Fråga Lund om matematik

Sökresultat


1 februari 1999 09.15.25
Hej Kjell! Jag har ett litet problem. Jag skulle behöva konstruera en sprinkler för att vattna min rektangulära gräsmatta så att vattnet fördelas jämt på hela ytan. Jag har tänkt mig att sprinklern ska bestå av en krökt arm med jämt fördelade hål samt att vattnet ska spridas med en gungande rörelse i horisontalled. Hur ska den krökta armen vara böjd för att få en jämn vattenfördelning? Hur ska den gungande rörelsen kontrolleras så att varje stråle avger en jämn ström längs dess väg? Kan jag på något sätt använda mig av vattnets kraft för att få sprinklerarmen i en önskad rörelse? Väldigt tacksam för svar! Mvh
Peter Matsson Ystad

Svar:

Frågan är något utanför mitt kompetensområde: försök hos Fråga Fysikern.

Dmitri Apassov.


31 januari 1999 23.26.50
Hejsan! Hur löser man följande uppgift? I en skolklass är 32 av eleverna pojkar. Varje pojke känner fem flickor i klassen och varje flicka känner åtta pojkar. Hur många flickor finns det i klassen?
stefan

Svar:

En tänkbar lösning är följande: Dela upp pojkarna i 4 grupper med 8 pojkar i varje grupp. I grupp Pi känner varje pojke alla 5 flickor ur gruppen Fi ; varje flicka ur Fi känner de 8 pojkarna ur Pi . Alltså finns det 20 flickor.

Antag nu att lösningen ovan inte är minimal. Då kan man ta bort minst en flicka och på något sätt reorganisera bekantskapen så att villkoret är fortfarande uppfylld. Detta leder till en motsägelse: säg t ex att vi tog bort en från F1. Då måste alla ur P1 lära känna någon (några) ur Fi (i =2,3,4) och detta bryter mot villkoret för mostsvarande medlemmarna i Fi .

Dmitri Apassov.


30 januari 1999 22.42.46
Hej ! Jag undrar hur man drar tre raka streck så att 110 1110 = 1 ? Tacksam för svar!
Göran Nyberg

Svar:

- 110 - -111 - 0 = - 110 - (-111) - 0 = 1.

Dmitri Apassov.


30 januari 1999 01.50.57
Inkrementen i en Wienerprocess är ju normalfördelat s.a: W(t2)-W(t1) har väntevärdet 0 och variansen o^2*(t2-t1) där o parameter. Detta leder till att kovarianskärnan mellan W(t1) och W(t2) kan skrivas som o^2*min(t1,t2) (se tex Hjorth). Anta nu att vi tar tre tidpunkter t1<t2<t3 sådana att t2-t1 < t3-t2, Detta ger då (om k betecknar kovarianskärnan) k(W(t1),W(t2))=o^2*t1 < k(W(t2),W(t3)=o^2*t2...trots att t2 ligger närmare t1 än t3. Poissonprocessen tycks mig på analogt vis förbryllande. Nog är det väl tidpunktena och inte processvärdena vid tidpunkterna som ska ingå i uttrycken ovan ? Vad gör jag för tankefel?
Peter Dubois, teknolog

Svar:

Jag hänvisar till Institutionen för matematisk statistik vid ditt universitet, eftersom din fråga är utanför mitt kompetensområde.

Dmitri Apassov.


29 januari 1999 12.53.48
Hej! En ramsa som ger de första decimalerna i pi börjar med "I wich I could determine pi...". Hur lyder hela ramsan?
Martin

Svar:

Jag känner inte till denna ramsa.

Kjell Elfström


29 januari 1999 11.20.41
Hur löser man smidigast en ekvation som ser ut så här (utan att prova sig fram): x - 2x^0,5 = 15
Per-Erik

Svar:

Sätt t = x1/2. Ekvationen är t2 -2t -15 = 0 vilket ger t = 5 eller t=-3. En rot ur ett tal kan inte vara negativ, alltså är det bara t = 5 som duger och x = 25.

Dmitri Apassov.


29 januari 1999 10.59.29
Det här handlar om att bestämma gränskurvan för en fontän, när man har koordinaterna för x och y. Vattendroppens bana i x-led: x=12*cos a*t(tid) I Y-led ser det ut så här: y=12*sin a*t-(9,8t*t/2) a är vinkeln ,positiv eller negativ kring y- axeln. Vattnet sprutar i 12 m/s och problemet är alltså att bestämma grafen som definierar gränskurvan. Hur ska man göra ? TAck på förhand
Stina

Svar:

Jag är inte säker att jag har fattat uppgiften rätt, men jag antar att man ska bestämma hur stor bassängen runt fontänen skall vara.

Vi kan betrakta en enda stråle som sprutar utfrån origo i positiv riktning i XY -planet.

Då strålen träffar jorden, är t>0 och y-koordinaten = 0:

12tsin a -(g/2)t2 = 0 vilket är ekvivalent med t = (24sin a)/g.

Insättningen i ekvationen för x(t) ger x = (144/g)2sin a cos a = (144/g)sin2a.

Maximum av x-koordinaten (den längsta punkten från origo vattnet kan träffa) antas för a = pi/4 och är 144/g ungefär = 14 meter.

Alltså bassängen skall vara rund (av symmetriskäl) med radie >= 14 meter.

Se också 15 april 1997 19.49.50.

Dmitri Apassov.


29 januari 1999 10.53.24
Skulle bara vilja informera om att frågan: 15 januari 1999 12.01.24 Hej Jag skulle vilja ha hjälp med att få fram trycket som en funktion av längden, till detta problemet: Hur ändras trycket (N/cm2) ett tvärsnitt i en människas ben om längden tiofaldigas? Magdalena som jag läste på er sida, faktiskt är ett problem i en gymnasiemattebok, matte E, Flickan som bad om hjälp skulle säkert bara hitta en "short-cut" till hennes "miniprojekt", som man gör i E-kursen. Sånt kallas väl fusk... en moralen väktare, pontus

Svar:

Vi, å andra sidan åtar oss ej sådant ansvar. Folk frågar och vi försöker svara. Moralens väktare hänvisas i fortsättningen till insändarsidor i svenska pressen. Detta är en matematikspalt, inte domstol.

Dmitri Apassov.


29 januari 1999 10.48.55
vad e 1-54=????????????????????????????? hej då
dr deo

Svar:

Var god och förtydliga din fråga.

Dmitri Apassov.


29 januari 1999 04.16.46
Hej. Jag undrar om ni känner till något interaktivt utbildningsprogram rörande algebra på gymnasienivå. Eller liknande, för Win 95.
Christer Egerlind

Svar:

Försök att hitta något här. Annars är tanken med gymnasiealgebran att man utför beräkningar för hand.

Dmitri Apassov.


28 januari 1999 12.54.35
Vad ska man ha determinanter och matriser till? Tack!
Frank

Svar:

Matriser är väldigt bra till att beskriva sådana rumstransformationer som bevarar avståndet mellan punkterna. Ett exempel på en sådan transformation är en rotation kring origo t radianer moturs. Om en punkt i planet ges av koordinaterna (p1,p2) då har den rotearde punkten koordinaterna (p1cos t - p2sin t, p1sin t + p2cos t) eller i matrisform:

(cos t -sin t) (p1) = (p1cos t -p2sin t)
(sin t cos t) (p2) (p1sin t + p2cos t).

Determinantens begrepp är en generalisering av volymbegreppet. I 2 eller 3 dimensioner är absolutbeloppet av determinanten till en 2x2 (3x3) matris arean (respektive volymen) av en parallellogram (parallellepiped) som genereras av kolonnerna till matrisen (om vi betraktar dem som vektorer). I högre dimensioner är |det(A)| måttet av "superparallellepipeden" som genereras av kolonnerna till matrisen A.

Dmitri Apassov.


28 januari 1999 12.53.24
Hur löser man ut x ur sin(ax)=bx algebraiskt? Tack!
Frank

Svar:

Det gör man inte heller, lösningen kan inte uttryckas i elementära funktioner.

Dmitri Apassov.


28 januari 1999 12.48.27
Vilka finns och hur hittar man primitiva funktioner till f(x)=(r^2 - x^2)^(1/2)? Lös problemet utan att använda trigonometriska eller cyklometriska funktioner t.e.x. sinus eller arcussinus! Tack!
Frank

Svar:

Kan lösas utan hjälp av cyclometriska funktioner med hjälp av variabelsubstitution x->x/r och partiell integration:

I = integralen (1-x2)1/2dx = integralen x'(1-x2)1/2dx =

= x(1-x2)1/2 + integralen (x2-1+1)/(1-x2)1/2 dx =

= x(1-x2)1/2 + integralen 1/(1-x2)1/2 dx - I.

Det följer att I = (x(1-x2)1/2 + arcsin x + C)/2.

Dmitri Apassov.


28 januari 1999 12.46.45
Hej! Jag har försökt lösa följande uppgift men fastnat, och därmed hoppas på eran hjälp! Visa att ekv. (1+[x]/x)^x >= 2^[x] gäller för varje positivt värde på x. Tack på förhand!
Alexi

Svar:

Genom att höja VL och HL i 1/x -te potens fås:

(1+[x]/x) >= 2[x]/x .

Om vi nu sätter t = [x]/x, 0 < t =< 1, blir olikheten

1+ t >= 2t.

Funktionen f(t) = 2t -1-t är 0 för t=0 och t=1 och konvex (andra derivatan f"(t) är positiv). Alltså är funktionen f(t) negativ och detta medför den sökta olikheten.

Dmitri Apassov.


28 januari 1999 11.54.52
Hur löser man följande ekvation: y = x+5/x MVH Marianne
Marianne Jelassi

Svar:

Multiplicera med x både VL och HL. Man får då

x2 -xy +5 = 0.

Lösningarna till andragradsekvationen är

x1 = (1/2)(y + sqrt(y2-20)) och x2 = (1/2)(y - sqrt(y2-20)).

Dmitri Apassov.


27 januari 1999 20.40.23
Hej Kjell! Jag har skickat ett problem men för säkerhets skull skriver jag frågan igen. Låt a och b vara positiva heltal. Visa att ekvationen ax+by=n har en icke-negativ heltalslösning om och endast om n=>(a-1)(b-1). Tack i förhand!!! A.G.0

Svar:

Se 20 januari 1999 01.21.24.

