Fråga Lund om matematik

Sökresultat


4 maj 1999 14.25.05
Kan någon hjälpa mig med detta tal: Bestäm den punkt på kurvan r=(cos t, sin t, e^t) i vilken tangenten är parallell med planet: (sqr 3) x +y -- 4= 0. ( ON-system)
Lotta Andersson

Svar:

Ett plan skrivet på formen ax+by+cz=d har en normalvektor (a,b,c) som är ortogonal mot varje vektor i planet. En vektor är parallell med planet om den är ortogonal mot vektorn (a,b,c). Kurvan r(t)=(cos t,sin t,et) har tangentvektorn r'(t)=(-sin t,cos t,et). Jag tolkar det du har skrivit som att vi har (a,b,c)=(sqrt(3),1,0) (kvadratroten ur 3). Att r'(t) är ortogonal mot denna vektor betyder att cos t-sqrt(3)sin t=2sin(Pi/6-t)=0, och detta uppfylls då t=Pi/6+k*Pi, k godtyckligt heltal.

Joakim Petersson


3 maj 1999 22.28.15
Hej, skulle bli jätte glad om ni kund tala om för mig vart jag kan hitta programm till calculatorn texas 83:an. Tack så mycket på förhand. Nadja.

Svar:

Jag vet tyvärr inte var sådana program finns.

Joakim Petersson


3 maj 1999 22.21.12
Hej! Eftersom den enklaste härledningen av ellipsens ekvation erhålls ur ett cirkulärt cylindersnitt d.v.s. med Pythagoras sats samt likformighet och man behöver inte vare sig brännpunkter eller konstiga samband, hur kommer det då sig att ellipsen definieras som ett kägelsnitt? P.s. Hur förhöll sig Euklides till brännpunkter? Tack på förhand.
Rikard.R

Svar:

Man kan definiera ellipsen på många olika sätt. I ett vanligt koordinatsystem är ellipsens ekvation x2/a2+y2/b2=1, och för att skriva upp den behöver man inte nämna brännpunkter och konstiga samband, och inte heller i den härledning du nämner. Genom att använda en definition där man inför brännpunkt och styrlinje, kan man på ett enhetligt sätt beskriva alla kägelsnitten: ellipsen, parabeln och hyperbeln med hjälp av en positiv parameter e, excentriciteten (ellips om e<1, hyperbel om e>1 och parabel i gränsfallet e=1). Det är svårt att uttala sig om Euklides i samband med kägelsnittens teori, eftersom han visserligen påstås ha skrivit en lärobok i ämnet, men denna finns inte bevarad. Jag kan dock inte tänka mig att Euklides skulle ha försummat att nämna tex brännpunkter.

Joakim Petersson


3 maj 1999 21.54.04
Hej! Jag undrar om det finns nåt sätt att få tag på en kopia av Andrew Wiles lösning till Fremats gåta (x^n+y^n=z^n), om det finns nåt universitet som har en kopia man kan få eller på nåt annat sätt få tag på den. Email: pjn2000@hotmail.com MVH Per-Johan Nilsson, en blivande matematiker.
Per-Johan Nilsson

Svar:

Andrew Wiles publicerade bevis för att ekvationen xn+yn=zn inte kan uppfyllas med heltal x, y, z, n om n>2 (Fermats sista sats) är i högsta grad beroende av en mängd tidigare avancerade resultat av kända (och mindre kända) matematiker och man kan, med en lätt överdrift, säga att beviset bygger på hela den kända matematiken fram till nu och samtidigt (för att framhålla Wiles insats) ger den en puff framåt. Man kan därför inte förvänta sig att förstå särskilt mycket som icke-expert, så jag föreslår att du först läser (den svåra) översikten av beviset på sidan The Mathematics of Fermat's Last Theorem och sedan söker vidare därifrån. Förhoppningsvis får du då lust att på en gång lära dig mer om de fascinerande och användbara saker som kallas elliptiska funktioner och modulära former.

Joakim Petersson


3 maj 1999 19.17.14
Hejsan! Det var så att jag nyligen hade b-kursprov och en uppgift var att ange nollsällena på en 2:a gradsfunktion. Jag svarade med koordinater: (-2;0) och (2;0. Dessa koordinater var helt rätt men jag fick inte rätt på frågan. Läraren sa att man var tvungen att endast ange att x=-2 och x=2, vilket jag tycker är samma sak eftersom en lärare borde förstå att i koordinater är den första koefficienten x-värdet och den andra koefficient är y-värdet. Borde jag inte få rätt på frågan? Tack på förhand
Fredrik

Svar:

Om frågan var vilka nollställen andragradspolynomet x2-4 har så bör svaret vara x=2 och x= -2 eftersom nollställen brukar anges så. Men jag håller med om att det viktigaste är att räkna rätt och förstår om du känner dig orättvist behandlad eftersom din lösning var korrekt.

Joakim Petersson


3 maj 1999 12.41.57
Hejsan! Jag hittade att ni skrivit om omöjligheten att integrera Gauss klockkurva. Då skrev ni om Liouville sats, som kan avgöra om integralen till en viss funktion har primitiv funktion. Jag är väldigt intresserad av denna sats och undrar om vi skulle vara vänliga om skriva litet mera om den. Dessutom undrar jag om den fungerar för funktioner som t.ex. sin(x^2), cos(x^2),(e^x)/x osv. Jag har hört om att den finns något som kallas Risch sats som kan avgöra om en funktion har en primitiv funktion eller ej. Kan ni satsen? Tack!
Marko

Svar:

Problemet är huruvida en viss elementär funktion har en primitiv funktion som också är en elementär funktion. Vad är då en elementär funktion? Enkelt uttryckt kan man säga att en funktion är elementär om den kan byggas upp i ett ändligt antal steg av algebraiska funktioner, exponentialfunktionen, logaritmfunktionen och de trigonometriska och inversa trigonometriska funktionerna genom sammansättning och de fyra räknesätten. Ännu bättre är att tillåta variabeln att vara komplex, då räcker det med de tre förstnämnda typerna av funktioner och man kan också använda algebrans fundamentalsats: varje polynom med komplexa koefficienter har ett komplext nollställe ( C är algebraiskt sluten), vilket ledde fram till en teori för elementär integration som utarbetades av den franske matematikern Joseph Liouville (1809-1882) under åren 1833-1841.

En algebraisk funktion är en funktion k(x) som ges implicit av en polynomekvation an(x)kn+an-1(x)kn-1+... +a0(x)=0, där aj(x) är polynom (samma ekvation definierar i allmänhet flera algebraiska funktioner). Detta inkluderar rationella funktioner (kvoter mellan polynom), potensfunktioner (kvadratrötter etc) och en hel mängd andra.

En modern abstrakt formulering av Liouvilles grundläggande sats är följande: Låt F vara en differentialkropp med en algebraiskt sluten konstantkropp K. Låt f tillhöra F och låt vidare g vara elementär över F med g'=f. Då finns v0, v1, ...,vk i F och c1,..., ck i K så att f=v0'+c1v1'/v1+... +ckvk'/vk. En ofta använd följdsats (Liouville) är som i svaret på frågan du hänvisar till följande: Om f och g är (komplexa) rationella funktioner och g inte är konstant så har feg en elementär integral om och endast om integralen är aeg för någon rationell funktion a, som givetvis måste uppfylla a'+g'a=f. Fallet med ex/x kan du lösa genom att ansätta a=p/q, där p och q saknar gemensamma nollställen (förkorta bort dem annars), visa att q inte kan ha några nollställen (så att du kan sätta q=1) och få att (p'+p)x=1, vilket uppenbart är omöjligt. Alltså saknar ex/x elementär integral. Att även sin x2 och cos x2 gör det kan visas med en variant av följdsatsen.

En artikel med titeln The solution of the problem of integration in finite terms författad av Robert H. Risch publicerades 1970 i Bull. Amer. Math. Soc. Där beskriver han en algoritm för att utnyttja Liouvilles sats systematiskt som sedan har implementerats i datorprogram för symbolisk integration av allt större klasser av elementära funktioner.

Joakim Petersson


3 maj 1999 12.30.16
Tjenare! Jag såg att någon i föregående månads frågor hade en fråga angående Cauchys metod vid lösningen av lineära differentialekvationer. Det han nog menade var inte Cauchy-Eulers polygonmetod, utan en exakt metod. Jag hittade i en bok följande information om Cauchys metod. De säger att den kan alltid användas vid lösningen av lineära differentialekvationer med konstanta koefficienter, men den används även för att lösa lineära diff.ekv. med icke konstanta koefficienter. Metoden lyder följande: "Om man i den homogena ekvationens allmäna lösning, y=C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn, bestämmer konstanterna så att för x=a (alfa) blir y=0, y´=0, ..., y(n-2)=0, y(n-1) = F(a), där a är en parameter som kan väljas fritt. Om den homogena ekvationens lösning nu benäms med (fi) o(x,a), då är INT(o(x,a)da) (integrationsgränserna går från x0 till x) den partikulära lösningen, som för x=xo försvinner tillsammans med sina derivationer upp till (n-1). Det var allt jag hittade om denna metod. Jag skulle vara tacksam om ni kunde förklara denna metod litet mera ingående, och om det är möjligt, kanske bifoga någon exempel som lösts med denna metod. Tack på förhand!
Marko

Svar:

Det du beskriver är hur man kan skriva upp en partikulärlösning till en lineär differentialekvation y(n)+an-1(x)y(n-1)+...+a0(x)y=F(x) på integralform y(x)=Intx0x E(x,z)F(z)dz om man känner lösningarna (det finns precis n st lineärt oberoende sådana) till den homogena ekvationen, dvs ekvationen då F=0. Denna metod brukar inte kallas Cauchys metod i dagens läroböcker men det är mycket möjligt att du har rätt och att det var detta frågan 13 april 1999 10.48.10 handlade om. För att få partikulärlösningen skall E(x,z) tas som den entydigt bestämda lösningen till den homogena ekvationen som uppfyller y(z)=y'(z)=...=y(n-2)(z)=0, y(n-1)(z)=1. Man kan då verifiera att y(x) ovan är en partikulärlösning som för x=x0 försvinner (dvs är lika med noll) med alla sina derivator upp till den (n-1):a. Ett exempel är partikulärlösningen Int0x sin(x-z)F(z)dz till ekvationen y''+y=F(x). En lämplig bok att titta i är tex Ordinära differentialekvationer av K. G. Andersson och L.-C. Böiers.

Joakim Petersson


3 maj 1999 12.18.05
tjena på er! Jag och mina polae brukar spela innebandy... vi delar in lagen genom att slänga in klubborna i mitten och dela in dem i 2 högar... vi är olika många olika gånger och därför lyder min fråga. jag vill ha en heltäckande formel för att räkna ut hur många olika kombinationer det finns... Jag har försökt själv men lyckas inte riktigt... allt mellan 2 och "domus" spelare ska den stämma på... (2 spelare ger 1 möjlig kombination, 3 spelare ger kombinationen A-BC,AB-C och AC-B om A,B och C är spelarna) Jag gjorde en uppställning där jag "manuellt" räknade ut antalet kombinationer på upp till 10 spelare, men det ville sig inte med att hitta en formel som gav rätt svar.
John

Svar:

Vi låter p(n) stå för antalet kombinationer med n spelare. Lite mer formellt kan vi då säga att p(n) är antalet partitioner av {1,...,n} i två icke-tomma delmängder (lagen). Antag att det kommer en (n+1):a spelare. Hon eller han kan då bilda ett lag mot resten, vilket ger en kombination. Annars går den nytillkomna in i ett av de redan existerande lagen, detta ger 2p(n) kombinationer (två för varje lagindelning). Vi får därför en rekursionsformel: p(n+1)=2p(n)+1, där p(2)=1, p(3)=3, p(4)=7, p(5)=15 osv. Formeln du söker är p(n)=2n-1-1.

