Fråga Lund om matematik

Sökresultat


16 maj 2001 09.13.55
kan jag få lite information om rysk matematik genom historien eller tips vart man kan hittar det?? ha det
Andreas Björnsson

Svar:

Att skriva om rysk matematik genom historien är tyvärr en lite för stor uppgift för fråga Lund om matematik. Några särskilt bra hänvisningar kan jag inte heller ge, problemet är inte att det inte finns information utan att den mesta informationen är på ryska, se t.ex. Directory of Russian Mathematicians. Vissa ryska matematiker har biografier på engelska t.ex. finns en bok som heter "Love and Mathematics: Sonya Kovalevskaya" av Pelageya Kochina. Sedan finns det ju allmänna böcker om matematikhistoria och i dessa finns ju även ryska upptäckter och matematiker omnämnda se t.ex. böckerna "A History of Mathematics" av Boyer Merzbach, eller "Men of Mathematics" av E.T. Bell. På webbsidan MacTutor finns möjlighet att söka matematiker efter födelseort, detta kan ju vara en möjlighet.

Hans Öfverbeck


15 maj 2001 21.38.38
Definera x+ som max(0,x) där x tillhör R, dvs den icke negativa delen av x. Hur inser man att en funktion f som är konvex i x, behöver ej nödvändigtvis vara konvex i x+. Kan en funktion som är konvex i x, överhuvudtaget vara konvex i x+ ? Vad jag förstår, så är f konvex i x+ då och endast då f har minimum för x <= 0. Tack!
Kent

Svar:

Som svar på den första frågan ger jag ett exempel:

Låt f(x) = (x-1)2 - 1 då är f konvex i hela R. Betrakta sammansättningen g(x) = f(x+), denna är ej konvex, ty linjen mellan punkterna (-1,0) och (1,-1) på grafen ligger under funktionens graf.

Som svar på den andra frågan ger jag ett till exempel:

Låt f(x) = x2 då är f konvex i hela R. Betrakta sammansättningen g(x) = f(x+), denna är konvex.

Jag tror tyvärr att ditt påstående är fel, funktionen f(x) = x saknar minimum, är konvex i R och sådan att f(x+) är konvex. Om man däremot ändrar påståendet genom att byta ut "har minimum för x <= 0" mot "antar ett minimalt värde för icke-negativa xx=0" så blir det sant.
Om f antar ett mindre värde än f(0) för något icke-negativt x så kommer f(x+) ej att bli konvex av samma anledning som i det första exemplet ovan.
Antag nu att f(x) >= f(0) för x >= 0. Låt a och b vara två reella tal, det gäller att visa att linjen mellan (a,f(a+)) och (b,f(b+)) inte ligger under grafen till f(x+). Om a och b ligger på samma sida om nollan är detta självklart, antag därför a <= 0 <= b. Då är f(a+)=f(0) och f(b) = f(b+) >= f(0), eftersom f är konvex så ligger linjen från (0,f(0)) till (b,f(b)) inte under grafen till f. Vidare är f(b) >= f(0) vilket ger att linjen från (a,f(0)) till (b,f(b)) inte ligger under linjen från (0,f(0)) till (b,f(b)). Mellan a och 0 så ligger linjen (a,f(0)) till (b,f(b)) inte under grafen till f(x+) ty här är funktionens värde konstant f(0) <= f(b). Således ligger inte linjen under grafen någonstans och beviset är klart.

Hans Öfverbeck


15 maj 2001 21.09.46
Finns det någon "fullständig lösning" till uppgiften som handlade om en mätsticka i en liggande cylinder? En tank rymmer 4m^3, diametern är 1.2m. Hur ska ska en mätsticka graderas?, och hur mycket olja finns kvar när oljedjupet är 0,45m?? Jag skulle var mkt tacksam för en "fullständig lsg"
Nils Egnell

Svar:

Såvitt jag kan se är lösningen 30 januari 1997 09.59.08 fullständig. Det enda man behöver göra är att använda sambandet V = h·A, som tillsammans med formeln i ovanstående lösning ger:

V = h·r2·[ Pi/2 + arcsin( (d-r)/r ) + ( (d-r)/r )·( sqrt(1 - ( (d-r)/r )2) ) ]
Om vi stoppar in värdena du angivit får vi r = 0,6m, h = 3,5m vilket efter lite knappande på miniräknaren ger V = 1,4m3. För att göra en mätsticka behöver du bara räkna ut V för d från 0m till 1,2m med lämpligt avstånd t.ex. var femte cm och sedan skriva den uträknade volymen vid ett streck d meter från stickans ände.

Hans Öfverbeck


15 maj 2001 21.00.31
Jag har ett problem. Jag vill ha fram volymen 1 liter med så liten massa-åtgång som möjligt. Cylinder formad eller kubform. En enkel direvering? //Undrande 14 åring
Andreas J.

Svar:

Jag antar att du vill veta formen på den kropp som rymmer 1 liter med så liten yta som möjligt, ty om vi skall konstruera en så lätt tank som möjligt av ett jämntjockt material så ger kroppen med minst yta den minsta massan. Svaret är att det är ett klot som har minst area för en given volym, tyvärr vet jag inget sätt att visa detta med "enkel derivering". Om man från början antar att kroppen är "slät" kan man använda en metod som kallas variationskalkyl för att bevisa detta, variationskalkyl kan ses som en generalisering av derivering för att lösa mer avancerade max/min-problem. Ett annat bevis finns i ett examensarbete av Patrik Nordbeck med titeln: Isoperimetriska problemet eller Varför ser man så få fyrkantiga träd.

Hans Öfverbeck


15 maj 2001 17.05.34
För vilka reella x, gäller ln x^x = x*ln x ?
Sime Mardesic

Svar:

Likheten ovan gäller för positiva x, dvs x>0.

Hans Öfverbeck


15 maj 2001 15.12.12
Hej, jag undrar hur man bevisar att alla positiva heltal kan skrivas som en summa av tre triangel tal. Dvs tal som är av formen n*(n+1)/2, n=1,2,3,... MVH
Mariano

Svar:

Det enda bevis som jag känner till använder en sats som säger att alla positiva heltal utom de som är på formen 4a(8b+7) kan skrivas som summan av tre kvadrater, se svaret till 27 januari 2001 19.15.15. Om du är intresserad av ett bevis av denna sats, se exempelvis boken "A Course in Number Theory" av H.E. Rose.
Om vi antar att vi får använda ovanstående sats blir det inte så svårt. Låt n vara ett godtyckligt positivt heltal, att n kan skrivas som en summa av tre triangeltal betyder att det finns heltal k, l och m sådana att:

n = k(k+1)/2 + l(l+1)/2 + m(m+1)/2
Vilket efter multiplikation med 8 ger:
8n = 4k(k+1) + 4l(l+1) + 4m(m+1) = (2k+1)2 - 1 + (2l+1)2 - 1 + (2m+1)2 - 1
där jag kvadratkompletterat i sista ledet. Omflyttning ger:
8n + 3 = (2k+1)2 + (2l+1)2 + (2m+1)2
Alltså kan n skrivas som summan av tre triangeltal om och endast om 8n + 3 kan skrivas som summan av tre kvadrater av udda tal. Det senare är dock självklart ty 8n + 3 kan skrivas som summan av tre kvadrater eftersom det inte är på formen 4a(8b+7):

8n + 3 = x2 + y2 + z2
Eftersom 8n + 3 är udda måste antingen alla tre tal x, y och z vara udda eller bara ett av dem udda, i det senare fallet blir dock resten vid division med 8 antingen 1 eller 5 och högerledet skulle i detta fall aldrig kunna vara lika med 8n + 3.

Hans Öfverbeck


15 maj 2001 13.04.40
hej, hur förenklar man en diffekv: -3(df/dx) + 8(df/dy) = -d^2f/dy^2, genom att använda substitutionen f(x,y)=e^(ax+bx) * g(x,y). Hur går man tillväga för att välja lämpliga värden på a & b ? tack på förhand Johan
Johan

Svar:

Jag antar att du menar substitutionen f(x,y)=g(x,y)·eax+by. Nedan kallar jag den partiella derivatan av g med avseende på t.ex. y för gy o.s.v. Produktregeln ger:

fx = gx·eax+by + g·a·eax+by
fy = gy·eax+by + g·b·eax+by
fyy = gyy·eax+by + 2·gy·b·eax+by + g·b2·eax+by
Om vi sätter in dessa likheter i ekvationen och delar med eax+by så får vi:

gyy = 3·gx - (8 + 2·b)·gy + (3·a - 8·b - b2)·g

Sedan är det ju en smaksak vad man menar med att förenkla, men själv skulle jag nog försöka välja a och b så att koefficienterna för gx och g blir noll. Detta krav ger b = -4 och a = -16/3 och den resulterande differentialekvationen blir:

gyy = 3·gx

Detta är ju värmeledningsekvationen och hur man löser denna står t.ex. i "Partial Differential Equations" av Fritz John.

Hans Öfverbeck


15 maj 2001 11.35.09
Hejsan. Jag har ett problem jag inte kan förklara. Jag har två serier med parvisa värden: energiförbrukning xi (MWh)och yta yi(m2). Den specifika förbrukningen per yta blir kvoten xi/yi (MWh/m2). Om jag nu vill ha medelvärdet för förbrukningen per kvm för hela talserien, vilket är det korrekta sättet att beräkna detta? Om man beräknar (xi/yi)/n så får man ju inte samma svar som om man beräknar summa(x1...xn)/summa(y1...yn). På något sätt har jag för mig att man inte kan beräkna medelvärdet av kvoter, eller att detta åtminstone får mågon annan innebörd än den man vill ha. Är det så att kvotberäkningen omfördelar "tyngden" av vissa enskilda data i de ursprungliga serierna? Jag skulle rösta för att det andra av de två beräkningsalternativen är det korrekta, men skulle vilja ha argument för detta. Tacksam för svar.
Agneta

Svar:

Vad man menar med medelvärde är olika från gång till gång, man får försöka hitta på vettiga tolkningar utifrån de övriga fakta man har. Om man i ditt fall betraktar medelvärdet:

A = (1/n)·sumni=1 (xi/yi) = sumni=1 (1/n)·(xi/yi)
När vi flyttar in faktorn 1/n i varje term kan vi tolka den som en vikt för termen (xi/yi). I medelvärdet ovan har alla termer således samma vikt oavsett hur stor area de motsvarar, detta kan leda till orimligheter; antag att jag har en friggebod på 10m2 och en villa på 300m2 då skulle energiförbrukningen för den lilla friggeboden viktas in lika mycket som energiförbrukningen för villan, detta verkar orimligt.
Ett enligt min mening mer meningsfullt medelvärde fås om man viktar varje term med hur stor del av det totala beståndets area lokalen utgör, låt Y = sumni=1 yi, medelvärdet blir då:

B = sumni=1 (yi/Y)·(xi/yi) = sumni=1 xi/Y = ( sumni=1 xi )/Y
Alltså får vi det andra av dina alternativ, och du har härmed fått en motivering till varför det är rimligt.

Hans Öfverbeck


15 maj 2001 08.52.15
var kan man hitta ett bra studiemedel i matte för barn som behöver träna grunder. vore bra med data spel?
carolineforsbergdegeersgatan51norrköping

Svar:

Då denna fråga ligger utanför mitt kunskapsområde hänvisar jag till Fråga Kristianstad om matematikdidaktik.

Hans Öfverbeck


14 maj 2001 22.52.29
Hej. Jag undrar hur man kan bevisa att kvadratroten ur 13 är ett irrationellt tal, jag har bara stött på bevis för kvadratroten ur 2. Går det att generalisera på något vis, så att det kan gälla exempelvis alla primtal? Tack på förhand.
Anders Ström

Svar:

Javisst kan man generalisera resonemanget till alla primtal:
Låt p vara ett godtyckligt primtal och antag att det finns heltal a och b > 0 som är relativt prima och sådana att:
sqrt(p) = a/b
kvadrering ger:
p = a2/b2
multplicera upp b2:
p·b2 = a2
vilket ger att p delar a2 = a·a, eftersom p är ett primtal ger detta att p delar a, för att se detta kan man använda t.ex. entydig primfaktorisering av heltal:
Om vi har en faktorisering av a i primfaktorer får vi en primfaktorisering av a2 genom att ta varje primfaktor i a upphöjt till två. Eftersom p·b2 = a2 och primfaktoriseringen är entydig måste faktorn p finnas i faktoriseringen av a2, men varje primfaktor här finns i faktoriseringen av a, således är p en delare till a.
Det följer alltså att det finns ett heltal c sådant att a = p·c. Resten av beviset är nu helt analogt med fallet p = 2.

