Fråga Lund om matematik

Sökresultat


6 februari 2001 11.24.41
Hej!Jag undrar hur man löser denna frågan: Hur många sätt finns det att placera fem likadana blommor i tolv vaser?
Tack

Svar:

Antalet sätt att välja ut k element bland n givna element är (nk) = n!/((n - k)!k!). Gäller det att placera högst en blomma i varje vas skall vi alltså välja ut 5 vaser bland de 12. Detta kan göras på (125) = 792 sätt. Får man placera flera blommor i varje vas blir antalet möjligheter lika med koefficienten för x5 i utvecklingen av (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5)12, vilken är 4368.

Kjell Elfström


6 februari 2001 00.24.58
God Kväll! Jag skulle vara oerhört tacksam om du ville vara så vänlig att hjälpa mig med följande problem. Låt G bestå av alla par (a,b), där a,b tillhör Z(mod11) och a är skillt från 0. Låt p:G-->Z*(mod11), där p((a,b))=a. Visa att p är en grupphomomorfi vars kärna är isomorf med Z(mod11). Motivera att G/ker p är isomorf med Z*(mod11).
Elisabeth

Svar:

Det gäller alltså att G = Z11* ×Z11, där den första gruppen är den multiplikativa gruppen av element skilda från 0 och den andra den additiva. Gruppoperationen i G ges alltså av (a,b)(c,d) = (ac,b + d). Det gäller därför att

p((a,b)(c,d)) = p((ac,b + d)) = ac = p((a,b))p((c,d)),

vilket visar att p är en homomorfi. ker p är mängden av (a,b) sådana att p((a,b)) = 1, dvs alla element i G på formen (1,b). Det är nu trivialt att visa att b --> (1,b) är en gruppisomorfi mellan Z11 och ker p. Det är också klart att im p = Z11*. Det sista påståendet följer nu av att im p är isomorf med G/ker p.

Kjell Elfström


5 februari 2001 23.50.49
Hej (igen).
Jag har ett problem som jag inte vet var jag ska börja (tror inte ens att någon liknande matte har funnits i mina tidigare ma kurser A-D +analys)
Ok:
En person startar ett ryckte, detta ryckte förmedlar han till en person i en by rycktet sprids sedan vidare av varje person som får veta det, så fortsätter det tills en person som redan vet det får veta det igen då avstannar det, hur många personer i byn blir ovetande om rycktet ?, hur tänker man matematiskt ? ,jag ska programera detta.
Tack på förhand
Matias henttunen

Svar:

Det verkar vara fråga om en simuleringsuppgift och jag antar att slumpen skall avgöra vilka personer som råkas. Befolkningen i byn kan representeras av en vektor b[n] med n positioner, en för varje byinnevånare. Man kan t ex använda konventionen att b[k] = 0 om invånare nummer k inte har hört ryktet och 1 annars. Börja med att sätta b[0] = 1 (den som hörde ryktet utifrån) och b[k] = 0, 1 <= k <= n - 1. Ha också en räknare r för antalet personer som känner till ryktet. Från början är r = 1. Huvuddelen av programmet är en slinga där personerna möts. Välj i varje varv ut två personer med slumptalsfunktionen. Om ingen av dem hört ryktet händer ingenting, om bara en av dem hört det ökas r med 1 och den som inte hört det får en etta i sin vektorposition. Har båda hört det avslutas slingan och talet i r skrivs ut.

Denna lösning har inte mycket med matematik att göra.

Kjell Elfström


5 februari 2001 23.35.54
Hej !
Jag undrar varför f(x)=|x| inte har någon invers ? eller är det för att den inte är monotom i hela intervallet -oo -> +oo
? borde inte den funktionen ha en invers i alla fall i intervallet 0<x<oo
Mvh Matias

Svar:

Det är riktigt att strängt monotona funktioner har invers men det finns också andra inverterbara funktioner. En funktion f säges vara inverterbar eller omvändbar om olika värden på x i definitionsmängden Df ger olika värden på f(x). Detta kan också uttryckas som att

f(x1) = f(x2) ==> x1 = x2,    x1, x2 i Df.

Om det förhåller sig så, så har ekvationen f(x) = y en entydigt bestämd lösning x i Df för varje y i Vf. Vi kan då definiera f -1(y) som denna entydigt bestämda lösning x. T ex är f(x) = x3, x i R, inverterbar eftersom ekvationen x3 = y har en entydigt bestämd lösning x = y1/3 för varje reellt tal y. Inversen är alltså f -1(y) = y1/3. Funktionen f(x) = |x|, x i R är inte inverterbar eftersom t ex f(1) = f(-1). Däremot är restriktionen g(x) = |x|, x >= 0 inverterbar eftersom lösningen till ekvationen |x| = y, x >= 0 är entydigt bestämd och lika med y. Denna funktion är alltså sin egen invers.

Kjell Elfström


5 februari 2001 23.21.43
Hej! Jag har kört fast med en uppgift och skulle gärna få lite hjälp på traven med den lyder så här: Emma har under några år studerat hur snabbt olja förbtukas omkring den 15:e varje månad i Svenssons villapanna. Här är medelvärden av hennes data:
Tidpunkt   15/1 15/2 15/3 15/4 15/5 15/6 15/7 15/8 15/9 15/10 15/11 15/12
liter/dygn 16    15   12   9    5    2    1     2   5    9     13    15
a)Anpassa en lämplig sinusfunktion till dessa data
b)Använd den matematiska modellen för att ställa och besvara några frågor
* Anta att oljetanken rymmer 2000 liter och att den fylls 15/1. När bör man då senast tanka igen om oljevolymen i tanken inte ska understiga 200 liter?
*Hur många procent av det totala oljebehovet för ett år faller på det första kvartalet?
Det var allt....
Tack på förhand Perra
Pär Olsson

Svar:

Hur man anpassar en sinuskurva till kända data med hjälp av ickelineär regression kan du läsa om i 18 oktober 2000 14.17.31. Man kan också göra det litet mindre rigoröst. Perioden skall vara 365 dygn. Amplituden verkar vara (16 - 1)/2 = 15/2 och medelvärdet (16 + 1)/2 = 17/2. Om t är tiden i dygn sedan årsskiftet något år verkar det som om funktionens största värde antas då t = 15. Detta ger oss att funktionen är

f(t) = 17/2 + (15/2)sin(Pi/2 + 2Pi(t - 15)/365) = 17/2 + (15/2)cos(2Pi(t - 15)/365).

Mängden olja som förbrukas mellan två tidpunkter a och b är intab f(tdt. Man skall lösa ekvationen int15b f(tdt = 2000 - 200 = 1800. Integralen är lätt att bestämma men den så uppkomna ekvationen kan bara lösas numeriskt. Jag fick b = 276.9720540.

Integrera dels från 0 till 90, dels från 0 till 365 och beräkna sedan kvoten.

Kjell Elfström


5 februari 2001 21.31.47
Hej. Jag undrar hur man löser ut X ur följande formel:
ax^2+bx+C=0 M V H Johan
Johan Karlsson

Svar:

Börja med att dividera med a. Ekvationen kan då skrivas x2 + px + q = 0, där p = b/a och q = C/a. Lösningarna ges nu av x = -p/2 ± ((p/2)2 - q)1/2 under förutsättning att (p/2)2 >= q. Annars finns det inga reella lösningar till ekvationen. Är (p/2)2 < q ges de komplexa lösningarna av x = -p/2 ± (q - (p/2)2)1/2i. Se 10 januari 2001 09.57.34 för en härledning.

Kjell Elfström


5 februari 2001 19.48.27
Tack för svaret angående heltalssidor >=3 (Pythagoras sats). Frågan ställdes den 5/2. Min idé ser ut så här: Differensen mellan två på varandra följande kvadrattal är alltid ett udda tal. Därför kommer även kvadraten av alla udda tal att finnas som skillnaden mellan två på varandra följande kvadrattal. Ex.: 13^2 - 12^2 = 5^2. Multipler av dessa (udda) kvadrattal ger även de sidor, vars längder är jämna tal med ett undantag: Heltalssidor, som kan skrivas som en produkt av enbart tvåor. Eftersom 4 ingår som sida i en egyptisk triangel, kommer multipler av 4 att ge de saknade jämna talen. Längerna 1 och 2 inte kan ingå i en rätviklig triangel med positiva heltalssidor. Därför gäller vilkoret för längder >=3
Duger detta som bevis?
Hälsningar
AGV

Svar:

Jag kan inte se att det följer av ditt resonemang att varje udda kvadrattal utom 1 är skillnaden mellan två kvadrattal. Det verkar som om du utifrån ditt påstående om att skillnaden mellan två på varandra följande kvadrater är udda, vilket är korrekt, drar slutsatsen att varje udda tal kan skrivas så, därför speciellt kvadrattalen. Det senare följer inte av det förra. Ditt resonemang om jämna kvadrattal är det samma som mitt.

Kjell Elfström


5 februari 2001 18.41.48
jag stött på ett problem. jag skulle med hjälp av logiska kvantorer formulera Goldbachs förmodan om primtal där N och P skulle användas som beteckning för naturliga resp primtalen. Därefter skulle jag formulerar negationen till goldbachs förmodan så att negationssymbolen inte förekommer! Lite Klurigt??!!
Skulle Ni kunna hjälpa mig med det? Tack i förhand!
MVH
Adnan Dado@worldonline.se
Adnan Arslanagic

Svar:

Goldbachs förmodan är att varje jämnt heltal större än 2 kan skrivas som summan av två primtal.

An((n tillhör N och n > 2 och 2|n) ==> EpEq(p tillhör P och q tillhör P och n = p + q)).

A och E skall egentligen skrivas upp och ner resp. bak och fram. Negationen blir

En(n tillhör N och n > 2 och 2|n och ApAq((p tillhör P och q tillhör P) ==> n <> p + q)).

Kjell Elfström


5 februari 2001 17.21.23
Tänkte bara påpeka att bokmalens färdsträcka faktiskt blir (2*40-2*3)mm = 74mm eftersom malen inte äter sig igenom första och sista pärmen.
Christian

Svar:

Nej, det är också fel. Se 5 februari 2001 17.13.19

Kjell Elfström


5 februari 2001 17.13.19
A-háá. Lurad! Svaret till Anders i förra veckan om Bokmalen som kröp från den vänstra bokens första sida till den högra boken sista sida fick nog fel svar - av dig. Det är en kuggfråga och fordrar eftertanke. Ställ upp böckerna i hyllan. Se nu efter var den vä bokens första sida finns. Jo längst till hö innanför den bokens pärm. Kolla samtidigt in var den hö bokens sista sida finns. Jo, ytterst till vänster innanför den bokens pärm. Bokmalen som heter Bertram kröp allts bara genom två pärmar. 2 x 0,3 cm = 0,6 cm Kul att kunna sätta dit ett snille.
Rättat av Anders Farfar som kunde svaret

Svar:

Jag tror inte det stod att böckerna hade ryggarna mot betraktaren! Nåväl, jag erkänner att jag tänkte fel. Svaret till 2 februari 2001 14.02.50 är nu korrigerat.

