Fråga Lund om matematik

Sökresultat


25 maj 2000 12.12.02
Bestäm samtliga rötter till ekvationen:
2sin^4x + cos^2x =1
David S.

Svar:

Ekvationen är alltså 2sin4x + cos2x = 1. Ersätt först cos2x med 1 - sin2x. Sätt därefter y =  sin2x. Du får då ekvationen 2y2 - y = 0, som har rötterna y = 0, y = 1/2. Nu återstår bara att lösa ekvationerna sin x = 0 och sin x = ±2-1/2.

Kjell Elfström


25 maj 2000 11.35.10
Hej !
Tack för en bra sajt...hoppas jag kan få hjälp även med detta problem:
Funktionen är F(x,y,z)=yz^2-xz^3-z sambandet F(x,y,z)=2 och z def. som en funktion av (x,y) då (x,y,z) ligger nära (1,3,2). hur bräknar man då dz/dx och dz/dy för (x,y)=(1,3) ?
Vidare så skall man beräkna riktiningsderivatan av z i punkten (1,3) i riktning (1,1). Hur görs det? Och till sist, vilken riktning är riktningsderivatan i (x,y)=(1,3) som störst, och vad blir dess värde? tack på förhand !!
peter

Svar:

För den första delen av frågan, använd implicita funktionssatsen i tre variabler.

Låt F vara en funktion av tre variabler, som är C1 i en omgivning av punkten a = (a1,a2,a3) och antag att f(a) = k, där k är en konstant. Om (df/dx3)(a) inte är 0 så finns det i någon omgivning av a en entydigt bestämd C1-funktion f av två variabler, sådan att

F(x1,x2,f(x1,x2)) = k.

För funktionen f gäller att

(df/dx1)(x1,x2) = -(dF/dx1)(x)/(dF/dx3)(x),    (df/dx2)(x1,x2) = -(dF/dx2)(x)/(dF/dx3)(x),

där x = (x1,x2,f(x1,x2)).

Riktningsderivatan i en punkt i riktningen v, där v är en enhetsvektor, är skalärprodukten av v och gradienten till f i punkten. Vektorn v = 2-1/2(1,1) är en enhetsvektor som har samma riktning som (1,1). Riktningsderivatan i gradientens riktning är den riktningsderivata som är störst.

Kjell Elfström


25 maj 2000 11.27.04
Hur deriveras funktionen: y= x^( e^x ) ??
Staffan E.

Svar:

För att derivera funktioner på formen f(x) = (g(x))h(x) brukar man göra omskrivningen f(x) = eh(x) ln(g(x)). Se 24 maj 2000 11.16.50 för en liknande fråga.

Kjell Elfström


24 maj 2000 23.16.25
På MaD-slutprovet förekom en fråga med en parabel-liknande graf i första och andra kvadranten som hade ett positivt maximum för x=0. Under grafen fanns en kvadrat med nedre vänstra hörnet i origo och det övre högra hörnet tangerande grafen. Uppgiften var att dels ange en trigonometrisk funktion som hade en liknande graf. Jag valde y=cos x. Problemet var att man sedan skulle beräkna arean för kvadraten: Hur löser jag ekvationen x=cos x. Det borde vara enkelt egentligen! Vad är det jag inte ser?!
Peter

Svar:

Man kan inte lösa ekvationen x = cos x exakt.

Kjell Elfström


24 maj 2000 20.28.43
Låt p och q vara två punkter påp hyperbel sådan att den rätta linjen pq går genom hyperbelns ena brännpunkt. Tangenterna i dessa båda punkter skär varandra i r. Bestäm avståndet mellan r och den räta linje som går genom hyperbelns medelpunkt och som är vinkelrät mot hyperbelns axel. Vi antar att hyperbelns transversalaxel är 2a och avståndet mellan hyperbelns brännpunkter är 2c. Vi förutsätter att p och q ligger på samma hyperbelgren. Tack Dan (Vart ligger hyperbelns medelpunkt?)

Svar:

Hyperbelns medelpunkt är punkten mitt emellan brännpunkterna. Se 10 april 2000 12.58.11, eller sök efter hyperbel för att se andra svar på denna fråga.

Kjell Elfström


24 maj 2000 20.22.51
Bestäm konstanten "a" så att funktionen f(x)=x^2 + a/x får ett minimum för x=2
Johanna

Svar:

Denna funktion har inget minimum. Däremot kan man bestämma a så att den får ett lokalt minimum. Se 24 maj 2000 16.26.19. Vi har här att f '(x) = 2x - a/x2. Om 2 skall vara en lokal minimipunkt måste f '(2) = 4 - a/4 = 0, varför det enda möjliga värdet på a är 16. Visa nu att funktionen verkligen har ett lokalt minimum i x = 2 för detta värde på a genom att göra teckenundersökning av derivatan eller bestämma andraderivatans tecken i x = 2.

Kjell Elfström


24 maj 2000 20.22.06
Hej igen
Jag ställde en fråga igår om en funktion:
Funktionen f(x)= 2x^3 - 3x^2 - 12a + a
har ett maximi och ett minimivärde. Hur stort är minimivärdet om maximivärdet är 30?
och fick svaret att det inte fanns varken maxi eller minimivärde. detta finner jag konstigt eftersom det enligt boken (matematik 2000 kurs C) finns en lösning på problemet. Härligt med denna bok är att liknande uppgift inte finns förklarad någonstans och endast svar är utsatt i facit.
Jag är förvirrad.
Sara igen

Svar:

Se 24 maj 2000 16.26.19, där det finns ett nytt svar.

Kjell Elfström


24 maj 2000 19.41.51
Goddagens.
I brist på matematikböcker och bra idéer, skulle man kunna få hjälp med följande funderingar. Två sträckor u och v har sina resp. -start eller baspunkter som beskrivs med koordinaterna,
u=(x1,y1) v=(x3,y3).
Längden på vardera stäcka beskrivs med multiplerna 't' resp. 's'. Riktningen eller basvektorerna beskrivs,
u=(t*a, t*b) resp. v=(s*c, s*d).
Man kan väl då hävda att koordinaterna för spetsarna av vektorena beskrivs i 2-D rummet som:
ux=x1+a*t uy=y1+b*t och vx=x3+c*s vy=y3+d*s ?
Min fråga tillslut då, om man antar att de två riktade sträckorna skär varandra i en punkt, hur bestämmer man värdet på de oberoende multiplarna 't' och 's', dvs. sträckornas längd? Går det att göra utan att blanda in räta linjens ekvation då en sådan lösning gör mitt program stort och långsamt? Är vektorsubtraktion det jag letar efter?
Det känns som om problemet är alltför enkelt, men jag har fastnat...
10^3 tack till den som hjälper mig.
Emil Eriksson

Svar:

Den ena sträckan börjar i punkten P med koordinaterna (x1,y1). Riktningen ges av vektorn (a,b) och sträckan slutar i punkten A + u, där u = s(a,b). På samma sätt börjar den andra sträckan i Q = (x3,y3), har riktningen (c,d) och slutar i Q + v, där v = t(c,d). Som jag förstått problemet är s och t konstanter och vi väljer att skriva u1 = sa, u2 = sb, v1 = tc, v2 = td. Om vi betraktar linjerna på vilka sträckorna ligger är deras ekvation på parameterform

(x,y) = P + pu = (x1 + pu1, y1 + pu2)

resp.

(x,y) = Q + qv = (x3 + qv1, y3 + qv2).

Innebörden av detta är att (x,y) ligger på den första linjen om och endast om det finns ett tal p sådant att den första likheten gäller. Motsvarande gäller naturligtvis för den andra linjen. Att en punkt (x,y) ligger på båda linjerna innebär alltså att det finns p och q så att båda likheterna gäller, dvs ekvationssystemet

x1 + pu1  = x3 + qv1
y1 + pu2  = y3 + qv2

har en lösning pq. Skriv om ekvationssystemet så att de obekanta återfinns i ena ledet.

u1 p - v1q  = x3 - x1
u2 p - v2q  = y3 - y1

Om det inte finns någon lösning pq till ekvationssystemet saknar de båda linjerna skärningspunkt. Om systemet har oändligt många lösningar sammanfaller linjerna. Om systemet har en entydig lösning skär linjerna varandra i en punkt. Villkoret för att denna punkt skall ligga på de båda sträckorna är att 0 <= p <= 1 och 0 <= q <= 1.

Kjell Elfström


24 maj 2000 18.07.34
Goddag.
Jag undrar hur man utför en regression för kurvor av typen a*e^(b*x) där e=2.718... Finns det något enkelt/effektivt sätt?
Oscar Svensson

Svar:

Logaritmerar man sambandet y = aebx får man ln y = ln a + bx. Med de nya variablerna u = x, v = ln y har man alltså ett lineärt samband och kan bestämma koefficienterna ln a och b med minsta kvadratmetoden.

Kjell Elfström


24 maj 2000 16.26.19
Ang. Saras fråga den 23 maj 2000 19.20.40 För mig verkar det uppenbart att hon frågar efter lokala extremvärden, men som hon själv säger är hon "ingen expert på funktioner alls". Ni som är "experter på funktioner" borde väl kunna genomskåda att det är lokala max resp. min hon menar och hjälpa henne med detta. Problemet i sig är ju ganska trivialt (frågan är dock om det verkligen är menat att stå -12a + a) så det borde ju vara lätt att förklara för henne.
Max Planck

Svar:

Jag tar frågan 23 maj 2000 19.20.40 en gång till. Jag tolkar maximi- och minimipunkt som lokal maximi- resp. minimipunkt. En maximipunkt är annars en punkt där funktionen antar sitt största värde. En lokal maximipunkt till funktionen f är en punkt x0 som är sådan att f(x) <= f(x0) för alla x som ligger nära x0. Jag tror också att funktionen i frågan skall vara f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x + a. Eftersom funktionen är deriverbar måste de lokala extrempunkterna finnas i punkter där derivatan är 0. Eftersom f '(x) = 6x2 - 6x - 12 är derivatan 0 om och endast om x2 - x - 2 = 0. Löser man denna andragradsekvation får man x = -1 eller x = 2. Gör nu teckenundersökning av derivatan. Man ser då att -1 är en lokal maximipunkt och att 2 är en lokal minimipunkt. Enligt förutsättningarna är f(-1) = 30. Uträkning visar att f(-1) = 7 + a. Därför måste 7 + a = 30, varför a = 23. Beräkna nu f(2).

Kjell Elfström


24 maj 2000 11.16.50
Hur deriverar man funktionen: y= ( lnx ) upphöjt med (1-x) ???
Carina

Svar:

Skriv om funktionen som

y = f(x) = ez,  där   z = (1 - x) ln (ln x).