Hans Öfverbeck


14 maj 2001 20.12.07
Hej! Jag håller på med ett arbete om matriser och jag undrar hur man får fram inversen till en 3*3 matris. Det måste väl finnas en formel för detta. Den formel jag använder till en 2*2 matris är: 1/ab-bc * [d -b] [-c a]. Jag har tittat lite i boken "Lineär algebra med geometri" (Andersson m fl) men den verkar lite för avancerad. Jag läser på gymnasienivå och i vår bok står det att metoden ovan kan användas till att lösa ekvationssystem med mer än två obekanta, men de beskriver inte hur utan inversen är redan given. Hoppas på svar. M V H Mange
Mange

Svar:

Det enklaste sättet att lösa lineära ekvationssystem brukar allmänt anses vara m.h.a. så kallad Gauss-elimination. Vid Gauss-elimination räknar man inte ut inversen till koefficientmatrisen utan räknar direkt ut lösningen, denna metod har även fördelen att den går att använda för att lösa system med olika antal obekanta och ekvationer. Om man prompt vill räkna ut inversen till en matris finns en explicit formel som ibland kallas för "Cramers regel", denna är dock inte särskilt praktisk för att verkligen räkna ut en invers.
Låt:

/ a b c \
A = | d e f |
\ g h i /
I specialfallet n=3 ger då Cramers regel:

/ei - fh ch - bi bf - ce \
A-1 = (aei + bfg + cdh - afh - bdi - ceg)-1 | fg - di ai - eg cd - af |
\ dh - eg bg - ah ae - bd /

En annan metod för att räkna ut inversen till en n·n-matris finns beskriven i 17 mars 2000 22.24.49.

Hans Öfverbeck


13 maj 2001 19.47.45
Vad är ekvationen för andragrads-kurvan med följande egenskaper:
f(0)=0 , f(40)=0 , f(20)=25 , f´(20)=0
Mogge

Svar:

De båda sista villkoren ger att f(x)=25+c(x-20)2 för någon konstant c. Eftersom f(0)=f(40)=0 för c=-25/400 så finns en sådan kurva även om villkoren är för många. (De tre första bestämmer kurvan och det fjärde följer av de två första för en andragradskurva.)

Joakim Petersson


13 maj 2001 18.51.57
Vilket är större (utan att använda miniräknare) pi^e eller e^pi, visa också att pi > e, utan miniräknare
Jonte

Svar:

För det första är e=2+sumn=0oo 1/(n+2)!<2+sumn=0 oo 1/(n+1)(n+2)=3. En liknande uppskattning som visar att Pi>3 är, eftersom sumk=noo 1/k2 >sumk=noo 1/k(k+1)=1/n och förutsatt att man känner till Eulers vackra formel sumn=1oo 1/n2=Pi2/6,följande, nämligen Pi2/6>1+1/2=3/2. Alltså är e<3<Pi, som vi alla känner till. Genom att logaritmera får vi att ePi >Pie, vilket skall visas, är ekvivalent med att Pi/ln(Pi)>e. Detta följer emellertid av att k/ln(x)>e, x>e. Bevis: Likhet gäller för x=e och derivatan 1/ln(x)-1/ln(x)2 >0, ln(x)>1. Strikt olikhet för x>e följer av medelvärdessatsen.

Joakim Petersson


13 maj 2001 17.08.09
vad är cirkelsektor

Svar:

En cirkelsektor är ett område inom en cirkel som begränsas av två radier (strålar ut från cirkelns centrum till dess periferi). Ordet tårtbit säger precis vad det handlar om.

Joakim Petersson


13 maj 2001 14.12.21
Hej Anna Torstensson! Den 6 maj svarade du på en fråga angående volymsbevarande funktion. Tack, det var till stor hjälp, men, på slutet förstår jag inte vad du menar. Om du har möjlighet förklara gärna detta lite mer ingående: "Det är klart att alpha inte kan vara noll så vi får f(x2)f'(x2) = +/- 1/alpha. Genom att ta primitiv funktion på båda sidor ser vi att f(x2)2 =C för någon konstant C varav det följer att f(x2) = +/-sqrt( C). Då måste f'(x2)=0, vilket motsäger att f(x2)f'(x2) = +/- 1/alpha <> 0. Alltså saknar problemet lösning. Det finns inget volymsbevarande variabelbyte på den föreslagna formen." Hur får du fram de primitiva funktionerna? Tack på förhand.
Lotta

Svar:

Svaret är nu korrigerat.

Kjell Elfström


13 maj 2001 13.32.46
Vad är egentligen definitionen av ett "litet" tal? Menar man ett till beloppet stort, negativt tal, eller ett tal som närmar sig noll? Vore det inte enklare att kalla stora, negativa tal för "låga" tal och tal nära noll för "små" tal?
Ilja Alaoja

Svar:

När man talar om små tal så menar man tal som är små till beloppet. Det föreligger då en konflikt med ordningsrelationen mindre än, som ju indikerar att ett tal ligger till vänster om ett annat på tallinjen. Man undviker emellertid eventuella problem genom att precisera om negativa eller positiva (eller bådadera) tal avses. Jag tycker tex att det går utmärkt att säga att -1000 är ett ganska stort negativt tal även om det är mycket mindre än noll. Ordet låg förekommer förstås i andra sammanhang som tex låga temperaturer (kanske tom nära den absoluta nollpunkten), men det är inget vedertaget språkbruk vid tal om tal (reella).

Joakim Petersson


11 maj 2001 18.19.12
Tillägg till frågan 3 maj 2001 02.15.36: Det finns en hel del material om Morleys sats på nätet. Ett bevis med hjälp av elementär trigonometri finns här: http://www.cut-the-knot.com/triangle/Morley/
Bengt Månsson

Svar:

Vi tackar Bengt för detta bidrag.

Joakim Petersson


10 maj 2001 11.59.30
Bäste Hans. I och med det beklagliga faktum att du givit en felaktig lösning till problemet '25 April 2001 19.28.16', dristar jag mig att ge ett alternativt lösningsförslag. Här är det fråga om (enkel) likformighet. De två trianglarna är likformiga eftersom minst två vinklar är lika. Sätt kvadratens sida till 1 och den lilla triangelns höjd till h. Stora triangelns höjd blir då (1-h). Med likformigheten fås (1-h)/1 = h/(1/2) vilket efter förenkling ger h = 1/3 och följdaktligen arean 1/12. Mvh
T. Gustafsson

Svar:

(Jag dristar mig till att ge ett svar i Hans ställe.) Ditt lösningsförslag är alldeles utmärkt, och dessutom helt riktigt. I det ovan nämnda svaret påstås att en vinkel ACB är 60 grader, vilket är felaktigt. Även vi på den här sidan gör fel ibland, så det är bra med alerta läsare som T. Gustafsson. Det ursprungliga svaret är också korrigerat.

Joakim Petersson


10 maj 2001 11.03.16
Hej! Jag skulle vilja veta hur Arkimedes gjorde för att beräkna en integral.
Emil

Svar:

Resurser på nätet om Arkimedes finns bla här. Arkimedes var mycket nära att införa integralbegreppet, men gjorde det dock inte. Hans metod har kallats exhaustionsmetoden.

Joakim Petersson


9 maj 2001 18.30.35
Hej! Jag har ett stryktipssystem på 4 helgarderade och 4 halvgarderade matcher. Om jag missar en halvgardering hur många rader med 12 rätt, 11 rätt och 10 rätt får jag. Vad får jag om jag missar två halvgarderingar? Visa göra på ett utförligt sätt hur man beräknar detta. Har ni en finurlig formel så var vänliga att sätt in siffrorna i formlen, detta underlättar att förstå den. Tack för hjälpen.
Sam

Svar:

Jag skall använda beteckningen C(n,k)=antalet sätt att välja ut k element (tex stryktipsmatcher) ur en mängd med n element. (C(n,k) kallas också en binomialkoefficient, eftersom koefficienten framför xkyn-k i utvecklingen av (x+y)n är C(n,k) (binomialsatsen).) Dessa är lätta att beräkna direkt för små värden på n och k och fås genom n!/(k!(n-k)!) på miniräknaren. Vi använder de enkla fakta att valmöjligheter kan delas upp i olika fall och adderas, och att valmöjligheterna multipliceras när man står inför ett antal oberoende val. Låt oss nu anta att systemet består av 4 helgarderade och 4 halvgarderade matcher och allt utom en halvgardering slår in. "Märk" den missade matchen med F. 12 rätt kan fås på 2 sätt, för det finns 2 alternativ i F-matchen (de båda felaktiga tipstecknen). 11 rätt kan fås på 2(C(4,1)*2+C(3,1)*1)=22 sätt. Tänk så här: det finns 2 alternativ i F-matchen, ytterligare en F-match skall väljas, antingen ur helgarderingarna vilket ger 2 alternativ eller ur de återstående halvgarderingarna vilket ger 1 alternativ (den felaktiga garderingen). Tänk på samma sätt då för 10 rätt 2 F-matcher till skall väljas ut. 10 rätt kan fås på 2(C(4,2)*22+C(4,1)*2*C(3,1)*1+C(3,2)*12)=2(24+24+3)=102 sätt. Vi antar nu i stället att 2 halvgarderingar missas. 11 rätt kan fås på 22=4 sätt och 10 rätt kan fås på 22(C(4,1)*2+C(3,1)*1)=44 sätt (observera att detta är 2 ggr antalet 11:or med en missad gardering). Hoppas detta är läsbart och tillräckligt utförligt. Jag lämnar nu till dig att beräkna motsvarande med m helgarderade, n halvgarderade och k missade halvgarderingar (även k=0) medan de säkra matcherna går in.

Joakim Petersson


9 maj 2001 18.11.45
kurvan Y=b-ax^2,där a och b är possitiva heltal begränsar tilsammans med de possitiva koordinat axlarna ett område som roterar runt y-axlen kn man bestämma heltalen a och b så att rotationskroppen får volymen 10Pi volymenheter
göran Carlsson

Svar:

Rotationskroppens volym är (tex enligt satsen om upprepad integration) V=int0b Pi*x2 dy=Pi*int0b (b-y)/a dy=Pi*b2/(2a). Villkoret är att b2=20a, a och b positiva heltal. Primtalen 2 och 5 delar b2, alltså delar de b. Det följer att 10 delar b och den allmänna lösningen är a=5m2, b=10m, m=1,2,...

Joakim Petersson


9 maj 2001 15.04.54
Jag söker efter en formel i kombinatorik som är relaterad till "n över k" => C(n,k) = (n!)/((n-k)!k!). Finns det en bra sätt att räkna ut C(n,*), dvs kombinationer av alla möjliga k (1 <= k <= n)? Visst kan man bara summera C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) men jag är nyfiken om någon kan en bättre metod.
Wesley Schaal

Svar:

Jag hoppas att du går med på att definiera C(n,0)=antalet kombinationer av 0 element=1. Antalet kombinationer över alla k=0,1,..n är då antalet olika delmängder av en mängd med n element. Detta antal är 2n, för varje element kan antingen ingå i delmängden eller inte. Vid snarlika summationer kan man också ofta ha nytta av binomialsatsen: (1+x)n=sumk=0n C(n,k)xk, förutom rent kombinatoriska resonemang.

Joakim Petersson


9 maj 2001 15.01.40
Hur går jag till väga för att bestämma värdet av a i ekvationen y = a cosh (x/a) då cosh x = (e^x + e^-x)/2 x och y är i detta fall konstant men det är metoden som förbryllar. MVH
Nils

Svar:

Vi skall för givna x och y bestämma a (om det går). Vi kan anta att a>0, spegla annars i x-axeln. Om x=0 är lösningen a=y. Om x ≠ 0 beror lösbarheten på kvoten c=y/x. Vi kan i fortsättningen anta att x och y är positiva. Sätt också t=x/a. Ekvationen cosht=ct skall lösas. Detta kan man göra grafiskt eller med någon numerisk metod. Detta ger sedan a=x/t. Man ser grafiskt att det för små c saknas lösning medan det för c>d finns precis två lösningar. Det kunde vara intressant att bestämma d. Frågan är hur många nollställen f(t)=cosht-ct har för t>0. Eftersom derivatan f'(t)=sinht-c är växande finns precis en minimipunkt s, och sinhs=c. Vi får att fmin=coshs-cs=sqrt(1+c2)-cln(c+sqrt(1+c2)). fmin=0 för c=d ungefär lika med 1.52. För c mindre än detta värde saknas nollställen och för större c finns precis två nollställen, som alltså ger två lösningar a till den ursprungliga ekvationen.

Joakim Petersson


8 maj 2001 17.29.07
Hej! Jag har haft en del problem med detta problem och vi ha lite klarhet i saken. Det finns en TV-tävling där reglerna är som följer: Bakom en av tre luckor finns ett stort pris. För att vinna priset gäller det för deltagaren att gissa bakom vilken lucka priset finns. Tävlingen börjar med att deltagaren väljer ut en lucka utan att öppna den. Därefter öppnar tävlingsledaren en av de andra två luckorna där priset inte finns. I det här läget får deltagaren välja om han vill hålla kvar vid den lucka han först valde och se om priset finns där, eller byta till den andra ännu ej öppnade luckan. En gång när en deltagare fick frågan om han ville byta svrade han - "Absolut, chansen att vinna ökar om man alltid byter." Detta svar startade en stor diskussion bland de lärde. Stämmer det? MVH Alex
Alex

Svar:

Man måste givetvis förutsätta att prisets placering är fullständigt slumpmässig, alla luckor är lika sannolika. Det är så att strategin att alltid hålla kvar vid sitt första val vinner med sannolikheten 1/3 och strategin att alltid byta lucka vinner med sannolikheten 2/3 (och förlorar i den 1/3 av fallen då valet var rätt från början).

