Fråga Lund om matematik

Sökresultat


3 mars 1999 20.53.19
Hejsan, Jag undrar följande, för vilka heltal tal a,b,p och q är (x^2+ax+b)^(x^2+px+q)=1, och vidare de fem enda lösningarna till ekvationen x1=1,x2=2,x3=3,x4=4,x5=5. Jag har hittat fyra lösningar, men jag har inte kommit på något snyggt bevis för att det inte finns fler, några ideér? Tack på förhand,
Dennis Eriksson

Svar:

Jag förstår inte riktigt vad du menar, och det är möjligt att jag missuppfattat din fråga. Jag antar att du avser multiplikation mellan andragradspolynomen, men jag förstår inte hur du skall kunna hitta fem stycken olika lösningar till ett fjärdegradspolynom. Ett polynom f kan ha maximalt dess grad antal olika nollställen. Detta följer ur faktorsatsen, ty om a är nollställe till ett polynom gäller

                    f(x)=(x-a)g(x)

där deg(g) =deg(f) - 1. Vidare om har ytterligare ett nollställe b skilt från a, måste g(b)=0, och vi upprepar resonemanget för polynomet g med lägre grad än f. Till slut erhålles ett polynom g av grad 0, d.v.s en konstant, som saknar ytterligare nollställen.

Jonas Månsson


3 mars 1999 19.58.52
Jag undrar om det finns mängder på reella axeln som har lebeguemått noll men inte är numrerbara eller är tomma mängden. Exempel?
Andreas

Svar:

Ja, den s.k Cantormängden har denna egenskap. Cantormängden kan vi bilda på följande sätt:
Sätt E0=[0,1] och bilda E1=E0\(1/3,2/3)=[0,1/3]U[2/3,1]. Vi upprepar proceduren för vart och ett av de två delintervallen, d.v.s tar bort den öppna mittersta tredjedelen och får
E2=[0,1/9]U[2/9,1/3]U[2/3,7/9]U[8/9,1]. Genom att upprepa konsruktionen får vi efter n steg mängden En, bestående av 2n stycken delintervall av längd 3-n. Cantormängden definieras nu som Einfty=Snittet av alla En då n går från 1 till oändligheten, och 0 <= m(Einfty) <= m(En) = (2/3)n för alla n, d.v.s m(Einfty)=0. Däremot är Einfty inte uppräknelig, ty den består av alla de tal x som kan skrivas

x = summa(1,oändligheten) xn/3n

där xn=0 eller xn=2 och denna framställning är entydig. Det som återstår är att imitera beviset för att de reella talen inte är uppräkneligt många.

Jonas Månsson


3 mars 1999 16.51.02
Hej. Jag har nyligen läst lite boolesk algebra och det var ganska intressant, men jag kan inte låta bli att undra vilket användningsområde som herr Boole kunde ha tänkt sig för sin matematik på den tiden då det begav sig. Bra sida.
Anders

Svar:

Jag tror inte han hade något speciellt slags användningsområde i bakhuvudet, utan snarare för att helt enkelt kunna formulera logiken på ett matematiskt sätt. Men jag är ingen expert på området, så jag råder dig att själv leta i litteraturen eller på internet.

Jonas Månsson


3 mars 1999 15.42.35
hade din mammna käkat en penna och miniräknare innan du föddes, är det meningen att man ska ens fatta frågorna än mindre svaren på sidan?

Svar:

Jag är så pass gammal att miniräknare inte var uppfunna innan jag föddes. Möjligen har hon ätit en och annan penna.

Om frågorna är svåra är det inte vårt fel, utan frågeställarnas, och svåra frågor kan i allmänhet inte ges svar som alla kan förstå. Du är välkommen att ställa matematiska frågor av vilken svårighetsgrad du vill och svaret kommer att anpassas därefter.

Kjell Elfström


3 mars 1999 14.56.44
Bestäm Taylorpolynomet av grad 3 i Taylorutvecklingen kring a=0 av f(x)=(1+x) upphöjt med 1-x?? Bestäm Taylorpolynomet av grad 2 i MacLaurinutvecklingen av f(x)=2 upphöjt med roten ur 1+x??
Annika Liljegren

Svar:

Skriv om f(x)=e(1-x)*ln(1+x). Sätt y(x)=(1-x)*ln(1+x) och observera att y går mot 0 då x gör det. Vi har följande taylorutveckling av ey kring y=0:

ey=1+y+y2/2+y3/6+O(y4)

Taylorutvecklingen av y(x) kring x=0 är

y(x)=(1-x)*ln(1+x)=x-x2/2+x3/3+O(x4)-x2+x3/2+O(x4)=x-3x2/2+5x3/6+O(x4).

Om vi substituerar detta i taylorutvecklingen för ey får vi

f(x)=ey(x)=1+x-x2-x3/2+O(x4)

Skriv om f(x)=eln(2)*sqrt(1+x). Sätt y(x)=ln(2)*sqrt(1+x) och observera att y går mot ln(2) då x går mot 0.Vi har taylorutvecklingen

ey=2+2(y-ln(2))+(y-ln(2))2+Rest

kring y=ln(2). Taylorutvecklingen för y(x) kring x=0 är

y(x)=ln(2)*sqrt(1+x)=ln(2)*(1+x/2-x2/8) + O(x3)

Substituera detta i taylorutvecklingen för ey, och vi får

f(x)=ey(x)=2+ln(2)*x+((-1/4)*ln(2)+(1/4)ln(2)2)x2+O(x3)

Jonas Månsson


3 mars 1999 13.43.51
hur var matatematiken i gamla egypten och babylonien?
Anette

Svar:

Prova med History of Egyptian and Mesopotamian Mathematics Page och  Babylonian and Egyptian Mathematics.

Jonas Månsson


3 mars 1999 12.54.31
En svår fråga är varför sum(sin(k*pi/20)*(cos((k+1)*pi/20)-cos(k*pi/20)),k = 1 .. 19) är ungefär samma sak som pi/2. Förklaringen skall ges med medelvärdessatsen. MVH Henke
Henrik

Svar:

Sätt f(k)=cos(k*pi/20). Nu är cos((k+1)*pi/20)-cos(k*pi/20)=f(k+1)-f(k)=((k+1)-k)*f'(y)=f'(y)
där k<y<k+1. och f'(y)=-pi/20*sin(k*pi/20). Uppskatta nu summan !

Jonas Månsson


3 mars 1999 12.44.13
Har fått ett problem på halsen, vore glad över lite hjälp. Vilket är det största och det minsta avståndet från en punkt på ytan av x^2+y^2+xy+z^2=1 till origo, och hur stor är den omslutna volymen? Tacksam för svar.
Lennart Ohlsson

Svar:

Vi låter q(u)=x2+y2+z2+xy vara en kvadratisk form i rummet med ON-bas e1,e2,e3. För ett givet val av origo betraktar vi sedan alla punkter i rummet som uppfyller q(u)=1. Vi kan nu alltid hitta en ON-bas som diagonaliserar den kvadratiska formen q (se någon lärobok i lineär algebra - t.ex. Lineär algebra  K-G Andersson). I detta fallet får vi den nya ON-basen e'1=(0,0,1), e'2=(1/sqrt(2))*(1,1,0), e'3=(1/sqrt(2))*(1,-1,0) och ekvationen q(u)=1 kan skrivas om som q´(u')=x'2+2y'2+z'2=1, där u'=x'e'1+y'e'2+z'e'3. Detta är ekvationen för en s.k ellipsoid. Ytans skärningspunkter med huvudaxlarna (x',y',z'-axlarna) ger minimala resp. maximala avståndet till origo 1/sqrt(2) och 1.

Allmänt uppfyller punkterna i en ellipsoid ekvationen:

x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1

och volymen ges av formeln V=(4/3)*pi *a*b*c. Alltså får vi i vårt fall V=(4/3)*pi*(1/sqrt(2)).

Jonas Månsson


3 mars 1999 12.39.53
Vad betyder tesselering?

Svar:

Tesselering är ett slags repetitivt arrangemang av polygoner i planet. Läs mer på sidan  What is a tessellation ?

Jonas Månsson


3 mars 1999 12.35.51
Hur ser lösningen ut till ett problem av den här typen:"I en enkel cirkulär kon med radie 2 dm borras ett hål med radien 1 dm. Hålets kant tangerar konens symmetriaxel. Ange hålets volym och area."?
Pelle

Svar:

Studera alla snitt av konen sett från sidan (du erhåller en rektangel + rätvinklig triangel) och uttryck arean av dessa i vinkeln för snittet uppifrån sett. Integrera sedan arean över vinkeln (tag t.ex. vinkelintervallet 0 till pi) och du erhåller volymen.

Jonas Månsson 


3 mars 1999 11.19.30
Hur skriver man om följande (rot3 - rot2) / (rot3 + rot2) till 5 - 2rot6?
Jenny Månsson

Svar:

Vi förlänger med konjugatet till nämnaren.

                   ( sqrt(3)-sqrt(2) )^2  /   [ (sqrt(3)+sqrt(2))*(sqrt(3)-sqrt(2)) ] =

                 =  ( sqrt(3)^2 - 2*sqrt(2)*sqrt(3) +sqrt(2)^2)  /  ( sqrt(3)^2-sqrt(2)^2 ) =

                 =  ( 3-2*sqrt(6)+ 2 ) / 1 = 5-2*sqrt(6)

Jonas Månsson


2 mars 1999 13.58.11
Jag undrar vilket det mest exakta tal av pi som man har kommit fram till? Hört att det rör sig om miljoner... Jag är väldigt intresserad av detta tal.(Jag kan 103 av decimalerna i huvudet) Tack på förhand
Martin

Svar:

Det ändras nog kontinuerligt. Jag hittade sidan  The number Pi in 500,002 decimals .

Jonas Månsson


2 mars 1999 11.09.02
Vilka är sanna resp. falska i dessa logiska påståenden ! 1)Om alla latmaskar är målare och alla målare är bilister, då definitivt alla bilister latmaskar 2)Om ingen ingenjör är rökare och alla genier är ingenjörer, då är definitivt inga genier rökare. 3)Om hälften av alla poliser är tjuvar och hälften av alla poliser är mördare, så är definitivt alla brottslingar. 4)Om Lars är 18 år och Lena är dubbelt så gammal som Lars var när Lena var lika gammal som Lars är nu, så måste Lena vara 26 år. Hur skall man tänka(lösa) dessa problem ?
Mattias Tunholm

Svar:

1) Falskt. Vi demonstrerar med ett motexempel med två personer A och B.

