Fråga Lund om matematik

Sökresultat


22 november 1998 21.26.45
Vad är den egentliga definitionen av räknesättet division?
Magnus Lindgren

Svar:

Division är den inversa operationen till multiplikation. Om b är ett tal skilt från noll så definieras 1/b som de tal så att b.1/b=1. a/b definieras sedan som a.1/b.

Stefan Jakobsson


22 november 1998 18.31.22
Finns det något sätt att beskriva proportionen mellan -1 och +2 (utan att använda absolutbelopp)? Vilken är den i så fall?
Jonas och Fredrik

Svar:

Jag vet inte vad ni menar med proportionen mellan två tal. Ni får precisera frågan.

Stefan Jakobsson


22 november 1998 13.01.57
Jag undrar hur man kan utveckla additonsformler av tanh(x+y) och tanh X/2.
Johan Andersson

Svar:

Osbornes regel säger att för varje trigonometrisk formel finns det en motsvarande hyperbolisk formel.. För att översätta ett trigonometrisk formel till en hyperbolisk formel går man till väga på följande sätt: ersätt cos med motsvarande cosh och sin med motsvarande sinh förutom när det är en produkt av två sin som den ersätts med minus produkten av motsvarande sinh. Tillämpar vi detta på cosh(x+y) och sinh(x+y) får vi

cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)

och

sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y).

Dividerar vi med varandra får vi

tanh(x+y)=sinh(x+y)/cosh(x+y)=

(sinh(x)/(cosh(x)+sinh(y)/(cosh(y))/(1+sinh(x)sinh(y)/(cosh(x)cosh(y)))=

(tanh(x)+tanh(y))/(1+tanh(x)tanh(y))

vilket är additionsformeln för tanh(x+y)(man hade också kunna använt Osbornes regel direkt). För tanh(x/2) har vi

tanh(x/2)=sinh(x/2)/cosh(x/2)=(ex/2-e-x/2)/(ex/2+e-x/2)=

((ex/2-e-x/2)(ex/2+e-x/2))/((ex/2+e-x/2)/(ex/2+e-x/2))=

(ex-e-x)/(ex+e-x+2)=sinh(x)/(cosh(x)+1).

Stefan Jakobsson


21 november 1998 14.10.28
Om jag betalar 1000:- varje år i fem år med 5% i årsränta hur stort blir kapitalet med ränta på ränta? Och hur beräknar jag tal inom parentes.? Och hur räknar jag med upphöjda värden? j är i s ut varje år under 5 år
Per Olof Genberg

Svar:

Jag antar att räntan adderas till kapitalet i slutet av året och att insättningen av pengar sker i början av året.

De 1000 kr man sätter in i början av första året har vid slutet av år fem vuxit till 1000*1,055 kr. De 1000 kr man sätter in i början av andra året har vid slutet av år fem vuxit till 1000*1,054 kr och så vidare. Adderar vi ihop alltsammans så får vi det totala beloppet vid slutet av år fem till

1000*1,055+1000*1,054+1000*1,053+1000*1,052+1000*1,05=5802 kr.

Stefan Jakobsson


21 november 1998 00.53.37
Hur beräknar man tyngdpunkten för en n-hörning om man vet dess koordinater ?
Benny Antonsson

Svar:

Låt (x1,y1), (x2,y2),...,(xn ,yn) vara n-hörningens hörn när randen genomlöps motsols. För att formlerna ska bli snygga låter vi (xn+1 ,yn+1)=(x1,y1). Vi behöver Greens formel: Om D är ett område i planet och P(x,y)och Q(x,y) är deriverbara funktioner så har vi

dubbelintegralen[över D] Q'x(x,y)-P'y(x,y)dxdy=

integralen[över randen på D] P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

Om vi sätter Q(x,y)=x och P(x,y)=0 så är Q'x(x,y)=1 och P'y(x,y)=0 och vi får arean av området. Vi parametriserar randen mellan (xj ,yj) och (xj+1 ,yj+1), x=xj+t (xj+1-xj)och y=yj+t (yj+1-yj). Beräknar vi arean med Greens formel får vi

A=summan[j=1 till n] integralen[0 till 1](xj+t (xj+1-xj))(yj+1-yj)dt=

1/2 summan[j=1 till n] (xjyj+1-xj+1yj).

För att få fram tyngdpunkten behöver vi momenten

Mx=dubbelintegralen[över D] x dxdy

och

My=dubbelintegralen[över D] y dxdy.

Med samma metod som ovan får man resultaten

Mx= 1/6 summan[j=1 till n] (yj+1-yj)(xj2+xj xj+1+xj+12).

och

My= -1/6 summan[j=1 till n] (xj+1-xj)(yj2+yj yj+1+yj+12).

Tyngdpunkten är (Mx/A , My/A).

Stefan Jakobsson


20 november 1998 20.59.44
En oljetank har formen av en rak cirkulär cylinder. Diametern är 1,24m och höjden 2,44m. Tanken ligger på sidan så att de cirkulära basytorna är vinkelräta mot horisontalplanet. Den fylls med en hastighet av 0,0045 kubikmeter/sekund. Hur snabbt stiger oljenivån i tanken i det ögonblick oljedjupet d är 0,32m?
Karin Mannesson

Svar:

För att inte blanda ihop derivata och oljedjup så betecknar jag oljedjupet med h.

Mängden olja V i tanken är en funktion av oljedjupet h. Enligt kedjeregeln så har vi

0,0045= d/dt V(h(t))=V'(h(t)) h'(t).

Vi behöver alltså beräkna derivatan V'(h). Låt A(h) beteckna arean av den fria oljeytan. Denna yta är en rektangel med samma längd l=2,44 som cylindern och bredden är enligt Pythagoras sats 2(2Rh-h2)1/2 där R=0,62 är radien på cylindern. Detta ger att A(h)=2l(2Rh-h2)1/2. Volymen V(h) ges sedan av integralen

V(h)=integralen [0 till h] A(x) dx.

Enligt analysens fundamentalsats är V'(h)=A(h). Då oljedjupet är 0,32 så är V'=A=2,64 m2 och oljenivån stiger då med hastigheten 0,0017 m/s.

Stefan Jakobsson


20 november 1998 09.33.27
Hur många punkter (x,y) behöver jag, och hur gör man, för att bestämma en ellips karakteristik
Punkterna på ellipsen är slumpvisa. Man känner alltså inget annat än just x och y.

Daniel Jonåker

Svar:

Vi börjar med fallet att ellipsen är centrerad kring origo. Ekvationen för en godtycklig ellips centrerad kring origo kan skrivas

ax2+2bxy+cy2=1.

Ellipsens storaxel och lillaxel har samma riktning som egenvektorerna till matrisen

(a b)

(b c)

och längderna till storaxeln och lillaxeln är ett genom egenvärdena. Det behövs alltså tre parametrar a,b och c för att bestämma ellipsens form så om vi har tre punkter på ellipsen kan vi beräkna a,b och c genom att lösa ett linjärt ekvationssystem.

Om vi flyttar ellipsen så att centrum istället hamnar i (x0,y0) så blir ekvationen för ellipsen

a(x-x0)2+2b(x-x0)(y-y0)+c(y-y0)2=1.

Det är nu fem obekanta a, b, c, x0 och y0 som skall beräknas och för att klara det behöver punkter på ellipsen. Det är nu betydligt jobbigare att beräkna parametrarna. Man kan börja med att reducera bort parametrarna a,b och c. Sedan har man dock kvar två jobbiga ekvationer i x0 och y0. Dessa löses nog lämpligen numeriskt.

Stefan Jakobsson


19 november 1998 21.46.03
How do I show that p_n(x)>0 if n is even and that p_n(x) has exactly one root when n is odd by looking at exp(-x)*p_n(x), when p_n(x)=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n! ?
Mark

Svar:

Sätt fn(x)=e-n pn(x) och derivera fn med avseende på x. Vi får (observera att Dpn(x)=pn-1(x))

Dfn(x)=-e-x pn(x)+e-x Dpn(x)=e-x(pn-1(x)-pn(x))=-xne-x/n!

Om n är jämnt så ser vi att Dfn(x)<0 för alla x förutom noll vilket innebär att fn är strängt avtagande. Eftersom gränsvärdet av fn(x) är 0 då x går mot oändligheten så är fn(x)>0 för alla x vilket i sin tur medför att pn(x)>0 ty exponentialfunktionen är alltid positiv.

Om n är udda så konstaterar vi först att pn(x)>=1>0 för alla x>=0 (detta gäller i och för sig för jämna n också men vi behövde inte anväda det då)så pn har inga positiva nollställen. Eftersom fn(x) går mot -oändligheten då x går mot -oändligheten och fn(0)=1 så ger satsen om mellanliggande värden att fn har minst ett nollställe på negativa axeln(vi har här använt att fn är kontinuerlig). Av (*) får vi att fn är strängt växande för negativa x så det finns bara ett nollställe för fn och därmed också för pn.

Stefan Jakobsson


19 november 1998 21.40.01
Hur i hela friden orkar ni sitta och svara på så många frågor.....?
martin

Svar:

Detta var en mycket bra fråga. Det är väldigt jobbigt. Jag orkar nog bara en vecka till. Men tänk inte på oss utan fortsätt att skicka in frågor.

Stefan Jakobsson


19 november 1998 19.23.13
(981119) Hej! Jag har en fråga som jag gärna skulle vilja ha ett svar på. Frågan lyder "Visa att ett homogent lineärt ekvationssystem med fler obekanta än ekvationer har oändligt många lösningar"... Visa gärna på så enkelt sätt som möjligt.. Tack på förhand! MVH Stefan
Stefan

Svar:

Detta är ett standardresultat i linjär algebra som man kan finna i många böcker i ämnet. Här får du två referenser på svenska: Lineär algebra med vektorgeometri av Anders Tengstrand och Lineär algebra av Karl Gustav Andersson.

Stefan Jakobsson


19 november 1998 13.29.02
I vilka områden kan man använda n-dimensionell geometri?
Dan Andersson Chapman NV2a

Svar:

Denna fråga är det omöjligt att ge ett uttömmande svar på eftersom linjär algebra och n-dimensionell geometri har så otroligt många tillämpningar både inom matematiken och i andra ämnen. Jag hoppas du nöjer dig med några exempel.

1) Datorgrafik och bildanalys. Exempelvis när man beräknar två dimensionella projektioner av tre dimensionella objekt. Den linjära algebran är datorgrafikens viktigaste teoretiska verktyg.

2) Numerisk lösning av differentialekvationer. Ofta när man löser ordinära och partiella differentialekvationer numerisk så dyker det upp väldigt stora linjära ekvations system som man måste lösa.

3) Minsta kvadratmetoden ett effektivt och mycket använt sätt att anpassa polynom (ibland används också andra typer av funktioner) till mätdata så att polynomet ansluter så bra som möjligt till den givna datamängden. För att hitta polynomet använder man linjär algebra.

Stefan Jakobsson


18 november 1998 22.24.55
Hur vet man att sinusfunktionen är strängt växande på [-pi/2,pi/2]?
Ann

Svar:

Se någon lärobok i analys där de trigonometriska funktionerna definieras t.ex Envariabelanalys av Hellström, Morander och Tengstrand på Studentlitteratur. Det brukar också finnas i gymnasieskolans matematikböcker.

Stefan Jakobsson


18 november 1998 21.36.13
Hejsan, ni har hjälpt mig förr tror jag... Jag vill ha reda på arean som uppkommer då y=lnx roterar runt x-axeln, från x=1 till x=e. Mathematica klarar det inte (i elementära funktioner), och vad jag än gör för subst. eller variabelbyte så kommer idel nya problem ... jag börjar tro att det är nåt typ sinx/x eller liknande som ej går att uttrycka i elementära funktioner. Finns det nån exakt lösning till 2*Pi*Integrate[lnx*Sqrt[1+1/x^2],{x,1,E}]??? Och i sådana fall, hur ser primitiven ut??? Jag vore jättetacksam om det dimper ner ett svar till denna integral, ty den har gäckat mig i en vecka snart, och i över 9 timmar idag... Tack på förhand
Micke Persson

Svar:

Jag klarar inte heller att hitta någon primitiv funktion och det är inte ens säkert att primitiven kan uttryckas i elementära funktioner. Men numeriskt kan man ju alltid räkna. Arean är approximativt 7,05495610.

