Fråga Lund om matematik

Sökresultat


15 december 1998 22.15.50
Jorden som en slät sfär med radien R=6370 km. Ett rep spänns runt detta klot vid ekvatorn tätt intill. Så förlängs repet med 1 meter och lyftes upp i luften i en bestämd punkt. Hur högt kan man lyfta repet dvs. hur stor är höjden h ovanför markytan?
Mary

Svar:

Låt M vara jordens medelpunkt, T den ena punkten där repet tangerar jorden, P repets högsta punkt över marken och Q skärningspunkten mellan sträckan MP och jordytan. Då är h = QP den efterfrågade sträckan. Sträckan TP = s + 1/2 där s är längden av bågen TQ. Vi får att

tan s/R = (s + 1/2)/R

där R = 6370000. Ur denna ekvation kan vi inte lösa ut s exakt, men en approximativ lösning är s = 39335,78605.

Höjden h ges nu av

cos s/R = R/(R + h)

och vi får h = 121,457 m.

Kjell Elfström


15 december 1998 22.14.52
En jeep kan sammanlagt ta 200liter bensin i tanken och i lösa dunkar. Jeepen kommer 2,5 km på 1 l bensin.Han ska färdas 1000km och bränsle finns bara vid start och vid mål. Vill han klara färden måste han placera ut bensin i depåer längs färdvägen. Hur mycket bränsle går det åt och var ska dunkarna placeras ut, för att lösningen ska bli så bra som möjligt? tacksam för hjälp!!
SARA

Svar:

Se 7 december 1998 10.29.04.

Kjell Elfström


15 december 1998 20.54.47
Hur kan y upphöjt till noll vara= 1 ?
Jag vill veta hur det kommer sig att y upphöjt till o = 1. Jag har fått det bevisat....
Ex: Y upphöjt till 3 / Y upphöjt till 3 = Y upphöjt till tre minus tre =Y upphöjt till o.
eller Y upphöjt till tre / Y upphöjt till tre = Y*Y*Y /Y*Y*Y = 1 (förkortning)
.....men det är inte bevis jag vill ha . Jag vill veta hur just talet Y upphöjt till o = 1 . Jag tycker att Y upphöjt till o borde bli att man tar y upphöjt o gånger. Alltså Y upphöjt till o = Y , eller att det blir Y upphöjt till o = 0 eftersom man inte använder talet.
Frida Larsson 9B Dalängskolan

Svar:

Man kan i själva verket inte bevisa att y0 = 1, det är en definition. Det är naturligt att definiera yn där n är ett positivt heltal som en produkt av n faktorer y. Sedan vill man, på matematikers vis, utvidga definitionen till andra tal n än positiva heltal. Speciellt vill man bestämma sig för vad y0 skall vara och där har man full frihet att bestämma vad man vill. Att man har bestämt att y0 skall vara ett beror på att man vill att de potenslagar som gäller för positiva heltalsexponenter skall gälla även för de nya exponenter man tillåter.

Kjell Elfström


15 december 1998 20.45.55
Ännu en fråga angående definitioner. Vi har följande definition: Om vi antar att f:U->V och att a>=0 så säger vi att f(x)=O(||x||^a) om det finns positiva konstanter c och C så att ||f(x)||<=C*||x||^a , ||x||<=c (Här tolkas ||x||^0 som 1 då a=0). Vidare säger vi att M som är en delmängd av U är begränsad om det finns en konstant C så att ||x||<=C då x tillhör M. Frågan är då: Hur visas att definitionerna är oberoende av valet av normer?
Ulf

Svar:

Det är de inte. Om t ex U är mängden av alla kontinuerliga funktioner på [0,1] och vi sätter

||u||1 = max0 <= x <= 1|u(x)|

och

||u||2 = Integral[0,1](|u(x)|dx)

blir de begränsade mängderna inte de samma.

T ex är mängden som består av funktionerna uk(x) = (k + 1)xk obegränsad med den första normen och begränsad med den andra.

Kjell Elfström


15 december 1998 20.14.49
Ursäkta jag råkade visst skriva fel i formel det ska vara a^x=x (inte a^2=x)?
Johan Backfjärd

Svar:

Problemet var att bryta ut x och svaret blir väsentligen likadant.

x(ax/x - 1) = 0.

Kjell Elfström


15 december 1998 14.01.41
Var finns det en bra sida om mayafolkets matematik, gärna på svenska?
Daniel Selander

Svar:

Jag har inte hittat några sidor på svenska om mayafolkets matematik. Söker man efter "mayan mathematics" eller "maya mathematics" med Altavista finner man en del dokument, t ex Maya Mathematics.

Kjell Elfström


15 december 1998 13.46.22
Heter det lyste eller lös när man pratar om något som lyser.
Stefan Vetterkrantz

Svar:

Matematiken lyste med sin frånvaro i denna fråga.

Kjell Elfström


15 december 1998 13.29.26
Hej! Jag har två frågor:
1) Skalärprodukten mellan två vektorer definieras ju som
u*v=cos|u|*|v| Detta kan jag förstå geometriskt. Sen är samtidigt, om u=(u1,u2,u3) och v=(v1,v2,v3),
u*v=u1v1+u2v2+u3v3.
Detta kan man ju bevisa ganska lätt genom att multiplicera (u1,u2,u3)*(v1,v2,v3) och se att vissa termer tar ut varandra. Men det är inte det som är problemet. Utan problemet är varför skalärprodukt överhuvudtaget innebär att man kan multiplicera så här? Skalärprodukt var ju att u*v=cos|u|*|v|. Hur kan då cos|u|*|v|=u1v1+u2v2+u3v3? Finns geometrisk tolkning?
2) Man kan ju beskriva olika objekt i ett koordinatsystem med parameter fri resp. parameterframställning. T.ex. kan en linje beskrivas som (x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(a,b,c) eller som Ax1+Bx2+C=0. Den senare framställningen är lätt att förstå, då den är en omformning av det vanliga y=ax+b. När man sen tittar på den parameterfria formen för planet, som är Ax+By+Cz+D=0, så är det svårare att förstå i termer av y=någonting. Finns det en bra tolkning i sådana termer. Vidare är jag förstås intresserad om ett objekt av n dimensioner (om planet har två alltså) alltid kan skrivas som
a1x1+a2x2+...+anxn+a[n+1]=0,
och hur detta då ska kunna tolkas (t.ex. för en kropp). Man skulle ju kunna anta att så är fallet.
Mvh Mårten Berglund
P.s. Denna frågerutan borde göras större och förses med automatiskt radbryt. En synpunkt till er html-programmerare att implementera!
Mårten Berglund

Svar:

Skalärprodukten av två vektorer u och v definieras som

u·v = |u||v|cos a

där a är vinkeln mellan u och v. Den geometriska tolkningen av skalärprodukt kan sägas vara vinkelrät projektion. Om e är en enhetsvektor är den vinkelräta projektionen av u på linjen med riktningsvektor e nämligen

u' = |u|(cos a)e = |u||e|(cos a)e = (u·e)e.

Koordinatformeln för skalärprodukt gäller bara då koordinaterna är angivna i en ortonormerad bas. Om vi skriver vektorerna på polär form

u = |u|((cos a)e1 + (sin a)e2), v = |v|((cos b)e1 + (sin b)e2)

där e1,e2 är en ortonormerad bas i planet och vinklarna är vinklarna mellan e1-axeln och vektorerna så gäller för vinkeln c mellan vektorerna att |c| = |a -b|. Skalärprodukten mellan u och v blir

|u||v|cos(a - b) = |u||v|(cos a cos b + sin a sin b) = x1x2 + y1y2

där (x1,y1) = |u|(cos a,sin a) och (x2,y2) = |v|(cos b,sin b) alltså är koordinaterna för u och v i basen e1,e2.

Ditt resonemang om linjens ekvation haltar något. Ekvationen på parameterform är för en linje i rummet medan den andra ekvationen är för en linje i planet. En linje i rummet kan aldrig ha en ekvation på formen

ax + by + cz + d = 0,

detta är nämligen ekvationen för ett plan. En linje i rummet är alltid skärningen mellan två plan och kan alltså anges med ett ekvationssystem med två ekvationer som den ovan. Jag tycker nog det är lätt att se likheterna mellan ekvationen för en linje i planet som ej är vertikal

y = ax + b

och ekvationen för ett plan i rummet som ej är parallellt med z-axeln

z = ax + by + c.

I det första fallet kan y antas vara höjden över havet på en väg som löper ovanför x-axeln i en punkt x km öster om origo. I det andra fallet kan z vara höjden av ett plant landskap i en punkt som på kartan har koordinaterna (x,y).

Har man infört ett koordinatsystem i planet eller rummet får ju varje punkt entydigt bestämda koordinater. Man kan alltså glömma punkterna och räkna bara med koordinaterna. Att åskådliggöra ett rum med större dimension än 3 kan vara svårt men att definiera Rn som mängden av alla n-tipler (x1,x2,...,xn) erbjuder inga större svårigheter. Om man inför addition av sådana element och multiplikation av dem med skalär så som man räknar med koordinater i 2 och 3 dimensioner så får man det n-dimensionella rummet Rn. Mängden av de punkter i Rn som uppfyller

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b

säges utgöra ett hyperplan och detta har dimensionen n - 1 (med lämplig definition av dimension). n-dimensionell geometri studeras i den gren av matematiken som kallas lineär algebra. Tillämpningarna behöver inte vara geometriska. Lineära ekvationssystem, lineär programmering och minsta kvadratmetoden är exempel på användningsområden.

Kjell Elfström


15 december 1998 13.06.17
Hur HÄRLEDER man att 1^3+2^3+3^3+...+n^3 blir lika med n^2(n+1)2/4 ?
Bo Sikström

Svar:

Du skriver "härleder" med så stora bokstäver så jag vågar inte föreslå ett induktionsbevis.

Om S betecknar summa har vi

Sk = 1, n k4 = 1 - (n + 1)4 + Sk = 2, n + 1 k4

och

Sk = 2, n + 1 k4 = Sk = 1, n (k + 1)4 = Summak = 1, n k4 + 4Sk = 1, n k3 + 6Sk = 1, n k2 + 4Sk = 1, n k + n

vilket ger att

4Sk = 1, n k3 + 6Sk = 1, n k2 + 4Sk = 1, n k + n = (n + 1)4 - 1.

Känner man formlerna för summorna av lägre grad kan man lösa ut den sökta summan.

Kjell Elfström


15 december 1998 13.03.03
Då kurvan y= 1/x roterar kring x-axeln från x=1 till oändligheten uppstår en rotationskropp vars volym antar gränsvärdet pi. Motsvarande rotationsyta dvs int from 1 to inf (2*pi*y*sqrt(1+(y')^2)dx) går däremot mot oändligheten. Hur förklarar man detta?
Bo Sikström

Svar:

Det går alltså åt oändligt mycket färg om man skall måla struten invändigt, men det går att fylla struten med bara ändligt mycket färg. Detta kan verka paradoxalt eftersom ju struten färgas invändigt då man fyller den med färg, men när man målar så målar man med ett jämntjockt lager.

Kjell Elfström


14 december 1998 22.11.46
Följande problem dök upp i min mattebok (uppg. 2198 MATEMATIK 2000, Lars-Eric Björk):
I en fyrhörning med sidorna a,b,c och d som var inskriven i en cirkel skulle man visa att diagonalen från punkten där a och b möts var:
(ab+cd)(ac+bd)/(bc+ad)
Hur går man tillväga för att skriva en formel för diagonalen av fyrhörning inskriven i en cirkel?
Johan Nilsson

Svar:

Den rätta formeln är

e2 = (ab + cd)(ac + bd)/(bc + ad)

där e är den angivna diagonalen. Låt v vara vinkeln mellan sidorna a och d och w vinkeln mellan sidorna b och c. Eftersom fyrhörningen är inskriven i en cirkel är v + w = pi. Vi använder cosinussatsen på de två trianglar i vilka diagonalen är en gemensam sida och utnyttjar att cos v = -cos w.

e2 =  a2 + d2 - 2adcos v
e2 =  b2 + c2 + 2bccos v

Lös nu ut cos v ur de båda ekvationerna och utnyttja att de så framkomna uttrycken är lika.

