Fråga Lund om matematik

Sökresultat


20 september 1998 17.11.30
Hur kan man beräkna summan 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + ... + 100/2^100
Tack för hjälpen

Svar:

Jag antar att du känner till formeln för den geometriska summan:

1+ x + x2 + . . . + xn = (xn+1-1)/(x-1)

(se annars frågan 9 april 1998 12.26.32). Deriverar man denna likhet med avseende på x får man

1+ 2x + . . . + nxn-1 = ((n+1)xn(x-1)-(xn+1-1))/(x-1)2.

Multiplicera båda leden med x, ger

x + 2x2 + . . . + nxn = x((n+1)xn(x-1)-(xn+1-1))/(x-1)2.

Stoppa nu in x = 1/2 och n = 100, ger efter förenkling av högerledet

1/2+2/4+ . . . +100 / 2100 = 2(1-51 / 2100).

Hjalmar Rosengren


20 september 1998 17.09.09
Hej, Läsandes "Elementary Linear Algebra" av Anton/Rorres, infinner sig lite frågor angående markovprocesser. 1) Vad betyder definitionen: "A transition matrix is regular if some integer power of it has all positive entries."?? 2) Till avsnittet med ovan citat hör en uppgift, vilken jag tror mig falla på då jag ej förstår definitonen...men ändock får ni gärna vägleda mig en smula. Problemet lyder. Let P be the transition matrix

1/2 0

1/2 1

a) Show that P is not regular. b) Show that as n increases, P^n x^(0) approaches

0

1

Hoppas ni kan hjälpa mig, ser fram emot svar.. :-D Tack på förhand!!
Ibbe Ayata

Svar:

Den engelska meningen betyder "En transitionsmatris kallas regulär om någon heltalspotens har enbart positiva element", det vill säga A kallas regulär om det finns ett tal n = 1, 2, 3, . . . så att alla matriselement i An är positiva.

För matrisen P visar man lätt med induktion att Pn är lika med

1/2n 0

(1-1/2n) 1.

Speciellt är det övre högra elementet alltid 0, så matrisen är inte regulär. Pnx(0) är kolonnvektorn vars element är

(1/2)nx(0)1 och (1 - (1/2)n)x(0)1 + x(0)2.

Elementen går alltså mot 0 resp. x(0)1 + x(0)2 = 1.

Hjalmar Rosengren


19 september 1998 23.30.39
i en ekvation kan man ofta byta ut alla + mot * om man byter alla * mot ^ detta fungerar dock ej alltid. vari ligger skillnaden mellan dessa ekvationstyper?
stefan

Svar:

Det kan man inte göra, såvida det inte beror på en ren tillfällighet. Ekvationen

x+1 = 2

har ju lösningen x = 1, medan ekvationen

x*1 = 2

har lösningen x = 2. Om det inte var så du menade får du återkomma med ett förtydligande av frågan.

Hjalmar Rosengren


19 september 1998 23.25.25
vad är skillnaden mellan 1. hur addition förhåller sig till multiplikation och 2. hur multiplikation förhåller sig till potensräkning

Svar:

De förhåller sig på samma sätt till varandra i den meningen att om n är ett positivt heltal så är

a*n = a+ . . . +a (n stycken termer),

an = a* . . . *a (n stycken faktorer).

Man kan gå från en produkt till en summa med hjälp av logaritmen och tillbaka med hjälp av exponentialfunktionen:

ln(a*b) = ln(a)+ln(b), ln(ab) = b*ln(a),

exp(a+b) = exp(a)*exp(b), exp(a*b) = (exp(a))b.

Hjalmar Rosengren


19 september 1998 21.33.13
Jag skall bevisa att a²+b²+c² alltid är större eller lika med ab+bc+ac. a, b, c är reella tal. Kan ni hjälpa mig?
Marie Jonsson

Svar:

Kvadreringsregeln ger

(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 = 2(a2+b2+c2-ab-ac-bc).

Eftersom vänster led är en summa av kvadrater är det aldrig negativt. Alltså är inte heller höger led negativt, vilket ger den olikhet du vill visa.

Ett mer metodiskt sätt är att kvadratkomplettera i en variabel åt gången. Vi skall visa att

a2+b2+c2-ab-ac-bc >= 0.

Betraktar vi b och c som konstanta och kvadratkompletterar vänster led med avseende på a får vi

(a-b/2-c/2)2 - b2/4 - c2/4 -bc/2 + b2 +c2 - bc.

Kvadratkompletterar vi sedan i b får vi

(a-b/2-c/2)2 + (3/4)*( b-c)2,

vilket är en summa av två kvadrater och alltså ej negativt.

Hjalmar Rosengren


19 september 1998 13.36.33
Två geometrika problem, för det första, hur många delar kan man med fem raka skär skära i tu en kub smör om man inte får rearrangera bitarna? Vad är det maximala antalet individuella och totalt avgränsade volymer man kan skapa av 3 interpenetrerande kuber, man räknar bara volymer som inte vidar är delade?
Karl Oscarsson

Svar:

Det här får räknas som en "knep och knåp"-fråga. Tyvärr har vi inte tid att besvara den typen av frågor.

Hjalmar Rosengren


19 september 1998 13.29.01
Läste en text där en, 4D-hyperkub stod omnämnd, vad är detta för något, finns det någon synonym för just en sådan här kropp?
Remi Andersson

Svar:

Det är den naturliga motsvarigheten till en kub i fyra dimensioner. Om man inför ett koordinatsystem i planet beskrivs varje punkt av sina koordinater (x,y). Mängden av punkter (x,y) som uppfyller olikheterna 0 < x < 1 och 0 < y < 1 bildar då en kvadrat med hörnen i (0,0), (1,0), (0,1) och (1,1). I tre dimensioner bildar mängden av punkter (x,y,z) som uppfyller de tre olikheterna 0 < x < 1, 0 < y < 1 och 0 < z < 1 en kub. På samma sätt kallas mängden av alla fyrtiplar (x,y,z,w) så att 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1 och 0 < w < 1 för en fyrdimensionell hyperkub. På engelska har jag sätt ordet tesseract som synonym för fyrdimensionell hyperkub. Det borde bli tesserakt på svenska. Andra regelbundna kroppar i fyra dimensioner diskuteras i frågan 8 september 1998 15.51.45.

Hjalmar Rosengren


18 september 1998 05.32.55
Hur stor måste en parkeringsficka vara för att man ska kunna fickparkera en bil med längden l och bredden b. Maximala rattutslaget är "alfa". Omgivande bilar har samma mått som din.
Lars Berglund

Svar:

Såvitt jag kan begripa kan man alltid lirka in bilen, förutsatt att luckan är längre än bilen och att alfa inte är 0.

Hjalmar Rosengren


18 september 1998 01.13.10
Vad är en analytisk funktion?
Torsten

Svar:

En analytisk funktion är en funktion som lokalt ges av en potensserie, det vill säga för varje punkt a i funktionens definitionsområde finns det en talföjd (b0, b1, b2, . . .) så att

f(x) = (b0+b1(x-a)+b2(x-a)2+b3(x-a)3+ . . .),

för alla x i någon omgivning av a. En följd av definitionen är att f är oändligt deriverbar och att höger led är Taylorserien till f i punkten a, det vill säga att talen bi ges av

bi = f(i)(a)/i!

för alla i.

Om x är en reell variabel kallas funktionen reellt analytisk, om x är komplex kallas den komplext analytisk. Funktionen som definieras av

f(x) = e-1/x för x > 0, f(x) = 0 för x <= 0

är ett exempel på en funktion som är oändligt deriverbar men inte reellt analytisk (alla derivator i 0 är 0, så Taylorserien i 0 konvergerar inte mot funktionen). Detta kan inte inträffa för komplext analytiska funktioner. Om den komplexa derivatan

f'(x) = gränsvärdet[h går mot 0 i det komplexa planet](f(x+h)-f(x))/h

existerar blir nämligen funktionen automatiskt oändligt deriverbar och komplext analytisk. Funktionen f(a+i b) = a-i b (konjugatfunktionen) är ett exempel på en funktion som inte är komplext analytisk.

Man kan också definiera analytiska funktioner av flera (reella eller komplexa) variabler.

Hjalmar Rosengren


17 september 1998 20.36.48
Hej! Jag förstår inte riktigt varför |x-2|(|x-2|+4) < 5d som du skrev i svaret till frågan jag ställde den 12 september 1998 10.23.22 och vad menar du med att d kan väljas som det minsta av talen e/5 och 1? Om d i så fall sätts till e/5 hur kan man då se att |x-2| < e/5 medför att |x^2-4| < e?
Martin

Svar:

Jag vet inte om jag kan förklara det särskilt mycket enklare. Vi har visat olikheten

|z2-4| <= |x-2|(|x-2|+4).

Om nu |x-2| < d så är höger led mindre än d(d+4). Om dessutom d <= 1 så är d(d+4) <= d(1+4) = 5d. Alltså är

|z2-4| < 5d

om |x-2| < d och d <= 1. Sätt nu d = e/5. Det ger

|z2-4| < e

om |x-2| < d, förutsatt att dessutom villkoret d <= 1 är uppfyllt. Om vi alltså sätter d som det minsta av talen e/5 och 1 (eller vilket som helst mindre tal) har vi att |z2-4| < e om |x-2| < d, vilket är vad vi ville visa.

Den här typen av övningar brukar finnas med i läroböcker för att illustrera gränsvärdesdefinitionen, men som jag skrev är det inte så här man vanligtvis beräknar ett sådant gränsvärde.

Hjalmar Rosengren


17 september 1998 18.49.34
när man läser trigonmetri så stöter man vanligtvis på cos, sin....... Men jag har sett cot????? vad är det...... Tack!
Andreas

Svar:

Det utläses cotangens, och definieras av cot(x) = cos(x)/sin(x) = 1/tan(x). Två andra "ovanliga" trigonometriska funktioner är secans och cosecans, som definieras av sec(x) = 1/cos(x) och cosec(x) = 1/sin(x).

Hjalmar Rosengren


17 september 1998 16.29.05
Ingen fråga men ett tips: Den 14 september 1998 12.03.43 efterfrågades information om Trachtenbergs system. Det finns en bok om detta, t o m på svenska: "Det berömda Trachtenbergsystemet" (Bokförlaget Forum AB 1962). Förresten, tack för dina utförliga svar på mina frågor om Galoisgrupper och klasstal!
Bengt Månsson

Svar:

Jag får tacka för tipset. Nu har jag också hittat en internetsida där Trachtenbergs metoder redovisas: Trachtenberg Math.

Hjalmar Rosengren


17 september 1998 06.51.48
Hur gör man för att visa att sqrt(x) är kontinuerlig i intervallet [0,oändligheten)?
Peter

Svar:

Det kan man göra på många sätt. (Som upplysning till övriga läsare: sqrt står för square root, dvs kvadratroten.) Normalt när man skall visa att en funktion är kontinuerlig använder man inte definitionen av kontinuitet, utan någon mer allmän sats. I det här fallet kan man exempelvis använda att inversen av en kontinuerlig funktion är kontinuerlig. Det räcker alltså att visa att f(x) = x2 är kontinuerlig, det vill säga att x2 går mot a2x går mot a. Det är väsentligen frågan 12 september 1998 10.23.22. Man kan också använda en sats som säger att om en funktion är monoton (dvs växande eller avtagande) på ett intervall och bildmängden är ett intervall, så är funktionen kontinuerlig.

Om man ändå vill använda gränsvärdesdefinitionen, så kan man göra så här. Tag först ett a > 0. Vi skall visa att sqrt(x) går mot sqrt(a) då x går mot a. Tag e > 0 (epsilon i gränsvärdesdefinitionen). Vi måste visa att det finns ett tal d > 0 (delta), som får bero på a och e, så att

|sqrt(x)-sqrt(a)| < e om |x-a| < d och x > 0.

Konjugatregeln ger

|sqrt(x)-sqrt(a)| = |x-a|/(sqrt(x)+sqrt(a)) < |x-a|/sqrt(a) < e

om |x-a| < e*sqrt(a). Vi kan alltså välja delta som epsilon gånger roten ur a i gränsvärdesdefinitionen.