Joakim Petersson


8 maj 2001 16.42.09
Givet N>n_{0}>0, på hur många sätt kan vi addera n_{0} heltal så att: sum(e_{i})=d_{j}, 0<=d_{j}<=n_{0}*(N-n_{0}) med restriktionen 0<=e_{i}<=N-n_{0} den genererande funktionen var inget problem men jag skulle ha stor nytta av en bra rekursion för att beräkna koefficienterna. finns det? hjälp belönas med en egen rad i mitt acknowledgement (om/när min avhandling blir klar).
Mickael.Salabasis@hhs.se

Svar:

Omskrivet är ditt problem att avgöra antalet heltalslösningar till x1+...+xn=d, 0>=xj>=e för alla j. Problemet utan restriktionen med heltalet e (och även om e>=d) har den välkända lösningen C(n+d-1,d), vilket är koefficienten för xd i 1/(1-x)n. Den genererande funktionen i det allmänna fallet är (1+x+...+xe)n=1+...+Axd+...=((1-xe+1)/(1-x))n. Om man faktoriserar här och således multiplicerar den vanliga genererande funktionen med (1-xe+1)n=1-nxe+1+..., så får man C(n+d-1,d)+ korrigerande termer (om e<d) som inte är så många om e är stort i förhållande till d. Men detta har du förstås redan tänkt på och är kanske inte till så mycket hjälp. Det är möjligt att det finns en klassisk lösning som jag inte kan på rak arm. För övrigt har jag en känsla av att matematikprogram som tex maple är väldigt duktiga på att direkt beräkna koefficienter i utvecklingar som (1+x+...+xe)n, så rekursionsformler kanske inte behövs.

Joakim Petersson


8 maj 2001 16.02.09
Hej! Hur löser man integralen I1=Integral_0_till_inf {(1/y)*[exp(-a*y)-exp(-b*y)]}dy = ln(b/a). Tack på förhand.
Jan

Svar:

Om jag får vara gnällig så löser man inte integraler, de beräknas eller bearbetas på olika sätt. Nu till denna klassiska integral. Om integranden skrivs som intab e-xy dx så får man ln(b/a) formellt genom att byta integrationsordning. Ett enkelt sätt att visa att detta är tillåtet är räkningen IR=int0R dy intab e-xy dx=intab [-1/x*e-xy] 0R dx=intab (1-e-Rx)/x dx -> intab dx/x då R -> oo eftersom integranden konvergerar likformigt på [a,b] (jag hoppas att det resonemanget är bekant).

Joakim Petersson


8 maj 2001 11.58.27
Hej! Sannolikheten att två på måfå valda heltal är relativt prima är 6/pi^2 (P.G.L. Dirichlet 1847) Hur skulle ni visa det?
Marko

Svar:

Eulers phi-funktion phi(n) står för antalet k mellan 1 och n relativt prima till n (alltså är phi(6)=2, för 1 och 5 är relativt prima till 6). Sannolikheten i fråga är inte väldefinierad och vad man menar är följande: Låt N vara stort och betrakta bara positiva heltal tal som inte är större än N. Då finns C(N,2)~N2/2 sätt att välja två sådana heltal. Av dessa par är exakt sumn<=N phi(n) relativt prima. Sannolikheten att två på måfå valda heltal är relativt prima definieras som gränsvärdet (som existerar) av kvoten av dessa tal då N -> oo. För att hänga med i fortsättningen av beviset måste man känna till en del om talteoretiska funktioner som Riemanns zeta-funktion och Möbiusfunktionen. Det gäller att sumn<=N phi(n)=sumn<=N sumd|n n/d*mu(d)=sumd<=N mu(d) sumi<=N/d i ~ sumd<=N mu(d)*N2/(2d2) ~ N2/2*sumd=1oo mu(d)/d2=N2/2*1/zeta(2)=N2/2*6/Pi2. Det följer att kvoten har gränsvärdet 6/Pi2=0.608.

Joakim Petersson


7 maj 2001 19.57.49
Finns det fler sätt att bevisa pythagoras sats än att rita tre kvadrater, en vid vardera sida om trianglen och visa att de två minsta tillsammans är lika stora som den största?
Joel Lerman

Svar:

Ja, det finns många sätt att bevisa Pythagoras sats. Ett sätt kan illustreras av fyra kopior av triangeln med kateter a och b och hypotenusa c och en kvadrat med sidan c (om man vill kan man klippa ut dem i papper tex). Pussla sedan samman dem till en kvadrat så att ekvationen (a+b)2=c2+4ab/2 kan avläsas. Men då trillar Pythagoras sats a2+b2=c2 ut efter förenkling. Här var inga kvadrater på sidorna a och b inblandade.

Joakim Petersson


7 maj 2001 16.49.49
Hur löser man ett max/min problem för funktionen f(x,y) = (e^(-x -y))*(y^2 + x) där x och y är större eller lika med -1 funktionen gäller över ett oändligtstort område i planet x,y.
Eric L

Svar:

Det kan vara bra att ta reda på var funktionen är positiv och var den är negativ. Visa sedan att funktionen går mot 0 då x+y går mot oo. Bestäm vidare vilka stationära punkter som finns. De är kandidater till maximi- och minimipunkter. Undersök ränderna och använd att en kontinuerlig funktion på en kompakt mängd (sluten och begränsad) antar både ett största och ett minsta värde.

Joakim Petersson


7 maj 2001 16.07.21
hej, hur förenklar man en diffekv: 2(df/dx) + 3(df/dy) = d^2f/dy^2, genom att använda substitutionen f(x,y)=e^(ax+bx) * g(x,y). Hur går man tillväga för att välja lämpliga värden på a & b ? tack på förhand
christian

Svar:

Sätt f=eax+byg. Då är, med andra beteckningar, VL=eax+by (2ag+2gx+3bg+3gy) och HL=eax+by(b2g+2bgy+gyy). Välj a och b så att 2a+3b=b2 och 3=2b. Ekvationen reduceras därvid till 2gx=gyy, vilket är värmeledningsekvationen för g.

Joakim Petersson


7 maj 2001 14.56.49
Hur visar jag att
funktionen f(x)= 3 om x tillhöt [o,1)
                 2 om x=1
                 x om x tillhör (1,3)
                 4 om x=3
Är Riemann intergrerbar och vad är integralen mellan [0,1]? Tack på förhand
Wema

Svar:

Du kan använda att en begränsad funktion som är kontinuerlig utom i ett ändligt antal punkter (styckvis kontinuerlig) är Riemannintegrerbar (bör vara en sats i din lärobok). Integralen blir densamma som om f(x)=3 på hela [0,1], dvs 3. En översumma får du av denna konstanta funktion och en undersumma som kommer godtyckligt nära översumman genom att låta en approximerande trappfunktion vara lika med 2 i en liten omgivning av x=1.

Joakim Petersson


7 maj 2001 13.56.17
"Hej" "Vilka är lösnings formlerna för dessa ekvationer?" ax^3+bx^2+cx+d=0 ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 "Anders Granlund"
Anders Granlund

Svar:

Se 14 december 1997 13.32.37.

Joakim Petersson


6 maj 2001 17.27.51
Jag hade tänkt att läsa matematik kurs d på distans. Hur fungerar det egentligen?. Var ska man vända sig ifall man vill börja en sådan kurs.
Fredrik

 Svar: Jag vet inte hur distansundervisningen går till men kontakta komvux på den ort där du bor så kan de säkert hjälpa dig. Telefonnummret kan du hitta i telefonkatalogens rosa sidor eller på internet.

Anna Torstensson


6 maj 2001 14.23.48
Hej! Jag undrar hur man beskriver hur man kan avgöra om en variabeländring från x1, x2, x3 till variablerna y1, y2, y3 är volymsbevarande. Hur kan man om man väljer funktionen f(x) och konstanten Alpha få följande variabeländring volymsbevarande? y1 = f(x2)sin(Alphax1) y2 = f(x2)cos(Alphax1) y3 = x3
Lotta

Svar: Den lokala volymsförändringen vid ett variabelbyte i tre dimensioner ges av absolutbeloppet av determinanten av funktionalmatrisen för variabelbytet. Funktionalmatrisen för variabelbytet y1=h1(x1,x2,x3),y2=h2(x1,x2,x3) , y3=h3(x1,x2,x3) är matrisen som på rad i innehåller yi:s partiella derivator med avseende på x1, x2 och x3. För det variabelbyte du beskriver blir funktionalmatrisen (utskriven rad för rad) [alpha f(x2) cos(alpha x1), f'(x2) sin(alpha x1), 0] [-alpha f(x2) sin(alpha x1), f'(x2) cos(alpha x1), 0] [0,0,1]. Den har determinant alpha f(x2) f'(x2) (cos2(alpha x1)+sin2(alpha x1))=alpha f(x2) f'(x2). För att variabelbytet skall vara volymsbevarande måste alltså |alpha f(x2) f'(x2)| = 1 för alla x2. Det är klart att alpha inte kan vara noll så vi får f(x2)f'(x2) = +/- 1/alpha. Genom att ta primitiv funktion på båda sidor ser vi att f(x2)2 =+/- 2x2/alpha + C för någon konstant C. Låt oss för enkelhets skull söka en lösning med C=0 och alpha positivt. Då får vi att f(x2)=sqrt(2x2/alpha). Då blir |alpha f(x2) f'(x2)|=1 så detta ger en lösning till problemet för varje alpha > 0. Enklaste variabelbytet av sökt typ får vi då alpha=1 vilket ger y1=sqrt(2x2)sin(x1), y2=sqrt(2x2)cos(x1) och y3=x3

Anna Torstensson


6 maj 2001 13.06.12
Hej! Hur kan man visa att funktionen f(x) = sin(sin(k*x)) har perioden T = 2*pi/k (räknat i radianer)? Kan man generellt säga något om perioden för p(x) = sin(g(x)), om man vet att g(x) har perioden T?
Johan

Svar: Att en funktion h har period T betyder att h(x+T)=h(x) för alla x. Om man sätter samman h med en annan funktion k får även sammansättningen period T eftersom k(h(x+T))=k(h(x)) för alla x. I ditt exempel har vi att f(x+T)=f(x+2 pi/k)=sin(sin(kx+2pi))=sin(sin(x))=f(x) vilket visar att f har period T.

Anna Torstensson


6 maj 2001 11.10.09
Jag har en fråga om derivator. På ett prov jag fick för några veckor sedan vardär en fråga. "I vilken av de markerade punkterna på kurvan är derivatan minst?". Så var där en kurva med olika punkter. Punkernas derivata. A>0, B=0, C<0, D=0, E>0. Min lärare säger att det är punkten C som har den minsta derivatan eftersom den är mindre än 0. Men jag tycker punkterna B och D har minsta derivatan eftersom kurvan lutar minst i dessa punkterna. Vem har rätt?
Fredrik

Svar: Din lärare har rätt. Ett negativt tal är mindre än noll. Däremot är derivatans absolutbelopp, och därmed kurvans lutning, minst i punkterna B och D.

Anna Torstensson


5 maj 2001 09.55.33
hej! jag läste om Kochs snöflinga. En fråga Ove Jansson hade den 18 mars 1999. Kan ni hjälpåa mig att tolka det svar som Andreas Axelsson gett till Ove. Jag förstår inte hur arean kan bli 8/5*A. Jag anser att arean kommer att öka hela tiden dock är jag medveten om att den inte kommer att öka med mycket när n går mot oändligheten. Jag är också införstådd med att man kan säga att arean är ändlig och omkretsen är oändlig ifall man innesluter Koch´s stjärna i en cirkel.
Guran

Svar: Du har rätt i att arean arean ökar varje gång man förfinar snöflingan. Precis som Andreas Axelsson skriver i sitt svar så ökar arean med (1/3)(4/9)n-1 i steg n.  Om man summerar dessa oändligt många bidrag till den totala arean får man dock ett ändligt resultat eftersom bidragen minskar tillräckligt mycket med n. Hoppas att det blev klarare. Annars får du skriva och tala om precis vad det är du inte förstår i Andreas Axelssons svar så att jag kan förklara det.

Anna Torstensson


4 maj 2001 21.12.43
Två tal som vi har problem med, kan ni hjälpa oss? Den stokastiska variabeln X har täthetsfunktionen fx(x)=x/2 för 0<=x<=2. Bestäm P(1<=X<=2) Låt X vara en diskret stokastisk variabel med sannolikhetsfunktion px(x)=0,6*0,4^k, k=0, 1, 2,... P(1<=X<4) Snälla rara söta HELP!!!
Mollan

Svar: Sannolikheten för att X skall ha ett värde mellan 1 och 2 får man genom att integrera täthetsfunktionen mellan dessa två värden. Alltså är P(1<=X<=2) = integral [1,2] x/2 = [x2/4]12 = 3/4. När det gäller diskret sannolikhet är det bara ett summera sannolikheterna för de olika värden på den stokastiska variabeln man är intresserad av. Svaret på din andra fråga är alltså P(1<=X<=4)= 0,6(0,4+0,42+0,43+0,44)=0,38976.

