Fråga Lund om matematik

Sökresultat


28 oktober 1998 21.34.31
När är (x-a) en faktor till polynomet a/ x²-2ax+4?, b/x³-6ax²+8a²x-3a³? vore tacksam för hjälp. Mackan.

Svar:

Enligt faktorsatsen så är (x-a) en faktor till ett polynom om och endast om a är ett nollställe till polynomet. Sätter vi x=a i första polynomet får vi

4-a2.

a måste alltså vara 2 eller -2 för att x-a skall vara en faktor till det första ploynomet. För det andra polynomet får vi 0 om vi sätter x=ax-a är alltid en faktor till detta polynom oberoende av a.

Stefan Jakobsson


28 oktober 1998 19.38.08
Hej! Jag skulle gärna vilja ha hjälp med två uppgifter. (1)-Funktionen f har udda symmetri (m.a.p. origo) och är periodisk med perioden 8. Man vet att integralen(0 till 4)f(x)dx=1. Beräkna integralen(-16 till -8)f(x)dx. (2)-Med samma förutsättningar som i föregående uppg. , vad blir integralen(-16 till -8) abs(f(x))dx. Tack på förhand.
COOP/98 (Mdh)

Svar:

Eftersom f är udda så är

integralen[-4 till 0] f(x)dx=-1.

f är periodisk med period 8 så har vi också att

integralen[-16 till -12] f(x)dx=integralen[0 till 4] f(x+(-2).8)dx=integralen[0 till 4] f(x)dx=1

och

integralen[-12 till -8] f(x)dx=integralen[-4 till 0] f(x+(-1).8)dx=integralen[-4 till 0] f(x)dx=-1.

Svaret på första frågan är summan av dessa integraler vilket är 0.

Integralen

integralen[-16 till -8] abs(f(x))dx

kan inte beräknas eftersom det inte är givet att f är positiv på hela intervallet 0 till 4.

Stefan Jakobsson


28 oktober 1998 15.37.05
Angående min fråga 20 oktober 1998 21.39.14: Svaret på en annan av mina frågor (7 maj 1998 08.37.07) om W-funktionen ger visserligen vid handen att serien Summa ( (-k)^(k-1)*e^(-k)/k! , k=1,...,inf ) divergerar men hur bevisar man det?
Bengt Månsson

Svar:

Summan faktiskt absolutkonvergent. För att visa detta nvänder vi Stirlings formel

k !=(2 pi)1/2 kk+1/2 e-k(1+O(1/k)).

Sätter vi in denna uppskattning i termerna ak= (-k)k-1e-k/k! får vi att absolutbeloppet av ak är

|ak|=(2 pi)-1/2 k-3/2/(1+O(1/k)).

Termerna |ak| är alltså av samma storleksordning om k-3/2 . Eftersom

summa[k=1 till oändligheten] k-3/2

är konvergent så ger jämförelsesatsen för serier att

summa[k=1 till oändligheten] (-k)k-1e-k/k!

är absolutkonvergent och därmed konvergent.

Stefan Jakobsson


27 oktober 1998 18.36.16
Kan man räkna ut att 2+2 blir 5 En kompis påstår detta
Robban

Svar:

Sådana formler är resultat av felslut. Sök efter sqrt(-1) för att se svaren till liknande frågor.

Kjell Elfström


27 oktober 1998 00.04.55
Hej jag håller på med självstudier i matte, och har fastnat: Om f(z)=z säger man att z är en fixpunkt till f. vad innebär detta, och man skall bestämma fixpungten till f(z)= z-4i/iz+1. och f(z)=3iz+5/z+i. Tacksam för hjälp och kanske en liten förklaring. Mackan
Mackan.

Svar:

Att z är en fixpunkt till f betyder definitionsmässigt att f(z) = z. För en rekursivt definierad talföljd

zn + 1 = f(zn)

innebär det att z är ett jämviktsläge. Startar man med z0 = z blir zn = z för alla n. En rekursivt definierad talföljd kan betraktas som en differensekvation och sådana är närbesläktade med differentialekvationer så fixpunkter förekommer i teorin för dessa också. Se Eric's Treasure Trove of Mathematics.

I ditt första exempel tror jag att du glömt vissa parenteser. Skall det möjligen vara

f(z) = (z - 4i)/(iz + 1) ?

Ekvationen f(z) = z är i så fall ekvivalent med

(z - 4i) = z(iz + 1) = iz2 + z <=> z2 = -4
så fixpunkterna är z = ±2i.

Kjell Elfström


26 oktober 1998 23.05.56
Hur kan man med så lite analys som möjligt visa att arcsin(y)>=y+y^3/6 om 0<=y<=1 ?
Ann

Svar:

Om f är en tre gånger deriverbar funktion och x>0 så säger Taylors formel att

f(y)=f(0)+f'(0)y+f''(0)y2/2+f(3)(x)y3/6.

där x ligger mellan 0 och y.

Om f(y)=arcsin(y) får vi

f'(y)=(1-y2)-1/2, f''(y)=y(1-y2)-3/2, f(3)(y)=(2y2+1)/(1-y2)-5/2

vilket ger

f'(0)=1, f''(0)=0, f(3)(x)>=1.

Sätter vi in detta i Taylors formel så får vi den sökta uppskattningen för 0<=y<=1.

Stefan Jakobsson


26 oktober 1998 16.30.19
Hej! Beträffande frågan som jag skickade 30 september 1998 17.19.37, så var det precis så långt jag hade kommit till problemet, så skulle Ni kunna hjälpa mig lite mer? MVH A.G.

Svar:

Här är en lösning av Pontus Andersson i Uppsala.

Enligt 30 september 1998 17.19.37 så är problemet ekvivalent med att bestämma vilka positiva heltal k som kan skrivas som en produkt av tal på formen (2a+1)/(a+1), där a är ett naturligt tal, och att detta är omöjligt då k är jämnt. Jag visar nu med induktion att varje udda positivt heltal kan skrivas på detta sätt.

För k=1 är det trivialt. (Tag antingen en faktor med a=0 eller ingen faktor alls.) Antag nu att k>=3 är udda och att varje mindre (udda) tal kan skrivas på önskat sätt. Låt m och n vara naturliga tal sådana att k+1=(2n+1)*2^m, och definiera a_j=(2^{j-1}-1)*2^{m-j+2}*(2n+1)-1, j=2,...,m+1. Alla a_j är naturligtvis positiva heltal. Det är lätt att kontrollera att talen (2^j-1)a_j/((2^{j-1}-1)a_{j+1}), j=2,...,m, och talet a_{m+1}/((2^m-1)(2n+1)) alla är på formen (2a+1)/(a+1). (Det är bara att kolla att täljaren=2*nämnaren-1.) Genom teleskopering ser man att produkten av dessa m tal är a_2/(2n+1)=k/(2n+1). Men det är lätt att se att 2n+1<k, ty k>1 och m>0 eftersom k är udda. Enligt induktionsantagandet kan därför 2n+1 skrivas som en produkt av tal på önskad form. Men då är ju k produkten av dessa tal och de m talen ovan. Klart!

Stefan Jakobsson


26 oktober 1998 16.25.52
Hej! Jag har haft ett problem ganska länge utan att ha kunnat lösa den. Det handlar om programmering i Maple: Vi har en funktion f som är definierad för alla positiva heltal n. Vi har f(1)=1, f(3)=3 f(4*n+1)=2*f(2*n+1)-f(n) f(4*n+3)=3*f(2*n+1)-2*f(n) Frågan nu är: Hur ser det programmet ut som kan visa PÅ EN ENDA GÅNG de positiva heltal n<=m, där m ska kunna väljas godtyckligt, som uppfyller villkoret f(n)=n? Och lite mer avancerat skall programmet också kunna skriva ut på skärmen hur många positiva heltal n<=m, som uppfyller villkoret ovan, nämligen f(n)=n. MVH A.S.G
A.S.G

Svar:

Du har glömt att definiera f för udda tal.

Stefan Jakobsson


26 oktober 1998 12.58.10
Finns det någon allmän formel för lösning av andragradsekvationer i det komplexa talplanet?
Fredrik Hansson

Svar:

För att lösa en andragradsekvation

z2+az+b=0

så är det lämpligt att kvadratkomplettera vänsterledet oavsett om a och b är rent reella tal eller ej

(z+a/2)2=a2/4-b.

Om a och b är reella tal och a2/4-b>=0 så kan vi använda den vanliga lösningsformeln som ger att z=-a/2 +-(a2/4-b)1/2. Om a och b är komplexa tal så kan man också använda denna formel om man tolkar (a2/4-b)1/2 som ett av de komplexa tal vars kvadrat är a2/4-b. Se 22 oktober 1997 16.01.13 för en metod att beräkna detta. Denna metod behandlas också i Anders Vretblads bok Algebra och kombinatorik.

Stefan Jakobsson


26 oktober 1998 12.51.57
Hur bevisar man att Fibonacciföljden ej är begränsad?
Gunnar Björklund

Svar:

Fibonaccitalen definieras av F0=F1=1 och Fn=Fn-1+Fn-2 för n>1. Följande enkla uppskattning innebär att Fibonaccitalen är obegränsade

Fn>=n, n=0,1,2,3,....

För att visa detta använder vi induktion. Vi ser direkt att det gäller för n=0, n=1 och n=2 (ty F2=2). Antag nu att påståendet gäller för alla positiva heltal mindre eller lika med n där n>=2. Då har vi

Fn+1=Fn+Fn-1 >=n+(n-1)>=n+1.

Påståendet gäller alltså för n+1 också. Induktionsprincipen ger att påståendet är sant för alla positiva heltal.

Det går även att beräkna en exakt formel för Fibonaccitalen som visar att de är obegränsade.

Stefan Jakobsson


26 oktober 1998 11.37.42
Hej, Jag håller på att försöka reda ut en s.k. kaotisk talutveckling. Jag gör det för att jag tycker det är kul, jag är inte matematiker (utan fabriksarbetare). Men det vore roligt att få synpunkter från någon matematiker som är intresserad av det här området. Jag vill inte ha något "facit" förrän jag har grubblat färdigt själv, utan än så länge bara veta om jag är på rätt väg eller helt ute och cyklar. Min utredning (som fortfarande pågår) finns på den här sidan: http://w1.882.telia.com/~u88202211/kaos.html .Varning: Det är hemskt mycket att läsa... m.v.h./Elzie
Elzie

Svar:

Som du har noterat så har f(x)=ax(1-x) två stycken fixpunkter 0 och g=(a-1)/a. En fixpunkt är attraherande (närliggande punkter dras in mot fixpunkten) om absolutbeloppet av derivatan är mindre än 1 där. Derivatan av f är f'(x)=a-2ax. Sätter vi in fixpunkterna 0 och (a-1)/a får vi

f'(0)=a och f'((a-1)/a)=2-a.