Kjell Elfström


14 december 1998 21.18.05
Jag läste svaret på frågan om fiskodling, men hur deriverar man
M(t)=Nv=(1000*0,96^t)(80k(1-0,96^t)^b)?
Jag förstår att det måste vara en produktderivering, men får ändå inte ut något svar.
Kalle

Svar:

Jag tror svårigheten är att derivera 0,96t. Låt f(t) = at där a är en positiv konstant. Genom att skriva f(t) = et ln a ser vi att

f '(t) = et ln a ln a = at ln a.

Kjell Elfström


14 december 1998 19.16.21
På vilken internetsida kan man läsa världens största primtal?
Dalmasen

Svar:

Något största primtal finns inte eftersom det finns oändligt många primtal. Vilket det största kända primtalet är kan du se på The Largest Known Primes.

Kjell Elfström


14 december 1998 19.13.36
Vilket är det exakta talet för pi?
En frågvis en

Svar:

Man kan inte skriva pi som ett avslutat decimalbråk, inte ens som ett periodiskt decimalbråk eftersom pi är irrationellt, dvs kan inte skrivas som en kvot mellan två heltal. Man får nöja sig med approximativa värden på pi, något exakt värde av den typ jag tror du efterfrågar finns inte.

Kjell Elfström


14 december 1998 18.27.53
vilken hast(km/h)och vilket avstånd(m)bör bilarna ha? DÅ:bilarnas längd är 4(m)och avståndet mellan bör vara(r+b/2)(m)där r(m)reaktionssträckan vid bromsning och b(m)själva bromssträckan. Reaktionstiden är 0,2sek. och bromssträckans kvadratiska beroende av hast. kan bestämmas ur tabellen nedan
hast.(km/h): 30 50 70 80 100
bromssträcka(m): 5,8 16 31,4 41 64
Gert Svensson

Svar:

Bristen på förutsättningar i uppgiften gör den svår att lösa. Sök efter bromssträcka så får du se svaren på tidigare frågor som gäller denna uppgift.

Kjell Elfström


14 december 1998 16.27.09
Hur fungerar CSP (Continue Samplings Plan, tror jag)?? Vilka fördelar och nackdelar har den om man ska använda det vid en kvalitetskontroll?? Kan ni föreslå någon bok om denna metod, gärna på Svenska men Engelska får också duga.
MVH
Kent

Svar:

Jag känner tyvärr inte till något om detta.

Kjell Elfström


14 december 1998 15.58.04
Hej! Jag håller just nu på att läsa in Ma E och vore tacksam om ni kunde ge mig lite hjälp med följande problem: En enkel modell för befolkningsutveckling i ett land som tar hänsyn till invandringen kan formuleras som en differentialekvation
dP/dt= k x P +m
förändringshastigheten dP/dt av folkmängden P med avseende på tiden t är summan av den naturliga tillväxthastigheten k x P och den hastighet m som invandringen sker med.
Undersök om denna modell kan användas för Sverige. Låt m vara den genomsnittliga årliga invandringen mellan år 1970-90. Lös differentialekvationen exakt och bestäm k med hjälp av tillgängligt data (från statisktisk årsbok)
Anna Jansson

Svar:

Se 4 februari 1997 09.27.03.

Kjell Elfström


14 december 1998 15.28.44
Hej Kjell och GOD JUL!
Jag har följande problem:
I en tävling fanns det a deltagare och b domare, b=udda heltal>1. Varje domare får bedöma varje tävlande antingen "Pass" eller "Fail". Anta att k är ett heltal sådant att för varje par av domare överensstämmer deras bedömningar för högst k tävlande. Visa att
k/a>=(b-1)/2b .
Tack för ER hjälp!!! Linda A.

Svar:

Låt 0 motsvara "Fail" och 1 motsvara "Pass". Arrangera bedömningarna i ett rektangulärt schema så att varje domare motsvarar en rad och varje deltagare en kolumn och markera bedömningarna med nollor och ettor i schemat. På så sätt får vi en (a,b,d)-kod där d = a - k. Plotkins begränsning säger då att

b(b - 1)d <= ab2/2.

Denna är emellertid inte tillräcklig för att visa olikheten i frågan då den inte tar hänsyn till att b är udda. Betraktar vi en kolumn och låter x och y vara antalet nollor resp. ettor i den kolumnen så är xy antalet domarskiljaktigheter för den mot kolumnen svarande deltagaren. Olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde ger att

xy <= ((1/2)(x + y))2 = ((1/2)b)2 = b2/4

med likhet om och endast om x = y. Eftersom x + y är udda måste de vara olika och det gäller alltså att

xy < b2/4

och eftersom x och y är heltal måste

xy <= (b2 - 1)/4

och det totala antalet skiljaktigheter är högst a(b2 - 1)/4. Antalet par av domare är (b2) = b(b - 1)/2 så antalet skiljaktigheter är minst db(b - 1)/2. Vi får

db(b - 1)/2 <= a(b2 - 1)/4

vilket kan skrivas

d/a <= (b + 1)/2b

och utnyttjar vi att d/a = 1 - k/a får vi den sökta olikheten.

Kjell Elfström


14 december 1998 12.46.24
Hej ! En behållare utgöra av en öppen ciruklär cylinder kon med höjden 80 cm och diametern 60 cm. Behållaren som från början är tom fylls med vatten med flödet 15 liter/min. Bestäm med vilken hastighet som vattenytan stiger i behållaren då man fyllt behållaren till halva volymen.

Svar:

Låter vi r vara radien och h höjden är vattenvolymen

V = pi r2h/3

och hela konens volym är pi·32·8/3 = 24pi liter.

Likformiga trianglar ger att

h/r = 80/30 = 8/3

och sätter vi in detta i uttrycket för volymen får vi

V = (3pi/64)h3

vilket ger att

h = (64/(3pi))1/3V 1/3.

Deriverar vi detta med avseende på t får vi

h' = (64/(3pi))1/3(1/3)V -2/3V ' = (64/(3pi))1/3(1/3)(24pi/2)-2/3·15 dm/min.

Kjell Elfström


14 december 1998 12.38.51
Hej ! Vid en vanlig typ av åttarmad djurpsykologiska experiment släpps försöksdjuret , t.ex , en råtta , ner i centrum av en åttaramad bur. Lägst ut i varje arm ligger en liten bit mat. ( Den åttaarmade buren kan du beskrivas med hjälp om du ritar en cirkel med medelpunkten O , och drar en vertikal linje från O uppåt tills du träffar cirkeln , du gör likadant nedåt dvs drar en vertikal linje nedåt tills du träffar cirkeln , sedan så drar du en horisontell linje från O till höger tills du träffar cirkel , likadant så drar du en horisontell linje från O till vänster tills träffar cirkeln , sedan så drar du en linje från O diagonalt snett up till höger tills du träffar cirkeln , sedan så drar du en linje från O snett nedåt vänster. Alla dessa delar utgör de så kallade armarna.) Ett normalt försöksdjur springer ut i en arm efter arm (fast inte nödvändigtvis efter visst system) och äter upp matbitarna allteftersom de påträffas , medan ett djur som har utsatts för någon form av påverkan ofta uppför sig mera planlöst genom att upprepande gånger springa ut i armar där det redan har varit och där det alltså inte längre finns någon matbit. Ofta brukar man vid sådana försök registrera antalet olika armar som djuret besöker de åtta första gångerna det springer ut i någon arm. Ett opåverkat försöksdjur ger ofta resultatet 7 eller 8. Ett stressat djur ger ofta mycket lägre värden. Anta nu att att djuret inte har någon som helst form av minne och det varje gång det ska springa ut i en arm väljer mellan de åtta armarna med lika stor sannolikhet och oberoende av vad det har valt förut.
Hur stor är sannolikheten att djuret kommer att välja precis sju armar de åtta första gångerna ?

Svar:

Problemet kan beskrivas som att man ur en urna med åtta kulor numrerade från 1 till 8 med återläggning skall dra åtta kulor och frågan är då vilken sannolikheten är att få precis sju olika nummer.

Antalet möjliga utfall är

m = 88.

Ett av numren skall dragas två gånger och detta nummer kan väljas på 8 sätt. Ett nummer skall inte dragas alls och detta nummer kan nu väljas på 7 sätt. Detta ger 56 möjligheter. När vi så har valt dessa två nummer måste vi räkna ut på hur många sätt de valda kan ordnas. Det första enkelnumret kan placeras på 8 sätt, det andra på 7 sätt och så vidare. De kan alltså ordnas på 8·7·6·...·3 = 8!/2 sätt så antalet gynnsamma utfall blir

g = 56·8!/2 = 28·8!

och den sökta sannolikheten blir

p = g/m = 28·8!/88

Kjell Elfström


14 december 1998 10.44.49
Jag ska lösa en uppgift om hur lång en båglängd är. Till hjälp har man fått att L= * * 1+ (f(x)^2 ⋅ dx, hela detta uttrycket ska integreras. Denna formel ska användas för att beräkna några båglängder. Vi ska även räkna ut båglängden för f(x)= sinx, samt hitta några f(x) där man kan beräkna längden exakt. Tacksam för svar
Matte-E studerande 80

Svar:

Båglängden av en kurva

y = f(x), a <= x <= b

definieras som

Integral[a,b](1 + (f '(x))2)1/2dx.

Båglängden för sinus-kurvan kan du läsa om i 11 december 1998 11.38.59. Några icke-triviala kurvor för vilka man kan räkna ut längden exakt ges t ex av y = x3/2, y = cosh x = (ex + e-x)/2.

Kjell Elfström


14 december 1998 00.30.59
Mängden M={1,2,3,4,5,6} är given. Relationen R beskrivs genom aRb omm b-1 =<a<= b+1. Vilka element ingår i relationsmängden R(M)? Och vad är en relationsmängd?
Niklas S

Svar:

Antagligen är det mängden av de par (a,b) som är sådana att aRb.

Kjell Elfström


13 december 1998 00.00.47
För den unga prinsessan har den stora dagen kommit då hon skall välja sin blivande man. Förutsättningarna är sådana att prinsessan vet att det är N stycken friare, men hon har inte sett någon av dem tidigare. Valet skall gå till så att friarna kommer in, en och en, och visar upp sig en stund för prinsessan. Om hon då väljer en friare så är valet klart och hon kan inte ändra sig. Om hon släpper förbi en friare och låter honom gå ut så kan hon inte ändra sig och be honom komma in igen. Prinsessan har valt strategin att släppa förbi X stycken för att se vilken nivå det är på friarna och väljer sedan näste friare i ordning som är bättre än den bäste i kontrollgruppen (=de X första). Väljer hon ett lågt värde på X får hon i bästa fall en medelmåtta, men är å andra sidan relativt säker på att inte bli utan. Väljer hon ett högt värde på X ökar sannolikheten att hon blir mycket nöjd med sitt val, men samtidigt löper hon risken att bli helt utan (såvitt hon nu inte nöjer sig med den siste som kommer in). Vilket värde på X skall prinsessa välja för att optimera sitt val ?
Jag hörde detta problem för mer än 20 år sedan när jag gick på Chalmers, men kan inte erinra mig lösningen. Har dock ett svagt minne av att e var inblandat. Kan det möjligen ha varit N/e ? Jag antar att man förutsätter att friarna är normalfördelade med avseende på prinsessans bedömningsparameter.
Ivan Eriksson

Svar:

Svaret måste bero på hur hon värderar de olika friarna inbördes och hur hon värderar att förbli ungmö. Antag att värdet av friare nr k i raden är xk och att hon värderar att förbli ogift till x0. Om den bäste friaren finns bland de X första blir utfallet x0. I annat fall låter vi x vara det största värdet av xk där k <= X och utfallet blir xl där l är det minsta värde på k sådant att l > X och xl > x. Det genomsnittliga värdet i det senare fallet blir medelvärdet av alla xl som är större än x.

Vi förutsätter nu att friarnas värden är olika och räknar upp värdena i storleksordning: y1 < y2 < ... < yN  och räknar på sannolikheten att det största värdet av de X första är yk. Detta betyder att de X första är yk och X - 1 av värdena y1,...,yk - 1 och sannolikheten blir

pk = (k - 1X - 1)/(NX) om k >= X och 0 annars.

Sätter vi

Ek = (yk + 1 + yk + 2 + ... + yN)/(N - k) om k < N och EN = x0

blir väntevärdet på den utvalde

pXEX + pX + 1EX + 1 + ... + pNEN

och hur detta skall maximeras kan jag inte se.

