Fråga Lund om matematik

Sökresultat


28 mars 1999 15.52.59
6. trumpet skiljer sig eftersom de övrigas sista 2 bokstäver kommer i följd i alfabetet.
Dummer

Svar:

Tackar för svaret på fråga från 15 mars 1999 19.30.56

Andreas Axelsson


28 mars 1999 11.14.45
Den franska matematikern Agustine Cauchy hade funderingar kring olika skatteskalor i början på 1800-talet. Han menade att kvoten mellan den procentuella nettolöneökningen och den procnentuella bruttolöneökningen, d s k utbyteskoefficienten, skulle konstrueras så att den blev konstant. Vad menade han med det?
U.L.Nilsson

Svar:

Förmodligen att utbyteskonstanten inte skulle förändras med tiden. Denna fråga bör ställas till en ekonom.

Andreas Axelsson


27 mars 1999 23.57.44
Hejsan! Skulle vilja ha hjälp med följande problem: Använd inklusion och exklusionsprincipen för att bestämma antalet ord av längd 7 i alfabetet {0,1} som inte innehåller mönstret 010
Stefan

Svar:

Om inklusions och exklusionsprincipen kan du läsa i Grimaldis bok  Discrete and Combinatorial Mathematics; An Applied Introduction.

Det finns totalt n = 27 ord av längd 7. Mönstret 010 kan förekomma med början i position 1, 2, 3, ..., 4 eller 5. Låt ci vara mängden av ord som har mönstret med början i position i. Principen säger då att antalet ord som saknar mönstret är

n - (#c1 + #c2 + ... + #c5) + (#(c1&c2) + #(c1&c3) + ... + #(c4&c5)) - (#(c1&c2&c3)
   + #(c1&c2&c4) + ... + #(c3&c4&c5)) + ... - #(c1&c2&...&c5).

& betyder här snitt av mängder och # antalet element i en mängd.

T ex är #ci = 24. Vad #(ci& cj) blir beror på hur i och j förhåller sig till varandra. Om t ex i = j + 1 blir detta antal 0.

Kjell Elfström


27 mars 1999 09.37.39
Hej! Jag håller på med mitt matte-E projekt och har kommit fram till följande frågeställning (det gäller differentialekvationer): Ett rum har måtten 8x4x3m. Av misstag bildas det cyanväte i en reaktion i rummet. Cyanväte är direkt dödligt vid 270ppm. Giftets koncentration är 2mg/m³. (Är det rimligt? Ni får ändra värdet om ni vill!) Ventilationssystemet tar ut och släpper in 15m³ luft/min. Hur lång tid tar det innan människan som befinner sig i rummet dör? (om vi förutsätter att giftet blandar sig väl och proportionellt i luften i rummet, och cyanvätet sprids med konstant hastighet).
Katja

Svar:

Jag förstår inte riktigt. (A) Kanske att cyanvätesreaktionen inträffade i ventilationssystemets insläpp till rummet, om det hände i rummet så kan jag bara tänka mig att personen i fråga antingen dör direkt eller blir friskare och friskare ju mer man ventilerar...
Om min förmodan i (A) är riktig så uppstår ett annat problem: kan det vara så att giftets koncentration i insläppet är 2ppm/m3?

Hör av dig igen.

Anders Dahlner


27 mars 1999 09.28.02
Diskret matematik: Om (A,R) är ett lattice, A ändlig, visa att (A,R) har ett största element och ett minsta element.
Magnus Karlsson

Svar:

Se  27 mars 1999 09.24.29 för definitioner. Ett lattice är en partiellt ordnad mängd sådan att om x och y ligger i A så finns både ett supremum och ett infimum till mängden {x,y}. Antag nu att A är ändlig och att A saknar supremum. Då måste A innehålla fler än ett element. Tag två olika element x och y i A, de har ett supremum säg x1. Eftersom x1 inte är supremum för hela A så finns y1 i A, sådant att den minsta övre begränsningen till {x1,y1} säg x2, är skild från x1. Nu är inte x2 heller ett supremum till A så det finns y2  i A, sådant att den minsta övre begränsningen till {x2,y2} säg x3, är skild från x2. Om vi fortsätter så får vi en följd av par (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3),...
sådana att x1,x2x3,... alla är olika på grund av villkoret (3). Detta är en motsägelse. Motsvarande problem om infimum löses analogt.

Anders Dahlner


27 mars 1999 09.24.29
Diskret matematik: Visa att om (A,R) är en po-mängd och B är en delmängd av A, så har B som mest 1 möb (sub).
Magnus Karlsson

Svar:

Se  27 mars 1999 09.20.53 för definitioner. En minsta övre begränsning (eller supremum) för en delmängd B av A är ett element x i A sådant att
(a) om y ligger i B så är yRx, och
(b) om z är ett element i A sådant att om y ligger i B så är yRz, så är xRz.
En största nedre begränsning (eller infimum) för en delmängd B av A är ett element x i A sådant att
(a) om y ligger i B så är xRy, och
(b) om z är ett element i A sådant att om y ligger i B så är zRy, så är zRx.

En mängd B kan därför inte ha två olika supremum (infimum) på grund av (b) och (2).

Anders Dahlner


27 mars 1999 09.22.04
Diskret matematik: Visa att om en po-mängd (A,R) har ett minsta element, är det unikt.
Magnus Karlsson

Svar:

Se  27 mars 1999 09.20.53 för definitioner. Ett element x i A är minst om xRy för alla y i A. A kan inte innehålla två olika element som är minst på grund av (2).

Anders Dahlner


27 mars 1999 09.20.53
Diskret matematik: Visa att en ändlig po-mängd (A,R) har ett minimalt element.
Magnus Karlsson

Svar:

En relation R på en (icketom) mängd A är en partiell ordning om följande tre villkor är uppfyllda
(1) xRx (läs mindre eller lika med) för alla x i A,
(2) om xRy och yRx så är x=y, och
(3) om xRy och yRz så är xRz.
Det behöver ej gälla att: xRy eller yRx för alla x och y (om detta gäller sägs A vara fullständigt ordnad). Ett element x är minimalt om det ej finns y ej lika med x så att yRx.

Antag nu att A är ändlig. Antag för ögonblicket att A saknar minimalt element. Då gäller att om x ligger i A så finns ett element x1 ej lika med x och så att x1Rx. Eftersom x1 inte är minimalt så finns x2 som ej är lika med x1 och så att x2Rx1. Fortsätter vi på detta sätt så får vi en följd x1, x2, x3,... av olika element i A, sådana att xm+1Rxm, eftersom A är ändlig så måste xm = xn, för något m och n med 0< m < n. (3) ger nu att xnRxm+1 men då är xmRxm+1, så (2) ger att xm+1= xm, vilket strider mot konstruktionen av xm+1. Detta är en motsägelse, och vi sluter oss till att A måste ha ett minimalt element.

Anders Dahlner


26 mars 1999 23.17.27
Hej! Är bara intresserad av hur man matematematiskt kan lösa följande problem: Man har tio kulor, varav alla har vikten x utom en som har vikten y. Hur skall man genom endast tre vägningar kunna ta reda på VILKEN kula som har den avvikande vikten, dvs y? Hur gör man om det istället är 12 kulor, varav en har massan y istället för x? Slutligen, jag har faktiskt lyckats lösa en FEMTEGRADSEKVATION algebraiskt, stämmer nedanstående? Lös: x^5 + 6x^4 + 20x^3 + 85x^2 + 100x + 250 = 0 Efter omskrivning får vi: (x^2 + x + 5) (x^2 + 10) (x+ 5) = 0 x(1) = -5 x(2) = 3,16i x(3) = -3,16i x(4) = -0,5 + 2,18i x(5) = -0,5 - 2,18i TACK!
Tetris

Svar:

För kulproblemet, se 9 april 1997 20.59.45
Angående femtegradsekvationen, så är lösningen approximativt rätt. De exakta rötterna är -5, -1/2+-i*sqrt(19)/2 och +-i*sqrt(10).
Visst kan man exakt lösa VISSA femtegradsekvationer med elementära operationer som ovan. Vad som däremot är omöjligt är att lösa ALLA femtegradsekvationer enbart med +,-,*,/ samt rotutdragningar.

Andreas Axelsson


26 mars 1999 17.52.15
Är antalet tal mellan 1 och 2 ändligt (1 är ju start'punkt', 2 slutet) eller oändligt många (1,111111.... osv i oändlighet)? Tackar.
Svante Jansson

Svar:

Självfallet är antalet oändligt, ty t ex n/n, (n+1)/n, ..., 2n/n är olika och n+1 till antalet. Men n kan tas godtyckligt stort så antalet i fråga kan omöjligt vara ändligt.
Det är t o m så att antalet är mer än bara oändligt; man säger att antalet i fråga är överuppräkneligt. Mer precist:
(1) Antalet heltal säges vara uppräkneligt (de kan räknas upp i en följd)
(2) Att antalet (reella) tal mellan 1 och 2 är överuppräkneligt innebär att dessa inte kan paras ihop två och två med de naturliga talen; hur man än gör blir de tal över. Detta är inte självklart men kan visas.

Andreas Axelsson


26 mars 1999 15.43.16
Hur hittar man en primitiv funktion till f(x)=(r^2-x^2)^(1/2), där 0<x<1?
Frank

Svar:

Den naturliga definitionsmängden för f är -r < x < r. Primitiven kan t ex hittas med variabelbytet x= r*sin(t) => f= r*cos(t) och dx= r*cos(t)dt. Insättning ger
\int f dx= \int (r*cos(t)) dt= ... = 1/2*(r2*arcsin(x/r)+x*sqrt(r2-x2)).

Andreas Axelsson


26 mars 1999 15.42.24
Hur löser man lnx=x? T ex med Newton-Raphsons metod.
Frank

Svar:

Man löser den ej, ty genom att skissera graferna inses snabbt att ln(x)< x för alla x > 0.

Andreas Axelsson


26 mars 1999 13.42.05
Hej! Hur kunde matematikerna inse att det existerade komplexa talplan? Finns det logik bakom teorin eller bygger allt på definitioner?
Johan (omtenta i komplex analys)

Svar:

Låt mig först påpeka att den matematiska metoden är att först ge exakta definitioner av vad man menar med saker och ting och sedan med logisk deduktion bevisa satser rörande de definierade objekten. Komplex analys innehåller som all annan matematik BÅDE definitioner och logik.
Angående det komplexa talplanets historia var det inte så att alla matematiker plötsligt förstod sig på komplexa tal, utan vår förståelse för de komplexa talen idag är resultatet av flera hundra års accumulerad erfarenhet av de komplexa talen, och det är min personliga åsikt att förståelsen för komplexa tal i vissa avseenden fortfarande är bristfällig.
Första gången som matematiker på allvar stötte på komplexa tal torde vara i samband med försöken att lösa 3:e gradsekvationen under 1500-talet. Historiskt dök alltså inte imaginära enheten upp som en lösning till andragradsekvationen x2+1= 0, vilket är det vanliga sättet som i introduceras i moderna läroböcker. Det skulle dröja ända tills 1797 innan det komplexa talplanet med den nu välkända geometriska tolkningen av komplex multiplikation publicerades i en artikel. Denna var skriven av en norsk lantmätare vid namn Caspar Wessel, men eftersom artikeln var skriven på danska dröjde det nära 100 år innan den uppmärksammades. Vid det här laget var den matematiska gren som nu kallas komplex analys väl utvecklad. Detta var till stor del ett verk av matematikern Augustin-Louis Cauchy(1789-1857).

Andreas Axelsson


26 mars 1999 12.13.06
Hej igen. Jag frågade er för ett tag sen om lösningen till en ekvation, men jag skrev fel. Ekvationen ska vara (3x)^1/2=(x^2)^1/3. Hur löser man denna?
Oskar

Svar:

Upphöj båda sidor till 6:
(3x)3= x4 <=> x3(27-x)= 0,
så lösningarna är x= 0 och x= 27.

Andreas Axelsson


26 mars 1999 10.33.36
Bestäm följande gränsvärde: 1) lim (5x^3 + 4x) / (3-x) när x-> 1 2) lim (4x^5 + 15x^2 - 10^7) / (x^5 + x^3 + 2) när x-> oändligheten
Linda Dahlgren

Svar:

(1) Funktionen är kontinuerlig i 1, sätt bara x= 1.
(2) x5-termerna styr det asymptotiska uppförandet, dividera nämnare och täljare med x5 och låt x -> oändligheten.

