Fråga Lund om matematik

Sökresultat


12 december 2000 09.27.58
Vi försöker i vårat examensarbete lösa temperaturekvationen. Vi har en källa H=H0*e^(-iwt) som bestrålar ett prov sinusformat och vi vill
 ta reda på temperaturförändringen T(x,t) i provet. Vi har alltså ekvationen: H0*e^(iwt)+grad(grad (T))=1/D*dT/dt där D är material konstanter. Problemet är att den generella lösningen inte blir separabel, har ni något tips på hur man kan lösa denna ekvation.
Jenny Hammarström

Svar:

Det är oklart vad Du menar med att "den generella lösningen inte blir separabel". Förmodligen är det den inhomogena termen H0*eiwt. För att eliminera den behöver Du finna en partikulärlösning till den givna ekvationen och subtrahera den, varefter det som återstår är att lösa den
homogena värmeledningsekvationen. Ett problem är att denna operation påverkar randvillkoren, och om man till exempel från början har homogena randvillkor (dvs. T=0), så bör man finna en partikulärlösning med nollrandvärden. Nu skriver Du inte något om området (är det kanske hela rummet) eller randvillkor, så det är svårt att lämna ytterligare upplysningar på rimligt utrymme.

Catarina Petersson


11 december 2000 23.14.18
Hur gör man för att visa att 3|x^3-x? Man kan ju notera att 3|x*(x+1)*(x+2) <=> 3|x^3+3x^2+2x. Om 3|x^3-x så är också 3|x^3+3x^2+2x-(x^3-x) <=> 3|3*(x^2+x), vilket uppenbarligen stämmer. _Kan man göra på något annat sätt_?
Johan Winge

Svar:

Vi ser att x3-x=(x-1)*x*(x+1) och eftersom 3 alltid delar något av tre på varandra följande heltal är påståendet bevisat.
Det Du har gjort ovan leder tyvärr ingenstans eftersom Du antar det du vill bevisa; det säger bara att om 3 delar både x3-3 och x3+3x2+2x så delar 3 summan av uttrycken. Detta är en grundläggande sats inom algebran: Om a|b och a|c så gäller att a|(b+c).

Catarina Petersson


11 december 2000 20.08.04
Hej! Jag har en fråga om en formulering som ni har använt er av, nämligen: "...eftersom man har entydig faktorisering i ringen av Gaussiska heltal är primelementen och irreducibla element samma sak" Vad är ett irreducibelt element, ett primelement och entydig faktorisreing? Och vad är en ring av Gaussiska heltal?
Helen

Svar:
Ett Gaussiskt heltal är ett komplext tal a+ib, där a, b tillhör Z. De Gaussiska heltalen betecknas Z(i) och är ett integritetsområde, dvs en kommutativ ring med etta som inte innehåller några nolldelare.

Vi definierar nu begreppen irreducibelt element, primelement och entydig faktorisering.

Låt D vara ett integritetsområde.
Låt p vara ett element i D som varken är nollelementet eller en enhet (en enhet är ett element som har en multiplikativ invers). Man säger att p är ett irreducibelt element om det för varje faktorisering p=ab i D gäller att antingen a eller b är en enhet.

Om p i D inte är nollelementet eller en enhet och har egenskapen att om p|ab så måste p|a eller p|b, så sägs p vara ett primelement.

D har entydig faktorisering om
1) Varje element i D som varken är nollelementet eller en enhet kan faktoriseras i en produkt av ett ändligt antal irreducibla element.
2) Om p1...pr och q1...qs är två faktoriseringar av samma element i D i irreducibla element, så är r=s och qj kan omnumreras så att pi och qi är associerade element.

Att två element a,b i D är associerade element i D betyder att a=bu, där u är en enhet i D.

Om D har entydig faktorisering sammanfaller begreppen irreducibelt element och primelement.

Catarina Petersson


11 december 2000 12.58.34
Hej! Hur löser man ekvationer av typen: x^3+ax^2+bx+c=0 Tack på förhand, med hopp om ett snabbt svar!
Per Edberg

Svar:

I svaret till frågan 18 mars 1997 02.44.41 hittar Du en metod att lösa tredjegradsekvationer.

Catarina Petersson


11 december 2000 10.23.31
Hur långt kan man åka i rymden?

Svar:

Jag hänvisar till  Fråga vetenskapen om fysik.

Catarina Petersson


11 december 2000 10.22.55
Vatför finns det inte luft på andra planeter?

Svar:

Jag hänvisar till  Fråga vetenskapen om fysik.

Catarina Petersson


11 december 2000 10.22.28
Vatför finns planeter?

Svar:

Jag hänvisar till  Fråga vetenskapen om fysik.

Catarina Petersson


10 december 2000 20.57.57
Hej! Jag ställde följande fråga 6e December. Jag undrar hur det kan komma sig att volymen av rotationskroppen som uppstår när kurvan y=1/x roterar kring x-axeln(mellan x=1,oändl) är finit, men arean under kurvan i xy-planet inte är det.
Jag följde länken och läste svaret till 13 maj 1999 16.22.20, men har fortfarande problem att förstå att det inte rör sig om en motsägelse.
hälsningar
Lars

Svar:

Någon paradox i matematisk mening kan det inte vara även om du kanske tycker det är märkligt. Man måste ha klart för sig att generaliserade integraler endast är gränsvärden av vanliga integraler. Man hugger av struten vid x = b, beräknar arean och volymen av denna stympade strut, låter sedan b gå mot oo och ser vad som händer. Att arean går mot oo då b går mot oo innebär bara att arean växer med b och kan bli större än vilket givet tal som helst. Tar vi alltså bara b tillräckligt stort räcker inte färgburken till för att måla ytan med ett jämntjockt lager färg. Även volymen växer med b och kan komma hur nära Pi som helst bara vi tar b tillräckligt stort, men volymen kan aldrig bli Pi eller mer. Oavsett hur lång vår ändliga stympade strut är räcker Pi liter färg till för att fylla den om längdenheten är dm.

Kjell Elfström


10 december 2000 19.06.22
Hej.
Jag undrar var jag kan hitta bevis för de trigonometriska formlerna, ex additions och subtraktions formlerna.
Niclas

Svar:

Förhoppningsvis i de böcker i gymnasiet som behandlar trigonometri. Eftersom man inte längre kan ta sådana saker för givna finns det ett bevis i 12 mars 2000 19.10.16 för att cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b. Genom att ersätta b överallt i denna formel med -b får man

cos(a + b) = cos a cos(-b) + sin a sin(-b) = cos a cos b - sin a sin b

eftersom cos(-b) = cos b och sin(-b) = -sin b. Man kan sedan utnyttja att sin c = cos(Pi/2 - c) och cos c = sin(Pi/2 - c):

sin(a + b) = cos(Pi/2 - (a + b)) = cos((Pi/2 - a) - b)
= cos(Pi/2 - a)cos b + sin(Pi/2 - a)sin b = sin a cos b + cos a sin b.

Formeln för sin(a - b) klarar du efter detta säkert själv att bevisa.

Formlerna för dubbla vinkeln kan man lätt härleda utifrån additionsformlerna eftersom t ex cos 2a = cos(a + a).

Kjell Elfström


10 december 2000 13.45.33
Fråga: antag att man har ett kvarter ordnat i ett perfekt rutnät och det finns fyra längs-gående gator och sex tvär-gående gator! Man skall färdas från den första tvärgatan längst ned till den sista längst upp. hur många kombinationer finns det om man bara färdas den kortaste vägen?
Anders Frånlund

Svar:

Vi antar att det finns 4 syd-nordgående gator och 6 öst-västgående. Vi står i det sydvästra hörnet och skall gå till det nordöstra. Går vi den kortaste vägen skall vi i tur och ordning göra 8 förflyttningar från en korsning till nästa, 5 norrut och 3 österut. När vi valt ut de tre östliga är vägen bestämd. Det finns alltså (83) = 56 möjliga vägar.

Kjell Elfström


10 december 2000 09.32.24
Hur ska jag visa att kvadraten kar 8 symmetrier? Hjälp snarast förvirrad NV-elev
Johan

Svar:

En symmetri av kvadraten är en avbildning F av kvadraten på sig själv som bevarar avstånd, dvs avståndet mellan punkterna F(P) och F(Q) är lika stort som mellan punkterna P och Q. Två motstående hörn måste avbildas på två motstående hörn eftersom inget annat par av punkter i kvadraten har så stort inbördes avstånd. Hörn måste alltså avbildas på hörn och hörn som ligger på samma sida måste avbildas på hörn som ligger på samma sida. Hela avbildningen är bestämd av dess effekt på två hörn A och B som ligger på samma sida. Låt nämligen P vara en annan punkt i kvadraten. Att P ligger på avståndet a resp. b från A och B betyder att P ligger på en cirkel med radie a och medelpunkt i A och på en cirkel med radie b och medelpunkt i B. Bilden F(P) måste då ligga på en cirkel med radie a och medelpunkt i F(A) och på en cirkel med radie b och medelpunkt i F(B). Eftersom det bara kan finnas en gemensam punkt på cirklarna inuti kvadraten är positionen för F(P) bestämd av F(A) och F(B).

Låt A, B, C, D vara hörnen uppräknade moturs när vi går runt kvadraten. Eftersom F(A) och F(B) skall ligga intill varandra finns bara följande möjligheter för F(A) och F(B):

(A,B), (B,C), (C,D), (D,A), (C,B), (D,C), (A,D), (B,A).

Detta är 8 möjligheter. Nu frågar man sig om det verkligen finns symmetrier som har dessa efftekter på A och B. Låt I, R och S vara enhetsavbildningen, rotation ett kvarts varv moturs runt kvadratens tyngdpunkt respektive spegling av kvadratens punkter i linjen genom B och D. Då är I, R, R2, R3, S, RS, R2S, R3S symmetrier som har de angivna effekterna på hörnen A och B. Rn betyder att vi utför rotationen n gånger i följd och RnS att vi först speglar och sedan roterar n gånger.

