Fråga Lund om matematik

Sökresultat


20 november 2000 12.14.33
Bestäm med en sekunds noggranhet den tidpunkt mellan klockan 10 och klockan 11 då minut- och timvisaren är på varandra.

Svar:

Om vi börjar räkningen då klockan är på 10.00 kommer efter t minuter timvisaren att stå på 50+t/12 minuter. Alltså ska vid den aktuella tidpunkten  t=50+t/12, dvs  t=12.50/11 minuter,  så det tar ungefär 54 minuter och 32 sekunder.

Martin Svensson.


20 november 2000 12.13.21
Då kilopriset för jordgubbar steg med 6sek, blev man tvungen att betala 15sek mer för en 7,5kg ask med än för en 10 kg ask före höjningen. Vilket är det nya kilopriset?

Svar:

Om x är det nya kilopriset så kostar efter höjningen 7,5 kilo jordgubbar 7,5.x  kronor. Före höjningen kostade 10 kilo 10.(x-6) kronor och alltså ska det gälla att

7,5.x=10.(x-6)+15.
Nu kan du säkert själv räkna ut vad x ska vara.

Martin Svensson.


19 november 2000 23.31.14
Hallå!!! Jag undrar hur jag på ett snyggt sätt ska kunna skriva derivatan till en funktion av typen:
f(x)=arctan(x/(4+11x))+arctan((2+5x)/(2+6x)), x> eller lika 0.
Har suttit och räknat för hand, men tappar bara bort mig i jättelånga och krångliga bråk. Jag testade därför att derivera med Maple ex:
f := -> arctan(x/(4+11*x))+arctan((2+5*x)/(2+6*x);
D(f);
Detta ger dock inte alls något snyggt svar. Vilken lösningsmetod ska jag använda när jag sitter med papper & penna i hand? Tacksam för svar
Peter

Svar:

f :=x-> arctan(x/(4+11*x))+arctan((2+5*x)/(2+6*x));
simplify(D(f)(x));

gav svaret 0 som i alla fall är kort. Man får nog finna sig i att räkningar för hand stundom är ganska långa och komplicerade. I detta problem tyckte jag nog ändå att det var överkomligt att bara räkna på. Ett råd är att vänta så länge som möjligt med att utföra multiplikationer.

f '(x) = (1/(1 + x2/(4 + 11x)2))(4 + 11x - 11x)/(4 + 11x)2
+ (1/(1 + (2 + 5x)2/(2 + 6x)2))(5(2 + 6x) - 6(2 + 5x))/(2 + 6x)2
= 4/((4 + 11x)2 + x2) + (-2)/((2 + 6x)2 + (2 + 5x)2)
= 4/(16 + 88x +122x2) - 2/(8 + 44x + 61x2) = 0.

Kjell Elfström


19 november 2000 11.36.17
Vad är 2 upphöjt med 100? Hur räknar man ut det? Fick denna uppgift på ett prov men kunde inte räkna ut det.
Deborah

Svar:

Man multiplicerar hundra tvåor och får 1267650600228229401496703205376. Man kan också göra det litet bekvämare för sig. Vet man vad a = 250 är får man svaret som a2. För att beräkna 250 kan man utnyttja att 250 = (225)2. 225 kan beräknas som 212·213 = 4096·8192.

Kjell Elfström


19 november 2000 09.31.13
Hur får man fram svaret på
20+x/8+x=0,6
Kim 8a

Svar:

Man börjar med att subtrahera 20 från de båda leden för att få x-termerna på en sida och konstanterna på den andra sidan likhetstecknet. Då får man

x/8 + x = 0,6 - 20.

Därefter förenklar man. Vänsterledet är 9x/8 och högerledet är 3/5 - 20 = -97/5. Den nya ekvationen blir

(9/8)x = -97/5.

Därefter dividerar man båda leden med 9/8, för att få x ensamt i vänsterledet och får svaret x = (-97/5)(8/9) = -776/45.

Kjell Elfström


19 november 2000 00.30.52
Hej. Jag undrar helt enkelt hur många poäng ni genier har som svarar på mattefrågorna.
Robert

Svar:

Det varierar, men de flesta är doktorander och sådana har minst 80 poäng i matematik (om det var det du frågade efter).

Kjell Elfström


19 november 2000 00.23.19
Hej Fråga Lund.Mitt problem är följande: En kvadrat med sidan 10 cm, man skalar av hörnorna så det blir en åttahörning med lika stora sidor. Vad blir den nya arean. Jag går basåret så talet ska räknas utan miniräknare. Till sist: Är det sant att om man läser t ex Mat-Nat så får man inte ha miniräknare.
Johan

Svar:

De hörn som tas bort är rätvinkliga likbenta trianglar. Antag att kateterna har längden x och hypotenusan längden y. Då kommer varje sida i åttahörningen att ha längden y. Pythagoras sats ger att y2 = 2x2. Vidare är sidan i den ursprungliga kvadraten 2x + y = 10. Lös ut y ur den senare ekvationen och sätt in i den förra och lös ut x ur den så uppkomna andragradsekvationen. Arean av var och en av trianglarna är x2/2 och den sökta arean är 100 - 2x2.

I våra matematikkurser studeras matematiken ur teoretisk synvinkel. De uppgifter som ges är till för att exemplifiera matematiska resonemang. Uppgifterna är därför anpassade för att ge enkla räkningar varför det inte finns något behov av miniräknare. Man får inte använda miniräknare på en tentamen.

Kjell Elfström


18 november 2000 23.39.25
vi undrar vad som bestämmer om man ska sätta på eller i före ort eller stadsdel. Man säger ju tex i Stockholm och på Östermalm
Britta och Elin

Svar:

Detta är ingen matematisk fråga.

Kjell Elfström


18 november 2000 20.57.55
Hej! Tack för att denna sida finns! Skulle Ni kunna rekommendera mig en bok(publikation?) som presenterar metoder med vilka man bevisar att vissa primitiva funktioner inte kan uttryckas i de elementära funktionerna (t ex integralen av e^(x^2) ) Tack på förhand, hälsningar
Timous.

Svar:

Se Non-Elementary Antiderivatives.

Kjell Elfström


18 november 2000 20.25.10
Hej jag letar efter ett enkelt program där man kan stoppa in x och y värden och där programmet tar fram kurvan samt formeln för detta.
Tommy andersson

Svar:

Jag antar att du har en uppsättning punkter och vill finna ekvationen y = f(x) för en kurva, som dessa punkter ligger på. Något sådant program tror jag inte finns. En anledning är att kurvan inte är entydigt bestämd av punkterna. En vanlig situation är att punkterna är mätvärden och att man har skäl att tro att det finns ett samband y = f(x), där fuktionen f är av ett visst slag. Förväntar man sig att punkterna ligger på en rät linje är f på formen f(x) = ax + b. Det gäller då att bestämma den funktion av detta slag som gör att kurvan i någon mening ansluter så bra som möjligt till mätvärdena, som ju kan vara behäftade med felaktigheter. Är modellen lineär skall man alltså bestämma parametrarna a och b. En metod för att göra detta är minsta-kvadratmetoden. Denna finns oftast implementerad i vanliga kalkylprogram, liksom i en hel del matematikprogram såsom t ex Maple.

Kjell Elfström


18 november 2000 19.49.55
Hur beräknas följande integral enklast:
int(0,oä){2*lambda*x^2*e^(-lambda*x^2)?
Svaret bör bli 1/2*sqrt(pi/lambda) i alla fall.
Magnus Karlsson

Svar:

Betrakta integranden som produkten av -x och -2lambda xexp(-lambda x2) och integrera partiellt. Man får då integralen av exp(-lambda x2). Sätt nu x = t/lambda1/2. Man får integralen från 0 till oo av (lambda-1/2)exp(-t2). Genom att utnyttja att integralen från -oo till oo av exp(-t2) är pi1/2, vilket bör vara bekant, får vi det önskade svaret.

Kjell Elfström


17 november 2000 20.30.48
Hur gör man för att integrera cos^2(x)?
Conrad

Svar:

Man skriver om cos2x som (cos 2x + 1)/2.

Kjell Elfström


17 november 2000 16.59.19
hur lyder fortsättningen pa följande talföljd, och varför?
1) 24,17,8,1,25,32,6,16,28,29,12,13,21,20,5,4
2) 22,19,9,3,27,30,11,14,26,31,10,15,23,18,7,2
3) ?
david@die-gestalten.de

Svar:

Jag överlämnar med varm hand problemet till läsarna som är välkomna med lösningsförslag.

Kjell Elfström


17 november 2000 15.32.32
Hej
Går det att få en enkel förklaring över skillnaden mellan en permutation och en kombination?
Annica Persson

Svar:

I permutationer har ordningen mellan elementen betydelse, till skillnad mot i kombinationer. Permutationerna av två element ur mängden {1,2,3,4} är (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3) medan kombinationerna med två element ur samma mängd är {1,2}, {1,3} {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}. Kombinationerna {1,2} och {2,1} är alltså lika medan permutationerna (1,2) och (2,1) är olika.

Kjell Elfström


17 november 2000 14.50.52
Har börjat läsa lite topologi på egen hand men jag lyckas inte reda ut vad som ens menas med definitionen av ett topologiskt rum. Vad är innebörden av definitionen som en mängd tillsammans med en samling av delmängder som kallas öppna mängder? Vad då kallas öppna mängder? Definierar topologin vad som är öppna mängder, eller? Skulle behöva reda ut definitionen och få någon liten motivering till definitionen och dess betydelse.
Tremod

Svar:

Ett topologiskt rum är en icke-tom mängd X och en mängd S bestående av delmängder till X som är sådan att tomma mängden och X och unionen av en uppsättning mängder i S och snittet av en ändlig uppsättning mängder i S är mängder i S. En funktion f från ett topologiskt rum (X,S) till ett annat (Y,T) kallas kontinuerlig om f -1(Z) tillhör S för varje Z i T. f -1(Z) betecknar mängden av alla x i X, sådana att f(x) tillhör Z.

Ett exempel är (X,S) där X är mängden av reella tal och S är mängden av öppna mängder (dvs mängder som är sådana att kring varje punkt x i mängden finns ett intervall (x - d,x + d), d > 0 helt innehållet i mängden). Kontinuitet har i detta topologiska rum den betydelse vi är vana vid.

Mängderna i S kallas allmänt för de öppna mängderna även i andra topologiska rum. Ett extremfall är ett topologiskt rum där de öppna mängderna i S är alla delmängder till X. Alla funktioner från detta rum till ett annat blir här kontinuerliga. Ett annat extremfall är (Y,T) där T bara består av tomma mängden och Y. Alla funktioner från ett topologiskt rum till Y är kontinuerliga.