Stefan Jakobsson


18 november 1998 20.55.15
Hur går jag tillväga för att lösa samtl. primitiva funktioner till. ^(4x^3+6x^2+7x+2/x^4+2x^3+x^2+2x)
Daniel Svanfelt

Svar:

En potensfunktion xr har xr+1/(r+1) som primitiv. Använder vi detta får vi att samtliga primitiver till funktionen ovan kan skrivas

x4+3x3+7/2 x2-2/3 x-3+1/2 x4+1/3 x3+x2+C

där C är en konstant.

Stefan Jakobsson


18 november 1998 20.51.23
Hur löses jag samtliga primitiva funktioner till. (ln(1+lnx)/x)*lnx ? Fullständig lösning tack.
David Ejnell

Svar:

Gör vi substitutionen t=ln(x) får vi dt=1/x dx

integralen (ln(1+ln(x)/x) ln(x)dx=integralen ln(1+t)t dt.

Integrera sedan partiellt (integrera t och derivera ln(1+t))

ln(1+t)t2/2 -1/2 integralen t2/(1+t) dt= ln(1+t)t2/2 -1/2 integralen (t-1+1/(1+t) )dt=

ln(1+t)t2/2-t2/4+t/2-ln(1+t)/2+C,

där är C en godtycklig konstant.

Nu är det bara att substituera tillbaka. Samtliga primitiva funktioner kan alltså skrivas

ln(1+ln(x))(ln(x)2-1)/2-ln(x)2/4+ln(x)/2+C.

Stefan Jakobsson


18 november 1998 15.33.10
Hej! jag har en talföljd som ser ut på följande vis: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4+ ... + 1/n n-> oändligheten Jag tror att den konvergerar men vet ej mot vad och hur jag ska räkna på detta. tack på förhand!
S Baymani

Svar:

Serien divergerar faktiskt. För att visa detta kan vi använda integralkriteriet som säger att om vi har en positiv och monotont avtagande funktion f och en talföljd som definieras av an=f(n) då konvergerar summan

summan[n=1 till oändligheten] an

om och endast om integralen

integralen[1 till oändligheten ]f(x)dx

konvergerar. I vårt fall sätter vi f(x)=1/x. integralen[1 till R] 1/ x.dx=ln(R) går mot oändligheten då R går mot oändligheten. Integralen är alltså divergent och därmed också summan.

Stefan Jakobsson


18 november 1998 15.29.08
Goddag och tack för en bra sida! I en av våra böcker finns en övningsuppgift som säger: Visa att serien beskrivs nedan konvergerar och beräkna dess summa. Jag ska beskriva: ett summatecken med ett oändlighetstecken ovanför och nedan står det att k=1, till höger om summatecknet står (2/3)^n Hoppas ni förstår och kan hjälpa mig!
Martin

Svar:

För denna uppgift behöver vi formeln för geometrisk serie

summan[k=0 till oändligheten] xk=1/(1-x)

om |x|<1. Det är nu bara att tillämpa denna formel på din uppgift

summan[k=1 till oändligheten] (2/3)k=2/3summan[k=0 till oändligheten] (2/3)k=(2/3)/(1-(2/3))=2.

Stefan Jakobsson


18 november 1998 15.17.54
HejHej! Jag undrar en sak: om man har en talföljd (-1)^n ,är den konvergent? Den kan ju bara bli antingen -1 eller 1 räknas den som konvergent då, även om den går mot två värden?
Sima

Svar:

Nej, den är inte konvergent. Däremot kan man säga att 1 och -1 är hopningspunkter för följden.

Stefan Jakobsson


18 november 1998 15.12.48
Här är en klassisk, men ganska svår geometri uppgift: Let I be the incentre of triangle ABC. Let the incircle of ABC touch the sides BC, CA and AB at K, L and M, respectively. The line through B parallel to MK meets the lines LM and LK at R and S, respectively. Prove that ÐRIS is acute. Tack! A.G.
A.G.

Svar:

Det är alldeles för tidsödande att svara på sådana här tankenötter. Men till alla er som gillar att grubbla på tankenötter så finns tidskrifterna Elementa och Normat. De innehåller, förutom artiklar om matematik, fysik och kemi, också tankenötter och tävlingsproblem från gymnasieskolornas matematiktävling och från matematikolympiader. Lösningar till problemen brukar publiseras i nästkommmande nummer (så att man inte ska frestas att se på lösningarna för tidigt).

Stefan Jakobsson


18 november 1998 15.09.00
Här är en jobbig och ganska krävande fråga: Låt f vara en funktion som är definierad för mängden N av de positiva heltal in i N. Funktionen har följande egenskap: f(t^(2)*f(s)) = s*(f(t))^2, för alla s och t i N. Bestäm det minsta värdet som f(1998) antar. Tack för hjälpen! A.G

Svar:

Se ovanstående fråga.

Stefan Jakobsson


18 november 1998 08.27.03
Hej! Mina problem ligger i att göra diverse beräkningar på en ellipsoid. (Noggrannhetskrav +- 1 meter) Givet är ellipsens form, dvs. halva storaxeln och avplattningen.

Problem 1: Att beräkna avståndet mellan två punkter där man vet latitud och longitud för båda punkterna. (För längder upp till 600 km kan man använda Gauss' medelbreddsformel)

Problem 2: På ellipsoidens yta kan man lägga vektorer med en startpunkt, riktning och längd. När man har två vektorer så vill jag veta vart skärningspunkten ligger (om det finns någon).

Problem 3: En vektor och en punkt. I det fallet så vill jag veta vid en ortogonal beräkning vart på vektorn den sker och de olika längderna som kan vara intressant.
Kjell

Svar:

Ditt problem består i att numerisk beräkna geodetiska kurvor på en ellipsoid. Geodetiska kurvor är motsvarigheten till räta linjer i planet i den meningen att om vi har två punkter på kurvan så är den närmasta vägen mellan dem den geodetiska kurvan själv. I specialfallet att vi har en sfär så är lösningen välkänd och då är geodeterna storcirklar vilket är cirklar på sfären med samma radie och centrum som sfären själv. Det allmänna fallet med en ellipsoid är betydligt krångligare. Man får nog lösa differentialekvationen för de geoderiska kurvorna numeriskt. Ekvationerna för geodetiska kurvor är dock välkända och man kan finna i de flesta böcker i differentialgeometri. Men det lär finnas programvara. Se 28 november 1997 16.41.42 och 20 november 1997 21.51.32 .

Boken Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces av Alfred Gray, CRC Press, innehåller många exempel på datorberäkningar på mångfalder med datorprogrammet Mathematica. Den innehåller bland annat hur man beräknar geodeter.

Stefan Jakobsson


17 november 1998 21.06.08
Tredjegradsekvationer kan ibland lösas med hjälp av trigonometriska funktioner, exempelvis har ekvationen 8x^3 - 6x - 1 = 0 bl a lösningen x = cos(pi/9). Jag tror mig ha läst någonstans att sådana lösningar i allmänhet inte kan uttryckas i _reella_ rötter (i komplexa går det naturligtvis). Är detta riktigt och hur bevisas det i så fall? Referenser?
Bengt Månsson

Svar:

Om vi har en tredjegradsekvation så kan man efter en enkel substitution få den på normalform

x3+px+q=0.

Inför diskriminanten D=(q/2)2+(p/3)3. Det gäller då att tredjegradsekvationen har tre reella lösningar om D<0, två eller en om D=0 och en om D>0. Detta kan man visa ganska enkelt genom att studera polynomet R(x)= x3+px+q eventuella max och minpunkter. Det fallet du refererar till motsvarar D<0 och polynomet har då tre reella nollställen. Då är ju också p<0. Gör variabelbytet x=(-4p/3)1/2y. Vår tredjegradsekvation kan då skrivas om till

4y3-3y-r=0

där r=3(q/p)(-3/(4p))1/2. Använder vi diskriminant villkoret D<0 får man att |r|<1 dvs r=cos(t) för någon vinkel t. Jämför man detta med den trigonometriska formeln

cos(t)=4cos3(t/3)-3cos(t/3)

så ser man att lösningarna är y=cos(t/3), y=cos((t+2pi)/3)och y=cos((t+4pi)/3). Detta kan jämföras med Cardanos formel där rötterna i det här fallet innehåller komplexa tal. Se 18 mars 1997 02.44.41 .

En referens är T. Nagell, Lärobok i algebra, Almqvist och Wiksell, 1957.

Stefan Jakobsson


17 november 1998 20.20.12
Ingen fråga, utan endast en kommentar till svaret på Jens Karlssons fråga 13 November 1998 om månghörningars area: I "Stora Räkneboken", Teknografiska Institutets förlag, 1968, kallas denna formel helt enkelt för "Matrisformeln".
Roland Johansson

Svar:

Tack för hjälpen.

Stefan Jakobsson


17 november 1998 18.58.36
1.Vad är sannolikheten för att bevittna en kollision mellan jorden och en främmande himlakropp? 2.Sannolikheten för att mänskligheten går under vid detta tillfälle?
Anders Johansson

Svar:

Jag hänvisar till Fråga astronomen .

Stefan Jakobsson


17 november 1998 14.54.47
Jag undrar en liten sak. Det är så att min kompis säger att pi har endast 100 kända decimaler medan jag anser att det finns 1455 kända decimaler. Till sist vill jag tacka för en trevlig hemsida. Tack på förhand.
Gunnar

Svar:

The Pi Page finns det en hel del fakta om pi. Där kan ni bland annat få reda på en godtycklig decimal av pi:s 2,5 miljoner första decimaler. 1997 beräknade Kanada och Takahashi 51,5 miljarder decimaler så antalet kända decimaler är något fler än vad ni båda trodde.

Stefan Jakobsson


16 november 1998 20.40.36
Hej, jag undrar vad Laurentutvecklingen av funktionen 1/(sqrt(z^2-a^2))kring a är. Vad är singularitetens ordning? Vad är residyn? a reellt
HUM8218@hgo.se

Svar:

Om a är skild från noll så har inte funktionen någon Laurantutveckling kring a eftersom funktionen (z2-a2)1/2 inte är analytisk i en omgivning av a. Om a är noll så är funktionen 1/z vilket också är Laurentutvecklingen i detta fall.

Stefan Jakobsson


15 november 1998 15.00.51
Hej! Om man skapar kombinationer av fyra bokstäver och utelämnar Å, Ä samt Ö finns det 26^4 möjliga kombinationer. Dessa kombinationer används för att ge prsoner epostadresser på ett företag. Nu undrar jag hur stor sannolikheten är för två personer att ha samma kombination.
Niclas Östblom

Svar:

Jag finner det troligt att man vid utdelning av epostadresser ser till att inte två personer får samma adress men för uppgiftens skull så antar jag utdelningen sker helt slumpmässigt.

Sannolikheten för att två personer skall få samma adress är 1/264=1/456976. Antag att det jobbar N stycken personer på företaget. Då kan man ju fråga sig vad sannolikheten för att minst två personer skall få samma adress. Den komplementära händelsen är att alla får olika adress. Sannolikheten för detta är 264 !/(264N.(264-N)! )så sannolikheten för att minst två skall få samma adress är 1-264 !/(264N.(264-N)! ). Se också 19 november 1997 20.42.10 där räkningarna motiveras mer.

Stefan Jakobsson


15 november 1998 14.06.40
jag skulle vilja ha en härledning av formeln för en ellips
Anna-Karin Hellman

Svar:

En karakterisering av ellipser är att summan avstånden från de båda brännpunkterna till en punkt på ellipsen är konstant. Om vi låter brännpunkterna ligga i (-a,0) och (a,0) och låter summan av avstånden vara 2l (för att det skall bli någon ellips så måste a<l). För alla punkter (x,y) på ellipsen så gäller enligt Pythagoras sats att

2l=((x-a)2+y2)1/2+((x+a)2+y2)1/2.