Kjell Elfström


10 december 2000 09.30.57
Runt vilka punkter kan man rotera en kvadrat och få tillbaka kvadraten? Tack på förhand...
Marcus

Svar:

Jag är inte säker på vad du menar.

Kjell Elfström


9 december 2000 16.57.16
Hej!
hur löser man en ekvation som ser ut så:
k^2*[8^+(11-k)^2*V1=(11-k)^2*(12+k)^2*V2
OBS! värden på V1 och V2 är kända.
Tack så hemsk mycket..!!
MVH amauta2000@evryday.com
Josef Broman

Svar:

Det finns visserligen lösningsmetoder för den allmänna fjärdegradsekvationen men jag misstänker att man genom kännedom om konstanternas värde kan nå fram till lösningarna på enklare sätt, åtminstone om detta är något slags läxproblem. Jag är heller inte helt säker på vad det skall stå vid [8^ (även om jag har mina aningar).

Kjell Elfström


9 december 2000 15.39.37
Hejsan! Jag hoppas verkligen att ni kan svara på följande fråga:
Kan man skriva om kvadratroten ur ett tal som en matematisk serie?
Jag menar, hur gör en miniräknare för att ta kvadratroten ur ett tal? Den "känner" ju bara till addition egentligen? Den måste således ha någon approximativ metod, eller? Eller tar den bara talet och upphöjer till en halv?
Hoppas på svar!
Molle

Svar:

Metoden som vanligen används för att beräkna kvadratrötter är Newton-Raphsons metod. Denna lämpar sig för manuell uträkning och finns även inprogrammerad i räknare, matematikprocessorer och liknande. För att beräkna roten ur a utnyttjar man att denna är ett nollställe till funktionen f(x) = x2 - a. Se 29 oktober 2000 19.55.40.

Kjell Elfström


9 december 2000 13.48.24
Jag skulle vilja ha lite information om det binära talsystemet och speciellt om den/dem som uppfann det... Tack för en kanonbra tjänst.
Nils Johan Törnström

Svar:

Jag tror inte man kan säga vem som uppfann det. Det har visserligen fått stor användning efter datorernas intåg men att man kunnat uttrycka tal i positionssystem med olika heltalsbaser, och därmed basen 2, har varit känt under mycket lång tid. Babylonierna använde till exempel basen 60, därav indelningen av en cirkel i 360 grader och av en timme i 60 minuter.

Kjell Elfström


9 december 2000 11.29.44
Jag håller på med integraler och har fastnat vid en uppgift om konvergens. Jag har tyvär ingen aning om hur man löser den för hand. Uppgiften är att undersöka konvergensen av följande generaliserade integral med gränserna 0 till oändligheten.
integral: 1/(root[3](x)*root[5](5+x^4)) dx
Tack på förhand
Johan

Svar:

Vi har följande satser:

int01(dx/xa) är konvergent om och endast om a < 1.

int1oo(dx/xa) är konvergent om och endast om a > 1.

Om f(x) och g(x) är integrerbara i [a,1] för varje a, 0 < a <= 1, är positiva för alla x i en punkterad högeromgivning av 0 och om f(x)/g(x) --> A > 0 då x --> 0 från höger så gäller att int01(f(xdx) konvergerar om och endast om int01(g(xdx) konvergerar.

Om f(x) och h(x) är integrerbara i [1,b] för varje b >= 1, är positiva för alla stora x och om f(x)/h(x) --> A > 0 då x --> oo så gäller att int1oo(f(xdx) konvergerar om och endast om int1oo(h(xdx) konvergerar.

Om f(x) = 1/(x1/3(5 + x4)1/5) så gäller det att hitta en lämplig funktion g att jämföra med för små x och en funktion h för stora x. Låt oss börja med g. Faktorn (5 + x4)1/5 uppför sig som 51/5 (i den bemärkelsen att kvoten mellan dessa funktioner går mot 1 då x --> 0) och x1/3 uppför sig som sig själv (detta är en lämplig jämförelsefunktion enligt den första jämförelsesatsen). Vi bör alltså sätta g(x) = 1/(x1/351/5). Det är nu lätt att konstatera att f(x)/g(x) --> 1 > 0 då x --> 0+ så den tredje satsen är tillämplig. Eftersom, enligt sats 1, integralen av 1/x1/3 är konvergent så är integralen av g(x) också konvergent vilket enligt jämförelsesatsen ger att integralen från 0 till 1 av f(x) är konvergent. (Vi hade naturligtvis kunnat sätta g(x) = 1/x1/3 i stället och fått ett annat positivt gränsvärde.)

När det gäller att hitta på en funktion h konstaterar vi att för stora x uppför sig (5 + x4)1/5 i stället som (x4)1/5 = x4/5, varför en lämplig funktion h är h(x) = 1/(x1/3x4/5) = 1/x17/15. Jämförelsesatsen ger nu att integralen från 1 till oo av f(x) är konvergent.

Konvergensen av dessa båda integraler ger att den ursprungliga integralen är konvergent.

Kjell Elfström


8 december 2000 17.36.27
Hej Lund.
Jag skulle vilja ha hjälp med följande uppgift:
y'=(y^2-8y+7)e^2t
Visa gärna varje steg och om det finns en länk med information om liknande uppgifter skulle jag vara tacksam eftersom jag är helt vilsen inom det här. Tack i förhand.
Peter Ekhjärta

Svar:

Differentialekvationen är separabel,

y'/(y2 - 8y +7) = y'/((y - 1)(y - 7))= e2t.
Partialbråksuppdelning ger att

1/((y - 1)(y - 7)) = (1/6)(1/(y - 7) - 1/(y - 1))

varför lösningen ges av

(1/6)ln|(y - 7)/(y - 1)| = (1/2)e2t + C.

Härur kan man lösa ut |(y - 7)/(y - 1)| som funktion av t och om man känner tecknet av (y - 7)/(y - 1) också y som funktion av t.

Kjell Elfström


8 december 2000 16.05.32
Hej !
Jag försöker lösa ett problem som handlar om elektriska fält. Har två släta och fina ytor som är skeva och har diverse bulor. Potentialen på ytorna är givna. Går det att analytiskt bestämma en potentialfunktion V(x,y,z) d.v.s lösa Laplace-ekvationen med randvärden i tre dimensioner?
Pär Fritsberg

Svar:

Detta ämne är för omfattande för att avhandlas här. Se t ex Müller, Claus: Grundprobleme der mathematischen Theorie elektromagnetischer Schwingungen , eller många andra böcker om matematisk fysik eller partiella differentialekvationer.

Kjell Elfström


8 december 2000 15.52.50
Hej!
Kan ni beräkna INT[ln(x^2+1)/(x^2+1)]dx integrationsgränserna går från -oo till +oo
Jakob

Svar:

Integralen kan inte uttryckas med hjälp av de elementära funktionerna.

Kjell Elfström


8 december 2000 15.48.01
Det var väldigt vad många frågor ni har besvarat den här veckan. Imponerande! Här får ni en till:
För en del år sedan läste jag någonstans att analyticitetsområdet för en analytisk funktion av flera (minst 2) komplexa variabler alltid kan utvidgas så att det inte innesluter isolerade områden där funktionen inte är analytisk och så att det inte finns inskjutande hörn i analyticitetsområdet. Detta till skillnaden från funktioner av en variabel där (maximala) analyticitetsområdet kan var begränsat av vilken kurva som helst. Tyvärr har jag inte lyckats hitta beviset. Har ni någon lämplig referens eller kanske själva beviset till hands? Tack på förhand.
Bengt Månsson

Svar:

Se t ex Krantz, Steven George: Function theory of several complex variables.

Kjell Elfström


8 december 2000 12.39.23
Hejsan! Jag undrar hur man beräknar trigonometriska integraler med residykalkyl, exempelvis integralen av sin(x)/(2+sin(x)+cos(x)) när x går från 0 till 2*Pi
Fredrik

Svar:

Byter vi ut x mot t så är integranden en rationell funktion av cos t och sin t, dvs integranden är på formen Q(cos t,sin t), där Q är en rationell funktion av två variabler. Antag att Q är kontinuerlig på enhetscirkeln. För integranden i frågan är Q(x,y) = y/(2 + x + y). Sätter vi z = eit är enligt Eulers formler cos t = (z + 1/z)/2 och sin t = (z - 1/z)/(2i). Betrakta funktionen f(z) = Q((z + 1/z)/2,(z - 1/z)/(2i))/iz. Om C är enhetscirkeln är intCf(zdz summan av residyerna till f inuti enhetscirkeln, multiplicerad med 2Pi i. Nu behöver vi bara utnyttja att

intCf(zdz = int02Pif(eit)ieit dt = int02PiQ(cos t,sin tdt,

för att få en metod att beräkna den sökta integralen.

Kjell Elfström


7 december 2000 22.44.36
Lösningen för en ordinär homogen diff-ekv. av typen
y´´ + ay' + by = 0
är y = Ae^(zx) + Be^(z*x). (z* = konj av z) Hur visar man att detta är = Ce^(ax)cos(bx) + De^(ax)sin(bx) (a, b real- resp. img-del av z)? Blir det inte ett i framför den sista termen?
Charles

Svar:

Antag att det karakteristiska polynomet

z2 + Az + B

till differentialekvationen

y'' + Ay' + By = 0

har nollställena z1 och z2. Om differentialekvationen har reella koefficienter och något nollställe är ickereellt är båda ickereella och varandras konjugat,

z1 = a + bi, z2 = a - bi,

där a och b är reella tal. Lösningarna till differentialekvationen ges då av

y = C1exp(z1x) + C2exp(z2x) = C1eax(cos bx + isin bx) + C2eax(cos bx - isin bx)
= eax((C1 + C2)cos bx + i(C1 - C2)sin bx).

Sätt nu C = C1 + C2 och D = i(C1 - C2) så får du önskat resultat. Den imaginära enheten i finns alltså inbakad i konstanten D.