                            A - latmask, målare, bilist
                            B - ej latmask, ej målare, bilist

För denna instans är förutsättningarna uppfyllda, d.v.s alla latmaskar är målare och alla målare är bilister. Däremot gäller ej att varje bilist är latmask - B är ett motexempel.

2) Sant. Antag motsatsen, d.v.s att det skulle finnas ett geni som röker (vi kallar honom A). Då varje geni är ingenjör måste A vara ingenjör och rökare, vilket motsäger att inga ingenjörer är rökare.

3) Falskt. Vi kör med ett motexempel.

                           A - polis, tjuv, mördare
                           B - polis, ej tjuv, ej mördare

Här gäller att hälften av alla poliser är tjuvar (nämligen A), och hälften är mördare (också A), d.v.s vi har en av vardera i bägge fallen. Men B är ingen brottsling. Motsägelse.

4) Falskt. Låt Lena vara X år gammal. Lena var 18 år gammal för (X-18) år sedan. Då var Lars (X-18) år yngre, d.v.s 18-(X-18)=36-X år gammal. Enligt uppgiften var Lena dubbelt så gammal d.v.s X=2*(36-X) <=>
3*X=72 <=> X=24. Svaret är 24 år gammal.

Jonas Månsson


2 mars 1999 08.54.21
Vad är det för ämne i kroppen som gör att vi tycker det är obehagligt när vi fryser.
Felix

Svar:

Detta låter inte som en matematikfråga.

Jonas Månsson


1 mars 1999 18.46.18
Har du möjligen lite information om A3, A5 och A8 algoritmerna? Skicka gärna dessa sidor till vladi96@student.vxu.se
viveka lahger

Svar:

Jag har aldrig tidigare hört talas om dessa algoritmer, men enligt en rapport som jag hittat på internet ( Cryptanalysis of Alleged A5 Stream Cipher ) är åtminstone A5 någon typ av chiffer som bl a används för kryptering av mobiltelefonsamtal.

Anna Torstensson


1 mars 1999 18.43.45
Hej Lund. Fråga 1: När jag gick på mellanstadiet fick vi lära oss olika sätt att ta reda på om ett tal var jämt delbart med något tal mellan 1 och 10. Förutom metoderna för att kontrollera mot 1,2,5 och 10 kommer jag bara ihåg hur man gör för talet 3: Är summan av siffrorna i talet man vill dividera jämt delbart med tre är även det ursprungliga talet delbart med 3. Detta fungerar även i flera led. T ex 48293013468 => 48 => 12 => 3 Samtliga tal jämt delbara med 3. Jag vill minnas att det fanns liknande metoder för andra tal. Hur lyder dessa? Fråga 2: Trigonometriska formler har ju funnits med ett tag. Vem/vilka "upptäckte" dessa och hur kunde de på den tiden göra tillräckligt noggranna beräkningar med dessa?
Ola

Svar:

Den metod du beskriver för talet 3 fungerar även för 9. Delbarhet med 4,6 och 8 kan man klara av med de regler du nämnt. Exempelvis kan man kontrollera om n är delbart med 6 genom att först kolla om n är delbart med 2, och i så fall dividera med 2 och kolla om resultatet är delbart med 3. För 7 känner jag inte till någon bra delbarhetregel. Se dock svaret  15 februari 1999 09.31.48 . Lite historia kring de trigonometriska funktionerna kan du läsa på  The trigonometric functions .

Anna Torstensson


1 mars 1999 18.36.15
Jag är intresserad av att komma över den fullständiga formeln för beräkningen av kvadratroten av ett tal.
Tobias

Svar:

Om du menar en metod för att beräkna godtyckligt bra approximativa värden på kvadratsroten av ett givet tal finns svaret på  31 mars 1997 11.44.13 . Annars får du förklara närmare vad du är ute efter.

Anna Torstensson


1 mars 1999 16.58.11
Skulle bli jätteglad om du kan tala om för mig hur man visar att arctan(y/x) inte har något gränsvärde när (x,y)->(0,0). MVH Anders. CTH

Svar:

Om det fanns ett gränsvärde G skulle arctan(y/x) -> G då (x,y) -> (0,0) oberoende av hur man närmar sig origo. Om man t ex väljer att närma sig origo längs linjen y=kx så är arctan(y/x)=arctan(k) -> arctan(k) då (x,y) -> (0,0). Olika linjer y=kx ger alltså olika gränsvärden så arctan(y/x) kan inte ha något väldefinierat gränsvärde då (x,y) -> (0,0).

Anna Torstensson


1 mars 1999 15.49.32
1. Hur löser man ut x ur sin(ax)=bx, på andra sätt än med elementära funktioner, eftersom det inte går med dem? Finns det något sätt? 2. Vad är partiell integration? Tack på förhand. Frank
Frank

Svar:

Att man inte kan uttrycka svaret med elementära funktioner betyder just att man inte kan skriva upp svaret på något enkelt sätt. Om man behöver en explicit lösning på en sådan här funktion får man ta till numeriska metoder. Se t ex  31 mars 1997 11.44.13 .

Användning av sambandet

integral(f(x)g(x)) = F(x)g(x) - integral(F(x)g'(x))

där F är en primitiv funktion till f brukar kallas partiell integration.

Anna Torstensson


1 mars 1999 11.08.58
Hej, Jag har skrivit ett program som reducerar tipssystem. Anta att man har ett antal enkelrader (en rad = 13 tipstecken som kan vara 1,X eller 2), låt oss kalla dem grundrader. Nu finns det ett antal enkelrader som är en delmängd av grundraderna som kan garantera 12 rätt på dessa om den rätta raden är en av grundraderna. Som jag har gjort det nu så använder jag slumpen mycket för att hitta en så liten delmängd som möjligt för att garantera 12 rätt. Låt oss anta att grundraderna är 100, då kanske jag hittar en delmängd som består av 20 rader som garanterar 12 rätt. Jag antar att det finns en delmängd på kanske 15 eller mindre som också garanterar detta. Att testa alla kombinationer skulle ta miljarder och åter miljarder år. Finns det något sätt att smart hitta den minsta delmängd som behövs? Tacksam för svar, Micke
Mikael

Svar:

Hur många rader som måste ingå i den delmängd du väljer ut beror på hur lika varandra dina grundrader är. Ju större överensstämmelsen mellan grundraderna är desto mindre blir delmängden. Kravet för att man skall kunna utesluta en grundrad från delmängden är ju att någon annan grundrad, som skiljer sig från denna på högst en position, är med i delmängden. En metod för att ta fram delmängden är att för varje par av grundrader (4950 st) se om de två raderna skiljer sig på endast en position. Om r1 och r2 skiljer sig på högst en position kan vi säga att de ligger nära varandra. Välj nu ut delmängden på följande sätt. Tag först med den rad r1 som ligger nära flest andra rader. Radera alla rader som ligger nära r1 och tag sedan med den rad r2 som ligger nära flest av de återstående raderna. Radera de rader som ligger nära r2. Fortsätt tills alla grundrader är raderade. Du får en delmängd med önskad egenskap. Det är inte säkert att det blir den minsta möjliga delmängden, men jag tror att metoden ger ett bra resultat i allmänhet och den är förhållandevis enkel att utföra. En fullständig analys av algoritmen är för omfattande för att göras här och dessutom snarare ett datalogiskt än matematiskt problem.

Anna Torstensson


28 februari 1999 20.39.45
Om vi bor i ett land där befolkningdmängden är 9 miljoner, där varje person känner exakt 100 andra personer. Hur stor är då sannolikheten att jag känner dej om du inte känner mej?
tack. Karin

Svar:

Sannolikheten blir 100/9000000=1/90000 om vi antar att förhållandet att a känner b är oberoende av om b känner a. Annars måste man specificera på vilket sätt dessa förhållanden beror på varandra för att kunna beräkna sannolikheten.

Anna Torstensson


28 februari 1999 20.36.31
Hej! Skulle vilja ha hjälp med att bevisa denna formel med induktion samt i ord vad den innebär. Visa ochså med talexempel. 2(n-1)=n(n-1) Framför ska det vara ett summatecken,ovanför tecknet ett n och under n=1. Jag får att formeln bara är sann för n=1 och n=2, sedan faller den.
Mona Andersson

Svar:

Den formel du har skrivit: 2(n-1)=n(n-1) är uppenbarligen bara sann för n=1 och n=2. Du kanske menar formeln  1+2+3 ... +n=n(n+1)/2 ? Den kan tolkas som att summan av de n första talen är medelvärdet av det första och det sista talet multiplicerat med antalet tal. Bevis med induktion: För n=1 får vi 1=1 så satsen är sann för n=1. Antag att 1+2+3 ...+ n-1=(n-1)n/2. Då är 1+2 .. + n= (n-1)n/2+n=n(n+1)/2 vilket visar induktionssteget. Därmed har vi visat att formeln gäller för alla n.

Anna Torstensson


28 februari 1999 16.11.32
En följdfråga till svaret (tack för det!) på min fråga 16 februari 1999 20.33.56: Om jag förstod svaret rätt så innebär det att man byter ut ordet "ett" eller siffran "1" mot ordet "pi" eller talet "\pi" (alltså den grekiska krumeluren pi). Det låter sig väl göras utan alltför stort besvär, \pi får då samma funktion som 1 och inget övrigt har egentligen hänt, utom att som Du skriver \pi inte längre har så mycket med cirklar och klot att göra (man kan ju följdaktligen införa tecknet/talet "1" för att beteckna det trancedenta talet som i vårt vanliga talsystem börjar med 3.1415926....) . Vad jag snarast menade var om man kan finna en alternativ definition av begreppen "de naturliga talen", "identitet" etc som gör att diverse ständigt återkommande och i någon mening grundläggande tal (exv. \pi, e, och andra som ni säkert kan identifiera bättre än jag). Alltså ett steg vidare än vad Ditt svar medgav där ju \pi tappar (praktisk/intuitiv) relevans för cirkeln/klotet.
Lars Bärring

Svar:

Vad som avses i svaret är att multiplikation får en ny innebörd, medan pi fortfarande är förhållandet mellan cirkelns omkrets och diameter. Man skulle istället kunna definiera om "naturligt tal" eller "identitet" som du föreslår, men det skulle, enligt min mening, ge ännu konstigare system.

