Fråga Lund om matematik

Sökresultat


25 mars 2001 12.48.39
Hur räknar man ut omkretsen på en cirkel ? Om ekvatorn är 3 meter, hur mycket är omkretsen, var det nångting med 13,4 eller 2 grekisk p, Pappa mins inte den...
Cathrine

Svar:

Om diametern är d så är omkretsen Pi*d, där talet Pi = 3.14... egentligen skall skrivas med den grekiska bokstaven (lilla) pi. Om man i stället använder radien r, dvs halva diametern, så blir omkretsen 2Pi*r. Cirkelns area, däremot, är Pi*r2. Nu kan du passa på att friska upp minnet hos din pappa också...

Joakim Petersson


24 mars 2001 14.36.57
Vad menas med en C 1, C 2, C 3 - funktion ???
Elisabeth E

Svar:

Att en reell funktion f:D->R är Ck betyder att (de partiella) derivatorna av ordning till och med k är kontinuerliga funktioner i D, där D är en öppen del av Rm (f är en funktion av m reella variabler). Till exempel är 1 en derivata av tredje ordningen av xyz (en derivation med avseende på x följd av en med avseende på y och en med avseende på z). Detta beteckningssätt finns också i samband med funktioner mellan andra rum, i de fall då derivator kan definieras. Om f har denna egenskap för varje k = 1,2,.., så kallas f oändligt deriverbar.

Joakim Petersson


24 mars 2001 11.08.48
hej! 1. Det sägs, att om man låser in ett oändligt antal apor med var sin skrivmaskin, och låter de stackars djuren hamra på måfå på tangenterna, så skulle de snart ha skrivit Shakespeares samlade verk. Hurvida det hela bara var ett tankeexperiment, eller någon verkligen misstänkte Shakespeare för att hysa ett oändligt antal apor i en skrubb någonstans får vi väl aldrig veta, men tanken som sådan är ju intressant. Om vi antar att " Macbeth" har 83 sidor, vardera på 1000 tecken, och det engelska språket har 65 tecken (inklusive små och stora bokstäver, mellanslag, kommatecken etc.), hur många olika "Macbeth-försök" skulle då aporna kunna skriva? 2. En liten kannibalstam på Papua Nya Guinea har en något udda offerceremoni, som utförs när gudarna behöver blidkas, vilket brukar bli någon gång i månaden eller så. Den går till så här: Fem av männen i byn smörjs in med symaskinsolja, och rullas därefter i kalaspuffar. Därefter jagas de utför ett stup av nio män utklädda till Abraham Lincoln. På hur många sätt kan fem offer och nio " offrare " väljas, om stammen består av 85 personer före ceremonien, varav 33 är kvinnor, och 16 är barn?
Nisse

Svar:

1. Låt mig protestera när det gäller uttrycket "ett oändligt antal apor". Det bör vara "ett mycket stort antal apor" ( när jag först träffade på exemplet med apor som skriver på skrivmaskiner så rörde det sig om en ensam apa, som dock hade obegränsat med tid till sitt förfogande). En text med ett tecken kan författas på 65 olika sätt om det finns 65 olika tecken att välja mellan, en text med två tecken på 65*65 olika sätt osv. Alltså finns det 6583000 sådana texter av Macbethstorlek. Svaret på din fråga är ett tal med 150472 siffror. 2. En bisarr samhällsordning, tur att det inte är på riktigt... Det finns tydligen 36 män. Man kan dela upp valet i två: först väljs 14 av 36 ut och sedan 5 av 14. Antalet kombinationsmöjligheter är C(36,14)*C(14,5) = 36!/(5!*9!*22!) = 7 600 186 994 400.

Joakim Petersson


24 mars 2001 09.15.38
Hej! 1. på "Lotto" dras sju nummer mellan 1 och 35. Hur många lottokombinationer finns det?
Nisse.

Svar:

Antalet kombinationer skrivs C(35,7) eller som binomialkoefficienten "35 över 7". Detta antal är 35*34*...*29/(7*6*...*1) = 6 724 520. Man kan tänka så här: den första kulan kan dras på 35 sätt, den andra på 34 sätt (eftersom en saknas) osv. Den 7:e kulan kan dras på 35-6 = 29 sätt. Samma kombination har nu räknats flera gånger, närmare bestämt 7*6*...*1 gånger, vilket är antalet sätt att ordna 7 element (det första kan väljas på 7 sätt osv).

Joakim Petersson


24 mars 2001 09.00.53
Jag har räknat ut gravitationskraften mellan jorden och mars med hjälp av Newtons gravitationslag. Kan detta vara rätt att kraften är 1078076159504794862109,65584839524 N. Jag har tagit massa*massa/avstånd2
Kim

Svar:

Du får rätt värde på kraften ur formeln F = G*m*m'/d2, där G är gravitationskonstanten. G = (6.672±0.004)*10-11 Nm2/kg2.

Joakim Petersson


23 mars 2001 22.32.45
Hej, matematiker! I ett inlägg den 11 december 1998 efterfrågas hur man räknar ut längden av en sinusbåge. Ni svarade med en integral och nöjde er med att säga att den inte går att lösa exakt. Men hur tusan integrerar man roten ur (1+(f'(x))²)? D v s, vad blir ett approximativt värde av båglängden för exempelvis sin x? Med vänliga hälsningar
Bjoern Holmgren

Svar:

Såvida man inte har något annat sätt att uttrycka integralen som lämpar sig mer för beräkning, får man tillgripa någon numerisk integrationsmetod. Exempel på sådana är trapetsregeln och Simpsons formel. Jag kan få närmevärden till integraler med Maple, ett matematikprogram. Om vi tex tar båglängden L av kurvan sin x mellan 0 och Pi/2 så ger Maple värdet L = 1.910. Ibland, som i detta exempel, kan man också använda serieutvecklingar. Vi får en snabbt konvergerande numerisk serie för L genom att skriva integranden som sqrt(2)*sqrt(1-0.5sin2x), utveckla i potenser av sin x och integrera termvis över (0,Pi/2).

Joakim Petersson


21 mars 2001 14.47.31
Hur förklara man lätt för en högstadieelev vad derivata är och varför man behöver det?
Johanna Svensson

Svar:

Jag trodde inte att derivator (som ju räknas till den sk "högre matematiken") ingick i kursplanen på högstadiet. Det kanske de inte gör, situationen kan ju uppkomma ändå. Det bästa, tror jag, är om man slipper svara på den tråkiga frågan "varför man behöver det", genom att sikta in sig på alla de möjligheter som finns att få ämnet att verka spännande (vore säkert ingen match i en mellanstadieklass).

Joakim Petersson


20 mars 2001 22.25.05
Hej. Jag undrar om det finns en formel som man kan använda istället för Sinus. Och den skall gälla för alla vinklar mellan 0 till 90. Jag vet att sinus för en vinkel är lika med motstående katet delat på hypotenusan, men hur får man reda på förhållandet mellan dessa sidor om man bara vet vinkeln och inte vill använda sig av sinus eller liknade funktioner. Tex hur gör miniräknaren när man skriver in Sin(31.45978).
Claes

Svar:

Eftersom förhållandet ges av sinusfunktionen så är det teorin för den och andra trigonometriska funktioner som man använder vad man än väljer att kalla dem. Rent matematiskt är det en fördel att mäta vinklar i radianer (en grad motsvarar Pi/180 = 0.01745... radianer). I den matematiska analysen visas hur de trigonometriska funktionerna (och andra) kan approximeras med polynom av låg grad (eller rationella funktioner, dvs kvoter mellan polynom) så att felet man gör kan hållas under kontroll, åtminstone i något intervall. Trigonometriska formler kan sedan användas för att beräkna funktionsvärden utanför detta intervall. Det finns också helt andra metoder för funktionsberäkning, tex sådana som bygger på iteration i någon form.

Joakim Petersson


20 mars 2001 21.18.23
finns det några regler för hur man får en primitiv funktion till 1. sin^n x 2. cos^n x 3. tan^n x
jens

Svar:

1. Skriv sinnx = sinn-2x*(1-cos2x). Integrera sedan partiellt med cos x som faktorn som skall deriveras. Efter lite uträkningar har problemet reducerats till att beräkna en primitiv funktion till sinn-2x. Man kan fortsätta på samma sätt: den primitiva funktionen beräknas rekursivt.
2. Låt cos x och sin x byta roller i 1.
3. Skriv tannx = sinn-1x*sin x/cosnx. Integrera partiellt med sinn-1x som faktorn som skall deriveras. På liknande sätt som i 1. reduceras problemet därigenom till att beräkna en primitiv funktion till tann-2x.

Joakim Petersson


20 mars 2001 19.21.36
Hur beräknar man arean på en oval?
Oskar Andersson

Svar:

Med oval förutsätter jag att du menar ellips. Det finns naturligtvis andra kurvor än ellipserna som har oval form. Ellipsen bestäms av halva storaxelns längd a och halva lillaxelns längd b. I ett visst koordinatsystem har ellipsen ekvationen x2/a2+y2/b2 = 1. Men A = 4b*Int0a sqrt(1-x2/a2) dx = 4ab*Int01 sqrt(1-u2) du = Pi*ab, eftersom den sista integralen är arean av enhetscirkeln.

Joakim Petersson


20 mars 2001 18.46.05
Ingen fråga men ett tillägg till frågan 16 mars 2001 04.01.56: Jag har svårt att låta bli att lägga mig i när ekvationen x^2 = 2^x kommer på tal. Det är säkert sant att det inte finns något enkelt, exakt uttryck för den negativa lösningen men ett mer komplicerat finns, dock inte värre än en relativt enkel potensserie. Den negativa lösningen är exakt lika med -(2/(ln 2))* summa(k=1,...,+inf) [(1/k!)*(-k)^(k-1)*((ln 2)/2)^k] = = -1 + (ln 2)/2 - ... (appr -0,76666469) Detta kan visas mha Lagranges inversionsformel och kan också uttryckas mha Lamberts W-funktion.
Bengt Månsson, Partille

Svar:

Tack för tillägget. Den negativa lösningen uppfyller x = - exln2/2. Vi låter a = ln2/2, så att x/eax = - 1. Lagranges inversionsformel innebär att ekvationen x/f(x) = w, där f(0)<>0 för tillräckligt små w har en entydig lösning x i en tillräckligt liten omgivning av 0 och att x = Sumk=1inf ckwk för dessa w, där ck = 1/k!*{(d/dx)(k-1)f(x)k}x = 0. I vårt fall är f(x) = eax, varav ck = (ak)k-1. Sätter vi w = - 1 (som är tillåtet) får vi serien ovan.

Joakim Petersson


20 mars 2001 18.05.44
Av en ren slump hittade jag ett svar i "Frågor och svar juli-september 1997" 26 september 1997 18.00.30 på frågan varför två negativa tal (-2)*(-5) blev positivt. Jag hängde med hela biten ända till -(-(ba)) = ba. Jag uppfattar att detta är det som frågeställaren frågade efter nämligen varför - * - blir +. Hur ska man annars tolka: -(-...) = -1*(-...) Jag har skapat en egen förklaring: Min egen förklaring är följande. Leta ett tal vars kvadrat blir 1. Lösningen x^2=1 <=>0=x^2-1 <=>0 =(x+1)*(x-1) ger att x =-1 (men även och x= 1) är en lösning och att produkten av två negativa tal är ett positivt tal. Denna lösning innehåller heller ingen explicit multiplikation av två negativa tal. Jag vet att den inte är så formell som din, men håller den även med din formalism?
Per Eriksson

Svar:

Om du hänger upp dig på -(-(ba)) = ba så skall det tolkas som att den additiva inversen till -x är x, vilket inte har med multiplikation att göra. Du har använt distributiva lagen och att x*(-1) = -x för alla x för att visa att det därav följer att (-1)*(-1) = 1 (korrekt). Man kan invända att detta följer direkt genom insättning av x = -1 (om du är med så långt) och att inte (-1)*(-1) = 1 utan vidare argumentering medför att (-a)*(-b) = ab för alla a och b.

Joakim Petersson


20 mars 2001 14.26.42
Vilket pris är det matematiker får? Detta pris är till för att nobellpriset inte delas ut till matematiker.
daunion@godisdead.com

Svar:

Priset kallas Fieldsmedaljen efter instiftaren och delas ut endast vart fjärde år. Nästa gång är år 2002.

