Fråga Lund om matematik

Sökresultat


25 april 2001 12.25.44
Jag har kört fast och hjälp, uppgiften jag kämpar med är denna: I en cirkel är radien 9rottecken5 cm och medelpunkten M dras en korda AB. P är kordas mittpunkt och sträckan MP är 6rottecken5 cm. Beräckna exakt kordans längd och arean av det mindre cirkelsegmentet som begränsas av denna korda om vinkeln är 48. Jag har med hjälp av Pytaghoras sats fått fram kordans hela längd till 30 cm men jag lyckas inte finna lösningen till arean kan ni hjälpa mig med en lösning?
Britt

Svar:

Om man ritar en figur bör den se ut ungefär så här:
cirkel
Pythagoras sats ger:

(MP)2 + (AP)2 = (AM)2
Om vi sätter in värdena och löser ut AP får vi AP = 15 cm, vilket ger AB = 30 cm precis som du säger. För att räkna ut arean av cirkelsegmentet som begränsas av kordan kan man räkna ut arean av cirkelsektorn som begränsas av MA och MB och subtrahera arean av triangeln AMB. Om vi antar att vinkeln AMP är 48o så blir arean av cirkelsektorn:
[(2*48)/ 360]*PI*(AM)2 = 339 cm2
Arean av triangeln blir:
(AP)(MP) = 201 cm2
Således är den sökta arean:
339 - 201 = 138 cm2

Hans Öfverbeck


24 april 2001 18.01.18
Hur kan man se och visa att en serie är divergent eller konvergent?Bevis? Och om man tex har en serie: 1/k^a och ska bestämma för vilka a serien är konvegent hur gör man då? (k=1, och går mot oändligheten).
Tony A

Svar:

Det finns ingen allmän metod som alltid fungerar för att avgöra om en serie är konvergent eller divergent. Däremot finns en samling av användbara satser, med vilkas hjälp många av dessa frågor kan avgöras. De flesta böcker i inledande analys för universitetet innehåller många användbara satser, en sådan bok är "Envariabelanalys" av Hellström, Morander och Tengstrand. För att lösa det givna problemet använder man lämpligen Cauchys integralkriterium:
Om funktionen f(x) är avtagande och positiv för x >= 1, så är serien sumook=1f(k) och integralen intoo1f(x)dx antingen båda konvergenta eller båda divergenta.
I det givna exemplet tar man lämpligen f(x) = 1/xa.

Hans Öfverbeck


24 april 2001 16.31.16
Hej! Normalfördelning och variationsvidd, ML-skattning av detta. Det försöker jag få grepp om men............. omega^2 känt omega^2 okänt lambda är konstant men värdet? Variationsvidder finns Omega, 2Omega, 3Omega, 4Omega Konfidencintervall för dessa? Hur får man fram variationsvidd för ett visst konfidenctal, t.ex. 90% ? Konfidencgraden blir n-alfa = 0,90 vilket ger alfa = 0,10 Hittat formeln I(nedsänkt m2)= medel-x - lambda(nedsänkt alfa/2)* D men hur beräknas den? lambda-delen ger mig problem Skriv gärna lite om omega och normalfördelning och hur man räknar, det verkar vara en del tabellvärden som ska användas, var hittar man dem? Jag gick en kvalitetskurs och blev nyfiken på hur man beräknar men jag reder inte ut begreppen. Det verkar vara många synonyma eller nästan synonyma begrepp som används, t ex s och omega, R för variationsvidd och theta spökar också då osv. Tacksam om ni kan bringa klarhet i djungeln. D = omega/roten ur n Är det samma som s^2 (standardavvikelsen)
Berit

Svar:

För kvalificerade svar på dessa frågor bör du ställa dem till en statistiker.

Hans Öfverbeck


24 april 2001 15.39.06
Hej! Hur visar man att: 1/2+cosx+cos2x+ ... + cosnx = [sin(2n+1)x/2)]/2sin(x/2) ? med hjälp av geometriska serien?
Kjell

Svar:

Om man använder Eulers formler:
cos(x) = ( ei*x + e-i*x )/2
sin(x) = ( ei*x - e-i*x )/2
så får högerledet utseendet:
1/2+cos(x)+cos(2*x)+ ... + cos(n*x) = (1/2)*( e0 + ei*x + e-i*x + ... + ei*n*x + e-i*n*x =
= (1/2)*e-i*n*x*( e0 + ei*x + ... + ei*2*n*x ) =
= (1/2)*e-i*n*x*[ ( ei*(2*n+1)*x - 1)/( ei*x - 1) ] =
= (1/2)*[ ( ei*(n+1)*x - e-i*n*x )/( ei*x - 1) ] =
= (1/2)*[ ( ei*(n+1/2)*x - e-i*(n+1/2)*x )/( ei*(x/2) - e-i*(x/2)) ] =
= (1/2)*[ sin((n + 1/2)*x)/sin(x/2) ]
där jag använde formeln för den geometriska summan i likheten mellan andra och tredje raden.

Hans Öfverbeck


24 april 2001 14.41.12
Av haussdorfdimensionens definition har jag dragit slutsatsen att man skulle kunna konstruera en fraktal kurva med dimension 3 eller högre. D.v.s. om iterationen bygger på att t.ex. dela ursprungssträckan i 3 delar och man då har en iterationsformel som ger 3^3 (eller fler) nya delsträckor, så skulle Haussdorfdimensionen bli större än eller lika med 3. Vad betyder detta? Har jag fel?
Anders G

Svar:

Jag tror nog att du har fel. Om vi använder definitionen i 2001 04 10 16:38:19 så är om jag förstått dig rätt, n = 3 och s = 1/3 då blir d = log(3)/log(3) = 1. Om du vill veta mer om liknande saker så kan du följa den här länken.

Hans Öfverbeck


24 april 2001 13.21.24
Hej A och B spelar ett spel somm helt styrs av slumpen.De har enats om att satsa lika mycket och att hela insatsen ska den få som kommer först till 6 segrar. Men spelet avbrits när A har 5 segrar medan B har 4 segrar.Hur delar de insatsen på ett rättvist sätt. Finns det literatur som regstrerat Pascals arbete om detta?
Jorge Iglesias

Svar:

Lösningen på problemet: Om vi antar att A och B skulle spela tills någon vann finns det tre olika möjligheter:

  1. A vinner den första omgången och har således vunnit hela spelet, sannolikheten för detta är 1/2.
  2. B vinner den första omgången, A vinner den andra omgången, A har vunnit hela spelet, sannoliheten för detta är (1/2)*(1/2)=1/4
  3. B vinner den första omgången, B vinner den andra omgången, B har vunnit hela spelet, sannoliheten för detta är (1/2)*(1/2)=1/4
Således bör A få 1/2 + 1/4 = 3/4 av pengarna, B får resten. Angående Pascals arbete på detta område så finns det omnämnt under namnet "problem of points" på den här sidan.

Hans Öfverbeck


23 april 2001 19.09.18
Här är ett sannolikhetsproblem som jag försökt lösa länge utan framgång: Antag att du har en tärning med X st sidor, samtliga sidor har olika tal. När man kastat tärningen N ggr, hur stor är då sannolikheten att man fått varje sida MINST en gång, d v s hur stor är sannolikheten att man fått X olika tal?
Erik

Svar:

Antag vi har en sekvens av N tärningskast med en tärning med X sidor, detta kan ses som en avbildning f:{1, ... ,N} --> {1, ... ,X}. Alltså är antalet tärningkastsekvenser av längd N sådana att alla sidor kommer upp minst en gång lika med antalet surjektiva funktioner från en mängd med N element till en mängd med X element. Om man antar att tärningen är rättvis så bör alltså den sökta sannolikheten vara antalet surjektiva funktioner enligt ovan delat med det totala antalet funktioner från en mängd med N element till en mängd med X element. Låt T( m , n ) vara antalet surjektiva funktioner från en mängd med m element till en mängd med n element, det visar sig att detta antal är:
T( m , n ) = sumnk=0(-1)k(n över (n-k))(n-k)m
detta kan visas med principen om inklusion och exklusion, se t.ex. boken "A course in combinatorics" av van Lint och Wilson. Det totala antalet funktioner från en mängd med m element till en mängd med n element är nm. Således blir den sökta sannolikheten:
P( X , N ) = T( N , X )/XN = (1/XN)sumXk=0(-1)k(X över (X-k))(X-k)N

Hans Öfverbeck


23 april 2001 13.54.02
Finns det en formel f(n) som ger det n:te primtalet i ordningen, om inte kan man bevisa att det finns en sådan formel som ännu ej har upptäckts?
Johan

Svar:

Nej någon sådan formel finns såvitt jag vet ej. Angående att visa att en sådan formel finns tror jag att chansen att lyckas med detta är rätt liten.

Hans Öfverbeck


23 april 2001 13.45.21
Hur bevisar jag att i ett alfabet {0,1} där orden får ha längden n och att inga på varandra följande nollor finns att detta stämmer: u1=2, U2=3, Un=Un-1+Un-2 (n>=3)?
Henrik

Svar:

Att U1 = 2 följer av att båda orden 1 och 0 duger, och det är de enda orden av längd 1. För att se att U2 = 3 är det bara att konstatera att det finns fyra ord av längd två av vilka endast ett (00) inte duger. Nu vidare till rekursionsformeln, låt Sn respektive Tn vara antalet ord av längd n utan på varandra följande nollor som slutar på 1 respektive 0. Då är Un = Sn + Tn, om vi antar n > 2 så gäller:
Un = 2*S(n-1) + 1*T(n-1)
Ty till varje ord av längd n-1 utan på varandra följande nollor som slutar på en etta kan vi antingen lägga till en etta eller on nolla på slutet och få ett ord av längd n utan på varandra följande nollor, och till varje ord av längd n-1 utan på varandra följande nollor som slutar på en nolla lägga till en etta på slutet och få ett ord av längd n utan på varandra följande nollor. Vidare kan varje ord utan på varandra följande nollor av längd n bildas på något av dessa sätt. Vi får:
Un = 2*S(n-1) + 1*T(n-1) = U(n-1) + S(n-1)
Jag påstår vidare att S(n-1) = U(n-2), ty ett ord utan på varandra följande nollor av längd n-1 som slutar på ett kan endast bildas genom att lägga till en etta sist i ett ord utan på varandra följande nollor av längd n-2. Alltså följer:
Un = U(n-1) + U(n-2)

Hans Öfverbeck


23 april 2001 13.32.48
En företag kan reservera plats i en bil för 6 personer. Den kan bara skjutsa 4 personer. Man vet att 20% brukar inte dyka upp när väl bilen åker. Hur stor är chansen att minst en får stanna hemma? Hur ska jag lösa den här uppgiften? Skulle vara bra om du ville ge mig rätt tankesätt. Känns som att den inte ska vara allt för svår. Men just hur ska jag börja tänka?
Stefan

Svar:

Informationen du har gett räcker inte för att ge en entydig lösning på problemet. 20% kan erhållas på många sätt, se t.ex. nedanstående veckoschema:
Exempel: måndag tisdag onsdag torsdag fredag
A: 0 6 6 6 6
B: 4 6 4 6 4
Där värdet under varje veckodag betecknar antaler personer som dök upp. Både exempel A och B ger en uppdykningssannolikhet på 80%, men i exempel A är risken 80% att minst en person får stanna hemma, medan den i exempel B endast är 40%.