Anna Torstensson


4 maj 2001 16.32.51
Från en fontän sprutar vatten med en hastighet av 12 m/s i alla riktningar "alfa" i intervallet -v < "alfa" < v. Med lämpligt koordinatsystem kan banan för en vattendroppe skrivas: X = 12 cos "alfa" * t Y = 12 sin "alfa" * t - (9,8t2)/2 Undersök gränskurvans utseende med avseende på v.
Malinarna

Svar: Den här frågan har förekommit tidigare. Se svaret från  15 april 1997 19.49.50 .

Anna Torstensson


4 maj 2001 12.59.27
Jag skulle vilja veta vad beviset för imaginära tals existens är.
Nasim Naraghi

Svar: Ett komplext tal definieras som ett uttryck på formen a+bi, där a och b är reella tal. Om a=0 kallas talet imaginärt. Vad man kan visa är att dessa objekt uppfyller de vanliga räknelagarna om man definierar addition och multiplikation genom

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

dvs genom att addera/mutiplicera uttrycken för de båda talen och sedan byta ut i2 mot -1. Detta visar att komplexa tal är ett användbart begrepp. Om ett matematiskt begrepp kan sägas existera och vad man i så fall menar med det är en fråga för matematikfilosofin. Jag ser matematiska begrepp som rena tankekonstruktioner som vi matematiker sedan undersöker olika egenskaper hos. Detta är förstås ett förenklat synsätt eftersom det genom naturvetenskaperna verkar finnas någon typ av korrespondens mellan matematiska konstruktioner och de iakttagelser vi gör av verkligheten. Hur detta kommer sig finns det olika teorier om inom vetenskapsteorin som är en del av filosofin.

Anna Torstensson


4 maj 2001 10.10.18
beskriv hur man optimerar en funktion f(x,y,z) med två bivilkor: g1(x,y,z)=0 och g2(x,y,z)=0 /genomför detta för: f(x,y,z)=5x+3y+2z g1(x,y,z)=2xx+3yy+zz-1=0 g2(x,y,z)=4x+2y+z-5=0
Jonas Månsson

Svar: Optimum återfinns i någon av de punkter där funktionens och bivillkorens gradienter är lineärt beroende. Om man har tre villkor i tre variabler kan man undersöka detta genom att se när determinanten för matrisen med gradienterna som rader blir noll. Matrisen blir alltså i vårt exempel [5,3,2], [4x,6y,2z], [4,2,1]och determinanten 4x-18y+4z. Sedan löser man det system som fås av att determinanten är noll och båda bivillkoren uppfyllda. I det exempel du beskriver finns dock inga lösningar eftersom båda bilvillkoren aldrig är uppfyllda samtidigt. Från första villkoret följer nämligen att -1/sqrt(2) <= x <= 1/sqrt(2), -1/sqrt(3) <= y <= 1/sqrt(3), -1 <= z <= 1, så 4x+2y+z <=4/sqrt(2)+2/sqrt(3)+1 <5 vilket visar att andra villkoret inte kan vara uppfyllt.

Anna Torstensson


3 maj 2001 21.16.09
Vilket är det högsta kända talet och hur många nollor är det i det talet? Alltså: Vad HETER det högsta talet, typ - fantastiljon eller så...
Zoran Scheen

Svar: Det finns inget största tal. Givet ett tal kan man ju alltid lägga till en siffra på slutet och på så sätt få ett nytt, större tal. Angående stora namngivna tal, se svaren från  14 mars 1999 17.38.34 och  21 mars 1999 16.54.48 .

Anna Torstensson


3 maj 2001 17.37.27
Kan du i ord berätta skillnaden mellan standardavvikelse och varians
Johan

Svar: Standardavvikelsen är roten ur variansen. I fallet med diskret sannolikhet, dvs då ändligt många olika utfall är möjliga, definieras variansen på följande sätt. Låt x1, x2, ... xn vara värdena på det som skall uppskattas för de olika möjliga utfallen. Då är väntevärdet

E=x1Slh(x1)+x2Slh(x2)+ ... + xnSlh(xn),

där Slh(xk) betyder sannolikheten för värdet xk. När man väl räknat ut E kan man beräkna variansen

V=(x1-E)2Slh(x1)+(x2-E)2Slh(x2)+ ... +(xn-E)2Slh(xn).

Se till exempel på kast med en tärning. Då är x1=1, x2=2, ... , x6=6 de olika möjliga värdena. De har alla sannolikhet 1/6 så väntevärdet blir E=1/6*(1+2+...+6)=7/2 och variansen V=1/6((1-7/2)2+(2-7/2)2+...+(6-7/2)2)=35/12 och standardavvikelsen S=sqrt(V)=sqrt(35)/(2sqrt(3)) vilket blir ungefär 1,71.

Anna Torstensson


3 maj 2001 08.52.09
Hur bevisar man PI? Det finns flera sätt vilka finns det? var hittar man Ex.?
Anders

Svar: Pi är en konstant så jag vet inte vad du menar med att bevisa pi. Du menar kanske hur man beräknar pi? I så fall kan jag rekommendera internetsidan  The Pi Page .

Anna Torstensson


3 maj 2001 04.30.13
Goddag! Hur tar man primitiv funktion av y = 1/(A*cos(x)+b)?. Och, är det möjligt att sedan lösa ut "x" efter "primitiviseringen"?. Innehar endast E-kurskompetens i gymnasiematte - mycket tacksam för ett enkelt formulerat svar. Tack.
M. Flodin

Svar: En substitution som alltid fungerar när integranden är en rationell funktion i sinus och cosinus är t=tan(x/2). Då blir cos(x)=(1-t2)/(1+t2) och dx/dt=2/(1+t2). Efter substitutionen blir integranden 2/(A(1-t2)+b(1+t2)). Sedan uppstår två olika fall beroende på om andragradspolynomet i nämnaren har reella rötter eller inte. Om det finns reella rötter +/-r kan integranden partialbråksuppdelas, dvs skrivas som C/(t-r)+D/(t+r) för några konstanter C och D. Primitiv funktion blir då -C ln|t-r| +D ln|t+r|. Om rötterna inte är reella får vi efter att ha brutit ut en lämplig konstant en integrand på formen 1/(1+ct2) där c är positiv. Substitutionen s=sqrt(c)t visar sedan att arctan(sqrt(c)t)/sqrt(c) är en primitiv funktion. Att lösa ut x verkar svårt, men för lämpliga värden på konstanterna A och b går det kanske.

Anna Torstensson


3 maj 2001 02.15.36
Trissektriserna till vinklarna i en triangel möts på hörnen av en liksidig triangel. Jag hade ett bevis för detta en gång, men har tappat bort det. Hur bevisar man det?
Torbjörn Lindelöf

Svar: Det samband du talar om kallas Morleys sats efter Frank Morley som upptäckte det 1904. Ett elementärt bevis för Morleys sats finns i boken "Mathematical Gems" av Ross Honsberger.

Anna Torstensson


2 maj 2001 16.53.43
Hej, jag har kört fast och skulle bli extremt tacksam för hjälp med denna fråga. Visa att en ändlig cyklisk grupp av ordningen n har exakt en delgrupp, vars ordning d delar n, och att det är alla såna delgrupper som finns. tacksam för svar.
Sven-Olof Nylander

Svar: Att en grupp G är cyklisk betyder att den generaras av ett element, dvs att det finns g så att G={gk | k heltal} Om g skall vara ändlig måste det finnas ett minsta positivt k sådant att gk=gm m<k. (Annars skulle vi ha oändligt många olika element i gruppen.) Efter multiplikation med g-m får vi gk-m=g0=e. Detta visar att det finns positiva potenser k med gk=e. Låt n vara den minsta sådana potensen. Då är G={e,g,g2,...,gn-1} eftersom vi kan multiplicera ett godtyckligt element gk med en lämplig potens av e=gn så vi efter multiplikationen får en exponent mellan 0 och n-1. Låt nu H vara en undergrupp till G. Låt j vara det minsta positiva tal sådant att gj ligger i H. Då ligger {e,gj ,g2j, g3j, ...} i H. Välj s som det största talet med sj <=n. Nästa element i H blir då g(s+1)j=g(s+1)j-n, där 0<= (s+1)j-n <= j. Eftersom j var lägsta positiva potensen av g som ligger i H måste sj=n och H={e,gj , ...,g(s-1)j}. Detta visar att H har s element där s|n. Å andra sidan har vi visat att alla undergrupper till G kan beskrivas på detta sätt så givet s och därmed j=n/s, den lägsta förekommande potensen av g, är H entydigt bestämd.

Anna Torstensson


2 maj 2001 15.42.39
hej, vi har stött på ett problem när vi har tagit upp kongurens av trianglar och vi undrar om över sats 1 (3:e kongurensfallet) vinkel-sida-vinkel. Måste v-s-v gälla eller är det som vi tror att det räcker att man vet två vinklar och en sträcka (v-v-s) för att bestämma kongurens. Är tacksam för ett svar som innehåller ett geometriskt motbevis om inte v-v-s gäller.
guran och gänget

Svar: Två vinklar i vardera triangeln räcker alltid för att kontrollera om två trianglar (i planet) är kongruenta. De tredje vinkeln kan man ju alltid beräkna då vinkelsumman i en plan triangel är 180o.

Anna Torstensson


2 maj 2001 14.50.58
hur många grader celcius är den absoluta nollpunkten och hur vet man det
Kristoffer Eriksson

Svar: Den absoluta nollpunkten är -273,15oC. Celsiusskalan är konstruerad utifrån att vattnets fryspunkt skall vara vid 0oC och vattnets kokpunkt vid 100oC. Då har det blivit så att absoluta nollpunkten, som betyder att molkylerna i ämnet inte rör sig alls, motsvarar -273,15oC.

Anna Torstensson


2 maj 2001 09.59.37
Hej En vektor kan ju beskrivas med hjälp av IJK tex I1 J0 K0 = 0 grader i förhållande till X´s riktning I 0.86602540378 J 0,5 K 0 = 30 grader i förhållande till X´s riktning Vad jag behöver är en formel för att räkna om IJK till grader och även åt andra hållet, kan ni hjälpa mig med det? Dels med två axlar och även med tre.. MVH Jonny Schönqvist
Jonny Schönqvist

Svar: Om jag förstår dig rätt har du en vektor v=(v1,v2,v3) och vill beräkna vinklarna den bildar med axlarna i koordinatsystemet. Det kan man göra med hjälp av skalärprodukt. Skärprodukten <u,v> av två vektorer u och v definieras genom <u,v>=|u||v| cos(t) där |u| är längden av u och t vinkeln mellan de båda vektorerna. Å andra sidan kan man visa att i ett koordinatsystem där axlarna är vinkelräta kan skalärprodukten också beräknas med formeln <u,v> = u1v1+u2v2+u3v3. Då kan man till exempel beräkna vinkeln t mellan v och x-axeln genom cos(t) = <(v1,v2,v3),(1,0,0)>/(|v||(1,0,0)|)= v1/sqrt(v12+v22+v32). Detta samband kan även användas för beräkning åt andra hållet. Givet v:s vinklar t1, t2 och t3 med de 3 axlarna kan vi beräkna v/|v|= (cos(t1),cos(t2),cos(t3))/|v|. Detta bestämmer v så när som på längden, men längden är inte bestämd av vinklerna med axlarna och kan därför inte beräknas.

Anna Torstensson


1 maj 2001 11.11.57
Hur kan man ha 110 eller 250 % av någonting?
Rolf Bydèn

Svar: Procent betyder hundradelar så det kan verka lite konstigt att man talar om procenttal större än 100, men i många sammanhang har det en rimlig tolkning. Om man säger att man har 250% av ett äpple menar man t ex att man har två och ett halvt äpple.

Anna Torstensson


30 april 2001 18.54.25
Hej 1 mars 1999 hade du en fråga om A3, A5 och A8 algoritmerna. Om intresse finns kan jag fylla på med: Alla algoritmerna ingår i den vanliga GSM standarden för mobiltelefoni och deras exakta utseende är hemligstämplat. De torde vara bland världens mest använda kryptofunktioner. * A5 är ett sk strömkrypto som används för att kryptera talet mellan telefon och basstation. I de flesta länder används en variant som kallas A5/1. * A3 används för att autenticiera användaren (=SIM kortet) mot operatörens nätverk. * A8 används för att härleda en sessionsnyckel för krypteringen (dvs för A5). Ingen av dessa algoritmer kommer att användas i UMTS, eller "3G" som det brukar heta.
Mats

Svar: Tack för upplysningarna.

Anna Torstensson


28 april 2001 20.32.09
Kan man definera naturliga logaritmen för argument större än 0 med följande gränsvärde:
lim n*(x^(1/n) - 1) = ln(x), x > 0 n->oo
M.M

Svar:

Titta på svaret till 27 april 2001 14.00.13.