Joakim Petersson


20 mars 2001 13.36.05
hva er kvadratroten av 2??
aleksander volenc

Svar:

Det är välkänt att roten ur 2 (den positiva roten till x2 = 2) är ett irrationellt tal. Vidare kan man liksom till varje annat tal komma godtyckligt nära med rationella tal. Intressantare blir det när man approximerar med pn/qn (utan gemensamma delare) så att |pn-qn*sqrt(2)| blir successiva "minimirekord". Dessa tal pn/qn kan visas vara konvergenterna till kedjebråksutvecklingen (av det irrationella talet). Med start i 1/1 ger pn+1 = pn+2qn, qn+1 = pn+qn de bästa rationella approximationerna till sqrt(2). Detta följer av att kedjebråksutvecklingen är [1;2,2,2,2...]. De första talen i serien är 1,3/2,7/5,17/12,41/29 (vilket är nästa?). Märkligt nog är denna följd av approximationer av mycket gammalt ursprung. Man kan säga att svaret på frågan är gränsvärdet av följden (eller rentav följden själv).

Joakim Petersson


20 mars 2001 10.49.20
vem var Euklides och Cartesius
Marika

Svar:

Leta bland länkarna under vår huvudsida för information om dessa giganter från flydda tider.

Joakim Petersson


20 mars 2001 09.44.56
Om en funktion f är kontinuerlig i intervallet [a,b] så är den begränsad där. Hur visas detta ???
Tomas E

Svar:

Det kan göras med intervallhalveringsmetoden enligt följande. Antag att f är obegränsad i [a,b]. Dela intervallet på mitten. I åtminstone ett av delintervallen är f obegränsad. Låt detta (om det går, ta det vänstra) vara [a1,b1]. Fortsätt på samma sätt. En stunds eftertanke visar att an bildar en växande och bn en avtagande följd. Enligt en egenskap hos de reella talen har de båda följderna gränsvärden c respektive d och eftersom längden av intervallen går mot noll så är c = d. Detta leder till en motsägelse. Eftersom f är kontinuerlig i punkten c finns ett intervall (c-t,c+t) där |f(x)|<|f(c)|+1, dvs f är begränsad där. Men från ett visst index ligger alla an och bn i detta intervall (definitionen av gränsvärde). Detta motsäger att f är obegränsad i varje intervall [an,bn] och fullbordar beviset.

Joakim Petersson


19 mars 2001 22.13.45
hur räkanr man ut Det här. 1+1= Det e så viktigt för mig. 7 år gammal
Ebrahim

Svar:

Det viktiga är följden av de tal med olika namn som kommer när man räknar och alltid i samma ordning: 1,2,3,4,... Att räkna ut 1+1 betyder att starta på 1 och räkna framåt 1 steg, alltså hamnar man på 2, som är svaret. 2+3 blir (2->3->4->5) 5. Genom att träna på det här i skolan blir man duktigare och duktigare och det kan vara riktigt roligt också.

Joakim Petersson


19 mars 2001 09.04.21
Hej ! Vilket matematiskt problem är det i dagsläget mest prestige i att lösa (bevisa) nu när fermats stora sats är löst ? Själv tycker jag att frågan om det finns oändligt många primtalstvillingar är intressant, har det gjorts något försök från er i Lund att lösa detta eller något annat av de stora frågorna ?
Johan

Svar:

I stället för att försöka svara på frågorna vill jag nämna apropå primtalstvillingarna (p och p+2 så att båda är primtal) att jag tycker mig minnas att Enrico Bombieri, en av de stora talteoretikerna idag, har sagt att han bara är intresserad av utsagan om primtalstvillingar i den mån satsen (som kallas Goldbachs förmodan) kan visas vara oavgörbar, dvs omöjlig att bevisa (att det finns sådana förstod man efter Gödels verk på 30-talet). Detta kanske säger något om hur omöjligt svårt problemet tycks vara, trots insatser av Vinogradov med flera.

Joakim Petersson


18 mars 2001 22.33.18
man ska tillverka en cistern i form av en rakcylinder så volymen blir 745 kbm. Bestäm cisternens radie så att summan av radien och höjden blir minimerad.
Pål

Svar: Beteckna radien med r och höjden med h. Cisternens volym blir då bottenarean multiplicerat med höjden dvs pi r2 h. Vi vet att volymen är 745 så därur kan vi lösa ut h som h=745/(pi r2). Vi skall nu minimera r+h=r+745/(pi r2)=f(r). I extrempunkter till f är derivatan 0 så vi beräknar f'(r)=1-1490/(pi r3) och ser att f'(r)=0 endast då r=(1490/pi)1/3. Eftersom derivatan är negativ för r nära 0 (och odefinierad i 0) och positiv för stora r ser vi att vår funktion har ett minimum i r=(1490/pi)1/3.

Anna Torstensson


18 mars 2001 01.15.44
Hej! Jag undrar hur datorn arbetar när den genererar slumptal. Jag har förstått att den räknar antal sekunder som har gått sedan midnatt samma dag för att få fram ett utgångsvärde för slumptalsgenereringen. Borde det inte bli samma nummer som genereras varje gång som datorn skall ta fram en serie med t.ex. 10 nummer vid samma tidpunkt varje dag? Vidare undrar jag om det är möjligt att räkna baklänges vid slumptalsgenerering d.v.s. räkna ut vilket utgångsvärde datorn har använt sig av när man har de 10 slumpade numren och när man vet i vilken ordning dessa har genererats. Finns det någon formel för detta? Tacksam för svar
Willy Lejklinth

Svar:  Det finns olika metoder för att generera "slumptal" med dator. I princip fungerar de så att man tar fram ett utgångsvärde (som kallas slumptalsfrö) som verkar vara slumpmässingt men egentligen beror på t ex datorns klocka och signaler från tangentbordet. När man väl genererat fröet skapar man sina "slumptal" genom att applicera någon funktion upprepade gånger. Ett vanligt exempel är f(x)=ax+b (mod m) där a, b och m är lämpligt valda konstanter. I detta fall kan man räkna sig bakåt till utgångsvärdet genom att använda inversen till f (som existerar om man väljer a och m så att de saknar gemensamma faktorer). Vill du läsa mer kan du gå till sidan  Generating Random Numbers .

Anna Torstensson


18 mars 2001 00.50.39
Existerar det något sådant som dubbelfakultet, n!!, trippelfakultet, n!!! etc? Hur definieras de i så fall?
Lasse Berglund

Svar: n!! kallas semifakultet och defineras genom n!!=2*4*6*...*n n är jämnt och n!!=1*3*5*...*n n är udda, dvs multiplikation av varannat tal med början på n. Jag har aldrig stött på n!!! men i analogi med n!! skulle man kunna definiera det som n!!!=n(n-3)(n-6)*...*(n-3k) där man väljer k som det största tal som gör n-3k positivt. T ex 7!!!=7*4*1=28. Sedan kan man naturligtvis fortsätta och definiera n!!!! osv. om man vill...

Anna Torstensson


17 mars 2001 21.31.12
Betrakta en sammansatt funktion f(f(x)) där den yttre och den inre funktionen är den samma. Sätt f(f(x))=x^2+x. Dessutom gäller att f´(f(x))f´(x)=2x+1 och f(0)=0. Tydligen kan f(x), med hjälp av upprepad derivation, utvecklas i en Mac Laurin serie. Hur ser den allmänna termen ut?
Lars Holmström

Svar:  Genom att derivera sambandet fof(x)=x2+x två gånger (där fog betyder sammansättningen av f och g)  kan man lösa ut f'(0) och f''(0) till 1. Om man fortsätter derivera får man ekvationer av typen f(k)of f'k=Gk(f,f', ..., f(k-1),f'of,f''of, ... f(k-1)of) där Gk är ett polynom i 2k-1 variabler. Med induktion kan man visa att detta gäller för varje k>=3.f'(0)=1 och f(0)=0 följer det då med ytterligare en ett induktionsargument att man kan lösa ut f(k)(0) ur detta samband. Detta visar att man kan bestämma f:s Taylorutveckling på detta sätt. Någon allmän formel för Taylorkoefficienterna har jag dock inte lyckats finna. Det är komplicerat att beskriva funktionenerna Gk och därför svårt att hitta ett allmänt uttryck.

Anna Torstensson


17 mars 2001 15.01.05
Hej! Jag har börjat fundera lite på vad som ligger som grund när man kan "se" på ett bråk om täljare och nämnare har någon gemensam faktor som man kan förkorta bråket med. Jag vet att om talet är jämt så kan man förkorta med 2 osv. Men vad jag inte vet är vilken lag/regel eller vilket bevis som på ett lättbegripligt vis visar vilka tal som går att förkorta med vilken siffra. Jag vill veta bakgrunden till delbarhet. EX. Ett jämt tal går att förkorta med 2 Ett tal som slutar på 5 eller 0 går att förkorta med 5 Ett tal som har siffesumman delbar med 3 går att förkorta med 3 osv. En lärare försökte att visa detta med talserier en gång, men led av tidsbrist, så att det gav ingenting. Tack på förhand.
Peder Lindström

Svar: Det är i allmänhet ett svårt problem att förkorta ett bråk med stora siffror i täljare och nämnare. För att göra det måste man i princip primtalsfaktorisera täljare och nämnare. Det finns ingen känd effektiv algoritm för detta om man med effektiv menar att tiden det tar att utföra algoritmen är ett polynom i indatas storlek. Om det går att konstruera en sådan algoritm eller ej är ett öppet problem, men man misstänker att det inte går. För specifika små tal kan man hitta enkla kriterier på delbarhet som de du nämner för 3 och 5. Se vidare frågorna från  1 mars 1999 18.43.45  och  1 april 1999 21.43.16.

Anna Torstensson


16 mars 2001 15.01.54
Varför tar man kvadraten på alla avstånd när man använder minsta kvadratmetoden? Vore det inte lika enkelt att ta absolutbeloppet för att få det positivt?
Tobias Lindgren

Svar: I princip skulle det gå lika bra att minimera summan av absolutbeloppen i stället för kvadratsumman, även om de bästa linjerna inte blir de samma. Att man väljer kvadratsumman beror på att det ger enklare räkningar. Det är ju avstånd i Rn man minimerar i minsta kvadratmetoden. För en närmare beskrivning av metoden, se frågan  16 mars 2001 14.15.46 .

Kjell Elfström


16 mars 2001 14.15.46
Finns det någon enkel härledning till minsta kvadratmetoden i matrisform med hjälp av normalekvationen.
Magnus

Svar: Minsta kvadratmetoden används om man har ett lineärt ekvationssystem Ax=y och vill hitta ett xapprox som  gör att Axapprox  blir så nära y som möjligt. Om systemet saknar lösning byter vi ut y mot yapprox, den vektor som ligger närmast y av de högerled som gör systemet lösbart. yapprox fås genom att projicera yA:s värderum, dvs underrummet som består av de högerled y som gör Ax=y lösbar. Projektionsvektorn y-yapprox är vinkelrät mot kolonnerna i A eftersom de ligger i A:s värderum. Eftersom multiplikation av en matris och en vektor är detsamma som beräkna skalärprodukterna av vektorn med matrisens rader följer det att At(y-yapprox)=0.  För att finna x så att Ax=yapprox  kan vi då lösa det kvadratiska systemet AtAx=Atyapprox =At y. Det är dessa lineära ekvationer som kallas normalekvationerna.

Anna Torstensson


16 mars 2001 04.01.56
Hejsan! Jag undrar hur man härleder och bevisar att X upphöjt till 2 = 2 upphöjt till X .då x=2. Går det bevisa? Tack på förhand!
Eran Fahimifar

Svar: Att x2=2x x=2 visar man genom att helt enkelt sätta in x=2 i ekvationen och konstatera att likheten 22=22 är sann. Att lösa ekvationen 2x=x2 fullständigt är svårare. Man kan se att x=4 är en lösning. Genom att studera funktionen f(x)=2x-x2 kan man se att f har exakt 3 nollställen. Det tredje nollstället är approximativt -0.77, men det finns inget enkelt exakt uttryck för det. Att f har exakt 3 nollställen bevisas på följande sätt. f''(x)=2x(ln2)2-2, en strängt växande funktion med ett nollställe i x=1-2lnln2/ln2 (ungefär 2.06). Det betyder att f'(x) är avtagande fram till  1-2lnln2/ln2 och därefter växande. Då f'(1-2lnln2/ln2) < 0 och f' -> oändlighetenx->+- oändligheten har f' två nollställen a och b med a<1-2lnln2/ln2<b. för x <a och x>b är f' positiv och mellan a och b negativ. Det medför att f är växande fram till a sedan avtagande till b och därefter växande. Det är klart att f -> +-oändlighetenx -> +-oändligheten så om vi visar att f(a)>0 och f(b)<0 ser vi att f har exakt 3 nollställen. (Skissera en sådan graf för att inse detta.) Detta kan man visa genom att finna approximativa värden till f':s rötter a och b (med feluppskattning) och sätta in i f. Det visar sig att a och b är ungefär 0.49 respektive 3.21 så insättning (och feluppskattning) av dessa värden ger att f(a)>0 och f(b)<0. Därmed är vårt bevis klart.