Då är dy/dx = (dy/dz)(dz/dx), dy/dz = ez och

dz/dx = -ln ln x + (1 - x)(1/ln x)(1/x).

Nu överlåter jag åt dig att multiplicera ihop och snygga till.

Kjell Elfström


24 maj 2000 10.35.00
Angående frågan om snälla vinklar. Jag har gjort lite mer efterforskningar nu och kommit fram till att en snäll vinkel är en vinkel, a, för vilken sin a och cos a är rationella tal. Problemet bestod i att visa att det ej finns någon minsta vinkel. Detta bör väl innebära att man använder gränsvärden för lim t->0 av sin a och cos a. Kan dock ej komma fram till beviset för varför det är så (verkar ju nästan logiskt då man kommer oändligt nära noll). Vore tacksam för en bevisidé.
Peter Undén

Svar:

Pythagoras angav följande formel för att generera Pythagoreiska tripler. Om

a = 2m,   b = m2 - 1,   c = m2 + 1,

där m är ett positivt heltal, så är (a,b,c) en Pythagoreisk tripel, dvs a och b är kateterna och c hypotenusan i en rätvinklig triangel vars sidolängder är heltal. Låt v vara den mot sidan a stående vinkeln. Då är

cos v = (m2 - 1)/(m2 + 1),   sin v = 2m/(m2 + 1)

vilket visar att cos v och sin v är rationella tal och att sin v går mot 0 då m går mot oo.

Kjell Elfström


24 maj 2000 09.50.05
Hej! Vi måste förstå tankegången bakom några metoder för numerisk integration och vid problemlösning kunna använda grafisk/numerisk programvara för att beräkna integraler. Vi skulle också vilja ha användningsområden för integraler. Svara gärna senast den 26/5!
Nv 2c

Svar:

Idén bakom numerisk integration är ofta att ersätta kurvan med en enklare typ av kurva. Så är fallet i rektangelmetoden, trapetsformeln och Simpsons formel. I det första fallet ersätts grafen med en graf bestående av räta horisontella linjestycken, i det andra fallet med en sammanhängande graf bestående av linjestycken och i den sista med en kurva bestående av andragradskurvor. Se Eric Weisstein's World of Mathematics. Integraler används i en mängd tillämpningar. Det kan vara areaberäkningar, sannolikheter vid kontinuerliga fördelningar, fysikaliskt arbete när kraften varierar mm.

Kjell Elfström


23 maj 2000 21.54.53
A cylinder with known volume pressurized to 2 bar with inlet flow (air). The cylinder has an integrated pressure transducer which accuracy gives a signal corresponding to the real pressure (mbar) inside the cylinder. The pressure signal droped slowly and indicated that the cylinder is leaking somewhere. I wondering how can I with a simple equation approximately describe the flow leakage with unit ml/min without using a flowmeter?
Alex Lee

Svar:

Jag hänvisar till Fråga vetenskapen om fysik.


23 maj 2000 20.55.06
Ang. 20 maj 2000 23.13.33 så är en "aritmetisk ring" detsamma som en "modulär ring", dvs. en talvärld med ett ändligt antal heltal från 0 till n, dvs. alla tal som kan fås som rest vid heltalsdivision med n. Efter talet n - 1 återkommer talet 0, som om tallinjen istället var en ring eller ögla. Därför är t.ex. 17 + 13 = 6 (mod 24).
Magnus

Svar:

I frågan den 20 maj 2000 23.13.33 frågades bland annat vad aritmetiska ringar används till. En aritmetisk ring är alltså en ring bestående av restklasserna 0,1,2,...,n - 1 vid division med n, där n är ett positivt heltal. Ringen kallas Zn. Addition och multiplikation i ringen definieras på så sätt att den vanliga summan eller produkten beräknas. Därefter bestäms resten av denna vid division med n. I Z5 är alltså elementen 0,1,2,3,4 och exempelvis är 1 + 2 = 3, 3 + 4 = 2, 2·2 = 4, 2·3 = 1. Dessa ringar används flitigt inom talteorin när man är intresserad av delbarhet med n. Ett exempel är beviset av Fermats lilla sats, som säger att om p är ett primtal så är ap - a delbart med p. Man kan då betrakta a som ett element i Zp. Om a = 0 i Zp (dvs a är delbart med p i Z) är påståendet självklart. Annars tillhör a den multiplikativa gruppen 1,2,3,...,p - 1. Ordningen av a, dvs det minsta heltal n för vilket an = 1, måste dela gruppens ordning p - 1. Därför är också ap - 1 = 1 i Zp, dvs p delar ap - 1 - 1, varav påståendet följer.

Låt nu n vara ett positivt heltal. De n:e enhetsrötterna är de komplexa lösningarna till ekvationen zn = 1. Dessa är zk = ek·2pi/n, k=0,1,...,n - 1. På grund av potenslagarna gäller att zjzk = zj + k och eftersom zn = 1 = z0 motsvarar multiplikation av enhetsrötter addition (av exponenterna) i Zn.

Kjell Elfström


23 maj 2000 20.28.30
Jag lyckas ej lösa ut t ur följande formel som
beskriver höjden (y) över marken: y = h + v*sin(alfa)*t - (gt^2)/2
Min algebra är tyvärr inte vad den borde vara, fast jag läser tredje året tekniskt...
Tack och hej
Stefan

Svar:

Dividera först med -g/2, för att få en etta framför t2.

t2 - 2(v/g)(sin alfa)t = 2(h - y)/g.

Kvadratkomplettering ger att

(t - (v/g)(sin alfa))2 = ((v/g)(sin alfa))2 + 2(h - y)/g,

varför

t = (v/g)(sin alfa))2 ± (((v/g)(sin alfa))2 + 2(h - y)/g)1/2.

Kjell Elfström


23 maj 2000 20.13.01
Hej!
Jag har stött på ett problem där man skall bevisa att det inte finns någon minsta "snäll vinkel." Mitt problem är att jag inte vet vad en snäll vinkel är vilket ni kanske kan svara på
Peter Undén

Svar:

Jag vet inte heller vad en snäll vinkel är.

Kjell Elfström


23 maj 2000 19.21.42
För funktionen f gäller f(x+h)= f(x) + h samt f(0)=2. Beräkna f(3)
Johanna Bergström

Svar:

Välj x = 0 och h = 3 och använd formeln.

Kjell Elfström


23 maj 2000 19.20.40
Hejsan
Jag undrar hur jag sköa lösa detta, jag är ingen expert på funktioner alls.
Funktionen f(x)= 2x^3 - 3x^2 - 12a + a
har ett maximi och ett minimivärde. Hur stort är minimivärdet om maximivärdet är 30?
Sara

Svar:

Funktionen har varken maximivärde eller minimivärde. Oavsett hur man väljer parametern a kommer f(x) att gå mot oo och -oo då x går mot oo resp. -oo.

Kjell Elfström


23 maj 2000 00.50.24
Läste en artikel någonstans att en gymnast upptäckt då han "lekte" med sin miniräknare att sexsiffriga tal av typen abcabc tex 235647 eller 123123 tycks vara delbara med 13. Har provat mig fram och det verkar som om så vore fallet men då detta förmodligen gäller hos alla de 999 dylika tal borde det existera en härledning angående generell delbarhetsegenskap eller ? Hjälp mig
Erika Lundgren

Svar:

Talet 235647 verkar inte vara på formen abcabc! Ett tal n på denna form kan skrivas

n = 1000A + A = 1001A

där alltså A är det tresiffriga talet abc. Att n är delbart med 13 följer av att 1001 är delbart med 13. 1001 är även delbart med 11 och 7 varför du får ytterligare två delbarhetsregler på köpet.

Kjell Elfström


23 maj 2000 00.25.17
2x-4y=16
8x/8y=10
x=?
y=?

Svar:

Den andra ekvationen ger att x = 10y. Ersätt därför x i den första ekvationen med 10y. Lös ut y ur denna nya ekvation och utnyttja sedan att x = 10y.

Kjell Elfström


22 maj 2000 19.38.34
I matte e kurs går jag bet på ekvationen z+iz=i tacksam
Johan Rönnberg

Svar:

Bryt först ut z så får du (1 + i)z = i. Dividera båda leden med (1 + i), z = i/(1 + i). Förläng nu med konjugatkvantiteten till 1 + i för att få svaret på formen a + bi.

Kjell Elfström


22 maj 2000 18.10.36
Hej!
Finns det något n för vilket roten ur n! är ett heltal?
Rasmus Olsson

Svar:

Ja, 0 och 1. Om n > 1, k > 1 är heltal är däremot n! skilt från ak för alla heltal a. Detta följer av en sats, Bertrands postulat, som bevisades av Chebyshev 1850-1851. Denna säger att om p >1 är ett heltal så finns det ett primtal q sådant att p < q < 2p. Låt nu p vara det största primtalet som ingår i faktoriseringen av n!. Då är n < 2p, ty annars skulle, enligt Bertrands postulat, ett större primtal q ingå i faktoriseringen. Detta visar att den största primfaktorn i n! bara förekommer en gång. Om n! är en potens ak är den största primfaktorn i n! densamma som den största primfaktorn i a, vilket visar att k måste vara 1.

För ett bevis av Bertrands postulat, se t ex Niven, Zuckerman: An Introduction to The Theory of Numbers, Wiley.

Kjell Elfström


22 maj 2000 15.43.42
Hej! Tack för att ni besvaeade min fråga från den 15/5 kl 15.17.13 Tyvärr hade jag inte bara skrivit så att det var svårt att förstå utan även fel! Istället för (a1-2)/2... skulle det vara (a1-2)/a1 dvs ai i nämnarna istället för 2. Kanske bygger svaret på samma princip som det svar jag fick, men jag kan tyvärr inte se hur. Hoppas ni kan hjälpa mig än en gång!
H.Å.

Svar:

Problemet är fortfarande för vagt formulerat. Skall elementen ai vara heltal, positiva, olika?

Kjell Elfström


22 maj 2000 15.36.44
hur fick man pythagorassats ?
diana adam

Svar:

Jag vet inte hur man kom fram till den från början.

Kjell Elfström


22 maj 2000 10.26.06
vilken är den 1000 decimalen i pi?

Svar:

Varsågod, här är pi korrekt avrundat till 1000 decimaler.

3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944
  592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647
  093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559
  644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165
  271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273
  724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360
  011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953
  092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724
  891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737
  190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132
  000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901
  224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960
  864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951
  059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035
  261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303
  598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532
  1712268066130019278766111959092164201989.
Eftersom pi är större än detta tal är 9 den tusende decimalen i den oändliga decimalutvecklingen av pi.