0är alltså attraherande fixpunkt då -1<a<1 och (a-1)/a är attraherande fixpunkt då 1<a<3(detta kan också se på de grafer som du plottat). Då a=3 så är g fortfarande en attraherande fixpunkt men konvergensen är väldigt långsam. När sedan a ökas till strax över 3 så dyker det upp punkter som har period 2 dvs f(f(x))=x för dessa punkter. g är fortfarande en fixpunkt men är nu repellerande medans andra punkter dras in mot punkterna med period 2. Detta kan man kontrollera genom att derivera f(f(x)) och kolla beloppet på derivatan i dess fixpunkter. Ökar man a ytterligare så får man punkter med period 4,8,16,... osv (perioden fördubblas). När a ligger någonstans vid 3,6 blir beteendet väldigt kaotiskt. Då finns det punkter med godtycklig period .

Du har funnit många av de fenomen som dyker upp vid iteration av den logistiska funktionen. Matematiker som forskar om kaotiska dynamiska system använder både simuleringar och teori i sina undersökningar. Ett bra teoretiskt verktyg för att studera fixpunkter och periodiska banor är derivata vilket jag rekommenderar att du använder dina i fortsatta studier.

I boken 'A First Course in Chaotic Dynamical Systems' av Robert L. Devaney, Addison Wesley, behandlas sådana här typer av frågeställningar utförligt.

Stefan Jakobsson


25 oktober 1998 21.57.00
Om u är harmonisk och u(r,theta)->0, r->oändl. så är u konstant=0. Detta är som bekant Liouvilles sats, men hur bevisar jag den?
Fredrik

Svar:

Låt (x0,y0) vara en punkt i talplanet. Då är u(x0,y0) medelvärdet av u på cirkeln med medelpunkt i (x0,y0) och radie r, dvs

u(x0,y0) = (1/2pi) integral[0,2pi](u(x0 + rcos t,y0 + rsin t)dt).

Låter vi r gå mot oändligheten följer det att u(x0,y0) = 0.

Vi kan också identifiera R2 med det komplexa talplanet och betrakta u som en funktion av en komplex variabel z = x + iy. Då är u = Re f där f är en analytisk funktion och påståendet följer av maximumprincipen. Om detta kan man läsa i varje elementär bok om analytiska funktioner.

Kjell Elfström


25 oktober 1998 16.18.07
Var kan jag hitta info om tidskriften "nämnaren" på nätet?
Anna Gäddlin

Svar:

Se Nämnaren.

Kjell Elfström


25 oktober 1998 13.47.57
Dela upp en cirkel i tre till ytan lika stora delar med en "T". Hur lång är "T"-ets stapel (vertikala del)? "t"-ets stapel går genom mittpunkten av cirkeln.
Jola Sigmond

Svar:

T:ets "tak" skall alltså dela cirkeln i förhållandet 2:1. Antag att cirkeln har radien 1 och att den är placerad i ett koordinatsystem så att medelpunkten hamnar i origo. Antag vidare att T:ets vertikala del sammanfaller med x-axeln och att taket skär x-axeln då x = a > 0. Då gäller att

integral[-1,a](sqrt(1 - x2)dx) = 2 integral[a,1](sqrt(1 - x2)dx).

Eftersom (1/2)(xsqrt(1 - x2) + arcsin x) är en primitiv funktion till integranden innebär detta att

3asqrt(1 - a2) + 3arcsin a = pi/2

och denna ekvation kan inte lösas exakt, uttryckt i elementära funktioner.

Kjell Elfström


25 oktober 1998 01.23.55
Hej! Om f(x)=arctanx Vad är då F(X), dvs den primitiva funktionen till f(x)? Tack!
Sven Eriksson, MEA

Svar:

Integrerar vi 1·arctan x partiellt får vi

xarctan x - integralen av (x/(1 + x2))dx.

Den senare är (1/2)ln(1 + x2) - C varför de primitiva funktionerna till arctan x är

xarctan x - (1/2)ln(1 + x2) + C.

Kjell Elfström


25 oktober 1998 01.03.05
Hej! Jag undrar hur gränsvärden varierar beroende på konstanter. Ex om man har: lim (sin(at))/t x->0 Hur varierar detta gränsvärde om a är ett positivt heltal? Tack på förhand!
Peter Karlsson

Svar:

Vi har att

(sin(at))/t = a·(sin(at))/(at)

och eftersom at går mot 0 då t går mot 0 följer enligt gränsvärdeslagarna att gränsvärdet är at går mot 0.

Läser jag frågan noga, ser jag att gränsvärdet då x går mot noll efterfrågas och detta är (sin(at))/t.

Kjell Elfström


24 oktober 1998 17.30.05
Tre lag ska göra upp om vem som är best. Två och två möts åt gången. Ett av lagen vinner alltid. Är det möjligt att få fram en vinnare där alla har lika stor chans att vinna? Alla kan ju möta alla, men då finns det en risk att alla lagen får en vinst och en förlust var. Om lag nr 1 och 2 möts och lag nr 3 möter vinnaren har ju lag nr 3 större chans att vinna totalt än lag nr 1 och 2.
Niklas Wahlström

Svar:

Om lagen skall mötas i ett i förväg bestämt maximalt antal matcher kan rättvisa inte uppnås. Utgångarna av matcherna för ett visst lag kan redovisas i ett träddiagram och sannolikheten för varje gren blir a/2k för några naturliga tal a och k. Summerar vi grenarna som leder till vinst får vi en sannolikhet b/2k där b också är ett naturligt tal. Att b/2k = 1/3 leder till att 2k är delbart med 3, vilket inte är fallet.

Problemet kan lösas, t ex genom att alla lag möter alla andra lag en gång. Skulle detta inte leda till ett avgörande upprepas det tills någon har vunnit. Sannolikheten att aldrig få ett avgörande är 0, men man känner inte i förväg till något maximalt antal matcher.

Kjell Elfström


24 oktober 1998 00.28.05
Jag har en fråga om svaret till frågan om matriser den 6 oktober. Där skriver ni att adjunkten till en matris är när man byter rader mot kolonner. Vad jag har för mig är det transponatet av en matris som gör det och adjunkten är en transponerad matris bestående av kofaktorer. Kommer jag ihåg fel? Sen undrar jag hur man räknar ut inversen med Cramer's regel. I vår lärobok står det att det är ett sätt att lösa ekvationssystem.
Anders

Svar:

Adjunkten till en matris A är den som förekommer i Cramers regel. Låt A vara en n×n-matris och låt dik vara determinanten av den (n - 1)×(n - 1)-matris som fås då rad i och kolonn k stryks i A. Adjunkten A~ är då den n×n-matris vars element i rad i, kolonn k är (-1)i + kdki. Det gäller att

AA~ = det(A)
varför

A-1 = (1/det(A))A~

om A är inverterbar.

Språkbruket vacklar något. På engelska är Adjoint Matrix en sådan matris som avses i frågan den 6 oktober 1998 14.13.10. Denna typ av matris hör samman med begreppet adjungerad operator och kan kallas adjungerad matris.

Kjell Elfström


23 oktober 1998 12.45.41
Hej, Två bröder har en cirkelformad gräsmatta och den en broderns get skall få beta av hälften av gräsmattans yta. Brodern binder sin get vid en stolpe i gräsmattans/cirkelns ytterkant. Hur långt skall snöret som geten binds men vara för att den skall kunna beta av halva ytan? "Får inte till det"
Allan

Svar:

Se svaret på frågan den 6 oktober 1998 19.37.55.

Kjell Elfström


22 oktober 1998 16.11.02
I SÖ:s Matematikterminologi i skolan står det att kvadratroten ur ett tal är a det positiva tal vars kvadrat är a. I nationalencyklopedien står att kvadratroten är både det positiva och det negativa talet. Vad är det som gäller ?
Göran Roth

Svar:

Kvadratroten av ett icke-negativt tal a är det icke-negativa tal vars kvadrat är a och det är detta som rottecken betyder.
Ordet rot betyder också lösning till en ekvation och detta kan vara något förvillande. Exempelvis har ekvationen (x - 5)(x - 3)(x + 1) = 0 rötterna x = 5, x = 3, x = -1. Ekvationen x2 = a, där a är positivt, har rötterna x = sqrt(a) och x = -sqrt(a). (sqrt(a) står för kvadratroten av a och är den engelska förkortningen av square-root.)

Björn Samuelsson


22 oktober 1998 15.12.08
Hej! Jag vill fördjupa mig i ämnet p-adiska tal men har problem med att hitta material. Finns det nådon i södra Sverige som har forskat på området? Tacksam för råd och tips! Tack på förhand.
Katarzyna Grabowska e-mail: p98kgr@matematik.su.se

Svar:

För en beskrivning av p-adiska tal, se Eric's Treasure Trove of Mathematics. Ytterligare referenser är
Borevich, Shafarevich: Number theory, Acad. Press 1966
Lang: Algebraic numbers, Springer 1986
Weil: Basic number theory, Springer 1974.

P-adiska tal används bl a vid studiet av lösningarna till diofantiska ekvationer. Ett nödvändigt villkor för att ekvationen

F(x1,x2,...,xn)=0,
där F är ett polynom med heltalskoefficienter, skall ha en heltalslösning är att den är lösbar i ringen av p-adiska tal för alla primtal p. Frågan om och under vilka förutsättningar detta är ett tillräckligt villkor är ett forskningsämne inom den moderna talteorin.

Jag känner inte till om någon i södra Sverige forskar om p-adiska tal.

Kjell Elfström


21 oktober 1998 17.15.22
Hur räknar man ut volym och area av en lökkupol?
Kalle

Svar:

För att kunna detta måste man känna till formen av kupolen. Lökar förekommer som bekant i många olika former. Om man tänker sig att löken ligger ner, med rot och spets på x-axeln och om den är symmetrisk, kan den fås genom att man roterar en kurva y = f(x), a < x < b, kring x-axeln. Volymen är integralen från a till b av pi (f(x))2dx.

Kjell Elfström


21 oktober 1998 14.21.45
Finns det någon litteratur som handlar om matematik på skolgården och/eller i närmiljön??
Marika Larsson

Svar:

Tyvärr kan jag inte så mycket om detta. Hör med någon lärarhögskola.

Kjell Elfström


21 oktober 1998 12.13.23
a) Har Ni något lättförståeligt bevis för Fermats Stora Sats? b) Hur lyder Fermats Lilla Sats och hur bevisas den?
Daniel Klevebring, Södra Latins Gymnasium

Svar:

a) Nej. Vi har fått ett antal frågor om Fermats stora sats. Sök på Fermat för att se svaren på dessa.

b) Fermats lilla sats säger att om p är ett primtal är ap - a delbart med p. Detta är ekvivalent med att ap - 1 är kongruent med 1 (mod p) om a inte är kongruent med 0 (mod p). Eftersom den multiplikativa gruppen i Zp har p - 1 element är p - 1 delbart med ordingen av elementet a, varav påståendet följer. Man kan också bevisa satsen med induktion över a. Till detta är kunskap om binomialsatsen värdefull.