Anna Torstensson


27 februari 1999 23.49.11
Hur löser jag denna uppgiften : Tio jägare skjuter på tio lerduvor, alla träffar någon. Det är lika stor chans för en viss jägare att träffa alla lerduvor. Flera jägare kan skjuta på samma lerduva. Hur många lerduvor faller med störst sannolikhet i marken igen ?
Petter

Svar:

Se fråga från  8 februari 1999 23.39.42 .

Jonas Månsson


27 februari 1999 19.58.54
Finns det någon slags formel att använda när man räknar ur primtal?
Martin

Svar:

Nej, om du med formel menar någon slags explicit funktion för att direkt bestämma t.ex. det n:te primtalet. Däremot kan man använda sig av olika slags algoritmer. En enkel algoritm är Eratosthenes såll. Att bestämma alla primtal under t.ex. 100 går till på följande sätt:

Börja med talet 2. Stryk sedan varje multipel av 2 upp t.o.m 100 utom talet två självt. Tag sedan det lägsta ostrukna talet (i detta fall 3) och stryk varje multipel av detta utom talet självt. Fortsätt så ! De ostrukna talen är primtal.

Jonas Månsson


27 februari 1999 19.57.43
Är det verkligen bevisat att "pyramid" modellen är bäst att använd när man staplar klot? Läste i illustrerad vetenskap att matematuker hade bevisat detta!
Martin

Svar:

Ja, Keplers problem verkar vara löst. Se The Kepler Conjecture.

Kjell Elfström


27 februari 1999 18.32.27
Hur bevisas följande i diskreta matematiken? Om R är en reflexiv relation på A, visa att R^2 är en reflexiv relation på A, där R^2 är en sammansatt relation.
Magnus Karlsson

Svar:
Om R reflexiv på A gäller xRx för alla x i A. Tag nu godtyckligt x i A. Vi vill visa xR^2x, d.v.s att det existerar ett y i A så att xRy och yRx. Tag y=x. Klart !

Jonas Månsson


26 februari 1999 22.14.50
Vad finns det för naturliga krafter här på jorden som skulle kunna t.ex. lyfta en bil?
Felix

Svar:

Detta låter som en fråga för Fråga fysikern

Jonas Månsson


26 februari 1999 21.13.31
Nästa fråga behöver jag också hjälp med, eftersom den också sägs vara extra svår. "En fyrhörning är inskriven i en cirkel. Om motstående sidor förlängs skär de varandra under vinklarna 48 grader och 30 grader. Bestäm vinklarna i fyrhörningen. Facit säger: "51, 81, 129 och 99 grader. (Beteckna vinkeln i fyrhörningen mellan de två trianglarna med X. Använd yttervinkelsatsen för att beteckna två motstående vinklar i fyrhörningen." Min fråga är (igen) hur ser figuren ut och hur redovisar jag uppgiften.
Johan Sturk, Sthlm

Svar:

Dra nytta av att summan av två motstående vinklar i fyrhörningen är 180 grader (se  14 feb 1999 22.04.20 ), och beteckna två närliggande vinklar i fyrhörningen med x resp. y. De motstående vinklarna har då värdena 180-x resp. 180-y. Genom att utnyttja att vinkelsumman i en triangel är 180 grader på de båda stora trianglarna erhålles två ekvationer ur vilka x och y kan bestämmas.

Jonas Månsson


26 februari 1999 21.06.32
Tack för hjälpen förra gången, nu befinner jag mig tio uppgifter längre fram och behöver hjälp igen med en mer avancerad uppgift men fortfarande handlar det om bågvinklar. "A, B, C, och D är fyra punkter som ligger i ordning efter varandra på en cirkel med medelpunkten O. Vinkeln AOB=70 grader och vinkeln COD=30 grader. Beräkna vinkeln mellan diagonalerna AC och BD. Facit säger: 50 grader (Dra BC). Min fråga är hur ser figuren ut hur redovisar jag uppgiften?
Johan Sturk, Sthlm

Svar:

Enligt bågvinkelsatsen är ACB=70/2=35 grader och CBD=30/2=15 grader. Låt O' beteckna skärningspunkten mellan AC och BD. Vinkelsumman 180 grader för triangeln BO'C ger att vinkeln BO´C är 130 grader. Alltså, vinkeln mellan AC och BD är 180-130=50 grader.

Jonas Månsson


26 februari 1999 20.49.14
Vi har följande förutsättningar: 1. P(x) >= 0 för alla a <= x <= b 2. INTEGRAL(a, b, P(x)) = 1 3. m = INTEGRAL(a, b, xP(x)) 4. s^2 = INTEGRAL(a, b, (x - m)^2 P(x)) Vilket är det största tal c som satisfierar c <= INTEGRAL(m - s, m + s, P(x)) <= 1 för alla P(x) som uppfyller förutsättningarna?
Erik

Svar:

Jag har tyvärr inte möjlighet att lösa uppgifter av detta slaget.

Jonas Månsson


26 februari 1999 17.02.51
Hej! Jag undrar om man har löst "the Riemann Hypothesis" än? Vad heter den på svenska förresten? Om man inte har löst den, vilka framsteg har gjorts?
Magnus

Svar:

Nej, Riemannhypotesen (som den kallas på svenska) är inte visad ännu. Svaren på dina frågor hittar du säkert på The Riemann Hypothesis

Jonas Månsson


26 februari 1999 12.30.04
jag har gjort ett register med inköps priser som jag har lagt på 45% på jag vill ha reda på hur jag räknar om så att jag kan föra in ett % tal så att man kan se hur mycket jag har tjänat på varje kund det ska uppdateras automatiskt varje gång kunden lägger till en vara
Hasse den hjälplösa

Svar:

Det beror lite grann på hur du har implementerat ditt register. Din vinst per vara blir 0.45*inköpspriset, eller (0.45/1.45) ( = 031034... ) *  totalpriset för din vara (efter pålägg).

Jonas Månsson


26 februari 1999 00.14.43
Om man släpper t.e.x en människa och en järnkula med samma vikt från ex 3 mils höjd? Visst blir väl då fallhastigheten olika beroende på utformningen? Vilken hastighet kan de bägge föremålen komma upp i ?? Och blir luftmotståndet så stort för järnkulan att hastigheten blir konstant (d.v.s acclerationen upphör)? När ungefär upphör den i så fall ?
Bosse Eriksson

Svar:

Detta låter som en fråga för Fråga fysikern

Jonas Månsson


25 februari 1999 22.01.24
Genom en brännpunkt F till en ellips dras en rät linje som skär kägelsnittet i punkten P och Q. Tangenterna i dessa båda punkter skär varandra i R. Visa att de räta linjerna PQ och RF är vinkelräta.
Mackan

Svar: Låt F = (c,0), P = (x1,y1), Q = (x2,y2) och R = (x0,y0).

Tangenten till ellipsen i en punkt (d,e) har ekvationen

dx/a2 + ey/b2 = 1

varför

x0x1/a2 + y0y1/b2 1
x0x2/a2 + y0y2/b2 1

Drar vi dessa ekvationer från varandra får vi

x0(x2 - x1)/a2 + y0(y2 - y1)/b2 = 0.

Att P, Q och F ligger på samma linje ger nu att

(x2 - x1)y2 = (x2 - c)(y2 - y1).  (1)

Sätter vi in detta får vi att

cx0/a2 = x0x2/a2 + y0y2/b2 = 1.  (2)

Att vinkeln är rät innebär att skalärprodukten

(x0 - c)(x2 - x1) + y0(y2 - y1)

är noll, vilket alltså återstår att visa. Löser vi ut (x2 - x1) ur (1) och sätter in i skalärprodukten får vi att den blir

(y2 - y1)((x0 - c)(x2 - c) + y0y2)/y2.

Nu är

x0 - c = a2/c - c = b2/c

och (2) ger att

x2 - c = -y0y2c/b2

vilket visar att skalärprodukten är noll.

Kjell Elfström


25 februari 1999 18.57.42
Varför anger vissa böcker att ett Hilbert-rum är en generalisering av ett Euklidiskt rum? Är inte ett Hilbert-rum ett specialfall av ett Euklidiskt rum, där elementen uppfyller vissa konvergenskrav?
Erik

Svar:
Hilbertrum är en generalisering av Euklidiska rum. En beskrivning av Euklidiska rum och Hilbertrum finns på   15 november 1997 17.47.17.

Anna Torstensson


25 februari 1999 18.22.28
jag skulle vilja ha tag på newtons gravitationsteori, Finns det något som heter newtons relitivitetsteorier?
Nomaderna@aol.com

Svar:
Det är en fysikfråga. Jag hänvisar till  Fråga vetenskapen om FYSIK.
Anna Torstensson


25 februari 1999 16.10.01
Söker primitiv till: (x*(1-x))^(-3/4)
MK

Svar:
Den primitiva funktionen kan inte uttryckas med elementära funktioner (dvs potens-, exponential- och logaritmfunktioner samt trigonometriska och inverser till trigonometriska funktioner) utan får istället ges i form av en serieutveckling:

4x1/4 summa ((xk gamma(1/4+k) gamma(3/4+k) gamma(5/4))/k!(gamma(1/4) gamma (3/4) gamma(5/4+k))

där k går från 0 till oändligheten och gamma är gammafunktionen. (En slags utvidgning av fakultet till tal som inte är heltal.)

Anna Torstensson


25 februari 1999 13.07.01
Vad är en hyperboloid? Finns det öht några bilder på en på Internet, jag har letat som en galning.
Kalle Westerling

Svar:
En hyperboloid är en yta i rummet som består av de punkter (x,y,z) som uppfyller ekvationen ax2+by2+cz2=d där a och b är positiva konstanter och c en negativ konstant. Om d > 0 får man en sammanhängande yta som kallas enmantlad hyperboloid. En bild finns  här.  Om d  < 0 består hyperboloiden av två delar och kallas tvåmantlad. En bild på en sådan finns  här.