Hans Öfverbeck


23 april 2001 12.59.43
Hej! jag skulle vilja ha svar på dessa 2 problem! Nr 1: En kock har 10 kg nötfärs, värt 35 kr/kg. Hur mycket fläskfärs, värd 20 kr/kg skall han blanda i nötfärsen för att få en blandning som är värd 30 kr/kg? Nr: 2 I en mörk byrålåda ligger 6 blå och 4 vita strumpor huller om buller. En mörk morgon tal Lena upp två strumpor ur lådan. Beräkna: a) P(båda strumporna är vita) b)P( en strumpa är vit, den andra är blå)
Karin J

Svar:

Nr: 1 Låt antalet kilo fläskfärs som behöver blandas i vara x. Värdet av hela blandningen är då 10*35 + x*20 kr = (350 + 20*x) kr. Vikten av hela blandningen är: 10 + x kg = (10 + x) kg Kravet att blandningen skall ha värdet 30 kr/kg blir då:
30 = (350 + 20*x)/(10 + x)
(10 + x)*30 = (350 + 20*x)
10*x = 50
x = 5
Således skall kocken blanda i 5 kg fläskfärs.

Nr: 2 a) Lådan innehåller 10 strumpor varav 4 är vita. När man tar upp en strumpa så är sannolikheten att den är vit 4/10 =2/5. Om man antar att man fick upp en vit strumpa första gången så finns det tre vita strumpor kvar i lådan av totalt 9 strumpor, således är sannolikheten att man får upp en vit strumpa 3/9 =1/3. Det följer att P(båda strumporna är vita) = (2/5)*(1/3) = 2/15

b) Sannolikheten att den första strumpan är vit är 2/5, sannolikheten att den andra strumpan är blå är då 6/9 = 2/3. Sannolikheten att den första strumpan är blå är 6/10 = 3/5, sannolikheten att den andra strumpan är vit är då 4/9. Således blir P( en strumpa är vit, den andra är blå) = (2/5)*(2/3) + (3/5)*(4/9) = 8/15

Hans Öfverbeck


23 april 2001 10.16.06
hm. efter att ha rotat i kapplöpningen om fermats sats är det alltså Andrew Wiles som bevisade själva satsens trovärdighet. MEN det är omöjligt att han har hittat själva beviset, W. använde en snurrig japans bevis i sitt och denna japans bevis fanns inte på fermats tid. jag menar: fermats sats, om man antar att han verkligen har bevisat den själv, kan inte varit mer avancerad än den tidens matematik var. jag undrar om det finns något enklare bevis, eller om det finns någon som överhuvudtaget bryr sig om att ta fram det 'riktiga'?
farbror grön

Svar:

Det Wiles gjorde var att bevisa en förmodan som ibland kallades "Taniyama-Weil förmodan" och ibland "Taniyama-Shimura förmodan". Innan (1984) Wiles ens hade börjat försöka visa Fermats stora sats på allvar hade en matematiker vid namn Gerhard Fray visat att Fermats stora sats följer av ovan nämnda förmodan. Såvitt jag vet finns det inget radikalt annorlunda bevis för Fermats stora sats än det i vilket Wiles har visat en del. Angående försök att ta fram det "riktiga" beviset så har ju folk försökt mer eller mindre intensivt att hitta detta i över 350 år, men ingen har lyckats. Personligen tvivlar jag på att man någonsin kommer att upptäcka något elementärt bevis. För mer information om historierna kring Fermats stora sats kan jag rekommendera boken "Fermats gåta" av Simon Singh.

Hans Öfverbeck


22 april 2001 14.52.59
Undrar om det finns någon bra sida som beskriver och berättar historien bakom talet e?! Är mycket intresserad av hur detta tal kom till. med vänliga hälsningar Anna
anna

Svar:

Se tex Favorite Mathematical Constants under Länkar på Fråga Lunds Huvudsida.

Joakim Petersson


22 april 2001 00.21.56
Kan man visa att det finns ett rationellt tal mellan varje två reella?
Jörgen

Svar:

Ja. Om man vet att varje reellt tal kan identifieras med sin decimalbråksutveckling (där 0.99999... skall skrivas 1.000... etc) är det lätt att mellan två reella tal skjuta in tex ett avslutat decimalbråk, som tex 1.1234 mellan 1.1233456... och 1.1234205...

Joakim Petersson


21 april 2001 17.30.37
Finn alla funktioner f som uppfyller sambandet: f(x) + f(y) = f([x+y]/[x-y])
Anonym

Svar:

Antag först att f är definierad för alla reella x och att sambandet gäller närhelst x<>y. Då är f(x)+f(0)=f(1) för alla x<>0. x=1 insatt här ger att f(0)=0. f(1)+f(2)=f(3) ger slutligen att f(x)=0 för alla x. Antag istället att f är kontinuerlig i ett intervall (a,b) och uppfyller ekvationen då x,y tillhör (a,b), x<>y. Genom att välja x nära y ser vi att f måste vara definierad och uppfylla f(-x)=f(x) för |x|>R för något R. Kontinuiteten medför att A=gränsvärdet av f(x) då |x|->oo existerar och 2f(x)=A för alla x i (a,b). Om (x+y)/(x-y) tillhör (a,b) för något val av x,y i (a,b) följer genast att f=0 i (a,b) (och i |x|>R). Men om tex (a,b)=(0,1) är f(x)=c i (0,1), f(x)=2c i |x|>1 en lösning till ekvationen. Jag avstår från att analysera alla eventuella diskontinuerliga lösningar.

Joakim Petersson


20 april 2001 16.40.49
Hej Lund O Bäste Matematiker. Jag har varit ifrån den ädlaste av vetenskaper ett tag men hoppas nu med detta blir inspererad. Som jag hoppas du förstår nu är det inte i de tekniska detaljerna som följer jag är osäker på utan det är logiken som inte riktigt är den klaraste idag, och jag hoppas föstås på en vacker vägledning. Jag har nämligen en sannolikhetsfråga angående ett pokerspel vid namnet Texas Holdem. Det här pokerspelet öppnas med att var och en får var sina två dolda kort. Därefter läggs succsessivt fem öppna kort upp. Dessa öppna kort är gemensamma för alla deltagare. Sammantaget får man alltså 7 kort att bilda den bästa pokerhanden av 5 kort. Låt oss nu säga att de två dolda korten vare sig är i samma färg eller ett par. Frågan är då, hur stor är sannolikheten för en färg, alt. två par?
Tack för svar Johan Wadman

Svar:

Jag tänkte bara beröra sannolikheten för en viss pokerhand, inte sannolikheten för att den skall vara den bästa möjliga, eftersom man i det här spelet tex kan få två par och fem kort i samma färg på samma gång. Låt p = sannolikheten att spelare A kan få ihop en färg på fem kort (under dina förutsättningar). Tre fall: 1) de fem öppna i annan färg än de båda dolda; 2) fyra av de fem öppna i samma färg som ett av de båda dolda; 3) alla fem av de öppna i samma färg som ett av de dolda. Sannolikheter: 1) 2*bin(13,5)/bin(50,5) (50 okända kort, 2 färgval, 13 kort att välja bland); 2) 2*bin(12,4)*38/bin(50,5) (2 färgval, 12 kort att välja mellan, det femte kortet kan väljas på 52-14 sätt) 3) 2*bin(12,5)/bin(50,5) (2 färgval, 12 kort att välja mellan). Lägger vi ihop dessa så får vi p = 0.0197 (ungefärligt värde). Du skriver att du inte är osäker på de tekniska detaljerna, så jag föreslår att du delar upp i olika fall på liknande sätt för att räkna ut sannolikheten att spelare A kan få ihop två par (men ingen triss).

Joakim Petersson


20 april 2001 14.10.42
Hej, begreppet "kompakt" ställer till en del problem för mig. Min fråga är ,hur jag visar att R^n och C^n ICKE är kompakta.
Tadeus Szubinsky

Svar:

Man brukar ofta i rummen Rn och Cn definiera kompakta mängder som de mängder som är slutna och begränsade. Denna definition överensstämmer då med den allmänna topologiska definitionen: en mängd K i ett topologiskt rum säges vara kompakt om varje öppen övertäckning av K har ändlig delövertäckning, dvs om K är innehållen i en union av öppna mängder så är K även innehållen i unionen av ändligt många av dessa öppna mängder. Om Rn eller Cn täcks med öppna klot med radie 1 och centrum i heltalspunkterna så finns ingen ändlig delövertäckning, och det beror på att Rn och Cn inte är begränsade. Kompakta mängder spelar en stor roll i matematiken. Tex kan nämnas att en kontinuerlig reell funktion på en kompakt mängd är begränsad.

Joakim Petersson


19 april 2001 17.39.50
Hej ni glada och duktiga matematiker! Rayleighfördelnin av våghöjd? Vad innebör det? Kan man skatta a i funktionen fH(x)= (x/a) exp (-x^2/2a) om x>0?Våghöjderna är 0,9 1,7 1,8 2,1 2,2 2,5 2,8 2,9 MVH
Ella

Svar:

Man har tydligen i något sammanhang kunnat beskriva hur våghöjden varierar statistiskt med hjälp av den så kallade Rayleighfördelningen, som har precis den täthetsfunktion fH(x) som du nämner. Detta betyder att sannolikheten för värden mellan två gränser a och b ges av arean under grafen till funktionen fH(x) mellan a och b. Den totala arean över alla x>0 är 1. Med hjälp av ditt stickprov kan man skatta det exakta värdet av a. Ett sätt är maximum-likelihood-metoden (ML-metoden). Man bildar då L(a) = produkten av täthetsfunktionens värden för de mätvärden man har i stickprovet. ML-skattningen a* av a väljs som det a som maximerar L(a), och den brukar vara en "bra" skattning. I vårt fall är a* = 1/(2N)*sumn=1N xn2 (övning för den intresserade) och med ditt stickprov a* = 2.42.