Kjell Elfström


20 oktober 1998 21.39.14
Konvergerar serien Summa ( (-k)^(k-1)*e^(-k)/k! , k=1,...,inf ) ? Serien är potensserien för Lamberts W-funktion, i punkten z=1/e på randen av konvergenscirkeln.
Bengt Månsson

Svar:

Se svaret på frågan den 7 maj 1998 08.37.07.

Kjell Elfström


20 oktober 1998 13.19.22
Hva gjør man når man må ta del i et matematik kurs foor å få studiekompetanse, og ikke skjønner noen ting av opgavene og motivasjonen er under frysepunktet?? Jeg trengerr råd om studieteknikk og jegg trenger motivasjon!!

Svar:

Jag rekommenderar dig att ta kontakt med en studievägledare på din institution eller skola.

Kjell Elfström


20 oktober 1998 13.14.29
Hej. Är ett oändligt litet tal verkligt - dvs finns det. T.e.x vid gränsvärden - man låter något gå mot noll - oändligt litet. Vänligen Sven E Larsson
Sven E Larsson

Svar:

Både ja och nej.

Analysens grundare tänkte sig nog derivator som kvoter mellan två tal som var oändligt små men ändå inte 0. Sådana "tal" kallades infinitesimaler. Man fick senare en ordentlig definition av gränsvärde där det inte fanns något behov av begreppet oändligt litet tal. När man säger att sin x/x går mot 1 då x går mot 0, menar man bara enligt den definitionen att bara x är tillräckligt nära 0 (men inte lika med 0) kan sin x/x fås godtyckligt nära 1.

På 1960-talet utvecklades så kallad Nonstandard Analysis i vilken de reella talen utvidgades till att innehålla även infinitesimaler. Se Eric's Treasure Trove of Mathematics.

Kjell Elfström


20 oktober 1998 09.46.13
Jag skulle vilja ha lite information om hur man definierar och räknar på dubbel- & trippelintegraler!
alexander.eriksson@forsmark.uu.se

Svar:

Tanken är ju att, för en positiv funktion f av två variabler, integralen av f(x,y)dxdy över ett område K i planet skall vara volymen av området mellan området och funktionens graf. Definitionen går ut på att approximera funktionen med funktioner som är konstanta på intervall (dvs rektanglar). Volymen under grafen till sådana är ju enkel att bestämma. Integralen fås sedan genom en gränsvärdesprocess, där man gör allt bättre approximationer.

Om området K är ett intervall [a,b]x[c,d] kan man ofta beräkna I = integralen av f(x,y)dxdy över K genom successiva enkelintegrationer:

I = integral[c,d](integral[a,b](f(x,y)dx)dy).

Om t ex f(x,y) = 1 + xy och K =  [0,1]x[2,3] blir den inre integralen

integral[0,1](1+xy)dx = [x + x2y/2]01 = 1 + y/2

och den yttre integralen alltså

[y + y2/4]23 = 9/4.

Definitionen av tripelintegraler görs på liknande sätt och beräkningen utföres genom tre successiva enkelintegrationer.

Om den exakta definitionen kan man läsa om i de flesta grundläggande böcker som behandlar analys av funktioner av flera variabler.

Kjell Elfström


19 oktober 1998 21.12.32
Hur löser man en kaosekvation av första graden egentligen? Alltså en av de fem kaosekvationer som bygger upp den första elementära kaosteorin (bla hur stjärnor och galaxer hamnar i univerum, och hur jämvikt kan skapas ur kaos och vice versa)? 2) Hur bevisar man den andra kaosekvationen egentligen? Jag har försökt härleda bitar av relativitetsteorin men det är för svårt!!! 3) Om man hat tre rullband på varandra, och låter det ena rullbandet ha hastigheten 0,5i där i är ljusetshastiget, och låter sedan den andra bandet ha dubbelt så hög hastighet¨på det första bandet, och slutligen låter det sista bandet ha ytterliggare dubbelt så hög hastighet på det andra bandet, hur hög hadtighet får då det sista bandet. Banden är olika långa.
Isaac

Svar:

Tyvärr besitter jag inte de nödvändiga kunskaperna. Du kunde kanske vända dig till Ask a Physicist.

Kjell Elfström


19 oktober 1998 19.09.31
För Riemanns "upptäckt" - det "tredimensionella sfäriska rummet" (Einsteins benämningar) med radien R, ges volymen (också enligt Einstein) av denna formel: 2**^2*R^3. Hur kom Riemann fram till just denna formel?
Åke Hedberg

Svar:

Jag ber att få hänvisa till någon bok om differentialgeometri, t ex J.A. Thorpe: Elementary Topics in Differential Geometry.

Kjell Elfström


19 oktober 1998 10.41.10
En vattentank har formen av en rak cirkulär cylinder. Diametern är 1,24 m och höjden 2,44 m. Tanken ligger på sidan så att de cirkulära basytorna är vinkelräta mot horizontalplanet. Den fylls med en hastighet av 0,0045m3 per sekund. Hur snabbt stiger vattennivån i tanken i det ögonblick som vattendjupet är 0,32m?
Marko

Svar:

Tankens radie är 1,24 m / 2 = 0,62 m och vattenytans avstånd till cylinderns centrum är 0,62 m - 0,32 m = 0,30 m. Låt b m vara vattenlinjens längd längs cirklarna i cylinderns ändar. Då ger pythagoras sats 0,622 = 0,302 + (b/2)2 och vi får b = 2 sqrt(0,622 - 0,302) = 1,085. Detta ger att vattenytans area är 1,085 m * 2,44 m = 2,647 m2. Just det ögonblick när vattenytans höjd är 0,32 m fördelas alltså det påfyllda vattnet över denna yta. Då får vi att vattenytan stiger med hastigheten 0,0045  m3/s / (2,647 m2) = 0,0017 m/s = 1,7 mm/s.

För att verifiera det sista steget i beräkningarna kan man räkna på vad som händer under den korta tidsperioden t s. Då tillförs t * 0.0045 m3 vatten och när denna volym är liten kan den approximeras med ett rätblock med basytan 2,647 m2. Då är rätblockets höjd t * 0.0045 / 2,647 m. Hastigheten vattenytan har stigit med är då t * 0.0045 / 2,647 m / (t s) = 0.0045 / 2,647 m/s = 0,0017 m/s.

Björn Samuelsson


18 oktober 1998 21.48.33
Hej! jag undrar hur man beräknar flödet hos en fläkt för ex. ventilation av datorlådor mm. När jag har tittat i ELFA-katalogen och räknat på en fläkts area, tjocklek/stigning och varvtal så får jag ett svar som ligger långt under deras spec. varför ???
Christofer Lundblad

Svar:

Jag hänvisar till Fråga vetenskapen om fysik.

Kjell Elfström


18 oktober 1998 19.12.57
Följande förmodan är närbesläktad med Fermats sista och abc-förmodan: Låt a,b och c vara tre parvis relativt prima positiva heltal. Då finns det högst en uppsättning heltal x,y och z ; x>1,y>1,z>1 sådana att a^x+b^y=c^z. Finn ett motexempel eller hänvisa till literatur.
Andreas Björklund

Svar:

I Notices of the American Mathematical Society, volume 44, nr 11, finns Beals förmodan omnämnd. Den säger att ekvationen

ax + by = cz

inte har någon lösning i positiva heltal a, b, c, x, y och z där x, y och z är minst 3 och a, b och c är parvis relativt prima. Bankmannen Beal utlyste ett pris på 5000 dollar till den som kunde lösa problemet. Detta pris skulle sedan öka med 5000 dollar per år upp till högst 50000 dollar tills problemet är löst. Jag känner tyvärr inte till mer om detta.

Kjell Elfström


17 oktober 1998 22.04.25
Jag undrar om jag skulle kunna få hjälp med att finna lämplig litteratur för ett specialarbete i matematik E-kurs (gymnasie) om Trigonometriska Fourierserier.
Fredrik Nilsson

Svar:

En bok jag kan tänka mig att rekommendera är Joseph Weaver: Applications of Discrete and Continuous Fourier Analysis, Wiley 1983.

Kjell Elfström


17 oktober 1998 20.46.17
Hej. Jag har en fråga. Jag skulle vilja ha ett bevis för problemet: Visa att näst sista siffran i 3^n alltid är en jämn siffra om n är ett positivt heltal som är större eller lika med noll.
Daniel Klevebring, Södra Latins Gymnasium

Svar:

För att lösa det här problemet är det lämpligt att använda sig av kongruensräkning. Se svaret till frågan 12 maj 1997 10.06.07 för att få en introduktion i kongruensräkning.
HTML stöder inte kongruenstecken och jag har därför använt vanliga likhetstecken. Följder av likhetstecken som följs av (mod 20) ska bytas ut mot kongruenstecken.
Ett positivt heltal t kan skrivas som 100A + 10b + c där A är det talet man får om man stryker entals och tiotalssiffran, b är tiotalssiffran och c är entalssiffran. Om b är udda så kan b skrivas b = 2d + 1 och vi har

= 100+ 10c =10= 10(2d + 1) + c = 10 + c (mod 20)

eftersom 100 = 20 = 0 (mod 20). Eftersom c är ett tal mellan 0 och 9 så ger det att t är kongruent ett tal mellan 10 och 19 (mod 20) om b är udda. Detta ger att om t inte är kongruent med något tal mellan 10 och 19 (mod 20) så måste b vara jämt. Två olika tal mellan 0 och 19 kan aldrig vara kongruenta (mod 20) och detta ger att om t är kongruent med ett tal mellan 0 och 9 (mod 20) så är tiotalssiffran b jämn. Det gäller alltså att visa att 3n alltid är kongruent med något tal mellan 0 och 9. Vi testar med några låga n.

30 = 1 (mod 20)
31 = 3 (mod 20)
32 = 9 (mod 20)
33 = 7(mod 20)
34 = 1 (mod 20)

Man ser att 3n är kongruent med något tal mellan 0 och 9 för 0 <= n <= 3. Dessutom går det, med hjälp av division, att välja q och r där 0 <= r <= 3 så att n = 4q + r och det ger

3= 34r = (34)*3r = 1*3r = 3r (mod 20)

Alltså 3 = 3r (mod 20) för något r, 0 <= r <= 3. Detta ger att 3n är kongruent med något tal mellan 0 och 9 för alla n. Enligt ovanstående resonemang leder detta till att tiotalssiffran är jämn, vilket skulle visas.