Kjell Elfström


7 december 2000 22.10.36
Hej, jag försöker bevisa Herons formel för areor av trianglar. Den 31 januari 1997 12.32.10 läser jag ett gammalt svar, men jag fastnar på en punkt nämligen där det står: "Direkt uträkning ger nu att T2 = (ah/2)*(ah/2) = (a2)( h2)/4 = (a+b+c)( a+b-c)( a-b+c)(- a+b+c)/16 = p(p-a)( p-b)( p-c)." Hur då direkt uträkning. Skulle du kunna skriva upp ett par steg?
Karl Ericksson

Svar:

Av uppgifterna i 31 januari 1997 12.32.10 får man att

4a2h2 = 2a2b2 + 2a2c2 - a4 - (b2 - c2)2.

Enligt konjugatregeln har vi också att

(a + b - c)(a - b + c)(a + b + c)(-a + b + c) = (a2 - (b - c)2)((b + c)2 - a2) = -a4 + a2((b - c)2 + (b + c)2) - ((b + c)(b - c))2.

Utveckla kvadraterna i den mittersta termen och använd konjugatregeln på den sista så finner du att de båda uttrycken är lika.

Kjell Elfström


7 december 2000 18.55.04
Hur många kombinationer kan bildas av rutorna på en rubikskub?
Ludvig Orvegård

Svar:

Antalet permutationer av rutorna som kan erållas genom en följd av rotationer av de nio småkuberna på någon sida ett kvarts varv är 43252003274489856000. Se Analyzing Rubik's Cube with GAP..

Kjell Elfström


7 december 2000 14.19.46
Hej jag har en liten fråga angående lösning til en ekvation. Det är nämligen så att ekvationen: -arcustangens(w)-w=-pi, endast står förklarad med sitt numeriskt beräknade svar och inte hur man kommer fram till detta svar. Visst är det lätt att låta en dator beräkna svaret, men hur kommer man fram till det utan att ha tillgång till dessa?
Hampus

Svar:

Funktionen f(x) = arctan x + x - Pi är strängt växande vilket man ser genom att studera derivatans tecken. Vidare så går f(x) mot oo då x --> oo och f(x) --> -oo då x --> -oo. Detta visar att ekvationen f(x) = 0 har precis en rot. Denna kan bestämmas numeriskt med hjälp av Newton-Raphsons metod, se 29 oktober 2000 19.55.40.

Kjell Elfström


7 december 2000 14.02.16
Hejsan jag har problem med ett mattespel på pc som handlar om egyptiska siffror. Jag har letat i uppslagsböcker, både mattematiska och vanliga och dessutom frågat lärare men utan resultat. Problemet är att jag måste ha en kod för att öppna en dörr, koden består av 4 siffror men är skrivet som egyptiska siffror i stil med det som står innom parentes ( "I ) två korta diagonala streck och ett I. Jag blir väldigt tacksam om ni kan hjälpa mig med detta. Om det är möjligt så skicka gärna svaret till marwin100@hotmail.com
Micke

Svar:

Se Egyptian Mathematics. Det som står inom parentesen bör enligt den refererade sidan vara 201.

Kjell Elfström


7 december 2000 13.18.41
Antag att z är proportionell mot x och att z dessutom är proportionell mot y. Då är z proportionell mot xy. Hur bevisar men det ? (Problemet dyker upp i samband med kraftekvationen i fysik.)
Ingemar Niklasson

Svar:

Innebörden är att z är en funktion av x och y. För varje fixt y är z en funktion av x som är proportionell mot x och för varje fixt x är z en funktion av y som är proportionell mot y. Vi har alltså att

z = k(y)x och z = l(x)y,

där "konstanterna" beror på y resp. x. För t ex y = 1 är de båda uttrycken för z lika för alla x. Detta ger att l(x) = k(1)x, vilket sedan ger att z = kxy, där k = k(1).

Kjell Elfström


7 december 2000 13.16.13
Hur löser man andragradsekvationen s^2-v^2(1/g+2t/v)s+v^2t^2=0?
Martin Johansson

Svar:

Ekvationen kan skrivas

s2 - (v(v + 2gt)/g)s = -v2t2.

Kvadratkompletterar vi får vi

(s - v(v + 2gt)/(2g))2 = v2((v + 2gt)/(2g))2 - v2t2 = (v2/(2g)2)((v + 2gt)2 - (2g)2t2)
= (v2/(2g)2)(v2 + 4vgt),

varför

s = v(v + 2gt)/(2g) ± (v/(2g))(v2 + 4vgt)1/2 = (v/(2g))(v + 2gt ± (v2 + 4vgt)1/2).

Kjell Elfström


7 december 2000 11.57.52
3. Låt a, b, och c vara tre olika tal ,Bestäm x, y 0ch z ur ekvation systemet.
x + ay + a^2z + a^3 =0
x + by + b^2z + b^3 =0
x + cy + c^2z + c^3=0

tilwol@hotmail.com

Svar:

Börja med att dra den första ekvationen från den andra och tredje. Du blir då av med x-termerna i de senare ekvationerna. Utnyttja nu att b2 - a2 = (b - a)(b + a) och b3 - a3 = (b - a)(a2 + ab + b2) och dividera den nya andra ekvationen med (b - a), som inte är noll. Gör motsvarande med den nya tredje ekvationen. Drag sedan den så uppkomna andra ekvationen från den nya tredje ekvationen och gör sedan ungefär på samma sätt.

Kjell Elfström


7 december 2000 11.53.07
2.Dela upp vektorn (2,1,3) i komposanter i riktningarna
e1 = (0.707, 0, 0.707)
e2 = (0.707, 0, -0.707)
e3 = ( 0, 1, 0 )
tilwol@hotmail.com

Svar:

Om vi byter ut 0,707 mot 1/21/2 blir e1,e2,e3 en ortonormerad bas. Då gäller för varje vektor u att

u = (u·e1)e1 + (u·e2)e2 + (u·e3)e3.

Eftersom (u·e1) = 5/21/2, (u·e2) = -1/21/2, (u·e3) = 1 blir komposanterna 5/21/2e1 = (5/2,0,5/2), -1/21/2e2 = (-1/2,0,1/2) och e3 = (0,1,0).

Kjell Elfström


6 december 2000 23.34.30
Hej.
Jag undrar hur det kan komma sig att volymen av rotationskroppen som uppstår när kurvan y=1/x roterar kring x-axeln(mellan x=1,oändl) är finit, men arean under kurvan i xy-planet inte är det.
Hälsningar
Lars

Svar:

Se 13 maj 1999 16.22.20.

Kjell Elfström


6 december 2000 17.59.39
hej jag heter koni och går på felings brofollhsskola, och jag har en fråga om vilka planetr man kan se utom jupiter ? och sen undrar jag om man kan resa in i svarta hålet? ni kan melia mig min adres är koni_67@spray.se
koni bijelic

Svar:

Jag uppmanar dig att Fråga astronomen.

Kjell Elfström


6 december 2000 14.52.24
Varför ska vi lära oss matematik?
Mats Enestam

Svar:

Huruvida man skall lära sig matematik är en politisk fråga. Det kan finnas många anledningar till att man vill lära sig matematik. Den lägre matematik som undervisas i skolorna (de fyra räknesätten, procenträkning, areaberäkningar mm) är nog nödvändig för de allra flesta. När det gäller den högre matematiken kan man behöva den i studiet av andra ämnen såsom fysik eller ekonomi eller så kanske man läser den för dess (och sin) egen skull.

Kjell Elfström


6 december 2000 08.04.11
Hur gör man: Bestäm lösningen till differentialekvationen y´´+4y´=24x + 22 för vilken y(0)=4 och y´(0)=4
Erik

Svar:

Se 6 december 2000 08.01.55 för hur man får den allmänna lösningen som summan av en partikulärlösning till ekvationen och den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation. I denna differentialekvation saknas y-termen. När man bestämmer en parikulärlösning y0 måste man därför gå upp ett gradtal och sätta y0 = Ax2 + Bx.

Kjell Elfström


6 december 2000 08.01.55
Hej, jag undrar hur man löser: Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y´´+9y=9x^2+21 sin 4x
Mycket bra sida till stor hjälp!
Maggie

Svar:

Differentialekvationen är lineär av andra ordningen. Om man lyckas finna en enda "partikulärlösning" y0 ges lösningarna av y = y0 + yh där yh är en godtycklig lösning till den homogena ekvationen

L(y) = y'' + 9y = 0.

Typiskt för lineära differentialekvationer är också att om y1 är en lösning till L(y) = h1 och y2 en lösning till L(y) = h2 (samma vänsterled men två olika högerled) så är y1 + y2 en lösning till L(y) = h1 + h2. I detta fall är h1(x) = 9x2 och man kan finna en partikulärlösning y1 genom att göra ansatsen y1 = Ax2 + Bx + C, derivera, sätta in i ekvationen och bestämma koefficienterna A, B och C. y2 kan man finna genom att göra ansatsen y2 = Dcos 4x + Esin 4x. Partikulärlösningen till den ursprungliga ekvationen blir y0 =  y1 +  y2 och den allmänna lösningen till den ursprungliga ekvationen blir y = yh + y1 +  y2.

Kjell Elfström


6 december 2000 07.58.56
Hej, hur löser man: 2x^2-7x+5=0
Edit

Svar:

Man börjar med att dividera med 2 för att få högstagradskoefficienten 1. Ekvationen blir då

x2 - (7/2)x + 5/2 = 0.

Därefter kvadratkompletterar man. Eftersom

(x + a)2 = x2 + 2ax + a2,

så är

x2 + 2ax = (x + a)2 - a2.

Detta ger att

x2 - (7/2)x = (x - 7/4)2 - (-7/4)2 = (x - 7/4)2 - (7/4)2.

Ekvationen kan nu skrivas

(x - 7/4)2 - (7/4)2 + 5/2 = 0 <==> (x - 7/4)2 = (7/4)2 - 5/2 = 9/16.

Det följer att x - 7/4 = ±3/4, av vilket det följer att x = 7/4 ± 3/4, dvs x = 1 eller x = 5/2.