Hans Öfverbeck


27 april 2001 14.00.13
Hej! Kan ni ta en titt på följande gränsvärde: lim n*(x^1/n - 1) = ln(x), x > 0 ? n->oo
MVH Marko Marin

Svar:

För att visa att formeln du givit ovan gäller så betraktar jag gränsvärdet av:
n*(x1/n - 1 ) - ln(x) = n*( e(1/n)*ln(x) - 1 ) - ln(x)
ditt påstående är ekvivalent med att ovanstånde funktion har gränsvärdet 0n-->oo, x > 0. För x=1 så har ovanstående funktion värdet 0 oavsett vad n är. Antag nu att x är skilt från 1 och positiv, då är ln(x) också skild från noll, så vi kan skriva om ovanstående funktion:
( e(1/n)*ln(x) - 1 ) / ( 1 / n ) - ln(x) = ln(x)*[( e(1/n)*ln(x) - 1 ) / ( (1/n)*ln(x) )] - ln(x) --> ln(x)*1 - ln(x) = 0
ty då n --> oo(1/n)*ln(x) --> 0 så vi kan använda standardgränsvärdet:
(et - 1 ) / t --> 1 då t --> 0.

Hans Öfverbeck


27 april 2001 09.38.17
Hej! Hur löser man följande problem: I triangeln ABC är sidan A = 5, sidan B = x och sidan C = 2x. Räcker informationen? Kanske har jag fel, men det bör väl finnas två lösningar?
Urban

Svar:

Den givna informationen räcker inte för att bestämma en entydig lösning, för att se detta kan man "lägga" in triangeln i ett koordinatsystem, för att undvika förvirring betecknar jag då längden av B med L istället för x. Låt hörnet AB vara (0,0), hörnet AC vara (5,0) och hörnet BC vara (x,y) kravet att längden av B = L och längden av C = 2*L blir då:
L = sqrt( x2+ y2 )
2*L = sqrt( (x - 5)2+ y2 )
Genom att kvadrera dessa ekvationer och eliminera L2 får vi:
3*x2 + 10*x - 25 + 3*y2 = 0
Delar vi med tre och kvadratkompletterar m.a.p. x blir resultatet:
(x + 5/3)2 + y2 = 100/9 = (10/3)2
Mängden av möjligheter för hörnet BC bildar alltså en cirkel med radie 10/3 och mittpunkt i (-5/3,0).

Hans Öfverbeck


27 april 2001 08.53.51
Hej, undrar om du kan hjälpa mig att bevisa att i ett Banach-rum så är en absolutkonvergent serie konvergent.
Jan pettersson

Svar:

Javisst kan jag hjälpa dig med det:
Antag {ak}ook=1 är en absolutkonvergent serie i Banachrummet (X,||.||), d.v.s.
sumook=1 ||ak|| = M < oo
Låt e > 0 givet, då finns ett positivt heltal N sådant att:
e > [ sumook=1 ||ak|| - sumN-1k=1 ||ak|| ] = sumook=N ||ak||
Låt nu sn vara det n'te delsumman av följden ak, d.v.s.
sn = sumnk=1 ak
Låt m >= n >= N, ovanstående olikhet ger då:
|| sm - sn || = || summk=n ak || <= summk=n || ak || <= sumook=N || ak || < e
Således är sn en Cauchyföljd, eftersom ett Banachrum per definition är fullständigt följer att följden sn konvergerar.
Observera att omvändningen till detta påstående också gäller: Om (X,||.||) är ett normerat lineärt rum sådant att varje absolutkonvergent serie är konvergent så är (X,||.||) fullständigt och således ett Banachrum. För ett bevis av detta kan du t.ex. titta i "Real Analysis" av H.L. Royden.

Hans Öfverbeck


26 april 2001 18.05.52
Hej Jag är intresserad av litteratur i inledande differentialgeometri. Jag såg att Kjell Elfstöm rekommenderat John Oprea: Differential Geometry and Its Applications, tidigare. Är detta en bra bok för någon som har matematik från de första 2 åren på teknisk fysik(ej spec relativitet)? Finns det andra? Hälsningar
Anna Falk

Svar:

Jag har tyvärr ingen personlig erfarenhet av ovan nämda bok, men jag vet att den numera används i kursen differentialgeometri här i Lund. Förkunskapskraven är då 40 poäng matematik, men på F-programmet har man nog gått igenom motsvarande under de första två åren, så jag tror att dina förkunskaper är tillräckliga.

Hans Öfverbeck


26 april 2001 12.40.16
Jag läste fimpenproblemet (29/1-1997), och har hört en annan variant. Om mannen i stället har 40 fimpar från början (han gör alltså en cigarett av fem fimpar), har jag hört att han kan röka upp 10 cigaretter. Hur går det ihop?
fimpen

Svar:

Om mannen endast har tillgång till de 40 fimparna påstår jag att han inte kan röka 10 cigaretter. Till varje cigarett går det åt 5 fimpar och blir en fimp kvar, men när mannen röker den sista cigaretten så blir det ju en fimp kvar som han inte kan använda för att göra en ny cigarett. Han skulle alltså behöva åtminstone (5 - 1)*10 + 1 = 41 fimpar för att kunna röka 10 cigaretter. Om mannen däremot har en kompis som han kan låna en fimp av går problemet att lösa på följande sätt. Av de 40 fimparna får mannen 8 cigaretter, när han rökt dessa har han 8 fimpar. Av de 8 fimparna kan han ta fem och göra en ny cigarett, när han rökt upp denna har han 4 fimpar. Om han nu lånar en fimp av sin kompis kan han göra en ny cigarett, när han rökt upp denna ger han tillbaks fimpen till kompisen.

Hans Öfverbeck


25 april 2001 21.42.21
Hej. En fråga om algebra. Jag vill om möjligt ge ett exempel på en önskad delgrupp och grupp, och om inte möjligt vill jag motivera varför. frågan lyder: En delgrupp av en grupp av ordningen 6 vars vänstra delmängd ger en partition av gruppen i 12 celler.
Thomas Torbjörnsson.... Stockholm

Svar:

Jag är inte säker på att jag har förstått problemet rätt, men jag antar att det du vill ha exempel på är följande: En grupp med en delgrupp av ordning 6 vars vänstra biklasser (eng. coset) ger en partition av hela gruppen i 12 disjunkta mängder. Eftersom varje biklass har lika många element som undergruppen, och hela gruppen skall bestå av 12 sådana måste hela gruppen ha ordning 12*6=72. En grupp med de önskade egenskaperna är då Z/72Z med undergruppen 12Z/72Z.

Hans Öfverbeck


25 april 2001 19.36.28
Sökte på ledordet "topologi" och fick fram en mängd intressanta uppgifter bl.a. en god presentation av ämnet. Däremot hittade jag två liknande frågeställningar med motsatta svar: 29 september 2000 14.16.15, svarade Catarina Petersson att "Det är ett välkänt faktum att R och R2 har _samma_kardinalitet,_ _dvs_att_det_finns_ en_bijektiv_ avbildning_mellan_dem._" (min understrykning), medan "28 april 1998 11.21.27" kan man läsa att "det går inte att beskriva kurvor som har Hausdorff-Besicovitchdimension > 1 som funktioner", och mig veterligt har R^2 dimensionen 2 (även enligt Hausdorff-Besicovitch definition). Så hur är det egentligen? Hur skulle en sådan bijektiv avbildning (B: R --> R^2) se ut?
Per Eriksson

Svar:

Anledningen till att det har blivit lite förvirrat här är att ordet funktion inte preciserats tillräckligt noggrannt. I svaret till 28 april 1998 11.21.27 står ordet kontinuerlig inom parentes, om man dessutom kräver att funktionen har en kontinerlig invers så gäller det Jesper Thorén sade. För att se ett exempel på en bijektiv avbildning från R till R2 så börja med att avbilda R på enhetskvadraten i R2 enligt Peano. Att sedan hitta en bijektion från enhetskvadraten i R2 till hela R2 är inte så svårt.

Hans Öfverbeck


25 april 2001 19.28.16
I en kvadrat dras en diagonal från nedre vänstra hörnet till övre högra hörnet, en linje dras också från övre vänstra hörnet till motsatta sidans mittpunkt. Min fråga är, hur stor del av kvadratens area utgörs av den minsta triangelns area? (den som bildas vid övre högra hörnet) Vore också tacksam för en redogörelse hur man kommer fram till den minsta triangelns höjd?
Mats-Olav J.

Svar:

Om jag förstått problemet rätt så bör figuren bli något sånt här:
kvadrat
där problemet var att beräkna arean av triangeln BFE samt avståndet från E till sidan BF. För enkelhetens skull antar jag att kvadratens sida har längd 1. Trianglarna BFE och AED är likformiga, och om vi betecknar avståndet från E till sidan BF med h så är avståndet från E till sidan AD 1-h. Likformighet ger:
h/(1/2) = (1-h)/1
Vilket ger h = 1/3, och arean av BFE blir (1/3)·(1/2)·(1/2) = 1/12.

Hans Öfverbeck


25 april 2001 12.25.44
Jag har kört fast och hjälp, uppgiften jag kämpar med är denna: I en cirkel är radien 9rottecken5 cm och medelpunkten M dras en korda AB. P är kordas mittpunkt och sträckan MP är 6rottecken5 cm. Beräckna exakt kordans längd och arean av det mindre cirkelsegmentet som begränsas av denna korda om vinkeln är 48. Jag har med hjälp av Pytaghoras sats fått fram kordans hela längd till 30 cm men jag lyckas inte finna lösningen till arean kan ni hjälpa mig med en lösning?
Britt

Svar:

Om man ritar en figur bör den se ut ungefär så här:
cirkel
Pythagoras sats ger:

(MP)2 + (AP)2 = (AM)2
Om vi sätter in värdena och löser ut AP får vi AP = 15 cm, vilket ger AB = 30 cm precis som du säger. För att räkna ut arean av cirkelsegmentet som begränsas av kordan kan man räkna ut arean av cirkelsektorn som begränsas av MA och MB och subtrahera arean av triangeln AMB. Om vi antar att vinkeln AMP är 48o så blir arean av cirkelsektorn:
[(2*48)/ 360]*PI*(AM)2 = 339 cm2
Arean av triangeln blir:
(AP)(MP) = 201 cm2
Således är den sökta arean:
339 - 201 = 138 cm2

Hans Öfverbeck


24 april 2001 18.01.18
Hur kan man se och visa att en serie är divergent eller konvergent?Bevis? Och om man tex har en serie: 1/k^a och ska bestämma för vilka a serien är konvegent hur gör man då? (k=1, och går mot oändligheten).
Tony A

Svar:

Det finns ingen allmän metod som alltid fungerar för att avgöra om en serie är konvergent eller divergent. Däremot finns en samling av användbara satser, med vilkas hjälp många av dessa frågor kan avgöras. De flesta böcker i inledande analys för universitetet innehåller många användbara satser, en sådan bok är "Envariabelanalys" av Hellström, Morander och Tengstrand. För att lösa det givna problemet använder man lämpligen Cauchys integralkriterium:
Om funktionen f(x) är avtagande och positiv för x >= 1, så är serien sumook=1f(k) och integralen intoo1f(x)dx antingen båda konvergenta eller båda divergenta.
I det givna exemplet tar man lämpligen f(x) = 1/xa.

Hans Öfverbeck


24 april 2001 16.31.16
Hej! Normalfördelning och variationsvidd, ML-skattning av detta. Det försöker jag få grepp om men............. omega^2 känt omega^2 okänt lambda är konstant men värdet? Variationsvidder finns Omega, 2Omega, 3Omega, 4Omega Konfidencintervall för dessa? Hur får man fram variationsvidd för ett visst konfidenctal, t.ex. 90% ? Konfidencgraden blir n-alfa = 0,90 vilket ger alfa = 0,10 Hittat formeln I(nedsänkt m2)= medel-x - lambda(nedsänkt alfa/2)* D men hur beräknas den? lambda-delen ger mig problem Skriv gärna lite om omega och normalfördelning och hur man räknar, det verkar vara en del tabellvärden som ska användas, var hittar man dem? Jag gick en kvalitetskurs och blev nyfiken på hur man beräknar men jag reder inte ut begreppen. Det verkar vara många synonyma eller nästan synonyma begrepp som används, t ex s och omega, R för variationsvidd och theta spökar också då osv. Tacksam om ni kan bringa klarhet i djungeln. D = omega/roten ur n Är det samma som s^2 (standardavvikelsen)
Berit

Svar:

För kvalificerade svar på dessa frågor bör du ställa dem till en statistiker.

Hans Öfverbeck


24 april 2001 15.39.06
Hej! Hur visar man att: 1/2+cosx+cos2x+ ... + cosnx = [sin(2n+1)x/2)]/2sin(x/2) ? med hjälp av geometriska serien?
Kjell

Svar:

Om man använder Eulers formler:
cos(x) = ( ei*x + e-i*x )/2
sin(x) = ( ei*x - e-i*x )/2
så får högerledet utseendet:
1/2+cos(x)+cos(2*x)+ ... + cos(n*x) = (1/2)*( e0 + ei*x + e-i*x + ... + ei*n*x + e-i*n*x =
= (1/2)*e-i*n*x*( e0 + ei*x + ... + ei*2*n*x ) =
= (1/2)*e-i*n*x*[ ( ei*(2*n+1)*x - 1)/( ei*x - 1) ] =
= (1/2)*[ ( ei*(n+1)*x - e-i*n*x )/( ei*x - 1) ] =
= (1/2)*[ ( ei*(n+1/2)*x - e-i*(n+1/2)*x )/( ei*(x/2) - e-i*(x/2)) ] =
= (1/2)*[ sin((n + 1/2)*x)/sin(x/2) ]
där jag använde formeln för den geometriska summan i likheten mellan andra och tredje raden.