Kjell Elfström


17 november 2000 14.48.56
Hej!
Jag har en fundering. Håller på att läser om tensoralgebra, och stötte på begreppet affint rum, och blev inte klokare av vad jag läste. Så vad innebär egentligen ett affint rum, vad har det för betydelse. Ge gärna några exempel.
Daniel

Svar:

Jag förutsätter att du vet vad ett vektorrum (lineärt rum) är. Ett affint rum är ett lineärt rum tillsammans med en mängd A (vars element kallas punkter) och en avbildning v från A×A till V (tänk på v(P,Q) som den vektor som avsatt från punkten P har spetsen i Q), sådan att

1. Om P tillhör A och u tillhör V finns precis ett element Q i A sådant att v(P,Q) = u
2. Om P, Q och R tillhör A så är v(P,Q) +  v(Q,R) =  v(P,R)

Som exempel kan nämnas det vanliga tredimensionella rummet bestående av punkter och vektorer. Har man en fix punkt O (origo) så kan det affina rummet identifieras med det lineära rummet genom att man identifierar punkten P med vektorn v(O,P). På så sätt kan det vanliga rummet identifieras med R3 så att både punkter och vektorer motsvarar taltripler. I den affina geometrin studeras egenskaper hos figurer som är oförändrade vid avbildningar som avbildar räta linjer på räta linjer. Begrepp som vinklar och längder hör inte dit. De studeras i Euklidiska rum som är lineära rum försedda med en skalärprodukt. Vid studiet av projektiv geometri används projektiva rum, som är affina rum försedda med oändlighetspunkter.

Kjell Elfström


17 november 2000 12.02.08
Kan alla matematiska former, såsom cirklar, rektanglar, kvadrater, räta linjer, kurvor osv. härledas till naturen eller är de "skapade" av människan? Alltså finns t.ex. den perfekta cirkeln någonstans att finna i universum?
Robert

Svar:

Punkt, linje och cirkel är idealiserade begrepp och har inga exakta motsvarigheter i naturen.

Kjell Elfström


17 november 2000 11.52.26
Jag har 4 st uppgifter som jag önskar att få hjälp med.
1. Bestäm ett tredjegradspolynom: p(x)=a+bx+cx^2+dx^3 så att f(x0)=p(x0), f´(x0)=p´(x0), f´´(x0)=p´´(x0), f´´´(x0)=p´´´(x0) när: f(x)=arcsin (x^2)/2 x0=1
2. Bestäm samtliga primitiva funktioner till:
-11x^3 +9x^2 -1280x -5500
--------------------------
x^4 +11x^3 +100x^2 +1100x
3. Beräkna: Integralen av xe^-x *cosx dx
4. Betrakta funktionen y=f(x) a. Konstruera funktionens graf b. Undersök antalet reella rötter till f(x)=a för olika värden på konstanten a y=1/(x^3 -x)
Johan Segerström

Svar:

1. Se 13 november 2000 21.00.07.

2. Se 13 november 2000 20.47.36.

3. Integrera partiellt. Sätt f(x) = e-xcos x och g(x) = x. Då är

integral xe-xcos x dx = integral f(x)g(x) dx = F(x)g(x) - integral F(x)g'(x) dx,

där F är en primitiv funktion till f. Hur man bestämmer funktionen F finns det säkerligen exempel på i din lärobok. Den sista integralen kommer sedan att kunna bestämmas på samma sätt.

4. Se 16 november 2000 19.30.50.

Kjell Elfström


17 november 2000 10.17.09
Hej Lund!
Hur härleder jag binomialsatsen på ett enkelt sätt, så att jag får ett uttryck med summa tecken och k-fakultet? /Björn
Björn Persson

Svar:

Binomialsatsen är en generalisering av kvadreringsregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 och den säger att

(a + b)n = summak = 0n (nk)akbn - k,

där n är ett godtyckligt icke-negativt heltal. Det enklaste beviset är kombinatoriskt. (nk) = n!/(k!(n - k)!) är antalet sätt att välja ut k element ur en mängd med n element, om man inte tar hänsyn till ordningen. När man utvecklar

(a + b)n = (a + b)(a + b)...(a + b)

väljer man från varje parentes antingen ett a eller ett b och multiplicerar ihop dessa. Den första gången tar man kanske ett b ur varje parentes och får bn, nästa gång ett a ur den första och b ur de övriga och får abn - 1. Man får sedan samma produkt när man tar ett a ur den andra parentesen och b ur övriga. Allmänt skall man ta ett a ur k parenteser och b ur de övriga n - k parenteserna och får då akbn - k. Eftersom a-parenteserna kan väljas ut på (nk) sätt får man (nk) likadana termer akbn - k. Summan av dessa är alltså (nk)akbn - k. Då detta skall göras för varje k = 0,1,2,...,n får man den önskade summan.

Kjell Elfström


16 november 2000 22.33.10
Finns någon sida där jag kan läsa om vilka matematikprogramvaror som är bra eller lämpliga för gymnasieelever?
Blivande mattelärare

Svar:

Det var inte lätt att finna någon dylik sida. Några program jag kom att tänka på är Matematikverkstad, Derive, Maple, Matlab. Du kan själv söka information om dessa program. Du kan också Fråga om IT och pedagogik.

Kjell Elfström


16 november 2000 19.59.31
Uppgift 1:Optimera biljettförsäljning
Ett flygbolag har problem med alla som bokat plats på en flight inte kommer s k noshows. För att inte i onödan flyga med tomma platser vill man därför tillåta överbokning av antalet platser. Varje tom stol antas betyda i snitt betyda netto1000 kr i inkomstbortfall och om det skulle bli överbokat kostar det netto cirka 1000, 2000, 2500, 3000 resp 3500 kr vardera för första, andra, ... , femte överbokande stolen. Mer än 5 överbokningar vill man inte tolerera.
Man har bett er grupp att bestämma en policy för hur många överbokningar man skall tillåta och som beslutsunderlag har man följande statistik tillgänglig från maj månad.
Antal noshows Måndag morgonFredag em Lördag Söndag Övriga tider
0 38% 41% 32% 30% 22%
1 32% 35% 31% 32 34%
2 17% 17% 19% 21% 25%
3 7% 5% 11% 9% 10%
4 2% 1% 2% 3% 6%
5 3% 0% 2% 2% 2%
6 1% 1% 2% 2% 1%
7 0% 0% 1% 1% 0%
Summa % 100% 100% 100% 100% 100%
Fundera på om man skall försöka hitta en standard sannolikhetsfördelning och anpassa till data eller om man skall använda stickprovet rakt av.
Anders Jonsson

Svar:

Detta faller utanför mitt kompetensområde.

Kjell Elfström


16 november 2000 19.30.50
Hur beror antalet rötter om man varierar konstanten a i följande ekvationer:
a, 3x^4 + 4x^3- 36x^2 - a = 0
b, e^x = ax^2
Jonas Faraday

Svar:

Sätt f(x) = 3x4 + 4x3 - 36x2. Den första ekvationen är då ekvivalent med f(x) = a. Vi deriverar och får f '(x) = 12x3 + 12x2 - 72x. Derivatans nollställen är -3, 0, 2. Teckenundersökning av derivatan visar att (-3,-189) och (2,-64) är lokala minimipunkter och att (0,0) är en lokal maximipunkt. Vidare så går f(x) mot oo då x --> ±oo. Ekvationen har alltså två rötter om a > 0, tre rötter om a = 0, fyra rötter om -64 < a < 0, tre rötter om a = -64, två rötter om -189 < a < -64, en rot om a = -189 och inga rötter om a < -189.

Sätt i den andra uppgiften f(x) = ex/x2. I uppgifter av detta slag är det fördelaktigt att lösa ut a som funktion av x.

Kjell Elfström


16 november 2000 14.04.23
Vad är procent, ge en bra förklaring?

Svar:

Procent kommer från latinets pro centum, för eller på hundra. Antalet procent är antalet hundradedelar.

Kjell Elfström


16 november 2000 11.52.39
Hej! Jag har problem med följande integral. Beräkna:
x^2sqrt1-x^2 dx
Hur gör man???
Emil

Svar:

Sätt x = sin t, -Pi/2 <= t <= Pi/2. Då är dx = (cos t)dt och (1 - x2)1/2 = cos t. Integralen av x2(1 - x2)1/2 övergår i integralen av

sin2tcos2t = ((1/2)sin 2t)2 = (1/8)(1 - cos 4t).

En primitiv funktion är

t/8 - (1/8)(1/4)sin 4t = t/8 - (1/8)(1/4)(2sin 2t cos 2t) = t/8 - (1/8)sin t cos t (1 - 2sin2t)
= (1/8)( arcsin x - x(1 - x2)1/2(1 - 2x2)).

Kjell Elfström


16 november 2000 11.48.03
Vill ha lite fakta om babylonien!
Saman

Svar:

Se Babylonian and Egyptian mathematics.

Kjell Elfström


16 november 2000 10.50.00
Hej fråga Lund ! Jag har problem med att derivera det här i tre steg dvs f`(x), f´´(x) och f´´´(x)
f(x)= arctan(2x-x2) ...... (2x-x(ikvadrat)
Mkt tacksam för svar
Robert

Svar:

Om y = f(x) = arctan z, z = 2x - x2 så är

dy/dx = (dy/dz)(dz/dx) = (1/(1 + z2))(2 - 2x) = (2 - 2x)/(1 + (2x - x2)2) = -2(x - 1)/(1 + 4x2 - 4x3 + x4).

Derivera derivatan med hjälp av kvotregeln, förenkla och använd samma regel igen.

Kjell Elfström


16 november 2000 10.25.12
Hur visar jag med andvändning endast av axiomen för godtyckliga heltals egenskaper att 0<=1?
Sanna Larsson

Svar:

De vanliga ordningsaxiomen för reella tal brukar vara

1. Precis en av relationerna a < b, a = b och a > b är uppfylld,
2. a < b och b < c ==>  a < c,
3. a < b ==> a + c <  b + c,
4. a < b och c > 0 ==> ac < bc

och ett par till som saknar betydelse i sammanhanget. De aritmetiska axiomen finns redovisade i 23 oktober 2000 15.30.10, där vi även visar att (-1)(-1) = 1, något vi kommer att använda i detta bevis.

Antag att påståendet är falskt. Då är enligt 1) 1 < 0. Enligt 3) ger detta att

0 = 1 + (-1) < 0 + (-1) = -1.

Enligt 4) är därför 1 = (-1)(-1) > 0·(-1) = 0, vilket är en motsägelse enligt 1).

Kjell Elfström


15 november 2000 18.07.28
Jag har hört att Fermat förutom den stora sats som han är mest känd för även har publicerat "Fermats lilla sats", som utgör en fundamental del av matematiken bakom RSA kodning. Jag har dock aldrig sett denna sats bevisad och skulle således gärna se ett bevis
Med Vänlig Hälsning
Bengt Claesson

Svar:

Fermats lilla sats säger att om p är ett primtal och a ett heltal så är ap - a delbart med p. Det kortaste beviset förutsätter att du har litet kunskaper i algebra.

Om a är delbart med p är påståendet trivialt. Annars är a +  pZ ett element i den multiplikativa gruppen Zp* som har p - 1 element. Därför är

(ap - 1 + pZ) = (a + pZ)p - 1 = 1 + pZ

vilket betyder att ap - 1 - 1 är delbart med p.

