Fråga Lund om matematik

Sökresultat


13 september 1999 19.20.49
Hejsan ni lärde i Lund! Jag har lite trubbel med matematisk induktion. När det gäller summor då är det lungt, men när det gäller olikheter så är det något som jag har inget bra grepp om, nämligen jag tycker att det inte finns någon "stringent" sätt att lösa olikheter med induktion. Jag ger ett exempel: Visa med induktion att: 1/sqrt(1) + 1/sqrt(2) + ... + 1/sqrt(n) <= 2*sqrt(n) - 1, för n=>1. För detta exempel har jag sett flera olika lösningar som skiljer sig väldigt mycket från varandra, både metodmässigt och kvalitetmässigt. Nu undrar jag om det finns någon generell metod att lösa olikheter med induktion eller är det en sak som mestadels beror på personens matematiska erfarenhet. Jag vore väldigt tacksam om ni kunde besvara mina frågor och eventuellt lösa (stringent) den uppställda olikheten och ge tips som man kan ha användning av när man löser olikheter med induktion. Tack på förhand! MVH. Marko
Marko

Svar:

Det är klart att det finns många sätt att visa denna olikhet, men induktion är nog det mest naturliga. Ty olikheten är självklar för n=1 och om vi antar att den är sann för ett heltal   n=>1 behöver vi enligt induktionsprincipen bara visa att den också då är sann för n+1 för att veta att olikheten alltid gäller. Skriver vi ut olikheten och andvänder att vi vet att den är sann för n, ser vi att det räcker att visa att

2sqrt(n)-1+1/sqrt(n+1)<=2sqrt(n+1)-1.

Med hjälp av induktion har vi alltså lyckats reducera en "svår" olikhet till en mycket enkel sådan.  Om vi skriver om vänsterledet och andvänder den välkända olikheten 2ab<=a2+b2 (olikheten mellan geometriskt och aritmetiskt medelvärde) så får vi följande:

(2sqrt(n)sqrt(n+1)+1)/sqrt(n+1)-1<=(n+n+1+1)/sqrt(n+1)-1=2sqrt(n+1)-1.

Alltså är olkheten sann för alla n=>1. Detta är enligt min erfarenhet ganska typiskt när man löser den här sortens olikheter med induktion: problemet reduceras till en enkel olikhet som man kan lösa med elementära metoder. Olikheter mellan medelvärden är typiska sådana.

Martin Svensson.


13 september 1999 15.07.33
Hur definirera man ellips, parabel och hyperbel?
Patrik

Svar:

En ellips är en kurva i planet  som i lämpliga koordinater har ekvationen  1=x2/a2+y2/b2 . En
hyperbel har ekvationen 1=x2/a2-y2/b2 och en parabel ges av y2=ax. Dessa är så kallade
kägelsnitt om vilka man kan läsa i Eric Treasure Trove of Mathematics under Conic Sections.

Martin Svensson.


13 september 1999 13.33.54
Hej! Jag undrar hur man ställer upp en ekvation som beräknar kvarvarande ämne B efter tiden t om halveringstiden är T för A->B och T2 för B->C. Från början finns ämne A som övergår i ämne B som i sin tur övergår i ämne C A efter tiden t är ju lätt att räkna ut (=y i standardekvationen för radioaktivitet): y= A*exp(-tln2/T) Men B är ju inte lika med förbrukad mängd A eftersom B också förbrukas med en halveringstid T2 som beror av hur stor mängd B som bildats från sönderfallet av A. Min fråga är hur fås ekvationen för B och C som beskriver mängden av dessa efter tiden t uttryckt i A? Tack på förhand.
Tomas Mannermo <tomas.mannermo@telia.com>

Svar:

Låt för enkelhetens skull a(t)=mängden av A vid tiden t, b(t)=mängden av B vid tiden t och c(t)=mängden av C vid tiden t, samt a=a(0). För notationens skull sätter vi också u=ln(2)/T och v=ln(2)/T2.   Då är det klart att a(t)=a.exp(-t.u) och att

b(t)+c(t)=förbrukad mängd av ämnet A vid tiden t=a-a(t).

För att kunna lösa problemet behöver vi ytterliggare en relation och  studerar så processen B->C.
Det är klart att b'(t) beror på hur mycket som sönderfaller av A och hur mycket som sönderfaller i B per tidsenhet. Dock gäller det att c'(t) endast beror på det sistnämda och vi vet ju dessutom att  c'(t)=v.b(t). Sålunda har vi följande ekvation:

b'(t)+v.b(t)=-a'(t)=u.A.exp(-t.u).

Denna löses genom att multiplicera båda leden med exp(t.v), varpå fås

(b(t)exp(t.v))'= u.A.exp(t(v-u)),

så integrering av båda sidor och observationen att b(0)=0 ger att

b(t)=a.u.(exp(-t.u)-exp(-t.v))/(v-u)

om u och v inte är lika och om u=v så fås

b(t)=a.v.t.exp(-t.v).

Eftersom b(t)+c(t)=a-a(t) kan vi även enkelt finna c(t) ur detta.

Martin Svensson.


13 september 1999 11.16.53
Hur kan en kon (matematiskt sett) ha en mantelarea som är oändlig, medan volyminnehållet är ändligt??
erik

Svar:

Detta är känt som "målarparadoxen":  man kan fylla konen med färg men färgen räcker ändå inte till för att måla dess yta. Dock är detta inte en kon i den vanliga bemärkelsen utan till exempel den yta i rummet som fås då kurvan  y=1/x, x>1, roterar kring x-axeln. Se 13 maj 1999 16.22.20.

Martin Svensson.


12 september 1999 10.26.16
Hur kan man arbeta med matematik med hjälp av datoreri mellanstadiet, högstadiet
Claudia Sánchez

Svar:

Du kan kanske få svar på din fråga på  Fråga Kristianstad om matematikdidaktik.

Jesper Thorén. 


11 september 1999 23.54.39
Är Riemanns hypotes det viktigaste problemet, enligt er, i dagens matematik? Vad återstår att bevisa för att hypotesen skall bevisas? Vilket är det populäraste angreppssättet, och vilka andra hypoteser/teorem är kopplade till Riemanns?
Rickard Bengtsson

Svar:

Dina frågor kan du få svar på om du läser på Eric's Treasure Trove.

Jesper Thorén.


11 september 1999 22.13.01
Frågan lyder följande: Bestäm det minsta positiva heltal n sådant att utrycket blir reelt (-1+i)^n =Utrycket. Facit säger 4 men jag menar annat. Skulle vara roligt om ni kunde kolla igenom min teori Eftersom sinus 180gradar = 0 så bör detta uppfylla vilkoret för att talet ska bli reelt.(dvs jag vill ha i sin 180) Jag gör allt polärt! Argumentvinkeln för ovan är ju som känt (90 grader + tan1)=90+45=135grader. Nu använder jag de Movires för exponenter. (ps (^=upphöjt)) (-1+i)= 2^0,5 (i sin 135 + cos 135) vilket ger att (2^0,5)^n (i sin 135n + cos 135n) För att 180 =135n bör n=180/135 =exponenten n Har jag eller facit fel?????? Tackar på förhand/Daniel E-post/ animal_garden@hotmail.com
Daniel

Svar:

Observera att

(-1+i )n  = 2n/2 (-1/21/2 + i/21/2 )n = 2n/2 e i3npi/4,
så det står rätt i facit.
180/135 är ju inget positivt heltal.

Jesper Thorén.


11 september 1999 20.05.29
Förra veckan ställde jag en fråga om hur man finner den vektor som har vinklarna pi/3 , pi/4 och pi/3 med de positiva x,y och z-axlarna; svaret blev att man tar cosinus av vinklarna. Det som förbryllar mig är hur vinklarna går ihop: om man betraktar xy-planet så borde det faktum att vektorn har vinkeln pi/3 mot den positiva x-axeln innebära att vi befinner oss i den första kvadranten, medan det faktum att vektorn har vinkeln pi/4 mot den positiva y-axeln ger att vi befinner oss i den andra kvadranten (eftersom vinklar mäts moturs). Som sagt, jag får det inte att gå ihop och vore tacksam om Ni ville klargöra vad som menas. Mvh
Ola Jönsson

Svar:

En vektor som har vinkeln pi/3 mot den positiva x-axeln i rummet kan befinna sig var som helst på en kon med hörnet i origo och som har vinkeln pi/3 mellan mantelytan och x-axeln. Den behöver alltså inte ligga i xy-planet. Det samma gäller de andra fallen.

Jesper Thorén.


11 september 1999 17.47.58
Hej! Jag undrar ifall ni kunde hjälpa mig med att förstå hur man skriver komplexa tal på polär form, alltså hur man bevisar att det hela stämmer. Tack på förhand.
Nils Alsgren

Svar:

Ett komplext tal kan skrivas z=a+bi. Detta betyder att varje komplext tal motsvaras av en vektor i planet, nämligen vektorn (eller punkten) (a,b).  En vektor i planet kan beskrivas med två data (så kallade polära koordinater):
r = längden av vektorn, och
t = vinkeln mellan vektorn och x-axeln.
Då är

z=(r cost, r sint).
Så det komplexa talet
z=r cost +ri sint =r(cost+i sint)
anges med samma två data som den motsvarande vektorn, och komplexa tal på denna form säges vara på polär form.
Du kan även söka på vår söksida för att få reda på mer.

Jesper Thorén.


10 september 1999 18.59.40
Angående pi, 4 september 1999 01.18.14: Rekordet har stigit till 68,7 miljarder, ftp://www.cc.u-tokyo.ac.jp/README.our_latest_record
Bengt Månsson

Svar:

Tack för tipset.

Jesper Thorén.


10 september 1999 13.00.47
Jag skulle vilja veta hur man räknar ut ytan av kurvor rent allmänt, alltså sådana som inte kan integreras på vanligt sätt. Ett exempel: Tar man n-te roten ur ett tal och ritar upp lösningarna får man en n-hörning. Tar man den oändliga roten ur ett tal får man en cirkel. Denna har ju självklart ytan pi, men hur förhåller det sig med andra liknande fall?
Lars

Svar:

Man får försöka med olika trick för att beskriva figuren med integrerbara funktioner. Hur man gör beror oftast på det specifika fallet. Till exempel beskriver funktionen

y = (1-x2 )1/2
den övre halvan av enhetscirkeln. Så arean av enhetscirkeln är
2 integral[-1 till 1]  (1-x2 )1/2 dx.

 Jesper Thorén.


10 september 1999 12.23.41
I Singhs bok om Fermats stora sats finns en beskrivning av hur en matematiker, Frey, antar att satsen är sann och sedan för över den till en elliptisk ekvation via " .. komplicerade beräkningar..." Är det möjligt att beskriva denna procedur eller finns det någon hänvisning till lämplig adress på nätet? MVH,Stefan Wensheim
Stefan Wensheim

Svar:

Läs mer om Frey curve på  Eric's Treasure Trove.

 Jesper Thorén.


10 september 1999 00.07.06
Hejsan! Skulle vilja ha hjälp med en tredjegradsekvation, jag har kommit en bit på väg men förstår inte den sista biten. Bestäm alla reella och komplexa rötter till ekvationen: x^3+2x+1=0 Lösning: Ansätt x=u+v Insättning ger: u^3+v^3+(u+v)(3uv+2)+1=0 (1) u^3+v^3+1=0 (2) 3uv+2=0 (2) ger: v=-2/3u v^3=-8/27u^3 Insättning i (1) ger: u^3-8/27u^3+1=0 (u^3)^2+u^3-8/27=0 u^3=-1/2 +/- sqrt(1/4+8/27) u^3=-1/2 +/- sqrt(59/108) hit är det inga problem men sen förstår jag inte riktigt hur man gör, enligt boken blir det iallafall följande: u=sqrt^3(-1/2+sqrt(59/108))e^k ,k=0,1,2 e=(-1+isqrt3)/2 v=sqrt^3(-1/2-sqrt(59/108))e^-k x=sqrt^3(-1/2+sqrt(59/108))e^k + sqrt^3(-1/2-sqrt(59/108))e^-k och sen räknar man ut rötter med värderna för k=0,1,2 Vad jag skulle vilja ha förklarat är följande: Vad händer med +/- när jag tar 3:e roten ur: -1/2 +/- sqrt(59/108)? Hur räknar jag ut V? har provat sätta in värdet i v=-2/3u men får inte samma svar. Var kommer e^k i från dvs e= (-1+isqrt3)/2 ? Blir det alltid samma e (epsilon?) vid 3:e grads ekvationer? Tacksam för allt som kan bringa lite klarhet i det hela
stefan

Svar:

Hur man löser tredjegradsekvationer kan du läsa om i svaret till frågan  18 mars 1997 02.44.41.
Läs också svaret till frågan  26 november 1997 06.59.09 , för att få svar på dina övriga frågor.