Andreas Axelsson


26 mars 1999 10.32.46
Om jag har ett antal heltal t.ex. 50 75 200 har ni någon bra algoritm för hur jag hittar den minsta gemensamma multipeln av dessa tal? I detta fallet 600.
Jerker

Svar:

mgm: minsta gemensam multipel.
sgd: största gemensam delare.
p: produkten.
För att beräkna mgm av två tal, använd att mgm= p/sdg. För att bestämma sgd av två tal använd euklides algoritm. Ex:
75= 1*50+ 25
50= 2*25
=> sgd(50,75)= 25 => mgm(50,75)= 50*75/ 25= 150.
För fler tal, bestäm mgm av två åt gången. Ex:
mgm(50, 75, 200)= mgm(mgm(50,75), 200)= mgm(150, 200)= 150*200/ 50= 600.

Andreas Axelsson


26 mars 1999 10.11.49
Hej! Min fråga handlar om differentierbarhet och tillvägagångssätt för att bestämma det. Jag vill gärna ha en "oberoende åsikt". Antag att vi har en fkn som är differentierbar. Då betyder det {enl Petermanns Analytiska metoder II} att den är kontinuerlig i berörd punkt och har partiella derivator m a p alla sina variabler. Satsen är uppenbarligen inte omvändbar så tillvida att en kontinuerlig fkn är differentierbar - men en diskontinuerlig fkn är med säkerhet ej differentierbar. Enl Petermann är det tillräckligt att visa att partiella derivatorna till fknen är kontinuerliga i en omgivning till en punkt för diffbarhet. Finns det exempel på fkner där partiella derivatorna är diskontinuerliga, men fknen ändå diffbar [vilket jag har hört ryktas om]? Då verkar satsen vara ganska verklös. Som ex kan vi titta på fknen xy / (x^2 + xy + y^2) för (x,y) ej = (0,0) och 0 för origo. Fknen är diskontinuerlig. Är den differentierbar? Visst, man kan dra slutsatsen att diskontinuitet => icke-diffbar, men om man tittar på partialderivatorna går både df/dx och df/dy mot oo medan fknen i origo har partialderivatorna = 0, varför de partiella derivatorna inte kan antas vara kontinuerliga i origo och följaktligen ej diffbar. Brister resonemanget någonstans. Jag vore tacksam för ett svar.
Jonathan

Svar:

Låt f vara en funktion av två variabler, P= (x,y) en punkt i planet och betrakta följande utsagor:
(1) f är C1 i P, d v s de partiella derivatorna existerar i en omgivning av P och är kontinuerliga där.
(2) f är differentierbar i P, dvs har ett tangentplan i P.
(3) f har partiella derivator i P.
(4) f är kontinuerlig i P.
Följande allmänna samband gäller: (1) => (2), (2) => (3), (2) => (4). Några ytterligare samband finns ej, för uppenbarligen gäller inte (4) => (2) eller (4) => (3).
Vidare uppfyller f(x,y)= xy/(x2+y2) (3) men ej (4). Mer allmänt beror egenskap (3) endast på hur f ser ut på de axelparallella linjerna som utgår ifrån P.
Funktionen g(x,y)= |(x,y)|2*sin(1/|(x,y)|), där |(x,y)|=sqrt(x2+y2) uppfyller (2) men ej (1), vilket visar att en funktion kan ha ett tangentplan i en punkt utan att nödvändigtvis vara C1 där.
Angående ditt resonemang i 3:e näst sista meningen är det korrekt att om (4) ej gäller så kan heller ej (2) gälla (pga implikationen (2)=>(4)), men du kan absolut inte sluta dig till att (2) ej gäller bara för att (1) ej gäller (se andra exemplet ovan).

Andreas Axelsson


26 mars 1999 08.20.32
Hejsan! Jag vet inte om den här frågan passar er matematiker eller om den ska ställas till en fysiker. Men jag tror nog ni kan lista ut ett svar i alla fall för det handlar nog om matematik. Jo jag skulle behöva en formel som man kan räkna ut hur stort ett föremål ser ut att vara om man vet avståndet till föremålet och vet dess verkliga höjd och bredd. Hur skulle en sån formel se ut? Tack på förhand!
Christer Tallgren

Svar:

Först behöver vi specificera vad som avses med "... ser ut att vara ...". Antag att du observerar ett stående förmål långt borta. Vad du då observerar är inte den verkliga höjden av föremålet utan vinkeln mellan topp och botten. Kallas denna vinkel v (grader), avståndet till föremålet d (meter) och föremålets verkliga höjd för h (meter) gäller, förutsatt att föremålet inte är allt för nära, approximativt att:
v= 180/pi*d/h.

Andreas Axelsson


26 mars 1999 07.42.51
Diskret matematik: A, B, C är godtyckliga delmängder av ett universum U. Bevisa eller motbevisa påståendena: a) (A-B) delmängd av C omm (A-C) delmängd av B. b) P(A-B)=P(A)-P(B). P(M) står för potensmängden till M och - betecknar mängddifferens.
Magnus Karlsson

Svar:

(a) Båda påståendena är ekvivalenta med att A-(B union C) är tom, och således själva ekvivalenta.
(b) För motexempel, tag exempelvis U= mängden av x och y, A= U och B= mängden av y.

Andreas Axelsson


25 mars 1999 15.35.39
om vi har en andra gradsfunktion typ F(x)=2x^2+6x-3 kan vi då utan att rita grafen hitta följande: symetrilinjen och nollställe om ja hur då?. om nej hur gör man då?
tack för svaret

Svar:

Betrakta funktionen G(x) = x^2 + ax + b, här är x^2 + ax = (x +a/2)^2 - (a/2)^2, (en kvadrat - en konstant) varvid
G(x) = (x + a/2)^2 - (a/2)^2 +b. Detta betyder att G är symmetrisk runt linjen x = -a/2, dvs
G(x-a/2) = ((x - a/2) +a/2)^2 - (a/2)^2 +b
             = (x - a/2 + a/2)^2 - (a/2)^2 +b
             = (x)^2 - (a/2)^2 +b
             = (-x)^2 - (a/2)^2 +b
             = (-x - a/2 + a/2)^2 - (a/2)^2 +b
             = ((-x - a/2) +a/2)^2 - (a/2)^2 +b = G(-x-a/2).
Nollställen:
G(x)=0 gäller precis om
(x + a/2)^2 = (a/2)^2 - b   (*)
om det vänstra ledet är negativ så finns det därför inga reella rötter (ty det högra ledet är aldrif mindre än noll),
i annat fall kan vi ta roten ur båda sidor och får då att
x + a/2 = ROT((a/2)^2 - b) eller x + a/2 = - ROT((a/2)^2 - b)
dvs
x = -a/2 + ROT((a/2)^2 - b)
eller
x = -a/2 - ROT((a/2)^2 - b).

Om det vänstra ledet i (*) är negativt så har man de komplexa nollställena
x = -a/2 + i*ROT((a/2)^2 - b)
eller
x = -a/2 - i*ROT((a/2)^2 - b),
där i är den imaginära enheten: i = ROT(-1).

I ditt fall är F(x) = 2x^2 +6x -3 = 2(x^2 + 3x -3/2) = 2G(x),
med G(x) = x^2 + 3x -3/2, så
symmetrilinjen är x = -3/2
och nollställena är
x = -3/2 +ROT( (3/2)^2 - (-3/2)) = -3/2 +ROT(15)/2
samt
x = -3/2 -ROT( (3/2)^2 - (-3/2)) = -3/2 -ROT(15)/2.

Anders Dahlner


25 mars 1999 13.42.01
Hur,när och varför använder man sig av volymbegrepp?
Johanna Axen

Svar:

Många objekt i rymden kan tilldelas en volym som mäter storleken hos objektet. Som volymenhet brukar man välja enhetskuben (en kub vars sidor har längden ett), som då sägs ha volymen ett. Volymen av t ex ett klot, är antalet volymenheter som får plats i klotet - detta antal behöver inte vara ett heltal, antalet beror på längden av klotets radie (om man t ex har enhetskuben som volymenhet, så har klotet med radie R volymen 4Pi*R^3/3).
Volymbegreppet är oumbärligt och används överallt i naturvetenskapen och i matematiken för att mäta olika föremåls storlek.

Mer information kan du finna i böcker om matematikens kulturhistoria, eventuellt boken "Med Mått Mätt : Svenska Och Utländska Mått Genom Tiderna", Carlsson, Albert W.

Anders Dahlner


25 mars 1999 13.40.24
Kan ni med ord beskriva vad volym är och hur man på olika sätt tar reda på volymen hos olika saker och rymdgeometriska figurer? Och kan ni också definiera och jämföra olika enheter?
Tilde Johansson

Svar:

Se svaret i  25 mars 1999 13.42.01.

Anders Dahlner


25 mars 1999 13.34.19
Skulle ni kunna beskriva hur och varförsynen på mätning av areor och ytors viktighet förändras under historien?
Cilla E.

Svar:

Människan har blivit mer beroende av naturvetenskapen, och i naturvetenskapen är areor och ytor viktiga begrepp.
För övrigt se svaret i  25 mars 1999 13.42.01.

Anders Dahlner


25 mars 1999 13.30.32
Hur ska man räkna ut arean på olika geometriska plana figurer (triangel,cirkel,osv)?Och skulle ni kunna beskriva olika areaenheter.
Lina Svensson

Svar:

Arean hos en triangel ges av basen B och höjden H ges av B*H/2. En cirkel med rdien R har arean Pi*R^2. För övrigt se hänvisningen i  25 mars 1999 13.42.01.

Anders Dahlner


25 mars 1999 13.25.20
Hej!! Skulle ni kunna berätta lite om varför synen på mätning av areor och ytors viktighet förändras under historien?
Sara Forsblad

Svar:

Se svaret i  25 mars 25 mars 1999 13.34.19.

Anders Dahlner


25 mars 1999 12.35.14
vilket mate program eller spel passar till A B C D E kurser?
Antonio

Svar:

Maple, Mathematica och Matlab är matteprogram som kan räkna ut det mesta, fråga i din datorbutik. Söker man efter gratis matteprogram på AltaVista så finner man  detta.
Några mattespel känner jag dessvärre inte till men detta är vad AltaVista hittar.

Anders Dahlner


25 mars 1999 10.43.16
Hur löser man denna ekvation exakt? m * dv/dt = mg- k * v^a om a=1
Henrik Edwardson

Svar:

Efter division med m, så får vi en ekvation av typen dv/dt +Av=B. En sådan ekvation kan lösas med integrerande-faktor-metoden:
Betrakta ekvationen
y' + f(x)y=g(x)   (*).
Om dF/dx = f, så är
(yeF)' = y'eF + (eF)'y = y'eF + feFy = eF(y' + fy)
så om (*) gäller så är
(yeF)' = eFg.
Integrerar vi detta får vi
yeF = Int(eFg) +C,
där C är en konstant (vilken som helst), så att
y = e-FInt(eFg) +Ce-F.

I ditt fall får vi att F(t) = At, och således
v= e-AtInt(eAtB) + Ce-At = e-At(eAtB/A) + Ce-At = B/A + Ce-At,
så eftersom A = k/m och B = g,  så får vi att
v(t) = mg/k + Ce-kt/m.

Anders Dahlner


24 mars 1999 22.10.18
Hej Kjell Jag har ett problem som jag inte kan lösa. Konisk behållare. En upp och nedvänd kon med höjden 60 cm och radien 12 cm är delvis fylld med vatten. Vattnet läcker ut genom konen med en hastighet som är proportionell mot den area som är i kontakt med vattnet. Man fyller på vatten i konen uppifrån. Om påfyllnadshastigheten är 100 kubikcm/min kommer vattenytan att sjunka med hastigheten 0,6 cm/min då vattenhöjden i konen är 24 cm. Hur stor ska påfyllnads-hastigheten vara om man vill att vatten- ytan ska hålla sig konstant på en viss nivå... Tack på förhand.
valde

Svar:

Inför konstanter och variabler:
r: toppareans radie= 12 cm.
h: konens höjd= 60 cm.
x: vattennivåns höjd.
V: vattenvolymen.
A: kontaktarean.
p: påfyllnadshastigheten.
u: utrinningshastigheten.
Vi får ekvationerna dV/dt= p-u=p-k*A(x),
A(x)=1/2*(x/h*sqrt(r2+h2))*(2\pi*rx/h)=k'*x2,
V(x)=\pi*(xr/h)2*x/3= k''*x3,
dV/dt=3k''*x2*dx/dt.
Värdena på r och h => k'= 0.641 och k''= 0.0419.
Med p=100cm3/min, dx/dt= -0.6 cm/min och x= 24 cm fås k= 0.3886, så villkoret dV/dt= 0 ger p= k*k'*x2= 0.249x2. T ex krävs att påfyllnadshastigheten ökas till 143.4 cm3/min för att bibehålla vattennivån 24 cm.