Anna Torstensson


25 februari 1999 12.45.29
Jag håller på att skriva mitt specialarbete vilket ska handla om 'fraktal dimension'. Att hitta ren teoretisk fakta är inte svårt med de välskrivna böcker som finns på bibliotek, men det jag nu är intresserad av är vad fraktal dimension används till idag och var man nu ligger i forskningen. Det täcks inte i de böcker ifrån åttiotalet och majoriteten av websidor på internet talar bara om hur man ritar juliamängder och bildarkiv. Så jag undrar nu ifall ni kan ge mig några _BRA_ länkar där man kan läsa om 'fraktalfronten'.
Patrik Sahlin

Svar:
Jag har letat lite men inte lyckats hitta några bra länkar. Forskningsresultat i matematik publiceras vanligen i matematiska tidskrifter, så om du vill veta hur långt forskningen om fraktaler kommit idag kanske det är bättre att leta där. Resultat publicerade i tidskrifter är granskade och därför i allmänhet  mer pålitliga än de man hittar på internet. Nackdelen är att det är ofta är svårt att läsa artiklarna utan en hel del förkunskaper.

Anna Torstensson


25 februari 1999 09.17.15
Tänk på ett tal mindre än 300. Dividera det med 5,7 och 9 och notera resterna. Multiplicera det första med 126, det andra med 225 och det tredje med 280. Summera de tre resultaten, dra i från 315 så många gånger som möjligt, återstoden måste vara positiv. Vad som blir kvar är ditt tänkta tal. Förklara detta och generalisera. Det är en Fibonacci uppgift.
Erika Johansson

Svar:
Kalla det tal du tänker på för x. Om vi kallar de tre resterna för c1, c2 och c3 står det i uppgiften att x=c1 modulo 5, x=c2 modulo 7 och x=c3 modulo 9. (a=b modulo n betyder att a och b har samma (minsta, icke-negativa) rest vid division med n. Att a=b modulo n är detsamma som att n delar a-b.) Vi bildar sedan talet y=126c1 + 225c2 + 280c3. Vi vill visa att x=y modulo 315. Man ser lätt att y=c1 modulo 5,y=c2 modulo 7 och y=c3 modulo 9. Detta gällde även för x så de båda talen är lika modulo 5,7 och 9. Det betyder att 5,7 och 9 delar x-y. Eftersom dessa tal saknar gemensamma faktorer måste också deras produkt 5*7*9=315 dela x -y. Alltså är x=y modulo 315. Det vi har använt här är egentligen ett specialfall av en sats som heter kinesiska restsatsen. Om du vill konstruera egna exempel kan du läsa om denna sats i någon grundläggande lärobok i talteori.

Anna Torstensson


24 februari 1999 19.23.57
Hej! Jag är en student vid en gymnasieskola, naturvetenskapsprogrammets sista år. Då jag arbetar med mitt sista projektarbete i teknologi har jag stött på ett hållfasthetsproblem där man kommer fram till en tredjegradsekvation. Jag har läst tidigare svar om detta problem på denna sida såväl som på andra, liknande sidor. Jag har emellertid en "utökning" av frågan, som jag ej lyckats finna svar på. Det jag vill lösa ut i min tredjegradsekvation, som för övrigt är på formen x^3 + px = q, p och q > 0, är inte i första hand x, utan x^3. Min fråga är om det i mitt fall finns något sätt att förenkla uttrycket för x^3. Jag har försökt att höja upp x till 3 med de lösningsformler jag funnit, men uttrycket tycks bli väldigt omfattande, och jag vill som sagt veta om man kan förkorta detta till något mer lätthanterligt. Dessutom skulle jag uppskatta om motsvarande finns för andragrads- ekvationen, dvs en förenkling av uttrycket för x^2 i ekvationen x^2 + px = q, p och q > 0. Tack på förhand!
Mattias Lundahl

Svar:

Om du tagit fram en lösning a till tredjegradsekvationen x3 + px = q får du ett uttryck för a3 från ekvationen: a3=q-p a. På samma sätt har andragradsekvationen lösningarna x=-p/2+-sqrt(p2+4q)/2 så lösningarnas kvadrater blir q + p2/2-+p sqrt(p2+4q)/2. Jag tor inte att du kan hitta några enklare uttryck än så för x2 respektive x3.

Anna Torstensson


24 februari 1999 17.20.57
Det finns ett klassiskt problem som kallas "Lådproblemet". Kan ni förklara detta "problem" för mig (matematiskt)?
Anette

Svar:

Lådprincipen kan formuleras på följande sätt: Om nk+1 föremål skall fördelas på n fack måste minst ett fack innehålla fler än k föremål. Denna princip kan användas för att lösa en rad problem. Om du vill se några exempel kan jag rekommendera Anders Vretblads bok "Algebra och kombinatorik". Jag hoppas att det var detta du menade med "lådproblemet".

Anna Torstensson


23 februari 1999 23.15.01
5420=899(5X+10Y)
tord.e

Svar:

Jag vet inte om du söker heltalslösningar eller reella lösningar på ekvationen så jag svarar på båda delarna för säkerhets skull. Båda sidor är delbara med 5 så ekvationen är ekvivalent med

1084=899(X+2Y)

Om det fanns heltal X och Y som löste ekvationen skulle de ge ett tal delbart med 899 i HL, men 1084 är ej delbart med 899 så ekvationen har inga heltalslösningar. Om vi tar bort kravet att X och Y skall vara heltal kan vi välja vilket värde som helst på Yoch få motsvarande X som 1084/899-2Y.

Anna Torstensson


23 februari 1999 21.57.18
Hej! Läste för några år sedan en artikel där de nämndes något om konstigheter eller motsägelser, jag kommer inte ihåg den exakta ordalydelsen, inom matematiken. Två exempel nämndes, utan ytterligare förklaring. 1) 1+1 är inte alltid = 2. 2) a*b är inte alltid =b*a. Exempel 1, har jag senare förstått, syftade man nog på sammanslagning av hastigheter inom den speciella relativitets teorin. Men kan ni ge något exempel eller berätta i vilken del av matematiken exempel 2 förekommer. Tack på förhand
Lennart Larsson

Svar:

Om man med * menar vanlig multiplikation av reella eller komplexa tal så gäller a*b=b*a alltid. Inom matematiken arbetar man dock med många olika typer av objekt och definierar operationer på dem. Sådana operationer * kallas kommutativa om a*b=b*a (för alla val av a och b). Några enkla exempel på objekt med icke-kommutativa operationer är matriser med matrismultiplikation, vektorer i rummet med vektorprodukt och heltal med subtraktion. Om du tittar i någon grundläggande lärobok i abstrakt algebra kan du säkert hitta en mängd andra exempel.

Anna Torstensson


23 februari 1999 17.25.20
Om man ställer en matematiker 1 km in i en skog i form av ett oändligt halvplan, hur bör han då gå för att snabbast komma ut (han vet alltså inte riktningen)? Jag har hittat problemet i en gammal tidning och jag har ett förslag till lösning (där jag antar att det gfäller att minimera värsta fallet).
Ulf Pettersson

Svar:
Den algoritm som ger den kortaste vägen i värsta fallet är sådan att man aldrig behöver gå mer än 1 + sqrt(3) + 7pi/6 (ungefär 6,4) km för att komma ut ur skogen. Att beskriva algoritmen och bevisa att den är optimal är ganska komplicerat så jag får hänvisa till en artikel på området: "Searching with Uncertainty" av Ricardo A. Baeza-Yates, Joseph C. Culberson och Gregory J. E. Rawlins. Den publicerades på en konferens i datalogi som heter SWAT (Scandinavian Workshop on Algorithm Theory) år 1988. För att få tag på artikeln kan du gå till någon institution för datalogi eller något universitetsbibliotek och be dem hjälpa dig att söka efter den.

Anna Torstensson


23 februari 1999 17.00.13
Hej! Jag har slarvat bort mina anteckningar om "Galärmetoden". Var kan jag hitta en bra förklaring om hur man använder detta räknesätt? Mina elever vill väldigt gärna se hur man gjorde förr i tiden.
Marika Larsson

Svar:
Jag har aldrig hört talas om Galärmetoden. Jag har letat lite efter information om den men inte hittat något. Om du berättar lite mer om vad det är för sorts metod och vad man kan använda den till kanske det blir lättare att hitta information om den.

Anna Torstensson


22 februari 1999 20.44.50
hur mycket är 7x7 en som aldrig frågat förr
Margareta Dahlner

Svar:

49

Jonas Månsson


22 februari 1999 17.51.36
Hej! Vad finns det för naturliga krafter här på jorden? Mvh Felix

Svar:

Detta är ingen matematikfråga.

Jonas Månsson


22 februari 1999 16.42.15
Jag skulle vilja veta hur man räknar ut 1 min och 15,2 sek. i km/h. Hoppas ni kan svara snart.
Pia

Svar:

Jag förstår inte riktigt din fråga. Du blandar ihop storheterna tid och fart.

Jonas Månsson


22 februari 1999 14.59.19
Hej! Jag skulle vilja ha en enkel förklaring av arcustangelsinterpollering.
ug

Svar:

Jag vet tyvärr inte vad arcustangensinterpolation är för något.

Jonas Månsson


22 februari 1999 13.03.22
Hej! Jag har letat efter en definition på kubiskt medelvärde. Problemet jag har är att bestämma det kubiska medelvädet map tiden. Kan du hjälpa mig med det?
Pär

Svar:

Jag vet tyvärr inte vad kubiskt medelvärde är för något.

Jonas Månsson


22 februari 1999 13.01.51
Hur ska man bestämma en BCH-kod som rättar fyra fel?
Ida Rydén

Svar:

För detta rekommenderar jag att du tar en titt på någon av följande böcker:

1. S. Lin and D. J. Costello, Jr., Error Control Coding: Fundamentals and Applications, Prentice Hall: Englewood Cliffs, NJ, 1983.

2. W.W. Peterson and E.J. Weldon, Jr., Error-Correcting Codes, 2nd edition, MIT Press: Cambridge, Mass., 1972.

3. F.J. MacWilliams and N.J.A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, North-Holland: New York, NY, 1977.

Jonas Månsson


21 februari 1999 21.51.52
Har fastnat med följande uppgift 1) Beräkna y(x)= integral från 0 till x (sin (x-t)ln(1+t2)dt och visa att funktionen satsifierar diffekvationen: y``+y=ln (1+x2) Är tacksam för svar så fort som möjligt. Tackar på förhand
Tommy Svensson

Svar:

Integralen kan inte uttryckas i elementära funktioner. Däremot finns det ingenting som hindrar att man deriverar den. Under lämpliga förutsättningar är

(d/dx)Integrala(x)..b(x) f(x,t) dt = Integrala(x)..b(x) f 'x(x,t) dt + b'(x)f(x,b(x)) - a'(x)f(x,a(x)).