Hjalmar Rosengren


16 september 1998 16.30.38
Har du några bra tips på böcker att läsa om man ska vara med i Skolornas Matematiktävling??
Henrik Vik

Svar:

Problemen i Skolornas Matematiktävling brukar gå att lösa utan några större förkunskaper (men de kan förstås vara mycket svåra). Därför har du störst glädje av samlingar med tävlingsproblem. Leta på skolbiblioteket på någon större gymnasieskola. Bland annat finns problem från tidigare omgångar av Skolornas Matematiktävling utgivna. Du kan beställa den senaste samlingen från Skolornas Matematiktävlings hemsida. Det finns också flera böcker om problemlösning, exempelvis George Polyas klassiska bok "How to solve it". Här är en lista på böcker som rekommenderas för holländare som skall vara med i internationella matematikolympiaden: Recommended Mathematics Literature.

Hjalmar Rosengren


16 september 1998 13.42.33
Pi sägs ju vara konstant i dagligt tal men är det verkligen konstant om en matematiker räknar på det?. Ditt svar kommer att avsluta en lång intern diskussion. Tack på förhand.
mark hanlon

Svar:

Pi är en konstant som man kan definiera på många sätt, till exempel geometriskt som halva omkretsen av en cirkel med radien 1 eller analytiskt som summan av den oändliga serien

pi = 4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ . . . )

Att pi är konstant är alltså inte något man räknar ut, utan det definieras som en konstant, precis som 37 eller 14. Se också en liknande fråga 25 augusti 1998 11.06.37.

Hjalmar Rosengren


15 september 1998 18.33.22
HUR MÅNGA NOLLOR KAN DET FINNAS I ETT TAL SOM MEST?
EVA DANKIS

Svar:

Det kan finnas hur många nollor som helst. Talföljden 10, 100, 1000, 10000, 100000, . . . kan fortsättas hur länge som helst och i varje tal finns det en nolla mer än i det föregående talet.

Hjalmar Rosengren


14 september 1998 12.03.43
Trachtenberg(stavning?), skall enligt vad jag hört använt sin tid i koncentrationsläger till matematisk forskning. Denna forskning skall ha inbegripit mycket stora/stora tal. Han skall ha funnit några/någon algoritm för att tex dra roten ur ett sjusiffraigt tal i huvudet! Är detta sant? Kan ni redogöra för hans algoritmer? Och kanske hänvisa till ngn bra bok? tack på förhand
Fredrik Skeppstedt

Svar:

Jag har inte lyckats hitta någon information om denne Trachtenberg. Det finns gott om exempel på personer som lyckats öva upp sin förmåga till huvudräkning mycket långt, fast man kan knappast kalla detta för "matematisk forskning". I Sigma, som finns på de flesta bibliotek (sex blåa band) finns en artikel av W. W. Rouse Ball som handlar om sådana räknemästare. (Balls artikel har fått den svenska titeln "Matematiska underbarn", men den inledande kommentaren har rubriken "Lärda idioter".) Så här skriver Ball om George Parker Bidder (1806-1878), som själv redogjorde för sina metoder:

"Under sina uppvisningar ställdes Bidder ofta inför frågor om kvadratrötter och kubikrötter, och längre fram även om rötter av ännu högre grad. Att han omedelbart kunde ge svaren framkallade odelad förvåning hos ett okritiskt auditorium, men om svaret är ett heltal är detta ett rent konstgrepp som var och en kan lägga sig till med . . .

Han ombads att söka kvadratroten ur 337561. Det är tydligt att svaret är ett tresiffrigt tal. Eftersom det givna svaret ligger mellan 5002 eller 250000 och 6002 eller 360000, måste rotens siffra vara 5 . . . de enda tvåsiffriga tal vars kvadrat slutar på 61 är 19, 31, 69 och 81; detta faktum var välbekant för honom. Därav följde att svaret var 519, 531, 569 eller 581 . . . eftersom 581 stod i nästan samma förhållande till 500 och 600 som 337561 till 250000 och 360000, så måste svaret vara 581, ett resultat som han förvissade sig om på några sekunder genom direkt multiplikation."

För högre rötter blir det mycket enklare, bland annat kan man bestämma femte roten av ett femtonsiffrigt tal "på ett ögonblick".

Hjalmar Rosengren


13 september 1998 23.57.56
Hej! Jag har två uttryck som jag skulle vilja ha förenklade med hjälp av räknelagarna i booleska algebra. Uttrycken är 1) ae + abc´d + bc´e´ 2) a´bc´+ a´bd´+ cd Tack på förhand.
Mats

Svar:

Jag har hittat de enklare uttrycken

ae + abc'd + bc'e' = ae +bc'e',

a'bc' + a'bd' + cd = a'b + cd.

Jag känner inte till något sätt att systematiskt förenklar booleska uttryck (när jag skriver detta har jag vetat vad en booelsk algebra är i cirka 10 minuter). Jag tolkade variablerna som mängder, gånger som snitt och summa som union och ritade sedan in den mängd som beskrivs av uttrycken i ett Venn-diagram. Sedan var det lätt att gissa de förenklade uttrycken.

För att visa ovanstående enbart med hjälp av räknelagarna för boolesk algebra, skriv till exempel

ae + abc'd + bc'e' = ae + abc'd(e+e') + bc'e' = ae + abc'de + abc'de' + bc'e' = ae(1+bc'd) + bc'e'(1+ad) = ae + bc'e',

där jag i första steget använde e+e' = 1, i sista steget 1+x = 1 för alla x. Även för att hitta beviset hade jag god hjälp av att tolka variablerna som mängder.

För den andra likheten, skriv

a'bc' + a'bd' + cd = a'b(c'+d') + cd = a'b(c'+d') + cd(a'b+1) = a'b(c'+d'+cd) + cd = a'b + cd,

där jag i sista steget använde att (cd)' = c'+d', och alltså c'+d'+cd = 1.

Hjalmar Rosengren


13 september 1998 18.12.22
Jag har hört ett berömt fall som heter på franska "sans pioide" (sv. utan pi). Där en kub i ett ortogonaliskt koordinatsystem xyz placeras så att mittpunkten hamnar i origo. Därefter svarvas kuben runt x-axeln så att den blir rund med så stor omkrets som möjligt. Därefter runt de andra axlarna lika mycket. Så småningom får man en kuddliknande form som man då ska beräkna volymen på. Eftersom man har svarvat kuben rund runt de olika axlarna kunde man förvänta sig att pi borde ingå i volymen. Men pi föll ut ur beräkningarna, således kallades detta för en "sans pioide" Jag skulle väldigt gärna vilja att någon ställde upp lösningen till detta så att jag kan lära mig detta intressanta fall. Tack. Svara gärna till: magnifique@hotmail.com
Magnus

Svar: Se Steinmetz Solid för en härledning. Volymen finns angiven i formel 20 på den sidan.

Kjell Elfström


13 september 1998 15.56.16
Kan alla jämna tal (förutom 2) skrivas som summan av två primtal?
Niklas Wahlström

Svar:

Detta brukar kallas Goldbachs förmodan, och är ett av matematikens mest kända olösta problem. Se avsnittet Goldbach Conjecture i Eric's Treasure Trove of Mathematics.

Hjalmar Rosengren


12 september 1998 19.36.26
Jag undrar hur man med bara papper och penna kan räkna ut roten ur någonting. T.ex kvadratroten ur 28. Jag vill inte behöva prova mig fram, t.ex.:"det måste vara mer en 5 och mindre än 6..." Sen undrar jag om du/ni vet hur datorer räknar roten ur? Den räknar ju med binära tal. Och den kan ju bara räkna addition i gunden (eller hur?). !OBS! Jag har läst andra frågor här, och då nämns kedjebråk. Jag har inte den minsta aning vad det är. Tacksam för svar! jimih@hem2.passagen.se
Jimi Hullegård

Svar:

Den smidigaste metoden att beräkna kvadratrötter för hand är kanske Newton-Raphsons metod, se frågan 31 mars 1997 11.44.13. Se också frågan 1 maj 1998 23.52.25, för den metod du inte vill använda. Frågor om hur datorer arbetar faller utanför vårt område. Vad ett kedjebråk är förklaras i frågan 26 november 1997 12.59.06, för kedjebråksutvecklingar av kvadratrötter se också frågan 7 september 1998 23.48.15.

Hjalmar Rosengren


12 september 1998 10.23.22
Hur bevisar man att x^2 -> 4, då x -> 2?
Martin

Svar:

Detta är ett specialfall av den grundläggande gränsvärdeslagen

Om f(x) går mot A och g(x) går mot B så går f(x)g(x) mot AB,

där x går mot något tal a. Sätt nämligen f(x) = g(x) = x och a = 2 så får du påståendet.

Om du vill härleda gränsvärdet direkt ur definitionen, tag e > 0 godtyckligt. (Vanligtvis använder man den grekiska bokstaven epsilon.) Vi måste visa att det finns ett tal d > 0 (delta) så att

|x-2| < d medför |z2-4| < e.

Enligt triangelolikheten är

|z2-4| = |(x-2)(x+2)| = |x-2||x-2+4| <= |x-2|(|x-2|+4) < d(d+4) < 5d

om |x-2| < d och d < 1. Man kan alltså exempelvis välja d som det minsta av talen e/5 och 1.

Hjalmar Rosengren


11 september 1998 19.18.40
Fråga angående regression av statistiska data till polynom av grad 2. Vanligtvis löses ju problem av denna typ mha minsta kvadratmetoden, men denna har en tendens att bli lite komplicerad. Om man i stället skulle reducera funktionen till linjär modell blir allt lättare. Ett sätt att göra detta vore att "derivera" datamängden, vilket kan göras om man betänker att lutningsvärden i och mellan y-punkterna kan interpoleras fram. Sedan anpassas den nya datamängden till linjär modell och integreras. Y-intercepten (integrationskonstanten) fås då t ex genom att ta fram medelavståndet mellan den primitiva funktionen och datamängdens y-del. Funktionen som då erhålles approximerar ett samband mellan datmängdens x- respektive y-värden. Denna algoritm kan utföras för hand. Min fråga är: existerar denna metod redan? Jag har talat med en lektor i matematisk statestik vid Mälardalens högskola och han hade inte hört talas om den. Tacksam för svar. (Mer info: http://home.bip.net/baxtrom/)
Baxtröm

Svar:

Tyvärr känner jag inte till om någon annan har använt samma metod. Minsta kvadratmetoden har ju fördelen att det är klart vilket andragradspolynom man hittar, nämligen det som minimerar summan av kvadraterna på felen. De som har anledning att intressera sig för den här typen av problem räknar dessutom sällan för hand.

Hjalmar Rosengren


11 september 1998 12.16.51
Vad står dessa egyptiska siffror:´´I
Johan Nordberg

Svar:

Se svaret på frågan 6 maj 1998 19.43.47.

Hjalmar Rosengren


10 september 1998 22.48.36
Hej Kan någon av er förklara vad "Geometry of Euclidean Spaces" är för något?
Peter Langenius

Svar:

Det är den vanliga geometrin som man lär sig i skolan. Mer precist studerar man i skolan det två- och tredimensionella euklidiska rummet. På 1800-talet insåg man att euklidisk geometri bara är en av många möjliga geometrier, som till exempel elliptiska och hyperboliska geometrier. Det finns också riemanngeometri där man studerar rum som kan ha till exempel en elliptisk geometri i vissa områden och hyperbolisk geometri i andra. Vidare kan man studera geometri (både euklidisk och icke-euklidisk) i högre dimension än 3, se till exempel frågan 8 september 1998 15.51.45. I Einsteins allmänna relativitetsteori beskrivs universum som en "fyrdimensionell pseudoriemannsk mångfald", vilket betyder att det har helt andra geometriska egenskaper än det tredimensionella euklidiska rummet, se frågan 25 augusti 1998 11.06.37.

Hjalmar Rosengren


10 september 1998 20.52.58
Hejsan! Gäller följande bevis för cirkelns area? Omkretsen = 2rpi Om man delar upp omkretsen i q segment och låter q gå mot oändligheten, och sedan beräknar arean av varje "treangel" som uppkommer får man följande: 2rpi / q / 2 *q * r = A där A är cirklens area och q går mot oändligheten. Detta ger: 2r^2pi/2 = A r^2pi = A A = r^2pi, VSB! Stämmer detta? finns det något annat bevis för cirkelns area?
Gustav

Svar:

Beviset bygger på att du delar in cirkeln i q stycken sektorer och sedan approximerar varje sektor med en triangel med (basen = sektorns båglängd) och höjden r. Väsentligen kan man göra så, men man måste också uppskatta felet som uppstår vid varje approximation. Visserligen blir felet för varje triangel litet då q är stort, men det totala felet blir ju summan av q stycken sådana små fel. Därför är det inte uppenbart att det totala felet går mot 0 då r går mot oändligheten (men det går att bevisa).