Joakim Petersson


3 maj 1999 11.26.10
Hej! Min fråga gäller induktionsbevis. Jag har inga problem med dem så länge det gäller summor men hur gör jag för att bevisa att 2^n är större än n^3 för alla n större eller = 10
Marita Lilja

Svar:

Du använder samma princip. Då n=10 är påståendet sant eftersom 210=1024>1000=103. Antag att påståendet är sant för ett visst n. Då är 2n+1>2n3>(n+1)3 om (n+1)/n<21/3=1.26. Detta är i sin tur sant om n>=4, så induktionssteget fungerar speciellt då n>=10. Påståendet gäller därför för varje n>=10.

Joakim Petersson


3 maj 1999 10.27.48
Jag har fått en uppgift i matte som jag inte riktigt klarar av. Den lyder En jeep kan sammanlagt ta 200 liter bensin i tanken och lösa dunkar. Jeepen kommer 2,5 km på 1 liter bensin. Jeepen skall färdas 1000km Var skall man ställa ut dunkar för att bensinen inte skall ta slut innan man kommit fram och hur får man fram dunkarna. Jag har kommit fram till ett svar men inte kommit på en funktion som kan vias att just min lösning ger den lägsta bensinförbrukningen.
Daniel Stensson

Svar:

Se 19 februari 1997 18.12.48.

Joakim Petersson


3 maj 1999 09.29.25
Snälla, jag skulle göra ett program som omvandlar decimala tel till romerska tal? Finns det någon algoritm för det?
zc@tripnet.se

Svar:

Det är säkert meningen att du själv skall tänka ut en algoritm. Regler för att skriva romerska tal mm kan du finna här.

Joakim Petersson


2 maj 1999 22.17.08
Gäller att om ett gaussiskt heltal är ett gaussiskt primtal så är dess norm ett primtal? Och isåfall hur bevisas detta?
Baran Sölén

Svar:

Inte nödvändigtvis. Normen av att gaussiskt heltal g = a + bi definieras som N(g) = a2 + b2. Om ett vanligt primtal p också är ett gaussiskt primtal är uppenbarligen inte dess norm N(p) = p2 ett primtal. Man kan visa att de gaussiska primtalen är ±1 ± i, ±p och ±pi, där p är ett vanligt primtal, som ger resten 3 vid division med 4, och gaussiska heltal a + bi, sådana att a och b är skilda från noll och normen är ett vanligt primtal.

Antag att a och b är skilda från noll och att g = a + bi är ett gaussiskt primtal. Dess norm är ett positivt heltal d och g delar d. Låt p vara det minsta positiva heltalet som är delbart med g. Då är p ett primtal. Antag nämligen att p = m1m2, där m1 och m2 är större än 1 och mindre än p. Eftersom g är ett primtal, delar g antingen m1 eller m2 och detta motsäger att p är det minsta positiva heltalet som är delbart med g.

Det finns alltså ett primtal p och ett gaussiskt tal h sådana att p = gh. Det följer att N(g) delar p2 vilket ger att normen antingen är p eller p2. (Den kan inte vara 1.) Om normen är p2 är N(h) = 1, vilket ger att g är associerad med p, dvs på formen ±p eller ±pi.

Kjell Elfström


2 maj 1999 15.59.08
Vet ni var man kan få tag på nationella provet för matte E-kursen vt -99?
Peter

Svar:

Se Nationella prov.

Kjell Elfström


1 maj 1999 16.00.19
hur mycket är 174 cm i inch och 54 kg i pund?
tezzy

Svar:

1 inch är 2,54 cm, 1 pound är 0,453592 kg.

Kjell Elfström


1 maj 1999 14.59.14
Hur löser man integralen F(t) om: f(t)=sqrt(1+t²)? Går den att lösa med partialintegration?
Per Åberg

Svar:

Känner man till hur man bestämmer en primitiv funktion till 1/sqrt(1 + t2) kan man använda partiell integration av 1.f(t). Vi har nämligen att

I = Int1.f(t)dt = tf(t) - Int(t.t/sqrt(1 + t2))dt
= tf(t) - Int((1 + t2)/sqrt(1 + t2) - 1/ sqrt(1 + t2))dt
= tf(t) - I + Int(1/sqrt(1 + t2))dt.

Ur denna ekvation kan man sedan lösa ut I. För att bestämma en primitiv funktion till f eller 1/f kan man göra substitutionen t = sinh x. De hyperboliska funktionerna sinh och cosh definieras genom

cosh x = (ex + e-x)/2,    sinh x = (ex - e-x)/2.

Dessa funktioner är varandras derivator och uppfyller hyperboliska ettan, dvs

cosh2 - sinh2 = 1.

Substitutionen överför sqrt(1 + t2) på cosh x. Enklast är det förmodligen att använda substitutionen på 1/sqrt(1 + t2). Vi har nämligen att

Intdt/sqrt(1 + t2) = Int(cosh x)dx/(cosh x) = Int1dx = x + C.

Det återstår nu bara att uttrycka x i t, vilket vi gör genom att lösa ekvationen

ex - e-x = 2t.

Med y = ex kan detta skrivas

y2 - 1 = 2ty,

vilket är en andragradsekvation och när man bestämt dess positiva rot y är det bara att sätt x = ln y.

Kjell Elfström


30 april 1999 12.46.28
Hei! jag skulle vara intresserad av att veta hur man, så enkelt som möjligt, räknar talet pii, och härledning? (dvs. räkna intrgraalen algebratiskt) Tack!
DjVl

Svar:

Se Arctangent formulas for PI, som är en undersida till The Pi Page.

Kjell Elfström


30 april 1999 12.22.52
(A+j*B)^(1/n)=S+T*j i fallet n=2 så går det att uttrycka S o T i A och B med hjälp av radikaler går det även i fallet n=3?
Nils Börjesson

Svar:

Som bekant är vinkelns tredelning omöjlig. Vissa vinklar, som t ex en rät, kan tredelas men inte alla. Beviset av att vinkeln 60° inte kan tredelas, går ut på att a = cos 20° är nollställe till polynomet 8x3 - 6x - 1. Detta polynom är irreducibelt över de rationella talen Q och det gäller att [Q(a):Q] = 3. Detta visar också, enligt svaret på frågan 25 november 1998 20.07.14, att a inte kan fås genom successiva reella rotutdragningar från Q. Om A = cos 60°, B = sin 60° går det alltså inte.

Kjell Elfström


30 april 1999 11.50.12
Vad är det för formel som man använder när man vill att en data program ska rita en fraktal, och hur räkna man ut dess area och & omkrets?
Kimly Pettersson

Svar:

Jag tror att det krävs mer ingående upplysningar om detta, än vad som kan ges i denna frågelåda. Det finns ganska mycket information om fraktaler på Internet. Se svaret på frågan den 17 mars 1997 16.57.52.

Kjell Elfström


29 april 1999 22.56.13
En smörkub skärs fem gånger med hjälp av en smörkniv. Hur många bitar kan smörkuben på detta sätt maximalt delas in i om varje knivdrag är "rakt", dvs bildar ett plan, och om smörbitarna aldrig flyttas?
Aladdin Sane ("a lad insane")

Svar:

Se 15 januari 1999 18.37.51.

Kjell Elfström


29 april 1999 17.28.09
Hej Hur löser man denna uppgift En upp och nervänd kon med höjden 60 cm och radien 12 cm är delvis fylld med vatten. Vattnet läcker ut genom konen med en hastighet som är proportionell mot den area som är i kontakt med vattnet. Man fyller på vatten i konen uppifrån. Om påfyllnadshastigheten är 100 cm3/min kommer vattenytan att sjunka med hastigheten 0,6cm/min då vattenhöjden i konen är 24 cm. Hur stor ska påfyllnadshastigheten vara om man vill att vattenytan ska hålla sig på en konstant nivå?
Jessica

Svar:

Med V = volymen, A = arean och p = påfyllningshastigheten gäller alltså

dV/dt = p - kA

för någon konstant k. Förutsättningarna ger att r = h/5, varför volymen är V = Pi h3/75. Vidare är arean A proportionell mot h2. Insatt i ekvationen ovan ger detta att

dV/dt = (dV/dh)(dh/dt) = (Pi h2/25)(dh/dt) = p - ch2.

Då du känner h och dh/dt när p = 100 kan du bestämma c. Att nivån skall vara konstant innebär att dh/dt = 0, vilket innebär att p = ch2, där h är vattenhöjden vid påfyllningens början.

Kjell Elfström


28 april 1999 22.27.32
Hej! (2 frågor) 1.) Alla "metoder" för att räkna jag känner till t.ex derivator, tensorer och komplexa tal började man räkna med för flera hundra år sen. Finns det några "metoder" som kommit till de senaste åren eller decenierna?? 2.) Vilken/vilka delar inom matematiken brukar anses som det aldra svåraste att räkna med?, mest komplicerade?
Tacksam, Anders J

Svar:

1.) Jag känner inte till några sådana metoder. Vad gäller introduktionen av de komplexa talen, se svaret på frågan 26 mars 1999 13.42.05 .

2.) Det går förstås inte att ge ett rakt svar på frågan. Man strävar i matematiken hela tiden efter enkelhet och elegans, men det kan ändå kräva lång matematisk utveckling för att nå dit. Givetvis är inget område "lättare" än något annat; varje gren inom matematiken erbjuder sina svårigheter, på alla nivåer.

Joakim Petersson


28 april 1999 19.03.40
Förtydligande av mitt problem den 15/4. Naturligtvis rörde det sig om ett stavfel. Vad trodde ni? Beskriv utförligt hur jag beräknar: 1) arctan 1/2 + arctan 2 2) arccos 3/5 + arccos 4/5 Tack!
Annika Ahl, i Vadstena

Svar:

Vi ber härmed Annika om ursäkt för att vi först inte förstod att det rörde sig om oavsiktliga skrivfel.

1) Använd formeln arctan x+arctan(1/x)=Pi/2, x>0. Ett sätt att visa den är att derivera vänsterledet samt se att formeln stämmer för x=1.

2) Ur trigonometriska ettan cos2x+sin2x=1 följer att arccos x=arcsin(sqrt(1-x2)), 0<=x<=1. Formeln arcsin x+arccos x=Pi/2, -1<=x<=1 följer tex om man deriverar samt sätter x=0. Alltså är arccos(3/5)=arcsin(sqrt(1-9/25))=arcsin(4/5) och arcsin(4/5)+arccos(4/5)=Pi/2.

Joakim Petersson


28 april 1999 13.04.39
Hej En enhetscirkel har sitt centrum i (1,1). Hur stor blir rotationsvolymen om cirkelns TREDJE KVADRANT roterar ett varv kring x-axeln ? klurigt, inte sant? Tack på förhand
Fredrik

Svar:

Cirkelns ekvation är (x-1)2+(y-1)2=1. Den sökta volymen får vi genom att subtrahera rotationsvolymerna då kurvan y=1 och kurvan y=1-sqrt(1-(x-1)2), 0<=x<=1, får rotera kring x-axeln. Den första volymen är Pi och den andra är (gör variabelbytet x <-> 1-x) Int01Pi*y2dx=Pi*Int01(1+1-x2- 2sqrt(1-x2))dx. Nu är Int01sqrt(1-x2)dx=kvartscirkelns area=Pi/4, så den andra volymen är Pi(2-1/3-Pi/2)=5Pi/3-(Pi)2/2=0.301. Den sökta volymen är (Pi)2/2-2Pi/3=2.840.

Joakim Petersson


28 april 1999 11.45.32
Klarar inte detta problem: I ett hus där värmesystemet plötsligt upphör att fungera är det rimligt att antaga att temperatursänkningen per tids- enhet är proportionell mot skillnaden mellan inner- och yttertemp. Antag att yttertemp. är konstant minus 10 grader C. Om innertemp. var + 20 grader C när värmesystemet upphörde att fungera och + 15 grader efter 2 timmar, vad är då temp. i huset efter ett dygn?
Claes Andersson

Svar:

Låt y(t) stå för temperaturen i grader C efter t timmar. Antagandet, som brukar kallas Newtons avsvalningslag, leder till differentialekvationen y'(t)= -c(y(t)+10), där c är en positiv konstant. Lösningen till ekvationen är y(t)=Ae-ct-10. Nu ger y(0)=20 att A=30 och y(2)=15 ger att e-2c=5/6 (varav också c= -1/2*ln(5/6)=0.091). Vi kan nu beräkna temperaturen i huset efter ett dygn som y(24)=30e-24c-10=30*(5/6)12-10= -6.6.