Kjell Elfström


21 februari 1999 19.17.27
Jag undrar vilka olika naturliga krafter det finns här på jorden, som kan t.ex kan lyfta en bil? Om det inte finns några så undrar jag om man kan göra sådana naturliga krafter? tacksam för svar Felix

Svar:

Detta är ingen matematikfråga.

Jonas Månsson


20 februari 1999 22.24.20
Det slår mig ofta att gymnasister skriver in och ber om hjälp - är det inte anmärkningsvärt att deras lärare inte förefaller som en naturlig hjälpreda?
Sven-Olof

Svar:

Jo, det kanske kan tyckas så. Å andra sidan är jag inte alldeles säker på om läraren alltid har tid att svara på alla frågor.

Jonas Månsson


20 februari 1999 12.54.04
HEJ JAG VILL GÄRNA VETA OM "EULERS FORMLER, OCH STEGMETOD" TACK!
YOUCEFT@HOTMAIL.COM.

Svar:

Med Eulers formler brukar man avse

cos a = (eia+e-ia)/2

och

sin a = (eia-e-ia)/2i

Dessa kan visas direkt ur definitionen

eia=cos a + i*sin a

Eulers stegmetod eller Cauchy-Eulers polygonmetod används för att hitta approximativa lösningar till ordinära differentialekvationer av typen y'(x)=f(x,y) med begynnelsevärde y(x0)=y0. Metoden går ut på att man, startande i (x0,y0), observerar att f(x0,y0) är lika med derivatan för lösningskurvan, d.v.s vi känner lösningskurvans tangent i denna punkt. Om vi följer denna tangent en kort bit h (steglängden) får vi en god approximation av lösningskurvan i en omgivning. Upprepa nu proceduren i punkten (x0+h, y(x0+h)). Vi får följande allmänna rekursion:

yn+1=yn+h*f(xn,yn)

Jonas Månsson


19 februari 1999 22.31.17
Hej Kjell. Jag fick häromdagen syn på en fråga till dig på nätet från den 23 mars 1997. 13.24.21. Den handlar om hur långt en torped når efter att bränslet tagit slut. Jag har en förfrågan angående ditt svar. Givet är att hastigheten har halverats efter 2 km. Men detta är ej detsamma som att v(2) = 50. Vi har ej v(t) utan v(x). Jag får i mina beräkningar efter dessa förutsättningar att s(t) går mot fyra då t går mot oändligheten, dvs torpeden kommer att färdas ytterligare 4 km. Verkar det inte också rimligare med denna sträcka än 200/ln2, dvs närmare trettio mil? Fråga: är min invändning riktig och i så fall är min beräkning riktig? Lasse Berglund
Lasse Berglund

Svar:

Du har rätt. Kjell har nu rättat svaret till 23 mars 1997 13.24.21.

Anna Torstensson


19 februari 1999 12.38.14
Kna ni göra denna uppgift utifrån dessa kriterier. Formulera med egna ord en räknegåta som handlar om smabandet mellan två bråktal. gåtan skall lösas med ett ekvationsystem, som du också skall presentera lösningen till. tack på förhand
johan assman@swipnet.se

Svar:

En sådan gåta skulle t ex kunna innehålla följande information:

1) Tal 1 är dubbelt så stort som tal 2.

2) Nämnaren i tal 1 är fyra gånger så stor som täljaren i tal 2.

3) De båda talen har samma täljare.

Om talen är a/b och c/d får vi då följande ekvationer:

1) a/b=2c/d

2) b=4c

3) a=c

Från ekvationerna 2 och 3 får vi att a/b=c/4c=1/4. Den första ekvationen ger sedan att c/d=1/2*a/b=1/8. Du är säkert minst lika bra som jag på att formulera en gåta av det här så det får du klara av själv. Det här är bara ett enkelt exempel. Konstruera själv några liknande ekvationssystem och försök lösa dem!

Anna Torstensson


18 februari 1999 23.45.57
Jag undrar över hur man löser en tredjegrads kurva aX^3+bX^2+cX+d.
Henrik Andersson

Svar:

Jag antar att du menar hur man löser motsvarande ekvation ax3 + bx2 + cx +d=0. Förenkla först ekvationen genom att införa en ny variabel y=x+b/3a. Dividera sedan med koefficienten framför y3. Det ger en ny ekvation i y som är av formen y3+py +q=0 för några tal p och q. Den har de tre lösningarna u+v, -(u+v)/2 +-(u-v)i sqrt(3)/2, där u =(-q/2 + sqrt(p3/27+q2/4))1/3 och v = (-q/2 - sqrt(p3/27+q2/4))1/3. Dra ifrån b/3a för att få de x-värden som löser den ursprungliga ekvationen.

Anna Torstensson


18 februari 1999 14.20.45
Låt G vara en abelsk grupp och låt T={g element G: g^n=e, ngt n element N+ }. Visa att T är en normal delgrupp och att G/T är en torsionsfri grupp, dvs att det inte finns något element skilt ifrån enheten i G/T sådant att elementet har ändlig ordning. Hur visar vi detta????
Birgitta Högberg

Svar:

Först måste vi visa att T är en undergrupp i G. Det följer om vi lyckas visa att produkten av två element i T ligger i T, e ligger i T samt att inversen till element i T ligger i T. Om h och h' är element i T så finns n och n' så att hn=e och h'n'=e. Då är (hh')nn'=(hn)n'(hn')n=e hh' ligger också i T. Det är klart ett e tillhör T. Invers: Antag att h ligger i T (hn=e). Då ligger h-1 i T ( (h-1)n = (hn)-1 = e-1 = e ).

Att T är en normal undergrupp betyder att gT = { gh; h tillhör T} är lika med Tg = {hg; h tillhör T}. Detta skall gälla för varje element g i G. Eftersom G är en abelsk grupp är det klart att gT=Tg.

G/T är torsionsfri: Antag att gT i G/T har ändlig ordning dvs att (gT)n=gnT=T för något n. (T är identiteten i G/T.) Det betyder att gn ligger i Tgnm=e för något m. Alltså måste g självt vara i T gT=T=identiteten. Det enda elementet av ändlig ordning är alltså identitetselementet.

Anna Torstensson


17 februari 1999 19.42.54
Finns det någon matematisk eller "metamatematisk" modell för att bygga upp något slags "inre produktrum" för den matematiska bevisföringen? Det är ju väldigt tilltalande att tänka sig de matematiska axiomen som en slags basvektorer i ett inre produktrum där teoremen är vektorer. Således skulle man kunna beräkna projektioner, osv. Finns någon dylikt? Är det öht. möjligt att åstadkomma?
Martin Sahlén - f98-msa@nada.kth.se

Svar:

Det verkar svårt att skapa någon sådan modell som du beskriver, men däremot har det gjorts flera försök i den matematiska historien att hitta referensramar för att fullständigt beskriva matematiken, bl.a av Bertrand Russell. Dessa försök upphörde i princip då Kurt Gödel (1906-1978) kom med sin berömda ofullständighetssats 1931, som i kort säger att i varje tillräckligt avancerat axiomatiskt system, så finns det påståenden som varken kan visas sanna eller falska inom axiomsystemet. Jag rekommenderar boken Gödel, Escher, Bach av Douglas Hofstadter om du vill läsa mer om detta.

Jonas Månsson


17 februari 1999 18.14.36
Den här frågan är inspirerad från ett TV-program. En person ställs inför n personer, som han vet har n olika givna yrken. Hans uppgift är att kombinera varje person med sitt rätta yrke. Om han gissar på måfå är ju sannolikheten 1/n! att han prickar in alla rätt. Men, hur stor är sannolikheten att han gissar alla fel ? Och hur blir det med denna sannolikhet om n går mot oändligheten ? (jag har en känsla av att ett gränsvärde finns.) Tacksam för svar.
Thomas Dahl, Göteborg

Svar:

Det gissningar som ger "alla fel" kallas på engelska för derangements (jag vet inte om det finns någon bra svensk översättning), och antalet ges av formeln:

dn=n! - (n över 1)*(n-1)! + (n över 2)*(n-2)! - . . . +(-1)k*(n över k)(n-k)! + . . . + (-1)n*(n över n)*0! =

= ( n ! )*( 1 - (n över 1)*((n-1)! / n !) + (n över 2)*( (n-2)! / n !) - . . . + (-1)n*(n över n)*( 0! / n !) )=

=( n ! )*( 1 - 1 + (1/2!) - (1/3!) + . . . + (-1)n*(1/n!) )

Sannolikheten Pn får du genom att dividera med n!, d.v.s

Pn = 1 - 1 + (1/2!) - (1/3!) + . . . + (-1)n*(1/n!)

Observera att sannolikheten i princip är lika stor oavsett storleken av n (undantaget om n är väldigt litet). Den andra faktorn i sista uttrycket är identisk med de första termerna i Taylor-serien för exponentialfunktionen ex taget i punkten x=-1. När n växer kommer antalet termer också att växa och

Pn = dn/n! går mot e-1 ( ca 0.368 ) då n går mot oändligheten.

Jonas Månsson


17 februari 1999 17.23.44
Hej, Kommer intervallet (-(1+n)/n,(1+n)/n) att konvergera mot det slutna intervallet [-1,1] eller det öppna (-1,1) då n går mot oändligheten. Mvh /Peter
Peter

Svar:

Jag är inte riktigt på det klara med vad du menar med att konvergera mot ett intervall, men jag antar du menar att du vill bestämma snittet av intervallen In=(-(1+n)/n,(1+n)/n) för n heltal>1. Då blir svaret [-1,1]. Punkterna -1 och 1 tillhör alltid In för alla värden på n.

Jonas Månsson


17 februari 1999 17.00.24
Ett runt rör som är ihåligt kallas cylinder. Jag undrar vad ett trekantigt rör som är ihåligt kallas?
Jesper J

Svar:

En cylinderyta är en yta som uppkommer när en rät linje parallellförflyttas utefter en sluten kurva. En cylinder begränsas av en cylinderyta och två plan som är parallella med varandra men inte med linjen. Är den genererande kurvan en cirkel kallas cylindern cirkulär. Ett "trekantigt rör" är alltså också en cylinder och detta specialfall kallas ett prisma. En cylinder behöver inte nödvändigtvis inte vara ihålig.