Anna Torstensson


15 mars 2001 19.17.39
Hej! Ett problem jag inte lyckats lösa... Man ska bilda en symmetrisk matris där a[12] = a[13] = 0 a[22] = PI a[11] = 150,88 a[13] = -44,16 a[33] = 125,12 Denna matris, A, ska sedan diagonaliseras så att SDS^(-1) = A Hur ska jag angripa problem av den här typen? Något speciellt man ska va uppmärksam på? Tacksam för svar! :)
Torgny

Svar: Som beskrivs i svaret på fråga  12 mars 2001 15.45.13  får man fram S genom att konstruera en bas bestående av egenvektorer till A. Om detta är möjligt beror på hur A ser ut, men man kan visa att det alltid går då A är symmetrisk. För att beräkna egenvektorerna behöver man först egenvärdena. De fås som lösningarna till den karakteristiska ekvationen det(A-cE)=0. För varje sådan lösning c får man sedan lösa det lineära systemet Ax=cx med x som obekant. Bland alla de x som man får fram (genom att sätta in olika värden på c) väljer man sedan n stycken lineärt oberoende.

Anna Torstensson


15 mars 2001 18.35.45
En rektangel har omkretsen 30cm.Arean är större än 50cm. hur kan en sådan rektangel se ut
oumaima

Svar: En rektangel med sidlängder a och b har omkrets 2(a+b) och area ab. Vi söker alltså tal a och b sådana att 2(a+b)=30 och ab >=50. Hur första ekvationen kan vi lösa ut b som 15-a. Insatt i olikheten ger det a(15-a) >=50. Denna olikhet kan skrivas om som 0>=a^2-15a+50=(a-10)(a-5). Denna är uppfyllt precis då a-10 och a-5 har olika tecken dvs då a ligger mellan 5 och 10. Svaret är alltså att ena sidan har längd mellan 5 och 10 och den andra längden 15-längden av första sidan.

Anna Torstensson


14 mars 2001 11.21.58
En uppgigt i matte E-kursen som jag inte kan lösa: Kortfattat: Rita i det kompl- talplanet då z=2+3/w och beloppet av w är lika med 1. Svaret skall bli att beloppet av z-2 är lika med 3.
Cardano

Svar: Om vi löser ut w ur z=2+3/w får vi w=3/(z-2). (Här är divisionen med z-2 tillåten eftersom vi kan se på den ursprungliga ekvationen att z <>2.) Låt oss beteckna (absolut)beloppet av w med |w|. Då ser vi att |w|=1 om och endast om 1=3/|z-2| eller, efter multiplikation, |z-2|=3. Geometriskt betyder |z-a|=r, där a är ett komplext tal och r ett reellt tal, en cirkel med medelpunkt i a och radie r. I vårt fall får vi alltså en cirkel med medelpunkt i 2 och radie 3.

Anna Torstensson


13 mars 2001 23.07.25
Hej! Jag undrar hur man dividerar matriser. Jag har sökt på ert arkiv men hittar dessvärre inget om matrisdividering. M V H Tore
Tore

Svar: I analogi med division av "vanliga" tal (t ex rationella tal) kan man införa division av kvadratiska matriser. Eftersom M/N=M*(1/N) och multiplikation är definierad för matriser räcker det att precisera vad som menas med 1/N när N är en matris. Om y är ett rationellt tal betyder 1/y det tal som ger 1 vid multiplikation med y. På samma sätt betyder 1/M den matris som efter multiplikation med M ger enhetsmatrisen, E. (E är matrisernas motsvarighet till de rationella talens etta). Precis som 1/y inte existerar om y=0 finns vissa matriser M sådana att 1/M inte existerar. Sådana M kallas singulära och kan sägas vara matrisernas motsvarighet till talet 0. Om 1/M existerar eller inte märker man när man försöker beräkna den. För att beräkna 1/M sätter man elementen som obekanta. Sambandet M*(1/M)=E ger då ett linärt ekvationssystem för varje kolonn i 1/M. Dessa kan lösas med elimination. Om systemen har lösning har vi beräknat 1/M och om de inte har det finns ingen invers till M. Om du vill ha en mer utförlig beskrivning av räkning med matriser kan du läsa i Anders Vretblads bok "Algebra och kombinatorik" eller Karl Gustav Anderssons "Lineär algebra". Den senare innehåller mycket mer om matrisräkning och de geometriska frågeställningar som kan besvaras med hjälp av matrisräkning, men den är mer abstrakt och därmed kanske svårare att läsa än den förstnämnda boken.

Anna Torstensson


13 mars 2001 12.14.14
Hej . Vi har följande problem att lösa: 1/ 4 personer skall dra lott om att vinna en "bil". man lägger en lott med sitt namn på i en korg. Person 2 lägger två lotter , person tre lägger tre lotter o.s.v. Det ger i slutändan person 4 , fyra gånger större chans att vinna än person 1 . Men nu till problemet. 2/ vi har samm senario enl ovan men istället för att dra en vinnare , så drar man bort en förlorare. för varje omgång försvinner 1 lott. till slut finns en lott kvar med ett namn på . den vinner "bilen" FRÅGAN BLIR: har person 4 fortfarande 4 gånger större chans att vinna bilen än person nummer 1 ?????? eller hur mycket har den minskat. Hur räknar man ut detta. vore tacksam om svar så att jag kan få ro i sinnet. tack på förhand David Conradsson
David Conradsson

Svar: Varje lott har lika stor sannolikhet att vara kvar till slutet så det är fortfarande antalet lotter som avgör hur stor chansen att vinna är. Den fjärde personen har alltså, även i detta fall, fyra gånger så stor chans att vinna som den första personen.

Anna Torstensson


12 mars 2001 20.42.59
Hej!Jag har lite problem och hoppas på hjälp. Vad menas med en "normalapproximation utan halvkorrektion" inom statistiken. Försöket gäller en produkts felfrekvens.
Anna

Svar: I Gunnar Bloms bok "Statistikteori med tillämpningar" kan du läsa om normalapproximation. Tyvärr har jag inte lyckats hitta något om vad halvkorrektion betyder.

Anna Torstensson


12 mars 2001 15.45.13
När man diagonaliserar matriser, hur inser man algebraiskt att den nya matrisen är diagonalmatrisen ? Och när man räknar ut egenvärdena till en matris som bara har ett egenvärde och därmed en egenvektor, kan man inte diagonalisera matrisen, men man kan ju skapa en annan matris i en ny bas om man inför en vektor som är linjärt oberoende med egenvektorn, hur inser man då hur den nya matrisen ser ut?
Johan

Svar: En kvadratisk matris M, av storlek n x n representerar en avbildning från Rn till Rn om man tolkar kolonn k som bilden av basvektor k. Om man byter bas i Rn får man en ny matris som representerar den linäera avbildningen. En speciellt enkel ny matris får man om man som ny bas väljer egenvektorer till den ursprungliga matrisen, dvs vektorer v<>0 med Mv=cv för någon skalär c. Om avbildningen är sådan att det finns n stycken lineärt oberoende egenvektorer e1, e2, ..., en med Mej=cjej och vi väljer dem som bas så består den nya matrisens kolonner av bilderna av dessa vektorer. Det betyder att kolonn j innehåller cj på position j och 0 på övriga positioner. Alltså är den nya matrisen diagonal. Avgörande i resonemanget ovan var att vi kunde hitta n lineärt oberoende egenvektorer. Man kan visa att egenvektorer som hör till olika egenvärden är lineärt oberoende som om alla egenvärden är olika kan vi alltid diagonalisera matrisen. Ibland kan vi diagonalisera en matris där flera egenvärden sammanfaller. Se t ex på enhetsmatrisen som bara har egenvärdet 1. För att besvara din sista fråga kan man allmänt beskriva hur matrisen för en lineär avbildning ändras när man byter bas. Låt T vara en matris som beskriver basbytet, dvs T avbildar de ursprungliga basvektorerna på de nya så x'=Tx om x är koordinaterna för vektorn v i det gamla koordinatsystemet och x' i det nya. Sambandet y=Mx blir då Ty=(TMT-1)Tx eller ekvivalent y'=(TMT-1)x'. Den nya matrisen för avbildningen är alltså TMT-1.

Anna Torstensson


12 mars 2001 15.38.28
I ditt svar 5 mars skrev du att xy-planet motsvarar rummet R^2. Nu undrar jag om detta plan alltid finns i R^2 eller är det nåt man måste införa? Sedan nämde du basvektorerna e och f uppstår dom automatiskt när man inför xy-planet (om man nu inför det) ?
Johan

Svar: R2, som definitionsvis består av par av reella tal, kan identifieras med punkterna i xy-planet. Ett tvådimensionellt plan, eller xy-plan, är alltså bara ett annat sätt att beskriva R2. Som beskrivits i svaret från den 5:e mars kan punkterna i xy-planet också identifieras med vektorer. Punkterna (1,0) och (0,1) svarar då mot vektorerna e och f som börjar i origo och slutar i dessa punkter. I den meningen att vektorer kan identifieras med punkter uppstår de när man inför xy-planet.

Anna Torstensson


12 mars 2001 14.56.05
Jag undrar hur man lätt kan räkna ut detta och andra sådana tal ? av 20 = 13 (till exempel). 20kr av ? = (12 till exempel). Jag skulle också vilja veta vad logaritmer är för något.
Kim

Svar: Jag är inte säker på om jag har förstått din första fråga rätt men jag tror du menar hur man bestämmer hur många procent man skall ta av 20 för att få 13 respektive vilket tal man skall ta 20 procent av för att få 12. Det löser man på följande sätt. k procent av x blir k*(x/100) eftersom procent betyder 100-delar. T ex blir 5 procent av 300 lika med 5*(300/100)=5*3=15. I ditt första tal är k obekant. Vi söker k så att k*(20/100)=13. Efter multiplikation med 5 på båda sidor får vi k=5*13=65, så svaret är 65%. I andra talet är k=20 men x obekant. Vi skall lösa 12=20*(x/100). I detta fall blir x=60, dvs 20% av 60 kr är 12 kr.

Logaritmen av ett tal x i en viss bas b är det tal man skall upphöja basen för att få x. Exempelvis är logaritmen av 100 i basen 10 lika med 2 eftersom 102=100. Vanligtvis är basen 10, 2 eller e. (Om du inte känner till e kan du söka på "talet e" bland svaren på vår sida så får du veta mer.)

Anna Torstensson


12 mars 2001 14.34.16
Jag har en fråga om begreppet proportionalitet. I en del matteböcker står att en grafisk tolkning av proportionalitet är en stråle som utgår från origo i första kvadranten. En annan definition säger att det är en linje genom origo för alla x. Är f(x) = kx alltid en proportionalitet eller bara om k>0 och x större än eller lika med 0?
Jari Kinnunen

Svar: Att y är proportionell mot x betyder att y=kx där k är en godtycklig konstant. k behöver alltså inte vara positiv även om man i tillämpningar oftast valt enheterna så att proportionalitetskonstanten k blir positiv.