Jesper Thorén.


9 september 1999 19.58.47
Jag har nyligen lärt mig att när man har två ekvationer som 2x+5y=3 och 4x-2y=7 så kan man lägga in värdena i matriser
2 5
4 -2
och
3
7
och sedan multiplicera inversen av den första matrisen med den andra matrisen och få punkten i en graf där de båda linjerna korsar sig. Varför fungerar detta?
Tomas Björklund

Svar:

Ekvationssystemet

2x + 5y = 3
4x - 2y = 7
tolkas geometriskt som skärningen mellan de båda linjerna. På matrisform kan systemet skrivas
AX = Y,
med A som matrisen
2   5
4 -2,
X som
x
y,
och Y som
3
7.
Multiplicerar man båda leden med A-1 från vänster, får man
A-1AX = A-1Y,
dvs
X = A-1Y,
eftersom A-1A = E (=enhetsmatrisen), och EX = X.
A-1Y är alltså den punkt (x, y) som linjerna skär varandra i. Att multiplisera med matrisen är alltså ingenting annat än ett sätt att lösa ekvationssystemet på.

Jesper Thorén.


9 september 1999 16.28.13
Hej! Jag har ett litet problem i mitt examensarbete som är av matematisk karaktär. Problemet är följande. Jag har ett koordinatsystem x,y. Inom detta finns ett rektangulärt område 0<=x<=d, 0<=y<=c. I detta område vill jag placera ut elliptiska ytor med halvaxlar a,b där b>a. Ellipsen beskriver jag i ett första steg i ett lokalt koordinatsystem x',y' där axlarna ligger längs ellipsens halvaxlar. Nu kan ellipsen vara vriden och denna vridning beskriver jag med en vinkel theta mellan x' och x. Därefter så "transformerar" jag ellipsens ekvation så att denna beskrivs i koordinatsystemet x,y istället för det lokala. Nu kan det hända att ellipsen placeras ut på ett sådant sätt att en del av den hamnar utanför mitt område, tex att något x värde hos ellipsen blir större än x=d. Vad jag vill ha reda på är det största värdet xmax som ellipsen skjuter över x=d. Jag provade med att sätta gradienten för uttrycket till (1,0) och på så sätt lösa ett ekvationsystem (olinjärt). Tyvärr så blir uttrycket väldigt trist att ha att göra med så jag undrar om det finns något bättre och enklare sätt att lösa uppgiften? Kanske med geometri? Givet är även origo i x',y'.
Bosse, F94 LTH

Svar:

Antag att e1,e2 är en ON-bas för planet, och låt f1f2 vara den "lokala basen". Då är

f1 = a1e1 + b1e2
f2= a2e1 + b2e2
där ai, bi beror på vinkeln t (=theta) mellan e1 och f1.  Ekvationen för en ellips är
y2 = b2(1-x2/a2).
Antag att t är positiv. Eftersom undre halvan av en ellips uppfyller
y = -b(1-x2/a2)1/2,
gäller att den punkt på ellipsen som ligger längst till höger (i e1,e2-mening) kan skrivas
xf -b(1-x2/a2)1/2f2,
för något x så att -a < x < a. Dvs punkten är
x(a1e1 + b1e2)-b(1-x2/a2)1/2(a2e1 + b2e2)
= (xa1-b(1-x2/a2)1/2a2)e1 +(xb1-b(1-x2/a2)1/2b2)e2.
Säg
f(x)e1+g(x)e2.
Om nu f har maximum i x0, där -a < x0 < a, gäller alltså att
xmax = f(x0)-d.
Andra fall behandlas på liknande sätt.

Jesper Thorén. 


8 september 1999 16.30.35
Jag studerade beviset för följande sats: (AC)^t=C^tA^t. I beviset till satsen användes satsen innan beviset var klart. Blir det inte ett cirkelbevis då? (Det skall vara transponat i satsen). Hur skriver man integraltecken och liknande matematiska beteckningar på denna frågesida? Hur beräknas skalärprodukten av två komplexa vektorer: <a b>?
Per

Svar:

Ibland kan man visa ett allmänt påstående genom att först visa påståendet i ett specialfall, och sedan använda dett i det allmänna fallet. Jag misstänker att man i beviset du har läst använder att

(AC)t =CtAt
C är en kolonnmatris för att visa att samma påstående är sant då C är en matris med fler kolonner.  Påståendet är ju självklart då C är en kolonnmatris (eller?).
Vi hr inga speciella symboler utan man får skriva integral, tensorprodukt och liknande och hoppas att läsaren förstår.
Skalärprodukt (dot product) kan du läsa om på Eric's Treasure Trove.

Jesper Thorén.


8 september 1999 16.23.44
Jag funderade på en sak som hade med komplexa tal att göra. Jag undrar om det går att åskådligöra arg z= i på det komplexa talplanet. Med tanke på att arg z= i^2 (=> arg z= -1) går.
Dan Andersson, K-na

Svar:

Argumentet, arg z, av ett komplext tal anger vinkeln mellan den reella axeln och den vektor som i komplexa talplanet pekar på z = a+bi = r (cost + i sint) = reit, där t = arg z upp till en multipel av 2pi. Argumentet är alltså ett reellt tal, och det är detta som skiljer de två fallen i din fråga åt.

Jesper Thorén.


7 september 1999 21.05.05
Låt A och B vara två konvexa mängder. Hur visas att skärningen mellan A och B också är en konvex mängd?
Stefan

Svar:

Att en mängd A är konvex betyder att hela den räta linjen mellan två godtyckligt valda punkter i A ligger  i A. Betrakta nu skärningen, C, mellan två konvexa mängder A och B. Om vi tar två punkter i C ligger de speciellt också i A och i B. Därför ligger hela det räta linjestycket mellan punkterna i både A och B, och därmed i C.

Jesper Thorén.


7 september 1999 09.59.55
hejsan, skulle bara vilja veta dessa begrepen är: apex engelska: circumference Tack
Martin snälla emaila mig svaren:
martined17@hotmail.com

Svar:

Apex är den högsta punkten med avseende på en given linje eller ett givet plan. Om man, till exempel,
väljer en av sidorna i en triangel till bas, blir det hörn som inte hör till basen apex. Ett annat exempel är hörnet i en kon.
Circumference betyder omkrets.

Jesper Thorén.


6 september 1999 22.01.11
Jag söker en formel till ett datorprogram jag skriver. Den ska utföra rotation av punkter i ett 3d rum. Något i den här stilen... Indata: [x,y,z] punkten runt vilken rotationen ska äga rum [x,y,z] koordinater för punkten som ska roteras [] rotationen i grader. Utdata: [x,y,z] nya koordinater för punkten. Några bra ideer? Mycket tacksam för hjälp.
Daniel Sebring

Svar:

Man kan inte rotera en punkt i rummet runt en annan punkt i rummet. Rotationen görs runt en linje, och en riktningsvektor, p,  för linjen måste anges. Rotationen sker sedan genom att den givna punkten flyttas längs en cirkel som  ligger i ett plan som är vinkelrätt mot den givna linjen, och med centrum där linjen skär planet. Beteckna denna skärningspunkt med C=(x0, y0, z0). Antag att p har längd 1. Om punkten
(x, y, z) ska roteras, sätt

vin=(x-x0, y-y0, z-z0).
Sätt sedan
vut=vin cost + [p, vin] sint,
där [p, vin] anger vektorprodukten (se nedan). Vektorn vut är den vektor som pekar från C till en punkt t radianer från  (x, y, z). Om p=(p1, p2, p3) ges alltså denna punkt av
(x0, y0, z0) + cost (x-x0, y-y0, z-z0) + sint (p2z-p3y, p3x-p1z, p1y-p2x).

Jesper Thorén.


4 september 1999 01.18.14
Hur många decimaler finns bestämt på pi, och vilka?
Ahmed Ballah

Svar:

Se  17 november 1998 14.54.47.

Stefan Jakobsson


3 september 1999 18.27.45
Hur gör man för att rita en superellips med måtten 400 x 260mm ?
Hasse Malmsten

Svar:
Först behöver man formeln för en superellips. Det kan man få på Eric's Treasure Trove of Mathematics om man kollar på superellips. Sen matar man förslagsvis in formeln i en miniräknare eller dator. Jag tror inte det finns någon metod att rita superellipser som motsvarar metoden som man kan rita vanliga ellipser med (den metoden utnyttjar att summan av avstånden från brännpunkterna till en godtycklig punkt på ellipsen är konstant)..

Stefan Jakobsson


3 september 1999 16.45.40
Hej! Let Bn = 1*1!+2*2!+3*3!+...+n*n! Find a formula for Bn and prove it.
LaCrosse

Svar:

Beräknar man Bn för några n får man B1=1, B2=5, B3=23 och B4=119. Jämför man sedan detta med fakulteterna 2!=2, 3!=6, 4!=24 och 5!=120 börjar man misstänka att Bn=(n+1)!-1 för alla n. Detta visar man enklast med ett induktionsbevis.
  Formeln stämmer ju för n=1. Antag att formeln är sann för n. Vi vill då visa att formeln också är sann för n+1.
Vi har att Bn+1+1=Bn+(n+1)*(n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!=(n+2)!-1. Formeln är alltså sann för n+1 också. Induktionsprincipen ger att formeln är sann för alla n.

Stefan Jakobsson


3 september 1999 16.43.50
Ange alla primtal p för vilka ekvationen x^3-24x+p=0 har en heltalsrot.
LaCrosse

Svar:

Om är n en heltalslösning till ekvationen ovan så har vi att p=24n-n3= n(24-n2). Eftersom p är ett primtal så måste antingen n=+/-1 eller 24-n2=+/-1. Det första alternativet ger att p =+/- 23. Eftersom primtal är positiva så måste p =23. Det andra alternativet ger att n=+/-5 . n=5 kan uteslutas eftersom p är positivt . Detta fall ger således att p=5.

Stefan Jakobsson


3 september 1999 16.37.47
Hej! Jag undrar om ni kan hjälpa med följande problem: Om det reella polynomet f(z)=z^4-10z^3+Az^2+Bz+C vet man att dess nollställen alla ligger på kurvan x=y^2 i det komplexa talplanet. Dessutom är deras real- och imaginärdelar heltal (Gaussiska heltal). Bestäm alla nollställena. Tack på förhand!
Filip

Svar:

Eftersom polynomet är reellt så är konjugatet till ett nollställe också ett nollställe. Nollställena förkommer alltså i par som är komplex konjugerade i förhållande till varandra. Då nollställena låg på kurvan x=y2 och är Gaussiska heltal så kan de skrivas z1,2=b2+/-i b och z3,4=c2+/-i c . Polynomet f kan sedan skrivas som produkten
f (z)=(z-z1) (z-z2)(z-z3)(z-z4). Sätter man in och räknar på så får man att koefficienten framför z3 blir -2(b2+c2). Jämför vi detta med det givna polynomet ser vi att b2+c2=5. Eftersom b och c är heltal så måste deras kvadrater vara 1 respektive 4. Nollställena blir således 1+/-i och 4+-2i.

Stefan Jakobsson


3 september 1999 10.58.17
Hur många sifferkombinationer kan man få av 4 siffror? Hur många sifferkombinationer kan man få av 8 siffror? Tacsam för svar. Hannu Raijas.

Svar:
Med fyra siffror kan man bilda talen från 0000 till 9999. Det blir alltså 10 000 kombinationer. Motsvarande för åtta siffror är 100 000 000 kombinationer.