I det andra beviset visar vi satsen för icke-negativa värden på a med induktion över a. Påståendet är trivialt för a = 0. Antag att påståendet är sant för ett visst värde på a. Enligt binomialsatsen är

(a + 1)p - (a + 1) = ap + (p1)ap - 1 + (p2)ap - 2 + ... + (pp - 1)a1 + 1 - a - 1.
Här tar ettorna ut varandra. ap - a är delbart med p enligt induktionsantagandet och varje annan term är delbar med p eftersom (pk) är delbar med p då 0 < k < p. Att sedan visa påsåendet för negativa värden på a är enkelt.

Kjell Elfström


15 november 2000 16.33.42
Om jag vet att Position1 befinner sig på kordinaterna x10,y10, Position2 på x20,y200, det är 200meter mellan dem. Position3 är 300m från Position1 och 100m från Position2. Var befinner sig Position3?
Fredrik Johansson / gärna svar till: fjohansson@bigfoot.com

Svar:

Menar du att x10 och y10 är koordinaterna för position 1 eller menar du att x = 10, y = 10 är koordinaterna? I det senare fallet är inte avståndet 100 mellan positionerna utan 10·3621/2. Oavsett vilket som är fallet kan vi räkna på följande sätt. Vi kallar koordinaterna för den första punkten för x1,y1 och koordinaterna för den andra punkten för x2,y2 och den sökta punktens koordinater för x,y. Då är enligt Pythagoras sats

(x - x1)2 + (y - y1)2 3002
(x - x2)2 + (y - y2)2 1002

Utveckla de fyra kvadraterna innehållande x och y och drag sedan den första ekvationens led från den andras. Den nya ekvationen är ett samband mellan x och y. Lös t ex ut y som funktion av x och sätt in i den första ekvationen. Du får då en andragradsekvation ur vilken du kan lösa ut x och sedan får du y från sambandet mellan y och x.

Kjell Elfström


15 november 2000 15.22.12
Hej!
Jag undrar om ni känner till någon websida elller litteratur i övrigt som beskriver volymbegreppet i form av determinanter i tre dimensioner?
Anders

Svar:

I så gott som varje nybörjarbok i lineär algebra, t ex K G Andersson: Lineär algebra, Studentlitteratur, 2000, behandlas determinanter och deras samband med volymbegreppet. Om u, v och w är tre vektorer i rummet, som inte ligger i samma plan, spänner de upp en parallellepiped. (Avsätt vektorerna från samma punkt. Varje par av vektorer ligger då i ett plan. Bilda de tre planen som är parallella med dessa tre plan och som går genom spetsarna på vektorerna. Dessa sex plan begränsar en parallellepiped.) Är vektorerna parvis vinkelräta är parallellepipeden ett rätblock (tegelsten). Är de dessutom lika långa är den en kub. Om koordinaterna för vektorerna med avseende på en ortonormerad bas är kända är parallellepipedens volym lika med absolutbeloppet av den determinant, vars kolonner är koordinattriplarna.

Kjell Elfström


15 november 2000 13.46.15
Hej fråga Lund ! Vi håller på med Taylor serien, vilket jag tycker verkar svårt, kan ni förklara på ett enkelt sätt hur man skall tänka när man löser en uppgift m h a Taylorserien, Tack
Undrande student.

Svar:

Jag tror inte detta kan göras på ett ganska kort sätt, utan åtföljande exempel, och framför allt tror jag inte att svaret skulle avvika tillräckligt mycket från innehållet i din lärobok.

Kjell Elfström


15 november 2000 11.32.31
Kan det finnas sifferkombinationer som aldrig kan återfinnas i talet Pi?
Henric

Svar:

Jag vet inte det. En liknande fråga är 10 december 1998 00.01.44.

Kjell Elfström


15 november 2000 10.09.24
Hejsan! Tack för en otroligt bra sida! Jag har två frågor av algebraisk karaktär som jag inte riktigt förstår:
1: Förutsatt att F1 och F2 är ringar som var och en innehåller, som minst, två distinkta icketomma set, då är F1xF2 inte en ring.
2: Bestäm den minsta ringen R(F) sådan att för ett fixt delset A som är delmängd av X har vi F={B: A delmängd av B delmängd av X}.
Tack på förhand
Carina

Svar:

Jag förstår heller inte frågorna. Är de möjligen felaktigt översatta från engelska?

1. Om F1 och F2 är ringar är också F1×F2 en ring om man förser den med komponentvis addition och multiplikation. Däremot är inte F1×F2 en kropp, eller ens ett integritetsområde, eftersom (a,0)·(0,a) = (0,0) är en nolla i ringen trots att ingen av faktorerna är 0 om a <> 0.

2. Om A är en delmängd av en ring F så är den minsta underringen av F, som innehåller mängden A, snittet av alla underringar till F, som innehåller A. Jag vet inte om svaret passar till frågan.

Kjell Elfström


15 november 2000 00.33.02
beräkna 1:a och 2:a derivatan
y = ln ( (sqrt(x)) + (sqrt(x+1)) )
Dil KTH Kista

Svar:

Funktionen är sammansatt,

y = ln z,   z = x1/2 + (x + 1)1/2.

Eftersom dy/dz = 1/z och dz/dx = (1/2)x -1/2 +  (1/2)(x + 1) -1/2 får vi

dy/dx = (dy/dz)(dz/dx) = (1/z)(1/2)(1/x1/2 + 1/(x + 1)1/2) = 1/(2x1/2(x + 1)1/2).

Vi gjorde liknämnigt i den sista parentesen varvid bråkets täljare blev z som sedan kunde förkortas bort.

Kjell Elfström


14 november 2000 23.39.17
Jag har en fråga angående spelet Keno. Då man spelar system i spelet Keno så går det att välja upp till 10 nummer i systemet oavsett vilken spelform som väljs. Dvs. om jag vill spela Keno 2, så går det att kryssa i 10 nummer på kupongen och likaså med Keno 3 osv. upp till Keno 9. När det gäller Keno 10, så får man inte spela system av någon anledning, trots att det rent teoretiskt skulle gå att kryssa i 20 nummer, eftersom det dras 20 nummer av 70. Låt säga att jag vill spela utskrivna system på Keno 10, och kallar systemet för Keno 11, Keno 12 o s. v. upp till Keno 20. Jag har förstått att för att spela "Keno 11" så krävs att jag skriver ut systemet på 11 enskilda rader varav varje rad då har 10 siffror markerade. Men hur fortsätter man med Keno 12 som skall "helgardera" 12 valda nummer osv upp till Keno 20?
Tack på förhand.
Willy Lejklinth

Svar:

Vid en Kenodragning drages 20 nummer av 70 möjliga. Att spela en rad Keno 2 innebär man man väljer 2 nummer. Om dessa två nummer finns med bland de 20 dragna vinner man. Spelar man Keno 10 skall man välja ut 10 nummer. Om alla dessa finns bland de 20 dragna vinner man. Man kan spela Keno 2, 3, 4 osv upp till Keno 10. Alla kostar lika mycket men ju högre Kenospel man väljer desto mer pengar vinner man när man vinner.

Det du kallar för Keno 11 (som är missvisande) innebär att man vill välja 11 nummer och vara garanterad vinst om 10 av dessa finns med bland de 20 dragna. Tror man att 10 av numrena 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 kommer att dragas, men inte vet vilka 10, behöver man som du säger bara tippa 11 rader. I den första väljer man alla utom nummer 1, i den andra väljer man alla utom nummer 2 osv. I den sista väljer man alla utom nummer 11.

I Keno 12 (fortfarande missvisande) tror man kanske att 10 av numrena 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 kommer upp. Då väljer man i den första raden alla utom nummer 1 och 2, i den andra alla utom 1 och 3, i den elfte alla utom 1 och 12, i den tolfte alla utom 2 och 3 och i den allra sista alla utom 11 och 12. Frågan är väl snarast hur många rader det blir. Man skall i varje rad välja ut 10 nummer av 12 möjliga. Detta kan göras på (1210) sätt. Se 14 november 2000 16.38.35. Man kan också tänka att man väljer bort 2 av 12 och få svaret (122), vilket alltså är samma sak. Känner man inte till något om binomialkoefficienter och fakulteter kan man för att räkna ut (nk) börja med talet n och räkna nedåt. Man tar med k av talen och multiplicerar samman dessa. Därefter börjar man på 1 och räknar uppåt. Man tar med k tal även nu och beräknar denna produkt. Därefter dividerar man den första produkten med den andra. (122) = 12·11/1·2 = 66. I Keno 13 krävs det (133) = 13·12·11/1·2·3 = 286 rader. Det finns (7010) = 396704524216 möjliga rader (Keno 70). För att vara säker på 10 rätt räcker det dock att man spelar Keno 60.

Kjell Elfström


14 november 2000 21.14.24
Jag har grafiskt undersökt en hel del funktioner på min miniräknare, ofta framträder komplexa mönster om man använder flera relaterade funktioner samtidigt. Det som fascinerat mig mest hittills är ett nät framställt av en massa variationer på e^x:
e^x,-e^x,e^-x,-e^-x,e^(1/x),-e^(1/x),e^-(1/x),-e^-(1/x),ln x,-ln x,ln-x,-ln-x,1/ln x,-1/ln x,1/ln-x,-1/ln-x
(det behövs alltså 'ses' för att förstås) Det går att utvidga med det ytterligare om man använder variationerna på x^e, men för att få en korrekt bild då behöver man nyttja parametriska funktioner. Betyder det här någonting?
David K

Svar:

Jag kan inte uttala mig om detta.

Kjell Elfström


14 november 2000 19.51.35
jag vill veta hur barn tänker matematil på lågstadiet
stina

Svar:

Jag hänvisar till Fråga Kristianstad om matematikdidaktik. Det finns inga svar på gamla frågor publicerade där. Frågorna lär ändå besvaras, t ex genom e-post.

Kjell Elfström


14 november 2000 16.38.35
Hej!
Problemet är: Individer erbjuds att välja max. 5 alternativ av en meny på 12 alternativ. De kan också välja 4, 3, 2 eller 1 alternativ. Fråga: Hur många möjliga kombinationer finns det?
Mvh
Kristofer Jönsson

Svar:

Du skriver kombinationer, vilket antyder att ordningen mellan rätterna saknar betydelse. Att välja ut k element ur en mängd med n element kan göras på (nk) sätt om man inte tar hänsyn till ordningen. Detta tal kallas n över k och är n!/(k!(n - k)!). I problemet ovan får vi

(125) + (124) + (123) + (122) + (121) + (120)

möjligheter.

Kjell Elfström


14 november 2000 15.43.59
Hej !
Hur räknar man fram asymptoterna för en hyperbel som är centrerad i (xo,yo) om hyperbelns ekvation är :
((x-xo)^2)/a^2 + ((y-yo)^2)/b^2 = 1
där (x0,yo) är skiljt från (0,0).
/Student

Svar:

Du har angivit ekvationen för en ellips. Byter man ut plustecknet mot ett minustecken får man en hyperbel. Det enklaste sättet är att konstatera att ekvationerna för asymptoterna till hyperbeln

u2/a2 - v2/b2 = 1

är v = ±bu/a och sätta in u = x - x0, v = y - y0. Annars kan man lösa ut y som funktion f(x) av x (man får två fall, ett där y > 0, ett där y < 0) och bestämma asymptoterna med standardmetoden. Denna innebär att man först bestämmer riktningskoefficienten k för en eventuell asymptot genom att beräkna gränsvärdet av f(x)/xx --> ±oo. Existerar detta gränsvärde k bestämmer man sedan m som gränsvärdet av f(x) - kx. Om detta gränsvärde existerar är linjen y = kx + m en asymptot.