Kjell Elfström


5 december 2000 18.10.07
Hej (igen)! Förra veckan ställde jag en fråga om feluppskattningar vid approximationer av funktioner via kedjebråk och ni bad mig att utveckla. Vad jag menar är till expempel kedjebråksutveklingen
tan(x)=x/(1-x^2/(3-x^2/(5-x^2/(7-x^2/(9-...)))).
Om man hugger av kedjebråket, dvs räknar ut den n:te konvergenten P_n/Q_n för något n, finns det då formler för att uppskatta felet Abs(tan(x)-P_n/Q_n) som en funktion av n och x? Tack på förhand!
Patrik Andersson

Svar:

Vi har följande resultat av Seidel-Stern:

Låt bn vara positiva tal och betrakta kedjebråket

1/(b1 + 1/(b2 + 1/(b3 + ...))).

Om fn är dess n:e approximant (konvergent) så är

f2n - 1 < f2n + 1 < f2n + 2 < f2n,  n = 1,2,3...,

varför f2n och f2n + 1 båda konvergerar (fast kanske inte mot samma värde). Om dessutom summa bn divergerar så konvergerar kedjebråket mot ett ändligt värde f och det gäller att

|f - fn| < |fn - fn - 1|,  n = 2,3,4,...

Nu är inte denna sats direkt tillämplig på tan x. Betrakta i stället kedjebråket

a1z/(1 + a2z/(1 + a3z/(1 + ...))),

där an > 0 och z är ett komplext tal. Antag vidare att kedjebråket konvergerar i området |arg z| < Pi mot en holomorf funktion f(z). Under förutsättning att |arg z| <= Pi/2 gäller, som i den förra satsen, |f(z) - fn(z)| < |fn(z) - fn - 1(z)|.

Med z = -w2, a1 = 1, an = (2n - 3) (2n - 1) då n > 1 konvergerar kedjebråket mot -wtan w och trunkeringsfelet kan uppskattas som i satsen.

Jag kan rekommendera boken Jones, Thron: Continued Fractions, Analytic Theory and Applications, Addison-Wesley 1980.

Kjell Elfström


5 december 2000 16.32.06
vart kan man hitta mycket information om pi (3,14) ??
mvh
robin

Svar:

Se t ex Favorite Mathematical Constants eller The Pi Page.

Kjell Elfström


5 december 2000 14.54.17
Tips ang frågan 30 november 2000 23.59.35:
Någon av G Polyas böcker borde kunna passa frågeställarens önskemål; han har skrivit den välkända "How to solve it" (svensk översättning "Problemlösning") men även flera andra.
Bengt Månsson

Svar:

Tack för tipset. En mycket läsvärd bok.

Kjell Elfström


5 december 2000 13.04.17
Hej!
Jag behöver beskriva avtagande värden med en matematisk funktion. Två alternativ är väl 1/x-funktionen (y=b+a/x) och exponentialfunktionen (b + c*exp(-x/a)). Finns det andra tänkbara funktioner och i så fall vilka??
Jörgen Svensson, Örebro

Svar:

Det finns väldigt många möjligheter. Vilka som kan vara relevanta i sammanhanget beror på vilken fysikalisk eller ekonomisk eller annan modell som förmodas styra de storheter som reperesenteras av dina mätvärden. Därför kan jag tyvärr inte ge något svar.

Kjell Elfström


5 december 2000 11.29.07
Vad är volymen exakt av ett klot som är 5cm i diameter? Jag tror 4/3*pi*r3, är det rätt
Alexander Reneby-L

Svar:

Ja, volymen är (4/3)Pi r3, där r är radien. Arean är 4Pi r2.

Kjell Elfström


5 december 2000 11.07.14
Vad använder man matriser till?
pihlbladnils@hotmail.com

Svar:

Med hjälp av matriser kan man på ett kompakt sätt framställa lineära ekvationssystem. T ex kan ekvationssystemet

11x + 12y + 13z = 1
21x + 22y + 23z = 2
31x + 32y + 33z = 3
skrivas på formen AX = Y, där

    11 12 13
A = 21 22 23
    31 32 33
  
    x
X = y
    z
  
    1
Y = 2
    3

Enkla beteckningar ökar förståelsen av samband som annars skulle ligga fördolda och matrisspråket lämpar sig väl när man studerar ekvationssystem ur teoretisk synvinkel. Lineära avbildningar såsom rotationer, speglingar och projektioner avbildar vektorer på andra vektorer. Om en bas är införd i rummet har varje vektor entydigt bestämda koordinater. Sambandet mellan en vektors koordinater (x1,x2,x3) och dess bildvektors koordinater (y1,y2,y3) kan formuleras med hjälp av matriser. X och Y är då de kolonnmatriser som man får om man ställer koordinattriplerna upp och matrisen A beror dels på vilken avbildningen är, dels på vilken basen är.

Kjell Elfström


5 december 2000 09.44.26
Hur förklarar man att ett negativt tal multiplicerat med ett negativt tal blir posetivt!
Urban

Svar:

I 16 november 2000 10.25.12 redovisas ordningsaxiomen för reella tal. De aritmetiska axiomen finns redovisade i 23 oktober 2000 15.30.10. Om a < 0 och b < 0 följer av ordningsaxiomen att -a > 0 och -b > 0 varför (-a)(-b) > 0. Men av de aritmetiska axiomen följer att ab = (-a)(-b) varför ab > 0. Det måste alltså vara så att produkten av två negativa tal är positiv om de vanliga räknelagarna skall gälla även för negativa tal.

Kjell Elfström


5 december 2000 07.15.28
Hej, kan ni hjälpa mig med ett problem, vad blir och hur ska man räkna ut: (a+(1/a))/a + a/(a+(1/a)) - 2
Edit

Svar:

Sätt

x = (a + 1/a)/a = 1 + 1/a2.

Uttrycket är då

x + 1/x - 2 = (x2 + 1 - 2x)/x = (x - 1)2/x = (1/a2)2/(1 + 1/a2) = 1/(a2(a2 + 1)).

Kjell Elfström


4 december 2000 13.36.53
Hej vi har ett problem med en matte uppgift som ser ut på följande sätt:
Du befinner dig i sibirien, i ett ödsligt område. Det snöar kraftigt och det är så kallt att spotten stelnar till is innan den når marken. Enligt din karta finns det en liten stuga "roten ur 521"=22,82km ifrån dig , dit ska du färdas så fort som möjligt. Du harc beräknat att du bara kan röra dig med hastigheten 25/13 km/h. Som tur är, på tolv km avstånd från ditt nuvarande läge ändrar terängen karraktär drastiskt och du kan då röra dig 3 km/h. Gränsen mellan de båda områdena är rätlinjig och stugan är belägen på 8 km avstånd på den andra sidan av den avgränsande linjen.
Fråga: HUR SKA DU GÅ FÖR ATT NÅ STUGAN SÅ SNABBT SOM MÖJLIGT ? HUR LÅNG TID TAR DIN VANDRING DÅ ?
Vi vet att man ska lösa den med hjälp av en fjärdegrads ekvation som man sedan kan lösa i maple. Men hur får vi ut ekv ?
En undrande student från HIG

Svar:

Låt V vara den punkt vandraren befinner sig i och S punkten där stugan finns. Se figur. Pythagoras sats ger att VV ' = (521 - 202)1/2 = 11. Även a och b fås med hjälp av Pythagoras sats. a = (122 + x2)1/2, b = (82 + (11 - x)2)1/2. Tiden blir

f(x) = 13a/25 + b/3.

Deriverar man detta uttryck får man ett uttryck med två rottecken. I ekvationen f '(x) = 0 kan man flytta över så man får att rotuttryck i vartdera ledet och därefter kvadrera de båda leden. Då får man en fjärdegradsekvation.

Sibirien

Kjell Elfström


3 december 2000 11.09.40
Hallå! Undrar hur man ska ge sig på fölande frågeställning: om man har tio gråa, tio bruna och tio svarta objekt utan att själv ha möjlighet att se detta. Gur många måste man då ta för att vara säker på att få två av samma färg?
Nilsson

Svar:

Om du tar fyra föremål måste minst två föremål ha samma färg.

Adam Jonsson


2 december 2000 23.11.52
Hej. Jag undrar ifall det finns en formel för att räkna ut det här. A. stannar vid punkterna 0, 5,15, 30, 50, 75,105,135,170,210,... dvs + 5,10,15,20,... B. stannar vid punkerna 40,65,95,130,170,215,... dvs + 25,30,35,40,... Punkt 170 är den punkt som båda stannar vid C. stannar vid punkterna 25,75,135,205,285,375,475,585,... dvs + 50,60,70,80,... D. stannar vid punkterna 175,250,350,475,625,... dvs + 75,100,125,150,... Punkt 475 är den punkt som båda stannar vid. Förklara utförligt om hur man räknar (vilken punkt som båda har stannat vid), måste man räkna ut varenda punkt som finns för respektive a,b och c,d ? Ifall du inte vet, kan du hänvisa till någon annan som kan hjälpa mig ?
Anders Karlsson

Svar:

Om jag förstår din fråga rätt så vill du hitta alla gemensamma element för dels talföljderna A och B, och dels för talföljderna C och D. Man inser lätt att talföljderna är kvadratiska. T ex är

an = 5n(n+1)/2
och
bn = 40 + 20n + 5n(n+1)/2.
Vi söker alltså efter alla heltaliga talpar (m,n) så att am = bn. Vi kan skriva om denna likhet till uttrycket
m2 + m = n2 + 9n + 16
eller
m2 + m - n2 - 9n = 16.
Vi kvadratkompletterar och får
(m + 1/2)2 - 1/4 - (n - 9/2)2 + 81/4 = 16.
Multiplicera allt med fyra och skriv om lite så får vi
(2m + 1)2 - (2n + 9)2 = -16.
Med konjugatregeln har vi alltså
(2m + 1 + 2n + 9)(2m + 1 - 2n - 9) = -16,
eller
(m + n + 5)(-m + n + 4) = 4.
Vi får nu sex stycken linjära ekvationssystem som vart och ett är mycket lättlöst, t ex
m + n + 5 = 2
-m + n + 4 = 2
och
m + n + 5 = 1
-m + n + 4 = 4
Löser man dessa finner man samtliga gemensamma element för talföljderna A och B. På samma sätt kan man ta itu med C och D.

