Fråga Lund om matematik

Sökresultat


5 november 2000 17.47.43
Hej! Jag har två frågor som jag gärna vill ha svar på, nämligen dessa:
Visa att 2|[(n+2)2 -n2] för alla heltal n.
Visa att om a är ett udda heltal så är a2-1 delbart med 8. nu blev det lite fel det ska förstås vara upphöjt till 2 efter parentesen, även n upphöjt till 2 och a upphöjt till 2. Tackar på förhand Hälsningar Mari

Svar:

1) (n+2)2 - n2 = n2 + 4n + 4 - n2 = 4(n+1).
2) Om a är udda så kan vi skriva a = 2n +1, för något heltal n, så vi får

a2 - 1 = (2n + 1)2 - 1 = 4n(n+1),
vilket är delbart med åtta eftersom antingen n eller n+1 är jämnt.

Adam Jonsson


5 november 2000 00.15.56
Hej Fråga Lund! Jag lyckas inte visa att summa(i = 1 till n)[i / (2 ^ i)] < 2. Hur gör man?
Magnus

Svar:

Varför inte slå på stort och beräkna summan exakt? Sätt

(1)        f(x) = summa[i från 1 till n] xi.
Enligt formeln för geometrisk summa vet vi att
(2)        f(x) = (xn+1 - 1)/(x - 1) - 1.
Vi ser från (1) att om vi ersätter x med 1/2 i uttrycket xf'(x) så får vi den sökta summan. Med hjälp av (2) får vi
x f'(x) = (n(x-1)xn+1 - xn+1 + x)/(x-1)2.
Byter vi ut x mot 1/2 i formeln ovan så får vi
summa[i från 1 till n] i (1/2)i = -2n(1/2)n+1 - 4(1/2)n+1 + 2 < 2, för alla n.

Adam Jonsson


2 november 2000 18.52.20
Hej Lund! f(x)=x+1-4*x^0.5 om jag skall bestämma f(x)=0 hur gör jag? och när det gäller var kurvan är strängt växande resp strängt avtagande vilken algoritm skall man använda för denna studie? /Björn

Svar:

1) Sätt y = roten ur x och lös andragradsekvationen.
2) Derivera som vanligt och kolla derivatans tecken.

Adam Jonsson


2 november 2000 18.32.37
Jag har ett stort problem med följande uppgift: "Lös elvationen 3-2x=|12-|x+12||" Jag skulle bli väldigt glad om någon hjälpte mig med denna
Pelle

Svar:

Se 30 oktober 2000 20.48.21.

Adam Jonsson


1 november 2000 20.45.04
tja Lund. har en uppgift jag ej funnit något rimligt svar på vore bra om ni kunde hjälpa mig. det är angående trigonmetriska ekvationer: (3+roten ur 3)sin^2x-(3+roten ut 3)sin x cos x + 2 roten ur 3cos^2x = roten ur 3 se det som en utmaning! tack på förhand Tobbe
Tobbe eriksson, Kalmar

Svar:

Ledning: Med hjälp av trigonometriska ettan kan du skriva om uttrycket så att du får en term = roten ur 3 i vänsterledet. Denna går sedan bort mot högerledet. Vänsterledet kan nu faktoriseras, varvid lösningarna är lätta att hitta.

Adam Jonsson


1 november 2000 19.12.27
Lös ekvationssystemet: log (nedsänkt till a) x + log (nedsänkt till a i kvadrat) y=3/2 log (nedsänkt till a i kvadrat) x+log (nedsänkt till b) (roten ur)y=1 Tack på förhand! Jag vore tacksam om ni kunde maila lösningen till poene@hotmail.com Ni är toppen!!!
Peter S

Svar:

Ledning: Använd att loga(b) = log(b)/log(a) samt de vanliga logaritmlagarna.

Adam Jonsson


1 november 2000 16.06.31
För att ta reda på extrempunkternas karaktär i en funktion f(x) är det som bekant bekvämt att derivera två gånger, ta reda på för vilka x f'(x) = 0 och sedan sätta in dessa värden i f"(x). Om f'(a) = 0 och f"(a) > 0 har f(x) ett lokalt minimum för x = a. Om f"(a)<0 har f(x) ett lokalt maximum för x=a. Men om f"(a) = 0 kan man inte dra någon slutsats om det utan får tillgripa teckenschema. Är det inte så att i de fall f"(a) = 0 har funktionen en terrasspunkt för x = a?
Jari Kinnunen

Svar:

Nej, inte nödvändigtvis. Till exempel har funktionen x4 ett minimum i x = 0 trots att dess derivata och andraderivata är noll i punkten x = 0. Om f'(a) = f"(a) = 0 så kan f ha antingen ett lokalt maximum, ett lokalt minimum eller en terrasspunkt i punkten a.

Adam Jonsson


1 november 2000 12.38.39
Vilken funktion verkar växa snabbare, fortsätter detta då x växer. Blir 1,1^x större än x^12? Om, så vilket är det första hela tal med vilket detta händer?

Svar:

Det gäller helt allmänt att om a är ett tal som är större än ett och b är ett annat tal, så har man att

ax/xb --> oändligheten då x går mot oändligheten.
Det här betyder alltså att ax växer mycket snabbare än xb, åtminstone för tillräcklligt stora x.

Adam Jonsson


1 november 2000 12.36.53
Genom ett filter som är 1,0cm tjockt passerar inte 85% av dammpartiklarna i luften. En kubikmeter luft som passerat ett filter av samma material med tjockleken 2,7cm fanns 7000 partiklar. Hur många dammpartiklar finns kvar i luften som inte passerat filtret.
Patrik Ikäheimonen

Svar:

Låt f(x) vara den andel av de partiklar som skickas in i filtret som inte absorberats efter x cm. Det verkar av fysikaliska skäl naturligt att tro att det ska gälla att f(x + y) = f(x)f(y), eftersom den andel som inte absorberats efter x cm är f(x) och efter ytterliggare y cm är andelen av de som passerade de första x cm som också överlever nästa y cm f(y). Totalt är andelen efter x+y cm därför f(x)f(y). Det följer nu att f(x) = ax, där a är någon konstant. Men vi vet att 85 % absorberas efter 1 cm, så a = 0,15. Därför är andelen som inte absorberas efter 2,7 cm lika med (0,15)2,7.

Adam Jonsson


1 november 2000 11.34.18
Jag behövde ett sätt att räkna ut en punkt på en kurva. Det enda man har att tillgå är ett par punkter på en kurva. Efter letande på Internet hittade jag följande programsnutt.

for j:=1 to AntalPunkter do begin
  product:=1;
  for i:=1 to AntalPunkter do begin
    if (i<>j) then begin
      product:=product*(xin-x[i])/(x[j]-x[i]);
    end;
  end;
  yut:=yut+product*y[j];
end;

x[] och y[] är de kända punkterna, xin är det kända x-värdet och yut är det önskade y-värdet. Vad gör funktionen ?
Peter Grahm

Svar:

Programmet verkar använda Newtons formel (se 23 april 1999 03.53.18), som är en metod att hitta ett högst n-1 gradigt polynom som passerar genom n givna punkter. Om man som i ditt fall bara har två givna punkter ger denna metoden helt enkelt linjen som passerar genom punkterna. Ekvationen för den linjen kan man mycket lätt hitta genom att använda likformighet av trianglar: Rita upp linjen som passerar genom de två givna punkterna (x1,y1) och (x2,y2). Låt (x,y) vara en godtycklig punkt på linjen. Linje-elementet mellan punkterna (x,y) och (x1,y1) samt en vågrät och en lodrät linje bildar en triangel som är likformig med triangeln som fås på motsvarande sätt med punktparet (x1,y1) och (x2,y2). Likformigheten ger

(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1),
det vill säga
y = y1 + (x - x1)*(y2 - y1)/(x2 - x1).

Adam Jonsson


1 november 2000 11.06.08
Igår ställde jag en fråga till er, och idag kom jag på svaret. Frågan löd: "Är det möjligt för en springare att gå på alla rutor om den börjar I ett hörn och slutar I motsatt hörn? Varje ruta får bara passeras en gång, vilket blir 63 drag." Det här specialfallet av Knight's tour visade sig vara väldigt enkelt. Antag att springaren börjar på svart ruta. Det första draget kommer att föra springaren till en vit ruta. Det andra draget kommer att föra den till en svart ruta o.s.v. Efter varje udda drag kommer springaren att stå på en vit ruta och så även efter det 63:e draget. Men, diagonaler på ett schackbräde har samma färg, så motsatt hörn är svart och det är omöjligt att nå denna ruta på det 63:e draget. :)
Paul Draaisma - paul@draaisma.net

Svar:

Det här är ett arrangemang som jag gillar: läsarna står för både frågorna och svaren!

Adam Jonsson


31 oktober 2000 10.36.25
Jag undrar en sak om pi. Man kommer ju fram till fler och fler decimaler i pi hela tiden. Hur kan man bevisa att just de decimaler man har kommit fram till är de rätta decimalerna?????
Andreas

Svar:

En typisk situation när man beräknar decimaler av pi är att man har en formel för pi i form av en oändlig summa. Summerar man de första n termerna i summan, där n är ett mycket stort tal, så får man ett närmevärde på pi. För att veta hur bra närmevärdet är måste man få en uppfattning om hur liten summan av de resterande termerna i serieuttrycket för pi är. Det här kan man inte beräkna exakt eftersom vi ju inte känner pi:s samtliga decimaler. I stället får man använda sin matematiska fingerfärdighet för att få en uppskattning av hur nära noll felet hos närmevärdet är. Med denna information kan man sedan härleda att ett visst antal av decimalerna i närmevärdet måste vara exakt de samma som motsvarande decimaler för pi.

Adam Jonsson


31 oktober 2000 08.34.23
"Är det möjligt för en springare att gå på alla rutor om den börjar I ett hörn och slutar I motsatt hörn? Varje ruta får bara passeras en gång, vilket blir 63 drag." Detta är alltså en variant av "Knight's tour". Min första fråga är om det finns ett "enkelt" sätt att resonera för att kunna ge ett svar på frågan om existens i det här speciella fallet. Mer generellt, går det hitta en Knight's tour mellan två godtyckliga rutor? För att genomföra en Knight's tour kan man konsekvent välja att hoppa till den ruta vilken har minst antal "utgångar" (Warnsdorffs regel), men denna regel utesluter (många?) lösningar (och fungerar sämre på lite större bräden). Går det att säga något om huruvida denna regel kan leda till en lyckad Knight's tour från ena hörnet av brädet till det andra? Slutligen undrar jag om du kan rekommendera litteratur som behandlar den här typen av frågeställningar. Tack på förhand!
Paul Draaisma - paul@draaisma.net

Svar:

Se 1 november 2000 11.06.08.