Stefan Jakobsson


2 september 1999 16.31.49
Hej! Vad menas med en konvex funktion och hur visar man att expotentialfunktionen är konvex. Tack på förhand
Marko

Svar:

En funktion kallas konvex i ett intervall I om  f(ax + (1 - a)x) <= af(x) + (1 - a)f(y) för alla x och y i I och a mellan 0 och 1. Geometriskt betyder det att varje korda som förbinder två godtyckliga punkter på grafen ligger ovanför själva grafen. Om funktionen är två gånger driverbar så förenklas villkoret till f ''(x)>=0.
För exponentialfunktionen har vi d2/dx2(exp(x))=exp(x)>0 så den är alltså konvex.

Stefan Jakobsson


2 september 1999 16.30.55
Hej! Vad menas med en kontinuerlig funktion och hävbar diskontinuitet? MVH Daniel
Daniel

Svar:
Vad en kontinuerlig funktion är definieras i stort sett i alla böcker i matematisk analys. T.ex kan du titta i Hellström, Morander och Tengstrands Envariabelanalys. Du kan också gå in på sidan  Eric's Treasure Trove of Mathemetics  och se under rubriken continuous function.

Funktionen f har en hävbar diskontinuitet i a om det finns en funktion, som är kontinuerlig i a, och som antar samma värden som f för övrigt. Detta är fallet om f har ett gränsvärde då x går mot a.

Stefan Jakobsson


2 september 1999 16.28.43
Hej! Om f(x) är kontinuerlig i intervallet [a,b] då, i) f(x) antar sitt största och minsta värde i intervallet [a,b]. ii) även alla värden däremellan! Jag vore tacksam om ni kunde förklara litet närmare denna sats, dessutom undrar jag vem var upphovsman till denna sats och till vad använder man den, kanske ekvationslösning eller något annat? Vad har den för likheter med Bolzano-Weierstrass sats.
Marko

Svar:
Bernard Bolzano lär vara upphovsman till denna sats som också kallas för satsen om mellanliggande värden. Som du själv skriver så har den tillämpningar för ekvationslösning; om satsens villkor är uppfyllda så har ju ekvationen f(x)=c garanterat minst en lösning i intervallet för alla c som ligger mellan f's största och minsta värde. Beviset för satsen bygger på intervallhalveringsmetoden som också kan användas för att hitta lösningen numeriskt.

Bolzano-Weierstrass sats säger att varje begränsad talföljd har minst en hopningspunkt. Med en hopningspunkt för följden menas att det finns en delföljd som konvergerar mot denna punkt. Vilka likheter satserna har får du själv avgöra.

Stefan Jakobsson


1 september 1999 09.27.39
Vad är en vetenskaplig definition på "slump"
Firooz Azam

Svar:

Jag känner inte till någon vetenskaplig definition av ordet slump men mitt förslag är oregelbundet och oförutsägbart. Är du intresserad av att läsa om sannolikhetsteori på nätet kan du kolla in  Matematisk statistik länkar (KTH).

Stefan Jakobsson


1 september 1999 09.02.28
Hej! Jag skulle gärna vilja veta hur kryptering fungerar. Jag vet bara ungefärligt. Gärna även PGP.
Jonas Olson

Svar:

Det skulle bli väldigt långt att redogöra för olika krypteringsmetoder här så du får istället lite referenser.
  Författaren Simon Singh (han som skrev den framgångsrika populärvetenskapliga boken om Fermats stora sats) har nyligen också skrivit en bok om kryptering, Kodboken, som recencerades nyligen i tidningen  NyTeknik nummer 35 1999 (här finns många länkar också). På svenska finns också boken Svenska kryptobedrifter av Bengt Beckman som handlar om hur matematikern Arne Beurling knäckte tyskarnas kod under andra världskriget. Du kan också se svaren på frågorna
1 mars 1999 18.46.18 och  25 november 1999 22.49.41 där det finns länkar till olika sidor om kryptering.

Stefan Jakobsson


1 september 1999 08.49.02
Går en diffekvation av typen: dy/dx = ky( 100 - y ) att lösa analytiskt eller är man hänvisad till numeriska metoder? Visa gärna typ av lösningsmetod.
Peter Rolandsson

Svar:

Se  15 januari 1999 18.41.15.

Stefan Jakobsson


1 september 1999 00.59.45
Hur finner man den vektor i rummet som har vinklarna Pi/3, Pi/4, Pi/3 med de positiva x, y och z-axlarna? Själv får jag inte vinklarna att gå ihop.
Ola Jönsson

Svar:
Följande vektor går bra (cos(pi/3),cos(pi/4),cos(pi/3)). Det är lätt att kontrollera att den har längd l så vinklarna stämmer.

Stefan Jakobsson


31 augusti 1999 16.42.48
Hur integrarar man abs(x)*e^(-(x)2)?

Svar:
För positiva x så är -1/2exp(-x2) en primitiv funktion till uttrycket ovan och för negativa x så har vi 1/2exp(-x2) istället.Om man integrera funktionen över ett intervall som är innehållet i antingen den positiva eller den negativa halvaxeln så kan man använda repektive primitiv rakt av. I annat fall så är det enklast att dela upp integralen i två delintegraler, en på positiva och en på negativa halvaxeln.

Stefan Jakobsson


31 augusti 1999 15.34.29
Hur definieras en Lebesque-integral och kan ni ta ett beräkningsexempel på det? Tack.
Frank

Svar:

Se  19 mars 1999 18.56.10.

Stefan Jakobsson


31 maj 1999 20.51.55
Två fartyg åker åt varsit håll från utgångs punkten P. Fartyg A. håller en fart av 14 knop/h, Fartyg B. håller en fart av 21 knop/h.Hur snabbt ökar AB mellan fartygen då PA är 5 sjömil och PB är 3 sjömil?
Det är 120 graders vinkel mellan linjerna PA coh PB. Kan tyvärr ej klara av att rita och få in det . Tacksam för svar snarast mitt arb. ska vara inlämnat senast fre. 4/6.
Ann-Sofi Persson

Svar:

Det skall vara knop och inte knop per timme. En knop är en sjömil per timme.

Låt a(t) och b(t) vara fartygens avstånd från P och c(t) avståndet mellan dem. Cosinussatsen ger då att

(c(t))2 = (a(t))2 + (b(t))2 + a(t)b(t).

Deriverar vi likheten får vi

2c(t)c'(t) = 2a(t)a'(t) + 2b(t)b'(t) + a(t)b'(t) + a'(t)b(t).

Vid tidpunkten t i fråga är hastigheterna a'(t) och b'(t) kända och även sträckorna a(t) och b(t). Beräkna nu c(t) med hjälp av Cosinussatsen och lös ut c'(t).

Kjell Elfström


31 maj 1999 19.01.23
Böcker som behandlar Zeta funktioner finns det gott om och dom flesta tar upp Riemanns hypotes.Jag är dock ute efter någon bok som utgår mer från Riemanns hypotes än Zeta funktionerna.Har ni något boktips så vore jag mycket tacksam.
Olof

Svar:

Riemanns hypotes handlar ju om zetafunktionen så det är nog svårt att finna sådana böcker. En bok jag kan rekommendera är annars Edwards: Riemann's Zeta Function.

Kjell Elfström


31 maj 1999 16.47.17
Lite frågor om minsta kvadratmetoden:
1. När man ska approximera några data till en rät linje, bestämmer man linjen så att summan av kvadraten på avstånden mellan data och linjen blir så liten som möjligt?
2. I så fall, varför får man bättre värde då än om man gjorde så att summan av avstånden blev så liten som möjligt? Går det att bevisa?
Tack på förhand
Erik Lindgren

Svar:

1. Ja om man med avstånd menar det lodräta. Närmare bestämt bestämmer man a och b så att kvadratsumman

summa(axi + b - yi)2

blir så liten som möjligt.

2. Tar man summan av avstånden får positiva och negativa fel ta ut varandra och det vill man nog inte. Däremot kan man bestämma linjen så att summan av absolutbeloppen av avstånden blir så liten som möjligt (maximinorm). Det går inte att bevisa att den ena är bättre än den andra. Man måste bestämma sig för vad bra anslutning betyder. Man kan säga att linjen ansluter bra i minsta-kvadratmening till punkterna eller i maximinorm eller i någon annan norm.

En fördel med att använda minsta-kvadratnorm är att roten ur en kvadratsumma är det vanliga avståndet i Rn (åtminstone då n <= 3), varför geometrisk terminologi kan användas. Ett sådant betraktelsesätt förenklar när man studerar teorin.

Kjell Elfström


30 maj 1999 19.12.39
Vilket är det minsta naturliga tal som är delbart med alla ensiffriga naturliga tal och hur räknar man ut det?
Anna

Svar:

De ensiffriga talens primtalsfaktoriseringar är

2 = 2
3 = 3
4 = 2·2
5 = 5
6 = 2·3
7 = 7
8 = 2·2·2
9 = 3·3

Vi ser att det sökta talet måste innehålla primtalsfaktorn 2 tre gånger, 3 två gånger, 5 en gång och 7 en gång och att detta är tillräckligt. Talet blir 23·32·5·7 =  2520.

Kjell Elfström


30 maj 1999 17.32.06
Om man har 10 färger och 3 olika spelplaner, en spelplan har plats för 3 olika färger och de andra har plats för 4 oliks färger. Färg 1 och 2 ska inte vara på samma spelplan och färg 3 och 4 ska heller inte vara på samma spelplan.Dessutom ska spelplanen med tre fält alltid vara full. Ingen färg får förkomma mer än en gång. Hur många permutationer finns det då?
Jorild engkvist

Svar:

Jag tolkar det som att alla färgerna skall vara utlagda. Man kan först räkna ut antalet sätt a, där man inte tar hänsyn till begränsningen att färg 1 och 2 och färg 3 och 4 inte får vara på samma spelplan. Därefter kan man dra ifrån antalet uppställningar b där färg 1 och 2 är på samma plan och antalet sätt c där färg 3 och 4 är på samma plan och slutligen lägga till antalet sätt d där både färg 1 och 2 och färg 3 och 4 är på samma spelplan.

Jag använder metoden med genererande funktion.

a är koefficienten för z10/10! i

(z3/3!)(1 + z + z2/2! + z3/3! + z4/4!)2.

b och c är lika så vi räkna på fallet att färg 1 och 2 finns på samma plan. I fallet att de finns på 3-planen skall ytterligare 8 färger läggas ut, en på tre-planen och högst 4 på de övriga. Antalet sätt detta kan göras på är koefficienten för z8/8! i

z(1 + z + z2/2! + z3/3! + z4/4!)2.

I fallet att de finns på en 4-plan blir antalet 2 gånger (det finns två 4-planer) koefficienten för z8/8! i

(z3/3!)(1 + z + z2/2!) (1 + z + z2/2! + z3/3! + z4/4!).

Om såväl 1 och 2 som 3 och 4 finns på samma spelplan kan det vara så att paren finns på var sin 4-plan, på samma 4-plan eller så finns ett par på 3-planen och det andra på en 4-plan. Jag överlåter detaljerna åt dig.

Är man inte bekant med genererande funktioner kan man utföra räkningarna med mer elementära metoder enligt schemat ovan.

Kjell Elfström


30 maj 1999 12.29.55
komplitering till min fråga den 29/5 glömde tala om att flaggstången var 4 m som Peter och Carin stod under ,förlåt väntar på svar .hoppas jag inte rör till det lika mycket för er som för mig själv.
Ann-Sofi Persson

Svar:

Sätt h = 4, p = 1,6 för Carina och p = 2 för Peter (också känd som Pär) i svaret du fick.

Kjell Elfström


29 maj 1999 16.30.41
Hur kan man algebraiskt lösa X^3 + X^5 = X^7 eller liknande ekvation?
Herr K

Svar:

Normalt kan man inte lösa algebraiska ekvationer av grad 5 och högre med hjälp av rotutdragningar, men med vissa går det. I detta fall flyttar vi över alla termer till det ena ledet och får

x7 - x5 - x3 = 0.

Vi ser att vi kan bryta ut faktorn x3 och ekvationen är ekvivalent med

x3(x4 - x2 - 1) = 0.

Eftersom en produkt är noll om och endast om någon av faktorerna är noll betyder detta att x3 = 0 <=> x = 0 eller

x4 - x2 - 1 = 0.

Den senare ekvationen är en fjärdegradsekvation, och till sådana finns det en allmän lösningsmetod. Denna är dock ganska omständig. I detta fall finns inga udda potenser med och vi kan börja med att betrakta t = x2 som den obekanta.

t2 - t - 1 = 0.