Ett annat sätt är att räkna ut en integral, se frågan 18 augusti 1998 22.12.11. Där påpekas också att man kan definiera pi som arean av en cirkel med radie 1, vilket omedelbart ger formeln för cirkelns area. Det är bara om man tidigare definierat pi som halva omkretsen som man behöver utföra något arbete.

Hjalmar Rosengren


10 september 1998 20.40.54
Hur löser jag denna integral? Jag vet inte vilken metod jag ska välja. Integralen av 1/(1+e^x) dx
Peter Bengtsson

Svar:

Gör variabelsubstitutionen t = ex. Det leder till integralen av 1/(t(t+1)). Gör sedan en partialbråksuppdelning:

1/(t(t+1)) = 1/t-1/(t+1),

och man ser den primitiva funktionen ln(t)-ln(t+1). Nu skall vi sätta t = ex, vilket ger lösningen x-ln(ex+1) till det ursprungliga problemet.

Hjalmar Rosengren


10 september 1998 19.42.23
Hej! Hur löser man följande uppgifter: 1. lim.h->2 (1/3-2/3h)/(h-2) Facit säger att svaret skall bli 1/6, men om jag ritar upp grafen på en miniräknare så finns det inget gränsvärde. Hur löser man fråga 2 och 3 utan att använda sig av L'Hôpitals metod? 2. lim.h->0 (((27+h)^(1/3)-3)/h) 3. lim.x->1 ((x^(n)-1)/(x-1)) Tacksam för svar. Mvh/Andreas
Andreas Karlsson

Svar:

I det första uttrycket kan täljaren skrivas om som

(1/3-2/(3h)) = (h-2)/3h.

Alltså är hela uttrycket lika med 1/(3h), vilket mycket riktigt går mot 1/(3*2) = 1/6 då h går mot 2.

De andra två gränsvärdena kan man beräkna med hjälp av Taylorutveckling, men vill du inte använda L'Hospitals regel så vill du förmodligen inte heller använda Taylors formel.

I stället kan man i det första uttrycket använda regeln

(a-b) = (a3-b3)/(a2+ab+b2),

vilket är en motsvarighet till konjugatregeln för tredjepotenser. Detta ger

((27+h)1/3-3)/h = 1/((27+h)2/3+3(27+h)1/3+9).

Nu kan man stoppa in h = 0 i högerledet och får gränsvärdet

1/(272/3+3*271/3+9) = 1/27.

Vad gäller det sista gränsvärdet antar jag att n är ett positivt heltal. I så fall känner man igen uttrycket som formeln för en geometrisk summa:

(xn-1)/(x-1) = 1+x+x2+ . . . +xn-1.

Här består högerledet av n stycken termer som alla går mot 1då x går mot 1. Gränsvärdet är alltså n.

Hjalmar Rosengren


10 september 1998 15.51.36
Ett problem som jag stötte på för länge sedan och som jag tror var olöst då löd: Låt a(n) vara ett positivt heltal Bilda talföljden a(n+1)=a(n)/2 om a(n) är jämnt annars så är a(n+1)=3a(n) + 1 Oavsett värde på starttalet a(1) så verkar det som om talföljden så småningom hamnar i "loopen" 1, 4, 2, 1, 4, 2 ...... Är det bevisat att så är fallet eller finns motexempel??
Hans Särngren

Svar:

Detta är det berömda "(3x+1)-problemet". Det är fortfarande olöst (om det inte lösts mycket nyligen). Se artikeln Collatz problem (som problemet också kallats) i Eric's Treasure Trove of Mathematics. Testa vad som händer om du börjar med a(1) = 27!

Hjalmar Rosengren


10 september 1998 12.16.44
Hej! Hur härleder man cirkelns ekv x^2 + y^2 = r^2 ur approximationen a + bx + cy = x^2 + y^2 ??
Lillemor

Svar:

Jag förstår inte vad du menar med att den andra ekvationen skulle vara en "approximation" till den första. Den första ekvationen beskriver en cirkel med centrum i origo och radie r (såvida inte r = 0, vilket bara ger punkten origo). För att se vad den andra ekvationen har för geometrisk tolkning kvadratkompletterar vi, det vill säga skriver

x2 -bx = (x-b/2)2-b2/4,

och på samma sätt för y. Den andra ekvationen kan då skrivas som

(x-b/2)2+(y-c/2)2 = a+b2/4+c2/4.

Vi ser att om höger led är positivt är detta en cirkel med centrum (b/2,c/2) och radie (a+b2/4+c2/4)1/2. Om höger led är 0 får vi bara punkten (b/2,c/2), och om höger led är negativt saknas lösningar.

Hjalmar Rosengren


9 september 1998 20.52.19
Hur bevisar man klotets volym? V = (4pi*r^3)/3 ?
Gustav

Svar:

Det lättaste är att räkna ut volymen med hjälp av en integral. Grafen till f(x) = (1-(x / r)2)1/2 , där -r < x < r, är en halvcirkel (vilket följer till exempel av Pytagoras sats). Om man roterar halvcirkeln runt x-axeln får man ett klot med radien r. Enligt en formel för volymen av en rotationskropp är

volymen = pi * integralen[-r till r] f(x)2 dx = pi * integralen[-r till r] (1-(x / r)2) dx = pi * 4r3/3.

Man kan också räkna ut volymen genom att skiva klotet i tunna skivor och sedan approximera varje skiva med en cylinder. Detta är också hur man visar formeln för volymen av en rotationskropp som användes ovan.

Hjalmar Rosengren


9 september 1998 20.51.20
Vad är det som skiljer mellan en tvådimensionell kub och en tredimensionellkub? I ett x,y koordinatsystem kan man ju rita vertkala,horisonetella och vinklade linjer, vilket skapar en kub, detta trots att man bara anvämnt sig av två dimensioner. Om man istället ritar kuben i ett tre dimensionellt koordinatsystem, med x,y,z "plattas" kuben i föregående exempel ihop, och istället måste kuben anta sin höjd i z-led...Men båda figuererna är ju kuber, alltså räcker det med två dimensioner för att rita en kub... Följdfråga: Om man tillför ytterliggare en dimension (t), och delar upp den i två subdimensioner (t1,t2), kommer kuben att röra sig fram och tillbaka, likt en "videoinspelning" som man spolar fram och tillbaka. Frågan är nu, vad skulle hända med kuben om man utvidgade tidsdimensionerna till tre (t1,t2,t3), dvs tiden skulle kunna röra sig i olika "led" eller "plan2"??
Tetris

Svar:

En kub är ett tredimensionellt objekt. Om du ritar en bild av en kub i två dimensioner så är bilden inte en kub utan en bild av en kub. Om du tar ett fotografi av en staty så blir ju fotografiet platt även om statyn är tredimensionell.

Den andra frågan begriper jag tyvärr inte.

Hjalmar Rosengren


9 september 1998 20.06.32
Hur löser man olikheten ? 1/(4x^2-1) => 1/(x^2-4) Med ^menar jag upphöjt
Anders Eriksson

Svar:

Olikheten kan man lösa på många sätt. Ett sätt är att börja med att flytta över allting på vänster sida och sedan sätta allt på gemensamt bråkstreck. Detta ger

-3(x2+1)/((4x2-1)(x2-4)) >= 0.

Eftersom faktorn (x2+1) alltid är positiv så är detta ekvivalent med att nämnaren är negativ, det vill säga

(4x2-1)(x2-4) < 0.

Om x2 > 4 så är båda faktorerna positiva så olikheten är falsk. Om 1/4 < x2 < 4 så är den första faktorn negativ och den andra positiv, så olikheten är sann. Om slutligen x2 < 1/4 så är båda faktorerna negativa och olikheten falsk. Olikheten är alltså ekvivalent med att

1/4 < x2 < 4.

Här är den vänstra olikheten ekvivalent med att x > 1/2 eller x < -1/2. Den högra olikheten är ekvivalent med att -2 < x < 2. Svaret blir alltså

-2 < x < -1/2 eller 1/2 < x < 2.

Hjalmar Rosengren


9 september 1998 08.35.26
Tjena! Jag undrar om det är en slump att månadernas dagantal stämmer med knogarna, eller att månadens dagar är utlagda efter knogarna? Tacksam för svar. Bob
Bob Swartzon swartzon@hotmail.com

Svar:

Det här ingen matematisk fråga. Min amatörmässiga gissning är att det är en slump eftersom kalendern har ändrats många gånger, bland annat var mars tidigare den första månaden.

Hjalmar Rosengren


8 september 1998 21.18.42
Hej. Jag vet att förstaderivatan f'(x), uttalas f prim av x, samt att andraderivatan f''(x) uttalas f bis av x. Men tredjederivatan f'''(x), och fjärdederivatan.....osv. Vilka uttalsregler följer dem. Om man nu har speciella "namn" på dem.
Andreas

Svar:

Nej, jag känner inte till några sådana namn. Man skriver oftast f (3)och inte f'''.

Hjalmar Rosengren


8 september 1998 21.00.19
Hur ser en regelbunden tiohörning ut? Hur stor är arean om sidlängden är 8,9 cm?
Kristin Eriksson

Svar:

En bild på en regelbunden tiohörning finns i avsnittet Decagon i Eric's Treasure Trove of Mathematics. Där finns också två formler för arean, men båda är felaktiga. Jag har meddelat Eric och han har lovat att rätta till felet. Genom att dra diagonaler från varje hörn till det motsatta hörnet delar man upp tiohörningen i tio triangelformade "tårtbitar". Sedan kan man dela varje tårtbit på mitten vilket ger 20 rätvinkliga trianglar (rita en bild!). Eftersom de 20 vinklarna som bildas i mitten av tiohörningen tillsammans är ett helt varv är var och en av dem ett 20-dels varv, dvs (pi)/10 radianer. Om tiohörningens sida är s så är motstående katet s/2. Då är den närliggande kateten (s/2)*cot(pi/10) (cot betyder cotangens, det vill säga cot(x) = cos(x)/sin(x)). Var och en av de rätvinkliga trianglarna har då arean

(1/2)*(s/2)*(s/2)*(cot(pi/10))= s2*cot(pi/10)/8.

Eftersom 20 sådana trianglar bygger upp tiohörningen är dess area

20*s2*cot(pi/10)/8 = 5*s2*cot(pi/10)/2.

För s = 8,9 cm blir arean ungefär 609 cm2. Man kan också visa att

cot(pi/10) = (5+2*51/2)1/2,

till exempel genom att först visa att båda sidor löser samma tredjegradsekvation.

Hjalmar Rosengren


8 september 1998 20.44.00
Varför har ljuset just den hastighet den har, varför just denna konstant? Hmm... Anledningen till att allt som rör sig relativt till ljuset kröks med tiden beror ju på att ljusets hastighet är konstant, men varför just denna ´hastighet och när fick ljuset denna hastighet??
Tetris

Svar:

Även detta är en fysikfråga. Se svaret på frågan nedan.

Hjalmar Rosengren


8 september 1998 20.42.13
Ursäkta, kanske en fråga som berör fysiken, men deras avdelning har ju "stängt" så... Om universum bara är 16 miljarder år gammalt, hur kan det komma sig att det tar långt mer än 20 miljarder år för en ljusstråle att färdas från den ena puntken av universum till den andra? Enligt einstein kan ju inget färdas fortare än ljuset, men om universum nu består av många miljarder galaxer, hur kan allt detta skett på 16 miljarder på, då våran planet är 5 miljarder år gammal? Det kunde stämma om bara universum bestått av Vintergatan, men om mab börjar komma upp i hundratalsmiljoner galaxer...? Om den mängd energi som fanns i BigBang omvandlades till alla de stjärnor och galaxer vi har idag, ja all materia i huvudtaget, så kan ju inte universum vara oändligt...
Tetris

Svar:

Om du inte orkar vänta på att Fråga vetenskapen om fysik öppnar, kan du försöka med Fråga en astronom, Ask an Astronomer, Kunskapsbanken eller Ask a Physicist.

Hjalmar Rosengren


8 september 1998 20.32.58
Finns det någon formel för beräkning av alla primtal?
Mengele

Svar:

Det finns formler för det n-te primtalet, men de används inte i praktiken. Se avsnittet Prime Number i Eric's Treasure Trove of Mathematics. Observera att vissa av dessa formler är helt elementära, det vill säga de innehåller inga gränsvärden utan bara ändligt många summor och produkter.