Kjell Elfström


12 december 1998 19.58.43
Jag skulle villja ha reda på den bästa möjliga linje man kan dra genom ett antal punkter i ett 3dimensionnelt rum (x,y,z). Jag antar att man ska använda minsta kvadratmetoden men jag har inte lyckats anpassa den till 3 dimensioner. P.S Vet du nån bra bok som tar upp matematiken bakom 3d grafik (NURBS kurvor, ytor osv..). Jag har läst linjär algebra.
Johan Pettai

Svar:

Om linjen inte är parallell med xy-planet kan den skrivas

x = a + bz
y = c + dz

Ett sätt är att bestämma u = (a,b,c,d) så att avståndet från Au till v är så litet som möjligt, där A är matrisen

1 z1 0 0
1 z2 0 0
  ...    
1 zn 0 0
0 0 1 z1
0 0 1 z2
  ...    
0 0 1 zn

och v = (x1,x2,...,xn,y1,y2,...,yn)t och detta göres som vanligt med hjälp av normalekvationerna.

Kanske kan Hoggar, S.G. (1992) Mathematics for computer graphics vara någonting? Du kan själv söka efter Computer Graphics. På universitetens hemsidor för datavetenskap brukar finnas litteraturlistor till kurserna.

Kjell Elfström


12 december 1998 18.44.44
Jag har en plåtbit på 15 kvadratdecimeter och vill göra en cylinder med både lock och botten. Hur räknar jag ut den maximala volymen av cylindern?
Challe M

Svar:

Om r är lockets och bottnens radie och h är burkens höjd är dess volym V = pi r2h. Lockets och bottnens area är båda pi r2 och cylinderns mantelarea är 2pi rh. (Klipper du upp mantelytan och plattar till den får du en rektangel med sidorna h och 2pi r.) Plåtåtgången är alltså

2pi r2 + 2pi rh = 15.

Löser vi ut pi rh ur detta får vi

pi rh = (15 - 2pi r2)/2

och sätter vi in detta i uttrycket för volymen får vi

V = r(15 - 2pi r2)/2 = 15r/2 - pi r3.

Derivera och bestäm maximum av V.

Kjell Elfström


11 december 1998 23.00.48
Tack för svaret på fråga 9 dec 1998 12 5945. Jag skulle vilja att ni utvecklade hur ni fick fram s=v i kvadrat/g + vt - v gånger roten ur(2vt/g + v i kvadrat/g i kvadrat). Jag har löst ur rötterna ur x i kvadrat + 2xv/g - 2tv/g. Sedan skriver ni att jag ska utnyttja s=gx i kvadrat/2, men förstår ej detta. Hoppas ni kan hjälpa mig. Kram Anna
Anna S

Svar:

Använd kvadreringsregeln,

x2 = (-v/g + (2tv/g + v2/g2)1/2)2 = (v/g)2 - 2(v/g)(2tv/g + v2/g2)1/2 + (2tv/g + v2/g2),

snygga till och multiplicera med (g/2).

Kjell Elfström


11 december 1998 19.42.43
Jag har en fråga gällande öppna delmängder av vektorrum: Vi definierar att U är en öppen delmängd av vektorrummet V om det till varje x som tillhör U finns ett tal e>0 och f_1,...,f_m som tillhör V ' sådana att |<y-x,f_i>| <=e , 1<=i<=m =>y tillhör U.
Frågan är då, om vi låter V=R(mängden av de reella talen), hur ser man då(bevisar) att definitionen sammanfaller med definitionen av öppna mängder för en variabel(orkar inte skriva ned denna)?
En annan sak jag har begrundat är hur man övertygar sig om att en linjär avbildning mellan vektorrum, L:V->V är kontinuerlig?
Hoppas det inte blev för många frågor på en gång!
Ulf Svensson

Svar:

Jag förutsätter att V ' är mängden av alla lineära former på V och att <x,f> är f(x) om x tillhör V och f tillhör V '. En delmängd U av R är öppen i den vanliga topologin om det till varje x i U finns ett tal e > 0 sådant att

y tillhör U om |y - x| < e.

Varje lineär form fR är på formen f(z) = az där a är en konstant. Om U är öppen i den vanliga topologin kan vi välja ff (z) = z. Då gäller att

|<y - x,f>| < e => |y - x| < e => y tillhör U

U är även öppen i topologin ovan. Omvänt, antag att U är öppen i topologin ovan. Till varje x i U finns då ett tal e > 0 och reella tal ai, i=1,2,...,m sådana att

y tillhör U om |ai(y - x)| < e, i = 1,2,...,m.

Väljer vi e' = e/(max|ai| + 1) gäller

y tillhör U om |y - x| < e'.

En lineär avbildning V->W måste inte vara kontinuerlig. I själva verket kan man visa att om V är ett oändligtdimensionellt normerat rum och W <> {0} så finns en lineär avbildning som inte är kontinuerlig. Om däremot V är ändligtdimensionellt är varje lineär avbildning kontinuerlig.

Jag antar nu att frågan gäller V med den topologi som anges ovan. Om T är en lineär avbildning och U är en öppen mängd i V skall vi visa att T -1(U) är öppen. Låt därför x tillhöra T -1(U), dvs Tx tillhör U. Då finns e > 0 och fi i V ' så

|<Ty - Tx,fi>| < e => Ty tillhör U => y tillhör T -1(U).

Men fiT tillhör också V ' och

|<y - x,fiT>| = |<Ty - Tx,fi>|

vilket visar att T -1(U) är öppen.

Jag har, som man brukar, använt stränga olikheter överallt, framförallt av typografiska skäl. Du kan byta ut < mot <= överallt om du vill.

Kjell Elfström


11 december 1998 19.31.05
Kan du ge något exempel på en mängd som har ett kardinaltal större än ALEF_1
ET

Svar:

Mängden av alla delmängder till en mängd vars kardinaltal är Alef_1 och om vi tar kontiuumhypotesen som ett axiom är detta mängden av alla delmängder till mängden av reella tal.

Kjell Elfström


11 december 1998 11.38.59
Med en Integral kan man lätt beräkan att arean under sinusbågen är 2 areaenheter. Men hur lång är sinusbågen?
Alexandra

Svar:

Längden av en funktionskurva

y = f(x), a <= x <= b

definieras som

Integral[a,b](1 + (f '(x))2)1/2dx

och då f(x) = sin x, a = 0, b = pi blir längden

Integral[0, pi](1 + cos2x)1/2dx.

Detta är en så kallad elliptisk integral som inte går att beräkna exakt.

Kjell Elfström


11 december 1998 11.14.31
Hur räknar man ut arean på en romb?
Chris da Wiz

Svar:

Den ena diagonalen delar romben i två trianglar, var och en med en höjd som är halva den andra diagonalen. Arean är alltså hälften av produkten av diagonalerna. En romb är också en parallellogram och arean av en sådan är produkten av basen och höjden.

Kjell Elfström


10 december 1998 23.59.37
Jag har ett litet problem. Lyckas nämligen inte att lösa ut "t" ur nedanstående ekvation. Hur gör jag för att lösa ut "t"??
s=-C*e^(-(g*t)/v) + vt + C
Där s, C, g och v är konstanter. Vore väldigt tacksam om jag fick hjälp med detta!
mvh Kristoffer Gustafsson
Kristoffer Gustafsson

Svar:

Man kan inte uttrycka t i de övriga variablerna med hjälp av de elementära funktionerna.

Kjell Elfström


10 december 1998 14.42.52
Hur har Runge Kutta förbättrat stegmetoden jämfört med t.ex. Eulers metod.
Knut

Svar:

Se 9 december 1998 10.07.49.

Kjell Elfström


10 december 1998 00.01.44
Jag undrar om det finns något bevis för att pi:s decimalutveckling är slumpmässig, alltså inte har något system i sig. Om inte, vad tror man?
Kväll-Ulv

Svar:

Jag hänvisar till Rescaled range analysis and the fractal dimension of pi speciellt The normality of pi.

Kjell Elfström


9 december 1998 23.58.19
Hej,
man tar en kvadrat med sidan=1, ritar 4 cirklar med diameter=1 och centra i vart och ett av de fyra hörnen, skriver in en maximal cirkel C. Då blir C:s diameter=sqrt(2)-1. Analogt i 3 dimensioner fås 8 sfärer med diameter=1 och centra i hörnen på en kub med sida=1. Inskrivna sfären C:s diameter blir nu sqrt(3)-1.
Analogt i n dimensioner borde C:s diameter bli sqrt(n)-1, eller hur? Men nu börjar det konstiga: T.ex. n=5 ger diameter=sqrt(5)-1>1 C ligger alltså utanför 5D-kuben!! Fråga 1: Är detta konstigt även för er matematiker? Fråga 2: Innebär detta att det är svårt att bygga rymningssäkra fängelser för 5-dimensionella varelser?
Kettil Häing

Svar:

Jag tycker inte det är konstigt. Det finns inget i konstruktionen som säger att klotet skall hamna innanför kuben. Tänk efter hur det blir i två dimensioner om du väljer fyra små cirklar med medelpunkter i kvadratens hörn.

Kjell Elfström


9 december 1998 23.27.00
Hej, några saker som jag undrar..
Summan av de n första heltalen kan ju räknas ut på ett kort sätt: 1+2+3+..+n=n(n+1)/2
Men produkten av de n första heltalen verkar inte gå att räkna ut kort(jag har försökt..):
1*2*3*..*n=???
Finns det något enkelt bevis för att det inte går?
För övrigt, antal gånger som n! är delbart med primtalet p(<=n) verkar vara
(n-(siffersumman av n uttryckt i basen p))/(p-1)
Stämmer det?!
PS.Matte är kul!
Petter

Svar:

Något bevis för att det inte kan finnas någon enkel formel för att beräkna n! känner jag inte till. Med Stirlings formel kan man beräkna n! approximativt, se 21 maj 1997 11.24.51. Där framgår också hur man kan uttrycka n! med gamma-funktionen.

Det stämmer att antalet gånger som n! är delbart med p där p är ett primtal är

pn = (n - siffersumman av n i basen p)/(p - 1)

(även då p > n vilket man kan se direkt). Detta kan visas med induktion över n. Då n = 0 stämmer påståendet uppenbarligen eftersom inget primtal delar 0! = 1 och p0 = 0.

Antag att n! är delbart med p pn gånger. Om siffersumman för n + 1 är ett mer än siffersumman för n är pn + 1 = pn och n + 1 inte delbart med p varför n! och (n + 1)! är delbara lika många gånger med p. Om siffersumman inte ökar med ett är

n = (p - 1)(1 + p + p2 + ... + pk - 1)

och

n + 1 = pk

för något tal k. Antalet faktorer p i (n + 1)! är k mer än antalet i n! och

pn + 1 = pn + k.

Kjell Elfström


9 december 1998 21.41.49
I boken Fermats gåta av Simon Singh står det att om A^n+B^n=C^n har en lösning så måste ekvationen y^2=x^3+(A^n-B^n)x^2-A^n*B^n finnas till. Vad menas med att den finns till, hur skulle den inte kunna finnas till? Tacksam för svar.
Erik Lindgren

Svar:

Jag tror du har missat ett x. I The Mathematics of Fermat's Last Theorem står det (med andra bokstäver) att den elliptiska kurva som definieras av

y2 = x(x - An)(x + Bn)

skall vara semistabil men inte modulär.

Kjell Elfström


9 december 1998 18.01.44
Hej, jag har lite problem med Implicit derivata i E-kursen! Har ett tal som jag inte kan lösa!
Pernilla åker pariserhjul. Pariserhjulets radie är 18 meter och det snurrar 1 varv på två minuter. Hur snabbt stiger eller faller Pernilla då hon befinner sig en punkt belägen 12 meter från en vertikal linje genom pariserhjulets centrum?
Tack, Karin Mannesson

Svar:

Placera pariserhjulet i ett koordinatsystem så dess medelpunkt är i origo. Hjulets ekvation är då

x2 + y2 = 182.

Här beror både x och y på tiden t och deriverar vi båda led med avseende på t får vi

2xx' + 2yy' = 0

vilket ger att xx' = - yy' och därför att

(xx')2 = (yy')2.

Vidare är Pernillas fart

((x')2 + (y')2)1/2 = (1/2)·2pi·18

vilket ger att

(x')2 + (y')2 = (18pi)2.

Löser vi ut (x')2 ur den förra ekvationen och sätter in i den senare får vi

y2(y')2/x2 + (y')2 = (18pi)2

vilket efter multiplikation med x2 kan skrivas

(x2 + y2)(y')2 = (18pi)2x2

och eftersom x2 + y2 = 182 och x2 = 122 blir

(y')2 = (18pi)2122/182 = (12pi)2

vilket ger att |y'| = 12pi m/min.