Kjell Elfström


14 november 2000 15.24.31
Hej jag har problem med att lösa detta talet. Bestäm "samtliga" primitiva funktionerna till :
(-11x^3+9x2-1280^x-5500)/(x^4+11x^3+100x^2+1100x)
Jens

Svar:

Se 13 november 2000 20.47.36.

Kjell Elfström


14 november 2000 13.37.08
ML-skattning och MK-skattning har jag problem med. I G Bloms bok "Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar",finns formler med inga exempel. I S Körners bok "Praktisk statistik", finns mycket om MK-skattning men inte med täthetsfunktion nämnd. I alla andra böcker om statistik som jag fann på biblioteket finns varken ML eler MK-skattning. Så kan ni hjälpa mig med följande problem? Tack!
MK
obs. 1,33 1,46 1,71 1,69 0,53 0,66 1,54 vilket bör ge n=7 fX(x) = 2x/ax för a<=x<=a och 0 i övrigt. (täthetsfunktion)
a>0 är en okänd parameter (oberoende data)
Bestäm en MK-skattning av a.
Hur gör man detta?
Tacksam om jag får ett utredande svar.
ML-skattning har jag bara funnit i Bloms bok och jag förstår inte hur man tillämpar det han beskriver med formler.
Tre exempel:
ML-skattning av höjder där täthetsfunktionen är fH(x) =x/a exp((-x^2)/(2a))
n = 8 värden 2,5 2,9 1,8 0,9 1,7 2,1 2,2 2,8
oberoende observationer av H Beräkna ML-skattning
Slaghållfasthet utöver minimum.
20 värden 2,48 1,99 3,06 2,49 2,39 1,75 1,91 2,48 1,86 2,37 1,79 2,15 1,49 2,53 2,67 2,04 2,47 2,25 1,61 1,56
s.v X med fördelningsfunktion 1-e^-((^x)/(?))^2,5 [? kan vara en 9 eller ett g eller något liknande vilket är svårt se på dålig kopia] Bestäm ML-skattning av Ô (teta). (? kanske ska vara teta.för teta finns ingen annan stans i funktionen)
Trunkerad exponetialfunktion med täthetsfunktion fX(x) = 1/m e^-((x-4)/m)) om 4<x<oändlighet och = om x<=4
Beräkna ML-skattning av parametern m?
Ni brukar vara duktiga på att ge bra och utförliga svar! Så duktiga ibland så även jag begriper och kanske också lär mig terminologin och hur man räknar/tänker. Blom har i alla fall misslyckats lära mig ML och MK. Försökt i två veckor nu.
Lillemor

Svar:

Antag att X är en kontinuerlig stokastisk variabel och beteckna dess täthetsfunktion med fa , där a är en okänd parameter. Genom att göra observationer x1,x2,...,xn av X är uppgiften att göra en skattning av värdet av a.

Vid MK-skattning bestäms a genom att man minimerar värdet av kvadratsumman

Q(a) = summak = 1n (xk - m(a))2,

där m(a) är väntevärdet av en stokastisk variabel med täthetsfunktion fa.

Vid ML-skattning bestäms a genom att man maximerar produkten

L(a) = produktk = 1n fa(xk).

Det verkar som om det i samtliga av dina exempel går att sätta upp ovan nämnda summor och produkter och bestämma minima resp. maxima genom att derivera.

Exempel 1. Den funktion du angivit är inte en täthetsfunktion eftersom totalsannolikheten inte är 1. Jag antar att du skrivit fel och gissar att fa(x) = 2x/a2x ligger mellan 0 och a och att fa(x) = 0 för övrigt. Då är väntevärdet

m(a) = integral0a xfa(x) dx = 2a/3.

Vi får alltså

Q(a) = summak = 1n (xk - 2a/3)2,

vilket ger att

Q '(a) = summak = 1n (-2/3)·2·(xk - 2a/3) = (4/3)summak = 1n (2a/3 -xk) = (4/3)(2an/3 - summak = 1n xk).

I exemplet är n = 7. Sätt in detta värde på n och de sju värdena xk och bestäm sedan a så att derivatan blir 0.

Exempel 2. Här är

L(a) = (x1x2...x8/a8)e-s/2a,

där

s = x12 + ... + x82.

Derivera nu L och sätt derivatan lika med noll.

Kjell Elfström


14 november 2000 11.16.42
Bilda funktionen f(x)=1/(x-1) differenskvot i punkten 2.(Detta har jag klarat av) Men det jag inte klarat av är att bestämma derivatan i punkten 2 genom differenskvotens gränsvärde. Kan ni stegvis visa hur jag går tillväga i en annan uppgift som denna?

Svar:

Jag ändrar funktionen till f(x) = 1/(x + 1). Differenskvoten är

(f(x) - f(2))/(x - 2) = (1/(x + 1) - 1/3)/(x - 2) = (3 - (x + 1))/(3(x + 1)(x - 2))
= (2 - x)/(3(x + 1)(x - 2))
= -1/(3(x + 1)) --> -1/(3(2 + 1)) = -1/9 då x --> 2.

Vill du i stället kalla x - 2 för h skall du låta h gå mot 0 i

(f(2 + h) - f(2))/h.

Räkningarna genomförs i så fall på väsentligen samma sätt.

Kjell Elfström


14 november 2000 10.44.26
Jag vore tacksam om jag kunde få hjälp med denna uppgift: Låt P = (x,y) vara en punkt på kurvan y = x/ 1+x ,( x är större eller lika med 0) , och låt kurvnormalen genom P skära x-axeln i Q. Bestäm P så att triangeln med hörnen P ,Q och R =( x,0) får så stor area som möjligt.
Mattias

Svar:

Jag väljer att låta R ha koordinaterna (a,0), så har vi bokstaven x ledig för andra ändamål. Med f(x) = x/(1 + x) är koordinaterna för P (a,f(a)). Normalens ekvation är

y - f(a) = -(1/f '(a))(x - a).

För skärningspunkten Q är alltså koordinaterna (x,0), där x - a = f(a)f '(a). Eftersom f '(x) = 1/(1 + x)2 är triangelns bas

x - a = a/(1 + a)3.

Triangelns area är följaktligen g(a) = (a2/2)/(1 + a)4. Undersök nu g med aveseende på extrempunkter.

Kjell Elfström


14 november 2000 10.26.52
om x^2+y^2=2 är en cirkel borde man väl kunna räkna ut arean med en integral istället för areaformeln med pi? Hur skulle en sådan integral lösas?
nicke nyfiken

Svar:

På den norra halvcirkeln är y >= 0. Löser vi ut y >= 0 får vi ekvationen y = (2 - x2)1/2 = f(x). Arean är alltså två gånger integralen från -21/2 till 21/2 av f(xdx. Vi kan också beräkna arean som fyra gånger integralen från 0 till 21/2. Genom att göra substitutionen x = 21/2sin t får vi integralen av 2cos2t från 0 till Pi/2. Skriver man om cos2t som (1/2)(1 + cos 2t) är nu integrationen lätt att genomföra.

Kjell Elfström


14 november 2000 10.26.44
en tredjegradsfunktion visar genom derivering tre "intersektions", min fråga: jag kan genom att lösa en tredjegradare få dessa x-värden hur löser jag tredjegradaren?
Tack på förhand
nettan

Svar:

Se 18 mars 1997 02.44.41.

Kjell Elfström


14 november 2000 09.22.57
Hej! Min fråga är. om man har en rektangel med hörnet A på kurvan t.ex.f(x)=6-x^2/6 och två av sidorna sammanfaller med de positva koordinataxlarna. man låter rektangeln rotera kring y-axel.Hur räknar man fram koordinaterna för maximala arean på rektangeln med integal. Tack på förhand. MVH Katarina.
Katarina Andersson

Svar:

Rektangeln har alltså två sidor utefter de positiva koordinataxlarna och ett hörn i punkten (x,f(x)) på kurvan y = f(x) = 6 - x2/6. Jag tolkar uppgiften som att rektangeln roterar kring y-axeln och bildar därvid en cylinder och att det gäller att bestämma x, och därmed f(x), så att cylinderns volym blir så stor som möjligt. Varför man skall använda integral vid lösandet av uppgiften förstår jag inte. Cylinderns volym är

Pi·radien2·höjden = Pi x2f(x) = Pi(6x2 - x4/6).

Derivera detta uttryck, bestäm derivatans nollställen och gör teckenundersökning.

Kjell Elfström


13 november 2000 23.50.36
skulle vara tacksam om jag kunde få en utförlig uträkning på den trigonmetriska ekvationen: (3+roten ur 3)sin^2x-(3+roten ut 3)sin x cos x + 2 roten ur 3cos^2x = roten ur 3 (redovisa prövning)
Tack på förhand! /Tobbe
Tobbe Eriksson, Kalmar

Svar:

Se 9 november 2000 12.40.24.

Kjell Elfström


13 november 2000 22.42.51
Varför använde sumerna 60 som talsystem?
Anders Ek

Svar:

Jag kan inte svara på varför sumererna valde just 60. Å andra sidan är det inte helt enkelt att svara på varför vi använder basen 10 heller, fast det har troligen att göra med att vi vanligen har tio fingrar på vilka vi stundom idkar fingerräkning. 60 har fördelen att ha många fler delare än 10.

Kjell Elfström


13 november 2000 22.27.01
Bestäm samtliga primitiva funktioner till
(16x^(3)+26x^(2)+1914x+8712)/(x^(4)+12x^(3)+121x^(2)+1452x)
poene@hotmail.com
Peter

Svar:

Se 13 november 2000 20.47.36.

Kjell Elfström


13 november 2000 22.24.33
Hej! Jag skulle vilja ha hjälp med en uppgift: Beräkna:
Integralen av:((4x^2)*e^(-2x)-e^(-x)+2x+1)*e^x)dx
Jag skulle uppskatta om ni kunde meddela mig via poene@hotmail.com Tack på förhand
Peter

Svar:

Antalet parenteser stämmer inte. Lägger vi till en i början är receptet att multiplicera in faktorn ex och få tre termer. Integrera dessa var för sig. Den mittersta är -1. Använd partiell integration på de båda övriga.

Kjell Elfström


13 november 2000 22.21.30
Betrakta kurvan y=f(x)
a, Konstruera funktionens graf?
b, Undersök antalet reella rötter till f(x)=a för olika värden för a?
y=(1+x-x^2)/(x-1)
Min email: poene@hotmail.com
Tack på förhand!!!
Peter Segerström

Svar:

Derivatan f '(x) = -(-2x + 2 + x2)/(x-1)2 är negativ för alla x <> 1. Detta innebär att f är strängt avtagande i intervallet (-oo,1) och i intervallet (1,oo). f(x) går mot oo då x går mot 1 från höger och då x går mot -oo. f(x) går mot -oo då x går mot 1 från vänster och då x går mot oo. Rita nu figuren och konstatera att antalet rötter är två oberoende av värdet på a.