Joakim Petersson


19 april 2001 17.01.26
Har ett intressant problem från vardagen. På sin tv kan man med två olika knappar antingen hoppa upp en kanal eller ner en. Nu vill man med hjälp av upp/ner-knapparna kunna zappa mellan alla kanaler med bara ett tryck. Dvs. alla kanaler måste ligga bredvid varandra. Om man har tre kanaler är det enkelt att se att det behövs fyra "kanalplatser" (man kan exempelvis ha ordningen 1231).Om man har fyra kanaler tror jag man behöver 8 platser (ex. 12341342). För exempelvis 10 kanaler inser man att det behövs väldigt många platser. Den naturliga frågan blir då, hur många platser behövs för n knappar? Jag misstänker att man kan lösa problemet mha. färgade grafer.
Petter Storm - studerande vid det datavetenskapliga programmet i Linköping

Svar:

Det är naturligtvis så att för varje plats kan man bara nå (högst) två andra kanaler med hjälp av upp/ner-knapparna, så det man vill uppnå är att varje kanalbyte i->j kan ske på så vis någon gång. Intressant eller inte i TV-soffan så har vi i alla fall ett matematiskt problem. Exemplen 12, 1231 och 12341342 antyder att 2n-1 skulle kunna vara det sökta antalet. (Att det sista exemplet är minimalt följer av att varje siffra måste förekomma minst 2 gånger.) Men 2n-1 är bara en uppskattning uppåt. Detta inses på följande sätt: gäller exakt för n=2,3,4; skriv upp den kortaste följden för n-1 kanaler och fortsätt följden med en likadan följd som börjar med den n:te kanalen och innehåller de andra utom den som avslutade den första följden; med induktion följer att an<=2n-1. För n=5 finns dock följande exempel av längd 11 (finns kortare?) 31432451253.

Joakim Petersson


19 april 2001 16.44.52
Hej jag har en fråga som rör olikheter där man skall bestämma mellan vilka områden två parametrar a och b ligger. Det ser ut på följande sätt: -b + b*a^-(1/b) < 0 -b + b*a^-(1/b) > -2 Hur löser man detta ? Jättetacksam för ett svar.
Rolf

Svar:

Vi kan anta att a>0 och sätta c = ln a och x=1/b. Med f(x)=(e-cx-1)/x skall vi avgöra var -2<f(x)<0. Om c<=0 så är f(x)>=0 (klart för negativa x och ey>=1+y för alla y). Alltså måste c>0, dvs a>1. Genom att studera derivatan ser vi att f är växande för alla x, f(0)=-c, och det är lätt att se att det finns precis ett xc<0 med f(xc)=-2. Olikheterna är alltså uppfyllda för x>xc, dvs för b<1/xc och b>0. Vi får på så vis de tillåtna värdena på a och b.

Joakim Petersson


18 april 2001 21.02.42
Hur kan jag räkna ut hur många liter vatten (vilken volym) en pool av måtten; längd 9,60 meter, bredd 4,80 meter, rymmer. Poolen sluttar jämnt och är 0,90 meter längst bort, 2 meter vid 7,45 meter för att sedan bli 1,85 meter djup de resterande 2,15 metrarna.? Hur räknar jag också ut hur många liter mindre vatten som krävs om jag bara vill ha vatten upp till 10 cm från kanten?
EVA

Svar:

Genom att räkna ut arean av poolens profil och sedan multiplicera med bredden. Arean kan räknas ut som ett antal rektangel- och triangelareor. Det gäller ju också att använda samma enheter och att tänka på att 1 liter=1 dm3, 1000 liter=1 m3, som du vet. Jag hoppas dessa instruktioner räcker.

Joakim Petersson


18 april 2001 19.21.06
Hej ...jag letar efter en hemsida där jag kan ladda ner bra texas 83 program...typ richardsons metod med simpsons eller trapets ?? MVH Andreas
Andreas

Svar:

Ett förslag (kanske inte vad du söker) är att titta här.

Joakim Petersson


18 april 2001 18.21.47
Hej! 1. Bevisa med induktion att funktionen y=x^n , n ett positivt heltal, har derivatan y'=nx^(n-1) 2. En talföljd bildas av summorna s(n)=1 + 1/2^4 + 1/3^4 + 1/4^4 +..............+ 1/n^4 Undersök om lim s(n) då n går mot oändlig existerar. Ange i så fall ett rimligt närmevärde till gränsvärdet. 3. En sticka med längd d cm släpps slumpmässigt på ett brädgolv, där avståndet mellan skarvarna är a cm, d < a. Visa att sannolikheten att stickan träffar en skarv är 2d/pi.a. (Buffons nollproblem) Med vänlig hälsning.
Nisse.

Svar:

1) Sant för n=1. Produktregeln och induktionsantagandet ger att Dx*xn-1=xn-1+(n-1)x*xn-2=nxn-1. Detta visar påståendet för alla n=1,2,... 2) n-4<Intn-1n x-4 dx, varav s(n)<1+Int1n x-4 dx = 1+1/3*(1-n-3)<4/3, vilket både visar konvergensen och ger ett närmevärde (det finns mycket bättre sätt att beräkna närmevärden här, tex de som användes av Euler). 3) Buffons nollproblem skall vara samme naturforskares nålproblem. Nollan är helt oskyldig här. Låt X vara avståndet från stickans (nålens) mittpunkt till närmsta skarv och Y vinkeln som stickan bildar med denna skarv. Att stickan träffar en skarv kan uttryckas som att X<d/2*sinY (man bör rita figur). Vi gör nu antagandet (rimligt?) att X och Y är oberoende stokastiska variabler som är likformigt fördelade i intervallen (0,a/2) resp (0,Pi). Detta innebär att den sökta sannolikheten är P=2/(Pi*a)*Int0Pi[ Int0d/2*siny dx ] dy = d/(Pi*a)*Int0Pi siny dy = 2d/(Pi*a).

Joakim Petersson


18 april 2001 11.23.34
Hvad er formlen for en pyramidestubs rumfang?
Stine

Svar:

Pyramidens volym är Bh/3, där B är basen och h är höjden. Om man hugger av en topp av pyramiden så blir pga likformighet V1/V=(h1/h)3=(B1/B)3/2. Den stympade pyramidens volym V2=V-V1 kan då uttryckas (använd att h1/(h1+h2)=sqrt(B1/B)) som V2=h2/3*(B+sqrt(BB1)+B1). Formeln gäller för övrigt för varje stympad allmän kon.

Joakim Petersson


17 april 2001 20.31.16
Hej och HJÄÄÄÄÄÄLP! Det märks att man slitit sig från skolbänken ett tag. Jag håller nu på med en ML-skattning där jag tyvärr fastnar på en enkel deriverings uppgift. Snälla hjälp mig med detta. Hur deriverar jag (258/x^8)e^(-39/(2x))??? Tack på förhand
Sissi

Svar:

Det som behövs är formlerna för derivatan av en produkt, en sammansatt funktion, ex och xa, alltså reglerna (fg)'=f'g+fg', (f¤g)'=(f'¤g)g', (ex)'=ex, (xa)'=axa-1, a<>0. Det följer att (258/x8*e-39/(2x))' = 258[-8/x9+1/x8*39/(2x2)]e-39/(2x). Roligt att kunna hjälpa till.

Joakim Petersson


17 april 2001 19.36.22
Hej. Jag undrar hur man går till väga för att integrera funktionerna: f(x)=x^2*(1-sin(x)) och f(x)=x*rot(x^2+1). Tack på förhand. MvH
Dan Eriksson

Svar:

I det första fallet får du integrera partiellt två gånger för att "derivera ner" faktorn x2 och i det andra fallet använder du att f (observera faktorn x) är derivatan av en sammansatt funktion.

Joakim Petersson


17 april 2001 17.36.50
Hej! Jag har två frågor av helt olika karaktär. Den första handlar om talföljder. När man spelar ett spel (tornen i Hanoi) som går ut på att man ska flytta en pyramid med olika antal brickor från en platts till en annan så finner man att det minimala antalet flyttningar följer talföjden a(n)=2a(n-1)+1. Kan man skriva denna talföljd på ett aktivt sätt alltså utan att blanda in "a(n-1)" dvs. talet som kommer före "a(n)"? Min andra fråga handlar om tredjegradsekvationer. Hur löser man dessa? Andra grads ekvationer är ju lätta att lösa med "PQ formeln" men hur löser man ekvationer av tredjegraden? Sen undrar jag också hur man kan räkna ut talen som står framför x, x^2 och x^3. Alltså utan att titta på ekvationen.
Johan

Svar:

Du vill "lösa" rekursionsekvationen a(n)=2a(n-1)+1, som kommer från "tornen i Hanoi". Lyckligtvis är den här ekvationen av en typ som går att lösa mer explicit. Det finns en mycket enkel lösning, nämligen a(n)=-1. Med a(n)=-1+b(n) övergår ekvationen i b(n)=2b(n-1). Den allmänna lösningen till denna ekvation är b(n)=C*2n, där konstanten C bestäms av startvärdet (eller allmänt av värdet för något n). I "tornen i Hanoi" är a(1)=1 och därför kan lösningen skrivas a(n)=2n-1.
När det gäller tredjegradsekvationer så kan du gå till 18 mars 1997 02.44.41 eller söka bland gamla frågor och svar eller länkar på vår hemsida.

Joakim Petersson


17 april 2001 14.59.51
Hej Kjell! Den 14 april ställde jag Fråga Lund följande fråga: "Talet 1/239 tex är den största heltalsinversen med periodlängden 7. Kan man visa detta utan att räkna ut periodlängderna hos alla heltalsinverser större än eller lika med 1/239?" och fick följande svar av dig: "Om talet a har en n-periodisk decimalutveckling så har 10^na - a = (10^n - 1)a en ändlig decimalutveckling. Detta ger att 10^m(10^n - 1)a är ett heltal för något icke-negativt heltal m. Om a = 1/N innebär detta att N delar 10^m(10^n - 1). Om N inte är delbart med 2 eller 5 så måste N dela 10^n - 1. För varje primtal p i faktoriseringen av N gäller då att p delar 10^n - 1. Om nu n är ett primtal, t ex 7, så måste n vara ordningen av elementet 10 i Zp* som har p - 1 element, varför n delar p - 1. Vi får alltså att om N och 10 är relativt prima och periodlängden av 1/N är 7 så måste 7 dela p - 1 för alla primtal p som delar N. De första åtta värdena på N som kan komma i fråga är alltså 29, 43, 71, 113, 127, 197, 211 och 239." Vad menas med Zp* och hur gör man om n inte är ett primtal. Med vänlig hälsning
Maria Wik

Svar:

Med Zp* menas de inverterbara elementen bland heltalen modulo p, p ett primtal. Tex är 10=3 inverterbart modulo 7 eftersom 3*5=1 (mod 7). Det är så att alla elementen 1,2,..,p-1 är inverterbara modulo p och att ap=1 (mod p) för dessa element. Ordningen av a i Zp* är minsta positiva heltalsroten till ekvationen ar=1 (mod p). Det gäller att r delar p-1. För att svara på din andra fråga tittar vi tillbaka på din tidigare fråga. För att periodlängden av 1/N, där N och 10 saknar gemensamma delare, skall vara n, så måste N dela 10n-1. Då n=7 är 107-1=32*239*4649. Vi vet att för varje p som delar N är 10n=1 och 10p-1=1 (mod p). Om n är ett primtal (men inte annars) kan vi dra slutsatsen att n delar p-1. Faktoriseringen visar att då n=7 är N=239 den minsta möjligheten och 1/239=0.00418410041841... duger. Då n=9 (ej primtal) måste fortfarande N dela 109-1=34*37*333667. Vi vet dessutom att n och p-1 måste ha någon gemensam delare om p>3. Prövning visar att N=81 är den minsta möjligheten (1/81=0.012345679012345679...).