Kjell Elfström


27 januari 1999 17.49.18
Hej . Jag har en fråga om den logistiska tillväxtmodellen ( Verhulst ) . Modellen kan som differentialekvation skrivas ; dP/dt = kP(M - P) där P =populationens storlek, t=tiden, k=konstant och M= maximala storleken av populationen. Sätt först M= 10, k=0,002 och P(0) =2 och studera sedan modellen genom att 1) rita lösningskurvan med ett datorprogram 2) söka en analytisk lösning med ett datorprogram 3) bestämma t så att P(t) = 9
Jarl

Svar:

Separation av variablerna i differentialekvationen ger

integralen 1/(p(10-p))dp = integralen k dt, eller

(1/10)log(p/(10-p)) = kt + C.

Kostanten bestäms genom att sätta p(0) = 2, t = 0:

1/10 log1/4 = C.

Slutligen, ger insättningen p = 9

t = (1/10 log9 -1/10 log1/4)/k.

Datorprogram kan sedan köras med formlerna ovan.

Dmitri Apassov.


27 januari 1999 12.02.44
Vad är cos, sin, tan, och sådant? När kan man använda dessa vad det gäller cirklar och rotationer i bl a datorprogram? Tacksam för svar!
Nils

Svar:

Antag att vi har en rätvinklig triangel med kateterna a, b och hypotenusan c . Låt x vara vinken mellan c och b.

sin x = |a|/|c|;

cos x = |b|/|c|;

tan x = sin x/cos x.

Till övriga reella x utvidgas de funktioner enligt följande:

-sin x = sin (-x), sin x = sin (pi -x) och sin x är 2pi -periodisk;

cos x = cos (-x) , cos x = -cos (pi-x) och cos x är 2pi-periodisk.

Varje punkt P på enhetscirkeln har således koordinater (cos t , sin t) där t är vinkeln mellan x-axeln och linjen genom P och origo som man mäter moturs. Trigonometriska enheten

sin2t +cos2t = 1

är inget annat än cirkelns ekvation.

Slutligen, en rotation av XY-planet t radianer moturs svarar mot matrisen

cos t -sin t
sin t cos t

Dmitri Apassov


27 januari 1999 03.40.26
Låt D vara en omega-cpo och låt F:D->D vara omega-kontinuerlig. Avgör om mängden E av alla element x i D för vilka F(x) är mindre än eller lika med x är en omega-cpo.
Erik Gustafsson

Svar:

Vad är cpo för något?

Dmitri Apassov.


26 januari 1999 21.20.21
Hej! Finns det en lösning till integralen e^(1/x) dx? Alltså egentligen finns det en primitiv funktion till e^(1/x)? Tack på förhand.
Mats

Svar:

Den primitiva funktionen

F(t)= integralen [0;t]e1/x dx

existerar naturligtvis och kan beräknas numersisk. Den är dock inte uttryckbar med hjälp av elementära funktioner.

Dmitri Apassov.


26 januari 1999 19.58.31
Hur visas att exp(x1+|x2|^(3/2)) är differentierbar.
Niklas H

Svar:

Det ses lätt att x2-> |x2|3/2är differentierbar för alla reella x2 . Sammansättningen av differentierbara funktioner är differentierbar.

Dmitri Apassov.


26 januari 1999 18.35.48
Låt A vara en matris där varje element tillhör mångden {-2,-1,0,1,2} (Dessutom gäller att i varje rad är högst tre element ej lika med noll och i varje kolumn är precis två element ej lika med noll) Min fråga är vilka effektiva (läs: polynomiell tidskomplexitet i matrisens storlek) metoder det finns för att bestämma nollrummet. Är singulärvärdesfaktorisering det bästa sättet? Kan mina antaganden om matrisens utseende underlätta? Visst borde man kunna hitta basvektorer där varje element är ett heltal? Vet du/ni om det finns någon bra bok där algoritmer för matrisproblem presenteras? Tack på förhand,
Andreas

Svar:

N(A) = V(At)*.

Dmitri Apassov.


26 januari 1999 14.40.20
Hejsan Lund. Antag att jag har två stycken kortlekar. Jag ska nu vända upp korten ett och ett samtidigt i båda kortlekarna och jämföra dem. Vad är nu sannolikheten att jag någon gång under de 52 kort(i varje kortlek) jag jämför med varandra får två lika, t.ex spader dam-spader dam eller klöver två-klöver två. Empiriskt får jag det till cirka 50% chans. Tacksam för svar /Michael
Michael Eklund

Svar:

Antalet av olika "52-par" kombinationer är (52!)2. Antalet alla kombinationer utan ett enda par lika är 52! 51! och sannolikhetan att en sådan inträffar är 1/52. I de övriga 51/52 = 98% fallen inträffar minst ett par lika kort.

Empiriska resultat tyder på bristfälliga tekniken att blanda kort :).

Dmitri Apassov.


26 januari 1999 13.53.35
Har tagit del av viss information gällande ljushastighetens konstant. De mätningar jag har sett visar på en viss förändring, ljuset går saktare. De första mätningarna från 1650-talet och framåt. Är detta något ni avvisar och förkastar?
Pontus

Svar:

Information om motsvarande mätningar och experiment finns t ex här och här.

Angående uttrycket "ljuset går saktare": med detta menades nog att de tidiga mätningar med låg precision gav ett något större hastighetsvärde än de moderna.

Dmitri Apassov.


26 januari 1999 12.02.53
Fermat igen...(suck) Man stöter emellanåt (i Singhs bok bland annat) på påståendet att Fermats sista sats (med konventionella beteckningar) genom datorkörningar verifierats för n < något stort tal. Jag inser inte hur detta är möjligt; avses att även x, y och z är begränsade till detta stora tal? Många hälsningar
Lars Hermansson

Svar:

Först bevisar man att det är Fermat inte har lösningar för x, y, z > M och n < N; sen är det bara att koppla in superdator....

Dmitri Apassov.


25 januari 1999 21.42.00
Vad är en kurvintegral egentligen?
Peter Bengtsson

Svar:

Antag x(t) = (x1(t), x2(t)) är en differentierbart parametriserad kurva i planet och f(x) = f(x1, x2)en reellvärd funktion på kurvan. Om £ är en delkurva av x mellan punkterna (x1(a),x2(a)) och (x1(b), x2(b)), då är

integralen £ fdx = integralen[a;b]f(x1(t), x2(t))||x'(t)||dt

där ||v|| betecknar längden av vektor v.

Dmitri Apassov.


25 januari 1999 21.23.36
Ett dricksglas har formen av n rak cirkulär cylinder med radien 4cm. Glaset är delvis fyllt av vatten och får rotera kring sin vertikala axel. Vattenytan buktar sig då och får formen av en rotationsparabolid, dvs. ett plan genom cylinders axeln skär ytan utefter en parabel. Vid en viss hastighet befinner sig ytans lägsta punkt 5cm över glasets botten och dess högsta punkt 7cm över botten. hur högt står vattnet i glaset när det hållits stilla så länge att vattenytan är horisontell.
Carl

Svar:

Paraboloidens ekvation som erhålls är

(-1/8)x2 - (1/8)y2 + z =5.

Volym av paraboloidens del mellan z=5 och z=7 är

V = integralen [5;7] 8*pi *(z-5) dz = 16*pi.

Vattnets volym är således 7*16pi - V = 96 pi.

Vattnet står 6 cm högt.

Dmitri Apassov.


25 januari 1999 16.32.57
Jag skulle vilja veta lite mer om Euklides...
Rebecca Ljungman

Svar:

Se Euclid of Alexandria.

Kjell Elfström


25 januari 1999 16.08.03
Hej! Hur beräknar man höjden i en rätvinklad triangel om man bara vet basens längd och motstående vinkelns grader? Alltså vinkeln mellan hypotenusan och längden.
Basen är 5m och vinkel 17 grader.
Tack för hjälpen!
Sofia

Svar:

Om höjden är h,basen b och vinkeln v gäller

tan v = b/h

vilket ger att h = 5/(tan 17°) m.

Kjell Elfström


25 januari 1999 11.13.19
Hur anpassar man en rät linje till följande värden m h a minsta kvadratmetoden. Även medelfelet ska bestämmas. (Gärna m h a Mathematica)
y=(-0.5,-0.2,0.1,0.1,0.6,0.4,0.9,0.9)
x=(-1 0 1 2 3 4 5 6 )
Andreas Fredriksson

Svar:

Eftersom detta är en enkel övning i att tillämpa formler hänvisar jag dig till Linear Regression Models.

Kjell Elfström


25 januari 1999 08.41.51
Vi brukar köpa trisslotter, vi är då tre stycken som skrapar tre rutor var, en börjar med att ta tre sedan tar nästa tre och sedan tar den sista dom tre som är resterande. Man får välja vilka man ska skrapa, vem har då störst chans att skrapa fram den eventuella vinsten? Min gissning är att den som skrapar tvåa har störst chans, men det kan ju också vara tur, vem har egentligen störst chans att vinna?
Agnes Abrahamsson

Svar:

Vi förutsätter i resonemanget nedan att det är en vinstlott och antar att det då finns tre likadana symboler (vita kulor) som det gäller att skrapa fram och sex andra (svarta kulor). Den förste drar tre kulor utan återläggning. Antalet möjliga fall är (93) och antalet gynnsamma är 1 varför sannolikheten att den förste skrapar fram vinsten är 1/(93). Sannolikheten att dra de tre vita kulorna om man drar sex kulor är (33)(63)/(96) och att dra de tre vita på sex försök utan att göra det på de tre första blir alltså (33)(63)/(96) -  1/(93). Sannolikheten, slutligen, för att inte dra de tre vita kulorna på de sex första dragningarna blir 1 - (33)(63)/(96). Sannolikheten att den förste skrapar fram vinsten är alltså 1/84, sannolikheten att den andre gör det är 19/84 och sannolikheten att den tredje gör det är 64/84.