Adam Jonsson


30 oktober 2000 20.50.24
Hej! efter mycket klurande får jag inte rätt på z^5=-pi^2 (minus pi i kvadrat) Har ni något tips
johan

Svar:

Låt a vara ett komplext tal. Vi skriver det på polär form som a = r*eiv, där i är den imaginära enheten. Låt oss säga att vi vill hitta alla (komplexa) lösningar till ekvationen

(1)       zm = a.
Vi gör det genom att skriva
zm = r*eiv = r*eiv+i*2*pi*n,
där n är ett godtyckligt heltal. Upphöjer vi bägge sidor i likheten till 1/m får vi
(2)       z = r1/m*ei(v+2*pi*n)/m.
Vi ser att vi får olika rötter z då n = 0, 1, ... , m-1, och att rötterna därefter upprepas cykliskt. Samtliga m rötter till ekvationen fås alltså genom att låta n löpa över talen 0, 1, ... , m-1 i (2).

Adam Jonsson


30 oktober 2000 20.49.00
Hej! Jag har problem med att lösa följande: 2^(4-x) * 8^(x-1)=2^(x+2) -16 +4^(x+1) Efter att ha följt det potensregler jag kan så har jag förenklat ner det till. 2^(1+2x)=2^(x+2)-2^4+2^(2x+2) men hur löser jag ut X härifrån? MVH Fredrik
Fredrik

Svar:

24 - x * 8x - 1 = 2x + 2 - 16 + 4x + 1,

vilket vi skriver om till
16 2-x 8-1 23x = 4 2x - 16 + 4 22x
Ersätter vi 2x med y och snyggar till kommer vi till andragradsekvationen
y2 + 2y - 8 = 0,
som du säkert kan lösa själv.

Adam Jonsson


30 oktober 2000 20.48.21
Hej , klarar inte av att lösa denna uppgift, hur ska man lösa det när det är två absolutbelopp, det måste bli flera olika fall med olika intervall men hur ? 3-2X = |12-|X+12|| mvh Göran
Göran

Svar:

Enlig definition är |x + 12| = x + 12 om x >= -12 och -x - 12 om x < -12. På samma sätt är |12 - |x + 12|| = 12 - |x + 12| om |x + 12| >= 12 samt -12 + |x + 12| om |x + 12| < 12. Du får alltså olika ekvationer beroende på vilket värde x har. Det enda du behöver göra är att tänka ut för vilka x en viss ekvation gäller och sedan lösa ekvationen.

Adam Jonsson


30 oktober 2000 20.45.24
Hej jag har problem med nedanstående tal, jag får ut ett svar som är pi/6 + n*pi , men misstänker att det ska bli ett svar till eller att något talområde blir ogiltigt. 2sin^2X + 3cos^2X - sqrt(3)sinXcosX = 2 Med Tack På Förhand
Karl Svensson

Svar:

De första två termerna i vänsterledet förenklas till 2 + cos2(x), så ekvationen är ekvivalent med

cos(x)(cos(x) - sqrt(3)sin(x)) = 0.
Ekvationen cos(x) = 0 är lätt att lösa. Om vi antar att cos(x) inte = 0, så måste det gälla att tan(x) = 1/sqrt(3). Detta är också en lätt ekvation.

Adam Jonsson


30 oktober 2000 20.40.07
Finns det någon svensk bok (eller dokument på nätet) som lär ut engelska matematikord och uttryck (från svenska) ? Jag vill alltså kunna förstå och uttrycka mig matematiskt även på engelska men vanliga lexikon saknar ofta en hel del ord och uttryck. Hur tycker Ni jag ska gå till väga ? (Jag går på gymnasiet.)
William Jacobsson

Svar:

Jag känner inte till något matematiskt svensk-engelsk lexikon. Däremot vet jag att det finns matematiska uppslagsböcker, både på svenska och på engelska. Till ett sådant kan man ju vända sig för få reda på betydelsen av ett okänt matematiskt begrepp. För att komma till rätta med problemet att hitta de rätta engelska uttrycken för olika matematiska begrepp ser jag ingen annan råd än att göra som alla andra gör: läs engelska läroböcker.

Adam Jonsson


29 oktober 2000 19.55.40
Hej Lund.
Jag har problem med en ekvation som lyder som följande:
x2 +x=sin 2x som ligger i intervallet 0<x<1
-
Jag kan inte komma på något sätt att lösa denna ekvation exakt, men däremot numeriskt. Det borde fungera med att tillämpa Newton-Rapsons metod, men jag förstår inte riktigt hur den fungerar. Om ni skulle kunna förklara ingående, även tillvägagångssättet och den exakta lösningen, skulle jag vara er evigt tacksamma.
Patrik

Svar:

Någon exakt löning kan jag inte ge dig. Om man deriverar några gånger och studerar tecknet ser man att ekvationen har precis en lösning i intervallet. Newton-Raphsons metod för att lösa ekvationen f(x) = 0 innebär att man väljer ett lämpligt startvärde x0 och sedan successivt beräknar nya värden

xn + 1 = xn - f(xn)/f '(xn).

Om x är den exakta roten ligger, för hyggliga funktioner, |xn + 1 - xn| mycket nära |xn + 1 - x| varför det absoluta felet är ungefär |xn + 1 - xn|. Detta ger ett kriterium när man kan avsluta iterationen.

Funktionen i frågan är f(x) = x2 + x - sin 2x. Startar man med x0 = 0,6 får man x1 = 0,5810471037. Efter tre iterationer till har approximationerna stabiliserats på 0,5802959336 när man räknar med 10 decimaler. Vill man ha en mer stringent feluppskattning kan man notera att funktionen är strängt växande kring roten, att f(0,5802959336) > 0 och f(0,5802959335) < 0 varför den exakta roten ligger mellan dessa båda värden.

Kjell Elfström


29 oktober 2000 14.48.59
Hej!
Tack för att ni finns och hjälper.
Sidorna på ett rättblock ändras med tiden. Vid en tidpunkt har sidorna längden 4, 5, resp 6 cm. Vid det tidpunkten ökar sidorna med längden 5 och 6 cm 1 cm/min, den tredje sidan med längden 4 cm minskar 2 cm/min. Hur ändras volymen med avseende på tiden?
Tack för hjälpen.
Muraad

Svar:

Om V(t) är volymen och l(t), b(t) och d(t) är längd, bredd och tjocklek vid tiden t är

V(t) = l(t)b(t)d(t).

Derivera V enligt produktregeln med avseende på t och sätt sedan in värdena.

Kjell Elfström


28 oktober 2000 13.21.31
Hej! En stor, öppen och cylinderformad vattentank ska konstrueras. Tanken ska rymma 1000 kubikmeter och ha en bottentjocklek på 0,25m. För väggtjockleken t m gäller t= 0,002*x*r där x m är det maximala vattendjupet och r m är tankens radie. Undersök hur mycket cement det MINST går åt. Det här är en fråga av "hemuppgiftskaraktär" som jag har funderat på ett tag. Hur ska funktionen se ut? (jag tror att det hela kan lösas med en fuktion och derivering).
Roger

Svar:

Här är sökresultatet av en sökning efter "cement".

Kjell Elfström


27 oktober 2000 13.53.36
hej jag undrar lite om area och sånt . jag förstår inte det riktigt?
maja

Svar:

Du får nog precisera frågan något.

Kjell Elfström


27 oktober 2000 11.05.36
Med nuvarande befolkningsökning fördubblas Mexikos folkmängd vart 15 år. Hur många gånger så stor blir den på 100 år?
Helt borta!

Svar:

Formuleringen tyder på att det sker en fördubbling vart 15 år oberoende av från vilket år man börjar räkna. Vi antar alltså att tillväxten är exponentiell. Om folkmängden år 0 är A är den A2t/15 år t. Förhållandet mellan folkmängden år 100 och år 0 är alltså 2100/15.

Kjell Elfström


27 oktober 2000 00.19.43
Två godtyckligt breda men inte lika breda korridorer (a och b) möts i en vinkelrät T-korsning. Hur lång får en planka som ska "runt hörnet" vara, uttryckt på kortast möjliga sätt?
Jag har ingen aning om hur man kommer fram till en lösning, men resultatet jag klurat mig fram till är följande:
parentes tredje roten ur a i kvadrat plus tredje roten ur b i kvadrat slutparentes upphöjt till tre och slutligen kvadratroten ur detta
Stämmer detta och hur kommer man fram till det på korrekt sätt i så fall? Finns det en ännu kortare formel?
Roger Eriksson, Halmstad

Svar:

Helt aningslös kan man inte vara om man kommer fram till en sådan formel. Den är dessutom korrekt.

korridor

Vi söker det minsta värdet av f(t) = c + d. Eftersom a = ccos t och b = dsin t är

f(t) = a/cos t + b/sin t

och därför

f '(t) = asin t/cos2t - bcos t/sin2t.

Derivatan är noll då

asin3t = bcos3t

vilket ger att

a2/3sin2t = b2/3cos2t.

Använder vi trigonometriska ettan får vi

cos2t = a2/3/(a2/3 + b2/3),    sin2t = b2/3/(a2/3 + b2/3).

Drar vi roten ur dessa uttryck och sätter in i uttrycket för f(t) får vi

f(t) = (a2/3 + b2/3)3/2.

Kjell Elfström


26 oktober 2000 23.50.52
inom vilka områden tillämpar man Clifford Algebra? och hur många dimensioner krävs det för att kunna se hela clifford algebran ?
Gunnar A Usskog

Svar:

Jag rekommenderar sidan Introduction to Geometric Algebra. En annan sida från vilken du kan ladda ner en läsvärd komprimerad postscriptfil är An Introduction to the Mathematics of the Space-Time Algebra. Packa upp filen och, om du inte har någon postscriptläsare, skicka den till en postscriptskrivare.