Hjalmar Rosengren


8 september 1998 20.31.34
Många säger att följande ekvation inte gåt att lösa: X^2 = (-36) Men titta: (X^2)^2 = (-36)^2 X^4 = 1296 X = (1296)^(0.25) X = 6! Vad ligger felet någonstans?
Gustav

Svar:

Jag numrerar dina ekvationer:

(1) X2 = -36,

(2) (X2)2 = (-36)2,

(3) X4 = 1296,

(4) X = 12961/4,

(5) X = 6.

När man löser ekvationer på det här sättet måste man i varje steg kontrollera att ekvationerna är ekvivalenta, det vill säga att (1) medför (2) och att (2) medför (1), att (2) medför (3) och att (3) medför (2) och så vidare. I annat fall kan man dels få "falska" lösningar, det vill säga den sista ekvationen har lösningar som inte är lösningar till den första, dels kan man "tappa" lösningar, det vill säga den första ekvationen har lösningar som inte är lösningar till den sista.

I det här fallet är steget mellan (1) och (2) felaktigt. Det är sant att (1) medför (2), men inte att (2) medför (1). Två tal kan nämligen ha samma kvadrat utan att vara lika. Till exempel är 12 = (-1)2.

Vidare är steget mellan (3) och (4) felaktigt. Här upphöjer du båda leden till 1/4, men det kan man bara göra för positiva tal. Det är sant att (4) medför (3), men inte att (3) medför (4).

.Jag skriver upp lösningarna till dina ekvationer, så förstår du kanske felen bättre. I steget från (1) till (2) får du 2 falska lösningar, och i steget från (3) till (4) tappar du en av dessa.

Ekvation (1) : ingen lösning

Ekvation (2) och (3): två lösningar, X = 6 och X = -6

Ekvation (4) och (5): en lösning, X = 6.

Hjalmar Rosengren


8 september 1998 15.51.45
Hur många hörn,kanter,sidor,volymeroch hyper-volymer har var och en har de regelbundna generaliserade platonska hyper-kropparna in en euklidisk 4-dimensionell rymd (hyperkub,etc) ? Hur stor hyper-volym har de uttryckt i : a)kantlängden (s) b)inskrivna hyper-klotets radie (r) ?
Stefan Ljungstrand

Svar:

Generaliseringar av de platonska kropparna till flera dimensioner kallas konvexa regulära polytoper. I tre dimensioner finns det som bekant fem stycken. I fyra dimensioner finns det sex stycken, men i fem eller fler dimendioner bara tre stycken. Boken Regular polytopes av H. S. M. Coxeter avslutas med ett antal tabeller som innehåller allt du frågar efter och mycket mer. Är du intresserad av polytoper så titta på avsnittet Polyhedra and polytopes i The Geometry Junkyard.

1. Simplex. Ett fyrdimensionellt regulärt simplex har 5 hörn, 10 kanter, 10 sidor och 5 celler (jag kallar de tvådimensionella sidorna "sidor" och de tredimensionella sidorna "celler"). Cellerna är tetraedrar. Om s är kantlängden så är (den fyrdimensionella) volymen V = 51/2 s4/96. Om r är det inskrivna (fyrdimensionella) klotets radie så är s = 2*101/2 r. Kombinera dessa formler för att få V uttryckt i r.

2. "Cross polytope". Vad detta kan heta på svenska vet jag inte, men den har i alla fall 8 hörn, 24 kanter, 32 sidor och 16 celler. Cellerna är tetraedrar. V = s4/6 och s = 2*21/2r.

3. Hyperkub eller tessarakt. En fyrdimensionell hyperkub har 16 hörn, 32 kanter, 24 sidor och 8 celler. Cellerna är tredimensionella kuber. V = s4 och s = 2r.

4. En polytop med 24 hörn, 96 kanter, 96 sidor och 24 celler. Cellerna är oktaedrar. V = 2s4 och s = 21/2r.

5. En polytop med 120 hörn, 720 kanter, 1200 sidor och 600 celler. Cellerna är tetraedrar. V = 25t3s4/4 och s = 2*21/2r/t3, där t är det gyllene snittet: t = (51/2+1)/2.

6. En polytop med 600 hörn, 1200 kanter, 720 sidor och 120 celler. Cellerna är dodekaedrar. V = 15*51/2t8s4/2 och s = 2/t4, där som ovan t = (51/2+1)/2.

Observera att för alla de sex polyedrarna är

antalet hörn + antalet sidor = antalet kanter + antalet celler

i enlighet med (den fyrdimensionella motsvarigheten till) Eulers berömda sats.

Hjalmar Rosengren


8 september 1998 09.15.38
I spelet Keno består speltalongen av numren 1 - 70. Spelaren kan välja att kryssa för minst 2 nummer och högst 10 nummer. Vid dragningen dras 20 nummer av de 70. Om man kryssat för 2 nummer och dessa finns bland de 20 dragna vinner man lägsta vinstsumman.Enligt en folder från Svenska Spel är sannolikheten för detta 1 på 13. Hur beräknas denna sannolikhet?
Clas Wallin

Svar:

Sannolikheten är antalet "gynnsamma" dragningar delat med antalet möjliga dragningar. Antalet möjliga dragningar är antalet sätt att välja 20 element ur en mängd med 70 element (vi tar ingen hänsyn till i vilken ordning numren dras). Detta antal ges av binomialkoefficienten "70 över 20", se svaret på frågan 29 april 1998 14.39.37. Antag nu att du har valt två nummer. Hur många gynnsamma  dragningar finns det då? Jo, dina två nummer måste finnas med, och övriga 18 nummer kan väljas fritt bland de 68 nummer som du inte valt. Antalet gynnsamma dragningar är alltså "68 över 18". Formeln för binomialkoefficienterna (se samma svar som ovan) ger sannolikheten

(68 över 18)/(70 över 20) = (20*19)/(70*69) = 0,0786. . .,

alltså cirka 7,9 procents chans. Detta kan jämföras med

1/13 = 0,0769. . .,

så sannolikheten är något större än vad Svenska Spel påstår.

Hjalmar Rosengren


8 september 1998 00.02.43
Hur bevisar man de Moivras formel? cos(nx)+isin(nx)=(cos x+isinx)^n Euler har ett bevis för att e^xi=cos x+isin x, men han utgick ifrån the Moivras formel för att bevisa den. Hur gjorde de Moivras?
Dennis Eriksson Nv2A Rudbecksskolan Örebro

Svar:

De Moivres formel följer ur den geometriska tolkningen av multiplikation av komplexa tal. Talet cos x +i sin x har beloppet 1 och argumentet x. Då har (cos x +i sin x)n beloppet 1 och argumentet nx. Alltså är detta tal lika med cos nx +i sin nx.

I boken A History of Mathematics av Carl B. Boyer och Uta C. Merzbach står det på tal om De Moivres arbeten

The well-known De Moivre's theorem . . . is not explicitly given, but it is clear . . . that the author was quite familiar with this relationship. . .

Alltså vet man förmodligen inte hur De Moivre hittade "sin" formel. Man bör ha klart för sig att man på den tiden hade mycket vaga begrepp om de komplexa talen. Enligt samma källa var den förste som tolkade komplexa talen som punkter i ett plan dansken Caspar Wessel 1798. Moivre dog 1754.

Hjalmar Rosengren


7 september 1998 23.48.15
Hejsan, jag är insatt i vad ett kedjebråk och vad ett irrationellt kedjebråk är. Vad jag inte förstår är hur jag ska kunna få ett tal som t.ex. 3^.5 till ett kedjebråk. Jag har gjort några enkla egna formler; (a)^.5=(a-1)^.5;2(a-1)^.5, varav termen efter semikolonet fortsätter i all oändlighet. Ur denna får jag sedan: (a^2+1)^.5=a;2a, varan termen efter semikolonet fortsätter i all oändlighet. Jag har gjort några egna försök, formlerna ovan är några, med att omvandla kvadratrötter till kedjebråk. Formlerna ovan funkar dock inte alltid. Jag utgick ifrån: x^2+px+q=0 Då är x=-p/2+-(p^2/4-q)^.5 Då är x=-q/x-p om jag sätter q=-1 blir det ganska enkelt, och jag gör en iteration. p sätter jag som -2(a-1)^.5, då får jag ovanstående formler. Men hur gör jag med alla andra tal? (3)^.5? Grekerna hade tydligen en metod som hette anthyphairesis. Snälla hjälp, jag har inte tillräckliga kunskaper själv för att lösa detta, och ingen gymnasielärare kan det heller.
Dennis Eriksson, Nv2A, Rudbecksskolan Örebro

Svar:

Jag tycker det är imponerande att du hittat kedjebråksutvecklingen av (a2+1)1/2 på egen hand. Kedjebråksutvecklingen till ett godtyckligt tal får man som i svaret till frågan 26 november 1997 12.59.06. Observera att detta är enkelt att utföra på miniräknare. För att kedjebråksutveckla pi inser man först att utvecklingen börjar på 3. Då räknar man ut pi-3 och trycker på "1 genom", vilket ger 7,06. . . . Sedan trycker man först -7, sedan "1 genom" vilket ger 15,996. . . . Sedan -15 och "1 genom" vilket ger 1,003. . . . Sedan -1 och "1 genom", ger 292,646. . . Kedjebråksutvecklingen börjar alltså som

pi = 3+1/(7+1/(15+1/(1+1/ (292+1/. . . ).

Denna metod ger dock inte alla termer utan bara ändligt men godtyckligt många.

För tal av formen (a+b1/2)/c, där a, b och c är heltal är kedjebråksutvecklingen periodisk och man kan få en sluten formel för hela utvecklingen. Det lättaste sättet att få fram den är förmodligen att räkna ut ett antal termer som ovan och sedan gissa sig till hur följden fortsätter. Sedan kan man verifiera i efterhand att man gissat rätt.

Vill man arbeta mer systematiskt, till exempel om man vill skriva ett datorprogram, kan man organisera räkningarna som i boken An Introduction to the Theory of Numbers av Niven, Zuckerman och Montgomery. Jag skriver inte upp beviset för att detta fungerar, men det är inte särskilt svårt.

Antag alltså att vi vill kedjebråksutveckla x = (a+b1/2)/c. Vi kan anta att a, b och c inte är negativa, samt att c delar b-a2, för i annat fall kan vi åstadkomma detta genom att multiplicera med c eller -c i täljare och nämnare. Sätt

a0 = a, c0 = c, d0 = [x],

a1 = d0c0-a0, c1 = (b-(a1)2)/c0, d1 = [(a1+b1/2)/c1],

a2 = d1c1-a1, c2 = c0+d1(a1-a2), d2 = [(a2+b1/2)/c2],

a3 = d2c2-a2, c3 = c1+d2(a2-a3), d3 = [(a3+b1/2)/c3], . . .,

ai+1 = dici-ai, ci+1 = ci-1+di(ai-ai+1), di+1 = [(ai+1+b1/2)/ci+1],. . .

Så småningom kommer man fram till en situation där paret (ak,ck) har förekommit tidigare, låt oss säga (ak,ck) = (aj,cj) för j < k. Då kan vi stoppa. Kedjebråksutvecklingen (i din notation) är då

d0; d1, . . ., dj-1, dj, . . ., dk-1, dj, . . ., dk-1, dj, . . .

där man alltså har en period av längd k-j. Låt oss tillämpa dessa formler på ditt exempel 31/2. Då kan vi sätta a = 0, b = 3, c = 1. Vi kollar att villkoret c delar b-a2 är uppfyllt och startar sedan räkningarna. Vi finner att a0 =0, c0 = 1, d0 = 1, a1 = 1, c1 = 2, d1 = 1, a2 = 1, c2 = 1, d2 = 2, a3 = 1, c3 = 2. Nu kan vi stoppa, för (a1,c1) = (a3,c3). Alltså är

31/2 = 1;1,2,1,2,1,2,1,2, . . . = 1+ 1/(1+1/(2+1/(1+1/(2+1/(1+1/(2+ . . .

Slutligen vill jag anmärka att om x är roten ur ett heltal (och inte själv är ett heltal), så har x en kedjebråksutveckling av formen

x = d0; d1, . . ., dn, 2d0, d1, . . ., dn, 2d0, . . .

där följden d1, . . ., dn är ett "palindrom" dvs ser likadan ut om man läser den baklänges. Till exempel har man

191/2 = 4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, . . .

