Fråga Lund om matematik

Sökresultat


9 november 1998 14.03.52
Hur fungerar fyrdimensionell geometri?
Boström

Svar:

Nedan beskriver jag hur geometrin för R2 och R3 generaliseras till et fyrdimensionella rummet R4.

I fyra dimensioner behöver man fyra koordinater ( x1, x2, x3, x4) för att beskriva en punkt i rummet. Affina delrum är en generalisering av punkter, linjer och plan till högre dimensioner. Affina delrum i R4 kan vara punkter, linjer, plan och hyperplan. Dessa objekt har dimension 0,1,2 och 3. Detta kan jämföras med R2 som bara har punkter och linjer som affina delrum och R3 som har punkter , linjer och plan som affina delrum. Alla affina delrum kan alltid ges som lösningarna till ett linjärt ekvationssystem. Dimensionen på delrummet är fyra minus antalet ekvationer. Begrepp som vinklar och avstånd kan också generaliseras till fyra dimensioner.

Se också 10 september 1998 22.48.36 .

Stefan Jakobsson


9 november 1998 10.14.34
oändl. Om P_n=Sum {1/k+1/(2*k^2)}-log(n) k=1 oändl. Hur visas då att serien Sum {n*abs(P_(n+1)-P_n) är konvergent? 1 n n Och om Q_n=Sum {P_i}-(n+1/2)*P_n-Sum {1/(4*i^2)} 1 i=1 Hur visas då att gränsvärdet Q=lim Q_n existerar ?? n->oändl. samt att (n+1/2)*log(n)-n-log(n!)=Q_n ?
Andreas

Svar:

Eftersom den harmoniska serien

summan[k=1 till oändligheten] 1/k

är divergent så är också summan Pn divergent. Men då är ju inte differensen Pn+1-Pn definierad. Dina två uppgifter saknar i detta fall mening.

Om Pn istället vore definierad så här

Pn=summan[k=1 till n](1/k+1/(2k2))-log(n)

så kan man lösa uppgifterna. Vi får då att

Pn+1-Pn=1/(n+1)+2/(n+1)2-log(n+1)+log(n)=1/(n+1)+1/(2(n+1)2)+log(1-1/(n+1)) (*).

Taylorutveckla log(1-t) till ordning tre

log(1-t)=-t-1/2 t2+g(t) t3.

där g(t) är en begränsad funktion för små t. Sätter vi in detta i (*) får vi

Pn+1-Pn=g(1/(n+1)) 1/(n+1)3.

Eftersom är en begränsad funktion så har vi att

n abs(Pn+1-Pn)=<A/(n+1)2.

är A är en konstant. Jämförelsesatsen för serier ger sedan att

summan[n=1 till oändligheten] n abs(Pn+1-Pn)

är konvergent. Nu över till Qn

Qn=summan[i=1 till n]Pi +(n+1/2)Pn -1/4 summan[i=1 till n]1/i2=

summan[i=1 till n]summan[k=1 till i](1/k+1/(2k2))-summan[i=1 till n] log(i)+(n+1/2)Pn

-1/4 summan[i=1 till n]1/i2

Om vi ändrar summationsordning i dubbelsumman får vi

summan[i=1 till n]summan[k=1 till i](1/k+1/(2k2))=

summan[k=1 till n]summan[i=k till n](1/k+1/(2k2))=

(n+1)summan[k=1 till n](1/k+1/(2k2))-summan[k=1 till n](1+1/(2k))=

(n+1/2)summan[k=1 till n](1/k+1/(2k2))+1/4summan[k=1 till n]1/k2-n.

Dessutom är summan[i=1 till n] log(i)=log(n!). Detta ger sedan att

Qn=(n+1/2)log(n)-n-log(n!).

För att visa att Qn konvergerar då n->oändligheten tittar vi på differensen mellan två på varandra följande termer Qn+1-Qn=-(n+1/2)(Pn+1-Pn)-1/4 1/(n+1)2. Använder vårt resultat ovan ser vi att Qk+1-Qk är termer i en absolutkonvergent serie. Beaktar vi sedan att

Qn+1=Q0+summan[k=1 till n](Qk+1-Qk)

så ser vi att gränsvärdet lim[n->oändligheten] Qn existerar.