Kjell Elfström


9 december 1998 15.36.14
Ursäkta mig, det var jag som gav er problemet med kubhuset. Menar du att 26 rum är möjliga att besöka, för mitt bästa tidigare var 25 besökta rum, Trots dina fina direktiv som jag är otroligt tacksam för har jag dock inte klarat besöka fler rum. Hoppas att du kan hjälpa mig med denna fråga också, så jag slipper sitta där och försöka om jag har nått maxantalet. Tack på förhand och hoppas att jag inte har tagit upp för mycket av er tid, med tanke på andra som behöver er hjälp med vicktigare problem.
D Andersson

Svar:

Det enda jag sade i svaret till 6 december 1998 14.44.37 var att 27 rum inte gick att besöka. Låt oss se om man kan besöka 26 rum. Av mitt förra svar framgår att om 26 rum är möjliga att besöka så måste det rum som inte besöks vara grönt. Det återstår då 13 färgade rum, 7 gröna och 6 röda. Det framgår också att vartannat besökt färgat rum måste vara grönt och vartannat rött. Eftersom vi inte kan nå några gröna rum från mittrummet är färden omöjlig. En annan lösning på ditt problem vore att byta bostad.

Kjell Elfström


9 december 1998 12.59.45
Hej.Jag behöver hjälp med hur man löser ut (s) ur sambandet t= roten ur(2s/g) + s/v. Tack på förhand
Anna svensson

Svar:

Ekvationen är

t = (2s/g)1/2 + s/v.

Vi förutsätter att alla inblandade storheter är positiva och sätter x = (2s/g)1/2. Då är s = gx2/2 och ekvationen övergår i

x2 + 2xv/g = 2tv/g

som efter kvadratkomplettering kan skrivas

(x + v/g)2 = 2tv/g + v2/g2.

Denna ekvation har rötterna

x = -v/g ± (2tv/g + v2/g2)1/2

och eftersom x >= 0 duger endast plustecknet. Utnyttjar vi nu att s = gx2/2 får vi

s = v2/g + vt - v(2vt/g + v2/g2)1/2.

Kjell Elfström


9 december 1998 12.33.58
Är matematik något man upptäcker eller uppfinner?
MVH Lars
Lars Lennartsson

Svar:

Se 17 mars 1997 20.56.58.

Kjell Elfström


9 december 1998 10.07.49
På vilket sätt har Runge-Kutta förbättrat stegmetoden, t.ex. jämfört med Eulers metod? Kan du även visa ett exempel?
Dan och Cecilia

Svar:

Skillnaden mellan det exakta värdet av y(x) och det man får om man använder steglängden h är av storleksordningen h med Eulers metod, h2 med Heuns metod och h4 vid användningen av metoden i 2 april 1997 13.47.56. För bevis av detta och för exempel hänvisar jag till elementära läroböcker i numerisk analys.

Kjell Elfström


8 december 1998 22.36.20
Jag har följande problem: Låt säga att vi definierar differentierbarhet på följande sätt: f är diff.bar i punkten u som tillhör U om det finns en linjär avbildning L:U->V så att f(u+x)=f(u)+Lx+o(||x||). 1) Hur visas då att f är kontinuerlig i u om f är diff.bar i u?
2) Antag vidare att a tillhör U och att vi har funktionen t->f(u+ta),
(t tillhör R) och är der.bar då t=0. Man säger då att f är partiellt der.bar i riktningen a i punkten u. Betecknar partiella derivatan som d_(a)f(u). (a:et skall ses som index).
Hur visar man då att om f är diff.bar i punkten u så existerar alla partiella derivator d_(a)f(u) och att d_(a)f(u)=f'(u)*a då a tillhör U?
Tack på förhand!
Ulf

Svar:

Vi förutsätter att f är en funktion från Rn till R. Innebörden av o(||x||) (lilla ordo) är i detta fall att

f(u + x) = f(u) + Lx + ||x||e(x)

där e är en funktion från Rn till R sådan att e(x) går mot noll då x går mot noll. Eftersom lineära funktioner L är kontinuerliga och L0 = 0 gäller att

f(u + x) = f(u) + Lx + ||x||e(x)

går mot f(u) + L0 + 0·0 = f(u) då x går mot 0 vilket betyder att f är kontinuerlig i u.

I definitionen av riktad derivata brukar man kräva att ||a|| = 1, inte att a tillhör U. Sätter vi g(t) = f(u + ta) innebär existensen av den riktade derivatan i riktningen a i punkten u att g är deriverbar i 0. Vi bildar differenskvoten

(g(t) - g(0))/t = (f(u + ta) - f(u))/t = (L(ta))/t + ||ta||e(ta)/t

och eftersom L(ta) = tLa och ||ta||e(ta)/t går mot 0 då t går mot 0 följer det att differenskvotens gränsvärde då t går mot 0 är La.

Kjell Elfström


8 december 1998 22.26.27
FInns det något kommando i Mathcad som beräknar Newton-Raphson metoden. D.v.s. om man kan mata in en funktion och Mathhcad kan beräkna intervall-halveringen maskinellt av en godtycklig funktion. Jag kan räkna ut detta på papper, men om jag skall beräkna ett antal punkter på en kurva så blir det RÄTT så många uträkningar. Jag har tillgång till Mathematica i skolan om den nu skulle vara mycket lättare(tror jag inte). Tack för en interessant sida.
Gunnar Engström

Svar:

Om du menar ett kommando som redovisar delstegen i Newton-Rapsons metod tror jag inte det finns något skräddarsytt sådant. Men du kan konstruera ett med hjälp av iteration. Se hjälpen i Mathcad.

Kjell Elfström


8 december 1998 16.31.48
Vad är den matematiska/historiska bakgrunden till funktionerna cosecant(x) (csc(x)) och secant(x) sec(x)? De används sällan idag men vi antar att de användes frekvent tidigare och isåfall till vad?
Tack på förhand Lars och Michael
Lars Lennrtsson och Michael Lekman

Svar:

The MacTutor History of Mathematics archive har en sida om trigonometrins historia, The trigonometric functions.

Kjell Elfström


8 december 1998 15.16.49
Om man över en cylinder med radien 3cm och höjden 6cm ställer en kon vilken blir då konens minsta volym (jag vill ha en lösning med rotationskropp i en integral, inte en lösning med hjälp av likformighet.)
Erik

Svar:

Lägg cylindern och konen ner, konen med spetsen i (h,0), h > 6 och med basen i yz-planet. Konen kan då fås genom att en linje genom (h,0) och (6,3) roterar kring x-axeln. Dess ekvation är (här kommer likformigheten in likväl)

y = 3(h - x)/(h - 6)
och konens volym blir alltså

piIntegral[0,h](9(h - x)2/(h - 6)2dx)

Räkna nu ut denna integral som funktion av h och derivera.

Kjell Elfström


8 december 1998 08.11.28
Vad är den Naturliga logaritmen av e upphöjt med x
Stefan Lindblom

Svar:

Funktionerna f(x) = ex och g(x) = ln x definieras så att de blir varandras inverser, dvs

g(f(x)) = xx tillhör R och f(g(x)) = xx > 0.

Av detta följer att ln ex = x.

Vi kan också säga att ln y är ju det tal x som e skall upphöjas till för att ge talet y. I detta fall frågar vi oss alltså vad e skall upphöjas till för att ge ex.

Kjell Elfström


7 december 1998 20.53.19
Om vi vet att f är konvex på R,hur bevisar man då att f(ax+b) är konvex om a,b är konstanter?
Andreas

Svar:

Vi skall alltså visa att g(x) = f(ax + b) är konvex. Detta klarar du säkert själv om jag visar hur du skall börja.

g(tx + (1 - t)y) = f(a(tx + (1 - t)y) + b) = f(t(ax + b) + (1 - t)(ay + b)).

Kjell Elfström


7 december 1998 20.48.00
Hur visas att C^(k+1)(R) är ett lineärt underrum i C^(k)(R), då k>=0?
Ann

Svar:

Ck(R) är mängden av alla k gånger kontinuerligt deriverbara funktioner på R. Det är väl ingen tvekan om att Ck + 1(R) är en delmängd av Ck(R) så det som återstår att visa är att om f och g tillhör Ck + 1(R) så tillhör också af + bg Ck + 1(R). Av deriveringsreglerna följer det att af + bg är k + 1 gånger deriverbar med (k + 1):a-derivatan af (k + 1) + bg(k + 1) om f och g är k + 1 gånger deriverbara. Av en sats om kontinuerliga funktioner följer sedan att af (k + 1) + bg(k + 1) är kontinuerlig eftersom f (k + 1) och g(k + 1) är kontinuerliga.

Kjell Elfström


7 december 1998 20.43.26
Man har en funktion g som är udda och konvex på R. Hur visar man då att g är affin?
Andreas

Svar:

Att g är udda betyder att

g(-x) = -g(x)

för alla reella tal x och att g är konvex på R betyder att

g(tx + (1 - t)y) <= tg(x) + (1 - t)g(y)

för alla reella tal x och y och alla t i [0,1]. En affin funktion g är slutligen en summa av en lineär funktion och en konstant.

Eftersom g är udda måste g(0) vara 0 och vi visar att g är lineär, dvs

g(tx) = tg(x)

för alla tal t och x. Konvexiteten ger att

g(tx) = g(tx + (t - 1)·0) <= tg(x) + (t - 1)g(0) = tg(x)

då 0 <= t <= 1. Eftersom g är udda gäller för sådana t att

-g(tx) = g(t(-x)) <= tg(-x) = -tg(x)

vilket ger att

g(tx) >= tg(x).

Dessa båda olikheter ger nu att

g(tx) = tg(x).

t > 1 är 0 < 1/t < 1 och vi får

g(x/t) = g(x)/t.

Multiplicerar vi båda leden med t och ersätter vi x med tx får vi den sökta likheten även för t > 1. Att den gäller även för negativa t följer av att g är udda.

Kjell Elfström


7 december 1998 20.27.46
Hur skriver man talet 1/4 i basen sex? Är detta tal rationellt?
Bengt Stegnell

Svar:

1/4 är rationellt eftersom det är kvoten mellan två heltal. Det har ingen betydelse vilken bas vi skriver det i. Som bekant kan 1/4 skrivas som 0,25 i det decimala systemet, eftersom 1/4 = 25/100. Ser man inte det på en gång utför man en division. Hur många hela är 1/4? 4 går ingen gång i 1, alltså 0 hela. Hur många tiondedelar är det då. 10 delat med 4 är 2 med en rest på 2. Alltså 2 tiondedelar med 2 tiondedelar eller 20 hundradedelar över. 4 går 5 gånger i 20 varvid divisionen går jämnt ut. 1/4 är alltså 2/10 + 5/100.

1 = 0·4 + 1
1 = 10/10 = (2·4 + 2)/10 = (2/10)·4 + 2/10
2/10 = 20/100 = (5·4)/100 = (5/100)·4

Det är så den vanliga divisionsalgoritmen (trappan, liggande stolen mm) fungerar.

Nu gör vi likadant i systemet med basen sex, men tiondedelar, hundradedelar osv. ersätts av sjättedelar, trettiosjättedelar osv.

1 = 0·4 + 1
1 = 6/6 = (1·4 + 2)/6 = (1/6)·4 + 2/6
2/6 = 12/36 = (3·4)/36 = (3/36)·4

I basen sex kan vi alltså skriva 1/4 som 0,13.

Kjell Elfström


7 december 1998 17.15.40
Tillägg till kubhuset, Man får inte gå igenom ett rum två ggr, men det är ju ganska självklart för i sådana fall vore det ju inget problem, förlåt att jag skrev fel, men jag blev så ivrig när jag såg sajten och chansen till HJÄLP. Förlåt än en gång och tack på förhand.
D Andersson

Svar:

Jag förutsatte det i svaret till 6 december 1998 14.44.37.