Kjell Elfström


13 november 2000 21.00.07
Bestäm ett tredjegradspolynom p(x)= a+bx+cx^2+dx^3 f(1x)=p(1x), f'(1x)=p'(1x), f''(1x)=p''(1x), f'''(1x)=p'''(1x) när f(x)=arcsin(x/2) 1x=1
sebastian otterhäll

Svar:

Taylorutveckla.

Kjell Elfström


13 november 2000 20.52.45
Beräkna:
Intregalen av (cos2x+sin2x-tanx)cosxdx
Daniel Sandberg

Svar:

cos 2x = 1 - 2sin2x, sin 2x = 2sin x cos x. Integranden kan alltså skrivas

f(x) = cos x - 2sin2x cos x + 2sin x cos2x - sin x.

Integrera dessa fyra termer var och en för sig. Den första och sista är triviala. I den andra sätter man t = sin x och i den tredje t = cos x.

Kjell Elfström


13 november 2000 20.47.36
bestäm samtliga primitiva funktioner till : (9x^3+87x^2-5x-175)/(x^4+^7x^3+25x^2+175x)
Johan Stenqvist

Svar:

Nämnaren har faktorerna x, x + 7 och x2 + 25. Faktorn x finner man ju direkt. Sedan gissar man enkelt att 1 är ett nollställe till nämnaren. Kallar vi funktionen för f kan vi alltså göra en partialbråksuppdelning

f(x) = A/x + B/(x + 7) + (Cx + D)/(x2 + 25).

Multiplicera båda leden i ansatsen med nämnaren i f(x). Du får då en likhet mellan polynom. Identifiera koefficienterna i polynomen för att bestämma A, B, C och D. A/x och B/(x + 7) är sedan lätta att integrera. En primitiv funktion till Cx/(x2 + 25) = (C/2)(2x/(x2 + 25)) är (C/2)ln|x2 + 25|. En primitiv funktion till D/(x2 + 25) = (D/25)(1/((x/5)2 + 1) är 5(D/25)arctan(x/5) = (D/5)arctan(x/5).

Kjell Elfström


13 november 2000 18.51.19
Tjenare Lundarna.
Har kört fast totalt med följande problem. SNÄLLA, HJÄLP MIG!!!!!!!!!
y = 3/(1+x) och x = 2 begränsar tillsammans med koordinataxlarna ett område som får rotera kring y - axeln. Bestäm rotationskroppens volym.
Tack
Robban

Svar:

Låt f vara en positiv funktion. Då kurvan y = f(x), 0 <= a <= x <= b roterar kring y-axeln uppstår en yta och volymen av området mellan ytan och planet som innehåller origo och är vinkelrätt mot y-axeln beräknas med skalmetoden till

intab(2Pi xf(x) dx).

Funktionen som skall integreras är alltså i detta fall 2Pi x·3/(1 + x). Utför vi divisionen får vi att detta kan skrivas 6Pi(1 - 1/(1 + x)), vilket du säkert kan integrera själv från 0 till 2.

Kjell Elfström


13 november 2000 18.49.58
Hallå fråga Lund.
Tack för ett oerhört bra jobb alla ni frågebesvarare, ni gör studentlivet mycket lättare.
Jag har ett par problem med en exponentialekvation som jag skulle behöva lite assistans till, den lyder som följande:
I en näringslösning uppskattar man att det finns 2000 bakterier kl 14:00. Bakterierna förökar sig med hastigheten 4e0,2t bakterier/timme. Hur många bakterier bildas mellan kl 15:00 och 17:00?
Skulle även vara tacksamma om ni kunde förklara ingående hur detta med exponentalekvationer fungerar.
Tack på förhand
Patrik

Svar:

Jag förutsätter att t i 4e0,2t räknas i timmar, men det finns ändå inte tillräcklig information. Man måste veta vid vilket klockslag som t = 0. Nåväl, låt oss antaga att det är klockan 14.00. Om y(t) är antalet bakterier t timmar efter klockan 14.00 så gäller

y'(t) = 4e0,2t,   y(0) = 2000.

Den första likheten betyder att y är en primitiv funktion till 4e0,2t, varför

y(t) = 20e0,2t + C,

där C är en konstant. Ökningen är

y(3) - y(1) = 20e0,2·3 + C - (20e0,2·1 + C) = 20(e0,2·3 - e0,2·1).

Troligen är uppgiften felaktigt återgiven, eftersom informationen om antalet bakterier kl. 14.00 inte behövdes.

Kjell Elfström


13 november 2000 18.49.38
Hej Lund.
Jag har kommit över ett problem som jag undrar om ni skulle kunna hjälpa mig med.
Bestäm arean av det område som begränsas av graferna till funktionerna y=2x och y=0,5x2.
Keep it up
Robban

Svar:

Kurvorna är y = 2x och y = x2/2. Dessa kurvor begränsar ett område med ändlig area. Sök skärningspunkterna mellan kurvorna och integrera skillnaden mellan den större och den mindre funktionen över intervallet mellan skärningspunkterna. Rita figur!

Kjell Elfström


13 november 2000 12.29.19
K är en kropp med q=p^n element. För vilka k är varje element i K en k:te potens? Visa att a är en jämn kvadrat i K om och endast om a^((q-1)/2)=1.
matte

Svar:

Den multiplikativa gruppen K* av alla element i K, som är skilda från 0, är cyklisk. Eftersom 0 är en k:e potens är påståendet likvärdigt med att alla element i K* är k:e potenser. Låt g vara en generator för K*. Betrakta ekvationen

xk = gi.

Om denna ekvation har en lösning x = gj så är

gjk = gi,

vilket visar att q - 1 delar jk - i. Detta betyder i sin tur att det finns ett heltal n sådant att jk + n(q - 1) = i, vilket är ekvivalent med att SGD(k,q - 1) delar i. Att varje element är en k-potens är alltså ekvivalent med att SGD(k,q - 1) delar i för varje heltal i vilket är ekvivalent med att SGD(k,q - 1) = 1.

Här måste vi uppenbarligen kräva att a tillhör K*. Skriv a = gi. Att

a(q - 1)/2 = 1

betyder då att (q - 1) delar i(q - 1)/2 vilket är ekvivalent med att i är jämnt, vilket i sin tur är ekvivalent med att a är en jämn kvadrat (på gi/2).

Kjell Elfström


13 november 2000 11.44.49
Hejsan Jag har ett litet problem, jag undrar om man på ett enkelt sätt kan ta reda på om en linje i ett koordinatsystem skär igenom en rektangels eller cirkels area i samma koordinatsystem. Tack på förhand
Johan

Svar:

En linje som går genom en punkt (x0,y0) och har riktningsvektor (a,b) har ekvationen på parameterform

(x,y) = (x0,y0) + t(a,b) = (x0 + ta, y0 + tb).

Att en punkt (x,y) på linjen befinner sig på cirkelperiferin

A(x - x1)2 + B(y - y1)2 = r2

innebär att

A(x0 + ta - x1)2 + B(y0 + tb - y1)2 = r2

för något värde på t. Försök alltså lösa ut t ur denna andragradsekvation. Om den har två olika lösningar skär linjen genom cirkelskivan, har den en lösning tangerar linjen cirkeln och saknar den lösning går linjen helt utanför cirkeln.

Rektangeln begränsas ju av fyra linjer. Antag att två hörn på samma sida är P och Q. Låt v vara vektorn PQ. Linjen genom P och Q har ekvationen på parameterform

(x,y) = P + tv.

Punkten (x,y) ligger på sträckan PQ bara då 0 <= t <= 1. I detta fall är det bättre att ha ekvationen på normalform för den eventuellt skärande linjen,

Ax + By = C.

Sätt in x och y i uttrycket på parameterform i den senare ekvationen och se om denna har en lösning t med 0 <= t <= 1. Kontrollera sedan på samma sätt om linjen skär övriga sidor i rektangeln.

Kjell Elfström


12 november 2000 10.13.53
Jag håller på med gränsvärden och har fastnat vid en riktig kluris. Hoppas ni kan hjälpa mig. Jag ska beräkna lim x->0 (cos4x-cos2x)cot^2(3x) Tack på förhand
David

Svar:

Additionsformeln för cosinus ger att

cos4x-cos2x=cos(3x+x)-cos(3x-x)=

=cos3x*cosx-sin3x*sinx-(cos3x*cos(-x)-sin3x*sin(-x))=-2sin3x*sinx.

Vi får nu
(cos4x-cos2x)*cot2(3x)=-2sin3x*sinx*cos23x/sin23x=-2sinx*cos23x/sin3x=

-2sinx*(1-sin23x)/sin3x=-2sinx/sin3x+2sinx*sin3x=-2(sinx/x)*(3x/sin3x)*1/3+2sinx*sin3x,

vilket går mot -2*1*1*1/3+0=-2/3x-> 0.

Catarina Petersson


11 november 2000 21.07.29
Varför används inte negativa primtal?
M. Wandelt

Svar:

De behövs helt enkelt inte.

Catarina Petersson


11 november 2000 18.26.14
Hej!! Är det någon som kan svaret på de tre husen (el sop och vatten) (man ska dra ledningar till tre andra hus
[el]     [sop]     [vatt.]

[hus]  [hus]     [hus]

Och ledningarna får inte korsa varandra eller en ledning blir till två!!!!! Någon som har svaret???
Patrik

Svar:

Svaret är att det inte går.
Vi drar några ledningar från några av el-, sop- och vatten-husen till några av bostadshusen, tex
el->hus 1->vatten->hus 2->sopor->hus 3.
Om vi nu drar en ledning från hus 3 till elhuset så får vi en loop. Som vi ser har loopen en insida och en utsida. Det återstår fortfarande tre ledningar att dra : från hus 1 till sophuset, från hus 2 till elhuset och från hus 3 till vattenhuset. Eftersom vi inte får korsa de redan dragna ledningarna, måste de nya ledningarna dras antingen innanför eller utanför vår loop. Detta innebär att två ledningar måste vara antingen innanför eller utanför loopen. Dessa två ledningar kommer då att korsa varandra.

Catarina Petersson


10 november 2000 12.07.22
Hej, jag har gjort ett program som räknar ut pi.... och jag skulle gärna vilja ha något att jämföra med
Jonathan

Svar:

På  The Pi Page  finns en länk där du kan se de 50000 första decimalerna.

Catarina Petersson


9 november 2000 22.57.51
Hejsan! Jag undrar om impedansen i en högtalare är beroende av frekvensen Har nämligen fått för mig att den _inte_ är det. Kanske en fråga av icke-matematisk natur men tacksam för svar mvh Anders, Rickard & Petter

Svar:

Jag hänvisar till  Fråga vetenskapen om fysik .

Catarina Petersson


9 november 2000 22.34.24
Ett UFO och en människa börjar diskutera mattematik. Utomjordingen säger att 5+5=14, 14+5=23, 23+5=32, 5*3=23. Människan säger att 5+5=10, 14+5=19, 23+5=28, 5*3=15. Ganska snart inser de att bägge har rätt. De utgår bara från olika baser. Vilken bas andvänder sig utomjordingen av? Jag lyckas inte hitta något bra sett att attackera problemet. Kan du hjälpa?
Johan M

Svar:

Vi antager att utomjordingen använder sig av basen b. Vi får då ekvationerna
5+5=b+4
b+4+5=2b+3
2b+3+5=3b+2
5*3=2b+3
som alla har lösningen b=6. Utomjordingen använder sig alltså av basen 6.
Observera att vi bara hade behövt en av ekvationerna ovan för att dra denna slutsats.