Kjell Elfström


5 februari 2001 16.50.46
Fråga om chanser i Måltips.
Det finns att tippa ett reducerat system där man får ange 11 matscher istället för de 8 som krävs för att ha alla rätt. Men om den rätta raden ryms inom de 11 tippade är det inte säkert att man har 8 rätt. Där gäller att rätta med en reduceringsmall som ofta ger mindre. Både 7 och 6 rätt måste accepteras. Min fråga är: Hur stor chans har jag att få de eftertraktade 8 om de ryms inom de 11 tippade. Alla har gått in allstå. Jag har haft den situationen två gånger men alltid fått mindre än 8 rätt när reduceringstabellen bestämmer utdelningen till mig. Detta naturligtvis till stor besvikelse. En amatörmatematiker i min bekanskapskrets säger (tror) att det är en chans på ca 17. Sant? En fråga till. Hur stor är chansen att få in de där 8 eftertraktde när man spätt på med 3 förlsag mer. Alltså 11 markerade Hoppas Ni förstår frågan. När jag ringde tip-stänst förstod de inte vad jag menadade.
Börje Axner i Örebro

Svar:

Den första frågan kan jag inte svara på. Det beror på hur det reducerade systemet är konstruerat. De som tillhandahåller sådana system brukar ha analyserat dem. Du pratade kanske med fel person på Tipstjänst. Jag tolkar din andra fråga som att du lämnar in ett oreducerat system med 11 markeringar och att du undrar vilken sannolikheten är att du bland dessa har med de åtta rätta. Systemet är på (118) = 165 rader. Det totala antalet rader är (308) = 5852925. Sannolikheten blir kvoten mellan dessa som är ungefär 0,000028. Jag har här antagit att precis åtta matcher är de rätta, dvs att antalet mål i var och en av alla de övriga matcherna är färre än i dessa åtta.

Kjell Elfström


5 februari 2001 13.28.35
Använd INTE den NATURLIGA LOGARITMEN (LN)!!! LÖS med den "BRIGGSKA LOGARITMEN" beteckning LOG eller LG!!!
Från den sibiriska tundran har man funnit en mammut, vars kol-14 (C-14) mängd är 14% mindre än hos en levande mammut. För hur länge sedan levde mammuten? Kol-14 (C-14) halveras på 5730 år.
LÖS INTE MED!!! Naturlig logaritm

Svar:

Mängden radioaktivt kol i mammuten är (1/2)t/5730 av vad den var vid dödsögonblicket t år senare.

0,86 = (1/2)t/5730 <==> lg 0,86 = (t/5730) lg(1/2).

Lös nu ut t.

Kjell Elfström


5 februari 2001 13.21.56
Använd INTE!!! INTEGRALER Hur löser man UTAN integraler uppgiften: Vi antar att funktionen är överallt deriverbar och dess derivata i punkten x är x??? Använd INTE integraler, lös på annat sätt!!!!
Martin

Svar:

Man känner till en funktion vars derivata är x, nämligen x2/2. Av medelvärdessatsen följer att varje annan funktion med samma derivata skiljer sig från x2/2 med en konstant. Detta är kanske att använda integraler. Vilken var uppgiften förresten?

Kjell Elfström


5 februari 2001 12.23.15
I vilken punkt på cirkeln x^2+y^2=1 är uttryckets x^2(1-x-y^2) värde
a)Minst?
b)Störst?
Ralph Palmgren

Svar:

x2 + y2 = 1 är x2(1 - x - y2) =x2(x2 - x) = x4 - x3 = f(x). Bestäm nu x, -1 <= x <= 1, så att f(x) får sitt minsta resp. största värde. Motsvarande punkter på cirkeln blir (x,±(1 - x2)1/2).

Kjell Elfström


5 februari 2001 12.20.25
Vilket är det största respektive minsta värde, uttrycket absolutabeloppet av (x^3+5x^2+7x-6) får i det slutna intervallet (-2,1)???
Ralf Palmgren

Svar:

Deriverar vi f(x) = x3 + 5x2 + 7x - 6 finner vi att derivatans enda nollställe i intervallet [-2,1] är -1. f(-2) = -8, f(-1) = -9 och f(1) = 7. Eftersom f är kontinuerlig antar den värdet 0 någonstans i intervallet så det minsta värdet av |f(x)| i intervallet är 0. Vidare inser man att det största värdet av |f(x)| är 9 i intervallet.

Kjell Elfström


5 februari 2001 10.26.43
Tack för svaret på förra frågan..
Hur löser man problemet nedan?
Utgå från formlerna:
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
Bevisa följande formel:
cos(u) + cos(v) = 2cos((u+v)/2)cos((u-v)/2)
Christoffer & Alexander

Svar:

Addition av de givna formlerna ger

cos(x + y) + cos(x - y) = 2 cos x cos y.

Sätt in x = (u + v)/2 och y = (u - v)/2 i denna formel och observera att x + y = u, x - y = v.

Kjell Elfström


5 februari 2001 09.11.02
Jag har en idé om hur man skall bevisa att en sträcka, vars längd är ett heltal >=3, ingår som sida i minst en rätvinklig triangel med heltalssidor. Det skulle vara intressant att se vilka lösningar som "Fråga Lund" har på det här problemet.
AGV

Svar:

Man säger att (x,y,z) är en Pythagoreisk tripel om x, y och z är positiva heltal och x2 + y2 = z2. Man säger att det är en primitiv Pythagoreisk tripel om x, y och z är relativt prima, dvs inte har någon primfaktor gemensam. I så fall är det klart att inte alla tre kan vara jämna. Det kan inte heller vara så att både x och y är jämna ty i så fall måste också z vara jämn. Om både x = 2m + 1 och y = 2n + 1 är udda måste z = 2p vara jämn. Detta leder till att x2 + y2 ger resten 2 vid division med 4 medan z2 är delbart med 4. En av x och y måste alltså vara jämn och den andra udda, varav det följer att också z är udda. Vi antar i fortsättningen att x är udda och y jämn. Vi kan skriva om likheten som (z - y)(z + y) = x2. Om x, y och z är relativt prima så är också (z - y) och (z + y) relativt prima. Hade de nämligen innehållit en gemensam primfaktor hade denna delat x och därför varit udda. Den hade också delat deras summa 2z och deras skillnad 2y och därför både y och z eftersom den är udda. Uppdelar man x i primfaktorer kommer varje faktor att förekomma ett jämnt antal gånger i x2. Ingen av dessa faktorer finns i både (z - y) och (z + y), varför varje primtal i deras faktoriseringar förekommer ett jämnt antal gånger. (z - y) = m2 och (z + y) = n2 är alltså kvadrater på heltal m och n, som är relativt prima. Det följer att x = mn, varför båda är udda. Vidare är y = (n2 - m2)/2 och z = (n2 + m2)/2. Varje primitiv Pythagoreisk tripel (x,y,z), där x är udda, kan alltså skrivas på detta sätt med m < n udda och relativt prima. Omvänt så är (x,y,z) en primitiv Pythagoreisk tripel med x udda om den kan skrivas på detta sätt. Om n >= 3 är ett udda heltal kan vi alltså välja m = 1 och få en primitiv Pythagoerisk tripel där x = n. Vidare finns det en Pythagoreisk tripel (4,3,5) med x = 4. Om N >= 3 kan vi skriva N = 2pn, där p >= 0 är ett heltal och n >= 3 är udda eller n = 4. Det finns då en Pythagoreisk tripel där x = n. Multiplicerar vi x, y och z med 2p får vi en ny Pythagoreisk tripel med x = N.

Kjell Elfström


5 februari 2001 09.05.32
Hej
Är det någon som kan ställa upp med att lösa den här uppgift. Frågan lyder så här:
Vi köper nio tuggummin i en godisautomat med två sorters tuggummin.Automaten har dubbelt så många röda tuggummin som blå.Vad är slh att få fyra röda totalt?Vad är slh att få två röda bland de fem första?Vad är slh att få tre röda,varav en först och en sist?
Tack på för hand
Hälsning,Ola
effisio@hotmail.com

Svar:

För att beräkna de exakta sannolikheterna räcker det inte att veta förhållandena mellan de två slagen av tuggummin. När man tagit ett tuggummi av en viss färg lägger man ju inte tillbaka det och förhållandet mellan färgerna ändras. Vet man inte antalet tuggummin kan man inte beräkna det nya förhållandet. Är det många tuggummin i automaten får man dock en approximativ lösning genom att räkna som om man lade tillbaka varje tuggummi efter att man avläst färgen.

Sannolikheten att ta ett rött tuggummi är p = 2/3, sannolikheten att ta ett blått är q = 1 - p = 1/3. Sannolikheten att ta k röda och n - k blå i en viss bestämd ordning om man tar n tuggummin är pkqn - k. Sannolikheten att ta k röda och n - k blå i någon ordning vilken som helst när man tar n tuggummin är (nk)pkqn - k eftersom den inbördes ordningen mellan färgerna kan vara på (nk) olika sätt. En fördelning med denna sannolikhetsfunktion kallas binomialfördelning.

Svaren på den första och andra frågan är därför (94)(2/3)4(1/3)5 respektive (52)(2/3)2(1/3)3. Sannolikheten att den första och den sista skall vara röda är (2/3)2. Sannolikheten att en av de återstående sju är röd är ( 71)(2/3)(1/3)6 så svaret på den sista frågan är produkten ( 71)(2/3)3(1/3)6.

Kjell Elfström


5 februari 2001 02.24.03
Goddag. Efter att ha läst igenom delar av svaren har jag konstaterat att du, Kjell, numera är min personliga Gud. Jag har aldrig förr sett så klarsynta och roliga svar på matematiska frågor. Mina korridorsgrannar uppskattar kanske inte det, då jag precis väckt dem med mitt skratt :)
Kristoffer Lundgren

Svar:

Detta var ju ingen fråga men min fåfänga får mig ändå att publicera inlägget.

Kjell Elfström


4 februari 2001 21.28.01
En googol är talet med en etta följt av 100 nollor. En googolplex är en etta följt av en googol nollor. Min fråga är: Finns det någonting som är så mycket som en googolplex? Finns det ens så många atomer i universum?
Ola Öinert

Svar:

Fråga vetenskapen om fysik.

Kjell Elfström


4 februari 2001 17.12.58
Jag undrar om du kan hjälpa mig med denna uppgift: Bestäm lokala extrempunkter till funktionen
f(x,y)= 1/((x-2)(y-4)) +x +y +4
J.M.Ercsson

Svar:

Börja med att derivera. fx' = 1 - 1/((x - 2)2(y - 4)), fy' = 1 - 1/((x - 2)(y - 4)2). Att båda dessa är noll betyder att

(x - 2)2(y - 4) = 1
(x - 2)(y - 4)2 = 1.

Drar vi den ena ekvationen från den andra får vi

(x - 2)(y - 4)((x - 2) - (y - 4)) = 0.

Eftersom x <> 2 och y <> 4 är den enda möjligheten att (x - 2) = (y - 4). Sätter vi in detta i någon av ekvationerna får vi (x - 2)3 = 1. Detta ger att x = 3 och sedan får vi att y = 5. Beräknar vi andraderivatorna i punkten (3,5) finner vi att fxx''(3,5) = fyy''(3,5) = 2 och fxy''(3,5) = 1. Motsvarande kvadratiska form är

Q(h,k) = 2h2 + 2hk + 2k2 = 2(h + k/2)2 + (3/2)k2,

som är positivt definit. Den enda lokala extrempunkten är alltså (3,5) och detta är en lokal minimipunkt.

Kjell Elfström


3 februari 2001 18.46.40
Hejsan! Har ett problem som kanske kan verka lite simpelt bland alla klurigheter här, men jag skulle vara tacksam för svar. Bestäm den exakta volymen av den största raka cirkulära cylinder som kan inskrivas i en sfär med radien R.
Sofia

Svar:

Skriv in cylindern och skär sedan figuren med ett plan som innehåller cylinderns axel. Tvärsnittet visar en rektangel inskriven i en cirkel med radien R. Låt r vara cylinderns basradie och x dess halva höjd. Pythagoras sats ger då att r2 = R2 - x2. Volymen som är basarean gånger höjden är

V(x) = Pi r2·2x = 2Pi x(R2 - x2).

Undersök nu funktionen V genom att studera derivatans tecken.

Kjell Elfström


2 februari 2001 23.37.26
Hej! Jag har läst någonstans, minns inte var, att om man har väldigt många och stora slumpmässigt genererade tal så kommer onormalt många, betydligt fler än 10 procent, av dessa tal att börja på siffran 1. Stämmer detta? Och hur i hela världen kan det bli så??
Johan

Svar:

Lagen heter Benfords lag. Se The First Digit Law.