Kvadrerar vi båda sidorna får vi

4l2=2x2+2y2+2a2+2((x-a)2+y2)1/2((x+a)2+y2)1/2.

Detta kan skrivas om till

2l2-x2-y2-a2=((x-a)2+y2)1/2((x+a)2+y2)1/2.

Kvadrerar vi ytterligare en gång får vi efter förenkling

4l2(l2-a2)=4(l2-a2)x2+4 l2y2,

vilket också kan skrivas

1=x2/l2+ y2/A2

där A=(l2-a2)1/2, vilket är ekvationen för en ellips.

Stefan Jakobsson


14 november 1998 18.53.12
Jag skulle vilja veta vad "Eulers polyedersats" är! Tack i förhand!
David Jul Nielsen

Svar:

Se 14 november 1998 18.46.57 .

Stefan Jakobsson


14 november 1998 18.46.57
Jag undrar vad "Eulers polyedersats" är? Hur det fungerar och om vilka bevis som finns? Kan Du svara på detta, eller rekomendera en hemsida eller någon bok om detta? Tack i förhand!
David Ejnell

Svar:

Eulers polyedersats säger följande: Om vi har en polyeder och låter f vara antalet sidor(faces på engelska därav f), e vara antalet kanter( edges) och v antalet hörn (vertices) så gäller att

v-e+f=2.

Om vi t.ex. tar en kub så är f=6,e=12 och v=8. I M.A. Armstrongs bok Basic topology finns det ett bevis för denna sats. Följande länk Euler characteristic innehåller en del information om detta. Du kan även läsa om Eulers polyedersats i National encyklopedin (jag har inte haft tillfälle att kontrollera men det borde stå något där).

Stefan Jakobsson


14 november 1998 16.51.01
How do I use the 'mean value theorem' to make sure of that: If a_n(x)=x-x^2/2+x^3/3+...+(-1)^(k-1)*x^k/k, then ln(1+x)<=a_n(x) , when -1<x<0, n is free to choose.
Mark

Svar:

Byter vi ut x mot -x så ser vi att påståendet är ekvivalent med att f(x)=-ln(1-x)-bn(x) >0 då 0<x<1 där bn(x)=x+x2/2+x3/3+...+xn/n. För x=0 får vi f(0)=0. Derivera vi f en gång får vi

f'(x)=1/(1-x)-(1+x+x2+x3+...+xn-1)=

summan[k=0 till oändligheten] xk-(1+x+x2+x3+...+xn-1) =

summan[k=n till oändligheten] xk=xn/(1-x)>0 då 0<x<1

(vi har här utnyttjat formeln för en geometrisk serie). f' är alltså positiv på det öppna intervallet mellan 0 och 1. Om 0<x<1så har vi enligt medelvärdessatsen

f(x)= f(x)- f(0)=x f'(y) (*)

där 0<y<x. Eftersom f'(y)>0 så följer påståendet av (*).

Stefan Jakobsson


13 november 1998 22.16.03
Stämmer följande: Arean av en n-hörning = 0.5(x2y3 + x3y4 + xn-1yn + x1yn - x1y2 - x2y3 - xn-1y1) om inte... vilken är den korrekta , och vad heter den ?
Jens Karlsson

Svar:

Ja, din formel är korrekt men jag känner inte till något namn för den.

Stefan Jakobsson


13 november 1998 17.22.57
Hej! Har just börjat studera talföljder och serier på en analyskurs. Finns det någon SVENSK litteratur, som beskriver grunderna i detta? Boken ska ha LÄTTFÖRSTÅELIGA härledningar för integralkriteriet, gräns- jämförelsekriteriet och kvotkriteriet samt vara lämpad för själv- studier. Vore mycket tacksam för några titlar. Mvh Peter Jonasson

Svar:

Böckerna Envariabelanalys av Hellström, Morander och Tengstrand och Analys i en variabel av Böiers och Persson, båda på Studentlitteratur, innehåller det efterfrågande stoffet.

Stefan Jakobsson


12 november 1998 15.37.12
jag är en tjej intresserad av rymnden och skulle bli glad över om ni skulle vilja berätta hur man mäter avstånd till olika planeter med hjälp av spektrum. Även om man kan mäta dessa avstånden på ett annorluna sätt. Vet ni nån bra hemsida om detta. Blir glad om ni svarar
Linda Ottosson

Svar:

Detta är ingen matematisk fråga. Pröva istället med att fråga en astronom .

Stefan Jakobsson


11 november 1998 21.34.45
Hur besvisar man lösningen av den allmänna femtegradsekvation, om man använder sig av parabol-koordinatsystem? (med sk djup krökning) När det gäller en fjärdegradsekvation har jag lyckats, och själva grunden är lagd till femtegradaren, men jag kommer inte ända fram!!
Tomten

Svar:

Se 4 september 1998 22.11.04 och 20 maj 1997 17.41.43 .

Stefan Jakobsson


11 november 1998 21.30.36
I vilka sammanhang används en trippelderivata F'''(n)? Ett ordinärt exempel: S(t) är en funktion där sträckan än en funktion av tiden. S'(t) beskriver hastigheten till funktionen. S''(t) beskriver accelerationen. S'''(t) ??????
Isik

Svar:

Här är några exempel där trippelderivatan dyker upp.

1)

I Taylors formel förekommer det derivator av alla ordningar. Se 14 oktober 1997 14.13.54 om du vill veta vad Taylors formel är.

2)

När man beräknar torsionen för rymdkurvor(kurvor i tre dimensioner eller mer). Se 31 januari 1997 22.50.29 .

3)

Inom hydrodynamik och hållfasthetslära finns det många differentialekvationer som innehåller derivata av ordning tre.

Nu till din fråga vad S'''(t) beskriver så kan ju alltid säga att den mäter förändringen i acceleration. I mekanik är detta dock ingen intressant storhet eftersom grundläggande formlerna i mekanik såsom Newtons andra lag, formeln för rörelseenergi etc. inte innehåller S'''(t).

Stefan Jakobsson


11 november 1998 20.52.59
Primitiv funktion till f(x)=x^2/(sqrt(x^2-1)) skulle vara bra att veta när man försöker lösa integral(2 till 4) f(x) dx. En fullständig lösning skulle sitta fint. Tack!
Andreas

Svar:

I denna uppgift kommer jag att använda mig av de hyperboliska funktionerna cosh och sinh som finns definierade i svaret på 29 september 1998 17.43.26 .

För att finna en primitiv funktion gör vi följande variablebyte: x=cosh(t), dx=sinh(t) dt med t >0. Vi får

integralen x2/(x2-1)1/2 dx=integralen cosh2(t)sinh(t)/(cosh2(t)-1)1/2dt..

Eftersom t >0 så är sinh(t)>0 och den hyperboliska ettan ger att sinh(t)=(cosh2(t)-1)1/2 så det blir endast cosh2(t) kvar att integrera. Vi har att cosh2(t)=1/4(e2t+2+e-2t)=1/2 cosh(2t)+1/2. Nu integrerar vi

integralen cosh2(t) dt=integralen 1/2 cosh(2t)+1/2 dt=1/4sinh(2t)+t/2.

För att få svaret i x måste vi lösa x=cosh(t)=(et+e-t)/2. Vi får

t=log(x+(x2-1)1/2).

Eftersom sinh(2t)=2cosh(t)sinh(t)=2x (x2-1)1/2 så är

F (x)=1/2 x (x2-1)1/2+1/2log(x+(x2-1)1/2)

en primitiv funktion till f. Den sökta integralen blir alltså

integralen [2 till 4] f(x) dx=F(4)-F(2)=2.151/2+1/2 log(4+151/2)-31/2-1/2log(2+31/2).

Stefan Jakobsson


10 november 1998 21.10.42
Pi är ett irrationellt tal, men hur räknar man ut Pi egentligen? Låt oss säga att vi skall räkna ut Pi med 20 decimaler. Hur går man till väga?
Daniel L.

Svar:

Se 22 januari 1997 08.43.57 .

Stefan Jakobsson


10 november 1998 09.20.30
Hej, envisas med frågan av den 27:e oktober: nämligen integralen av följande integrand av typen T/N där T är exp(-ax^2-bx) och N är sqrt(x^2-c)*x^2 Integrationen går från d till oändligheten. a och b positiva, reella tal, c, d reella tal, d positivt, till exempel 1. Primitiv funktion är uteslutet. Går det att utrycka i exempelvis erf? Residykalkyl kanske? Hur lägger man konturen? Tack för en trevlig nätsida. /Matte
Matte

Svar:

Din integral verkar vara väldigt svår att beräkna analytiskt. Men eftersom integranden avtar väldigt snabbt då x går mot oändligheten så går det bra att använda numeriska metoder för beräkna den approximativt.

Stefan Jakobsson


10 november 1998 09.09.49
Jag frågade (i november) hur man kan ta reda på hur djup en brunn är genom att släppa ner en sten i den. Jag skulle även vilja veta hur jag gör för att räkna ut samma sak fast ta hänsyn till ljudets hastighet, men inte ta hänsyn till luftmotståndet.e
Karin Ingvarsson

Svar:

Kalla ljudets hastighet för v och använd för övrigt beteckningar som i svaret till frågan den 3 november 1998 08.49.21. Om t1 betecknar tiden det tar för stenen att falla och t2 tiden det tar för ljudet att nå upp gäller

l = gt12/2   och   l = vt2

vilket ger att den sammanlagda tiden blir

t = t1 + t2 = sqrt(2l/g) + l/v

och löser vi ut l ur denna ekvation får vi

l = tv + (v2/g)(1 - sqrt(1 + 2tg/v)).

Kjell Elfström


9 november 1998 21.14.30
Jag skulle vara intresserad om man kan beräkna antalet cirklar man maximalt kan få in i en likbenttriangel.
Rannug Hengström

Svar:

Man kan få oändligt många cirklar i en likbent triangel om man inte ställer några villkor på storlek på cirklarna och hur de ska vara placerade.

Stefan Jakobsson


9 november 1998 14.39.47
Hejsan! Jag har en uppgift i MaE2000 som jag länge funderat över. Problemet är att jag inte ser sambandet mellan nedanstående siffror (det är sambandet mellan vikt och tid som är det väsentliga. Jag har använt givna längder till att beräkna tiden) : Längd/cm: a)10,1 b)25,0 c)32 d)35,4 e)43,8 f)45,5 g)55,7 Vikt/g: a)15,0 b)236 c)520 d)660 e)1250 f)1425 g)2590 Tid/mån: a)3,3 b)9,2 c)12,5 d)14,3 e)19,4 f)20,6 g)29,2 Tiderna är ungefärliga. Uppgiften finns i MaE2000 4215 s 156. Min fråga är om du kan hjälpa mig se hur serien fortsätter; alltså sambandet mellan ovanstående genom en formel. Ett stort tack på förhand!!! Med vänlig hälsning
Anna

Svar:

Tyvärr har vi inte boken MaE2000 i vårt bibliotek så för att jag ska kunna lösa uppgiften så måste du förklara uppgiften närmare.

Stefan Jakobsson


9 november 1998 14.03.52
Hur fungerar fyrdimensionell geometri?
Boström

Svar:

Nedan beskriver jag hur geometrin för R2 och R3 generaliseras till et fyrdimensionella rummet R4.

I fyra dimensioner behöver man fyra koordinater ( x1, x2, x3, x4) för att beskriva en punkt i rummet. Affina delrum är en generalisering av punkter, linjer och plan till högre dimensioner. Affina delrum i R4 kan vara punkter, linjer, plan och hyperplan. Dessa objekt har dimension 0,1,2 och 3. Detta kan jämföras med R2 som bara har punkter och linjer som affina delrum och R3 som har punkter , linjer och plan som affina delrum. Alla affina delrum kan alltid ges som lösningarna till ett linjärt ekvationssystem. Dimensionen på delrummet är fyra minus antalet ekvationer. Begrepp som vinklar och avstånd kan också generaliseras till fyra dimensioner.