Hans Öfverbeck


24 april 2001 14.41.12
Av haussdorfdimensionens definition har jag dragit slutsatsen att man skulle kunna konstruera en fraktal kurva med dimension 3 eller högre. D.v.s. om iterationen bygger på att t.ex. dela ursprungssträckan i 3 delar och man då har en iterationsformel som ger 3^3 (eller fler) nya delsträckor, så skulle Haussdorfdimensionen bli större än eller lika med 3. Vad betyder detta? Har jag fel?
Anders G

Svar:

Jag tror nog att du har fel. Om vi använder definitionen i 2001 04 10 16:38:19 så är om jag förstått dig rätt, n = 3 och s = 1/3 då blir d = log(3)/log(3) = 1. Om du vill veta mer om liknande saker så kan du följa den här länken.

Hans Öfverbeck


24 april 2001 13.21.24
Hej A och B spelar ett spel somm helt styrs av slumpen.De har enats om att satsa lika mycket och att hela insatsen ska den få som kommer först till 6 segrar. Men spelet avbrits när A har 5 segrar medan B har 4 segrar.Hur delar de insatsen på ett rättvist sätt. Finns det literatur som regstrerat Pascals arbete om detta?
Jorge Iglesias

Svar:

Lösningen på problemet: Om vi antar att A och B skulle spela tills någon vann finns det tre olika möjligheter:

  1. A vinner den första omgången och har således vunnit hela spelet, sannolikheten för detta är 1/2.
  2. B vinner den första omgången, A vinner den andra omgången, A har vunnit hela spelet, sannoliheten för detta är (1/2)*(1/2)=1/4
  3. B vinner den första omgången, B vinner den andra omgången, B har vunnit hela spelet, sannoliheten för detta är (1/2)*(1/2)=1/4
Således bör A få 1/2 + 1/4 = 3/4 av pengarna, B får resten. Angående Pascals arbete på detta område så finns det omnämnt under namnet "problem of points" på den här sidan.

Hans Öfverbeck


23 april 2001 19.09.18
Här är ett sannolikhetsproblem som jag försökt lösa länge utan framgång: Antag att du har en tärning med X st sidor, samtliga sidor har olika tal. När man kastat tärningen N ggr, hur stor är då sannolikheten att man fått varje sida MINST en gång, d v s hur stor är sannolikheten att man fått X olika tal?
Erik

Svar:

Antag vi har en sekvens av N tärningskast med en tärning med X sidor, detta kan ses som en avbildning f:{1, ... ,N} --> {1, ... ,X}. Alltså är antalet tärningkastsekvenser av längd N sådana att alla sidor kommer upp minst en gång lika med antalet surjektiva funktioner från en mängd med N element till en mängd med X element. Om man antar att tärningen är rättvis så bör alltså den sökta sannolikheten vara antalet surjektiva funktioner enligt ovan delat med det totala antalet funktioner från en mängd med N element till en mängd med X element. Låt T( m , n ) vara antalet surjektiva funktioner från en mängd med m element till en mängd med n element, det visar sig att detta antal är:
T( m , n ) = sumnk=0(-1)k(n över (n-k))(n-k)m
detta kan visas med principen om inklusion och exklusion, se t.ex. boken "A course in combinatorics" av van Lint och Wilson. Det totala antalet funktioner från en mängd med m element till en mängd med n element är nm. Således blir den sökta sannolikheten:
P( X , N ) = T( N , X )/XN = (1/XN)sumXk=0(-1)k(X över (X-k))(X-k)N

Hans Öfverbeck


23 april 2001 13.54.02
Finns det en formel f(n) som ger det n:te primtalet i ordningen, om inte kan man bevisa att det finns en sådan formel som ännu ej har upptäckts?
Johan

Svar:

Nej någon sådan formel finns såvitt jag vet ej. Angående att visa att en sådan formel finns tror jag att chansen att lyckas med detta är rätt liten.

Hans Öfverbeck


23 april 2001 13.45.21
Hur bevisar jag att i ett alfabet {0,1} där orden får ha längden n och att inga på varandra följande nollor finns att detta stämmer: u1=2, U2=3, Un=Un-1+Un-2 (n>=3)?
Henrik

Svar:

Att U1 = 2 följer av att båda orden 1 och 0 duger, och det är de enda orden av längd 1. För att se att U2 = 3 är det bara att konstatera att det finns fyra ord av längd två av vilka endast ett (00) inte duger. Nu vidare till rekursionsformeln, låt Sn respektive Tn vara antalet ord av längd n utan på varandra följande nollor som slutar på 1 respektive 0. Då är Un = Sn + Tn, om vi antar n > 2 så gäller:
Un = 2*S(n-1) + 1*T(n-1)
Ty till varje ord av längd n-1 utan på varandra följande nollor som slutar på en etta kan vi antingen lägga till en etta eller on nolla på slutet och få ett ord av längd n utan på varandra följande nollor, och till varje ord av längd n-1 utan på varandra följande nollor som slutar på en nolla lägga till en etta på slutet och få ett ord av längd n utan på varandra följande nollor. Vidare kan varje ord utan på varandra följande nollor av längd n bildas på något av dessa sätt. Vi får:
Un = 2*S(n-1) + 1*T(n-1) = U(n-1) + S(n-1)
Jag påstår vidare att S(n-1) = U(n-2), ty ett ord utan på varandra följande nollor av längd n-1 som slutar på ett kan endast bildas genom att lägga till en etta sist i ett ord utan på varandra följande nollor av längd n-2. Alltså följer:
Un = U(n-1) + U(n-2)

Hans Öfverbeck


23 april 2001 13.32.48
En företag kan reservera plats i en bil för 6 personer. Den kan bara skjutsa 4 personer. Man vet att 20% brukar inte dyka upp när väl bilen åker. Hur stor är chansen att minst en får stanna hemma? Hur ska jag lösa den här uppgiften? Skulle vara bra om du ville ge mig rätt tankesätt. Känns som att den inte ska vara allt för svår. Men just hur ska jag börja tänka?
Stefan

Svar:

Informationen du har gett räcker inte för att ge en entydig lösning på problemet. 20% kan erhållas på många sätt, se t.ex. nedanstående veckoschema:
Exempel: måndag tisdag onsdag torsdag fredag
A: 0 6 6 6 6
B: 4 6 4 6 4
Där värdet under varje veckodag betecknar antaler personer som dök upp. Både exempel A och B ger en uppdykningssannolikhet på 80%, men i exempel A är risken 80% att minst en person får stanna hemma, medan den i exempel B endast är 40%.

Hans Öfverbeck


23 april 2001 12.59.43
Hej! jag skulle vilja ha svar på dessa 2 problem! Nr 1: En kock har 10 kg nötfärs, värt 35 kr/kg. Hur mycket fläskfärs, värd 20 kr/kg skall han blanda i nötfärsen för att få en blandning som är värd 30 kr/kg? Nr: 2 I en mörk byrålåda ligger 6 blå och 4 vita strumpor huller om buller. En mörk morgon tal Lena upp två strumpor ur lådan. Beräkna: a) P(båda strumporna är vita) b)P( en strumpa är vit, den andra är blå)
Karin J

Svar:

Nr: 1 Låt antalet kilo fläskfärs som behöver blandas i vara x. Värdet av hela blandningen är då 10*35 + x*20 kr = (350 + 20*x) kr. Vikten av hela blandningen är: 10 + x kg = (10 + x) kg Kravet att blandningen skall ha värdet 30 kr/kg blir då:
30 = (350 + 20*x)/(10 + x)
(10 + x)*30 = (350 + 20*x)
10*x = 50
x = 5
Således skall kocken blanda i 5 kg fläskfärs.

Nr: 2 a) Lådan innehåller 10 strumpor varav 4 är vita. När man tar upp en strumpa så är sannolikheten att den är vit 4/10 =2/5. Om man antar att man fick upp en vit strumpa första gången så finns det tre vita strumpor kvar i lådan av totalt 9 strumpor, således är sannolikheten att man får upp en vit strumpa 3/9 =1/3. Det följer att P(båda strumporna är vita) = (2/5)*(1/3) = 2/15

b) Sannolikheten att den första strumpan är vit är 2/5, sannolikheten att den andra strumpan är blå är då 6/9 = 2/3. Sannolikheten att den första strumpan är blå är 6/10 = 3/5, sannolikheten att den andra strumpan är vit är då 4/9. Således blir P( en strumpa är vit, den andra är blå) = (2/5)*(2/3) + (3/5)*(4/9) = 8/15

Hans Öfverbeck


23 april 2001 10.16.06
hm. efter att ha rotat i kapplöpningen om fermats sats är det alltså Andrew Wiles som bevisade själva satsens trovärdighet. MEN det är omöjligt att han har hittat själva beviset, W. använde en snurrig japans bevis i sitt och denna japans bevis fanns inte på fermats tid. jag menar: fermats sats, om man antar att han verkligen har bevisat den själv, kan inte varit mer avancerad än den tidens matematik var. jag undrar om det finns något enklare bevis, eller om det finns någon som överhuvudtaget bryr sig om att ta fram det 'riktiga'?
farbror grön

Svar:

Det Wiles gjorde var att bevisa en förmodan som ibland kallades "Taniyama-Weil förmodan" och ibland "Taniyama-Shimura förmodan". Innan (1984) Wiles ens hade börjat försöka visa Fermats stora sats på allvar hade en matematiker vid namn Gerhard Fray visat att Fermats stora sats följer av ovan nämnda förmodan. Såvitt jag vet finns det inget radikalt annorlunda bevis för Fermats stora sats än det i vilket Wiles har visat en del. Angående försök att ta fram det "riktiga" beviset så har ju folk försökt mer eller mindre intensivt att hitta detta i över 350 år, men ingen har lyckats. Personligen tvivlar jag på att man någonsin kommer att upptäcka något elementärt bevis. För mer information om historierna kring Fermats stora sats kan jag rekommendera boken "Fermats gåta" av Simon Singh.

Hans Öfverbeck


22 april 2001 14.52.59
Undrar om det finns någon bra sida som beskriver och berättar historien bakom talet e?! Är mycket intresserad av hur detta tal kom till. med vänliga hälsningar Anna
anna

Svar:

Se tex Favorite Mathematical Constants under Länkar på Fråga Lunds Huvudsida.

Joakim Petersson


22 april 2001 00.21.56
Kan man visa att det finns ett rationellt tal mellan varje två reella?
Jörgen

Svar:

Ja. Om man vet att varje reellt tal kan identifieras med sin decimalbråksutveckling (där 0.99999... skall skrivas 1.000... etc) är det lätt att mellan två reella tal skjuta in tex ett avslutat decimalbråk, som tex 1.1234 mellan 1.1233456... och 1.1234205...

Joakim Petersson


21 april 2001 17.30.37
Finn alla funktioner f som uppfyller sambandet: f(x) + f(y) = f([x+y]/[x-y])
Anonym

Svar:

Antag först att f är definierad för alla reella x och att sambandet gäller närhelst x<>y. Då är f(x)+f(0)=f(1) för alla x<>0. x=1 insatt här ger att f(0)=0. f(1)+f(2)=f(3) ger slutligen att f(x)=0 för alla x. Antag istället att f är kontinuerlig i ett intervall (a,b) och uppfyller ekvationen då x,y tillhör (a,b), x<>y. Genom att välja x nära y ser vi att f måste vara definierad och uppfylla f(-x)=f(x) för |x|>R för något R. Kontinuiteten medför att A=gränsvärdet av f(x) då |x|->oo existerar och 2f(x)=A för alla x i (a,b). Om (x+y)/(x-y) tillhör (a,b) för något val av x,y i (a,b) följer genast att f=0 i (a,b) (och i |x|>R). Men om tex (a,b)=(0,1) är f(x)=c i (0,1), f(x)=2c i |x|>1 en lösning till ekvationen. Jag avstår från att analysera alla eventuella diskontinuerliga lösningar.