Björn Samuelsson


17 oktober 1998 17.41.46
Oj en fråga till. Det är faktiskt ett problem som jag har, vilket handlar om matematik. Jag funderar på att läsa civil -Teknisk Fysik, men har faktiskt små funderingar på att läsa ngn helt matematisk utbildning, som sträcker sig över några år. Att läsa en j-vla massa matte med andra ord. Skulle detta innebära att jag är "fast" på universitetet för all framtid, eller finns det faktiskt arbete för högutbildade matematiker, alltså de som "inte kan annt än att räkna",ute i arbetslivet. Skulle vara tacksam för ett svar på min kanske lite annorlunda fråga. Jag vet att man kan fråga SYO-konsulenter oxå, men jag tänkte att det vore bättre att fråga en matematiker.
Ande

Svar:

Arbetsmarknaden utanför universitet och högskolor är begränsad om man endast har läst matematik. Är man intresserad av matematik kan man kanske tänka sig att kombinera metematikstudierna med studier av matematisk statistik och datalogi, ämnen som ligger matematiken nära, och då finns en god arbetsmarknad.

Kjell Elfström


17 oktober 1998 17.32.50
Jag vet vad en integral är, men jag har hört om dubbelintegraler eller var det trippelintegraler. Helt enkelt, vad är det. Skulle ni kunna visa ngt problem vilket man enklast löser genom att använda ngn dubbel/trippel- integral. Hoppas inte frågan blev för luddig. ;-)
Andreas

Svar:

Dubbelintegraler och trippelintegraler skriver man med dubbla respektive tredubbla integraltecken. Området man integrerar över i nedanstående exempel skriver man under det sista integraltecknet.
I en enkal integral integrerar man som bekant över en variabel och får ytan under den integrerade funktionens graf. I en dubbelintegral integrerar man över två variabler och den kan skrivas dubbelintegral[D] f(xydxdy, där D är ett område i xy-planet. Detta betyder att man integrerar funktionen f(x, y) över området D. Om man ritar upp ytan z = f(x, y) i ett tredimensionellt koordinatsystem så ger dubbelintegral[D] f(xydxdy volymen av det område mellan den uppritade ytan och xy-planet där (x , y) ligger i D.
På motsvarande sätt integrerar man över tre variabler i en trippelintegral som kan skrivas trippelintegral[D] f(xyzdxdydz, där D är ett område i rummet. Här är det lite svårare att göra samma tolkning som för dubbelintegralen. Det kräver nämligen att man tänker sig 4 dimensioner. I stället kan man tänka sig att man har ett föremål som täcker upp området D, och som inom detta område har densiteten f(xyz) i (xyz). Då ger trippelintegral[D] f(xyzdxdydz förmålets vikt. Dubbel- och trippelintegraler kan för övrigt skrivas med övre och undre gränser, på samma sätt som enkla integraler. Då är gränserna på det innersta integraltecknet gränserna för den innersta variabeln och motsvarar att man skrivit enkla integraler i varandra.

Följande svar på tidigare frågor innehåller dubbel- och trippelintegraler:
13 september 1998 18.12.22, 13 maj 1998 16.11.02, 21 januari 1998 09.08.43, 17 juli 1997 14.12.45, 16 april 1997 12.30.24.

Björn Samuelsson


17 oktober 1998 16.43.39
Hur bestämmer jag en vektor längs linjen 2x-4=y+1=x och linjen x-y+3z=8 då z=2?
Peter

Svar:

I det första fallet med linjen 2- 4 = + 1 = x får vi börja med att lösa ekvationen 2- 4 = x och vi får = 4. Då ger + 1 = x att = 3. x och y är alltså konstanta och det är bara z som kan variera. Alltså är en vektor längs linjen (xyz) = (0, 0, 1).
I det andra fallet bestäms linjen av + 3z = 8 då = 2. Först sätter vi in = 2 i ekvationen + 3= 8, så vi får + 6 = 8 som ger x  = 2 + y. Vi kan sätta y = 0, och får då x = 2. Om vi istället sätter y = 1, så får vi x = 3. Vi har också = 2 Punkterna (2, 0, 2) och (3, 1, 2) ligger alltså på linjen och en vektor läns linjen är (xyz) = (3, 1, 2) - (2, 0, 2) = (1, 1, 0).

Björn Samuelsson


16 oktober 1998 19.25.04
Frågan om för vilken vinkel man kan se jorden från ett rymdskepp , skall svaret vara 122 grader. B uppgiften ska vara 6378 km.

Svar:

Se frågan den 12 oktober 1998 17.09.34. Jag utgår från svaret för att beräkna rymdskeppets höjd, för att sedan visa hur man löser uppgiften i rätt ordning. h km får vara rymdskeppets höjd över jorden. Vinkeln ska vara 122 grader för hela jorden och då är vinkeln mellan jordens medelpunkt och horisonten hälften så stor, 61 grader. Om man står på en punkt på jorden, som ser ut att vara jordens horisont sett från rymdskeppet, så ser rymdskeppet ut att befinna sig vid horisonten (om vi låtsas att man kan se rymdskeppet därifrån). Denna punkt bildar alltså en rätvinklig triangel med jordens medelpunkt och rymdskeppet. Avståndet mellan rymdskeppet och jordens medelpunkt är h km + 6378 km och avståndet mellan jordens medelpunkt och den valda punkten är 6378 km, så vi får.

sin 61o = 6378/(h + 6378)
h + 6378 = 6378/sin 61o
h = 6378/sin 61o - 6378 = 914.3

Rymdskeppet är alltså 914 km över jorden.
För att beränkna vinkeln om man vet att höjden är 914 km löser man ut den sökta vinkeln v ur

sin(v/2) = 6378/(914 + 6378)
och får
v = 2*arcsin(6378 / 7292)

Björn Samuelsson


16 oktober 1998 18.18.23
Jag undrar om det finns något sätt att räkna ut följande integral utan att behöva göra ett gäng partiella integrationer: integral (från 0 till 10) ((0.5)**6)*(x**5)*(exp(-x/2))/5! och hur det i så fall går till
Jonas

Svar:

Det går på flöljande sätt:
Först kan man bli av med lite trista konstanter genom att göra en variabelsubstitution med x = 2t.
Då gäller dx = 2dt och vi får

integral[0 till 10]  0.56 x5 e-x/2/5! dx =
= integral[0 till 5]  0.56 (2t)5 e-(2t) /2/5! 2dt =
= integral[0 till 5] t5/5! e-t dt

Låt F(t) vara en primitiv funktion till t5/5! e-t. Man kan ana att e-t ingår i alla termer i F(t). Därför är det rimligt att integralen blir lättare att beräkna om vi antar att vi har en funktion g(t), sådan att F(t) = g(t)e-t. Då gäller enligt derivatan av en produkt:

t5/5! e-t = F'(t) = g(t)(-e-t) + g'(t)e-t = (-g(t) + g'(x))e-t som ger
t5/5! = -g(t) + g'(t)

Nu gäller det att bestämma g(t). Derivatan av t5/5! är t4/4!, så om en term i g(t) är -t5/5! så måste -t4/4! finnas med för att ta ut derivatan av -t5/5!. Såhär kan man fortsätta resonera. Vi testar med

g(t) = -t5/5! - t4/4! - t3/3! - t2/2 - t - 1 som ger
g'(t) = -t4/4! - t3/3! - t2/2 - t - 1 och vi får
-g(t) + g(t) = t5/5!

Alltså uppfyller g(t) det villkor som vi kräver och då gäller F(t) = g(t)e-t = (-t5/5! - t4/4! - t3/3! - t2/2 - - 1)e-t och vi får

integral[0 till 5]  t5/5! e-dt = F(5) - F(0) =
= (-55/5! - 54/4! - 53/3! - 52/2 - 5 - 1)e-5 - (-1)e0 =
= 1 - (55/5! + 54/4! + 53/3! + 52/2 + 5 + 1)e-5 =
= 1 - 1097/12 e-5

Detta är lika med värdet av den första integralen och resultater är alltså 1 - 1097/12 e-5 som avrundat till decimaltal blir 0.384039345167.

Björn Samuelsson


15 oktober 1998 18.41.33
Vi har problem att hitta material om sannolikhetsteorins utveckling, skulle ni kunna rekommendera någon bok eller hemsida om detta??
Linda Andersson

Svar:

På sidan History of Propability and Statistics (Clark University) finns boktips och Matematisk statistik - länkar (KTH) kan vara något.

Björn Samuelsson


15 oktober 1998 17.12.13
I min matematiklärobok sägs det att ekvationen x=x gäller för alla reela x-värden. Borde inte rimligtvis även de icke-reela talen vara lika stora som sig själva?
Viktor Blåsjö

Svar:

Jo, det stämmer, x gäller alltid, även för icke-reella tal.

Björn Samuelsson


15 oktober 1998 10.31.19
Hej! Ska vill gärna veta lite om OC-kurva. Hur får man fram AOQL-värde mm?
Kent

Svar:

När man gör kvalitetskontoll av ett parti varor så har man olika metoder för att med hjälp av att slumpvis välja ut ett antal varor att testa, bestämma om partiet ska accepteras eller inte. Man utgår då från att en viss andel defekta varor är acceptabel. Denna andel kallas AQL. Det enklaste sättet att testa ett parti varor går ut på att man testar ett bestämt antal slumpmässigt utvalda varor och om antalet defekta varor i testet inte är högre än ett bestämt värde så accepterar man partiet, annars inte. Detta är en ganska ineffektiv metod. I stället kan man börja med att testa ett litet antal varor och om det behövs testa fler på följande sätt:

Om antalet defekta enheter är under en undre gräns så accepteras partiet.
Om antalet defekta enheter är över en övre gräns så accepteras partiet inte.
I annat fall så görs ett nytt test där fler slumpmässigt utvalda varor ingår.
Såhär fortsätterman tills det är bestämt om partiet ska accepteras eller inte.

En OC-kurva visar hur stor sannolikheten är för att ett parti skall gå igenom kontrollen som funktion av andelen defekta varor. En AOQ-kurva visar den genomsnittliga andelen defekta varor som går igenom kontrollen som funktion av den inkommande andelen defekta varor. Man får AOQL värdet genom att ta den högsta punkten på AOQ-kurvan. AOCL-värdet är alltså ett mått på hur stor andel defekta varor som i värsta fall kan väntas gå igenom kontrollen.

För mer information se Quality Control, J E Beasley (Imperial College Management School) .

Björn Samuelsson


15 oktober 1998 08.21.45
Hur löser man följande fråga som jag tycker är ganska intressant: "Du har ett oändligt antal smörpaket som innehåller: 20 gram, 41 gram (jepp det stämde 41 gram), 50 gram, 100 gram, 500 gram samt 1000 gram. Nu undrar jag på hur många sätt man kan kombinera sådana här smörpaket så att man får fram 1700 gram smör?
David

Svar:

Alla smörpaket utom det på 41 gram har en vikt i gram som är delbar med 10. För att man då ska kunna få en total vikt som är delbar med 10 så måste alltså den sammanlagda vikten av smöret i 41-grams paket också vara delbar med 10. Då måste antalet 41-grams paket vara delbar med 10 och vi kan paketera ihop varje tiotal av dessa till ett 410-grams paket. Nu ser vi att antalet paket på 410, 500, och 1000 gram inte kan vara särskilt många om den sammanlagda vikten inte ska överskrida 1700 gram, så vi kan gå igenom alla möjligheter för dessa.