Anna Torstensson


12 mars 2001 10.02.20
Hej Kjell! Snart hysterisk,bildligt uttryck .skriver c-uppsats om direkt produkt,var kan jag hitta mer literatur har fårr en kopia från någon bok av min mentor det är det ända jag har att gå efter och begriper just ingenting när det gäller bevisningarna ,har sök i böcker on grupper abelska grupper men information om direkt produkt tycks vara det mest tråkiga att skriva om för det har tydligen ingen gjort,jag kan inte hitta något i vilket fall.Min andra fråga kan du hjälpa mej att bevisa . Proposition:Suppose that G is the external direct produkt of groups G1,G2,....,Gn.Then there are normal subgrubs N1,N2,....,Nn. of G with Ni isomorphic to Gi such that G is the internal direct prodict of N1,N2,...Nn. Jag ska bevisa(1).Ni är isomorf till Gi (2).Ni är normal delgrupp till G (3).Varje element i G kan unikt uttryckas (g1,....gn)=(g1,1,...,1)(1,g2,....,1).....(1,....,gn), som en produkt av element i N1,....Nn. Just nu känns det som om jag läser arabiska och till råga på allt är analfabet,så du förstår att detta håller på att göra mig näst intill galen.Tack snälla för all hjälp.A-S.P
Ann-Sofi Persson

Svar: Med den yttre direkta produkten av grupperna G1, G2, ..., Gn menas den grupp G vars element är n tupler (a1,a2,...,an) där aj ligger i Gj. Denna mängd utgör en grupp om man definierar multiplikation komponentvis, dvs (a1,a2,...,an)(b1,b2,...,bn)=(a1b1,a2b2,...,anbn) där ajbj betyder produkten av aj och bj i Gj. Det är inte svårt att verifiera att G uppfyller axiomen för en grupp. Om du vill läsa detaljerna kan du låna någon lärobok i abstrakt algebra, exempelvis "A first course in Abstract Algebra" av John B. Fraleigh. Nu till beviset av satsen. Låt Nj bestå av alla element (e1,e2, ...,e(j-1), aj,e(j+1), ...,en) där ek är identitetselementet i Gk och aj ett godtyckligt element i Gj. Då kan man lätt kontrollera att f:  (e1,e2, ...,e(j-1), aj,e(j+1), ...,en) -> aj är en isomorfi mellan Nj och Gj. Att Nj är en undergrupp i G är klart eftersom den innehåller identiteten (e1,e2,...,en) och inversen (e1,e2, ...,e(j-1), aj-1,e(j+1), ...,en) till (e1,e2, ...,e(j-1), aj,e(j+1), ...,en) samt är sluten under multiplikation. Att Nj är normal är också lätt att kolla: (b1,b2,...,bn)-1(e1,e2, ...,e(j-1), aj,e(j+1), ...,en) (b1,b2,...,bn) =(e1,e2, ...,e(j-1), bj-1ajbj,e(j+1), ...,en) ligger i Nj. Det återstår bara att visa att (g1,g2,...,gn)=(g1,e2,...,en)(e1,g2,....,en).....(e1,....,gn) är en entydig representation av denna typ. Om inte skulle det finnas hj, ej alla lika med gj, så att (g1,g2,...,gn)=(g1,e2,...,en)(e1,g2,....,en).....(e1,....,gn)=(h1,e2,...,en)(e1,h2,....,en).....(e1,....,hn)=(h1,h2,...,hn). Nu ser vi att hj=gj för alla j vilket strider mot vårt antagande. Detta visar att det inte fanns någon annan representation. Vi har därmed visat att G är inre direkt produkt av N1,N2, ..., Nn.

Anna Torstensson


11 mars 2001 16.08.28
Hur får man en primitiv funktion (x) till dx/dt=k/(t+T) ?
Patrik

Svar:

En primitiv funktion till 1/t är ln |t| + C. En primitiv funktion x är följaktligen k ln |t + T | + C.

Kjell Elfström


11 mars 2001 14.53.14
Undrar en sak. Vad är Hypotes prövning för nåt. Om man ska kortfatta det och kunna berätta för nån som inte insatt i det.
Maria G

Svar:

Se Hypothesis Testing.

Kjell Elfström


11 mars 2001 13.54.30
Är det rätt att använda sig av sannolikhetsläran när man talar om något som redan hänt? Tex så talar man om hur stor sannolikhet det var att den första cellen skulle komma till av sig själv. Ungefär som om man har en urna med 10 000 000 lotter med bara en vinstlott. Sannolikheten för att dra vinstlotten i första försöket är 1 på 10 000 000, eller? Men om man GÖR det!! Man drar vinstlotten i första försöket. Kan man fortfarande säga att chansen är 1 på 10 000 000? Det har ju redan hänt.
/Håkan

Svar:

Man bedömer ju sannolikheten för ett utfall i ett experiment av ett visst slag, inte sannolikheten i ett enskilt försök. Sannolikheten att få krona vid kast med ett mynt är 1/2. Om man redan kastat myntet och alltså vet vad man fick bör detta inte ändra på bedömningen av sannolikheten att få krona vid kast med detta mynt. Om man däremot misstänker att myntet är skevt så skulle det kunna öka eller minska sannolikheten att få krona vid kast med det myntet.

Kjell Elfström


10 mars 2001 20.24.35
Jag har en son som går i nionde klass och så behövde han hjälp med en uppgift , men där gick man bet . Uppgiften : Summan av två tal blir tusen , en sjättedel av det ena talet är tjugo gånger större än en sextondel av det andra talet .
Tack på förhand häls. Dusan
Dusan Kosanovic

Svar:

Kalla talen för x och y. Då är x + y = 1000. Om "tjugo gånger större" betyder "20 gånger så stort som" gäller det att x/6 = 20(y/16). Löser man ut x ur den senare ekvationen får man x = 20·6y/16 = 15y/2. Sätter vi in detta i den första ekvationen får vi

(15/2)y + y = 1000  <==>  (17/2)y = 1000  <==>  y = 2000/17.

Därefter kan vi lösa ut x ur den första ekvationen och få x = 1000 - 2000/17 = 15000/17.

Kjell Elfström


10 mars 2001 13.58.46
Hej. Jag har en fråga som för statestik, du kanske ändå kan hjälpa mig. Vad är ett Konfidensintervall? Och hur ska man kunna förklara detta med en lätt definition?`Kort och enkelt?
Maria G

Svar:

En stokastisk variabel är enkelt uttryckt en talvariabel som antar slumpmässiga värden, t ex antalet ögon som en kastad tärning visar eller längden hos en slumpmässigt utvald person. Ett konfidensintervall på p procent för variabeln är ett intervall sådant att sannolikheten att variabeln antar ett värde i intervallet är p procent. T ex är [2,5;5;5] ett 50-procentigt intervall för antalet ögon eftersom sannolikheten att tärningen visar ett antal ögon som finns i intervallet är 50 procent.

Kjell Elfström


10 mars 2001 11.29.27
En Markovprocess {X(t), t>=0} i kontinuerlig tid har intensitestsmatris
A= -2 2
   1 -1
Den diskret samplade processen Y(n)=X(nh), n=0,1,2,... blir en Markovkedja. Bestäm dess övergångsmatris.
Kalle O

Svar:

Övergångsmatrisen blir P = eAh, där A är intensitetsmatrisen. A har egenvärdena 0 och -3. Bestäm en bas av egenvektorer och skriv A på diagonalform A = T -1DT. Då är

P = summak = 0oo (Ah)k/k! = T -1(summak = 0oo(Dh)k/k!)T.

Den senare summan blir en diagonalmatris med diagonalelementen 1 och e-3h.

Kjell Elfström


10 mars 2001 11.25.01
Existerar en asymptotisk fördelning till Markovprocessen med
  -1  0 1 0 
   0 -2 0 2
A= 3 0 -3 0
   0 2 0 -2
Maria G.

Svar:

Från tillstånd 1 och 3 kan man bara nå tillstånd 1 och 3 och från 2 och 4 bara 2 och 4. Det finns alltså ingen asymptotisk fördelning som är oberoende av startvärdet.

Kjell Elfström


10 mars 2001 11.19.55
En partikels rörelse mellan tre tillstånd beskrivs av en Markocprocess med intensitetsmatris
    -2  2  0
 A=  2 -3  1
     1  1 -2
Givet start i E1, hru lång tid tar det i genomsnitt att nå E3
Per Svenssn

Svar:

Man gör väsentligen som i 10 mars 2001 11.12.03 med den skillnaden att M nu är -A0-1, där A0 är matrisen som fås ur A genom att stryka rad 3 och kolonn 3.

Kjell Elfström


10 mars 2001 11.12.03
Hejsan!
Jag undrar hur man räknar ut hur lång tid det tar i genomsnitt att nå E(3), givet att man startar i E(1) i matrisen
0,5 0,3 0,2
0,4 0,4 0,2
0   0   1
Martin

Svar:

Detta är litet för omfattande att utreda. Man skall bilda matrisen P0 som motsvarar de transienta tillstånden, i detta fall

0,5 0,3
0,4 0,4

Sedan beräknar man matrisen M = (E - P0)-1. Summan av elementen i rad i är väntevärdet av tiden det tar att hamna i det absorberande tillståndet om man startar i tillstånd i. I detta fall är elementen i den första raden 10/3 och 5/3 och deras summa 5.

Kjell Elfström


10 mars 2001 07.50.50
På teknis lärde jag mig en fiffig metod att ta fram täljare och nämnare till ett godtyckligt rationellt tal, t ex 0.0424242... (660/28). Jag kommer ihåg att man utnyttjade att 100 x 0.04242... -0.04242... har en ändlig decimalutveckling men sedan var det stopp. Vore tacksam om du kunde friska upp mitt usla minne (och begränsade analytiska förmåga).
Mikael Nyström

Svar:

Man multiplicerar med 10n där n är perioden. Då skiftas siffrorna åt höger en period så från och med en viss position har utvecklingarna samma siffror. I exemplet får vi om vi kallar talet för a att a = 0,0424242... och 100a = 4,2424242... Drar vi dessa tal från varandra får vi 100a - a = 4,2, dvs 99a = 4,2 vilket ger att a = 42/990 = 7/165.

Kjell Elfström


9 mars 2001 18.34.50
Låt R vara en kommutativ ring med etta och låt N vara mängden av alla nilpotenta element i R, dvs N = {a tillhörande R:a^n=0 för något n tillörande heltalen, n>0}.
(a) Visa att N är en delring.
(b) Visa att N är ett ideal.
tack på förhand
Staffan

Svar:

Se 2 mars 2001 14.35.23. Jag förutsatte i det svaret att en delring måste innehålla ettan. Det är ju naturligt eftersom det står att R är en ring med etta. Om man med delring menar en undergrupp som är sluten under multiplikation blir ideal automatiskt delringar.

Kjell Elfström


9 mars 2001 17.33.25
Hej Kjell!
Jag behöver hjälp med en fråga. Bestäm det största och det m,insta värdet av funktionen f(x,y,z)=x+y+z på skärningskurvan mellan planet x+y-z=1 och ellipsoiden x^2+y^2+4z^2=4
Tack för hjälpen
Tobias

Svar:

Använd metoden med Lagranges multiplikatorer. Gradienterna är (1,1,1), (1,1,-1) och 2(x,y,4z). Om funktionen har maximum eller minimum i punkten (x,y,z) i området så är dessa gradienter lineärt beroende. Beräknar vi determinanten av de tre vektorerna ser vi att den är noll om och endast om y = x. I en extrempunkt skall alltså y = x, x + y - z = 1 och x2 + y2 + 4z2 = 4. Lös detta ekvationssystem. Eftersom funktionen är kontinuerlig och området kompakt har funktionen maximum och minimum och dessa måste antas i några av lösningspunkterna till ekvationssystemet.

Kjell Elfström


9 mars 2001 17.29.52
Hej!
Jag undrar hur löser man följande: Bestäm det största och det minsta värdet av funktionen f(x,y)=x^2y-x+y^2 på mängden D={(x,y):y^2-2<=x<=0}.
Tack så mycket!
Ted

Svar:

Området är kompakt och funktionen kontinuerlig så det finns ett maximum och ett minimum. Eftersom funktionen är deriverbar i området måste dessa antas antingen i en inre punkt där de partiella derivatorna är noll eller i en randpunkt. Derivatorna är fx' = 2xy - 1 och fy' = x2 + 2y. Sätt dessa lika med noll och lös ut y som funktion av x ur den senare ekvationen och sätt in i den första. Den enda stationära punkten blir (-1,-1/2) och det är en inre punkt. Funktionsvärdet är 3/4. Randen delas upp i två delar. Den ena är x = 0, -21/2 <= y <= 21/2. Där är funktionen lika med y2 och dess minsta värde där är alltså 0 och dess största 2. Den andra delen av randen är x = y2, -2 <= x <= 0. Här är funktionen lika med (y2 - 2)2y + 2. Derivatan med avseende på y är 5(y4 - (12/5)y2 + 4/5). Denna är noll då y2 = 2 och då y2 = 2/5. Ändpunkterna ±21/2 är redan medtagna. Beräkna funktionsvärdena då (x,y) = (-8/5,±(2/5)1/2) och se efter vilket av de sex funktionsvärdena som är störst och vilket som är minst.

Kjell Elfström


9 mars 2001 17.26.31
Hej Kjell! Jag har en fråga där jag behöver hjälp med. Beräkna kurvintegralen
§|F*d|r,
 c
då |F=(yx^2+e^cosx,2z+x^3,z^6+2y^2) och C utgörs av skärningskurvan mellan ytorna x^2+4y^2+z=2 och x+4y+z03. C orienteras moturs sedd "uppifrån". Tack så hemsk mycket för hjälpen!
rune

Svar:

Använd Stokes sats. Rotationen av F är rot F = (4y - 2,0,2x2). Drar vi ekvationerna för C från varandra får vi efter kvadratkomplettering (x - 1/2)2 + 4(y - 1/2)2 = 1/4. C är rand till ett område S i planet x + 4y + z = 3 vars projektion på xy-planet är denna ellips D. En uppåtriktad normal till S är (1/(3·21/2))(1,4,1). Den sökta integralen är enligt Stokes sats

(1/(3·21/2))∫∫S (4y - 2 + 2x2) dS = ∫∫D (4y - 2 + 2x2) dxdy.