Joakim Petersson


28 april 1999 10.45.04
1)Använd definitionen av derivatan för att bestämma derivatan på h(x) = (2x + 5)^1/2?? 2)y är en funktion av x och x^2 + y^2 = a^2 där a är en konstant. Bestäm (d^2y)/(dx^2)??
Mats

Svar:

1) Det gäller att (h(x+t)-h(x))/t=(sqrt(2x+2t+5)-sqrt(2x+5))/t=2/(sqrt(2x+2t+5)+sqrt(2x+5)) -> 1/sqrt(2x+5) då t -> 0. Detta är derivatan h'(x) enligt derivatans definition.

2) Om du löser ut y som funktion av x på cirkeln genom att välja till exempel den övre halvcirkelbågen, så får du ett uttryck y(x)=sqrt(a2-x2) för -a<=x<=a. Om du känner till deriveringsreglerna så kan du derivera två gånger och få svaret d2y/dx2= -a2(a2-x2)-3/2.

Joakim Petersson


28 april 1999 10.28.42
Hei! Två söner och två färdrar var på jakt, de fick allt som allt tre andar. När de kommit hem delade de bytet jämnt. Är detta möjligt?
dev

Svar:

Det är möjligt att dela jämnt på änderna (andarna?) om jaktlaget utgörs av en jägare tillsammans med sin far och sin farfar.

Joakim Petersson


28 april 1999 10.21.07
Hur kan man beräkna cos,sin etc., utan att använda räknemaskin? Det finns väl någon formel, och härledning? Som exempel: vad är det värdet på cos 120? (exakt om möjligt)
Jan T.

Svar:

Vissa trigonometriska funktionsvärden kan uttryckas på ett enkelt sätt. Ett exempel är (om vinklar mäts i grader) cos 120= -1/2. Sådana exakta värden kommer från geometriska satser om trianglar eller, allmänt, att funktionsvärdena uppfyller vissa algebraiska ekvationer som kan lösas. Om vinklar mäts i radianer, så att ett varv 360 grader motsvarar 2Pi radianer (omkretsen av cirkeln med radien 1), så gäller följande serieutvecklingar: sin x=x-x3/6+x5/120-..., cos x=1-x2/2+x4/24-.... Med hjälp av dessa och trigonometriska formler kan funktionsvärden beräknas (även för hand) till given precision om man bara tar med tillräckligt många termer. Det finns också mer effektiva metoder som datorer använder, såväl för de trigonometriska funktionerna som för övriga användbara funktioner.

Joakim Petersson


27 april 1999 21.41.45
Hej, jag undrar om man kan räkna ut volymer och mantelareor av komplexa föremål som t.ex ett moln? Och om det går, vad behöver man veta om föremålet i fråga?
Johan N

Svar:

Man behöver en matematisk beskrivning i form av en ekvation av föremålets form för att kunna använda vanliga metoder som innebär att man integrerar över området. Mer praktiska metoder kan ju vara att sänka föremålet i vatten och se hur mycket vattnet stiger, eller måla mantelytan och se hur mycket färg det gått åt. Båda metoderna är dock svåra att tillämpa på moln.

Kjell Elfström


27 april 1999 18.07.49
Lös ekvationen: x^3-5ix^2+x-5i=0
Oskar

Svar:

Man ser att x = i är en rot till ekvationen. Faktorisera genom att dividera vänsterledet med x - i och lös den andragradsekvation som uppkommer.

Kjell Elfström


27 april 1999 13.46.04
hur räknar man cirklar och skala
dfsfgfb

Svar:

Det beror på vad man vill beräkna. Cirkelns omkrets är 2Pi r och dess area Pi r2. Pi är ett välbekant tal som är ungefär 3,14 och r betecknar cirkelns radie, dvs halva diametern. Diametern är avståndet "rakt över" i cirkeln, dvs det största avståndet mellan två punkter på cirkeln.

När det t ex i en karta står att skalan är 1:100000 betyder det att det som på kartan är 1 längdenhet i verkligheten är 100000 längdenheter. 1 cm på kartan motsvarar då 100000 cm = 1 km i verkligheten. Har jag missuppfattat frågan får du förtydliga.

Kjell Elfström


27 april 1999 13.16.50
Visa med induktion att...
1^3 + 2^3 + 3^3 +...+n^3 = ((n^2)(n+1)^2)/4?
Christer Bergqvist

Svar:

Detta är en mycket bra uppgift att tänka på och utföra själv om man vill lära sig induktion.

Kjell Elfström


27 april 1999 13.14.07
Bestäm följande gränsvärde när n går mot oo. (((n^2 + 2n)^1/2 ) - ((n^2 - 2n)^1/2))?!!
Viola

Svar:

Förläng med konjugatet och förkorta med n!

Kjell Elfström


27 april 1999 13.09.03
Bestäm derivatan av sin^2 (1/x)!?
Karin Bergman

Svar:

Funktionen är uppbyggd som f(g(h(x))), där

h(x) = 1/x,   g(y) = sin y,   f(z) = z2.

Derivatan blir f '(g(h(x))).g'(h(x)).h'(x) enligt kedjeregeln, eller regeln för derivatan av sammansatt funktion.

Kjell Elfström


27 april 1999 12.46.50
Visa med induktion att ((4^n)-1 )är delbart med 3 när n>=1 !!??
Karin Bergman

Svar:

Det verkar vara enklare att använda binomialsatsen.

4n - 1 = (3 + 1)n - 1 = 3n + (n1)3n - 1 + (n2)3n - 2 + ... + (nn - 1)3.

Vill man använda induktion, kan man konstatera att påståendet är självklart i fallet n = 1. Om det är sant för n = p använder vi att

4p + 1-1 = 4.4p - 1 = 3.4p + 4p - 1

för att visa att det är sant för n = p + 1.

Kjell Elfström


27 april 1999 12.45.06
Var finner man alla prov i förväg (nationella för året?
Blurp

Svar:

Jag hänvisar dig till Nationella prov.

Kjell Elfström


27 april 1999 12.44.01
Bstäm Taylorpolynomet av grad 4 till f(x)=cos x med a=pi?!
Annika

Svar:

Utnyttja att polynomet är

f(Pi) + f '(Pi)(x - Pi) + f ''(Pi)(x - Pi)2/2 + f '''(Pi)(x - Pi)3/3! + f (4)(Pi)(x - Pi)4/4!

Kjell Elfström


27 april 1999 10.28.59
Jag har kört fast i partialintegration. Förstår inte riktigt. Kan ni förklara för mig utförligt hur jag beräknar integralen; int (1 till 2) (3x^2 + 1) *arctan x dx
Likaså är variabelsubstitution svårt. Visa (utförligt) hur jag beräknar integralen
int ( inget intervall) (x + 2) / (x^2 + 2x +7) dx. Det handlar väl om i detta fall att bestämma de primitiva funktionerna. int (
Åsa

Svar:

Partiell integration bygger på regeln för hur man deriverar en produkt.

(fg)' = f 'g + fg'

Flyttar vi över får vi

f 'g = (fg)' - fg'.

De båda leden har alltså samma primitiva funktioner. Eftersom en primitiv funktion till fg' är fg fås de primitiva funktionerna som fg - en godtycklig primitiv funktion till fg'.

I fallet i frågan tänker vi på 3x2 + 1 som f ' och på arctan x som g, eftersom g då får en enkel derivata. f är alltså en primitiv funktion till 3x2 + 1 och vi kan välja t ex f = x3 + x. Vi har g' = 1/(1 + x2). De primitiva funktionerna ges alltså av

fg - Integral (x3 + x)/(1 + x2) dx = fg - Integral x dx.

I det andra fallet kan vi skriva

(x + 2) / (x2 + 2x +7) = (x + 1)/(x2 + 2x +7) + 1/(x2 + 2x +7).

Den första termen kan skrivas som (1/2)f '/f, där

f = x2 + 2x +7

och en primitiv funktion till denna är ln|f(x)|. Nu skriver vi om

1/(x2 + 2x +7) = 1/((x + 1)2 + 6) = (1/6)(1/(1 + ((1/sqrt(6))(x + 1))2).

Sätt nu t = (1/sqrt(6))(x + 1). Då är dt =dx/sqrt(6) och de primitiva funktionerna till denna funktion blir

(sqrt(6)/6)Integral dt/(1 + t2) = (sqrt(6)/6)arctan t + C.

Nu är det bara att addera de primituva funktionerna.

Kjell Elfström


27 april 1999 10.22.18
VAD BLIR 7*X=300
LUKAS LUNDBERG

Svar:

Uttrycket i frågan kallas för ekvation. Meningen är att x skall ersättas med ett tal så att påståendet blir sant. Är 7x och 300 lika blir de tal man får när man dividerar dessa tal med 7 också lika, 7x/7 = 300/7, och eftersom 7x/7 = x får vi att x = 300/7, vilket alltså är lösningen till ekvationen.

Kjell Elfström


27 april 1999 10.17.56
VARFÖR ÄR MATEMATIK VICKTIGT
LUKAS

Svar:

Matematik i enkel form används ju mycket i det dagliga livet. Litet mer avancerad matematik används i nästan alla vetenskaper; allt ifrån de naturvetenskapliga ämnena till ekonomi, sociologi mm. Då många människor numera kommer i kontakt med den högre utbildningen blir kunskaper i matematik allt viktigare.

Kjell Elfström


27 april 1999 08.58.16
Hur omvandlar man massenheten 1 slug till gram? Vad är slug?
piag@ivillage.com

Svar:

Skillnaden mellan kilogram och newton är att den förra är en massenhet medan den senare är en kraftenhet. Newtons andra lag säger att F = ma och ett föremål vars massa är 1 kg påverkas av kraften 9,8 N eftersom tyngdaccelerationen är 9,8 m/s2 på jorden. I det brittiska systemet är pound egentligen en kraftenhet medan slug är en massenhet. Eftersom tyngdaccelerationen är 32 fot/s2 har man valt enheten slug så att massan 1 slug påverkas av kraften 32 pounds på jordytan. 1 slug = 14,594 kg.

Kjell Elfström


25 april 1999 15.33.00
Har ett mattaproblem som jag gärna skulle vilja ha hjälp med att lösa. Fakta om två lamptyper: Typ A B Pris 120kr 5kr Livslängd 8000h 1000h Effekt 11W 60W Båda lamporna ger samma belysning. Om en lampa på 11W brinner i exempelvis 2000h, förbrukas 2000*11Wh=22kWh. För varje kWh betalas ett visst pris. Diskutera vilka faktorer som påverkar valet av lampa och utred när det är fördelaktigt att använda den dyrare lampan.
Peter

Svar:

Låt priset per kWh vara p kr. Kostnaden för varje 8000-timmarsperiod blir, eftersom under den tiden en lampa av typ A förbrukar 88 kWh och 8 lampor av typ B förbrukar 480 kWh, 120+88p för A och 40+480p för B. Kostnaden är densamma (138 kr) om elpriset är 20 öre/kWh. I långa loppet är därför A att föredra vid högre elpriser, annars B.

Joakim Petersson


25 april 1999 13.49.27
Hej ! Om funktionen f vet man följande f(7) = 3 7 <= x <= 9 gäller att 0,8 <= f'(x) <= 1,2 Bestäm maxvärdet för f(9)

Svar:

Enligt medelvärdessatsen finns en punkt c mellan 7 och 9 så att f(9)-f(7)=f'(c)(9-7). Enligt förutsättningen är därför f(9)<=f(7)+1,2*2=5,4.

Joakim Petersson


25 april 1999 13.11.40
hur används monte carlo-metoden inom horse racing och annat dobbel? jag vill vinna lite pengar nämligen...
bobbbe

Svar:

Monte Carlo-metoden är ett samlingsnamn för ett antal simuleringstekniker. Ofta gäller det matematiska beräkningar som är utförbara i princip men som tar så lång tid att utföra i praktiken att man i stället uppskattar svaret genom att simulera (med hjälp av datorer) ett slumpmässigt försök ett stort antal gånger. Man får vara kunnig i sannolikhetslära när man tolkar resultaten, för det är ofta svårt att uppskatta felet. Metoden används tex i statistisk mekanik och namngavs av forskare som deltog i atombombsprojektet vid Los Alamos under andra världskriget. Inom spel och dobbel gäller det förstås att beräkna svåråtkomliga sannolikheter, avgöra om de odds som ges är fördelaktiga, analysera utfallet av tidigare spel etc. Hur det går till får du söka svar på hos folk inom spelbranschen eller speciellt inbitna spelare.