Kjell Elfström


25 januari 1999 08.35.58
Skulle vilja veta lite om pi, varifrån det kommer, hur gammalt det är, har det haft olika värden genom historien, finns det ett exakt pi, kan man använda pi till något annat än diameter och omkrets, varför heter det pi och vad betyder det på grekiska?
Tacksam för svar
Agnes och Hanna

Svar:

I stället för att svara direkt kan jag hänvisa till några sidor på Internet:

Kjell Elfström


24 januari 1999 18.19.42
Hej, jag heter Jennifer och går i fjärde klass. Vi har fått en läxa av vår fröken, vi ska räkna ut vår kropps volym. Mamma sa att jag kunde lägga mig i ett badkar, och se hur mycket vatten som trängdes undan, men vi har bara dusch! Hur ska jag räkna ut detta?
Jennifer, 10 år

Svar:

Jag tycker din mammas förslag var mycket bra. Eftersom hon ger dig ett sådant råd och förmodligen vet om att ni inte har badkar känner hon säkert någon som kan låna ut sitt.

Kjell Elfström


23 januari 1999 22.18.38
Hur räknar man fram det minsta avståndet till en Y=X^2 kurva från en given punkt i planet ? Finns det nån generell metod som funkar på alla liknande kurver. skulle isåfall denna metod även fungera på polära kurvor och parameterkurvor i planet eller hur ska man göra med sådanan kurvor ? Gör det dessutom saken lättare om planet där kurvan o punkten finns bara omfattar 0<=X<=1 och 0<=Y<=1 ?
Johan Pettai

Svar:

För att bestämma det minsta avståndet från en punkt (x,y) på kurvan y = f(x) till origo tecknar man avståndet, vilket är

d(x) = (x2 + y2)1/2 = (x2 + (f(x))2)1/2

och undersöker denna funktion med avseende på extrempunkter, t ex genom att derivera den och studera teckenväxlingarna hos derivatan. För kurvor givna på parameterform gör man likadant men sätter in x = x(t), y = y(t) så att d beror på t. Polära kurvor kan ju anses vara givna på parameterform om man beaktar sambandet mellan de polära och de kartesiska koordinaterna.

Kjell Elfström


23 januari 1999 18.16.54
H är mängden av absolutkvadratintegrabla funktioner från R till C, försedd med skalärprodukten
(f|g)=INTEGRAL(f* g dx)
där integrationen sker över hela R (* betyder komplexkonjugat). En hermitsk operator (självadjungerad operator) är en operator Q som uppfyller (f|Qg)=(Qg|f) för alla f och g i H.
Är operatorn x hermitsk? Integralen (sin(x)/x | x sin(x)/x) är ju divergent så jag misstänker att x inte är hermitsk.
Erik

Svar:

Se 17 januari 1999 14.42.53.

Kjell Elfström


23 januari 1999 17.35.18
Hur stort är området innanför ena öglan av kurvan (x^2+y^2)^2=x^2-y^2 ? Hur kan man räkna ut detta med polära koordinater?
Tobias Kihlén

Svar:

Arean av området som i polära koordinater ges av

0 <= r <= f(t), a <= t <= b

är, om 0 < b - a < 2pi,

(1/2)Integral[a,b] (f(t))2dt.

Denna formel fås genom att approximera området med smala cirkelsektorer och arean av en sådan är ju är (t/2)r2.

Inför vi polära koordinater kan kurvans ekvation skrivas

r4 = r2(cos2t - sin2t).

r <> 0 innebär detta att

r = f(t) = (cos 2t)1/2.

Den ena öglan ges av -pi/4 <= t <= pi/4 och den andra av 3pi/4 <= t <= 5pi/4.

Kjell Elfström


23 januari 1999 17.02.58
vicket mate spel passar mest en 9 åring.
mirea

Svar:

Är det datorprogram du menar så kan du gå till Programvara för skolan, matematik. Där finns det en lista med matematikprogram för barn med en beskrivning av varje program.

Kjell Elfström


23 januari 1999 09.50.39
Jag skulle gärna vilja veta mer om fraktaler. Jag har läst om att det finns en metod att hitta funktionerna till en fraktal, men hur exakt går det till? Jag skulle vara tacksam för ett svar.
Oskar

Svar:

Jag känner inte till några metoder att hitta den funktion som genererar en fraktal med ett givet grafiskt utseende. I mitt svar på frågan den 17 mars 1997 16.57.52 finns referenser till sidor på Internet och litteratur om fraktaler.

Kjell Elfström


22 januari 1999 12.20.19
Hej!
Jag är kemilärare på gymnasiet och undrar om det går att göra en linjär regression där linjen går genom punkten (0,0). Eftersom vi använder 0 som inställning för instrumentet anser jag att den punkten är helt korrekt, linjen ska bara anpassas till de andra punkterna.
Helene Markström

Svar:

När man vill bestämma den linje genom origo som i minsta-kvadratmening bäst ansluter till en punktmängd skall man inte, som man annars gör, transformera variablerna genom att dra ifrån medelvärdena.

Om punkterna är (xk,yk), k=1,2,...,n ges riktningskoefficienten av a = sxy /sxx där

sxy = x1y1 + ... + xnyn

och

sxx = x12 + ... + xn2.

Kjell Elfström


22 januari 1999 09.10.57
Hejsan, jag har precis börjat med partiella differentialekvationer, men jag kan inte finna lösningen till denna med hjälp av beräkningar.
Meningen är att finna z.
dz/dx + a dz/dy =0
Lösningen skall vara z= f(ax-y), där f är en godtycklig funktion, men jag kommer ej fram till detta. Skulle du kunna hjälpa mig?
Marie

Svar:

Vi vill göra ett lämpligt variabelbyte och förenkla ekvationen med hjälp av kedjeregeln. Ett lämpligt sådant kan vara

x = s + at, y = as - t.

Då blir

dz/ds = dz/dx + adzdy

och ekvationen lyder

dz/ds = 0.

För fixt t ges lösningarna alltså av

z = C

men för ett annat värde på t kan vi få en annan konstant C. Vi kan alltså skriva

z = C(t)
.

Uttrycker vi t i x och y får vi

t = (ax - y)/(1 + a2)

och med f(r) = C(r/(1 + a2)) har vi fått det önskade resultatet.

Kjell Elfström


21 januari 1999 14.02.15
Hej!
Jag undrar hur man härleder sin(a)+sin(b)=2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2) , om man utgår från det vänstra ledet.
Urban Englund

Svar:

Vi har följande identiteter:

a =   (a + b)/2 + (a - b)/2
b =   (a + b)/2 - (a - b)/2

Sätt in detta i vänsterledet och använd additionsformlerna för sinus.

Kjell Elfström


21 januari 1999 10.01.22
Hejsan! Kan du kort förklara vad harmonisk analys är för någonting. Vad utgör teorin ??
Tack på förhand!
Fredrik

Svar:

Kortfattat kan man säga att det är studiet av Fourierserier.

Kjell Elfström


20 januari 1999 20.06.18
Om man har n stycken tal i intervallet 0<r a1 ,a2...an , och sannolikheten för att SQR(a1^2+a2^2+...an^2)<=r betecknas F(r,n), hur ser då denna funktion ut?
Edvard Jonasson

Svar:

Att talen ligger i angivna intervall innebär att punkten a = (a1,...,an) tillhör en n-dimensionell kub med sidan r. Villkoret på kvadratsumman innebär att a ligger i ett n-dimensionellt klot med radien r. Den del av klotet som ligger i kuben utgör 1/2n av hela klotet. F(r,n) är kvoten mellan volymen av den del av klotet som ligger i kuben och kubens volym. Om cn är volymen av enhetsklotet är alltså

F(r,n) = (rncn/2n)/rn = cn/2n.

cn kan beräknas med rekursionsformeln

cn = pip/p!  om  n = 2p är jämnt

och

cn = 2(2pi)p/(2p + 1)!!  om  n = 2p + 1 är udda

vilket visas i de flesta läroböcker i flerdimensionell analys. Vi har förutsatt att de stokastiska variablerna är rektangelfördelade.

Kjell Elfström


20 januari 1999 18.09.32
Skulle du kunna lösa följande diff.ekvation analytiskt och numeriskt? Och går det ev. att förenkla den lite? Om r=100, u=250, k=50, s=20 och t (som inte eg. har någon betydelse för mig) kan väl vara 10 s. Kan man lösa ut t, eller ev. få bort t på något sätt om man inte har användning för det? Ekv.: r(dv/dt)=u-c*s Svara snarast. Tack på förhand!
Henke :-)

Svar:

Är r, u och c konstanter handlar det bara om att bestämma en primitiv funktion. Vi har ju

dv/dt = (u - cs)/r

och får därför att

v = (u - cs)t/r + C

där C är en konstant. Man inser att C = v(0).

Kjell Elfström


20 januari 1999 02.16.18
1^2+2^2+3^2 ...... för serien har jag fått fram att summan motsvaras av 3gradspolynom 1/3*x^3+1/2*x^2+1/6*x men kan ej bevisa detta , inser att summan måste vara > integralen av X^2 & < integralen av X^2+2X+1 , tacksam för svar.
Anna Karlsson

Svar:

Det är förmodligen en formel för den ändliga summan Summak = 1, n k2 du söker. Låt oss gå upp i graderna för att härleda en sådan.

Summak = 2, n + 1 k3 = Summak = 1, n (k + 1)3 = Summak = 1, n (k3 + 3k2 + 3k + 1).

Vi delar upp den sista summan och får att

Summak = 2, n + 1 k3 = Summak = 1, n k3 + 3Summak = 1, n k2 + 3Summak = 1, n k + Summak = 1, n 1

Ur detta samband kan vi lösa ut den sökta summan och eftersom alla termerna, utom de sista, i summorna av tredjepotenser tar ut varandra behöver du bara känna formeln för den aritmetiska summan för att gå vidare.

Kjell Elfström


20 januari 1999 01.21.24
Hej Kjell!
Jag har följande problem:
Låt a och b vara två positiva heltal. Visa att ekvationen
ax+by=n
och n är heltal, har icke-negativa heltalslösningar x,y om och endast om n=>(a-1)(b-1).
A.G.

Svar:

Påståendet är bara sant till hälften. T ex har ekvationen

3x + 4y = 4

den icke-negativa lösningen (0,1) utan att, för den skull, 4 >= 2.3.

Om n >= (a - 1)(b - 1) har ekvationen en icke-negativ lösning under förutsättning att den har någon lösning alls. Det är nämligen så att ekvationen är lösbar om och endast om SGD(a,b) delar n.

Vi förutsätter därför att ekvationen har någon lösning (x0,y0).