Se också 10 september 1998 22.48.36 .

Stefan Jakobsson


9 november 1998 10.14.34
oändl. Om P_n=Sum {1/k+1/(2*k^2)}-log(n) k=1 oändl. Hur visas då att serien Sum {n*abs(P_(n+1)-P_n) är konvergent? 1 n n Och om Q_n=Sum {P_i}-(n+1/2)*P_n-Sum {1/(4*i^2)} 1 i=1 Hur visas då att gränsvärdet Q=lim Q_n existerar ?? n->oändl. samt att (n+1/2)*log(n)-n-log(n!)=Q_n ?
Andreas

Svar:

Eftersom den harmoniska serien

summan[k=1 till oändligheten] 1/k

är divergent så är också summan Pn divergent. Men då är ju inte differensen Pn+1-Pn definierad. Dina två uppgifter saknar i detta fall mening.

Om Pn istället vore definierad så här

Pn=summan[k=1 till n](1/k+1/(2k2))-log(n)

så kan man lösa uppgifterna. Vi får då att

Pn+1-Pn=1/(n+1)+2/(n+1)2-log(n+1)+log(n)=1/(n+1)+1/(2(n+1)2)+log(1-1/(n+1)) (*).

Taylorutveckla log(1-t) till ordning tre

log(1-t)=-t-1/2 t2+g(t) t3.

där g(t) är en begränsad funktion för små t. Sätter vi in detta i (*) får vi

Pn+1-Pn=g(1/(n+1)) 1/(n+1)3.

Eftersom är en begränsad funktion så har vi att

n abs(Pn+1-Pn)=<A/(n+1)2.

är A är en konstant. Jämförelsesatsen för serier ger sedan att

summan[n=1 till oändligheten] n abs(Pn+1-Pn)

är konvergent. Nu över till Qn

Qn=summan[i=1 till n]Pi +(n+1/2)Pn -1/4 summan[i=1 till n]1/i2=

summan[i=1 till n]summan[k=1 till i](1/k+1/(2k2))-summan[i=1 till n] log(i)+(n+1/2)Pn

-1/4 summan[i=1 till n]1/i2

Om vi ändrar summationsordning i dubbelsumman får vi

summan[i=1 till n]summan[k=1 till i](1/k+1/(2k2))=

summan[k=1 till n]summan[i=k till n](1/k+1/(2k2))=

(n+1)summan[k=1 till n](1/k+1/(2k2))-summan[k=1 till n](1+1/(2k))=

(n+1/2)summan[k=1 till n](1/k+1/(2k2))+1/4summan[k=1 till n]1/k2-n.

Dessutom är summan[i=1 till n] log(i)=log(n!). Detta ger sedan att

Qn=(n+1/2)log(n)-n-log(n!).

För att visa att Qn konvergerar då n->oändligheten tittar vi på differensen mellan två på varandra följande termer Qn+1-Qn=-(n+1/2)(Pn+1-Pn)-1/4 1/(n+1)2. Använder vårt resultat ovan ser vi att Qk+1-Qk är termer i en absolutkonvergent serie. Beaktar vi sedan att

Qn+1=Q0+summan[k=1 till n](Qk+1-Qk)

så ser vi att gränsvärdet lim[n->oändligheten] Qn existerar.

Stefan Jakobsson


8 november 1998 19.13.29
Hur beräknar man följande konstiga uttryck ?
sqr(1+2·sqr(1+3·sqr(1+4·sqr( ... ))))
Miniräknaren antyder att gränsvärdet kan vara 3, men jag hittar ingen metod att visa detta på. Tacksam för svar m.v.h. Thomas
Thomas Dahl

Svar:

Du tror alltså att gränsvärdet, då n går mot oändligheten, av

an = sqrt(1 + 2sqrt(1 + 3sqrt(1 + ...(n - 1)sqrt(1 + n))))

är 3 och detta är riktigt, vilket kan visas med instängningssatsen.

Vi har nämligen

sqrt(1 + 2sqrt(1 + 3sqrt(1 + ...(n - 1)sqrt(1 + nsqrt((n + 2)2))))) = 3,

något som enkelt kan visas med induktion. Av detta följer omedelbart att an <= 3.

Börja sedan längst in och utnyttja att

sqrt(1 +ab) <= sqrt(a)sqrt(1 + b) om a >= 1

med

a = n + 2 = sqrt((n + 2)2)   och   b = n

för att visa att

sqrt(1 + nsqrt((n + 2)2)) <= (n + 2)1/2sqrt(1 + n).

Detta ger att

3 = sqrt(1 + 2sqrt(1 + 3sqrt(1 + ...(n - 1)sqrt(1 + nsqrt((n + 2)2))))) <=
  <= sqrt(1 + 2sqrt(1 + 3sqrt(1 + ...(n - 1) sqrt(1 + n)(n + 2)1/2))).

Vi arbetar oss sedan utåt, nästa gång med a = (n + 2)1/2 och b = (n - 1)sqrt(1 + n) varvid vi får att

3 <= sqrt(1 + 2sqrt(1 + 3sqrt(1 + ...(n - 2) sqrt(1 + (n - 1)sqrt(1 + n))(n + 2)1/4))),

för att slutligen få att

3 <= (n + 2)c sqrt(1 + 2sqrt(1 + 3sqrt(1 + ...(n - 1)sqrt(1 + n))))

där c = 21 - n.

Vi har alltså visat att

3(n + 2)-c <= an <= 3

och eftersom (n + 2)-c går mot 1 då n går mot oändligheten följer det av instängningssatsen att gränsvärdet är 3.

Kjell Elfström


8 november 1998 17.08.27
Vill först passa på att tacka för en trevlig sida.
Jag tycker det är svårt med ansättningar för inhomogena diff.ekvationer. Skulle gärna få en utförlig lösning till följande diff.ekv.;
Y" + 2Y'+ 2Y = sinX*e^X
Måste man i ovanst fall ansätta
Y(partikulär)=A*X*e^X*cosX+B*X*e^X*sinX ?
Derivatorna blir besvärliga, och frågan blir om man kan komma runt dessa besvär? Finns det generellt några enkla knep för ansättningar av Y(partikulär)?
Mvh Peter Jonasson
Peter Jonasson

Svar:

Att derivatorna blir besvärliga att räkna ut kan man nog inte kringgå. En sådan ansats du gör kan fungera, men måste inte göra det. Får du ett ekvationssystem ur vilket du kan lösa ut A och B har du lyckats, annars får du ta ett polynom av högre grad framför (Acos x + Bsin x)ex. Det beror på hur vänsterledet ser ut. Detta kan analyseras men med en annan mer generell ansats slipper man göra detta. Utnyttja att högerledet är imaginärdelen av eix + x och finn först en partikulärlösning y till hjälpekvationen

L(y) = y'' + 2y' + 2y = eix + x.

När detta är gjort kan vi skriva

y = y1 + iy2,

där y1 och y2 är reella. Lineäriteten hos L ger nu att

L(y1) + iL(y2) = L(y) = eix + x = cos xex + isin xex.

Identifierar vi real- och imaginärdelar ser vi att y2 löser den ursprungliga ekvationen.

När vi skall finna denna partikulärlösning till hjälpekvationen gör vi ansatsen y = zeix + x, beräknar y' och y'' uttryckta i z, z' och z'' och sätter in i hjälpekvationen. Vi kommer då att få faktorn eix + x i båda leden så den kan divideras bort och kvar har vi en differentialekvation i z där högerledet är konstant. Exakt samma ansats hade fungerat med ett högerled som varit ett polynom gånger högerledet i denna ekvation. Högerledet i ekvationen i z hade då blivit ett polynom, vilket är en klar förenkling.

Kjell Elfström


6 november 1998 07.55.16
Tre stycken män tog in på hotel. Dom betalade 10 kronor vardera= 30 kronor. Dagen efter kom direktören. Han tyckte att männen betalat för mycket. Han vill ge tillbaka 5 kronor. Eftersom 5 kr inte går att dela på tre personer så lägger han 2 kronor i fickan och ger tillbaka 3 kronor. Alltså har männen betalat 9 kronor. 10 kronor - 1 krona = 9kronor Tar man 9 kronor gånger antalet personer så är det 27 kronor + dom två kronor direktören stoppade i fickan. = totalt 29 kronor. Var är den sista kronan?
Agnetha Sundberg

Svar:

Se 4 december 1997 23.13.46.

Kjell Elfström


5 november 1998 20.44.33
Antag att du ska spela ett spel med en hög av stickor ej givet antal. Ni är två stycken. Man får ta 1 , 2 eller 3 stickor.Den som tar sista stickan vinner. För att vinna ska du då lämna efter dig 4.. 8..12.. stickor osv. Utveckla spelet så att du kan ha hur många högar som helst med hur många stickor som helst i varje. Hur ska man göra för att alltid vinna formulera en metod. Ledning omvandla antalet stickor till binärt och försök se ett samband.
Henrik Andersson

Svar:

Låt Nj, j=1,2,3,4, beteckna antalet högar vars antal stickor är j modulo 4 (dvs resten vid division med 4 är j). För att man skall vara säker på att vinna ska N1,N2,N3 uppfylla något av följande två alternativ när man gjort sitt drag:

1) N1,N2,N3 är alla jämna tal.

2) N1,N2,N3 är alla udda tal.

Observera att inget krav behöver ställas på N0. Av spelets natur är det klart att det alltid blir någon som vinner. Om den ena spelaren lyckas med att alltid uppfylla 1) eller 2) efter att ha gjort sitt drag så blir det han som vinner ty om inte spelet är slut så är det alltid minst två högar kvar när motståndaren skall göra sitt dragså han kan inte vinna.

Följande spelstrategi gör att 1) eller 2) alltid är uppfyllda om de är det vid starten.

Antag att 1) eller 2) är uppfyllt och det är motspelarens drag. Efter motspelarens drag kommer något följande gälla:

A) Ett av är N1,N2,N3 udda och det två andra jämna. Om N1 är udda, tag en sticka ur en hög vars antal stickor är 1 modulo 4. Om N2 eller N3 är udda tag 2 respektive 3 stickor från en hög vars antal är 2 respektive 3. 1) är då uppfyllt efter detta drag.

B) Två av är N1,N2,N3 udda och det tredje är jämnt. Om N1 och N2 är udda och är N3 jämnt tag en sticka ur en hög vars antal är 2 modulo 4. Efter detta drag är 1) återigen uppfyllt. De två andra fallen behandlas analogt.

Man kan alltså komma tillbaka till 1) oavsett hur motspelaren spelar.

Stefan Jakobsson


5 november 1998 20.24.00
Hejsan! Jag undrar om det bara är kvadratiska matriser som kan ha en invers?
Stefan

Svar:

Ja, det är sant. Detta ingår i definitionen av inverterbar matris att den är kvadratisk.

Stefan Jakobsson


5 november 1998 11.28.05
Jag har inte fråga utan svar till fråga från 30 sep 98 kl 17 Svar: produkten[j=1 till l](2^ij-1) där ij ,l positiva heltal t.ex k=1 (=2^1-1) (n=1) k=3 (=2^2-1) (n=p1^2*p2^4 ) k=7 (=2^3-1) k=9 (=(2^2-1)*(2^2-1) ) ,osv mvh Natalia

Svar:

Tack för ditt svar. Men ditt svar täcker tyvärr inte alla fall. Det är faktiskt så att alla udda heltal k kan uppkomma som kvoter av typen d(n2)/d(n). På 26 oktober 1998 16.30.19 finns det ett bevis av Pontus Andersson.

Stefan Jakobsson


5 november 1998 10.51.32
Hej! Jag undrar om du kan förklara hur man löser en diff. ekv. med hjälp av LaPlace transformationen. Finns det något grundläggande som man behöver veta för att använda sig av denna formel, är den användbar? Inom vilka områden används denna? Tack på förhand
Frida

Svar:

Laplace transformering kan vara mycket användbart vid lösning av vissa typer av linjära differentialekvationer. För att använda denna teknik behöver kunna derivera och integrera uttryck som innehåller polynom gånger exponential funktioner och trigonometriska funktioner dessutom behöver man ofta partialbråkuppdela. Se Eric's Treasure Trove of Mathematics för mer information och exempel.