Summa       Vikt kvar till 1700 gram
0                   1700
410                 1290 
410*2 = 820          880
410*3 = 1230         470
410*4 = 1640          60
500                 1200
500+410 = 910        790
500+410*2 = 1320     380
500*2 = 1000         700
500*2+410 = 1410     290
500*3 = 1500         200
1000                 700
1000+410 = 1410      290
1000+500 = 1500      200

Nu gäller det att hitta ett uttryck för på hur många olika sätt den återstående vikten kan fås med paket på 20, 50 och 100 gram.
Antag att den återstående vikten är 100k där < 100, och man har a st 20-grams paket, b st 10-grams paket och c 100-grams paket. Då gäller 100= 20+ 50+ 100c. Variera nu a och b medan de andra variablerna hålls konstanta.
100(c) + k = 20+ 50b
För de återstående vikterna i ovanstående tabell gäller att k är 0, 60, 70, 80 eller 90.
När k är 0, 60 eller 80 är vänsterledet delbart med 20 och då måste b vara jämt. Man ser att b får vara alla jämna tal från 0 till 2*(c). Det är + 1 st tal.
När k är 70 eller 90 är vänsterledet inte delbart med 20 och då måste b vara udda. Man ser att b får vara alla udda tal från 1 till 2*(c) + 1. Det är + 1 st tal.
Alltså finns det + 1 olika sätt att välja a och b för varje c. c får vara varje heltal från 0 till n. Då är det totala antalet möjligheter (- 0 + 1) + (-1 + 1) + (- 2 + 1) + ... + (- n + 1 ) = (+ 1)((- 0 + 1) + (- n + 1))/2 = (+ 1)(+ 2)/2 enligt formeln för den aritmetiska summan. Då återstår det att lägga ihop dessa möjligheter utifrån tabellen över återstående vikter.

n      Antal sätt att        Antal möjligheter
       få aktullt n
0          1                     1*2/2 =   1
2          4                   4*3*4/2 =  24  
3          1                     4*5/2 =  10  
4          1                     5*6/2 =  15  
7          3                   3*8*9/2 = 108  
8          1                    9*10/2 =  45   
12         2                 2*13*14/2 = 182
17         1                   18*19/2 = 171

SUMMA:                                   556

Antalet sätt man kan få 1700 gram smör är alltså 556.

Björn Samuelsson


15 oktober 1998 07.37.58
Hej! :) Antag att jag ger en slumpartad följd av tal. Antalet tal i följden är begränsat till några miljoner. Talen är alltid mellan 0 och 255. Går det nu att ta fram en formel så att den givna följden kan återskapas? (De tal som formeln producerar efter den givna följden är ointressant.) Min intuition säger att det är möjligt och att man dessutom kan hitta godtyckligt många formler som ger följden. Min följdfråga blir då: Kan denna formel alltid göras liten i förhållande till följden? Vad jag menar med detta är att om följden upptar några tusen A4 sidor ska formeln som ger denna följd kunna skrivas ner på en handfull A4 sidor. tack på förhand!
Paul Draaisma

Svar:

Det är riktigt att man kan hitta godtyckligt många formler som ger en sådan följd. Man kan exempelvis göra på följande sätt med en följd av n tal:

Kalla talet nummer k i följden för sk.
Välj ett tal tk för varje sk så att resten av tk/256 är sk. Godtyckligt många värden duger alltså till tk.
Bestäm en term för varje k mellan 1 och n:

   (x-1)(x-2)(x-3)...(x-(k-1))(x-(k+1))(x-(k+2))(x-(k+3))...(x-n)
tk*                                                              
           
(k-1)(k-2)(k-3)...(1)(-1)(-2)(-3)...(k-n)             

När x är ett heltal mellan1 och n som inte är lika med k, så är en faktor i täljaren noll och då är hela termen är noll. När k så svarar varje faktor i täljaren mot en i nämnaren, så att de tar ut varandra och termen är lika med tk.
Lägg nu ihop dessa n st termer.
Resultatet är en formel som efter att alla multiplikationer har utförts och alla termer adderats ihop, kan skrivas.

an-1*xn-1 + an-2*xn-2 + ... + a2*x2 + a1*x + a0       där a0, a1, a2, ... , an-1 är rationella tal.

För att få fram sk sätter man in k i formeln, dividerar värdet man får med 256 och ser vilken rest man får.
Även om en sådan formel ibland kan bli mycket kort så går det inte att hitta någon metod som ger korta formler för alla slumpmässiga talföljder.
Om vi har en följd av n tal och varje tal är ett heltal mellan 0 och 255 så kan följde se ut på 256n olika sätt och det ska vi kunna representera med någon form av teckenföljd/talföljd med 256 olika tecken/tal att välja mellan. Om vi får ha högst m tecken så är antalet följder vi kan åstadkomma:

1 + 256 + 2562 + 2563 +... + 256m = (256m+1 - 1)/(256-1)

Likheten ges av formeln för den geometriska summan.
Detta måste vara minst lika med antalet följder som kan dyka upp och vi har

(256m+1 - 1)/255 >= 256n

Det ger 256m+1 > 256n och m +1 > n
Alltså gäller m >= n och vi måste tillåta minst n stycken tecken i formeln för att kunna få med alla kombinationer.

Björn Samuelsson


14 oktober 1998 22.40.16
Vet du var jag kann finna internettsidor som jag kann finna noget om flickor och matematik
Torunn

Svar:

Möjligen kan Biographies of Woman Mathematicians (Agnes Scott College, USA) vara något.

Kjell Elfström


14 oktober 1998 17.31.09
Hejsan jag har en fråga... Hur kommer det sig att frigolit nästan rent av försvinner när man lägger det i Acceton?
Martin Johansson

Svar:

Detta är snarare en fråga för Fråga Gilbert om kemi.

Kjell Elfström


13 oktober 1998 14.15.46
Hej! Jag bara undrar hur det går för Kjell att lösa frågan för tippsproblemet från 27sept 00.46.57? Kan man använda nån form av Hamming-kod eller Golay-kod för att lösa detta? Hälsningar,
Magnus

Svar:

Problemet är mig veterligen inte löst. Problemet att med ett minimalt antal rader garantera att man får 12 rätt är däremot löst. Det räcker med 310 rader. Allmänt är problemet löst då tipset består av n = (1/2)(3r-1) matcher och man vill försäkra sig om n-1 rätt. Det krävs då 3n-r tippade rader. Det är Hammingkoder som används i detta sammanhang. Se Normat 39, 1991.

Kjell Elfström


12 oktober 1998 23.30.04
Jag vill bestäma inf B och sup B om B={k(k+1)/(k+2)(k+3) ; k tillhör N} Hur gör jag detta? Tack på förhand!
Linda

Svar:

Observera att N = {0, 1, 2, ...}. Man kan lätt visa att

0 <= k(k+1)/(k+2)(k+3) <= 1 då k tillhör N. Eftersom 0 tillhör B ( sätt k = 0), Så är 0 minimum av B och speciellt så fås det att inf B = 0. Dett gäller alltså att visa sup B = 1. Vi kommer att visa att för alla e > 0, existerar l i N så att l(l+1)/(l+2)(l+3) >1 - e.

l(l+1)/(l+2)(l+3) >1 - e är ekvivalent med

(l2 + l+ 4l + 6 - 4l -6) / l2 + 5l + 6 > 1 - e

1- (4l + 6) /(l2 + 5l + 6) > 1 - e ,

(4l + 6)/(l2 + 5l + 6) < e. Vidare har vi,

(4l + 6)/(l2 + 5l + 6) < (4l + 6)/l = 4 + 6/l. Om nu

4 + 6/l < e d.v.s l > 6/(e-4) så är (4l + 6)/(l2 + 5l + 6) < e som var ekvivalent med l(l+1)/(l+2)(l+3) >1 - e. För varje e > 0 kan man alltså välja ett l i N så att l(l+1)/(l+2)(l+3) >1 - e. Vi är därmed klara.

Wolfgang Staubach.


12 oktober 1998 23.09.36
Hur visar man att skärningen av ett godtyckligt antal slutna mängder samt unionen av ett ändligt antal slutna mängder alltid är slutna?
Andreas

Svar:

Man vet av definitionen att unionen av ett godtyckligt antal öppna mängder samt skärningen av ett ändligt antal öppna mängder är alltid öppna. En mänd är sluten om och endast om des kompliment är öppen. Påståendet följer nu omedelbart av de Morgans lagar.

Wolfgang Staubach.


12 oktober 1998 23.08.14
Hej Om man använder argumentprincipen för att ta reda på hur många nollställen polynomet w=z^4+6*z^2+6*z+k har innanför enhetscirkeln tycker jag att man borde få 2st för -1<k<6.3 (räknar antal varv bilden w går runt origo). Men om man kontrollräknar genom att lösa ekvationen w=0 ges 2st nollställen innanför enhetscirleln för -1<k<8.7 . Var tänker jag fel? Mvh Fredrik
Fredrik

Svar:

Jag förstår tyvärr inte hur du har använt argumentprincipen för att bestämma antal nollställen i enhetscirkeln, annars används denna princip för att bestämma antal nollställen i olika kvadranter och olika halvplan. Eftersom man inte på förhand vet hur stort k är, är det svårt att räkna ut antalet nollställen analytiskt och man får då använda numeriska metoder.

Wolfgang Staubach.


12 oktober 1998 17.09.34
a) Ett rymdskepp befinner sig i en bana runt jorden på en höjd av 916 km .Under vilken vinkel x , kan man se hela jorden från rymdskeppet ? , då jordens radie är 6378 km. b) hur högt upp befinner sig en satellit om man kan se jorden under en vinkel av 60 grader ?

Svar:

Avståndet mellan rymdskeppet och jorden är 916 + 6378 = 7294 km. Vi får att Tan(x/2) = Jordens radie / Avståndet mellan rymdskeppet och jorden = 6378/7294. Alltså är x/2 = Arctan (6378/7294) och

x = 2Arctan (6378/7294) ~= 1,44 grader. Om h betecknar avståndet mellan jorden och satelliten så gäller,

Jordens radie/(Jordens radie + h) = Tan 30, dvs h = (3r - (3)1/2r)/(3)1/2

Wolfgang Staubach.


12 oktober 1998 15.17.16
Man har en kontenuerlig funktion som mappas från två dimensioner till en dimension. Denna funktion definieras av f(x,y)=x. Går det att hitta ett slutet intervall i två dimensioner som ej blir slutet (dvs öppet) när man mappar ner det på en dimension? Jag är inne på att f=1/x, men det blir ju ett öppet intervall eftersom nollan inte går att ha med. Alla rationella tal går inte heller (dvs Rsqr -> R) eftersom det inte får vara slutet när det mappas.
Huvudbry?

