y) ligger på båda linjerna innebär alltså att det finns p och q så att båda likheterna gäller, dvs ekvationssystemet

x1 + pu1  = x3 + qv1
y1 + pu2  = y3 + qv2

har en lösning pq. Skriv om ekvationssystemet så att de obekanta återfinns i ena ledet.

u1 p - v1q  = x3 - x1
u2 p - v2q  = y3 - y1

Om det inte finns någon lösning pq till ekvationssystemet saknar de båda linjerna skärningspunkt. Om systemet har oändligt många lösningar sammanfaller linjerna. Om systemet har en entydig lösning skär linjerna varandra i en punkt. Villkoret för att denna punkt skall ligga på de båda sträckorna är att 0 <= p <= 1 och 0 <= q <= 1.

Kjell Elfström


24 maj 2000 18.07.34
Goddag.
Jag undrar hur man utför en regression för kurvor av typen a*e^(b*x) där e=2.718... Finns det något enkelt/effektivt sätt?
Oscar Svensson

Svar:

Logaritmerar man sambandet y = aebx får man ln y = ln a + bx. Med de nya variablerna u = x, v = ln y har man alltså ett lineärt samband och kan bestämma koefficienterna ln a och b med minsta kvadratmetoden.

Kjell Elfström


24 maj 2000 16.26.19
Ang. Saras fråga den 23 maj 2000 19.20.40 För mig verkar det uppenbart att hon frågar efter lokala extremvärden, men som hon själv säger är hon "ingen expert på funktioner alls". Ni som är "experter på funktioner" borde väl kunna genomskåda att det är lokala max resp. min hon menar och hjälpa henne med detta. Problemet i sig är ju ganska trivialt (frågan är dock om det verkligen är menat att stå -12a + a) så det borde ju vara lätt att förklara för henne.
Max Planck

Svar:

Jag tar frågan 23 maj 2000 19.20.40 en gång till. Jag tolkar maximi- och minimipunkt som lokal maximi- resp. minimipunkt. En maximipunkt är annars en punkt där funktionen antar sitt största värde. En lokal maximipunkt till funktionen f är en punkt x0 som är sådan att f(x) <= f(x0) för alla x som ligger nära x0. Jag tror också att funktionen i frågan skall vara f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x + a. Eftersom funktionen är deriverbar måste de lokala extrempunkterna finnas i punkter där derivatan är 0. Eftersom f '(x) = 6x2 - 6x - 12 är derivatan 0 om och endast om x2 - x - 2 = 0. Löser man denna andragradsekvation får man x = -1 eller x = 2. Gör nu teckenundersökning av derivatan. Man ser då att -1 är en lokal maximipunkt och att 2 är en lokal minimipunkt. Enligt förutsättningarna är f(-1) = 30. Uträkning visar att f(-1) = 7 + a. Därför måste 7 + a = 30, varför a = 23. Beräkna nu f(2).

Kjell Elfström


24 maj 2000 11.16.50
Hur deriverar man funktionen: y= ( lnx ) upphöjt med (1-x) ???
Carina

Svar:

Skriv om funktionen som

y = f(x) = ez,  där   z = (1 - x) ln (ln x).

Då är dy/dx = (dy/dz)(dz/dx), dy/dz = ez och

dz/dx = -ln ln x + (1 - x)(1/ln x)(1/x).

Nu överlåter jag åt dig att multiplicera ihop och snygga till.

Kjell Elfström


24 maj 2000 10.35.00
Angående frågan om snälla vinklar. Jag har gjort lite mer efterforskningar nu och kommit fram till att en snäll vinkel är en vinkel, a, för vilken sin a och cos a är rationella tal. Problemet bestod i att visa att det ej finns någon minsta vinkel. Detta bör väl innebära att man använder gränsvärden för lim t->0 av sin a och cos a. Kan dock ej komma fram till beviset för varför det är så (verkar ju nästan logiskt då man kommer oändligt nära noll). Vore tacksam för en bevisidé.
Peter Undén

Svar:

Pythagoras angav följande formel för att generera Pythagoreiska tripler. Om

a = 2m,   b = m2 - 1,   c = m2 + 1,

där m är ett positivt heltal, så är (a,b,c) en Pythagoreisk tripel, dvs a och b är kateterna och c hypotenusan i en rätvinklig triangel vars sidolängder är heltal. Låt v vara den mot sidan a stående vinkeln. Då är

cos v = (m2 - 1)/(m2 + 1),   sin v = 2m/(m2 + 1)

vilket visar att cos v och sin v är rationella tal och att sin v går mot 0 då m går mot oo.