Kjell Elfström


26 oktober 2000 21.18.27
Hej Lund!
|6-|x+11||=2 -2x hur löser jag ekvationer av denna typ?
/Erik
Erik Persson

Svar:

Det är absolutbeloppen som krånglar till det, så man tar bort dem på lämpligt sätt. Om x >= -11 är |x + 11| =  x + 11 och vi får

|6 - (x + 11)| = |-5 - x| = |x + 5| = 2 - 2x.

Detta fall grenar upp sig i två nya fall. Det ena är då x >= -5. Då får vi

x + 5 = 2 - 2x <==> x = -1.

Eftersom -11 <= -1 och -5 <= -1 är -1 en lösning. Det andra är då x < -5. Vi får då

-x - 5 = 2 - 2x <==> x = 7.

Eftersom 7 inte är mindre än -5 saknas lösning i detta fallet. Fallet x < -11 behandlas sedan på samma sätt.

Kjell Elfström


26 oktober 2000 20.49.26
hur räknar man ut tal av typen sinx^cosx = nånting.
jens

Svar:

Man kan inte lösa ut x exakt ur sådana ekvationer.

Kjell Elfström


26 oktober 2000 19.23.03
Hur varmt kan det bli? Absolut nollpunkt har man ju hört talas om men finns det en motsats?
Lars Björkelund

Svar:

Detta är en fysikfråga. Se under frågelådor på vår länksida.

Kjell Elfström


26 oktober 2000 17.29.54
Hur löser man ut y ur x=sin(y)
/Richard

Svar:

Det är bara för vissa värden på x som man kan lösa ut y exakt uttryckt som en multipel av Pi. För alla x i intervallet [-1,1] finns dock lösningar. sin är strängt växande på intervallet [-Pi/2,Pi/2] och antar där varje värde i [-1,1] precis en gång. Om x tillhör intervallet [-1,1] kallas den entydigt bestämda lösningen y i [-Pi/2,Pi/2] för arcsin  x. Vi har alltså

x = sin y <==> y = arcsin x + 2Pi n eller y = Pi - arcsin x + 2Pi n,

där n är ett godtyckligt heltal.

Kjell Elfström


26 oktober 2000 11.15.38
När luft expanderar adiabatiskt uppfyller trycket p och volymen V sambandet p x V^1,4 = konstant. Vid en viss tidpunkt är trycket 5 atm och volymen 56 dm3. Vid samma tidpunkt ökar volymen med hastigheten 4 dm3/s. Hur snabbt ändras trycket vid denna tidpunkt?
Torbjörn Svensson

Svar:

Genom att du känner trycket och volymen vid ett tillfälle kan du bestämma konstanten. Lös sedan ut p som funktion av V, p = kV -1,4. Båda storheterna beror på tiden t. Derivera likheten med avseende på t.

p'(t) = k(-1,4)(V(t))-2,4V '(t).

Alla storheter i högerledet är kända vid tidpunkten i fråga och du kan därför räkna ut vänsterledet.

Kjell Elfström


26 oktober 2000 10.02.54
För vilka tal är kvadratrot(a) mindre än a? Och för vilka tal är kvadratrot(a) större än a? Motivera

Svar:

Vi förutsätter att a > 0. Då gäller

a1/2 < a <==> (a1/2)2 < a2 <==> a < a2 <==> 1 < a2/a = a.

Kjell Elfström


26 oktober 2000 10.01.20
Visa, att kvadratrot(1/2)=1/kvadratrot(2)=kvadratrot(2)/2

Svar:

Kvadratroten ur 1/2 är det entydigt bestämda tal r, sådant att r > 0 och r2 = 1/2. Visa att kvadraten på samtliga tre tal är 1/2.

Kjell Elfström


26 oktober 2000 09.58.11
Efter att flygplanet nått sin flyghöjd vägde jag mig med en våg och vägde 84,80kg. Vid havsytan vägde jag mig med samma våg och vägde 85,10 kg. Hur högt flyger planet? Tyngdkraften är omvänt proportionell mot avståndet från jordens mittpunkt i kvadrat. Jordklotets radie är ungefär 6370 km.
Matthias Andersson

Svar:

Om avståndet från jordens medelpunkt är r är alltså F = k/r2, där F är tyngdkraften och k en konstant. Genom att utnyttja att du känner både F och r vid havsytan kan du bestämma k. Utnyttja sedan att du känner tyngden och k vid den högsta punkten och bestäm r.

Kjell Elfström


26 oktober 2000 09.08.42
Hej! Jag har en fråga om matematiska språk som jag inte riktigt förstår. Vad betyder kontinuerlig, deriverbar, symmetri och asymptot (lodräta,vågräta och sneda)? Tack på förhand.
Awad

Svar:

Detta är begrepp hämtade från matematisk analys, som man läser på nybörjarnivå vid universitet och högskolor. Jag rekommenderar att du skaffar dig en nybörjarbok i envariabelanalys. Ett uttömmande svar skulle bli alltför omfattande och ett kort och koncist svar skulle kräva för mycket förkunskaper.

Kjell Elfström


26 oktober 2000 09.03.11
Hej!
Jag har följande fråga som berör vad som är korrekt matematiskt betecknat.
Antag att ett geometriproblem leder fram till en ekvation där variabeln x betecknar en vinkel (t ex i en triangel.
Ekvationen är t.ex.
          x + 4x = 180    (180 är egentligen 180°)
            5x   = 180
             x   = 36
                                     Svar: 36°
Är det fel att beteckna på följande sätt:
          x + 4x = 180
            5x   = 180
             x   = 36°
                                     Svar: 36°
Är det alltså fel att i sista raden införa gradbeteckningen °, när man inte använder det i de tidigare stegen. MVH Peter
Peter

Svar:

Det är vanligt att man skriver så men kanske inkonsekvent. x är egentligen ett tal. Man kan inleda lösningen med "Låt x vara antalet grader" och sedan räkna med mätetalen. Då skall alltså inte grader dyka upp igen förrän i svaret.

Kjell Elfström


25 oktober 2000 23.21.10
Hejsan Håller på med ett problem som jag skulle vilja ha hjälp med. Jag vill veta hur man ska göra och tänka, alltså inte bara svaret.
Bestäm konstanten a, a inte lika med 0, så att normalen i punkten (-1,-1) till kurvan y=x^3 blir tangent till kurvan ay=x^2.
Patrik J

Svar:

Riktningskoefficienten för tangenten till kurvan y = f(x) i en punkt b är f '(b). Riktningskoefficienten för normalen i samma punkt på kurvan är -1/f '(b). Låt tangeringspunkten på kurvan y = f(x) = x2/a vara (b,f(b)). Beräkna tangentens riktningskoefficient uttryckt i a och b. Genom att utnyttja att tangentens riktningskoefficient är densamma som den givna normalens kan du uttryck b i a. Skriv upp tangentens ekvation

y - f(b)) = f '(b)(x - b)

och utnyttja att denna skall satisfieras av (x,y) = (-1,-1).

Kjell Elfström


25 oktober 2000 21.13.48
Varför används bokstaven pi för att beteckna kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter?
Anders Thunvik

Svar:

Det anses att den förste som använd bokstaven Pi för att beteckna förhållandet var William Jones (1675-1749). Den förekom i Synopsis palmariorum mathesios från 1706. Troligen använde han just den bokstaven eftersom den är den första bokstaven i perimetron.

Kjell Elfström


25 oktober 2000 21.04.39
Finns det en bra formel för att översätta meter och centimeter till fot (') och tum ("), och vice versa? Det går som bekant 12 tum på en fot, till skillnad från vårt metriska system som har 10 som bas. Samtliga konverteringsprogram jag provat förstår inte att 5'11" är betydligt mer än 5'2" och bara något mindre än 6'0", utan de säger att 5.999 är det närmaste man kommer 6 fot. Vore tacksam för svar, då jag funderat på detta i flera år.
Micke L

Svar:

Omvandling av x centimeter till y2 fot, y1 tum, y0 sextondedelar. Dividera x med längden av en sextondedels tum (2,47/16) och avrunda till heltal. Dividera detta tal med 16. Resten går till y0. Kvoten divideras sedan med 12. Resten går till y1, kvoten till y2. Här kan man fortsätta och dividera med 2, 3 och 6000 för att få en ytterligare uppdelning i alnar, famnar och gamla mil.

Omvandlingen av y2 fot, y1 tum, y0 sextondedelar till x centimeter fås av

x = (16(12y2 + y1) + y0)·(2,47/16).

Kjell Elfström


25 oktober 2000 13.28.12
Varför får man inte dividera med talet noll?
mimmi

Svar:

b <> 0 är kvoten a/b det entydigt bestämda tal x för vilket bx = a. Om b = 0 finns inget sådant tal x (utom då a också är noll, i vilket fall varje värde på x duger).

Kjell Elfström


25 oktober 2000 12.39.31
Jag ska bearbeta ett material från en undersökning. Dels har jag bett elever att uppskatta längder, areor, volymer och vikter av lite olika slag. Dels har de fått besvara "taluppfattningsfrågor", typ: vad är 600100 - 1? Nu vill jag veta om det går att på ett enkelt sätt se om det finns någon korrelation mellan deras förmåga att göra bra uppskattningar, och deras taluppfattning.
Tacksam för svar,
Harriet Svensson

Svar:

Jag antar då att du får två mätresultat xi och yi för varje elev. Om man plottar punkterna (x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn), där n är antalet elever, i ett xy-system kan man antaga att det föreligger en god korrelation om punkterna ligger ungefär på en rät linje. För att beräkna hur god den är kan du beräkna korrelationskoefficienten r. För att beräkna denna beräknar du först medelvärdet x av x-variablerna och medelvärdet y av y-variablerna. Inför sedan de nya variablerna ui = xi - x och vi = yi - y. Korrelationskoefficienten definieras sedan som

r = Sxy /(SxxSyy)1/2,

där

Sxy = u1v1 + u2v2 + ... + unvn
Sxx = u1u1 + u2u2 + ... + unun
Syy = v1v1 + v2v2 + ... + vnvn.

r ligger mellan -1 och 1. Absolutbeloppet av r ligger mellan 0 och 1. Korrelationen är bäst när |r| = 1 (då ligger punkterna på en rät linje) och sämst när |r| = 0 (då är variablerna inte alls korrelerade). r är positiv vid positiv korrelation, dvs då den bästa linjen har positiv riktningskoefficient och negativ om linjen har negativ riktningskoefficient.