Kjell Elfström


7 december 1998 13.26.10
Vad är algebra
anna karlsson

Svar:

Från början var algebra läran om hur man löser vissa typer av ekvationer. Se 6 juni 1997 13.16.13. Vid studiet av dessa utvecklades teorin i en mer abstrakt riktning och algebra har mer kommit att handla om de strukturer som därvid framkommit. Ett exempel på begrepp från den abstrakta algebran är grupp och ring. Som du känner till kan t ex heltalen adderas med varandra och man har kommit fram till vissa räkneregler för addition av heltal. När man sedan studerar de reella talen ser man att samma räkneregler gäller för addition mellan dem. Matematiker studerar många typer av objekt som i någon mening kan adderas och där likartade räkneregler gäller som för heltalen. Då vill man studera sådana operationer som t ex addition eller multiplikation och bortse från vilka objekt man faktiskt adderar eller multiplicerar. En grupp är en mängd tillsammans med en operation som har vissa grundläggande egenskaper. En ring är en mängd med två operationer som samspelar på visst sätt, t ex addition och multiplikation. Ordet algebra har i snävare mening ibland också betecknat bokstavsräkning.

Kjell Elfström


7 december 1998 10.29.43
Hej. Jag skulle vilja ha en karaktäristiskt exempel för en fråga, som man löser med Runge-Kuttas metod.
Dan

Svar:

Vill man lösa ett begynnelsevärdesproblem

y' = f(x,y), y(a) = c

numeriskt i intervallet [a,b] kan man dela in intervallet i delintervall med längden h, delningspunkterna xj = a + jh. Man approximerar derivatan i punkten (xn,yn) med differenskvoten (yn + 1 - yn)/h = f(xn,yn) och får rekursionsformeln

yn + 1 = yn + hf(xn,yn).

Detta kallas Eulers metod.

I Runge-Kuttametoder beräknar man värdet av f(x,y) i flera strategiskt valda punkter och en kombination av dessa används för att ge god noggrannhet i tillskottet yn + 1 - yn. Ett exempel är Heuns metod som kan användas för att lösa begynnelsevärdesproblemet med ofta större noggrannhet än Eulers metod.

k1 = hf(xn,yn)
k2 = hf(xn + h,yn + k1)
yn + 1 = yn + (1/2)(k1 + k2).

Den mest kända Runge-Kuttametoden redovisas i 2 april 1997 13.47.56.

Kjell Elfström


7 december 1998 10.29.04
matematik 2000, fråga 4220.Med jeep in i öknen. En jeep kan sammanlagt ta 200 liter bensin i tanken och lösa dunkar. Jeepen kommer 2.5 km på 1 liter bensin. Antag att du ska färdas 1000 km in i öknen och att bränsle bara finns vid startpunkten och vid målet. Vill du klara färden måste du först placera ut bensin i depåer längs färdvägen. Hur mycket bränsle går åt och var skall dunkar placeras ut? Finn en lösning på problemet, gärna en som är "så bra som möjligt"!
Thhed@hotmail.com

Svar:

Se 19 februari 1997 18.12.48.

Kjell Elfström


6 december 1998 16.18.39
Man kan "visa" att -1=1 på följande sätt:
-1=sqr(-1)*sqr(-1)=sqr((-1)*(-1))=sqr(1)=1
(där sqr(x) betyder kvadratroten ur x) Var i resonemanget finns felet? Är det att sqr(a)*sqr(b)=sqr(a*b) om och endast om a och b är större än noll?
Erik Lindgren

Svar:

Om a < 0 är inte ens r = sqrt(a) definierad. Skulle vi definiera den skulle vi kräva att r2 = a och vi måste ta ställning till vilken sådan lösning r vi skall välja. Detta kan göras enkelt då a >= 0, då vi väljer rr >= 0. Även om vi definierade sqrt(a) för negativa tal a skulle inte lagen sqrt(ab) = sqrt(a)sqrt(b) gälla. Oavsett om vi sätter sqrt(-1) = i eller -i är ju sqrt(-1)sqrt(-1) = -1 medan sqrt((-1)(-1)) = sqrt(1) = 1.

Kjell Elfström


6 december 1998 14.44.37
Hej, ett problem har tyngt mina sinnen i någon månad och jag hoppas nu att jag kan få ett svar på det. Problemet: Jag lever i en värld där man smärtfritt kan röra sig i 3D, jag bor i ett hus format som en kub, med 27 rum, dom också formade som kuber, med dörrar på alla sex väggarna. Jag rör mig dock på ett på ett konstigt sätt eftersom jag lider av tvångstankar, jag får ite gå rakt igenom ett rum utan måste göra en 90 graders sväng i dess mitt. Frågan lyder: Om jag går in i mitt hus hur många rum kan jag då besöka innan jag går ut ur huset? Jag har som sagt tänkt på problemet en tid och anser att det är enormt, har nått vissa framsteg tex med symetrier för att korta ner det men det känns ändå för stort, hoppas att ni kan hjälpa mig, annars kommer jag sluta som en tungt drogad passient på St.Lars.
D Andersson

Svar:

Jag skall lindra dina kval genom att visa att inte alla rum kan besökas. Vi förutsätter att varje rum får besökas högst en gång. Börja med att färglägga rummen. Måla hörnen gröna, sidornas mittpunkter röda och de övriga vita. Färden genom huset måste då gå så att vartannat rum är färgat och vartannat är vitt. Det finns 14 färgade och 13 vita så färden måste påbörjas och avslutas i ett färgat rum om samtliga rum kan besökas. I fortsättningen bortser vi från de vita rummen och tänker oss färden som stegvisa förflyttningar från ett färgat rum till ett annat. Står du då i ett grönt rum måste du komma till ett rött nästa gång. Kan varje färgat rum besökas får antalet gröna rum alltså vara högst ett mer än antalet röda, men antalet gröna rum är 8 medan antalet röda är 6. Färden är alltså omöjlig.

Kjell Elfström


6 december 1998 13.46.31
En affärsman har köpt 100 par skidor för 400 kr/par. Satte har priset till 600 kr skulle han sälja samtliga . Han gör uppskattningen att om han ökar priset utöver 600 kr så minskar försäljningen med ett par skidor för varje tia i prisökningen. De som blir kvar måste reas för 500 kr. Hur stor är hans maximala förtjänst och vad är i detta fall försäljningspriset?
Mia

Svar:

Antag att han ökar försäljningspriset med x tior där 0 <= x <= 100. Priset för de oreade skidorna är då 600 + 10x kronor per par och av dessa får han sälja 100 - x par. x par säljs till reapriset 500 kronor paret. Den totala intäkten blir alltså

(100 - x)(600 + 10x) + 500x kronor

och drar vi ifrån inköpspriset får vi inkomsten

f(x) = (100 - x)(600 + 10x) + 500x - 40000 kronor.

Nu behöver du bara bestämma xf(x) blir så stor som möjligt, och detta kan du göra genom att bestämma nollställena till derivatan och göra en teckenundersökning.

Kjell Elfström


6 december 1998 13.42.28
Ett företag har en årsförbruknig av 6000 enheter av en viss produkt.Vid varje inköpstillfälle har man kostnaden 50 kr (inköpskostnaden)oavsett hur mycket som inköps.Att hålla en enhet i lager under 1 år kostar 15 kr (lagerkostnaden). Vid varje beställning inköps q enheter ich genomsnittslagret uppskattas till q/2 enheter.
a) Visa att den totala lagerhållningskostnaden L kr kan skrivas L(q)=7,5q
b) Visa att den totala lagerhållningskostnaden K kr kan skrivas K(q)= 300 000/q
c) Låt T kr utgöra de totala kostnaderna ovan dvs T(q)=L(q)+K(q). Rita i samma diagram graferna till funktionerna L och K och T.
Patrik

Svar:

Jag tror nog att K skall vara den totala inköpskonstnaden under ett år.

a) Varje enhet kostar 15 kr att hålla i lager och om q/2 enheter hålls i lager blir kostnaden för detta 15·q/2 = 7,5q kronor.

b) 6000 enheter skall köpas in under året och om q enheter köps varje gång blir antalet inköpstillfällen 6000/q och eftersom kostnaden varje gång är 50 kr blir kostnaden 50·6000/q = 300000/q kronor.

Kjell Elfström


6 december 1998 13.35.54
En person sätter in 12 på varandra följande årsskiften in 2000 kr på en bank. Vad är behållningen omedelbart efter den tolfte insättningen om ränten är 10%? (Räntan läggs till kapitalet efter varje årsskifte)
Karin

Svar:

I början av år 1 är kapitalet 2000 kr, i början av år 2 är det 2000 + 1,1·2000 kr, i början av år 3 är det 2000 + 1,1·2000 + 1,12·2000 kr och vi inser att i början av år 12, när vi gjort den sista insättningen, är kapitalet

2000 + 1,1·2000 + 1,12·2000 + ... + 1,111·2000 kr

och enligt formeln för den geometriska summan är detta

2000·(1,112 - 1)/(1,1 - 1) = 20000(1,112 - 1) kr.

Kjell Elfström


5 december 1998 13.16.21
Det är så att jag har ett problem inom trigonometrin. Jag undrar hur man löser sinX resp cosX om X är mellan 0 men under 360,(annars får man samma vinkel 2ggr om vi tar med 360). Men nu är det inte så att jag vill ha svaret i decimal form utan i bråk form. Ty har man en halvlkvadrat så kan man få fram att både sin45 och cos 45 är roten ur 2 genom två. Finns det en allmän formel för min fråga? Finns det också formler för ett heltal med 1,2,.......100 decimaler?
Tack på förhand
Henrik Andersson

Svar:

Några vinklar lär man sig att exakt bestämma cosinus och sinus för i skolan.

Radianergradercossin
010
pi/630°31/2/21/2
pi/445°21/2/221/2/2
pi/360°1/231/2/2
pi/290°01

Värdena för 0 och pi/2 är självklara, värdena för pi/4 fås med hjälp av Pythagoras sats ur en likbent rätvinklig triangel och de övriga ur en 30-60-90-triangel. Genom att använda additionsformlerna kan man få fler. T ex ger formeln

cos(x - y) = cos x cos y + sin x sin y

att

cos pi/12 = cos(pi/3 - pi/4) = cos pi/3 cos pi/4 + sin pi/3 sin pi/4 = (31/2/2)(21/2/2) + (1/2) (21/2/2) = 21/2(1 + 31/2)/4.

Om vi i formeln ovan låter y = -x får vi

cos 2x = cos2x - sin2x = 2cos2x - 1

vilket ger

cos2x = (1 + cos 2x)/2

eller om vi ersätter x med x/2 och antar att cos x/2 >= 0

cos x/2 = ((1 + cos x)/2)1/2.

Vi kan beräkna cos pi/12 med denna formel och få att

cos pi/12 = ((1 + 31/2/2)/2)1/2.

Att detta är samma värde som vi fick innan överlåter jag åt dig att bevisa. Med hjälp av formeln för halva vinkeln kan man alltså uttrycka cos (och sin med motsvarande formel för sin) för x/2 med hjälp av kvadratrotutdragningar om man kan göra detta för vinkeln x. Att man kan uttrycka cos och sin för vinkeln pi/n med kvadratrotsutdragningar är ekvivalent med att man kan konstruera en regelbunden n-hörning med passare och linjal och detta är i sin tur ekvivalent med att

n = 2k p1 p2·...·pl

för något naturligt tal k och olika Fermatprimtal p1, p2,..., pl. Ett Fermatprimtal är ett primtal på formen 22m + 1 ((2 upphöjt till (2 upphöjt till m)) + 1 för er som använder Internet Explorer). De hittills kända Fermatprimtalen är 3, 5, 17, 257 och 65537. Genom att utnyttja att

z = e2pi i/5 = cos 2pi/5 + isin 2pi/5

kan man bestämma cos 2pi/5 och därför även cos pi/5 exakt. Formeln för den geometriska summan ger nämligen att

1 + z + z2 + z3 + z4 = (1 - z5)/(1 - z) = 0

och med a = z + z4 och b = z2 + z3 får vi

ab = z3 + z4 + z6 + z7 = z3 + z4 + z + z2 = -1

Sätter vi in b = -1 - a i denna ekvation får vi

a2 + a = 1.

Rötterna till denna ekvation är (±51/2 - 1)/2 och eftersom

a = 2cos 2pi/5 > 0

får vi att cos 2pi/5 = (51/2 - 1)/4.