Kjell Elfström


2 februari 2001 23.19.25
  |-------R1----|
  |             |
--|--R2----R3--------R4----------
         |              |
         |-----R5--------
Hur räknar jag ut den sammamlagda resistansen i denna krets vid godtyckliga värden på resistorena? Normalt sett räknar man ju bara enligt gällande regler för serie resp. parallellkopplingar. Men R3 ställer ju till lite problem?
Mattias Axner

Svar:

Det gäller att

U2 + U3 + U4 = U, U2 + U3 = U1, U3 + U4 = U5

och

I1 + I2 = I, I2 = I3 + I5, I4 + I5 = I.

Ersätter man Ui med RiIi och U med RI får man ett ekvationssystem med de 6 obekanta Ii, i = 1,2,3,4,5 och I och med 6 ekvationer. Flyttar man över allt till det ena ledet får man ett homogent ekvationssystem med koefficientmatrisen A nedan.

0 R2 R3 R4 0 -R
-R1 R2 R3 0 0 0
0 0 R3 R4 -R5 0
1 1 0 0 0 -1
0 1 -1 0 -1 0
0 0 0 1 1 -1

Detta ekvationssystem skall vara lösbart för varje värde på I vilket innebär att det måste ha icketriviala lösningar. Lös ut R ur ekvationen det(A) = 0.

Kjell Elfström


2 februari 2001 22.09.47
Miniprojekt matematik E (Matematik 2000 uppgift 4225)
Hej, har nu suttit någon vecka och grundat på ett problem, men tycks nu totalt ha kört fast. Vore tacksam för hjälp, och då helst utförligt eftersom jag själv vill förstå det. Uppgiften lyder som följer:
Hur ändras trycket (räknat i N/cm2) på ett tvärsnitt i en människas ben om längden tiofaldigas? Hur stor skulle en jätte kunna bli om benen tål ett tryck på säg 1000N/cm2 och en normal människas ben har en tvärsnittsyta på ca 8cm2?
Mvh/Jenny

Svar:

Jag antar att det bara är längden som förändras. I så fall tiofaldigas också personens tyngd. Skall vi säga att personen före förvandlingen hade en tyngd på 800 N. Efteråt är tyngden 8000 N. För att få trycket skall du dividera tyngden med tvärsnittets area.

Kjell Elfström


2 februari 2001 20.03.33
Har du något material om Pierre de Fermat? och i så fall kunde man få det mailat?

Svar:

Se Pierre de Fermat.

Kjell Elfström


2 februari 2001 19.11.54
Vad är en variabel
Olof

Svar:

I matematiken är det en storhet som tänks variera. Motsatsen är en konstant. Uttrycket 1 + x får olika värden beroende vad x är. Här kallas x en variabel medan 1 är en konstant. När man sedan säger att a är en konstant och x en variabel i a + x menar man att a skall ha ett fixt värde, dock vilket som helst, och att x skall antaga olika värden. För varje fixt värde på a betyder ekvationen y = a + x en rät linje, dvs punkterna (x,y) som uppfyller ekvationen ligger på en rät linje. Tar man sedan ett annat värde på a får man en annan linje.

Kjell Elfström


2 februari 2001 15.05.38
Jag har i tiderna lärt mig att 10-logaritmen betecknas lg. Men på en räknare står det log. Nu tycks också läroböcker börja använda log då man avser 10-logaritmen.
Finns det någon vettig förklaring till detta? Skiljer sig tex det amerikanska sättet att beteckna från det europeiska eller har beteckningsstandarden ändrats?
Folke Rosenberg Pargas, Finland

Svar:

Jag vet inte hur lg kommit att beteckna 10-logaritmen i svenska skolböcker (och finska också tydligen). Jag tror inte det finns någon internationell standard. I mycket litteratur, många programmeringsspråk och dylikt skrivs 10-logaritmen log. I den svenska varianten av Excel används lg men i den engelskspråkiga används log. Datavetare betecknar ibland 2-logaritmen med lg och när sedan matematiker i matematisk litteratur ofta skriver log för den naturliga logaritmen borde förvirringen vara total. En sak är dock säker, ln betcknar ingenting annat än den naturliga logaritmen.

Kjell Elfström


2 februari 2001 14.02.50
2st 40mm tjocka böcker står bredvid varandra i en bokhylla. Volym ett står till vänster. Av den totala tjockleken(när boken ligger) är varje pärm 0,3cm. I volym ett finns en bokmal som ger sig ut på äventyr enligt följande: Han eller hon äter sig från den vänstra bokens första sida till den högra bokens sista sida. Hur långt har malen färdats från det att han startar tills dess att han är framme? Vandringen tog 6 timmar och 26 min med en sovpaus på 55min inräknad. Malen var snabb i början men mattades av på slutet. Av den totala tiden använde malen 92% i första boken. Fråga: Hur lång var krypsträckan???
Anders Axner

Svar:

2·3 = 6 mm.

Kjell Elfström


2 februari 2001 12.33.46
Hejsan
Jag skulle behöve lite hjälp med an algoritm för att omvandla tal från bas 10 till bas n, där n < 0. Det börde finnas två 'lösningar' eftersom varje tal i en negativ talbas kan skivas på två sätt. ex. 10 i bas [-10] = 190 eller -10...
F.ö., vet du nått ställer på nätet där man kan läsa om negativa talbaser etc. Finns det nån användning för dem?
Tackar på förhand
David Szotten

Svar:

Jag har inte tidigare stött på negativa baser så jag kan inte besvara dina senare frågor. Om A är ett heltal större än eller lika med 2 och B = -A så kan varje heltal a på ett entydigt sätt skrivas

a = a0 + a1B + ... + anBn,

där 0 <= ak < A, k=0,1,...,n. Att koefficienterna är entydigt bestämda följer av att om

a0 + a1B + ... + anBn = b0 + b1B + ... + bnBn

så är

c0 + c1B + ... + cnBn = 0,

där ck = ak - bk och -A < ck < A. Detta uttryck är 0 och därför delbart med A. Men B är delbar med A varav det följer att c0 är delbar med A. Enda möjligheten är att c0 = 0. Nu kan vi dividera uttrycket med B, upprepa resonemanget och få att c1 = 0 osv.

Nu visar vi att man verkligen kan representera a på detta sätt. Vi visar med induktion över n att varje heltal a, sådant att -An <= a <= An, har en sådan representation. Om n = 1 och a >= 0 behöver vi bara sätta a0 = a. Om a < 0 kan vi sätta a0 = a + A och a1 = 1.

Om -An + 1 <= a <= An + 1 kan vi enligt divisionsalgoritmen skriva

a = a0 + Aa' = a0 + B(-a') , 0 <= a0 <= A - 1.

Här måste -An <= -a' <= An. Enligt induktionsantagandet har därför -a' och således även a en sådan representation.

Beviset ger oss också en metod att bestämma siffrorna. Låt oss t ex bestämma siffrorna för 175 i basen B = -10. Då är A = 10. Dividera med A: 175 = 17·10 + 5 = (-17)(-10) + 5. Dividera nu -17 med A. -17 = (-2)·10 + 3 = 2(-10) + 3. Eftersom kvoten 2 nu ligger i [-A,A] är vi klara. Vi sätter in uttrycket för -17 i uttrycket för 175 och får 175 = 2(-10)2 + 3(-10) + 5.

Genom att representera -a på detta sätt får vi genom att därefter byta tecken en representation för a, där alla siffrorna är negativa eller 0. -175 = -18·10 + 5 = 18(-10) + 5. 18 = 1·10 + 8 = (-1)(-10) + 8. -1 = -1·10 + 9 = 1(-10) + 9. Sätt nu successivt in delresultaten. 18 = 1(-10)2 + 9(-10) + 8. -175 = 1(-10)3 + 9(-10)2 + 8(-10) + 5. De båda representationerna av 175 är alltså 235 och -1985.

Kjell Elfström


2 februari 2001 12.25.45
Hur förklarar man att följande delmängd av R^4 inte är ett underrum till R^4:
{(x1,x2,x3,x4) | x1+x2=x3+x4=1}
Tack!
Per

Svar:

Varje underrum innehåller origo men det gör inte denna delmängd.

Kjell Elfström


2 februari 2001 11.04.33
Hej! Kan man säga att vilken parallellogam som helst även är ett parallelltrapets på samma sätt som att begreppet parallellogram innefattar begreppen rektangel, romb och kvadrat? Om det föhåller sig så blir definitionen en fyrhörning med två motstående sidor parallella tillräcklig.
Klas

Svar:

Se 17 januari 2001 18.46.01

Kjell Elfström


1 februari 2001 23.21.36
Hej Lund! Hej Kjell! Här följer tre frågor på engelska men jag hoppas få svaren på svenska.
1- Porve, without using the idea of duality, that each point of the geometry is on exactly three lines!
2- Prove that a set of two lines exists that contains all the points of the geometry!
3- Without using duality, prove tha there exists a pair of lines in the geometry without a point in kommon. Tack på förhand
George
George, Örebro

Svar:

Jag vet inte vilken geometri som avses.

Kjell Elfström


1 februari 2001 23.03.46
Hej Kjell, du är min idol!
Jag undrar om du med hjälp av definitionen för gänsvärden kan bevisa att x*sin(1/x^2) -> 0 då x -> oändligheten.
Vänliga Hälsningar
Caroline

Svar:

Jag känner mig mycket hedrad!

Jag antar att du känner till olikheten |sin x| <= |x|. Antag nu att e > 0 (skall föreställa epsilon). Då är

|x sin(1/x2) - 0| = |x sin(1/x2)| = |x||sin(1/x2)| <= |x||1/x2| = 1/|x| = 1/x < e om x > w,

där w = 1/e.

Kjell Elfström


1 februari 2001 20.46.36
Hejsan !
Kan Ni hjälpa mig med ett litet delikat problem som jag inte kan lösa? Lös olikheten. absolutbeloppet av X^2-X dividerat med absolutbeloppet av X+8 skall vara mindre än eller lika med 1.
Magnus H

Svar:

Olikheten kan skrivas om utan absolutbelopp som

-1 <= (x2 - x)/(x + 8) <= 1.

Lös nu dessa båda olikheter var för sig som i 19 januari 2001 10.45.34. De värden på x som satisfierar den ursprungliga olikheten är de som satisfierar båda dessa olikheter.

Kjell Elfström


1 februari 2001 20.16.10
Jag blir mycket tacksam om jag får svar till följande frågor:
1) Beskriv noga hur man beräknar derivatan hos en integral
F(s)=Integralen[a(s) till b(s)] f(s,x).dx
Visa att det finns ett enkelt samband mellan F(s) och F'(s) när:
f(s,x)=e^-5(s-x) * sin(7x) och b(s)=s och a(s)=3
Patrik

Svar:

Om t ex f och fs' är kontinuerliga i [A,B]×[CD], a och b deriverbara och ligger mellan C och D i [A,B] så är F deriverbar i [A,B] och

F '(s) = int fs'(s,x) dx + f(s,b(s))b'(s) - f(s,a(s))a'(s).

Använder du denna formel ser du sambandet.