Kjell Elfström


25 oktober 2000 10.46.51
Hej,
jag undrar lite om den babyloniska matematiken och dagens datasystem som tydligen bygger på den, med 1 och 0 som "byggstenar". Kan du berätta lite mer om detta? MVH Sarah Wiik
Sarah Wiik

Svar:

Talet 1234 skrivs så därför att

1234 = 1·1000 + 2·100 + 3·10 + 4·1 = 1·103 + 2·102 + 3·101 + 4·100.
Ett sådant beteckningssätt kallas ett positionssystem eftersom inte bara siffrorna har betydelse utan även deras placering. Det är detta som är gemensamt för babyloniernas system, som hade basen 60, vårt vanliga system med basen 10 och det binära systemet som används i datorer och har basen 2, men som också skiljer dessa system från t ex romarnas beteckningssätt. För babylonierna var (om de använt dagens siffror)

1234 = 1·603 + 2·602 + 3·601 + 4·600

och för att uttrycka alla tal räcker det inte med tio siffror utan det krävs sextio olika siffror. I det binära systemet krävs det bara två olika siffror, 0 och 1:

11011 = 1·24 + 1·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20.

Detta tal blir 27 i vår vanliga positionssystem.

Kjell Elfström


25 oktober 2000 09.24.45
Goddag!
Jag har ett problem jag skulle vilja ha lite hjälp med. När jag trycker 5.5! på min Texas instrument (T83:an) så får jag upp ett mycket konstigt svar. Jag får svaret: 287,8852778. Hur är detta möjligt? Enligt mina teorier som studerande borde det ej vara möjligt. Fakultet kan väll bara vara heltal? Alltså borde detta svar inte kunna vara möjligt. Hur har min miniräknare kommit fram till detta svar?
Mathias Wiberg

Svar:

Se 8 september 1997 12.38.33.

Kjell Elfström


25 oktober 2000 09.19.28
Varhälsad Lund!
Jag undrar hur man löser ekvationen X!=362880 Hur löser jag ut X? Finns det ngn omvänd fakultet? Isåfall, vad?
Prof. Mathias Wiberg

Svar:

Funktionen f(n) = n! är strängt växande då n >= 1 och har därför en invers - en omvänd fakultet. Därmed inte sagt att det är lätt att beräkna den!

Kjell Elfström


25 oktober 2000 01.02.59
Hej lund.
Har en liten fråga gällande en parallellepiped med hörn i (0,0,0),(1,1,1),(1,2,0),(0,1,1).
Vilka är de möjliga volymerna för en sådan parellellepiped? Jag ser 5 st olika volymer m.h.a kryssprodukt, beroende på vilka vektorer som är kanter resp. sidiagonal. vektorerna antas vara u,v,w. Hur bevisar jag att dessa 5 tänkta volymer är densamma?
Jonas Eriksson

Svar:

Det finns bara en parallellepiped med de angivna hörnen. Punkterna (0,0,0), (1,1,1) och (1,2,0) ligger i ett plan och (0,1,1) ligger inte i detta plan eftersom vektorerna (1,1,1), (1,2,0), (0,1,1) är lineärt oberoende. Parallellogrammen med hörn i de tre första punkterna är entydigt bestämd och därmed är parallellepipeden entydigt bestämd. Oavsett vilket hörn Q du väljer som utgångspunkt kommer, om P1, P2, P3 är tre till Q närliggande hörn, vektorerna QP1, QP2, QP3 att vara plus eller minus vektorerna (1,1,1), (1,2,0), (0,1,1). Eftersom absolutbeloppet i formeln V = |(u×vw| tar bort effekten av eventuella minustecken återstår det bara att visa att ordningen i vilken vi räknar upp vektorerna är oväsentlig. T ex är

(u×vw - (v×wu = (u×v)·(u + w) - (v×w)·(u + w) = (u×v + w×v)·(u + w)
= ((u + wv)·(u + w) = 0.

Vi har använt att u är vinkelrät mot u×v, att w är vinkelrät mot v×w och att u + w är vinkelrät mot (u + wv.

Kjell Elfström


25 oktober 2000 00.44.35
Hej Lund. Skall snart ha Tenta i Analys i en varabel. Räknar i ert röda häfte från 1999.
Har helt kört fast på uppg. 9.46 a och b hur löser man den enklast?
Jonas Eriksson

Svar:

Sätt t = -v2/c2 och börja med att utveckla (1 + t)-1/2. Tag med två termer och en restterm. Sätt in utvecklingen i formeln och se vilken den första icke-försvinnande termen är. I b-uppgiften är felet resttermen, det relativa felet är resttermen dividerad med svaret i a.

Kjell Elfström


24 oktober 2000 17.04.17
Jag undrar om det är möjligt att räkna ut tex en måluppfyllnadsgrad (%)där målet är att få så lite som möjligt? Ex: Målet är att väga max 70 kilo. I dagsläget väger personen 80 kilo. Vad är måluppfyllnadsgraden? Om fallet skulle vara det omvända skulle det vara enkelt att räkna ut, dvs 87,5 % Blir det samma värde här fast med inverterade siffror?
Undrande??

Svar:

Jag känner inte till begreppet måluppfyllnadsgrad men om definitionen är förhållandet mellan storhetens nuvarande värde och dess eftersträvade värde, som 87,5 procent antyder, så har du rätt i ditt antagande. Samtidigt har vi ju en värdeaxel. I fallet i frågan känns det som om den positiva riktningen är mot lägre vikt. Då känns det kanske fel att målet är att minska måluppfyllnadsgraden ner till 1.

Kjell Elfström


24 oktober 2000 15.05.53
Hej,
vad är en subtangent till en kurva, och vad var det som Leibniz och Newton bevisade om den?
Martin

Svar:

Om funktionen f är deriverbar i a så har kurvan y = f(x) en tangent i punkten (a,f(a)). Såvitt tangenten inte är horisontell skär den x-axeln i en punkt (b,0). Subtangenten definieras som den riktade sträckan AB, där A =  (a,0) och B = (b,0) och har värdet b - a = -f(a)/f '(a). Subtangenter var ett begrepp som användes vid bestämningen av tangenter. Före Leibniz och Newton fanns det ingen enhetlig differentialkalkyl utan tillvägagångssättet var olika från fall till fall. Newton klargjorde sammanhangen med sina fluxioner och Leibniz med hjälp av sin infinitesimalräkning. De förstod också att derivation och integration var varandras omvändningar. Se också The rise of the calculus.

Kjell Elfström


24 oktober 2000 14.42.37
Ang. svaret på: 20 oktober 2000 16.24.58 Är det inte helt enkelt så att man inte får "stoppa in" i:et in i parantesen, dvs (e^(ipi/2))^i != e^(i^25pi/2), för varken real- delarna eller imaginärdelarna är ju lika på båda sidorna om likamed-tecknet.
Henric

Svar:

Frågan är vad man skall mena med zw, när w inte är ett heltal. Innan man vet det kan man inte uttala sig om realdelarna eller imaginärdelarna i likheten. Man kan säga att zw skall vara ewln z, men nu måste man bestämma vad som skall menas med ln z. Det är detta som gör uttrycket flervärt eftersom ev = z har flera lösningar för varje z <> 0. Om w inte är ett heltal ger olika möjliga värden på v upphov till olika värden på ewv.

Kjell Elfström


24 oktober 2000 13.37.04
Hur visar man att: Om n är ett sammansatt tal, så är även 2^n - 1 sammansatt?
tack på förhand, Magnus Waller
Magnus Waller

Svar:

Om n är ett sammansatt positivt heltal finns det positiva heltal a och b, sådana att n = ab, 1 < a < n, 1 < b < n. Då är

2n - 1 = 2ab - 1 = (2a)b - 1 = (2a - 1)(1 + 2a + (2a)2 + ... + (2a)b - 1)

enligt formeln för den geometriska summan. Eftersom både a och b är större än 1är de båda faktorerna i högerledet också större än 1 (och därför båda mindre än 2n - 1).

Kjell Elfström


24 oktober 2000 12.42.12
vem var det som kom på matte??
linda eriksson

Svar:

Det tror jag ingen kan vara på.

Kjell Elfström


23 oktober 2000 23.49.30
Hej! Hur bestämmer jag inversen till följande två funktioner: f(x)=x- 1/x ,x>o och f(x)=0,5(e^x-e^-x) ?
David

Svar:

1. f(x) = x - 1/x, x > 0.

Låt y vara ett godtyckligt reellt tal. Ekvationen f(x) = yx > 0 är då ekvivalent med

x - 1/x = y  <=>   x2 - xy = 1  <=>  x = y/2 ± (1 + y2/4)1/2

Eftersom x > 0 är x = y/2 + (1 + y2/4)1/2 den enda möjligheten. Den inversa funktionen f -1 är alltså definierad för alla y och uppfyller att f -1(y) = y/2 + (1 + y2/4)1/2.

2. Kallar vi den andra funktionen för g är g(x) = (1/2)f(ex) varför inversen ges av g-1(x) = ln(f -1(2x))

Kjell Elfström


23 oktober 2000 21.09.55
Hej! man har ett "rör" i R3 med oändlig utsträckning och radien r och rikningen c liksom... med det menar jag att om r=0 får man en linje med riktningen v (|v|==1) och en punkt i origo. vad har denna figur för ekvation egentligen? mvh
Samuel

Svar:

Ytan är en rak cirkulär cylindrisk yta. Dess axel går genom origo och är parallell med v. Eftersom |v| = 1 kan v kompletteras till en ortonormerad bas, e1, e2, e3 = v, för rummet. En punkt P med koordinaterna y = (y1,y2,y3) i denna bas ligger på ytan om och endast om

y12 + y22 = r2.

Om T är den matris vars kolonner är koordinaterna för e1, e2, e3 i någon ursprunglig ortonormerad bas och x = (x1,x2,x3) är koordinaterna för P i den ursprungliga basen gäller att y = T tx. Detta kan sättas in i ovanstående ekvation för ytan varvid man får dess ekvation i den ursprungliga basen.