Kjell Elfström


22 maj 2000 10.23.29
Vilka är de 4 senaste årens nobelpristagare i matematik?
Helena Andersson

Svar:

Det finns inget Nobelpris i matematik.

Kjell Elfström


21 maj 2000 18.47.01
Hail! På en okänd ö fanns det en gång en lustig kamelont ras, kamelonterna fanns i tre oklika färger: röd, grön och gul. Var gång när 2 eller flera kamelonter möttes så bytte dom färg till en tredje färg. Dvs att när 1 röd möter 1 grön blir båda två gula och så vice versa i de andra fallen. Det finns 13 gröna, 15 röda, 17 gula. Kan alla någonsin bli samma färg? Lägg fram ett bevis för det här. Tack på förhand. Fredrik W
Exempel:
1 röd + 1 gul = 2 gröna
1 grön + 1 gul = 2 röda
1 röd + 1 grön = 2 gula
dvs dom färgerna som deltar bildar den färgen som ej var närvarande.
10 röda + 10 gula = 20 gröna
10 röda + 12 gula ej= 22 gröna utan (20 gröna + 2 gula)
tack på förhand igen hoppas ni fick tillräckligt med info denna gång...
fredrik w

Svar:

Jag tror att man måste tolka uppgiften så att bara två kameleonter möts vid varje tillfälle. Om en röd, en grön och en gul träffas framgår ju inte vad som händer. Alltså: Två kameleonter träffas. Om de har samma färg händer ingenting. Om de har olika färg får båda den tredje färgen. Låt g och r vara antalet gröna resp. röda kameleonter och betrakta skillnaden r - g. Från början är denna 2 och i den önskade slutsituationen är den -45, 0 eller 45. Om en röd och en grön kameleont möts blir skillnaden oförändrad, möts en röd och en gul miskar den med 3 och om en grön och en gul möts ökar den med 3. Skillnaden kan alltså aldrig bli -45, 0 eller 45 om den från början är 2.

Kjell Elfström


21 maj 2000 16.06.09
Om F och G är ideal av en kommutativ ring R och kvoten F:G definieras som F:G={r tillhör R | rg tillhör F för alla g som tillhör G} Skulle vara tacksam för ett litet tips om hur man på ett enkelt sätt visar att F:G är ett ideal av R
Håkan

Svar:

Vi måste visa att F:G är en undergrupp till den additiva gruppen R samt att ar tillhör F:G om r tillhör F:G och a tillhör R.

Om r tillhör F:G så gäller att rg tillhör F för alla g i G. Eftersom F är en additiv grupp gäller att (-r)g = -(rg) tillhör F för alla g i G. -r tillhör alltså F:G.

Om r och s tillhör F:G så gäller att (r + s)g = rg + sg tillhör F för alla g i G. Alltså gäller det att r + s tillhör F:G.

Om r tillhör F:G och a tillhör R så gäller att (ra)g = r(ag) tillhör F för alla g i G eftersom G är ett ideal och ag tillhör G om g tillhör G.

Kjell Elfström


21 maj 2000 13.39.51
ang fråga 16 maj 2000 23.15.24 så är problemet att jag skall räkna ut hur lång tid det tar för linan att lämna hjulet
jonas

Svar:

I 16 maj 2000 23.15.24 kommer du fram till

a - (2/5)x = 1/5.

Eftersom a = x'' får vi den andra ordningens lineära differentialekvationen

x'' - (2/5)x = 1/5.

Det karakteristiska polynomet r2 - 2/5 har nollställena r = ±R, där R = (2/5)1/2. Den homogena ekvationen har därför lösningarna

x = AeRt + Be-Rt.

Man ser lätt att x = -1/2 är en partikulärlösning till den inhomogena ekvationen varför samtliga lösningar till differentialekvationen ges av

x = AeRt + Be-Rt - 1/2.

För att bestämma konstanterna A och B utnyttjar vi att x'(0) = x(0) = 0. Vi deriverar x,

x' = RAeRt - RBe-Rt,

och får

RA - RB = 0
A + B = 1/2

Då detta ekvationssystem har lösningen A = B = 1/4 får vi

x = (1/4)(eRt + e-Rt - 2).

x = 2 ger det sökta t-värdet. Sätt y = eRt. Vi får då

2 = (1/4)(y + 1/y - 2).

Multiplicera båda led med y så får du en andragradsekvation i y. Lös först ut y ur denna och bestäm sedan t genom att logaritmera.

Kjell Elfström


21 maj 2000 13.15.50
Hur bestämmer man alla tre vinklar i en triangel som ej är rätvinklig, låt säga att den har sidorna: 0,7 1,2 och 1,3?
Johan

Svar:

Man kan använda cosinussatsen.

Kjell Elfström


21 maj 2000 12.53.42
Är det möjligt att lösa e^x + x = 0 exakt och isåfall hur?
Christopher

Svar:

Nej, man kan inte uttrycka roten till denna ekvation med hjälp av elementära funktioner.

Kjell Elfström


20 maj 2000 23.13.33
Hur, varför och när används aritmetiska ringar i matematiken? Kan man tänka sig en aritmetisk ring som inkluderar den imaginära-axeln också? Så att en sfär liksom bildas, hoppas Ni förstår det sista. Kram Anders
Anders Zekender

Svar:

Jag vet tyvärr inte vad en aritmetisk ring är.

Kjell Elfström


20 maj 2000 22.51.29
Hej,
jag har läst tre år matte/fysik på universitet i Sverige och tänkte åka utomlands mitt fjärde år. Vilka universitet i Europa och Ryssland är "ledande" inom matematik, förutom de kändaste som Oxford, Cambridge, Ecole Polytechnique, Ecole Normale och ETH? Jag har hört rykten om att universitetet i Pisa är bra i Italien. Berlin har väl goda traditioner och Moscow State verkar bra i Ryssland. Med andra ord: vart skulle ni åka och plugga matte om ni fick välja?
Hälsningar Rickard
PS. Svara inte Lund... :)

Svar:

Olika universitet har olika specialiteter så jag har svårt att ge ett bestämt svar på denna fråga.

Kjell Elfström


20 maj 2000 17.09.42
vem var det som kom på matten
anna

Svar:

Jag tror ingen har något svar på den frågan.

Kjell Elfström


20 maj 2000 01.12.49
Jag har en fundering angående att använda microsoft excel vid beräkning av trigonometri. Hur skriver man formeln i excel om vinkeln a är okänd men två sidor är kända. Om det är två kateter som är kända så är det ju bara att slå in följande på sin miniräknare tan^-1(motst/närl), men hur gör man i excel. Jag har inte funnit svar någonstans...
Pekka

Svar:

Den funktion som på din räknare heter tan-1 heter i de flesta sammanhang arctan (och uttalas arcus tangens). Så heter den i Excel också och arctan x är den vinkel y (i radianer) mellan -pi/2 och pi/2 för vilken det gäller att tan y = x.

Kjell Elfström


20 maj 2000 00.07.48
Vi har en rektangel. Denna delas vertikalt i två delar, i allmänhet olika stora. De resulterande rektanglarna delas i sin tur upp i två delar, horisontellt denna gång. Dessa delas sedan upp i vertikalled (vi har nu totalt 8 områden) och så vidare. Efter p antal delningar har vi alltså p+1 rektanglar. Samtliga rektanglar delas alltid upp så vi kommer alltid ha en jämn tvåpotens av rektanglar. Frågan är nu, hur många grannar kan en godtyckligt vald rektangel maximalt ha efter p delningar?
Torbjörn Holmgren

Svar:

Låt oss med en delning mena att samtliga rektanglar delas i två delar, antingen vertikalt eller horisontellt. Efter p delningar har vi då 2p rektanglar. För vissa grannpar gäller att den ena granne ligger ovanpå den andra, för vissa att den ena står bredvid den andra. Låt Sp och Lp beteckna det maximala antalet stående resp. liggande grannar en rektangel kan ha efter p delningar. Då är S0 = L0 = 0, S1 = 1, L1 = 0. Vid en vertikal delning gäller att Sp = Sp - 1 + 1 och Lp = 2Lp - 1. Vid en horisontell delning gäller att Lp = Lp - 1 + 1 och Sp = 2Sp - 1. Gör vi två iterationer får vi

Sp + Lp = 2(Sp - 2 + Lp - 2) + 3,

oberoende av om den första delningen är vertikal och den andra horisontell eller tvärtom. Såväl S2p + L2p som S2p + 1 + L2p + 1 är alltså en geometrisk summa, som frågeställaren själv uppmanas att beräkna.

Kjell Elfström


19 maj 2000 18.07.28
Jo, jag undrade bara hur många försök som krävs för att hitta rätt på 8 nummer bland 30 om man får använda 15 kryss per försök. Hur ser räkneformeln ut?
Ocka & Gånga

Svar:

Som jag läser frågan skulle jag vilja svara 2. Jag misstänker att du inte nöjer dig med ett sådant svar och antar att femton nummer skall väljas, varefter åtta nummer lottas fram och att du frågar efter sannolikheten att de åtta finns med bland de femton. Vi tänker oss i stället en urna med 30 kulor, 8 vita och 22 svarta. Vi tar slumpmässigt 15 kulor utan återläggning. Vilken är sannolikheten att 8 av de femton kulorna är vita?

Att välja 15 kulor av 30 kan göras på (3015) sätt (vi tar inte hänsyn till i vilken ordning kulorna väljs). Detta är det totala antalet utfall. I ett gynnsamt utfall kan de vita bara väljas på ett sätt, nämligen allesammans. De sju återstående svarta kan väljas på (227) sätt. Sannolikheten blir

(227)/ (3015) = (22·21·20·19·18·17·16/7!)(15!/30·29·28· · ·17·16).

Kjell Elfström


19 maj 2000 14.30.37
Hej!
Jag upptäckte en sak när jag satt och lekte med min miniräknare förut.
cos(sin(sin(cosx)))=1 oavsett vilket värde x har.
Stämmer det och i så fall varför? Jag har provat med positiva och negativa tal, heltal och bråk, pi och e.
Jonas Boström

Svar:

Nej, det blir inte exakt 1 och resultatet är inte oberoende av x. Värdet kommer dock mycket nära 1 om man genomgående räknar i grader.