Joakim Petersson


17 april 2001 10.44.42
vad är <a,b>?
Peter

Svar:

Det är svårt att säga om man inte vet någonting om sammanhanget, men en möjlighet är att det betyder skalärprodukten av a och b.

Joakim Petersson


17 april 2001 09.29.04
Hej Kjell, jag har ytterligare ett problem som jag behöver hjälp med och den lyder: För talet z gäller att absolutbeloppet av z+1 är mindre än eller lika med 1. Vilket är det minsta värde som absolutbeloppet av z+i kan anta? Tack för hjälpen, hälsningar Sid

Svar:

z skall ligga i den slutna cirkelskivan med radie 1 och centrum i -1. Avståndet till -i blir då minst då z är punkten på cirkeln som skär linjen mellan -1 och -i (rita figur). Detta minsta värde är sqrt(2)-1.

Joakim Petersson


16 april 2001 23.26.38
Hej, Jag har lätt för matematik, och jag tror att jag är ganska smart. Jag funderar på att plugga mkt teori (nästan enbart) på univ och ser fram emot detta. Med en sådan examen så finns det ju inte överdrivet mkt jobb såvitt jag vet (lärare, fortsatta studier) -- ingen vill anställa ngn som kan en massa i teorin men som inte kan tillämpa sin kunskaper effektivt. Det skiter jag i, men det vore ju trevligt att veta hur svårt det egentligen är i slutändan. Där kunskaperna tar slut, och där kaos tar vid. Vid fronten. En ngt störande grej, jag har funderat på, är att alla matematik uppgifter hittils (dvs. under hela gymnasiet -- som jag precis har avslutat) är genomtänka och *konstruerade* från grunden. Det är ofta mkt uppenbart om svaret man får är rätt, man lixom ser hur författaren har tänkt osv. Då man gör ett fel blir uppgifterna ibland olösliga, jag brukar se det som en regel att när jag inte kan lösa en uppgift så har jag gjort fel långt tidigare i uppgiften. Det skulle vara mindre trevligt att plugga i 20år för att sedan inse att man inte har det som krävs och dessutom måste (efter 20år lr mer!) studera lite till för att kunna få ett schyyst jobb (ngt jag ser som oförenligt med att studera matematik på allvar). Mina två frågor: Jag undrar till hur stor del avgör intelligens om man "lyckas" med "högre forskarstudier" i matematik? (med "lyckas" så menar jag driva matematiken framåt signifikant, och med "högre forskarstudier" så menar jag studier efter doktorsexamen). Om man inte är tillräckligt "smart" för att nå hela vägen, går det att kompensera detta med hårt arbete? (Vilket naturligtvis är ett måste hursomhelt, men...) /m
Martin

Svar:

Vi får önska dig lycka till när det gäller dina framtida studier. Du verkar ha ett stort intresse för matematik, vilket förstås är viktigt om man vill satsa på det. Jag tror ändå att det är för tidigt för dig att tänka så långt framåt. Efter några terminer med universitetsstudier kommer du att ha ett bättre perspektiv, det är nog bäst att vara öppen för flera möjligheter när man börjar studera. Tycker du att det är roligt så är det bara att jobba på, det finns massor av saker att göra (och upptäcka).

Joakim Petersson


16 april 2001 01.34.25
Hejsan Detta är igentligen ingen fråga utan information till Hjalmar Rosengren, då jag läste att ni hadde fått en fråga angående en mattematiker som hetter Trachtenberg. Han fanns :) Det finns lite information om honom på http://www.lifesmith.com/mathfun.html (tillsammans med lite annat) finns dock mera seriös information här http://www.mcn.net/~jimloy/trachten.html mycket nöje Med vänliga hälsningar Jan
Jan

Svar:

Länkarna vidarebefordras härmed.

Joakim Petersson


15 april 2001 17.43.45
Jag skulle gärna vilja ha några exempel på tillämpningar med matriser. Skulle vara tacksam för hjälp eller få råd om var jag kan finna dessa! Tack på förhand
Elisabeth O

Svar:

Jag föreslår att du själv söker på Internet. Matriser hör till lineär algebra. Lämpliga ordkombinationer att söka efter är t ex matrix+applications, applications+of+matrices och applications+of+linear+algebra.

Kjell Elfström


14 april 2001 10.55.01
Hej!
Talet 1/239 tex är den största heltalsinversen med periodlängden 7. Kan man visa detta utan att räkna ut periodlängderna hos alla heltalsinverser större än eller lika med 1/239?
Tack för att ni har den här webbplatsen.
Maria
Maria Wik

Svar:

Om talet a har en n-periodisk decimalutveckling så har 10na - a = (10n - 1)a en ändlig decimalutveckling. Detta ger att 10m(10n - 1)a är ett heltal för något icke-negativt heltal m. Om a = 1/N innebär detta att N delar 10m(10n - 1). Om N inte är delbart med 2 eller 5 så måste N dela 10n - 1. För varje primtal p i faktoriseringen av N gäller då att p delar 10n - 1. Om nu n är ett primtal, t ex 7, så måste n vara ordningen av elementet 10 i Zp* som har p - 1 element, varför n delar p - 1. Vi får alltså att om N och 10 är relativt prima och periodlängden av 1/N är 7 så måste 7 dela p - 1 för alla primtal p som delar N. De första åtta värdena på N som kan komma i fråga är alltså 29, 43, 71, 113, 127, 197, 211 och 239.

Kjell Elfström


14 april 2001 00.10.56
Hej Kjell, detta är inte en matematisk fråga egentligen men jag ställer den ändå. Är BETA och liknande formelsamlingsböcker något att ha, jag läser en rätt matematiktung linje.
olle

Svar:

Jag känner tyvärr inte till denna formelsamling och har rätt liten kännedom om formelsamlingar över huvud taget.

Kjell Elfström


13 april 2001 22.10.23
Hej!
Jag har en matteuppgift i skolan som är mycket svårartad. Jag är inte säker på att den går att lösa eftersom flera mattelärare försökt, men den stod i en mattebok så jag tycker att den borde gå att klara på något sätt. Den var ungefär så här:
Låt ABCD vara sidorna i en fyrhörning. AD och CD är räta vinklar. Punkten E delar D i två delar, den ena delen mot A är 3 cm. C är 5 cm. Om man drar två linjer från vinklarna AB och BC till E blir vinkeln där rät. Hur lång är hypotenusan som bildas från AB till E?
Oscar Klevang

Svar:

Det finns ingen entydig lösning på detta problem om man inte lägger till något ytterligare villkor. För varje val större än 3 cm av hypotenusans längd kan man bilda en figur med angivna mått.

Kjell Elfström


13 april 2001 16.29.31
Hej!
Hur löser man ut x och y ur uppgifter med följande ledtrådar:
1) Förhållandet mellan x och y är 120x+96=123y
2)Både x och y är heltal.
3)Både x och y har värden mellan noll och hundra.
Patrik

Svar:

Detta är en så kallad diofantisk ekvation. Man finner en lösning med hjälp av Euklides algoritm och kan därefter sluta sig till hur samtliga lösningar ser ut. Hur detta går till står i många elementära läroböcker i algebra, t ex Vretblad: Algebra och geometri. I detta fallet ser man att samtliga koefficienter är delbara med 3 och efter division med 3 övergår ekvationen i

40x + 32 = 41y = 40y + y

och man ser genast att x = y = 32 är en lösning. Om nu x,y är en godtycklig heltalslösning så är

-40x + 41y = 32 = -40·32 + 41·32  <==>  40(x - 32) = 41(y - 32).

Detta innebär att 41 delar vänsterledet och eftersom den största gemensamma delaren till 40 och 41 är 1 så måste 41 dela x - 32, vilket betyder att x = 32 + 41n för något heltal n. Insättning ger sedan att y = 32 + 40n. Du kan själv ta reda på för vilka värden på n som det tredje villkoret är uppfyllt.

Kjell Elfström


13 april 2001 11.31.54
Hej!
Jag undrar om det finns något relativt enkelt sätt att bevisa att kvoten mellan två successiva tal i Fibonacci-serien konvergerar mot ett visst tal, och i så fall hur bevisar man detta? När man vet ATT kvoten konvergerar är det inga problem att visa vilket talet är.
Urban

Svar:

Om vi definierar Fibonaccis talföljd genom a0 = a1 = 1 och an + 2 = an + 1 + an och sätter bn = an + 1/an så gäller att b0 = 1 och

bn + 1 = 1 + 1/bn = f(bn) där f(x) = 1 + 1/x.

Sätt cn = b2n och dn = b2n + 1. Då gäller att

cn + 1 = g(cn) och dn + 1 = g(dn),

där g(x) = f(f(x)). Då x > 0 är g växande och den enda positiva roten till ekvationen g(x) = x är (1 + 51/2)/2. Vi kan nu enkelt visa att cn är växande och uppåt begränsad av (1 + 51/2)/2 med induktion. Vi har att c0 = 1 <= (1 + 51/2)/2 och om cn <= (1 + 51/2)/2 följer det av att g är växande att

cn + 1 = g(cn) <= g((1 + 51/2)/2) = (1 + 51/2)/2.

Vi har också c1 = 3/2 >= c0 och om cn + 1 >= cn följer det också av att g är växande att

cn + 2 = g(cn + 1) >= g(cn) = cn + 1.

Detta visar att cn har ett gränsvärde och den enda möjligheten är att cn går mot (1 + 51/2)/2 då n --> oo. På samma sätt visar man att dn är avtagande och nedåt begränsad och att dn har samma gränsvärde varav det följer att bn också konvergerar mot det gyllene snittet.

Kjell Elfström


13 april 2001 09.31.32
Hej
Jag hoppas kuna få hjälp med följande: En nål släpps över ett papper på vilket parallella linjer ritats. Avstånden mellan linjerna förhåller sig till nålens längd som a/b. Finn sannolikheten att nålen korsar en linje. (a/b >1)
Timo

Svar:

Detta är Buffons nålproblem. När nålen fallit utgör den diameter i en cirkel. Antag att cirkelns medelpunkt är på avståndet x från den närmaste linjen. Låt p(x) vara sannolikheten att nålen korsar linjen. Om x > b/2 så är p(x) = 0. Annars finns det två cirkelsektorer sådana att om nålens spets hamnar i någon av dessa så korsar nålen linjen. Vi låter v vara halva vinkeln av en sådan sektor. Då är cos v = 2x/b varför 4v = 4arccos(2x/b). Vi får att

p(x) = (4arccos(2x/b))/(2π) = (2/π)arccos(2x/b).

Delar vi in intervallet [0,a/2] i n lika delar med delningspunkterna xk, k = 0,1,2,...,n, så kan vi approximera den sökta sannolikheten med summan av sannolikheterna

P(xk - 1 <= x < xk)p(xk) = 2p(xk)Delta xk/a.

Låter vi n gå mot oo får vi den sökta sannolikheten

P = (2/a)∫0a/2 p(x) dx = (4/(a π))∫0b/2 arccos(2x/b) dx = (2b/(a π))∫01 arccos t dt
= 2b/(a π).