Andreas Axelsson


24 mars 1999 20.16.58
Hejsan! Hur bevisar man enklast Keplers förmodan? dvs hur ska man fylla rummet med bollar av lika stor diameter för att erhålla största packningstäthet?
Andreas

Svar:

Keplers förmodan är inget man enkelt bevisar. Förmodan är att packningsstrukturen ''face-centered cubic'', som ger en packningstäthet \pi*sqrt(2)/6 = 0.74... skulle vara optimal. För mer information se
the Kepler conjecture.

Andreas Axelsson


24 mars 1999 19.39.07
Hej! I ett koordinatsystem finns en kurva f(x)=x^2 En kula startar i punkten p=(-3,9).....och släpps! I vilken punkt vänder den? Min lösningsmetod: m*g*9 = m*g*h+my*m*g*s..... där s=sträcka.....på kurvan my=friktionstal = 0,1. s = integralen av (1+(f(x))^2)^0.5 från x=-3 till xn Mitt problem är att integrera denna funktion..... Jag har löst detta problem med hjälp av ett egengjort program.....men vill lösa det på papper! förkortning av formel ger: 9 = h + my*s h=xn^2 9= xn^2 + my*s Men ett tilll problem! Det finns ju något som kallas normalkraft.....som inte alltid är riktad neråt! k=derivatan i P = 2x..... men hur ska formeln skrivas om då? Kan jag förkortat bort m*g? På min dator fick jag svaret: slutpunkt=(2,69;7,23).....men det är inte riktigt rätt! Jag är tacksam för hjälp!
Mikael Salling

Svar:

Inför variabler:
s: båglängden längs parabeln,
Fg= mg : gravitationskraft,
u: friktionskoefficient,
Ff= u*Fg*dx/ds: friktionskraft,
Energibetraktelse ger att dE/dt= -Ff*ds/dt, där E= mgy+m(ds/dt)2/2.
Kedjeregeln och förkortning med m ger nu att
gy+(ds/dt)2/2+gux= C= konstant.
Initialvärden ger C=g(9-3u), så i vändläget ska
x2+ux=9-3u gälla, vilket ger x=3-u=2.9 i vändläget.

Andreas Axelsson


24 mars 1999 18.51.21
Hej jag såg på tv igår då en man vid namn O'Brien (brain of the year '94), tog nytt Guinness record, 74 av 100 siffror upplästa på 1 min 40 s. Nu är det så att jag har en otrolig fallenhet för siffror och förmodligen fotografiskt samt ett exakt musik minne, nu skulle jag vilja veta Guinness reglerna för record angåend siffer minne, alltså om man inte får titta på hundra siffror under samma tid? vilket skulle gynna mig. Nu klara jag 42 siffror på 1 minut och 61 på 1 min och 40 s. Jag har tränat aktivt i ett par månader ung 20 min om dagen. Har ni några tips på hur man kan träna och vilken teknik man skall använda?
J.Lu

Svar:

Detta har inget att göra med matematik.

Andreas Axelsson


24 mars 1999 09.17.53
Hejsan. Jag skulle vilja ha svar och ngn form av utredning kring en fråga. FRÅGA: 3 Städer (a,b,c) ska förbindas med kablar. De är belägna i en triangel(givetvis) med b i spetsen. a-b är lika lång som c-b, och a-c är 20 km. Vilket av följande alternativ ger den kortaste ledningsdragningen: #1. a-b förbinds med en ledning och a-c med en. #2. a-b förbinds med en ledning och c-b med en. #3. De för binds som ett Y med förbindningcentrat lika långt från både a, b och c. (Alltså som ett upp-och nervänt "peace-märke" med samma avstånd från centrat x till både a,b,c.) #4. De förbinds som en variant av #3 fast centrat x ligger så att vinkeln från centrat till de olika städerna blir 120 grader mellan varje. Således blir sträckan från centrat x till a lika lång som sträckan från centrat till c.(x till b blir dock längre) Hoppas ni kan ge mig en schysst förklaring (gärna lite snabbt :) )
Ola Nilsson

Svar:

Kalla de två okända lika sidlängderna d.
1. längden blir d+20.
2. längden blir 2d.
3. kalla längden av ett av de lika benen i Y:et för y och mittpunkten för P. Genom att t ex förlänga bP till mittpunkten på ac och använda Pythagoras sats två gånger fås ekvationen
(y+sqrt(y2-100))2+100= d2,
som efter förenkling ger att totala längden blir
3y= 3*d2/(2*sqrt(d2-100)).
4. Kalla mittpunkten Q och mittpunkten mellan a och c för b' samt z : längden av aQ (=cQ) och z': längden av bQ. Genom att betrakta triangeln Qb'c med vinklarna 60, 90 resp. 30 grader erhålls
z= 20/sqrt(3).
Genom att som ovan använda triangeln bb'c fås ekvationen
(z'+z/2)2+100= d2.
Den totala längden blir därför
z'+2z= (z'+z/2)+3z/2= sqrt(d2-100)+10*sqrt(3).

Naturliga begränsningar på d är
i 3: d > 10*sqrt(2),
i 4: d > 20/sqrt(3).
Genom att jämföra de 4 uttrycken fås att alt. 4 alltid ger kortaste kabeldragningen och då d är tillräckligt stor har vi ordningen
4 < 1 < 3 < 2.

Andreas Axelsson


23 mars 1999 23.38.30
Hej! Vore väldigt tacksam för hjälp med följande: I en växelströmkrets är strömmen i=Îsin2t, där î = 0,70 A och t är tiden i s. a) Ange amplitud och period för dettta förlopp. Åskådliggör grafiskt. b) Ange de tre första tidpunkter (t>0) då strömmen är 0,30 A. Att amplituden i a) är 0,70 och perioden Pi inser jag men hur visar jag detta grafiskt och framförallt hur räknar jag ut b)?
Lotti Henström

Svar:

Jag tror att det skall stå Î istället för î. Grafiskt ser det ut så här (där jag även ritat ut linjerna y = 0.7, y = -0.7, samt  y = 0.3)
imageEFT.JPG
Ur grafen ser man att funktionen har perioden Pi, samt att amplituden är 0.7.
I b) vill man veta när sin(2t) = 0.3/0.7 = 3/7, eller rättare sagt de tre minsta talen t>0 så att detta gäller. I grafen kan man se att talen är (ungefär) lika med 0.25, 1.35, samt 3.4, men detta är ju inte exakt. Skall man ha de exakta värdena så måste man använda inversen till sinus, dvs arcsinus.
(Angående definitionen av arcsinus:
Om sin x = y, så är ju även sin (x+2kPi) = y, och sin (-x+(2k+1)Pi) = y, med arcsin y  menar man den vinkeln x i intervallet [-Pi/2,Pi/2] sådan att sin x = y.)
Alltså om 0 < 2t < Pi/2, så har vi att
               2t  = arcsin(sin(2t)) = arcsin(3/7),
det minsta värdet på t är alltså t = arcsin(3/7)/2.
Om Pi/2 < 2t < Pi, så kan vi använda att sin(Pi-x) = sin(x), så att
3/7 = sin (2t) = sin (Pi-2t),
men om
Pi/2 < 2t < Pi,
så är
0 < Pi-2t < Pi/2
alltså måste enligt den första ekvationen
Pi-2t = arcsin(3/7),
så det andra t-värdet är t = (Pi - arcsin(3/7))/2.
Om Pi < 2t < 2Pi, så är sin(2t)<0<3/7 så här finns inga lösningar.
Om 2Pi < 2t < 5Pi/2, så har vi att sin(2t) = sin(2t-2Pi) och 2t-2Pi ligger på intervallet [0,Pi/2]
så om
3/7 = sin(2t) = sin(2t - 2Pi),
så måste 2t-2Pi = arcsin(3/7), således ges det tredje t-värdet av t = Pi + arcsin(3/7).

Anders Dahlner


23 mars 1999 19.56.10
Fick en fråga av mina åk 9 elever som jag behöver hjälp med. De undrar hur man räknar ut volymen av en "munk med hål i", dvs en "cylinder" som man böjer runt och kopplar fast i sig själv. Vore tacksam för svar som åk nio fattar (och jag själv). MVH
Christofer

Svar:

När du säger "munk med hål i" så tror jag att du menar en torus:imageJ2J.JPG
Jag känner ej till något bra sätt att beräkna volymen med hjälp av den matematik som är tillgänglig för åk 9 elever. Här är i alla fall en metod att beräkna volymen: vi betraktar den torus som genereras genom att rotera en cirkel med radie r>0 vars centrum ligger på ett avstånd R>=r från en linje L (som ligger i samma plan som cirkeln ligger i), runt L:
imageH21.JPG

I xy-planet kan man välja L som x-axeln och cirkeln till de punkter (x,y) som uppfyller ekvationen:
x2 + (y-R)2 = r2
vilket är cirkeln med radie r vars centrum ligger i punkten (0,R). Övre delen av cirkeln ges av funktionen
ö(x) = R + (r2-x2)1/2,
den nedre delen av cirkeln ges av funktionen
n(x) = R - (r2-x2)1/2.
Rotationsvolymen kring x-axeln blir därför:
Vtorus = Pi*Int[-r,r] ( ö(x)2 - n(x)2 )dx =
                Pi*Int[-r,r] ( R2 + 2R(r2-x2)1/2 + (r2-x2) - (R2 - 2R(r2-x2)1/2 + (r2-x2))dx =
                4R*Pi*Int[-r,r] (r2-x2)1/2 dx =
 [Här gör vi substitutionen x = r*sin(t), varvid dx = r*cos(t) dt, och t varierar mellan -Pi/2 och Pi/2]
               4R*Pi*Int[-Pi/2,Pi/2] (r2-r2*sin2(t))1/2 r*cos(t) dt =
[Nu är r2-r2sin2(t) = r2cos2(t), så eftersom cosinus inte är negativ på intervallet får vi]
               4R*Pi*Int[-Pi/2,Pi/2] r2 cos2(t) dt =
[Här kan vi använda formeln cos2(t) = ( cos(2t) + 1 )/2 ]
               2Rr2*Pi*Int[-Pi/2,Pi/2] (cos(2t)+1) d t =
               2Rr2*Pi*[(sin(2t))/2+t][-Pi/2,Pi/2] =  2Rr2 Pi2.
Svaret är alltså att volymen för torusen är 2 R r2 Pi2.

Anders Dahlner


23 mars 1999 18.48.10
Två rymdraketer(Beta färdas i 150 km/s) och (Gamma färdas i 300 km/s)flyger i rymden i parallella vektorer. Gamma passerar den rätvinkligt korsande vektorn (A) 2 sekunder senare än Beta. 1.A Hur stort är avståndet till (A) när Gamma kommit ikapp Beta? På Beta finns två sensorer (en i för och en i akter) som detekterar hastigheten på passerande partiklar och objekt. 1.B Vilken hastighet visar de att Gamma passerar med? ------------------------------------------------------------------ En rymdraket(Beta2 färdas i 150 000 km/s) och passerar den rätvinkligt korsande vektorn (A) 2 sekunder senare tänds en laser som skickar ut ljusstråle parallelt närstående,längs vektorn för Beta2. 2.A Hur stort är avståndet till (A) när laserstrålen kommit ikapp Beta2? På Beta2 finns två sensorer (en i för och en i akter) som detekterar hastigheten på passerande partiklar,objekt och registrerar andra fenomen. 2.B Vilken hastighet visar de att laserstrålen passerar med?
Jonas Thörnvall

Svar:

Jag tycker att du skall  Fråga fysikern.

Anders Dahlner


23 mars 1999 16.59.19
Vi använder namnet miljon för att beteckna en 1:a och 6 nollor, miljard för en 1:a och 9 nollor. Hur lågt upp i talstorleken finns det namn?
Tomas Vittmo, Ystad

 Svar:

Se 21 mars 1999 16.54.48, 10 december 1997 12.35.49 samt 6 november 1997 14.16.07.

Anders Dahlner


23 mars 1999 15.21.17
I svaret 28 januari 1999 12.48.27 används arcsinus, en cyclometrisk funktion, även om det står i frågan att det inte ska göras. Kan svaret ges utan integraler och cyclometriska funktioner?
Frank

Svar:

Det beror på vad du menar. Man kan ju undvika användandet av den cyklometriska funktionen arcsinus genom att skriva ut en serie eller dylikt, men det är väl knappast bättre?