Kjell Elfström


4 december 1998 21.14.03
Hur härleder man funktionen för en hängande kedja? Har sett att den kan beskrivas av diff.ekvationen y"=a*sqrt(1+y'^2)som enkelt kan visas ha en funktion på formen y=cosh(x)som lösning. Men hur härleder man diff.ekvationen ? Jag antar att man utgår från att minimera kedjans potentiella energi.
Ivan Eriksson

Svar:

Låt den lägsta punkten ha x-koordinat 0 och betrakta ytterligare en punkt med x-koordinat x på kurvan. På den delen av repet som ligger mellan dessa punkter verkar dels tyngdkraften rs, där r är konstant och s är längden, dels spänningskrafter i ändpunkterna som kan delas upp i en horisontell del och en vertikal del. Låt H0 och H(x) var storleken av de horisontella delarna och V0 och V(x) storleken av de vertikala. Då är V0 = 0. Eftersom repet är i jämvikt är H(x) = H0. Vidare är V(x) = rs. Eftersom spänningen verkar i tangentens riktning är

f '(x) = V(x)/H(x) = rs/H0 = (r/H0) Integral[0,x]((1 + (f '(t))2)1/2dt).

Deriverar vi de båda ytterleden får vi

f ''(x) = (r/H0)(1 + (f '(x))2)1/2.

Kjell Elfström


4 december 1998 16.00.33
Hej jag undrar vad lim av, 1/3+1/9+1/27+1/81...?, blir?
Jag tycker att det går emot 1/2 stämmer detta och hur bevisar man att det verkligen går närmare men inte över?
Tord I

Svar:

Serien kan skrivas

(1/3)(1 + 1/3 + (1/3)2 + (1/3)3 + ...).

Enligt svaret till frågan den 9 april 1998 12.26.32 blir alltså seriens summa (1/3)/(1 - 1/3) = 1/2.

Kjell Elfström


4 december 1998 11.06.59
Hej!
Finns det någon färdig matteprogram för mac-miljö där beräkningsformler mm även kan visualiseras i koordinatsystem osv, Vidare finns det motsvvarande program för fraktaler
Ulf

Svar:

Både Maple och Mathcad finns för Mac. Se också Math Shareware and Freeware.

Kjell Elfström


4 december 1998 09.51.25
Hej!!!
Jag har en fråga som jag hoppas att du kan hjälpa mig med. Jag skulle vilja veta hur man räknar ut arean på en ellips. Jag har tagit reda på hur man räknar ut omkretsen men nu vill jag veta hur man räknar ut arean. Använder man pi eller hur gör man?
Tack på förhand
Fannie

Svar:

Enligt svaret på frågan den 25 november 1998 22.45.14 kan man inte uttrycka omkretsen av en ellips i elementära funktioner. I ett lämpligt koordinatsystem kan ellipsens ekvation skrivas

x2/a2 + y2/b2 = 1

och löser vi ut y får vi

y = ±b(1 - x2/a2)1/2.

På grund av symmetri blir arean

4bIntegral[0,a](1 - x2/a2)1/2dx.

Denna integral övergår vid substitutionen x = asin t i

4abIntegral[0,pi/2](cos2tdt) = ab pi.

Vid beräkningen av integralen utnyttjar man att cos2t = (cos 2t + 1)/2.

Kjell Elfström


4 december 1998 09.38.05
Min fråga är ifall det är någonting inom matematik som su inte kan??? Då menar jag inget okänt som ingen har kommit på än utan ifall det finns saker som du inte kan?? Det verkar inte som så.... Du är duktig!!
Annie

Svar:

Svaret på din fråga är ja. Matematik är ett stort område med intensiv forskning i många specialiserade grenar.

Kjell Elfström


4 december 1998 09.16.27
Om man ska räkna ut kubiken ur en cylinder, räknar man radie gånger radie gånger 3,14(pi) gånger höjden på cylindern?
Fannie

Svar:

Det är riktigt att volymen av en cirkulär cylinder beräknas på det sättet.

Kjell Elfström


4 december 1998 09.14.24
hur räknar man ut arean av en 5 hörning?
Fannie

Svar:

Hur man räknar ut arean av en polygon där koordinaterna för hörnen är kända kan du se i 2 december 1998 09.57.02.

Arean av en regelbunden n-hörning, i vilken avståndet från medelpunkten till ett hörn är r är (n/2)r2sin (2pi/n). n-hörningen består nämligen av n kongruenta likbenta trianglar, där de lika långa sidorna har längden r och vinkeln mellan dem är 2pi/n. Arean av en sådan triangeln kan fås med hjälp av areasatsen och är (1/2)r2sin(2pi/n).

Kjell Elfström


4 december 1998 09.11.54
Är det nån som sett ett UFO, eller en utom jording???
camilla_milla@hotmail.com

Svar:

Detta är ingen fråga om matematik.

Kjell Elfström


3 december 1998 17.54.33
Om man ritar 3 rektanglar ovanpå varandra på ett papper, hur många areor kan man då bilda? om man endast räknar en area en gång, alltså inte areor som vidare har delats!
Dennis

Svar:

Jag har inte lyckats lösa detta problem och har tyvärr inte heller funnit något i litteraturen.

Kjell Elfström


3 december 1998 17.47.47
Man säger ju semi-, om (en halv) (0.5), men vad kallar man (en hel) (1) och (en och en halv) (1,5) om man skall använda sig av samma analogi?
Finns det något system (SI) som man kan använda de kända prifixen tex mega, tera och giga, för att ange delar och tex den miljonte?
Dennis

Svar:

Semi- är av grekiskt ursprung. Den latinska motsvarigheten är hemi-. En hel är på grekiska hen- och på latin uni-. En och en halv känner jag bara den latinska motsvarigheten till: seski-.

Delar går väl bra att uttrycka i SI-systemet. Kilo kommer från det grekiska ordet för tusen, medan milli kommer från det latinska. 1 km = 1000 m, 1 mm =  1/1000 m. Se också 7 november 1997 14.24.20.

Kjell Elfström


3 december 1998 15.38.43
Hej! Jag skulle bli hemskt tacksam om ni kunde tala om för mig vad följande geometriska begrepp motsvarar på svenska.
Arc
Polyarc
Polyline
Point
Polygon
Niklas Wennberg

Svar:

Arc översätts med båge och är vanligen en sammanhängande del av en cirkel. Point heter punkt. Polygon heter polygon eller månghörning på svenska. Jag vet inte om polyarc och polyline är översatta till svenska. Det är begrepp som inte är särskilt vanliga inom matematiken.

Kjell Elfström


3 december 1998 14.44.08
Hejsan! Jag skulle vilja ha hjälp med detta problem i rekursionsteori: A och B delmängder av de naturliga talen. Det finns en rekursiv funktion f sådan att talet n ligger i A om och endast om talet f(n) ligger i B. (Detta tror jag kallas för att A kan reduceras till B) Visa att:
a: Om B är en rekursiv mängd så är A en rekursiv mängd.
b: Om B är en rekursivt numrerbar (recursively enumerable) mängd så är A en rekursivt numrerbar mängd.
Tack på förhand!
Anders Karlsson

Svar:

a) Om XB är den karakteristiska funktionen till B så ges den karakteristiska funktionen XA till A av

XA(n) = XB(f(n)).

b) Om ekvationen

gB(n,x) = 0

har en lösning om och endast om n är i B så har ekvationen

gA(n,x) = gB(f(n),x) = 0

en lösning om och endast om n är i A.

Kjell Elfström


3 december 1998 12.09.01
Jagl vill addera 12 tim med det aktuella klockslaget, tex om kl är 22:00 så vill jag addera 12 till det men det blir utskrivet 34:00. Min fråga är om det går med hjälp av en formel lösa detta. Jag har prövat att subtrahera med 24 men det går ju bara när tiden överstiger 24, tex (08:00+12:00)-24=-4. Kort sakt vill jag med hjälp av en formel få talet att se ut som ett vanligt klockslag. Hoppas att min förklaring går att förstå.
Tack
Peter Karlberg

Svar:

På en enkel miniräknare kan du nog inte lösa problemet genom att "bara trycka på en knapp". En algoritm som enkelt kan programmeras är följande:

  1. Addera klockslagen
  2. Drag ifrån 24 om resultatet är större än eller lika med 24

Kjell Elfström


3 december 1998 11.11.52
Enhetscirkel den har väl radien 1 l.e. Varför behöver man begreppet enhetscirkel?
Camilla Andersson

Svar:

Ur en viss synvinkel är alla cirklar lika: förhållandet mellan omkretsen och radien är 2pi. När man studerar egenskaper och begrepp som är oberoende av cirkelns faktiska storlek kan man för enkelhets skull lika väl anta att den har radien 1. Vinklar studeras med fördel i en enhetscirkel, man använder ju en enhetscirkel för att definiera cosinus och sinus.

Kjell Elfström


3 december 1998 09.48.21
I Matematik 2000 finns en uppgift 4227, som i och för sig är en fördjupningsuppgift, men jag vill gärna ha en relativt kortfattad lösning. Uppgiften heter "Bästa skottläge". Tack på förhand!
Bailando

Svar:

Jag har inte tillgång till Matematik 2000. Var vänlig återkom med uppgiften formulerad.

Kjell Elfström


2 december 1998 09.57.02
Hej !
Jag undrar hur man tar reda pa om en polygon gar medurs eller moturs. Indata ar en lista med koordinater.
Benny Antonsson

Svar:

Orienteringen är moturs om och endast om

x1 y2 - y1x2 + x2 y3 - y2x3 + x3 y4 - y3x4 + ... + xn - 1 yn - yn - 1xn + xn y1 - ynx1

är positivt. Polygonens area är hälften av absolutbeloppet av detta uttryck.

Kjell Elfström


2 december 1998 09.02.04
Hejsan!
JAg har en fråga angående trunkeringsfelet som uppstår när man använder simpsons formel. För det första hur härleder man uttrycket? Jag har sett att man kan använda två snarlika formler
dels Rt =M*(b-a)^5 / (180 * n^4)
(M=det maximala värdet av fjärdederivatan, n=antalet delintervall)
och Rt = -( (b-a) * h^4 * f(4) *n )/180
vad är det för skillnad och hur härleder man de bägge uttrycken???? Tacksam för svar!
Mattias Svensson

Svar:

Antag att f (4) är kontinuerlig på intervallet [a,b] och låt m och M vara det minsta respektive det största värdet av f (4) i intervallet. Dela in [a,b] i ett jämnt antal delintervall [xk,xk + 1], k = 0,1,...,2n - 1, alla med längden h. Simpsons formel säger då att

Integral[a, b](f (x)dx) = (h/3)Summa[k = 0, n - 1](f (x2k) + 4f (x2k + 1) + f (x2k + 2)) - R

där

(b - a)h4m/180 <= R <= (b - a)h4M/180.

För att bevisa detta utnyttjar vi att

Integral[a, b](f (x)dx) = Summa[k = 0, n - 1](Integral[x2k, x2k + 2](f (x)dx)).

Bilda

Rk = (h/3) (f (x2k) + 4f (x2k + 1) + f (x2k + 2)) - Integral[x2k, x2k + 2](f (x)dx).

Med g(x) = f (x2k + 1 + x) är

Rk = (h/3) (g(-h) + 4g(0) + g(h)) - Integral[-h, h](g(x)dx)

och sätter vi

R(s) = (s/3) (g(-s) + 4g(0) + g(s)) - Integral[-s, s](g(x)dx)

är Rk = R(h). Om 0 <= s <= h är

R'(s) = (1/3)(4f(0) - 2f(s) - 2f(-s) + sf '(s) - sf '(-s)),

R''(s) = (1/3)(f '(-s) - f '(s) + sf ''(s) + sf ''(-s))

och enligt medelvärdessatsen är

R(3)(s) = (s/3)(f (3)(s) - f (3)(-s)) = 2s2f (4)(c)/3

för något tal c mellan -s och s vilket ger att

2s2m/3 <= R(3)(s) <= 2s2M/3

Vi observerar att

R(0) = R'(0) = R''(0) = R(3)(0) = 0.

Låt nu t vara ett tal i [0,h] och integrera den sista olikheten från 0 till t. Vi får då att

2t3m/9 <= R''(t) <= 2t3M/9.

Nu byter vi bokstav och integrerar olikheten

2s3m/9 <= R''(s) <= 2s3M/9

från 0 till t och får

2t4m/36 <= R'(t) <= 2t4M/36.

Gör vi detta en gång till får vi

t5m/90 <= R(t) <= t5M/90

och speciellt får vi då t = h att

h5m/90 <= Rk <= h5M/90.

Eftersom (b - a)/n = 2h och

R = Summa[k = 0, n - 1](Rk)

är

(b - a)h4m/180 = nh5m/90 <= R <= nh5M/90 = (b - a)h4M/180.

Detta visar också att 180R/((b - a)h4) är ett tal mellan m och M och eftersom f (4) är kontinuerlig finns ett tal d mellan a och b sådant att

f (4)(d) = 180R/((b - a)h4)

vilket är detsamma som

R = (b - a)h4f (4)(d)/180.