Kjell Elfström


12 april 2001 22.11.46
Jag har läst en del om matematisk intuitionism på senaste tiden, och bland annat förstått att algebrans fundamentalsats inte uppfyller intuitionismens krav på konstruerbarhet. Jag har även läst att L. E. J. Brouwer har bevisat satsen, men med hjälp av inuitionistiskt godtagbara medel, men jag har inte lyckats hitta själva bevisat någonstans. Vi vet möjligtvis inte hur det lyder, eller någonstans där jag kan hitta det? Tack på förhand!
Eric

Svar:

Jag fann en sida med referenser, Bibliography, där du kan finna böcker och tidskrifter som handlar om konstruktiv matematik.

Kjell Elfström


12 april 2001 22.00.49
Hur visar man att det(A) skild från 0 medför att Ax=0 har en icketrivial lösning?
Simon

Svar:

Det kan man inte. Det gäller att det(A) = 0 om och endast om Ax = 0 har en icke-trivial lösning. Detta bevisas i varje lärobok i lineär algebra, t ex Andersson: Lineär algebra, Studentlitteratur 2000.

Kjell Elfström


12 april 2001 21.09.44
Hur löser man denna ekvationen?
(n-3)^2 = 2n+9
Förklara gärna steg för steg!!

Svar:

Utveckla vänsterledet.

n2 - 6n + 9 = 2n + 9  <==>  n2 - 8n = 0  <==>  n(n - 8) = 0  <==>  n = 0 eller n = 8.

Kjell Elfström


12 april 2001 18.27.53
Vad menas med begreppet singularitet?
Joakim Munkhammar

Svar:

En singulär punkt är en punkt på en kurva där kurvan uppträder oregelbundet. För en algebraisk kurva f(x,y) = 0 är det en punkt där dy/dx är obestämd. Exempel på singulariteter är dubbelpunkter (där kurvan skär sig själv), spetsar och isolerade punkter. Om en funktion f av en komplex variabel är analytisk i en punkterad omgivning av en punkt a kallas a en singularär punkt om man inte kan definiera funktionen i a så den blir ananlytisk i en omgivning av a. Om (z - a)mf(z) är analytisk för något positivt heltal m kallas a en pol, i annat fall en väsentlig singularitet.

Kjell Elfström


12 april 2001 13.20.35
Vad är sannolikheten att man får ett fyrtal på given i ett pokerspel med fyra deltagare?
Simon Johansson

Svar:

Sannolikheten är oberoende av antalet deltagare. Det finns (525) möjliga utfall. Eftersom det finns 13 olika valörer och det femte kortet kan väljas på 48 sätt så finns det 13·48 gynnsamma utfall. Sannolikheten är kvoten som är

13·48·5·4·3·2·1/(52·51·50·49·48) = 1/4165.

Kjell Elfström


11 april 2001 23.59.21
Jag har tidigare frågat om rummet och tänkte nu ställa samma fråga om planet. Syftar man alltid på R^2 när man talar om planet ? Om inte vad är det man syftar på?
Johan

Svar:

Med planet avses oftast R2. I vilket fall som helst så är vektorrum med denna beteckning tvådimensionella.

Kjell Elfström


11 april 2001 21.56.12
varför är månen så liten?
Isabella

Svar:

Fråga vetenskapen om fysik.

Kjell Elfström


11 april 2001 15.54.44
Har inte pluggat på många år och ska nu snart göra ett nivåtest på Komvux. Undrar var jag kan färska upp minnet . Detta gäller Matematik A.
Maria Lydén

Svar:

Det enda jag kan föreslå är att du repeterar gymnasieboken.

Kjell Elfström


11 april 2001 15.33.00
I min formelsamling finns några matematiska konstanter redovisade. En bland dessa är "Feigenbaums konstant". Vad är det för konstant egentligen?
Andreas vid KTH

Svar:

Det är en konstant (eller flera) som har att göra med fraktaler. Se Feigenbaum Constants.

Kjell Elfström


11 april 2001 15.29.10
Bästa Kjell, det var jag som ställde denna fråga innan: "skulle du kunna vara snäll och ge mig vägledning hur man kan lösa denna ekvation: 2 upphöjd i 2x + 2 upphöjd i x = 12." Ekvationen ska se ut så här 2^(2x)+2^x =12. Kan du vara snäll och visa mig igen hur man löser denna ekvation. Med bästa hälsningar
John

Svar:

Om t = 2x så är t2 = (2x)2 = 22x. Resten kan du läsa i 11 april 2001 09.02.16.

Kjell Elfström


11 april 2001 13.29.47
Hejsan kjell! Jag ska skriva ett arbete om sannolikhet och skulle behöva lite uppgifter med svar (på gymnasie nivå) , vet du någon bra sida eller bok som man kan hitta uppgifter om detta, eller har du några egna förslag?
tack på förhand!!

Svar:

Söker man efter Probability problems finner man några sidor med sannolikhetsproblem, t ex Probability problems och Problem Set 1.

Kjell Elfström


11 april 2001 09.02.16
Bästa Kjell Elfström, skulle du kunna vara snäll och ge mig vägledning hur man kan lösa denna ekvation: 2 upphöjd i 2x + 2 upphöjd i x = 12. Jag har försökt lösa denna ekvation med hjälp av logaritmer men kommer ingen vart. Hoppas att man kan få hjälp från Er snart.
Med bästa hälsningar John
John

Svar:

Jag är inte säker på hur parenteserna skall sitta men antar man att ekvationen skall vara

(22x + 2)x = 12

så kan vänsterledet skrivas som 2t, där t = 2x2 + 2x och lösningen ges av

2x2 + 2x = t = (ln 12)/(ln 2).

Denna andragradsekvation klarar du att lösa.

Antar man i stället att ekvationen är

22x + 2x = 12

kan man sätta t = 2x varvid ekvationen övergår i

t2 + t = 12  <==>  t = -4 eller t = 3.

Eftersom 2x = -4 saknar lösning ges den enda lösningen av 2x = 3 <==> x = (ln 3)/(ln 2).

Kjell Elfström


10 april 2001 19.27.35
10 upphöjt till 6 heter miljon, 10 upphöjt till 9 heter miljard, vad heter 10 upphöjt till 15 och 10 upphöjt till 21
Sven-Olof Johansson Majorsallen 70C 53139 Lidköping
Sven-Olof Johansson

Svar:

Bortsett från miljard och de mer exotiska googol och googolplex tror jag inte att 1000000n har något särskilt namn om n >= 1 inte är ett heltal. Man kunde kanske tro att 1000 biljoner och 1000 triljoner heter biljard och triljard men så är inte fallet.

Kjell Elfström


10 april 2001 16.59.46
Jag har en kommentar angående frågan om ett ton är 1000 kg.
(5 april 2001 12.09.47)
Tyvärr måste jag ge både Anna Torstensson och läraren fel, åtminstone delvis, och eleven rätt. Jag slog upp i Encyclopedia Britannica på nätet: www.britannica.com, och hittade att det finns åtminstone tre varianter av ton. Ett metriskt ton som är exakt 1000 kg. Men som jag misstänkte är betäckningen ton inte en del av det metriska systemet. Det finns alltså ett U.S. ton = 2000 pund = 907 kg (även kallat short ton), och ett engelskt ton 2240 pund = 1016 kg (även kallat long ton).
Det finns liknande paralleller för Sverige. En mil brukar normalt anges som 10 km, men är egentligen 4 fjärdings väg (1 fjärdings väg är 2672 meter), dvs litet drygt 10 km (dvs 10688 meter; jag har aldrig hört talas om en metrisk mil).
Per Eriksson

Svar:

Uttrycket metrisk mil används sällan, kanske på grund av att en mil numera för de flesta är 10000 meter snarare än 36000 fot. I Sverige används endast metriska ton om 1000 kg så jag tycker nog att Anna och läraren har rätt. Den gamla svenska motsvarigheten (åtminstone i etymologiskt avseende) är för övrigt tunna som är ett rymdmått.

Kjell Elfström


10 april 2001 16.38.19
Skulle man kunna ha "rum" av dimension k, där k är inte ett heltal, t.ex. 2,34 eller -2?
.

Svar:

Den fraktala dimensionen, eller Hausdorffdimensionen, behöver inte vara ett heltal. För en mängd som kan delas upp i n kopior av sig själv i skalan s är den det tal d som uppfyller n = 1/sd. Ett linjestycke kan delas upp i 2 delar i skalan 1/2. Linjestyckets dimension är 1. En kvadrat delas upp i 4 delar i skalan 1/2. Dimensionen är 2. Sierpinskis triangel delas upp i 3 delar i skalan 1/2 och 3 = 2d <==> d = (log 3)/(log 2) = 1,6.

Kjell Elfström


10 april 2001 08.32.56
Hej
Kan nån hjälpa mig att förklara hur binomialfördelningen fungerar vid olika sannolikheter t.ex P > 0,5 eller P < 0,5.För P = 0,5 så tror jag att lösa det m.h.a exakta lösningen,eller hur?
Tack
Ulrika

Svar:

Antag att vid kast med ett (skevt) mynt sannolikheten för att få krona är p. Då är sannolikheten att få klave q = 1 - p. Kastar man myntet n gånger i följd och frågar efter sannolikheten att få krona i k förutbestämda kast och klave i resten blir svaret pkqn - k. Sannolikheten att få krona i precis k kast, vilka som helst, blir (nk)pkqn - k eftersom de k kasten i vilka man får krona kan väljas på (nk) olika sätt. Är p = 1/3, n = 9 och k = 4 blir sannolikheten

(94)(1/3)4(2/3)5 = 126(1/34)(25/35) = 126·32/39 = 448/2187.

Kjell Elfström


10 april 2001 08.29.37
Hur visar, man att funktionens f(x)=xe^(2x)+1/5 alla värden är positiva?
Joakim Dahlèn

Svar:

Bestäm funktionens minsta värde genom att teckenundersöka derivatan. Det minsta värdet är 1/5 - 1/(2e) > 0.

Kjell Elfström


10 april 2001 08.26.58
Kan ni hjälpa mig att bestämma funktionens f(x)=(1-x^2)/e^(2x) derivatas nollställen.
Camilla

Svar:

Derivatan av (1 - x2)e-2x är

-2xe-2x + (1 - x2)e-2x(-2) = 2(x2 - x - 1)e-2x.

Eftersom e-2x > 0 är derivatan noll om och endast om x2 - x - 1 = 0 och att lösa denna ekvation klarar du själv.

Kjell Elfström


9 april 2001 14.39.45
Hur går man tillväga när man bevisar att en sats varken kan bevisas eller motbevisas (jag syftar på det Gödel kom på) ?
Johan

Svar:

Gödels bevis går ut på att man tilldelar varje matematiskt påstående och varje härledning ett tal. Man kan sedan uttrycka att härledning nummer h är en härledning av påstående nummer p som ett matematiskt påstående. Man kan konstruera numreringen så att för ett visst tal G, det matematiska påståendet nummer G kommer att betyda att "påståendet med nummer G kan inte bevisas". Påståendet säger alltså "jag kan inte bevisas". Om nu påstående G kan bevisas så är det falskt. Att påståendets negation kan bevisas medför att påståendet självt kan bevisas. Om påståendet eller dess negation kan bevisas innehåller alltså matematiken motsägelser och det är det Gödels sats säger. Om matematiken är motsägelsefri så finns påståenden som varken kan bevisas eller motbevisas.