Antag då att n >= (a - 1) (b - 1). Ekvationens samtliga lösningar ges av

x x0 + kb/d
y y0 - ka/d

där k är ett godtyckligt heltal och d = SGD(a,b). Låt x vara det minsta icke-negativa tal sådant att det finns ett tal y sådant att (x,y) är en lösning. Då är

0 <= x <= b - 1

ty annars kunde vi dra b/d från x och få ett mindre sådant tal. Om motsvarande värde på y är negativt är y <= -1 och vi får att

n = ax + by <= a(b - 1) - b = ab - a - b < ab - a - b + 1 = (a - 1)(b - 1)

vilket strider mot förutsättningen. Därmed är det bevisat att det finns en icke-negativ lösning

Kjell Elfström


19 januari 1999 22.44.05
Hur förenklar man detta tal snälla ge mig en så lättfattlig förklaring som går.
    4         2
  ------ - ------ =
  3a+2b    2a+3b

Britt-Mari A

Svar:

Man kan inte dra bråken från varandra som de står, det är som att försöka dra 2 päron från 4 apelsiner. Vi gör liknämnigt. Förläng därför det vänstra bråket med den högra nämnaren och det högra bråket med den vänstra nämnaren.

4/(3a + 2b) = 4(2a + 3b)/(3a + 2b)(2a + 3b)

och

2/(2a + 3b) = 2(3a + 2b)/(3a + 2b)(2a + 3b).

Nu har bråken samma nämnare och kan dras från varandra genom att täljarna subtraheras. (x bananer - y bananer.) Uttrycket kan alltså skrivas

(4(2a + 3b) - 2(3a + 2b))/(3a + 2b)(2a + 3b).

Nu behöver vi bara förenkla täljaren (räkna ut den) och får

(2a - 8b)/(3a + 2b)(2a + 3b)

vilken nog kan sägas vara en förenkling.

Nämnaren är faktoriserad och i de flesta sammanhang är det bara dumt att multiplicera ihop faktorerna.

Kjell Elfström


19 januari 1999 17.20.01
Hej! Jag har en fråga gällande linjär algebra. Om man vet att U och V är linjära underrum i W (W är ett vektorrum), hur visas då att skärningen av U och V också utgör ett linjärt underrum ???
Ann

Svar:

En delmängd U av ett vektorrum W är ett underrum om U är icke-tom och det gäller att sx + ty tillhör U om s och t är godtyckliga tal och x och y är vektorer i U.

Definitionen ger, eftersom någon vektor x tillhör U att 0x + 0x = 0 tillhör U. 0 tillhör alltså både U och V och tillhör därför skärningen. Om x och y tillhör skärningen så ligger x och y i U varför sx + ty tillhör U. x och y tillhör också V varför sx + ty även tillhör V. sx + ty tillhör alltså skärningen.

Kjell Elfström


19 januari 1999 16.38.38
Hej! Om ett visst antal personer står i kö. På hur många sätt kan dessa personer stå i kö? Att räkna ut det är ju inte något problem. Men hur kan man skriva ner de olika kombinationerna? Vad jag undrar är om det finns någon speciell formel för det hela. Mina egna funderingar går enligt följande:
I Kön finns tex de sex personerna a, b, c, d, e och f:
abcdef
abcdfe de två sista böt plats
abcfde andra och tredje från höger böt plats
abcfed de två sista böt plats
abcefd andra och tredje från höger böt plats
abcedf de två sista böt plats
men vad händer sedan? Jag antar att c borde byta plats med endera e, d eller f och sedan börjar man om från början med de två sista...
Med vänlig hälsning och tacksam för svar
Anders Eriksson

Svar:

Man kan tänka sig en rekursiv metod, som dessutom ger kombinationerna i bokstavsordning. Antag att vi har en metod att, med utgångspunkt från en begynnelsepermutation, räkna upp permutationer av fem element b, c, d, e och f. För att få alla permutationer av sex element som börjar med a sätter vi a först och tillämpar sedan vår metod på de återstående fem med bcdef som begynnelsepermutation. När detta är gjort sätter vi b först och tillämpar metoden med acdef (uppräknade i bokstavsordning) som begynnelsepermutation. Vi gör sedan samma sak med c, d, e och f. På så sätt har vi fått en metod att ordna permutationerna av sex element utifrån begynnelsepermutationen abcdef. Metoden för permutationer av fem element bygger i sin tur på en metod för permutationer av fyra element, som kan beskrivas med hjälp av en metod för permutationer av tre element och denna kan slutligen beskrivas med den metod för permutationer av två element som innebär att man kastar om elementen.

Två element:

ef
fe

Tre element:

def
dfe
edf
efd
fde
fed

Kjell Elfström


19 januari 1999 14.45.41
Hej! Jag undrar bara om man ska resonera så här angående problemet med skatten och de tre dörrarna. Vi vet från början att sanolikheten för att skatten finns bakom A som jag väljer är 1/3, och att sannolikheten att den är bakom B eller C är 2/3. Vi vet också att minst en av dörrarna B eller C är det inget bakom. När så programledaren öppnar tex B och där inte finns något, så har vi inte fått någon ny information härvidlag (eftersom vi vet att programledaren väljer den dörr där det inte finns något). Däremot vet vi nu att skatten inte är bakom B. Därför är det 2/3 chans att den är bakom C, och därför bör vi byta.
Kristian

Svar:

Det är just det som är det väsentliga: att vi inte får någon ny information. Sannolikheten att skatten finns bakom den valda dörren är fortfarande en tredjedel. Det, efter programledarens manöver, enda återstående valet måste ge sannolikheten 2/3.

Kjell Elfström


19 januari 1999 13.35.51
Skulle ni kunna berätta för mig vasd det fins för transcendenter (förutom pi och e) och var man kan hitta lite fakta om dessa? Tack!
Marcus

Svar:

Hermite visade att e var transcendent 1873 och pi visades vara trancendent 1882 av Lindemann. Gelfonds sats säger att ab är transcendent om a är algebraiskt, skilt från 0 och 1 och om b är algebraiskt och irrationellt. Denna sats ger att 2sqrt(2) och epi = (-1)-i är transcendenta. Fler exempel på transcendenta tal är sin 1, ln 2, pi + ln 2 + 21/2ln 3. Man vet också att minst ett av talen pie och pi + e är transcendent. Det är okänt huruvida talen ee, pipi, pie och Eulers konstant är transcendenta. En generalisering av Gelfons sats har givits av Alan Baker som har skrivit boken Transcendental Number Theory, Cambridge University Press.

Kjell Elfström


18 januari 1999 21.11.03
En förening på 10 personer har hyrt två bilar: 6 kan åka i den första bilen och 4 i den andra. Bara 7 personer har körkort. På hur många sätt kan resan företas?
Är det korrekta svaret:
(10 över 6) * (4 över 4)
eller:
(7 över 2) * (8 över 5) * (3 över 3)?
Jon Rönnols

Svar:

I det första svaret tycker vi att det är oväsentligt vilka som kör bilarna, det intressanta är bara hur resenärerna fördelas på de båda bilarna. I det andra svaret tar vi hänsyn till vilka förarna är, men bryr oss inte om vilka bilar de kör. Däremot tar vi hänsyn till i vilka bilar passagerarna hamnar. Man kan också tänka sig andra svar, beroende på vad som är intressant. Frågan måste alltså preciseras.

Kjell Elfström


18 januari 1999 20.37.54
Massan av vikten.
Det hänger ett rep över ett block med en vikt i ena änden och en apunge i den andra. Apungens massa är lika med massan av vikten. Repet väger 0,4 kg/m.
Apan och apans mamma är tillsammans 4 år. Apungen väger lika många hekto som 16 gånger mammans ålder i år. Massan av vikten och massan av repet är tillsammans lika med 1,5 gånger skillnaden mellan dubbla massan av vikten och massan av ungen . Mamman är nu dubbelt så gammal som ungen var när mamman var hälften så gammal som ungen kommer bli när ungen är 3 gånger så gammal som mamman var när mamman var 3 gånger så gammal som ungen är nu.
Hur långt är repet???
Peter Johansson

Svar:

Låt u vara ungens ålder, m moderns och d skillnaden, dvs moderns ålder då ungen föddes. Den långa meningen på slutet säger då att

m = 2(3.3u/2 - d) = 9u - 2d = 9u - 2(m - u)

vilket ger att 3m = 11u. Eftersom deras sammanlagda ålder är 4 år är

m + u = 4.

Dessa ekvationer ger att m = 22/7 så ungen väger 16.22/7 hg. Eftersom ungen och vikten väger lika är repets vikt hälften, dvs 16.11/7 hg vilket ger att repet är 4.11/7 = 44/7 m långt.

Kjell Elfström


18 januari 1999 17.03.23
Hej , här kommer två svåra frågor
Fråga 1
Om man delar primtalet P med 10 kommer resterna att upprepa sig efter ett visst antal gånger. Tex upprepas resterna i 10/7 efter 6 gånger och i 10/313 efter 312 gånger Detta antal är en faktor i P-1, vilket följer av Fermats lilla sats, men jag vet inte hur man bestämmer antalet rester utan att utföra divisionen.(annat än att man kollar vilket minsta tal i följden 1,11,111,1111 osv går jämt upp i)
Fråga 2
Om man ritar n punkter på ett papper och drar kurvor mellan dem så att alla punkter är förbundna med varandra så kallar man minsta antalet korsningar för K. Finns det någon formel för att enkelt erhålla K för ett valfritt N? Har du någon aning om hur man gör??
Edvard Jonasson

Svar:

Antalet olika rester är ordningen av elementet 10 i Zp* vilket du har konstaterat. Hur man bestämmer denna ordning utan att dividera känner jag inte till.

Jag har heller inte hittat något svar på din andra fråga i litteraturen. Lämplig litteratur borde vara kombinatorik med tillämpningar inom grafteori, speciellt plana grafer.

Kjell Elfström


18 januari 1999 15.46.42
Hej Kjell!
Vi skulle vilja ha hjälp med att härleda formeln b=k*v^2, där b=bromsträcka k=godtycklig konstant v=hastighet
Tack på förhand
Sverker i 7c Simrishamn

Svar:

Vi antar att accelerationen vid inbromsningen är en negativ konstant a. Om v är hastigheten gäller att v' = a, där v' är derivatan av v. Då måste

v = at + v0

där v0 är hastigheten vid inbromsningens början. Utnyttjar vi också att s' = v där s är sträckan får vi att

s = at2/2 + v0t.