Denna andragradsekvation har lösningarna t = (1/2) ± (1/2)51/2. Tillåter vi icke-reella lösningar har alltså den ursprungliga ekvationen lösningarna x = 0, x = ±((1/2) + (1/2)51/2)1/2, x = ±((1/2)51/2 - (1/2))1/2 i.

Kjell Elfström


29 maj 1999 13.48.51
Jag skulle behöva beräkna volymen av en snett stympad kon. Konen är stympad med ett plan som har en bestämd lutningsvinkel och konens hela geometriska form är känd. Jag har försök att integrera upp volymen men har ej lyckats, skulle tro att jag har valt ett olämpligt koordinatsystem. Finns det någon allmän volymformel för detta fall? Om inte hur bör koordinatsystemet väljas för att förenkla integrationen? Jag skulle även behöva beräkna tyngdpunkten för denna kropp.
Christoffer Lundström

Svar:

Konens volym är Bh/3 där B är basarean och h höjden vinkelrätt mot basytan, även om konen inte är cirkulär. I ditt fall är basytan en ellips x2/a2 + y2/b2 = 1 och en sådan har arean Pi ab.

Detta inser man genom att placera konen i ett koordinatsystem så att dess topp är i origo och basytan är parallell med yz-planet. Basytans plan är x = h. Om basarean är B ger likformighet att planet som skär x-axeln vid x och är parallellt med yz-planet skär ut en ellips ur konen med arean A(x) = (x/h)2B. Integrerar vi A(x) från 0 till h får vi volymen [Bx3/(3h2)]0h = Bh/3.

Om kroppen K är homogen beräknas x-koordinaten för tyngdpunkten som

(trippelintegralK x dxdydz)/V,

där V är kroppens volym. Motsvarande formler gäller för y- och z-koordinaten också.

Placera konen med toppen i origo så att basytan är parallell med yz-planet och så att ellipsens tyngdpunkt får koordinaterna (h,0,z0). Det är då uppenbart att tyngdpunktens y-koordinat är 0. Vi bestämmer nu x-koordinaten. Låt E(x) vara ellipsen som är skärningen mellan konen och det plan som är vinkelrätt mot x-axeln och skär denna axel vid x. Basellipsen är då E(h). x-koordinaten fås ur trippelintegralen ovan genom upprepad integration:

x = (int0h(x dubbelintE(x)(1 dydz)) dx)/V.

Dubbelintegralen är arean av E(x), dvs (x/h)B, där B är basarean.

z-koordinaten är litet krångligare att beräkna. Antag att basellipsen ges av

y2/b2 + (z - z0)2/c2 = 1,   x = h.

Likformighet ger att ekvationen för ellipsen E(x) är

(hy)2/(bx)2 + (zh - z0x)2/(cx)2 = 1.

Vi kan nu parametrisera (området som begränsas av) ellipsen E(x) på följande sätt:

y = (rbx/h)cos t
z = z0x/h + (rcx/h)sin t,     0 < r < 1, 0 < t < 2Pi.

Då är

d(y,z)/d(r,t) = bcrx2/h2.

Vi får att

dubbelintE(x)(z dydz) = int02Pi(int01((z0x/h + (rcx/h)sin t)bcrx2/h2) dr) dt

Beräkna denna integral. Resultatet, som beror på x, skall sedan integreras från 0 till h. Slutligen skall du dividera med V.

Kjell Elfström


29 maj 1999 13.37.59
Hej! läser Ma-E. projectarb. om förändringshastighet.fråga som jag ej löst: " carina och Peter står under en lyktstolpe C. är 1.60 m lång Pär 2m.de börjar gå med från lyktstolpen med en fart av o.8m/s.-med vilken fart växer respektive skugga? jag tror att det måste bygga på likformighet i trianglarna, men måste kunna beskriva tillvägagångs sätt i arbetet, och det är där jag brister.cirklar och klot går bra.
Ann-Sofi Persson

Svar:

Låt h och p vara lyktstolpens höjd resp. personens längd. Låt vidare A vara den punkt på marken där lyktstolpen står och B dess topp, C punkten där personen står, D personens huvud och E skuggans bortre punkt. Då är trianglarna AEB och CED likformiga och vi får

AE/AB = CE/CD.

Nu är AC = 8t och CE = s(t), där s är skuggans längd. Vi får

(8t + s(t))/h = s(t)/p.

Lös nu ut s som funktion av t. Farten blir s'(t).

Kjell Elfström


28 maj 1999 12.46.14
Hej, Jag har fortfarande inte kommit fram till en rimlig lösning på uppgift 4203 i matematik kurs e´s miniprojekt, i boken "Matematik 2000". Problemet är formulerat på följande sätt.
Hur många produktionsomgångar? Ett företag räknar med att under 1 år producera och försälja 80000 skottkärror. Försäljningen fördelar sig jämt över året och produktionen kan ske i en eller flera omgångar. Kostnaderna fördelar sig så här: Omställning av maskiner för en produktionsomgång kostar 5000 kr. Själva produktionskostnaderna för en skottkärra är 50 kr. Lagerkostnaderna är 10 kr per år och skottkärra. Hur många skottkärror skall en produktionsomgång omfatta och hur många produktionsomgångar blir det på ett år om man vill minimera den totala kostnaden.
Jag fick ut att den totala kostnaden moste beräknas som 80000·10·1/(2n)+5000n. Stämmer detta?
Sven Andersson

Svar:

Exakt så är frågan den 26 maj 1998 20.03.00 formulerad.

Kjell Elfström


28 maj 1999 12.43.46
Hej!
Är det möjligt att med hjälp av andraintegralen beräkna rotationsvolymer?
Det är ju möjlgt att med en simpel integralkalkyl beräkna arean under x- respektive y-axeln, men går det att beräkna volymer genom att använda andraintegralen??
Ett exempel: Integralen av ett fart-tid diagram löses ju med en primitiv funktion (sträcka-tid diagram). Borde det inte vara möjligt att beräkna en volym med ur ett acceleration-tid diagram med hjälp av en andraintegral (alltså med ett sträcka-tid diagram)?
En liten avslutande fråga: Hur deriverar man funktionen g(x) = sinx^(cosx - tanx)?
Gustav

Svar:

Andraintegralen är väl inget vedertaget begrepp, men jag tolkar det som att man skall ta primitiv funktion två gånger. Låt a(t,z) vara en funktion av två variabler, definierad i ett rektangulärt område A <= t <= B, C <= z <= D. Man kan tänka sig att a(t,z) är accelerationen vid tiden t hos en partikel som rör sig i ett plan parallellt med (t,y)-planet på avståndet z från detta. Partikelns hastighet vid tiden t = B är då

v(z) = integralABa(t,z) dt.

Detta är också arean under grafen y = a(t,z) för fixt z. Volymen under ytan y = a(t,z) blir

integralCDv(z) dz.

Vi skriver om g(x) som eh(x), där

h(x) = (cos x - tan x)ln sin x

och använder vi kedjeregeln får vi

g'(x) = h'(x)eh(x) = h'(x)g(x).

Nu är D tan x = 1/cos2x, och D ln sin x = (1/sin x)(-cos x) = -cot x. Efter detta återstår det bara att derivera en produkt och det överlåter jag åt dig.

Kjell Elfström


28 maj 1999 12.21.07
Hej! Jag fick en uppgift jag inte kunde lösa, så ni klarar väl inte den ni heller. ;) Utförlig lösning, tack!
Funktionsuttrycket X + b2/X kan ha det maximala värdet 38 då X>0 (med b2 menas b i kvadrat) Vilket (positivt) värde har b ?
Matteas C.

Svar:

Uttrycket x + b2/x har naturligtvis inget maximalt värde så jag antar att maximalt är en felskrivning som skall vara minimalt.

Känner man till olikheten G <= A mellan geometriskt och aritmetiskt medelvärde, där G = (cd)1/2 och A = (c + d)/2 kan man använda den. Vi har nämligen likhet bara då c = d och med c = x och d = b2/x lyder den

b <= (x + b2/x)/2.

Uttryckets minsta värde antas då c = d, dvs då x = b. Alltså är

b = (b + b2/b)/2 = 38/2 = 19.

Samma resultat får man om man deriverar uttrycket och ser att derivatan är noll då x = b.

Kjell Elfström


28 maj 1999 09.15.03
Vid en kräftskiva för 12 personer skall bordsplaceringen bestämmas med hjälp av luftgevärsskytte. Man har en tavla 250x250 med 25 st lappar 50x50. På baksidan av lapparna står ett nummer 2, 4, 6, 8, 10, 12 (för de manliga deltagarna). Det finns 4 st lappar med samma nummer samt en st blank. De kvinnliga deltagarna får skjuta max 5 st skott för att få tag i en bordskavaljer. När man träffat en lapp tas denna bort från tavlan. Bestäm hur stor sannolikheten är för att någon skjuter så att hon får sin partner till bordet.
Johan

Svar:

Sannolikheten blir den samma som om korten i en kortlek med sex kort numrerade från 1 till 6 hade blandats och delats ut till damerna. Se 5 februari 1999 00.44.27.

Kjell Elfström


27 maj 1999 21.44.34
Hej!
Jag läser nu om, hur man räknar ut volymen av en rotationskropp med hjälp av integraler. Om den roterande funktionen beskriver en cirkelyta, är det inga problem, men jag undrar följande:
Hur räknar man ut volymen för tex en lök eller en annan kropp, som inte beskriver en ren cirkelyta i änden?
Hur räknar man ut volymen för en skruv (välj valfri skruv, det vore roligt att bara veta principen. Hur kan man rita grafiskt?
Tack så jättemycket!
Kalle

Svar:

Om kurvan y = f(x), a <= x <= b, där f är en positiv integrerbar funktion, roterar kring x-axeln uppstår en rotationskropp. Volymen av denna är

Pi integralab(f(x))2dx,

oavsett om rotationskroppen är ett klot eller ser ut som en lök. När det gäller att bestämma volymen av en lök måste man alltså bestämma skärningskurvan y = f(x) mellan löken och ett plan genom symmetriaxeln och sedan beräkna integralen.

Mer allmänt kan man beräkna volymen av en kropp på följande sätt: Antag att kroppen är inlagd i ett koordinatsystem mellan x = a och x = b och att A(x) är arean av skärningsytan mellan kroppen och planet som passerar x-axeln vid x och är vinkelrätt mot x-axeln. Då är volymen

integralab A(x) dx.

Om kroppen är en rotationskropp blir A(x) = Pi (f(x))2 och vi får formeln ovan.

Kjell Elfström


27 maj 1999 20.44.39
Finns det en "binomial fördelning" för rötter. Som är något i stil med pascals triangel eller liknande. Det kan inte vara en så stor skilnad då det blir (a+b)^(1/n) istället för (a+b)^n.
TackSam för ett svar på detta lilla problem. (-: Om det uppstr oklarheter i problemformuleringen uppskattas önskemål om förtydling, men jag tror inte det behövs. :-)
Johan "Skalman" Viklund

Svar:

Binomialkoefficienterna är

(nk) = n!/((n - k)!k!) = n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1)/k!,

där k och n är naturliga tal, k <=  n. Vi kan definiera (nk) som det sista uttrycket i likheten ovan även om n är ett godtyckligt reellt tal, som kan vara mindre än k. Enligt Taylors formel gäller då

(1 + x)a = 1 + (a1)x + (a2)x2 + (a3)x3 + ... + (ak)xk + Rk + 1(x),

där

Rk + 1(x) = (ak + 1)(1 + c)a - k - 1xk + 1

för något tal c mellan 0 och x. Då -1 < x < 1 går resttermen Rk + 1(x) mot noll då k går mot oändligheten varför vi kan skriva

(1 + x)a = 1 + (a1)x + (a2)x2 + (a3)x3 + ... + (ak)xk + ...

som en oändlig serie för sådana värden på x.

Om a är ett positivt heltal och k = n blir resttermen 0 och utvecklingen är den vanliga ändliga binomialutvecklingen.

Vill vi ha en utveckling för (x + y)a kan vi börja med omskrivningen

(x + y)a = ya(1 + x/y)a

och utveckla den sista faktorn som ovan.