Kjell Elfström


9 april 2001 14.31.51
Angående Zenos paradox (tror jag den heter) om Akilles och sköldpaddan, så sägs ju Akilles aldrig kunna springa förbi sköldpaddan om sköldpaddan startar med ett försprång, för när Akilles har sprungit till sköldpaddans startpunkt har sköldpaddan sprungit ytterligare en bit osv i all oändlighet. Vad jag förstår så är lösningen på detta problem att den sträcka sköldpaddan tillryggalägger är en konvergent serie medans Akilles inte är det. Men anta att sköldpaddan rör sig i enlighet med en divergent serie då kan man ju inte motbevisa påståendet, eller?
Johan

Svar:

Den grekiske filosofen, som med sin paradox sökte bevisa att rörelse var omöjlig, hette Zenon. Förklaringen är väl snarare att bådas rörelser kan beskrivas med konvergenta serier. Låt t0 vara tiden då loppet startar, t1 tiden då Akilles når sköldpaddans startposition, t2 tiden då Akilles når nästa position osv. Om sköldpaddans försprång är d och förhållandet mellan sköldpaddans och Akilles hastigheter är k så har Akilles vid tidpunkten tn sprungit

d + dk + dk2 + ... + dkn - 1 längdenheter

och sköldpaddan

dk + dk2 + ... + dkn längdenheter.

Den förra serien konvergerar mot d·1/(1 - k) och den senare mot dk·1/(1 - k). Eftersom skillnaden mellan den förra och den senare summan är d kommer Akilles att komma ifatt sköldpaddan. Genom att välja tidpunkterna enligt någon annan princip skulle man kunna få divergerande serier men Akilles skulle ändå komma ifatt sköldpaddan.

Kjell Elfström


9 april 2001 14.05.58
Måste man använda sig av induktionsantagandet när man utför ett induktionsbevis och får man använda sig av andra saker än induktionsantagandet också ?
Johan

Svar:

Man måste inte använda induktionsantagandet men om man inte behöver det finns det ingen anledning att göra ett induktionsbevis. Då har man ju ett bevis som bevisar påståendet för alla n på en gång. Man får förutom induktionsantagandet använda alla kända bevisade satser.

Kjell Elfström


9 april 2001 13.20.03
Jag läste i ett svar att man inte kan lösa femtegradsekvationer och högre med rotutdragningar,innebär det att dom inte går att lösa på något sätt och vad menas egentligen med rotutdragningar ?
Johan

Svar:

Vissa femtegradsekvationer kan man lösa med rotutdragningar. Ett exempel är x5 = 2 som har den reella lösningen x = 21/5. Man kan även uttrycka de fyra icke-reella lösningarna med hjälp av rotutdragningar. Ett tal kan erhållas från en uppsättning tal med rotutdragningar om det är möjligt att med de fyra räknesätten och rotutdragningar bygga upp det förra talet från de senare. En av de icke-reella lösningarna till ekvationen ovan är

((1/4)sqrt(5) - 1/4 + (1/4)sqrt(-1)sqrt(2)sqrt(5+sqrt(5)))21/5

som erhållits från de rationella talen med rotutdragningar (kvadratrötter och femterötter). T ex kan man med Galoisteori visa att lösningarna till ekvationen x5 - 6x + 3 = 0 inte kan erhållas från de rationella talen med rotutdragningar. Lösningarna till en femtegradsekvation kan dock erhållas som så kallade elliptiska funktioner. Dessutom kan naturligtvis alla algebraiska ekvationer lösas numeriskt, t ex med Newton-Raphsons metod. Detta är det normala förfaringssättet även vid ekvationer av tredje och fjärde graden eftersom de formler som anger lösningarna till dessa som successiva rotutdragningar är alltför komplicerade.

Kjell Elfström


9 april 2001 11.07.20
Hej! Hej hur mycket krymper bly vid nedkylning? Finns det någon formel där man kan beräkna materialets termiska rörelse? Te x från +50 till -50 grader C.
S-O Olsson

Svar:

Detta är en fysikfråga. Fråga vetenskapen om fysik.

Kjell Elfström


9 april 2001 10.17.22
Hej!
Att använda centrala gränsvärdessatsen för att ta fram hur många försök man behöver göra, ger mig problem.
Stadardavvikelsen är 0,5
Antal analyser = n
m skattas med medelvärdet "X streck" av mätvärdena
Centrala gränsvädessatsen gör väl att väntevärdet går mot noll och standardavvikelsen mot 1. Men hur ställer jag upp talet om jag vill ha fram antal försök?
Lil

Svar:

Jag kallar av typografiska skäl medelvärdet för m och väntevärdet för my. Centrala gränsvärdessatsen säger att

P(|m - my| <= x sigma/n1/2) = (1/(2 pi))1/2-xx exp(-t2/2) dt.

Du kanske önskar att bestämma n så att

P(|m - my| <= y) = p.

Du kan då bestämma x så att

(1/(2 pi))1/2-xx exp(-t2/2) dt = p

och sedan lösa ut n ur ekvationen x sigma/n1/2 = y. Eftersom

(1/(2 pi))1/2-oox exp(-t2/2) dt = (1/2)(1/(2 pi))1/2-xx exp(-t2/2) dt + 1/2

kan du beräkna x som den inversa normalfördelningen av p/2 + 1/2.

Kjell Elfström


7 april 2001 19.17.03
Hej! För att en funktion skall kunna vara en primitiv funktion måste funktionen i fråga, ha Darboux egenskap, dvs. satistifiera satsen om mellanliggande värden. Exempelvis så kan inte Heavisides funktion vara en primitiv funktion, ty den satisfierar inte satsen i en omgivning av origo. Varför är det så och hur visar man det?

Svar: Att G är primitiv funktion till g betyder att G är deriverbar och har derivatan g. Det finns en viktig sats i analysen som säger att alla deriverbara funktioner är kontinuerliga. Alltså måste varje primitiv funktion var kontinuerlig. Eftersom satsen om mellanliggande värden gäller för alla kontinuerliga funktioner gäller den för alla primitiva funktioner.

Anna Torstensson


6 april 2001 14.00.18
Hej! Jag översätter ett tyskt beräkningsprogram där benämningen "radikant" återfinns. Vad heter/betyder det på svenska? Jag tror att det är talet som står under rottecknet.
Greger Persson

Svar: Du har gissat rätt. "Radikant" betyder det uttryck som står under rottecknet. Jag har aldrig hört någon svensk motsvarighet till detta men jag föreslår "radikand".

Anna Torstensson


6 april 2001 13.51.56
Hej! Jag håller just nu på att studera juliamängder och mandelbrotmängden. Jag läste att om en punkt i mandelbrotsmängden får ett större avstånd än 2 till origo så hamnar punkten utanför mandelbrotsmängden. Jag har försökt att hitta ett bevis fär detta men inte lyckats och undrar därför om ni skulle kunna hjälpa mig med detta. Hälsningar
Therese

Svar: Låt oss kalla punkten (det komplexa talet) som vi skall undersöka c och antag att |c|>2. Då är e=|c|-2 ett positivt tal. För att visa att c inte ligger i Mandelbrotmängden måste vi visa att talföljden x0, x1, x2, ... där x0=0, xn+1=xn2+c är divergent. Vi skall visa med induktion att |xn+2| >= |c|(1+e)2^n. e är positivt följer det att |xn| går mot oändligheten då n går mot oändligheten, dvs att följden divergerar. Nu till induktionsbeviset. Påståendet är sant för n=0 eftersom |x2|=|c2+c|>=|c|(|c|-1)=|c|(1+e). Antag att |xn+2| >= |c|(1+e)2^n. Då blir |xn+3|=|xn+22+c| >=|xn+2|2-|c|>=2|c|(1+e)2^(n+1)-|c|=|c|(2(1+e)2^(n+1)-1)>=|c|(1+e)2^(n+1), vilket var precis vad vi ville visa. I andra steget har vi använt triangelolikheten, i tredje steget att |xn+2| >=2, vilket är en direkt konsekvens av induktionsantagandet, samt induktionsantagandet självt. Att sista olikheten är sann beror på att 2a-1>=aa >=1 där a i vårt fall är  (1+e)2^(n+1)

Anna Torstensson


6 april 2001 12.16.02
Finns Wiles bevis av Fermats sats tillgängligt, och i sådana fall var?
Anders

Svar: Se frågan från  17 mars 1997 11.30.49  eller använd sökfunktionen på vår frågesida med sökfras "Andrew Wiles".

Anna Torstensson


6 april 2001 08.51.43
hvad hedder tallene efter trillioner?
Hanne Bloch.

Svar: Nästa namngivna tal efter trillion (1018) är quadrillion (1024). Se även svaret från 21 mars 1999 16.54.48 .

Anna Torstensson


5 april 2001 22.46.55
hur räknar man ut roten?
marianne

Svar: Kvadratroten av ett tal, a, är det tal som ger a om man kvadrerar det. Vi söker alltså ett tal b med b*b=a. Om b är ett heltal kan man finna det genom att pröva sig fram, dvs testa olika värden på b och kontrollera om b2 blir större än, mindre än eller lika med a. Om b2 blir större än a prövar man med ett mindre b och om b2 blir mindre prövar man med ett större b. Om a inte är kvadraten på ett heltal är det inte säkert att man kan finna en exakt lösning, men det finns metoder som ger bättre och bättre approximationer ju fler gånger man genomför dem. Se svaret från  29 januari 2001 22.06.21 för en närmare beskrivning.

Anna Torstensson


5 april 2001 22.01.41
Hej! Jag undrar vad skillnaden är mellan en definition och en sats. Vad jag har förstått/missförstått är följande: Definition: En benämning på en egenskap!? Sats: Ett bevisat/härlett resultat utifrån givna antaganden!? Anledningen till frågan är att det i gymnasieböcker står det att x^0=1 är en definition. Detta kan ju härledas från regeln x^n/x^m=x^(n-m). Är det en definition eller en "sats"? Följdfråga: Vad blir 0^0 ? Vad jag läst är att 0^0=1, eg x^x->0 då x->0. Hur bestäms detta gränsvärde? Tack på förhand!
Förbryllad

Svar: Du har förstått innebörden av orden definition och sats rätt, men att x0=1 är ändå en definition. Man måste först definiera x0, dvs bestämma vad symbolen x betyder. Sedan kan man visa satser av typen xn/xm=xn-m. Om vi inte först bestämmer vad x0 betyder blir satsen meningslös då n eller m är noll. Däremot har man valt att definiera x0 som ett för att satsen du nämner skall gälla även då n eller m är noll. Det är inte lika lätt att bestämma sig för hur 00 skall definieras, men som du nämner väljer man ofta att definiera det som ett just på grund av att xx går mot ett då x går mot noll. Detta ses på följande sätt xx =exlnx. Eftersom xlnx=x2(lnx/x) -> 0*0=0x->0 ger satsen för gränsvärde av sammansatt funktion att xx -> 1x -> 0. Att lnx/x->0x->0 är ett standardgränsvärde och bevisas i alla grundläggande läroböcker i analys på högskolenivå. Se t ex "Envariabelanalys" av Hellström, Morander och Tengstrand.   