Svar:

Ett slutet och begränsat intervall i två dimensioner ges av [a,b]*[c,d]. Avbildningen f(x,y) = x är projektionen på x axeln och den avbildar ett slutet Och begränsat intervall i två dimensioner på ett slutet och begränsat intervall.

Wolfgang Staubach.


12 oktober 1998 13.18.23
vad är 1+2
tulle

Svar:

3.

Wolfgang Staubach.


12 oktober 1998 11.23.07
Hur bevisar jag att implikationen gäller, x(x-1)=<0 implicerar x>=0
Lasse

Svar:

Om man gör en teckentabell för uttrycket x(x-1) så visar det sig att x(x-1) < 0 endast då 0 < x < 1.

Wolfgang Staubach.


12 oktober 1998 11.13.33
Vem kom på namnet "pe"?

Svar:

Detta är ingen matematisk fråga, för övrigt så vet jag inte svaret.

Wolfgang Staubach.


12 oktober 1998 09.53.15
Som lärare i grundskolan, f.n. i år 1-2 ,undrar jag vad forskningen säger om införande av algoritmer i dessa och närmast efterföljande årskurser. Meningarna går isär i denna fråga i kollegiet, och jag skulle vilja veta mer om aktuell forskning i detta ämne.
Anita Hedlund, Malmaskolan,Kolsva

Svar:

Jag kan tyvärr inte svara på denna fråga.

Wolfgang Staubach.


10 oktober 1998 18.28.06
Ännu en fråga Hur bevisades Fermats stora sats ?
Hampus

Svar:

Se svaret på frågan 6 April 1998 20.28.58.

Wolfgang Staubach.


10 oktober 1998 18.26.51
Tack för en trevlig sida. Här kommer jag med en fråga: Om a+b+c=0, visa att a^3+b^3+c^3=3abc Tack för svar
Hampus

Svar:

Man gör följande uträkning,

a + b =-c

(a + b)3 = -c3

a3 + b3 + 3b2a + 3a2b= -c3

a3 + b3+ c3 = -3ab(a+b) = -3ab(-c) = 3abc.

Wolfgang Staubach.


10 oktober 1998 14.34.48
Hej ! Hur kom man fram till pythagoras sats ?
Undrande

Svar:

Se 9 sep1997 14.41.38.

Wolfgang Staubach.


10 oktober 1998 14.32.22
Hur stort är ett svart hål, och vart finns dom ?
Åsa

Svar:

För att en stjärna skall kvalificera sig till att bli ett svart hål så måste dess massa vara större eller lika med Chandraskar gränsen d.v.s 1,5 solmassor. Man tror att det finns ett gigantiskt svart hål i centrum av vintergatan.

Wolfgang Staubach.


10 oktober 1998 12.48.28
Hej. Skulle ni kunna hjälpa mig attvisa hur man går till väga och bestämmer absolutbeloppet till 1+cosv+isinv tack på förhand Annelie
Annelie Folkeson

Svar:

Absolut beloppet av ett komplext tal z=x+iy, ges av

Abs[z] = (x2 + y2)1/2.

I ditt exempel är x = 1 + Cosv och y = Sinv. Alltså Abs[z] =

((1 + Cosv)2 + (Sinv)2)1/2 = (1 + 2Cosv + Cos2v + Sin2v)1/2=

(2 + 2Cosv)1/2.

Wolfgang Staubach.


9 oktober 1998 18.44.28
Har förgäves letat efter program till min casio CFX-9850G. Det primära behovet är program för numerisk integrering med trapetsregeln, där jag själv kan välja antalet delintervall.
Peter Jonasson

Svar:

Jag kan tyvärr inte svara på din fråga. Du skall nog vända dig till en datalog.

Wolfgang Staubach.


9 oktober 1998 10.59.57
> vad är addera?
> susanne

> Svar:

Addition är samma sak som plus. Att addera 3 och 2 är detsamma som att beräkna 3+2 och svaret är som bekant 5.

Wolfgang Staubach.


8 oktober 1998 11.53.29
Är det möjligt att konstruera ett plan där avståndet mellan två godtyckliga punkter alltid är en jämn multipel av ett ändligt antal vektorer. Vilket är isåfall det minsta antalet sådana vektorer?
Felix

Svar:

Tyvärr så förstår jag inte din fråga riktigt. Därför ber jag dig återkomma med en bättre förklaring. Det är svårt att förstå hur ett avstånd skall vara en multipel av vektorer.

Wolfgang Staubach.


8 oktober 1998 10.30.42
Beskriv med en ekvation, samtliga punkter (x,y), för vilka summan av avstånden från (x,y)till punkterna (-1,0) och (1,0) är 4. Besriv även resultatet geometriskt.
Joakim Andersson

Svar:

Det är känt att denna konstruktion leder till en ellips. Mer explicit så får man

((x-1)2+y2)1/2 + ((x+1)2+y2)1/2 =4 och detta är ekvationen för en ellips.

Wolfgang Staubach.


8 oktober 1998 10.29.58
Hej! Jag undrar över benämningen av siffrorna 11-19. Varför benämns inte 11-19 enligt samma logik som 21-29, 31-39...? Varför elva, och inte tio-ett (tjugo-ett, trettio-ett)? Varför tolv, och inte tio-två (tjugo-två, trettio-två)?
Ingvar Andersson

Svar:

Tretton till nitton bildas i nästan alla indoeuropeiska språkfamiljer efter typen 3+10,4+10 osv. Då sammansättningsdelarna i dessa ord är etymologiskt identiska, kan man betrakta dem som urspråkliga. På samma sätt bildas också orden elva och tolv i samma språkfamiljer utom germanska språk och litauiskan. Här uppträder nämligen en typ, en, två + ett ord med betydelsen "överskjutande","överskott".

Wolfgang Staubach.


8 oktober 1998 10.19.31
Hur lyder korda satsen och hur bevisar man den? Tack på förhand,
Henry Pettersson

Svar:

Se svar på fråga 3 juni 1998 21.45.18 .

Wolfgang Staubach.


8 oktober 1998 10.10.13
Beräkna integralen Integral(0 till pi/2)(Sinx)^3/((Sinx)^3+(Cosx)^3)dx.
Olle

Svar:

Antag att I = Integral(0 till Pi/2){(Sinx)3/((Sinx)3+(Cosx)3)}dx. Gör variabelbytet y= Pi/2 - x. Då är I = Integral(0 till Pi/2){(Cosy)3/((Siny)3+(Cosy)3)}dy. Alltså

2I =Integral(0 till Pi/2){(Sinx)3/((Sinx)3+(Cosx)3)} + Integral(0 till Pi/2){(Cosx)3/((Sinx)3+(Cosx)3)}dx = Integral(0 till Pi/2){1} dx= Pi/2 och I = Pi/4.

Wolfgang Staubach.


8 oktober 1998 10.09.01
Hej! Kan ni ge mej en lista med ALLA pi?
saranyajoy@hotmail.com

Svar:

Se Eric's Treasure Trove .

Wolfgang Staubach.


8 oktober 1998 10.05.29
Om f är en kontinuerligt deriverbar funktion och f(0)=0 visa att f(x)/x är kontinuerlig.
Olle

Svar:

Detta följer omedelbart av Taylors formel för en kontinuerligt deriverbar funktion,

f(x) = f(0) + x Integralen[0 till 1] {f'(tx)}dt. Eftersom f(0) =0 så får vi att

f(x)/x = Integralen[0 till 1] {f'(tx)}dt. Högerledet är en kontinuerlig funktion av x, ty f'(x) antas vara kontinuerlig. Vi är därmed klara.

Wolfgang Staubach.


8 oktober 1998 10.03.19
Vad är derivatan av absolutbeloppet(x)?
Olle

Svar:

Funktionen Abs[x] är ej deriverbar (i origo) i klassisk mening, ty höger derivatan i noll är lika med 1 och vänsterderivatan lika med -1.

Wolfgang Staubach.


7 oktober 1998 19.03.55
En bil kör från A till B med hastigheten 60 km/h. På återvägen från B till A är hastigheten 40 km/h. Vilken blir medelhastigheten?
Annika Stridh

Svar:

Om S är avståndet mellan A och B så är tiden att köra fram lika med S/60 och tiden att köra tillbaka S/40.

Medelhastigheten = Totala sträckan/Totala tiden =2S/(S/60+S/40) =48km/h.

Wolfgang Staubach.


7 oktober 1998 18.39.57
Hej. Jag undrar hur man löser ekvationen Pi=arctan(x/a)+arctan(x/b)+arctan(x/c) med avseende på x.
Urban Englund

Svar:

Vi använder formeln

tan(a+b) = (tan a + tan b)/(1-tana tanb).

Utrycket i frågan kan skrivas som Pi-arctan(x/c)=arctan(x/a)+arctan(x/b). Om vi nu tar tan av båda leden och använder formeln ovan så fås det att

((x/a)+(x/b))/(1-x2/ab) = -x/c. Denna ekvation leder till

x3-abx=c(a+b)x som har tre lösningar x1=0, x2=(c(a+b)+ab)1/2, x3=-(c(a+b)+ab)1/2 däribland x1=0 kan ej godtas.

Wolfgang Staubach.


7 oktober 1998 15.41.20
goldbachs hypotes i matematiken
hanna nygren

Svar:

Goldbach förmodan säger att varje jämnt heltal n > 2 är summan av två primtal. Denna hypotes är dock fortfarande obevisad. Mer om det kan man läsa i böcker om talteori.

Wolfgang Staubach.


7 oktober 1998 14.13.55
88*5822+558ä-1124504

Svar:

88*5822+558ä-1124504= -612168+558ä.

Wolfgang Staubach.



7 oktober 1998 08.34.04
Hej! Jag undrar hur formeln lyder för omvandling mellan celsiusgrader och farenheightgrader och vise versa.
Tommy

Svar:

Om man betecknar tempraturen i fahrenheit med t(F) och tempraturen i celsius med t(C) så har man följande formler

t(F) = 1,8t(C) +32 och t(C) = 0,56t(F) - 17,78 .

Wolfgang Staubach.


6 oktober 1998 23.55.04
Jag har glömt vilken formel jag skall använda mig av för att räkna ut volymen hos en cylinder? Mitt exempel är följande: Diametern är 1185 mm hur hög skall cylindern vara för att rymma 1000 liter?
Bengt Nilsson

Svar:

Volymen av en cylinder räknas med formeln

V= pi d2 h/4, där d är diametern och h är höjden.

Wolfgang Staubach.


6 oktober 1998 20.42.04
Hur bevisar man att en triangel har mer än 180 grader i vinkelsumma? Jag förutsätter att man placerar in triangeln i ett krökt koordinatsystem (dvs y-axeln är krökt på ett klots yta, x-axeln är krökt på ett klots yta)...triangleln får ju mer än 180 grader, men hur bevisar man det? Normalt sett möts bara räta linjer en gång i ett koordinatsystem, men om man har ett krökt kommer de ju att mötas två gånger...
Gustav

Svar:

Om man placerar triangeln på ett klot så att två sidor sammanfaller med två storcirklar så vet man att dessa storcirklar skär ekvatorn i vinklar a' 90 grader. Vi får alltså en triangel där två vinklar är 90 grader och en tredje x grader och summan av alla vinklar blir 90+90+ x > 180.