Kjell Elfström


27 maj 1999 15.22.55
Oxyz och Oxý´z´ är ON-system med samma origo. Punkterna (1,0,2), (1,-1,1) och (0,-5,1) i Oxyz-systemet har i Oxý´z´-systemet koordinaterna (0,-1,2) , (-1,-1,1) och (-3,-4,-1). Bestäm z´-axelns ekvation i Oxyz-systemet./Tacksam för utförlig beskrivning.
Ola

Svar:

De gamla koordinaterna uttrycks i de nya i ett samband

x = a11x' + a12y' + a13z'
y = a21x' + a22y' + a23z'
z = a31x' + a32y' + a33z'

Ekvationen för z'-axeln är känd om vi känner koordinaterna i den gamla basen för en riktningsvektor v för z'-axeln. Den punkt som i det nya koordinatsystemet har koordinaterna (0,0,1) ligger på z'-axeln. Denna punkt har i det gamla systemet koordinaterna (a13,a23,a33) och eftersom systemen har samma origo är detta också koordinaterna för en riktningsvektor v. z'-axelns ekvation blir

(x,y,z) = t(a13,a23,a33).

Sätter vi in de givna koordinaterna i sambandet får vi tre ekvationssystem, alla med samma koefficientmatris. Använder vi den övre ekvationen i sambandet får vi systemet

1 = 0a11 - 1a12 + 2a13
1 = -1a11 - 1a12 + 1a13
0 = -3a11 - 4a12 - 1a13

Härur kan vi bestämma a13. Använd sedan den mellersta och den sista ekvationen i sambandet ovan för att bestämma a23 och a33.

Kjell Elfström


26 maj 1999 20.46.24
Hur lyder Steiniz sats om algabraiskt slutna kroppar? Hur bevisar man den? Jag har forgaves letat i olika algebrabocker efter svar.
Olof

Svar:

Jag har heller inte hittat någon sådan sats. Däremot finns det en sats om polyedrar som kallas så. En graf kan realiseras som en 3-dimensionell konvex polytop om och endast om den är plan och 3-sammanhängande.

Kjell Elfström


26 maj 1999 20.01.42
Världens befolkning omkring 6060 miljoner 1999. År 1000 dvs ungefär 1000 år bakåt i tiden c:a 250 miljoner. Fråga ? Om en släktforskare påstår att de är nere på 1000 talet med sin släktforskning, hur trovärdigt är detta ? 32 generationer bakåt i tiden. Hur många föräldrar eller fäder har man om man nu lyckats med detta påstående,som är i mitt tycke osannolikt.
Gunnar Söderberg gsw@algonet.se

Svar:

31 generationer förutom ens egen ger 231 = 2147483648 förfäder.

Kjell Elfström


26 maj 1999 16.57.56
"vad är matematik?". beskriv vad matematik är för något och vad skall man ha den till. skriv gärna en hel sida. Tack.
mustapha

Svar:

Detta verkar vara ett uppsatsämne i skolan. Sök efter use of mathematics på Internet.

Kjell Elfström


26 maj 1999 16.50.39
Hejsan matematiker! Jag har en liten utmaning till er. Nämligen kan ni lösa en differentialekvation som ser ut ungefär så här: y´´ = -ky*sqrt(1+y´^2), där k är en konstant. Kan ni namnet på denna diff. ekvation, eller till vilken grupp av diff. ekvationer hör den till. Dessutom har jag sett två olika lösningar på denna diff. ekv. en med sinus amplitidus som lösning och en annan som skillnaden mellan första ordningen fullständiga elliptiska integral med andra ordningens ofullständiga elliptiska integral. Skulle vara tacksam om ni kunde besvara mina frågor, och om möjligt lösa denna märkliga differential ekvation. Thanks!
Hrvat

Svar:

Jag har tyvärr inte hittat något om denna differentialekvation, men om man dividerar båda led med rotuttrycket och multiplicerar med y' får man

y''y'/sqrt(1 + (y')2) = -kyy'.

Här är vänsterledet

(d/dx)(sqrt(1 + (y')2))

och högerledet är derivatan av -ky2/2, varför

sqrt(1 + (y')2) = -ky2/2 + C.

Kvadrerar vi båda led och drar ifrån ettan får vi

dy/dx = ±sqrt((C - ky2/2)2 - 1)

Låter vi x vara den beroende variabeln blir dx/dy det inverterade värdet av högerledet och vi får

x = ±integral(dy/sqrt((C - ky2/2)2 - 1)).

Kjell Elfström


26 maj 1999 15.12.51
Hej! Kurvan y = 4.5 e*0,25x och linjen y = 12-x begränsar tillsammans med x-axeln och y-axeln ett område. När detta område roterar kring x-axeln uppkommer en rotationskropp. Bestäm ett närmevärde till rotationskroppens volym.
*=upphöjt till
Viktor Malmkvist

Svar:

Låt x0 vara skärningspunkten mellan kurvorna. Då är volymen

integral0x 0 (12 - x - 4,5e0,25x) dx.

Använd t ex Newton-Raphsons metod för att bestämma x0 och beräkna sedan integralen.

Kjell Elfström


26 maj 1999 15.04.27
varför är matematik så svårt!
daniel

Svar:

Vissa delar av matematiken är nog inte så svåra, men ju mer avancerad matematiken blir desto svårare blir den naturligtvis. Detta är nog inte specifikt för matematik. Inom t ex medicinsk forskning är det väldigt svåra problem man brottas med och det är få människor som är insatta i de resultat man uppnått.

Kjell Elfström


26 maj 1999 14.35.15
Hej!
Jag har fem frågor som jag skulle vara tacksam om jag kunde få svar på:
1. Visa att n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 är delbart med 9 för varje heltal n.
2. Visa att 24|(p^2-1) för varje primtal p>3.
3. Visa att 8k+3 inte är kvadraten av något heltal, för varje heltal k>=0.
4. Visa att ((n/2)^(n-1))>1*2*3*...*(n-1) för alla positiva heltal n>=3.
5. Talen a(1), a(2),... är givna genom: a(1)=2, a(n)=(6+a(n-1))^0,5 för n=2,3,... Visa att a(n)<3 för varje positivt heltal n.
Tacksam för svar
Andreas Karlsson

Svar:

1. Utvecklar vi uttrycket får vi

3n3 + 9n2 + 15n + 9

och eftersom

3n3 + 15n = 3n(n2 + 5)

räcker det att visa att n(n2 + 5) är delbart med 3. Visa detta i fallen n = 3k och n = 3 k ± 1.

2. 24 har primtalsfaktoriseringen 24 = 2·2·2·3. Visa att p2 - 1 är delbart med 3 om p inte är delbart med 3 och att en av p - 1 och p + 1 är delbar med 4 om p är udda. Båda är naturligtvis delbara med 2.

3. Påståendet betyder att det inte finns några heltal k och n, sådana att

8k + 3 = n2.

Finns det sådana heltal måste n = 2m + 1 vara udda. Insatt ger detta att

4m2 + 4m - 2 = 8k.

Vilken motsägelse ger detta?

4. Induktion. Påståendet är förstås enkelt att visa då n = 3. Antag att det är visat för n = p. Vi ska då visa att det är sant för n = p + 1, dvs

p! < (p/2 + 1/2)p.

Enligt induktionsantagandet är

p! = p(p - 1)! < p (p/2)p - 1

varför det räcker att visa att

p(p/2)p - 1 <= (p/2 + 1/2)p

och detta följer om du använder binomialsatsen på högerledet.

5. Använd induktion.

Kjell Elfström


26 maj 1999 12.59.59
Hej!
Jag undrar om det finns en analytisk lösning på följande differentialekvation
(2/r)*(dC/dr)+(d2C/dr2)-konst1*((konst2*C^0.5)-konst3)=0
RV1 dC/dr=0 vid r=0
RV2 C=1 vid r=1
Finns det även en analytisk lösning till
(2/r)*(dC/dr)+(d2C/dr2)-konst1*((konst2*C^n)-konst3)=0
där n är ett godtyckligt tal som inte behöver vara ett heltal? Tack på förhand.
Mari

Svar:

Tyvärr har jag inte hittat något om denna icke-lineära differentialekvation.

Kjell Elfström


25 maj 1999 20.40.49
Sidan om Groebner-baser "A Bird's-Eye View of Gröbner Bases" verkar väldigt bra. Tack för tipset! (14 maj 1999 12.59.30)
Bengt Månsson

Svar:

Det låter ju bra! Alla intresserade tipsas härmed igen.

Joakim Petersson


25 maj 1999 19.36.35
Hejsan! Jag skall summera en potensserie f(x) från noll till oändligheten där delsummorna ser ut så här: (n*x^n)/(n+1), |x|<1 Om jag börjar med att bryta ut x ur den konvergenta serien så får jag så småningom att f(x)1=x(d/dx)(1/x)(INT)(SUM)x^n. Om jag däremot börjar med att bryta ut (1/x) så erhåller jag f(x)2=(1/x)(INT)x(d/dx)(SUM)x^n. Jag undrar om ni kan tala om för mig varför det tycks bli olika resultat (d.v.s. enligt mig så är f(x)1 och f(x)2 olika.)
Matte

Svar:

Om INT står för integration från 0 till x så är faktiskt båda dina uttryck riktiga. Serien summeras dock enklast genom att man skriver n/(n+1)=1-1/(n+1). Prova det i stället!

Joakim Petersson


25 maj 1999 19.36.35
Hej! Jag tänkte skriva en uppsats (5-poäng) om vilken matematik som olika yrkesgrupper använder i arbetslivet. Vad har man för nytta av matematiken man lär sig i skolan. Har ni några tips på relevant litteratur i ämnet eller andra tips för uppsatsen ?
Hasse Göthberg

Svar:

Jag önskar lycka till med uppsatsen. Det är ett intressant ämnesval du har gjort. Tyvärr kan vi inte hjälpa dig vare sig med litteratur eller annat. Tänk på att inom så gott som alla yrkeskategorier används matematik i en eller annan form (ofta sådant som går långt utöver vad man lär sig i skolan). Du borde kanske begränsa dig till en eller några få kategorier för att inte ämnet skall bli alldeles för stort. Hör gärna av dig till frågelådan och berätta hur det gick med uppsatsen.

Joakim Petersson


25 maj 1999 15.21.35
Jag sitter här och försöker få ihop ett projetarbete i Matte E. Min fråga är nu, efter att ha sökt igenom flertalet böcker utan att hitta svaret, hur man bevisar serien f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...+akx^k
Patrik Janson

Svar:

Det finns två sidor av detta problem. Givet en funktion f(x) vill man veta om den kan utvecklas i potensserie som i din fråga och i så fall var utvecklingen är giltig och vilka koefficienterna är. Tex gäller utvecklingen sin x=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+... (där 5!=1*2*3*4*5=120 osv) för alla x. Ett tillfredsställande svar ges i teorin för analytiska funktioner (sådana är bla oändligt deriverbara där de är definierade). Omvänt, om serien är känd vill man finna ett "enkelt" funktionsuttryck för seriens summa. Dessa frågor (speciellt de elementära funktionernas serieutvecklingar) behandlas i grundläggande läroböcker i analys, som brukar heta något i stil med "Envariabelanalys". För övrigt hittade du kanske något annat intressant i någon av böckerna du sökte igenom?

Joakim Petersson


25 maj 1999 09.30.59
Hur löser man ut x ur ekvationen p=r2(arccosx - xsqrt(1-x2)? (2:orna är upphöjda). Tack.
KH

Svar:

Genom att sätta x=cos t, -1<=x<=1, överförs problemet till att bestämma t så att f(t)=t-(1/2)sin(2t)=p/r2, där 0<=t<=Pi. Eftersom f'(t)= 1-cos(2t)>=0 är f(t) inverterbar, så om p/r2 ligger mellan 0 och Pi finns precis ett t mellan 0 och Pi som uppfyller ekvationen. Detta beräknas numeriskt med tex Newton-Raphsons metod, varpå x=cos t bestäms. Man kan alltså inte lösa ut x i vanlig mening.

Joakim Petersson


25 maj 1999 09.01.47
Var finns det bra siter, där man kan hitta matematik program (som man kan prova, spela eller ladda hem)? T.ex Cheops-pyramid eller nå´t. Skulle vara trevligt om jag fick ett bra svar på det! Oxå kanske det blir plus i kanten för min del!!!!!!! Tack på förhand.
LILLA jag

Svar:

Om du är intresserad av Cheopspyramiden så kan kanske denna länk vara bra.