Då hastigheten v = 0 är

t = -v0/a

och sätter vi in detta i formeln för sträckan får vi den önskade formeln s = -v02/(2a).

Kjell Elfström


18 januari 1999 12.09.54
VARFÖR KAN INTE MIN SAMBO FLYTA I VATTNET, HAR HÖRT ATT VISS MÄN INTE KAN DETTA PGA ATT DOM KAN HA TÄTARE "DENSITET" I SKELETTET. HAN HAR FÖRSÖKT I BÅDE SALT OCH SÖTVATTEN . LIGGER DET NÅGON SANNING I DETTA ELLER KAN HAN HELT ENKELT INTE FLYTA?
EVA-LISA M.

Svar:

Huruvida din sambo kan flyta på vatten eller inte beror på hur stor kroppsdensitet han har och hur han är formad. Som bekant kan ju båtar med stålskrov flyta trots att stålets densitet överstiger vattnets. Förmodligen är skelettdensiteten olika hos olika människor, men detta är ingen matematisk fråga.

Kjell Elfström


18 januari 1999 10.34.34
När och vilka/vem introducerade siffran/begreppet noll i Europa.
Fredrik Bragd

Svar:

Troligen någon gång under 1000- eller 1100-talet. En tidig användare och spridare av arabiska siffror och siffran 0 var Leonardo Fibonacci av Pisa (omkring 1175-1250).

Kjell Elfström


18 januari 1999 08.58.28
Tjena!!
Vi håller på med ett arbete om Umeåälv, Luleälv och jag skulle vilja veta hur mycket vatten som rinner ut per sekund till havet. Tack på förhand Niklas Ångström. Mail: Nikko84@hotmail.com
Niklas Ångström

Svar:

Detta är ingen matematisk fråga, utan snarare en geografifråga.

Kjell Elfström


17 januari 1999 22.09.27
Om vi har två punkter på jordens yta och vill hitta en tredje så att avståndet mellan alla punkter är lika. Ange den tredje punktens lösningar som funktion av de första tvås koordinater. Vad blir maximala felet om man antar sfärisk form på jorden? Finns det någon lämplig ekvation som beskriver jordens yta på ett precist sätt?
Tack på förhand.
Magnus

Svar:

I svaret till frågan den 20 november 1997 21.51.32 anges hur man beräknar vinkeln mellan ortsvektorerna till två punkter på jordytan vilkas longituder och latituder är kända. Tre punkter på ytan har samma avstånd om de har samma vinklar. Detta problem kan nog endast lösas approximativt. Dina övriga frågor är inte av matematisk natur.

Kjell Elfström


17 januari 1999 20.12.26
Undersök vilka villkor, om några, som måste ges till de komplexa talen z1 och z2 för att
a) Re(z1z2) = Re(z1*z2*)
b) Im(z1z2) = -Im(z1*z2*)
c) Re(z1z2) = Re(z1)Re(z2)
d) z1z2* = z1*z2
e) Re(z1/z2) = Re(z1) / Re(z2)
Multiplikationstecken utelämnat, och * betyter konjugatet.
Lars Karlsson

Svar:

a) Eftersom z1*z2* = (z1z2)* gäller formeln för alla z1 och z2.

b) Som i a).

c) Sätter vi z1 = a + bi och z2 = c + di är vänsterledet ac - bd och högerledet ac. Villkoret är alltså att Im(z1) = 0 eller Im(z2) = 0.

d) Eftersom HL = VL* betyder likheten att Im(z1z2*) = 0.

e) Multiplicerar vi båda led med Re(z2) och utnyttjar att z1 = (z1/z2)z2 kan vi skriva likheten

Re((z1/z2)z2) = Re(z1/z2)Re(z2).

Utnyttja nu resultatet i c).

Kjell Elfström


17 januari 1999 20.08.41
Faktorisera polynomet p(x)=x^6+1, i reella andragradspolynom. Visa utförligt.
Palle Pettersson

Svar:

Sätt t = x2. Polynomet kan då skrivas t3 + 1. Faktorisera detta polynom. Ett nollställe är -1 så polynomet innehåller faktorn t + 1. Dividerar vi polynomet med denna får vi kvoten

q(t) = t2 - t + 1.

Polynomet innehåller alltså faktorerna x2 + 1 och

q(x2) = x4 - x2 + 1.

Lägger vi till och drar ifrån 3x2 för att åstadkomma en jämn kvadrat får vi

q(x2) = x4 + 2x2 + 1 - 3x2 = (x2 + 1)2 - 3x2

och använder vi konjugatregeln får vi slutligen

q(x2) = (x2 - 31/2x + 1)(x2 + 31/2x + 1).

Se också 2 november 1998 07.11.22.

Kjell Elfström


17 januari 1999 17.57.45
Hur löser man följande diff.ekv. m.h.a integrerande faktor
dx/dt = -ax(t) + bu(t)
x(0) = x0
i fallen då
u(t) = u0 = konstant,
u(t) = sin(wt),
u(t) = e^at (a =/ -1)
u(t) = e^-t ?
I alla fallen ska a = b = 1.
Tack på förhand.
Mats

Svar:

Eftersom a = b = 1 är differentialekvationen

x' + x = u(t).

Den integrerande faktorn är i samtliga fall et och lösningen ges av

e-t Integral u(t)etdt.

Det är alltså funktionerna u0et, etsin(wt), ea + t och 1 som skall integreras. Alla fallen utom det andra är triviala. I det andra fallet integrerar du partiellt två gånger och återfår den ursprungliga integralen till höger om likhetstecknet.

Integral etsin(wt)dt = etsin(wt) - wIntegral etcos(wt)dt =

= etsin(wt) - wetcos(wt) - w2Integral etsin(wt)dt.

Ur denna ekvation kan vi lösa ut integralen

Integral etsin(wt)dt = 1/(1 + w2)(etsin(wt) - wetcos(wt)) + C.

Glöm nu inte att multiplicera detta med e-t.

Kjell Elfström


17 januari 1999 16.59.46
Finnes det en allmängiltig/-t formel/samband för att räkna ut sträckan mellan två x-kordinater på en godtycklig funktion.
Rickard

Svar:

Avståndet mellan två punkter (x1,y1) och (x2,y2) är

d = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)1/2

och om punkterna ligger på grafen till funktionen f är yi = f(xi), vilket du kan sätta in i formeln för avståndet. Dock är jag osäker på om jag tolkat frågan rätt.

Kjell Elfström


17 januari 1999 14.42.53
Låt L vara rummet av alla absolutkvadratintegrabla funktioner från R till C, försett med skalärprodukten
(f|g)=INTEGRAL(f(x)* g(x) dx)
där * betyder komplexkonjugat och integrationen sker över alla x.
En hermitsk operator Q är en operator som uppfyller (f|Qg)=(Qf|g) för alla f och g i L.
Är operatorn x en hermitsk operator i L?
Integralen (sin(x)/x|x sin(x)/x) är divergent så jag misstänker att x inte är hermitsk.
Erik

Svar:

Det är riktigt att operatorn inte uppfyller kravet på att vara definierad i hela L, vilket den enligt ovanstående definition skall vara för att vara Hermitsk.

Kjell Elfström


17 januari 1999 09.45.19
Hej !
Jag tänker skriva en D-uppsats om grafteori, vet ni om det finns några bra böcker i ämnet
Kenneth

Svar:

Bondy and Murty: Graph Theory with Applications, The Macmillan Press och Hartsfield and Ringel: Pearls in Graph Theory, Academic Press är ett par inte allt för avancerade böcker.

Kjell Elfström


16 januari 1999 19.01.14
Hur finner jag ett y värde, som svarar mot varje x och k värde, så att likheten k(x+y)=tan(y) stämmer? Dvs hur uttrycker jag y med x och k?
Joakim Andersson

Svar:

Att lösa ut y uttryckt i x och k exakt går i allmänhet inte.

Kjell Elfström


16 januari 1999 15.26.22
HUR MYCKET CEMENT?
En stor,öppen och cylinderformad vattentankska konstrueras.Tanken ska rymma 1000 kubikmeter och ha en bottentjocklek på 0,25 meter.För väggtjockleken(t) meter gäller att t=0,002 ggr x ggr r,där (x) meter är det maximala vattendjupet och (r) meter är tankens radie.Undersök hur mycket cement det minst går åt
Mattias

Svar:

Se 29 januari 1997 12.24.13.

Kjell Elfström


16 januari 1999 14.35.38
Hej! Finns det någon lösning till x*y*z=(x+y+z)^3 där x,y och z är heltal?
Johan F

Svar:

Ja, t ex x = y = z = 0. Om vi kräver att x, y och z är positiva kan det inte finnas någon lösning eftersom vänsterledet ingår i utvecklingen av högerledet som därför i så fall är större än vänsterledet.

Kjell Elfström


16 januari 1999 13.12.03
Hej, jag undrar om kan hjälpa mig med bevisen till area- och volymberäkning av ett klot. Varför delar man volymen till kon, pyramid och klot med tre? Tack för hjälpen :-)!
Lotta Johansson

Svar:

Varför ingår det en trea i formlerna. Man kan approximativt beräkna volymen genom att man skär upp området i tunna skivor och summerar deras volymer. Dessa är ungefär tjockleken gånger snittarean. Låter man indelningen bli finare och finare kommer den approximativa volymen att alltmer närma sig en integral av tvärsnittsarean. I fallen med konen och pyramiden är tvärsnittsarean x2/h2 gånger basarean B om figuren är lämpligt placerad i ett koordinatsystem. En primitiv funktion till Bx2 är Bx3/3 och det förklarar trean. I fallet med klotet är inte faktorn 1/3 utan 4pi/3 och här beror heller inte tvärsnittsarean på arean av en cirkel på samma enkla sätt.

Kjell Elfström


16 januari 1999 00.51.01
Hejsan!
Har två frågor som jag gärna skulle vilja ha svar på, rita gärna nån slags figur över frågan så man ser hur det är tänkt att se ut.
Fråga 1
If the midpoints of the cosecutive sides of any quadrilateral are connected by straight lines, prove that the resulting quadrilateral is a parallellogram.
Fråga 2
Consider a tetrahedron with faces F1, F2, F3, F4. Let V1, V2, V3, V4 be vectors whose magnitudes are respectively equal to the ares of F1, F2, F3, F4 and whose directions are perpendicular to these faces in the outward direction. Show that V1+V2+V3+V4=0
Stefan

Svar:

Fråga 1.