531/2 = 7; 3, 1, 1, 3, 14, . . .

Hjalmar Rosengren


7 september 1998 20.46.46
Hej igen! Hur gör man för att bevisa att 4*6^n+1 är ej delbart med 10 med hjälp av induktion?
Andreas

Svar:

Talet är uppenbart udda och alltså inte delbart med 10. Varför du vill använda induktion förstår jag inte.

Hjalmar Rosengren


7 september 1998 18.10.43
Hej! Jag har problem med ett par uppgifter, och är tacksam om jag kan få er hjälp! Hur löser man olikheten? |x²-5|<4 Jag undrar också hur man löser ekvationen: x³+ 9x²-x -105 = 0 Tack!
Helena Larsson

Svar:

Olikheten kan lösas på flera sätt. Man har stor hjälp av att rita grafen till funktionen f(x) = x2-5 och resonera utifrån denna. Observera att |a-b| geometriskt betyder avståndet mellan punkterna a och b på tallinjen. Olikheten säger alltså att avståndet från x2 till 5 är högst lika med 4, det vill säga att x2 ligger mellan 5-4 = 1 och 5+4 = 9, det vill säga att

1 < x2 < 9.

Den vänstra olikheten är ekvivalent med att x > 1 eller x < -1. Den högra är ekvivalent med att x < 3 och x > -3. Tillsammans ger detta att olikheten är ekvivalent med -3 < x < 1 eller 1 < x < 3.

Om man inte vill använda lösningsformeln för en tredjegradsekvation får man gissa ett nollställe. I det här fallet är det enklast att gissa lösningen x = 3. En polynomdivison ger

x3+ 9x2-x -105 = (x-3)(x2+12x+35).

På vanligt sätt får man att nollställena till andragradsfaktorn är -7 och -5. Den ursprungliga ekvationen har alltså lösningarna -7, -5 och 3.

Hjalmar Rosengren


7 september 1998 14.29.27
Hur bevisar man följande med indirekt bevisföring: Om n^2 är delbart med 3 => n är delbart med 3?
Andreas

Svar:

Som alltid beror valet av bevis på vad man vill använda sig av. Om man känner till att varje tal kan skrivas entydigt som produkt av primtal (detta brukar kallas aritmetikens fundamentalsats) så följer påståendet omedelbart. Ty man får primtalsfaktoriseringen av n2 genom att kvadrera faktoriseringen av n. Speciellt ingår samma primtal i de båda faktoriseringarna.

Om man inte vill använda aritmetikens fundamentalsats kan man använda Euklides algoritm. Nu passar det bra med indirekt bevisföring (motsägelsebevis). Antag alltså att n2 men inte n är delbart med 3. Enligt Euklides algoritm finns det tal a och b så att

an+3b = 1.

Multiplicera denna ekvation med n, ger

an2+3bn = n.

Nu är enligt våra förutsättningar vänster men inte höger led delbart med 3, vilket ger en motsägelse.

Om man inte heller vill använda Euklides algoritm kan man ge ett elementärt bevis så här. Antag att n inte är delbart med 3. Då ger n antingen resten 1 eller resten 2 vid divison med 3, så det finns ett heltal k så att någon av ekvationerna

n = 3k+1,

n = 3k+2

gäller. Enligt första kvadreringsregeln är då

n2 = 9k2+6k+1 = 3(3k2+2k)+1 respektive

n2 = 9k2+12k+4 = 3(3k2+4k+1)+1,

n2 ger resten 1 vid division med 3 och är alltså inte delbart med 3.

Hjalmar Rosengren


6 september 1998 19.31.55
Vad heter "Knot Theory" på svenska? "Knopteori" eller "knutteori"?
Bengt Månsson

Svar:

Jag tror att "knutteori" är den enda förekommande benämningen.

Hjalmar Rosengren


6 september 1998 14.56.59
Hjalmar Rosengren: Simons Singhs bok heter på svenska Fermats gåta (Norstedts förlag).
Karl-Erland Strand, Halmstad

Svar:

Tack för upplysningen.

Hjalmar Rosengren


6 september 1998 09.40.21
Kan ni förklara induktionsbevis? Ställ gärna upp ett exempel.
Johan Almqvist

Svar:

Se svaret på frågan 7 april 1998 22.23.31.

Hjalmar Rosengren


5 september 1998 18.44.24
Kan man definiera 1/0 och vad blir det isf? Vilket är störst 1/0 el. 2/0?
Martin Lennartsson

Svar:

Nej, man brukar låta 1/0 och 2/0 vara odefinierade. Ett skäl till detta är att det inte går att definiera 1/0 så att vanliga räkneregler gäller. Om man satte 1/0 = a och sedan multiplicerade med 0 skulle man nämligen få 1 = 0.

Hjalmar Rosengren


5 september 1998 08.15.22
Hej ! Kan Du hjälpa mig att bevisa att van der Monds matris garanterar har en invers förutsatt att x0, x1 , ... , xn är olika? Van der Monds matris:

1 x0 x0^2 x0^3 ... x0^n

1 x1 x1^2 x1^3 ... x1^n

.. .. .. .. ... ... .. .. .. ... ... . .

1 xn xn^2 xn^3 ... xn^n

Tackar på förhand!
Kenneth Johansson

Svar:

En matris är inverterbar om och endast om determinanten är skild från 0. För Vandermondes matris kan man räkna ut determinanten explicit. Den är produkten av alla (xi-xj), där 0 <= i < j<= n (för n = 2 får man till exempel (x0-x1)(x0-x2)(x1-x2).) Speciellt är matrisen inverterbar då varje faktor i produkten är skild från 0, dvs då (och endast då) alla xi är olika.

Återstår att visa hur man räknar ut determinanten. Jag skisserar två bevis, som båda står som övningar i Lineär algebra av Karl Gustav Andersson.

Bevis 1: Subtrahera från varje kolonn, utom den första, föregående kolonn multiplicerad med x0. Utveckla därefter efter första raden. Bryt ut faktorerna (x0-x1), . . . , (x0-xn) från återstående rader. Detta leder till en Vandermondedeterminant av lägre dimension, så man kan använda induktion över n.

Bevis 2 (elegantare): Betrakta determinanten som funktion av x0. Av determinantens definition följer att den är är ett polynom i x0 av grad n. Detta polynom har nollställen x1, x2, . . . , xn, ty för x0 lika med något annat xi är två rader i matrisen lika. Alltså kan determinanten skrivas

C(x1, . . . ,xn)(x0-x1) . . . (x0-xn).

Funktionen C kan nu bestämmas genom att stoppa in x0 = 0. Återigen återförs vi på en Vandermondedeterminant av lägre dimension och kan använda induktion över n.

Hjalmar Rosengren


4 september 1998 22.11.04
Hur skulle ni lösa följande ekvation: aX^5 + bX^4 + cX^3 + dX^2 + eX + f = o där a,b,c,d,e,f är godtyckliga tal? Detta är en femtegradsekvation, finns det någon formel för att lösa en ekvation av n:te graden än?
Tetris

Svar:

Den norske matematikern Niels Henrik Abel visade 1824 att det inte finns någon formel för lösningarna till denna ekvation. Här betyder formel ett uttryck som är uppbygt med hjälp av de fyra räknesätten samt rotudragningar (kvadratrötter, kubikrötter och så vidare). Som du kanske vet finns det sådana formler för andra-, tredje- och fjärdegradsekvationen.

Charles Hermite visade dock att man kan utrycka lösningarna till femtegradsekvationen med hjälp av så kallade elliptiska funktioner.

Hjalmar Rosengren


4 september 1998 22.05.51
Hej igen... Om man har ett tredimensionellt tidsplan, och färdas tillbaka i tiden, till en viss "koordinat", och utför någon handling (tex om man skulle åka tillbaka i tiden och "skjuta" Hitler för att vara väldigt drastisk, ursäkta mig), kan ni berätta skillnaden mellan vad som skulle ske i ett sådant tredimensionellt tidsperspektiv mot ett ordinärt tvådimensionellt (alltså en "tidslinje" med en "framtid" och ett "förflutet")
Gustav

Svar:

Detta är en fråga för Fråga vetenskapen om fysik.

Hjalmar Rosengren


4 september 1998 22.03.02
Detta kanske är lite av en fysikfråga, men det berör ändå matematikens område... Om man släpper en sten, och låter den accelerera fritt med 9.82m/s^2, och det inte finns några friktionskrafter alls (all rörelseenergi som bildas tillförs föremålet), och detta föremål kan accelerera fritt, hur lång tid skulle det ta innan föremålet uppnådde 90% av ljushastigheten om man räknar med tidenkrökning (alltså från A-B till punkten C)... Kan man räkna ut det?
Gustav

Svar:

Det är nog säkrast att Fråga vetenskapen om fysik. Det verkar som du vill förutsätta att accelerationen för en fallande sten är konstant. Detta är dock orimligt. För det första: om stenen skall hinna nå upp till en så hög hastighet måste den börja sitt fall långt från jorden där tyngdaccelerationen är mycket mindre än 9,82 m/s2. För det andra: även om kraften hade varit konstant skulle inte accelerationen vara konstant. Ty accelerationen ges ju av kraften delat med massan, men enligt relativitetsteorin kommer stenens massa att öka då hastigheten ökar.

Hjalmar Rosengren


4 september 1998 21.20.30
vikt 112Ib = Kg ?? Längd 5;5"= Cm ??
Anders Wikström

Svar:

Enligt Norstedts lilla engelska ordbok är ett pound (förkortat lb.) ungefär 0,454 kg och en inch ('') ungefär 2,54 cm. Alltså är 112 lb. ungefär 50,8 kg och 5,5'' ungefär 14,0 cm.

Hjalmar Rosengren


4 september 1998 20.18.45
Om det enda man får veta i en matteuppgift är vad ett linne och en tröja kostar tillsamman och vad en tröja och ett par jeans kostar och vad ett per jeans och ett linne kostar. Hur löser man då uppgiften?
Agnes

Svar:

Antag att linnet kostar x kronor, tröjan y, jeansen z, tröjan och linnet tillsammans a, tröjan och jeansen tillsammans b och jeansen och linnet tillsammans c kronor. Då är a, b och c givna tal och x, y och z är okända som vi skall räkna ut. Vidare vet man att

x+y = a,

y+z = b,

x+z = c.

Detta är ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta. Om man drar den andra ekvationen från den första får man

x-z = a-b.

Lägger man ihop denna ekvation med den tredje får man

2x = a+c-b

och alltså

x = (a.+c-b)/2.

Stoppar man in detta i ekvationerna ovan (eller byter namn på variablerna) får man

y = (a+b-c)/2,

z = (b+c-a)/2.

Om till exempel tröjan och linnet kostar 200 kr tillsammans, tröjan och jeansen 400 kronor och jeansen och linnet 300 kronor, så kostar alltså linnet (300+200-400)/2 = 50 kronor, tröjan (400+200-300)/2 = 150 kronor och jeansen (400+300-200)/2 = 250 kronor.

Hjalmar Rosengren


4 september 1998 12.27.40
fullständiga pi
olle

Svar:

Var vänlig förtydliga frågan (om det är en fråga).

Hjalmar Rosengren


4 september 1998 09.46.02
Hej! Hur räknar jag ut längd och bredd för en rektangel där arean = 375 dm²? Längden är 10 dm längre än bredden.
Jarmo

Svar:

Antag att bredden är x dm. Då är bredden x+10 dm, så arean är x(x+10) dm2. Alltså är

x(x+10) = 375.

Denna andragradsekvation har lösningarna x = -25 och x = 15. Eftersom x måste vara positiv är x = 15. Således är bredden 15 dm och längden 25 dm.

Hjalmar Rosengren


3 september 1998 20.15.10
Hur bevisar man de morgans lagar?
Peter Andersson

Svar:

De Morgans lagar är

komplementet till unionen av A och B = snittet av komplementet till A och komplementet till B,

komplementet till snittet av A och B = unionen av komplementet till A och komplementet till B,

där A och B är mängder, som ingår i en större mängd X, så att man kan tala om komplementet. Många skulle nog säga att dessa "lagar" är så självklara att det är ganska poänglöst att "bevisa" dem i meningen reducera dem till ännu mer självklara påståenden. För att inse hur självklara påståendena är har man god hjälp av ett schematiskt diagram (Venn-diagram) över de ingående mängderna.