Stefan Jakobsson


5 november 1998 10.49.50
Hejsa, Skulle du kunna förklara hur man använder simpsons formel.
Roger

Svar:

Simpsons formel används för att integrera funktioner numeriskt. Om du vill beräkna integralen

I=integralen[a till b] f(x)dx

men inte lyckas hitta någon primitiv funktion till f så kan man approximativt beräkna I på följande sätt: låt n vara ett heltal dela upp intervallet [a,b] i 2n stycken delintervall [xk-1,xk], k=1,2,3,...,2n , där xk=a+(b-a)k/(2n) k=0,1,2,3,...,2n. Alla delintervallen har längden h=(b-a)/2n. I är nu approximativt lika med

Iappr=(b-a)/(6n)(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+...+2f(x2n-2)+4f(x2n-1)+f(x2n)).

Det ska vara en fyra framför varannat funktionsvärde och tvåor annars förutom framför det första och sista funktionsvärdet. Felet i denna approximation (skillnaden mellan I och Iappr) kan uppskattas med

|(b-a)/(180 h4)|.max(|f(4)(x)|,a<x<b)

där f(4) är fjärdederivatan av f.

Stefan Jakobsson


5 november 1998 09.38.42
Hej. Jag har sett formeln e upphöjt till(2 pi i) = 1 där i = roten ur -1 Hur kan man få den formeln att stämma?
Anders Eriksson

Svar:

Följande samband kallas för Eulers formel

ei x=cos(x)+i sin(x) )(*).

Sätter vi in x=2 pi så får vi

ei 2 pi=cos(2 pi)+i sin(2 pi) =1+i 0=1.

Nu kan man förstås fråga sig varför Eulers formel stämmer. Faktum är att formeln ofta används som definition av ei x. Se 12 september 1997 09.09.55. Ett sätt att övertyga sig om dess riktighet är att kontrollera att Taylorserierna för högerledet och vänsterledet av (*) är lika. Taylorserierna för exponential, cosinus och sinusfunktionerna är

ex=summa[k=0 till oändligheten] xk/k!, cos(x)=summa[k=0 till oändligheten](-1)k x2k/(2k)!,

och sin(x)=summa[k=0 till oändligheten] (-1)k x2k+1/(2k+1)!.

Sätter vi in i x istället för x i Taylorserien för exponentialfunktionen och delar upp summan i jämna respektive udda k så får vi

eix=summa[k=0 till oändligheten] (i)kxk/k!=

summa[k=0 till oändligheten](i)2k x2k/(2k)!+summa[k=0 till oändligheten] (i)2k+1 x2k+1/(2k+1)!=

summa[k=0 till oändligheten](-1)k x2k/(2k)!+i summa[k=0 till oändligheten] (-1)k x2k+1/(2k+1)!=

cos(x)+i sin(x).

Stefan Jakobsson


4 november 1998 21.24.01
En population som ökar enligt den logistiska tillväxtekvationen har från början 200 individer och tillväxthastigheten 10 individer/vecka. Den maximala antalet är 1800 individer. Bestäm den logistiska tillväxtkonstanten med en numerisk metod.

Svar:

Den logistiska tillväxtlagen säger att

y ' = ky(1 - y/B)

och i detta fall är B = 1800. Tillväxthastigheten är 10 individer per vecka då antalet individer är 200. Detta ger att

10 = 200k(1 - 200/1800)

och det som återstår är att lösa ut k ur denna ekvation.

Kjell Elfström


4 november 1998 18.51.18
Kan ni bevisa att följande iterativa formel konvergerar mot sierpinskitriangeln? Låt A,B och C vara de tre hörnen i en triangel. Välj en godtycklig startpunkt i triangeln och välj slumpvist ett av triangelns hörn A,B eller C. Gå halva vägen till detta hörn och markera denna punkt. Utgå från denna punkt och välj slumpvist ett av hörnen A,B,C... osv Om detta utförs 1000 gånger och man tar bort de 10 första punkterna så framträder en bild av sierpinskitriangeln. Detta görs lämpligast på en dator. Men kan man bevisa matematiskt varför det blir så? Tacksam för svar
Daniel

Svar:

Se t ex sidan Why does the Sierpinski triangle arise from the chaos game?, Boston University.

Kjell Elfström


4 november 1998 18.03.48
Hej! Jag skulle uppskatta att få hjälp med två problem. För det första: visa att (a^2+b^2+c^2)^3 - 27a^2b^2c^2 >= 0 (om det stämmer, vilket jag tror att det gör). För det andra: bestäm en primitiv funktion till ln (cos x) (då cos x > 0). Tack på förhand!
Martin

Svar:

Olikheten kan skrivas

(a2 + b2 + c2)3 >= 27a2b2c2

och eftersom funktionen f(x) = x3 är strängt växande är det ekvivalent med

a2 + b2 + c2 >= 3(a2b2c2)1/3

vilket är ekvivalent med

(a2 + b2 + c2)/3 >= (a2b2c2)1/3

och att detta är sant följer av olikheten mellan geometriskt och aritmetiskt medelvärde.

Jag tror inte att man kan uttrycka en primitiv funktion till ln(cos x) med hjälp av de elementära funktionerna. Däremot är ln(cos x) primitiv funktion till -tan x.

Kjell Elfström


4 november 1998 14.02.20
Hej! Jag läste i en lärobok i matematik att man kan bestämma en primitiv funktion till ett partialbråk av formen (Ax + B)/(x^2+ax+b)^n genom en fullständig faktorisering av nämnaren i komplexa faktorer och en uppdelning i komplexa partialbråk. Hur går detta till? Till exempel om man vill lösa F(x) av f(x)=(3-x^2)/(x^2+2x+3)^2 Tack på förhand!
Peter Karlsson

Svar:

Varje rationell funktion f  kan efter eventuell polynomdivision skrivas

f(x) = g(x) + h(x)

där g är ett polynom och h(x) = p(x)/q(x) är en rationell funktion med deg(p) < deg(q). För att kunna integrera en rationell funktion behöver vi dels kunna integrera polynom (och det behöver vi inte orda mer om) och dels rationella funktioner där gradtalet av täljaren är mindre än gradtalet av nämnaren.

Nämnaren q(x) kan vidare faktoriseras i irreducibla faktorer, dvs faktorer som inte kan faktoriseras ytterligare. De irreducibla faktorerna i R[x] är dels polynom av grad 1, dels polynom av grad 2, som saknar reella nollställen. I C[x] kan de senare faktorerna faktoriseras ytterligare, så de irreducibla polynomen i C[x] är alla förstagradspolynom.

Om

q(x) = (x + a1)s1(x + a2)s2...(x + am)sm(x2 + b1x + c1)t1(x2 + b2x + c2)t2...(x2 + bnx + cn)tn

är en sådan faktorisering kan h(x) skrivas som en summa där varje term är en summa. Varje faktor på formen (x + a)s ger upphov till en term

A1/(x + a) + A2/(x + a)2 + ... + As/(x + a)s

och varje faktor på formen (x2 + bx + c)t ger upphov till en term

(B1x + C1)/(x2 + bx + c) + (B2x + C2)/(x2 + bx + c)2 + ... + (Btx + Ct)/(x2 + bx + c)t.

T ex kan vi skriva

(x + 1)/((x + 2)(x + 3)2(x2 + 2x + 2)) = A/(x + 2) + B/(x + 3) + C/(x + 3)2 + (Dx + E)/(x2 + 2x + 2).

Detta kallas partialbråksuppdelning och för att illustrera tar vi ett exempel.

(4x + 5)/ ((x + 1)(x + 2)) = A/(x + 1) + B/(x + 2).

För att bestämma konstanterna A och B multiplicerar vi båda led med nämnaren i vänsterledet varefter vi får

4x + 5 = A(x + 2) + B(x + 1) = (A + B)x + 2A + B.

För att likhet skall gälla för alla x måste de nya ledens koefficienter vara lika, dvs.

A + B = 4
2A + B = 5

Detta ekvationssystem har lösningen A = 1, B = 3, varför

(4x + 5)/ ((x + 1)(x + 2)) = 1/(x + 1) + 3/(x + 2).

Efter denna diskussion inser man att man bara behöver kunna integrera polynom och rationella funktioner på formen

A/(x + a)m   och   (Bx + C)/(x2 + bx + c)n

för att kunna integrera vilken rationell funktion som helst. Vi koncentrerar oss på den senare typen. Eftersom x2 + bx + c saknar reella nollställen kan vi kvadratkomplettera och få att

x2 + bx + c = (x + d)2 + e

där e > 0. Efter variabelbytet x + d = te1/2 kan vi skriva integranden

(Dt + E)/(t2 + 1)n = Dt/(t2 + 1)n + E/(t2 + 1)n.

Den första av dessa kan man integrera antingen direkt eller genom att sätta u = t2 + 1.

n = 1 är en primitiv funktion till den andra Earctan t. Det återstår att visa hur man bestämmer primitiv funktion till 1/(t2 + 1)nn > 1. Detta kan göras antingen genom en rekursionsformel som brukar anges i de flesta läroböcker i envariabelanalys, t ex Hellström-Morander-Tengstrand: Envariabelanalys eller genom att göra en komplex partialbråksuppdelning.

Låt oss ta

1/(t2 + 1)2 = (1/4)(i/(t + i) - 1/(t + i)2 - i/(t - i) - 1/(t - i)2),

där vi partialbråksuppdelat som ovan, som exempel. Då vi inte vill befatta oss med komplexa logaritmer skriver vi om detta som

1/(t2 + 1)2 = (1/4)(2/(t2 + 1) - 1/(t + i)2 - 1/(t - i)2)

och en primitiv funktion är

(1/2)arctan t + (1/4)(1/(t + i) + 1/(t - i)) = (1/2)arctan t + (1/2)t/(t2 + 1).

Kjell Elfström


4 november 1998 12.41.00
Hur är detta möjligt? Föreställ dig att du viker ett o,1 mm tjockt pappersark dubbelt, sedan det vikta arket dubbelt igen osv. 40 gånger. Beräkna höjden. Svar: 110 000km.
Maria Sandström

Svar:

Varje gång papperet viks fördubblas tjockleken. Viker man det 40 gånger ökar tjockleken alltså med en faktor 240 = 1.099.511.627.776 och tjockleken blir alltså 109.951,162.777.6 km.

Kjell Elfström


4 november 1998 07.48.01
Man hör talas om 80/20-regeln i många sammanhang. 20% av bilarna står för 80% av utsläppen, 80% av felen i t ex ett telenät orsakas av 20% av nätkomponenterna, osv. Min fråga är om detta är ren empiri eller om det finns någon statistisk function som ger ett sådant utfall. Mina kunskaper i statistik och sannolikhetskalkyl är bristfälliga. Jag har provat med Poisson-distributionen men utan framgång.
Pelle Nilsson

Svar:

Jag har heller inte rönt någon framgång, ens efter att ha talat med statistiker.

Kjell Elfström


3 november 1998 20.09.30
In the production of a certain type of copper, two types of copper powder (types A&B) are mixed together and sintered (heated) for a certain length of time. For a fixed volume of sintered copper, the producer measures the proportion of Y1 of the volume due to solid copper ( some pores will have to be filled with air) and the proportion Y2 of the solid mass due to type A crystal. Assume that appropriate probability densities for Y1 and Y2 are 6y1(1-y1), 0£ y1£1 f1(ya) = 0, elsewhere 3y2, 0 £y2 £1 f2(y2)= 0 , elsewhere The proportion of the sample volume due to type A crystal is then Y1Y2. Assuming that Y1 and Y2 are independent, find p(Y1Y2£ 0.5).
Jadi nejad

Svar:

Eftersom en sannolikhetsfördelning alltid har totalmassa 1 så måste den formel du angivit för f2 vara fel men om man kvadrerar y2 så stämmer det.. Formlerna för sannolikhetsfördelningarna för Y1 respektive Y2 ska antagligen vara

f1(y1)=6y1(1-y1) då 0=<y1=<1 annars 0 och f2(y2)=3y22 då 0=<y2=<1 annars 0.