Adam Jonsson


2 december 2000 21.29.43
Hur integrerar man e^(x^2)? Jag har försökt med partiell integration men det verkar bara bli rundgång. Anar att variabelsubstitution ärlösningen, men substitution med vad? E^t verkar inte funka något vidare.
Karr-Erland Strand, Halmstad

Svar:

Se 29 november 2000 19.07.00.

Adam Jonsson


2 december 2000 14.51.35
Vi har en funktion f. Om den vet vi följande: f(7)=3 och att för 7 <= x <= 9 så gäller 0,8 <= f'(x) <= 1,2. Hur kan vi då bestämma största möjliga värde för f(9)?
Mattias Zander

Svar:

Vi vet att

f(9) - f(7) = integral[7 till 9] f'(x) dx.
Så med din angivna uppskattning på f'(x) får vi
1,6 = (9-7)*0,8 <= f(9) - 3 <= (9-7)*1,2 = 2,4.

Adam Jonsson


2 december 2000 01.50.16
Hej jag går på LTH och undrar i vilken mattekurs man kan läsa om geometriska kroppar (exempelvis polyedrar och dylikt) i rummet? Det är säkert en flummig fråga men jag är intresserad av former och matematiken bakom dessa former. Jag skulle vilja veta om det är möjligt att läsa någon kurs om detta på LTH eller Universitetet samt vilka förkunskaper dessa kurser kräver. Jag undrar också vilken matematik som Wiles bevis av Fermats stora sats grundar sig på och om det är möjligt att läsa motsvarande sådana kurser på LTH/Universitetet samt vilka förkunskaper dessa kräver. Mycket tacksam för svar! M.v.h. M.v.h.
Fredrik F-00

Svar:

Sådana saker har numera närmast kuriosastatus och är inget som har någon central betydelse i någon kurs (mig veterligen). Men om du är nyfiken så finns en stor och tjusig bok av H. S. M. Coxeter som heter "Regular Complex Polytopes" som är väldigt rolig att bläddra i.
    Förkunskapskravet för att läsa Wiles bevis för Fermats stora sats får sägas vara mycket stort. För att kunna ta hans bevis till sig krävs, förutom en god portion matematisk allmänbildning, att man är en tränad expert i områden som elliptiska kurvor och modulära former. Så mitt tips till dig är att du läser varje kurs du kommer över. Och då menar jag riktiga kurser, inte sådana där halvmesyrer de har på LTH.

Adam Jonsson


1 december 2000 20.15.45
Hur löser man ut L (fullständig lösning önskas) ur ekvationen t=sqrt(2L/g)+L/v?
Martin Johansson

Svar:

Om du kallar roten ur L för en ny variabel s, så övergår din ekvation för L i en andragradsekvation för s, som du säkert kan lösa själv. När man löser ekvationen ska man inte glömma bort att eftersom s är roten ur ett reellt tal måste s vara positivt, så eventuella negativa lösningar måste tas bort.

Adam Jonsson


1 december 2000 18.51.38
För varje positivt heltal n och varje primtal p, gäller att n^p-n är delbart med p. Bevisa detta med induktion, binomialsatsen och utnyttjande av det faktum att (p/k), p primtal, 1 <=k<p, alltid är delbart med p. Förklara varför!
Martin

Svar:

Se 15 november 2000 18.07.28.

Adam Jonsson


1 december 2000 18.46.19
Hur visar man att ett heltal är delbart med 9 om och endast om dess siffersumma(när den skrivs i tio-systemet) är jämt delbar med 9. Ledning: 10=9+1
Leffe

Svar:

Betrakta ett godtyckligt tal x, som vi i tio-systemet skiver som x = ksks-1 ... k1k0. Detta betyder att

x = ks10s + ks-110s-1 + ... + k110 + k0.
Använd ledningen samt binomialsaten för att skriva om summan som
x = 9y + (ks + ... + k0),
för något heltal y. Det följer nu omedelbart att x är delbart med nio om och endast om siffersumman är delbart med nio.

Adam Jonsson


1 december 2000 17.48.55
Skulle ni kunna vara vänliga och ställa upp en funktion för arean av en koch snöflingefraktal i steg n (för valfritt heltal n). Visa gärna också hur ni kommit fram till formeln. MVH
Kristian och Anil

Svar:

Sök på ordet "Koch" på vår söksida.

Adam Jonsson


30 november 2000 23.59.35
Hej jag undrar om ni kan rekommendera någon bok i bevisföring. Jag har redan läst er tidigare rekommenderade bok av Lakatos "Bevis och motbevis" men jag är mer intresserad att utöka mina bevisfärdigheter. Kan ni rekommendera nån bok i allmän bevisföring, hur man bygger upp ett bevis och hur man tacklar dess motbevis. Gärna en bok mer baserad på matematik. Jag är inte tillräckligt nöjd med Lakatos' bok. Vore tacksam för svar.
Christian

Svar:

Jag känner inte till något om detta. En personlig kommentar: Jag tycker att det låter mycket konstlat att bli bra på matematisk bevisföring genom att läsa särskilda böcker om detta. Det naturligaste måste vara att helt enkelt läsa så många matematikböcker man kan.

Adam Jonsson


30 november 2000 13.52.26
I min algebrabok finns följande sats: Låt E vara en enkel utvidgning F(a) av en kropp F, och låt a vara algebraiskt över F. Låt graden av irr(a,F) vara n>=1. Då kan varje element B av E=F(a) unikt utryckas på formen
B = b0 + b1 a + ... + bn-1 an-1
där b finns i F i Har läst tillhörande bevis flera gånger men förstår ej riktigt, finns det någon lättförståelig förklaring till varför B kan uttryckas på detta sätt?
Johanna Eklund

Svar:

Kroppen F(a) konstrueras ur F genom att bilda alla möjliga polynomuttryck i a med koefficienterna tagna ur F:

F(a) = { b0 + b1 a + ... + bs as ; bi tillhör F, s icke-negativt heltal}.
Men eftersom a är algebraiskt över F av en viss grad n så vet vi att det finns ett entydigt bestämt minimalt moniskt polynomuttryck i a som är noll:
an + bn-1an-1 + ... + b0 = 0.
Med hjälp av detta samband kan vi nu uttrycka alla as med s >= n som en summa av termer biai med i < n. Till exempel är ju
an = -bn-1an-1 - ... - b0,
och
an+1 = -bn-1an - ... - b0a
= -bn-1( -bn-1an-1 - ... - b0) - bn-2an-1 - ... - b0a.
Adam Jonsson


30 november 2000 10.06.55
Hejsan! är inte hemma i den här världen men jag ska försöka att ställa frågan så bra som möjligt så att ni förstår mig [;-)] . Vill skära ut en sexkant i plåt och rakt över varje sexkant (alltså längden mittemot varje kant) ska vara 10 cm, hur bred blir varje kant och hur räknar jag ut det?
Mona Sipinen

Svar:

Det här är lite svårt att förklara utan illustration, men jag ska försöka. Dra en linje tvärsöver sexkanten vinkelrätt mot två motstående kanter så att den bildar baslinje för en triangel. Linjen är 10 cm lång och vinklarna i triangeln är 30, 30 och 120 grader. Den sökta kantlängden, låt oss kalla den k, kan nu beräknas med sinussatsen:

sin(120) / 10 = sin(30) / k
det vill säga
k = 10*sin(30) / sin(120) = 10/sqrt(3).

Adam Jonsson


29 november 2000 22.21.22
Hej ! har två frågor om abstrakt algerbra som jag skulle vilja ha hjkälp med . 1) Låt H vara en delgrupp i den addetiva gruppen Z av heltal. Visa att H är cyklisk! 2) Låt S vara en delmängd av elemen i en cyklisk grupp G=[a],och låt T bestå avalla heltal m sådana att a upphöjt i m är i S. Visa att S är en delgrupp i G omm T är en delgrupp i den additiva gruppen Z av heltal. Tack snälla på förhand!
FIA

Svar:

1) Enligt 28 november 2000 12.28.32 är varje delgrupp till en cyklisk grupp också cyklisk, så eftersom Z är cyklisk är också H det.
2) Den här delen följer av väsentligen samma argument som det för att varje delgrupp till en cyklisk grupp är cyklisk. Vi har

G = {a0, a1, a-1, a2, a-2, ... }.
Låt m vara den minsta noll-skilda positiva exponenten som förekommer bland elementen i S, eller, vilket förstås är samma sak, det minsta noll-skilda positiva talet i T. Av argumentet i 28 november 2000 12.28.32 följer att om S är en delgrupp i G så är T en delgrupp av Z. Det omvända påståendet är klart eftersom
am*an = am+n,
så om am och an båda tillhör S så tillhör m och n per definition T, och eftersom T är en grupp måste m+n också tillhöra T. Därför tillhör am*an S, så S är en delmängd av G som är sluten under multiplikation. På samma sätt inser vi att inversen av ett element i S också måste tillhöra S och att enhetselementet tillhör S. S är därför en delgrupp av G.

Adam Jonsson


29 november 2000 19.07.00
vad är den primära funktionen, F(x) , till en given funktion f(x)=e^x2. Går det att lösa?
Åke Jonsson

Svar:

Den funktion du anger är ett exempel på en funktion vars primitiva funktion inte kan uttryckas som en ändlig summa av elementära funktioner. Att visa detta är tyvärr alldeles för omfattande för detta forum. Se 18 november 2000 20.57.55.

Adam Jonsson


29 november 2000 17.48.53
Hejsan! Jag undrar om ni känner till några feluppskattningar för approximationer av funktioner (t.ex ln(x) eller tan(x)) via kedjebråk. Tack på förhand.
Patrik Andersson

Svar:

Kedjebråk ger väldigt goda rationella approximationer av icke-rationella tal, men jag har aldrig hört talas om att approximera funktioner med hjälp av kedjebråk. Du är mycket välkommen att komplettera din frågeställning.