Beteckna hörnen med P, Q, R och S och sidornas mittpunkter med A, B, C och D. Om O är en punkt i rummet är

OA =  (1/2)(OP + OQ)
OB =  (1/2)(OQ + OR)
OC =  (1/2)(OR + OS)
OD =  (1/2)(OS + OP)

Vi får att

AB =  OB - OA = (1/2)(OR - OP)
BC =  OC - OB = (1/2)(OS - OQ)
CD =  OD - OC = (1/2)(OP - OR)
DA =  OA - OD = (1/2)(OQ - OS)

vilket visar att motstående sidor i fyrhörningen ABCD är parallella och lika långa.

Fråga 2.

Inför vektorer u1, u2 och u3 så att de representanter för vektorerna som utgår från ett och samma hörn i tetraedern bildar tre av kanterna och så att vektorerna i den ordning de är uppräknade är negativt orienterade. Då är de fyra utåtriktade normalerna u1xu2, u2xu3, u3xu1 och (u3 - u1)x(u2 - u1). Räknereglerna för vektorprodukt visar att summan blir nollvektorn.

Kjell Elfström


15 januari 1999 23.57.43
Hej! Jag undrar vad Fermats tvåkvadratsats är för något?
Erik Lindgren

Svar:

Satsen säger att om ett primtal ger resten 1 vid division med 4 så kan det skrivas som en summa av två heltalskvadrater.

Kjell Elfström


15 januari 1999 22.27.41
Här är ett proböem som jag inte får någon ordning på. Så jag ber om hjälp. En katt sitter i mittpunkten av en cirkulär arena med radien R. En råtta kommer ut genom ett hål i arenans periferi och börjar springa med konstant hastighet längs arenans periferi. Katten upptäcker råttan direkt då den kommer ut genom hålet och börjar springa med konstant hastighet för att försöka fånga råttan. Katten springer hela tiden i riktning rakt mot råttan. Härled ekvationen för kattens rörelse uttryckt i polära koordinater. Kattens hastighet antas vara högre än råttans.
Skulle även vilja få dina kommentarer till de fall att kattens hastighet är lägre än råttans. I dessa fall tycker jag mig se att de finns jämviktslägen då katten springer längs en cirkel med radie r < R. Råttan antas då springa varv på varv längs periferin med radien R.
Ivan

Svar:

En utredning av detta är alltför omfattande. Jag ber att få hänvisa till litteraturen i stället. Se

  • Bernhart, A.: "Curves of Pursuit." Scripta Math. 20, 125-141, 1954.
  • Bernhart, A.: "Curves of Pursuit-II.& Scripta Math. 23, 49-65, 1957.
  • Bernhart, A.: "Curves of General Pursuit." Scripta Math. 24, 189-206, 1959.

Sök även på Internet efter Pursuit Curves.

Kjell Elfström


15 januari 1999 20.05.43
Hej! Jag har ett matematiskt problem som jag har grunnat på länge. Det är baserat på en gåta. Det var en bonde som sa till sin dräng att åka in till byn för att köpa 100 st oxar, grisar och höns för exakt 100 kronor. Oxarna kostar 10 kr, grisarna 3 kr och hönsen 0,50 kr. Det viktiga är att det blir 100 djur för 100 kr. Det måste vara minst en av varje djursort men sedan får man blanda hur man vill. Kan ni lösa detta? Hur löser man det matematiskt? Kanske med en ekvation (10x+3y+0,5z = 100)? MVH Crille
Crille Larsson-Persson

Svar:

Problemet är att x, y och z skall vara heltal. Du har kommit fram till en ekvation själv och multiplicerar vi båda leden med 2 får vi heltalskoefficienter.

20x + 6y + z = 200.

Utnyttjar vi att antalet djur är 100 får vi också

x + y + z = 100

och drar vi den senare ekvationen från den förra kan vi eliminera z och få

19x + 5y = 100.

Detta är en Diofantisk ekvation i två obekanta. För att finna en lösning användes Euklides algoritm.

19 = 4.5 - 1
5 = 5.1
visar att SGD(19,5) = 1 och räknar vi baklänges får vi

1 = 19.(-1) + 5.4.

(Denna metod fungerar även för andra koefficienter, i detta speciella fall kunde vi löst problemet mer direkt.)

Vi behöver nu bara multiplicera de båda leden i likheten med 100.

100 = 19.(-100) + 5.400.

och ser att x0 = -100, y0 = 400 är en lösing till den diofantiska ekvationen. Om x, y är en lösning gäller

19x + 5y = 19x0 + 5y0

vilket är ekvivalent med

19(x - x0) = -5(y - y0)

vilket ger att 19(x - x0) är delbart med 5 och eftersom SGD(19,5) = 1 så x - x0 är delbart med 5, dvs

x - x0 = 5n

för något heltal n. Sätter vi in detta får vi

y - y0 = -19n.

Uttryck z med hjälp av dessa lösningar och utnyttja nu att x, y och z är positiva för att finna de möjliga värdena på n.

Kjell Elfström


15 januari 1999 19.05.43
Finns det några enkla formler som konvergerar mot eulers konstant?
Dennis Eriksson

Svar:

Den formel som utgör definitionen av Eulers konstant är ett exempel. Se Euler-Mascheroni Constant.

Kjell Elfström


15 januari 1999 19.00.23
Hur bevisar man kedjebråksutvecklingen av e-1, dvs <1;1,2,1,1,4,1,1,6...>?
Dennis Eriksson

Svar:

En härledning av kedjebråksutvecklingen av e är alltför omfattande för att redovisas i denna frågelåda. The American Mathematical Monthly 77 (1970) sidorna 968-974 redovisar Hermites härledning. Se också Favorite Mathematical Constants, speciellt länken Continued Fraction Representations involving e för ytterligare referenser.

Kjell Elfström


15 januari 1999 18.45.48
Hej !
Följande funktion
f(x) = 3x då 0<=x<=1
f(x) = 4x-x² då 1<=x<=2
Funktionens graf bildar tillsammans med positiva xaxeln o linjen x = 2 ett ändligt område. Teckna ett uttryck för volymen av den kropp som bildas då detta område roterar kring y axlen. Beräkna det exakta värdet av denna volym.

Svar:

Använder man den så kallade skalmetoden får man att volymen är

2piIntegral[0,2]xf(x)dx = 2piIntegral[0,1]3x2dx + 2piIntegral[1,2](4x2 - x3)dx.

Kjell Elfström


15 januari 1999 18.41.15
Hej ! Den logistiska tillväxtlagen säger att
y ' = ky(1 - y/B)=> k = y' / (y(1-y/B))
Men du partialbråksuppdelar man det ? Och löser denna differtial ekvation exakt ??

Svar:

Ekvationen kan skrivas

y' = (k/B)y(B - y)

vilket efter division kan skrivas

y'/(y(B - y)) =k/B.

Partialbråksuppdelningen blir

1/(y(B - y)) = (1/B)(1/y - 1/(B - y))

varför lösningen ges av

(1/B)(ln y - ln(B - y) = (1/B)(k + C)

eller om man multiplicerar båda led med B och använder en av logaritmlagarna

ln y/(B - y) = k + C

vilket ger att

y/(B - y) = ek + C.

Lös nu ut y ur denna ekvation.

Kjell Elfström


15 januari 1999 18.37.51
Hej skrev till er för ett tag sedan om ett par geometriska problem, det ena har jag själv kommit lånngt med jag vill bara ha hjälp att komma vidare, problemet är att bevisa hur många delar en kub smör kan delas i men 5 raka skär om man inte får rearangera bitarna? Min hypotes: Om alla delar kan delas med varje skär får vi 2^n, där n är antalet skär, här 2^5=32 delar. Och för att alla skall delas måste alla snittyter passeras, alltså kan inga snitt vara parallela. Eftersom en kub är 3-d så kan man med 3 skär lätt få 8 delar om man lägger ett snitt längs varje d. Nu har vi 8 del kuber som existerar i (u=under, h=höger, f=framsida), uvf, uvb, uhf, uhb, övf, övb, öhf, öhb. Om vi nu lagt snitten i bara en d måste nästa snitt vara parallelt, och 4 delar kan bara delas. Så vi får tänka om! Eftersom om man använder ett snitt som bara går i en d, tex djup, så kommer produkterna bara existera i hel höger sida och en hel vänster sida. Om vi nu använder snitt som går i 2-d, tex en diagonal av en av sidorna (toppsidan)kommer produkten att existera i hela kuben D, denna snittyta kan vi korsa utan att vi behöver röra oss i en annan d, vi väljer samma 2-d, och korsar diagonalen med sidans andra diagonal. Och vi lär oss att det är bra att många delar skall existerar i många 1/3D, nu h, v, f ,b sida. Om vi nu vill ha 8 delar är det lätt att skära en horisontell linje, men vi kommer i håg att snitten skall gå i fler d och delarna skall existera i så många D som möjligt. Vi kan också bevisa att om en del bara existerar där uppe(höger) kommer den ha en spegel-del där nere(vänster), Oordningen kommer alltid vara jämn detta gäller alla d kombinationer. Nästa snitt (det tredje)lägger vi också från toppen ett som går parallelt med en sida en bit in mot mitten och korsar tre av delarna, detta snitt kommer gå ner använda horizonten och se ut att gå på diagonalen från kubens fram sida. Med vårt nästa snitt kan vi alltså dela alla delar så att endast en existerar där uppe och följdaktligen en där nere. Detta 2/3D är bäst efter en delning där alla delarna existerar i hela kuben D, eftersom detta gäller hela kuben kan vi nu förlänga det så det gäller för att inte skapa mer oordning i kuben. Om vi skall dela dem båda delarna som existerar i öh och uv måste vi skära i den d de fortfarande har gemensamt, vi ser hur många delar vår produkt består av och ser på oordningen, vi får då dubbelt så många som bara existerar uppe och nere samt höger och vänster. Vi kollar på våra andra alternativ för det fjärde skäret och ser att alla andra skär skapar större oordning om vi vill ha lik många delar, Vårt fjärde skär lägger vi parallelt med övre framsida och genom 4 av dem 7 areorna på (toppsidan), tittar vi på en av sidorna ser vi hur denna också går lite på diagonalen för att ta en bit av den bakre delen. Vi har nu tre delar som existera i övre, undre, bakre resp främre. Alla andra delar har två d gemensamt. Det är det vi utnyttjar till det sista snittet då vi inte bhöver bry oss om oordning utan bara hur många delar vi kan dela vi får som produkt. Vi får: 2(1)=2 2(2)=4 2(4)=8 2(8-2)+2=14 2(14-3)+3=25
Kan ni vara så snälla att gå egenom detta och utveckla vidare, kanske tom skriva ett bevis.
Tack på förhand!!!
Karl den II Gången