Anna Torstensson


5 april 2001 12.09.47
Hur mycket är ett ton i kilogram , min lärare säger att det är 1000kg men jag har läst på en matematik sida att det inte är exakt 1000kg.
Daniel Lehtonen 6a i simrishamn.

Svar: Din lärare har rätt. Ett  ton är exakt 1000 kg eller 1 000 000 gram.

Anna Torstensson


4 april 2001 13.35.21
Hur visar man att LOG(ak)x=(LOG(k)x)/(1+LOG(k)x)??? (ak),(k) och (k) anger Logaritmernas baser!!! Jag ställde denna fråga tidigare men fick inget svar hoppas nu om ett svar.
Anonym

Svar: Sambandet gäller inte vilket man ser om man väljer t ex a=1. Då kan man förkorta med logk(x) på båda sidor vilket efter multiplikation med (1+logk(x)) på båda sidor, ger (det orimliga) resultatet logk(x)=0. Sambandet mellan logaritmer i olika baser är logbx=logba logax vilket inses på följande sätt. Låt y=logax. Då är (enligt definitionen av logaritm) x=ay. Tag nu b-logaritmen av båda sidor. Det ger logbx=logb(ay)=ylogba=logax logba. Om vi använder detta samband med b=ak och a=k får vi logakx=logkx logakk.

Anna Torstensson


4 april 2001 13.04.35
En liksidig triangels ben har längden 1. Bestäm basens längd så, att triangelns area är så stor som möjligt.
Ralph

Svar: Du menar nog en likbent triangel, dvs en triangel där två sidor är lika långa. I en liksidig triangel är alla sidor lika långa och då är arean bestämd givet sidornas längd. För att lösa problemet med den likbenta triangeln kan vi beteckna basens längd med b. Arean av en triangel fås som bh/2, där h är höjden. Vi måste först beräkna höjden. Om vi markerar höjden i triangeln får vi en rätvinklig triangel med kateter av längderna b/2 och h och hypotenusa av längden 1. Pythagoras sats ger då att 12=(b/2)2+h2, så vi kan lösa ut höjden som h=sqrt(1-b2/4). Arean som funktion av bredden blir då A(b)=bsqrt(1-b2/4)/2 där b varierar mellan 0 och 2. Maximum för A(b) måste då existera och antas antingen i en punkt där A'(b)=0 eller i någon av ändpunkterna b=0 och b=2. De sistnämnda ger arean noll så de kan ej ge maxmum. Alltså måste vi söka nollställen till derivatan. Derivation ger

A'(b)=sqrt(1-b2/4)/2-b2/(8sqrt(1-b2/4))

vilket efter förenkling ger att b=+-sqrt(2). Den enda lösningen i det intervall vi är intresserade av är b=sqrt(2) som då måste maximera arean. Insättning i A visar att den maximala arean är A(sqrt(2))=1/2.

Anna Torstensson


4 april 2001 10.42.15
Hur ska jag på ett väldigt enkelt sätt visa euklides algoritm för mina kurskamrater på lärarhögskolan?
Charlie

Svar: Jag antar att vad du vill visa är att man får den största gemensamma delaren för två tal som den sista icke-försvinnande resten om man utför Euklides algoritm på de två talen. Jag hade försökt förklara det på följande sätt:

1) Visa några exempel. Först något mycket enkelt i stil med att beräkna SGD(35,15) genom 35=2*15+5, 15=3*5. Tag sedan något exempel med större tal där SGD inte genast kan fås fram genom att faktorisera de ingående talen. SGD(12259,3887) ger få iterationer trots att talen vi utgår ifrån är stora. När du förstått hur algoritmen fungerar kan du säkert konstruera andra bra exempel själv.

2) Skriv sedan upp algoritmen för att beräkna SGD(a,b) där a och b är okända. För att underlätta förståelsen kan du först anta att det bara behövs t ex tre iterationer.

a=q1b+r1
b=q2r1+r2
r1=q3r2
Observera att om vi hittar ett tal d som delar a och b, samt har egenskapen att varje tal e som delar både a och b även delar d, så måste d vara SGD(a,b). Visa sedan att r2 har båda dessa egenskaper.

Att r2 delar a och b ses på följande sätt: Sista raden i algoritmen visar att r2 | r1. Sedan ger mellanraden att r2|q2r1+r2=b och slutligen översta raden att r2 |q1b+r1=a.

Antag nu att e|a och e|b. Då följer att e|a-q1b=r1 och sedan att e|b-q2r1=r2. Sista raden ger nu att e|r2.

Detta visar att SGD(a,b)=r2.

3) Observera att precis samma resonemang fungerar även om vi har utfört fler än tre divisioner i Euklides algoritm samt att algoritmen alltid stannar, dvs att divisionen alltid går jämnt ut efter ett ändligt antal steg. Detta beror på att r1>r2>r3... så resterna är en avtagande svit av positiva tal och måste därför nå noll efter ett ändligt antal steg.

Detta är förstås bara ett förslag på hur man kan lägga upp det hela. Om du vill ha mer bakgrundsinformation och fler exempel finns en relativt lättläst framställning av Euklides algoritm i Anders Vretblads bok "Algebra och kombinatorik".

Anna Torstensson


3 april 2001 22.34.39
Hej jag har problem med två upgifter angående ellipser, jag skulle uppskatta mycket om ni kunde hjälpa mig. Upg 1. Hur kan man bevisa att den fyrhörning som fås om man förenar lillaxelns ändpunkter med brännpunkterna är en romb med sidan a? Upg 2. vilkenn är ekvationen för den ellips som halva konjugataxeln = 3 och parametern = 1
Lars Jemte

Svar: Om vi placerar ellipsen i ett koordinatsystem så att brännpunkterna får koordinaterna (-c,0) och (c,0) kan man visa att ellipsen ekvation blir x2/a2+y2/b2=1, där b=sqrt(a2-c2). För ett bevis av detta se svaret från 15 november 1998 14.06.40 . Genom att sätta x=0 i ekvationen får vi att lillaxeln har ändpunkterna (0,b) och (0,-b). Rombens sida är alltså lika med avståndet mellan punkterna (c,0) och (0,b) vilket, enligt Pythagoras sats, blir sqrt(b2+c2). Från sambandet b=sqrt(a2-c2) följer det att avståndet är a. Jag vet tyvärr inte vad du menar med konjugataxel och parameter, så om jag skall kunna besvara din andra fråga får du förklara det.

Anna Torstensson


3 april 2001 15.06.56
Hur löser man trippelintegralen SSS(z-2)/((x^2 + y^2 +(z-2)^2))^(3/2)dxdydz för området D, där D är cylindern x^2+y^2<=1 och z ligger mellan 0 och 1? Jag har gjort en sfärisk variabel subst. och får en enkel "singelintegral", men det verkar inte vara rätt svar.
olle

Svar: Byte till rymdpolära koordinater är inte så lämpligt här eftersom interationsområdet blir svårt att beskriva i de nya variablerna. Jag föreslår istället att du först integrerar med avseende på z och därefter beräknar den återstående integralen genom att införa planpolära koordinater i xy-planet.

Anna Torstensson


2 april 2001 20.11.11
Från vilket land kommer Rubik (Rubiks kub) ?
Lina

Svar: Erno Rubik som uppfanns Rubiks kub kommer från Ungern. Mer om honom och kuben kan du läsa på  Brief History of the Cube .

Anna Torstensson


2 april 2001 19.46.48
Hello! I've heard from a friend that you have a web-page where one can ask question and you will answer!! I have a simple question..I wounder if you can tell me what Thresholding is in Wavelet society! and whats the point of it! Thanks in advance!
Cman

Svar: You can find some basic information on thresholding at the web page  Thresholding.

Anna Torstensson


2 april 2001 14.29.15
Jag undrar vilka olika sorters lösningsmetoder det finns för att lösa ekvationer av typen an = an-1 +1 tex,jag tror dem kallas för rekursionsformler. Jag vet att en metod är med genererande funktion ?
Johan

Svar: Ekvationer för en talföljd a0, a1, a2, ... som är av typen an=F(an-1, an-2, .. ,an-k) för något fixt k kallas mycket riktigt rekursionsekvationer. (I ditt exempel är k=1 och F(an-1)=an-1+1.) Det finns ett antal olika lösningsmetoder för sådana ekvationer och det skulle ta alltför mycket plats (och innebära alltför mycket jobb för mig :) ) att beskriva dem här. Jag får rekommendera en kurs i diskret matematik eller konkret matematik på närmaste högskola eller boken "Concrete Mathematics" av Graham, Knuth och Patashnik. Där står mycket både om genererande funktioner och andra metoder för att lösa rekursionsekvationer.

Anna Torstensson


2 april 2001 14.20.57
Om man i R^2 inför koordinataxlar, dvs ett xy-plan, kan man då betrakta detta plan som en punktmängd ? Om inte hur definieras detta plan?
Johan

Svar: Ja, det är därför man inför koordinataxlar i planet. R2 definieras som alla par av reella tal, dvs alla (a,b) där a och b är reella. När man i planet bestämt sig för en utgångspunkt (som man kallar origo) och två koordinataxlar (dvs två riktade sträckor r1 och r2 med olika riktning) kan man tänka på (a,b) som den punkt i planet man hamnar på om man utgår från origo, går sträckan (längden av  r1  )*a längs  r1  och sedan (längden av r2)*b längs r2.

Anna Torstensson


2 april 2001 14.17.53
Kallas R^n alltid för rummet oavsett vad n är för tal eller är det bara R^3 som kallas för rummet ?
Johan

Svar: Oftast menar man med rummet det tredimensionella rummet, dvs R3. Ibland, när det framgår av sammanhanget hur många dimensioner man talar om, använder man ordet rummet även för Rn där n <>3.

Anna Torstensson


2 april 2001 08.24.22
Hej!! Hur bevisar man Pythagoras sats?? Det ska finnas två sätt, jag kan ett, men min lärare hittar inte det andra. Kan ni hjälpa mej??
///Daniel T-L

Svar: Det finns ett flertal kända bevis för Pythagoras sats så jag vet inte vilket av dem din lärare menar. Mer information får du om du läser en tidigare fråga från  5 mars 2001 12.36.08 .

Anna Torstensson


1 april 2001 14.24.37
Hej Hur vet man vilka heltal n ekvationen 624x + 117y =n en heltalslösning i x och y?
Mozart

Svar: Om största gemensamma delaren till 624 och 117 ej delar högerledet saknar ekvationen heltalslösningar. I så fall skulle SGD(624,117) dela vänsterledet men ej högerledet vilket är omöjligt. Om däremot SGD(624,117)=39 delar högerledet, d.v.s. n=39m för något heltal m, så kan man alltid hitta (oändligt många) heltalslösningar med hjälp av t.ex. Euklides algoritm.