Adam Jonsson


28 november 2000 20.49.17
Hej jag har ett problem som jag väldigt gärna vill ha hjälp med. I en cylindrisk behållare så är det ett cirkulärt hål längst ner. Hur ser formeln som talar om när allt vatten har runnit ut ur behållaren ut. Tack på förhand
Michael Johansson

Svar:

Det beror på vilken fysikalisk modell du använder. En vanlig modell är att vattnet lämnar behållaren med en hastighet som är propotionell mot roten ur vätskehöjden. Låt oss kalla volymen  vatten i behållaren vid en tidpunkt t för v(t), och vidare vätskehöjden för h(t). Enligt den fysikaliska modellen finns en konstant c så att

v'(t) = -c sqrt(h(t)).
Eftersom behållaren är cylindrinsk gäller
v(t) = pi*r2*h(t),
där r förstås är radien. Vi får alltså följande differentialekvation för v(t):
v'(t) = -c/sqrt(pi*r2)*sqrt(v(t)) = -k*sqrt(h(t)).
Den löser vi genom separation av variablerna:
v'(t)/sqrt(v(t)) = -k,
vilket vi integrerar till
2*sqrt(v(t)) = -kt + a,
där a är en ny okänd konstant. Avslutningsvis har vi alltså visat att
v(t) = (-kt + a)2 / 4.

Adam Jonsson


28 november 2000 12.28.32
hej! behöver akut hjälp med en bevisning. Låt (G, ') vara en cyclisk grupp.(under multiplikation),H<G är en delgrupp.( G kan vara både oändligt,och ändligt,båda fallen ska visas) Visa att H är cyklisk! Tack för all hjälp ni ställer upp med!
A-S.P

Svar:

Eftersom G är cyklisk kan alla dess element skrivas med hjälp av potenser av en generator som vi kan kalla a:

G = {a0, a1, a-1, a2, a-2, ... }
Låt m vara den minsta positiva nollskilda exponenten som förekommer i delgruppen H. Exponenten av ett godtyckligt element i H kan nu skrivas n = qm + r, där 0 <= r < m, enligt den vanliga divisionsalgoritmen. Om divisionsresten r inte är noll så betyder det att an*(am)-q = ar tillhör H. Men 0 < r < m vilket motsäger m:s definition. Alla elementen som förekommer i delgruppen har därför formen (am)q och H är därför cyklisk.

Adam Jonsson


28 november 2000 00.25.54
Hej! Sitter o försöker förstå mig på integraler av typen:integral x2 * roten_ur(1 - x2) dxSka man ersätta nånvariabel eller hur ska man gå till väga...skulle uppskatta detväldigt mycket om ni ville visa mig hur man beräknarintegralenovan.
Vilse i Integralen

Svar:

Se 20 november 2000 23.31.25.

Adam Jonsson


27 november 2000 20.40.46
Hur definierar man talet e?
Henrik B.

Svar:

Ett vanligt sätt att definiera talet e på är att säga att det ska vara lika med följande gränsvärde:

e = limn går mot o.ä.(1 + 1/n)n.
Adam Jonsson


27 november 2000 16.19.31
Intgrera: (4x2 *e^-x)
pia

Svar:

Ledning: Använd partialintegration.

Adam Jonsson


27 november 2000 11.15.55
Hej Lundare.Jag studerar på KTH och läste följande problem i en matematiktidsskriftjag fått av en professor i matematik på NTNUI (Trondheim) som ären god vän till mig. Jag har försökt lösa det på ett liteförenklat sätt i Matlab men inte kommit till något vettigt resultat.Om ni kanske kunde hjälpa mig med att ge tips om vilken algoritm och vilkettankesätt man ska nyttja sig av så vore det till stor hjälp.Vi har serveringsbord som är 80 cm breda som ska rullas från ett rum tillett annat genom en korridor. Korridoren i rummet man kommer från är 120cm bred och rummet man ska till har en korridor på 180 cm. Vinkeln mellan debåda korridorerna är 80, 90 respektive 100 grader i tre olika fall. Hurlångt får bordet vara i de olika fallen?(Utökad frågeställning: Vad blir den maximala bordsarean om man kantänka sig en annan bredd på bordet? Gyllenesnittmaximering har jag kommitfram till att det kan vara en gångbar metod.)Nåja. Jag pysslar vidare men är tacksam för hjälp.
Cramer

Svar:

Läs svaret till 27 oktober 2000 00.19.43. I denna fråga är "bordet" oändligt smalt och korridorerna möts i rät vinkel, så problemet är enklare ditt, men viss vägledning vad gäller metodik kan du säkert få.

Adam Jonsson


26 november 2000 21.54.48
Hej. I en fråga den 27 januari 1999 angående den logistiska tillväxtmodellen uppkom följande integral i svaret "integralen 1/p(10-p)dp = integralen k dt eller 1/10logp/(10-p) = kt + C" Hur integrerade ni 1/p(10-p)dp så att ni fick svaret 1/10logp/(10-p)?
David Grimfors

Svar:

Man gör en enkel partialbråksuppdelning: 1/(p(10-p))=(1/p+1/(10-p))/10. Sedan använder man bara logaritmlagarna.

Martin Svensson.


25 november 2000 14.01.55
Hej fråga Lund! Jag har ett problem som jag funderar på. Antag att u,v och u^2+v^2 är harmoniska. Visa att u och v är konstanta. Hur tacklar man detta problem ? Vore jätte tacksam för svar.
Henke

Svar:

För två funktioner f och g gäller som man lätt ser att Laplace(fg)=fLaplace(g)+gLaplace(f)+2<grad(f),grad(g)>. Eftersom Laplace(u)=Laplace(v)=0 blir därför  0=Laplace(u2+v2)=2|grad(u)|2+2|grad(v)|2. Detta är möjligt om och endast om grad(u)=grad(v)=0, dvs om och endast om u och v är konstanta.

Martin Svensson.


25 november 2000 12.16.19
Om summan av två tal är a, blir som bekant produkten störst, om båda talen är a/2. Hur bevisar man enklast att produkten av tre tal är störst om vardera talet är a/3. Kan man utgå från beviset för två tal och sedan bygga på med det tredje talet?
Produktinformation

Svar:

Visst kan man visa detta genom att använda att för två tal a och b större än eller lika med noll gäller ab<=(a2+b2)/2 med likhet då och endast då a=b. Antag att a, b och c är tre tal större än eller lika med noll. Då är ju 3abc=abc+abc+abc<=c(a2+b2)/2+b(a2+c2)/2+a(b2+c2)/2 med likhet då och endast då a=b=c.

Martin Svensson.


24 november 2000 09.53.51
Hej! Jag återknyter till min fråga från 14 november 2000 10.44.26. Enligt Dina anvisningar får jag extrempunkten a = 1/3 men enligt lärobokens facit ska svaret vara P= ( 1, 1/2). Vad har jag missat?
Mattias

Svar:

Tyvärr fattades det en kvadrat på a i täljaren till g(a). Detta har nu rättats till och ditt facit stämmer.

Martin Svensson.


23 november 2000 20.03.59
Hur kom man på talet e? Skulle gärna vilja veta lite om bakgrund och uppkomst; när, vem, hur mm. Tack på förhand.
Caroline Krasse

Svar:

Man brukar tillskriva Napier (1550-1617) upptäckten av den naturliga logaritmen. Om du klickar här kan du läsa om honom och hans verk. Talet e infördes dock först av Euler (1707-1783) och om detta kan du läsa här.

Martin Svensson.


23 november 2000 17.22.12
Om man ska bevisa herons formel, och vet att A= roten ur (s(s-a)(s-b)(s-c)) och att s=(a+b+c)/2, har ni ett litet tips till hur man ska börja?
Karin

Svar:

Herons formel säger just detta: en triangel med sidorna a, b och c har arean  A=roten ur(s(s-a)(s-b)(s-c)), där s=(a+b+c)/2 och a, b och c också betecknar längden av respektive sida. För att bevisa den kan man börja med att välja ut en sida i triangeln så att höjden som utgår från den ligger helt inom triangeln. Antag att a är en sådan sida och dra motsvarande höjd från a. Höjdens utgångspunkt i a delar a i två delar som är av längd x respektive x-a. Antag till exempel att delen av längd x ligger på samma sida om höjden som sidan b. Då är höjden i kvadrat enligt Pytagoras sats lika med b2-x2 och c2-(a-x)2. Alltså är dessa två uttryck lika med varandra: b2-x2=c2-(a-x)2, vilket efter förenkling ger att 2ax=b2+a2-c2. Man kan sedan sedan skriva 16A2=16(ah/2)2=4a2(b2-x2)=(2ab-2ax)(2ab+2ax). Substiturera nu uttrycket för 2ax och fortsätt förenkla genom att åter använda konjugatregeln, så kommer du snart fram till det önskade resultatet.

Martin Svensson.


23 november 2000 10.50.27
Är funktionen deriverbar i punkten 0? a) g(x)=(x, då talet x är rationellt (0, då talet x är irrationellt b) h(x)=(x^2, då talet x är rationellt (0, då talet x är irrationellt Hur går man tillväga???
Ralf Palmgren

Svar:

Här får man gå tillbaka till definitionen av deriverbarhet. Eftersom g(0)=0 ska vi undersöka om g(x)/x har ett gränsvärde då x går mot noll. Men vi kan ta en följd xn av rationella tal som går mot noll då n går mot oändligheten, i vart fall g(xn)/xn=1 för alla n, så gränsvärdet blir i detta fall 1. Men tar vi en följd xn av irrationella tal som går mot noll då n går mot oändligheten får vi att g(xn)/xn=0 för alla n. Gränsvärdet blir i detta fall 0. Detta visar att kvoten g(x)/x inte kan ha ett gränsvärde då x går mot noll, så g(x) är inte deriverbar i punkten x=0. För h(x) däremot existerar gränsvärdet av h(x)/x då x går mot noll och är lika med noll. Man kan till exempel observera att |h(x)/x|<=|x|. Alltså är h(x) deriverbar deriverbar i punkten x=0 och har där derivatan 0.