Kjell Elfström


9 mars 2001 16.51.51
Hej igen. Det blev förrvirrande att ha l som konstant(svårt att se skillnad mellan 1 och l), så jag använder nu konstanten n istället. Säg att vi vet fördelningen P(X=k). Hur visar man att:
SUMMA_{x=k till oändl.} (x!/(x-k)!k!)(n/L)^k (1-n/L)^(x-k) P(X=x) = SUMMA_{y=k till oändl} (y!/(y-k)!k!)(1/m)^k (1-1/m)^(y-k)SUMMA_{x=y till oändl.} (x!/(x-y)!y!)(m*n/L)^y (1-m*n/L)^(x-y) P(X=x).
Här är det klart att första termen i VL är lika med första termen i HL. Men hur visar man att VL=HL för alla k?
Fred

Svar:

Den första termen i vänsterledet är (n/L)kP(X = k) medan den första i högerledet är

(1/m)kx = koo(xk)(mn/L)k(1 - mn/L)x - kP(X = k)
   = (n/L)kP(X = k) + ∑x = k + 1oo(xk)(n/L)k(1 - mn/L)x - kP(X = k).

För att termerna skall vara lika måste summan i högerledets första term vara noll. Skall man visa att så är fallet måste man känna till relationen mellan parametrarna m, n och L och sannolikheterna. Om inte alla sannolikheterna är noll måste i så fall mn vara större än eller lika med L.

Kjell Elfström


8 mars 2001 23.44.11
Jag undrar vilka villkor som gäller för att man ska kunna derivera igenom en integral från noll till oändligheten I f(x,t)dt map x.
Hermann

Svar:

Kalla integralen i frågan för F(x). Låt I vara ett intervall och antag att f är kontinuerlig i I×R+. Om det finns en kontinuerlig funktion g av en variabel sådan att |f(x,t)| <= g(t) då t > 0 och x tillhör I och ∫0oo g(tdt är konvergent så är F väldefinierad och kontinuerlig i I. Antag dessutom att f är deriverbar med avseende på x och att fx' är kontinuerlig och att det finns en kontinuerlig funktion h sådan att |fx'(x,t)| <= h(t) då t > 0 och x tillhör I och att ∫0oo h(tdt är konvergent. Då är F kontinuerligt deriverbar i I och F '(x) = ∫0oofx'(x,tdt.

Kjell Elfström


8 mars 2001 17.48.28
Efter att ha letat ett tag på internet, har jag hittat massor av algoritmer som med skiftande snabbhet kan hitta en sträng i en text. Det finns så många att området nästan liknar en hel vetenskap.
Däremot har jag inte kunnat finna någon sträng sökningsalgoritm som klarar av att söka efter två eller flera strängar samtidigt. Med samtidigt menar jag att algoritmen ska kunna hitta strängarnas förekomster genom att stega igenom texten en enda gång.
Dvs.
hellre:  search(pattern[], text);
än:      for(int i=0; i<pattern.length; i++)
           search(pattern[i], text);
Vet ni var jag kan läsa om sådana algoritmer?
Henric

Svar:

Detta verkar vara en datavetenskaplig fråga med mycket liten matematikanknytning.

Kjell Elfström


8 mars 2001 00.08.39
Hej!
Hur löser jag uppgifter av typen x=e^(-x) och liknande? Skall jag Taylorutveckla? Då blir ju inte noggranheten så stor. Jag skulle kunna ta termer av högre grad men då blir ju ekvationen ohanterlig...
Slutligen ville jag fråga; vilken akademisk utbildning har du Kjell (om du ursäktar att jag frågar)?
olle

Svar:

Taylorutveckling skulle fungera bara om nollstället låg nära 0. Ofta fungerar Newton-Raphsons metod. Om denna kan du läsa i åtskilliga svar. Sök från vår söksida. I matematik har jag 80 poäng grundkurser och några forskarkurser.

Kjell Elfström


7 mars 2001 21.45.40
hej!
jag har en kort fråga om distributioner.
gäller det alltid att [integral från a till b] (dirac (x-c))*f(x) dx = f(c) då (b>c>a)?
skälet till att jag undrar är att det i definitioner och formelsamlingar i regel står att det gäller, men för integraler från - oändlighet till + oändlighet.
integraltecknet sägs även vara rent symboliskt. innebär detta att gränserna inte har betydelse, så länge de villkor jag skrivit där uppe gäller (b>c>a)?
Christian

Svar:

Integralen är ett formellt sätt att framställa funktionalen Delta(f) = f(0). Man tänker sig att dirac är en "funktion" som är noll för alla x <> 0 och sådan att int-oooodirac(xdx = 1. En effekt av denna formalism är att

int-oooodirac(x - c)f(xdx = int-oooodirac(x - c)f(cdx = f(c) int-oooodirac(x - c)  dx = f(c).

I integralen från a till b kan vi under de angivna förutsättningarna ändra gränserna till -oo och oo eftersom dirac(x - c) är noll utanför området och få f(c) som resultat även då.

Kjell Elfström


7 mars 2001 20.29.33
Hej!
Vad betyder det att en funktion är
1. holomorfisk (holomorphic)
2. meromorfisk (meromorphic)
3. reguljär (regular) ?

Anders S

Svar:

Begreppen hör till teorin för funktioner av en komplex variabel. Holomorf är det samma som analytisk. En funktion som är analytisk i ett område är deriverbar i en omgivning av varje punkt i området. Är området en öppen mängd räcker det att säga att den är deriverbar i varje punkt. En meromorf funktion är analytisk utom i poler i området. En regulär funktion är en envärd analytisk funktion.

Kjell Elfström


7 mars 2001 18.17.38
Hej!
Jag har lite svårt med en uppgift som handlar om en låda med kända mått, där en känd kraft, i form av jämtutbredd last, appliceras vinkelrätt på den hela kvadratisktformade bottenytan. Fleraxligspänningstillstånd uppstår i bottenytan med en maxspänning i mitten av lådans bottenyta. Någon slags buckling. Nu undrar jag hur jag räknar fram alla aktuella spänningar, samt maxspänningen.
Med vänliga hälsningar
Jozo Lovric
Halmstad
lovric@hotmail.com
Jozo Lovric

Svar:

Denna uppgift är inte helt och hållet matematisk utan kräver att man gör fysikaliska antaganden om vilka jag inte har tillräckliga kunskaper.

Kjell Elfström


7 mars 2001 15.13.23
Säg att vi vet fördelningen P(X=k). Hur visar man att:
SUMMA_{x=k till oändl.} (x!/(x-k)!k!)(l/L)^k (1-l/L)^(x-k) P(X=x) = SUMMA_{y=k till oändl} (y!/(y-k)!k!)(l/m)^k (1-l/m)^(y-k)SUMMA_{x=y till oändl.} (x!/(x-y)!y!)(m*l/L)^y (1-m*l/L)^(x-y) P(X=x).
Jag har försökt väldigt länge utan resultat. Tack på förhand.
Fred

Svar:

Om summorna är lika för alla k så är termerna lika i summorna, men den första termen i vänsterledet är inte lika med den första termen i högerledet.

Kjell Elfström


7 mars 2001 12.48.58
Hur bevisar man att Friedrich Gauss påskdags formel verkligen fungerar? Har funderat över den ett bra tag nu(!) Mycket tacksam för svar!
Jenny Davidsson

Svar:

Jag rekommenderar läsning på sidan Easter date algorithms, där det redogörs för principerna och flera olika algoritmer presenteras.

Kjell Elfström


6 mars 2001 15.04.47
Hej!
Jag har hört att man kan ha en form av sjukdom som ger personen svåra problem i matte. Om den finns, vad heter den och vilka problem kan personen ha?
Andreas

Svar:

Du tänker kanske på dyskalkyli som betyder bristande eller nedsatt förmåga i matematik. Jag vet inte om det i sig är en sjukdom, men det kan åtminstone vara ett symtom på någon sjukdom. Du kan söka efter ordet på Internet för att få ytterligare upplysningar.

Kjell Elfström


6 mars 2001 11.08.06
Hur beräknas inversen till den kumulativa varianten av den normala fekvensfunktionen y=(1/sqrt(2pi))exp(-0.5x^2). Jag tidigare fått ett bra svar på hur beräknar man ytan under kurvan för olika intervall (t ex Simpsons formel). Finns det en "omvänd" Simpson ?
Kjell Karlsson

Svar:

Låt p vara en fix sannolikhet och sätt

f(x) = (1/(2Pi)1/2) ∫-oox exp(-t2/2) dt - p.

Du vill lösa ekvationen f(x) = 0 och det kan göras med Newton-Raphsons metod. Välj ett startvärde x0 och bestäm sedan successivt xn genom rekursionsformeln

xn + 1 = xn - g(xn),

där

g(x) = f(x)/f '(x) = ((1/(2Pi)1/2) ∫-oox exp(-t2/2) dt - p)(2Pi)1/2exp(x2/2).

Integralen från -oo till x kan beräknas som summan av integralen från -oo till 0 och integralen från 0 till x. Den första är 1/2 och den andra kan beräknas numeriskt, t ex med Simpsons formel. Vad gäller felanalysen hänvisar jag till läroböcker i numerisk analys.

Kjell Elfström


6 mars 2001 10.38.52
1. Hur löser man ekvationssystemet
x^2-y^2=1
2xy=sqrt3
2. Finns det 3:de, 4:de, 5:de osv derivata, om det finns vad "ger" dom i så fall?
jens

Svar:

1) Löser vi ut t ex x ur den andra ekvationen får vi x = 31/2/(2y). Insatt i den första ekvationen ger detta att 3/(4y2) - y2 = 1. Multiplicerar vi denna ekvation med y2 får vi y4 + y2 = 3/4. Detta är en andragradsekvation i y2 och löser vi den får vi y2 = -1/2 ± 1 = 1/2 eftersom y2 >= 0. Detta ger sedan att y = ±1/21/2. Sätter vi slutligen in detta i uttrycket för x får vi x = (3/2)1/2y = 1/21/2 och x = -(3/2)1/2y = -1/21/2. En annan metod bygger på att vi sätter z = x + iy, där i är den imaginära enheten. Ekvationssystemet kan då skrivas som en enda ekvation

z2 = 1 + 31/2i.

Startar vi med denna andragradsekvation får vi ekvationssystemet ovan men vi får även viss tilläggsinformation. Utnyttjar man att beloppen av ekvationens led är lika får man nämligen

x2 + y2 = |z|2 = |z2| = |1 + 31/2i| = 2.

Vi får ett ekvationssystem som förutom de ursprungliga ekvationerna innehåller denna nya ekvation. Informationen 2xy = 31/2 använder vi bara för att konstatera att x och y har samma tecken. De återstående två ekvationerna utgör ett lineärt system i x2 och y2. Adderar vi de två ekvationerna får vi 2x2 = 3 <==> x2 = 3/2 och subtraherar vi dem får vi 2y2 = 1 <==> y2 = 1/2. Detta ger fyra möjligheter men på grund av att x och y har samma tecken får vi bara de två lösningarna som vi fick med den andra metoden.

2) Om y är deriverbar kallar man derivatan för y'. Om y' är deriverbar kallar man dess derivata för andraderivatan av y och betecknar den med y''. Vi har alltså y'' = (y')'. Det finns naturligtvis ingenting som hindrar att man går vidare på detta sätt. Om y'' är deriverbar sätter man y''' = (y'')' och kallar denna för tredjederivatan av y. Man definierar sedan rekursivt k:e derivatan y(k) av y som derivatan av den (k - 1):a derivatan av y, dvs y(k) = (y(k - 1))', under förutsättning att denna derivata existerar. Med dessa beteckningar blir y' = y(1) och y'' = y(2). Man brukar i vissa sammanhang även definiera y(0) = y, dvs 0:e derivatan är funktionen själv. Derivatan är ett mått på hur snabbt funktionen förändras. Andraderivatan är därför ett mått på hur snabbt förändringstakten förändras, dvs ett mått på accelerationen. Tredjederivatan är på samma sätt ett mått på hur snabbt accelerationen förändras osv. I en formel som används för att approximera funktioner med polynom av grad n, och som kallas Taylors formel, används alla derivatorna upp till och med yn + 1. Tredje derivatan förekommer i formler i differentialgeometri, där man studerar bland annat hur ytor kröks.