Kjell Elfström


24 maj 2000 09.50.05
Hej! Vi måste förstå tankegången bakom några metoder för numerisk integration och vid problemlösning kunna använda grafisk/numerisk programvara för att beräkna integraler. Vi skulle också vilja ha användningsområden för integraler. Svara gärna senast den 26/5!
Nv 2c

Svar:

Idén bakom numerisk integration är ofta att ersätta kurvan med en enklare typ av kurva. Så är fallet i rektangelmetoden, trapetsformeln och Simpsons formel. I det första fallet ersätts grafen med en graf bestående av räta horisontella linjestycken, i det andra fallet med en sammanhängande graf bestående av linjestycken och i den sista med en kurva bestående av andragradskurvor. Se Eric Weisstein's World of Mathematics. Integraler används i en mängd tillämpningar. Det kan vara areaberäkningar, sannolikheter vid kontinuerliga fördelningar, fysikaliskt arbete när kraften varierar mm.

Kjell Elfström


23 maj 2000 21.54.53
A cylinder with known volume pressurized to 2 bar with inlet flow (air). The cylinder has an integrated pressure transducer which accuracy gives a signal corresponding to the real pressure (mbar) inside the cylinder. The pressure signal droped slowly and indicated that the cylinder is leaking somewhere. I wondering how can I with a simple equation approximately describe the flow leakage with unit ml/min without using a flowmeter?
Alex Lee

Svar:

Jag hänvisar till Fråga vetenskapen om fysik.


23 maj 2000 20.55.06
Ang. 20 maj 2000 23.13.33 så är en "aritmetisk ring" detsamma som en "modulär ring", dvs. en talvärld med ett ändligt antal heltal från 0 till n, dvs. alla tal som kan fås som rest vid heltalsdivision med n. Efter talet n - 1 återkommer talet 0, som om tallinjen istället var en ring eller ögla. Därför är t.ex. 17 + 13 = 6 (mod 24).
Magnus

Svar:

I frågan den 20 maj 2000 23.13.33 frågades bland annat vad aritmetiska ringar används till. En aritmetisk ring är alltså en ring bestående av restklasserna 0,1,2,...,n - 1 vid division med n, där n är ett positivt heltal. Ringen kallas Zn. Addition och multiplikation i ringen definieras på så sätt att den vanliga summan eller produkten beräknas. Därefter bestäms resten av denna vid division med n. I Z5 är alltså elementen 0,1,2,3,4 och exempelvis är 1 + 2 = 3, 3 + 4 = 2, 2·2 = 4, 2·3 = 1. Dessa ringar används flitigt inom talteorin när man är intresserad av delbarhet med n. Ett exempel är beviset av Fermats lilla sats, som säger att om p är ett primtal så är ap - a delbart med p. Man kan då betrakta a som ett element i Zp. Om a = 0 i Zp (dvs a är delbart med p i Z) är påståendet självklart. Annars tillhör a den multiplikativa gruppen 1,2,3,...,p - 1. Ordningen av a, dvs det minsta heltal n för vilket an = 1, måste dela gruppens ordning p - 1. Därför är också ap - 1 = 1 i Zp, dvs p delar ap - 1 - 1, varav påståendet följer.

Låt nu n vara ett positivt heltal. De n:e enhetsrötterna är de komplexa lösningarna till ekvationen zn = 1. Dessa är zk = ek·2pi/n, k=0,1,...,n - 1. På grund av potenslagarna gäller att zjzk = zj + k och eftersom zn = 1 = z0 motsvarar multiplikation av enhetsrötter addition (av exponenterna) i Zn.