Ett allmänt bevis för detta kan man finna i boken, Elementary geometry av John Roe.

Wolfgang Staubach.


6 oktober 1998 19.37.55
Antag att en kossa betar pa en cirkelrund äng med diametern d. Kossan är bunden vid staketet som är uppsatt längs med utkanten. Repet är precis sa langt sa att kossan bara kan beta av halva ytan. Hur langt är repet i förhallande till radien? Det later lätt men jag har haft stora problem med att lösa detta. (Jag söker ett exakt svar.)
Henric Bergenwall

Svar:

Om l betecknar längden av repet och r ängens radie så ger en ganska lång kalkyl, som du säkert sett, till att visa att följande integraler är lika.

Integralen[l2/2r till l]{(l2-x2)1/2}dx = Integralen[l2/2r till r]{(r2-(x-r)2)1/2}dx. Om vi beräknar dessa integraler (med hjälp av datorn förstås!) så får vi en väldigt komplicerad ekvation som är omöjlig att lösa exakt. Man får då använda sig av Newton-Raphsons metod för att lösa denna ekvation numeriskt.

Wolfgang Staubach.


6 oktober 1998 19.24.07
e^(-j2PI/N)=(e^(-j2PI))^(1/N)=1^(1/N)=N:te roten ut 1=1 Var finns felet(n)? Om 4:e roten ut 1 = 1 är fel eftersom det har 4 lösningar (1,-1,j,-j) sa maste det finnas tidigare fel. För VL har inte 4 lösningar.
Henric Bergenwall

Svar:

Det är så att funktionen f(z)=z1/N är en flervärd funktion ty det komplexa talet z kan skrivas som rei(q+2kPI)och då är f(z)=r1/Nei(q+2kPI)/N och k är ett godtyckligt heltal. Funktionens värde varierar med olika värden på k och oftast får man välja argumentet av z, som i vårt fall betäcknas med q, så att funktionen skall vara entydig i det område där q varierar.

Wolfgang Staubach.


6 oktober 1998 18.52.04
Hej! Hur beräknar man integralen? integralen[2,1]x*(lnx)²dx Hur bestämmer man de primitiva funktionerna till: f(x)=(x^4+1)/(x^3+3x^2+4x+2) Tack på förhand!
Helena Larsson

Svar:

Först observerar vi att en primitiv funktion till ln(x) ges av xln(x)-x. Integralen[2,1] x(lnx)2 dx= Integralen[2,1]{x(lnx)2+x(lnx)-x(lnx)}dx=Integralen[2,1]{xlnx(lnx+1)}dx-Integralen[2,1]{xlnx}dx. Sätt nu u=xlnx i den första integralen, då är du= (1+lnx)dx och den första integralen är lika med: Integralen[0,2ln2]{u}du =-2(ln2)2. Partialintegration i den andra integralen ger Integralen[2,1]{xlnx}dx=[(x2/2)lnx](2 till 1)-Integralen[2,1]{(x2/2)1/x}dx=2ln2-3/4. Alltså Integralen[2,1] {x(lnx)2} dx= -2(ln2)2 + 2ln2-3/4.

För att bestämma en primitiv funktion till f(x)=(x4+1)/(x3+3x2+4x+2) måste man använda först polynomdivision och sedan partialbråksuppdelning och slutligen integrera termvis. (x4+1)/(x3+3x2+4x+2) = x + 3 + (5x2+10x+7)/(x3+3x2+4x+2) = x+3 + 2/(x+1) + (3x+3)/(x2+2x+2) = x + 3 + 2/(x+1) + 3(x+1)/((x+1)2+1). Den sökta primitiva funktionen är alltså

x2/2 + 3x+2ln(x+1) + (3/2)ln(x2+2x+2) + C.

Wolfgang Staubach.


6 oktober 1998 14.13.10
Finns det något sätt att faktorisera polynom av 3:e resp 4:e graden? Finns det något sätt att snabbt räkna ut A^-1 för en 3x3 matris (inte [A:I]=>[I:A^-1]). Vad är betyder adj. i matriser, vad används det till?
Pelle

Svar:

För faktorisering av polynom se 18 mars 1997 02.44.41 och 14 december 1997 13.32.37 En metod för beräkna inversen till en matris är Cramers regel. Du kan läsa om Cramers regel i de flesta läroböcker i linjär algebra och på Eric's Treasure Trove of Mathematics under rubriken Cramer's rule. Cramers regel fungerar bra på små matriser men inte på stora för då blir det många stora determinanter som skall räknas ut vilket är tidskrävande.

Adj står för adjunkten till en matris och är den matris man får om man byter rader mot kolonner och vice versa.Om vi har matrisen

1 2 3

4 5 6

Så är adjunkten

1 4

2 5

3 6

Stefan Jakobsson


6 oktober 1998 12.50.58
Hej! Jag fick en uppgift där avstånden från en given punkt i en liksidig triangel till respektive hörn är 2, 3 resp 4 cm. Hur lång sida har triangeln?
Per

Svar:

Se lösningen till 5 oktober 1998 21.49.36 . Svaret i detta fall är (58+181/2)1/2

Stefan Jakobsson


6 oktober 1998 12.50.00
En svensk normalvilla gör av med 25000 kWh elenergi på ett år. Räkna med att Barsebäck 1 körs på 90% av maxeffekten i 350 dygn. Ingen hänsyn tas till förluster vid distributionen. Hur många normalvillor skulle få sitt energibehov tillgodosett av reaktorn i detta fall? Barsebäck 1 = 600 MW
Jocke

Svar:

Den totala mängden elenergi som Barsebäck producerar på ett år är

E=0,9.350.24.600.103kWh=4,5.109kWh.

Antalet normalvillor som kan få sina elbehov tillgodosedda är kvoten mellan E och 25000kWh alltså ca 181 stycken. Jag misstänker att åtminstone någon dina siffror är felaktig.

Stefan Jakobsson


6 oktober 1998 12.48.23
Gränsvärdet för klor i badvatten är 1 ppm. En liten villapool rymmer ca 27 kubikmeter. 1 kubikmeter vatten väger 1 ton. Hur mycket klor kan det finnas i vattnet utan att gränsvärdet överstigs?
Jocke

Svar:

Detta är en frågan för Fråga Gilbert om kemi .

Stefan Jakobsson


5 oktober 1998 21.53.03
Jag vill bara tacka Hjalmar Rosenberg för att du hjälpte mig med irationella kedjebråk. Det är bara ett problem, nu har jag ett verktyg jag kan arbeta med, men jag vet inte hur verktyget är uppbyggt. Och det är faktiskt det jag är mest intresserad av, inte själva det praktiska användningsområdet av matematiken, utan själva matematiken. Tack på förhand.
Dennis Eriksson, Nv2A, Rudbecksskolan

Svar:

För att få mer information om kedjebråk så rekommenderar jag att du läser någon bok i talteori som behandlar kedjebråk t.ex. An Introduction to the Theory of Numbers av Niven, Zuckerman och Montgomery eller Elementary Number Theory and its Applications av K. Rosen. Du kan också kolla in Eric's Treasure Trove of Mathematics under rubriken continued fractions.

Stefan Jakobsson


5 oktober 1998 21.49.36
Hejsan, jag har ett problem här som jag inte har hittat alla lösningarna till. Jag har en liksidig triangel ABC med sidan x. I denna triangel finns punkten "P". PA=5, PB=4, PC=3, vad är x? Jag tror mig ha hittat en av lösningarna, genom en väldigt omständig användning av Herons formel. Men enligt en mattelärare jag känner finns det tydligen 3-4 (jag kommer inte ihåg) stycken lösningsmetoder till, bl.a. genom likformighet och genom att betrakta triangeln i ett koordinatsystem. Har ni några förslag?
Dennis Eriksson, Nv2A, Rudbecksskolan Örebro

Svar:

Låt l vara längden av kanterna hos den liksidiga triangeln och låt a vara vinkeln mellan PA och PB och b vinkeln mellan PB och PC. Vinkeln mellan PC och PA är då 2pi-a-b. Vi kan nu använda cosinussatsen på de tre trianglarna PAB, PBC och PCA. Vi får efter förenkling

l2=41-40 cos(a)

l2=25-24 cos(b)

l2=34-30cos(2 pi-a-b)

Om vi utnyttjar att cos(2 pi-a-b)=cos(a+b)=cos(a)cos(a)-sin(a)sin(b) så kan den sista ekvationen skrivas om till

l2-34+30cos(a)cos(a)=30sin(a)sin(b).

Kvadrera denna ekvationen och utnyttja att sin2(a)sin2(b)=(1-cos2(a))(1-cos2(b))

(l2-34+30cos(a)cos(a))2=900(1-cos2(a))(1-cos2(b)).

Lös sedan ut cos(a)och cos(b) ur de två första ekvationerna =(41-l2)/40, cos(b)=(25-l2)/24 . Efter förenkling får vi

l6-50 l4+193 l2=0

Lösingarna för l2 är 0, 25+12.31/2 och 25-12.31/2. Testning ger sedan att 0 och 25-12.31/2 är falska rötter medan den andra är äkta. Sidan hos tringeln är alltså (25+12.31/2)1/2

Stefan Jakobsson


5 oktober 1998 19.51.43
Om vi hade haft en imaginär hand med imaginära fingrar skulle vårt tal system vara imaginärt då?
Daniel Holm

Svar:

Jag förstår inte vad en imaginär hand skulle vara för nånting. Kan man skriva med en sådan?

Det finns flera olika talmängder som används i matematiken bl.a. de naturliga talen 0,1,2,3 osv, mängden av heltal, de rationella talen,de reella talen och de komplexa talen. De olika talmängderna är lämpade för olika saker. För att räkna antal av något (t.ex elever i en klass eller fingrar)så är de naturliga talen det rätta. Man kan t.ex inte säga att det är 22,56 elever i klassen eller att det är 25+4i elever i klassen.

Stefan Jakobsson


5 oktober 1998 19.37.10
Halloj Jag undrar varför 1+1=2? Och jag vill inte ha svar som : " det bara är så " eller " man har bestämt sig för det" Tack på för hand

Svar:

Det är tråkigt att behöva göra dig besviken, men det är så att man bestämt sig för det.

Om du är intresserad axiomen för heltalsaritmetiken så finns det behandlat i ett appendix till Anders Vretblads bok Algebra och kombonatorik.

Stefan Jakobsson


4 oktober 1998 20.04.38
Om man har funktionen F(x) = sin100x, hur stor blir då den area som kurvan alstrar i intervallet 2<x<5? (från varje x-koordinat dras linjen x=2, respektive x=5)?
Gustav

Svar:

Arean som kurvan alstrar är den area som ligger mellan kurvan och y-axeln och ges av integralen.

integralen[x=2 till x=5]|sin(100t)|dt

Vi börjar med att byta variabel till s=100 t. i får då integralen

integralen[x=200 till x=500]|sin(s)|ds/100.