Kjell Elfström


5 mars 2001 22.42.51
Hej!Jag har problem med följande fråga. Beräkna normalytintegralen
§§s(3x-2z^2-x^3,3z-2y^2-z^3,3y-2x^2-y^3)|N dS,
där S är halvsfären{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=3,y>=0} med normal riktad bort från origo. Jag vore jätte tacksam om ni kunde hjälpa mig med detta.
Joakim

Svar:

Divergensen av vektorfältet v = (3x - 2z2 - x3,3z - 2y2 - z3,3y - 2x2 - y3) är

div v = ðv1x + ðv2y + ðv3z = 3 - 3x2 - 4y.

Ytintegralen över halvsfären inklusive dess platta del (där N = (0,-1,0)) är enligt Gauss formel

∫∫∫D div v dxdydz,

där D är halvklotet. Inför rymdpolära koordinater för att beräkna denna. Drag sedan ifrån ytintegralen

∫∫C -(3z - 2y2 - z3) dS,

där C är cirkelskivan x2 + z2 <= 3, y = 0. Det är ju lätt gjort eftersom termen 2y2 är noll där och resten av integranden ger bidraget noll till integralen på grund av symmetri.

Kjell Elfström


5 mars 2001 21.55.30
Hej! Jag skulle vara hemskt tacksam om ni skulle svara och förklara noggrant hur ni räknade ut (ha gärna med formler) dessa två uppgifter:
1): Ett 12,7 m långt rep brister av alltför stor belastning. Vilken är sannolikheten att den ena delen blir minst 9,0 m lång?
2): 15% av en maskinellt framställd produkt är felaktiga. Du väljer slumpmässigt ut 4 av produkterna. Vilken är sannolikheten att flera än en är felaktiga?
Tack på förhand.
Robert

Svar:

1) Vi antar att sannolikheten att brottet uppträder i ett intervall av en viss längd är oberoende av var på repet intervallet befinner sig. Sannolikheten för brott i ett intervall är då lika med förhållandet mellan intervallets längd och repets längd. Om längden av den ena delen skall vara minst 9,0 m kan brottet inträffa någonstans i intervallet från 0 till 3,7 m eller i intervallet från 9 till 12,7 m. Sannolikheten blir därför 2·3,7/12,7.

2) Här antar vi att sannolikheterna för fel i ett exemplar är oberoende av sannolikheten för fel i ett annat exemplar av produkten. Då är antalet felaktiga exemplar binomialfördelat. Sannolikheten att precis k av de utvalda exemplaren är felaktiga är därför (4k)0,15k0,854 - k. Sannolikheten för 0 felaktiga är alltså 0,854 och sannolikheten för precis en felaktig är 4·0,15·0,853. Den sökta sannolikheten är 1 minus summan av dessa sannolikheter.

Kjell Elfström


5 mars 2001 20.49.09
Hej!
Jag undrar ifall ni kan på enklaste sätt beskriva vad Wavelet's är och vad MRA- går ut på.. helst med en liten exempel! Tack!
DrFly

Svar:

För att se vilka frekvenser en signal är sammansatt av kan man beräkna dess Fouriertransform. Frekvenser som ger ett stort bidrag till signalen ger ett stort värde på Fouriertransformen och denna analysmetod fungerar bra när man vet att frekvenserna inte varierar med tiden. När signalens frekvenser varierar med tiden är läget annorlunda. En ton som består av ett antal rena överlagrade toner ger väsentligen samma Fouriertransform som en melodi med de rena tonerna efter varandra. Med MRA (multiresolutional analysis) löser man detta problem genom att ersätta basfunktionerna bestående av cosinus- och sinusfunktioner med andra baser, så kallade wavelets-baser. En alldeles utmärkt sida där man kan läsa om detta är The Wavelet Tutorial.

Kjell Elfström


5 mars 2001 17.24.08
Hejsan, Lund
100mg av ett radioaktivt ämne har en halveringstid på 25 år. Hur visar jag avtagandet med en formel?
Patrik

Svar:

Låt y vara den kvarvarande mängden radioaktivt ämne. Förutsätter vi att mängden avtar exponentiellt, vilket är ett empiriskt konstaterat faktum, är

y = y0 2-kt,

där k är en positiv konstant och y0 mängden vid tiden t = 0. Att halveringstiden är 25 år innebär att

y0 2-25k = y(25) = (1/2)y0 = y02-1.

Vi ser att 25k = 1, varför k = 1/25 per år. Eftersom 2 = eln 2 kan mängden skrivas

y = 100e-t (ln 2)/25 mg.

Kjell Elfström


5 mars 2001 17.04.29
Jag har en fraga angaende 29 april 1999 17.28.09. Jag vet inte vilka siffror jag skall använda mig av vid uträkningen och undrar om ni kunde hjälpa mig med det.
Pelle Johansson

Svar:

Jag missade att förklara beteckningarna h och r. Dessa står för höjden och radien av den konformade vattenmängden i den koniska behållaren. p är påfyllningshastigheten 100, h är vattenhöjden 24 och dh/dt hastigheten med vilken h ökar och denna är enligt förutsättningarna -0,6. Den är negativ eftersom h minskar. Nu kan du bestämma c ur den sista likheten i den sista formelraden och därefter beräkna ch2, där h förmodligen är 24.

Kjell Elfström


5 mars 2001 16.50.40
Hej...Till vilken höjd ska man hälla i ett cylinderformat glas om man vill se halva botten när man börjar dricka?
Erik Pettersson

Svar:

Antag att cylinderns basradie är R och att dess höjd är H. Vi beräknar volymen av vattnet i det lutande glaset. Den är volymen av den kropp i området x >= 0 som begränsas av xy-planet, cylindern x2 + y2 = R2 och planet z = (H/R)x, alltså dubbelintegralen

(H/R) ∫∫D x dxdy,

där D är halvcirkelskivan x2 + y2 <= R2, x >= 0. Inför polära koordinater. Då övergår den i

(H/R) ∫0R r2 dr-Pi/2Pi /2 cos t dt = 2HR 2/3.

Volymen av vattnet i det stående glaset är Pi hR 2 om vatten hälls till höjden h. Höjden h är alltså 2H/(3Pi).

Kjell Elfström


5 mars 2001 16.43.37
Två givna punkter (2,2) och (3,1) ligger på en ellips. Fråga: Sök ellipsens ekvation. Jag har provat med tangentnormalen för resp. punkt och därigenom sökt en lösning. Även de "klassiska" sambanden r1=sqr[x-c)^2+y^2] och r2=sqr[{x+c)^2+y^2], r1+r2=2a. utan resultat. Finns det någon lösning och hur? Tacksam för svar.
Richard Graaf

Svar:

Det finns många ellipser som går genom dessa två punkter, så antagligen skall det vara den ellips som har medelpunkt i origo och brännpunkterna på x-axeln. Den har en ekvation

x2/a2 + y2/b2 = 1.

Sätter vi in koordinaterna för punkterna får vi ekvationssystemet

4/a2 + 4/b2 = 1
9/a2 + 1/b2 = 1

Detta är ett lineärt ekvationssystem i de obekanta 1/a2 och 1/b2 och vi kan lösa det med eliminationsmetoden. Drag 4 gånger den sista ekvationen från den första så får du efter teckenbyte

32/a2 = 3 <==> a = (32/3)1/2.

Sätt sedan in värdet på a2 i någon av ekvationerna och lös ut b.

Kjell Elfström


5 mars 2001 15.31.53
På gymnasienivå kan man inte mycket linjär algebra och när man ritar upp funktioner så gör man det i ett xy-plan, med en lodrät y-axel och en horisontell x-axel. Kan man då säga att detta plan är standardbasen i R^2 ?
Johan

Svar:

Nej, xy-planet motsvarar snarare rummet R2. Origo i xy-planet är ju skärningspunkten mellan koordinataxlarna. Varje punkt i xy-planet kan anges genom att man anger färdvägen från origo till punkten, dvs i vilken riktning och hur långt man skall gå med utgångspunkt i origo. Färdvägen är en vektor, som kan representeras med en en pil med viss längd och viss riktning. På detta sätt motsvarar varje punkt i xy-planet en vektor parallell med xy-planet. Än så länge har vi inte förklarat varför det heter koordinatsystem. Vid en punkt på x-axeln och en punkt på y-axeln står det 1. Förflyttningarna som för oss från origo till dessa båda punkter är plana vektorer som vi kan kalla e och f. En godtycklig plan vektor u kan skrivas u = xe + yf med entydigt bestämda koordinater x,y. För att ange koordinaterna (med avseende på koordinatsystemet där vi angett läget av origo och vilka basvektorerna är) för en godtycklig punkt P bestämmer vi koordinaterna för punktens ortsvektor, dvs den vektor som förflyttar oss från origo till P, och säger att punkten har samma koordinater som vektorn. Varje punkt får alltså koordinater och dessa koordinater är de samma som koordinaterna för punktens ortsvektor. På detta sätt kan vi identifiera de plana vektorerna med R2 genom att till varje vektor i planet ordna dess koordinater, men vi kan också på samma sätt identifiera planets punkter med R2. Det är alltså basvektorerna e och f i planet som motsvarar standardbasvektorerna (1,0) och (0,1) i R2, men man kan alltså också säga att det är punkterna med skalvärdena 1 på axlarna som motsvarar dessa element i R2.

Kjell Elfström


5 mars 2001 15.26.45
På sid 94 i Tengstrands bok "Lineär algebra med vektorgeometri" står definitionen för Ortonormerad bas i rummet, är detta detsamma som standardbasen i R^3? Jag misstänker att det inte är det, men vill gärna ha det bekräftat.
Johan

Svar:

För att kunna definiera begreppet ortonormerad bas måste man ha en skalärprodukt. Skalärprodukten av två vektorer är ett tal och skalärprodukten skall uppfylla vissa räknelagar. Om x = (x1,x2,x3) och y = (y1,y2,y3) definieras den vanliga skalärprodukten i R3 av x och y genom

x·y = x1y1 + x2y2 + x3y3.

Längden av en vektor x i R3 definieras sedan genom

|x| = (x·x)1/2.

Om skalärprodukten av två vektorer är 0 säges vektorerna vara ortogonala. En ortonormerad bas är en bas sådan att varje basvektor har längden 1 och basvektorerna är parvis ortogonala. Genom att använda definitionen på standardbasen finner man att den är ortonormerad, men det finns många andra ortonormerade baser, t ex (1/21/2,1/21/2,0), (1/21/2,-1/21/2,0), (0,0,1).

Kjell Elfström


5 mars 2001 15.14.13
Jag är ganske beläst vad gäller det sk gyllene snittet, fibonaccis talföljd osv. Vad jag undrar är om man har gjort några riktiga undersökningar och kollat om det gyllene snittet verkligen är så harmoniskt som man tror.? Vem/vilka har i så fall gjort undersökningar och vad gav dom för resultat?
Teo

Svar:

Jag känner inte till om så är fallet eller så förstår jag inte riktigt vad du menar. Tänker du på psykologiska eller liknande undersökningar om hur det gyllene snittet upplevs?

Kjell Elfström


5 mars 2001 14.18.14
Vad består avgaser av?
krille

Svar:

Detta är ingen matematisk fråga.

Kjell Elfström


5 mars 2001 14.01.27
Hej jag har en fråga angående lösningen till "15 april 1997 19.49.50". Borde inte maxpunkten inträffa då x=0 och varför blir gränskurvans funktion densamma som maxvärdet utav y?
Eva Carlsson

Svar:

Man betraktar varje x för sig och studerar för vilka y-värden som det går en vattenstråle genom punkten (x,y). För ett fixt x beror strålens höjd y över punkten x på vinkeln a. För att få det största värdet på y, sådant att det går en stråle genom (x,y), skall vi alltså derivera funktionen i svaret till 15 april 1997 19.49.50 med avseende på a, inte med avseende på x. För det fixa värdet x = 0 är derivatan 0 för alla värden på a, men detta är tämligen ointressant ty då x = 0 är funktionen 0 för alla vinklar a.

Kjell Elfström


5 mars 2001 12.50.18
Jag har letat efter några enkla relationer för antikommutatorer, men inte hittat några. Vad jag är efter är något som ungefär motsvarar kommutatorernas [A,BC]=[A,B]C + B[A,C], så att man kan dela upp produkter av (i mitt fall) antikommutatorer. Finns några sådana relationer?
Niclas

Svar:

Jag tror inte det kan finnas någon relation av detta enkla slag för antikommutatorer. Kommutatorn [a,b] definieras som ab - ba och antikommutatorn som ab + ba.