Den komplementära händelsen till Y1Y2 <0,5 är Y1Y2 >=0,5 så

P(Y1Y2 <0,5)=1-P(Y1Y2 >=0,5).

Eftersom Y1och Y2 är oberoende så är den gemensamma fördelningsfunktionen F(y1,y2) lika produkten av f1(y1) och f2(y2). Olikheterna Y1Y2 >=0,5, 0=<Y1=<1 och 0=<Y2=<1kan också skrivas

0,5=<Y1=<1 och 0,5/Y1=<Y2=<1

så sannolikheten för Y1Y2 >=0,5 ges av

P(Y1Y2 >=0,5)=integralen[0,5 till 1]integralen[0,5/ Y1 till 1]3y226y1(1-y1)dy2dy1=3/4ln(2)-1/4.

Detta ger att

P(Y1Y2 <0,5)=3/4(1-ln(2)).

Stefan Jakobsson


3 november 1998 19.37.04
Hur hittar jag 3 X-VÄRDEN
IBRAHIM

Svar:

Jag förstår inte poängen med denna fråga.

Stefan Jakobsson


3 november 1998 19.30.23
Jag undrar om ni vet var man kan få tag på bevis för fyrfärgssatsen. Finns det några böcker i ämnet?
Joakim Abeleen

Svar:

Kolla in "Four-Color Theorem" på Eric's Treasure Trove of Mathematics . Där finns referenser till bevis och även till böcker i ämnet.

Stefan Jakobsson


3 november 1998 08.49.21
jag vill veta hur man kan räkna ut hur djup en brunn är genom att släppa ner en sten.
Karin Ingvarsson

Svar:

Ett föremål i fritt fall faller har efter t sekunder fallit sträckan s(t)=v0.t+g.t2 /2 där v0 är starthastigheten och g är tyngdaccelerationen vilket är ungefär 9,8 m/s2. Om man släpper ned en sten i en brunn utan att ge den någon fart startögonblicket och hör ett plask efter sekunder så gäller följande samband mellan brunnens djup l och tiden t

l=g.t2 /2.

Om brunnen är djup så måste man också ta hänsyn till att det tar en viss tid för ljudet att komma upp ur brunnen och till att luftmotståndet bromsar stenens acceleration.

Stefan Jakobsson


3 november 1998 01.46.59
Hej! Hur bevisar man att det finns oändligt många primtal? MVH Kenneth Scwarz
Kenneth Scharz

Svar:

Följande motsägelsebevis har tillskrivits Euklides:

Antag att de endast finns ändligt många primtal p1,p2,...,pn. Bilda talet q=p1.p2..... pn+1. Delar man q med något primtal p1,p2,...,pn så är resten alltid 1 vilket innebär att q är inte delbar med något primtal. Detta motsäger aritmetikens fundamentalsats som säger att alla tal kan skrivas som en produkt av primtal. Alltså måste det finnas oändligt många primtal.

Stefan Jakobsson


2 november 1998 19.09.16
Hej Jag arbetar nu med Dedekind-snitt och kontinuerliga funktioner och undrar om du kan hjälpa mig med följande: Antag att vi har en funktion f som är större el lika med 0(>=), f är en kontinuerlig funktion på intervallet [a,b]. Visa att f = 0 i någon punkt eller så är f >=epsilon för något epsilon > 0. Gäller denna sats om f är en kontinuerlig funktion på (a,b) (istället för [a,b])? Tackar i förhand och för en bra sida!!!
Kenneth

Svar:

En kontinuerlig funktion definierad på ett kompakt intervall I = [a,b] antar där såväl ett största som ett minsta värde. Om f(x) <> 0 (och f(x) >= 0) för alla x i I är det minsta värdet epsilon > 0 varav det följer att f(x) >= epsilon för alla x i I.

Svaret på den andra frågan är nej. Tag som exempel f(x) = x och I = (0,1).

Kjell Elfström


2 november 1998 18.43.52
var får jag tag i "pythagorasatsoch hu fungerar den?
Emil

Svar:

Se 9 september 1997 14.41.38.

Kjell Elfström


2 november 1998 17.37.55
X,Y,Z - stokastiska variabler. X exponentialfördelad med parameter a. Y = heltalsdelen av X, och Z = X - Y = decimalbråksdelen av X. Visa att Y och Z är oberoende och finn fördelningarna för Y och Z.
Tack på förhand!
Ragnar Johansson

Svar:

Frekvensfunktionen för X är ae-ax, vilket ger att

P(X <= x) = 1 - e-ax.

Vi får

P(Y <= y) = P(X < y + 1) = 1 - e-a(y + 1),

och formeln för den geometriska summan ger att

P(Z <= z) = Summa[k=0, oändligheten](P(k <= X < k + z)) = Summa[k=0, oändligheten](e-ak(1 - e-az)) = (1 - e-az)/(1 - e-a),

P(Y <= y och Z <= z) = Summa[k=0, y](P(k <= X < k + z)) = Summa[k=0, y](e-ak(1 - e-az)) = (1 - e-az)(1 - e-a(y + 1))/(1 - ea).

Vi ser att produkten av de båda första sannolikheterna är lika med den sista och detta visar att Y och Z är oberoende.

Kjell Elfström


2 november 1998 14.47.42
Jag skulle vilja ha en definition på nollan, 0, och vilka räkneregler som gäller. Skriver ett examensarbete om hur grundskoleelever och deras matematiklärare uppfattar begreppet noll. Som en beteckning för en tom mängd eller som en beteckning för en tom position i ett positionssystem.
Ingela Olsson

Svar:

I ett axiomsystem för t ex de reella talen fastslås att det finns ett, för addition, neutralt element 0, dvs

0 + x = x + 0 = x.

Betydelsen av talet 0 fastslås alltså genom dessa räkneregler.

Börjar man med axiomen för mängdlära och definierar de reella talen som vissa mängder är innebörden att 0 står för tomma mängden och addition införs på ett sådant sätt att 0 blir ett neutralt element.

Historiskt var det så att 0 behövdes för att undvika missförstånd när tal skulle anges i positionssystem.

Jag ber också att få hänvisa till Fråga Kristianstad om matematikdidaktik.

Kjell Elfström


2 november 1998 07.11.22
Hej
Hur faktoriserar jag x^8-1 så långt som möjligt,i C[x] samt i R[x]?
Johan Axelsson

Svar:

Enligt konjugatregeln är

x8 - 1 = (x4 - 1)(x4 + 1) = (x2 - 1)(x2 + 1) (x4 + 1) = (x - 1) (x + 1) (x2 + 1) (x4 + 1).

Faktorn (x2 + 1) har nollställena ±i och kan inte faktorisera ytterligare i R[x], men däremot är (x2 + 1) = (x - i)(x + i) i C[x]. Den sista faktorn kan skrivas

x4 + 1 = x4 + 1 + 2x2 - 2x2 = (x2 + 1)2 - (21/2x)2 = (x2 + 1 - 21/2x)(x2 + 1 + 21/2x).

Dessa faktorer har nollställena 2-1/2(1 ± i) respektive 2-1/2(-1 ± i) och kan alltså inte faktoriseras i R[x]. Faktoriseringen blir

(x - 1) (x + 1) (x2 + 1) (x2 + 1 - 21/2x)(x2 + 1 + 21/2x)

i R[x] och

(x - 1) (x + 1) (x - i) (x + i)(x - 2-1/2(1 + i))(x - 2-1/2(1 - i))(x + 2-1/2(1 + i))(x + 2-1/2(1 - i))

i C[x].

Ett annat sätt att göra faktoriseringarna på är att först bestämma rötterna till den binomiska ekvationen

x8 - 1 = 0

och sedan direkt utföra faktoriseringen i C[x]. För att sedan finna de reella faktorerna behöver vi bara para ihop de icke-reella rötterna i konjugerade par och multiplicera ihop motsvarande faktorer.

Kjell Elfström


31 oktober 1998 14.17.30
Jag har några frågor ang. Gauss. a) Hur kan man visa att alla vanliga primtal är/inte är gaussiska primtal?(Ma2000) b)Är alla gaussiska heltal vars norm är ett vanligt primtal också ett gaussiskt primtal? (Ma2000) c)Hur fungerar minsta kvadratmetoden? d) Hur kan man på enklaste sätt visa algebrans fundamentalsats?
Sandra

Svar:

a) T ex är 2 inget primelement i Z[i] ty 2 = (1 + i)(1 - i).

b) Antag att aa* = p, där p är ett primtal (primelement i ringen Z). Om a = bc så gäller att p = aa* = bc(bc)* = bb*cc* varför någon av bb* och cc* är 1, dvs b eller c är ett enhetselement i Z[i]. Av detta följer att a är ett irreducibelt element och eftersom man har entydig faktorisering i ringen av Gaussiska heltal är primelement och irreducibla element samma sak.

c) Se 3 oktober 1998 16.29.47.

d) Se 2 april 1997 13.47.56.

Kjell Elfström


30 oktober 1998 14.58.31
Jeg vil gerne have check på talsystemet ud over millioner, milliarder - hvad er en billion på dansk/svensk? på amerikansk? Hvad er en trillion, en trilliard osv
Rebecca Berntsen

Svar:

Triljard är inget räkneord och inte biljard heller (det är som bekant ett spel). Se 10 december 1997 12.35.49.

Kjell Elfström


30 oktober 1998 04.01.26
Hjälp! Jag har försökt att förklara för några av mina vänner att sannolikheten för att slå en sexa på en tärning är oberoende av tidigare resultat av tärningskast. Exempel : Jag slå med en tärning tio sexor i rad ( vilket är i och för sig ganska osannolikt ) Vad är då sannolikheten för att jag skall slå ytterligare en sexa ? Jag tycker det är ganska självklart att sannolikheten är 1/6 Men några av mina vänner hävdar att sannolikheten är < 1/6. Med motiveringen att eftersom det har blivit tio sexor i rad så måste sannolikheten minska att det blir ytterligare en sexa. Hjälp mig att förklara att dom har fel och jag har rätt
Torbjörn Nilsson

Svar:

Det är ett ganska vanligt missförstånd att tro att sannolikheten för att få en sexa sjunker bara för att man fått många sexor i rad. Ett skäl till detta kan vara att man vet att det är mycket ovanligt att få många sexor i rad och man därför drar slutsatsen att sannolikheten för att få ytterligare en sexa måste sjunka. Man blandar ihop den betingade sannolikheten att få en sexa givet att man fått n stycken sexor vilket är 1/6 med med sannolikheten att få n+1 sexor i rad vilket är (1/6)n+1.

Nu till mitt försök att övertyga dina vänner: En tärning har inget minne. Utfallet av ett tärningskast kan inte påverkas av resultatet av andra kast så sannolikheten att få en sexa är konstant och lika med 1/6.

Stefan Jakobsson


30 oktober 1998 00.01.52
Hej ! Kan ni bevisa Cauchys olikhet med hjälp av skalärprodukt. Dvs att ... (x1x2+y1+y2)² <=

((x1)²+(y1)²)*((x2)²+(y2)²)

Svar:

Det har smugit in sig ett fel i din formel. Olikheten skall vara

(x1x2+y1y2)2=<(x12+y12)(x22+y22) (*).

Låt a=( x1, y1) och b=( x2, y2). Skalärprodukten < a , b> definieras som <a , b>=x1x2+y1y2 och den uppfyller 0<=<v,v> (**) för alla vektorer v. Talet ||v||=<v,v>1/2 brukar kallas för normen eller längden av v. Speciellt gäller (**) för vektorn a+t b (där t är ett reellt tal som ska bestämmas senare)

0=<||a+t b||2=<a+t b,a+t b>=<a,a>+2t<a, b>+t2< b,b> (***).