Anders Dahlner


23 mars 1999 15.19.34
Bevisa att sin(ax)=bx inte kan lösas med elementära funktioner.
Frank

Svar:

Det beror på vad du menar.
Är a och b konstanter? Om detta är fallet så är x=0 är en lösning oavsett vad a och b är. Om a=b=0 så är alla x lösningar. Om a=0 men b inte är lika med noll så måste x=0. Om b=0 men a inte är lika med noll så är x = n*Pi/a lösningar för varje heltal n. Om varken a eller b inte är lika med noll så är i alla fall lösningsmängden ändlig.
Om 0 < a <= b (läs a mindre eller lika med b) eller om b <= a < 0 , så kan man visa att det inte finns andra lösningar än just x=0. Det återstående fallen  0 < b <= a samt a <= b < 0 är svårare och man behöver antaligen numeriska metoder för att finna approximativa lösningar.

(Se även  1 mars 1999 15.49.32.)

Anders Dahlner


23 mars 1999 15.18.52
I svaret 1 mars 1999 15.49.32 finns ett samband om partiell integration. Bevisa det.
Frank

Svar:

Jo, formeln står ju där. Ett bevis av formeln:
Om f och g är deriverbara så ges produktens derivata av:
(fg)' = f'g + fg'.
Således är
fg' = (fg)' - f'g
integrera detta:
Int(fg') = Int((fg)' - f'g) = Int((fg)') - Int(f'g) = fg - Int(f'g).

Anders Dahlner


23 mars 1999 13.53.48
Jag har synpunkter på svaret till frågan 9/3 om området som begränsas av y=x^3 och y=x^2+a. Kurvorna tangerar varandra utanför origo om man väljer a=-4/27. Den funktion som ska integreras är då f(x)=x^3-x^2+4/27 =(x+1/3)*(x-2/3)^2 mellan funktionens nollställen som är -1/3 och 2/3. Då blir integralen = 1/12.
Ulf Pettersson

Svar:

Frågan gäller alltså  9 mars 1999 10.44.09. Det har du rätt i.

Anders Dahlner


23 mars 1999 09.15.05
I en fyrhörning inskriven i en cirkel är motstående vinklar supplementvinklar. Hur bevisar man omvändninen till denna sats, det vill säga att om det för en fyrhörning gäller att motstående vinklar är supplementvinklar så kan den inskrivas i en cirkel?
Martin

Svar:

Angående Euklidisk geometri har jag följande trevliga länk till Euklides Elementa.  För ett bevis av den första satsen se (*)14 februari 1999 22.04.20. Vad gäller din fråga så är svaret ja.

(**)
Låt mig först visa att varje triangel kan inskrivas i
en cirkel: Låt A, B, C vara hörn i en triangel. Låt L1 vara den linje som går genom mittpunkten M1 på segmentet AB; låt L2 vara den linje som går genom mittpunkten M2 på segmentet AC. Dessa äro konstruerbara med passare och linjal, punkterna på L1 (L2) har den egenskapen att avståndet till A är det samma som det till B (C).
Observera att L1 och L2 ej är parallella, i deras skärningspunkt kommer avståndet till A, B och C att sammanfalla (med radien av den sökta cirkeln som är centrerad i denna punkt).

Låt nu ABCD vara en fyrhörning sådan att V(A) + V(C) = 180o ( =V(B) + V(D)), där V(A) står för vinkelns storlek i A. Drag linjen mellan A och C. Enligt (**) kan triangeln ABC inskrivas i en cirkel. Låt O vara dess centrum, drag linjen L som går genom O och D. L kommer att skära cirkeln i en punkt E som ligger på den korda av cirkeln mellan A och C som ej innehåller punkten B. Fyrhörningen ABCE är nu inskriven i cirkeln. Således enligt satsen i (*) är V(A) + V(E) = 180o, varför V(E) = V(D). Detta ger att D = E och satsen följer.

Anders Dahlner


23 mars 1999 08.35.11
Har differentialekvationen y+y'+y"+y'''+y""+... = 0 någon lösning förutom y=0? Allmännare, finns det någon teori utarbetad för differentialekvationer av typen a0*y + a1*y' + a2*y" + a3*y''' + a4*y"" + ... = f(x) ? Jag har för mig att e^D är en icke-lokal operator; det kanske hör hit? Referenser?
Bengt Månsson

Svar:

För att studera en "ekvation" av typen y+y'+y"+y'''+y""+... = 0, måste man veta vad som menas med detta samt vad en lösning skall vara.
Om vi skriver
Sn = D0 + D1 + D2 +...+Dn,
där D betyder "dervera med avseende på x", så att
Sn(y) = y + y' + y'' +...+y(n),  (vilket ju är definierat för vaje heltal n om y kan deriveras obegränsat antal gånger)
ett sätt att definiera lösning till den (formella) ekvationen är då att man vill att funktionen (Sn(y))(x) skall gå mot noll då n går mot oändligheten för varje x. Ett annat sätt är att man vill att det största värdet av Sn(y) på varje slutet begränsat intervall [a,b] (där a<b är reella tal) skall gå mot noll då n går mot oändligheten.
En lite svagare (= man får fler lösningar) definition av lösning skulle kunna vara att sigman(y)(x) går mot noll då n går mot oändligheten för alla x, där sigman = (S0 + S1 + S2 +...+ Sn)/(n+1), är medelvärdet av operatorerna ovan.
Ett fjärde alternativ är att det största värdet av sigman(y) på varje slutet begränsat intervall skall gå mot noll då n går mot oändligheten.
Ex:
Sätt y = exp(-x) = e-x, då är S2n(y) = exp(-x) och S2n+1(y) = -exp(-x), då högerleden ej går mot noll när n går mot oändligheten så kan y inte vara en lösning enligt någon av de två första alternativen.
Nu är
sigma2n(y) = (exp(-x) +(- exp(-x)) + exp(-x) + ...+ exp(-x))/(n+1) = exp(-x)/(n+1),
och
sigma2n+1(y) = (exp(-x) +(- exp(-x)) + exp(-x) + ...+ (-exp(-x)))/(n+1) = 0.
Här går sigman(y) mot noll när n går mot oändligheten, både enligt det tredje och det fjärde alternativen, så i detta fall är y en lösning.

Jag anser inte att någon av möjliga definitionerna ovan är så mycket bättre än de övriga, och man kan även tänka sig andra sätt att ge betydelse av ekvationen. Möjligen kan du ha glädje av boken:  Differential Equations with Applications and Historical Notes, Simmons, George.

Anders Dahlner


22 mars 1999 23.18.24
Hos frisören Lydelse: Till frisören kommer olika typer av människor som skall klippa håret. Några har mycket hår, andra mindre och somliga knappast något alls. Därför tar de olika lång tid för frisören att klippa hår. När kunderna ankommer till frisersalongen så ställer de sig i en kö och sitter och väntar att betjänas enligt ankomstordningen först in först ut. I frisersalongen finns 10 stycken stolar. Om alla stolar är upptagna så får ingen ny kund ställa sig i kön. Kunder kommer var tionde minut. Det finns två frisörer. Krav: Varje kund skall tilldelas ett slumpvärde (tiden som det tar för kunden att bli klippt). Räkna ut genomsnittstiden som det tar för en kund att bli klippt utifrån hur många som blir klippta under en dag. Ex. 60*8 (antalet minuter under en arbetsdag).
Elsa

Svar:

Genomsnittstiden beror av slumpvärdets fördelning som är okänt. Mer information behövs för att problemet ska kunna lösas.
Är kön aldrig tom blir genomsnittstiden 60*8 minuter/antal klippta. Blir föregående klippning klar precis innan nästa kund anländer blir antalet klippta oförändrat medan genomsnittstiden blir något kortare.

Andreas Axelsson


22 mars 1999 21.38.11
Hade problem med en uppgift i en bok. Tänkte att du kunde hjälpa till! För två komplexa tal z1 och z2 gäller följande: |z1|=|z2|=|z1-z2| arg(z1)=pi/6 arg(z1) <= arg(z2) <= pi Ange ett exakt värde av arg(z1-z2).
Emma Bonde

Svar:

Villkoret |z1|= |z2|= |z1-z2| säger att 0, z1 och z2 bildar en liksidig triangel i komplexa planet, så arg(z1-z2)= +-\pi/3. De två andra villkoren utesluter minustecknet.

Andreas Axelsson


22 mars 1999 21.36.45
Hej Lund! En liten uppgift jag kört fast på: Undersök för vilka heltal A, B och C som ekvationerna x^3+5x-15=0 och Ax^2+Bx+C=0 har minst en gemensamm, reell lösning Tack på förhand
Erik Lindgren

Svar:

Låt f(x)=x3+5x-15 och g(x)=Ax2+Bx+C
f har exakt en reell rot x1 eftersom f' > 0. Om A=B=C=0 är x1 en gemensam rot, så antag g ej 0. Antag nu att x1 är nollställe till g.
(1) Om A=0 måste x1=-C/B vara rationell.
(2) Om A ej 0, så kan inte g dela f, ty då skulle f ha två reella rötter (med multiplicitet räknat). Därmed är sgd(f,g)=x-x1. Eftersom denna kan räknas fram med euklides algoritm måste x1 vara rationell även här.
Men f:s reella rot visas lätt vara irrationell, för om x1=p/q, där p, q är relativt prima heltal följer att
p3+5pq2-15q3=0.
Då måste p dela 15 och q dela 1, så då x1 > 0 är de enda möjligheterna x1=1,3,5 eller 15. Eftersom 1 < x1 < 2 fås motsägelse.
Enda möjligheten är alltså A=B=C=0.

Andreas Axelsson


22 mars 1999 20.26.08
Skulle ni kunna ge mig ett bevis på att om g''(x) = 0 och g'''(x) är skiljt från 0, så är x en inflexionspunkt? Tack på förhand.
-rws

Svar:

Låt f=g'. Då är f'(x)=0 och f''(x) ej 0, vilket är ett välkänt kriterium för att f ska ha ett lokalt extremvärde i x. Detta ger att g själv byter från att vara konvex till att vara konkav vid x eller vice versa, dvs x är en inflexionspunkt för g.

Andreas Axelsson


22 mars 1999 16.43.57
Hej! Kan man lösa differentialekvationen y' + xy = 5 + 2x algebraiskt om man vet att y(2)=3 ? Tack på förhand!
Tomas Torstensson

Svar:

Ja, ekvationen är en linjär första ordningens ordinär diff. ekvation, och sådana kan lösas algoritmiskt (om man accepterar att vissa uppkomna primitiver inte alltid kan uttryckas i elementära funktioner). I exemplet blir integrerande faktorn
exp(x2/2).
Multipliceras ekvationen med denna fås med användning av produktregeln att
(exp(x2/2)*y)'=(5+2*x)exp(x2/2).
Integrering, insättning av initialvärde och förenkling ger nu
y= 5*exp(-x2/2)(\int2xexp(t2/2)dt)+5- 2exp(2-x2/2).

Andreas Axelsson


22 mars 1999 11.24.19
Hur skriver man talet 13250 i romerska siffror
Ragnar Berggren

Svar:

(Det romerska talsystemet includerade ett bakvänt C som här skrivs O)
I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D (=IO)=500, M (=CIO)=1000, IOO=5000, CCIOO=10000, IOOO=50000, CCCIOOO=100000 etc.
Alltså blir 13250 i romerska siffror CCIOOMMMCCL.

Andreas Axelsson


21 mars 1999 19.54.42
Denna fråga har jag grubblat på länge utan att ha lyckats lösa den: Medan jag springer uppåt på en nedåtgående rulltrappa räknar jag till 200 steg från botten till toppen av trappan. När jag springer nedåt på samma rulltrappa räknar jag bara 80 steg, men så springer jag också dubbelt så snabbt som jag gjorde på vägen uppåt. Hur många trappsteg syns det på samma, stillastående rulltrappa?
Richard Birgersson

Svar:

Otillräckligt med information för att frågan ska kunna lösas.

Andreas Axelsson


21 mars 1999 17.34.42
Hej! Måste man göra ett program på dator för att kunna lösa diff.ekvationer med Runge-Kuttas metod. Hur och var skall i så fall programmet utformas? Tacksam för svar!
Maria

Svar:

För större beräkning rekommenderas dator. Program som Matlab fungerar bra till detta.