Kjell Elfström


23 maj 2000 20.28.30
Jag lyckas ej lösa ut t ur följande formel som
beskriver höjden (y) över marken: y = h + v*sin(alfa)*t - (gt^2)/2
Min algebra är tyvärr inte vad den borde vara, fast jag läser tredje året tekniskt...
Tack och hej
Stefan

Svar:

Dividera först med -g/2, för att få en etta framför t2.

t2 - 2(v/g)(sin alfa)t = 2(h - y)/g.

Kvadratkomplettering ger att

(t - (v/g)(sin alfa))2 = ((v/g)(sin alfa))2 + 2(h - y)/g,

varför

t = (v/g)(sin alfa))2 ± (((v/g)(sin alfa))2 + 2(h - y)/g)1/2.

Kjell Elfström


23 maj 2000 20.13.01
Hej!
Jag har stött på ett problem där man skall bevisa att det inte finns någon minsta "snäll vinkel." Mitt problem är att jag inte vet vad en snäll vinkel är vilket ni kanske kan svara på
Peter Undén

Svar:

Jag vet inte heller vad en snäll vinkel är.

Kjell Elfström


23 maj 2000 19.21.42
För funktionen f gäller f(x+h)= f(x) + h samt f(0)=2. Beräkna f(3)
Johanna Bergström

Svar:

Välj x = 0 och h = 3 och använd formeln.

Kjell Elfström


23 maj 2000 19.20.40
Hejsan
Jag undrar hur jag sköa lösa detta, jag är ingen expert på funktioner alls.
Funktionen f(x)= 2x^3 - 3x^2 - 12a + a
har ett maximi och ett minimivärde. Hur stort är minimivärdet om maximivärdet är 30?
Sara

Svar:

Funktionen har varken maximivärde eller minimivärde. Oavsett hur man väljer parametern a kommer f(x) att gå mot oo och -oo då x går mot oo resp. -oo.

Kjell Elfström


23 maj 2000 00.50.24
Läste en artikel någonstans att en gymnast upptäckt då han "lekte" med sin miniräknare att sexsiffriga tal av typen abcabc tex 235647 eller 123123 tycks vara delbara med 13. Har provat mig fram och det verkar som om så vore fallet men då detta förmodligen gäller hos alla de 999 dylika tal borde det existera en härledning angående generell delbarhetsegenskap eller ? Hjälp mig
Erika Lundgren

Svar:

Talet 235647 verkar inte vara på formen abcabc! Ett tal n på denna form kan skrivas

n = 1000A + A = 1001A

där alltså A är det tresiffriga talet abc. Att n är delbart med 13 följer av att 1001 är delbart med 13. 1001 är även delbart med 11 och 7 varför du får ytterligare två delbarhetsregler på köpet.

Kjell Elfström


23 maj 2000 00.25.17
2x-4y=16
8x/8y=10
x=?
y=?

Svar:

Den andra ekvationen ger att x = 10y. Ersätt därför x i den första ekvationen med 10y. Lös ut y ur denna nya ekvation och utnyttja sedan att x = 10y.

Kjell Elfström


22 maj 2000 19.38.34
I matte e kurs går jag bet på ekvationen z+iz=i tacksam
Johan Rönnberg

Svar:

Bryt först ut z så får du (1 + i)z = i. Dividera båda leden med (1 + i), z = i/(1 + i). Förläng nu med konjugatkvantiteten till 1 + i för att få svaret på formen a + bi.

Kjell Elfström


22 maj 2000 18.10.36
Hej!
Finns det något n för vilket roten ur n! är ett heltal?
Rasmus Olsson

Svar:

Ja, 0 och 1. Om n > 1, k > 1 är heltal är däremot n! skilt från ak för alla heltal a. Detta följer av en sats, Bertrands postulat, som bevisades av Chebyshev 1850-1851. Denna säger att om p >1 är ett heltal så finns det ett primtal q sådant att p < q < 2p. Låt nu p vara det största primtalet som ingår i faktoriseringen av n!. Då är n < 2p, ty annars skulle, enligt Bertrands postulat, ett större primtal q ingå i faktoriseringen. Detta visar att den största primfaktorn i n! bara förekommer en gång. Om n! är en potens ak är den största primfaktorn i n! densamma som den största primfaktorn i a, vilket visar att k måste vara 1.