Catarina Petersson


9 november 2000 20.42.57
Hej igen, jag frågade tidigare om ett delbarhetsproblem, men kom på att jag skrev fel. Frågan var alltså att visa varför F(n)|2^F(n) - 2, men där F(n) = 2^(2^n) +1. Jag har ställt frågan tidigare, och ni svarade inte. Jag noterade att vissa frågor har lägre prioritet, kanske är detta en sådan. Jag uppskattar hursomhelst er sida mycket. Hälsningar
Magnus Waller

Svar:

Talen F(n) kallas Fermat-tal och för dessa gäller att F(n)|(F(m)-2) närhelst n<m. Detta inses på följande sätt:
Låt m=n+k och j=2k. Då är

F(m)-2=(F(n+k)-1)-1=(F(n)-1)j-1=F(n)j-F(n)j-1+... -F(n)+1-1,

vilket är delbart med F(n).
Nu är 2F(n)-2=2*(F(2n)-2) och eftersom, enligt ovanstående, F(n)|(F(2n)-2) är saken klar.

Catarina Petersson


9 november 2000 12.40.24
HEjsan ,,jag har ett problem med min mattelärare vi är väldigt oense om en lösning till en uppgift så jag skulle vilja ha en opartisk lösning. (3+roten ur 3) Sin^2 x - (3+roten ur 3) sinxcosx + 2roten ur3 cos^2 x = Roten ur 3 Tack på förhand
LArs

Svar:

Vi dividerar med sqrt(3) och använder därefter trigonometriska ettan, vilket ger

sqrt(3)sin2x-(sqrt(3)+1)sinxcosx+cos2x=0.

Vi faktoriserar nu detta så långt det går

sqrt(3)sinx*(sinx-cosx)-cosx*(sinx-cosx)=0

(sinx-cosx)*(sqrt(3)sinx-cosx)=0.

Alltså är antingen
sinx=cosx,  vilket är uppfyllt för x=pi/4+n*pi,
eller är
sqrt(3)sinx=cosx, dvs tanx=1/sqrt(3) vilket är uppfyllt för x=pi/6+n*pi.

Catarina Petersson


8 november 2000 22.53.18
Hej! Jag behöver lösa följande problem: 1) lim ( sqrt(x^2 + 3x) -x ) , x går mot oändligheten 2) lim ( sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x^2 - 4x) ) , x går mot minus oändligheten 3) beräkna 1:a och 2:a deriavatan y = ln ( (sqrt (x)) + (sqrt (x+1) )
Dilleman KTH Kista

Svar:

1) Vi multiplicerar med konjugatuttrycket och får

sqrt(x2+3x)-x=(sqrt(x2+3x)-x)*(sqrt(x2+3x)+x)/(sqrt(x2+3x)+x)=
=3x/(sqrt(x2+3x)+x)=3/(sqrt(1+3/x)+1),
vilket går mot 3/2x går mot oändligheten.

2) Vi gör variabelbytet t=-x och multiplicerar därefter med konjugatuttrycket. Detta ger

sqrt(x2+1)-sqrt(x2-4x)=sqrt(t2+1)-sqrt(t2+4t)=
=(-4t+1)/(sqrt(t2+1)+sqrt(t2+4t))=(-4+1/t)/(sqrt(1+1/t)+sqrt(1+4/t)),
vilket går mot -2t går mot oändligheten.

3) Här är det oklart vad Du menar; uttrycket innehåller 5 vänsterparanteser och 4 högerparanteser.

Catarina Petersson


8 november 2000 12.43.50
Jag har problem med en uppgift av följande karaktär: Trigonometriska ekvationer: "Roten ur 3cos´2 + 6sin xcosx- Roten ur 3 sin´2x= Roten ur 3" Jag skulle bli väldigt glad om jag fick hjälp med den! mvh:pelle
Pelle

Svar:

Vi använder trigonometriska ettan och byter cos2x mot 1-sin2x, vilket ger ekvationen

6sinxcosx-2sqrt(3)sin2x=0.

Vi delar med 4*sqrt(3) och bryter ut sinx och får

sinx*(sqrt(3)*0.5cosx-0.5sinx)=0.

Eftersom sqrt(3)*0.5=sin(2*pi/3) och -0.5=cos(2*pi/3) kan vi nu använda additionsformeln för sinus. Detta ger

sinx*(sqrt(3)*0.5cosx-0.5sinx)=sinx*(sin(2*pi/3)*cosx+cos(2*pi/3)*sinx)=sinx*sin(2*pi/3+x)=0,

vilket är uppfyllt precis då x=n*pi eller x=-2*pi/3+n*pi.

Catarina Petersson


8 november 2000 11.19.24
Hej! Vad är pi exakt med alla decimaler?
Joachim

Svar:

Pi är kvoten mellan en godtycklig cirkels omkrets och dess diameter och kan inte beräknas exakt. Pi har alltså en oändlig decimalutveckling, och på  The Pi Page finns en länk där Du kan se de 50000 första decimalerna.

Catarina Petersson


8 november 2000 01.06.57
skriv bokstäverna : A, B, C. skriv sedan siffrorna 1, 2, 3 under respektive bokstav. dra nu ett streck från varje bokstav till varje siffra. dvs a ska anslutas till 1, 2, och 3. b ska anslutas till 1, 2 och 3. A B C 1 2 3 lös den så är du ett geni!
Dil Durrani, KTH Kista

Svar:

Jag antar att Du menar att strecken inte får skära varandra. Då är detta omöjligt. Se svaret till frågan  11 november 2000 18.26.14 .

Catarina Petersson


7 november 2000 17.38.28
Help! Jag förstår inte frågan. Random Sample x1.....xn from N(m,ô) both are unknown. är väl insamlade okända slumptal. m1* = ^x =(x1+x2+....+xn)/n m2* =(x1+xn)/2 är två sätt visa medelvärdesberäkning antar jag. Men frågan: Show that both estimates are unbiased. estimate = mening, uppskattnig, värdering och unbiased = förutsättningslös, opartisk (några av de översättningar jag fann) Vad skall jag visa??? Determine the efficiency of m2* relative to m1* är fortsättningen på denna uppgift. Lika bra få den utredd också. Tack på förhand
lil

Svar:

m1* och m2* är två stycken punktskattningar av den obekanta konstanten m.

Skattningen (x1+x2+...+xn)/n är en observation av en stokastisk variabel

Xm=(X1+X2+...+Xn)/n,   där Xi är N(m,ô).
Att visa att skattningen är väntevärdesriktig ("unbiased") är att visa att den stokastiska variabeln Xm har väntevärdet m.
Nu är
E(Xm)=E((X1+...+Xn)/n))=(E(X1)+...E(Xn))/n=n*m/n=m,
och sålunda är (x1+...+xn)/n en väntevärdesriktig skattning av m.
På motsvarande sätt visas att skattningen (x1+x2)/2 är väntevärdesriktig.

En skattning med liten varians är bättre än en skattning med stor varians. Kvoten mellan variansen för den bättre skattningen och variansen för den sämre skattningen kallas effektiviteten hos den sämre skattningen relativt den bättre.
Nu är

Var((X1+...+Xn)/n)=(Var(X1)+...+Var(Xn))/n2=n*ô2/n22/n
och
Var((X1+X2)/2)=ô2/2,
och vi får effektiviteten
(ô2/n)/(ô2/2)=2/n.

Catarina Petersson


7 november 2000 17.23.35
Hej alla änglar på matematiska trappstegen. Jag behöver lite hjälp med statistik. I en kemisk lösning ingår ett ämne som jag vil bestämma. Halten av detta ämne sätts = m Analysmetoden ger slumpmässiga fel med standardavvikelsen = 0,5 Nu vill jag göra n stycken analyser och skatta m med medelvärdet x av mätvärdena Hur många analyser behövs för att få P(|X-m|<= 0,25)= 0,99 m brukar ange en fysikalisk konstant, x ett aritmetiskt medelvärde och X en stokastisk variabel. (problem med göra streck över kryssen) När jag ska försöka beräkna så blir det tvärstopp i hjärnkontoret. Hur gör jag i detta fall? Svara gärna utförligt så jag ser var jag hamnar fel. Tack!!!
lil

Svar:

Om mätfelen antas vara N(0,ô), där ô=0.5, så är mätningarna slumpmässigt stickprov från N(m, ô).
x1,...xn är alltså observationer av X1,...Xn där Xi är N(m,ô).
Låt Xm=(X1+...Xn)/n.
Xm-m är normalfördelad med E(Xm-m)=0 och Var (Xm-m)=ô2/n, och således är (Xm-m)/(ô/sqrt(n)) i N(0,1).
Vi får nu att

P(|Xm-m|<=0.25)=P(-0.25<=Xm-m<=0.25)=
=P(-0.25/(ô/sqrt(n))<=(Xm-m)/(ô/sqrt(n))<=0.25/(ô/sqrt(n)))=0.99.

För en variabel Y i N(0,1) gäller att P(-2.58<=Y<=2.58)=0.99 (se tabell).
Det måste alltså gälla att  0.25/(ô/sqrt(n))>=2.58, där ô=0.5, och det minsta heltal som uppfyller detta är n=27.
Vi måste alltså göra 27 stycken analyser.

Catarina Petersson


7 november 2000 14.20.01
Antag f kont deriverbar, period 2*pi, f har komplexa fourierkoeff Cn. Visa att lim(n->+-oä){n*Cn}=0
Magnus

Svar:

Det gäller att

Cn(f)=1/(2pi)int(a, b)f(x)*e-inxdx,

där intervallet (a,b) har längden 2*pi . Vi kan välja intervallet (0,2*pi).
Vi får nu med hjälp av partialintegration att

nCn(f)=n*1/(2pi)int(0, 2*pi)f(x)*e-inxdx=
=n*1/(2pi)*(f(2pi)e-in2pi/(-in)-f(0)*e-in0/(-in))-n*1/(2pi)int(0, 2*pi)f'(x)*e-inx/(-in)dx=
=1/(2pi)int(0, 2*pi)f'(x)*e-inx/idx=Cn(f')/i,
där vi utnyttjar att f(2*pi)=f(0).
Alltså är inCn(f)=Cn(f').

Enligt Bessels olikhet gäller att

sum(-oä, +oä)|Cn(f)|2<=1/(2pi)int(0, 2*pi)|f(x)|2dx.

För bevis av detta hänvisar jag till någon bok i analys.
Vi får därmed att

sum(-oä, +oä)|nCn(f)|2=sum(-oä, +oä)|Cn(f')|2<=
<=1/(2pi)int(0, 2*pi)|f'(x)|2dx<oändligheten.

Eftersom serien konvergerar måste dess termer gå mot noll, och således gäller att |nCn(f)| -> 0 då n -> oändligheten.