Jonas Månsson


17 februari 1999 15.16.31
I en likbent triangel är omkretsen 98 cm och höjden mot basen 21cm. Beräkna triangelns area.
Helena

Svar:

Låt de lika långa sidorna har längd y. Vidare gäller att höjden delar basen i två lika långa delar med längd x. Då omkretsen är 98 cm måste

2*x + 2*y = 98 <=> x + y = 49 <=> y = 49-x

Höjden delar den ursprungliga trianglen i två mindre. Pythagoras sats på en sådan deltriangel ger

x2 + (21)2 = y2 <=> x2 + 441 = (49 - x)2 <=> x2 + 441 = 2401 - 98*x + x2 <=>

98*x = 1960 <=> x = 20

Av detta följer att basen har längd b = 2*x = 40, och arean A=b*h/2 = 40*21/2 = 420 (cm)2

Jonas Månsson


17 februari 1999 12.53.30
Hur up fans datorn.
Niklas Jakim Sandberg.

Svar:

Det här är ingen matematikfråga.

Jonas Månsson


17 februari 1999 12.46.58
Hur gammal blev han. Vad ville han. Vilka Sjärnor titta han på. Under villket årtal levde han. När blev han berömmnd.
Niklas Joakim Sandberg.

Svar:

Det här är en fråga för Fråga astronomen

Jonas Månsson


17 februari 1999 12.41.15
Vad jorde Nicolaos Kopernicus. Var han doktor.
Niklas Joakim Sandberg.

Svar:

Det här är en fråga för Fråga astronomen

Jonas Månsson


17 februari 1999 12.24.30
Hej! Om vi sätter kraftlagen F = m*a = m*(d^2)r/dt^2 lika med kraften enligt Newtons gravitationslag, F = -GMm/r^2 får vi differentialekvationen (d^2)r/dt^2 = -GM/r^2, där G och M är konstanter. Hur löser man denna differentialekvation med en allmän (exakt) metod, det vill säga utan att använda dimensionsanalys? Tack på förhand.
Martin

Svar:

Sätt p=dr/dt. Då får vi

d2r/dt2=p dp/dr och p dp/dr=-GM/r2

Detta kan vi skriva p dp=-GM/r2 dr och integral( p dp) = integral( -GM/r2 dr) + C

Alltså p2/2 = GM/r + C. Genom att lösa ut p i r kan vi nu på samma sätt lösa p=dr/dt.

Jonas Månsson


17 februari 1999 12.19.19
1, Hur räknar man ut (ett tal vad som helst)^i ? 2, Förklara hur formeln y=real(e^iX) kan bli en cosinuskurva? Tack så mycket för hjälpen!
Christer Tallgren

Svar:

1) Vi definierar för komplexa tal z och a

za=ea*log z

där log z är en s.k multifunktion definierad av

log z = ln |z| +i*arg z

2)

eix=cos x +i* sin x

per definition, så därav följer y=cos x

Jonas Månsson


17 februari 1999 12.16.16
Jag har en stege som står brant mot en vägg. Jag låter den glida nedför väggen så att dess nedre ända glider med konstant fart tills stegen ligger ned. På vilket sätt rör sig då den översta punkten på stegen? Accelererar den (i så fall hur)? På vilka sätt vore det lämpligast att visa detta?
Joni Karlbom

Svar:

Ja, den accelererar. Beteckna stegens längd med r, avståndet mellan dess nedre ända och väggen med x samt avståndet mellan den övre delen och marken med y. Pythagoras sats ger

x2 + y2 =r2 => y=sqrt(r2-x2)

Sätt x=vt, där v är den konstanta farten och t tiden. Substitution ger

y(t)=sqrt(r2-v2t2)

Vi deriverar och erhåller

y'(t)=-v2t/sqrt(r2-v2t) <=> y'(t)=-v2/sqrt(r2/t2-v2)

om vi antar att t skilt från 0. Vi kan nu se att farten, d.v.s y'(t) växer från 0 till oändligheten då t varierar mellan 0 och r/v.

Jonas Månsson


17 februari 1999 10.55.57
"Det enkla kan ofta bli det svåra beroende på att man inte ser enkelheten." Hur blir formeln för att beräkna summan vid n:te talet i en serie av reella tal, t.ex. 1+2+3+4+5?
Göran Sandberg

Svar:

Den summa du refererar till kallas för den aritmetiska summan, och för den gäller

Sn=1+2+3+...+n = n*(n+1)/2

Det visas lätt genom att först skriva upp summan två gånger under varandra på följande sätt:

Sn = 1 + 2 + . . . + (n-1) + n

Sn = n + (n-1) + ... + 2 + 1

Om vi summerar varje lodrät rad får vi alltid n+1, och då vi har n st. rader blir totalsumman n*(n+1). Alltså,

2*Sn=n*(n+1) <=> Sn=n*(n+1)/2

Jonas Månsson


17 februari 1999 07.23.19
Kan ni hjälpa mej med lite lättare matte? finns det nån sida med hjälp för typ, a-kurs/b-kurs matte på gymnasiet?? Måste ha help =( går åt h''vete på skolan annars.
knugen

Svar:

Den här sidan är till för all slags matematik, oavsett nivå. Vilken typ av frågor som tas upp beror helt på vad som skickas in. Du är välkommen att skicka in dina frågor hit.

Jonas Månsson


16 februari 1999 21.09.57
Hej! Jag håller på med en uppgift liknande den "15 april 1997 19.49.50" om en fontän och jag har haft problem med derivatan. Jag fick sedan hjälp av en kille som sa att jag skulle derivera y med avseende på a (alpha). y'(a) = -gx2sina/(v2cos3a) + x/cos2a. Varför gör man det och inte deriverar med avseende på x som man brukar? Vore tacksam för svar...

Svar:

Det beror helt på vad man vill beräkna. Om vi deriverar med avseende på x kan vi bestämma den högsta punkten för en vattendroppe som sprutas iväg med en fix vinkel alfa. Men detta är inte till någon nytta när vi vill bestämma gränskurvan (som ska bero på x).

Jonas Månsson


16 februari 1999 20.33.56
Skulle det vara möjligt att definiera ett talsystem (kanske till och med ett matematiskt system) uppbyggt kring (t.ex.) e, pi sqrt(-1) så att diverse ekvationer mm som nu är "krångliga" och/eller saknar explicit lösning, men som i samtidigt värsta fall gör det besvärligt att handla äpplen på torget. Med andra ord ett talsystem där de naturliga talen inte är naturliga samtidigt som diverse transcedenta och algebraiska tal blir "naturliga"?
Lars Bärring

Svar:

Ja det går att definiera ett sådant nytt matematiskt system, t.ex. kan vi döpa om den vanliga ettan till exempelvis pi, och betrakta den ring som generaras av 0 och pi. Den ringen får då samma struktur som ringen av heltal.

(pi + pi + pi + . . . + pi ) + (pi + pi + pi + . . . + pi) = pi + pi + pi + . . . + pi

(pi + pi + pi + . . . + pi ) * (pi + pi + pi + . . . + pi) = pi + pi + pi + . . . + pi

I första fallet innehåller första parentesen m st pi:n, den andra n st och den tredje m+n.

I andra fallet får vi m st, n st respektive m*n st.

Vi får nu en ring som är isomorf med (har samma struktur som) den vanliga ringen av heltal. I denna ring är pi ett naturligt tal (t.o.m identitet). Om vi nu däremot tolkar pi som vanligt, d.v.s som förhållandet mellan cirkelns diameter och omkrets kommer vi däremot att få en ganska (intuitivt sett) besynnerlig tolkning av multiplikation.

Jonas Månsson


16 februari 1999 17.34.34
Jag skulle vilja veta hur jag kan bestämma en Hammingkod av typ (120,127)?
Katti

Svar:

Jag hänvisar till svaret på fråga från 27 maj 1997 11.33.09.

Jonas Månsson


16 februari 1999 16.26.15
Vad kallar vi ett bråk vars täljare och nämnare saknar gemensam delare större än 1? Har vi något svenskt namn p Eulers fi-funktion svarande mot den engelska benämningen "totient function"? Terminologi gällande kedjebråk: i kedjebråket 1 1 1 1 1 1 1 __ __ __ __ __ __ __ 2+ 1+ 2+ 1+ 1+ 17+ 2 kallas 12, 2, 1, 2, 1, 1, 17, 2 "partial quotients", och bråken 12/1, 25/2, 37/3, .. benämns "convergents". Vad skulle vi säga på svenska?
Torkel Franzen

Svar:

Jag skulle säga fullständigt förkortat bråk. Problemet med dina övriga frågor är att det knappt finns några böcker i talteori skrivna på svenska, och därför är mycket av dess terminologi inte standardiserad. Överhuvud taget är detta, att hitta lämpliga svenska namn på engelska matematiska uttryck, ett mycket vanligt förekommande problem. Eulers phi-funktion kallas nog bara för just det, och konvergenter kanske vore ett lämpligt namn på 'convergents'.

Jonas Månsson


16 februari 1999 09.35.45
Jag antar att t.ex. 5-logaritmen för 3 är ett irrationellt tal. Jag tänker mig att detta kan bevisas med motsägelse. Alltså: SGD(p,q) = 1 om log 3 är rationellt? log 3 = p/q ger 3 = 5^(p/q) = 5^(p-q) Om nu p/q är ett rationellt tal måste (p-q) vara ett heltal. Därmed måste ovanstående uttryck vara falskt, eller hur? Har jag nu gjort ett acceptabelt bevis?
Lars Mattsson

Svar:

Ditt resonemang är tyvärr fel då 5(p/q) inte är lika med 5(p-q). Däremot gäller att 3=5(p/q) => 3q=5p för några heltal p och q. Detta är omöjligt då 3 och 5 är relativt prima. Alltså måste 5:te logaritmen av 3 vara irrationell.

Jonas Månsson


15 februari 1999 22.53.19
Hej! Jag har en uppgift gällande en funktion som jag skulle vilja ha hjälp med: För den linjära funktionen f gäller: f(3)-f(1) = 10 f(4)+f(2) = 34 Bestäm f Tacksam för svar
Jarmo Niiranen

Svar:

Att f är linjär betyder att f(x)=ax+b där a och b är några konstanter. Vi vet att 10 = f(3)-f(1) = (3a+b)-(a+b) = 2a. Det ger att a=5. Det andra villkoret blir då 34=f(4)+f(2)=(5*4+b) + (5*2 +b) = 30 + 2b, så b=2. Vi får alltså att f(x)=5x+2.