Kjell Elfström


1 februari 2001 18.41.56
Hej! Jag har ett litet programmeringsproblem som retar mig. Jag håller på med ett data program i Visual Basic som bland annat ska kunna göra stora beräkningar (och skriva ut alla siffror i talen), och räkna ut ett approximativt värde av pi. Jag har börjat göra så kallade funktioner i programmet som ska klara av att räkna varje räknesätt. Det svåra är att Visual Basic bara har variabler som är begränsade till några miljader. Jag behöver gigantiskt mycket större tal. Därför räknar jag med strängar istället (textfiler) och får därmed räkna som på papper (ställa up talen fast i dataspråket i form av "loopar" som går runt och räknar med en siffra i taget). Jag har klarat av tre räknesätt, alla utom division. Problemet med division är att jag bara kan räkna som "alla andra" genom att "testa" hur många gånger nämnaren går i täljarens första siffra osv. Det sättet är helt värdelöst i Visual Basic och programmerings språk eftersom man till slut får för stora tal i täljaren och programmet klarar inte av att "testa" mera. Jag skulle vara mycket tacksam om ni hade någon annan divisions metod som man räknar med en siffra i taget, istället för hela nämnaren.
hälsn. Oscar Kleväng
ps. om ni är intresserade är detta funktionen för subtration:
Private Function Subtrahera(subEtt As String, subTvå As String)

 Dim x As Long
 Dim y As Long
 Dim a As String
 Dim b As String
 Dim c As String
 Dim subTre As String

 
 If Len(subEtt) > Len(subTvå) Then
 
  For x = 1 To Len(subEtt) - Len(subTvå)
  
   subTvå = "0" & subTvå
   
  Next x
  
 End If
 
 If Len(subEtt) < Len(subTvå) Then
 
  For x = 1 To Len(subTvå) - Len(subEtt)
  
   subEtt = "0" & subEtt
   
  Next x
  
End If
 
 
 

 For x = 1 To Len(subEtt)

   
  a = Trim$(Right$(subEtt, x))
  a = Trim$(Mid$(a, 1, 1))
  
  b = Trim$(Right$(subTvå, x))
  b = Trim$(Mid$(b, 1, 1))
  
  If Val(a) - Val(b) = Abs(Val(a) - Val(b)) Then
  
   subTre = Trim$(Str$(Val(a) - Val(b))) & subTre
  
   Else
   
   
    For y = 1 To Len(subEtt) - x
    
     c = Trim$(Right$(subEtt, (x + y)))
     c = Trim$(Mid$(c, 1, 1))
     
     
     If c = 0 Then
     
      Mid$(subEtt, Len(subEtt) - (x + y - 1), 1) = "9"
      
      Else
       
       Mid$(subEtt, Len(subEtt) - (x + y - 1), 1)
         = Trim$(Str$(Val(Mid$(subEtt, Len(subEtt)
           - (x + y - 1), 1)) - 1))
        
       a = Trim$(Str$(Val(a) + 10))
       
       subTre = Trim$(Str$(Val(a) - Val(b))) & subTre
       
       GoTo spaEnd
      
      End If
    
    Next y
   
spaEnd:
   
  End If


 Next x


Subtrahera = subTre

subTre = ""

End Function

Oscar Kleväng

Svar:

Man bör inte lagra talens siffror i tiosystemet utan använda datorns interna datarepresentation. De fyra räknesätten utförs bäst med assemblerkod. Antag att varje integer är ett tal i intervallet [0,232-1] (ett ord). Det är då bättre att lagra talens siffror i 232-systemet i en vektor. T ex är 4307852197893 = 1003·232 + 5 och kan lagras som [1003,5] i en vektor. Vad gäller subtraktionen så går det lika snabbt att utföra en subtraktion som att testa om ett tal är större än ett annat. Ett program för att subtrahera b från a och lagra resultatet i a kan se ut så här. (a och b är vektorer bestående av n icke teckensatta heltal. Jag är osäker på om den datatypen finns i BASIC. Om talen är teckensatta fungerar inte operatorn < på rätt sätt.)

lån=0
for i=0 to n-1
    if a[i]<lån then
       a[i]=a[i]-b[i]-lån
    else
        a[i]=a[i]-lån
        if a[i]<b[i] then
           lån=1
        else 
           lån=0
        a[i]=a[i]-b[i]
next i

I assemblerkod för Pentiumprocessorn kunde man skrivit

mov  ecx,n        ; sätt räknare
mov  esi,a        ; sätt esi till adressen för minst signifikanta
                  ; siffran i a
mov  edi,b        ; motsvarande för b
clc               ; nollställ carryn
subloop:    
mov  eax,[edi]     
sbb  [esi],eax    ; subtrahera och sätt carry=1 om vi behövde låna
add  edi,4        ; räkna upp adresspekarna till nästa siffra
add  esi,4        ; varje 32-bits heltal tar 4 byte
loop subloop      ; räkna ner ecx och hoppa till subloop om ecx inte är 0

sbb betyder subtract with borrow så minnessiffror tas om hand automatiskt. Negativa tal lagras normalt med 2-komplementmetoden så att t ex -1 lagras i ett ord på samma sätt som 232 - 1. Därför fungerar ovanstående program utan att man behöver addera 232 när man måste låna. Division är litet besvärligare. I Donald Knuth: The art of programming, vol 2 finns många användbara algoritmer. Division kan ju utföras genom successiv subtraktion men det är ju ett långsamt sätt. Ett sätt som anges i Knuths bok för division av a med b bygger på väsentligen på att man bildar det tal som de två mest signifikanta siffrorna i bildar (i 232-systemet) och dividerar detta med den mest signifikanta siffran i b för att få en preliminär siffra i kvoten q. (Om de mest signifikanta siffrorna i a och b är lika låter man aktuell siffra i q vara 232-1.) Därefter justerar man kvoten genom successiv addition eller subtraktion vid behov och minskar resten a i enlighet med siffran i q. Detta upprepas sedan för varje "siffra" i q och man erhåller till slut kvoten i q och resten i a. Jag avstår från att beskriva algoritmen i detalj men divisionsalgoritmen i NTL: A Library for doing Number Theory verkar vara skriven enligt detta recept. Ladda ner koden och titta på _ntl_zdiv i filen C_lip.c.

Kjell Elfström


1 februari 2001 18.40.40
Vad ska jag göra för att tycka att det är roligt med matte och vad ska jag göra för att klara av det. Jag vill verkligen ha bra betyg men det bästa jag har fått på ett matteprov är 5/27. Jag är 14 år. Jag behöver verkligen hjälp!
Emma

Svar:

Det är ganska svårt att ge ett allmänt svar på denna fråga. För att bli duktig i matematik krävs det för de flesta ganska mycket arbete och för att få ork till detta är det nog nödvändigt att man är intresserad. Ofta bottnar ointresse av matematik i att man inte förstår matematiken eller förstår vad man skall ha den till. Jag föreslår att du tar upp problemet med din lärare eller någon studievägledare vid din skola eftersom jag tror att hjälpen måste anpassas individuellt.

Kjell Elfström


1 februari 2001 18.32.44
Jag håller på med derivering av funktioner med flera variabler och har fastnat vid en riktigt klurig rackare...
Jag ska visa att det finns precis en funktion z=(x,y) med kontinuerliga partiella derivator i omgivningen till punkten (2,3), sådan att xsin(y-3) + ysin(z-2) + zsin(x-2) = 0 och z(2,3) = 2. Jag ska därtill beräkna riktningsderivatan av funktionen z i punkten (2,3) i riktning av vektorn v = (2,2)
Hur ska problemet lösas??? Ha det bra =)
Martin

Svar:

Använd Implicita funktionssatsen.

Kjell Elfström


1 februari 2001 15.38.59
Finns det några matematiska bevis för hur mycket man kan komprimera data?
olle

Svar:

Jag känner tyvärr inte till så mycket om datakomprimering. Söker man efter data+compression+theory på AltaVista får man dock ganska många relevanta träffar.

Kjell Elfström


1 februari 2001 13.01.25
<Kjeglesnitt??

Svar:

Ellips, parabel och hyperbel!

Kjell Elfström


1 februari 2001 12.34.00
På hur många sätt kan man med enkelrader få 0 rätt på stryktipset????
Anders Axner

Svar:

Här har vi två möjligheter i varje match. Se 1 februari 2001 12.33.00. Det blir 213 = 8192 olika rader.

Kjell Elfström


1 februari 2001 12.33.00
Hur många enkelrader på stryktipset måste man fylla i för att vara säker på att få 13 rätt????

Svar:

Man måste ha med alla möjliga rader i ett sådant system. Det finns tre möjliga utgångar i varje match. Eftersom tretton matcher skall tippas skall vi tretton gånger välja hur utgången blir. Vi får 313 = 1594323 olika rader.

Kjell Elfström


1 februari 2001 12.03.16
Hej!
Jag skulle vilja ha hjälp med att få svar på en uppgift där man ska hänvisa till något känt resultat om grafer.
Problemet är följande: En polis skall lägga upp ett patrulleringsmönster för en stadsdel med ett gatunät som består av 12 stora bokstäver i hörnen och 20 små bokstäver som reprensenterar gatorna.Han vill gå längs varje gata endast en gång men han behöver inte nödvändigtvis börja och sluta i samma punkt. På detta sätt kommer han alltid att missa några gator. Förklara varför så är fallet, tex genom att hänvisa till något känt resultat om grafer.
Hur många gator kommer han alltid att missa?
Från A utgår 3 vägar, B 4 vägar, C3, D2, E3, F6, G5, H3, I3, J4, K2 och L utgår det 2 vägar.
Johanna

Svar:

Det finns en sats som säger att om G är en sammanhängande graf med precis 2n udda punkter, n  >= 1, så finns n disjunkta Eulerska linjer men inte färre. Eftersom gatunätet här har 6 = 2·3 udda punkter kan man inte dela upp det i färre än 3 disjunkta promenader så att i varje promenad varje gata passeras endast en gång. Det bästa man kan hoppas på är att två av promenaderna bara består av en enda gata vardera. Därför måste polisen missa åtminstone 2 gator. Se t ex Harary: Graph Theory, Addison-Wesley.

Kjell Elfström


1 februari 2001 11.33.31
Formalisera påståendet "Om du ger mig en glass[G] så ger jag dig en glass[J],men om du skriker åt mig[D]så ger jag dig inte någon glass."
Negera samma utsaga, förenklna resultatet och översätt till ledig svenska.
Johanna

Svar:

En satslogisk formalisering av påståendet är

(G ==> J) och (D ==> (icke J)).

För att analysera negationen av påståendet utnyttjar vi att icke (p och q) är det samma som (icke peller  (icke q) och att icke (p ==> q) är det samma som p och (icke q) och får att negationen blir

(G och (icke J)) eller (D och J).

Antingen ger du mig en glass men jag ger inte dig någon eller så skriker du åt mig och får en glass.

Kjell Elfström


1 februari 2001 00.00.43
När jag gick i skolan på 60-talet, så vill jag alldeles bestämt komma ihåg att talet 1 var det första primtalet. I en gammal uppslagsbok (Nordisk familjebok, 1915) står också 1 som det första primtalet. Numera (?) är 2 det första primtalet. Är det jag och min ålderdomliga uppslagsbok som har fel? Eller har det ändrats de senaste 40 åren? I så fall: Varför?
Sven Bohman

Svar:

Ett heltal p är ett primtal om

1. de enda tal som delar p är ±1 och ±p,
2. p >= 2.

Förutom primtalen är de tal som uppfyller det första villkoret ±1 och -p, där p är ett primtal. Med denna definition av primtal får aritmetikens fundamentalsats en enkel formulering: Varje heltal, större än eller lika med 2, kan primtalsfaktoriseras på ett och endast ett sätt om man bortser från faktorernas ordningsföljd. Detta skulle inte vara fallet om man lät 1 vara ett primtal eftersom t ex 2·3 = 1·2·1·3·1. Av samma anledning kallar man inte de negativa tal som uppfyller det första villkoret för primtal.

Kjell Elfström


31 januari 2001 22.44.21
HEJ! Jag skulle bli väldigt glad om jag kunde få hjälp med detta problem! Under första världskriget utkämpades ett slag i närheten av ett gammalt slott. En granat förstörde en staty av en riddare med en lans i handen. Detta hände den sista dagen i månaden. Produkten av den dagens datum, månadens nummer, lansens längd uttryckt i fot, hälften av den tid (uttryckt i år) som statyn befunnit sig utanför slottet är lika med 451066. När uppfördes riddarstayn utanför slottet? Tack på förhand!
Asper01

Svar:

Det är naturligt att primtalsfaktorisera produkten. 451066 = 2·7·11·29·101. Den enda möjligheten för datumet är den 29 februari. Lansen bör vara 7 eller 11 fot. Är den 7 fot gjordes statyn 2222 år tidigare av någon framsynt konstnär. Det lutar nog mer åt att lansen var 11 fot och att statyn gjordes 1414 år tidigare även om det också verkar vara väl tidigt.