Om b är nollvektorn dvs om x2 =0 och y2=0 så är (*) trivialt uppfylld eftersom båda sidorna är noll då. Om b ej är nollvektorn så är < b,b>>0 och vi kan kvadratkomplettera högerledet av (***)

0=< < b,b>((t+<a, b>/< b,b>)2+<a, a>/< b,b>-<a, b>2/< b,b>2).

Sätter vi in t=-<a, b>/< b,b> får vi efter några lätta omskrivningar Cauchys olikhet

<a, b>2=<<a, a>< b,b>.

Stefan Jakobsson


29 oktober 1998 18.12.06
Jag har läst i en bok att tangensfunktionen avbildar intervallet (-pi/2,pi/2) bijektivt på R. Jag är dock något skeptisk till detta för arctan är ju inte surjektiv på intervallet (-pi/2,pi/2). Har det betydelse om intervallet är öppet eller slutet? Jag är tacksam för ett svar som reder ut detta.
Andreas

Svar:

tan avbildar intervallet (-pi/2,pi/2) bijektivt på R och arctan avbildar R bijektivt på (-pi/2,pi/2).

Kjell Elfström


29 oktober 1998 01.10.44
En kvadrat med sidan r, säg 10 cm, innehåller två lika stora cirklar som inte överlappar varandra på något sätt. Cirklarna nuddar varandras tangenter och två sidor av rektangeln var. Vad är cirklarnas maximum area?
Peter Bengtsson

Svar:

Om cirklarna tangerar samma sida i kvadraten är radien R = r/4.

I annat fall är deras gemensamma tangent den ena diagonalen och tangeringspunkten den punkt där diagonalerna skär varandra. Låt d vara längden av kvadratens diagonal. Likformiga trianglar ger då att

d/r = (d/2 - R)/R
vilket ger att

R =dr/(2(d + r)) = r/(2 + sqrt(2)) > r/4.

eftersom d = r sqrt(2). De båda cirklarnas sammanlagda area är alltså pir2/(1 + sqrt(2))2.

Cirklar

Kjell Elfström


28 oktober 1998 21.34.31
När är (x-a) en faktor till polynomet a/ x²-2ax+4?, b/x³-6ax²+8a²x-3a³? vore tacksam för hjälp. Mackan.

Svar:

Enligt faktorsatsen så är (x-a) en faktor till ett polynom om och endast om a är ett nollställe till polynomet. Sätter vi x=a i första polynomet får vi

4-a2.

a måste alltså vara 2 eller -2 för att x-a skall vara en faktor till det första ploynomet. För det andra polynomet får vi 0 om vi sätter x=ax-a är alltid en faktor till detta polynom oberoende av a.

Stefan Jakobsson


28 oktober 1998 19.38.08
Hej! Jag skulle gärna vilja ha hjälp med två uppgifter. (1)-Funktionen f har udda symmetri (m.a.p. origo) och är periodisk med perioden 8. Man vet att integralen(0 till 4)f(x)dx=1. Beräkna integralen(-16 till -8)f(x)dx. (2)-Med samma förutsättningar som i föregående uppg. , vad blir integralen(-16 till -8) abs(f(x))dx. Tack på förhand.
COOP/98 (Mdh)

Svar:

Eftersom f är udda så är

integralen[-4 till 0] f(x)dx=-1.

f är periodisk med period 8 så har vi också att

integralen[-16 till -12] f(x)dx=integralen[0 till 4] f(x+(-2).8)dx=integralen[0 till 4] f(x)dx=1

och

integralen[-12 till -8] f(x)dx=integralen[-4 till 0] f(x+(-1).8)dx=integralen[-4 till 0] f(x)dx=-1.

Svaret på första frågan är summan av dessa integraler vilket är 0.

Integralen

integralen[-16 till -8] abs(f(x))dx

kan inte beräknas eftersom det inte är givet att f är positiv på hela intervallet 0 till 4.

Stefan Jakobsson


28 oktober 1998 15.37.05
Angående min fråga 20 oktober 1998 21.39.14: Svaret på en annan av mina frågor (7 maj 1998 08.37.07) om W-funktionen ger visserligen vid handen att serien Summa ( (-k)^(k-1)*e^(-k)/k! , k=1,...,inf ) divergerar men hur bevisar man det?
Bengt Månsson

Svar:

Summan faktiskt absolutkonvergent. För att visa detta nvänder vi Stirlings formel

k !=(2 pi)1/2 kk+1/2 e-k(1+O(1/k)).

Sätter vi in denna uppskattning i termerna ak= (-k)k-1e-k/k! får vi att absolutbeloppet av ak är

|ak|=(2 pi)-1/2 k-3/2/(1+O(1/k)).

Termerna |ak| är alltså av samma storleksordning om k-3/2 . Eftersom

summa[k=1 till oändligheten] k-3/2

är konvergent så ger jämförelsesatsen för serier att

summa[k=1 till oändligheten] (-k)k-1e-k/k!

är absolutkonvergent och därmed konvergent.

Stefan Jakobsson


27 oktober 1998 18.36.16
Kan man räkna ut att 2+2 blir 5 En kompis påstår detta
Robban

Svar:

Sådana formler är resultat av felslut. Sök efter sqrt(-1) för att se svaren till liknande frågor.

Kjell Elfström


27 oktober 1998 00.04.55
Hej jag håller på med självstudier i matte, och har fastnat: Om f(z)=z säger man att z är en fixpunkt till f. vad innebär detta, och man skall bestämma fixpungten till f(z)= z-4i/iz+1. och f(z)=3iz+5/z+i. Tacksam för hjälp och kanske en liten förklaring. Mackan
Mackan.

Svar:

Att z är en fixpunkt till f betyder definitionsmässigt att f(z) = z. För en rekursivt definierad talföljd

zn + 1 = f(zn)

innebär det att z är ett jämviktsläge. Startar man med z0 = z blir zn = z för alla n. En rekursivt definierad talföljd kan betraktas som en differensekvation och sådana är närbesläktade med differentialekvationer så fixpunkter förekommer i teorin för dessa också. Se Eric's Treasure Trove of Mathematics.

I ditt första exempel tror jag att du glömt vissa parenteser. Skall det möjligen vara

f(z) = (z - 4i)/(iz + 1) ?

Ekvationen f(z) = z är i så fall ekvivalent med

(z - 4i) = z(iz + 1) = iz2 + z <=> z2 = -4
så fixpunkterna är z = ±2i.

Kjell Elfström


26 oktober 1998 23.05.56
Hur kan man med så lite analys som möjligt visa att arcsin(y)>=y+y^3/6 om 0<=y<=1 ?
Ann

Svar:

Om f är en tre gånger deriverbar funktion och x>0 så säger Taylors formel att

f(y)=f(0)+f'(0)y+f''(0)y2/2+f(3)(x)y3/6.

där x ligger mellan 0 och y.

Om f(y)=arcsin(y) får vi

f'(y)=(1-y2)-1/2, f''(y)=y(1-y2)-3/2, f(3)(y)=(2y2+1)/(1-y2)-5/2

vilket ger

f'(0)=1, f''(0)=0, f(3)(x)>=1.

Sätter vi in detta i Taylors formel så får vi den sökta uppskattningen för 0<=y<=1.

Stefan Jakobsson


26 oktober 1998 16.30.19
Hej! Beträffande frågan som jag skickade 30 september 1998 17.19.37, så var det precis så långt jag hade kommit till problemet, så skulle Ni kunna hjälpa mig lite mer? MVH A.G.

Svar:

Här är en lösning av Pontus Andersson i Uppsala.

Enligt 30 september 1998 17.19.37 så är problemet ekvivalent med att bestämma vilka positiva heltal k som kan skrivas som en produkt av tal på formen (2a+1)/(a+1), där a är ett naturligt tal, och att detta är omöjligt då k är jämnt. Jag visar nu med induktion att varje udda positivt heltal kan skrivas på detta sätt.

För k=1 är det trivialt. (Tag antingen en faktor med a=0 eller ingen faktor alls.) Antag nu att k>=3 är udda och att varje mindre (udda) tal kan skrivas på önskat sätt. Låt m och n vara naturliga tal sådana att k+1=(2n+1)*2^m, och definiera a_j=(2^{j-1}-1)*2^{m-j+2}*(2n+1)-1, j=2,...,m+1. Alla a_j är naturligtvis positiva heltal. Det är lätt att kontrollera att talen (2^j-1)a_j/((2^{j-1}-1)a_{j+1}), j=2,...,m, och talet a_{m+1}/((2^m-1)(2n+1)) alla är på formen (2a+1)/(a+1). (Det är bara att kolla att täljaren=2*nämnaren-1.) Genom teleskopering ser man att produkten av dessa m tal är a_2/(2n+1)=k/(2n+1). Men det är lätt att se att 2n+1<k, ty k>1 och m>0 eftersom k är udda. Enligt induktionsantagandet kan därför 2n+1 skrivas som en produkt av tal på önskad form. Men då är ju k produkten av dessa tal och de m talen ovan. Klart!

Stefan Jakobsson


26 oktober 1998 16.25.52
Hej! Jag har haft ett problem ganska länge utan att ha kunnat lösa den. Det handlar om programmering i Maple: Vi har en funktion f som är definierad för alla positiva heltal n. Vi har f(1)=1, f(3)=3 f(4*n+1)=2*f(2*n+1)-f(n) f(4*n+3)=3*f(2*n+1)-2*f(n) Frågan nu är: Hur ser det programmet ut som kan visa PÅ EN ENDA GÅNG de positiva heltal n<=m, där m ska kunna väljas godtyckligt, som uppfyller villkoret f(n)=n? Och lite mer avancerat skall programmet också kunna skriva ut på skärmen hur många positiva heltal n<=m, som uppfyller villkoret ovan, nämligen f(n)=n. MVH A.S.G
A.S.G

Svar:

Du har glömt att definiera f för udda tal.

Stefan Jakobsson


26 oktober 1998 12.58.10
Finns det någon allmän formel för lösning av andragradsekvationer i det komplexa talplanet?
Fredrik Hansson

Svar:

För att lösa en andragradsekvation

z2+az+b=0

så är det lämpligt att kvadratkomplettera vänsterledet oavsett om a och b är rent reella tal eller ej

(z+a/2)2=a2/4-b.

Om a och b är reella tal och a2/4-b>=0 så kan vi använda den vanliga lösningsformeln som ger att z=-a/2 +-(a2/4-b)1/2. Om a och b är komplexa tal så kan man också använda denna formel om man tolkar (a2/4-b)1/2 som ett av de komplexa tal vars kvadrat är a2/4-b. Se 22 oktober 1997 16.01.13 för en metod att beräkna detta. Denna metod behandlas också i Anders Vretblads bok Algebra och kombinatorik.

Stefan Jakobsson


26 oktober 1998 12.51.57
Hur bevisar man att Fibonacciföljden ej är begränsad?
Gunnar Björklund

Svar:

Fibonaccitalen definieras av F0=F1=1 och Fn=Fn-1+Fn-2 för n>1. Följande enkla uppskattning innebär att Fibonaccitalen är obegränsade

Fn>=n, n=0,1,2,3,....

För att visa detta använder vi induktion. Vi ser direkt att det gäller för n=0, n=1 och n=2 (ty F2=2). Antag nu att påståendet gäller för alla positiva heltal mindre eller lika med n där n>=2. Då har vi

Fn+1=Fn+Fn-1 >=n+(n-1)>=n+1.

Påståendet gäller alltså för n+1 också. Induktionsprincipen ger att påståendet är sant för alla positiva heltal.

Det går även att beräkna en exakt formel för Fibonaccitalen som visar att de är obegränsade.

Stefan Jakobsson


26 oktober 1998 11.37.42
Hej, Jag håller på att försöka reda ut en s.k. kaotisk talutveckling. Jag gör det för att jag tycker det är kul, jag är inte matematiker (utan fabriksarbetare). Men det vore roligt att få synpunkter från någon matematiker som är intresserad av det här området. Jag vill inte ha något "facit" förrän jag har grubblat färdigt själv, utan än så länge bara veta om jag är på rätt väg eller helt ute och cyklar. Min utredning (som fortfarande pågår) finns på den här sidan: http://w1.882.telia.com/~u88202211/kaos.html .Varning: Det är hemskt mycket att läsa... m.v.h./Elzie
Elzie

Svar:

Som du har noterat så har f(x)=ax(1-x) två stycken fixpunkter 0 och g=(a-1)/a. En fixpunkt är attraherande (närliggande punkter dras in mot fixpunkten) om absolutbeloppet av derivatan är mindre än 1 där. Derivatan av f är f'(x)=a-2ax. Sätter vi in fixpunkterna 0 och (a-1)/a får vi

f'(0)=a och f'((a-1)/a)=2-a.