Stefan Jakobsson


8 november 1998 19.13.29
Hur beräknar man följande konstiga uttryck ?
sqr(1+2·sqr(1+3·sqr(1+4·sqr( ... ))))
Miniräknaren antyder att gränsvärdet kan vara 3, men jag hittar ingen metod att visa detta på. Tacksam för svar m.v.h. Thomas
Thomas Dahl

Svar:

Du tror alltså att gränsvärdet, då n går mot oändligheten, av

an = sqrt(1 + 2sqrt(1 + 3sqrt(1 + ...(n - 1)sqrt(1 + n))))

är 3 och detta är riktigt, vilket kan visas med instängningssatsen.

Vi har nämligen

sqrt(1 + 2sqrt(1 + 3sqrt(1 + ...(n - 1)sqrt(1 + nsqrt((n + 2)2))))) = 3,

något som enkelt kan visas med induktion. Av detta följer omedelbart att an <= 3.

Börja sedan längst in och utnyttja att

sqrt(1 +ab) <= sqrt(a)sqrt(1 + b) om a >= 1

med

a = n + 2 = sqrt((n + 2)2)   och   b = n

för att visa att

sqrt(1 + nsqrt((n + 2)2)) <= (n + 2)1/2sqrt(1 + n).

Detta ger att

3 = sqrt(1 + 2sqrt(1 + 3sqrt(1 + ...(n - 1)sqrt(1 + nsqrt((n + 2)2))))) <=
  <= sqrt(1 + 2sqrt(1 + 3sqrt(1 + ...(n - 1) sqrt(1 + n)(n + 2)1/2))).

Vi arbetar oss sedan utåt, nästa gång med a = (n + 2)1/2 och b = (n - 1)sqrt(1 + n) varvid vi får att

3 <= sqrt(1 + 2sqrt(1 + 3sqrt(1 + ...(n - 2) sqrt(1 + (n - 1)sqrt(1 + n))(n + 2)1/4))),

för att slutligen få att

3 <= (n + 2)c sqrt(1 + 2sqrt(1 + 3sqrt(1 + ...(n - 1)sqrt(1 + n))))

där c = 21 - n.

Vi har alltså visat att

3(n + 2)-c <= an <= 3

och eftersom (n + 2)-c går mot 1 då n går mot oändligheten följer det av instängningssatsen att gränsvärdet är 3.

Kjell Elfström


8 november 1998 17.08.27
Vill först passa på att tacka för en trevlig sida.
Jag tycker det är svårt med ansättningar för inhomogena diff.ekvationer. Skulle gärna få en utförlig lösning till följande diff.ekv.;
Y" + 2Y'+ 2Y = sinX*e^X
Måste man i ovanst fall ansätta
Y(partikulär)=A*X*e^X*cosX+B*X*e^X*sinX ?
Derivatorna blir besvärliga, och frågan blir om man kan komma runt dessa besvär? Finns det generellt några enkla knep för ansättningar av Y(partikulär)?
Mvh Peter Jonasson
Peter Jonasson

Svar:

Att derivatorna blir besvärliga att räkna ut kan man nog inte kringgå. En sådan ansats du gör kan fungera, men måste inte göra det. Får du ett ekvationssystem ur vilket du kan lösa ut A och B har du lyckats, annars får du ta ett polynom av högre grad framför (Acos x + Bsin x)ex. Det beror på hur vänsterledet ser ut. Detta kan analyseras men med en annan mer generell ansats slipper man göra detta. Utnyttja att högerledet är imaginärdelen av eix + x och finn först en partikulärlösning y till hjälpekvationen

L(y) = y'' + 2y' + 2y = eix + x.

När detta är gjort kan vi skriva

y = y1 + iy2,

där y1 och y2 är reella. Lineäriteten hos L ger nu att

L(y1) + iL(y2) = L(y) = eix + x = cos xex + isin xex.

Identifierar vi real- och imaginärdelar ser vi att y2 löser den ursprungliga ekvationen.

När vi skall finna denna partikulärlösning till hjälpekvationen gör vi ansatsen y = zeix + x, beräknar y' och y'' uttryckta i z, z' och z'' och sätter in i hjälpekvationen. Vi kommer då att få faktorn eix + x i båda leden så den kan divideras bort och kvar har vi en differentialekvation i z där högerledet är konstant. Exakt samma ansats hade fungerat med ett högerled som varit ett polynom gånger högerledet i denna ekvation. Högerledet i ekvationen i z hade då blivit ett polynom, vilket är en klar förenkling.