Om, slutligen, B är det största värdet av |f (4)| i [a,b] är -B <= m och M <= B varför vi får

|R| <= (b - a)h4B/180.

Observera att ditt n är dubbelt så stort som mitt och att ditt M motsvarar mitt B.

Kjell Elfström


2 december 1998 07.57.38
Vilka är de elementära grunderna i numerisk analys ?
Anders Ottosson

Svar:

Kendall Atkinson: Elementary Numerical Analysis, Wiley är en elementär bok i numerisk analys. Där tas sådana saker upp som Taylorpolynom, felfortplantning, numerisk ekvationslösning med Newton-Raphsons metod bl a, interpolation med polynom och spline-funktioner, approximation av funktioner, numerisk integration och derivering och numerisk lösning av differentialekvationer med Eulers metod och Runge-Kutta-metoder.

Kjell Elfström


1 december 1998 23.33.02
Kan du ge lite tips om hur man listar ut vad man ska substituera vid variabelsubstitution. Någon liten taktik måste väl kunna existera? Kanske ett litet synsätt eller bara en lämplig inställning? Please! Tenta på måndag och jag får ingen ordning på det.
Anders

Svar:

Det bästa svar jag kan ge är nog att man får lära sig av de exempel som förhoppningsvis givits i den kurs du skall tentera. Ofta får man chansa, dvs prova med en substitution x = g(t) som verkar förenkla integranden och hoppas att g'(t)dt inte trasslar till det för mycket.

Vanligt förekommande substitutioner, som man nog måste ha lärt sig är t ex

sqrt(1 - x2), x = sin t
sqrt(1 + x2), x = sinh t
sinnx, n udda t = cos x
f (sin x, cos x), f en rationell funktion, t = tan x/2

Kjell Elfström


1 december 1998 17.26.04
Välj ett heltal n som ej är primtal och som uppfyller 20<n<100.
a,Bestäm alla del- och kvotgrupper till en cyklisk grupp av ordningen n.
b,Bestäm alla del- och kvotgrupper till Zn*= {restklasser relativt prima till n}.
c,Finns det några samband mellan uppgifterna a, och b,?
Lars Svensson

Svar:

a) är den lätta delen. Alla undergrupper och kvotgrupper till en cyklisk grupp G = <g> är cykliska. För varje delare d till n finns en undergrupp av ordningen d. Om n = de genereras en sådan av ge. Motsvarande kvotgrupp är cyklisk av ordningen e.

b) är svårare. Man kan utnyttja kinesiska restklassatsen som säger att

Zn* är isomorf med produkten Zp1i1* × Zp2i2* × ... × Zpmim*

där n = p1i1p2i2···pmim är primfaktoriseringen av n.

c) Jag kan inte se något samband. Zn* är normalt inte cyklisk och dess ordning är fi(n) där fi är Eulers fi-funktion.

Återkom gärna och ange då varifrån problemet kommer, så har vi kanske möjlighet att ge dig bättre hjälp.

Kjell Elfström


1 december 1998 11.43.11
Lotto (7/39). Om man skapar ett system med N antal nummer i alla möjliga kombinationer och nöjer sig med att INTE ha 7 rätt om det utfall av dragningens 7 nummer infaller i systemets N antal nummer så kan man skapa sk. reducerade system. Finns det något matematiskt sätt att skapa ett reducerat system med t.ex 20 nummer där Garantin är minst 5 rätt? 20 nummers oreducerat system blir ju på 77520 rader medan ett reducerat med lika många nummer bara blir en bråkdel om man nöjer sig med en garati på 5 rätt och fortfarande en möjlighet till 7 rätt. Jag kan skapa ett oreducerat system, och sedan med en lång process utesluta vilka rader som är onödiga. Men går det, med på förhand bestämt antal nummer och garanti, räkna ut vilka kombinationer jag är intresserad av?
Jaspar de Witt

Svar:

Om man kräver att det reducerade systemet skall innehålla ett minimalt antal rader tror jag inte problemet är löst. Se svaret till frågan den 13 oktober 1998 14.15.46, som handlar om reducerade stryktipssystem. Den ursprungliga frågan är från den 15 april 1997 17.46.44.

Kjell Elfström


30 november 1998 22.33.17
Hur löser man en komplicerad talföljd, "och då menar jag inte
1 4 9 16 25 36 ? svar:49"
utan tex,
14 21 13 2 5 18 0 19 5 18 9 5 ?, svar:?
6 8 5 8 4 0 7 3 4 6 ?, svar:?
3 23 229 2869 43531 ?, svar:?
I de två första: kretsar serierna kring nollan i mitten I det tredje: ökar antalet siffror med en i varje led Det är ungefär vad jag har lyckats luska ut! Kan ni hjälpa mig med er kunskap om inte i ämnet så i tips om bra literatur angående ämnet?
Tack på förhand!
Remi Andersson

Svar:

Jag lyckades räta ut de tre frågetecknen genom att gå till Sloane's On-Line Encyclopedia of Integer Sequences AT&T.

Kjell Elfström


30 november 1998 21.58.56
Hej! Jag undrar om Du kan hjälpa mig med att förklara lite om Hamiltoncykler. Jag har fått en uppgift som består i att lösa grafvarianten av Hamiltons pussel, dvs att försöka hitta en Hamiltoncykel till Hamiltons pussel i form av dodekaeder. Pusslet är svårt att rita upp, men det gäller den som han gjorde först. Varje hörn fick namnet av en stad och problemet var att starta i någon stad, röra sig längs kanterna på dodekaederna så att man besökte varje stad exakt en gång och sedan återvända till startstaden. Slutligen hur ser man att en graf saknar Hamiltoncykel.
Catharina Eng

Svar:

I varje stad har man att välja om man skall fortsätta åt vänster L, åt höger R eller stanna kvar 1. Det gäller då att

R5 = L5 = 1
RL2R = LRL
LR2L = RLR
RL3R = L2
LR3L = R2

Det gäller nu att med dessa räkneregler uttrycka 1 som en produkt av tjugo L och R i en viss ordning, så att ingen delprodukt blir 1.

En lösning är

1 = LLLRRRLRLRLLLRRRLRLR.

Att i det allmänna fallet avgöra huruvida en graf har Hamiltoncykler är inget lätt problem och några generella metoder som kan användas praktiskt för att lösa detta finns inte. Det hör till klassen "NP-complete". Jag ber att få hänvisa till böcker om grafteori.

Kjell Elfström


30 november 1998 21.19.55
Hej! jag undrar ifall det är matematisk rätt att skriva [e^Z = e^a*(cosb+isinb)], om där Z=a+bi.Tacksam för ett svar.Har frågat många men fått entydiga svar.
sn

Svar:

Det är riktigt att

ea + bi = ea(cos b + isin b)

om a och b är reella tal. Detta tas ofta som definition.

Kjell Elfström


30 november 1998 19.27.19
ordet SAMMANHÄNGANDE betyder det ?:i följd av,oavbruten,som sker i en bestämd ordning.exempel:årets månader är i numerisk ordning från 1(januari)...12(december).I jämna månaderna det regnar utom februari. vilka är då regniga månaderna. Svar 4,6,8 10 och12 månaderna är sammanhängande då det alltså regnar. Min kompis påstor att sammanhängande månaderna skulle vara 1,2,3,4 5,6 månaderna alltså i oavbruten ordning.men jag tycker att ordet sammanhängande betyder;enhetlig eller som sker i en bestämd ordning och alltså månaderna som hör ihop med. kari romanowski fil mag i matematik
kariromanowski@kurir.net

Svar:

Om det regnar i de jämna månaderna utom februari så gör det det oavsett om de är sammanhängande eller ej. Ordningen är oväsentlig, det väsentliga är att det inte finns några hål.

Kjell Elfström


30 november 1998 11.22.21
Hur skriver man det hexadecimala talet 2AF med vanliga siffror?
Emmie Gustavson

Svar:

Siffrorna i det hexadecimala systemet är 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F där de första tio har sin vanliga betydelse och A-F står för 10-15. Eftersom basen är 16 är

2AF = 2·162 + 10·16 + 15 = 687.

Kjell Elfström


30 november 1998 10.22.23
Hej jag skulle gärna vilja veta lite kring taylors formel
Fredrik

Svar:

I svaret till frågan den 14 oktober 1997 14.13.54 ser du hur den ser ut. Söker du efter Taylor hittar du en del frågor med tillämpningar. Se också Brook Taylor och Colin Maclaurin, The MacTutor History of Mathematics archive. Taylors formel finns omnämnd och bevisad i de flesta elementära läroböcker i envariabelanalys.

Kjell Elfström


29 november 1998 16.59.48
Jag har lite frågor om ett bevis av algebrans fundamentalsats, som jag hoppas att ni kan hjälpa mig att förstå! Beviset går ut på att man antar att f(z) är ett icke-konstant komplext polynom (?a) -grad större än eller=1 -, och man motsäger AF genom att anta att f(z) aldrig blir 0. Därefter sätter man g(z) = 1/f(z), eftersom det faktum att f(z) ej kan bli noll medför att g(z) är analytisk i hela planet (?b). Sedan använder man en sats som säger att man kan hitta ett R sådant att lf(z)l är större än eller = 1 för lzl är större än eller lika med R. Därefter konstateras att i det slutna området lzl mindre än eller lika med R är den analytiska funktionen g(z) säkert begränsad. g(z) går mot 0 då lzl går mot oändligheten (?c): lg(z)l mindre än eller lika med K och lzl mindre än eller lika med R.(?d) Liouvilles sats ger att, eftersom g är analytisk och begränsad, betyder det att g och därmed f är konstant, vilket strider mot förutsättningen och bevisar satsen. (?e)
a) Räcker det med att bara anta att f(z) är icke-konstant ...?
b) Varför sätter man g(z) = 1/f(z) ? Är inte f(z) analytisk i hela planet, varför blir g(z) det?
c) Vänligen förklara detta konstaterande att "g(z) går mot 0 då lzl går mot oändligheten!" Hur kommer man fram till detta?
d) Vilket syfte har konstaterandet "lg(z)l mindre än eller lika med K och lzl mindre än eller lika med R"? Hur kommer man fram till det?
e) Se a). På vilket sätt har man visat att f(z) måste bli 0???
Jag förstår att mina frågor är en aning oklara: kort sagt: vänligen förklara beviset!!!
ETT STORT TACK PÅ FÖRHAND!!!
Med Vänlig Hälsning
Sofia

Svar:

a) Satsen säger ju att varje ickekonstant komplext polynom f har minst ett komplext nollställe, så det är klart att vi skall anta att f inte är konstant när vi bevisar satsen. Vi vill visa att f(z) = 0 för något komplext tal z och antar att så inte är fallet, dvs att f(z) <> 0 för alla komplexa tal z.

b) f är analytisk i hela C. Tricket för att genomföra beviset är att införa funktionen g(z) = 1/f(z). Att summor, skillnader, produkter och kvoter, där nämnaren är skild från 0, av analytiska funktioner är analytiska visas i alla elementära läroböcker om analytiska funktioner. Bevisen går till på samma sätt som när man visar derivationslagarna i reell analys.

c) Innebörden är att till varje positivt tal epsilon finns det ett positiv tal R sådant att om |z| > R så är |g(z)| < epsilon. Se 2 april 1997 13.47.56. Där visas att f(z) (som heter p(z) där) går mot oändligheten då |z| går mot oändligheten. Då g(z) = 1/f(z) följer det att g(z) går mot 0 då |z| går mot oändligheten.

d) Vi vill visa att g är begränsad i hela C. Eftersom g(z) går mot 0 då |z| går mot oändligheten kan vi t ex låta epsilon vara 1 och konstatera att |g(z)| < epsilon = 1 utanför någon cirkel med radien R. I den kompakta cirkelskivan |z| <= R är g begränsad eftersom g är kontinuerlig, dvs det finns en konstant K sådan att |g(z)| <= K då |z| <= R. Detta ger att |g(z)| <= 1 + K för alla z.

e) En funktion som är analytisk och begränsad i hela C måste vara konstant. Vi har alltså visat att g är konstant och därmed att f är konstant vilket motsäger antagandet att f inte är konstant och f(z) <> 0 för alla z. f är alltså antingen konstant eller så är f(z) = 0 för något z.