Joakim Petersson


25 maj 1999 08.56.35
I en lokal i Ängelholm sitter 276 personer och spelar bingo. Under kvällen kommer 44 vinster att delas ut. Emma, som sitter längst fram i salen, har räknat ut sanolikheten för att hon ska vinna ett av priserna. Vilket resultat fick hon??? Svara i hela procent. ( Vi förutsätter att alla har lika många bingobrickor.)
Anna Skoglund

Svar:

Låt sannolikheten i fråga vara p. Låt Xj vara den stokastiska variabeln som är 1 om person j vinner något pris och 0 annars. På grund av symmetri är dessa 276 stokastiska variabler likafördelade (en tvåpunktsfördelning där värdet 0 antas med sannolikheten q=1-p och värdet 1 antas med sannolikheten p). Nu är X1+X2+...+X276=antalet vinnare. På grund av väntevärdets additivitet är E(antalet vinnare)=E(X1+X2+...+X276)= E(X1)+E(X2)+...+E(X276)= p*1+p*1+...+p*1=276p, varav p=E(antalet vinnare)/276. Eftersom jag inte vet precis hur priserna delas ut kan jag inte säga mer än så. Ett extremfall är att alla priserna delas ut i klump till en ensam vinnare i någon omgång. Då är vinstchansen så liten som p=1/276. Observera att p<=44/276=16% med likhet om och endast om ingen kan vinna mer en ett pris, vilket får betraktas som ett ganska osannolikt spelförfarande.

Joakim Petersson


24 maj 1999 22.09.48
Hej! Kan ni visa mig Eulers härledning av likheten: "summan för n=1 till oändligheten"1/n(i kvadrat)=pi(i kvadrat)/6. Det ska finnas luckor i beviset, vilka är dessa? Skulle ni också kunna visa fermats sista sats för n=4? Och så till sist skulle jag vilja att ni visade att de rationella talen är uppräknerliga och de reella talen ej är det. Tacksam för svar innan denna vecka(21) är över. MVH
Stefan

Svar:

Leonhard Euler (1707-1783) var en av alla tiders främsta matematiker, enormt produktiv och räkneskicklig som få. Eulers heuristiska härledning av identiteten 1+1/22+1/32+1/42+...=Pi2/6 är mycket elegant, men utgör inget fullständigt bevis, vilket han själv var medveten om. I analogi med den vanliga faktoriseringen av polynom i ändligt många faktorer leddes han (eftersom sin x har nollställena x=n*Pi, n heltal) till identiteten sin x/x=1-x2/3!+x4/5!-...=(1-x2/Pi2)(1-x2/4Pi2)(1-x2/9Pi2)..., där den första likheten är den välkända serieutvecklingen av sin x. Eftersom koefficienterna för x2 skall vara lika måste 1+1/22+1/32+...=Pi2/6. Han hade tidigare beräknat summan numeriskt med tio decimaler eller så och överensstämmelsen var total, så det var inte svårt att övertyga sig om att värdet var precis Pi2/6. Under förutsättning att produktformeln är riktig (vilket den faktiskt är) så är resten lätt att motivera och även serierna med termer 1/n2m, m=2,3,... kan beräknas om man först tar logaritmen av båda leden. Men kan inte sin x ha andra (komplexa) nollställen? (nej,Euler kunde visa att det var omöjligt) och, framför allt, om man multiplicerar med en funktion som saknar nollställen som tex ex så är ju nollställena desamma, vilket ger upphov till samma faktorisering. Tio år senare hade Euler dock flera vad vi idag skulle kalla fullständiga bevis, som också accepterades allmänt av dåtidens matematiker.

Fermats stora sats för n=4 visades av Fermat själv med hjälp av den av honom uppfunna metoden med oändligt nedstigande, som visar att vissa påståenden gällande positiva heltal är falska genom att visa att om de gäller för en uppsättning tal så gäller de också för några mindre tal, och så vidare i all oändlighet, vilket är omöjligt eftersom följder av positiva heltal inte kan avta obegränsat. Han kunde rentav visa att x4+y4=z2 är omöjligt på följande sätt. Det kan antas att talen x2,y2,z är parvis relativt prima (saknar gemensamma delare >1) för annars har alla tre en gemensam delare som kan förkortas bort. De bildar då (som du kanske känner till) en irreducibel pythagoreisk trippel (eller egyptisk triangel) så att x2=2pq, y2=p2-q2, z=p2+q2, där (p,q)=1 (relativt prima), p>q>0 och p och q är av motsatt paritet (en udda, en jämn). Den andra ekvationen ger eftersom (p,q)=1 att även y,q,p är en irreducibel pythagoreisk trippel där p är udda, varav q är jämn. Alltså: q=2ab, y=a2-b2, p=a2+b2, där (a,b)=1, a>b>0, a,b av motsatt paritet. Nu visar x2=2pq=4ab(a2+b2) att ab(a2+b2) är en kvadrat. Men ab och a2+b2 är relativt prima (en primfaktor i ab delar a eller b men ej båda som (a,b)=1). De måste då båda vara kvadrater på grund av entydig faktorisering i primfaktorer och med samma argument följer att a och b är kvadrater, säg a=X2, b=Y2. Detta ger en ny lösning, för X4+Y4=a2+b2=Z2 är en kvadrat enligt vad som nyss visats. Denna är mindre, för X4+Y4=a2+b2=p<p2+q2=z<z2=x4+y4, och den ger i sin tur en ännu mindre lösning osv, vilket är omöjligt. Således måste x4+y4=z2 sakna heltalslösningar, vilket skulle bevisas.

De rationella talen kan räknas upp tex på följande sätt: {0,±1,±2,±1/2,±3,±1/3,±4,±3/2,±2/3,±1/4,...} ordnade efter summan av täljare och nämnare då bråket skrivs på reducerad form. Att de reella talen svarar mot en högre oändlighet visades inte förrän i slutet av 1800-talet av Cantor i samband med hans införande av en teori för oändliga mängder. Beviset går till så här: Varje reellt tal kan skrivas på decimalform med hjälp av en oändlig decimalutveckling där tex talet 2.1 skrivs 2.1000... och inte 2.0999... osv. Antag att det föreligger en uppräkning {r1,r2,...} av de reella talen. Vi kan då bilda ett tal d=0.d1d2... som inte finns med på listan, vilket ger en motsägelse. Välj nämligen d1 skild från första decimalen i r1, d2 skild från andra decimalen i r2 osv, så att dn är skild från n:te decimalen i rn. Vi kan tex för varje n låta dn=3 om det går och dn=7 annars. Eftersom d skiljer sig från rj i den j:te decimalen, kan inte d vara något av talen i listan och följaktligen kan inte de reella talen vara en uppräknelig mängd. Idén i beviset kallas Cantors diagonalförfarande, och har använts flitigt alltsedan dess.

Joakim Petersson


24 maj 1999 14.13.02
Hur bestämmer man längden av kurvan f(x) inom ett visst intervall?
Anders N

Svar:

Längden av funktionskurvan i ett intervall a<=x<=b beräknas i allmänhet via formeln L=intab sqrt(1+f'(x)2) dx. Den följer ur definitionen av längden som supremum av längderna av alla de "polygontåg" som kan bildas genom att ett antal punkter på kurvan (ändpunkterna inräknade) förbinds med räta linjer. (Lägg märke till att längden av ett polygontåg ökar när man lägger till nya indelningspunkter.)

Joakim Petersson


24 maj 1999 14.08.38
Konisk Behållare: En upp och nedvänd kon med höjden 60cm och radien 12cm är delvis fylld med vatten. Vatten läcker ut genom konen med en hastighet som är propotionell mot den area som är i kontakt med vattnet. Man fyller på vatten i konen uppifrån. Om påfyllnadshastigheten är 100(kubik cm)/min kommer vattenytan att sjunka med hastigheten 0,6 cm/min då vattenhöjden i konen är 24cm. Hur stor ska påfyllnadshastigheten vara om man vill att vattenytan ska hålla sig konstant på en viss nivå.
MuLTi

Svar:

Se svaret på frågan 24 mars 1999 22.10.18.

Joakim Petersson


24 maj 1999 13.51.10
Ger minsta kvadratmetoden bättre linjärapproximation är t ex om man bara skulle bestämma linjen så att avstånden skulle bli minst och inte kvadraten? Och i så fall varför? Kan det bevisas?
Erik Lindgren

Svar: Se 31 maj 1999 16.47.17.

Kjell Elfström


24 maj 1999 00.44.27
Hur ser den enklaste formeln för arean av ett cirkelsegment ut?
Agnetha Ford

Svar:

Om man från cirkelns medelpunkt drar radier (längd r) till kordans ändpunkter och vinkeln däremellan är v (radianer), så är arean av cirkelsegmentet som kordan skär ut lika med vr2/2-(1/2)r2sin v.

Joakim Petersson


23 maj 1999 08.15.44
Hur stor är vinkeln mellan vektorerna u och v om man vet att u+3v är vinkelrät mot 2u-v och u+7v är vinkelrät mot 2u+v?
Jocke

Svar:

Vi vet att (u+3v,2u-v)=2|u|2-3|v|2+5(u,v)=0 och att (u+7v,2u+v)=2|u|2+7|v|2+15(u,v)=0. Genom att eliminera får vi |v|2+(u,v)=0 och |u|2-4|v|2=0. Vinkeln A mellan u och v kan nu beräknas eftersom cos A=(u,v)/(|u||v|)=(u,v)/(2|v|2)= -1/2. Vinkeln A är alltså 120 grader.

Joakim Petersson


23 maj 1999 08.10.52
Punkterna A=(x1,y1) och B=(x2,y2) har ortsvektorerna a och b. Det finns en punkt P på linjen, som går mellan A och B, som uppfyller villkoret AP = 5AB. Vilka är P:s koordinater?
Joachim P

Svar:

Punkterna på linjen som går genom A och B kan skrivas A+t(B-A). På denna linje finns två punkter som uppfyller AP=5AB, nämligen P1=A+5(B-A) och P2=A-5(B-A), dvs P1= (5x2-4x1,5y2-4y1) och P2=(6x1-5x2,6y1-5y2) uttryckt med koordinater.

Joakim Petersson


22 maj 1999 16.56.24
Hej! Jag tänkte derivera följande funktion men har vissa problem! Funktionen lyder: R=v*cos x*(v*sin x/g+sqrt((v*sin x/g)^2+2h/g)). Funktionen är en beskrivning av en kaströrelse, där v=12 m/s, g=9,8 m/s^2, x är utgångsvinkeln. Det jag vill ha hjälp med är att derivera denna funktion och lösa ut x när R'=0, då funktionen har ett maximivärde. Tack!
Per Burström

Svar:

Formeln uttrycker hur långt ett föremål som kastas med hastigheten v snett uppåt med vinkeln x från höjden h kommer innan det tar mark. Vi vill maximera R då vinkeln x ligger mellan 0 och Pi/2, dvs allt mellan att man kastar rakt framåt och att man kastar rakt uppåt. Om vi sätter u=vsin x/g och A=2h/g, B=v2/g2, så får vi R(u)=g*sqrt(B-u2)(u+sqrt(A+u2)), där 0<=u<=v/g. Genom att derivera och faktorisera detta uttryck (gör det!) finner vi att det som bestämmer tecknet på R'(u) är faktorn u*sqrt(A+u2)-B+u2. Genom att kvadrera för att få bort rottecknet finner vi precis ett nollställe u=B/sqrt(A+2B) och faktorn växlar där tecken från minus till plus. Det följer att R(u) är störst för u=B/sqrt(A+2B)=v2/(g*sqrt(2gh+2v2)), vilket bestämmer den maximerande vinkeln x. Det största värdet på R beräknar vi till v*sqrt(2gh+v2)/g.