Andreas Axelsson


21 mars 1999 16.54.48
Hejsan Anna! För att par dagar sedan så skrev vi in en fråga om stora tal, svart blev inte riktigt tillfredsställande. Vad heter de stora talen? miljon, miljard, biljon, triljon, kvadriljon, kvartiljon, femtiljon, sextiljon, octiljon, noniljon.... har vi fått höra i alla fall. Det verakde inte stämma. Centiljon har vi fått fram, men vad finns det mer för namn? Finns det något bra ställe där man kan läsa om stora tal? Tack på förhand!
Agneta & Sven

Svar:

Förutom miljon och miljard (eng. biljon) används vanligen inte de ovan givna namnen. Däremot används som prefix till enheter i fysiken allt mellan atto (10-18) till exa (1018). Bara storleken av tal gör de inte matematiskt intressanta. Vissa stora tal med speciella egenskaper studeras dock, t ex är stora primtal intressanta bl a i kodningsteori.

I tabellen nedan redovisas det brittiska namngivningssystemet. Skillnaden mellan detta och det svenska är endast smärre avvikelser i stavningen.

Million 106
Milliard 109
Billion 1012
Trillion 1018
Quadrillion 1024
Quintillion 1030
Sexillion 1036
Septillion 1042
Octillion 1048
Nonillion 1054
Decillion 1060
Undecillion 1066
Duodecillion 1072
Tredecillion 1078
Quattuordecillion 1084
Quindecillion 1090
Sexdecillion 1096
Septendecillion 10102
Octodecillion 10108
Novemdecillion 10114
Vigintillion 10120
Centillion 10600

Andreas Axelsson


21 mars 1999 15.40.06
Finn en rationell funktion som har lodräta asymtoter i x=-1 och x=1 och som dessutom har en sned asymptot y=3x-1 då x går mot plus minus oändligheten?
Anna

Svar:

Ett exempel är y=3x-1+1/(x+1)+1/(x-1).

Andreas Axelsson


21 mars 1999 15.36.34
Räntan på stadsobligationer steg med 9 räntepunkter , dvs med 9 / 100 av en procentenhet, till 11,34 %. Hur stor var ökningen i % ? Förklara skillnaden mellan procent och procentenhet. Jacob

Svar:

En ökning från a% till b% innebär en ökning med b-a procentenheter men en (b/a-1)*100 procentig ökning, i ditt fall 0.8%.

Andreas Axelsson


21 mars 1999 14.51.31
Om man släpper en sten ner i en brunn. Finns det nånå formel för att räkna ut sträckan då? Man hör ju plasket. Man försummar luftmotståndet men inte ljudets hastighet.
Dave K

Svar:

Låt s: brunnens djup, g: tyngdaccelerationen, v: ljudets hastighet, t1: stenens falltid, t2: tidsskillnad mellan krasch och örats varseblivning av kraschen, t=t1+t2.
Kända storheter: g,v och t.
Sökt storhet: s.
Lösning av ekvationssystemet
s=gt12
s=vt2
t=t1+t2
ger andragradsekvationen
s2-v2(1/g+2t/v)s+v2t2=0,
som löses m a p s.

Andreas Axelsson


21 mars 1999 11.49.07
Hej! En undersökning av skolelevers läsvanor visade att 20% varken läste böcker eller serietidningar, 40% läste böcker och 65% läste serietidningar. Hur många % av eleverna läste både böcker och serietidningar ? Jacob

Svar:

b: "läser böcker", s: "läser serietidningar".
A: både b och s
B: b men ej s
C: s men ej b
D: varken b eller s
A+B=40, A+C=65, D=20, A+B+C+D=100
ger att A=(A+B)+(A+C)+D-(A+B+C+D)=40+65+20-100=25.
25% läser sålunda både och.

Andreas Axelsson


20 mars 1999 11.41.26
En paralelltrapets ABCD är AB den av de paralella sidorna. Sidan CD är 40 l.e och sidorna AD och BC är 60 l.e. Då trapetsets roterar kring AB alstras en kropp. Beräkna exakt den störta möjliga volymen hos denna kropp.

Svar:

B över A, C över D, AB till vänster om DC, A avstånd x under D:s horisontella projektion E på AB, B avstånd x över C:s horsontella projektion F på AB.
Maximera volymen V=V(x) m a p x, där 0 < x < 60.
V(x)=\pi*y2*40+2*\pi*y2x/3=\pi(602-x2) (40+2x/3),
där y är längden av ED, d v s y2=602-x2.
Derivera: dV/dx=\pi*(-2x(40+2x/3)+(602-x2)*2/3)=0 => x=20.
V(20)=512000*\pi/3 ="optimal volym".

Andreas Axelsson


19 mars 1999 20.15.58
Hur stor är sannolikheten att patiansen "idioten" går ut? Den går ut på att man lägger ut fyra kort. Om det då finns flera kort i samma färg så tar man bort dom lägre (ess är högst). När det inte går längre lägger man ut fyra nya. Blir det tomt i en hög får man lägga dit något annat kort från toppen av någon annan hög. När hela kortleken äe spelad och det ligger fyra ess på toppen, har man gått ut.
Niklas Wahlström

Svar:

Vet ej, men nära 0.

Anders Dahlner


19 mars 1999 19.00.36
Lite oväntat dyker ju pi upp här och var i sanolikhetslära och statistik men jag vet att jag även sett e i detta sammanhang. Jag tror problemet kallas sekreterarproblemet eller dylikt: Man ska anställa en sekreterare, det finns N antal sökande med slumpmässigt varierande skicklighet. Efter att man har intervjuat en sekreterare måste man omedelbart bestämma sig för om man ska anställa henne eller inte. Hur ska man göra för att sannolikheten för att man får en bra sekreterare är så hög som möjligt. Dvs när ska man sluta intervjua? Jag vet att lösningen inehåller N och e, kan ni lösa problemet?
Rickard Bengtsson

Svar:

Se 13 december 1998 00.00.47.

Anders Dahlner


19 mars 1999 18.56.10
Hej! Jag gör ett arbete om Intergrationsmetoder och jag skulle vilja veta om det finns någon historisk fakta om Intergraler? Typ vem som uppfann metoden eller hur den växte fram. Tack på förhand.
Åsa Revenius

Svar:

En del hävdar att Archimedes var nära att komma fram till integralkalkylen när han ville bestämma arean och volymen av ett klot. Införandet av integralen brukar tillskrivas Leibniz och Newton. Leibniz' beteckningar är de som vi använder oss av idag. Cauchy var dock den förste att ge en stringent definition av intgralbegreppet och visade att kontinuerliga funktioner är integrerbara på ett begränsat intervall. Senare gav Riemann en ännu bättre definition av vad integralen skall vara och vilka funktioner som skall vara integrerbara, detta gjorde han i en docent-avhandling som egentligen handlade om trigonometriska serier.

Ett fundamentalt problem med den Riemannska integralen är att om man har en följd av integrerbara funktioner f_1, f_2, f_3,... som går mot en funktion f, så är det ej säkert att f är integrerbar och även om så är fallet så är det ej säkert att  I(f_n) går mot I(f) (där jag skrivit I(f_n) för integralen av f_n etc). 1902 löstes detta problem och många andra i av Lebsegue som i sin doktorsavhandling införde en helt ny integral Lebesgueintegralen.

Även om Riemannintegralen är den integral som man först stöter på i sina matematikstudier, så är det Lebesgueintegralen som används i den moderna matematiken.

Här finns mer att läsa om detta.

Anders Dahlner


19 mars 1999 18.43.07
Jag har läst i någon bok att många av de som trott att de hade löst fermats stora sats gjorde misstaget att anta att det existerar en unik primtalsfaktorisering för gaussiska heltal (jag tror att det var så).
Hur skulle ett sådant bevis vara uppbyggt, och finns det andra bevisförsök där felet inte är helt trivialt. När jag säger, inte helt trivialt, menar jag ett sådant fel som måste granskas av en matematiker med specialkompetens inom ämnet?
Rickard Bengtsson

Svar:

Dessvärre kan jag inte ge ett bra svar på din fråga, men visst finns det gott om felaktiga bevis där felen har varit svåra att finna - Wiles själv har ju till och med bidragit med ett sådant.

När det gäller Fermats stora sats rekomenderar jag följande länk Links for Fermat's Last Theorem .

Anders Dahlner


19 mars 1999 15.33.54
Hej!!! Det är vi igen! Vi trodde inte på att vi kunde få ett så snabbt svar! har följande problem:
1) En delmängd av de positiva kallas "dubbelfri" om det inte finns något heltal n i mängden sådant att både n och och 2n ingår i mängden. Om ett tal ingår får alltså inte dess 2-multipel ingå. Bestäm antalet element i största möjliga delmängd av talen 1 till och med 100.
2) En man promenerar med konstant hastighet från Xby till Ystad på 2 timmar. En kvinna går samma väg och med samma konstanta hastighet men i motsatt riktning, dvs från Ystad till Xby. De startar helt på måfå och oberoende av varandra någon gång mellan kl 9.00 och kl 21.00. Hur stor är sannolikheten att de möts på vägen?
3) De 1999 rella talen x_1, x_2,......,x_1999 har följande egenskap: för varje andragradspolynom p är minst tre av de 1999 talen p(x_1), p(x_2),......,p(x_1999) lika. Är det då säkert att minst tre av talen x_1, x_2,......, x_1999 är lika?
4) I ett trredimensionelllt rätvinkligt xyz.koodinatsystem finns två likadanaräta cirkulera cylindrar. Varje cylinder har höjden 10 cm, och i bottenytan är 2 cm. Den ena cylinderns höjd är parallell med x-axeln. Den andra cylinderns höjd är parallell med y-axeln. Var och en av cylidrarna har sin tyngdpunkt i origo. En cirkel placeras vinkelrätt mot z-axeln, så att cirkelns centrum kommer att ligga på z-axeln, 1 cm från origo. Cirkelns area är 20 cm^2. Hur många kvadratcentimeter av cirkelskivan ligger helt inne i båda cylindrarna(samtidigt)?
5) Ett tåg kör 160 km på två timmar. kommer tåget helt säkert att under någon sammanhängande period på precis 60 minuter under färden ha medelhastigheten 80 km/h?
6) Låt punkten P ligga helt inne i en triangel ABC. Vi ritar 3 linjer CP, AP, BP som skär triangels sidor AB, BC och CA i punkter K, L, M. Visa att om det finns en cirkel inskriven i fyrhörningen KBLP och en annan cirkel inskriven i fyrhörningen AKPM då finns det också en cirkel inskriven i fyhörning LCMP.
TACK FÖR ATT NI FINNS!!!
Linda & Co

Svar:

Dessvärre har vi inte tillräckligt med tid för att lösa uppgifter som dessa, dvs tävlingsproblem och liknande.
Här är i alla fall svaret på första frågan:

1)  Betrakta mängderna:
M1={1,2,4,8,16,32,64} , M2={3,6,12,24,48,96}, M3={5,10,20,40,80}, M4={7,14,28,56}, M5={9,18,36,72}, M6={11,22,44,88}, M7={13,26,52}, M8={15,30,60}, M9={17,34,68}, M10={19,38,76}, M11={21,42,84}, M12={23,46,92}, M13={25,50,100}, M14={27,54}, M15={29,58}, M16={31,62}, M17={33,66}, M18={35,70}, M19={37,74}, M20={39,78}, M21={41,82}, M22={43,86}, M23={45,90}, M24={47,94}, M25={49,98},
M26={51}, M27={53}, M28={55}, M29={57}, M30={59}, M31={61}, M32={63}, M33={65},...,M50={99}

Dessa är givetvis långt ifrån dubbelfria, men vad som är intressant här är att de ej har några gemensamma element och om n ligger i Mk och om 2n är mindre eller lika med 100 så ligger även 2n i Mk. Det räcker därför att undersöka maximala antalet element för dubbelfria delmängder av dessa mängder.
Låt M'1 vara en maximal dubbelfri delmängd av M1. M1 har ett udda antal element så M'1={1,4,16,64}.
Låt M'2 vara en maximal dubbelfri delmängd av M2. Då är M'2={3,12,48} (eller M'2={6,24,96} eller M'2={3,24,96}).
Låt M'3 vara en maximal dubbelfri delmängd av M3. M3 har ett udda antal element så M'3={5,20,80}.
Låt M'4 vara en maximal dubbelfri delmängd av M4. Då är M'4={7,28} ett alternativ.
Låt M'5 vara en maximal dubbelfri delmängd av M5. Då är M'5={9,36} ett alternativ.
Låt M'6 vara en maximal dubbelfri delmängd av M6. Då är M'6={11,44} ett alternativ.
Fortsätter man så här så får man att
M'1 innehåller 4 element,
M'2 och M'3  innehåller 3 element,
M'4, M'5, M'6, M'7, M'8, M'9, M'10, M'11, M'12 och M'13 innehåller 2 element,
samt de övriga ett element.
Svaret blir: 4+2*3+10*2+37*1=67 element.