Joakim Petersson


25 april 1999 13.10.25
Hur kan matematiken som mänsklig uppfinning beskriva naturen så bra?
MiskeMax, Skurup

Svar:

Det finns olika synsätt på vad matematiken egentligen är och vad den säger. Jag är själv nyfiken på vad människor utan speciell matematisk skolning eller större intresse för matematik anser i frågan. Bortsett från allt annat så är matematiken en kulturyttring på samma sätt som tex musiken och litteraturen är det. Mot uppfattningen att matematik uppfinns av oss människor kan man ställa den att vi efter hand upptäcker nya sanningar som alla hör hemma i en platonsk idévärld, men dessa uppfattningar är inte så motstridiga som de verkar och väcker ingen debatt bland matematiker. Uppgiften att beskriva naturen har ju fysiken och de andra naturvetenskaperna tagit på sig, och visst är det så att de använder matematik för att göra det: "naturens språk är matematik", heter det som bekant. Framgångarna i denna beskrivning är väldigt stora, men det mest intressanta är att förändringar och förbättringar sker hela tiden, och att framsteg inom matematiken är mycket viktiga för denna utveckling. Varför det är så vet väl ingen, men det bidrar till mystiken kring ämnet och borde kunna locka en och annan att studera matematik.

Joakim Petersson


25 april 1999 13.09.54
Hur kommer det sig att (natur)konstanter kan existera?
Lockepund, Skurup

Svar:

Naturkonstanter som tex elektronens massa och gravitationskonstanten hör till fysiken. Prova gärna någon frågelåda i fysik i stället.

Joakim Petersson


25 april 1999 13.07.45
Vad är matematisk begåvning och hur skiljer den sig från andra former av intelligens?
Maria Hansson, Lundagård

Svar:

Vad jag vet är det en relativt ny tendens inom psykologin att indela intelligens i olika klasser, huvudsakligen därför att man misstänkt att de traditionella sk IQ-testen inte fångar upp alla typer av intelligens, utan kanske i för hög grad koncentrerar sig på en sorts logisk-analytisk tankeskärpa, som kanske ibland förknippas med matematisk bevisföring och skicklighet i att hantera abstrakta matematiska symboler. Personligen tycker jag att intelligenstester i vilket fall som helst är oetiska och olämpliga som urvalsinstrument för människor i alla åldrar. Vad gäller matematisk begåvning, vill jag först säga att sk idiots savants, som multiplicerar, dividerar och drar kvadratrötter ur flersiffriga tal avgjort inte visar prov på någon sådan. Att säga något om dess karaktär och kännemärken är alldeles för svårt för mig, jag kan bara säga att viktiga ingredienser hos en duktig matematiker är fantasi, kreativitet och inte minst matematisk intuition - en sorts fingertoppskänsla.

Joakim Petersson


25 april 1999 11.44.39
Hejsan! Jag har ett matteproblem som jag inte riktigt lyckats lösa. Hoppas på att ni kan hjälpa mig med lösningen. Problemet lyder så här: Vid en bro med bara en körbana uppstår ofta långa köer på morgnar och kvällar. Myndigheterna vill därför sätta upp en skylt med texten: REKOMMENDATION FÖR FÄRD ÖVER BRON Hastighet:? km/h Avstånd mellan bilarna:? m Rekomendationen grundar sig på följande data: Bilarnas längd är 4 m och avståndet mellan bilarna bör vara (r+b/2)m där r är reaktions- sträckan vid bromsning och b själva bromssträckan. Reaktionssträckan är 0.2 sekunder och bromssträckans kvadratiska beroende av hastigheten kan bestämmas ur tabellen. Hastighet(km/h) 30 50 70 80 100 Bromssträcka(m) 6 16 32 43 69 Vad bör det stå på skylten?
Lolle

Svar:

Vi accepterar rekommendationen om avståndet r+b/2, vilket innebär att om framförvarande bil bromsar och stannar efter b meter, så stannar bakomvarande bil efter r+b meter och avståndet dem emellan då båda har stannat är halva bromssträckan b/2 meter. För att förhindra krock om den första bilen tvärstannar måste avståndet vara större än r+b. För att göra kötiden så kort som möjligt skall antalet bilar som lämnar bron per tidsenhet vid en jämn ström av 4 meter långa fordon som håller rekommenderad hastighet och rekommenderat avstånd maximeras. Det innebär att tiden som det tar från det att en bil precis lämnar bron tills nästa gör det skall minimeras. Låt hastigheten vara v meter per sekund. Bromssträckan är proportionell mot kvadraten på hastigheten: b=Av2, där A ur tabellen (som inte följer sambandet exakt) kan beräknas till A=16/(50/3.6)2=0.083 om vi använder angivelsen för 50 km/h. Eftersom bilarnas längd är 4 meter, blir den sökta tiden som skall minimeras t(v)=(r+b/2+4)/v=0.2+Av/2+4/v=0.2+(sqrt(Av/2)-sqrt(4/v))2+2sqrt(2A). Kortaste tiden 0.2+2sqrt(2A)=1.0 fås då Av2=b=8 (alternativt genom derivering), varav också v=9.8 och r+b/2=0.2v+4=6.0. På skylten bör rekommenderad hastighet vara 35 km/h och rekommenderat avstånd 6 m. (Om hastigheten var normala 50 km/h skulle det emellertid behöva passera mer än 1000 bilar i en följd för att tidsförlusten skulle vara en minut.)

Joakim Petersson


24 april 1999 21.48.14
Hej !
1)En vattenbehållare innehåller från början 10000 dm³ vatten. Till behållaren förs förorenat vatten med hastigheten 20 dm³/s. Koncentrationen av föroeringen i tillflödet är 2 mg/dm³. Samtidigt avtappas 20 dm³/s. Omrörningen i behållaren är densamma överallt i behållaren. Beteckna mängden i mg av föroreningen vid tiden s med m(t). När är koncentrationen 0.50 mg/dm³ ?
2)Två behållare A och B rymmer vardera 10 m³. Behållaren A är från början fylld med rent vatten medan B är fylld med satllösning med koncentrationen 10kg/m³. Från behållaren A pumpar man över 10 l/s till B och från B lika mycket tillbaka till A.Under tiden är omröringen i behållarna intensiv så att saltkoncentrationen i båda behållaren överallt är densamma. Beräkna mängden salt i behållaren B som funktion av tiden.
3)Beräkna talet ((1+2i)/2)^8 * ((3-i)/5)^8
4) Inuti ett klot med radien 1,00 m placeras en rak cirkulär kon så att bascirkeln och spetsen ligger på klotytan. Bestäm basradien och sidan i konen så att konens volym blir så stor som möjligt.

Svar:

1) Beteckna koncentrationen med c(t). Då är m(t) = 10000c(t). Inflödet förorening är 2.20 = 40 mg/s och utflödet är 20c(t) mg/s vilket ger oss att hstigheten med vilken m ändras är

m' = 40 - 20c = 40 - 0,002m.

Lös denna differentialekvation.

2) Vi räknar i liter och kg. Låt A och B beteckna mängden salt och a och b koncentrationerna. Då är a = A/10000 och b = B/10000. Vidare är A + B = 100. Detta ger att

B '=10a - 10b = 10(100/10000 - B/10000) - 10B/10000.

Lös nu denna differentialekvation.

3) (1 + 2i)(3 - i) = 5 + 5i så talet är (1/2 + i/2)8. Övergå till polär form eller räkna ut (1/2 + i/2)2 först och upphöj resultatet till 4.

4) Sidan fås ur basradien och höjden med hjälp av Pythagoras sats så det räcker att bestämma basradien r och höjden h. Höjden utgörs av två delar, den ena från konens topp till klotets medelpunkt och denna del har längden 1. Den återstående delen, som antages ha längden x, utgör en sida i en rätvinklig triangel där de övriga sidorna har längden r och 1 (klotets radie). Pythagoras sats ger nu att r2 = 1 - x2. Vidare är x = 1 - h. Detta ger att

r2 = 1 - (1 - h)2 = 2h - h2.

Konens volym är

Pi r2h/3 = Pi (2h2 - h3)/3 = f(h).

Undersök denna funktion med avseende på maxima.

Kjell Elfström


24 april 1999 21.30.31
hur löser jag integralen: 1/(x^3+1)
glasell

Svar:

Faktorisering ger att

x3 + 1 = (x + 1)(x2 - x + 1)

varefter partialbråksuppdelning ger

1/ (x + 1)(x2 - x + 1) = (1/3)(1/(x + 1)) + (-x + 2)/(x2 - x + 1)).

Integralen av 1/(x + 1) förutsätter jag att du kan beräkna. Uttrycket (-x + 2)/(x2 - x + 1) skriver vi om som en summa av två kvoter. I den första kvoten är täljaren derivatan av nämnaren och i den andra är täljaren konstant. Vi har

-x + 2 = -(1/2)(2x - 4) = -(1/2)(2x - 1) + 3/2.

Då är

(2x - 1)/ (x2 - x + 1) = f '(x)/f(x)

där f(x) =  x2 - x + 1 och integralen av detta blir

ln|f(x)| = ln(x2 - x + 1).

Integralen av 1/(x2 - x + 1) beräknar vi genom att först kvadratkomplettera.

x2 - x + 1 = (x - 1/2)2 + 3/4

och därefter bryta ut 3/4.

x2 - x + 1 = (3/4)(1 + ((2/sqrt(3))(x - 1/ 2))2).

Substituera nu t =  (2/sqrt(3))(x - 1/ 2) och beräkna integralen. Härefter återstår bara att multiplicera med diverse utelämnade konstanter.

Kjell Elfström


24 april 1999 18.35.35
Vad är Rombergs formel när man talar om integraler?
Stefan Johansson

Svar:

Rombergs metod används för att beräkna integraler approximativt. Den innebär att Richardson-extrapolation används på trapetsformeln. I trapetsregeln delar man upp integrationsintervallet [a,b] i n delintervall [xk-1,xk], k=1,2,...,n, alla av längd h. Integralen I från a till b av f(x)dx är då ungefär lika med

T(h) = h((1/2)f(x0) + f(x1) + f(x2) + ... + f(xn - 1) + (1/2)f(xn)).

Euler-Mclaurins summationsformel säger då att

T(h) = I + a1h2 + a2h4 + a3h6 + ...

dvs endast jämna potenser av h ingår. Den upprepade Richardson-extrapolationen innebär i detta fall att man utnyttjar att formeln för T ger att

T(2h) = I + 4a1h2 + a2(2h)4 + a3(2h)6 + ...

så vi får genom att beräkna 4T(h) - T(2h) att

I = T(h) + (T(h)-T(2h))/3 + b2h4 + b3h6 + ...

Sätter vi T1(h) = T(h) och

Tk(h) = Tk - 1(h) + (Tk - 1(h)-Tk - 1(2h))/3

så är felet vid approximationen I =   Tk(h) i storleksordningen h2k. Räkningarna kan organiseras så att man beräknar T1 för t ex h = 0,8, 0,4, 0,2, 0,1 osv. Formeln ger sedan värden på T2 för h = 0,4, 0,2, 0,1, därefter värden på T3 för h = 0,2, 0,1 osv.