Kjell Elfström


23 oktober 2000 20.46.18
Jag skulle vilja veta hur pi har påverkat kemi, fysik, astronomi och andra naturvetenskapliga ämnen. Vad har pi betytt??Vill läsa på svenska.
Camilla Johansson

Svar:

Jag känner inte till någon litteratur som handlar om Pi, sedd ur den synvinkeln. En sida med många litteraturreferenser är annars http://www.mathsoft.com/asolve/constant/pi/pi.html.

Kjell Elfström


23 oktober 2000 15.30.10
Om man använder sig av endast matematikens grundläggande axiom, hur bevisar man då att (-1)*(-1)=+1?
Markus

Svar:

Axiom

1. a + b = b + a
2. ab = ba
3. (a + b) + c = a + (b + c)
4. a(bc) = (ab)c
5. a(b + c) = ab + ac
6. a + 0 = a
7. a.1 = a
8. Det finns ett entydigt bestämt tal -a sådant att a + (-a) = 0
9. Om a <> 0 finns ett entydigt bestämt tal a-1 sådant att a.a-1 = 1.

Bevis av att a.0 = 0.

0 = a.0 + (-(a.0)) = a(0 + 0) + (-(a.0)) = (a.0 + a.0) + (-(a.0)) = a.0 + (a.0 + (-(a.0)))
= a.0 + 0 = a.0.

Bevis av att (-1)(-1) = 1

1 = 0 + 1 = (-1).0 + 1 = (-1)(-1 + 1) + 1 = ((-1)(-1) + (-1).1) + 1
= ((-1)(-1) + (-1)) + 1 = (-1)(-1) + ((-1) + 1) = (-1)(-1) + 0 = (-1)(-1).

Kjell Elfström


23 oktober 2000 15.02.38
Hej! Jag skulle vilja ha hjälp med några övningsfrågor.
1. Rita kurvan y= ruten ur(x^2+x)- ruten ur(x^2+1). Ange eventuella asymptoter och extrempunkter. Undersök särskilt kurvans utseende i närheten av definitionsmängdens randpunkter.
2. En rät cirkulär kon inskrivs i en sfär med radie R 8dvs. konen har sin topp och basytans randcirkel på sfärens yta). Hur stor volym kan konen maximalt ha?
3. Bevis likheten 2 arcsin(2x ruten ur(1-x^2)) för 0 <= x =< 1/ruten ur 2.
4. Från ett fartyg observerar man två fyrar. Fartygets kurs är längs mittpunktsnormalen till sträckan mellan fyrarna. Man vet att avståndet mellan fyrarna är 1 nautisk mil. Man mäter på fartyget vinkeln mellan fyrarna och gör observationen att när vinkeln är 1/3pi radianer, avtar vinkeln med hastifheten 1/200 radianer per sekund. Bestäm fartygets hastighet i detta ögonblick. (Svaret skall ges i knop = nautiska mil per timme.)
tack på förhand.
goodir

Svar:

Jag börjar med att påpeka att roten stavas just så.

1. Derivera och sätt derivatan lika med noll för att finna eventuella lokala extrempunkter. Gör teckenundersökning. k-värdena för sneda asymptoter y = kx + m till kurvan y = f(x) fås som gränsvärdena av f(x)/xx går mot ±oo. Eftersom (x2 + 1)1/2 är definierad för alla x och (x2 + x)1/2 är definierad då x2 + x = x(x + 1) >= 0, dvs då x >= 0 eller x <= -1 är detta också funktionens definitionsmängd. Randpunkterna är alltså -1 och 0. Undersök gränsvärdet av funktionen och av derivatan då x går mot -1 från vänster och mot 0 från höger.

2. Kalla konens höjd för h och radien i dess bas för r och sätt x = h - R. Betraktar vi ett tvärsnitt genom sfärens medelpunkt och konens topp ser vi en triangel inskriven i en cirkel. Drag radien från cirkelns medelpunkt till ett av triangelhörnen vid konens bas. Pythagoras sats ger att r2 = R2 - x2. Eftersom h = R + x är konens volym

(Pi/3)hr2 = (Pi/3)(R + x)(R2 - x2).

Derivera!

3. Jag tror det fattas en del av frågan. Påståendet skall nog vara

2arcsin x = arcsin(2x(1 - x2)1/2), 0 <= x <= 1/21/2.

Varje x i intervallet kan skrivas x = sin t, där 0 <= t <= Pi/4, så det räcker att visa formeln för sådana x. Eftersom -Pi/2 <= t <= Pi/2 så är 2arcsin x = 2t. Eftersom cos t >= 0 så är

2x(1 - x2)1/2 = 2(sin t)(cos2t)1/2 = 2(sin t)(cos t) = sin 2t.

och eftersom 0 <= 2t <= Pi/2 är arcsin(sin 2t) = 2t.

4. Låter vi y vara avståndet från fartyget till linjen mellan fyrarna och a vinkeln (båda beror på tiden t) har vi att

y = (cot a)/2.

Vi deriverar och får, enligt kedjeregeln, att

y' = -a'/(2sin2a).

Sätt nu in de kända värdena på a och a'.

Kjell Elfström


23 oktober 2000 13.38.13
En plankas bärförmåga är direkt proportionell mot plankans bredd, direkt proportionell mot tjocklekens kvadrat och omvänt proportionell mot plankans längd. Genom experiment och undersökningar har man kommit fram till följande resultat: en 3,00m lång, 10,0cm bred och 5,0cm tjock planka vägde 170 kg.
a) Hur stor massa kan en planka av samma trämaterial bära om den är sågad till följande mått: 4,00m lång, 15,0cm bred och 10,0cm tjock?
b) Hur bred skall en 2,00m lång och 2,0 cm tjock breda vara för att den kan bära 100 kg?
Jag är helt borta, kan ni snälla hjälpa mig!!!
Jan-Anders Salenius

Svar:

Beteckna längden med L, bredden med B och tjockleken med T. Bärförmågan är då

kBT 2/L,

där k är en konstant. Plankan skall nog inte väga 170 kg utan ha bärförmågan 170 kg. Vi får

170 = k.0,1.0,052/3,00.

Lös ut k ur denna ekvation. När nu k-värdet är känt kan man direkt använda formeln för att lösa a-uppgiften. I b-uppgiften använder man samma formel och kan lösa ut B.

Kjell Elfström


23 oktober 2000 10.57.32
Klotets area är direkt proportionell mot radien i kvadrat och volymen är direkt proportionell mot radien i kubik. Hur mycket mångfördubblas en luftballongs area och volym, då man blåser in luft i ballongen, så att radien blir
a) fyrfalldig
b) tiofalldig

Svar:

För t ex arean A gäller alltså att A = kr2, där k är en konstant och r är radien. Förhållandet mellan areorna då radien är 4r och då radien är r är k(4r)2/(kr2) = 16. Arean blir alltså 16 gånger så stor när radien fyrfaldigas.

Kjell Elfström


23 oktober 2000 09.59.40
Lutningsfråga?
En lärobok för gymnasiets kurs B i matematik söker i en uppgift ekvationen för en linje som saknar lutning och går genom punkten (3,2). Facit svarar x=3, vilket betyder att i matematisk mening är lutning samma sak som riktningskoefficient.
Hur får jag eleverna att få ordning på begreppen när de flesta tycker att en horisontell linje är just en sådan linje som inte lutar alls medan en vertikal linje är extremfallet av en linje med väldigt kraftig lutning?
Klas
Klas Lunderup

Svar:

Jag tycker läroboken skulle ha undvikit att använda begreppet lutning utan i stället skrivit riktningskoefficient. Riktningskoefficient är ett mått på lutningen och då riktningskoefficienten är 0 lutar det inte alls. När det däremot lutar som mest finns det ingen riktningskoefficient definierad.

Kjell Elfström


23 oktober 2000 04.32.19
Vad är definitionen på en regel. Regler som har undantag är väl inte speciellt bra regler? Undantag verkar komma till i efterhand. Används undantag för att man skall slippa förkasta en regel?
Mattias E

Svar:

Jag kan inte ge någon exakt definition av regel.

Kjell Elfström


22 oktober 2000 19.12.05
Hej! Varför är cirkeln indelad i 360 grader, och vem kom på det? Har det med tideräkningen att göra?
Bodil Johansson

Svar:

Se 17 april 1997 14.41.41.

Kjell Elfström


21 oktober 2000 01.30.04
Sitter och har glömt 31 år gamla kunskaper, kan Ni hjälpa mig? Hur ser en lösning (inkl. härledning) ut av defferentialekvationen y=dy/dx ??????????????????
Svar snarast tack, jag kan inte sova.
sune.sandberg@lg.se

Svar:

Man kan lösa den på flera olika sätt. Dels är den separabel eftersom den kan skrivas om som

y'(x)/y(x) = 1.

Här är vänsterledet derivatan av ln|y(x)| och högerledet derivatan av x. Vi får att ln|y(x)| = x + A, vilket ger att

|y(x)| = ex + A = Cex.

Vi kan baka in tecknet i konstanten och på så sätt ta bort absolutbeloppet kring y(x). Vi dividerade med y(x) och förutsatte då att y(x) inte var noll. Lösningen y(x) = 0 tillkommer (vilket svarar mot C = 0). Vi får att

y = Cex.

Frågan är om det finns lösningar som är noll för några värden på x men inte alla. Det finns det inte eftersom två lösningskurvor inte kan skära varandra, men det har vi inte visat här.

Man kan också betrakta den som lineär

y' - y = 0

och multiplicera med den integrerande faktorn e-x. Då får man ett nytt vänsterled som är derivatan av y(x)e-x. Att denna är 0 innebär att y(x)e-x är konstant lika med C, vilket ger samma lösning som tidigare.

Kjell Elfström


20 oktober 2000 22.25.49
Hej!
Jag skulle behöva hjälp med en övningsfråga inför tentan: "Visa mha vektorer att diagonalerna i en romb skär varandra under rät vinkel:"
Helena

Svar:

Låt sidorna i romben representeras av vektorerna u och v. Då är diagonalerna u + v resp. u - v. Beräkna skalärprodukten mellan dessa och visa att den är noll.