Kjell Elfström


31 januari 2001 22.22.54
Varför använder man de Grekiska alfabetet när man använder mattematik och fysik, när våra siffror härstammar från (om jag inte har alldeles fel...)Arabiska?
Och en sak till, när Andrew Wiles "löste/bevisade" Fremat's stora sats, införe han ju en rad nya begrepp och tankegångar. Är detta inte "fusk" igentligen, då om man tänker tillbaka inser att Pierre de Fremat och andra mattematiker på 1600-talet inte hade dagens sofistikerade utrustning i form av datorer och liknande...
Anders Gustafsson

Svar:

Man upplever ofta i matematiken att bokstäverna inte räcker till. Det beror oftast inte på att man vill skriva formler med fler än 28 variabler utan snarare att man vill använda vissa bokstäver för vissa ändamål för att uppnå tydlighet. T ex förknippar man ju bokstäverna x, y och z med obekanta i en ekvation eller koordinater för en punkt medan u och v används för att beteckna vektorer, a, b, c konstanter osv. På så sätt blir antalet användbara bokstäver begränsat. Man kan då utvidga alfabetet på olika sätt, t ex genom att lägga till olika så kallade diakritiska tecken. Beteckningen f ' för derivata är ett exempel, û för Fouriertransformen ett annat. Man kan även använda stora och små bokstäver, olika typsnitt och naturligtvis grekiska bokstäver. Anledningen att valet fallit just på det grekiska alfabetet och inte det hebreiska eller japanska är att grekerna lade grunden till den västerländska kulturen. De matematiska resultat som var kända av de antika grekerna har vi fått ta del av genom att läsa texter skrivna på grekiska. Det är då inte så märkligt att vi ibland väljer samma symboler som de. Dessutom har deras bokstäver likheter med våra. Behöver vi ett a till använder vi alfa, behöver vi b skriver vi beta.

Jag tror inte att datorerna har spelat så stor roll för Wiles bevis av Fermats stora sats. Dessutom ligger det i matematikens natur att införa nya begrepp och försöka lösa problem genom att tänka annorlunda än de som misslyckats. Jag tycker Wiles var mycket renhårigare än Fermat som skrev en marginalanteckning att han hade ett bevis för satsen, när han förmodligen inte hade det.

Kjell Elfström


31 januari 2001 19.51.54
Hej! Jag har ett problem där jag ska beräkna k för en tangent i pi på en sinuskurva. Låt y=f(x)=sin(x). Då måste jag räkna ut
lim (h->0) (sin(x+h)-sin(x))/h
Hur gör jag då för att lösa problemet? Finns det ngt. sätt att multiplicera in eller bryta ut sinusfunktioner?
Philip

Svar:

Jag skulle utnyttja att gränsvärdet är derivatan av sin i punkten x, dvs cos x. För att härleda formeln för denna derivata kan man utnyttja formeln

sin a - sin b = 2 cos((1/2)(a + b)) sin((1/2)(a - b))

och standardgränsvärdet (sin t)/t --> 1 då t --> 0.

(sin(x + h) - sin x)/h = 2 cos(x + h/2) sin(h/2) = cos(x + h/2) (sin(h/2))/(h/2) --> cos x

h --> 0.

Kjell Elfström


30 januari 2001 20.09.35
Två typer lyckades med bedriften att kapa ett klot i ett godtyckligt antal bitar och sedan samla ihop alla bitar så att volymen blev större!
Det ska tydligen finnas bevis för att detta är sant ( vilket jag tror är omöjligt ) om vart finns beviset beviset ska heta enlikt han som sa det fanns bevis för det [Matematiker A:s] och [Matematiker B:s] paradox.
Markus

Svar:

Beviset heter nog ingenting men satsen kallas Banach-Tarskis paradox. Se 17 mars 1997 20.56.58.

Kjell Elfström


30 januari 2001 17.46.35
Hej!
Ville bara säga att jag är ytterst imponerad över mängden frågor som ni svarar på. Min fråga är således: Hur orkar ni?
Edo Benic

Svar:

Det går av bara farten när man väl har kommit igång. Normalt besvarar vi ju ett urval av frågorna men jag har en tid haft möjlighet att svara på alla frågor, bortsett från dem som inte har med matematik att göra.

Kjell Elfström


29 januari 2001 22.06.21
Hur kan man få ut kvdratroten ur ett tal? ( räkna för hand ) Kan du ge mig en exampel?
guanglei xiu

Svar:

Det enklaste sättet är genom intervallhalvering. Att bestämma roten ur a, där a är ett positivt tal, innebär att bestämma den positiva lösningen x till ekvationen f(x) = x2 - a = 0. Det är lätt att se att f är strängt växande för x > 0 så f har precis ett positivt nollställe. Skall man bestämma roten ur 2 sätter man a = 2. Man kan börja med att konstatera att f(1) = -1 < 0 och f(2) = 2 > 0. Den sökta lösningen måste då ligga mellan 1 och 2. Nu halverar vi intervallet [1,2], vilket innebär att vi beräknar funktionsvärdet i mittpunkten 3/2. f(3/2) = 1/4 > 0. Lösningen ligger alltså i intervallet [1,3/2]. Ny halvering ger mittpunkten 5/4 = 1,25. Beräkning visar att f(1,25) < 0. Lösningen ligger alltså i [1,25;1,5]. Ny mittpunkt är (1,25 + 1,5)/2 = 1,375. Denna ger ett negativt värde. Nytt intervall är [1,375;1,5]. Mittpunkt är 1,4375 som ger ett positivt värde. Lösningen ligger alltså i [1,375;1,4375]. Nu vet vi att 21/2 = 1,4 med en korrekt decimal eftersom 1,35 <= 1,375 <= 1,4 <= 1,4375 <= 1,45. Man kan fortsätta denna process tills man har fått tillräckligt många decimaler.

En annan metod, med vilken man snabbare uppnår god noggrannhet, kallas Newton-Raphsons metod. Se 31 mars 1997 11.44.13. Låter man a = 2 och börjar med x0 = 2 får man x1 = 1,5, x2 = 1,4166666666667, x3 = 1,4142156862745, x4 = 1,4142135623747, x5 = 1,4142135623731 och sedan blir alla efterföljande värden lika med x5 om man räknar med 13 decimaler. Vi får att 21/2 =  1,4142135623731 med 13 korrekta decimaler eftersom f(1,41421356237305) < 0 och f(1,41421356237315) > 0.

Kjell Elfström


29 januari 2001 20.00.23
hur diffinieras tan i
jens

Svar:

Enligt Eulers formler är

sin x = (eix - e-ix)/(2i),
cos x = (eix + e-ix)/2,

för reella x. Det följer att

tan x = (1/i)(eix - e-ix)/(eix + e-ix).

Detta kan användas som definition av de trigonometriska funktionernas värde även för icke-reella tal x. T ex blir

tan i = (1/i)(e-1 - e)/(e-1 + e) = i(e2 - 1)/(e2 + 1).

Kjell Elfström


29 januari 2001 14.02.22
Det är som så att i skolan håller vi på med ett matematikprojekt där vi ska skriva varsitt arbete om hur matematiken inandlas i vår vardag, men jag har inte hittat något bra svar på frågan, så nu ställer jag den till Er. Arbetet är relativt litet och ska var inlämnat redan på fredag så jag vore tacksam för svar inom kort. Tack på förhand. stellan

Svar:

Se 29 januari 2001 14.00.17.

Kjell Elfström


29 januari 2001 14.00.17
Vad har matematik för inverkan i vår vardag?
Tina

Svar:

Tänk på att matematiken är grunden för naturvetenskaperna, datavetenskap och ingenjörskonst så kan du själv besvara frågan.

Kjell Elfström


29 januari 2001 11.14.46
Hej.
Vi skulle vilja ha beviset för eller en hemsida som visar reflektionslagen med hjälp av indirekt bevis så snart som möjligt.
Tack på förhand
Christoffer och Alexander

Svar:

Detta kallas Herons problem. Vi skall bestämma P så att AP + PB blir så liten som möjligt.

Herons problem

Låt A' vara spegelbilden av A i linjen. Då är AP + PB = A'P + PB och detta är minst då A', P och B ligger på en rät linje, så att lösningen är att P = P0 i figuren. Det är lätt att se att vinklarna AP0C och BP0D måste vara lika, vilket är innebörden av reflexionslagen.

Kjell Elfström


29 januari 2001 11.02.52
Jag har fått följande problem att roa mig med, finns det verkligen bara en lösning på detta och hur kommer man fram till den?
En läkare skall välja ut mediciner att förskriva till sina snuviga patienter. Det finns två dussin att välja mellan. Av medicinerna är 8 hostdämpande, 13 är febernedsättande och 13 är smärtstillande. Både hostdämpnade och smärtstillande är 5 preparat medan 3 är hostdämpande och febernedsättande. Vidare visar det sig att 6 mediciner är febernedsättande och smärtstillande och att 2 mediciner är hostdämpande, febernedsättnde och smärtstillande.
a) Hur många av medicinerna verkar på exakt ett sätt?
b) Hur många verkar inte på något av sätten?
c) Hur många mediciner är inte smärtstillande?
d) Vilken medicin väljer läkaren?

Nancy

Svar:

Rita upp mängderna i ett Venn-diagram. Varje ring representerar en medicintyp och den stora rektangeln representerar samtliga 24 mediciner. Börja fylla i den inifrån. Det finns 2 mediciner som hör till samtliga typer. Det finns 6 i F snitt S. Av dessa finns 2 också i H. Det blir fyra kvar som finns i F och S men inte i H. Fortsätter man på det sättet får man följande diagram.

Medicin

a) 2 + 6 + 4 = 12
b) 2
c) 2 + 1 + 6 = 9
d) Detta är ju ingen matematisk fråga men troligen väljer han en som är hostdämpande och febernedsättande men inte smärtstillande och det finns bara en sådan.

Kjell Elfström


28 januari 2001 21.29.40
Hej,
Ett praktiskt problem som ni kanske kan hjälpa mig med. En cylindrisk liggande tank med konvexa gavlar (sfäriska segment)innehåller vätska vars volym jag vill veta. Invändig diameter på tanken är 1,83 meter, längden av tankens cylindriska del är 4,3 meter, höjden i de sfäriska segmentan är 0,3 meter (total längd = 4,9 meter) Jag pejlar (från manlucka på tankens top) 1,58 meter vätska i tanken. Volym ? Hur ser en formel (funktion) ut där jag kan beräkna volymen med pejlad vätske höjd i tanken som variabel ?
Mikael Karlsson

Svar:

Jag undvek att beräkna volymen exakt i 18 januari 2001 21.13.31. Jag härleder här ett uttryck för volymen som innehåller integraler och överlämnar den numeriska beräkningen åt dig. Den klarar du av med något matematikprogram. Låt oss först teckna arean av cirkelsegmentet x2 + y2 <= r2, x >= a. Hälften av denna får man genom att integrera (r2 - x2)1/2 från a till r, varför arean är

A(a,r) = 2 intar (r2 - t2)1/2 dt.

Denna integral kan man visserligen uttrycka exakt med hjälp av rottutryck och funktionen arcsin, men vi avstår från detta. Antag att cylinderns radie är r och att dess längd är L. Inför ett koordinatsystem så att x-axeln sammanfaller med cylinderns axel och y-axeln är vertikal. En halvfull tank motsvarar alltså att y = 0. (Vi väntar med att införa vätskans djup till på slutet.) Vätskevolymen i cylindern (med platta sidor) som motsvarar vätskenivån y är då LA(-y,r).