Kjell Elfström


24 april 1999 12.47.47
26 mars 1999 17.52.15
Är antalet tal mellan 1 och 2 ändligt (1 är ju start'punkt', 2 slutet) eller oändligt många (1,111111.... osv i oändlighet)? Tackar.
Svante Jansson
Svar:
Självfallet är antalet oändligt, ty t ex n/n, (n+1)/n, ..., 2n/n är olika och n+1 till antalet. Men n kan tas godtyckligt stort så antalet i fråga kan omöjligt vara ändligt.
Det är t o m så att antalet är mer än bara oändligt; man säger att antalet i fråga är överuppräkneligt. Mer precist:
(1) Antalet heltal säges vara uppräkneligt (de kan räknas upp i en följd)
(2) Att antalet (reella) tal mellan 1 och 2 är överuppräkneligt innebär att dessa inte kan paras ihop två och två med de naturliga talen; hur man än gör blir de tal över. Detta är inte självklart men kan visas.
Andreas Axelsson
Tack för svar. Så ett oändligt (överuppräkneligt) antal tal kan således rymmas mellan en start- och slutpunkt? Trodde att oändlighet per definition inte hade varken start eller slut. Eller detta kanske blir mer filosofi?
Svante.

Svar:

Många oändliga mängder kan på ett naturligt sätt räknas upp så de har ett första eller sista element, de positiva heltalen har ett första element och de negativa ett sista. Däremot kan man inte räkna upp en uppräknelig oändlig mängd så den får ett första och ett sista element. Överuppräkneliga mänger kan naturligtvis inte alls räknas upp. Däremot finns det ingenting som hindrar att man definierar en ordningsrelation på en oändlig mängd så att den får ett minsta och ett största element, mellan vilka alla de övriga elementen är inklämda. Tag som exempel den ordning < av de naturliga talen 0,1,2,... där m  < n har sin vanliga betydelse om m och n är positiva och där n < 0 för alla positiva n. Då har vi

1 < 2 < 3 < ... < 0,

men detta är ingen uppräkning av de naturliga talen. Ett mindre krystat exempel är intervallet [1,2].

Kjell Elfström


24 april 1999 12.39.49
Hej, jag undrar lite om primtal. Det är ju så att antalet primtal är oändligt och man forskar i att hitta större primtal. Vilket är det nu största primtalet och hur gör forskarna för att hitta större tal. Om det nu finns några som forskar på heltid i denna fråga så måste det vara viktigt att veta det största primtalet. Eller är det så att dessa forskare forskar för skoj skull
Andreas Andersson

Svar:

Det största, hittills kända, primtalet finns på The Prime Pages. Där finns också en hel del upplysningar om hur det går till att finna dessa stora primtal. Anledningar att söka stora primtal kan vara att testa hårdvara hos datorer. Se t ex Mersenne Meets Minerva. De program som används är små men använder mycket CPU-tid. Med anledning av RSA-kryptotekniken kan det också vara intressant att se hur snabbt man kan faktorisera tal. Se The Math Behind RSA. Sedan finns det naturligtvis de som gör det för att det är skojigt.

Kjell Elfström


23 april 1999 17.22.34
Hur deriverar man e^(2x^2) ?
Lotta Johansson

Svar:

Man använder regeln för derivering av en sammansatt funktion: D(F(g(x))=F'(g(x))*g'(x) och att exponentialfunktionen är sin egen derivata.

Joakim Petersson


23 april 1999 15.18.36
Hur fungerar simpsons formel och hur kan man lösa en integral numreriskt med den?? Typ X^2 från 0 till 4 (21.33333) Hur får man numreriskt fram en primitiv funktion. Kan man göra precis som man gör med derivatans definition?
Stefan

Svar:

Säg att du ska integrera den kontinuerliga funktionen f(x) över intervallet [a,b]. Dela upp intervallet i ett jämnt antal delintervall av längd h. Integralen i varje delintervall [x2j, x2j+2] approximeras nu med hjälp av funktionsvärdena i de tre indelningspunkterna med uttrycket h(f2j+4f2j+1+f2j+2)/3. Detta är valt så att formeln är exakt om f är ett andragradspolynom på [x2j, x2j+2]. När man lägger ihop approximationerna får man Simpsons formel: Intab f(x)dx=h(f0+4f1+2f2+4f3+..+2f2m-2 +4f2m-1+f2m)/3 +RT, där det gäller att trunkeringsfelet RT= -(b-a)h4f(4)(c) för något c mellan a och b om fjärdederivatan är kontinuerlig på (a,b). Vid numerisk beräkning av en integral måste man också ta hänsyn till avrundningsfel m m.

Det finns många metoder för att beräkna integraler numeriskt, varav Simpsons formel är en. Integralens definition som gränsvärde liknar kanske inte derivatans definition som gränsvärde av differenskvoter så mycket, så svaret på din sista fråga är om jag har förstått den rätt nej.

Joakim Petersson


23 april 1999 12.52.12
Hur kan man bevisa att Herons formel fungerar på en triangel?
Jonas Karlsson

Svar:

Se 31 januari 1997 12.32.10 för ett bevis av Herons formel.

Joakim Petersson


23 april 1999 12.20.43
Varför admateras en ekvation av typen (x^5*y'-z^7+q')
Pär Båål

Svar:

Goddag, yxskaft. För övrigt har en ekvation alltid formen av en likhet mellan ett vänsterled och ett högerled där det förekommer ett eller flera obekanta objekt. Ex: x5y'-z7+q'=0.

Joakim Petersson


23 april 1999 09.39.15
Hej! Jag håller just nu på med att förbereda mitt projektarbete i gymnasieskolans matte-E kurs. Därför undrar jag: Var kan jag finna bakgrunden till kvadratkomplettering?
Magnus Andersson

Svar:

Att kvadratkomplettera innebär att använda kvadreringslagen (x+a)2=x2+2ax+a2. Även innan algebraisk symbolik hade uppfunnits kompletterade man kvadrater mer handgripligt genom att rita figurer i sanden tex. Du bör hitta något om kvadratkomplettering i varje bok om gammal matematik.

Joakim Petersson


23 april 1999 03.53.18
Hej. Jag undrar vilka olika metoder man kan använda för att komma på vilken/vilka funktion/er en kurva har om man vet te x 9 punkter på kurvan. Om man vet att en kurva t ex innehåller punkterna (1,2) (2,3) (3,9)och (7,6) hur hittar man på ett så enkelt sätt som möjligt en kurva som har dessa punkter. Det måste väll finnas ett enklare sätt än att göra ett ekvationssystem av typen ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx på de olika punkterna? Eftersom jag måste använda minst 10 olika punkter så blir det inget roligt ekvationssystem, dessutom växer t ex termen x^10 oerhört snabbt)
Duckman

Svar:

Problemet att bestämma en kurva av given typ som går genom ett antal punkter kallas ett interpolationsproblem; det kan tex röra sig om funktionsvärden lagrade i en tabell. Det är lämpligt att begränsa mängden av tillåtna kurvor så att man får en entydig lösning för varje val av data. Så är också fallet när det gäller att anpassa ett polynom av grad högst n till funktionsvärdena i n+1 punkter. Ett vanligt sätt att representera det entydiga polynom av grad högst n som uppfyller p(xj)=wj, j=0,1,..,n är Newtons formel: p(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1) +...+an(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1), där ak=[w0,w1,..,wk] kallas dividerade differenser och kan fås ur [wj]=wj, [w0,w1,..,wk]=([w1,w2,..,wk] -[w0,w1,..,wk-1])/(xk-x0). Eftersom ak bara beror på punkterna x0,x1,..,xk behöver man bara räkna ut en ny koefficient för varje ny punkt som läggs till.

Joakim Petersson


22 april 1999 20.22.28
Mona har 90 dagar sommarferie som hon tänker tillbringa så här: varannan dag ska hon ta en lång simmtur, var tredje dag ska hon klippa halva gräsmattan och var femte dag ska hon lösa matteproblem. På ledighetens första dag gör Mona en rivstart och ägnar sig åt alla tre aktiviteterna. Lite trött tänker hon: under hur många av de 90 dagarna ska jag bara simma eller inte göra någonting? Hjälp henne att finna en metod att utreda detta.
Zebulon Lind

Svar:

Hon kan räkna de dagar hon klipper gräsmattan eller löser matteproblem. Hon klipper halva gräsmattan under 90/3=30 dagar och löser matteproblem under 90/5=18 dagar. Hon utför båda dessa aktiviteter på samma dag med 3*5=15 dagars intervall, och därför under totalt 90/15=6 dagar, så någon av dessa aktiviteter sker under 30+18-6=42 dagar. Det är alltså 90-42=48 dagar under lovet som varken innehåller gräsklippning eller matteproblem.

Joakim Petersson


22 april 1999 12.00.27
Vad är, och hur fungerar, ett lådagram?
Rosita Bergström

Svar:

Ett lådagram (box plot på engelska) är ett sätt att visa statistiska datamängder. Du kan hitta ett exempel på lådagram här. Lådornas gränser är datamängdens kvartiler, så att ovanför lådan placerar sig en fjärdedel av data och under lådan likaså en fjärdedel av data. Strecket i lådan visar medianen och de andra vågräta strecken visar variationsbredden (största och minsta värde).

Joakim Petersson


22 april 1999 11.20.50
I min lärobok står det att när derivatan är större än eller lika med noll så är den växande medan det i andra böcker står att det är ett öppet intervall. Hur är det egentligen?
Åsa

Svar:

En reell funktion definierad på ett intervall säges vara växande om f(a)<=f(b) närhelst a och b är punkter i intervallet och a<b. Differentialkalkylens medelvärdessats säger att om en funktion f är kontinuerlig på det slutna intervallet [a,b] och derivatan existerar i varje punkt i det inre av intervallet så finns en punkt c med a<c<b så att f(b)-f(a)=(b-a)f'(c). Med hjälp av denna sats tror jag att du själv kan avgöra vad som gäller. Satsen visas åtminstone i varje inledande analyskurs på universitetsnivå. Förhoppningsvis ger din lärobok tillfredsställande förklaringar om du läser den noggrannt.

Joakim Petersson


22 april 1999 09.37.20
Talföljder & Serier vad menas med en serie och att en serie är konvergent Visa gärna några metoder för att avgöra en series konvergens
Börje Backaryd

Svar:

En talföljd är en följd (svit förekommer också, men ordet serie har nedanstående betydelse i matematiken) av tal. En följd
{s0, s1, s2,...} säges konvergera mot talet s om för varje givet epsilon>0 finns N så att |sn-s|<epsilon för alla n>N. Om inget sådant s finns säger man att följden divergerar. En serie har termer a0, a1, a2,... och utgörs av det formella uttrycket a0+a1+... Serien kallas konvergent om följden av delsummorna sn=a0+a1+..+an är konvergent. Serier och talföljder är i viss mening ekvivalenta, eftersom varje följd {sn} är följden av delsummor till serien med termer an=sn-sn-1, a0=s0.

Seriebegreppet används flitigt i matematiken. En klassisk och bra bok för den som vill lära sig (mycket) om serier är Theory and Application of Infinite Series av Konrad Knopp (översättning från tyskan).

Joakim Petersson


20 april 1999 20.49.14
Är detta chiffer något att tolka och översätta? txe trhgnk bgxixtpöjbtc
Bobbegren

Svar:

Det tror jag inte. Men det kan ju hända. Med en enkel hypotes som att varje bokstav har förskjutits ett antal steg i alfabetet, kanske man relativt snart får fram ett budskap på något känt språk, men jag avstår helst. Dolda budskap används på ett roligt sätt i romanen "Foucaults pendel" (om jag minns rätt) av Umberto Eco.

Joakim Petersson


20 april 1999 20.04.45
Hejsan! Har ej någon matematisk uppgift som jag vill att ni löser utan undrar bara hur ni (ni som besvarar folks matte-frågor) tänker när ni ställs inför ett matteproblem (eller vad det nu är..kanske fysik). Det vill säga, hur går ni tillväga för att lösa problemet, har ni någon plan som ni följer i erat problemlösande? En till fråga: Vilken utbildning har ni som besvarar våra frågor här på denna sida? Är alla forskare inom matematik? Mvh Christian G
Christian G

Svar:

I stället för att svara direkt rekommenderar jag en bok, Pólya: How to Solve It; A New Aspect of Mathematical Method, (Princeton Science Library). De flesta som besvarar frågorna är forskarstuderande i matematik.