Catarina Petersson


6 november 2000 17.00.43
Överallt dyker begreppet isomorfi ("isomorphism") upp. Jag har inte riktigt insett den (uppenbarligen stora) roll som detta begrepp spelar. Vad innebär det och varför är det ett så centralt begrepp i många olika sammanhang?
Daniel

Svar:

Löst uttryckt är en isomorfi en bijektion mellan två mängder som är strukturbevarande.

Vi tar ett exempel:
Låt (G1,* ) och (G2,*' ) vara två grupper. En isomorfi f från G1 till G2 är en avbildning som är bijektiv, dvs. injektiv och surjektiv, och sådan att

(1)    f(x*y)=f(x)*'f(y) för alla x, y i G1.

Grupperna G1 och G2 säges vara isomorfa om det existerar en isomorfi från G1 till G2.
Om två grupper är isomorfa är de identiska förutom namnen på elementen och på operationerna:
Eftersom f är bijektiv så hör till varje element i G1 precis ett element i G2 och tvärtom. Detta ger namnbytet. Egenskapen (1) bevarar strukturen, ty produkten av två element i G1 motsvaras av produkten av bildelementen.
Två isomorfa grupper kan således betraktas som "samma grupp".
Tex är grupperna (R+,* ) och (R,+) isomorfa . Avbildningen f(x)=ln(x), x i R+, är bijektiv och f(x*y)=ln(x*y)=ln(x)+ln(y)=f(x)+f(y).
f är således en isomorfi mellan grupperna.

Ett annat exempel är följande:
Låt V och W vara linjära rum och T en linjär avbildning från V till W (dvs. T(a*u+b*v)=a*T(u)+b*T(v) för u, v i V, a, b skalärer) som är bijektiv. T kallas då en isomorfi.
V och W har vi strukturen multiplikation med skalär och addition av element, och det är ju precis detta som bevaras av en linjär avbildning.

Catarina Petersson


6 november 2000 15.16.56
Hej! Jag undrar om, och i så fall hur, man kan beräkna S exakt, då S = 1/(1+1/(3+1/(5+1/(7+1/(9+...)))))? Bråket är alltså "hur långt som helst" och S konvergerar mot 0.76159..., men kan det beräknas exakt?
Urban Lundman

Svar:

Kedjebråket S kan beräknas exakt och är lika med (e2-1)/(e2+1). Beviset för detta är dock för långt och komlicerat för att återges här och för detta hänvisar jag till boken Die Lehre von den Kettenbrüchen av Oskar Perron från 1912.

Catarina Petersson


6 november 2000 11.56.10
vem har uppfunnit derivata och integral beräkningarna?
k.S.

Svar:

Begreppet derivata infördes ungefär samtidigt av Isaac Newton (1643-1727) och Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Newton behövde begreppet bla då han studerade kroppars dynamik, och Leibniz införde det då han studerade maxima och minima samt tangenter till kurvor. Ordet derivata, som betyder avdelning, infördes senare av Joseph Louis Lagrange (1736-1813).

Genom att addera "oändligt många oändligt små delar" kan man beräkna areor och volymer. Denna metod behärskade man redan under antiken. Man kunde på detta sätt bestämma bla arean av ett cirkelsegment och klotets volym. Det sistnämnda resultatet tillskrivs Arkimedes (287-212 f Kr). Han beräknade klotets volym genom att dela in det i små skivor som approximerades med cylindrar. Newton och Leibniz visade senare att man kunde beräkna areor av områden som begränsas av krökta kurvbågar genom omvändningen till derivering, dvs att hitta en funktion vars derivata är en given funktion. Det är Leibniz som infört de beteckningar vi använder idag.
En formellt riktig behandling av integralbegreppet gjordes först under 1800-talet av Bernhard Riemann (1826-1866). Detta utvecklades senare av Henri Lebesgue (1875-1941).

Catarina Petersson


5 november 2000 17.47.43
Hej! Jag har två frågor som jag gärna vill ha svar på, nämligen dessa:
Visa att 2|[(n+2)2 -n2] för alla heltal n.
Visa att om a är ett udda heltal så är a2-1 delbart med 8. nu blev det lite fel det ska förstås vara upphöjt till 2 efter parentesen, även n upphöjt till 2 och a upphöjt till 2. Tackar på förhand Hälsningar Mari

Svar:

1) (n+2)2 - n2 = n2 + 4n + 4 - n2 = 4(n+1).
2) Om a är udda så kan vi skriva a = 2n +1, för något heltal n, så vi får

a2 - 1 = (2n + 1)2 - 1 = 4n(n+1),
vilket är delbart med åtta eftersom antingen n eller n+1 är jämnt.

Adam Jonsson


5 november 2000 00.15.56
Hej Fråga Lund! Jag lyckas inte visa att summa(i = 1 till n)[i / (2 ^ i)] < 2. Hur gör man?
Magnus

Svar:

Varför inte slå på stort och beräkna summan exakt? Sätt

(1)        f(x) = summa[i från 1 till n] xi.
Enligt formeln för geometrisk summa vet vi att
(2)        f(x) = (xn+1 - 1)/(x - 1) - 1.
Vi ser från (1) att om vi ersätter x med 1/2 i uttrycket xf'(x) så får vi den sökta summan. Med hjälp av (2) får vi
x f'(x) = (n(x-1)xn+1 - xn+1 + x)/(x-1)2.
Byter vi ut x mot 1/2 i formeln ovan så får vi
summa[i från 1 till n] i (1/2)i = -2n(1/2)n+1 - 4(1/2)n+1 + 2 < 2, för alla n.

Adam Jonsson


2 november 2000 18.52.20
Hej Lund! f(x)=x+1-4*x^0.5 om jag skall bestämma f(x)=0 hur gör jag? och när det gäller var kurvan är strängt växande resp strängt avtagande vilken algoritm skall man använda för denna studie? /Björn

Svar:

1) Sätt y = roten ur x och lös andragradsekvationen.
2) Derivera som vanligt och kolla derivatans tecken.

Adam Jonsson


2 november 2000 18.32.37
Jag har ett stort problem med följande uppgift: "Lös elvationen 3-2x=|12-|x+12||" Jag skulle bli väldigt glad om någon hjälpte mig med denna
Pelle

Svar:

Se 30 oktober 2000 20.48.21.

Adam Jonsson


1 november 2000 20.45.04
tja Lund. har en uppgift jag ej funnit något rimligt svar på vore bra om ni kunde hjälpa mig. det är angående trigonmetriska ekvationer: (3+roten ur 3)sin^2x-(3+roten ut 3)sin x cos x + 2 roten ur 3cos^2x = roten ur 3 se det som en utmaning! tack på förhand Tobbe
Tobbe eriksson, Kalmar

Svar:

Ledning: Med hjälp av trigonometriska ettan kan du skriva om uttrycket så att du får en term = roten ur 3 i vänsterledet. Denna går sedan bort mot högerledet. Vänsterledet kan nu faktoriseras, varvid lösningarna är lätta att hitta.

Adam Jonsson


1 november 2000 19.12.27
Lös ekvationssystemet: log (nedsänkt till a) x + log (nedsänkt till a i kvadrat) y=3/2 log (nedsänkt till a i kvadrat) x+log (nedsänkt till b) (roten ur)y=1 Tack på förhand! Jag vore tacksam om ni kunde maila lösningen till poene@hotmail.com Ni är toppen!!!
Peter S

Svar:

Ledning: Använd att loga(b) = log(b)/log(a) samt de vanliga logaritmlagarna.

Adam Jonsson


1 november 2000 16.06.31
För att ta reda på extrempunkternas karaktär i en funktion f(x) är det som bekant bekvämt att derivera två gånger, ta reda på för vilka x f'(x) = 0 och sedan sätta in dessa värden i f"(x). Om f'(a) = 0 och f"(a) > 0 har f(x) ett lokalt minimum för x = a. Om f"(a)<0 har f(x) ett lokalt maximum för x=a. Men om f"(a) = 0 kan man inte dra någon slutsats om det utan får tillgripa teckenschema. Är det inte så att i de fall f"(a) = 0 har funktionen en terrasspunkt för x = a?
Jari Kinnunen

Svar:

Nej, inte nödvändigtvis. Till exempel har funktionen x4 ett minimum i x = 0 trots att dess derivata och andraderivata är noll i punkten x = 0. Om f'(a) = f"(a) = 0 så kan f ha antingen ett lokalt maximum, ett lokalt minimum eller en terrasspunkt i punkten a.

Adam Jonsson


1 november 2000 12.38.39
Vilken funktion verkar växa snabbare, fortsätter detta då x växer. Blir 1,1^x större än x^12? Om, så vilket är det första hela tal med vilket detta händer?

Svar:

Det gäller helt allmänt att om a är ett tal som är större än ett och b är ett annat tal, så har man att

ax/xb --> oändligheten då x går mot oändligheten.
Det här betyder alltså att ax växer mycket snabbare än xb, åtminstone för tillräcklligt stora x.

Adam Jonsson


1 november 2000 12.36.53
Genom ett filter som är 1,0cm tjockt passerar inte 85% av dammpartiklarna i luften. En kubikmeter luft som passerat ett filter av samma material med tjockleken 2,7cm fanns 7000 partiklar. Hur många dammpartiklar finns kvar i luften som inte passerat filtret.
Patrik Ikäheimonen

Svar:

Låt f(x) vara den andel av de partiklar som skickas in i filtret som inte absorberats efter x cm. Det verkar av fysikaliska skäl naturligt att tro att det ska gälla att f(x + y) = f(x)f(y), eftersom den andel som inte absorberats efter x cm är f(x) och efter ytterliggare y cm är andelen av de som passerade de första x cm som också överlever nästa y cm f(y). Totalt är andelen efter x+y cm därför f(x)f(y). Det följer nu att f(x) = ax, där a är någon konstant. Men vi vet att 85 % absorberas efter 1 cm, så a = 0,15. Därför är andelen som inte absorberas efter 2,7 cm lika med (0,15)2,7.

Adam Jonsson


1 november 2000 11.34.18
Jag behövde ett sätt att räkna ut en punkt på en kurva. Det enda man har att tillgå är ett par punkter på en kurva. Efter letande på Internet hittade jag följande programsnutt.

for j:=1 to AntalPunkter do begin
  product:=1;
  for i:=1 to AntalPunkter do begin
    if (i<>j) then begin
      product:=product*(xin-x[i])/(x[j]-x[i]);
    end;
  end;
  yut:=yut+product*y[j];
end;

x[] och y[] är de kända punkterna, xin är det kända x-värdet och yut är det önskade y-värdet. Vad gör funktionen ?
Peter Grahm

Svar:

Programmet verkar använda Newtons formel (se 23 april 1999 03.53.18), som är en metod att hitta ett högst n-1 gradigt polynom som passerar genom n givna punkter. Om man som i ditt fall bara har två givna punkter ger denna metoden helt enkelt linjen som passerar genom punkterna. Ekvationen för den linjen kan man mycket lätt hitta genom att använda likformighet av trianglar: Rita upp linjen som passerar genom de två givna punkterna (x1,y1) och (x2,y2). Låt (x,y) vara en godtycklig punkt på linjen. Linje-elementet mellan punkterna (x,y) och (x1,y1) samt en vågrät och en lodrät linje bildar en triangel som är likformig med triangeln som fås på motsvarande sätt med punktparet (x1,y1) och (x2,y2). Likformigheten ger

(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1),
det vill säga
y = y1 + (x - x1)*(y2 - y1)/(x2 - x1).