Antag nu att de buktiga ändarna är delar av sfärer med radien R. Placera y-axeln så att origo hamnar i sfärens medelpunkt. Kalla x-koordinaten för cylinderns platta ände för b. Enligt Pythagoras sats är b = (R2 - r2)1/2. Ett horisontellt tvärsnitt av den buktiga delen med ett plan bildar ett cirkelsegment. Om dess vertikala koordinat är y = t kommer cirkelns radie att vara (R2 - t2)1/2 så segmentets area är A(b,(R2 - t2)1/2). Volymen av den ena buktiga delen är följaktligen

B(y,r,R) = int-ryA(b,(R2 - t2)1/2) dt = int-yrA((R2 - r2)1/2,(R2 - t2)1/2) dt.

Djupet d motsvarar att y = d - r. Summerar vi cylinderdelens och de två buktiga ändarnas volymer får vi att den totala vätskevolymen är

LA(r - d,r) + 2B(d - r,r,R).

Kjell Elfström


28 januari 2001 18.28.51
En vän till mig var helt övertygad om att "i vissa extrema fall kan 4 vara mindre än 3." För mig låter det är som totalt omöjligt. Kan det verkligen vara så??
Christian

Svar:

Med den vanliga ordningsrelationen är inte 4 < 3.

Kjell Elfström


28 januari 2001 01.02.56
...och här körde jag fast!
"Prove the law of sines using the cross product. It should only take a couple of lines. (Hint: Consider the area of a triangle formed by A, B, C, where A+B+C=0)" A, B och C är alltså vektorer.
Tacksam för hjälp
Stephan Forkelid

Svar:

Utnyttja att triangelarean är |A×B|/2 =  |B×C|/2 =  |C×A|/2 samt att |A×B| = |A||B|sin t, där t är vinkeln mellan sidorna A och B och motsvarande för de andra två vektorprodukterna.

Kjell Elfström


27 januari 2001 19.15.15
Om h, k och l är heltal och man undersöker m=h^2+k^2+l^2, så kan ju m inte vara t ex 7, 15 eller 23. Kan man på något sätt räkna ut vilka tal som m inte kan anta?
Tack för en jätterolig sida!
August

Svar:

De tal som inte kan skrivas som en summa av tre kvadrater är de som är på formen 4n(8k + 7). Alla andra kan skrivas som en sådan summa. Detta bevisades av Legendre 1798. Beviset är för komplicerat för att tas upp här.

Kjell Elfström


27 januari 2001 15.12.39
Hej
Jag funderar på ifall det finns någon algoritm för att på ett någorlunda snyggt sätt räkna ut antalet 10,11,12,13 rätts system på en stryktipskupong? (Ej reduserade system).
Andreas

Svar:

Jag tror inte jag förstår frågan riktigt. Är det fråga om att bestämma det minsta antalet rader som behövs för att garantera ett visst antal rätt är detta ett olöst problem utom undantagsvis. Vill du veta hur många rader ett system består av som helgarderar n matcher så är det 3n.

Kjell Elfström


27 januari 2001 14.05.36
Är det möjligt att dela en cirkel i åtta delar med tre räta linjer (snitt)? Går det att bevisa resultatet?
Daniel

Svar:

En linje delar ett plan i två delar. Två linjer kan dela ett plan i högst fyra delar. Delar vi planet med en linje till kan denna bara skära de tidigare två i var sin punkt och därför kan den bara dela upp tre av de tidigare områdena i två delar vardera. 2 + 2 + 3 = 7. Det blir ingen skillnad om resonemanget utförs i en cirkel. Cirkeln kan delas upp i högst sju delar.

Kjell Elfström


26 januari 2001 14.24.38
Jag undrar hur man räknar ut volymen ur en dodekaeder (tolv pentagoner). Och jag undrar om det finns någon speciell formel för detta.
Kim

Svar:

Om längden av en kant är s så är volymen (15 + 7·51/2)s3/4. Detta kan härledas från informationen i Euclid's Elements, Book XIII.

Kjell Elfström


26 januari 2001 13.28.19
Hej! Har ett problem som jag har funderat på en tid, vilket handlar om hur man skall visa att:
z(x,y) = (x^2)yf(3x+y^2) satisfierar den partiella differentialekvationen, 2x(y^2)z'(nedsänkt x) -3xyz'(nedsänkt y) = (4(y^2) - 3x)z där f är en deriverbar funktion av en variabel.
Tacksam för svar.
Johannes Davidsson

Svar:

Vi har

z'x = 2xyf(3x + y2) + 3x2yf '(3x + y2),
z'y = x2f(3x + y2) + 2x2y2f '(3x + y2).

Sätt nu in i ekvationen och visa att dess led är lika.

Kjell Elfström


26 januari 2001 11.13.16
Hej !
1) Hur bevisar man att det(AB) = det(A)*det(B) ?
2) Hur bevisar man att det(A^T) = det(A)
Dvs A^T = är transponatet av matrisen A.
/ Student

Svar:

Det följer av determinantens entydighet, men det blir för långt att ta upp här. Se någon bok i lineär algebra, t ex Karl Gustav Andersson: Lineär algebra, Studentlitteratur 2000.

Kjell Elfström


26 januari 2001 07.55.07
Hej Jag undrar hur man räknar om en koordinat i "RT90 2.5 gon v" till "ST74"
Per Grönqvist

Svar:

Du kanske kan finna information om detta på Transverse Mercator Calculator.

Kjell Elfström


25 januari 2001 20.08.04
Finns det något bevis på att pytagoras sats edast fungarar om man tar a^2+b^2=c^2, att den inte fungerar tex med a^99+b^99=c^99 eller nåt annat
Fredrik

Svar:

Om a och b är kateterna och c hypotenusan i en rätvinklig triangel så är an + bn = cn bara om n = 2. Antag att an + bn = cn. Eftersom också a2 + b2 = c2 så är

(a2 + b2)n = (an + bn)2.

Vi kan anta att b >= a. Dividera likheten med b2n. Med x = a/b får vi då att

(x2 + 1)n = (xn + 1)2.

Logaritmerar vi båda leden får vi

f(x) = n ln(x2 + 1) - 2 ln(xn + 1) = 0.

Deriverar man f finner man att derivatan är större än noll för x i (0,1) om n > 2 och mindre än noll om n < 2. Eftersom f(0) = 0 innebär detta att f(a/b) <> 0 om n <> 2 eftersom 0 < a/b <= 1.

Kjell Elfström


25 januari 2001 19.25.55
Hej! Jag vore väldigt glad om jag kunde få hjälp med följande problem. Med exponenten d(G) av en grupp menas det minsta positiva heltalet s sådant att g^s=e för varje element g tillhör G. Om ett sådant s existerar så säger man att gruppens exponent är ändlig. Visa att varje ändlig grupp har en ändlig exponent. Visa att d(G) delar abs(G) och är lika med den minsta gemensamma multipeln av gruppelementens ordningar.
Therese

Svar:

Om a är ett element av ordning p och s = pq är en multipel av p är det klart att as = (ap)q = 1q = 1. För den minsta gemensamma multipeln d av alla elementens ordningar gäller därför att ad = 1 för alla a. Ett tal s, 0 < s < d, är inte en multipel av ordningen p av minst ett element a. Enligt divisionsalgoritmen är då s = pq + r, där 1 <= r <= p - 1 och vi får as = ar <> 1. Detta visar ett exponenten är lika med den minsta gemensamma multipeln d. Sätt nu s = |G|. Divisionsalgoritmen ger att det finns tal q och r sådana att s = dq + r, 0 <= r < d. Eftersom alla elementens ordningar delar både s och d delar de också r. Eftersom r < d är detta möjligt endast om r = 0, vilket innebär att d delar s.

Kjell Elfström


25 januari 2001 19.15.58
Hej!
Jag hoppas kunna få hjälp med följande problem. Visa att om G är en grupp där varje element är sin egen invers så är G abelsk.Visa genom att bl.a uttnyttja påståendet ovan att det inte finns några icke-abelska grupper med ordning mindre än 6.
Karin

Svar:

Att ett element c är sin egen invers betyder att c2 = 1. Vi får då att abab = 1. Multiplicerar vi likheten med a till vänster och b till höger får vi

ba = 1·ba·1 = aababb = a·1·b = ab.

Grupper av primtalsordning är cykliska och cykliska grupper är abelska. Det följer att grupper av ordningarna 2, 3 och 5 är abelska. En grupp av ordning 1 är självklart abelsk. Vidare är den cykliska gruppen av ordning 4 abelsk. Om en grupp av ordning 4 inte är cyklisk har alla element ordningen 1 eller 2, eftersom elementens ordningar delar gruppens. Detta betyder att a2 = 1 för alla gruppelement a av vilket det ju följer att gruppen är abelsk.

Kjell Elfström


25 januari 2001 16.57.37
Hej,
Jag undrar hur man räknar om en ränte-sats från års ränta till månads ränta eller annan period-längd, t.ex 1 vecka mm.
Vänliga Hälsningar från Mats Ragnarsson
Mats Ragnarsson

Svar:

Antag att vi har ett kapital K på banken vid årets början och att årsräntesatsen är r (r = 0,1 betyder t ex 10%). Då kommer kapitalet vid årets slut att vara (1 + r)K. Antag nu att räntan i stället läggs till kapitalet n gånger om året och ränta betalas på den insatta räntan. Om den periodiska räntesatsen är s kommer kapitalet att vara (1 + s)nK vid årets slut. Skall kapitalet vid de båda metoderna vara lika skall (1 + s)n = 1 + r, vilket är ekvivalent med att s = (1 + r)1/n - 1.

Kjell Elfström


25 januari 2001 14.59.43
ENERGI: Vilket fõrhållande gãller mellan (natur) hãstkrafter till kilowatt timmar? - ta gãrna med andra mått fõr energi
Elisabet Rosendal

Svar:

En hästkraft är ett mått på effekt. En hästkraft är 735,49875 watt.

Kjell Elfström


25 januari 2001 13.36.28
Hej, jag undrar vilken mattefråga som ni har fått och som har varit lösbar anser ni har varit svårast att lösa? mvh Magnus

Svar:

Det är svårt att säga så här i efterhand, men problem som ibland tar mycket tid i anspråk är vissa knep- och knåpproblem och sådana vill vi ju helst inte få. Du kan söka efter alexi eller klöjm på vår söksida för några smakprov.

Kjell Elfström


25 januari 2001 10.14.08
kan ni besvara fågan, vad är matematik?
zinho

Svar:

Jag citerar Nationalencyklopedin: En abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling.

Kjell Elfström


25 januari 2001 09.39.52
Hej! Tack för en intressant sida! Stötte på ett problem med en mus som knallar runt i en ost. Så här löd problemet:
Suppose 27 identical cubical chunks of cheese are piled together to form a cubical stack. What is the maximum number of these cheese chunks through which a mouse of negligible size could munch before exiting the stack, assuming that the mouse always travels along the grid of 27 straight lines that pass through the centers of the chunks parallel or perpendicular to their sides, always makes a 90 degree turn at the center of each chunk it enters, and never enters any chunk more than once?
Hur tusan skall man matematiskt tackla detta problem?
Jonas

Svar:

Se 9 december 1998 15.36.14.

Kjell Elfström


25 januari 2001 00.17.58
Spelet Nim går ut på att från ett antal högar med t.ex. stenar turas om att ta ett godtyckligt antal stenar från en hög i taget. Den som tar sista stenen har förlorat. För detta spel finns en vinnande strategi som bygger på att man uttrycker antalet stenar i varje hög med binära tal. Antalet högar och antalet stenar i varje hög är godtyckligt och man kan även spela så att den som tar sista stenen vinner. En vanlig startkombination är att lägga upp 4 högar med 1, 3, 5 resp 7 stenar. Denna situation är "säker" för den som inte börjar.
Jag har sedan stött på ett spel som bygger på samma grundidé men där 16 stenar är arrangerade i en 4 x 4 matris och man får ta stenar från samma rad eller kolumn men bara om de fortfarande hänger ihop (om motståndaren tar alla stenar i rad 3 kan du inte längre ta alla stenar i någon kolumn eftersom alla kolumner nu är "brutna". Jag har på nätet aldrig sett att detta spel som verkar gå under benämningen "tac-tics" tillåter diagonala drag men jag har dock själv spelat denna variant.
Mina frågor är nu:
1) finns det vinnande strategier för detta spel - med eller utan diagonaldrag?
2) finns det andra namn på spelet?
Observera att jag redan har analyserat spelet ganska långt med avseende på "tumregler" - fråga 1 gäller inte tumregler utan generella strategier.
Jonas Hall

Svar:

Jag har tyvärr inte sett någon analys av tac-tics.