Anders Dahlner


19 mars 1999 10.28.06
Hej jag har en fråga!!! Vi har Herons formel A=Roten ur (s(s-a)(s-b)(s-c), där s = (a+b+c)/2, och a, b, c motsvarar sidorna i en triangel. Med denna formel kan man beräkna arean av en triangel. Kan man även beskriva arean av en fyrhörning eller till och med alla hörningar (n-hörningar)??
Tobias Svensson

Svar:

Nej, om du har en n-hörning där n > 3, så kan arean vara hur liten som helst. Detta kan man förstå genom att tänka sig att man har gångjärn i hörnen så att man kan dra ut n-hörningen så att den liknar en linje mer eller mindre...
Titta på en cykelkedja. Däremot kommer den att ha en maximal area.
Herons formel är möjlig ty om man känner kanterna hos en triangel så känner man även vinklarna därför är metoden ovan ej att genomförbar.

Se även  18 maj 1998 18.50.19.

Anders Dahlner


19 mars 1999 10.18.14
Hej!
Jag undrar hur man dividerar binära tal!
Goran

Svar:

En metod är trappan eller liggande stolen, alternativt kan du till exempel (1) skriva om dina binära tal på decimalform  (2) dividera dem som vanligt samt (3) skriva om resultatet på binärform.
         Exempel: Beräkna  110/10.
Det binära talet 110 är lika med   0*20+1*21+1*22=6  i decimalform. På samma sätt är det binära talet 10 lika med 0*20+1*21=2.  Alltså är 110/10 lika med 6/2=3 i decimalform, vilket är lika med 11 i binärform.
         Svar: 110/10=11.

Anders Dahlner


18 mars 1999 20.32.01
Har a(a+1)(a+2)=b(b+1)(2b+1) någon lösning med naturliga tal förutom a=b=0 och a=b=1?
Edvard Jonasson

Svar:

Numeriska undersökningar ger att det inte finns några små lösningar. Det observeras att efter division med 6 är högerledet 12+22+...b2, medan om a är jämnt är vänsterledet summan av de jämna kvadraterna mindre än a och summan av de udda om a är udda. Lösning dock ej funnen.

Andreas Axelsson


18 mars 1999 16.26.04
Hej jag undrar hur det gör att lösa ut ekvationen för en andragradsekvation då man vet båda rötterna och kurvans maxvärde Ex: Man vet att X1=1 och X2=3, således vet man ju att symetrilinjen är X=2. Man vet även att kurvans maxvärde är Y=8. Jag vill således veta hur man får fram A,B,C på ett smidigt sätt Y=X(A+X)+BX+C Tack Tomas.
Tomas Sagebro

Svar:

Kallas rötterna x1 och x2 blir kurvans ekvation y=a(x-x1)(x-x2), där a bestäms av maxvärdet M genom ekvationen M=-a((x2-x1)/2)2. I ditt exempel blir alltså ekvationen y=-8(x-1)(x-3).

Andreas Axelsson


18 mars 1999 13.21.07
Hur räknar man ut arean på Kochs snöflinga med utgångspunkt från n, där n = 1 ger en triangel och n = 2 ger en regelbunden 6-uddig stjärna?
Ove Jansson

Svar:

Sidlängd i steg n: ln=31-n.
Antalet sidor av denna längd i steg n: kn=3*4n-1.
Arean som tillkommer mellan steg n och n+1:
An=kn(A*(ln+1)2), där A är arean av triangeln i steg 1.
Arean av Kochs snöflinga:
A+A1+A2+...=A(1+1/3(1+(4/9)+(4/9)2+...)=8/5*A
(summa av geometrisk serie).

Andreas Axelsson


18 mars 1999 10.33.22
Hej! Jag har en fråga om de negativa talens historia. När började man använde negativa tal och är det en upptäckt som är knuten till en viss matematiker eller grupp av matematiker? Tack på förhand!
Per-Arne G.

Svar:

Negativa tal erkändes först på 1600-talet som matematiska objekt. Den förste som lät en bokstav stå för ett negativt tal var holländaren Jan Hudde i ett arbete 1659. Då de italienska algebristerna under 1500-talet arbetade på lösningen av 3:e och 4:e gradsekvationen betraktade de t ex ekvationer som x3=2x+3 och x3+2x=3 som olika typer av 3:e gradsekvationer. Hade de negativa talen varit tillgängliga hade båda kunnat skrivas på formen x3+px+q.

Andreas Axelsson


18 mars 1999 08.23.47
Hej igen!
Jag ställde en fråga om "Galärmetoden", den 23 februari i år. Det är ett sätt att utföra en division. Själva uppställningen kommer att påminna om ett skepp, det är därför namnet "galär" finns med. Jag hoppas att den här informationen kan hjälpa dig att hitta en förklaring på hur man gör.
Marika Larsson

Svar:

Galärmetoden är en uppställning för division, som troligen är av indiskt ursprung. Den användes från tiden för al-Khowarizmi (ca 825) och anammades av Fibonacci. När räkningarna skrevs i t ex sand fungerade metoden utmärkt, eftersom siffror lätt kunde strykas ut och ersättas med andra. När sedan räkningarna gjordes med bläck på papper uppfanns andra metoder och galärmetoden användes inte i någon större utsträckning efter 1600.

Metoden finns beskriven i t ex D.E. Smith: History of Mathematics, Dover Publications och en artikel finns även i Sigma.

Följande exempel visar hur divisionen av 65284 med 594 går till. Strukna siffror har markerats med rött. I den sista uppställningen kan man utläsa att kvoten är 109 och resten är 538.

 
 
 
65284(1
594   
 
 
 
 
1
65284(1
594   
 
 
 
 
16
65284(1
594   
 
 
 
 5
168
65284(1
594   
 
 
 
 5
168
65284(10
5944  
 59
 

 
 5
168
65284(10
59444 
 599
  5
 15
 533
16878
65284(109
59444 
 599
  5

Kjell Elfström


17 mars 1999 22.01.11
Finns det någon formel för ett idellt äggs area och volym
Håkan Jansson

Svar:

Du får nog precisera vad du menar med ett idealt ägg. Jag känner inte till om ägget alltid har en speciell form, så du kanske bör vända dig till en biolog.

Jonas Månsson


17 mars 1999 15.09.31
Konisk Behållare En upp och nedvänd kon med höjden 60 cm och radien 12 cm är delvis fylld med vatten. Vattnet läcker ut genom konen med en hastighet som är proportionell mot den area som är i kontakt med vattnet. Man fyller på vatten i konen uppifrån.
Om påfyllnadshastigheten är 100 kubikcentimeter/min kommer vattenytan att sjunka med hastigheten 0,6 cm/min då avttenhöjden i konen är 24 cm. Hur stor ska påfyllnadshastigheten vara om man vill att vattenytan ska hålla sig konstant på en viss nivå?
Lars Gustavsson

Svar:

Låt V beteckna vattenvolymen, A arean i kontakt med vattnet, t tiden, h vattennivån och p påfyllnadshastigheten. Då gäller

dV/dt = p - k*A        (*)

Då vattenhöjden h är 24 cm, gäller att arean är A=pi*h*tan(phi)*sqrt( (h*tan(phi))2+h2 )=pi*24*(1/5)*sqrt(242/52+242)=pi*242sqrt(26)/52
där phi är konens toppvinkel. Vi använder oss av att tan(phi)=12/60=1/5. P.s.s får vi V(t)=(1/3)*pi*(h*tan(phi))2*h=(pi/75)*h3
så dV/dt =(pi/75)*3h2*dh/dt

Alltså då h=24 och dh/dt=-0,6 så får vi dV/dt=(pi/25)*(24)2*(-0,6). Genom att nu stoppa in den beräknade arean A, påfyllnadshastigheten p och dV/dt i (*) kan vi bestämma k.

Sätt sedan dV/dt till noll och lös ut det nya värdet på p.

Jonas Månsson


17 mars 1999 11.19.19
jag har en matematisk berättelse som jag inte kan lösa... den går så här: tre personer är ute och äter mat. Maten kostar trehundra så de betalar 100 kroner var, men så kommer kyparen på att maten kostar ju bara 250 kroner. Men så tänker han att 50 kroner är lite svårt att dela på tre personer, så då tar han 20 kroner i dricks och lämnar tillbaka en tia till varje person. Då kan man ju säga att de har betalat 90 kronor (eftersom de först betalade 100 kroner och sen fick de ju tillbaka en tia) men om man lägger ihop 90+90+90+20=290 vart tog den sista 10 vägen? för de tre personerna betaladde 90(det kan man ju säga) plus de 20 som kyparen tog i dricks... men det fattas ju en tia.... de hade 300 först men du har de bara 290, vart har tian tagit vägen??????
Helen från Åmål

Svar:

Personerna betalar inte 90 kronor var + dricks. Anledningen till att de betalar 90 kronor vardera är just att dricksen är inräknad. En korrekt summation blir 90+90+90+30=300 där 30 kr är de pengar personerna har kvar.

Jonas Månsson


17 mars 1999 06.04.18
Hejsan! Skulle vilja ha hjälp med följande induktionsbevis Visa att: (2n över n) > 4 upphöjt till n dividerat med n+1 för varje heltal n större eller lika med 2
stefan

Svar:

Påståendet gäller trivialt för n=2. Antag sant för n. Nu gäller

(2(n+1) över n+1) = (2n+2 över n+1) = (2n+2)(2n+1)(2n över n)/ (n+1)2
= 2(2n+1)(2n över n)/(n+1) > 2(2n+1)*4n/(n+1)2
= [ (1/2)*(2n+1)(n+2)/(n+1)2 ] * [4n+1/(n+2)] > 4n+1/(n+2)

och påståendet följer av induktionsaxiomet. (Den sista uppskattningen får vi genom att helt enkelt förenkla täljare och nämnare i den första faktorn.)

Jonas Månsson


16 mars 1999 22.31.20
Kan man beräkna kvadratroten med endast +, -, *, /, jag skall göra en beräkning i en enkelprocecdator som saknar kvadratroen?
Tomas

Svar:

Se svar från 1 mars 1999 18.36.15 .

Jonas Månsson


16 mars 1999 22.16.51
Jag ska koplitera min matte med matematik c, och sitter nu med andragradens ekvationer. jag skulle bli glad om du kunde ge en enkel och grundlig besdkrivning av andragradens ekvationer.
solveig

Svar:

En andragradsekvation är en polynomekvation av grad två som har det allmäna utseendet

ax2+bx+c=0.

för några konstanter a,b och c, och där vi genom att dividera med a kan anta att a=1. För att lösa en sådan utför vi en s.k kvadratkomplettering, d.v.s skriver vänsterledet som en kvadrat + en konstant restterm.

x2+bx+c=( x+b/2 )2 +c-(b/2)2

Detta betyder att vår ursprungliga ekvation kan skrivas

(x+b/2)2=(b/2)2-c

Om nu högerledet är >=0 får vi de bägge lösningarna genom att dra roten ur bägge led. Då det allmänt gäller att sqrt(y2)=(absolutbeloppet av y) får vi de två olika lösningarna:

x=-b/2 (+/-) sqrt( (b/2)2 - c ).

Om däremot högerledet <0 får vi s.k komplexa lösningar, vilket kanske är lite utanför matematik c-kursen.

Jonas Månsson


16 mars 1999 22.15.13
What is the maximum percentage you can fill an unlimited space with an unlimited number of identical ideal balls? Give the exact solution !
Mark

Svar:

Se sidan the Kepler conjecture.

Jonas Månsson


16 mars 1999 15.01.03
Ett hus i form av ett rätblock med kvadratiskt golv skall byggas. Husets volym skall vara 1500 kubikmeter. Genom taket förloras tre gånger så mycket värme som genom väggarna räknat per kvadratmeter. genom golver sker inga värme förluster. Vilken form skall huset ha om värmeförlusterna skall minimeras? Snälla hjälp oss!
mattesnillen kanske

Svar:

Låt det kvadratiska golvet vara a x a meter, och höjden b m. Nu gäller att volymen V=a2b=1500 => b=1500/a2. Antag att värmeförlusten är 1 enhet/m2 genom väggarna och 3 enheter/m2 genom taket. Värmeförlusten L blir då L=3*a2+4*1*ab=3a2+6000/a. Vi betraktar L som en funktion av a och deriverar:

L'(a)=6a-6000/a2=(6a3-6000)/a2=6(a-10)(a2+10a+100)/a2

L'(a)=0 <=> a=10. Teckenstudium av L(a) visar att vi har ett globalt minimum i a=10. Alltså, huset ska vara 10x10x15 meter.