Adam Jonsson


1 november 2000 11.06.08
Igår ställde jag en fråga till er, och idag kom jag på svaret. Frågan löd: "Är det möjligt för en springare att gå på alla rutor om den börjar I ett hörn och slutar I motsatt hörn? Varje ruta får bara passeras en gång, vilket blir 63 drag." Det här specialfallet av Knight's tour visade sig vara väldigt enkelt. Antag att springaren börjar på svart ruta. Det första draget kommer att föra springaren till en vit ruta. Det andra draget kommer att föra den till en svart ruta o.s.v. Efter varje udda drag kommer springaren att stå på en vit ruta och så även efter det 63:e draget. Men, diagonaler på ett schackbräde har samma färg, så motsatt hörn är svart och det är omöjligt att nå denna ruta på det 63:e draget. :)
Paul Draaisma - paul@draaisma.net

Svar:

Det här är ett arrangemang som jag gillar: läsarna står för både frågorna och svaren!

Adam Jonsson


31 oktober 2000 10.36.25
Jag undrar en sak om pi. Man kommer ju fram till fler och fler decimaler i pi hela tiden. Hur kan man bevisa att just de decimaler man har kommit fram till är de rätta decimalerna?????
Andreas

Svar:

En typisk situation när man beräknar decimaler av pi är att man har en formel för pi i form av en oändlig summa. Summerar man de första n termerna i summan, där n är ett mycket stort tal, så får man ett närmevärde på pi. För att veta hur bra närmevärdet är måste man få en uppfattning om hur liten summan av de resterande termerna i serieuttrycket för pi är. Det här kan man inte beräkna exakt eftersom vi ju inte känner pi:s samtliga decimaler. I stället får man använda sin matematiska fingerfärdighet för att få en uppskattning av hur nära noll felet hos närmevärdet är. Med denna information kan man sedan härleda att ett visst antal av decimalerna i närmevärdet måste vara exakt de samma som motsvarande decimaler för pi.

Adam Jonsson


31 oktober 2000 08.34.23
"Är det möjligt för en springare att gå på alla rutor om den börjar I ett hörn och slutar I motsatt hörn? Varje ruta får bara passeras en gång, vilket blir 63 drag." Detta är alltså en variant av "Knight's tour". Min första fråga är om det finns ett "enkelt" sätt att resonera för att kunna ge ett svar på frågan om existens i det här speciella fallet. Mer generellt, går det hitta en Knight's tour mellan två godtyckliga rutor? För att genomföra en Knight's tour kan man konsekvent välja att hoppa till den ruta vilken har minst antal "utgångar" (Warnsdorffs regel), men denna regel utesluter (många?) lösningar (och fungerar sämre på lite större bräden). Går det att säga något om huruvida denna regel kan leda till en lyckad Knight's tour från ena hörnet av brädet till det andra? Slutligen undrar jag om du kan rekommendera litteratur som behandlar den här typen av frågeställningar. Tack på förhand!
Paul Draaisma - paul@draaisma.net

Svar:

Se 1 november 2000 11.06.08.

Adam Jonsson


30 oktober 2000 20.50.24
Hej! efter mycket klurande får jag inte rätt på z^5=-pi^2 (minus pi i kvadrat) Har ni något tips
johan

Svar:

Låt a vara ett komplext tal. Vi skriver det på polär form som a = r*eiv, där i är den imaginära enheten. Låt oss säga att vi vill hitta alla (komplexa) lösningar till ekvationen

(1)       zm = a.
Vi gör det genom att skriva
zm = r*eiv = r*eiv+i*2*pi*n,
där n är ett godtyckligt heltal. Upphöjer vi bägge sidor i likheten till 1/m får vi
(2)       z = r1/m*ei(v+2*pi*n)/m.
Vi ser att vi får olika rötter z då n = 0, 1, ... , m-1, och att rötterna därefter upprepas cykliskt. Samtliga m rötter till ekvationen fås alltså genom att låta n löpa över talen 0, 1, ... , m-1 i (2).

Adam Jonsson


30 oktober 2000 20.49.00
Hej! Jag har problem med att lösa följande: 2^(4-x) * 8^(x-1)=2^(x+2) -16 +4^(x+1) Efter att ha följt det potensregler jag kan så har jag förenklat ner det till. 2^(1+2x)=2^(x+2)-2^4+2^(2x+2) men hur löser jag ut X härifrån? MVH Fredrik
Fredrik

Svar:

24 - x * 8x - 1 = 2x + 2 - 16 + 4x + 1,

vilket vi skriver om till
16 2-x 8-1 23x = 4 2x - 16 + 4 22x
Ersätter vi 2x med y och snyggar till kommer vi till andragradsekvationen
y2 + 2y - 8 = 0,
som du säkert kan lösa själv.

Adam Jonsson


30 oktober 2000 20.48.21
Hej , klarar inte av att lösa denna uppgift, hur ska man lösa det när det är två absolutbelopp, det måste bli flera olika fall med olika intervall men hur ? 3-2X = |12-|X+12|| mvh Göran
Göran

Svar:

Enlig definition är |x + 12| = x + 12 om x >= -12 och -x - 12 om x < -12. På samma sätt är |12 - |x + 12|| = 12 - |x + 12| om |x + 12| >= 12 samt -12 + |x + 12| om |x + 12| < 12. Du får alltså olika ekvationer beroende på vilket värde x har. Det enda du behöver göra är att tänka ut för vilka x en viss ekvation gäller och sedan lösa ekvationen.

Adam Jonsson


30 oktober 2000 20.45.24
Hej jag har problem med nedanstående tal, jag får ut ett svar som är pi/6 + n*pi , men misstänker att det ska bli ett svar till eller att något talområde blir ogiltigt. 2sin^2X + 3cos^2X - sqrt(3)sinXcosX = 2 Med Tack På Förhand
Karl Svensson

Svar:

De första två termerna i vänsterledet förenklas till 2 + cos2(x), så ekvationen är ekvivalent med

cos(x)(cos(x) - sqrt(3)sin(x)) = 0.
Ekvationen cos(x) = 0 är lätt att lösa. Om vi antar att cos(x) inte = 0, så måste det gälla att tan(x) = 1/sqrt(3). Detta är också en lätt ekvation.

Adam Jonsson


30 oktober 2000 20.40.07
Finns det någon svensk bok (eller dokument på nätet) som lär ut engelska matematikord och uttryck (från svenska) ? Jag vill alltså kunna förstå och uttrycka mig matematiskt även på engelska men vanliga lexikon saknar ofta en hel del ord och uttryck. Hur tycker Ni jag ska gå till väga ? (Jag går på gymnasiet.)
William Jacobsson

Svar:

Jag känner inte till något matematiskt svensk-engelsk lexikon. Däremot vet jag att det finns matematiska uppslagsböcker, både på svenska och på engelska. Till ett sådant kan man ju vända sig för få reda på betydelsen av ett okänt matematiskt begrepp. För att komma till rätta med problemet att hitta de rätta engelska uttrycken för olika matematiska begrepp ser jag ingen annan råd än att göra som alla andra gör: läs engelska läroböcker.

Adam Jonsson


29 oktober 2000 19.55.40
Hej Lund.
Jag har problem med en ekvation som lyder som följande:
x2 +x=sin 2x som ligger i intervallet 0<x<1
-
Jag kan inte komma på något sätt att lösa denna ekvation exakt, men däremot numeriskt. Det borde fungera med att tillämpa Newton-Rapsons metod, men jag förstår inte riktigt hur den fungerar. Om ni skulle kunna förklara ingående, även tillvägagångssättet och den exakta lösningen, skulle jag vara er evigt tacksamma.
Patrik

Svar:

Någon exakt löning kan jag inte ge dig. Om man deriverar några gånger och studerar tecknet ser man att ekvationen har precis en lösning i intervallet. Newton-Raphsons metod för att lösa ekvationen f(x) = 0 innebär att man väljer ett lämpligt startvärde x0 och sedan successivt beräknar nya värden

xn + 1 = xn - f(xn)/f '(xn).

Om x är den exakta roten ligger, för hyggliga funktioner, |xn + 1 - xn| mycket nära |xn + 1 - x| varför det absoluta felet är ungefär |xn + 1 - xn|. Detta ger ett kriterium när man kan avsluta iterationen.

Funktionen i frågan är f(x) = x2 + x - sin 2x. Startar man med x0 = 0,6 får man x1 = 0,5810471037. Efter tre iterationer till har approximationerna stabiliserats på 0,5802959336 när man räknar med 10 decimaler. Vill man ha en mer stringent feluppskattning kan man notera att funktionen är strängt växande kring roten, att f(0,5802959336) > 0 och f(0,5802959335) < 0 varför den exakta roten ligger mellan dessa båda värden.

Kjell Elfström


29 oktober 2000 14.48.59
Hej!
Tack för att ni finns och hjälper.
Sidorna på ett rättblock ändras med tiden. Vid en tidpunkt har sidorna längden 4, 5, resp 6 cm. Vid det tidpunkten ökar sidorna med längden 5 och 6 cm 1 cm/min, den tredje sidan med längden 4 cm minskar 2 cm/min. Hur ändras volymen med avseende på tiden?
Tack för hjälpen.
Muraad

Svar:

Om V(t) är volymen och l(t), b(t) och d(t) är längd, bredd och tjocklek vid tiden t är

V(t) = l(t)b(t)d(t).

Derivera V enligt produktregeln med avseende på t och sätt sedan in värdena.

Kjell Elfström


28 oktober 2000 13.21.31
Hej! En stor, öppen och cylinderformad vattentank ska konstrueras. Tanken ska rymma 1000 kubikmeter och ha en bottentjocklek på 0,25m. För väggtjockleken t m gäller t= 0,002*x*r där x m är det maximala vattendjupet och r m är tankens radie. Undersök hur mycket cement det MINST går åt. Det här är en fråga av "hemuppgiftskaraktär" som jag har funderat på ett tag. Hur ska funktionen se ut? (jag tror att det hela kan lösas med en fuktion och derivering).
Roger

Svar:

Här är sökresultatet av en sökning efter "cement".

Kjell Elfström


27 oktober 2000 13.53.36
hej jag undrar lite om area och sånt . jag förstår inte det riktigt?
maja

Svar:

Du får nog precisera frågan något.

Kjell Elfström


27 oktober 2000 11.05.36
Med nuvarande befolkningsökning fördubblas Mexikos folkmängd vart 15 år. Hur många gånger så stor blir den på 100 år?
Helt borta!

Svar:

Formuleringen tyder på att det sker en fördubbling vart 15 år oberoende av från vilket år man börjar räkna. Vi antar alltså att tillväxten är exponentiell. Om folkmängden år 0 är A är den A2t/15 år t. Förhållandet mellan folkmängden år 100 och år 0 är alltså 2100/15.

Kjell Elfström


19515 frågor av sammanlagt 19942 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)