Joakim Petersson


22 maj 1999 12.57.45
Det finns ett problem där man sätter ihop fem fyrkanter till 12 figurer och sedan lägger ihop dessa bitar i en rektangel med arean på 60 fyrkanter. Nu undrar jag två saker: 1. kan man räkna ut hur många lösningar det finns på problemet? 2. Antag att man tog sex(eller 7,8 osv) fyrkanter i stället, hur många figurer skulle man få då. Finns det ett sätt att räkna ut detta på? (jag har kommit fram till att med 6 fyrkanter får man 35 figurer, genom att försöka).
Helena Forslund

Svar:

Jag antar att det rör sig om figurer man får då man sätter ihop n kvadrater så att varje kvadrat har åtminstone en sida gemensam med någon annan. Om två figurer anses lika om de kan fås ur varandra genom vridning, så får man i fallet n=4 de 7 figurer som är välkända från spelet Tetris. I fallet n=5 får jag antalet sådana figurer till 18 (om jag har räknat rätt), så det kan inte vara dessa det är frågan om. Om figurer även anses lika om de är varandras spegelbilder (så att antalet Tetrisfigurer minskar till 5), så verkar det finnas just 12 olika sådana då n=5, men vilka av dessa spegelbilder man väljer har ju betydelse när dessa skall läggas i ett pussel. Utan att ha sett problemet och den lösning du nämner kan jag därför inte svara på den första frågan. Vad gäller din andra fråga kan jag tyvärr inte ge dig ett enkelt sätt att räkna ut antalet möjliga figurer för ett givet n (om jag har förstått problemet rätt).

Joakim Petersson


21 maj 1999 20.57.31
Hej! Hur hittar man den primitiva funktionen till följande intrikata funktioner:
1) 1 / (sin[x+2]) 2) e^(sinx) 3) (x + x^.5 + cosx)^12
Tacksam om ni kunde hitta de primitiva funktionerna till ovanstående tre funktioner...
Slutligen: Hur löser man följande ekvation: sinx + 2x^2 + 4x + 5 = 40 Tack!
Gustav

Svar:

1) Den första funktionen är styckvis konstant med språng i heltalspunkterna och har för positiva x en primitiv funktion som kan skrivas Sumn=1[x+1] 1/sin n+(x-[x])/sin[x+2]+C, där [x]=heltalsdelen av x. (Om du menar funktionen 1/sin(x+2) så är ln(tan(x/2+1)) en primitiv funktion i intervall där integranden är positiv. Om integranden är en rationell funktion av sin x och cos x så överför substitutionen t=tan(x/2), varvid sin x=2t/(1+t2), cos x=(1-t2)/(1+t2), dx=2dt/(1+t2), problemet till att integrera en rationell funktion av t och man får då lätt fram denna primitiva funktion.)

2) Funktionen esin x har ingen elementär primitiv funktion, även om det inte är lätt att visa detta. För att beräkna bestämda integraler måste då i allmänhet diverse numeriska metoder användas.

3) Genom att substituera x=t2, utveckla, integrera partiellt och använda trigonometriska formler, kan man om man tillåter så kallade fresnelintegraler (integrander cos t2 och sin t2) få fram en primitiv funktion där fresnelintegralerna är det enda icke-elementära, men uttrycket blir väldigt långt och otympligt.

En ekvation som den du frågar om löser man numeriskt. Skriv ekvationen på formen f(x)=0. Vi begränsar oss till reella rötter. Genom att studera funktionen ser vi först att ekvationen har två enkelrötter, en nära x= -5.3 och en nära x=3.3. Sedan bestämmer vi rötterna mer noggrannt med tex Newton-Raphsons metod: xn+1=xn-f(xn)/f'(xn). Efter några iterationer är rötterna bestämda med god noggrannhet.

Joakim Petersson


21 maj 1999 14.25.34
Definiera vad en monoid är för något och till vad dessa monoider behövs. Definiera också Galois teori.

Svar:

En monoid är en algebraisk struktur som inte alls är så vanligt förekommande som grupper, ringar och kroppar. Den består av en mängd med en binär operation. Den binära operationen skall vara associativ och det skall finnas ett identitetselement. Ett exempel är de naturliga talen 0,1,... under addition.

Galoisteori handlar om rötterna (i en splittringskropp L) till en algebraisk ekvation f(x)=0 med koefficienter i en kropp K. Galoisgruppen till ekvationen definieras som en viss undergrupp till gruppen av permutationer av rötterna. Med kännedom om galoisgruppen kan man bland annat besvara frågor om ekvationers lösbarhet med hjälp av ändligt många roturdragningar. Upprinnelsen till galoisteorin var en uppsats av den franske matematikern Évariste Galois (1811-1832), som dog i förtid i en duell. För den som vill lära sig galoisteori rekommenderar jag "Galois Theory" av Ian Stewart eller "Galois Theory" av Harold M. Edwards.

Joakim Petersson


21 maj 1999 13.05.30
Hej! Jag har problem med en uppgift där jag inte känner till någonting annat än vad som står här nedan: Ett tegeltak bör luta minst 12 grader och högst 22 grader. Hur högt är vindsutrymmet upp till takåsen i en villa med ett tegeltak som har a. minsta lutningen b. största lutningen
Ralf

Svar:

Se svaret på frågan 17 maj 1999 11.17.28.

Joakim Petersson


20 maj 1999 20.33.27
Hur visar man att egenvärdena i en Hermitian matris (Hermitesk) A = (Bjk) alltid är reella??
Fredrik, Göteborg

Svar:

Låt A* stå för resultatet av transponering och konjugering av elementen i matrisen A (som alltså får innehålla komplexa element). Det gäller att (AB)*=B*A*. Om A*=A säges A vara hermitsk (efter den franske matematikern Hermite). Om vektorn x är skild från 0 och Ax=rx för ett egenvärde r så är då rkonjx*x=(Ax)*x=x*A*x=x*(Ax)=rx*x, vilket visar att r är reellt eftersom x*x=|x|2>0.

Joakim Petersson


20 maj 1999 20.04.07
Hur många händer finns det med kåk i poker? Borde det inte vara 13*12/2 (utval av trissen resp. paret) * 4*3/2 (färgen till paret) * 4*3*2/(3*2) (färgen till trissen). = 13*12*4*3*4*3*2/(2*2*3*2) = 1872 kombinationer. Enligt min matte F bok så finns det dubbelt så månka kåk händer dvs 3744 st. I uträkningen har dom gjort som jag men ej delat 13*12 med två. Har dom gjort fel eller gör jag fel? (kolla gärna Matte F sid. 16
duckman

Svar:

Det finns 13*12 sätt att välja ut trissen och paret på eftersom det finns 13 möjliga valörer på trissen och därefter 12 möjliga valörer på paret. Tyvärr så hade alltså boken rätt här.

Joakim Petersson


20 maj 1999 19.14.19
Hejsan! Vi klurar på ett litet problem: En ellips ska ritas av en robot som vi konstruerar, ellipsen ska vridas ca -15 grader i första kvadranten. Hur gör man enklast för att räkna ut koordinaterna som roboten ska rita? Tack.

Svar:

Om ellipsen från början ges av x=x0+a cos t, y=y0+b sin t så blir koordinaterna efter rotation v grader i positiv riktning (moturs) x=x0+a cos t cos u-b sin t sin u, y=y0+a cos t sin u+b sin t cos u, där u=v*Pi/180. Kan detta vara till någon hjälp?

Joakim Petersson


20 maj 1999 14.53.20
Om man har en liggande oljetank på 4.0 kubikmeter och diametern är 1.2 m ,men det finns ej en mätsticka. Vilken formel är bäst att använda om man ska gradera en gradera en mätsticka ?Är V=(180/360)*pi* radien i kvadrat*h bäst? mätsticka
Michael Figaro

Svar:

Tanken ligger ner och mätstickan skall rimligtvis stickas ner uppifrån (annars rinner väl oljan ut genom hålet). Se 30 januari 1997 09.59.08.

Kjell Elfström


20 maj 1999 14.34.01
Vad är pi upphöjt till en liten gausskurva? Vänskapsfullt från Sven-Eric Drameus
Svempa

Svar:

Det här kan inte vara en allvarligt menad fråga, såvitt jag begriper. Det som brukar kallas för en gausskurva (efter Gauss, matematikernas konung) eller Gauss klockkurva är frekvensfunktionen för en statistisk normalfördelning, som är f(x)=(2Pi)-1/2exp(-x2/2), där x går över alla reella tal, för den standardiserade normalfördelningen. Normalfördelningen spelar en stor roll i matematisk statistik.

Joakim Petersson


20 maj 1999 09.35.58
Hej! Nu ger jag upp. Har suttit länge med den här. Snälla hjälp. "There are four brothers sitting at a table with a monkey. On the table is a pile of nuts. The first brother gives one nut to the monkey, and takes a quarter of the remaining nuts for himself. He gives the rest to the second brother. The second brother gives one nut to the monkey, and takes a quarter of the remaining nuts for himself. He gives the rest to the third brother. The third brother gives one nut to the monkey, and takes a quarter of the remaining nuts for himself. He gives the rest to the fourth brother. The fourth brother gives one nut to the monkey and takes a quarter of the remaining nuts for himself. The remaining nuts are divided equally between the four brothers. How many nuts were on the table to start with?"
Tacksam naturstudent

Svar:

Säg att det finns x nötter på bordet från början och låt an vara antalet återstående nötter då den n:te brodern har tagit sin andel. Då är an+1=3(an-1)/4 om vi sätter a0=x. Med bn=an+3 är bn+1=3bn/4, varav bn=b0(3/4)n =(x+3)(3/4)n. Eftersom de sista nötterna skall kunna delas lika på de fyra bröderna, kan vi skriva a4=(x+3)(3/4)4-3=4m, där m är ett heltal. Men detta medför att x+3=44r, där r är ett heltal som vi vill ha så litet som möjligt. Om vi tittar på ekvationen 4m+3=34r så ser vi att r=1 och r=2 inte duger men väl r=3 (då är m=60). Den minsta lösningen är alltså x=3*44-3=765.

Joakim Petersson


19 maj 1999 19.31.12
Hrm, måste ställa en fråga som komupp i huvudet på mig. Anledningen att jag frågar så mycket är pga att jag skriver ett matte program som skall lösa anvacerade skaer som integraler/derivator/ekvationer/grafer men finns det sådana program redan (antagligen) och vad bör man ha i ett sådant program. Vad anses vikrigt?
Stefan Johansson

Svar:

Det finns många sådana program. Exempel på symbolhanterande program är Maple, Mathcad och Derive. De klarar bland annat av att derivera och integrera många funktioner och att lösa många ekvationer symboliskt, vilket nog är ett minimikrav på program av den typen. Dessutom klarar de naturligtvis att göra numeriska beräkningar, att rita grafer med mera.

Kjell Elfström


19 maj 1999 19.17.43
Hej! Tack för en fin sida.
Jag har en liten fråga om integraler, eller dubbelintegraler, vad är det för något?
Hur löser jag t.ex 4*X^5 med en dubbel integral
Stefan Johansson

Svar:

En ekvation z = f(x,y) där f är en kontinuerlig funktion av två variabler beskriver en yta i rummet. Om f är positiv ligger ytan ovanför xy-planet. Låt K vara ett område (med vissa egenskaper som vi inte preciserar här) i xy-planet under ytan. Dubbelintegralen av f över K är då volymen av det område i rummet som ligger mellan K och ytan och skrives med två integraltecken. Jag använder bokstaven I för att du skall få en uppfattning om hur en dubbelintegral tecknas:

I IK f(x,ydxdy

Ofta kan dubbelintegraler beräknas med successiva enkelintegrationer. Om t ex K är rektangeln 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 och f(x,y) = x + y är dubbelintegralen

integral0 <= y <= 2(integral0 <= x <= 1(x + y) dx) dy.

När man beräknar den inre integralen betraktar man y som en konstant. En primitiv funktion till x + y är då x2/2 + xy och sätter vi in gränserna x = 0 och x = 1 ser vi att den inre integralen blir 1/2 + y. Detta skall nu integreras från y = 0 till 2 så integralen blir [y/2 + y2/2]02 = 3.

Jag förstår inte vad du menar med din andra fråga.

Kjell Elfström


19 maj 1999 18.26.41
Vid en middagsbjudning för 12 personer (6 par) lottar man placeringen. Damerna placeras på udda och herrarna på jämna nummer. Värdinnan skall sitta på plats 1. Bordet de sitter vid är runt. Bestäm sannolikheten för att ingen behöver sitta bredvid sin partner.
Per

Svar:

Se svaret till 5 februari 1999 00.44.27.