Kjell Elfström


20 oktober 2000 16.24.58
i^i=(e^(i*pi/2))^i= e^(i^2*pi/2)=e^(-pi/2) i^i=(e^(i*5pi/2))^i= e^(i^2*5pi/2)=e^(-5pi/2) men e^(-pi/2) är inte lika med e^(-5pi/2)
Kamal

Svar:

Man kan inte entydigt definiera ii. Det är ett flervärt uttryck och problemet är detsamma som när man "definierar" (-1)1/2 som i och kommer fram till att 1 = -1.

Kjell Elfström


20 oktober 2000 09.08.51
Funktionen f är överallt deriverbar, dess graf går genom origo och dess derivata i varje punkt x är:
a) x
b) 2-x
Rita grafen
Ralf Palmgren

Svar:

De primitiva funktionerna till x är x2/2 + C, där C är en godtycklig konstant. Eftersom kurvan skall gå genom origo måste C = 0. Kurvan är alltså y = x2/2 i det första fallet.

Kjell Elfström


20 oktober 2000 00.08.54
Finns det några tal utöver de komlexa?
Peter

Svar:

Kroppen av komplexa tal är algebraiskt sluten, vilket innebär att det inte finns några algebraiska utvidgningar. Detta följer av att varje icke konstant polynom med komplexa koefficienter kan faktoriseras i komplexa förstagradsfaktorer.

Däremot finns utvidgningar i andra riktningar. De komplexa talen kan ju betraktas som ett tvådimensionellt vektorrum över de reella. Hamiltons kvaternioner är en utvidgning till "tal" på formen a + bi + cj + dk där man kan definiera räkneoperationerna addition och multiplikation så att alla räknelagar gäller utom den kommutativa för multiplikation. Den kommutativa lagen säger att u·v = v·u. Det hela är egentligen en fråga om vad man menar med tal. En ring är en mängd element där man har en addition och en multiplikation mellan elementen definierade och där dessa uppfyller vissa räkneregler. T ex är mängden av hela tal, rationella tal, reella tal, komplexa tal (med de vanliga betydelserna av addition och multiplikation), kvaternionerna, matriser, p-adiska tal mm. alla ringar försedda med lämpliga operationer.

Kjell Elfström


19 oktober 2000 21.37.20
hur räknar man ut arean av ett område som begränsas av funktionerna y=5cos(x) och y=5sin(x) för x [45, 225]
Kalle

Svar:

Jag antar att det skall stå 45° och 225° vilket motsvarar Pi/4 resp. 5Pi/4. Rita upp området så ser du att det är sammanhängande och att 5sin x >= 5cos xx ligger mellan Pi/4 och 5Pi/4. Arean är alltså integralen av skillnaden mellan funktionerna, dvs

intPi/45Pi/4(5sin x - 5cos x)dx = 10.21/2.

Kjell Elfström


19 oktober 2000 20.30.03
Hej Fråga Lund.
Jag har kört fast med tre uppgifter i statistik och ber dig om hjälp. (Alla medel är tillåtna) Jag vill veta hur man gör så att jag lär mig något. Förklara gärna utförligt så jag förstår och kan följa tankegångarna. Skriv t ex ut integreringar om sådana behövs för jag har upptäckt att jag är rejält ringrostig på den fronten. Det är ett antal år sedan jag integrerade matematiska funktioner. Jag har alltså gått vilse bland stokastiska variabler under två veckor och nu vill jag hitta fram ur den stokastiska dimman.
1.
The rv X has probability function px(k) = (e^-m * m^k) / k! for k=0,1,2,.... and is such that P(X) = 0) = 1/2 Compute P(X>=2)
2.
Let X be the total score of throwing two dice. Determine E(X).
Detta kast kan ge 11 olika värdsummor och det finns 36 möjliga summeringar. Minsumma är 2 och maxsumma är 12 om det är vanliga "1 till 6" tärningar
Men ...... Vad är det egentligen jag ska beräkna och hur???
3. Ett mätinstrument har ett stokastiskt mätfel X, som följer täthetsfunktionen
fX(x)= 100(1-100|x|) -0,01 <= x <= 0,01
0 för övrigt
Bestäm E(X) och D(X)
Hur räknar jag detta tal?
Jag tror E(X) är ett lägesmått och D(X) är standardavvikelsen. Behöver då även V(X). Men det kan vara fel spår.
MVH och Tack på förhand
Lillemor
Lillemor M

Svar:

I uppgift 1 är sannolikheterna givna för att X skall anta något av de möjliga värdena 0,1,2... Problemet är att det finns ett tal m i formeln som du inte känner. Detta kan dock bestämmas med hjälp av informationen om att P(X = 0) = 1/2. Eftersom P(X = 0) = e-m enligt denna formel är alltså m = ln 2. För att beräkna sannoliketen att X >= 2 skall man alltså summera de oändligt många sannolikheterna för att X = 2,3,4 osv. Då är det enklare att beräkna sannolikheten för komplementhändelsen, dvs för att X = 0 eller 1. Denna fås som

e-m + e-mm.

Drag nu detta tal från 1 så får du den sökta sannolikheten.

E(X) är väntevärdet av X. Tanken är att om en stor serie försök utförs så skall detta tal vara ungefär medelvärdet av de olika utfallen. Vid kast med en tärning är alla utfall lika sannolika och väntevärdet är (1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 7/2. Se 18 oktober 2000 20.31.37.

3. Se 18 oktober 2000 20.18.18.

Kjell Elfström


19 oktober 2000 17.01.56
Kan ni ge ett "enkelt" exempel på användningen av transfinit induktion?
Bengt Månsson

Svar:

Nej, går man utanför ren ordinaltalsteori verkar det svårt att hitta enkla exempel.

Kjell Elfström


19 oktober 2000 16.25.06
z=2+2*i
vad är sjätteroten av z
magnus karlsson

Svar:

Det finns inte bara en sjätterot utan sex stycken. Högerledet kan skrivas på polär form som 23/2ePi i/4. Sätter man z = reit är z6 = r6e6it varför r = 21/4 och t = Pi/24 + kPi/3, där k är ett godtyckligt heltal. Eftersom k och k + 6 ger samma värde på z ger k = 0,1,2,3,4,5 de sex olika värdena på z.

Vill man bestämma z = ePi i/24 genom rotutdragningar kan man först utnyttja att

w = ePi i/12 =  ePi i/3e-Pi i/4

och sedan att z2 =w.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 20.31.37
Let X be the total score of throwing two dice. Determine E(X)
lil, m fl

Svar:

X, som är en diskret stokastisk variabel, antar något av heltalsvärdena x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4, ... , x11 = 12. Beräkna sannolikheterna pk = P(X = xk). Väntevärdet E(X) definieras som

p1x1 + p2x2 + ... + p11x11.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 20.26.24
Bestäm konstanten a så att funktionen blir en täthetsfunktion.
f(x)=a(1-Xi kvadrat) -1<x<1
Nytt problem som vi kämpat med denna vecka
lil, m fl

Svar:

Att f skall vara en täthetsfunktion innebär att f(x) >= 0 för alla x och att integralen av f från -oo till oo är 1. Det första villkoret är uppfyllt om a inte är negativt. Integralen blir

int-11(a(1 - x2)dx).

Beräkna denna uttryckt i a och bestäm sedan a så integralen blir 1.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 20.18.18
Stokastisk variable X har fördelningsfunktion
FX(x) 0 om X mindre/likamed 0
x3/64 om mellan 0 och 4 i värde
1 om x större än
Beräkna väntevärde och varians.
Detta har jag letat efter hur man gör i flera dagar Tacksam för svar Lil

Svar:

Om fördelningsfunktionen är F är täthetsfunktionen f = F '. I detta fall är täthetsfunktionen 3x2/64 då x ligger mellan 0 och 4 och annars är den noll. Väntevärdet är

m = int-oooo(xf(x)dx),

i detta fall int04( 3x3/64dx). Variansen definieras som

int-oooo((x - m)2f(x)dx).

Kjell Elfström


18 oktober 2000 19.54.16
Jag sitter med en integral, som vägrar att ge sig :o| \int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{1+x^3}} dx Jag pluggar inför en tentamen i Analytiska funktioner, men vet ej om denna går att lösa med hjälp av detta trevliga verktyg. Integralen har jag hittat på själv, Mathematica spottar ut svaret, som är \frac{2*\Gamma(1/3)\Gamma(7/6)}{\sqrt{\pi}} Jag har kikat i Beta och tittat runt på nätet. Men har inte hittat nån väg till lösning. Jag har frågat min föreläsare också, men han viftade bort det med att vi inte behöver kunna lösa sådana integraler på denna kursen typ. Tacksam för svar :o)
Micke Persson

Svar:

Ett snyggare svar är (1/3)Beta(1/6,1/3), där Beta definieras genom

Beta(x,y) = Gamma(x)Gamma(y)/Gamma(x + y).

Gamma-funktionen kan kanske betraktas som en elementär funktion, men om frågan är om man kan uttrycka integralen med hjälp av de från skolan välbekanta elementära funktionerna är svaret nej. Gamma-funktionen kan fortsättas analytiskt och studiet av denna hör till teorin för analytiska funktioner.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 14.27.52
En helikopter rör sig över marken med två formler:
1: h=jämn->h(ny)=h/2
2: h=udda->h(ny)=3h+1
h=höjden
Ett krav är att höjden måste vara ett heltal. Min undran är om det finns ngt heltal som gör att helikoptern inte störtar? Ex börjar på 50m nästa höjd blir h/2=25=udda tal, nästa 3h+1=76->38->19->58->29->88..osv tills den störtar.
Sven

Svar:

Vi har alltså en rekursiv talföljd hn som är sådan att hn + 1 = hn/2 om hn är ett jämnt tal och hn + 1 = 3hn  + 1 annars. Frågan är om det finns ett startvärde h0, som är sådant att hn aldrig är 1. Detta problem är mig veterligt inte löst ännu.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 14.17.31
Hur ska man lösa en ökänd sinuskurva som går genom punkterna:
2=170759,3
3=244821,2
5=350986,7
9=337235,2
13=57291,85
14=-30931,35
15=-117523,3
19=-362462
21=-381597,3
24=-264683,7
29=146592,5
31=289189,4
33=371586,6
36=349159,7
41=-4423,449
42=-91992,94
43=-174711
47=-378301,3
50=-335089,8
52=-216540,2
56=121727,2
//Sven W

Svar:

På sidan Nonlinear Least Squares Fitting i Eric Weisstein's World of Mathematics tas ickelineär regression upp. I ditt problem är

f(x,l1,l2,l3) = l1sin(l2x + l3).