Martin Svensson.


22 november 2000 23.36.02
Hej Lund! Hur bestämmer jag den primitiva funktionen till integral[ 1/(1+ x^2)arctanxd(x)] = arctanxarctanx - integral[arctanx*Darctanxd(x)] vilket leder till regression borde jag sätta in -F(x) mot slutet ?
Björn.P

Svar:

Jag tycker att du gör helt rätt: det sista uttrycket i högerledet är ju samma integral som står i vänsterledet men med minustecken. Flytta över detta till vänsterledet så får du efter division med 2 att integral(1/1+x2).arctan(x))dx=(arctan(x))2/2+C, där C är en godtycklig konstant.

Martin Svensson.


22 november 2000 22.11.27
Vad behöver man kunna för matematik för att förstå den allmänna relativitetsteorin?
Richard Birgersson

Svar:

Man brukar säga att differentialgeometri och vektoranalys är nödvändiga verktyg för att kunna sätta sig in i den allmänna relativitetsteorin. Det beror naturligtvis på hur djupt man vill gå och vilken framställning man följer.

Martin Svensson.


22 november 2000 20.07.41
Hej. Jag undrar om någon vet var jag kan hitta någon samling eller bok som enbart behandlar bevis inom matematiken.
Niclas

Svar:

En klassiker om bevis inom matematiken är Imre Lakatos bok "Bevis och motbevis: matematikska upptäckters logik" ("Proofs and refutations"). Den brukar finnas på större bibliotek.

Martin Svensson.


22 november 2000 18.57.49
Hur beräknas volymen på en liggande cylinder?
Martin

Svar:

Volymen är tvärsnittsarean gånger längden av cylindern. Om radien för tvärsnittet är r så blir alltså volymen lika med pi.r2.(längden av cylindern).

Martin Svensson.


22 november 2000 13.51.19
Hej! Jag undrar om det finns någon bok där alla matteformler och dess härledningar finns. Om det finns, är den på svenska eller. M V H Mange
Mange

Svar:

Förhoppningsvis är all matematik ännu inte upptäckt, i så fall blir jag arbetslös.

Martin Svensson.


21 november 2000 20.19.47
Jag har sökt på denna fråga men hittar inte något svar. Hur räknar man ut vinkeln mellan två punkter i ett plan (x1,y1-x2,y2) Jag skulle uppskatta ett svar eftersom jag har letat efter en lösning i VÄLDIGT många matteböcker. Jag behöver det i ett dataprogram.
Martin Nordholts ("MAG" online :)

Svar:

Man brukar definiera cosinus för vinkeln mellan två vektorer som skalärprodukten av dessa vektorer delat på produkten av deras normer. Om koordinaterna är givna med avseende på ett ortonormerat koordinatsystem är alltså cosinus för vinkeln lika med (x1y1+x2y2)/(roten ur (x12+x22).roten ur (y12+y22)).

Martin Svensson.


21 november 2000 15.06.55
Hej! Jag undrar om ni skulle kunna hjälpa mig lösa följande: Heltal mellan 1 och 25 är godtyckligt placerade i en "rektangel" med fem rader och fem kolumner. Den största medlemmen i varje rad väljs ut och av dessa väljs den minsta medlemmen s ut. Ur varje kolumn väljs den minsta medlemmen ut och av dessa väljs sedan den största medelmmen t ut. Hur kan man visa att s>=t?
Linda

Svar:

Det är helt enkelt så att för alla i och j mellan 1 och 5 gäller: "det största elementet på rad i" >= "elementet på rad i och kolumn j" >= "det minsta elementet på kolumn j". Speciellt gäller det för de värden på i och j där s respektive t antas.

Martin Svensson.


21 november 2000 09.31.03
Hej Hur räknar man ut radien på en cirkel innesluten i en fjärdedels cirkel med radien R? Tack på förhand/Oskar

Svar:

Om vi antar att vi sätter ett koordinatsystem med origo i den stora cirkelns mitt, skriv in den lilla cirkeln i den första kvadranten. Dra en radie till den stora cirkeln genom den lilla cirkelns mitt. Denna radie är alltså av längd R och den gör vinkeln pi/4 med x-axeln. Dra dessutom en radie till den lilla cirkeln rakt ner till x-axeln. Om den lilla cirkeln har radie r, så ser vi alltså att avståndet från den stora cirkelns mitt till den lilla cirkelns mitt är r/sin(pi/4)=r.(roten ur 2). Den återstående biten av den stora radien har längden r, och alltså, eftersom summan av dessa två sträckor är R, måste r.(roten ur 2)+r=R, dvs r=R/(1+roten ur 2).

Martin Svensson.


20 november 2000 23.31.25
Hur löser jag den primitiva funktionen Integral x^2 roten ur 1-x^2 dx
Annika

Svar:

Ett elementärt sätt är som följer. Först gör vi en omskrivning: f(x)=x2(1-x2)1/2=(1-x2)1/2-(1-x2)3/2. Sedan partialintegrerar vi den andra termen och återfår då den primitiva funktionen till f(x):

integral(f(x))dx=integral((1-x2)1/2)dx-integral((1-x2)3/2)dx=integral((1-x2)1/2)dx-x(1-x2)3/2-3integral(f(x))dx.

Alltså är integral(f(x))dx=integral((1-x2)1/2)dx/4-x(1-x2)3/2/4. Sedan gör vi följande omskrivning av den återsående integranden: g(x)=(1-x2)1/2=1/(1-x2)1/2-x2/(1-x2)1/2. Som ovan återfår vi g(x) genom att partialintegrera sista termen:

integral(g(x))dx=integral(1/(1-x2)1/2)dx-integral(x2/(1-x2)1/2)dx=arcsin(x)+x(1-x2)1/2-integral(g(x))dx,

så att integral(g(x))dx=arcsin(x)/2+x(1-x2)1/2/2. Insätting av detta ger då att

integral(f(x))dx=integral(g(x))dx/4-x(1-x2)3/2/4=arcsin(x)/8+x(1-x2)1/2/8-x(1-x2)3/2/4+C,

där C är en godtycklig konstant. Ett sätt som använder variabelsubstitution är beskrivet på 16 november 11.52.39.

Martin Svensson.


20 november 2000 17.52.28
Hej Ang fråga (18 Nov 20.25.10) om program som tar fram kurvan och dess formel. Det finns ett program som heter CurveExpert som kan interpolera(?) till en hel drös med funktioner. Ganska litet är det också att hämta hem. Kolla länken: http://www.ebicom.net/~dhyams/cvxpt.htm Kanske till glädje för någon!
T. Mattsson

Svar:

Tack för tipset.

Martin Svensson.


20 november 2000 16.35.55
Hej, jag skulle vilja ha hjålp med följande problem i linjär algebra: Låt M vara ett underrum till P4. M definieras på följande sätt: Polynomet p(x) tillhör M om och endast om p(1)+p(-1)=0 pch p(2)+p(-2)=0. Bestämm dim M samt ange en bas i M. Jag vet inte hur man ska tolka tex p(1)+p(-1)=0 och vad det har för smaband med att ta reda på dimensionen för M. Hoppas att ni kan hjälpa mig förstå. tack på förhand Elizabeth P.L.

Svar:

Vi kan skriva ett godtyckligt element p(x) i P4 som p(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4. Ekvationen p(1)+p(-1)=0 betyder att a0+a1+a2+a3+a4+a0-a1+a2-a3+a4=0, dvs att a0+a2+a4=0. På samma sätt betyder ekvationen p(2)+p(-2)=0 att a0+4a2+16a4=0. Rummet M består alltså av alla polynom p(x) där koefficienterna uppfyller dessa båda ekvationer. Genom att subtrahera den första ekvationen från den andra får vi alltså systemet

a0+a2+a4=0
   a2+5a4=0.

Vi kan införa parametrar s=a1, t=a3, u=a4. Då blir a2=-5u enligt den andra ekvationen och a0=4u enligt den första. Alltså måste gälla för p(x) i M att vi för några värden på s, t och u kan skriva p(x)=4u+sx-5ux2+tx3+ux4=u(4-5x2+x4)+sx+tx3. De tre polynomen 4-5x2+x4, x och x3 utgör alltså en bas för M som därmed är av dimension tre.

Martin Svensson.


20 november 2000 14.00.24
Hej det skulle vara jättesnällt av er om ni kunde hjälpa mig att lösa denna primitiva funktion.Se^(1-sinxcosx)* cos^(3)*2xdx. S= integraltecken och cos är upphöjt till 3. som tex cos2x. MVH Leo
LEO

Svar:

Skriv först om sinxcosx=sin2x/2 och använde sedan att -e(1-sin2x/2) är en primitiv funktion till e(1-sin2x/2)cos2x.  Den sökta primitiva funktionen får vi nu genom att partilalintegrera tre gånger:

integral(e(1-sin2x/2)cos32x)dx=integral(e(1-sin2x/2)cos2x.cos22x)dx
=-e(1-sin2x/2)cos22x-4.integral(e(1-sin2x/2)cos2x.sin2x)dx
=-e(1-sin2x/2)cos22x-4(-e(1-sin2x/2)sin2x+2.integral(e(1-sin2x/2)cos2x)dx))
=-e(1-sin2x/2)cos22x+4e(1-sin2x/2)sin2x+8e(1-sin2x/2)+C,

där C är en godtycklig konstant.

Martin Svensson.


20 november 2000 12.14.33
Bestäm med en sekunds noggranhet den tidpunkt mellan klockan 10 och klockan 11 då minut- och timvisaren är på varandra.

Svar:

Om vi börjar räkningen då klockan är på 10.00 kommer efter t minuter timvisaren att stå på 50+t/12 minuter. Alltså ska vid den aktuella tidpunkten  t=50+t/12, dvs  t=12.50/11 minuter,  så det tar ungefär 54 minuter och 32 sekunder.

Martin Svensson.


20 november 2000 12.13.21
Då kilopriset för jordgubbar steg med 6sek, blev man tvungen att betala 15sek mer för en 7,5kg ask med än för en 10 kg ask före höjningen. Vilket är det nya kilopriset?