Anna Torstensson


15 februari 1999 20.29.33
om jag har 50 äpplen och äter 47 vad får jag då?
pelle

Svar:

Ont i magen.

Anna Torstensson


15 februari 1999 19.58.57
Løs problemet å maksimere f(x,y) = under bibetingelsen 4x +y = 80 med Lagranges metode. For de verdiene av x og y som gir maksimum for f(x,y), finner du at Lagrange- multiplikatoren l =1/4. Følgelig er Lagrange-funksjonen L(x,y) = - 1/4(4x + y - 80) Vis hvorvidt denne funksjonen har et maksimum, et minimum eller et sadelpunkt for de verdiene av x og y som gir maksimum for f(x,y).
annie

Svar:

Tyvärr har beskrivningen av funktionen inte kommit med i brevet så jag kan inte beskriva hur Lagranges metod fungerar på just den här funktionen men en allmän beskrivning finns på 21 februari 1997 16.56.34

Anna Torstensson


15 februari 1999 19.58.16
En bedrift produserer og selger en vare som har denne etterspørselsfunksjonen: p = 2100 - 4x2 der p er prisen pr. enhet av varen og x er antall enheter solgt pr. måned. Bedriftens salgsinntekt pr. måned, R (x) er følgelig R(x) = px = 2100x - 4x3 Bedriftens samlede produksjonskostnader pr. måned er gitt som C(x) = 500 + 3x3 (Følgelig er bedriftens profitt per måned p = R(x) - C (x) a) Utled et uttrykk for den direkte priselastisiteten i etterspørselen etter varen. b) Vi antar at antall produserte og solgte enheter pr. måned er det samme. Beregn det antall produserte enheter pr. måned som gir maksimal profitt og vis matematisk at det er et punkt for maksimal profitt du har funnet. c) Beregn varens pris og den direkte priselastisiteten i etterspørselen for det antall enheter som gir maksimal profitt. Hvordan vil du karakterisere denne priselastisiteten?
anita

Svar:

Vinsten V ges av V(x)=R(x)-C(x)=-7x3+2100x-500. Där vinsten har en extrempunkt (max, min eller sadelpunkt) är derivatan V'(x) = 0. Eftersom V'(x)=-21x2+2100 inträffar detta i punkterna 10 och -10. På grund av problemformuleringen är vi endast intresserade av positiva x. Man ser på V'(x) att den är positiv till vänster om 10 och negativ till höger så V växer till vänster om punkten x=10 och avtar till höger. Detta visar att det rör sig om en maximipunkt. Varans pris får vi sedan från p=2100-4x2=2100-400=1700. Priselasticitet är ett ekonomiskt begrepp som jag inte känner till, så om du vill veta mer om matematiska egenskaper hos priselasticitet får du ge mig en definition av detta begrepp.

Anna Torstensson


15 februari 1999 19.57.33
Gitt funksjonen F[x,y] = x2 + y2 - 3/2 x - xy + 1 a) Finn eventuelle stasjonærpunkt og avgjør hvorvidt dette/disse er maksimums-, minimums- eller sadelpunkt. b) Utled differensialet til F[x,y] c) x og y er begge funksjoner av t, x(t) = 2t - 1 y(t) = t2 Utled differensialet til F[x(t),y(t)]. Beregn dF/dt for t = 1.
susi

Svar:

I stationära punkter är båda de partiella derivatorna noll. Här har vi att F'x = 2x-3/2-y och att F'y=2y-x. Om båda är noll måste (x,y)=(1,1/2). Vilken typ av stationär punkt det rör sig om ser man på den kvadratiska formen F''xx h2 + 2F''xy hk + F''yy k2 i punkten (1,1/2) som blir 2h2 -2hk + 2k2 i denna punkt. Den är positivt definit (dvs antar endast värden > 0 utom i origo där den blir 0) vilket ses genom att skriva om den som 2((h-k/2)2+3k2/4). Då är extrempunkten ett minimum. Differentialen för Fges av dF(x,y)(h1,h2)=F'x (x,y)h1 + F'y (x,y)h2 = (2x-3/2-y)h1 + (2y-x)h2. Differetialen för G(t)= F(2t-1,t2) = t4-2t3+5t2-7t+7/2 är dG(t)(h)=(4t3-6t2-7)(h). dF/dt(1)=G'(1)=-9.

Anna Torstensson


15 februari 1999 19.56.30
Oppgave 1 Gitt likningen 2x2 + y2 - 2xy = 100 a) Finn y' = dy/dx og y'' = d2y/dx2 ved implisitt derivasjon. b) (8, 14) er et punkt på grafen til likningen. Regn ut y' og y'' i dette punktet. Er grafen konkav eller konveks i (8, 14)?
Adriane

Svar:

Om vi deriverar 2x2 + y(x)2 - 2xy(x) = 100 m a p x får vi 4x+2y(x)y'(x)-2y(x)-2xy'(x)=0. Ur detta uttryck kan man beräkna y'(a) om man har givet en punkt (a,y(a)) på kurvan. Här får vi i (8,14) att 32+28y'(8)-28-16y'(8)=0 dvs y'(8)=-1/3. På samma sätt får man vid ytterligare en derivation att 4+2y'(x)2-4y'(x)+2y'(x)y''(x)-2xy''(x)=0 och att y''(8)=-25/54. Eftersom andraderivatan är negativ vet vi att grafen är konkav i punkten (8,14).

Anna Torstensson


15 februari 1999 16.02.21
1+2+3+4....+n=m^2. m och n är positiva heltal. 1=1^2 och 1+2+3+4+5+6+7+8=6^2 t.ex. Hur hittar jag det i:te n:et och m:et utan numeriska beräkningar? Hur ser den fullständiga lösningen till problemet ut? Tack på förhand
Dennis Eriksson

Svar:

Summan 1+2+3 ... +n blir n(n+1)/2. Tal av den formen kallas triangulära eftersom man får en triangel om man ritar 1 punkt på rad 1, två punkter på rad 2 osv. Din fråga handlar alltså om vilka triangulära tal som är kvadratiska. Man kan visa att det finns oändligt många sådana tal och att man successivt kan generera dem med den rekursiva formeln an = 34an-1 - an-2 +2. Genom att lösa denna rekursionsekvation får man ett direkt uttryck för an. Det blir

an = 1/32((17-12 sqrt(2))i + (17-12 sqrt(2))i -2)

(Uttrycket i VL blir ett heltal för varje i även om det kanske inte ser ut så.) Nu har vi alltså ett uttryck för den i:te summan. För att få det i:te värdet på m tar vi sqrt(an) och för att få det i:te värdet på n löser vi ekvationen n(n+1)=2an. Om du vill veta mer kan du söka efter kombinationen "triangular number" och "perfect square" på internet!

Anna Torstensson


15 februari 1999 09.31.48
Delbargetsreglen för talet 7?

Svar:

Jag känner inte till någon speciell delbarhetsregel för 7. Genom att räkna modulo 7 kan man se att talet an an-1 ... a4 a3 a2 a1 a0 är delbart med 7 precis om a0 + 3a1 +2a2-a3-3a4-2a5+a6+3a7+2a8-a9-3a10 ...osv ( multiplikation med 1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2 ...)är delbart med 7 men det verkar inte vara någon särskilt användbar regel. T ex ser man att 549157 är delbart med 7 eftersom 1*7+3*5+2*1-1*9-3*4-2*5=-7, som är delbart med 7.

Anna Torstensson


14 februari 1999 22.04.20
Jag har kört fast, även på denna uppgift: "Fyrhörningen ABCD är inskriven i en cirkel. Vinkeln A är 70 grader och vinkeln B är 105 grader. Beräkna de andra vinklarna i fyrhörningen." Facit säger "Vinkeln C=110 grader, vinkel D=75 grader" Min fråga är hur jag redovisar lösningen till uppgiften.
Johan Sturk, Sthlm

Svar:

Vinkelsumman för två motstående vinklar i en fyrhörning inskriven i en cirkel är alltid 180o.

Detta kan visas på följande sätt. Låt O beteckna cirkelns mittpunkt. Då är trianglarna OAB, OAD, OCD och OBC likbenta trianglar, och dess "basvinklar" måste vara lika. Vi låter de lika vinklarna i trianglarna ovan, i tur och ordning ha värdena a,b,c och d. Då vinkelsumman i en fyrhörning alltid är 360o måste 2*a+2*b+2*c+2*d=360 <=> a+b+c+d=180. Vinkelsumman av två motstående hörn blir nu alltid a+b+c+d (kontrollera!)

Jonas Månsson


14 februari 1999 21.55.40
Jag har kört fast på följande uppgift: "Fyrhörningen ABCD är inskriven i en cirkel. Vinkeln ABD är 110 grader och vinkel BDC är 40 grader. Beräkna vinkeln mellan AC och BD." Facit till denna uppgift säger "30 grader (vinkeln BAC=vinkeln BDC;bågvinklarna på samma båge)" Min fråga är hur fyrhörningen ser ut. Jag vet inte hur jag ska rita denna.
Johan Sturk, Sthlm

Svar:

inskriven

Kjell Elfström


14 februari 1999 16.25.48
Ett problem som jag grubblat på länge är, hur man visar att : (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) < 1/10 ? Tack på förhand.
Mårten

Svar:

(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(2n-1/2n)=2-2*n*(2n)!/(n!)2=2-2*n*(2*n över n)

och (2n)!/(n!)2 kan uppskattas med Stirlings formel.

Jonas Månsson


14 februari 1999 15.32.04
Jag undrar vad svaret av detta blir: (x2+y2-1)3-4x2y3 , Allt utom 1:an och 4:an är upphöjt...
Pierre

Svar:

(x2+y2-1)3-4x2y3 = x6+3x4y2+3x2y4+y6-4x2y3-3x4-6x2y2-3y4+3x2+3y2-1

Jonas Månsson


14 februari 1999 05.39.20
Jag undrar varför mantelarean av ett klot är 4*Pi*R*R. Jag fick den till Pi*Pi*R*R när jag försökte lösa problemet.
Anders

Svar:

Arean A för en rotationskropp kan bestämmas m h a följande integral:

A=2*pi*integral[a,b](f(x)*sqrt(1+(df/dx)2)).