För ett bevis av Bertrands postulat, se t ex Niven, Zuckerman: An Introduction to The Theory of Numbers, Wiley.

Kjell Elfström


22 maj 2000 15.43.42
Hej! Tack för att ni besvaeade min fråga från den 15/5 kl 15.17.13 Tyvärr hade jag inte bara skrivit så att det var svårt att förstå utan även fel! Istället för (a1-2)/2... skulle det vara (a1-2)/a1 dvs ai i nämnarna istället för 2. Kanske bygger svaret på samma princip som det svar jag fick, men jag kan tyvärr inte se hur. Hoppas ni kan hjälpa mig än en gång!
H.Å.

Svar:

Problemet är fortfarande för vagt formulerat. Skall elementen ai vara heltal, positiva, olika?

Kjell Elfström


22 maj 2000 15.36.44
hur fick man pythagorassats ?
diana adam

Svar:

Jag vet inte hur man kom fram till den från början.

Kjell Elfström


22 maj 2000 10.26.06
vilken är den 1000 decimalen i pi?

Svar:

Varsågod, här är pi korrekt avrundat till 1000 decimaler.

3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944
  592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647
  093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559
  644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165
  271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273
  724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360
  011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953
  092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724
  891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737
  190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132
  000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901
  224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960
  864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951
  059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035
  261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303
  598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532
  1712268066130019278766111959092164201989.
Eftersom pi är större än detta tal är 9 den tusende decimalen i den oändliga decimalutvecklingen av pi.

Kjell Elfström


22 maj 2000 10.23.29
Vilka är de 4 senaste årens nobelpristagare i matematik?
Helena Andersson

Svar:

Det finns inget Nobelpris i matematik.

Kjell Elfström


21 maj 2000 18.47.01
Hail! På en okänd ö fanns det en gång en lustig kamelont ras, kamelonterna fanns i tre oklika färger: röd, grön och gul. Var gång när 2 eller flera kamelonter möttes så bytte dom färg till en tredje färg. Dvs att när 1 röd möter 1 grön blir båda två gula och så vice versa i de andra fallen. Det finns 13 gröna, 15 röda, 17 gula. Kan alla någonsin bli samma färg? Lägg fram ett bevis för det här. Tack på förhand. Fredrik W
Exempel:
1 röd + 1 gul = 2 gröna
1 grön + 1 gul = 2 röda
1 röd + 1 grön = 2 gula
dvs dom färgerna som deltar bildar den färgen som ej var närvarande.
10 röda + 10 gula = 20 gröna
10 röda + 12 gula ej= 22 gröna utan (20 gröna + 2 gula)
tack på förhand igen hoppas ni fick tillräckligt med info denna gång...
fredrik w

Svar:

Jag tror att man måste tolka uppgiften så att bara två kameleonter möts vid varje tillfälle. Om en röd, en grön och en gul träffas framgår ju inte vad som händer. Alltså: Två kameleonter träffas. Om de har samma färg händer ingenting. Om de har olika färg får båda den tredje färgen. Låt g och r vara antalet gröna resp. röda kameleonter och betrakta skillnaden r - g. Från början är denna 2 och i den önskade slutsituationen är den -45, 0 eller 45. Om en röd och en grön kameleont möts blir skillnaden oförändrad, möts en röd och en gul miskar den med 3 och om en grön och en gul möts ökar den med 3. Skillnaden kan alltså aldrig bli -45, 0 eller 45 om den från början är 2.

Kjell Elfström


21 maj 2000 16.06.09
Om F och G är ideal av en kommutativ ring R och kvoten F:G definieras som F:G={r tillhör R | rg tillhör F för alla g som tillhör G} Skulle vara tacksam för ett litet tips om hur man på ett enkelt sätt visar att F:G är ett ideal av R
Håkan

Svar:

Vi måste visa att F:G är en undergrupp till den additiva gruppen R samt att ar tillhör F:G om r tillhör F:G och a tillhör R.