Eftersom 63<200/pi<64, 159<500/pi<160 så kan vi skriva

integralen[x=200 till x=500]|sin(s)|ds=integralen[x=200 till x=64 pi]-sin(s)ds+

integralen[x=64 pi till x=159 pi]|sin(s)|ds+integralen[x=159 pi till x=500]-sin(s)ds

där vi har utnyttjat att sin är negativt på intervallena (200,64pi) och (159 pi,500). Nu räknar man lätt fram att

integralen[x=200 till x=500]|sin(s)|ds=1-cos(200)+(159-64).2+cos(500)+1=190,628...

Arean är ca 1.906.

Stefan Jakobsson


3 oktober 1998 21.15.28
Jag fick en upgift i min matebok där man skulle räkna ut hur många apelsiner det gick i en pyramid med 10 * 10 apelsiner i det första lagret. Naturligtvis går det att räkna 10 * 10 + 9 * 9 osv, men går det inte att göra en formel för att räkna ut detta svar lättare?
Emil Döhl

Svar:

Jo det går att hitta en formel för detta problem. Om du istället hade haft en pyramid med n stycken apelsiner så hade det sammanlagda antalet apelsiner varit

summan[k=1 till k=n] k2.

Man kan visa att denna summa är lika med (2n3+3n2+n)/6. Ett sätt att göra det är att använda induktion. Om vi tillämpar denna formel på ditt problem får vi

summan[k=1 till k=10] k2=385.

Det är alltså 385 apelsiner i pyramiden.

Stefan Jakobsson


3 oktober 1998 18.53.32
Vilka är de grundläggande matematiska axiomen. När jag läste matematik på chalmers pratades det om 14 axiom, men jag kan tyvärr inte hitta dessa i mina anteckningar. Hjälp!
Matthias Rezac

Svar:

Jag vet inte vilka 14 axiom man syftade på så det bästa är väl att fråga någon på Chalmers. Men kolla in Eric's Treasure Trove of Mathematics och sök på Axioms.

Stefan Jakobsson


3 oktober 1998 16.29.47
Hej, jag undrar hur man med hjälp av ett antal givna punkter i ett koordinatsystem kan beräkna ekvationen till en kurva/linje som går "ungefär" genom de givna punkterna (Linjär regression för linje, kvadratisk regression för andragradskurva osv). Jag vet att man skall använda minsta kvadratmetoden, men den vet jag ingenting om ...
Filip

Svar:

Antag att du har punkterna (xi,yi), i=1 till n. Bilda funktionen

S (a,b)=summan [i=1 till n] (yi-a xi-b)2.

Vi vill bestämma a och bS (a,b) blir minimal för då ligger yi 'nära' a xi+b i genomsnitt. För att hitta minimum deriverar vi S (a,b) med avseende på a och b och sätter derivatan lika med noll. Vi få ekvationerna

0=-2summan [i=1 till n] xi(yi-a xi-b)2.

0=-summan [i=1 till n] (yi-a xi-b)2.

Detta kan skrivas om till ekvationssystemet

a Sxx+b Sx=Sxy

a Sx+b n=Sy

där Sxx=summan [i=1 till n] xi2,Sxy=summan [i=1 till n] xiyi ,Sy=summan [i=1 till n] yi och Sx=summan [i=1 till n] xi .

Löser vi ut får vi a och b får vi a=(Sx Sy-n Sxy)/(Sx 2-n Sxx) och b=(SxSxy-SySxx)/(Sx 2-n Sxx).

Vid kvadratisk regression inför man istället funktionen

S (a,b,c)=summan [i=1 till n] (yi-a xi2-b xi-c)2.

och minimerar sedan funktionen med avseende på a,b,c.

Stefan Jakobsson


3 oktober 1998 15.40.19
Hur invers-Laplace transformerar man uttrycket : H(s)= A^3/( B*A^3 + (1+s/w)^3 ) ?
Urban Englund

Svar:

Vi inför hjälpfunktionen G(s)=1/(1+s^3). H kan då skrivas som H(s)=1/B G((1+s/w)/(B1/3A)). Enligt kända formler gäller följande relation mellan inverstransformen av G och H:

Börja med att faktorisera (1+s3)=(s+1)(s2-s+1). Nu kan vi partialbråkuppdela 1/(1+s3)

1/(1+s3)=A/(s+1)+(Bs+C)/(s2-s+1).

Man får att A=1/3, B=-1/3 och C=2/3 så

G(s)=1/3(1/(s+1)+(2-s)/(s2-s+1)).

Efter kvadratkomplettering av den andra termen får vi

G(s)=1/3(1/(s+1)+(1-(2 s-1))/((2 s-1)/31/2)2+1)).

Vi behöver följande regler för Laplace-transformen

L(f(at))(s)=1/a L(f(t))(s/a), L(e-at f(t))(s)=L(f(t))(s+a) ,

L(e-at )(s)=1/(s+a) L(cos(t))(s)=s/(s2+1) och L(sin(t))(s)=1/(s2+1)

Med hjälp av dessa formler för Laplacetransformer får man sedan fram att invers Laplacetransformen av G är

g(t)=1/3(e-t+e1/2 t (sin(31/2/2 t)-cos(31/2/2 t))).

Använder man sedan formlerna igen får man att inverstransformen h av H är

h(t)=wAB-2/3 e-w t g(wAB1/3 t).

Stefan Jakobsson


2 oktober 1998 19.35.33
Hur löser man en ekvation med iteration? Lös ekvationen x - roten ur (x + 3) = 0
Matte

Svar:

I det här fallet kan du skriva om ekvationen till x=(x+3)1/2. Iteration går sedan till så att man börjar med en startgissning t.ex. x0=2. Sedan definierar vi rekursivt xn+1=(xn+3)1/2. De tre första värdena blir x1=2.236, x2=2.288 och x3=2.300. Allmänt kan man iterera ekvationer av typen x=f(x) dock konvergerar det inte alltid. Ett kriterium för att det skall konvergera är att |f'(x) |=<1 där x är lösningen till ekvationen (som man dock antagligen inte vet). Jämför med Newton-Raphsons metod 31 mars 1997 11.44.13 ( Newton-Raphson är också en iterartionsmetod av denna typ men konstruerad så att den konvergerar väldigt snabbt).

Stefan Jakobsson


2 oktober 1998 18.04.58
skulle ni kunna förklara för mig vad ekvivalensklasser är. Ni kanske har ett konkret exempel att visa med
Annelie

Svar:

Från boken Algebra och kombinatorik av Anders Vretblad får vi följande definition av ekvivalensrelation: Låt A vara en mängd och R vara en relation på A (En relation på A anger ett förhållande mellan två element i A . Se exemplet). R sägs vara en ekvivalensrelation på A om följande är uppfyllt.

(1) R är reflexiv: x R x för alla x i A

(2) R är symmetrisk: Om x R y y R x för alla x och y i A.

(3) R är transitiv: Om x R y och y R z x R z för alla x,y och z i A.

(En vanlig ekvivalensrelation är likhet =.)

En ekvivalensklass är en delmängd B av A där alla par av element x och y i B uppfyller x R y. Mängden A kan delas upp i parvis disjunkta ekvivalensklasser.

Exempel. Om A= Sveriges befolkning och relationen R definieras av a R b om person a och person b har samma färg på håret. Denna relation uppfyller alla krav som ställs på en ekvivalens relation vilket vi lätt kan kontrollera. (1) R är reflexiv eftersom en person har samma hårfärg som sig själv. (2) R är symmetrisk ty om a har samma hårfärg som b så har b samma hårfärg som a. (3) R är transitiv ty om a har samma hårfärg som b och b har samma hårfärg som c så har a samma hårfärg som c. Ekvivalensklasserna blir sedan delmängder med personer som har samma hårfärg.

Se boken Algebra och kombinatorik av Anders Vretblad för mer information.

Stefan Jakobsson


2 oktober 1998 17.57.12
Hej! Vi ska anordna en hockey-spels-turnering, vi är nio deltagare. Alla ska möta alla en gång, en match i taget (vi har bara ett spel). Hur skall vi göra spelschemat för att minimera det maximala antalet matcher mellan det att man spelar två matcher. Med andra ord, vi vill inte att någon ska få vänta onödigt länge mellan två matcher!
Linus och Rikard

Svar:

Kalla de nio deltagarna A,B,C,D,E,F,G,H och I. Eftersom det är nio deltagare så kommer en av deltagarna behöva vänta i 4 matcher innan han får spela sin första match så det går inte att konstruera ett spelschema som maximal väntetid mindre än 4 matcher. Följande spelschema har maximal väntetid på 4 matcher och är alltså optimalt i det avseendet.

A spelar matcherna 1 5 10 14 19 23 28 32

B spelar matcherna 1 6 11 16 21 26 31 36

C spelar matcherna 2 6 10 15 20 25 30 35

D spelar matcherna 2 7 12 17 22 27 32 36

E spelar matcherna 3 7 11 15 19 24 29 34

F spelar matcherna 3 8 13 18 23 27 31 35

G spelar matcherna 4 8 12 16 20 24 28 33

H spelar matcherna 4 9 14 18 22 26 30 34

I spelar matcherna 5 9 13 17 21 25 29 33

Spelschemat är konstruerat efter följande metod: efter de fyra inledande matcherna A-B,C-D, E-F och G-H så får I möta något av lagen från första matchen, här blev det A. B har då inte spelat på fyra matcher och får sedan möta något av lagen från andra matchen här C. D får sedan spela mot något av lagen från tredje matchen. Så där kan man fortsätta. Det gäller dock att se till att alla lag möter varandra exakt en gång.

Stefan Jakobsson


2 oktober 1998 10.55.44
Jag vet att 2 * 2=2, och att -2 *2 =-2, men jag greppar inte riktigt varför -2 * -2 = 2
Rutger Jönsson

Svar:

Du menar förmodligen att 2.2 = 4 och (-2).2 = -4 men att du inte förstår varför (-2).(-2) = 4. Om den distributiva lagen

a(b + c) = ab + ac
skall gälla måste

0 = (-2).(2 + (-2)) = (-2).2 + (-2).(-2)

(-2).(-2) = -(-2).2 = -(-4) = 4.

Kjell Elfström


2 oktober 1998 09.14.27
Jag behöver en smula hjälp med matriser, och hur man ska knäcka en 2x2-matris, tack! :)
Ivan

Svar:

Om du förklarar vad det innebär att knäcka en matris så kanske jag kan hjälpa dig. Men dessa två svar till tidigare frågor kanske kan hjälpa dig 24 februari 1998 18.31.09 och 11 mars 1998 18.41.07

Stefan Jakobsson


17522 frågor av sammanlagt 17907 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)