Kjell Elfström


19 maj 2000 12.51.38
Hej!! Vi är några studenter som håller på att "brottas" med ett problem, men vi har nu fastnat och undrar om ni kan hjälpa oss. Problemet lyder så här: Vi har en godtycklig triangel ABC, där liksidiga trianglar med triangeln ABC:s tre sidor som bas konstrueras. Vi har även lokaliserat de liksidiga trianglarnas tyngdpunkter mha dess bisektriser. Därefter konstrueras linjer genom varje hörn på triangeln ABC och genom motstående liksidiga triangels tyngdpunkt. Det vi vill visa är då om dessa linjer alltid skär varandra i en och samma punkt. Vi har arbetat med programmet The Geometer's Sketchpad och konstruerat det som beskrivit ovan. När vi har undersökt vår konstruktion och flyttat hörnen på trianglarna på olika sätt. Vi konstaterar att linjerna alltid skär varandra i en och samma punkt, men vet inte hur vi ska bevisa det. Först hade vi en teori om att det kunde vara triangeln ABC:s tyngdpunkt men den teorin förkastade vi efter att ha kontrollerat det. Vi skulle vara mycket tacksamma om ni gav oss någon hint om hur vi ska angripa problemet.
Carl Nilsson

Svar:

Vi börjar med Cevas sats.

Cevas sats

Sträckorna AD, BE och CF skär varandra i en punkt om och endast om

BD·CE·AF = DC·EA·FB.

Bevis. Inför ett koordinatsystem med A som origo och AB och AC som basvektorer. Då har B och C koordinaterna (1,0) resp. (0,1). Antag att F och E har koordinaterna (f,0) resp. (0,e). Då har linjerna genom C och F och genom B och E ekvationerna x = f(1 - y) resp. y =  e(1 - x). Koordinaterna för skärningspunkten P är därför

(x,y) = (1/(1 - ef))(f(1 - e),e(1 - f)).

D ligger på linjen x + y = 1 och dess koordinater är (d,1 - d) för något d, 0 < d < 1. Att sträckan AD skär de andra båda sträckorna i P betyder att AP och AD är proportionella, dvs

f(1 - e)(1 - d) = de(1 - f).

Multiplicerar vi båda led med produkten av triangelns sidolängder får vi påståendet i Cevas sats.

Napoleon

De tre sträckorna AA', BB' och CC' skär varandra i en punkt, den så kallade yttre Napoleonpunkten. Detta visar vi genom att visa att

(AE/CE)(DC/BD)(FB/AF) = 1,

varpå påståendet följer av Cevas sats. Vinkeln EAB' är 30°. Vi kallar vinkeln BAC för A. Då ger areasatsen att arean av triangeln ABB' är AB(AC/31/2)sin(30° + A)/2. På samma sätt är arean av CBB' BC(CA/31/2)sin(30° + C)/2. Eftersom basen BB' är gemensam i dessa trianglar förhåller sig areorna som höjderna mot BB', och därför som AE och CE. Vi får

AE/CE = (ABsin(30° + A))/(BCsin(30° + C)).

På samma sätt får vi att

DC/BD = (ACsin(30° + C))/(ABsin(30° + B))

och

FB/AF = (BCsin(30° + B))/(ACsin(30° + A)).

Produkten av vänsterleden är lika med produkten av högerleden och det är lätt att se att den senare är 1.

Kjell Elfström


19 maj 2000 12.38.20
Jag undrar hur man räknar sinus utan en kalkylator!!!!! eftersom det är en gammal metod borde det vara möjligt att räkna sinus på en vinkel för hand!!!

Svar:

Se 4 april 2000 18.47.47. För resttermen R(x) (felet vid approximationen) som anges där gäller att

|R(x)| <= |x|2n + 3/(2n + 3)!.

Kjell Elfström


19 maj 2000 09.50.12
hej
vi är två tjejer som ska göra ett arbete om intergraler. Vi skulle vilja ha hjälp med bra litteratur och bra hemsidor, gärna på svenska.
lotta och anna

Svar:

Den bok i analys vi använder i vår nybörjarkurs är Hellström-Morander-Tengstrand: Envariabelanalys. Studentlitteratur 1991. Där definieras begreppet Riemannintegrerbarhet och integralen för integrerbara funktioner. Inte alla funktioner är integrerbara och ett exempel på en funktion som inte är Riemannintegrerbar är funktionen f som är definierad på intervallet [0,1] och för vilken f(x) = 0 om x är rationellt och 1 annars. För kontinuerliga funktioner bevisas insättningsformeln, som är den sats som säger att integralen kan beräknas genom att man bestämmer en primitiv funktion till integranden och beräknar skillnanden mellan dennas värden i intervallets ändpunkter. Formlerna för partiell integration och variabelsubstitution bevisas. Integration av trigonometriska och rationella integrander tas upp och man får bland annat lära sig att integrera (1 ±x2)1/2.

Detta är vad de flesta analysböcker på nybörjarstadiet brukar ta upp. Eric Weissteins' World of Mathematics har en sida om integraler. Där kan man se att det finns andra typer av integraler än Riemannintegraler. Exempel på sådana är Lebesgue-integralen och Riemann-Stieltjes-integralen. Det visar sig att funktionen f ovan är Lebesgueintegrerbar med integralen 1. Detta beror på att mängden av rationella tal är uppräknelig och att uppräkneliga talmängden har Lebesguemåttet 0. Om Lebesgue och Stieltjes kan man läsa på The MacTutor History of Mathematics archive.

Kjell Elfström


18 maj 2000 12.54.29
I en matematikuppgift hittade jag att en konstant hade värdet 1,7 s^-1 alltså 1,7 sekunder upphöjt till minus 1. Vad menas med det? Då jag räknade ut talet fick jag rätt när jag satte värdet till - 1,7 s. Gillar inte matematikerna/fysikerna att en tidskonstant har ett negativt värde och använder därför en eufemism så att det ser bättre ut? Tacksam för svar blir Jari Kinnunen, Malmö
jaricyber@hotmail.com

Svar:

Det hela är egentligen inte så konstigt. Tänk bara på enheten m/s som ju också kan skrivas ms-1. I vissa sammanhang tar sorterna ut varandra. Har vi pengar på banken kanske kapitalet på grund av räntan ökar med 100kr/år. Om räntesatsen är konstant kommer ökningen nästa år att vara större så man anger normalt inte den absoluta ökningen utan den relativa. Har vi k kronor på banken och räntesatsen är p procent är den relativa ökningen ((kp/100) kr/år)/(k kr) = p/100 år-1.

Kjell Elfström


18 maj 2000 10.33.18
Hej Jag fick aldrig något svar på min fråga och kanske frågan inte kom fram. Jag försöker igen: a/ Bestäm bilden av punkten P =( 3, -2 , 2) efter rotation 90 grader kring linjen från origo genom punkten Q = ( 1, 2, 2 ). b/ Bestäm koordinatsambanden vid denna avbildning.
Mattias

Svar:

Detta är nästan samma problem som 15 maj 2000 14.40.21.

Kjell Elfström


17 maj 2000 19.52.45
Hej! Jag sitter med en uppgift som jag inte blir klok på. Uppgiften lyder: Hur många tal mellan 10-10000 finns det där alla siffrorna är olika? T.ex 10, 96, 123, 435, 1356, 9845. Inte: 11, 220. 4421, 9990
Stefan Nilsson

Svar:

Tar vi de tvåsiffriga först inser vi att den första siffran kan vara vilken som helst av siffrorna 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Vi har nio valmöjligheter för den första siffran. Den andra siffran kan vara vilken som helst av 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 utom den vi valde förra gången. Även här har vi nio möjligheter. Allt som allt 9·9 = 81 tvåsiffriga. Antalet tresiffriga blir på samma sätt 9·9 ·8, antalet fyrasiffriga blir 9·9 ·8·7 och antalet femsiffriga blir 0 eftersom det enda möjliga talet är 10000 och där är ju inte siffrorna olika.

Kjell Elfström


17 maj 2000 18.17.51
Jag har hittat en lite klurig uppgift, som jag bli tokig av att fundera på... Snääälla hjälp mig!
Ni har på en öde ö funnit en pergamentsrulle med följande text: "Utgå från galgen. Stega till den vita stenen och gå sedan lika långt rakt åt vänster. Utmärk denna punkt. Stega därefter från galgen till den svarta stenen och gå sedan lika långt rakt åt höger. Utmärk även denna punkt. Kapten Kidds skatt ligger mitt emellan de utmärkta punkterna." Ni finner den vita och den svarta stenen, men inget spår av galgen. Ni hittar ändå skatten, visa hur ni bär er åt!
Victoria Nilsson

Svar:

Kalla galgen för g, stenarna för v och s, den första ändpunkten för p och den andra för q. Räkningarna blir ganska enkla om vi tänker på punkterna som punkter i det komplexa talplanet. Den sökta punkten är då (p + q)/2. Eftersom multiplikation med i betyder rotation moturs vinkeln 90° är p - v = (v - g)i och q - s = -(s - g)i. Löser vi ut p och q ur dessa likheter och sedan adderar dem får vi

(p + q)/2 = (v + s)/2 + (v - s)i/2.

Gå alltså från s till mittpunkten på sträckan sv. Gå sedan lika långt åt vänster, vinkelrätt mot sträckan sv. Glöm inte att dela med dig av skatten!

Kjell Elfström


17 maj 2000 17.09.32
Hur gör man för att bestämma ekvationen för den gemensamma tangenten till två kurvor?
Johan

Svar:

Det verkar vara ett rätt besvärligt problem, när det är så här allmänt formulerat. Antag att kurvorna är y = f(x) och y = g(x). Om någon linje är tangentline till den första kurvan i punkten (a,f(a)) och till den andra i (b,g(b)) måste det gälla att f '(a) = g'(b). Eftersom linjen är tangentlinje till den första kurvan är linjens ekvation

y - f(a) = f '(a)(x - a)

och eftersom punkten (b,g(b)) ligger på denna linje gäller det att

g(b) - f(a) = f '(a)(b - a).

Man kan då gå systematiskt till väga och för fixt a bestämma alla b-värden som uppfyller denna ekvation. Om det för ett sådant b gäller att g'(b) = f '(a) har vi funnit en gemensam tangent. Sedan måste man låta a variera över definitionsmängden till f. I ett mer konkret exempel kan man säkerligen finna en del genvägar.

Kjell Elfström


17 maj 2000 12.50.43
Vi betraktar ekvationen x^2 = 1 i en godtycklig ring R där 1 är den multiplikativa enheten och x tillhör R. Hur många rötter har ekvationen? (1) När R tillhör de reella talen och (2) När R tillhör heltalen modulo n (Zn)? (3) vad händer när n varierar?
Peter G

Svar:

Jag vill börja med att göra en liten korrigering. R tillhör inte, utan är, ringen av reella tal, respektive Zn. Låt oss börja med att bestämma antalet lösningar till kongruensen

x2 ~ 1 (mod n),

n = pk och p är ett primtal. (~ betecknar kongruent med i avsaknad av den korrekta symbolen som är som ett likhetstecken men med tre streck.)