Om r tillhör F:G så gäller att rg tillhör F för alla g i G. Eftersom F är en additiv grupp gäller att (-r)g = -(rg) tillhör F för alla g i G. -r tillhör alltså F:G.

Om r och s tillhör F:G så gäller att (r + s)g = rg + sg tillhör F för alla g i G. Alltså gäller det att r + s tillhör F:G.

Om r tillhör F:G och a tillhör R så gäller att (ra)g = r(ag) tillhör F för alla g i G eftersom G är ett ideal och ag tillhör G om g tillhör G.

Kjell Elfström


21 maj 2000 13.39.51
ang fråga 16 maj 2000 23.15.24 så är problemet att jag skall räkna ut hur lång tid det tar för linan att lämna hjulet
jonas

Svar:

I 16 maj 2000 23.15.24 kommer du fram till

a - (2/5)x = 1/5.

Eftersom a = x'' får vi den andra ordningens lineära differentialekvationen

x'' - (2/5)x = 1/5.

Det karakteristiska polynomet r2 - 2/5 har nollställena r = ±R, där R = (2/5)1/2. Den homogena ekvationen har därför lösningarna

x = AeRt + Be-Rt.

Man ser lätt att x = -1/2 är en partikulärlösning till den inhomogena ekvationen varför samtliga lösningar till differentialekvationen ges av

x = AeRt + Be-Rt - 1/2.

För att bestämma konstanterna A och B utnyttjar vi att x'(0) = x(0) = 0. Vi deriverar x,

x' = RAeRt - RBe-Rt,

och får

RA - RB = 0
A + B = 1/2

Då detta ekvationssystem har lösningen A = B = 1/4 får vi

x = (1/4)(eRt + e-Rt - 2).

x = 2 ger det sökta t-värdet. Sätt y = eRt. Vi får då

2 = (1/4)(y + 1/y - 2).

Multiplicera båda led med y så får du en andragradsekvation i y. Lös först ut y ur denna och bestäm sedan t genom att logaritmera.

Kjell Elfström


21 maj 2000 13.15.50
Hur bestämmer man alla tre vinklar i en triangel som ej är rätvinklig, låt säga att den har sidorna: 0,7 1,2 och 1,3?
Johan

Svar:

Man kan använda cosinussatsen.

Kjell Elfström


21 maj 2000 12.53.42
Är det möjligt att lösa e^x + x = 0 exakt och isåfall hur?
Christopher

Svar:

Nej, man kan inte uttrycka roten till denna ekvation med hjälp av elementära funktioner.

Kjell Elfström


20 maj 2000 23.13.33
Hur, varför och när används aritmetiska ringar i matematiken? Kan man tänka sig en aritmetisk ring som inkluderar den imaginära-axeln också? Så att en sfär liksom bildas, hoppas Ni förstår det sista. Kram Anders
Anders Zekender

Svar:

Jag vet tyvärr inte vad en aritmetisk ring är.

Kjell Elfström


20 maj 2000 22.51.29
Hej,
jag har läst tre år matte/fysik på universitet i Sverige och tänkte åka utomlands mitt fjärde år. Vilka universitet i Europa och Ryssland är "ledande" inom matematik, förutom de kändaste som Oxford, Cambridge, Ecole Polytechnique, Ecole Normale och ETH? Jag har hört rykten om att universitetet i Pisa är bra i Italien. Berlin har väl goda traditioner och Moscow State verkar bra i Ryssland. Med andra ord: vart skulle ni åka och plugga matte om ni fick välja?
Hälsningar Rickard
PS. Svara inte Lund... :)

Svar:

Olika universitet har olika specialiteter så jag har svårt att ge ett bestämt svar på denna fråga.

Kjell Elfström


20 maj 2000 17.09.42
vem var det som kom på matten
anna

Svar:

Jag tror ingen har något svar på den frågan.

Kjell Elfström


19231 frågor av sammanlagt 19648 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)