Kjell Elfström


20 april 1999 19.48.50
Hejsan! En formel som man ofta stöter på inom kombinatoriken är följande:(n+r-1 över r) Vilket betyder antalet oordnade urval med repetition av r objekt från en mängd av n objekt. Varför subtraherar man med 1? Hur härleder man denna formel? Varför går det inte lika bra att skriva:(n+r över r)? Ge gärna ett enkelt exempel.
Stefan

Svar:

Att formeln inte kan bytas mot (n+r över r) beror helt enkelt på att detta tal ej är det samma som (n+r-1 över r).

Exempel: Vi har en urna med tre olikfärgade kulor i. Om man tar upp en kula skriver dess färg på ett papper och lägger tillbaka kulan i urnan igen, hur många utfall finns det då om vi gör detta fyra gånger om man bortser från ordningen?
Säg att färgerna är gul = g, vit = v och röd = r, vi får alternativen
gggg gggv gggr ggvv ggvr
ggrr gvvv gvvr gvrr grrr
vrrr vvrr vvvr vvvv rrrr
dvs 15 alternativ.
Här har vi ordnat utfallen så att antalet gula kommer först, sedan antalet vita och sist antalet röda.
Vi kan även göra detta med ettor och nollor så att ettor anger antal och nollorna anger färg. Så att
gggg = 1111 0 0, gggr = 111 0 0 1, gvvr = 1 0 11 0 1, vvrr = 0 11 0 11 etc.
Detta är praktiskt när vi skall visa den allmänna formeln.

Bevis av formeln:
Antag nu att vi vill besvara samma fråga med n st färgade kulor och med r st dragningar. Vi kan namnge färgerna till a1, a2,...,an. När vi dragit r st kulor kan vi ordna utfallet så att vi skriver upp en etta för varje förekomst av a1 följt av en nolla, sedan skriver vi upp en etta för varje förekomst av a2 följt av en nolla, etc...
På detta sätt får vi en följd med r st ettor och n - 1 st nollor. De n-1 stycken nollorna kan vara vart som helst bland de r + n - 1 talen av nollor och ettor.
Således finns det  (r + n - 1 över n-1) sätt att placera ut nollorna (färgerna), men
  (r + n - 1 över n - 1) = (r + n - 1)!/[(n - 1)!(r + n - 1 - (n - 1))!]
                                 = (n + r - 1)!/[(n + r - 1 - r)!r!] = (n + r - 1 över r).

Anders Dahlner


20 april 1999 19.25.15
Hej Varför blir multiplikationen av två negativa tal positiv? Tack på förhand
Per Andersson

Svar:

Se  16 mars 1998 14.04.10. Naiv tabell:
(-1)*3     = -3
(-1)*2     = -2
(-1)*1     = -1
(-1)*0     = 0
(-1)*(-1)  =  ?

Anders Dahlner


20 april 1999 16.00.09
Hjälp! Jag behöver hjälp med denna diffen! En tank som rymmer 200 l och som från början är fylld med vatten, börjar läcka i botten. 20% av vattnet rinner ut de första 5 minuterna. Bestäm ett uttryck för hur mycket vatten som finns kvar i tanken t minuter efter det att tanken började läcka om vattnet rinner ut med en hastighet som är proportionell mot produkten av tiden som förflutit och mängden vatten som finns i tanken. Förklara utförligt! Tack på förhand!
Tina

Svar:

y(t) = antal liter vatten efter t minuter.
Givet:
(1)  y(0) = 200
(2)  y(5) = 200 - 0.2*200 = 160
(3)  y'(t) = -kt y(t)       (k konstant)
Differentialekvationen i (3) är separabel:
  y'/y = -kt   =>  Int(y'/y) = Int(-kt)
                  =>  ln(y) = -kt2/2 + C
                  =>  y = exp(-kt2/2 + C) = D exp(-kt2/2)
Nu ger (1) att:
  200 = y(0) = D exp(0) = D
och med denna information ger (2) att
  160 = y(5) = 200 exp(-25k/2)  =>  exp(-25k/2) = 4/5
                  =>  -25k/2 = ln(4/5)
                  =>  -k/2 = ln(4/5)/25
Alltså y(t) = 200 exp(-ln(5/4)t2/25).

Anders Dahlner


20 april 1999 11.36.39
En flotte av trä i en form av ett rätblock har bredden 1,0 m höjden 0,5 m och längden 2,0 m. Flotten flyter i vatten och densiteten för flotten antas vara 800 kg/m^3. Hur stort arbete åtegår för att lyfta flotten upp ur vattnet. Jag skulle vara glad om ni skulle kunna hjälpa mig, med att visa hur jag ska komma fram till integralen som bestämmer massan.
Jonas Karlsson

Svar:

Att densiteten för flotten är 4/5 av vattnets densitet får till effekt att 4/5 av flottens höjd ligger under vattenytan. Vi inför
m = flottens massa ; m = 1,0*0,5*2,0*800 kg = 800 kg,
g = tyngdaccelerationen ; g = 9,81 m/s2,
x = avståndet mellan flottens botten och vattenytan. Vattnets lyftkraft motsvarar enligt Arkimedes princip tyngden av den undanträngda vattenvolymen. Kraften som krävs för att motverka tyngdkraften är då F(x)=mg-1,0*2,0*x*1000*g=800g(1-x/0,4) (N) för x mellan 0 och 0,4. Arbetet som krävs för att lyfta upp flotten ur vattnet är integralen A=800g*Int00,4(1-x/0,4)dx=800g*0,4/2=1570 (Nm).

Joakim Petersson


20 april 1999 10.59.14
-3 Jag undrar hur man löser detta: Beräkna med ett fel om högst 1·10 volymen av den kropp som bildas då arean som inneslutes av kurvorna ê·x -1 y = ------- 1 + x och y=sin(2x),x >= 0 (är större med eller lika med) får rotera kring x-axeln. Tack i förhand!
Bengt Johansson

Svar:

Jag kan tyvärr inte tyda vad den första kurvan skall vara. Vid rotation kring x-axeln av kurvan y=y(x) mellan x=a och x=b blir volymen Intab Pi*y2dx. Om en kurva ligger ovanför en annan, subtraherar man rotationsvolymen hörande till den undre kurvan.

Joakim Petersson


19 april 1999 17.29.17
Hej igen! Nu har jag samlat ihop 6 stycken frågor som jag inte klarar att lösa. Kan ni? Utförliga svar tack! 1) En cylindrisk ölburk skall rymma en given volym. Bestäm burkens proportioner så att materialåtgången blir så liten som möjligt. 2) Bestäm minsta och största värdet av funktionen x^(2)*e^(-x) i intervallet där x ska vara större eller lika med -1 och x ska vara mindre eller lika med 3. 3) Rita funktionskurvan y= x^3 / (x+1)^2 och ange eventuella lokala extrempunkter och asymptoter. 4) Två punkter A och B i ett plan är givna. Avståndet mellan dem är 1 längdenhet. Bestäm en punkt P i planet sådan att triangeln ABP har arean 2 ytenheter och minimal omkrets. 5) Rita funktionskurvan y = sqrt(x^2 + x) med angivande av eventuella lokala extrempunkter och asymptoter. 6) Visa olikheten ln (1 + 4*x) >arctan 3*x för x>0.
Anneli Karlsson; Västervik

Svar:

1) Låt burken ha cirkulär botten med radien r och ha höjden h. Då är volymen V=Pi*r2h konstant och vi skall minimera arean A(r)=2Pi*r2+2Pi*rh=2Pi*r2+2V/r, som vi får genom de kända formlerna för sidoytornas area. Denna funktion för r>0 har sitt minimum då A'(r)=4Pi*r-2V/r2=0, alltså då r3=V/(2Pi), varav h=V/(Pi*r2)=2r. Burken skall vara lika hög som bred.

2) Låt f(x)=x2e-x, -1<=x<=3. Man ser att minimum är 0 för x=0. Som f'(x)=x(2-x)e-x har f lokalt maximum 4e-2=0.541.. för x=2, varför maximum antas i ändpunkten x= -1 och är e=2.718...

3) Låt f(x)=x3/(x+1)2. Som f'(x)=x2(x+3)/(x+1)3 ser man att x=0 är en inflexionspunkt och x= -3 en lokal maximipunkt. Vidare är linjen x= -1 en asymptot till kurvan, som du lämpligen skissar med hjälp av denna information.

4) Rita upp A och B på en vågrät linje. Eftersom arean skall vara konstant (=2) måste P ligga på en parallell linje (på avståndet 4/|AB|=4); säg ovanför den första linjen. Märk också ut punkten B' som är B speglad i den andra linjen. Att minimera omkretsen betyder att minimera vägen från A till B, vilket pga symmetri är lika med vägen från A till B' (|BP|=|B'P|). Vägen blir givetvis kortast längs sträckan AB'. Detta bestämmer P och triangeln skall vara likbent (|AP|=|BP|).

5) Låt x>0. Vi kan skriva sqrt(x2+x)-x=x/(sqrt(x2+x)+x) som går mot 1/2 då x går mot oändligheten. Funktionskurvan har därför asymptoten y=x+1/2. Lokala extrempunkter för x>0 saknas, för y'=(2x+1)/(2sqrt(x2+x)).

6) Låt f(x)=ln(1+4x)-arctan(3x). Nu är f'(x)=4/(1+4x)-3/(1+9x2)=(1-6x)2/((1+4x)(1+9x2)). Eftersom derivatan är ickenegativ och f(0)=0 följer av medelvärdessatsen att f(x)>0 då x>0.

Joakim Petersson


19 april 1999 10.00.55
Hej. Jag undrar vem som först visade att Cantors mängdlära inte var motsägelsefri. Var det möjligen Russell, som med sitt exempel med självrefererande mängder gjorde det?
Andreas

Svar:

Bertrand Russell brukar få äran av att ha upptäckt "Russells paradox", som visar på en motsägelse i Cantors mängdbegrepp från 1870-talet. Den uppstår genom att man betraktar mängden M av alla mängder som inte innehåller sig själva. Frågan är om M tillhör sig själv? Det står en del om Russells matematiska gärning på http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Russell.html. För att förstå hur svårt det är att visa att ett antal axiom är konsistenta, dvs inte ger några motsägelser då de kombineras, kan man betänka att ingen hittills har kunnat visa motsägelsefrihet i Zermelo-Fraenkels axiomsystem, som är en modern kandidat till beteckningen mängdlära. Frågor om matematikens grundvalar har för övrigt på senare tid blivit som en matematisk disciplin bland andra, kallad matematisk logik.

Joakim Petersson


18 april 1999 15.21.23
Kan man praktiskt sett utnyttja fraktaler?
Johnas Bofjäll

Svar:

Om du söker tillämpningar tycker jag att du skall vända dig till någon representant för naturvetenskaperna (inbegripet dataloger och teknologer). Som lekman tror jag att det finns tillämpningar inom tex fysik, biologi (vilken är lungornas fraktala dimension?) och datalogi. Se även frågan 17 mars 1997 16.57.52.

Joakim Petersson


18 april 1999 15.17.14
Jag har problem med att lösa diff-ekvationen y''+2x*y'+y^2=0. Jag skulle vara mycket tacksam om du kunde lösa denna algebraiskt.
Magnus Sundström

Svar:

Att lösa differentialekvationer är inte lätt! Det närmaste jag kommer en analytisk lösning nu är att om y(0)=c0 och y'(0)=c1 specificeras, så finns en entydigt bestämd lösning y(x)=c0+c1x+c2x2+... som konvergerar för alla (komplexa) x i en omgivning av x=0. Koefficienterna cn beräknas rekursivt ur (n+1)(n+2)cn+2= -2ncn- (c0cn+c1cn-1+...+cnc0), n=0,1,...

Joakim Petersson


18 april 1999 14.23.58
Hej! En allmän tredjegradsekvation är Ex^3+Fx^2+Gx+H=0. Om en lösning x1=a måste ekvationen kunna skrivas om på formen B(x-a)^3+C(x-a)^2+D(x-a)=0 Jag har därefter kommit fram till följande samband: C^3+(9EG-3F^2)*C=9EFG-27HE^2-2F^3 och D=(C^2-F^2)/(3E)+G Eftersom B=E kan man medelst substitutionen t=x-a få fram ekvationen Bt^3+Ct^2+Dt=0, vilken lätt kan lösas. Om koefficienterna E...H är heltal blir det följaktligen endast heltalskoefficienter i ekvationen C^3+... Min fråga är om man på något sätt kan utnyttja detta samband för att lösa allmänna tredjegradsekvationer då koefficienterna är heltal? Tack på förhand!
Tomas Torstensson

Svar:

Dina samband är riktiga (de följer om man löser ut roten a ur C=F+3Ea och sätter in i den ursprungliga ekvationen resp motsvarande uttryck för D), men tyvärr hjälper de inte oss att lösa någon tredjegradsekvation. Vad gäller algebraiska tal, se gärna tex frågan 4 februari 1999 14.53.34.