Vill man ändå ge ett formellt bevis av den första lagen får man skriva något i stil med

(x tillhör komplementet till unionen av A och B) om och endast om (x tillhör inte unionen av A och B) om och endast om (det är inte så att (x tillhör A eller x tillhör B)) om och endast om (x tillhör inte A och x tillhör inte B) om och endast om (x tillhör komplementet till A och x tillhör komplementet till B) om och endast om (x tillhör snittet av komplementet till A och komplementet till B).

Här är första ekvivalensen definitionen av komplement, den andra definitionen av union, den fjärde definitionen av komplement och den femte definitionen av snitt. Endast den tredje är inte en definition; det är den logiska regeln

icke(p eller q) = (icke p) och (icke q).

Man kan säga att De Morgans lag är en "mängdteoretisk" omformulering av denna. På samma sätt är den andra lagen väsentligen samma sak som

icke(p och q) = (icke p) eller (icke q).

Hjalmar Rosengren


3 september 1998 20.13.50
Hur beräknar man strömmen i en motor om man vet vad den är vid 60Hz
Kenneth Nilsson

Svar:

Detta är en fråga för Fråga vetenskapen om fysik.

Hjalmar Rosengren


3 september 1998 18.56.21
Hej! Hur löser man följande tal? 1) 2*(sinx)^(2)-3*sinx+1=0 2) 2*(sinx)^(2)+3cosx=0 Tacksam för svar! Mvh/Andreas
Andreas Karlsson

Svar:

I den första ekvationen sätter vi t = sin(x). Då överförs ekvationen på andragradsekvationen

2t2-3t+1 = 0,

som har lösningarna t = 1 och t = 1/2. Den ursprungliga ekvationen är alltså uppfylld då sin(x) = 1 eller sin(x) = 1/2. I den vanliga figuren där en cirkel parametriseras av (cos(x),sin(x)) ser man att det första fallet ger x = (pi)/2, det andra x = (pi)/6 och x = (5 *pi)/6. Eftersom dessa är vinklar kan man lägga till en heltalsmultipel av 2*(pi) till svaret och får de oändligt många lösningarna

x = (pi)/2 + 2*n*pi,

x = (pi)/6 + 2*n*pi,

x = (5*pi)/6 + 2*n*pi,

där n är ett godtyckligt heltal.

I den andra ekvationen sätter vi sin2(x) = 1-cos2(x), och sedan t = cos(x). Detta ger

2(1-t2)+3t = 0,

som har lösningarna t = 2 och t = -1/2. Den ursprungliga ekvationen är alltså uppfylld då cos(x) = 2 eller cos(x) = -1/2. Det första fallet ger inga lösningar, det andra de oändligt många lösningarna

x = (2*pi)/3 +2*n*pi,

x = (4*pi)/3+2*n*pi,

där n är ett godtyckligt heltal.

Hjalmar Rosengren


3 september 1998 17.35.47
hej jag undrar om det fins någon matematisk formel (och i sådant fall vadå för formel) för att räkna utt vilken veckodag det är. genom att ta t.ex. 1998-02-18 och få utt veckodagen i ett tal ifrån 1-7. (upskatar helst svar i form av Qbasic programering) .ChristianNi.lk.Vikbo Vikbolands skolan
data.nisse@swipnet.se

Svar:

Se svaret på frågan 10 mars 1998 03.52.23.

Hjalmar Rosengren


3 september 1998 13.06.30
ett hjärta pumpar 10liter blod på en timme agda har ett bra hjärta som pumpar 3 1/2 liter mer i timmen, när agda är frisk. men nu är agda sjuk, och hennes hjärta pumpar bara hälften, hur mycker pumpar agdes hjärtapå 5 1/2 vecka

Svar:

Agdas hjärta pumpar 10+3,5 = 13,5 liter blod i timmen då hon är frisk och alltså (13,5)/2 = 6,75 liter i timmen då hon är sjuk. På 5 1/2 vecka går det 5,5 * 7 = 38,5 dygn och alltså 38,5 * 24 = 924 timmar. Då pumpar Agdas hjärta 924 * 6,75 = 6237 liter blod.

Hjalmar Rosengren


2 september 1998 20.49.32
Vad är avbildning och hur använder man det?
Magnus Bengtsson

Svar:

Avbildning är ett annat ord för funktion. Om f(x) = y kan man säga att f avbildar xy. Observera att i skolan använder man ordet funktion framför allt när x och y är tal, men i matematiken kan de vara element i godtyckliga mängder. Till exempel är "derivata" en funktion som avbildar funktioner på andra funktioner och "integralen från 0 till 1" en funktion som avbildar funktioner på tal.

Funktioner har en central roll inom alla delar av matematiken och inom alla tillämpningar av matematik på andra vetenskaper. Svaret på den andra frågan blir alltså att avbildningar används i alla sammanhang där man över huvud taget använder matematik.

Hjalmar Rosengren


2 september 1998 20.36.10
Hej! Jag skulle vilja veta var man kan hitta en komplett samling med alla bevis som behövs för att bevisa fermats(sista) teorem.
Erik Lindgren

Svar:

The Mathematics of Fermat's Last Theorem verkar vara en oerhört innehållsrik sida med en sammanfattning av beviset, länkar, referenser med mera. Vill du ha fler detaljer får du läsa originalartiklarna (som anses extremt svårlästa även av experter)

Andrew Wiles, Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, Annals of Mathematics 141 (1995), 443-551,

Richard Taylor och Andrew Wiles, Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras, Annals of Mathematics 141 (1995), 553-572.

Någon komplett samling av alla bevis för allting som används i beviset finns inte. Det skulle nog bli en tjock bok.

Jag kan förresten rekommendera en utmärkt populärvetenskaplig bok om Wiles och hans bevis, nämligen Fermat's Enigma av Simon Singh. Jag såg att den har kommit i svensk översättning, men jag kommer inte ihåg den svenska titeln.

Hjalmar Rosengren


2 september 1998 20.34.05
vad är en hybridfunktion?
Andreas.

Svar:

Hybridfunktioner tycks vara ett begrepp inom kemi snarare än matematik. Boken Introduction to Group Theory with Applications av Gerald Burns, Academic Press 1977, innehåller ett kapitel om hybridfunktioner. Så vitt jag förstår handlar det om att hitta approximativa lösningar till vågekvationen för olika molekyler (man kan i regel inte lösa vågekvationen exakt). Fråga Gilbert kan kanske ge mer information.

Hjalmar Rosengren


2 september 1998 16.53.21
Hejsan! Jag undrar hur man kan integrera funktionen x^2/(1+x^4). Jag har letat upp svaret i en tabell, men kan inte komma på hur man kommer fram till det. Går det med enbart variabelsubstitution och/eller partiell integration?
Patrik Andersson

Svar:

Det finns en allmän metod för att integrera rationella funktioner som beskrivs i de flesta elementära (dvs inledande universitetsnivå) läroböcker i analys. Den fungerar så länge man kan faktorisera nämnaren i första och andragradsfaktorer, eller ekvivalent hitta alla komplexa nollställen till nämnaren.

I det här fallet kan vi skriva

x4+1 = (x2+1)2-2x2 = (x2+21/2x+1)(x2-21/2x+1)

(enligt första kvadreringsregeln respektive konjugatregeln). Nu gör vi en partalbråksuppdelning, dvs vi försöker skriva

x2/(x4+1) = (Ax+B)/(x2+21/2x+1)+(Cx+D)/(x2-21/2x+1).

Om man multiplicerar upp nämnarna leds man till ett ekvationssystem med fyra ekvationer och fyra obekanta, som har lösningen B = C = 0, A = -21/2/4, D = 21/2/4, dvs

x2/(x4+1) = (21/2/4)(x/(x2-21/2x+1)-x/(x2+21/2x+1)).

Nu kvadratkompletterar vi nämnarna:

x2-21/2x+1 = (x-21/2/2)2+1/2 = ((21/2x-1)2+1)/2

och på samma sätt för den andra nämnaren. För att integrera x/(x2-21/2x+1) gör man därför variabelsubstitutionen t = 21/2x-1, vilket återför problemet på att integrera 1/(t2+1) och t/(t2+1). Men dessa har primitiva funktioner arctan(t) respektive (ln(t2+1))/2. Integralen av x/(x2+21/2x+1) beräknas på samma sätt. Svaret blir alltså en summa av två arcustangensfunktioner och två logaritmer. De båda logaritmerna kan vi kombinera genom logaritmlagarna. Utför man detaljerna ser man att svaret blir

(21/2/8) ln((x2-21/2x+1)/(x2+21/2x+1)) + (21/2/4)(arctan(21/2x+1)+arctan(21/2 x -1)).

Hjalmar Rosengren


1 september 1998 20.27.58
Hej. Ett problem ang. gränsvärden: lim(x->oändligheten) (9x-2x^2-7x^3)/(2rot(36x^6-x^5+2x^2)) Tack på förhand.
Andreas.

Svar:

Jag antar att "2rot" betyder kvadratroten och inte 2 gånger kvadratroten. Om x är stort så domineras täljaren av x3-termen och nämnaren av x6-termen. Men eftersom den senare står under rottecken är den också av storleken x3. Därför delar vi med x3 både i täljare och nämnare. Då skall man dela med x6 under rottecknet. Detta ger

(9x-2x2-7x3)/(36x6-x5+2x2)1/2 = (9/x2-2/x-7)/(36-1/x+2/x4)1/2.

Om nu x går mot oändligheten går den nya täljaren mot -7 och den nya nämnaren mot 361/2 = 6. Enligt en gränsvärdeslag (se någon lärobok i analys) blir då gränsvärdet av kvoten -7/6.

Hjalmar Rosengren


1 september 1998 15.38.34
Kan man uttrycka funktionen f(X)=x^x ("x upphöjt till x") på något alternativt sätt? Kan man algebraiskt beräkna f'(x), alltså derivatan av denna funktion?
Daniel Svanfelt

Svar:

Inom matematiken kan man uttrycka allting på oändligt många sätt. Däremot kan man knappast uttrycka xx på något enklare sätt. För att derivera kan man skriva

f(x) = xx = ex ln(x)

och tillämpa kedjeregeln. Detta ger

f'(x) = ex ln(x)(ln(x)+ x / x) = xx(ln(x)+1).

Ett intressant gränsvärde är

(x upphöjt till x upphöjt till x upphöjt till x upphöjt till . . .).

Se avsnittet Iterated Exponential Constants i Eric's Treasure Trove of Mathematics.

Hjalmar Rosengren


1 september 1998 08.36.49
Vad är en "prästklämma"?
Nösnäsgymnasiet, biblioteket

Svar:

Jag vet inte, men jag tycker inte det låter som något matematiskt.

Hjalmar Rosengren


31 augusti 1998 23.20.41
Hej! En regel som i bland är mkt användbar i den matematiska analysen är: L'Hospitals regel. Hur lyder ett bevis för denna eminenta regel?
Henrik Rosdahl

Svar:

En form av L'Hospitals regel säger att om f och g är kontinuerligt deriverbara funktioner nära 0 (det vill säga deras derivator existerar och är kontinuerliga nära 0) och f(0) = g(0) = 0, men g'(0) är skilt från 0, så är

gränsvärdet[x går mot 0] f(x)/g(x) = f'(0)/g'(0).

Som alltid inom matematiken beror valet av bevis på hur mycket man tidigare har visat. Vad gäller L'Hospitals regel så följer den omedelbart av Taylors formel, och också omedelbart av medelvärdessatsen. (Skillnaden mellan L'Hospitals regel och Taylors formel är att den senare är mycket mer användbar. Kan man Taylors formel kan man alltså glömma L'Hospitals regel.) Medelvärdessatsen säger till exempel att för varje x nära 0 finns ett y mellan 0 och x så att

f(x)-f(0) = f'(y)(x-0),

dvs (ty f(0) = 0)

f(x) = xf'(y).

Av samma anledning finns ett z mellan 0 och x så att

g(x) = xg'(z).

Då är

f(x)/g(x) = f'(y)/g'(z).

Men om x går mot 0 så går också y och z mot 0. Eftersom f' och g' är kontinuerliga nära 0 så existerar gränsvärdet av höger led och är lika med f'(0)/g'(0). Detta visar regeln.