Antag först att p > 2. Att x2 ~ 1 (mod n) betyder att x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) är delbart med n. Om n = pk och n|(x + 1)(x - 1) så måste p|(x + 1)(x - 1). Eftersom p är ett primtal måste p|(x + 1) eller p|(x - 1). Eftersom p > 2 kan inte p dela båda faktorerna. Därför gäller att pk|(x + 1) eller pk|(x - 1), dvs x ~ -1 eller x ~ 1 (mod n). I detta fall finns alltså två lösningar.

Antag nu att p = 2. Om k = 1 finns bara en lösning och om k = 2 finns det två lösningar. Antag att k > 2. Det är klart att x = ±1 är lösningar. Vidare är x = 2k - 1 ±1 lösningar eftersom

(2k - 1 ± 1)2 = 22k - 2 ± 2k + 1

och 2k - 2 >= k. x = 0 och x = 2k - 1 är uppenbarligen inte lösningar. Om det finns någon annan lösning x kan vi anta att 2 <= x <= 2k - 1 - 2. Om 2k - 1 + 2 <= x <= 2k - 2 är nämligen -x ~ 2k - x en sådan lösning. Vi kan då skriva x + 1 = 2iu och x - 1 = 2jv, där u och v är udda, 1 <= i <= k - 2, 1 <= j <= k - 2 och k < i + j. Drar vi dessa båda likheter från varandra får vi att 2 =  2iu -  2jv. Genom att bryta ut den minsta av 2i och 2j finner vi att i <> j och att därför den minsta av i och j är 1. Vi får då i + j <= k - 2 + 1 = k - 1, vilket strider mot att i + j >= k. Det kan alltså inte finnas några andra lösningar. Sammanfattningsvis har vi alltså en lösning då k = 1, två lösningar då k = 2 och fyra lösningar då k > 2.

Så till det allmänna fallet. Antag att n = q(1)q(2)...q(m), där q(i) = p(i)k(i) och där p(i) är olika primtal. Enligt kinesiska restklassatsen kan vi identifiera Zn med Zq(1)× Zq(2)×... ×Zq(m). Om q(i) <> 2 för alla i är antalet alltså 2m. Om p(1) = 2 är antalet 2m - 1, 2m eller 2m + 1 beroende på om k(i) är 1, 2 eller större än 2.

Kjell Elfström


17 maj 2000 11.52.45
Varför ska man lära sig ekvationer i skolan. Man använder det inte i det verkliga livet annat än om man ska bli elektriker.
Morpheus

Svar:

Jag är inte elektriker men upplever ändå livet som verkligt.

Kjell Elfström


16 maj 2000 23.15.24
Hej! jag försöker att räkna ut följande problem!
en lina på 5 meter hänger i en friktionsfritt hjul, med två meter lina på den ena sidan och tre på motsatt jag har frilagt och kommit fram till följande m(total)* a(accelration 9,82)= Summa krafter i vertikal ledd(x ledd i possitiv riktning neråt)
F1 (tremetersidan) blir då g*rå*pi*r kvadrat*(3+x)
F2 (tvåmeterssidan) blir då g*rå*pi*r kvadrat*(2-x) sätter man in detta i m*a..formeln blir det efter förkortningar
a*5= 1+2x
a=1+2x/5
men hur går jag vidare och löser ut tiden? Jag antar att jag måste använda 2ODE men hur går jag tillväga? och hur löser jag ut tiden ur denna?
tacksam för svar!
jonas

Svar:

Det framgår inte vilket problemet är.

Kjell Elfström


16 maj 2000 18.17.13
Jag skulle vilja see how en utkast till en mateprojekt see ut
Parick Nokrach,

Svar:

Att utreda hur man löser en tredjegrads- eller fjärdegradsekvation är en möjlighet. Det krävs bara litet kunskaper om hur man löser så kallade binomiska ekvationer, dvs ekvationer av typen zn = a, där n är ett positivt heltal, a och z komplexa tal (z är den obekanta). Den matematiska härledningen och litet historik kan bli ett trevligt projekt.

Perfekta tal är en annan möjlighet. Ett positivt heltal kallas perfekt om det är summan av alla sina delare utom talet självt. T ex är 6 =1 + 2 + 3 och 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 perfekta tal. Man behöver känna till något om primtal och om den geometriska summan.

Kjell Elfström


16 maj 2000 15.17.12
För att kunna ange en position på jordytan har man indelat ytan i ett rutnät. Latitud och longitud. Från ekvatorn till polen har man en kvarts cirkel d.v.s. 90 grader varje grad är indelad i 60 minuter varav en minut är lika med en distansminut. = 1852 meter. I nord sydlig riktning är en minut alltid lika lång på jordytan. När det gäller indelningen i öst-västlig riktning har man gjort indelningen längs ekvatorn med påföljd att att en minut longitudinellt har olika längd beroende på hur långt nord eller syd denna befinner sig.Nu till problemet: För att kunna lista ut hur lång en minut är longitudinellt behöver man ta reda på uttrycket för radien från jordaxeln till jordytan på en viss breddgrad som en funktion av denna breddgraden och radien vid ekvatorn. Man har alltså en vinkel=breddgrad och radien vid ekvatorn. Jag inser lätt att uttrycket måste bero av cirkelns ekvation..men hur?
Hälsningar
En matematisk oskuld.
Bosse G

Svar:

Skärningen mellan jordytan och ett plan genom jordaxeln är en cirkel med samma radie r som jordklotets. Det är inte svårt att se att den sökta radien är rcos b, där b är breddgraden.

Kjell Elfström


16 maj 2000 13.55.30
Hur ska man göra när man ska multiplicera matriser
Håkan Olsson

Svar:

Om A är en p×q-matris och B en q×n-matris är C = AB den p×n-matris för vilken det gäller att

cik = ai1b1k + ai2b2k + ... + aiqbqk = summaj = 1q aijbjk.

Elementet på rad i, kolonn k i C fås alltså genom att "multiplicera" rad i i A med kolonn k i B. Se också 16 maj 2000 10.41.57.

Kjell Elfström


16 maj 2000 13.35.23
Du skjuter en pil från en pilbåge. Den avfyras med en hastighet på 67 m/s och med en horisontalvinkel på 42 grader uppåt. Beskriv pilens bana.

Svar:

Det gäller att den vertikala accelerationen är y'' = -g, varför y' = -gt + v0. Antar vi att skottet avlossas från origo är s0 = 0 och vi får

y = -gt2/2 + v0t,

där v0 är den vertikala hastighetskomponenten vid tiden t = 0. Eftersom begynnelsehastigheten är 67 blir v0 = 67 sin 42°. Den horisontella komposanten av begynnelsehastigheten är 67 cos 42°. Antar vi att den horisontella hastigheten är konstant gäller alltså att x = (67 cos 42°)t. Lös nu ut t ur denna ekvation och sätt in i uttrycket för y.

Kjell Elfström


16 maj 2000 13.32.29
Ett fartyg åker med hastigheten 12 knop rakt söderut. Ett annat fartyg åker med hastigheten 8,0 knop rakt västerut. Fartygens färdriktningar skärs i en punkt som ligger 19 sjömil framför det första fartyget och 16 sjömil framför det andra. Beräkna det kortaste avståndet mellan fartygen om de inte ändrar hastighet och riktning. När befinner de sig på detta avstånd. (En knop = 1 sjömil/timme).

Svar:

Lägg in ett koordinatsystem så att det sydgående fartyget färdas längs y-axeln ned mot origo och det västgående mot origo längs x-axeln. Då är origo skrärningspunkten mellan färdriktningarna. Vid tiden t befinner sig det första fartyget i punkten (0,19 - 12t) och det andra i punkten (16 - 8t,0). Beräkna avståndet mellan dessa punkter som en funktion av t och derivera och gör en teckenundersökning av derivatan.

Kjell Elfström


16 maj 2000 13.28.00
Du spelar ett hasardspel med följande regler. Två slantar singlas. Om resultatet är 2 klave, vinner du 5 sek. Om resultatet är bara en klave, vinner du 2 sek. Om resultatet är 2 kronor får du betala 10 sek. Analysera spelet och försök ta reda på oddsen för vinst. Lönar det sig att spela enligt dessa regler. (Du får göra analytisa räkningar "på papper". Du kan också simulera spelet ett stort antal gånger och se hur det verkar då.)

Svar:

Sannolikheten för två klave är 1/4, sannolikheten för två krona är också 1/4 medan sannolikheten för krona, klave är 1/2. I genomsnitt är alltså vinsten (1/4)·5 + (1/2)·2 + (1/4)·(-10) = -1/4, dvs en förlust för spelaren.

Kjell Elfström


16 maj 2000 13.20.36
Undersök funktionen f(x)=(e^x/x)+a då x är positivt. 1)Avbilda den med några lämpliga värden för konstanten a. 2)Bestäm så exakt som möjligt a så att funktionen har ett enda nollställe. 3)Välj det a-värde du bestämde i fallet 2) samt beräkna 3 integral (1/2) f(x)dx. (Detta betyder:Bestäm det område som avgränsas av f(x), x-axeln, linjen x=1/2 och linjen x=3).

Svar:

Det verkar inte vara meningen att man skall lösa problemet exakt. Andra delen går att lösa exakt genom att derivera funktionen ex/x. Derivatans enda nollställe är 1 och f har lokalt minimum i 1. Man finner också att f(x) går mot oändligheten då x går mot 0 eller mot oändligheten. Det följer att f(x) = -a har ett enda positivt nollställe då a = -f(1) = -e. Integralen i tredje delen kan ej beräknas exakt.

Kjell Elfström


16 maj 2000 13.14.17
Beräkna ett närmevärde för pi med någon lämplig metod. Beskriv metoden.

Svar:

Se The Pi Page.

Kjell Elfström


16 maj 2000 13.12.52
Undersök ekvationen sin(5x)=x/5. Hur många nollställen hittar du? Ange det största och det minsta av dessa. Antag att x mäts i radianer.

Svar:

Bilda funktionen

f(x) = sin 5x - x/5.

Nollställena måste ligga mellan -5 och 5 eftersom sin x ligger mellan -1 och 1. Undersök funktionen genom att derivera och göra teckenstudium.

Kjell Elfström


16 maj 2000 12.45.06
Hej! Jag har fått intrycket att ju mer matematiken utvecklas desto svårare blir det att nå fram till dess frontlinje. Idag lär det ju vara nästintill omöjligt att bevisa några nya satser utan att vara extremt begåvad och utbilda sig under åtskilliga år. Man skulle kunna tänka sig att det finns en gräns för hur långt man kan tränga in i den matematiska djungeln eftersom det till slut krävs en hel livstid att nå fram till outforskade områden. Å andra sidan har jag hört att matematiken ständigt "grenar ut sig" så att man kanske alltid kommer att kunna nå okända områden utan alltför mycket möda. Jag undrar hur pass livligt dessa frågor diskuteras i forskarvärlden och om det finns några bra sidor på nätet om dem.
Magnus K

Svar:

Tyvärr känner jag inte till några fora där dessa frågor diskuteras.