Kjell Elfström


5 mars 2001 12.36.08
Kan ni ge mig så mycket information om Phytagoras och bevisen för att hans sats verkligen stämmer?? Tack på förhand!!
LInda

Svar:

Historik finns på sidan Pythagoras of Samos. Ett bevis för Pythagoras sats är det som finns i Euklides elementa, Proposition 47. Se också under A bit of history på den sidan. Ett annat bevis finner du i svaret till 9 september 1997 14.41.38. Ett tredje bevis kan man få genom att använda skalärprodukt. Om vektorerna u och v är vinkelräta så är

|u + v|2 = (u + v)·(u + v) = u·u + v·v + 2u·v = |u|2 + |v|2

eftersom u·v = 0.

Kjell Elfström


5 mars 2001 10.07.43
Med vilka a värden är funktionen f(x)=(1/3)ax^3+(1/2)x^2+4ax+1 överallt strängt monoton?

Svar:

Vi deriverar och får att f '(x) = ax2 + x + 4a. Då a = 0 är funktionen inte strängt monoton. Vi antar att a <> 0 och kvadratkompletterar.

f '(x) = a((x + 1/(2a))2 + 4 - 1/(4a2)).

Eftersom derivatan har högst två nollställen är funktionen strängt monoton om och endast om derivatan inte växlar tecken, dvs om 4 - 1/(4a2) >= 0 vilket är ekvivalent med att |a| >= 1/4.

Kjell Elfström


5 mars 2001 10.05.00
En sjukdomsepidemis utbredning följer följande matematiska modell:
När det tagit x dygn sedan utbredningen börjat, uttrycker funktionen f(x)=-0,02x^3+0,36x^2 mängden sjuka i procent.
Hur många dygn räcker det, innan mängden sjuka börjar minska?
Då det finns som mest sjuka, hur många procent av befolkningen är detta?
Efter hur många dygn ökar mängden sjuka snabbast?

Svar:

Derivera. Derivatan är noll då antalet sjuka är störst. Derivatans nollställen är 0 och 12. Teckenstudium visar att funktionen har ett lokalt minimimum i 0 och ett lokalt maximum i 12. Detta måste vara ett maximum. Efter 12 dagar minskar antalet sjuka. Andelen sjuka är som mest f(12). Antalet sjuka ökar snabbast när derivatan är störst. Derivera derivatan!

Kjell Elfström


5 mars 2001 09.58.01
En rektangels två sidor finns på de positiva koordinataxlarna och ett hörn på kurvan y=1/(x+1).
a) Vilken är rektangelns största möjliga area?
b) Kurvan snurrar runt x-axeln, då ritar rektangeln en rak cirkulär cylinder. Vilken är dess största möjliga volym?
Klarat a) fallet men tyvärr klarar jag inte b) fallet. Svårast då man inte vet när man skall börja derivera, och deriveringen vålar också svårigheter eftersom uttrycket är så jätte långt. Kan inte ni snälla hjälpa mig med var jag skall börja derivera och visa speciellt deriveringe av detta jätte uttryck!!!

Svar:

a) Om basen är x så är höjden 1/(x + 1), varför arean är x/(x + 1) = 1 - 1/(x + 1), en funktion som är strängt växande. Någon största area finns alltså inte. Arean går mot 1 så arean kan komma hur nära 1 som helst men alltså aldrig bli 1 eller mer.

b) Om cylinderns höjd är x är dess basradie 1/(x + 1). Arean är

f(x) = Pi x/(x + 1)2.

Vi deriverar denna kvot.

f '(x) = Pi ((1 + x)2 - 2(1 + x)x)/(x + 1)4 = Pi ((1 + x) - 2x)/(x + 1)3 = Pi (1 - x)/(x + 1)3.

Kjell Elfström


5 mars 2001 09.52.17
Man har planerat att bygga en så litet rätblock som möjligt om man ser på arean. Volymen är 225cm^3 och baskanternas förhållande är 2:3. Hur långa är dess kanter? Svaret är att baskantera är 5cm och 7,5cm, höjden 6cm. Men frågan är att hur komma till detta svar?

Svar:

Kalla höjden för h och antag att baskanternas längd är 2x och 3x, alla mätta i cm. Volymen är 225 cm3 varför 6x2h = 225. Arean är

2(6x2 + 2xh + 3xh) = 12x2 + 10xh.

Villkoret på arean ger att xh = 225/(6x) varför volymen blir

f(x) = 12x2 + 2250/(6x) = 12x2 + 375/x.

Derivatan är noll då x = 5/2, vilket ger baskanterna 5 och 15/2.

Kjell Elfström


5 mars 2001 09.44.58
Av ett triangulärt tyg klipper man bort en rektangulär tygbit enligt bilden. Rektangelns sidor är 20cm resp. 10cm. Rektangelns står vinkelrätt upp i triangeln med höjden 20cm och basen 10cm, i rektangeln alltså. Bestäm måtten på triangeln, så att så litet tyg som möjligt går åt skogen. Enligt svaret skall basen väljas till 20cm och höjden till 40cm.

Svar:

Se 26 februari 2001 11.08.24.

Kjell Elfström


5 mars 2001 09.39.50
Med vilka värden på a har funktionen f(x)=(x^2+a)/(x-1) extremvärden och för vilka värden på a saknar den extremvärden? Rita grafen i båda fallen. Frågan har ställts tidigare under våren! Men nu förstår jag inte riktigt er tangegång, hur blir t.ex. (x^2-2x-a)/(x-1)^2=(1-(a+1))/(x-a)^2 och sedan skriver ni att derivatan är noll då (x-1)^2=0, men är det inte täljaren som bestämmer derivatans nollställen? Nämnaren de punkter där derivatan inte är definierad? Berätta speciellt om detta och förklara mera hur ni har tänkt i fortsättning av svaret då frågan ställdes förra gången!!!

Svar:

Frågan du hänvisar till är 16 februari 2001 09.13.11. Att (x - 1)2 = 0 är en felskrivning som är korrigerad nu. I den likheten du frågar om har du satt parenteserna fel. Vi har

(x2 - 2x - a)/(x - 1)2 = (x2 - 2x + 1 - (a + 1))/(x - 1)2 = ((x - 1)2 - (a + 1))/(x - 1)2
= 1 - (a + 1)/(x - 1)2.

Samma resultat skulle ha erhållits med en polynomdivision uppställd i liggande stolen. Andraderivatan är 2(a + 1)/(x - 1)3 och den är inte noll om a > -1. Detta visar att derivatans nollställen är lokala extrempunkter (och inte t ex terrasspunkter). Derivatan har, om den har nollställen, ett större än 1 och ett mindre än 1. Andraderivatan är positiv i det som är större än 1 och negativ i det andra.

Kjell Elfström


5 mars 2001 09.29.43
Derivera: a) (5x-1)^3
b) (1-x)^5
c) (x^2-3)^5

Svar:

Alla är variationer på samma tema. Jag räknar den sista som har formen z = y5, där y = x2 - 3. Enligt kedjeregeln är

dz/dx = (dz/dy)(dy/dx) = 5y4·2x = 10x(x2 - 3)4.
2x brukar också kallas inre derivata.

Kjell Elfström


5 mars 2001 09.28.05
Hur stämmer det att:
t=(b*(a-s))/a=(b*(a-(a/2)))/a=(b(a/2))/a=(ba)/(2a)=b/2 så s=(a/2)?
Förstår inte hur
(b*(a-(a/2)))/a=(b*(a/2))/a=(ba)/(2a)
de andra stegen förstår jag. Kan ni förklara?

Svar:

Den första av likheterna i den senare formelraden får man eftersom a - a/2 = a/2. Täljaren ovanför huvudbråkstrecket i det mittersta bråket kan skrivas ba/2. Nämnaren är a. Förläng med 2 så får du den sista likheten.

Kjell Elfström


5 mars 2001 09.21.13
Hur kan det stämma att x^2(1-x-y^2)=x^2(x^2-x)=x^4-x^3=f(x)? Vart ryker y^2?

Svar:

Ja, under förutsättning att x2 + y2 = 1, vilket är fallet om punkten (x,y) ligger på enhetscirkeln.

Kjell Elfström


5 mars 2001 09.18.15
Vilket positiva tals kvadrat är högst större än samma tals kubik? Kan det finnas något sådant tal? Helt borta!

Svar:

Jag förstår inte formuleringen högst större än, kanske skall det stå högst lika med. I så fall skall man lösa olikheten x2 <= x3 och eftersom x2 är positiv kan vi dividera olikhetens båda lede med x2 och få den ekvivalenta olikheten 1 <= x.

Kjell Elfström


5 mars 2001 09.16.36
Skillnaden mellan teraspunkt, stationärpunkt och sadelpunkt. Vad är de för någonting? Min lärare sade att stationärpunkt är det ni kallar för teraspunkt.
Funderar

Svar:

En stationär punkt är en punkt där derivatan (eller de partiella derivatorna om det är en funktion av flera variabler) är 0. Begreppet terrasspunkt förekommer i envariabelanalysen. Antag att en funktion är deriverbar i en omgivning av en punkt x. Om punkten är stationär och derivatan är positiv i en punkterad omgivning eller negativ i en punkterad omgivning till x så kallas x en terrasspunkt. Grafens tangent i en sådan punkt är horisontell och nära x ligger kurvan under tangenten på den ena sidan om x och över på den andra sidan. Om derivatan är negativ i en punkterad vänsteromgivning av en stationär punkt x och positiv i en punkterad högeromgivning har funktionen strängt lokalt minimum i x och är teckenväxlingen den motsatta har den ett strängt lokalt maximum i x. Lokala maximi- och minimipunkter kallas lokala extrempunkter och terrasspunkter är alltså inte lokala extrempunkter. Det finns också andra typer av stationära punkter. T ex är 0 en stationär punkt till funktionen som definieras genom f(0) = 0 och f(x) = x2sin(1/x) då x <> 0 men 0 är varken terrasspunkt eller lokal extrempunkt. Sadelpunkt används ofta i flervariabelanalys för att beteckna en stationär punkt som inte är en lokal extrempunkt.

Kjell Elfström


5 mars 2001 09.12.51
I ett kursprov fanns en fråga: I vilken vinkel skär kurvan y=x^5-1 x-axeln? Jag räknade först ut x-koordinaten där y-koordinaten är noll. Sedan deriverade uttrycket och räknade ut derivatan i x-koordinaten x=1 och till sist konstaterade att tan a=5 och fick att svaret är a=arctan5 som är ungefär 79 grader.
Har jag löst uppgiften rätt och hur skall svaret anges? Det var ett kursprov i grunderna i differentialkalkyl.
Hasse

Svar:

Det är riktigt tänkt! Jag tycker man bör svara arctan 5. Har man en räknare är det naturligtvis bra att också ange ett närmevärde.

Kjell Elfström


5 mars 2001 09.05.41
Bestäm värdet på a så, att parabeln y=x^2-6x+a har en topp på linjen y=4.

Svar:

Jag tolkar frågan som att man skall bestämma a så att det minsta värdet av x2 - 6x + a är 4. Kvadratkomplettering ger att

x2 - 6x + a = (x - 3)2 + a - 9

och vi ser att det minsta värdet är a - 9. Detta bli 4 bara då a = 13.

Kjell Elfström


5 mars 2001 09.01.21
Visa, att ekvationen x^5=200x^3+80 har åtminstone en rot i det öppna intervallet )14,15(.

Svar:

Funktionen f(x) = x5 - 200x3 - 80 är kontinuerlig i det slutna intervallet [14,15]. f(14) = -11056 < 0 och f(15) = 84295 > 0. Enligt satsen om mellanliggande värde antar funktionen värdet 0 för något tal x i [14,15] och eftersom funktionsvärdena i ändpunkterna inte är noll så tillhör x det öppna intervallet (14,15).

Kjell Elfström


5 mars 2001 01.58.13
1. How many ways are there to place 25 different flags on 10 numbered flagpoles if the order of a flagpole is relevant and every flagpole flies at least one flag?
2. How many of the 9000 four-digit integers 1000, 1001, 1002, ... , 9998, 9999 have four distinct digits that are either increasing (as in 1347 and 6789) or decreasing (as in 6421 and 9653)?
3. How many of the 9000 four-digit integers 1000, 1001, 1002, ... , 9998, 9999 have four digits that are either nondecreasing (as in 1347, 1226 and 7778) or nonincreasing (as in 6421, 6622 and 9888)?
Mycket tacksam för svar!
Andreas Karlsson

Svar:

1. De 25 flaggorna kan radas upp på 25! sätt. När vi sedan tar ut flaggor till de 10 flaggstängerna kan vi dela upp de uppradade flaggorna genom att markera nio av mellanrummen mellan flaggorna. Detta kan göras på (249) sätt. Svaret blir 25!(249).