Hjalmar Rosengren


31 augusti 1998 22.33.25
Hej! Jag undrar hur löser man denna ekvation? |x-3|+|x+1|= x+8 Tack på förhand!
Therese Johansson

Svar:

Ekvationen ändrar karaktär när uttrycken inom absolutbelopp ändrar tecken, dvs då x = 3 och x = -1. Därför betraktar vi de tre olika fallen x < -1, -1 < x < 3 och x > 3 för sig. (Egentligen måste man ersätta "mindre/större än" med "mindre/större än eller lika med" för att få med gränspunkterna -1 och 3. Man ser dock direkt att dessa inte löser ekvationen, så i det här fallet spelar det ingen roll.)

Fall 1: x < -1.

Då är x-3 < 0, så |x-3| = 3-x. Vidare är x+1 < 0, så |x+1| = -x-1. Ekvationen kan alltså skrivas

3-x-x-1 = x+8.

Denna ekvation har lösningen x = -2. Eftersom -2 ligger i det intervall (x < -1) som vi studerar i Fall 1, så ger detta en lösning till den ursprungliga ekvationen.

Fall 2: -1 < x < 3.

Då är |x-3| = 3-x, |x+1| = x+1, så ekvationen kan skrivas

3-x+x+1 = x+8.

Denna ekvation har lösningen x = -4. Men x = -4 hör inte hemma i Fall 2, så det ger INTE, jag upprepar INTE, en lösning till den ursprungliga ekvationen.

Fall 3: x > 3.

Då är |x-3| = x-3, |x+1| = x+1, så ekvationen kan skrivas

x-3+x+1 = x+8.

Denna ekvation har lösningen = 10. Eftersom x = 10 hör hemma i Fall 3, så ger detta en lösning till den ursprungliga ekvationen.

Svar: Ekvationen har precis två lösningar, x = -2 och x = 10.

Hjalmar Rosengren


31 augusti 1998 19.36.53
Hej. Jag skulle vilja ha tips till mer läsning om 3 (gärna också 4 dimensionella) dimensionella funtioner. Tack på förhand.
Ande.

Svar:

Jag antar att du menar funktioner av 3 och 4 variabler. Det finns många böcker i ämnet. En relativt lättläst bok på svenska är "Analys av flera variabler" av Arne Persson och Lars Christer Böiers.

Hjalmar Rosengren


30 augusti 1998 22.46.27
Vad kommer ordet katet ifrån?
Stig Sandström

Svar:

Enligt Nationalencyklopedin kommer katet från det grekiska ordet kathetos, som betyder lodlinje, lodrät linje. Man tänker sig alltså triangeln stående på den ena kateten, så att den andra är lodrät.

Hjalmar Rosengren


30 augusti 1998 22.17.43
Hej, Kan jag få hjälp med följande?

x/4-(x-1)/2 = 1,5

Mvh Ingvar
ingvar.cederin@swipnet.se

Svar:

Förenkla först vänster led:

x/4-(x-1)/2 = x/4-x/2+1/2 = -x/4+1/2.

Ekvationen kan alltså skrivas

-x/4+1/2 = 1,5.

Subtrahera 1/2 från båda leden, ger

-x/4 = 1.

Multiplicera båda leden med -4, ger

x = -4.

Ekvationen har alltså precis en lösning, som ges av x = -4.

Hjalmar Rosengren


29 augusti 1998 16.20.06
Snälla finns det några bra matteprogram för dator till en matte dyslektiker typ mellanstadie nivå och uppåt ?Jag har nyss börjat om i skolan(folkhögskola) och jag kan ingenting.Varför talas det aldrig om vuxna som inte kan matte?Jag kan inte ens hjälpa mina barn med läxan.
Maritha Dahlqvist

Svar:

Tyvärr kan jag inte hjälpa dig. Dina lärare på folkhögskolan är mycket mer kvalificerade att svara på frågan. Du kan också försöka med att skriva till Fråga en pedagog.

Hjalmar Rosengren


29 augusti 1998 14.24.56
Hej!! Hur ska man gå till väga för att bli riktigt bra i matematik??
Niclas Ericson

Svar:

Jag tror att svaret blir det samma oavsett om det gäller matematik, tennis eller något annat: man måste tycka det är roligt och ägna mycket tid åt det. Envishet, tålamod och koncentrationsförmåga är också till stor hjälp.

Om du tycker det är roligt med problemlösning kan du skaffa en bok med svåra problem. Till exempel finns det böcker med problem från Skolornas Matematiktävling, som du kanske kan hitta på något skolbibliotek. I tidskriften Elementa finns det både populärvetenskapliga artiklar på svenska och en problemspalt.

Om du går på grundskolan bör du skaffa en gymnasiebok att läsa i, om du går på gymnasiet någon inledande universitetslärobok, till exempel Algebra och kombinatorik av Anders Vretblad eller Analys i en variabel av Arne Persson. Vidare finns det finns många bra populärvetenskapliga böcker om matematik. Leta på biblioteket.

Hjalmar Rosengren


28 augusti 1998 11.20.04
Hur räknar man ut 1/6 delat i 5/6
Elisabeth

Svar:

Multiplicera med 6 i täljare och nämnare. Detta ger

(1/6)/(5/6) = 1/5.

I allmänhet kan man använda räkneregeln

(a / b) / (c / d) = (ad) / (bc)

för att förenkla en kvot av två kvoter.

Hjalmar Rosengren


27 augusti 1998 17.59.07
Hur många signifikanta siffror bör man redovisa när man har räknat ut osäkerheten för ett mätvärde och hur noggrant skall man uppge mätvärdet? Är exempelvis 12,19 +/- 0,47 rätt ??
Anders

Svar:

Vad jag vet finns det inga direkta regler, utan man får använda sitt sunda förnuft. Om felet är stort är det narturligtvis meningslöst att ange värdet med många siffror, t.ex. att skriva 3,231235 +/- 0,5. Det är inte heller meningsfullt att ange många siffror i felet, t.ex. att skriva 3,2 +/- 0,5123457. I stället skriver man kanske 3,2 +/- 0,5 eller 3 +/- 0,5. Hur man väljer att svara beror på vad man skall använda svaret till.

Hjalmar Rosengren


26 augusti 1998 15.25.49
Hej, Jag undrar om ni som är väldigt duktiga på matte hat några knep till oss som får sitta och traggla.Eller poppar svaren bara upp för er? Mvh Jessica
Jessica

Svar:

Om man vill lösa ett svårt problem tror jag att den bästa strategin är att sträva efter att förstå problemet, inte bara hitta den snabbaste lösningen. Det är svårt att ge mer specifika råd, men det finns de som har försökt. En klassisk bok är How to solve it av George Polya. Där diskuteras olika "knep" som att först försöka lösa ett enklare specialfall, leta efter ett samband med något man känner till bättre, att arbeta baklänges och att formulera om problemet. Märkligt nog är det ibland lättare att hitta en lösning genom att betrakta ett svårare eller mer allmänt problem. Jag tror dock att om man tycker att problemlösning är roligt så upptäcker man så småningom sådana här knep på egen hand.

Hjalmar Rosengren


25 augusti 1998 22.48.57
Hur räknar jag ut arean av ett cirkelsegment? Cirkel diametern är 1,13 meter, segmentets höjd varierar. (Vätska i en liggande cylindrisk tank)
Stefan Böcker

Svar:

Se svaren på frågorna 30 januari 1997 09.59.08 och 20 november 1997 14.33.07.

Hjalmar Rosengren


25 augusti 1998 11.06.37
En kropps massa kröker rymnden omkring sig. Om flera "massor" kröker rymnden i närheten av varandra bör "krökningen" mellan dem inte bli sfärisk utan ojämn. Skulle inte pi variera här. Kan pi variera?

Svar:

Det är väsentligt att skilja på det fysiska rummet som vi lever i och de rum som studeras i matematiken. I det euklidiska rummet som man studerar i "vanlig" geometri är kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter samma för alla cirklar och denna konstant kallas pi. Man kan också definiera pi analytiskt, till exempel som summan av den oändliga serien

pi = 4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ . . . ).

Fram till 1800-talet ansåg man det "självklart" att det fysiska rummet kan identifieras med det euklidiska rummet. I och med upptäckten av icke-euklidisk geometri insåg man att detta inte är självklart, och i och med bland annat Einsteins allmänna relativitetsteori förstod man att det fysiska rummet i själva verket har helt andra egenskaper än det euklidiska. I Einsteins modell för universum är kvoten mellan cirklars omkrets och diameter olika för olika cirklar, beroende på rummets "krökning". Man skulle kunna uttrycka detta som att det inte finns någon motsvarighet till "pi" i relativitetsteorin. Detta betyder givetvis inte att det vanliga pi, som har att göra med euklidisk geometri, varierar.

För ytterligare upplysningar om relativitetsteori ber jag att få hänvisa till Fråga vetenskapen om fysik.

Hjalmar Rosengren


24 augusti 1998 16.42.16
Vi måste ha vårat svar nu
Gustaf Swedén

Svar:

Vi försöker besvara alla frågor inom en vecka, inte inom 59 sekunder.

Hjalmar Rosengren


24 augusti 1998 16.41.17
Vad är Matematik
Gustaf Swedén

Svar:

Detta är en filosofisk fråga ungefär som Vad är sanning?, Vad är kunskap? och så vidare. Enligt min mening är den typen av diskussioner till stor del meningslösa, eftersom de förutsätter att orden har en mening "i sig" utöver den de får när vi använder dem. Jag anser därför att det bästa svaret är "Matematik är det som man vanligen menar med ordet matematik". Detta kan då ändra sig beroende på i vilken tid och kultur man lever.

Om man ändå vill definiera matematik kan man kanske säga "Matematiken är en vetenskap som med rent logiska slutledningar studerar begrepp med väldefinierade egenskaper". (Detta är ett citat från studieplanen för forskarutbildning i matematik vid matematisk-naturvetenskapliga fakulteten vid Lunds universitet.)

Hjalmar Rosengren


24 augusti 1998 13.42.19
Vad är triangeltal?
Kristian

Svar:

Triangeltal är tal av formen

1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5, . . .

det vill säga

1, 3, 6, 10, 15, . . .

Namnet kommer sig av att om man har till exempel 1+2+3+4 stenar så kan man lägga dem i en triangel där första raden har 1 sten, andra raden 2 och så vidare. Man kan uttrycka det n-te triangeltalet som

1+2+3+. . .+n = n(n+1)/2.

Detta kan man inse genom att pussla ihop två likadana trianglar till en rektangel där en sida har n stenar, den andra n+1.

Hjalmar Rosengren


23 augusti 1998 19.20.28
Det finns en del tillgänglig statistik kring Lotto, hur många gånger vissa siffror dragits, hur länge sedan en viss siffra dragits etc. Jag har uppfattningen att det inte tjänar speciellt mycket till att använda denna statisitk för att försöka räkna ut sannolikheten inför att en speciell rad skall dras nästakommande vecka ? Har jag rätt, och i så fall hur förklarar man vad som gäller ??
Lars Brandt

Svar:

Sannolikheten påverkas inte av vilka nummer som dras. Man skulle bara kunna ha glädje av sådan statistik om vissa nummer verkligen var mer sannolika än andra, t.ex. för att någon kula (om man nu använder numrerade kulor) är tyngre eller oregelbundet formad.

Hjalmar Rosengren


22 augusti 1998 18.00.25
Hur bestämmer man en primitiv funktion till f(x) = 1/(1 - x^3)^(1/3) för hand? Enligt datoralgebrasystemet DERIVE kan den uttryckas i elementära funktioner.
Bengt Månsson

Svar:

Den primitiva funktionen innehåller uttrycket x/(1-x3)1/3. Därför borde substitutionen

t = x/(1-x3)1/3

vara användbar. Man räknar lätt ut att

x = t/(1+t3)1/3,

1/(1-x3)1/3 = (1+t3)1/3,

dx/dt = 1/(1+t3)4/3,

vilket ger

integral 1/(1-x3)1/3 dx = integral 1/(1+t3) dt.

Den senare integralen beräknas genom den vanliga metoden (se någon lärobok i analys), vilket ger den primitiva funktionen

(ln(t+1))/3 - (ln(t2-t+1))/6 + arctan((2t-1)/31/2)/31/2,

där t = x/(1-x3)1/3.