Då är

df/dl1 = sin(l2x + l3)
df/dl2 = l1xcos(l2x + l3)
df/dl3 = l1cos(l2x + l3)

Välj nu lämpliga startvärden. Amplituden l1 verkar vara omkring 380000. Avståndet mellan två intilliggande nollställen verkar vara omkring 28 varför ett lämpligt startvärde på l2 är 2Pi/28. Kurvan verkar skära x-axeln ungefär vid 29. Sätt l3 till -29.2Pi/28.

Låt nu A vara 21×3-matrisen

df/dl1(x1,l1,l2,l3) df/dl2(x1,l1,l2,l3) df/dl3(x1,l1,l2,l3)
df/dl1(x2,l1,l2,l3) df/dl2(x2,l1,l2,l3) df/dl3(x2,l1,l2,l3)
...
df/dl1(x21,l1,l2,l3) df/dl2(x21,l1,l2,l3) df/dl3(x21,l1,l2,l3)

och db kolonnvektorn bestående av de 21 differenserna

yi - f(xi,l1,l2,l3).

Beräkna AtA och Atdb, där At är den transponerade matrisen. Lös ut kolonnvektorn dl med tre element dl1, dl2, dl3 ur normalekvationerna

AtAdl = Atdb.

Ersätt nu l1, l2, l3 med l1 + dl1, l2 + dl2, l3 + dl3 och upprepa proceduren tills differenserna dli är tillräckligt små. Fem iterationer ger l1 = 384400,0067, l2 = 0,2301533095, l3 = -6,283185348.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 12.25.08
Hej Lund. Jag vill först av allt tacka för en otroligt bra tjänst och säga att ni gör ett väldigt bra jobb. Min fråga är följande Omkretsen av en cirkelsektor med medelpunktsvinkeln pii/10 är 1,00 m. Om vinkeln görs dubbelt så stor blir omkretsen 1,50 m. Vad blir då radien? Tackar så mycket
Bävern

Svar:

Se 18 oktober 2000 12.16.27.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 12.23.11
Hej lund. Tack för en jättebra sida. Jag undrar hur följande ekvation löses
cos2 x-sin2 x=0,5
Tack på förhand
Patrik

Svar:

Uttrycket i ekvationens vänsterled är cos 2x så lösningarna ges av 2x = ±Pi/3 + 2Pi n, där n är ett godtyckligt heltal. Vi får alltså att x = ±Pi/6 + Pi n.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 12.21.11
Hej Lund. Först vill jag tacka för en otroligt bra sida. Jag har ett problem med en ekvation.
Finn den lösning till ekvationen x2+x=sin 2x som ligger i intervallet 0<x_<1
Tack på förhand
Patrik

Svar:

Man kan inte lösa denna ekvation exakt. Däremot kan man lösa den numeriskt. Tillämpa Newton-Rapsons metod, se 31 mars 1997 11.44.13, på ekvationen

f(x) = x2 + x - sin 2x = 0.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 12.18.10
Hej fråga lund.
Har lite problem med en ekvation och vore mycket tacksam om ni kunde hjälpa mig (min lärare är inte till någon större hjälp).
4sin x=3cos x
Tack på förhand
Patrik

Svar:

Jag är kanske inte heller till någon större hjälp. Det beror på hurdant svar du förväntar dig.

Då cos x är noll är inte sin x noll. Vi kan därför dividera med cos x och skriva ekvationen som

tan x = 3/4.

Denna ekvation har lösningarna x = arctan(3/4) + nPi, där n är ett godtyckligt heltal. arctan b är den lösning till ekvationen tan x = b, som ligger mellan -Pi/2 och Pi/2. För att beräkna arctan(3/4) är man hänvisad till numeriska metoder.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 12.16.27
Hej Fråga Lund.
Har kommit över ett tal som jag har legat sömnlös över i flera nätter, och jag skulle vara evigt tacksam om ni kunde hjälpa mig.
Omkretsen av en cirkelsektor med medelpunktsvinkeln pii/10 är 1,00 m. Om vinkeln görs dubbelt så stor blir omkretsen 1,50 m. Hur stor är radien?
Tack på förhand
Patrik

Svar:

Omkretsen är 2r + b, där r är radien och b bågen. Före vinkelfördubblingen är b = (pi/10)r och efteråt är b = (pi/5)r. Vi får dels att (2 + pi/10)r = 1 och dels att (2 + pi/5)r = 3/2, en orimlighet! Om radien också förändras är det inte orimligt men då behövs bara den sista ekvationen ur vilken man kan lösa ut radien.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 11.36.23
Finns det nåt sätt att lösa en sån här typ av ekvation?:
x^5 = 7^x
Mogge

Svar:

Nej, man kan i allmänhet inte lösa sådana ekvationer exakt. För ekvationen i frågan kan man dock säga att det inte ens finns någon lösning. Ekvationen

xa = bx

är ekvivalent med

f(x) = (ln x)/x = (ln b)/a

och deriverar man f och gör teckenundersökning ser man att dess största värde är 1/e. Eftersom (ln 7)/5 > 1/e kan det alltså inte finnas någon lösning.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 11.14.55
Den 27 nov 1998 19.47.24 har ni fått en fråga om annuitetslån där ni svarar på ett sätt då månadskosnaden beräknas på årsbasis och sedan delas på 12. Min fråga är då denna, skall inte räntekostnaden justeras efter varje månad då amorteringen betalas in månadsvis och inte 1 ggr / år? Tack på förhand.
Sami Paloaho, Wenströmskagymn. V-ås

Svar:

Enligt formeln i 27 november 1998 19.47.24 görs denna justering. Man betalar alltså bara ränta på den skuld som man har under en viss period, och inte på den skuld man hade vid årets början. Däremot brukar inte räntesatsen justeras på annat sätt än att den årliga räntesatsen divideras med antalet återbetalningstillfällen per år. Man kompenseras alltså inte för de ränteförluster man gör genom att betala in räntan tidigare än vid årsskiftet.

Kjell Elfström


18 oktober 2000 10.18.53
Högsta namngivna tal?
Jag har fått för mig att det var ett tal som hette "Gogol" som var 100 upphöjt till 100 upphöjt till 100. Efter att ha sökt hos Er hittade jag "Gogolplex" som är 10 upphöjt till 100. Missminner jag mig så eller kan någon förklara hur det ligger till? Jag skulle uppskatta lite bakgrundshistoria. MVH
Hans Strelow

Svar:

Googol = 10100, Googolplex  = 10Googol. Det lär ha varit matematikern Eward Kasners nioårige son (alternativt bror- eller systerson) som uppgett namnet Googol när han blev ombedd att namnge ett tal med en etta följd av hundra nollor. Han var medveten om att detta tal var ändligt men stort. Han förstod då att en etta följd av en Googol nollor också var ett ändligt tal och hittade på namnet Googolplex för detta tal.

I serien av tal som namnges efter mönstret biljon, triljon osv. brukar centiljon anses vara det största. Detta är en miljon upphöjt till 100, dvs 10600.

Kjell Elfström


17 oktober 2000 08.57.22
Vad är pi och hur har det påverkat tex, inom astronomi, kemi och andra naturvetenskapliga ämnen??
Camilla Johansson

Svar:

För information om pi, se t ex Pi through the ages.

Kjell Elfström


16 oktober 2000 21.20.12
Jag skulle vilja veta talet pi i VÄLDIGT många decimaler (ca 10000-)
Min mailadress är Jonte_heter_jag@hotmail.com
p.s Zippa ihop filen först!
Jonathan Fors

Svar:

Se PI för de omkring 50000 första decimalerna. Från Search In 10 Million Digits of Pi Page kan du ladda ner fler.

Kjell Elfström


16 oktober 2000 18.59.57
Hur förhåller sig längden på en linje dragen i en cirkel och den avskärmade cirkelperiferin. Vad blir kurvans ekvation?
magnus

Svar:

Låt M vara cirkelns medelpunkt och P och Q skärningspunkterna mellan linjen och cirkeln. Låt a vara vinkeln PMQ mätt i radianer och låt r vara cirkelns radie. Längden av sträckan PQ är då s = 2rsin(a/2). Längden av bågen PQ är b = ra. Löser vi ut a ur den förra längden och sätter in i den senare får vi

b = 2rarcsin(s/(2r)).

Kjell Elfström


15 oktober 2000 22.13.55
Två frågor: Jag antar att lösningarna till andra, tredje och fjärde- gradsekvationen är kända, men hur långt har matimatikerna hitills kommit? Samt; Vad är en algoritm egentligen?
Andreas på KTH

Svar:

En algoritm kan sägas vara en lista med precisa instruktioner för att i ändligt många steg lösa en speciell typ av problem, till exempel Euklides algortim för att finna största gemensamma delaren till två givna heltal. Vad gäller den första frågan kom matematiken redan på 1800-talet fram till att det inte finns någon liknande formel för att lösa femtegradsekvationen. Du kan titta på 11 april 1999 och de där givna länkarna.

Martin Svensson.


14 oktober 2000 23.00.51
Hej. Jag undrar om det finns en explicit formel för att utveckla ett karakteristiskt polynom av n:te grad, dvs från determinanten av xE-A till ett polynom av typ x^n + a1*x^(n-1) +...+ an, där E är enhetsmatris och A konstant nxn-matris? Om du nu inte finner det möjligt att plottra ner formeln här, i så fall, tipsa gärna om någon sida eller litteratur om detta. Tacksam för ditt svar.
Shastar of Wierd

Svar:

Det finns ju en explicit formel för determinanten av en matris (se 28 augusti 2000, kl 21.01.06) som i princip kan användas här. Annars kan man visa att det du kallar aj faktiskt är (-1)j gånger spåret av den av A inducerade lineära transformationen av den j'te yttre produkten av Rn. Speciellt är a1 (-1) gånger spåret av A och an (-1)n gånger determinianten av A. Denna formel brukar dock inte vara till någon hjälp i explicita beräkningar.

Martin Svensson.