Svar:

Fem plan kan dela upp rummet i 26 delar. Vi börjar med att konstatera att tre plan kan dela upp rummet i 8 delar. Skär med ytterligare ett plan som inte är parallellt med de tre första och på så sätt att inte fler än tre plan möts i en punkt. De tre planen kommer att skära det nya planet utefter tre linjer. Dessa delar upp detta fjärde plan i sju delar. För att se detta behöver man bara kunna analysera hur många områden ett antal linjer i planet delar upp detta i och det är ett enklare problem. Dessa sju delar delar upp sju av de åtta rymdområdena i två delar så antalet rymdområden blir 8 + 7 = 15. Ett nytt femte plan skärs av de fyra gamla utefter fyra linjer som delar upp det femte planet i 11 delar. 11 av de 15 rymdområdena delas alltså upp i två delar. 15 + 11 = 26.

Kjell Elfström


15 januari 1999 18.06.02
Hur kommer det sig, att man i gymnasieskolan lär sig hantera integralbegreppet enl. Riemann, och inte enl. Lebesgue. Lebesgueintegralen verkar ju vara så mycket mer användbar.
Andreas

Svar:

På gymnasienivå märker man knappast skillnaden. För de funktioner man integrerar i gymnasiet sammanfaller de båda integralbegreppen.

Kjell Elfström


15 januari 1999 17.06.25
Det blev tyvärr fel ytterliggare en gång, när jag skrev bryta ut menade jag lösta ut x. Så jag får reda på vad x ska vara. Här är ekvationen igen a^x=x?
Johan Backfjärd

Svar:

Man kan inte lösa ut x exakt.

Kjell Elfström


15 januari 1999 16.34.17
Hej,
I en fråga angående normer den 15/12-98 glömde jag uppenbarligen att definiera f.
Låt f:U->V vara en avbildning mellan vektorrum(ändligtdimensionella). Inför normerna ||u||=Summa |<u,u'_j>| då u tillhör U och ||v||=Summa |<v,v'_j>|, där (u_1,... ,u_m),(v_1,... ,v_n) är baser för U och V, och (u'_1,... ,u'_m), (v'_1,... ,v'_n) betecknar de duala baserna.
Hur visas då att definitionen(fråga 15/12-98) är oberoende av valet av normer.
Ulf

Svar:

Frågan är alltså hur man visar att definitionerna är oberoende av baser. Det räcker att visa att ||u||1 <= C1||u||2, ||u||2 <= C2||u||1 och motsvarande för vektorrummet V.

För att visa den första olikheten kan kan man uttrycka elementen i basen u1(1)', u2(1)',..., um(1)' som lineärkombinationer av baselementen u1(2)', u2(2)',..., um(2)'.

ui(1)' = Summaaijuj(2)'

och få att

||u||1 = Summa|<u,Summaaijuj(2)'>|.

Enligt triangelolikheten är denna summa mindre än eller lika med

Summai,j|aij||<u,uj(2)'>|

och sätter vi A = max|ai,j| får vi att

||u||1 <= Am||u||2.

Kjell Elfström


15 januari 1999 12.59.20
I svaret på Lasse Stegefelts fråga om avrundning från 12 maj 1998 00.08.15 menar Wolfgang Staubach att man väljer "att avrunda jämna tal nedåt och udda tal uppåt för då kommer det i genomsnitt inte bli någon förskjutning, eftersom det finns lika många jämna som udda tal".
Men hur kan det i genomsnitt bli en förskjutning med den metod Lasse Stegefelt föreslår. I denna avrundas ju lika många tal ned som upp.
Anton Larson

Svar:

Antag att talen är angivna med en decimal och skall avrundas till heltal. Antag också att decimalen antar varje siffra med samma sannolikhet. Det genomsnittliga felet blir då

0,1.0 + 0,1.0,1 + 0,1.0,2 + 0,1.0,3 + 0,1.0,4 - 0,1.0,5 - 0,1.0,4 - 0,1.0,3 - 0,1.0,2 - 0,1.0,1 = -0,05

med Lasse Stegefelts metod i frågan den 12 maj 1998 00.08.15.

Kjell Elfström


15 januari 1999 12.01.24
Hej Jag skulle vilja ha hjälp med att få fram trycket som en funktion av längden, till detta problemet:
Hur ändras trycket (N/cm2) ett tvärsnitt i en människas ben om längden tiofaldigas?
Magdalena

Svar:

Detta verkar inte vara ett rent matematiskt problem och jag känner inte till förutsättningarna.

Kjell Elfström


15 januari 1999 10.20.36
Hur bevisar man utvecklingssatsen för determianter?
Peter Andersson

Svar:

Den är väsentligen samma sak som Cramers regel. Se 24 oktober 1998 00.28.05. Satsen brukar bevisas i de flesta elementära böcker i lineär algebra, t ex K G Andersson: Lineär algebra.

Kjell Elfström


15 januari 1999 09.40.35
hej jag har fastnat på en fråga och jag skulle uppskatta om jag fick hjälp med den
Visa att diffenretialekvationen y + 4y + 13y = 0 har en lösning:
y = e^-2x cos(3x + a ) där a är en konstant
micke

Svar:

Differentialekvationen är

y'' + 4y' + 13y = 0

och deriverar vi y = e-2xcos(3x + a) får vi

y' = -e-2x(3 sin(3x + a) + 2 cos(3x + a))

och

y'' = e-2x(12 sin(3x + a) - 5 cos(3x + a)).

Sätt in detta i differentialekvationens vänsterled och visa att det blir noll.

Kjell Elfström


16 december 1998 08.53.42
Hur räknar man ut denna uppgiften?
Att det ”ekar” i stora rum beror på att det tar en viss tid för ljudet att utbreda sig genom luften (ljudets fart i luft är 340 m/s). Detta kan du utnyttja för att bestämma avståndet till ett avlägset föremål, säg en klippa. Du mäter då hur lång tid det tar mellan det att du ropar och tills du hör ekot. a) Hur stort är avståndet om tidsskillnaden är 1,5 s? Svar 255 m. Ska det inte vara 510 m?
Jenny Månsson

Svar:

Ljudet färdas 510 m på 1,5 s. Detta är sträckan fram till föremålet och tillbaka. Föremålet befinner sig alltså på avståndet 510/2 = 255 m.

Kjell Elfström


15 december 1998 23.00.06
hej. jag har en fråga som jag inte hittat svaret på bland era andra frågor. det är så att jag ska härleda elipsens ekvation och även härleda elipsens area. jag vet formlerna men jag har problem med härledningen (bevisen). jag tror inte jag behöver förklara mig mer. tack för en annars mycket bra sida, jag uppskattar den verkligen.
Marcus

Svar:

Se 4 december 1998 09.51.25.

Kjell Elfström


15 december 1998 22.35.08
Hej, vi är två killar från Dalarna som undrar om det finns något sätt att vända Gödels teorem mot sig självt?
Hjalle & Heavy

Svar:

Jag tror inte det.

Kjell Elfström


15 december 1998 22.29.06
Jag har en fråga.... Hur många produktionsomgångar? Ett företag räknar med att under ett år producera och försälja 80000 skottkärror. Försäljningen fördelar sig jämt över året och produktionen kan ske i en eller flera omgångar. Kostnaderna fördelar sig så här: Omställning av maskin för en produktions omgång kostar 5000kr. Produktions kostnad 50kr/kärra. Lagerkostnad 10kr/år och kärra. Hur många produktions omgångar blir det om man vill minimera priset. Och hur många skottkärror per produktionsomgång....Tack i förhand...(hela uträkningen tack)
Robert Karlsson

Svar:

Se 26 maj 1998 20.03.00.

Kjell Elfström


15 december 1998 22.15.50
Jorden som en slät sfär med radien R=6370 km. Ett rep spänns runt detta klot vid ekvatorn tätt intill. Så förlängs repet med 1 meter och lyftes upp i luften i en bestämd punkt. Hur högt kan man lyfta repet dvs. hur stor är höjden h ovanför markytan?
Mary

Svar:

Låt M vara jordens medelpunkt, T den ena punkten där repet tangerar jorden, P repets högsta punkt över marken och Q skärningspunkten mellan sträckan MP och jordytan. Då är h = QP den efterfrågade sträckan. Sträckan TP = s + 1/2 där s är längden av bågen TQ. Vi får att

tan s/R = (s + 1/2)/R

där R = 6370000. Ur denna ekvation kan vi inte lösa ut s exakt, men en approximativ lösning är s = 39335,78605.

Höjden h ges nu av

cos s/R = R/(R + h)

och vi får h = 121,457 m.

Kjell Elfström


15 december 1998 22.14.52
En jeep kan sammanlagt ta 200liter bensin i tanken och i lösa dunkar. Jeepen kommer 2,5 km på 1 l bensin.Han ska färdas 1000km och bränsle finns bara vid start och vid mål. Vill han klara färden måste han placera ut bensin i depåer längs färdvägen. Hur mycket bränsle går det åt och var ska dunkarna placeras ut, för att lösningen ska bli så bra som möjligt? tacksam för hjälp!!
SARA

Svar:

Se 7 december 1998 10.29.04.