Om vi nu betraktar övre halvcirkeln i planetmed radie R, som kan beskrivas med funktionen

f(x)=sqrt(R2-x2) , -R<x<R

och låter den rotera kring x-axeln så får vi

A = 2*pi*integral[-R,R](f(x)*sqrt(1+(df/dx)2)) =

2*pi*integral[-R,R](sqrt(R2-x2) *sqrt(1+(-x/sqrt(R2-x2))2)) =

2*pi*integral[-R,R](sqrt(R2-x2) *R/sqrt(R2-x2)) = 4*pi*R2.

Jonas Månsson


13 februari 1999 19.13.34
Ett litet katt o råtta problem: I hörnet av ett kvadratiskt rum ABCD med sidan 1 l.e ligger en katt o lurar. I hörnet B startar en liten mus en dödsföraktande rusning mot räddningen i form av ett hål i hörnet C. I samma ögonblick störtar sig även katten iväg med hastigheten V och rör sig hela tiden i riktning mot musen. Musen springer utmed väggen BC med konstant hastighet v=kV, där k<1. När katten befinner sig i punkten k=(x,k(x)) och musen i punkten M=(1,m(x)) skall altså tangenten till kattkurvan y = k(x) hela tiden gå genom M och vidare skall m(x)=ks(x) däe s(x) är längden av kurvbågen y=k(x) mellan 0 och K. Det går nu att ställa upp två villkor för s(x). och därgenom eliminera s(x), varefter man erhåller en integralekvation för k(x).Hur går man till väga för att beräkna det minsta tillåtna värdet på k för att musen ska klara sig ?? (s(x) är alltså formeln för båglängd)
Ante

Svar:

Vi beskriver situationen när katten har x-koordinaten a. Då befinner sig katten i (a,k(a)) och musen i (1,m(a)) där k och m är okända funktioner för kattens resp. musens y-koordinater. Tangenten till k(x) i a blir y-k(a)=k'(a)(x-a). På denna tangent skall punkten (1,m(a)) ligga så

m(a)-k(a)=k'(a)(1-a).

Eftersom musens hastighet är K gånger kattens har musen alltid sprungit K gånger så långt som katten. Det ger att

m(a)=K integral[0,a] sqrt(1+k'(x)2) dx.

(Integralen ger längden av kattkurvan.) Derivation ger att m'(a)=K sqrt(1+k'(a)2) och derivation av tangentvillkoret ger att m'(a)=k''(a)(1-a) så vi får att

k''(a)(1-a) =K sqrt(1+k'(a)2)

Om vi sätter l(a)=k'(a) får vi den separabla differentialekvationen

l'(a)(1-a) = K sqrt(1+l(a)2)

som kan skrivas dl/(sqrt(1+l2)) = K da/(1-a). Integration ger att ln(l + sqrt(l2 + 1)) = -K ln(1-a) +C. Exponentiering och användning av villkoret l(0)=k'(0)=0 ger

l + sqrt(l2 + 1) = (1-a)-K

Samma räkningar med n(a)=-k'(a)=-l(a) visar att

-l + sqrt(l2+1)=(1-a)K

Nu kan vi lösa ut l som

2l = (1-a)-K + (1-a)K

och därefter k som

2k=primitiv funktion till (1-a)-K + (1-a)K = (1-a)1-K/(K-1) + (1-a)K+1/(K+1 )+ C

0=2k(0) ger att C=2K/(1-K2).

Katten hinner ta råttan om k(1)<= 1 och k(1)=K/(1-K2)<=1 om och endast om K <= -1/2 + sqrt(5)/2 för K mellan 0 och 1. Musen måste alltså springa minst -1/2 + sqrt(5)/2 (ca 0,618) gånger så snabbt som katten för att klara sig.

Anna Torstensson


13 februari 1999 16.08.14
Hej! Snälla hjälp mig följande problem så fort Ni kan!!! -Vik ett A4-papper(har tjockleken 0,1 mm) så många gånger Du kan. Förklara varför det inte går att vika den mer än 7 ggr. Hur många gånger går det o vika den om den har tjockleken 0,01 mm istället? MVH Linda

Svar:

Varje gång man viker pappret fördubblas tjockleken. När du vikt pappret 7 gånger blir det 27 gånger så tjockt som från början, dvs 128*0,1 mm = 1,28 cm Om pappret är 0,01 mm från början kan man vika det 10 gånger innan tjockleken överstiger 1 cm. Efter 10 vikningar blir det 1024*0,01 mm = 1,024 cm.

Anna Torstensson


13 februari 1999 14.57.53
Hej ! Hur löser man denna ekvation ? 0 = 10 e( 0,02t + ln (1/4 ) / ( 1 + e( 0,02t + ln (1/4 ) ) Tack snälla på förhand
Maria

Svar:

Multiplikation med uttrycket i nämnaren och division med 10e på båda sidor ger 0=0,02t + ln(1/4). Här kan vi lätt lösa ut t genom att flytta över ln(1/4)=-ln4 och dividera med 0,02. Vi får t= ln4/0,02=50 ln4

Anna Torstensson


13 februari 1999 14.48.04
I ett visst(ej nödvändigtvis ortonomerat) koordinatsystem {O e1 e2} i planet är punkterna P=(-1,0) och Q=(0,2), samt den räta linjen l: 2x + y + 4 = 0 givna. Ett nytt koordinatsystem {O' e1' e2'} väljs genom O'=P , e1'=vektorn OP och e2'=vektorn PQ. Ange en ekvation för linjen l i koordinatsystemet {O' e1' e2'}.
Jenny Begané

Svar:

I det gamla koordinatsystemet består linjen av punkter med koordinaterna (t,-4-2t) där t varierar. Det betyder att om R är en punkt på linjen så är OR = te1+(-4-2t)e2. I det nya systemet vill vi skriva O'R = ae1' + be2' men vi känner inte till a och b. Vi har dock att e1'=-e1, e2'=e1+2e2 och O'R = e1 + OR. Om vi löser ut e1 och e2 ochsätter in detta i vårt uttryck för OR ovan så får vi att O'R+e1'=t(-e1') + (-4-2t)(e2' + e1')/2 dvs O'R=e1'(-2t-3)+e2'(-2-t). I det nya systemet har alltså punkterna på linjen koordinater (-2t-3,-2-t). I ekvationsform blir det x-2y -1=0.

Anna Torstensson


12 februari 1999 20.41.55
Låt V1, V2, V3 och V4 vara de vinklar som en given rät linje bildar med rymddiagonalerna i en given kub i rummet. Beräkna summan av: (cos V1)^2 + (cos V2)^2 + (cos V3)^2 + (cos V4)^2 Mvh
Roland Bengtsson

Svar:

Vi kan anta att kuben har sidlängd 1. I standardbasen i R3 ges rymddiagonalerna av

D1=(1,1,1)-(0,0,0)=(1,1,1), D2=(0,1,1)-(1,0,0)=(-1,1,1), D3=(1,0,1)-(0,1,0)=(1,-1,1), D4=(1, 1,0)-(0,0,1)=(1,1,-1).

Låt u=(u1,u2,u3) vara en vektor på linjen av längd 1. Då har vi att <Di,u>=|Di| cosVi, dvs skalärprodukten av Di och u är lika med längden av Di gånger cos Vi. Det följer att

(cos V1)2+ (cos V2)2 + (cos V3)2 + (cos V4)2 =( <V1,u>2 +<V2,u>2 + <V3,u>2+<V4,u>2)/3 = 4(u12 + u22 + u32)/3 = 4/3

I näst sista steget har vi använt att formeln <u,v>=u1v1 + u2v2 + u3v3 gäller i vår ortonormerade bas och i sista steget har vi använt att u har längden 1.

Anna Torstensson


12 februari 1999 19.59.01
Hur härleder jag ekvationen för en spiral vars radie ökar linjärt - eller enligt en godtycklig funktion r(v) - mot gradtalet för hur mycket spiralen har "snurrat" kring sin medelpunkt?
Bertil Olsson

Svar:

När spiralen snurrat vinkeln v kring sin medelpunkt befinner vi oss på en punkt som ligger på avståndet r(v) från mittpunkten. Om vi antar att spiralens mittpunkt ligger i origo på vårt koordinatsystem har punkten vi befinner oss på koordinaterna (r(v)cos v, r(v)sinv).

Anna Torstensson


12 februari 1999 16.17.24
Läste just Fermat gåta av Simon Singh, där nämns Bachet och hans vikt problem, ex i boken (1-40) kan nås med följande vikter, 1, 3, 9, och 27. Nu undrar jag om man skall nå 100, krävs du samma vikter plus 81, alltså 5 vikter, eller går det att uppnås med 4 andra vikter? I så fall vilka?
Dennis

Svar: Man kan få fram vikten k med hjälp av vikterna m1, m2, m3 och m4 om och endast om man kan skriva k genom att använda några av siffrorna mj samt plus och minustecken. (Detta gäller om man tillåter användning av båda vågskålarna som i boken.) Plustecken betyder att man lägger vikten i ena vågskålen och minustecken att man lägger den i den andra. För varje av de fyra ikterna har vi tre val: inte använda den, lägga den i vågskål 1 eller lägga den i vågskål 2. Totalt ger detta 34=81 möjligheter så vi kan aldrig få alla vikter mellan 1 och 100 med fyra vikter.

Anna Torstensson


12 februari 1999 11.47.10
Hej, jag har en uppgift som jag behöver hjälp med: "Åldersgrupp Andel av totalbefolkningen
0-10 12,81
11-20 11,48
21-30 13,08
31-40 13,71
41-50 13,59
51-60 12,33
61-70 9,02
71-80 8,23
81-90 5,14
91-100 0,61
Åldersfördelningen kan visas i ett histogram där arean av varje stapel svarar mot procentandelen i denna grupp. Sammanlagda arean blir då 100% = 1. Enheten på den vertikala axeln är %/år och år på den horisontella. Bestäm en polynomfunktion p(t) av lämpligt gradtal som "jämmar ut" histogrammet (ev kan olika polynom i olika intervall användas). För p(t) gäller integralen med gränserna 1 och 100 p(t)dt=1. Funktionen p(t) kallas ibland förr en frekvens funktion. Undersök vilka egenskaper den har och hur den kan användas för att bestämma median och medelvärde för befolkningens ålder. I många andra sammanhang följer fördelningen den normala frekvensfunktionen. Vilka egenskaper har den?" MVH
Yad Azad

Svar:

Se svaret 17 april 1998 13.02.27.

Anna Torstensson


17981 frågor av sammanlagt 18378 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)