14 oktober 2000 13.21.04
Hej! Jag skulle vara tacksam om ni kunde förklara begreppet "mångfald". Gärna både intuitivt och tekniskt.
Johan P

Svar:

En topologisk mångfald av dimension n är ett topologiskt rum sådant att varje punkt har en (öppen) omgivning som är homeomorf med en öppen delmängd av Rn. Det är alltså bara ett topologiskt rum som lokalt "ser ut" precis som Rn, till exempel sfären Sn och även mer abstrakta rum som RPn, det reella projektiva rummet vilket är Sn med diametralt motstående punkter identifierade. En differentierbar mångfald är en toplologisk mångfald där man har valt ut en övertäckning av öppna mängder, lokalt homeomorfa med öppna mängder i Rn, så att närhelst två sådana öppna mängder på mångfalden har icke-tomt snitt, är motsvarande sammansättning av de lokala homeomorfismerna (en funktion mellan två öppna mängder i Rn) differentierbar. På en sådan mångfald kan vi alltså även derivera funktioner och tala om tangentplan och vektorfält och man kan tilldela både Sn och RPn sådana övertäckningar. En differentierbar mångfald ska alltså inte bara topologiskt utan även till sin differentierbara struktur lokalt "likna" Rn.

Martin Svensson.


13 oktober 2000 22.47.30
Hej Jag går på högstadiet och är mkt intresserad. idag kom jag och min lärare in på sambandet mellan jämna baser som har exponent två. Jag visade henne hur skillnaden mellan dom alltid var nästa udda tal i serien. Till exempel skillnaden mellan 2^2 och 3^2 är ju 5 (9-4=5) Detta är ju då första talet vi valde att utvå ifrån. Om du sedan tar skillnaden emellan 3^2 och 4^2 så får du att skillnaden är 7 (16-9=7) Och nästa tal i den udda talserien efter 5 är ju 7. Och så här fortsätter det ju. Vi började skriva formler och tillslut började vi få ihop ett ganska bra resultat. Men senare ville jag få en enkel uppställning för att räkna ut längre tal med exponent två. Så jag valde att använda summatecken. Frågan jag vill ha besvarad är hur jag ska få den funktionen att man med hjälp av summatecknet visar att man ska räkna ex.5+7+9+11+13+15 Som ni förstår vill jag ha det så att man visar med summatecknet att man inte ska räkna med dom jämna talet. utgångstalet n ska alltid vara 5. Jag vet att frågan säkert är enkel eller att jag har skrivit allting för konstigt för att ni ska förstå vad jag menar men jag går ju abra på högstadiet och har inte så avancerade skickligheter Tack för hjälpen
Pierre

Svar:

Det finns en formel som säger att 1+2+...+n=n(n+1)/2. För att bevisa den, låt s=1+2+...+n. Då är s=n+(n-1)+...+2+1, eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning vi summerar. Adderar vi dessa två likheter får vi att 2s=n+1+(n-1)+2+...+1+n=n(n+1), dvs s=n(n+1)/2. För att så räkna ut summan 5+7+...+(2n+1), kan vi göra såhär: 5+7+...+(2n+1)=(summan av (2k+1) då k går från 1 till n) - 3=2(summan av k då k går från 1 till n) + (summan av 1 då k går från 1 till n) - 3=2n(n+1)/2+n-3=n2+2n-3. Hoppas att detta svarar på din fråga.

Martin Svensson.


13 oktober 2000 14.55.09
Hej! Jag undrar om ni kan härleda varför man kan vid små vinklar(x) approximera följande: tan(x)=y ----> x=arctan(y)=sin(y) Hur kan man byta ut arctan(y) mot sin (y)? Tack för hjälpen
Sofia

Svar:

Både sinus och arcus tangens har värdet 0 och derivatan 1 i punkten noll. Alltså har båda funktionerna tangenterna y=x i punkten 0. Vi kan tänka oss att vi approximerar dessa funktioners värden i punkter nära 0 med deras tangenters värden i dessa punkter. Alltså bör för små y, x=arctan(y) vara ungefär lika med y som i sin tur är ungefär lika med sin(y), återigen för små y. Med hjälp av Taylors formel kan man få kunskap om dessa approximationers nogrannhet.

Martin Svensson.


13 oktober 2000 09.37.58
En kontinuerlig funktion f största värde mellan (a,b) (klammer inåt) är 3 och minsta värde -5. a) Vilket är det största värdet och det minsta värdet, som funktionen 1/(1+(absoluta beloppet eller modulen av f)) får mellan (a,b), (klammer inåt)? b) Bevisa, att funktionen 1/f får mellan (a,b),(klammer inåt), värden, som är större än 10^6, och värden, som är mindre än 10^(-6).

Svar:

Enligt satsen om mellanliggande värden kommer funktionen 1/(1+|f(x)|), x i [a,b], att ha samma värdemängd som funktionen 1/(1+x), x i [0,5]. Alltså blir dess minsta värde 1/6 och dess största värde 1. Funktionen f kommer alltså att anta både positiva och negativa värden och sålunda godtyckligt små positiva värden och godtyckligt stora negativa värden. Detta betyder att funktionen 1/f antar godtyckligt stora positiva värden och godtyckligt små negativa värden.

Martin Svensson.


13 oktober 2000 09.22.52
Bestäm konstanterna a och b så, att funktionen: f(x)=(ax+4, då x är mindre än -1 (x^2, då -1 är mindre än eller lika med x och x är mindre än eller lika med 2 (1/2x+b, då x är större än 2 är överallt kontinuerlig.

Svar:

Vad som krävs för kontinuitet är att höger- och vänstergränsvärdena är lika i punkterna -1 och 2. Högergränsvärdet i punkten -1 är 4-a och vänstergränsvärdet 1. Alltså ska a=3. Högergränsvärdet i punkten 2 är 4 och vänstergränsvärdet 1+b, så att b=3.

Martin Svensson.


12 oktober 2000 23.08.03
Hej Lund! Har problem att lösa ett ekvationssystem enl följande: log(bas a)x + log(bas a^2)y = 3/2 log(bas b^2)x - log(bas b)sqrt(y) = 1 Förmodar att basbyten måste göras, men vet ej hur. Snälla hjälp mig. Tack på förhand!
Carl-Johan

Svar:

Till exempel kan man använda formeln clog z=ln z/ln c, varefter vi får en enhetlig bas. Systemet övergår då nämligen i

ln x/ln a+ln y/ln a2=3/2,
ln x/ln b2-ln y1/2/ln b=1.

Efter lite förenkling får vi så att

ln x2+ln y=ln a3,
ln x-ln y=ln b2,

vilket ju betyder att x2y=a3, x/y=b2. Enligt den andra ekvationen är x=yb2, så insättning i den första ger att y3b4=a3, dvs y=a/b4/3 och x=ab2/3. Ett annat sätt att lösa problemet är att ta båda sidor upphöjt till a2 i den första ekvationen och till b2 i den andra och sedan använda logaritmlagarna.

Martin Svensson.


11 oktober 2000 20.35.49
Så långt jag vet är talet (Jag kan inte skriva det med siffror så jag skriver det med bokstäver) 9 upphöjt till 9 upphöjt till 9 det största tresiffriga talet. Men hur stort är det om man skrive det normalt?
Behöber fakta om Oscar Reutersvärd

Svar:

Det största tresiffriga talet är faktiskt 999. Talet du anger är betydligt större än så: du får det genom att multiplicera ihop 387420489 stycken 9'or. För fakta om Oscar Reutersvärd kan du till exempel söka på altavista.

Martin Svensson.


11 oktober 2000 11.12.08
En fråga som ofta uppkommer i mitt huvud på kvällarna är som lyder: Hur stor är cantormängden jämfört med Q och R? Tack på förhand!
Johnny

Svar:

Det beror på vad man menar med storleken av en mängd. Om man menar storlek i kardinalitet så har Cantormängden samma kardinalitet som R, och därmed är den betydligt större än Q som ju är uppräknelig. Om man å andra sidan menar storlek i Lebesgues mening så är faktiskt Cantormängden och Q lika stora eftersom de båda är  Lebesgue-nollmängder. Då R har oändligt Lebesguemått är R med detta sättet att mäta alltså betydligt större.

Martin Svensson.


10 oktober 2000 20.31.51
Vad är McNemars test?
Kerstin

Svar:

För ett bra svar på denna fråga rekommenderar jag att du ställer den till en statistiker.

Martin Svensson.


10 oktober 2000 09.14.11
Hej! Jag skulle vilja ha reda på hur man navigerade efter stjärnorna på 1700-talet? Jag skulle vara tacksam om svaret var på ett ganska enkelt språk för jag går i tvåan på gymnasiet!
Sofie Källström

Svar:

Jag föreslår att du skickar denna fråga till fråga astronomen eller kanske till någon som sysslar med sjöfartshistoria.

Martin Svensson.


9 oktober 2000 20.55.04
Hej fråga Lund Jag undrar hur man löser (2*8^x + 8)^0.5 = 2^(3x -1) -1 Tack på förhand
Johan Holmgren

Svar:

Om vi inför en hjälpvariabel y=23x-1 så kan vi skriva ekvationen som (4y+8)1/2=y-1. Kvadrerar vi båda sidor får vi efter förenkling y2-6y-7=0, som har lösningarna y=7 respektive y=-1. Den sista av dessa förkastas eftersom y>0. Alltså måste 23x-1=7, dvs x=(2log(7)+1)/3.

Martin Svensson.


9 oktober 2000 12.51.24
Planet P1 innehåller linjen L: x=2y=3z+4 och är vinkelrätt mot planet P2: y-2z=5 . I vilken punkt skär planet P1 y-axeln?
Tommy

Svar:

Att linjen L ligger i planet P1 betyder att planet går genom punkten (0,0,-4/3) samt är parallellt med vektorn (1,1/2,1/3). Att P1är vinkelrätt mot P2 betyder att det är parallellt med P2's normalvektor (0,1,-2). Då har vi två vektorer som är parallella med P1 och en punkt däri, och därmed kan vi enkelt räkna ut ekvationen för P1. På normalform blir denna 4x-6y-3z-4=0. Då P1 skär y-axeln är x=z=0 så -6y-4=0, dvs y=-2/3. Svaret är alltså i punkten (0,-2/3,0).

Martin Svensson.


19438 frågor av sammanlagt 19862 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)