Kjell Elfström


15 december 1998 20.54.47
Hur kan y upphöjt till noll vara= 1 ?
Jag vill veta hur det kommer sig att y upphöjt till o = 1. Jag har fått det bevisat....
Ex: Y upphöjt till 3 / Y upphöjt till 3 = Y upphöjt till tre minus tre =Y upphöjt till o.
eller Y upphöjt till tre / Y upphöjt till tre = Y*Y*Y /Y*Y*Y = 1 (förkortning)
.....men det är inte bevis jag vill ha . Jag vill veta hur just talet Y upphöjt till o = 1 . Jag tycker att Y upphöjt till o borde bli att man tar y upphöjt o gånger. Alltså Y upphöjt till o = Y , eller att det blir Y upphöjt till o = 0 eftersom man inte använder talet.
Frida Larsson 9B Dalängskolan

Svar:

Man kan i själva verket inte bevisa att y0 = 1, det är en definition. Det är naturligt att definiera yn där n är ett positivt heltal som en produkt av n faktorer y. Sedan vill man, på matematikers vis, utvidga definitionen till andra tal n än positiva heltal. Speciellt vill man bestämma sig för vad y0 skall vara och där har man full frihet att bestämma vad man vill. Att man har bestämt att y0 skall vara ett beror på att man vill att de potenslagar som gäller för positiva heltalsexponenter skall gälla även för de nya exponenter man tillåter.

Kjell Elfström


15 december 1998 20.45.55
Ännu en fråga angående definitioner. Vi har följande definition: Om vi antar att f:U->V och att a>=0 så säger vi att f(x)=O(||x||^a) om det finns positiva konstanter c och C så att ||f(x)||<=C*||x||^a , ||x||<=c (Här tolkas ||x||^0 som 1 då a=0). Vidare säger vi att M som är en delmängd av U är begränsad om det finns en konstant C så att ||x||<=C då x tillhör M. Frågan är då: Hur visas att definitionerna är oberoende av valet av normer?
Ulf

Svar:

Det är de inte. Om t ex U är mängden av alla kontinuerliga funktioner på [0,1] och vi sätter

||u||1 = max0 <= x <= 1|u(x)|

och

||u||2 = Integral[0,1](|u(x)|dx)

blir de begränsade mängderna inte de samma.

T ex är mängden som består av funktionerna uk(x) = (k + 1)xk obegränsad med den första normen och begränsad med den andra.

Kjell Elfström


15 december 1998 20.14.49
Ursäkta jag råkade visst skriva fel i formel det ska vara a^x=x (inte a^2=x)?
Johan Backfjärd

Svar:

Problemet var att bryta ut x och svaret blir väsentligen likadant.

x(ax/x - 1) = 0.

Kjell Elfström


15 december 1998 14.01.41
Var finns det en bra sida om mayafolkets matematik, gärna på svenska?
Daniel Selander

Svar:

Jag har inte hittat några sidor på svenska om mayafolkets matematik. Söker man efter "mayan mathematics" eller "maya mathematics" med Altavista finner man en del dokument, t ex Maya Mathematics.

Kjell Elfström


15 december 1998 13.46.22
Heter det lyste eller lös när man pratar om något som lyser.
Stefan Vetterkrantz

Svar:

Matematiken lyste med sin frånvaro i denna fråga.

Kjell Elfström


15 december 1998 13.29.26
Hej! Jag har två frågor:
1) Skalärprodukten mellan två vektorer definieras ju som
u*v=cos|u|*|v| Detta kan jag förstå geometriskt. Sen är samtidigt, om u=(u1,u2,u3) och v=(v1,v2,v3),
u*v=u1v1+u2v2+u3v3.
Detta kan man ju bevisa ganska lätt genom att multiplicera (u1,u2,u3)*(v1,v2,v3) och se att vissa termer tar ut varandra. Men det är inte det som är problemet. Utan problemet är varför skalärprodukt överhuvudtaget innebär att man kan multiplicera så här? Skalärprodukt var ju att u*v=cos|u|*|v|. Hur kan då cos|u|*|v|=u1v1+u2v2+u3v3? Finns geometrisk tolkning?
2) Man kan ju beskriva olika objekt i ett koordinatsystem med parameter fri resp. parameterframställning. T.ex. kan en linje beskrivas som (x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(a,b,c) eller som Ax1+Bx2+C=0. Den senare framställningen är lätt att förstå, då den är en omformning av det vanliga y=ax+b. När man sen tittar på den parameterfria formen för planet, som är Ax+By+Cz+D=0, så är det svårare att förstå i termer av y=någonting. Finns det en bra tolkning i sådana termer. Vidare är jag förstås intresserad om ett objekt av n dimensioner (om planet har två alltså) alltid kan skrivas som
a1x1+a2x2+...+anxn+a[n+1]=0,
och hur detta då ska kunna tolkas (t.ex. för en kropp). Man skulle ju kunna anta att så är fallet.
Mvh Mårten Berglund
P.s. Denna frågerutan borde göras större och förses med automatiskt radbryt. En synpunkt till er html-programmerare att implementera!
Mårten Berglund

Svar:

Skalärprodukten av två vektorer u och v definieras som

u·v = |u||v|cos a

där a är vinkeln mellan u och v. Den geometriska tolkningen av skalärprodukt kan sägas vara vinkelrät projektion. Om e är en enhetsvektor är den vinkelräta projektionen av u på linjen med riktningsvektor e nämligen

u' = |u|(cos a)e = |u||e|(cos a)e = (u·e)e.

Koordinatformeln för skalärprodukt gäller bara då koordinaterna är angivna i en ortonormerad bas. Om vi skriver vektorerna på polär form

u = |u|((cos a)e1 + (sin a)e2), v = |v|((cos b)e1 + (sin b)e2)

där e1,e2 är en ortonormerad bas i planet och vinklarna är vinklarna mellan e1-axeln och vektorerna så gäller för vinkeln c mellan vektorerna att |c| = |a -b|. Skalärprodukten mellan u och v blir

|u||v|cos(a - b) = |u||v|(cos a cos b + sin a sin b) = x1x2 + y1y2

där (x1,y1) = |u|(cos a,sin a) och (x2,y2) = |v|(cos b,sin b) alltså är koordinaterna för u och v i basen e1,e2.

Ditt resonemang om linjens ekvation haltar något. Ekvationen på parameterform är för en linje i rummet medan den andra ekvationen är för en linje i planet. En linje i rummet kan aldrig ha en ekvation på formen

ax + by + cz + d = 0,

detta är nämligen ekvationen för ett plan. En linje i rummet är alltid skärningen mellan två plan och kan alltså anges med ett ekvationssystem med två ekvationer som den ovan. Jag tycker nog det är lätt att se likheterna mellan ekvationen för en linje i planet som ej är vertikal

y = ax + b

och ekvationen för ett plan i rummet som ej är parallellt med z-axeln

z = ax + by + c.

I det första fallet kan y antas vara höjden över havet på en väg som löper ovanför x-axeln i en punkt x km öster om origo. I det andra fallet kan z vara höjden av ett plant landskap i en punkt som på kartan har koordinaterna (x,y).

Har man infört ett koordinatsystem i planet eller rummet får ju varje punkt entydigt bestämda koordinater. Man kan alltså glömma punkterna och räkna bara med koordinaterna. Att åskådliggöra ett rum med större dimension än 3 kan vara svårt men att definiera Rn som mängden av alla n-tipler (x1,x2,...,xn) erbjuder inga större svårigheter. Om man inför addition av sådana element och multiplikation av dem med skalär så som man räknar med koordinater i 2 och 3 dimensioner så får man det n-dimensionella rummet Rn. Mängden av de punkter i Rn som uppfyller

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b

säges utgöra ett hyperplan och detta har dimensionen n - 1 (med lämplig definition av dimension). n-dimensionell geometri studeras i den gren av matematiken som kallas lineär algebra. Tillämpningarna behöver inte vara geometriska. Lineära ekvationssystem, lineär programmering och minsta kvadratmetoden är exempel på användningsområden.

Kjell Elfström


15 december 1998 13.06.17
Hur HÄRLEDER man att 1^3+2^3+3^3+...+n^3 blir lika med n^2(n+1)2/4 ?
Bo Sikström

Svar:

Du skriver "härleder" med så stora bokstäver så jag vågar inte föreslå ett induktionsbevis.

Om S betecknar summa har vi

Sk = 1, n k4 = 1 - (n + 1)4 + Sk = 2, n + 1 k4

och

Sk = 2, n + 1 k4 = Sk = 1, n (k + 1)4 = Summak = 1, n k4 + 4Sk = 1, n k3 + 6Sk = 1, n k2 + 4Sk = 1, n k + n

vilket ger att

4Sk = 1, n k3 + 6Sk = 1, n k2 + 4Sk = 1, n k + n = (n + 1)4 - 1.

Känner man formlerna för summorna av lägre grad kan man lösa ut den sökta summan.

Kjell Elfström


15 december 1998 13.03.03
Då kurvan y= 1/x roterar kring x-axeln från x=1 till oändligheten uppstår en rotationskropp vars volym antar gränsvärdet pi. Motsvarande rotationsyta dvs int from 1 to inf (2*pi*y*sqrt(1+(y')^2)dx) går däremot mot oändligheten. Hur förklarar man detta?
Bo Sikström

Svar:

Det går alltså åt oändligt mycket färg om man skall måla struten invändigt, men det går att fylla struten med bara ändligt mycket färg. Detta kan verka paradoxalt eftersom ju struten färgas invändigt då man fyller den med färg, men när man målar så målar man med ett jämntjockt lager.

Kjell Elfström


14 december 1998 22.11.46
Följande problem dök upp i min mattebok (uppg. 2198 MATEMATIK 2000, Lars-Eric Björk):
I en fyrhörning med sidorna a,b,c och d som var inskriven i en cirkel skulle man visa att diagonalen från punkten där a och b möts var:
(ab+cd)(ac+bd)/(bc+ad)
Hur går man tillväga för att skriva en formel för diagonalen av fyrhörning inskriven i en cirkel?
Johan Nilsson

Svar:

Den rätta formeln är

e2 = (ab + cd)(ac + bd)/(bc + ad)

där e är den angivna diagonalen. Låt v vara vinkeln mellan sidorna a och d och w vinkeln mellan sidorna b och c. Eftersom fyrhörningen är inskriven i en cirkel är v + w = pi. Vi använder cosinussatsen på de två trianglar i vilka diagonalen är en gemensam sida och utnyttjar att cos v = -cos w.

e2 =  a2 + d2 - 2adcos v
e2 =  b2 + c2 + 2bccos v

Lös nu ut cos v ur de båda ekvationerna och utnyttja att de så framkomna uttrycken är lika.

Kjell Elfström


17805 frågor av sammanlagt 18198 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)