0är alltså attraherande fixpunkt då -1<a<1 och (a-1)/a är attraherande fixpunkt då 1<a<3(detta kan också se på de grafer som du plottat). Då a=3 så är g fortfarande en attraherande fixpunkt men konvergensen är väldigt långsam. När sedan a ökas till strax över 3 så dyker det upp punkter som har period 2 dvs f(f(x))=x för dessa punkter. g är fortfarande en fixpunkt men är nu repellerande medans andra punkter dras in mot punkterna med period 2. Detta kan man kontrollera genom att derivera f(f(x)) och kolla beloppet på derivatan i dess fixpunkter. Ökar man a ytterligare så får man punkter med period 4,8,16,... osv (perioden fördubblas). När a ligger någonstans vid 3,6 blir beteendet väldigt kaotiskt. Då finns det punkter med godtycklig period .

Du har funnit många av de fenomen som dyker upp vid iteration av den logistiska funktionen. Matematiker som forskar om kaotiska dynamiska system använder både simuleringar och teori i sina undersökningar. Ett bra teoretiskt verktyg för att studera fixpunkter och periodiska banor är derivata vilket jag rekommenderar att du använder dina i fortsatta studier.

I boken 'A First Course in Chaotic Dynamical Systems' av Robert L. Devaney, Addison Wesley, behandlas sådana här typer av frågeställningar utförligt.

Stefan Jakobsson


25 oktober 1998 21.57.00
Om u är harmonisk och u(r,theta)->0, r->oändl. så är u konstant=0. Detta är som bekant Liouvilles sats, men hur bevisar jag den?
Fredrik

Svar:

Låt (x0,y0) vara en punkt i talplanet. Då är u(x0,y0) medelvärdet av u på cirkeln med medelpunkt i (x0,y0) och radie r, dvs

u(x0,y0) = (1/2pi) integral[0,2pi](u(x0 + rcos t,y0 + rsin t)dt).

Låter vi r gå mot oändligheten följer det att u(x0,y0) = 0.

Vi kan också identifiera R2 med det komplexa talplanet och betrakta u som en funktion av en komplex variabel z = x + iy. Då är u = Re f där f är en analytisk funktion och påståendet följer av maximumprincipen. Om detta kan man läsa i varje elementär bok om analytiska funktioner.

Kjell Elfström


25 oktober 1998 16.18.07
Var kan jag hitta info om tidskriften "nämnaren" på nätet?
Anna Gäddlin

Svar:

Se Nämnaren.

Kjell Elfström


25 oktober 1998 13.47.57
Dela upp en cirkel i tre till ytan lika stora delar med en "T". Hur lång är "T"-ets stapel (vertikala del)? "t"-ets stapel går genom mittpunkten av cirkeln.
Jola Sigmond

Svar:

T:ets "tak" skall alltså dela cirkeln i förhållandet 2:1. Antag att cirkeln har radien 1 och att den är placerad i ett koordinatsystem så att medelpunkten hamnar i origo. Antag vidare att T:ets vertikala del sammanfaller med x-axeln och att taket skär x-axeln då x = a > 0. Då gäller att

integral[-1,a](sqrt(1 - x2)dx) = 2 integral[a,1](sqrt(1 - x2)dx).

Eftersom (1/2)(xsqrt(1 - x2) + arcsin x) är en primitiv funktion till integranden innebär detta att

3asqrt(1 - a2) + 3arcsin a = pi/2

och denna ekvation kan inte lösas exakt, uttryckt i elementära funktioner.

Kjell Elfström


25 oktober 1998 01.23.55
Hej! Om f(x)=arctanx Vad är då F(X), dvs den primitiva funktionen till f(x)? Tack!
Sven Eriksson, MEA

Svar:

Integrerar vi 1·arctan x partiellt får vi

xarctan x - integralen av (x/(1 + x2))dx.

Den senare är (1/2)ln(1 + x2) - C varför de primitiva funktionerna till arctan x är

xarctan x - (1/2)ln(1 + x2) + C.

Kjell Elfström


25 oktober 1998 01.03.05
Hej! Jag undrar hur gränsvärden varierar beroende på konstanter. Ex om man har: lim (sin(at))/t x->0 Hur varierar detta gränsvärde om a är ett positivt heltal? Tack på förhand!
Peter Karlsson

Svar:

Vi har att

(sin(at))/t = a·(sin(at))/(at)

och eftersom at går mot 0 då t går mot 0 följer enligt gränsvärdeslagarna att gränsvärdet är at går mot 0.

Läser jag frågan noga, ser jag att gränsvärdet då x går mot noll efterfrågas och detta är (sin(at))/t.

Kjell Elfström


24 oktober 1998 17.30.05
Tre lag ska göra upp om vem som är best. Två och två möts åt gången. Ett av lagen vinner alltid. Är det möjligt att få fram en vinnare där alla har lika stor chans att vinna? Alla kan ju möta alla, men då finns det en risk att alla lagen får en vinst och en förlust var. Om lag nr 1 och 2 möts och lag nr 3 möter vinnaren har ju lag nr 3 större chans att vinna totalt än lag nr 1 och 2.
Niklas Wahlström

Svar:

Om lagen skall mötas i ett i förväg bestämt maximalt antal matcher kan rättvisa inte uppnås. Utgångarna av matcherna för ett visst lag kan redovisas i ett träddiagram och sannolikheten för varje gren blir a/2k för några naturliga tal a och k. Summerar vi grenarna som leder till vinst får vi en sannolikhet b/2k där b också är ett naturligt tal. Att b/2k = 1/3 leder till att 2k är delbart med 3, vilket inte är fallet.

Problemet kan lösas, t ex genom att alla lag möter alla andra lag en gång. Skulle detta inte leda till ett avgörande upprepas det tills någon har vunnit. Sannolikheten att aldrig få ett avgörande är 0, men man känner inte i förväg till något maximalt antal matcher.

Kjell Elfström


24 oktober 1998 00.28.05
Jag har en fråga om svaret till frågan om matriser den 6 oktober. Där skriver ni att adjunkten till en matris är när man byter rader mot kolonner. Vad jag har för mig är det transponatet av en matris som gör det och adjunkten är en transponerad matris bestående av kofaktorer. Kommer jag ihåg fel? Sen undrar jag hur man räknar ut inversen med Cramer's regel. I vår lärobok står det att det är ett sätt att lösa ekvationssystem.
Anders

Svar:

Adjunkten till en matris A är den som förekommer i Cramers regel. Låt A vara en n×n-matris och låt dik vara determinanten av den (n - 1)×(n - 1)-matris som fås då rad i och kolonn k stryks i A. Adjunkten A~ är då den n×n-matris vars element i rad i, kolonn k är (-1)i + kdki. Det gäller att

AA~ = det(A)
varför

A-1 = (1/det(A))A~

om A är inverterbar.

Språkbruket vacklar något. På engelska är Adjoint Matrix en sådan matris som avses i frågan den 6 oktober 1998 14.13.10. Denna typ av matris hör samman med begreppet adjungerad operator och kan kallas adjungerad matris.

Kjell Elfström


23 oktober 1998 12.45.41
Hej, Två bröder har en cirkelformad gräsmatta och den en broderns get skall få beta av hälften av gräsmattans yta. Brodern binder sin get vid en stolpe i gräsmattans/cirkelns ytterkant. Hur långt skall snöret som geten binds men vara för att den skall kunna beta av halva ytan? "Får inte till det"
Allan

Svar:

Se svaret på frågan den 6 oktober 1998 19.37.55.

Kjell Elfström


22 oktober 1998 16.11.02
I SÖ:s Matematikterminologi i skolan står det att kvadratroten ur ett tal är a det positiva tal vars kvadrat är a. I nationalencyklopedien står att kvadratroten är både det positiva och det negativa talet. Vad är det som gäller ?
Göran Roth

Svar:

Kvadratroten av ett icke-negativt tal a är det icke-negativa tal vars kvadrat är a och det är detta som rottecken betyder.
Ordet rot betyder också lösning till en ekvation och detta kan vara något förvillande. Exempelvis har ekvationen (x - 5)(x - 3)(x + 1) = 0 rötterna x = 5, x = 3, x = -1. Ekvationen x2 = a, där a är positivt, har rötterna x = sqrt(a) och x = -sqrt(a). (sqrt(a) står för kvadratroten av a och är den engelska förkortningen av square-root.)

Björn Samuelsson


22 oktober 1998 15.12.08
Hej! Jag vill fördjupa mig i ämnet p-adiska tal men har problem med att hitta material. Finns det nådon i södra Sverige som har forskat på området? Tacksam för råd och tips! Tack på förhand.
Katarzyna Grabowska e-mail: p98kgr@matematik.su.se

Svar:

För en beskrivning av p-adiska tal, se Eric's Treasure Trove of Mathematics. Ytterligare referenser är
Borevich, Shafarevich: Number theory, Acad. Press 1966
Lang: Algebraic numbers, Springer 1986
Weil: Basic number theory, Springer 1974.

P-adiska tal används bl a vid studiet av lösningarna till diofantiska ekvationer. Ett nödvändigt villkor för att ekvationen

F(x1,x2,...,xn)=0,
där F är ett polynom med heltalskoefficienter, skall ha en heltalslösning är att den är lösbar i ringen av p-adiska tal för alla primtal p. Frågan om och under vilka förutsättningar detta är ett tillräckligt villkor är ett forskningsämne inom den moderna talteorin.

Jag känner inte till om någon i södra Sverige forskar om p-adiska tal.

Kjell Elfström


21 oktober 1998 17.15.22
Hur räknar man ut volym och area av en lökkupol?
Kalle

Svar:

För att kunna detta måste man känna till formen av kupolen. Lökar förekommer som bekant i många olika former. Om man tänker sig att löken ligger ner, med rot och spets på x-axeln och om den är symmetrisk, kan den fås genom att man roterar en kurva y = f(x), a < x < b, kring x-axeln. Volymen är integralen från a till b av pi (f(x))2dx.

Kjell Elfström


21 oktober 1998 14.21.45
Finns det någon litteratur som handlar om matematik på skolgården och/eller i närmiljön??
Marika Larsson

Svar:

Tyvärr kan jag inte så mycket om detta. Hör med någon lärarhögskola.

Kjell Elfström


21 oktober 1998 12.13.23
a) Har Ni något lättförståeligt bevis för Fermats Stora Sats? b) Hur lyder Fermats Lilla Sats och hur bevisas den?
Daniel Klevebring, Södra Latins Gymnasium

Svar:

a) Nej. Vi har fått ett antal frågor om Fermats stora sats. Sök på Fermat för att se svaren på dessa.

b) Fermats lilla sats säger att om p är ett primtal är ap - a delbart med p. Detta är ekvivalent med att ap - 1 är kongruent med 1 (mod p) om a inte är kongruent med 0 (mod p). Eftersom den multiplikativa gruppen i Zp har p - 1 element är p - 1 delbart med ordingen av elementet a, varav påståendet följer. Man kan också bevisa satsen med induktion över a. Till detta är kunskap om binomialsatsen värdefull.

Kjell Elfström


20 oktober 1998 21.39.14
Konvergerar serien Summa ( (-k)^(k-1)*e^(-k)/k! , k=1,...,inf ) ? Serien är potensserien för Lamberts W-funktion, i punkten z=1/e på randen av konvergenscirkeln.
Bengt Månsson

Svar:

Se svaret på frågan den 7 maj 1998 08.37.07.

Kjell Elfström


17597 frågor av sammanlagt 17985 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)