Joakim Petersson


18 april 1999 13.09.46
Om jag har en formel som ser ut så här: h+ V * sin(a)*t - (gt²)/2 = 0 Hur ska man gföra för att bryta ut t till t= utan att få 't' i högerledet? MVH
Hjalmar

Svar:

"Tricket" är att skriva ekvationen som t2+pt+q=(t+p/2)2+q-p2/4=0 (kvadratkomplettering). Om du känner till konsten att dra kvadratrötter så kan du nog lösa problemet och samtidigt visa en allmän formel för rötterna till en andragradsekvation.

Joakim Petersson


17 april 1999 17.43.36
hej! jag har två frågor som gäller matte E, komplexa tal. 1) visa att om absolut beloppet för z=2 så är talet z+(4/z) ett reellt tal. 2)bestäm den reella konstanten k i y=e^kix så att 4y"+y=0 det vore snällt om ni kunde läsa dem åt mig! tack!
Karin Mannesson

Svar:

1) Om z=x+iy (x,y reella) kan vi införa dess konjugat z*=x-iy. Då gäller för absolutbeloppet att |z|2=x2+y2=zz*. Om nu |z|=2 så är z+4/z=z+z*=2x, som är reellt.

2) En klassisk relation är eix=cos x+isin x, som ofta tas som definition av vänsterledet då x är ett reellt tal. Man kan då derivera exponentialfunktioner med imaginärt argument "på vanligt sätt". Vi sätter y=eikx och får att 4y''+y=(1-4k2)eikx=0 om k=1/2 eller k=-1/2.

Joakim Petersson


17 april 1999 15.14.36
*Hur många följder av längd n innehållande de fyra symbolerna 0, 1, 2 och 3 finns det som innehåller precis r stycken ettor?

Svar:

Det finns C(n,r)*3n-r sådana följder, för de r st ettorna kan placeras ut på C(n,r)=n!/(r!(n-r)!) olika sätt, och för varje sådant kan de övriga n-r platserna besättas med symbolerna 0, 2 och 3 på 3n-r sätt. Summerar man detta över r från 0 till n så får man det totala antalet följder 4n i överensstämmelse med den s.k. binomialsatsen.

Joakim Petersson


17 april 1999 15.10.11
Fråga 1. a) n tillhör Z+. Visa att produjten av n konsekutiva (på varandra följande) positiva heltal är delbar med n! ? b) Visa att summan av två konsekutiva udda primtal är en produkt av minst tre primfaktorer! fråga 2. Låt m och n vara positiva heltal och d deras största gemensamma delare. Sätt W=e^(i2PI/m). Visa att exakt d av de komplexa talen ( 1, W, W^2,..., W^(m-1) satisfierar ekvationen Z^n = 1! Fråga 3.(permutation) Kan du förklara skillnaden mellan att välja kulor med eller utan åteupplägning? Vad finns det för användbara formler?
Student

Svar:

1.a) Produkten dividerad med n! är (m+1)(m+2)..(m+n)/n!=(m+n)!/(m!n!)=C(m+n,n) och uttrycker antalet sätt att välja ut n objekt av m+n.

b) Summan är jämn, och vi kan skriva p(n-1)+p(n)=2p, där p(n-1)<p<p(n). Då kan inte p vara ett primtal, så det finns minst 3 faktorer.

2) Lösningarna till zn=1 är precis z=e2Pi*ik/n, k=0,..,n-1, medan wj=e2Pi*ij/m, j=0,..,m-1. Om m=dm', n=dn', där (m',n')=1, så är exponenterna lika precis då km'=jn', vilket är för k=0,n',..,(d-1)n', j=0,m',..,(d-1)m'.

3) Säg att vi skall ta r kulor ur en urna med n olika kulor. Med återläggning är det tillåtet att välja samma kula flera gånger. Användbara formler: Om hänsyn till ordningen tas, så finns med återläggning nr möjligheter, annars n(n-1)..(n-r+1). Om ordningen är irrelevant, så är antalet med återläggning C(n-1+r,r) och utan återläggning C(n,r).

Joakim Petersson


17 april 1999 12.20.07
Finns det någon effektiv ALGORITM som tar fram en ev. icke-parameterlösning på ett linjärt ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta? Tack på förhand!
Morgan Gunnarsson

Svar:

Det bästa sättet att lösa lineära ekvationssystem, både vid räkning för hand och maskinellt, är att använda Gausselimination, se 11 mars 1998 18.41.07 . Algoritmer för detta studeras inom numerisk analys och datalogi.

Joakim Petersson


17 april 1999 10.41.20
Hjälp mig att skissa grafeena y=a^x och y=a log x (obs i ekv. y= a log x står det ej a gånger log x, utan a:t skall vara upphöjt) i samma diagram där a) a = 2 b) a=½ c) a=3 d) a = 1/3
Anneli Karlsson, Västervik

Svar:

Jag nöjer mig med att rita kurvorna då a=2. En exponentialfunktion ax med a>1 växer mycket snabbt (just exponentiellt) och dess inversa funktion betecknas alog x.

image1JE.JPG

Joakim Petersson


16 april 1999 09.12.56
Hej! Jag har försökt lösa följande problem, men ej lyckats lösa och hoppas på eran hjälp! Tack på förhand! On the points of the curve with equation y=x3, an operation * is defined as follows. Let, for any two points A and B on the curve, A*B denote the reflection of the third intersection point of line AB with the curve about the origin. (If some two points involved in the definition coincide, then the tangent to the curve at the given point is considered instead of the connecting line.) Prove that operation * is associative.
John

Svar:

Vi skall visa att i själva verket c=a+b om A=(a,a3), B=(b,b3) och C=A*B=(c,c3). Det är ju då klart att operationen * är associativ, dvs att (A*B)*C=A*(B*C). Att linjen AB skär kurvan y=x3 innebär en tredjegradsekvation x3=y=a3+k(x-a), k=(b3-a3)/(b-a)=a2+ab+b2. Här är två rötter a och b kända (om A=B så är a=b en dubbelrot). Men summan av rötterna är noll eftersom koefficienten för x2 är noll, så AB skär kurvan i punkten C', där a+b+c'=0. Efter spegling i origo får vi att A*B=C= -C', där C ligger på kurvan och c=a+b.

Joakim Petersson


16 april 1999 08.51.42
Hur många överlevde TITANIC
Angelica och Suzanne

Svar:

Jag vet inte exakt, men ungefär 400 av de 1800 ombord. Jag hoppas att ni kan få svar någon annanstans.

Joakim Petersson


16 april 1999 01.12.49
Hur kan man med induktionsprincipen lösa följande uppgift: Låt Pn beteckna det n:te primtalet, n=1,2,3... Visa att Pn < 2^(2^n). Tacksam för svar.
Andreas Karlsson

Svar:

Detta bygger på Euklides bevis för att det finns oändligt många primtal: Antag att 2=p(1)<p(2)<..<p(n) är de enda primtalen som finns. Bilda talet p(1)p(2)..p(n)+1. Varje heltal 2,3,.. kan skrivas som en produkt av ett eller flera primtal. Men vårt tal ger resten 1 vid division med varje primtal p(1),..,p(n). Det måste då antingen vara ett nytt primtal eller kunna skrivas som en produkt av nya primtal, vilket ger en motsägelse. Resonemanget i beviset ger nu att p(n+1)<=p(1)p(2)..p(n)+1. Att p(n)<2^(2n) är klart för n=1 (2<4). Om detta antas vara sant för de n>=1 första primtalen får vi att p(n+1)<=p(1)p(2)..p(n)+1<2^(2+22+..+2n)=2^(2n+1-2)+1<2^(2n+1), vilket visar påståendet för p(n+1) och därmed allmänt. Sättet att använda induktionsprincipen här kallas fullständig induktion.

Joakim Petersson


16 april 1999 00.46.07
Fråga I I vilken/vilka punkter har ytan Z=f(x,y) sin brantaste lutning? f(x,y)= e^(x2-2y2) Fråga II åt vilket håll är lutningen som störst? Z=32/1+x2+y2
Tommy

Svar:

I) Gradienten är en vektor som pekar i den riktning i planet i vilken funktionsvärdena växer som mest, och dess belopp är ett mått på ytans brantaste lutning i punkten. Den ges av de partiella derivatorna till f. Om z=f(x,y)=exp(x2-2y2) så är gradienten grad f=(2x,-4y)exp(x2-2y2) och |grad f|2=(4x2+16y2)exp(2x2-4y2). Lutningen kan här bli hur stor som helst, tex för stora x och y=0.
II) Funktionen f(x,y)=32/(1+x2+y2) beror bara på avståndet till origo och har en topp där. Gradienten
grad f= -64(x,y)/(1+x2+y2)2 pekar alltid mot origo, så lutningen är som störst i den riktningen (den är för övrigt allra störst på cirkeln kring origo med radien 3-1/2).

Joakim Petersson


15 april 1999 17.23.12
hur många negativa tal kan man skriva med 8 bitar ordlängd?
Katta

Svar:

Att placera två tecken på åtta platser kan ske på 28 = 256 sätt. Men att talet är negativt bör kanske också kodas in och då får man bara sju platser kvar dvs 27 = 128. Sedan är nollan inte negativ så det blir 27 - 1 =127 tal.

Anders Dahlner


15 april 1999 17.12.45
Hej ! 1) Visa att för alla tredjegradskurvor som har en maximi- och en minimipunkt är andraderivatan 0 i den punkten som ligger mitt emellan maximi och minimipunkten. 2) Linjen y=kx+m skär kurvan y=x² i punkterna A och B. Bestäm koordinaterna för punkten P på kurvbågen AOB då triangeln APB har maximal area.

Svar:

1) Jag antar att du menar tredjegradspolynom. Låt y beteckna polynomet. Derivatan till y har två reella rötter säg a och b, där a < b. Således är y = c(x-a)(x-b) = cx2-c(a+b)x + c(ab) och y'' = 2cx -c(a+b). Detta ger att y'' = 0 precis om x = (a+b)/2.

2) Jag antar att du menar att A = (a,a2), B = (b,b2), a < b och att du vill maximaera arean av triangeln APB där P = (p,p2) och a<p<b.
Arean av triangeln APB ges av
A(p) = INTab((b+a)x - ab) - INTap((a+p)x - ap) - INTpb ((p+b)x - bp)
    = (b+a)b2/2 -ab2-(b+a)a2/2+a2b - (a+p)p2/2+ap2+(a+p)a2/2-a2p-(p+b)b2/2+b2p+(p+b)p2/2-bp2
    =  (a-b)p2/2 +(b2 -a2)p/2 +ab(a-b)/2 = -(b-a)(p2 - (a+b)p + ab)/2
som antar sitt maximum i (a+b)/2. Den största arean är alltså A((a+b)/2).

Anders Dahlner


15 april 1999 16.33.35
Hej ! Bestäm gränsvärdet av lim n->oänd. A(n)/n , där a) A(n) = Summan av alla k , då k går från 1 till n. Visa olikheten n² <= 2^n gäller för 4,5,6 ... med induktion.

Svar:

Summan A(n) = 1 + 2 + ...+ n kan man beräkna enligt följande:
2A(n) = (1 + n) + (2 + (n-1)) + (3 + (n-2)) + ... + (n + 1) = n(n+1),
så att A(n) = n(n+1)/2.
Det följer att A(n)/n = (n+1)/2 som går mot +oändligheten då n->+oändligheten.