Kjell Elfström


25 januari 2001 00.16.11
Hur blir man doktor i ett ämne t.ex. mattematik och vad får man ut av det?
Daniel

Svar:

Genom att läsa forskarkurser och skriva en avhandling i ämnet i fråga. Avhandlingen måste godkännas vid en disputation. Ett krav för att bli lektor i ett ämne vid ett universitet är att man doktorerat i ämnet. Doktorsgraden är också meriterande när man söker arbete vid många andra arbetsplatser.

Kjell Elfström


24 januari 2001 23.51.57
Om en treangels are är 28cm2 och basen är (x+3) och höjden är (x+2) Vad är då x? MAn ser ganska snabbt att x=5 men hur ställer man upp det med en ekvation hela vägen så att man kan få svaret x=5 utan att använda andra gradens ekuation.
Richard R

Svar:

Det är väl naturligast att ställa upp en andragradsekvation.

(x + 3)(x + 2)/2 = 28 <==> x2 + 5x = 50.

Denna är ju lätt att lösa.

Kjell Elfström


24 januari 2001 17.14.59
Hej! Jag har ett problem med arctan. Det är en formel som jag har hittat i Excel som jag har problem med. I Excel så finns det en variant av arctan som heter arctan2, den visar vinkeln av linjen som går igenom origo och punkten x,y. Den bör jag kunna göra om till arctan y/x. Syntaxen är ARCTAN(x;y)
Mitt problem är att formeln som finns i Excel ser ut så här.
ARCTAN2(((x1*60)-(x2*60));(((y1*60)-(y2*60))*(COS(((x1+x2)/2)*PI/180))))*180/PI+180) Den används för att ta ut vinkel mellan 2 platser
där
x1 är latitud och y1 är longitud för startpunkten
x2 är latitud och y2 är longitud för slutpunkten.
När jag försöker göra om den till arctan så vill den inte fungera. Jag vore tacksam om ni kunde hjälpa mig.
Daniel

Svar:

Den sista parentesen skall tas bort. Dessutom är arctan2(x,y) bara lika med arctan(y/x) då x > 0. Då x < 0 och y < 0 är arctan2(x,y) = arctan(y/x) - Pi och då x < 0 och y >= 0 är arctan2(x,y) = arctan(y/x) + Pi. Då x = 0 är arctan2(x,y) = Pi/2 eller -Pi/2 beroende på om y > 0 eller < 0. Du får göra en fall-definierad funktion utifrån den du har och lägga till eller dra ifrån 180 om x1 < x2.

Kjell Elfström


24 januari 2001 16.56.44
Hej, jag har ett problem... Jag vill konstruera en regelbunden 17-hörning, men har inte hittat någon metod (utan gradskiva)som är så pass exakt att den funkar på riktigt stora 17 hörningar. Tacksam för svar.
Mårten

Svar:

Se Constructing the Heptadecagon.

Kjell Elfström


24 januari 2001 10.43.40
om man har 90 svarta och 10 vita bollar, och skall välja 6 av dessa kan ju dessa väljas på (n över k) olika antal sätt, dvs n! / (k! * ((n-k)!)) = 100!/(6!*94!) = 1.192.052.400 men hur räknar man ut chansen att ett 6-val innehåller exakt en vit? 2 vita? etc mvh
JAC

Svar:

Dina funderingar antyder att man väljer 6 bollar utan återläggning, dvs man lägger inte tillbaka bollarna innan man tar nästa. Antag att det finns s svarta och v vita bollar så att det totala antalet är n = s + v. Antag att vi skall dra k bollar. Då är antalet möjliga utfall (nk) = n!/(k!(n - k)!) precis som du skriver. Vilken är sannolikheten då att vi drar m vita bollar. Vi förutsätter naturligtvis att m <= k och m <= v ty annars är ju sannolikheten 0. Att dra m vita innebär att vi måste dra k - m svarta. De vita kan dras på (vm) och de svarta på (sk - m) sätt. Antalet gynnsamma utfall är därför (vm)(sk - m).

Kjell Elfström


24 januari 2001 10.29.37
Hej! Jag har ingen matematisk fråga, men jag vill veta om någon vet var jag kan hitta en bra bild på en Räknesticka som jag ska ha i mitt specialarbete?

Martin (smoother_1982@hotmail.com)

Svar:

Se t ex Slide Rule Page.

Kjell Elfström


24 januari 2001 08.57.42
HELP!!! Ge ett exempel på två kurvor, som både skär och vidrör varandra i samma punkt!

Svar:

Att två kurvor skär varandra innebär bara att de har minst en punkt gemensam, de behöver alltså inte skära igenom varandra. Vi skall alltså bestämma kurvorna så de tangerar varandra i en punkt. Eftersom räta linjer också är kurvor behöver man bara ta en deriverbar kurva och dess tangent i vilken punkt som helst. y = x2 och y = 0 tangerar varandra i origo. Vill man inte göra det så lätt för sig kan man låta den andra kurvan vara en icke-lineär kurva med samma tangent i origo, t ex y = -x2.

Kjell Elfström


24 januari 2001 08.56.00
I vilken vinkel skär parablerna y=x^2 och y=x^2-x+1 varandra? Hur löser man detta? Har ni nåfra goda idèer?
Matthias

Svar:

Genom att sätta uttrycken lika får vi att skärningspunkten är x = 1. Beräkna sedan vinklarna a och b mellan x-axeln och var och en av tangenterna till kurvorna i skärningspunkten. Rita figur! Den sökta vinkeln är a - b. Deriverar vi uttrycken får vi att riktningskoefficienterna för tangenterna är 2 och 1. Vinklarna ges därför av tan a = 2, tan b = 1. Då är a = arctan 2 och b = Pi/4.

Kjell Elfström


24 januari 2001 07.52.19
Funktionen f är överallderiverbar. Dess graf går via origo. Dess derivata är i varje punkt x
a)X
b)2-X.
Rita grafen. Jag vet att problemet kan lösas med integralkalkyl. Vi behandlar tangenter till kurvor. Därför undrar jag hur man löser denna uppgift med hjäp av tangenter. Kan ni hjälpa mig? Tack på förhand
Jonas

Svar:

I a) är funktionen f en primitiv funktion till x,

integral x dx = x2/2 + C.

Att grafen går genom origo innebär att f(0) = 0, vilket ger att

02/2 + C = 0 ==> C = 0.

Vi får alltså att f(x) = x2/2. Nu klarar du b) själv.

Kjell Elfström


23 januari 2001 20.54.03
bestäm talne a, b, c och d så att matriserna A B blir diagonaliserbara
A= 0  b  3   B= d  0
   2 -5  1      2  1
   c  a  2
Betrakta den linjära avbildning som ges av matrisen
 A= 5  2 -4
    2  8  2
   -4  2  5
bestäm avbildningens matris i sin egenbas och tolka resultatet geometriskt
dessa uppgifter skulle jag bli glad om jag fick hjälp med tack på förhand
å

Svar:

Den första uppgiften tolkar jag som att man skall finna värden på a, b och c så att A blir diagonaliserbar, inte bestämma alla möjliga sådana värden. a = 1, b = 2 och c = 3 duger eftersom A är symmetrisk för dessa värden.

I den andra uppgiften går det inte att bestämma d så att B blir symmetrisk. Egenvärdena är d och 1 och om d <> 1 är B diagonaliserbar eftersom egenvektorer som hör till olika egenvärden är lineärt oberoende. Om d = 1 är matrisen däremot inte diagonaliserbar. Då är alla egenvektorer som hör till det enda egenvärdet parallella med vektorn (0,1).

I den sista uppgiften är egenvärdena 9 (dubbelt) och 0. Egenvektorerna som hör till 9 genereras av e1 = (0,2,1) och e2 = (1,2,0). Egenvektorerna hörande till 0 genereras av e3 = (2,-1,2). Den senare är ortogonal mot de förra (som vi kunde förvänta oss eftersom matrisen är symmetrisk). En vektor x1e1 + x2e2 + x3e3 avbildas på 9x1e1 + 9x2e2 så avbildningen är ortogonal projektion på planet som genereras av e1 och e2 åtföljd av förstoring med faktorn 9. Matrisen för avbildningen i egenvektorbasen är en diagonalmatris med diagonalelementen 9,9,0.

Kjell Elfström


23 januari 2001 19.24.57
Hej!
Jag undrar hur man ska få fram hur stor sannolikhet det är att få alla kort i samma färg om man drar 5 kort ur en kortlek, det kan ju inte bli samma resultat som om man söker sannolikheten om 1 viss färg. Här spelar inte färgen någon roll utan att det ska bli 5 i samma färg. snälla min hjärna har lagt av nu.....
Marie

Svar:

Antalet möjliga utfall är m = (525). Vi räknar nu på hur många sätt vi kan få endast klöver. Det finns 13 klöver och vi skall välja ut 5. Antalet är alltså (135). Eftersom det finns fyra färger blir antalet gynnsamma utfall g = 4 (135). Sannolikheten är nu g/m.

Kjell Elfström


23 januari 2001 17.23.08
Hej jag har en uppgift ni kanske kan hjälpa mig med.
L = operator.
Visa att:
L = 4*d^4/dx^4 + 2*d^4/dy^4 + d^4/dz^4 - 4*d^4/dx^3dy + 2*d^4/dxdydz^3 , (x,y,z) tillhör R^3
är elliptiskt.
Tacksam för ett svar
Henrik

Svar:

Kvadratkomplettera.

4x4 + 2y4 + z4 - 4x3y + 2xyz2
   = (z2 + xy)2 + (3/2)(x2 - y2)2 + 2 (xy - x2)2 + (1/2)x4 + (1/2)y4.

Detta uttryck är noll bara då x = y = z = 0.

Kjell Elfström


23 januari 2001 17.17.54
Hej ! Jag har en fråga som kanske inte hör hemma här men jag provar ändå. Jag vill visa att Maxwell-ekvationerna:
dE/dt = (nablaoperatorn)xB
dB/dt = -(nablaoperatorn)xE
bildar ett symmetriskt hyperboliskt system.
där d=partiell derivatan och x=kryssprodukten.
har ingen aning hur jag kommer vidare. Jag vill skriva om ekvationerna till ett system och sedan visa att detta system är positivt definit vilket innebär att systemet är symetriskt hyperboliskt.
Lars

Svar:

Se CGPG Relativity Seminar Series, Fall 1998.

Kjell Elfström


23 januari 2001 16.48.02
Vilka är dom tre trillingtalen. Det finns tre tal som ger samma resultat när man addera dem som när man multiplicera dem?
Nicholas Kjellner

Svar:

1, 2 och 3 är tre sådana tal.

Kjell Elfström


23 januari 2001 09.40.50
Renheten i guld mäts i karat, där 24 karat motsvarar 100% guld. Antag att du har 300g guld av halten 14 karat. Hur mycket rent guld ska du tillsätta för att guldhalten ska stiga till 18 karet? Snälla hjälp mig med denna.
Karin

Svar:

Mängden rent guld är från början (14/24)·300 g = 175 g. Tillsätter man x gram rent guld får man 175 + x gram rent guld. Samtidigt får man ju 300 + x gram av blandningen. Du skall alltså lösa ekvationen

175 + x = (18/24)(300 + x).