Jonas Månsson  


16 mars 1999 14.56.19
Vi behöver akut hjälp med detta tal: En staty är a m hög och står på en b m hög piedestal. Hur långt bort från piedestalens fot skall du stå för att statyn skall uppta största möjliga vinkel i din kamera? Antag att kameran hålles c m ovanför marken, att markplanet är helt plant och att c<b. Vi är tacksamma för all hjälp vi kan få!
Mattelärare

Svar:

Hela statyn syns precis då avståndet är (a+b-c)/tan(v) meter, där v är "vidvinkeln" för kameran.

Jonas Månsson


16 mars 1999 14.48.30
Finns det någon bra bok i kombinatoriken som på ett lättförklarande sätt visar hur problemen kan brytas ned till mindre delproblem? Exempelvis brytas ned till olika fall.
Magnus Karlsson

Svar:

Jag känner tyvärr inte till så mycket litteratur i kombinatorik. En bok jag skulle kunna rekommendera är Discrete and Combinatorial Mathematics, R.P Grimaldi som är en introduktionsbok med många och långa exempel. Personligen tycker jag dock att den är lite väl "pratig" emellanåt.

Jonas Månsson


16 mars 1999 14.46.23
Diskret matematik: Hur många 8-siffriga tal innehållande 4 olika siffror finns det, där varje siffra (av de 4 olika) förekommer i exakt två positioner? (Alltså 4*2 positioner) Talet kan trivialt ej börja med en 0:a.
Magnus Karlsson

Svar:

Vi kan välja ut (10 över 4) olika kombinationer av fyra siffror bland de tio. Med en uppsättning av två exemplar av varje siffra i en sådan kombination kan vi bilda 8! permutationer. Nu kommer det för varje tal som kan bildas på det viset, att finnas precis 24 permutationer som representerar samma tal, så antalet tal som kan bildas av varje kombination är 8!/24 . Sålunda finns det (10 över 4)*8!/24 st 8-siffriga tal med 2*4 siffror. Nu måste vi dock dra av antalet tal som börjar med 0. Hur många sådana tal finns det bland de förstnämnda ?  Den andra nollan kan ha en av 7 övriga positioner, de övriga siffrorna är tre par av siffror valda bland nio st, d.v.s det finns (9 över 3) stycken kombinationer av sådana, och varje sådan kombination av par kan bilda 6!/23 st olika siffror. Alltså drar vi av 7*(9 över 3)*6!/23 och det totala antalet N blir

N=(10 över 4)*8!/24-7*(9 över 3)*6!/23 st

Jonas Månsson


16 mars 1999 10.41.46
vem har bestämmt alla grejer??? jag menar alla tecken! maila!
maila mig på crazy_tjej@hotmail.com

Svar:

Se svar från  26 augusti 1997 22.11.47.

Jonas Månsson


16 mars 1999 10.37.14
hej vem har kommit på siffror?
yjoi

Svar:

Se svar från  26 augusti 1997 22.11.47.

Jonas Månsson


15 mars 1999 20.40.53
Hej Kjell! Jag och mina kompisar hade en fråga var, så vi tänkte att skriva ett gemensamt brev:
1) Bevisa att ekvationen sin x * cos x= cos(sin x) inte har några lösningar.
2) I varje ruta på ett oändlligt schackbräde finns ett naturligt tal skrivet. Antag att varje sådant tal är medelvärdet av de 8 talen i de omgivande närliggande rutorna. Bevisa att om ett visst tal förekommer i en ruta, så finns det i oändligt många rutor.
3) Bevisa att bland 10 på varandra följande positiva heltal finns alltid ett som inte har någon gemensam delare, större än 1, med något av de övriga.
4) I ett land finns n städer(n>2). Mellan varje par av städer finns det en flyglinje som går i bägge riktningarna. Tyvärr är ett antal flyglinjer stängda pga pilotstrejk. Visa att om antalet stängda linjer är högst lika med n-3, så går det att flyga en rundtur till alla städer, med landning i varje stad precis en gång, och så att man slutligen landar i den stad man startade i.
5) Visa att varje oändlig, växande, artimemtisk talföljd måste innehålla något tal som börjar med de fyra siffrorna 1995.
6) Bestäm antalet element som tillhör mängden {1, 2, ..., 99, 100} och som om n ingår, så får talet 2n ej ingå, och vice versa. Tack i förskott!!! Linda, Maria, Karin, Anders, Joakim och Sara.

Svar:

1) I vänsterledet har vi sin(x)cos(x)=sin(2x)/2 som alltid ligger mellan -1/2 och 1/2. Uttrycket i högerledet är alltid > 1/2 för sin(x) ligger mellan -1 och 1 och i det intervallet antar cosinus värden mellan cos(1) och 1, vilket man lätt ser t ex genom att studera grafen till cos(x). Eftersom cos(1) är ungefär 0,54 är alltid högerledet större än vänsterledet.

2) Låt k vara det minsta tal som finns på schackbrädet. För att de angränsande talens medelvärde skall bli k måste alla angränsande tal vara lika med k för några mindre tal finns inte så om något tal är större än k blir medelvärdet större än k. Om man upprepar resonemanget ser man att det måste stå k i alla rutor på brädet.

3) Bland de 10 talen stryker vi alla tal som har någon primfaktor gemensam. Om något tal återstår måste det sakna gemensam delare med de övriga. Vi behöver endast undersöka vilka tal som har 2,3,5 och 7 som delare för högre primtal delar aldrig två tal vars differens är mindre än 10. Vi tar först bort de 5 tal som innehåller 2 (de jämna talen). Sedan tar vi bort de som 5 delar. Det finns två sådana varav ett är jämnt. Vi får alltså ta bort ett tal till. Det finns högst 3 tal som 3 delar och minst ett av dem är jämnt och högst 2 tal som 7 delar varav  högst ett är udda. Totalt har vi tagit bort högst 5+1+2+1=9 tal så minst ett måste vara kvar.

4) Vi visar påståendet med induktion. Om det finns 3 städer (A, B och C) är alla 3 flyglinjerna öppna så man kan flyga A->B->C->A. Antag nu att det alltid finns en rundtur mellan n-1 städer om högst n-4 linjer är stängda. Vi har nu n städer och högst n-3 ständga linjer. Det finns alltid någon stad som man kan flyga till minst n-2 andra ifrån. (Annars är minst n linjer stängda.) Vi kallar den staden för S. Om det finns n-2 flyglinjer från S har vi stängt en linje så då kan högst n-4 linjer mellan andra städer vara stängda. Enligt antagandet finns då en rundtur genom alla städer utom S. Tag två städer A och B som ligger efter varandra i rundturen och är förbundna med S. (Det finns ty vi behöver bara undvika att ta med den enda stad som inte har någon förbindelse med S.) Byt nu ut sträckan A -> B mot A -> S -> B så får vi en rundtur genom alla städer. Vi har kvar fallet då alla flyglinjer till/från S är öppna. Om det finns en rundtur genom övriga städer kan vi göra som i föregående fall. Antag nu att det inte finns någon sådan rundtur. Om vi lägger till en flyglinje mellan två städer C och D finns en rundtur enligt induktionsantagandet. Välj denna rundtur men byt ut sträckan C->D (som är stängd) mot sträckan C-> S -> D. Klart.

5) En aritmetisk talföljd består av talen an+b, n=0,1,2,3,4,5... där a och b är några konstanter. Vi kan anta att 0<=b<a ty annars kan vi byta ut b mot resten av b vid division med a. Det ger bara några extra tal i början på serien. Om a är ett tal med k siffror kan vi sätta n= (1995*10k - r)/a där r är resten av 1995*10k vid division med a. Då blir n ett heltal och an+b = 1995*10k-r+b. Eftersom r och b har högst k siffror blir det ett tal som börjar med 1995.

6) Jag förstår inte riktigt frågan. Gäller det att hitta den största delmängd av {1,2,3,... 100} som uppfyller vilkoret att n och 2n inte båda tillhör delmängden?

Anna Torstensson


15 mars 1999 19.30.56
Fick några tankenötter av min lärare som handlar om logiska förhållanden. Har tänkt fasligt mycket och ej kommit på svaren till dessa, men detta knäcker väl ni ?! Så här lyder de
1)KOJA förhåller sig till 1111714 som LAST förhåller sig till: 4171111 1112814 2020314 1246211
2.Vilket tal hör inte hemma bland de övriga? 17 3 31 15 23
3.Vilket ord är minst lik de andra? METER KILOGRAM AREA KUBIKMETER GRADER
4.Vilken bokstav är minst lik de andra? S T F R O 5.Vilket tal skiljer sig från de övriga? 126 18 243 84 173
6.Vilket ord skiljer sig från de övriga? TRUMPET BÖRS LAST SPADE STAB
7.Vilket tal hör ej hemma i serien? 9, 17, 20, 5, 19, 24 9 17 20 5 19 24
Kaj Manninen

Svar:

1) Bokstäverna i KOJA har positionerna 11,15,10 resp 1 i alfabetet. Addera 3,2,1 resp 0 och skriv dem i omvänd ordning. Det ger 1 11 17 14. Om man gör samma sak för LAST får man positionerna 12,1,19 och 20, vilket ger 20 20 3 15. (Det är väldigt likt alternativ 3, men stämmer inte riktigt. Det kanske har blivit fel i frågan?)
2) Alla tal utom 15 primtal.
3) Alla ord utom AREA betecknar enheter.
4) Den enda vokalen är O.
5) Endast 173 ett primtal.
6) ?
7) Ersätt varje siffra med bokstaven på den positionen i alfabetet: IQTESY. 24 skall alltså ersättas med 20.

Anna Torstensson


15 mars 1999 13.17.29
vad är en Ekvation
mathias

Svar:

En likhet där en eller flera obekanta ingår. De obekanta brukar betecknas med bokstäver, ofta x,y,z... Enkla exempel är x-7=12, x2=y+6, sin(x)=x.

Anna Torstensson


15 mars 1999 12.34.04
Hej Ni Lundamatematiker! Har en liten intressant fråga: En ö i havet har en högsta punkt 86,5 meter. Om dina ögon befinner sig 2 meter över vattenytan och jordens radie är 644 mil, på vilket längsta avstånd kan man då se ön? MVH Peter

Svar:

Rita upp jorden i genomskärning, med snittet genom ön, den punkt du står på och jordens medelpunkt. Dra linjer från jordens medelpunkt,M, till öns högsta punkt,A, och till din position,B. Om du befinner dig på det största avstånd från ön från vilket den är synlig måste siktlinjen tangera jordens yta i en punkt P. Vi skall beräkna vinkeln a mellan linjerna AM och PM. Om jorden radie är R och vi låter origo sammanfalla med M och linjen AM ligga på x-axeln så har P koordinater (Rcos(a),Rsin(a)). Eftersom tangentlinjen är vinkelrät mot vektorn (cos(a),sin(a)) har tangentlinjen riktningsvektor (-sin(a),cos(a)). Tangentlinjen ges alltså av x=Rcos(a) - tsin(a) och y=Rsin(a) + tcos(a) där t varierar. Den skall passera A=(R+86,5,0) vilket ger cos(a)(R+86,5)=R(sin2(a) + cos2(a))=R. Då blir cos(a)=R/(R+86,5). På precis samma sätt får man att vinkel b mellan MP och MB uppfyller cos(b)=R/(R+2). Om beräknar a och b i radianer blir avståndet mellan A och B R(a+b) vilket blir ungefär 38,5 km.

Anna Torstensson


15 mars 1999 12.12.30
Har alltid varit fascinerad över talserier, men har nu funnit tre talserier jag ej klarat av. Kanske du kan hjälpa mig?
1) 5, 11, 17, 23, 31, ? Alternativ: 43 37 41 40 39
2) 14, 91, 62, 53, 64, ? Alternativ:96 51 46 85 115
3) 3, 1, ?, 1, 5, 9 Alternaiv:9 2 4 8 0
Tim Zedig

Svar:

Om du vill undersöka talföljder kan jag rekommendera Sloane's On-Line Encyclopedia of Integer Sequences .