Svar:

Om x är det nya kilopriset så kostar efter höjningen 7,5 kilo jordgubbar 7,5.x  kronor. Före höjningen kostade 10 kilo 10.(x-6) kronor och alltså ska det gälla att

7,5.x=10.(x-6)+15.
Nu kan du säkert själv räkna ut vad x ska vara.

Martin Svensson.


19 november 2000 23.31.14
Hallå!!! Jag undrar hur jag på ett snyggt sätt ska kunna skriva derivatan till en funktion av typen:
f(x)=arctan(x/(4+11x))+arctan((2+5x)/(2+6x)), x> eller lika 0.
Har suttit och räknat för hand, men tappar bara bort mig i jättelånga och krångliga bråk. Jag testade därför att derivera med Maple ex:
f := -> arctan(x/(4+11*x))+arctan((2+5*x)/(2+6*x);
D(f);
Detta ger dock inte alls något snyggt svar. Vilken lösningsmetod ska jag använda när jag sitter med papper & penna i hand? Tacksam för svar
Peter

Svar:

f :=x-> arctan(x/(4+11*x))+arctan((2+5*x)/(2+6*x));
simplify(D(f)(x));

gav svaret 0 som i alla fall är kort. Man får nog finna sig i att räkningar för hand stundom är ganska långa och komplicerade. I detta problem tyckte jag nog ändå att det var överkomligt att bara räkna på. Ett råd är att vänta så länge som möjligt med att utföra multiplikationer.

f '(x) = (1/(1 + x2/(4 + 11x)2))(4 + 11x - 11x)/(4 + 11x)2
+ (1/(1 + (2 + 5x)2/(2 + 6x)2))(5(2 + 6x) - 6(2 + 5x))/(2 + 6x)2
= 4/((4 + 11x)2 + x2) + (-2)/((2 + 6x)2 + (2 + 5x)2)
= 4/(16 + 88x +122x2) - 2/(8 + 44x + 61x2) = 0.

Kjell Elfström


19 november 2000 11.36.17
Vad är 2 upphöjt med 100? Hur räknar man ut det? Fick denna uppgift på ett prov men kunde inte räkna ut det.
Deborah

Svar:

Man multiplicerar hundra tvåor och får 1267650600228229401496703205376. Man kan också göra det litet bekvämare för sig. Vet man vad a = 250 är får man svaret som a2. För att beräkna 250 kan man utnyttja att 250 = (225)2. 225 kan beräknas som 212·213 = 4096·8192.

Kjell Elfström


19 november 2000 09.31.13
Hur får man fram svaret på
20+x/8+x=0,6
Kim 8a

Svar:

Man börjar med att subtrahera 20 från de båda leden för att få x-termerna på en sida och konstanterna på den andra sidan likhetstecknet. Då får man

x/8 + x = 0,6 - 20.

Därefter förenklar man. Vänsterledet är 9x/8 och högerledet är 3/5 - 20 = -97/5. Den nya ekvationen blir

(9/8)x = -97/5.

Därefter dividerar man båda leden med 9/8, för att få x ensamt i vänsterledet och får svaret x = (-97/5)(8/9) = -776/45.

Kjell Elfström


19 november 2000 00.30.52
Hej. Jag undrar helt enkelt hur många poäng ni genier har som svarar på mattefrågorna.
Robert

Svar:

Det varierar, men de flesta är doktorander och sådana har minst 80 poäng i matematik (om det var det du frågade efter).

Kjell Elfström


19 november 2000 00.23.19
Hej Fråga Lund.Mitt problem är följande: En kvadrat med sidan 10 cm, man skalar av hörnorna så det blir en åttahörning med lika stora sidor. Vad blir den nya arean. Jag går basåret så talet ska räknas utan miniräknare. Till sist: Är det sant att om man läser t ex Mat-Nat så får man inte ha miniräknare.
Johan

Svar:

De hörn som tas bort är rätvinkliga likbenta trianglar. Antag att kateterna har längden x och hypotenusan längden y. Då kommer varje sida i åttahörningen att ha längden y. Pythagoras sats ger att y2 = 2x2. Vidare är sidan i den ursprungliga kvadraten 2x + y = 10. Lös ut y ur den senare ekvationen och sätt in i den förra och lös ut x ur den så uppkomna andragradsekvationen. Arean av var och en av trianglarna är x2/2 och den sökta arean är 100 - 2x2.

I våra matematikkurser studeras matematiken ur teoretisk synvinkel. De uppgifter som ges är till för att exemplifiera matematiska resonemang. Uppgifterna är därför anpassade för att ge enkla räkningar varför det inte finns något behov av miniräknare. Man får inte använda miniräknare på en tentamen.

Kjell Elfström


18 november 2000 23.39.25
vi undrar vad som bestämmer om man ska sätta på eller i före ort eller stadsdel. Man säger ju tex i Stockholm och på Östermalm
Britta och Elin

Svar:

Detta är ingen matematisk fråga.

Kjell Elfström


18 november 2000 20.57.55
Hej! Tack för att denna sida finns! Skulle Ni kunna rekommendera mig en bok(publikation?) som presenterar metoder med vilka man bevisar att vissa primitiva funktioner inte kan uttryckas i de elementära funktionerna (t ex integralen av e^(x^2) ) Tack på förhand, hälsningar
Timous.

Svar:

Se Non-Elementary Antiderivatives.

Kjell Elfström


18 november 2000 20.25.10
Hej jag letar efter ett enkelt program där man kan stoppa in x och y värden och där programmet tar fram kurvan samt formeln för detta.
Tommy andersson

Svar:

Jag antar att du har en uppsättning punkter och vill finna ekvationen y = f(x) för en kurva, som dessa punkter ligger på. Något sådant program tror jag inte finns. En anledning är att kurvan inte är entydigt bestämd av punkterna. En vanlig situation är att punkterna är mätvärden och att man har skäl att tro att det finns ett samband y = f(x), där fuktionen f är av ett visst slag. Förväntar man sig att punkterna ligger på en rät linje är f på formen f(x) = ax + b. Det gäller då att bestämma den funktion av detta slag som gör att kurvan i någon mening ansluter så bra som möjligt till mätvärdena, som ju kan vara behäftade med felaktigheter. Är modellen lineär skall man alltså bestämma parametrarna a och b. En metod för att göra detta är minsta-kvadratmetoden. Denna finns oftast implementerad i vanliga kalkylprogram, liksom i en hel del matematikprogram såsom t ex Maple.

Kjell Elfström


18 november 2000 19.49.55
Hur beräknas följande integral enklast:
int(0,oä){2*lambda*x^2*e^(-lambda*x^2)?
Svaret bör bli 1/2*sqrt(pi/lambda) i alla fall.
Magnus Karlsson

Svar:

Betrakta integranden som produkten av -x och -2lambda xexp(-lambda x2) och integrera partiellt. Man får då integralen av exp(-lambda x2). Sätt nu x = t/lambda1/2. Man får integralen från 0 till oo av (lambda-1/2)exp(-t2). Genom att utnyttja att integralen från -oo till oo av exp(-t2) är pi1/2, vilket bör vara bekant, får vi det önskade svaret.

Kjell Elfström


17 november 2000 20.30.48
Hur gör man för att integrera cos^2(x)?
Conrad

Svar:

Man skriver om cos2x som (cos 2x + 1)/2.

Kjell Elfström


17 november 2000 16.59.19
hur lyder fortsättningen pa följande talföljd, och varför?
1) 24,17,8,1,25,32,6,16,28,29,12,13,21,20,5,4
2) 22,19,9,3,27,30,11,14,26,31,10,15,23,18,7,2
3) ?
david@die-gestalten.de

Svar:

Jag överlämnar med varm hand problemet till läsarna som är välkomna med lösningsförslag.

Kjell Elfström


17 november 2000 15.32.32
Hej
Går det att få en enkel förklaring över skillnaden mellan en permutation och en kombination?
Annica Persson

Svar:

I permutationer har ordningen mellan elementen betydelse, till skillnad mot i kombinationer. Permutationerna av två element ur mängden {1,2,3,4} är (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3) medan kombinationerna med två element ur samma mängd är {1,2}, {1,3} {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}. Kombinationerna {1,2} och {2,1} är alltså lika medan permutationerna (1,2) och (2,1) är olika.

Kjell Elfström


17 november 2000 14.50.52
Har börjat läsa lite topologi på egen hand men jag lyckas inte reda ut vad som ens menas med definitionen av ett topologiskt rum. Vad är innebörden av definitionen som en mängd tillsammans med en samling av delmängder som kallas öppna mängder? Vad då kallas öppna mängder? Definierar topologin vad som är öppna mängder, eller? Skulle behöva reda ut definitionen och få någon liten motivering till definitionen och dess betydelse.
Tremod

Svar:

Ett topologiskt rum är en icke-tom mängd X och en mängd S bestående av delmängder till X som är sådan att tomma mängden och X och unionen av en uppsättning mängder i S och snittet av en ändlig uppsättning mängder i S är mängder i S. En funktion f från ett topologiskt rum (X,S) till ett annat (Y,T) kallas kontinuerlig om f -1(Z) tillhör S för varje Z i T. f -1(Z) betecknar mängden av alla x i X, sådana att f(x) tillhör Z.

Ett exempel är (X,S) där X är mängden av reella tal och S är mängden av öppna mängder (dvs mängder som är sådana att kring varje punkt x i mängden finns ett intervall (x - d,x + d), d > 0 helt innehållet i mängden). Kontinuitet har i detta topologiska rum den betydelse vi är vana vid.

Mängderna i S kallas allmänt för de öppna mängderna även i andra topologiska rum. Ett extremfall är ett topologiskt rum där de öppna mängderna i S är alla delmängder till X. Alla funktioner från detta rum till ett annat blir här kontinuerliga. Ett annat extremfall är (Y,T) där T bara består av tomma mängden och Y. Alla funktioner från ett topologiskt rum till Y är kontinuerliga.

Kjell Elfström


19600 frågor av sammanlagt 20028 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)