Kjell Elfström


29 november 1998 14.28.24
om man ska härleda något inom matematiken så måste man utgå från något tidigare känt. vilka är de grundläggande axiomen?
Mangalf

Svar:

Här följer Peanos axiomsystem för de naturliga talen.

  1. Noll är ett tal.
  2. Om a är ett tal så är efterföljaren till a ett tal.
  3. Noll är inte efterföljaren till något tal.
  4. Två tal med lika efterföljare är lika.
  5. (Induktionsaxiomet.) Om en talmängd S innehåller Noll och efterföljaren till varje tal i S så innehåller S varje tal.
Noll, tal och efterföljare är här grundläggande (och odefinierade) begrepp. Addition mellan naturliga tal definieras rekursivt genom
  • a + 0 = 0
  • a + Sb = S(a + b)
där S står för efterföljare. Subtraktion införs som inversen till addition och multiplikation införs som upprepad addition.

Därefter kan man definiera heltalen (inklusive de negativa). Detta kan göras på följande sätt:
Betrakta mängden av alla par (m,n) av naturliga tal och säg att (m1,n1) är ekvivalent med (m2,n2) om

m1 + n2 = m2 + n1.

Detta är en ekvivalensrelation och heltalen införs som mängden av ekvivalensklasser. Tanken är att klassen som innehåller (m,n) skall vara talet m - n. När heltalen väl är införda inför man de rationella talen på ungefär samma sätt utgående från heltalen. Skillnaden är den att (p1,q1) och (p2,q2) nu säges vara ekvivalenta om p1q2 = p2q1.

Därefter införs de reella talen som ekvivalensklasser av Cauchyföljder av rationella tal och slutligen de komplexa talen som par av reella tal.

De räkneregler och ordningslagar som brukar anges som axiom för t ex de reella talen kan då bevisas utifrån Peanos axiom.

Sök också efter axiom med Fråga Lunds sökmaskin.

Kjell Elfström


28 november 1998 21.34.50
Hur visar man att tangens avbildar intervallet (-pi/2,pi/2) bijektivt på R ?
Andreas

Svar:

Av definitionen

tan x = sin x/cos x

får man att tan är strängt växande i (-pi/2,pi/2). Eftersom både sin och cos är kontinuerliga och cos x > 0 i intervallet är tan kontinuerlig där. Vidare gäller att tan x går mot oändligheten då x går mot pi/2 och mot -oändligheten då x går mot -pi/2. Detta visar påståendet.

Kjell Elfström


28 november 1998 13.22.40
Hej, jag undrar hur man tar reda på ifall en punkt befinner sig innanför en tresidig polygon. (i ett tvådimensionellt koordinatsystem)
Kalle

Svar:

En tresidig polygon är en triangel. Tänk först på hur man avgör om en punkt befinner sig i den triangel som har sina hörn i punkterna O = (0,0), A = (1,0) och B = (0,1) i ett vanligt ortonormerat koordinatsystem. Förutom av axlarna begränsas triangeln av linjen x + y = 1, så villkoret att en punkt P = (x,y) befinner sig i triangeln är att

x >= 0, y >= 0, x + y <= 1.

Detta resonemang utnyttjar inte att axlarna är vinkelräta och att samma skala använd på båda axlarna så vi behöver bara införa ett nytt koordinatsystem i vilket hörnen får koordinaterna (0,0), (1,0) och (0,1). Inför därför vektorerna

u = OA och v = OB, w = OP

och bestäm x och y så att

OP = xOA + yOB.

Villkoret för att P skall ligga i triangeln blir nu det samma som innan.

Kjell Elfström


27 november 1998 22.06.23
Hej! Jag undra om ni skulle kunna besvara denna mycket enkla fråga. Kan man använda matematiken inom alla delar av fysiken, allt från klassisk till strängteori, jag menar, får man verkligen använda matematikens alla konster och regler inom alla delar av fysiken. Eller uppstår det någonsin problem? Tack på förhand!
Dramik

Svar:

Självklart får man det. Fysikerna uttrycker naturlagar i ett matematiskt språk. Om dessa naturlagar korrekt beskriver verkligheten blir alla matematiskt härledbara konsekvenser också korrekta beskrivningar.

Kjell Elfström


27 november 1998 21.17.20
Hej Jag har lite problem med logaritmisk derivering. Om man har en funktion som ser ut som
H=C*x^2/((cos(a))^2*(xtan (a)+y))
och vill bestämma onogranheten i C. Där övrig varibler är experimentellt uppmätta som
h=30+-0,5cm
x=80+-1 cm
y=100 +-0,5 cm
a=0°+-2°

Fredrik

Svar:

Vi har

C = h(cos2a)(xtan a + y)/x2

vilket ger att

ln C = ln h + 2ln cos a + ln(xtan a + y) - 2ln x

och deriverar vi båda led (vi tänker oss att samtliga storheter beror på någon gemensam variabel) får vi

C'/C = h'/h - 2sin a a'/cos a + (x'tan a + x(1 + tan2a)a' + y')/(xtan a + y) - 2x'/x

Kjell Elfström


27 november 1998 19.47.24
Hej! På grund av min begränsade matte-utbildning (Ma C, gymnasienivå) har jag stött på ett problem som jag ej klarar av att lösa. Det gäller återbetalning av lån som betalas månadvis. Jag vet hur man gör när man räknar ut återbetalning av ett lån där man betalar ränta och amorteringar i slutet av varje år, men vilket formel ska jag använda om jag vill betala av lånet varje månad??
Jerker

Svar:

Jag vet inte om det är annuitetslån du avser, men jag förutsätter det. Såvitt jag vet tillämpar bankerna samma formel oavsett om man betalar en gång om året eller om man betalar periodvis på något annat sätt. Skall man betala av ett lån på K kronor på n månader till räntesatsen p% per år är den enda skillnaden mot att betala av lånet på n år med en betalning om året att räntesatsen skall divideras med 12.

Om a är annuiteten (det kallas så även om det är andra perioder än år), K är skulden, n är antalet perioder att avbetala lånet på, m är antalet perioder per år och r = 1 + p/(100m) där p är räntesatsen i procent per år gäller

a = rn(r - 1)K/(rn - 1).

Kjell Elfström


27 november 1998 18.36.43
Jag fann ett kul samband häromdagen: Låt [z^n]G(z) avse koefficienten framför z^n i den genererande funktionen G(z) och låt G(z)=(1+z-z^2)/(1-2z-z^2+z^3). Jag påstår att

                    |0 0 1|^n   |0|
[z^n]G(z)=|1 1 1| * |0 1 1|   * |0|
                    |1 1 1|     |1|
Matrisens karakteristiska polynom är (icke särskilt förvånande) det reflekterade polynomet till nämnaren i G(z). Min fråga är helt enkelt för vilka genererande funktioner det går att finna matrisuttryck liknande det nyss nämnda? Har någon skrivit om kopplingen? Alternativet är ju att hitta rötter till polynomet i nämnaren i den genererande funktionen och partialbråksuppdela. Observera dock att [z^n]G(z) endast blir en konstant snabbare att räkna ut som funktion av n då vi har

[z^n]G(z)=1.22*2.225^n-0.28*(-0.80)^n+0.06*0.55^n

Min poäng är att det kan vara av intresse att slippa leta rötter om det bara är [z^n]G(z) man vill räkna ut för något n!
Andreas Björklund

Svar:

Vi har

G(z) = a0 + a1z + a2z2 + a3z3 + ...

vilket ger att

1 + z - z2 = (1 - 2z - z2 + z3)(a0 + a1z + a2z2 + a3z3 + ...).

Identifierar vi koefficienter får vi att

            a0 = 1
        a1 - 2a0 = 1
    a2 - 2a1 - a0 = -1
an + 3 - 2an + 2 - an + 1 + an = 0

där den sista ekvationen är en differensekvation som kan skrivas

(an)   (an - 1)
(an + 1)  = A (an)
(an + 2)   (an + 1)

där A är matrisen

0 1 0
0 0 1
-1 1 2

Vi får genom upprepad användning av formeln att

(an)   (a0)
(an + 1)  = An (a1)
(an + 2)   (a2)

vilket är ett samband av det efterfrågade slaget. Exakt hur man får matrisen i frågan på ett naturligt sätt kan jag inte se, men ett basbyte bör kunna ordna den saken.

Kjell Elfström


27 november 1998 09.38.41
Godmiddag!
Mitt namn är Rickard Johansson och jobbar som datorhandledare på Datorteket här i Örebro. Vi utbildar personer i Officepaketet och därmed även Excel. Jag har fått, under senaste tiden, en hel del frågor om enklare procenträkning i samband med just Excel.
Här kommer frågan: Jag lärde mig för en herrans massa år sedan en metod bestående av en triangel där man kunde få fram procent mm på ett enkelt sätt. Känner ni till den? Skulle ni i sådana fall kunna hjälpa mig. Det vore trevligt att i framtiden kunna ge ett enkelt och pedagogiskt svar på deras "luriga" frågor.
Tack på förhand
Rickard
Rickard Johansson

Svar:

p% av a är b, där

b = (p/100)·a.

Detta kan skrivas

b/((p/100)·a) = 1

och triangeln bör vara

 b 
p/100 a

Håll nu bara för den storhet som söks.

Kjell Elfström


26 november 1998 19.07.39
Alexandra släpper en sten i en djup brunn. Efter en stund hör hon hur stenen når brunnens botten. Hur ska hon kunna bestämma brunnens djup? Försumma luftmotståndet men ta hänsyn till ljudets hastighet.
Desperat

Svar:

Se 10 november 1998 09.09.49.

Kjell Elfström


26 november 1998 14.34.56
Multiplikation kan ju betraktas som ett antal additioner, ex. 6*3 = 6+6+6, 6 adderat med sig själv 3 gånger. På samma sätt är en potens ett antal multiplikationer, ex 3^4 = 3*3*3*3, 3 multiplicerat med sig själv 4 gånger. Nu min fråga: Varför finns det inte ytterligare "räknesätt", t.ex. 2_3 = 2^2^2, dvs 2 upphöjt till sig sälv 3 gånger? Finns det någonstans där man tillämpar dylika uttryck?
Johan

Svar:

Se Graham's number.

Kjell Elfström


26 november 1998 13.52.59
Hej ... detta ar ett fortydligande av fragan: <b><i>Finns det nagon bra formel for att sla ihop 2 polygoner, dar man vet polygonernas x,y-koordinater ?</i></b> Vad jag menar ar att om man vet koordinaterna for polygonen A och B, och nagon av polygonernas koordinater ar innanfor den andra polygonen... hur far man da enklast den sk. <i>outlinenen</i>, dvs. de koordinater som utgor den nya polygonen som ar resultatet av A + B ?
Benny A

Svar:

Jag kan inte ge dig någon enkel algoritm. Lösningen måste bygga på att man känner skärningspunkterna till de två polygonerna. Varje kant i polygonen utgörs av ett linjestycke AB. Detta linjestycke ligger på en linje med en parameterframställning

(x,y) = A + sAB.

En punkt (x,y) ligger på linjestycket om och endast om det finns ett tal s, 0 <= s <= 1, som uppfyller ekvationen. På så sätt kan man avgöra om eventuella skärningspunkter mellan en linje som innehåller en kant på den ena polygonen och en linje som innehåller en kant på den andra ligger på polygonerna.

För att sedan bestämma vilka delar av den ena polygonen som ligger inuti den andra kan man utnyttja att det inre av den första polygonen ges av ett antal lineära olikheter och välja ut punkter på den andra, t ex mittpunkter mellan två skärningspunkter på samma kant, och testa om de ligger inuti den första polygonen.

Kjell Elfström


26 november 1998 11.06.20
Skrev och frågade om proportioner mellan ett negativt och ett positivt tal för ett par dagar sedan. Det här var vad jag menade: ex. mellan 2 och 22 är proportionen 1:11, mellan 1 och 99 är den 1:99, mellan 0.1 och 99.9 är den 1:1000 men... Vad är den mellan 1 och -2?
Jonas

Svar:

Jag vet inte om det finns någon vedertagen praxis, men -1/2 är ett rimligt svar. Då betraktar man proportionen som kvoten mellan talen. Ett annat är 1/2 där man i stället tar kvoten mellan absolutbeloppen. Har man en figur i ett koordinatsystem så kan skillnaden mellan två koordinater vara t ex -2, vilket uttrycker att avståndet mellan punkterna är 2 och 1/2 kan då vara förhållandet mellan två sträckor.

Kjell Elfström


17716 frågor av sammanlagt 18108 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)