Anna Torstensson


15 mars 1999 11.39.00
Hej Hur löser man en ekvation som (3x)^1/3=(x^2)^1/2 Jag har försökt men fått olika lösningar hela tiden. Tacksam för svar.
Oskar

Svar:

I vänsterledet står (x2)1/2= |x|. Om x>=0  får vi (3x)1/3=x. Upphöj båda sidor till 3 så att vi får 3x=x3 som har lösningarna 0 och +-sqrt(3). Av dessa är 0 och sqrt(3) icke-negativa så det ger två lösningar. Om x < 0 får vi istället 3x=-x3 som saknar negativa reella lösningar. De enda lösningarna är alltså 0 och sqrt(3).

Anna Torstensson


14 mars 1999 21.27.34
Jag håller på att skriva ett arbete om Fermats stora sats, om vem han var osv. Jag undrar om ni har lite material om Fermat. kanske ni har beviset som Andrew wiles gjorde? tack på förhand
Stefan larsson

Svar:

Huvuddelen av Andrew Wiles bevis finns publicerat i Annals of Mathematics 142:1995 sid 443-551, men det innhåller mycket avancerad matematik och är alltså över 100 sidor långt. Däremot kan jag rekommendera boken "Fermats gåta" av Simon Singh. Den är populärt skriven men tar ändå upp ganska mycket av de matematiska idéer som ligger bakom beviset. Där finns också en del referenser om du vill veta mer.

Anna Torstensson


14 mars 1999 17.38.34
Vi funderar lite på stora tal....framförallt vad de heter. Finns det ett tal som heter biljard, eller är det endast ett spel? Vad kommer efter noniljon? Vad kommer efter det och efter det osv. Är det största talet gogoolplex?
Agneta & Sven

Svar:

Biljard är inte benämning på något tal och noniljon har jag aldrig hört talas om. En gogolplex är 10 upphöjt till 10 100 dvs en etta med 10 100 nollor efter. Det är det största namngivna talet, men något största tal finns inte eftersom man till varje tal kan lägga till 1 och på så sätt få ett större tal.

Anna Torstensson


14 mars 1999 15.24.06
Visa med induktion att om n>=1 så gäller: 1*4+2*5+3*6+...+n(n+3)=(n(n+1)(n+5))/3
Magnus Jansson

Svar:

För n=1 blir VL=4 och HL=4 så påståendet är sant för n=1. Antag att det är sant för n-1, dvs att 1*4 + 2*5 + ... + (n-1)(n+2) = (n-1)n(n+4)/3. För n blir då VL

1*4 + 2*5 + .. +n(n+3) = (n-1)n(n+4)/3 + n(n+3) = (n3 + 6n2 + 5n)/3 = n(n+1)(n+5)/3.

Därmed ger induktionsprincipen att satsen är sann för alla n.

Anna Torstensson


14 mars 1999 01.11.31
Tjena!! Har en liten fråga: 1000 fiskar fångas i en sjö och märks och släpps sedan tillbaka. En fångst om 1000 fiskar görs och 100 bär märke.Vad kan sägas om antalet fiskar n i sjön. Vilket sannolikhet är det för n = 1900. Vad är det troliga värdet samt rimlig gräns för n. tack på förhand
Fiskaren

Svar:

Om det finns n fiskar i sjön varav 1000 är märka finns det (n 1000) sätt att fånga 1000 fiskar. Antalet sätt att fånga 1000 fiskar varav 100 är märkta blir (n-1000 900)(1000 100). Sannolikheten för att hundra fiskar är märkta blir alltså kvoten mellan dessa tal. Om n=1900 blir kvoten (900 900)(1000 100)/(1900 1000) ungefär lika med 0,54*10-429. Det värde på n som ger högst sannolikhet (ungefär 0,044) för 100 märkta av 1000 är n=10000, så det är rimligt att gissa att n ligger i närheten av 10000. Fångsten tyder ju på att cirka 10% av fiskarna är märkta.

Anna Torstensson


12 mars 1999 23.22.24
Jag undrar hur man bestämmer konstanterna a och b så att kurvan y=a+bx-x^2 går genom punkterna (-1,3) (5,-4)
Björne

Svar:

Om vi sätter in värdena för de båda punkterna i ekvationen så får vi ekvationssystemet

(1)             a -    b  = 4
(2)             a + 5b  = 21

Subtraherar vi ekvation (1) från ekvation (2) så erhåller vi

(a+5b)-(a-b)=21-4 <=> 6b=17 <=> b=17/6

Sätter vi in värdet på b i någon av ekv. får vi a=41/6

Jonas Månsson


12 mars 1999 20.19.12
Hur löser man ekvationen y´= C*(b/a) där C är en konstant ? Är detta en differentialekvation ?
Bengt Sell

Svar:

Jag vet tyvärr inte vad a och b är för något, eller vilken variabel derivatan avser. Var vänlig förtydliga frågan.

Jonas Månsson


12 mars 1999 12.39.14
Hej! Jag undrar vad begränsningsarea är? Hur räknar man isåfall ut en begränsningsarea för ett rätbblock med måtten 18 cm bred, längden 26cm och höjden 1 cm.
Lisa Nordin

Svar:

Begränsningsarean av ett geometriskt objekt är arean av "utsidan" av detsamma. Begränsningsarean av ett rätblock blir då summan av areorna för de sex olika sidorna. Arean för var och en av de två "basytorna" blir bredd*längd=18*26=468 (cm)2, för de två "långsidorna" längd*höjd=26*1=26 (cm)2 och för de två kortsidorna bredd*höjd=18*1=18 (cm)2 vilket ger den sammanlagda arean

2*468+2*26+2*18=1024 (cm)2

Jonas Månsson


12 mars 1999 12.34.54
En, två, många - är det fel, eller?
Gabriela Büttner

Svar:

Det finns faktiskt naturfolk som inte kan räkna längre än till fyra, och sedan använder motsvarigheten till ordet 'många' för att beskriva större mängder, så det är inte alldeles fel :-).

Jonas Månsson


12 mars 1999 12.24.50
1) Visa att lnx <= x-1 för x>0 2) Visa att x upphöjt med 2 >=1+2lnx när x>0
Mats Liljegren

Svar:

1) Sätt f(x)=x-1-ln(x) , x>0. Nu är f'(x)=1-1/x vilket har det enda nollstället x=1. Teckenstudium av f'(x) för x>0 visar att vi har ett globalt minimum i x=1. f(1)=0, vilket betyder att f(x)>=0 , x>0 eller ekvivalent ln(x)<=x-1 för x>0.

2) Sätt f(x)=x2-2ln(x)-1, x>0. Nu är f'(x)=2x-2/x=(2x2-2)/x=2(x-1)(x+1)/x vilket har det enda nollstället x=1 då x>0. Teckenstudium visar att vi har ett globalt minimum i x=1. Nu är f(1)=0, så f(x)>=0 för x>0.

Jonas Månsson


12 mars 1999 10.01.09
Hej jag undrar vad en funktion av typen Ax^B kallas? Där A och B är godtyckliga konstanter.
Daniel Klintbäck

Svar:

Den kallas för potensfunktion.

Jonas Månsson


11 mars 1999 23.16.50
Oupps så lätt var inte frågan!! När jag menade i:e roten menade jag förstås att i är imaginär alltså i^2=-1 så jag ställer om frågan: Ge mig ett polynom där en av flera rötter är i:e roten ur a. Koefficienterna skall vara heltal el. imaginära! Måste a vara ett transcendentalt tal? Om i så fall vilka tal är det då och hur många rötter kan erhållas med svarspolynomet ? och hur ser polynomet ut ? mvh Jonas Sunrydh

Svar:

Det borde inte vara så svårt:

p(x)=x-i=x-ei*pi/2=x-e(-pi/2)*(-i)=x-e(-pi/2)*(1/i)=x-a1/i

Så p(x) är ett polynom med t.o.m både heltals- och imaginära koefficienter, med det enda nollstället ' i ' som är i:te rot av a=e-pi/2.

Jonas Månsson


11 mars 1999 20.03.13
Tack för bra svar på en hel del frågor som jag har skickat in! Den här gången skulle jag vilja komplettera ett par av era svar. Hoppas att det går bra. 2 mars 1999 13.58.11: Rekordet för beräkning av pi:s decimaler ligger på ca 51,5 miljarder (sommaren 1997)! Rapport finns på url ftp://www.cc.u-tokyo.ac.jp/README.our_latest_record 1 mars 1999 15.49.32: lösningarna till ekvationer av typen sin(ax)=bx kan (ibland) uttryckas med hjälp av potensserier med koefficienter som kan uttryckas med hjälp av elementära funktioner och upprepad derivering. Operatorn D^k ingår alltså i koefficienterna. Ibland blir det "enkelt", ibland mindre enkelt. Några ex finnns på url http://www.algonet.se/~bengtmn/math/texts/transceq.doc
Bengt Månsson

Svar:

Tack för dina kompletteringar !

Jonas Månsson


10 mars 1999 20.51.05
Jeg er ikke professionel matematiker - i bedste en glad amatør, der har interesseret sig for matematik i et halvt menneskeliv - og stadig gør det. Jeg skriver i håb om at få hjælp vedrørende to problemer som jeg gennem længere tid har prøvet at løse/prøvet via Internet at få hjælp til at løse, men indtil videre uden held.Det drejer sig om et ellipse-problem og et kombinatorik-problem. Først ellipseproblemet. Herunder gengiver jeg mit spørgsmål, som jeg har stillet det til flere diskussionsgrupper m.v. på Internettet: I am trying to program a four set Venn diagram model. For this purpose I need to know the points of intersection between four ellipses placed such that they divide the plane into sixteen different sections. The reason for this is that I want to be able to automatically shade the different sections. Ellipse 1 is rotated 135 degrees from the positive x-axis. The same is ellipse 2 but displaced parallel to ellipse 1. Similarly for ellipse 3 and 4 except that they are rotated 45 degrees from the positive x-axis. I know how to draw by pen and paper the four ellipses so that they divide the plane as mentioned.The meaning of it all is that I want to be able to enter for example A*B*C*D (short for the intersection of four sets A, B, C and D or A+B+C+D as short for the union of the four sets A, B, C and D etc.) and the immediately have the relevant section shaded or coloured. If you will help me I could eventually - if you accept - send a small file with a picture of the ellipses as I think the should be placed. Dernæst kombinatorik-problemet: Også her gengiver jeg indholdet af mit spørgsmål, som jeg har stillet det til flere nyhedsgrupper: I am an employee at the toy manufacturer LEGO in Denmark. In this capacity I am writing to you to ask if you could help me determine the number of different build-together-combinations of 8 knob's LEGO bricks (I hope you know what I am talking about) when one builds the bricks (1) only on top of each other,and (2) both on top of and also by the side of. Customers often ask the number-of-combinations-question and our Information department has asked me for help. I think I have found out that with two 8-knobs bricks of the same color build only on top of each other there are a total of 46 combinations but only 24 which can be distinguished. But I can't manage how to find the number of combinations if there are more than two bricks. I have the feeling that if we allow to build not only on top of but also by the side of each other then the matter is complicated dramatically, not to mention if we allow the bricks to be of different color. Can you in any way provide a general formula - or if that's not possible maybee a formula for n bricks of the same colour build only on top of each other.
Hans Knudsen, Billund, Danmark

Svar:

Jag kan inte se hur man kan skapa ett Venndiagram för 4 mängder med fyra ellipser. Mitt förslag för att skapa ett sådant Venndiagram är följande: Rita upp ett rutnät  bestånde av 3 gånger 3 kvadrater med sidlängd 1. Lägg sedan till 4 halvcirklar med radie 1. De första två halvcirklarna placeras ovanför precis kvadraterna, den ena intill vänstra kanten och den andra intill högra kanten. De andra två halvcirklarna placeras på samma sätt med precis till höger om kvadraterna istället för ovanför. Fördelen med den här konstruktionen är att skärningspunkterna är relativ lätta att räkna ut. Om vi placerar origo i  rutnätets nedre vänstra hörn blir koordinaterna för skärningpunkter mellan områden representerande olika mängder: hela vänstra och nedre sidan av rutnätet samt punkterna (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1),(3,2),(3,3),(3/2,sqrt(3)/2+3) och (sqrt(3)/2+3,3/2). Legoproblemet verkar alltför omfattande och komplicerat för att utreda här.

Anna Torstensson


18120 frågor av sammanlagt 18518 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)