Hjalmar Rosengren


22 augusti 1998 11.49.50
Hej!! Har ni några förslag på bra böcker om talteori? De kan även vara på svenska.
Christer Larsson

Svar:

Enligt initierad källa är An introduction to the theory of numbers av I. Niven, H. S. Zuckerman och H. L. Montgomery mycket bra. En mer avancerad bok är A classical introduction to modern number theory av K. Ireland och M. Rosen. En mycket kortfattad men innehållsrik bok är A concise introduction to the theory of numbers av A. Baker.

Hjalmar Rosengren


20 augusti 1998 19.43.38
Det borde vara möjligt att föreställa sig matriser av högre dimension än 2. Tex en 3-dimensionell matris där ett enskillt element refereras till som a(i,j,k). Fråga 1: Finns det matematiska operationer som addition, multiplikation och invertering, determinanter, etc. associerade till sådana matriser? Fråga 2: Om man tänker sig en tvådimensionell matris som en representation av ett ekvatiossystem. Vad är i så fall tolkningen av en tre-dimensionell matris?
Richard Henricsson

Svar:

Så kallade tensorer kan man tänka på som flerdimensionella matriser. Jag kan bara förklara grunderna mycket kortfattat. Om V är ett vektorrum och W det duala vektorrummet (dvs rummet av lineära former på V), så är en (i, j)-tensor en multilineär form på

V x ... x V x W x... x W,

där man har i stycken kopior av V och j av W. Nu finns det något som heter tensorprodukt av lineära rum. Det är ett slags trick för att kunna identifiera multilineära och lineära avbildningar. Om vi betecknar med Vi tensorprodukten av i stycken kopior av V, så kan en (i,j)-tensor identifieras med en lineär avbildning

Vi -> Vj.

I specialfallet i = j = 1 får vi lineära operatorer på V, som kan identifieras med bilineära former på V x W, eller efter att ha valt en bas i V med kvadratiska matriser. Man kan addera två tensorer av samma typ, dvs summan av två (i,j)-tensorer blir en ny (i,j)-tensor. Man kan multiplicera dem om man kan definiera sammansättningen av motsvarande lineära avbildningar. Dvs produkten av en (i,j)-tensor och en (j,k)-tensor blir en (i,k)-tensor. Det finns också en annan slags produkt (tensorprodukt av tensorer) där produkten av en (i,j)-tensor och en (k,l)-tensor blir en (i+k,j+l)-tensor. En (i,j) tensor ger upphov till ett ekvationssystem med variabler i Vi och Vj, men jag tror inte att det är särskilt klargörande. Se vidare svaren på frågorna 15 november 1997 17.49.07 och 2 februari 1998 11.45.42.

Hjalmar Rosengren


20 augusti 1998 18.52.37
Hej Kjell ! Jag undrar om det finns något bevis för att pytagoras sats enbart gäller för rätvinkliga trianglar, i så fall skulle jag vara tacksam om du visade det eller berättade var det kan finnas.
Erik Lindgren

Svar:

Ur vissa geometriska bevis för Pytagoras sats följer att den bara gäller för rätvinkliga trianglar. Det följer också ur den så kallade cosinussatsen

c2 = a2 + b2 + 2abcos(t),

där a, b och c är triangelns sidor och t vinkeln mellan a och b. Man har

c2 = a2 + b2

om och endast om cos(t) = 0, dvs då triangeln är rätvinklig.

Hjalmar Rosengren


20 augusti 1998 16.11.34
Hjalmar Rosengren, tack för svaret ang. arean av en cirkel! Har dock en fråga. Varför kan man inte beräkna A = 2 integral[-1 till 1] (1-x2)1/2 dx genom att använda sig av den primitiva funktionen F(x) = -((1-x2)3/2)/x och integrera mellan -1 och 1. Detta tillvägagångs sätt ger resultatet 0, till skillnad från pi, vilket är resultatet om substitutionen x=cos(t) används. Mycket märkligt!
Henrik Rosdahl

Svar:

En primitiv funktion till (1-x2)1/2 är

(x(1-x2)1/2 + arcsin(x))/2,

inte den funktion du anger. Detta ger rätt svar.

Hjalmar Rosengren


20 augusti 1998 14.55.35
Jag är en mycket filosofiintresserad 17 åring som har börjat fundera lite på det där med medvetandet. Min fråga har med det att göra och är som följer: Vet man var i hjärnan medvetandet finns, eller är det som filosoferna säger, att själen (dvs medvetandet och förnuftet) är skilt ifrån kroppen?
Fredrik Malmer

Svar:

Detta är inte en matematisk fråga. Försök med Filosofisk anslagstavla.

Hjalmar Rosengren


19 augusti 1998 21.04.31
Kan ni kortfattat beskriva hur man adderar med romerska siffror utan att övergå till något annat talsystem.
Conny Janson

Svar:

Problemet med de romerska siffrorna är att man ibland skriver dem i omvänd ordning för att markera subtraktion. T.ex. skriver man oftast 1998 som

MCMXCVIII

och inte som

MDCCCCLXXXXVIII.

Jag har dock läst att romarna bara använde det senare skrivsättet; det förkortade skrivsättet uppfanns på medeltiden. Om man skriver som romarna kan man addera nästan som med våra siffror. Om man vill räkna ut 87+ 14 skriver man

LXXXVII

+XIIII

=LXXXXVIIIIII,

dvs skriver ner alla siffror i de båda termerna i avtagande ordning. Sedan förenklar man från höger till vänster enligt principen

IIIII=V, VV=X, XXXXX=L

och så vidare. Detta ger

87 + 14 = LXXXXVIIIIII = LXXXXVVI = LXXXXXI = LLI = CI = 101.

Hjalmar Rosengren


19 augusti 1998 15.00.42
Jag har ärvt några olika räknestickor men besitter ingen kunskap om hur dom används. Vet ni var man kan läsa om hur dessa används?
hans hilmersson

Svar:

Räknestickan användes i skolorna fram till början av 70-talet. Försök hitta en lärobok från den här tiden. T.ex. finns det avsnitt om räknestickan i böcker av Bergendal, Håstad och Råde för gymnasiets första årskurs.

Hjalmar Rosengren


18 augusti 1998 22.12.11
Hej! Jag skulle vilja veta hur ett vackert bevis av formeln för arean av en cirkel ser ut! Jag har för mig att man kan använda en dubbelintegral och integrera över enhetscirkeln.
Henrik Rosdahl

Svar:

Eftersom arean beror kvadratiskt på radien har man att A = Cr2 för någon konstant C. Om man nu definierar pi som arean av en cirkel med radien 1 får man A = pi r2.

Om man tvunget vill använda en integral (vilket är att skjuta myggor med kanon) så har man att halva cirkeln med radien 1 ges av arean under grafen till y = (1-x2)1/2 mellan -1 och 1, dvs

A = 2 integral[-1 till 1] (1-x2)1/2 dx

Variabelbytet x = cos t ger

A = 2 integral[-pi till pi] (1-cos 2t)/2 dt = 2 [t/2-(sin 2t)/4]0pi = pi,

för en cirkel med radien r får man på samma sätt A = pi r2.

Det "bevis" du tänker på är möjligen att formeln följer omedelbart från radialformen för en rotationsinvariant dubbelintegral. Radialformen visas dock genom att approximera en volym med cylindrar, och man kan knappast känna till volymen av en cylinder utan att först beräkna arean av en cirkel.

Hjalmar Rosengren


18 augusti 1998 00.20.54
Vad är progressiva matriser? Jag ganska vida kunskaper i matematik, men har ej ännu börjat att jobba med matriser.
Peter Bengtsson

Svar:

Jag känner inte till att det skulle förekomma något sådant begrepp i matematiken. Om du söker på "progressive matrix" i till exempel AltaVista får du reda på att tabeller för t.ex. vinster i olika spel kan kallas så. I icke-matematiska sammanhang kan man kalla alla tabeller för matriser, men i matematiken har ordet en mycket mer speciell innebörd (se någon lärobok i lineär algebra).

Hjalmar Rosengren


17 augusti 1998 22.10.12
På en gata finns det ett oändligt antal hotell. I varje hotell finns det ett oändligt antal rum. Det totala antalet rum måste då vara oändligt. Om jag sedan igen vill räkna ut hur många rum det finns i varje hotell så delar jag antalet totala rum med antalet hotell. D.v.s oändligheten / oändligheten som borde vara lika med 1. Vad har jag gjort för fel i min uträkning?
Niklas Wahlström

Svar:

Detta exempel visar att man inte kan räkna med "oändligheten" på samma sätt som med vanliga tal. Ibland är det bekvämt att definiera

oändligheten + oändligheten = oändligheten

och

oändligheten * oändligheten = oändligheten,

men

oändligheten - oändligheten

och

oändligheten / oändligheten

kan man inte definiera på något naturligt sätt.

Hjalmar Rosengren


16 augusti 1998 19.47.42
Antag att f, g och h är polynom över samma kropp K, att f = g*h och att g och h är irreducibla över K. Kan då galoisgruppen för f över K uttryckas på något "enkelt" sätt i galoisgrupperna för g och h över K ? (Mitt intresse för detta bottnar i att jag har ett datorprogram som beräknar galoisgruppen för irreducibla polynom men inte för reducibla.)
Bengt Månsson

Svar:

Galoisgruppen kan ses som gruppen av de permutationer av nollställlena till f (i en splittringskropp) som bevarar den underliggande kroppen. Om G(f) betecknar galoisgruppen till f, så finns en naturlig inbäddning i av G(f) in i gruppen G(g) x G(h) (eftersom nollställena till g avbildas på andra nollställen till g och likadant för h). För att avgöra vilken undergrupp det blir behöver man veta vad det finns för relationer mellan nollställena till g och h. Om det inte finns några relationer (vilket innebär att snittet mellan de båda splittringskropparna till g och h är lika med den underliggande kroppen K), så är i surjektiv och G(f) = G(g) x G(h). I annat fall behövs mer precis information för att beräkna G(f).

Exempel:

f(x) = (x2-2)(x2-3) över de rationella talen Q.

Splittringskroppen till g(x) = x2-2 är Q(21/2) och den till h(x) = x2-3 är Q(31/2). Snittet mellan dessa kroppar är Q, så G(f) = G(g) x G(h) = C2 x C2, där C2 är den cykliska gruppen med två element.

Exempel:

f(x) = (x2-2)(x2-8) över de rationella talen Q.

Splittringskroppen till båda faktorerna är Q(21/2), så G(f) = G(g) = G(h) = C2 .

Exempel:

f = gh över Q, där g är minimalpolynomet till 21/2+31/2, h minimalpolynomet till 21/2+51/2.

Splittringskroppen till g är Q(21/2,31/2), till h Q(21/2,51/2) och till f Q(21/2,31/2,51/2). Då är G(g) = G(h) = C2 x C2, men G(f) = C2 x C2 x C2.

Hjalmar Rosengren


16 augusti 1998 19.44.03
En algebraisk heltalsring har entydig faktorisering i irreducibla element omm klasstalet h är 1. Finns den någon tolkning av innebörden av h då h >1 (förutom att faktoriseringen inte är entydig alltså)?
Bengt Månsson

Svar:

Jag har hittat ett par böcker om talteori där detta problem nämns, bla A Classical Introduction to Modern Number Theory av Ireland och Rosen. Förmodligen finns det inget enkelt svar på frågan. För klasstal 2 finns det ett enkelt kriterium av Carlitz (1960) som säger att detta svarar mot att antalet element i en uppdelning är entydigt. Dvs att klasstalet är högst två är ekvivalent med implikationen

p1*...*pk = q1*...*ql medför k = l,

där pi och qi är irreducibla element. Alfred Czogala gav 1981 kriterier för klasstal 3 och 4.

Att klasstalet är högst 3 är ekvivalent med att produkter av två irreducibla element inte kan skrivas som produkt av fler än tre irreducibla element och dessutom kvadrater på irreducibla element inte kan skrivas som produkt av annat än två irreducibla element.

Att klasstalet är högst 4 är ekvivalent med att antingen

produkter av två irreducibla element inte kan skrivas som produkt av fler än tre irreducibla element

eller

produkter av två irreducibla element inte kan skrivas som produkt av fler än fyra irreducibla element och dessutom kvadrater på irreducibla element inte kan skrivas som produkt av annat än två irreducibla element.

Att man har två villkor i fallet 4 beror på att det finns två grupper av ordning 4. Om den så kallade klassgruppen är Kleins fyrgrupp hamnar man i det första fallet, om den är cyklisk av ordning 4 i det andra fallet.

Hjalmar Rosengren


17376 frågor av sammanlagt 17760 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)