Kjell Elfström


16 maj 2000 12.34.19
Hej! Antag att en liten kropp faller rakt mot en stor (orörlig) kropp under inverkan av enbart gravitationen. Om x=x(t) betecknar avståndet mellan tyngdpunkterna hos den lilla och den stora kroppen vid tiden t gäller då (*) d^2x/(dt^2) + A/x^2 = 0, A positiv konstant Jag har lyckats bestämma t=t(x) ur denna diff.ekv, men kan inte ur denna relation lösa ut x som funktion av t. Går det att ur (*) explicit bestämma x som funktion av t, och hur gör man det i så fall?
Magnus K

Svar:

Jag tror att det är svårt att lösa ut x som funktion av t. Multiplicerar man ekvationen med 2x' får man

(d/dt)(x')2 = 2A(d/dt)(1/x),

vilket ger att

(x')2 = 2A/x + C.

Drar vi roten ur båda led får vi

x'(x/(2A + Cx))1/2 = 1.

Sätter man y = (x/(2A + Cx))1/2 klarar man av att integrera och alltså att lösa ut t som funktion av x. Jag kommer dock inte längre än så.

Kjell Elfström


16 maj 2000 10.41.57
Hej! Jag skulle vilja få en utförlig redovisning om matriser. hur man räknar.Vilka operationer man kan gör(addition,multiplikation). De böcker som jag har läst går ej att förstå. Tacksam för svar så fort som möjligt.
Sandra.

Svar:

Svaret på denna fråga skulle bli för omfattande. Det finns många läroböcker i lineär algebra där definitionerna av matrismultiplikation och addition görs. Den bok vi för närvarande använder är Tengstrand: Lineär algebra med vektorgeometri. Studentlitteratur 1994.

Kjell Elfström


15 maj 2000 23.03.09
Jag skulle vara hemskt tacksam om ni svarade på den här frågan: Hur stor är sannolikheten att åtminstone 2 stycken elever i en klass med 13 elever fyller år på samma dag (de behöver inte vara lika gamla)?
Göran

Svar:

Se 19 november 1997 20.42.10.

Kjell Elfström


15 maj 2000 22.08.26
Hejsan, jag skulle vilja ha svar på denna kniviga uppgift: Låt q(a) vara det minsta egenvärdet till problemet u´´(x)+qu(x)=0 där u(0)=au(1)+u´(1)=0. Visa att q(a) växer monotont från minus oändligheten till pi^2 då a växer från minus oändligheten till plus oändligheten
Jörgen

Svar:

Se 15 mars 2000 09.41.07.

Kjell Elfström


15 maj 2000 20.58.06
En upp och nedvänd kon med höjden 60 cm och radien 12 cm är delvis fylld med vatten.Vattnet läcker ut med en hastighet som är portionell mot den area som är i kontakt med vattnet. Man fyller på vatten i konen uppifrån. Påfyllnadshastigheten är 100 cm^3/min kommer vattenytan att sjunka med hastigheten 0,6 cm/min då vattenhöjden i konen är 24 cm Hur stor ska påfyllnadshastigheten vara om man vill att vattenytan ska hålla sig konstant på en viss nivå? Snälla svara så enkelt, men utförligt som möjligt!Tack!
Eva Persson

Svar:

Se 24 maj 1999 14.08.38.

Kjell Elfström


15 maj 2000 20.49.07
Jag ska konstruera en cylinderformad öppen vattentank. Den ska rymma 1000 m^3 och bottnens tjocklek vara 0,25 m. Väggtjockleken är t m och t= 0,002*x*r. r=radie x=höjd Hur mycket cement behöver jag? Jag vore tacksam för en inte allt för krånglig förklaring, men ändå en eller flera grundliga! Tack på förhand!
Eva Persson

Svar:

Se 17 maj 1999 10.22.22.

Kjell Elfström


15 maj 2000 17.27.25
Hur bevisas att det genom en punkt går en och endast en paralell linje till en annan rät linje.
Björn Norén, Halmstad högskola

Svar:

Det kan man inte! Se 2 maj 2000 16.23.26.

Kjell Elfström


15 maj 2000 15.39.36
Hej! Här kommer en upp. En doftkula har volymen 3,0 cm3. På grund av avdunsning minskar kulans volym med t månader på ett sådant sätt att volymändringen per tidsenhet är proportionell mot kulans area. Efter 1 månad är doftkulens volym 2,0 cm3.
a). Visa att förutsättningarna ovan leder till att dr/dt = k där k är en konstant och r cm betecknar kulans radie efter t månader.
b). Beräkna kulans volym efter 4 månader.
HK

Svar:

Om r är radien, V volymen och A arean så är V = k1r3 och A = k2r2. Enligt förutsättningarna är

dV/dt = k3A = k4r2
och eftersom

dV/dt = (dV/dr)(dr/dt) = 3k1r2(dr/dt)

följer det att

dr/dt = k4/(3k1) = k.

b) löses genom att man löser denna differentialekvation.

Kjell Elfström


15 maj 2000 15.17.33
Hej!
Hur visar man att det bara finns 17 olika uppsättningar av tal som uppfyller ekvationen:
(a-2)/2+(b-2)/2+.....+(n-2)/2=2 där a,b,...,n är godtyckligt antal tal? Tack på förhand?!
Henrik Åberg

Svar:

Det tog ett tag att fundera ut vad som frågades efter. Vi formulerar om likheten:

(a1 - 2)/2 + (a2 - 2)/2 + ... +(an - 2)/2 = 2.

För varje värde på n finns det ett antal följder a1,a2,...,an av olika positiva heltal sådana att ekvationen är uppfylld. Det som skall visas är att om man adderar antalet lösningar för de olika värdena på n, så får man 17. Börja med att skriva om likheten som

a1 + a2 + ... + an = 2n + 4.

Eftersom heltalen är olika är summan minst

1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2.

Vi måste då kräva att n(n + 1)/2 <= 2n + 4 och löser man denna olikhet får man att n <= 4 om det finns några lösningar. Därefter är det bara att räkna ut hur många lösningar det finns för n = 1, 2, 3, 4 och se att det sammanlagda antalet är 17.

Kjell Elfström


15 maj 2000 14.56.33
Hej! Jag har två uppgifter.
1. När lösningarna till ekvationen x^3 - 4x^2 + 5x = 0 anges som punkter i det komplexa talplanet kan en cirkel ritas som går genom all punkterna. Bestäm cikelns radie?
2. Linjen genom punkterna P= (1,0) och Q = (4,2) samt grafen till y=(x)^(1/2) avgränsar tillsammans med x-axeln ett område i första kvadranten. När området roteras kring x-axeln uppstår en rotationskropp. Visa att den har volymen 4pi volymsenheter. (Det som krånglar till här är integralen till rotationen kring x-axeln.)
Alltid tacksam!
"Delighted by arithmetic"

Svar:

1. Börja med att lösa ekvationen. Lösningarna (betraktade som punkter) har då koordinaterna P1 = (x1,y1), P2 =  (x2,y2), P3 =  (x3,y3). Låt P =  (x,y) vara koordinaterna för cirkelns medelpunkt och r cirkelns radie. Då gäller att

|P1P|2 =  r2
|P2P|2 =  r2
|P3P|2 =  r2

Drag nu den första ekvationen från den andra och den tredje. Då blir nya andra och tredje ekvationerna lineära i x och y. Lös ut x och y ur dessa båda ekvationer och sätt därefter in i den första ekvationen för att bestämma r.

2. Volymen av den rotationskropp som uppstår då kurvan y = f(x), a <= x <= b, roterar kring x-axeln är integralen från a till b av pi (f(x))2. Kurvan och linjen skär varandra då x = b = 4. Beräkna först volymen av området som uppstår då kurvan y = x1/2, 0 <= x <= 4 roterar. Drag därefter ifrån volymen av kroppen som uppstår då linjen y = (2/3)(x - 1), 1 <= x <= 4 roterar.

Kjell Elfström


15 maj 2000 14.40.21
Kan ni hjälpa mig att lösa detta? Låt I vara den räta linje genom origo i ett ortonormerat koordinatsystem Oxyz, som bildar vinkeln 45 grader med positiva z-axeln och vars projektion på xy-planet bildar vinkeln 45 grader med positiva x-axeln. a/ Bestäm matrisen för rotation 90 grader kring I. b/ Bestäm bildpunkterna vid denna rotation till punkterna ( 0,0,1) (1,0,1) och (1,1,1). Tacksam för hjälp!.
Mattias Ericsson

Svar:

En riktningsvektor för I är (1,1,21/2). Det är lätt att se att (1,-1,0) är vinkelrät mot riktningsvektorn. Bestäm en vektor som är vinkelrät mot båda dessa. Normerar du dessa vektorer får du en ON-bas för rummet. Det är lätt att se vad dessa tre vektorer avbildas på. På så sätt får du avbildningens matris i denna nya bas. Övergå sedan till de gamla koordinaterna.

Kjell Elfström


15 maj 2000 12.44.20
Min fråga är så, att jag köpte en grafiskt räknare TI-86 och jag kan inte lösa grafiskt på TI-86,jag har bruksanvisning men inte så bra på språk? TAck.
Visar

Svar:

Jag känner inte till TI-86.

Kjell Elfström


15 maj 2000 11.21.14
Jag gjorde en tenta i Flervariabelanalys och skulle där räkna ut en dubbelintegral. Jag gjorde ett slarvfel och fick en determinant till negativ. Detta följde med uträkningen och jag svarade med ett negativt värde på integralen. Detta fick jag noll poäng för. Såvitt jag vet så borde det gå att svara med en negativ area, vad tycker ni? Är det rätt att få uppgiften underkänd för det?
Patrik

Svar:

Determinanten kan mycket väl vara negativ. I formeln för variabelbyte skall man ta absolutbeloppet av determinanten, varför determinantens tecken inte har någon betydelse. Integraler kan också vara negativa, men beräknar man integralen av en positiv funktion bör man reagera om man får ett negativt svar. Jag har inga synpunkter på examinatorns bedömning av din lösning.