Jonas Månsson


1 april 2001 12.20.41
vad är 120 kelvin grader i celcius??????
john

Svar: Då 0 K är ca -273,15 C  (absoluta nollpunkten), följer att 120 K = -273,15+120 = -153,15 C, då enheterna celciusgrad och kelvingrad är lika stora.

Jonas Månsson


30 mars 2001 10.38.11
Är en linje av typen Y=kx+m en proportionalitet? Måste en proportionalitet alltid gå genom origo?
håkan hansson

Svar: Med y är proportionell mot x menas att y=kx för någon konstant k, och motsvarande graf passerar därför origo. Definitionsmässigt är således y=kx+m (m nollskilt) ej en proportionalitet.

Jonas Månsson


30 mars 2001 07.52.35
Vi lär oss först senare i denna kurs att derivera logaritmfunktioner. Visa ändå, att a) D Log(basen k)ax = D Log(basen k)x b) D LOG(basen k)a/x = -D LOG(basen k)x Visa gärna i båda fallen, tack!

Svar:
a) log(k) ax = log(k) e(ln ax) = (log(k) e)*(ln ax).  Vi vet att D ln x = 1/x, så D log(k) ax = D (log(k) e)*(ln ax) = (log(k) e)*a/ax = (log(k) e)*1/x.
(inre derivata a). På samma sätt D log(k) x=D (log(k) e)*(ln x) = (log(k) e)*1/x.
b) Gör omskrivningen log(k) a/x = log(k) ax-1 =-log(k) ax, och upprepa beviset i a)

Jonas Månsson


30 mars 2001 07.42.48
Jag förstår inte hur man räknar ut vad log(basen 3)2-(1/2)log(basen 3)36 blir?

Svar: Med hjälp av logaritmlagarna följer

            log(3) 2 -(1/2)*log(3) 36 = log(3) 2 - log(3) 361/2 =log(3) (2/361/2) = log(3) 3-1 = -1

Jonas Månsson


29 mars 2001 19.46.31
Tidigt denna månad ställdes en fråga om vektorrum. Där stod det att man måste RxV->V måste vara definierad. R användes genom hela svaret som beteckna på reella tal (R, Rn osv). Är det en nödvändig begränsning? Skulle man inte kunna definiera skalären i vektorrummet som ett komplext tal, quarternier eller matris som uppfyller kraven? (Jag hittade i kraven inget krav på att skalärerna ska vara kommuterbara under multiplikation, bara associativa).
Per Eriksson

Svar: Jag antar att du avser frågan från den 2 mars 2001 15.23.02. I svaret påpekas att definitionen gäller vektorrum över R (de reella talen), men det går bra att
definiera vektorrum över en godtycklig kropp K (en kommutativ ring med etta där varje nollskilt element är inverterbart) med hjälp av samma villkor, t.ex. över de komplexa talen. Ett "vektorrum" över en ring A som inte är en kropp brukar kallas för en modul över A, och sådana delar i allmänhet inte alla egenskaper
hos riktiga vektorrum

Jonas Månsson


29 mars 2001 17.34.08
Hej Lund! Jag är en elev som går ettan inom Natur på Tingvallagymnasiet i Karlstad och jag ställer denna fråga: Vi har 12 kulor, alla har samma material och samma storlek, fast en uttav dessa kulor skiljer sig i vikt (antingen mer eller mindre). Man ska på tre vägningar ta reda på, vilken kula som väger annorlunda, och om den väger mer eller mindre. Antalet vägningar börjar efter att man har vägt 6st på en sida och 6st på den andra sidan och man ser vilken sida som väger mer än den andra sidan, fast man vet inte då på vilken sida som kulan ligger på och om den väger mer eller mindre. Detta är JÄTTEVIKTIGT att om ni löser talet att ni visar hur ni har tänkt eftersom man får försöka att redogöra lösningen på svarta tavlan och att svaret är 100% säkert. Rita gärna också hur ni har tänkt när ni visar svaret på tisdag. Visar ni inte detta tal så måste ni skicka det via e-mail på www.christian.pettersson@epsilon.telenordia.se för jag får inte reda på det rätta svaret genom min lärare, om inte jag visar min lösning och han säger om det är RÄTT eller FEL. Är det fel så kommer jag inte att få reda på det rätta svaret.Tackar er för ert stöd och tack från en hoppfull elev.
Christian Pettersson

Svar: Se svaret på frågan från 9 april 1997 20.59.45.

Jonas Månsson


29 mars 2001 15.19.06
Hej! Jag vill veta hur man kan ta reda på summan av serien {n^2}= 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 150^2. Alltså en generell metod, inte själva svaret.
Jonas Forsberg

Svar: Vi betecknar summan av k:te potenser av de N första heltalen med Sk (N) = 1k + 2k + 3k + ... + Nk. Då gäller att

                                S2 (N) = 12+22+ ... + N2 = N(N+1)(2N+1)/6

Alltså, då N=150, så får vi

                                S2 (150)=150*151*301/6=1136275

Allmänt gäller

                                Sk (N) = ( Bk+1(N+1) - Bk+1(0) )/ (k+1)

där Bk (x) är det k:te Bernoullipolynomet.

Bernoullipolynomen Bk (x) definieras via

                                Bk (x)= (k0)B0xk + (k1)B1xk-1 + ... + (kk)Bk*x0

där Bk:na är de s.k. Bernoullitalen (se svar från 3 mars 2001 16.00.53).

Jonas Månsson


29 mars 2001 00.51.36
finns det något sätt att vända tal på? t.ex: f(18635)=53681
ted steen

Svar: Om du med något sätt menar en explicit funktion i elementära funktioner, så går det inte. Däremot är det jättelätt att skriva ett program som beräknar funktionen.

Jonas Månsson


28 mars 2001 18.52.56
Hej. Jag skulle vilja veta vad det är för skillnad på en tensor och en matris. Vad innbär att en matris innehar tensoregenskaper?
Fredrik

Svar: Se svaret från 20 augusti 1998 19.43.38.

Jonas Månsson


28 mars 2001 12.12.35
Vad är det för skillnad på transponatet av en matris och adjunkt matris?
Teijo

Svar: Se svaret på frågan från 24 oktober 1998 00.28.05.

Jonas Månsson


28 mars 2001 01.19.27
Tycker ni att det är riktigt att säga att 1 är ett mindre tal än -2?
Rasmus

Svar: Nej, -2 är ett mindre tal än 1 då -2 < 1. Däremot är absolutbeloppet av 1 mindre än absolutbeloppet av -2, vilket kanske är anledningen till din fråga.

Jonas Månsson


28 mars 2001 00.01.26
Vi är några somhar funderat en sak som vi läser i Matematik F på gymnasiet. Man har planet ax + by + cz = 0 , varför är (a,b,c) normalvektorn till planet ?
Linus Gustafsson

Svar: Vi antar att vi har ett ortonormerat koordinatsystem. En normalvektor n=(x',y',z') är ortogonal mot alla vektorer i planet L. Tag därför en godtycklig vektor u=(x,y,z) i L. Då planet går genom origo, är P=(x,y,z) också en punkt i L varför ax+by+cz=0.
Att två vektorer är ortogonala är samma sak som att skalärprodukten mellan dem är noll, d.v.s. n*u=x'x+y'y+z'z=0. Om vi nu väljer n=(a,b,c), uppfylls alltid denna ekvation och n=(a,b,c) är en normalvektor till det givna planet.

Jonas Månsson


27 mars 2001 23.34.43
Hej, Jag undrar hur man kan ta fram ett slumpmässigt irrationellt tal? Och även hur jag kan ta fram ett slumpmässigt primtal? Vi kan utgå från att vi har en fast övre gräns för talet om detta gör saken enklare.
Martin Olsson

Svar:
Vad det gäller irrationella tal vet jag inte riktigt hur det skulle gå till. Antalet irrationella tal är överuppräkneligt många (i varje icke-tomt begränsat intervall) och varje tal representeras av en decimalbråksutveckling som saknar periodicitet. Problemet här är hur sådana tal ska representeras i en dator.

Jonas Månsson


27 mars 2001 17.23.47
Hej! Jag sitter och försöker finna i en formelsamling eller på nätet vad den primitiva funktionen till 2e^-x (^-x står för upphöjt till -x). Jag finner ingen lösning på detta och tänkte att kanske ni kunde hjälpa mig.
Jonas G

Svar: Då derivatan av ex är ex självt får vi alla primitiva funktioner till 2e-x (efter att ha kompenserat för den inre derivatan) genom -2e-x + C, där C är en godtycklig konstant.

Jonas Månsson


27 mars 2001 10.44.05
Ett exempel: Vi har fem frukter (en apelsin, en banan, ett äpple osv). Man kan ta en frukt, två frukter eller flera. Utgångläget är detsamma varje gång, dvs fem frukter. Hur ser funktionerna ut som man använder för att räkna ut antalet möjliga kombinationer? a. Oberoende av vilken ordning de kommer i? (I detta ex förmodar jag att det numeriska svaret är 31) b. Ordningen har betydelse
Gunilla J

Svar: Vi antar att vi har n st frukter.
a) Antalet sätt att välja k st frukter ur en mängd av n stycken oberoende av ordning (d.v.s antalet kombinationer av k frukter) är (nk) =n!/k!(n-k)! . Vi får här lov att välja valfritt antal frukter, d.v.s totala antalet kombinationer blir

                                                            Kn=summa[k=0 till n]  (nk) = (1+1)n=2n

där den sista likheten följer av binomialsatsen. Således, för 5 frukter (n=5) får vi 25= 32 olika kombinationer (eller 31 som du skriver om vi antar att vi ej får välja noll frukter.)
b)  Antalet permutationer av k st frukter ur en mängd bestående av n st, är P(n,k)=n!/(n-k)! . Antalet val Pn blir därför

                                                            Pn=summa[k=0 till n]  P(n,k),
och i fallet n=5 får vi

                                                            P5= 1+5+20+60+120+120=326

om vi räknar in valet av noll frukter.

Jonas Månsson


26 mars 2001 11.40.51
Hur hittar man den optimala approximationen till ett antal punkter? Punkterna ligger inte på en rät linje. Vi kan ta hjälp av Matematica 4.
Catrin

Svar: Det finns olika sätt att approximera, t.ex. minsta kvadratmetoden och splines. Se t.ex. svaret från 2 september 1997 19.16.58.

Jonas Månsson


25 mars 2001 18.55.13
En rät linje A går genom punkten (1; -2) och är parallell med linjen y = -x + 3. Bestäm linje A:s ekvation på k-formen.
Malin Andersson

Svar:

Den räta linjen A är parallell med linjen y = - x+3, alltså kan A skrivas y = - x+c. Eftersom y = - 2 då x = 1, måste c = - 1.

Joakim Petersson


20181 frågor av sammanlagt 20635 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Logisk operator

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)