Joakim Petersson


20 april 2001 16.40.49
Hej Lund O Bäste Matematiker. Jag har varit ifrån den ädlaste av vetenskaper ett tag men hoppas nu med detta blir inspererad. Som jag hoppas du förstår nu är det inte i de tekniska detaljerna som följer jag är osäker på utan det är logiken som inte riktigt är den klaraste idag, och jag hoppas föstås på en vacker vägledning. Jag har nämligen en sannolikhetsfråga angående ett pokerspel vid namnet Texas Holdem. Det här pokerspelet öppnas med att var och en får var sina två dolda kort. Därefter läggs succsessivt fem öppna kort upp. Dessa öppna kort är gemensamma för alla deltagare. Sammantaget får man alltså 7 kort att bilda den bästa pokerhanden av 5 kort. Låt oss nu säga att de två dolda korten vare sig är i samma färg eller ett par. Frågan är då, hur stor är sannolikheten för en färg, alt. två par?
Tack för svar Johan Wadman

Svar:

Jag tänkte bara beröra sannolikheten för en viss pokerhand, inte sannolikheten för att den skall vara den bästa möjliga, eftersom man i det här spelet tex kan få två par och fem kort i samma färg på samma gång. Låt p = sannolikheten att spelare A kan få ihop en färg på fem kort (under dina förutsättningar). Tre fall: 1) de fem öppna i annan färg än de båda dolda; 2) fyra av de fem öppna i samma färg som ett av de båda dolda; 3) alla fem av de öppna i samma färg som ett av de dolda. Sannolikheter: 1) 2*bin(13,5)/bin(50,5) (50 okända kort, 2 färgval, 13 kort att välja bland); 2) 2*bin(12,4)*38/bin(50,5) (2 färgval, 12 kort att välja mellan, det femte kortet kan väljas på 52-14 sätt) 3) 2*bin(12,5)/bin(50,5) (2 färgval, 12 kort att välja mellan). Lägger vi ihop dessa så får vi p = 0.0197 (ungefärligt värde). Du skriver att du inte är osäker på de tekniska detaljerna, så jag föreslår att du delar upp i olika fall på liknande sätt för att räkna ut sannolikheten att spelare A kan få ihop två par (men ingen triss).

Joakim Petersson


20 april 2001 14.10.42
Hej, begreppet "kompakt" ställer till en del problem för mig. Min fråga är ,hur jag visar att R^n och C^n ICKE är kompakta.
Tadeus Szubinsky

Svar:

Man brukar ofta i rummen Rn och Cn definiera kompakta mängder som de mängder som är slutna och begränsade. Denna definition överensstämmer då med den allmänna topologiska definitionen: en mängd K i ett topologiskt rum säges vara kompakt om varje öppen övertäckning av K har ändlig delövertäckning, dvs om K är innehållen i en union av öppna mängder så är K även innehållen i unionen av ändligt många av dessa öppna mängder. Om Rn eller Cn täcks med öppna klot med radie 1 och centrum i heltalspunkterna så finns ingen ändlig delövertäckning, och det beror på att Rn och Cn inte är begränsade. Kompakta mängder spelar en stor roll i matematiken. Tex kan nämnas att en kontinuerlig reell funktion på en kompakt mängd är begränsad.

Joakim Petersson


19 april 2001 17.39.50
Hej ni glada och duktiga matematiker! Rayleighfördelnin av våghöjd? Vad innebör det? Kan man skatta a i funktionen fH(x)= (x/a) exp (-x^2/2a) om x>0?Våghöjderna är 0,9 1,7 1,8 2,1 2,2 2,5 2,8 2,9 MVH
Ella

Svar:

Man har tydligen i något sammanhang kunnat beskriva hur våghöjden varierar statistiskt med hjälp av den så kallade Rayleighfördelningen, som har precis den täthetsfunktion fH(x) som du nämner. Detta betyder att sannolikheten för värden mellan två gränser a och b ges av arean under grafen till funktionen fH(x) mellan a och b. Den totala arean över alla x>0 är 1. Med hjälp av ditt stickprov kan man skatta det exakta värdet av a. Ett sätt är maximum-likelihood-metoden (ML-metoden). Man bildar då L(a) = produkten av täthetsfunktionens värden för de mätvärden man har i stickprovet. ML-skattningen a* av a väljs som det a som maximerar L(a), och den brukar vara en "bra" skattning. I vårt fall är a* = 1/(2N)*sumn=1N xn2 (övning för den intresserade) och med ditt stickprov a* = 2.42.

Joakim Petersson


19 april 2001 17.01.26
Har ett intressant problem från vardagen. På sin tv kan man med två olika knappar antingen hoppa upp en kanal eller ner en. Nu vill man med hjälp av upp/ner-knapparna kunna zappa mellan alla kanaler med bara ett tryck. Dvs. alla kanaler måste ligga bredvid varandra. Om man har tre kanaler är det enkelt att se att det behövs fyra "kanalplatser" (man kan exempelvis ha ordningen 1231).Om man har fyra kanaler tror jag man behöver 8 platser (ex. 12341342). För exempelvis 10 kanaler inser man att det behövs väldigt många platser. Den naturliga frågan blir då, hur många platser behövs för n knappar? Jag misstänker att man kan lösa problemet mha. färgade grafer.
Petter Storm - studerande vid det datavetenskapliga programmet i Linköping

Svar:

Det är naturligtvis så att för varje plats kan man bara nå (högst) två andra kanaler med hjälp av upp/ner-knapparna, så det man vill uppnå är att varje kanalbyte i->j kan ske på så vis någon gång. Intressant eller inte i TV-soffan så har vi i alla fall ett matematiskt problem. Exemplen 12, 1231 och 12341342 antyder att 2n-1 skulle kunna vara det sökta antalet. (Att det sista exemplet är minimalt följer av att varje siffra måste förekomma minst 2 gånger.) Men 2n-1 är bara en uppskattning uppåt. Detta inses på följande sätt: gäller exakt för n=2,3,4; skriv upp den kortaste följden för n-1 kanaler och fortsätt följden med en likadan följd som börjar med den n:te kanalen och innehåller de andra utom den som avslutade den första följden; med induktion följer att an<=2n-1. För n=5 finns dock följande exempel av längd 11 (finns kortare?) 31432451253.

Joakim Petersson


19 april 2001 16.44.52
Hej jag har en fråga som rör olikheter där man skall bestämma mellan vilka områden två parametrar a och b ligger. Det ser ut på följande sätt: -b + b*a^-(1/b) < 0 -b + b*a^-(1/b) > -2 Hur löser man detta ? Jättetacksam för ett svar.
Rolf

Svar:

Vi kan anta att a>0 och sätta c = ln a och x=1/b. Med f(x)=(e-cx-1)/x skall vi avgöra var -2<f(x)<0. Om c<=0 så är f(x)>=0 (klart för negativa x och ey>=1+y för alla y). Alltså måste c>0, dvs a>1. Genom att studera derivatan ser vi att f är växande för alla x, f(0)=-c, och det är lätt att se att det finns precis ett xc<0 med f(xc)=-2. Olikheterna är alltså uppfyllda för x>xc, dvs för b<1/xc och b>0. Vi får på så vis de tillåtna värdena på a och b.

Joakim Petersson


18 april 2001 21.02.42
Hur kan jag räkna ut hur många liter vatten (vilken volym) en pool av måtten; längd 9,60 meter, bredd 4,80 meter, rymmer. Poolen sluttar jämnt och är 0,90 meter längst bort, 2 meter vid 7,45 meter för att sedan bli 1,85 meter djup de resterande 2,15 metrarna.? Hur räknar jag också ut hur många liter mindre vatten som krävs om jag bara vill ha vatten upp till 10 cm från kanten?
EVA

Svar:

Genom att räkna ut arean av poolens profil och sedan multiplicera med bredden. Arean kan räknas ut som ett antal rektangel- och triangelareor. Det gäller ju också att använda samma enheter och att tänka på att 1 liter=1 dm3, 1000 liter=1 m3, som du vet. Jag hoppas dessa instruktioner räcker.

Joakim Petersson


18 april 2001 19.21.06
Hej ...jag letar efter en hemsida där jag kan ladda ner bra texas 83 program...typ richardsons metod med simpsons eller trapets ?? MVH Andreas
Andreas

Svar:

Ett förslag (kanske inte vad du söker) är att titta här.

Joakim Petersson


18 april 2001 18.21.47
Hej! 1. Bevisa med induktion att funktionen y=x^n , n ett positivt heltal, har derivatan y'=nx^(n-1) 2. En talföljd bildas av summorna s(n)=1 + 1/2^4 + 1/3^4 + 1/4^4 +..............+ 1/n^4 Undersök om lim s(n) då n går mot oändlig existerar. Ange i så fall ett rimligt närmevärde till gränsvärdet. 3. En sticka med längd d cm släpps slumpmässigt på ett brädgolv, där avståndet mellan skarvarna är a cm, d < a. Visa att sannolikheten att stickan träffar en skarv är 2d/pi.a. (Buffons nollproblem) Med vänlig hälsning.
Nisse.

Svar:

1) Sant för n=1. Produktregeln och induktionsantagandet ger att Dx*xn-1=xn-1+(n-1)x*xn-2=nxn-1. Detta visar påståendet för alla n=1,2,... 2) n-4<Intn-1n x-4 dx, varav s(n)<1+Int1n x-4 dx = 1+1/3*(1-n-3)<4/3, vilket både visar konvergensen och ger ett närmevärde (det finns mycket bättre sätt att beräkna närmevärden här, tex de som användes av Euler). 3) Buffons nollproblem skall vara samme naturforskares nålproblem. Nollan är helt oskyldig här. Låt X vara avståndet från stickans (nålens) mittpunkt till närmsta skarv och Y vinkeln som stickan bildar med denna skarv. Att stickan träffar en skarv kan uttryckas som att X<d/2*sinY (man bör rita figur). Vi gör nu antagandet (rimligt?) att X och Y är oberoende stokastiska variabler som är likformigt fördelade i intervallen (0,a/2) resp (0,Pi). Detta innebär att den sökta sannolikheten är P=2/(Pi*a)*Int0Pi[ Int0d/2*siny dx ] dy = d/(Pi*a)*Int0Pi siny dy = 2d/(Pi*a).

Joakim Petersson


18 april 2001 11.23.34
Hvad er formlen for en pyramidestubs rumfang?
Stine

Svar:

Pyramidens volym är Bh/3, där B är basen och h är höjden. Om man hugger av en topp av pyramiden så blir pga likformighet V1/V=(h1/h)3=(B1/B)3/2. Den stympade pyramidens volym V2=V-V1 kan då uttryckas (använd att h1/(h1+h2)=sqrt(B1/B)) som V2=h2/3*(B+sqrt(BB1)+B1). Formeln gäller för övrigt för varje stympad allmän kon.

Joakim Petersson


17 april 2001 20.31.16
Hej och HJÄÄÄÄÄÄLP! Det märks att man slitit sig från skolbänken ett tag. Jag håller nu på med en ML-skattning där jag tyvärr fastnar på en enkel deriverings uppgift. Snälla hjälp mig med detta. Hur deriverar jag (258/x^8)e^(-39/(2x))??? Tack på förhand
Sissi

Svar:

Det som behövs är formlerna för derivatan av en produkt, en sammansatt funktion, ex och xa, alltså reglerna (fg)'=f'g+fg', (f¤g)'=(f'¤g)g', (ex)'=ex, (xa)'=axa-1, a<>0. Det följer att (258/x8*e-39/(2x))' = 258[-8/x9+1/x8*39/(2x2)]e-39/(2x). Roligt att kunna hjälpa till.

Joakim Petersson


17 april 2001 19.36.22
Hej. Jag undrar hur man går till väga för att integrera funktionerna: f(x)=x^2*(1-sin(x)) och f(x)=x*rot(x^2+1). Tack på förhand. MvH
Dan Eriksson

Svar:

I det första fallet får du integrera partiellt två gånger för att "derivera ner" faktorn x2 och i det andra fallet använder du att f (observera faktorn x) är derivatan av en sammansatt funktion.

Joakim Petersson


17 april 2001 17.36.50
Hej! Jag har två frågor av helt olika karaktär. Den första handlar om talföljder. När man spelar ett spel (tornen i Hanoi) som går ut på att man ska flytta en pyramid med olika antal brickor från en platts till en annan så finner man att det minimala antalet flyttningar följer talföjden a(n)=2a(n-1)+1. Kan man skriva denna talföljd på ett aktivt sätt alltså utan att blanda in "a(n-1)" dvs. talet som kommer före "a(n)"? Min andra fråga handlar om tredjegradsekvationer. Hur löser man dessa? Andra grads ekvationer är ju lätta att lösa med "PQ formeln" men hur löser man ekvationer av tredjegraden? Sen undrar jag också hur man kan räkna ut talen som står framför x, x^2 och x^3. Alltså utan att titta på ekvationen.
Johan

Svar:

Du vill "lösa" rekursionsekvationen a(n)=2a(n-1)+1, som kommer från "tornen i Hanoi". Lyckligtvis är den här ekvationen av en typ som går att lösa mer explicit. Det finns en mycket enkel lösning, nämligen a(n)=-1. Med a(n)=-1+b(n) övergår ekvationen i b(n)=2b(n-1). Den allmänna lösningen till denna ekvation är b(n)=C*2n, där konstanten C bestäms av startvärdet (eller allmänt av värdet för något n). I "tornen i Hanoi" är a(1)=1 och därför kan lösningen skrivas a(n)=2n-1.
När det gäller tredjegradsekvationer så kan du gå till 18 mars 1997 02.44.41 eller söka bland gamla frågor och svar eller länkar på vår hemsida.