Kjell Elfström


19 maj 1999 12.01.54
linjen AB är diametern i en cirkel.punkten c ligger på cirkelns rand och sidan AC är 4,8 cm och sidan BC är 1,6 cm kortare än diamtern. Bestäm cirkelns radie?. Hjälp mel att lösa detta problem
Olle

Svar:

Triangeln ABC är rätvinklig vid C. Pythagoras sats ger

4,82 + (d - 1,6)2 = d2

där d är diametern. Lös denna andragradsekvation.

Kjell Elfström


18 maj 1999 21.28.59
Hej och tack för svarandet! Jag hittade en synnerligen intressant webb-sida; http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/ (ta en titt!) Matematikern Greg Chaitin har visat att 100% ren slump finns inbyggt i matematikens hjärta, precis som för fysiken(kvantmekaniken) alltså! Det finns matematiska sanningar som är sanna utan att det går att hitta någon orsak till det, de råkar bara vara det. Låter revolutionerande, är detta något som påverkar er matematikers "vardagliga" forskningssätt (i så fall hur) eller anses det mest av teoretisk-kuriös natur?
Kettil Häing

Svar:

Under "Randomness & Complexity in Pure Mathematics" på den ovannämnda web-sidan (som är Chaitins hemsida) kan man läsa om en enorm diofantisk ekvation av Chaitin med 17000 variabler som upptar 200 sidor med egenskapen att det för varje värde på en viss parameter (ett heltal) är omöjligt att matematiskt bevisa huruvida den har ändligt många eller oändligt många (icke-negativa) heltalslösningar. På så sätt kan man kanske påstå att det finns "100% ren slump" inbyggd i "matematikens hjärta", dvs i den mest elementära talteorin som rör heltal och heltalsaritmetik (Chaitins ekvation är av samma typ som den bekanta xn+yn=zn, men är uppenbarligen mycket mer komplicerad). Sådana resultat påverkar dock inte vardagsmatematiken på något revolutionerande sätt, törs jag påstå. Mer om bl a "experimentell matematik" (som Chaitin har propagerat för) och kvasi-empirism inom matematiken hittar du i boken "New Directions in the Philosophy of Mathematics" (1998, sammanställd av Thomas Tymoczko).

Joakim Petersson


18 maj 1999 17.55.54
Om du står 3,1 m ifrån en femkrona, så ser den ut ungefär som månen görmot jorden. Hur skall man göra för att räkna ut hur långt det är till månen ifrån jorden. Femkronans diameter är 28mm och månens är 3470km.
Thomas A

Svar:

Månens diameter förhåller sig till avståndet mellan jorden och månen som femkronans diameter till avståndet från femkronan då denna upptar lika stor del av synfältet som månen. Tänk dig att månen precis skuggas av myntet och betrakta ljusstrålar från månskivans rand som tangerar myntets kant på sin väg till betraktarens öga. Avståndet till månen får man till ungefär 3.1/0.028*3470 km=384 000 km.

Joakim Petersson


18 maj 1999 14.24.40
Mitt problem är att bestämma vilken punkt som är den riktiga punkten. Jag vill beräkna en skärningspunkt på medeljorden (ett klot) med I want to calculate a intersection point on the average earth (radius = 6371000 meter) The formula I use is Napier´s equations (10a & 10b). A = point1 B = point2 I = Intersection point beta = bearing A to B - bearing A to I gamma = bearing B to I - bearing B to A It says: k1 = cos((beta + gamma)/2); /* 10a */ k2 = tan(a/2) * cos((beta - gamma) / 2); k3 = atan(k2/k1) * 2; // b + c = k3 k4 = sin((beta + gamma) / 2); /* 10b */ k5 = tan(a/2) * sin((beta - gamma)/2); k6 = atan(k5/k4) * 2; // b - c = k6 -> c = b - k6 bb = fabs((k6 + k3)/2); // b + b - k6 = k3 ->2b = k3 + k6 cc = fabs(bb - k6); lengthn_b = bb * 6371000; lengthn_c = cc * 6371000; if I move point A lengthn_b (meter) in direction A to I, I believe I got the intersection point (p1) if I move point B lengthn_c (meter) in direction B to I, I believe I got the intersection point (p2) but p1 != p2 Where is the error? :
KS

Svar:

Jag förstår inte varför det skulle vara något fel. Vad jag kan se räknar du med hjälp av Napiers formler på ett riktigt sätt ut längderna av de storcirkelbågar som går från punkterna A och B till skärningspunkten I=p1=p2. Du får vara snäll och förklara närmare vad du upplever som felaktigt.

Joakim Petersson


18 maj 1999 11.33.14
I en elektrisk krets finns där två mostånd som ligger parallellt i serie med tre motstånd som ligger parallellt.Den totala resistansen i kretsen blir 21 ohm.Hur stora är motstånden? Motstånden skall vara lika stora.Visa gärna med en ekvation.
Lars&Jörgen

Svar:

Det gäller vid parallellkoppling av motstånd att den totala resistansen till följd av Ohms lag U=RI står i ett harmoniskt förhållande till de ingående resistanserna på så vis att 1/Rtot=1/R1+1/R2+...+1/Rn vid parallellkoppling av n motstånd med resistanserna R1,R2,...,Rn. Vid seriekoppling av motstånd adderas de ingående resistanserna. Om varje motstånd har resistansen R ohm blir i ert fall R/2+R/3=5R/6=Rtot=21, varav R=25.2.

Joakim Petersson


17 maj 1999 21.29.34
Med jeepen in i öknen. En jepp kan sammanlagt ta 200 liter bensin i tanken i lösa dunkar. jeppen kommer 2,5 km på 1 lit bensin. Antag att du ska färdas 1000 km in i öknen och att bränsle bara finns vid startpunkten och vid målet. Vill du klara färden måste du först placera ut bensin i depåer längs färdvägen. Hur mycket bränsle går det åt och var ska dunkarna placeras ut? finn en lösning på problemet, gärna en som är så bra som möjligt!!!!! Jag gör ett projekt om denna lösning. Själv har jag kommit fram till att depåerna ska placeras ut följande: 12.5 km: 1600 lit, 25 km: 800 lit, 37,5km: 400 lit 50 km: 200 lit. Tack på förhand!!!
Sandra Carlsson

Svar:

Se 19 februari 1997 18.12.48.

Kjell Elfström


17 maj 1999 18.50.55
Beräkna kurv-integralen f(z) dz där f(z) = Z* (konjugatet) och C(kurvan) = parabolen y=x^2 från 0 till 1+ i
Hasse Göthberg

Svar:

En parametrisering av kurvan är

z(t) = t + it2,   0 <= t <= 1.

Eftersom z'(t) = 1 + 2it är kurvintegralen

Int[0,1](f(z(t))z'(tdt) = Int[0,1] ((t - it2)(1 + 2itdt).

Kjell Elfström


17 maj 1999 18.48.52
Finn Taylor och Laurent serierna med centrum (Zo)= -pi/2 och bestäm konvergensområdet för Sin(Z) /(Z+pi/2)
Hasse Göthberg

Svar:

Du känner säkert till Taylorserien för cos w. Utnyttja att

(sin z)/(z + Pi) = -(cos w)/w,

där w =  z + Pi/2.

Kjell Elfström


17 maj 1999 17.07.35
hej jag har problem med följande uppgift. En kropp med massan 6,0kg faller, utan begynnelsehastighet, genom en vätska där motstånds kraften är proportionell mot hastigheten. Proportionalitetskonstanten är 10 kg/s ställ upp en differential ekvation som beskriver rörelsen där hastigheten y m/s efter x s och beräkna hastigheten efter 2,0s samt den konstanta gränshatigheten
Kurt

Svar:

Två krafter verkar på kroppen, dels den nedåtriktade mg och dels den uppåtriktade ky som kommer av motståndet. Enligt Newtons andra lag är den resulterande kraften mg - ky = ma = my', där a = y' är accelerationen. Denna differentialekvation kan du säkert lösa själv.

Kjell Elfström


17 maj 1999 12.30.57
Hur löser man ekvationer?
Anna

Svar:

Ett exempel på en enkel ekvation och dess lösning finner du i 12 november 1997 10.48.37. En andragradsekvation är på formen

x2 + ax + b = 0

och en sådan löses genom kvadratkomplettering.

x2 + ax + b = (x + a/2)2 + b - a2/4

så ekvationen kan skrivas

(x + a/2)2 = -b + a2/4

och har lösningen x = -a/2 ± (-b +  a2/4)1/2.

Kjell Elfström


17 maj 1999 11.17.28
Hej! Jag har två frågor den första gäller en uppgift jag inte kan lösa: Ett tegeltak bör luta minst 12 grader och högst 22 grader. Hur högt är vindsutrymmet upp till takåsen i en villa med ett tegeltak som har
a. Största lutningen?
b. Minsta lutningen?
Jag undrar också om man verkligen inte kan räkna med trignonmetriska funktioner om det inte finns en 90 graders vinkel Om man kan så hur?!
Matthias

Svar:

I ett tvärsnitt vinkelrätt mot takåsen visar sig vinden som en triangel ABC, där C representerar takåsen. Vinkeln v vid A ligger mellan 12 och 22 grader. Låt M vara mittpunkten på sträckan AB. Då är vinkeln AMC rät. Låt d vara avståndet från A till M, dvs halva husets bredd, och h avståndet från M till C, dvs vindens höjd. Den rätvinkliga triangeln AMC ger att h = dtan v . Höjden beror alltså på villans bredd.

I t ex cosinussatsen och sinussatsen anges samband mellan sidor och vinklar i en triangel, som inte behöver vara rätvinklig.

Kjell Elfström


17 maj 1999 10.22.22
En stor, öppen och cylinderformad vattentank ska konstrueras. Tanken ska rymma 1000 kubikmeter och ha en bottentjocklek på 0.25 meter. För väggtjockleken t m gäller att t=0,002*x*r,där x m är det maximala vattendjupet och r m är tankens radie. Hur mycket cement går det minst åt.
Invändikt djup på cylindern är x. Den invändiga radien på cylindern är r. Tjockleken på cylinderns vägg är t. Cylinderns botten tjocklek är 0,25 meter.

Svar:

Se 29 januari 1997 12.24.13.

Kjell Elfström


15 maj 1999 19.28.31
Hej! Lite brådis!
En bandtransportör bestående av 2 homogena cylindrar får strömavbrott just när en låda befinner sig högst upp. Genom lådans tyngd börjar bandet rulla nedåt, beräkna lådans hastighet när den träffar marken. Data: Bandets lutning är 30 grader, lådan väger 150 kg, bandet 100 kg, cylindern 10 kg / st. Radien på cylinderns är 0.1 m. Friktion, drivmotor, lager etc ger upphov till ett bromsmoment på 10 Nm. Transprotörens längd är 6 m.
Jag skulle vara tacksam om Ni kunder hjälpa mig med denna, så fort som det bara går! Helst innan söndag midnatt!
Min tankegång: Totalt drivmoment - Mvt: r*150*g*sin30 - 10 = 15*g*sin30-10 Nm
Mv = J * e (Moment = Masströghetsmoment * vinnkelacceleration)= J * a/r (periferiacceleration/radie)...
Frågan är om bandets vikt spelar in! På "vägen ner" ger det ju upphov till ett moment, men på "vägen upp" tycker jag ju att samma moment går förlorat! I alla fall:
Hela systemet får samma periferiaccelereration och hastighet!
Mvt = J * a/r + 150*r*a + (ev 100*a*r - bandets vikt)
15*g*sin30-10 = (10*0.2^2*a)/(8*0.1) + 150*0.1*a + (ev 100*0.1*a)
15*g*sin30-10 = a((10*0.2^2/0.8)+15) - (alt a((10*0.2^2/0.8)+25))
a= 2,5m/s^2 - alt a=4,1 m/s^2
sträckan s = (v*2-v0^2)/2*a => v^2 = 2*a*s
1. v^2 = 2*2,5*6 = 30 => v=5,5m/s
2. v^2 = 2*4,1*6 = 49,2=> v=7m/s
Det låter väl ganska rimligt? Har jag tänkt rätt? iså fall i vilket fall har jag tänkt rätt?
Mikael Salling

Svar:

Detta är mer fysik än matematik, så jag hänvisar dig till Fråga vetenskapen om fysik.

Kjell Elfström


18461 frågor av sammanlagt 18864 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)