Kjell Elfström


22 januari 2001 21.54.10
Tjena! Jag undrar om Ni skulle vilja hjälpa mig med följande tal: Visa att z^2=k*1/z, där k är reellt, om z=1-roten av 3i. Bestäm k. M V H Tord
Tord Isaksson

Svar:

Efter räkningarna

z2 = (1 - 31/2i)2 = 1 - 3 - 2·31/2i = -2(1 + 31/2i)

och

1/z = 1/(1 - 31/2i) = (1 + 31/2i)/((1 - 31/2i)(1 + 31/2i)) = (1 + 31/2i)/4

bör du klara det själv.

Kjell Elfström


22 januari 2001 18.37.37
Jag skulle bli tacksam för några exempel på problem där jag kan använda mig av medelvärdessatsen för lösning. (Matte E nivå)
Sara

Svar:

Låt f vara en funktion som är definierad och deriverbar i ett intervall I. Då följer t ex följande påståenden av medelvärdessatsen:

Om f '(x) = 0 då x tillhör I så är f konstant i I,
om f '(x) > 0 då x tillhör I så är f strängt växande i I,
om f '(x) < 0 då x tillhör I så är f strängt avtagande i I.

Vi bevisar det första. Låt a vara ett fixt tal i I. Om b är ett annat tal i I så är f kontinuerlig i det slutna intervallet med ändpunkter a och b och deriverbar i motsvarande öppna intervall. (f är ju enligt förutsättningarna deriverbar i det slutna intervallet och deriverbara funktioner är ju kontinuerliga.) Enligt medelvärdessatsen finns därför ett tal c mellan a och b, sådant att

f(b) - f(a) = f '(c)(b - a).

Enligt förutsättningarna är f '(c) = 0 varav det följer att f(b) = f(a).

Det är oftast på detta indirekta sätt som satsen används. Jag kan demonstrera hur satsen används direkt för att visa att ex >= x + 1. Sätt f(x) =  ex - x - 1. Då är f '(x) = ex - 1. Av medelvärdessatsen följer att det finns ett tal c mellan 0 och x sådant att

f(x) = f(x) - f(0) = f '(c)(x - 0) = f '(c)x = (ec - 1)x.

Här är högerledet alltid större än eller lika med 0. Om x = 0 är detta självklart. Är x > 0 är ec > 1 och om x < 0 är ec < 1. Vi får alltså att f(x) >= 0 för alla x, vilket skulle bevisas. Men även påståenden som detta bevisas enklast med följdsatserna. Det följer ju av dem att f är strängt avtagande då x < 0 och strängt växande då x > 0, varför f(x) >= f(0) = 0.

Kjell Elfström


22 januari 2001 18.16.26
Hej!
Jag vet att det finns oändligt många olika storlekar på oändligheten. Som exempel är de reella talen fler än heltalen. Antag nu att vi tilldelar varje storlek på oändligheten ett namn. Låt nu X={x:x namn på oändligheten} Men min fråga är: Hur stor är mängden X? Är denna mängd större än R, eller lika stor? Vet ni någon matematikbok som svarar på denna fråga?
Tack på förhand!
Anders Carlsson

Svar:

Om sådana saker kan man läsa i de flesta böcker om mängdlära, t ex Vaught: Set Theory, an Introduction, Birkhäuser.

I själva verket kan man inte bilda mängder hur som helst. T ex finns det ingen mängd som består av alla mängder, åtminstone inte i de vanligaste axiomatiseringarna av mängdläran. Enligt axiomen kan man nämligen alltid bilda mängden av alla element i en given mängd som gör ett visst påstående sant. Om det finns en mängd A av alla mängder så kan man enligt dessa axiom bilda mängden B av alla mängder (i A) som inte tillhör sig själva. Om B inte tillhör B så tillhör B inte sig själv, alltså gäller det att B tillhör B. Om B tillhör B så får vi på samma sätt att B inte tillhör B. Antar vi att det finns en sådan mängd A får vi alltså motsägelsen att det finns en mängd B som är sådan att B tillhör B om och endast om B inte tillhör B.

Det kan inte heller finnas någon sådan mängd X som du anger. Det är nämligen så att mängden av alla kardinaltal som är mindre än ett givet kardinaltal k har just kardinaltalet k. Om K är kardinaltalet för X måste alltså X >= k för alla kardinaltal k. Men mängden av alla delmängder till X, som existerar om X existerar, har ett större kardinaltal än X. Vi får alltså en motsägelse.

Kjell Elfström


22 januari 2001 16.02.42
Ett problem jag undrar om man kan lösa genom någon matematisk modell´. Det är en kvadrat med 16 siffror vars summan ska bli 34 horisontel, diagonalt och vertikalt. Se fig nedan!
          
             1   2  3  4  
             5   6  7  8
             9  10 11 12
             13 14 15 16

Erik Bengtsson

Svar:

Se How to Construct Magic Squares.

Kjell Elfström


22 januari 2001 15.00.33
Hejsan, jag vill börja med att berömma eran sida! Jättekul att man har någon att vända sig till om man skulle få problem med matten, (vilket jag nu har). Jag tittade på svaren till hur man bevisar Herons formel. (31 januari 1997 12.32.10 och 23 november 2000 17.22.12 ). Här visas två olika eller egentligen lika metoder att utföra detta bevis på. I ena metoden är höjden h^2=b^2-x^2 = c^2-(a-x)^2. Efter satt dessa uttryck = med varandra och förenklat får 2ax=a^2+b^2-c^2. Om man gör på samma sätt fast där h^2 istället = b^2-(a/2+x)^2 = c^2-(a/2-x)^2, får man 2ax=b^2-c^2.. a^2 finns alltså inte med här. Hur kommer det sig? nästa fråga: Om man fortsätter enligt svaret till (23 november 2000 17.22.12) så skriver du "direkt uträkning ger nu att T^2 = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16. Hur får du det i från. Ersatte du h^2 i (ah/2)^2 med h^2=b^2/2+c^2/2-a^2/2-2x^2/2 eller? Förklara annars hur du gjort. Sista frågan: I svaret till (31 januari 1997 12.32.10) skriver Martin Svensson "Man kan sedan skriva 16A^2=15(ah/2)^2=4a^2(b^2-x^2)=(2ab-2ax)(2ab+2ax). Subsiturera nu uttrycket för 2ax och fortsätt förenkla genom att åter använda konjugatregeln". Vad får han/du? uttrycket ovan i från? hur kan man veta att man ska gå till väga på det sättet, helt oklart för mig.
Hoppas jag inte vart till för mycket besvär.
Daniel.

Svar:

I 7 december 2000 22.10.36 redovisas hur den direkta uträkningen går till. Ofta vet man naturligtvis hur man skall gå till väga genom att man sett beviset eller sett beviset av ett liknande påstående. Ibland kommer man på något själv men även då är matematisk erfarenhet värdefull. Ibland står man naturligtvis alldeles handfallen!

Kjell Elfström


20 januari 2001 15.34.37
Hej! Jag undrar hur tangenssatsen härleds.
My

Svar:

Låt a och b vara två sidor i en triangel och A och B dessa sidors motstående vinklar. Då säger tangenssatsen att

(a - b)tan((A + B)/2) = (a + b)tan((A - B)/2).

Genom att flytta över termer får vi det ekvivalenta påståendet

a(tan((A + B)/2) - tan((A - B)/2)) = b(tan((A + B)/2) - tan((A + B)/2)).

Skriver vi nu om tan((A + B)/2) - tan((A - B)/2) genom att skriva om båda termerna med hjälp av definitionen tan c = (sin c)/(cos c) och sedan göra liknämnigt får vi ett uttryck där täljaren är

cos((A - B)/2) sin((A + B)/2) - cos((A + B)/2) sin((A - B)/2)
  = sin((A + B)/2 - (A - B)/2)
  = sin B.

Skriver vi om det trigonometriska uttrycket i högerledet på samma sätt får vi ett uttryck med samma nämnare och med täljaren sin A. Likheten är alltså ekvivalent med

a sin B = b sin A,

som följer av sinussatsen.

Kjell Elfström


20 januari 2001 10.07.00
Om varje sida på en kub målas röd, blå eller gul. Hur många distinkta färgmönster är det då möjligt att erhålla?
Urban

Svar:

Vi börjar med att dela in de olika målade kuberna i kategorier efter hur många sidor som är målade i färgerna: 6, 5+1, 4+2, 4+1+1, 3+3, 3+2+1, 2+2+2. 6 betyder att alla sidorna är målade med samma färg, men vi vet inte vilken färgen är. 5+1 betyder att 5 sidor är målade i en färg och 1 sida i en annan osv. Är färgen bestämd i kategori 6 finns bara en möjlig kub. Eftersom det finns 3 färger finns 3 kuber i kategori 6. Är 5 sidor målade i en viss färg och 1 sida i en viss av de andra finns också bara en möjlig kub. Det finns 3·2 = 6 möjligheter att bestämma färgerna. Alltså finns det 6 kuber i kategori 5+1. Är färgerna bestämda i kategori 4+2 finns bara 2 kuber, den med 2-färgen på motstående sidor och den som inte har det. Även här finns det 6 möjligheter att bestämma färgerna. Det finns 2·6 = 12 kuber i kategori 4+2. I de resterande fyra kategorierna finns det 6, 6, 18 resp. 4 kuber. Totalt 55 möjliga kuber.

Kjell Elfström


19 januari 2001 23.57.53
hej, jag har lite frågor om tal. Vad är ett rationellt tal, primtal, hel tal, och vad är skillnaden mellan ett komplext och ett imaginert tal.
Gustav Andersson

Svar:

Ett heltal är något av talen ...,-2,-1,0,1,2,... Ett primtal är ett heltal p större än 1 som bara delas av ±1 och ±p. De första tio primtalen är 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29. Ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas som en kvot a/b där både a och b är heltal, b <>0. Exempel på rationella tal är 2/3, 5/7 och 7. Det sista som är ett heltal är också rationellt eftersom 7 = 7/1. Talen 21/2, e och Pi är däremot inte rationella. Man kan nämligen bevisa att det inte går att skriva dem som kvoter mellan heltal. Ett komplext tal är ett tal a + bi, där a och b är reella tal och i den imaginära enheten. Ett reellt tal a = a + 0·i är också komplext. De komplexa tal som inte är reella kallas imaginära, t ex 1 + i. Tal på formen bi, där b <> 0 kallas rent imaginära.

Kjell Elfström


19 januari 2001 21.58.23
Hur integreras funktionen f(x)=(a+x^2)^(1/2) ?
Rainer

Svar:

Om b > 0 överför variabelbytet (bx2 + 2cx + d)1/2 = t ± xb1/2 integralen av f(x,(bx2 + 2cx + d)1/2), där f är en rationell funktion av två variabler, på en integral med rationell integrand. Detta skulle kunna användas direkt på integralen i frågan men enklare är nog att först bestämma integralen av 1/(a + x2)1/2 på detta sätt. Sätt t = x + (a + x2)1/2. Då blir x = (t2 - a)/(2t), varför dx = (t2 + a)/(2t2). Vi får (a + x2)1/2 = t - x = (t2 + a)/(2t) så

integral dx/(a + x2)1/2 = integral dt/t = ln t + C = ln(x + (a + x2)1/2) + C.

Genom att integrera partiellt får vi, om I är den sökta integralen, att

I = integral 1·(a + x2)1/2dx = x(a + x2)1/2 - integral x2/(a + x2)1/2 dx
= x(a + x2)1/2 - integral (a + x2)/(a + x2)1/2 dx + integral a/(a + x2)1/2 dx
= x(a + x2)1/2 - I + a ln(x + (a + x2)1/2)

Härur kan vi lösa ut I och få

I = (1/2)(x(a + x2)1/2 + a ln(x + (a + x2)1/2)) + C.

Kjell Elfström


19811 frågor av sammanlagt 20251 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Logisk operator

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)