Joakim Petersson


17 april 2001 14.59.51
Hej Kjell! Den 14 april ställde jag Fråga Lund följande fråga: "Talet 1/239 tex är den största heltalsinversen med periodlängden 7. Kan man visa detta utan att räkna ut periodlängderna hos alla heltalsinverser större än eller lika med 1/239?" och fick följande svar av dig: "Om talet a har en n-periodisk decimalutveckling så har 10^na - a = (10^n - 1)a en ändlig decimalutveckling. Detta ger att 10^m(10^n - 1)a är ett heltal för något icke-negativt heltal m. Om a = 1/N innebär detta att N delar 10^m(10^n - 1). Om N inte är delbart med 2 eller 5 så måste N dela 10^n - 1. För varje primtal p i faktoriseringen av N gäller då att p delar 10^n - 1. Om nu n är ett primtal, t ex 7, så måste n vara ordningen av elementet 10 i Zp* som har p - 1 element, varför n delar p - 1. Vi får alltså att om N och 10 är relativt prima och periodlängden av 1/N är 7 så måste 7 dela p - 1 för alla primtal p som delar N. De första åtta värdena på N som kan komma i fråga är alltså 29, 43, 71, 113, 127, 197, 211 och 239." Vad menas med Zp* och hur gör man om n inte är ett primtal. Med vänlig hälsning
Maria Wik

Svar:

Med Zp* menas de inverterbara elementen bland heltalen modulo p, p ett primtal. Tex är 10=3 inverterbart modulo 7 eftersom 3*5=1 (mod 7). Det är så att alla elementen 1,2,..,p-1 är inverterbara modulo p och att ap=1 (mod p) för dessa element. Ordningen av a i Zp* är minsta positiva heltalsroten till ekvationen ar=1 (mod p). Det gäller att r delar p-1. För att svara på din andra fråga tittar vi tillbaka på din tidigare fråga. För att periodlängden av 1/N, där N och 10 saknar gemensamma delare, skall vara n, så måste N dela 10n-1. Då n=7 är 107-1=32*239*4649. Vi vet att för varje p som delar N är 10n=1 och 10p-1=1 (mod p). Om n är ett primtal (men inte annars) kan vi dra slutsatsen att n delar p-1. Faktoriseringen visar att då n=7 är N=239 den minsta möjligheten och 1/239=0.00418410041841... duger. Då n=9 (ej primtal) måste fortfarande N dela 109-1=34*37*333667. Vi vet dessutom att n och p-1 måste ha någon gemensam delare om p>3. Prövning visar att N=81 är den minsta möjligheten (1/81=0.012345679012345679...).

Joakim Petersson


17 april 2001 10.44.42
vad är <a,b>?
Peter

Svar:

Det är svårt att säga om man inte vet någonting om sammanhanget, men en möjlighet är att det betyder skalärprodukten av a och b.

Joakim Petersson


17 april 2001 09.29.04
Hej Kjell, jag har ytterligare ett problem som jag behöver hjälp med och den lyder: För talet z gäller att absolutbeloppet av z+1 är mindre än eller lika med 1. Vilket är det minsta värde som absolutbeloppet av z+i kan anta? Tack för hjälpen, hälsningar Sid

Svar:

z skall ligga i den slutna cirkelskivan med radie 1 och centrum i -1. Avståndet till -i blir då minst då z är punkten på cirkeln som skär linjen mellan -1 och -i (rita figur). Detta minsta värde är sqrt(2)-1.

Joakim Petersson


16 april 2001 23.26.38
Hej, Jag har lätt för matematik, och jag tror att jag är ganska smart. Jag funderar på att plugga mkt teori (nästan enbart) på univ och ser fram emot detta. Med en sådan examen så finns det ju inte överdrivet mkt jobb såvitt jag vet (lärare, fortsatta studier) -- ingen vill anställa ngn som kan en massa i teorin men som inte kan tillämpa sin kunskaper effektivt. Det skiter jag i, men det vore ju trevligt att veta hur svårt det egentligen är i slutändan. Där kunskaperna tar slut, och där kaos tar vid. Vid fronten. En ngt störande grej, jag har funderat på, är att alla matematik uppgifter hittils (dvs. under hela gymnasiet -- som jag precis har avslutat) är genomtänka och *konstruerade* från grunden. Det är ofta mkt uppenbart om svaret man får är rätt, man lixom ser hur författaren har tänkt osv. Då man gör ett fel blir uppgifterna ibland olösliga, jag brukar se det som en regel att när jag inte kan lösa en uppgift så har jag gjort fel långt tidigare i uppgiften. Det skulle vara mindre trevligt att plugga i 20år för att sedan inse att man inte har det som krävs och dessutom måste (efter 20år lr mer!) studera lite till för att kunna få ett schyyst jobb (ngt jag ser som oförenligt med att studera matematik på allvar). Mina två frågor: Jag undrar till hur stor del avgör intelligens om man "lyckas" med "högre forskarstudier" i matematik? (med "lyckas" så menar jag driva matematiken framåt signifikant, och med "högre forskarstudier" så menar jag studier efter doktorsexamen). Om man inte är tillräckligt "smart" för att nå hela vägen, går det att kompensera detta med hårt arbete? (Vilket naturligtvis är ett måste hursomhelt, men...) /m
Martin

Svar:

Vi får önska dig lycka till när det gäller dina framtida studier. Du verkar ha ett stort intresse för matematik, vilket förstås är viktigt om man vill satsa på det. Jag tror ändå att det är för tidigt för dig att tänka så långt framåt. Efter några terminer med universitetsstudier kommer du att ha ett bättre perspektiv, det är nog bäst att vara öppen för flera möjligheter när man börjar studera. Tycker du att det är roligt så är det bara att jobba på, det finns massor av saker att göra (och upptäcka).

Joakim Petersson


16 april 2001 01.34.25
Hejsan Detta är igentligen ingen fråga utan information till Hjalmar Rosengren, då jag läste att ni hadde fått en fråga angående en mattematiker som hetter Trachtenberg. Han fanns :) Det finns lite information om honom på http://www.lifesmith.com/mathfun.html (tillsammans med lite annat) finns dock mera seriös information här http://www.mcn.net/~jimloy/trachten.html mycket nöje Med vänliga hälsningar Jan
Jan

Svar:

Länkarna vidarebefordras härmed.

Joakim Petersson


15 april 2001 17.43.45
Jag skulle gärna vilja ha några exempel på tillämpningar med matriser. Skulle vara tacksam för hjälp eller få råd om var jag kan finna dessa! Tack på förhand
Elisabeth O

Svar:

Jag föreslår att du själv söker på Internet. Matriser hör till lineär algebra. Lämpliga ordkombinationer att söka efter är t ex matrix+applications, applications+of+matrices och applications+of+linear+algebra.

Kjell Elfström


14 april 2001 10.55.01
Hej!
Talet 1/239 tex är den största heltalsinversen med periodlängden 7. Kan man visa detta utan att räkna ut periodlängderna hos alla heltalsinverser större än eller lika med 1/239?
Tack för att ni har den här webbplatsen.
Maria
Maria Wik

Svar:

Om talet a har en n-periodisk decimalutveckling så har 10na - a = (10n - 1)a en ändlig decimalutveckling. Detta ger att 10m(10n - 1)a är ett heltal för något icke-negativt heltal m. Om a = 1/N innebär detta att N delar 10m(10n - 1). Om N inte är delbart med 2 eller 5 så måste N dela 10n - 1. För varje primtal p i faktoriseringen av N gäller då att p delar 10n - 1. Om nu n är ett primtal, t ex 7, så måste n vara ordningen av elementet 10 i Zp* som har p - 1 element, varför n delar p - 1. Vi får alltså att om N och 10 är relativt prima och periodlängden av 1/N är 7 så måste 7 dela p - 1 för alla primtal p som delar N. De första åtta värdena på N som kan komma i fråga är alltså 29, 43, 71, 113, 127, 197, 211 och 239.

Kjell Elfström


14 april 2001 00.10.56
Hej Kjell, detta är inte en matematisk fråga egentligen men jag ställer den ändå. Är BETA och liknande formelsamlingsböcker något att ha, jag läser en rätt matematiktung linje.
olle

Svar:

Jag känner tyvärr inte till denna formelsamling och har rätt liten kännedom om formelsamlingar över huvud taget.

Kjell Elfström


13 april 2001 22.10.23
Hej!
Jag har en matteuppgift i skolan som är mycket svårartad. Jag är inte säker på att den går att lösa eftersom flera mattelärare försökt, men den stod i en mattebok så jag tycker att den borde gå att klara på något sätt. Den var ungefär så här:
Låt ABCD vara sidorna i en fyrhörning. AD och CD är räta vinklar. Punkten E delar D i två delar, den ena delen mot A är 3 cm. C är 5 cm. Om man drar två linjer från vinklarna AB och BC till E blir vinkeln där rät. Hur lång är hypotenusan som bildas från AB till E?
Oscar Klevang

Svar:

Det finns ingen entydig lösning på detta problem om man inte lägger till något ytterligare villkor. För varje val större än 3 cm av hypotenusans längd kan man bilda en figur med angivna mått.

Kjell Elfström


13 april 2001 16.29.31
Hej!
Hur löser man ut x och y ur uppgifter med följande ledtrådar:
1) Förhållandet mellan x och y är 120x+96=123y
2)Både x och y är heltal.
3)Både x och y har värden mellan noll och hundra.
Patrik

Svar:

Detta är en så kallad diofantisk ekvation. Man finner en lösning med hjälp av Euklides algoritm och kan därefter sluta sig till hur samtliga lösningar ser ut. Hur detta går till står i många elementära läroböcker i algebra, t ex Vretblad: Algebra och geometri. I detta fallet ser man att samtliga koefficienter är delbara med 3 och efter division med 3 övergår ekvationen i

40x + 32 = 41y = 40y + y

och man ser genast att x = y = 32 är en lösning. Om nu x,y är en godtycklig heltalslösning så är

-40x + 41y = 32 = -40·32 + 41·32  <==>  40(x - 32) = 41(y - 32).

Detta innebär att 41 delar vänsterledet och eftersom den största gemensamma delaren till 40 och 41 är 1 så måste 41 dela x - 32, vilket betyder att x = 32 + 41n för något heltal n. Insättning ger sedan att y = 32 + 40n. Du kan själv ta reda på för vilka värden på n som det tredje villkoret är uppfyllt.

Kjell Elfström


13 april 2001 11.31.54
Hej!
Jag undrar om det finns något relativt enkelt sätt att bevisa att kvoten mellan två successiva tal i Fibonacci-serien konvergerar mot ett visst tal, och i så fall hur bevisar man detta? När man vet ATT kvoten konvergerar är det inga problem att visa vilket talet är.
Urban

Svar:

Om vi definierar Fibonaccis talföljd genom a0 = a1 = 1 och an + 2 = an + 1 + an och sätter bn = an + 1/an så gäller att b0 = 1 och

bn + 1 = 1 + 1/bn = f(bn) där f(x) = 1 + 1/x.

Sätt cn = b2n och dn = b2n + 1. Då gäller att

cn + 1 = g(cn) och dn + 1 = g(dn),

där g(x) = f(f(x)). Då x > 0 är g växande och den enda positiva roten till ekvationen g(x) = x är (1 + 51/2)/2. Vi kan nu enkelt visa att cn är växande och uppåt begränsad av (1 + 51/2)/2 med induktion. Vi har att c0 = 1 <= (1 + 51/2)/2 och om cn <= (1 + 51/2)/2 följer det av att g är växande att

cn + 1 = g(cn) <= g((1 + 51/2)/2) = (1 + 51/2)/2.

Vi har också c1 = 3/2 >= c0 och om cn + 1 >= cn följer det också av att g är växande att

cn + 2 = g(cn + 1) >= g(cn) = cn + 1.

Detta visar att cn har ett gränsvärde och den enda möjligheten är att cn går mot (1 + 51/2)/2 då n --> oo. På samma sätt visar man att dn är avtagande och nedåt begränsad och att dn har samma gränsvärde varav det följer att bn också konvergerar mot det gyllene snittet.

Kjell Elfström


13 april 2001 09.31.32
Hej
Jag hoppas kuna få hjälp med följande: En nål släpps över ett papper på vilket parallella linjer ritats. Avstånden mellan linjerna förhåller sig till nålens längd som a/b. Finn sannolikheten att nålen korsar en linje. (a/b >1)
Timo

Svar:

Detta är Buffons nålproblem. När nålen fallit utgör den diameter i en cirkel. Antag att cirkelns medelpunkt är på avståndet x från den närmaste linjen. Låt p(x) vara sannolikheten att nålen korsar linjen. Om x > b/2 så är p(x) = 0. Annars finns det två cirkelsektorer sådana att om nålens spets hamnar i någon av dessa så korsar nålen linjen. Vi låter v vara halva vinkeln av en sådan sektor. Då är cos v = 2x/b varför 4v = 4arccos(2x/b). Vi får att

p(x) = (4arccos(2x/b))/(2π) = (2/π)arccos(2x/b).

Delar vi in intervallet [0,a/2] i n lika delar med delningspunkterna xk, k = 0,1,2,...,n, så kan vi approximera den sökta sannolikheten med summan av sannolikheterna

P(xk - 1 <= x < xk)p(xk) = 2p(xk)Delta xk/a.

Låter vi n gå mot oo får vi den sökta sannolikheten

P = (2/a)∫0a/2 p(x) dx = (4/(a π))∫0b/2 arccos(2x/b) dx = (2b/(a π))∫01 arccos t dt
= 2b/(a π).

Kjell Elfström


20242 frågor av sammanlagt 20696 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Logisk operator

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)