Basen n=4: 42 = (22)2 = 24.
Induktionssteget: Antag att n2 <= 2n för något n >= 4. Då är (n+1)2 < (sqrt(2) n)2 = 2n2 <= 2*2n = 2n+1.
Ty n+1 < sqrt(2) n, gäller precis om 1+1/n < sqrt(2), vilket gäller om n >= 3.

Anders Dahlner


15 april 1999 13.57.44
Snälla hjälp mig.Redogör så utförligt som möjligt. Tack! Beräkna arctac ½ + arctan 2. Beräkna arccos 3/5 + arxcxos 4/5.
Annika Ahl i Vadstena

Svar:

Jag vet inte hur arctac och arxcxos definieras.

Anders Dahlner


14 april 1999 22.26.18
vad är en eliminerad budget
Lennarth Sanfridsson

Svar:

Frågan bör ställas till en ekonom.

Anders Dahlner


14 april 1999 22.18.14
Visa att talen a och b kan väljas så att y = (ax + b)e^x blir en lösning till diffrentialekvationen y'+ 2y = xe^x ,ange sedan diffrentialekvationens allmänna lösning.
Mattias

Svar:

Om y =  (ax + b)ex så är y' = aex + (ax+b)ex, så
y' +2y = aex + 3(ax+b)ex = (a+3b)ex + 3axex.
Alltså är y' + 2y = xex om a+3b=0 och a = 1/3, dvs om a = 1/3 och b = - 1/9.
Allmänna lösningen får vi om vi vet när y' + 2y = 0, detta gäller precis om y = Ce-2x, där C är en konstant (vilken som helst).
Alltså är den allmänna lösningen y = (x/3-1/9)ex +  Ce-2x.

Anders Dahlner


14 april 1999 21.17.20
Hur bevisar man att talet pi:s decimalutveckling verkligen styrs av en slump? Visserligen kan man räkna ut många decimaler och SE det, men går det att bevisa? Hur utvecklar man följande uttryck: (x+y^2+z^3-p^2-q))^4 Tack!
Tetris

Svar:

Med att pi's decimalbråksutveckling styrs av en slump tror jag att du menar att pi ej är rationell, detta är svårt att visa. Se  19 januari 1999 13.35.51 .
Vi är inte till för att beräkna uttryck som dessa: (x+y2+z3-p2-q)4. Vad skall du med det till?

Anders Dahlner
 


14 april 1999 18.08.39
Jag har tre problem ur "Analys för ingenjörer" som jag inte klarar av. Kan ni hjälpa mig, vore jag mycket tacksam! 1) Beräkna exakta värdet av sin(x+2y) om x och y är två vinklar mellan 0 och pi/2 sådana att sin x = 0.5 och sin y = 0.3 2) Lös ekvationen 9^x - 3^(x+1) +2 = 0. 3) Visa att cos^2x - cos^4x = sin^2x - sin^4x. (Cos upphöjt till 2 gånger x minus cos upphöjt till 4 gånger x är lika med sin upphöjt till 2 gånger x minus sin upphöjt till 4 gånger x.)
Lena Andersson, Västervik

Svar:

1) sin(x+2y) = sin(x)cos(2y) + sin(2y)cos(x) = sin(x)(cos2x - sin2x) +2sin(y)cos(y)cos(x)
                  = sin(x)(1-2sin2x) +2sin(y)(1-sin2y)1/2(1-sin2x)1/2,(positiva rötter eftersom cosinus är positiv på intervallet i fråga). Här kan du stoppa in dinna tal och räkna ut vad det blir.

2) Sätt t = 3x , och du får andragradsekvationen t2 - 3t + 2 = 0, som du kan lösa. Om t1 och t2 är rötterna till denna ekvation så löser du ut x till ln t1/ln 3 och ln t2/ln 3 vilka är giltiga rötter till den första ekvationen precis om t1 och t2 är > 0.

3) Texten efter formeln är något förvillande... Vi har att
cos2x - cos4x = 1-sin2x - (1 - sin2x)2 = 1 - sin2x - (1 - 2sin2x + sin4x)
                     = 1 - sin2x - 1 + 2sin2x - sin4x = sin2x - sin4x.

Anders Dahlner


14 april 1999 18.02.01
Hej! Kan ni hjälpa mig med två problem angående derivering. Problem 1) Beräkna derivatan av arcsin2x roten ur(1-x^2), där x<(1/roten ur 2) Problem 2) Beräkna f´(0) om f(x)= roten ur((1+x^3)(x-5)^7(2x+7)^5)/((x^2+2)^3)
Lena Andersson, Västervik

Svar:

1) Du måste mena arcsin(2x (1-x^2)1/2).
arcsin(2x (1-x^2)1/2)' = (1/(1 - (2x (1-x^2)1/2)2)1/2 )*(2x(1-x^2)1/2)' =
                                = (1/(1- 2x2(1-x2)))*(2(1-x^2)1/2 -2x2(1-x^2)-1/2).

2) Om f(x) = [((1+x3)(x-5)7(2x+7)5)/((x2+2)3)]1/2, så är
f '(x) = 3x2(x-5)7(2x+7)5/(x2+2)3/2 +  7(1+x3)(x-5)6(2x+7)5/(x2+2)3/2 +
           + 10(1+x3)(x-5)7(2x+7)4/(x2+2)3/2 - 3(1+x3)(x-5)7(2x+7)5(x2+2)2x/(x2+2)9/2
så f '(0) = 7(-5)6(7)5/23/2 + 10(-5)7(7)4/23/2 = -37515625/23/2.

Anders Dahlner


14 april 1999 14.47.57
För att räkna ut egenvärdenena för en enkel nxn matris A kan man använda sig av den vanliga formeln det(A-lamda*E) = 0 och räkna för hand. Men om man har större matriser blir det för jobbigt. Finns det nått bra numeriskt sätt att räkna ut egenvärena och egenvektorerna som man lätt kan implementera i ett datorprogamm ?
Johan Pettai

Svar:

Inte exakt, detta är vad AltaVista fann. Annars bör du fråga någon som jobbar med numerisk analys.

Anders Dahlner


14 april 1999 13.02.03
Hej! För vilka x konvergerar sum(1-sqrt(cos(1/n))*x^n,1 .. infinity)?
Johan Sandberg

Svar:

Serien konvergerar för de x med
|x| < limn->oändligheten (1-sqrt(cos(1/n)))-1/n = 1.
Men även för x = -1, eftersom koefficienterna är > 0 och går mot 0.

Anders Dahlner


14 april 1999 10.41.06
Skissa grafen till funktionen... y=(x^2+3x-1)/(x-2) ange lokala extrempunkter,asymtoter och intervall där y är konvex resp konkav.
Eva Liljegren

Svar:

Vi har att
y = (x2 + 3x - 1)/(x - 2) = (x2 - 2x + 5x - 1)/(x - 2)
   = x + (5x - 1)/(x-2) = x + (5x - 10 + 9)/(x-2) = x + 5 + 9/(x - 2).
Man ser att funktionen f(x) = x + 5 är assymptot i både +oändligheten och i -oändligheten, och att man har en lodrät assymptot i x = 2.

Derivatan ges tydligen av
y'(x) = 1 - 9/(x-2)2,
alltså är y'(x) = 0 precis om x= -1 eller om x = 5.

Andra derivatan ges av
y''(x) = 18/(x-2)3,
Således är y'' > eller lika med 0 precis om x är större eller lika med 2,
och y'' < eller lika med 0 precis om x är mindre eller lika med 2.
Alltså är y konvex i intervallet [2,+oändligheten) och konkav i intervallet (-oändligheten,2], speciellt har  y lokalt minimum i x = 5 och lokalt maximum i x = -1.

Ur denna information kan man skissera grafen hyfsat.

Anders Dahlner


14 april 1999 09.26.10
Hej, jag och en kompis skriver ett litet arbete om ny teknik. Vi skriver om GPS och har hittat ganska mycket fakta. Problemet är att vi behöver veta lite om hur man räknar ut de två skärningspunkterna som tre överlappande sfärer blidar. En formel, med förklaring vore mycket uppskattat! Tyvärr måste jag be er att skynda er lite, vi har en ganska snäv tidsram. Tack på förhand /Olof Jonmarker NV1a Spyken
Olof Jonmarker

Svar:

Ni bör specificera ekvationerna för era sfärer, om man har tre sfärer så kan skärningen vara
1) en sfär, 2) en cirkel, 3) två punkter, 4) ingenting.

Anders Dahlner


14 april 1999 09.14.58
Hej! Jag undrar om ni kunde hjälpa mig med följande fråga: In a regular pentagon, v1, v2, ..., v5 denote the vectors from the centre to the vertices of the pentagon, respectively. Given that integers k1, k2, k3, k4, k5 satisfy k1v1+k2v2+...+k5v5=0, prove that k1=k2=...=k5.
John

Svar:

Vi antar att vektorerna v1, v2, v3, v4, v5 ligger i denna ordning på pentagonen.
Reguläriteten ger att
(1)   v1 + v2 + v3 + v4 + v5 = 0, och att
(22)   vj + vj+1 = cvj+3,    j = 1,...,5
där v6 = v1, v7 = v2, v8 = v3, och där c = -2cos(2*Pi/5) = -2/(1+51/2) (som man får om man betraktar vektorerna som femte enhetsrötter, dvs rötter till ekvationen z5 = 1).

Antag nu att
(3)  k1v1 + k2v2 + k3v3 + k4v4 + k5v5 = 0, där kj är heltal för j = 1,...,5.
Om vi multiplicerar (1) med k1, och tar skillnaden mellan resultatet och (3) får vi
(4)  (k2 - k1)v2 + (k3 - k1)v3 + (k4 - k1)v4 + (k5 - k1)v5 = 0.
Om man nu använder ekvationerna (22), (24) och (4) så har man tre ekvationer och fyra parvis linjärt oberoende vektorer. Detta leder till att om talen kj, j=1,...,5 är olika så kan konstanten c skrivas som en kvot av heltal vilket strider mot att c är irratonell.

Anders Dahlner


14 april 1999 00.49.49
Vad är en analytisk funktion ?
Lars Berglund

Svar:

Ett polynom är en funktion p(x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0. En analytisk funktion är en generalisering av polynom där summationen kan vara oändlig. En funktion är analytisk i en punkt a om f kan skrivas som en potensserie i in omgivning till a:
f(x) = a0 + a1(x - a) + a2(x-a)2 + . . . = SUMn = 0oändligheten an(x-a)n.

Analytiska funktioner har många trevliga egenskaper, man kan till exempel derivera dem hur många gånger som helst. När man studerar analys i en komplex variabel så kommer analytiska funktioner på ett mycket naturligt sätt in, ty en funktion f är analytisk precis om den är deriverbar med avseende på den komplexa variabeln. Alltså gäller det att om f beror på en komplex variabel och är deriverbar i denna så är f deriverbar hur många gånger som helst.

För mer information rekomenderar jag  Complex Variables and Applications av Churchill, Ruel.

Anders Dahlner


13 april 1999 20.43.48
Matematik tillämpad på nationalekonomi, närmare bestämt följande problem, som bl a Walras funderade på: Hur bevisar man existensen av jämviktspriser under antagandena att individernas efterfrågefunktioner är homogena av grad noll och kontinuerliga? Jag såg ett informellt "bevis" i Nicolson, Walter "Microeconomic Theory. Basic Principles and Extensions" ss. 483-488 (där man bl a försöker utnyttja "Brouwer's Fixed-Point Theorem", men skulle gärna vilja se ett mer strikt, formellt bevis. Det skulle också vara intressant att se beviset för "Brouwer's Fixed-Point Theorem", som det kallas på engelska (vet ej vad det heter på svenska). Tack på förhand
Frederik Lundtofte

Svar:

Ekonimifrågan kan jag inte besvara då jag inte är insatt i termerna. Brouwers fixpunktssats säger att om f är en kontinuerlig avbildning från Bn till Bn, där Bn är enhetsbollen i Rn, så finns det ett x så att f(x) = x (en fixpunkt).
Beviset kräver dessvärre en del algebraisk topologi som vi inte kan förutsätta att alla kan och kan därför inte visas här.  Läs Armstrongs bok  Basic topology - här finns även ett lätt bevis för dimension ett.

Anders Dahlner


18314 frågor av sammanlagt 18716 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)