Kjell Elfström


15 maj 2000 10.52.29
Låt V vara ett Hilbertrum och M=[e1,e2,e3,...,ek]där e1,e2,e3,...,ek är en ON-följd av vektorer i V. Låt vidare P vara den operator på V som bestäms av y=Px om och endast om II x-y II=inf II x-z II, z tillhör M. (II II=normen) Bestäm egenvärden och egenvektorer till P.
Niklas, Fille

Svar:

Det skall rimligtvis vara så att y tillhör M. Då är P den ortogonala projektionen av VM. Efter den upplysningen bör ni klara uppgiften själva.

Kjell Elfström


13 maj 2000 21.36.16
Om man tänker sig att en linje som är parallell med en cirkels "diameter" avgränsar cirkeln. Kan man då sätta arean som en funktion av höjden på linjen? (Närmare förklaring: Om höjden=0 är arean=0, är höjden=50%(r) är arean=50%, höjden=100%(2r el d.) arean=100% etc). Vore mycket tacksam om ni kan svara på vad linjens ekvation blir.
Erik Löfgren

Svar:

 En sådan linje som först tangerar cirkeln i en punkt och sedan parallellförflyttas så att den så småningom ligger över en diameter till cirkeln och slutligen tangerar cirkeln på motsatt sida skär ut en area som, vid parallellförflyttning en sträcka h och cirkelradien r, ges av uttrycket

A(h) = r2arccos((r-h)/r)-(r-h)sqrt(r2-(r-h)2), 0<=h<=2r.

Då är speciellt A(0) = 0, A(r) = Pi*r2/2 och A(2r) = Pi*r2. Du kan komma fram till detta genom kunskap om hur man beräknar en cirkelsektors area och lite trigonometri. Jag hoppas att detta besvarar din fråga (vad menar du med linjens ekvation?).

Joakim Petersson


11 maj 2000 21.12.17
Hur löser man denna diff ekvation: y''+c*sin(y)=0
Fredrik

Svar:

Låt begynnelsevärdena y(0) = y0 och y'(0) = y1 vara givna. Vi antar att y1>=0. Vi multiplicerar ekvationen med y' och får y''y' = -cy'siny. Här kan vi integrera och får (y')2/2 = c*cosy+A, där begynnelsevillkoret ger A = y12/2-c*cosy0. Antagandet y1>=0 ger y' = sqrt(y12+2c(cosy-cosy0)). Detta är en separabel ekvation ur vilken vi kan få fram x = Inty0y (y12+2c(cosu-cosy0))-1/2 du. Med detta får vi låta oss nöja. Ekvationen beskriver om c>0 utslaget kring lodlinjen av en pendel, och jag skulle tro att det är så du har stött på den.

Joakim Petersson


11 maj 2000 20.45.53
Hejsan! Läste frågan av Svante E Persson (7 november 1997 ), men hängde inte riktigt med på ditt svar. Varför byter du ut x mot 8sint och hur får du ut formeln för din integral?? Först ersätter du x i formeln sqrt(64 - x2)dx, vilket man kan förstå, men vad händer sedan? Kan man inte integrera f(x)g(x) dx från 0 - 8 direkt, utan att ändra utseende på x? Skulle också vara intressant att veta vartifrån du tar gränsvärdena. Tack för en sida som man kan tillbringa många timmar framför!!
Jens Isaksson

Svar:

Du syftar på frågan 7 november 1997 13.53.40. När man beräknar integraler kan man ofta göra på olika sätt. Vilket som är enklast blir ibland en smaksak. I det här fallet föreslås att man i integralerna Int08 sqrt(64-x2) dx och Int08 x2sqrt(64-x2) dx gör variabelsubstitutionen x = 8sint. Gränserna x = 0 och x = 8 motsvaras då av t = 0 och t = Pi/2 eftersom funktionen sint växer från 0 till 1 då t går mellan 0 och Pi/2. De båda intervallen avbildas därför på varandra vid bytet av variabler. Integralerna överförs på det viset till integraler av trigonometriska funktioner. Men precis som du skriver kan man också undvika variabelsubstitution och beräkna integralerna som de står med partiell integration. Tex kan man i den andra integralen skriva integranden som x*f(x), integrera f(x) och derivera x (så som man gör vid partiell integration). Efter omskrivning får man då tillbaka samma integral och den lättare första integralen, som också kan beräknas med partiell integration. Roligt att sidan uppskattas! Hoppas att jag inte bara rörde till det ännu mer.

Joakim Petersson


11 maj 2000 19.04.07
Hej! jag tycker att du inte riktigt kan förklara olika matematiska lösningar, man ska ju förklara sina lösningar steg för steg och inte skriva hela högen på samma gång!!!!!
Klas Eriksson

Svar:

Tack för kritiken. Det är svårt att förklara matematik, det kan nog de flesta vara överens om. Inte minst på en sådan här sida, där det finns naturliga gränser för hur fullständiga och detaljerade svaren kan vara. Du ska dock veta att vi som skriver det här alltid försöker ge svar som den som frågar blir nöjd med, även om det inte alltid är så lätt.

Joakim Petersson


11 maj 2000 16.45.22
Hej !! Två satser : 1. Sambandet mellan derivata och integral. 2. Integralkalkylens huvudsats. Det är egentligen den första satsen som intresserar mig mest. Där utnyttjar man den vanliga gränsvärdesdefinitionen för derivata. Då förstår jag varför man "deriverar baklänges" för att kunna använda "integralkalkylens huvudsats". Jag förstår alltså varför man har lärt sig att derivera så många funktioner på gymnasiet. (Jag förstår att man kan utvidga mängden integrerbara funktioner beroende på om man använder Riemann, Lebeshue eller den allmänna integrationsteorin. Det är dock inte detta som jag är intresserad av.) Finns det någon annan metod, exempelvis någon annan typ av gränsvärdesdefinition, som skulle kunna ge ett annat samband mellan derivata och integral. Finns det alltså någon information om alternativa lösningar till "delta y / delta x" ? Jag kan förstå om det inte finns någon alternativ lösning ty då skulle det finnas andra typer av differentialekvationer och integralekvationer m.m. Mycket tacksam för svar. Bosse
Bosse

Svar:

Jag måste göra dig besviken. Derivatan är så naturligt och bra definierad att "alternativa lösningar" saknas. Något som på sätt och vis hör samman med och kompletterar derivation är differensräkning, differensekvationer och liknande.

Joakim Petersson


11 maj 2000 14.30.54
Consider an hermitian matrix A. Erase the first column and the first row from A and you get the matrix B. How can it the be proven that: If the eigenvalues of A are non-negative, then this also holds for the matrix B?
Mark

Svar:

 Let * denote the operation of both (complex) conjugation and transposition. Recall that A is called hermitian if A* = A. Let A be hermitian. Then there is an orthonormal basis of eigenvectors to A and all eigenvalues of A are real. If x = b1e1+...+bnen, where Aej = rjej, then x*Ax = r1|b1|2+...+rn|bn|2. Hence all eigenvalues are non-negative if and only if x*Ax>=0 for every complex vector x. Erasing the first column and the first row in order to get the matrix B implies that y*By = x*Ax, where x = (0,yt) (check this!). Thus y*By>=0 for every complex (n-1)-vector y, and all eigenvalues of B are non-negative.

Joakim Petersson


10 maj 2000 18.43.47
I en bok jag läst står det följande: " Således 2m upphöjt till 4 lika med en kub, eller 2m en kub". Varför står det så?. Jag har skrivit detta för tredje gången. Glöm mina tidigare frågor.
Georg karavidas

Svar:

Låt a och b vara positiva heltal som uppfyller a4 = b3. Om något av talen är 1 måste även det andra vara 1, så vi kan anta att a,b>1. Anledningen till att a måste vara en kub (och b en fjärdepotens) är den entydiga primtalsfaktoriseringen. Vi kan skriva a4 = b3 som p14a1...pm4am = q13b1...qn3bn där primtalsfaktorerna är ordnade efter storlek. Entydigheten ger att m = n, p1 = q1 osv och att 4a1 = 3b1 osv. Detta innebär emellertid, eftersom 3 och 4 saknar gemensamma delare, att 3 delar a1 (och 4 delar b1) osv (återigen tex på grund av entydig primtalsfaktorisering). Men då är a en kub eftersom alla exponenterna i primtalsfaktoriseringen av a är delbara med 3.

Joakim Petersson


10 maj 2000 16.44.52
Jag söker tips på (matematisk)litteratur där Zenons tidsparadoxer utreds grundligt så att jag kan börja sova på nätterna igen. Hälsningar Lars
lars jonsson

Svar:

Jag hänvisar till Zenons paradoxer.

Joakim Petersson


10 maj 2000 13.57.37
En stokastisk variabel X har väntevärdet my och variansen sigma i kvadrat. I syfte att skatta my görs 3 oberoende observationer på variabeln, varefter följande skattningar bildas: my_1 = 1/3 X1 + 1/3 X2 + 1/3 X3 my_2 = 1/4 X1 + 1/2 X2 + 1/4 X3 my_3 = 1/2 X1 + 1/2 X2 a) Vilka av skattningarna är väntevärdesriktiga ? b) Vilken skattning är "bäst" ?
Magnus Österberg

Svar:

Väntevärdet är en lineär funktion, så alla dessa skattningar är väntevärdesriktiga, dvs väntevärdet av skattningarna är my. För oberoende stokastiska variabler gäller lagen V(aX+bY) = a2V(X)+b2V(Y) för variansen. Den första skattningen har minst varians, sigma i kvadrat/3 och kan i viss statistisk mening anses vara bäst. Det aritmetiska medelvärdet är också den skattning bland alla vägda medelvärden av observationerna som har minst varians.

Joakim Petersson


10 maj 2000 13.18.21
Kan någon lösa denna ekvationen? 120+((X*11)* 0,0005) = (5*(X/1000)) + ((X*60)* 0,0005) OBS! Den andra ekvationen jag sände var felaktig!
magnusmalmstrom@user.bip.net

Svar:

Då hoppas vi att det här är rätt ekvation! Genom att multiplicera ekvationens båda led med 2000 så får vi en ekvation med samma lösningar, nämligen

240000+11x = 10x+60x.

Genom att samla ihop alla x-termer i högerledet så får vi

240000 = 59x,

varav x = 240000/59. Detta bråk kan inte förkortas men ett ungefärligt värde är 4068.

Joakim Petersson


9 maj 2000 12.55.39
Hail! På en okänd ö fanns det en gång en lustig kamelont ras, kamelonterna fanns i tre oklika färger: röd, grön och gul. Var gång när 2 eller flera kamelonter möttes så bytte dom färg till en tredje färg. Dvs att när 1 röd möter 1 grön blir båda två gula och så vice versa i de andra fallen. Det finns 13 gula, 15 röda, 17 gula. Kan alla någonsin bli samma färg? Lägg fram ett bevis för det här. Tack på förhand.
Fredrik W

Svar:

Jag saknar information om när och hur färgbyten sker. Om två kameleonter av samma färg möter varandra, byter de färg då?, till vilken?. Om tre eller flera möts, vad händer då? Förmodligen inget, men det framgår inte av din text.