2. Med increasing och decreasing avses strängt växande resp. strängt avtagande. Om siffrorna är strängt växande kan inte noll ingå. Varje kombination av siffrorna 1,2,...,9 bestämmer entydigt en strängt växande sifferföljd, den man får om man ordnar de utvalda siffrorna i storleksordning. Det finns alltså (94) tal med strängt växande siffror. Av de strängt avtagande så är de som ej innehåller siffran 0 också (94). Om en strängt avtagande sifferföljd innehåller siffran 0 så måste denna vara sist. Vi får (93) sådana tal. Svaret blir alltså 2(94) + (93).

3. Med nondecreasing och nonincreasing menas konstigt nog växande resp. avtagande (i vid mening). Växer siffrorna kan inte 0 ingå, men samma siffra får förekomma flera gånger. Lägg till siffrorna 1,...,9 tre element II, III och IV. En kombination med fyra element ur denna mängd med 12 element bestämmer en växande sifferföljd. De fyra elementen placeras i fyra tomma positioner på följande sätt: De av markörerna II, III och IV som är med placeras på positionen med motsvarande ordningsnummer. De siffror som ingår i kombinationen ordnas i strängt växande ordningsföljd och placeras i de återstående positionerna. Om någon markör finns med börjar vi med den första och ersätter den med siffran till vänster, tar sedan nästa om det finns någon och gör likadant och likadant med den tredje om alla är med. Antalet sådana kombinationer är (124) och det finns därför lika många växande sifferföljder. Det finns lika många avtagande följder som inte innehåller siffran 0. De enda sifferföljderna som är både växande och avtagande är de där alla siffror är lika. Det finns 9 sådana. Antalet efterfrågade sifferföljder i vilka 0 inte ingår är alltså 2(124) - 9. Ett liknande resonemang visar sedan att det finns (123) - 1 avtagande följder som innehåller siffran 0. Svaret blir 2(124) + (123) - 10.

Kjell Elfström


4 mars 2001 23.02.34
Hej! och tack för en oerhört bra och trevlig sida. Ibland är det tur att ni finns, och nu är nog ett sådant tillfälle.
Jag har 3 uppgifter av geometrisk karaktär som jag är lite frågande på, och därför behöver er hjälp till en lösning.
1. I en rät cirkulär kon inskrives 2 sfärer, som inbördes tangerar varanndra. Den ena sfärens yta är dubbelt så stor som den andra. Hur många procent av konens volym upptar sfärerna
Jag har fått svaret till 25*(3*SQR(2)-2) % (SQR = roten ur), men på ett oerhört krånligt vis, och hoppas därför ni kan lösa den enklare.
2. I en rät cirkulär kon inskrives en rätvinklig parallellpiped. Den begränsningsyta som ligger i konens basyta är en kvadrat. Hur många procent av konens volym upptar parallellpipeden då dess volym är så stor som möjligt?
Tacksam för svar
Andreas Andersson

Svar:

1) Skär vi konen med ett plan längs axeln får vi två inskrivna cirklar i en triangel. Antag att den mindre cirkelns radie är r. Då är den störres s = 21/2r. Kalla radien i konens botten för R och konens höjd för h. Volymförhållandet är då

(4Pi/3)(2·21/2 + 1)r3/(PiR2h/3) = 4(2·21/2 + 1)r3/(hR2).

Koncirklar

Låt k vara avståndet från konens spets till den mindre cirkelns medelpunkt. Likformiga trianglar ger då att k/r = (k + r + 21/2r)/(21/2r) varav k(21/2 - 1) = r(21/2 + 1), vilket medför att k = (3 + 2·21/2)r. Detta ger att

h = k + r + 2s = 4(1 + 21/2)r.

Pythagoras sats ger att d2 = R2 + h2 och likformiga trianglar att R/d = (s - r)/(s + r). Kvadrerar vi den senare likheten kan vi lösa ut R2 och få

R2 = (s - r)2h2/(4rs) = (21/2 - 1)2h2/(4·21/2).

Nu kan vi beräkna förhållandet och få det till (3·21/2 - 2)/4. Min lösning var också ganska lång.

2) Antag att konens bottenradie är R och att dess höjd är h. Kalla rätblockets höjd för k och dess bottenytas halva diameter för d. Skär konen och rätblocket med ett plan utefter konens axel genom två motstående kanter på rätblocket. Likformiga trianglar ger att R/h = d/(h - k) vilket ger att k/h = (R - d)/R. Rätblockets volym är 2d2k och volymförhållandet blir 6d2k/(Pi R2h). Här kan du ersätta k/h med (R - d)/R och få en funktion av enbart d.

Kjell Elfström


4 mars 2001 22.56.01
Hej. Har en trevlig geometrisk fråga som jag gärna vill ha ett svar på.
Frågan lyder: I en regelbunden sexsidig pyramid är baskanten 4cm, och sidokanten 8 cm. Hur stor är vinkeln mellan två närliggande sidoytor?
Har försökt flera gånger utan att lyckas, så ni är mitt enda hopp!
Tack på förhand
Tommy Andersson

Svar:

Pyramidens botten är en regelbunden sexhörning och den består av sex likbenta likformiga trianglar. Medelpunktsvinkeln i varje triangel är 2Pi/6 = Pi/3. Eftersom triangeln är likbent och vinkelsumman är Pi är den liksidig, alla sidor i triangeln är alltså 4. Pythagoras sats ger att pyramidens höjd är (82 - 42)1/2 = 4·31/2. Inför ett koordinatsystem med bottnens tyngdpunkt i origo, ett av dess hörn på den positiva x-axeln och pyramidens topp på den positiva z-axeln. Vi vill nu bestämma vinkeln mellan de två plan som har hörnet på den positiva x-axeln gemensamt. Båda planen innehåller punkterna (0,0,4·31/2) och (4,0,0). Det ena innehåller dessutom det närliggande hörnet (2,2·31/2,0) och det andra innehåller det andra närliggande hörnet (2,-2·31/2,0). Nu har du tillräcklig information för att bestämma var sin normalvektor till planen och när du gjort det kan du bestämma vinkeln mellan normalvektorerna med hjälp av skalärproduktens definition.

Kjell Elfström


4 mars 2001 22.53.58
Hej. Har ett problem som jag inte får ro förrän jag får det löst, och som en sista utväg vänder jag mig därför till er.
Problemet är: En parallellt stympad kon är omskriven kring en given sfär. När är den stympade konens begränsningsarea minst? (svaret är då den är en cylinder, vilket är logiskt, men hur visar man det med derivata?)
Conny Carlsson

Svar:

Vi beräknar först arean av en stympad kon. Antag att en rak cirkulär kon skärs av med två plan vinkelräta mot konens axel. Planens tvärsnitt med konen utgörs av cirklar med radierna r och s. Låt d och e vara som i figuren.

Stympad kon

Arean av en cirkelsektor med radien r och vinkeln v är r2v/2 = r(rv)/2 och rv är längden av sektorns båge. Den större cirkelsektorn i figuren har därför arean (d + e)(2Pi r)/2 = (d + e)Pi r och den mindre har arean ePi s. Den stympade konens area är skillnaden (d + e)Pi r - ePi s. Likformighet ger att (d + e)/(2Pi r) = e/(2Pi s) varav es = er - ds. Insatt ger detta att den stympade konens area är Pi d(r + s), en formel som gäller också för arean av en cylinder, där r = s.

Betrakta nu följande genomskärning av konen och sfären med ett plan genom sfärens medelpunkt.

Genomskärning

M är cirkelns medelpunkt och MC är vinkelrät mot BD. Trianglarna ABC och EDC är båda likbenta. Detta ger att r + s = d. Arean av den omskrivna stympade konen är alltså Pi d2 och d är minst då den stympade konen är en cylinder.

Kjell Elfström


4 mars 2001 21.56.56
Jag har sett att det finns program som man använder till att skriva matematiska formler/artiklar med, de heter väl LaTeX och AmsTeX eller liknande. Vet ni var man kan få tag på något sådant program, ladda ned det eller så? Jag skulle bli glad om ni hade något tips då jag sökt över hela internet efter det.
Tack på förhand!
Joakim Munkhammar

Svar:

Eftersom TeX följer med flertalet installationer av operativsystemet Linux förutsätter jag att du har DOS på din dator. TeX förekommer i flera olika installationer. En för DOS (och Windows) är MiKTeX. Var beredd på att det krävs en hel del arbete för att lyckas med installationen, det är inte bara att trycka på en knapp, men i gengäld så är det ju gratis.

Kjell Elfström


3 mars 2001 22.02.07
Jag har en fraga angaende 29 april 1999 17.28.09. I svaret utveclar ni:
dV/dt = p - kA
r = h/5
V = Pi h3/75 dV/dt = (dV/dh)(dh/dt) = (Pi h2/25)(dh/dt) = p - ch2.
dh/dt = 0
p = ch2
Vart har c kommit ifran och vad har det för betydelse? vad är:
dV/dt = p - kA
r = h/5
V = Pi h3/75
dV/dt = (dV/dh)(dh/dt) = (Pi h2/25)(dh/dt) = p - ch2.
dh/dt = 0
p = ch2
Pelle Johansson

Svar:

dV/dt är ju derivatan av V med avseende på tiden t, dvs hastigheten med vilken volymen V ökar. Man kommer fram till att arean A är proportionell mot h2 och därför är kA också proportionell mot h2. Vi har alltså kA = ch2 för någon proportionalitetskonstant c.

Kjell Elfström


3 mars 2001 20.39.19
Jag undrar om det finns nån finurlig formel för att räkna ut hur många 10:or, 11:or samt 12:or man har fått på måltipset?
Patrik Sjöberg

Svar:

Nu är jag inte med riktigt. På måltipset tippar man väl de åtta målrikaste matcherna. Det är kanske stryktipset du menar. Om man i ett system med m halvgarderade och n helgarderade matcher får en rad med tretton rätt, hur många rader får man då med tolv, elva och tio rätt? För att få precis 13 - k rätt skall vi ha k matcher fel och det är bara de garderade matcherna som kan tippas fel. En helgarderad match kan tippas fel på två olika sätt, en halvgarderad bara på ett sätt. Väljer vi ut p halvgarderade och q helgarderade och kräver att alla dessa skall vara feltippade så har vi alltså 2q möjligheter. Vi kan välja ut p av de halvgarderade och q av de helgarderade matcherna på (mp)(nq) olika sätt, givetvis under förutsättning att p <= m och q <= n. Antalet rader med k fel är alltså

(mk)(n0)20 + (mk - 1)(n1)21 + (mk - 2)(n2)22 + ... + (m0)(nk)2k,

där vi använder konventionen att (ab) = 0 om b > a.

Kjell Elfström


3 mars 2001 16.00.53
Hej Kjell!
Jag undrar vad används Bernoullis tal och polynom till? Känner du till någon fiffig metod att bestämma dessa tal? Skulle du kunna med hjälp av sambandet av koefficienter och rötter bestämma värdet av zeta(2) dvs. pi^2/6
Marko

Svar:

Bernoullital och Bernoullipolynom används bl a i talteori, kombinatorik och i samband med finita differenser. Bernoullitalen Bm definieras rekursivt genom B0 = 1, (m + 1)Bm = -summak = 0m - 1 (m + 1k)Bk.

Låt a1,a2,...,an vara nollställena till polynomet 1 + c1x + c2x2 + ... + cnxn. Då är bk = 1/ak nollställena till polynomet zn + c1zn - 1 + c2zn - 2 + ... + cn. Det vanliga sambandet mellan rötter och koefficienter ger den modifierade varianten

1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an = -c1.

Låt nu p(x) vara potensserien

p(x) = 1 - x/3! + x2/5! - x3/7! + ...

Då är p(t2) = (sin t)/t. Nollställena till p(x) är alltså Pi2k2, k = 1,2,... Sambandet mellan rötter och koefficienter ger nu att

1/12 + 1/22 + 1/32 + ... = Pi2/6.

För att göra ett stringent bevis av detta gäller det att visa att sambandet mellan rötter och koefficienter gäller inte bara för polynom utan även för potensserier av ovan nämnt slag samt att övertyga sig om att inte funktionen sin har icke-reella nollställen.

Kjell Elfström


3 mars 2001 14.57.20
vi har en rektangel med arean 4dm2 Hur får vi fram den största volymen ?? Lock och botten skall ej medräknas
Putte

Svar:

Jag förstår inte. Man skall tydligen få någon låda från rektangeln. Hur?

Kjell Elfström


20080 frågor av sammanlagt 20531 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Logisk operator

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)