Joakim Petersson


8 maj 2000 19.44.01
Hejsan, jag vill veta hur man bevisar Herons formel?
Lovisa Ohlsson

Svar:

Se 31 januari 1997 12.32.10 för ett bevis av Herons formel.

Joakim Petersson


8 maj 2000 18.42.58
U,V,W är vektorer. Vektorn U = (13,-3). Hur gör man för att räkna om koordinaterna i (V,W) istället. Anta att V = (5,3) och W = (0,-4)
N.E

Svar:

Vi kan skriva U = (13,-3) = 13e-3f, där vektorerna e = (1,0) och f = (0,1) utgör standardbasen. Ur V = 5e+3f och W = -4f kan vi lösa ut e = V/5+3W/20 och f = -W/4. Uttryckt i basvektorerna V och W är alltså U = 13e-3f = 13V/5+27W/10, så de nya koordinaterna är (13/5,27/10).

Joakim Petersson


8 maj 2000 13.02.33
Akilles tävlar mot en sköldpadda. Akilles springer med en hastighet av 10 m/s, sköldpaddan med 1 m/s. Sköldpaddan har fått ett försprång av 36 m. När hinner Akilles upp sköldpaddan? Jag tror efter 4 s, stämmer detta och hur räknas det fram. Snälla svara.
Jenny Svensson

Svar:

Det är riktigt, för efter 4 s har båda hunnit 40 m, och sedan springer Akilles förbi sköldpaddan. För att lösa problemet, antag att t sekunder har förflutit sedan starten. Då har Akilles hunnit 10t meter och sköldpaddan 36+t meter. De har hunnit lika långt precis då 10t = 36+t, vilket är detsamma som 9t = 36, så att t = 4.

Joakim Petersson


8 maj 2000 09.33.57
Hej, har ett litet problem med en uppgift, som varken jag eller mina två mattelärare kan lösa: Bestäm den primitiva funktionen F till f så att: f(x)=(2+3x)^2 och F(-2)=-7 Om man "löser upp" kvadraten så får man att C=1, om man däremot får fram den primitiva funktionen direkt genom att höja upp exponent och dela med ny exponent multiplicerat med inre derivata, så får man att C=1/9. Vad är problemet? Svaren borde ju bli desamma. Tacksam för svar!
Erik Sjöberg

Svar:

Om den primitiva funktionen skrives F(x) = (2+3x)3/9+C, så ger villkoret F(-2) = -7 att C = 1/9, medan om f(x) först utvecklas och man skriver F(x) = 4x+6x2+3x3+D så erhålles att D = 1. Men C och D skall inte vara lika, för bortsett från integrationskonstanterna C och D så har vi i första fallet den primitiva funktion som är 8/9 för x = 0 och i andra fallet den som är noll för x = 0.

Joakim Petersson


6 maj 2000 17.13.36
Hej ! Jag har en fråga om diffekvationer. Det är ett system av två st och har utseendet
m(d^2x/dt^2)-qB(dy/dt)=0
m(d^2y/dt^2)+qB(dx/dt)=0
Hur löser man detta.Tack på förhand
Lars

Svar:

Den första ekvationen säger att mdx/dt och qBy har samma derivata. Därför är

mdx/dt = qBy+ C,

där C är en konstant. Detta ger att

dx/dt = (qB/m)y+ C/m.

Sätt in detta i den andra ekvationen så förvandlas den till en andra ordningens ekvation i enbart y.

Kjell Elfström


5 maj 2000 23.07.28
Detta problem fick vi på en skrivning på gymnasiets Tekniska linje: Antag att tomten står i origo och har en släde ståendes i punkten (1,0). Ett snöre med längdenheten 1 förbinder tomten med släden. Tomten startar sin färd upp efter y-axeln varpå släden kommer att beskriva en kurva som närmar sig y-axeln. Formulera en funktion som beskriver denna kurva.
Ingen fick någon poäng på denna uppgift, och jag har fortfarande än idag inte funderat ut något sätt att lösa denna om man ska hålla sig till gymnasienivå - hur gör man, eller ställde läraren en för svår fråga?
Gordon

Svar:

Antag att kurvans ekvation är y = f(x). Då är f(1) = 0. Om släden befinner sig i punkten (a,f(a)) på kurvan förbinder snöret punkterna (a,f(a)) och (0, f(a) + (1 - a2)1/2) (använd Pythagoras sats och att snöret har längden 1). Snöret bör vara tangent till kurvan. Tangentens i punkten (a,f(a)) har ekvationen

y - f(a) = f '(a)(x - a).

Eftersom tangenten skall gå genom (0, f(a) + (1 - a2)1/2) får vi

(1 - a2)1/2 = f '(a)(-a)  <=>   f '(a) = -(1 - a2)1/2/a.

f är alltså en primitiv funktion till -(1 - a2)1/2/a. För att bestämma f gör vi variabelsubstitutionen t = (1 - a2)1/2. Då är

a = (1 - t2)1/2  och  da = -tdt/(1 - t2)1/2.

De primitiva funktionerna ges därför av

t2dt/(1 - t2) = ∫ (1/(1 - t2) - 1)dt = ∫ ((1/2)(1/(1 - t) + 1/(1 + t)) - 1)dt.

Den sista likheten fick vi genom partialbråksuppdelning. Nu kan du gå vidare själv och få att

f(a) = (1/2)ln ((1 + (1 - a2)1/2)/(1 - (1 - a2)1/2)) - (1 - a2)1/2.

Problemet kan nog vara aningen svårt för de flesta gymnasister!

Kjell Elfström


5 maj 2000 22.29.55
Hejsan! Hur räknar man ut arean av området som begränsas av x-axeln, y-axeln samt kurvan 1/x? Närmar den sig överhuvudtaget ett gränsvärde?
Martin A.

Svar:

Detta område har ingen ändlig area. Vi kan betrakta området som om det består av två delar, en del där 0 < x <= 1 och en del där x > 1. Inget av dessa områden har ändlig area. En primitiv funktion till 1/x är nämligen ln x. Vi får därför att

integrala1 dx/x = ln 1 - ln a = - ln a -> oo då a -> 0+

och

integral1b dx/x = ln b - ln 1 = ln b -> oo då b -> oo.

Kjell Elfström


4 maj 2000 17.44.32
Jag skulle vilja ha hjälp med uträkningen av nedanstående ekvation;
Anta att det finns N st system och M st tillämpningar i varje system. Vilken funktion K=f(N,M) svarar mot antalet protokollomvandlingar K.
a) Om det inte existerar ett gemensamt språk mellan systemen.
b) Om anpassningarna görs för ett gemensamt protokoll.
Tacksam för svar snarast.
Anna

Svar:

Jag känner inte till detta.

Kjell Elfström


4 maj 2000 12.37.44
Hej!
Sedan Andrew Wiles löste Fermats stora sats, finns det något mer klassiskt matematiskt problem som fortfarande är olöst? Dessutom undrar jag om det finns en gräns för hur långt matematiken kan utvecklas, dvs. kommer mänskligheten någon gång till den punkten där vi kan säga att vi vet ALLT om matematik? Håller ni på Matematikcentrum med mig att människan har både upptäckt och uppfunnit matematiken? Låt mig ta ett exempel: Vi har upptäckt talet pi, men däremot uppfunnit diverse olika sätt att räkna ut pi på.
MVH
Thorleif Nilsson thorleif.nilsson@spray.se

Svar:

Se Unsloved Problems för en lista med några klassiska olösta problem. Vi kommer nog aldrig någonsin att kunna säga att vi kan all matematik. Om inte annat, så har vi ju Gödels ofullständighetssats, som säger att det finns matematiska påståenden som varken kan bevisas eller motbevisas.

Kjell Elfström


4 maj 2000 00.46.53
Jag undrar vad är p-adiska tal för något? Hur uppkommer de och hur skiljer de sig från de reella talen?
Ulrica Johansson

Svar:

Se Eric Weisstein's World of Mathematics.

Kjell Elfström


3 maj 2000 20.22.53
Jag hörde följande matematiska fråga med medföljande svar, vid något tillfälle. Jag skulle uppskatta ett svar och hur man räknar ut detta!
Dra ett rep (rep A) så att det ligger på marken, runt hela jordklotet. Längden på detta rep är exakt 4000 mil.
Dra ytterliggare ett rep (rep B) runt jorden. Detta rep ska vid varje punkt "sväva" 10 cm över jordytan.
Hur långt är rep B?
Svar: Rep B är 4000 mil och 10 cm!!??? Detta måste väl ändå vara fel? Eller?
Timo Karvinen

Svar:

Ja, det är fel. Det är omkring 4000 mil och 63 cm. Detta följer av om r är jordradien så är omkretsen 2pi r = 4·107 m. Ökar vi radien med 0,1 m blir omkretsen 2pi(r + 0,1) = 4·107 + 0,2pi m.

Kjell Elfström


3 maj 2000 19.18.48
Vad blir gränsvärdet av f(x,y) = x^y, då (x,y) -> (0,0)
Parra

Svar:

Vi börjar med att göra omskrivningen

f(x) = eyln x.

Om nu (x,y) går mot (0,0) längs linjen y = x ser vi att gränsvärdet är 1. Låter vi å andra sidan (x,y) går mot (0,0) längs kurvan y = 1/ln x ser vi att gränsvärdet blir e. Något gränsvärde kan alltså inte finnas.

Kjell Elfström


3 maj 2000 19.18.36
Hur ritar jag i Maple följande graf z^2 = w^3+1, där z och w är komplexa?
Parra

Svar:

Eftersom det är fyra reella tal inblandade kan man inte rita den. Vissa aspekter kan dock åskådliggöras. Man kan t ex rita upp kurvan för reella tal.

Kjell Elfström


3 maj 2000 19.18.22
Varför är den associativa lagen viktigare än kommutativa när det gäller olika utvidgningar av reella talen som exempelvis Hamiltons och Cayles tal.
Parra

Svar:

Jag vet inte om den är viktigare. Oktonionerna uppfyller t ex inte den associativa lagen.

Kjell Elfström


3 maj 2000 18.40.00
Euklidisk geometri från 2 maj - vilka är de övriga geometriska postulaten?
Falsk Euklides

Svar:

Se t ex Eric Weisstein's World of Mathematics eller Euclid's Elements.

Kjell Elfström


19166 frågor av sammanlagt 19580 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)