Kjell Elfström


6 november 1998 07.55.16
Tre stycken män tog in på hotel. Dom betalade 10 kronor vardera= 30 kronor. Dagen efter kom direktören. Han tyckte att männen betalat för mycket. Han vill ge tillbaka 5 kronor. Eftersom 5 kr inte går att dela på tre personer så lägger han 2 kronor i fickan och ger tillbaka 3 kronor. Alltså har männen betalat 9 kronor. 10 kronor - 1 krona = 9kronor Tar man 9 kronor gånger antalet personer så är det 27 kronor + dom två kronor direktören stoppade i fickan. = totalt 29 kronor. Var är den sista kronan?
Agnetha Sundberg

Svar:

Se 4 december 1997 23.13.46.

Kjell Elfström


5 november 1998 20.44.33
Antag att du ska spela ett spel med en hög av stickor ej givet antal. Ni är två stycken. Man får ta 1 , 2 eller 3 stickor.Den som tar sista stickan vinner. För att vinna ska du då lämna efter dig 4.. 8..12.. stickor osv. Utveckla spelet så att du kan ha hur många högar som helst med hur många stickor som helst i varje. Hur ska man göra för att alltid vinna formulera en metod. Ledning omvandla antalet stickor till binärt och försök se ett samband.
Henrik Andersson

Svar:

Låt Nj, j=1,2,3,4, beteckna antalet högar vars antal stickor är j modulo 4 (dvs resten vid division med 4 är j). För att man skall vara säker på att vinna ska N1,N2,N3 uppfylla något av följande två alternativ när man gjort sitt drag:

1) N1,N2,N3 är alla jämna tal.

2) N1,N2,N3 är alla udda tal.

Observera att inget krav behöver ställas på N0. Av spelets natur är det klart att det alltid blir någon som vinner. Om den ena spelaren lyckas med att alltid uppfylla 1) eller 2) efter att ha gjort sitt drag så blir det han som vinner ty om inte spelet är slut så är det alltid minst två högar kvar när motståndaren skall göra sitt dragså han kan inte vinna.

Följande spelstrategi gör att 1) eller 2) alltid är uppfyllda om de är det vid starten.

Antag att 1) eller 2) är uppfyllt och det är motspelarens drag. Efter motspelarens drag kommer något följande gälla:

A) Ett av är N1,N2,N3 udda och det två andra jämna. Om N1 är udda, tag en sticka ur en hög vars antal stickor är 1 modulo 4. Om N2 eller N3 är udda tag 2 respektive 3 stickor från en hög vars antal är 2 respektive 3. 1) är då uppfyllt efter detta drag.

B) Två av är N1,N2,N3 udda och det tredje är jämnt. Om N1 och N2 är udda och är N3 jämnt tag en sticka ur en hög vars antal är 2 modulo 4. Efter detta drag är 1) återigen uppfyllt. De två andra fallen behandlas analogt.

Man kan alltså komma tillbaka till 1) oavsett hur motspelaren spelar.

Stefan Jakobsson


5 november 1998 20.24.00
Hejsan! Jag undrar om det bara är kvadratiska matriser som kan ha en invers?
Stefan

Svar:

Ja, det är sant. Detta ingår i definitionen av inverterbar matris att den är kvadratisk.

Stefan Jakobsson


5 november 1998 11.28.05
Jag har inte fråga utan svar till fråga från 30 sep 98 kl 17 Svar: produkten[j=1 till l](2^ij-1) där ij ,l positiva heltal t.ex k=1 (=2^1-1) (n=1) k=3 (=2^2-1) (n=p1^2*p2^4 ) k=7 (=2^3-1) k=9 (=(2^2-1)*(2^2-1) ) ,osv mvh Natalia

Svar:

Tack för ditt svar. Men ditt svar täcker tyvärr inte alla fall. Det är faktiskt så att alla udda heltal k kan uppkomma som kvoter av typen d(n2)/d(n). På 26 oktober 1998 16.30.19 finns det ett bevis av Pontus Andersson.

Stefan Jakobsson


5 november 1998 10.51.32
Hej! Jag undrar om du kan förklara hur man löser en diff. ekv. med hjälp av LaPlace transformationen. Finns det något grundläggande som man behöver veta för att använda sig av denna formel, är den användbar? Inom vilka områden används denna? Tack på förhand
Frida

Svar:

Laplace transformering kan vara mycket användbart vid lösning av vissa typer av linjära differentialekvationer. För att använda denna teknik behöver kunna derivera och integrera uttryck som innehåller polynom gånger exponential funktioner och trigonometriska funktioner dessutom behöver man ofta partialbråkuppdela. Se Eric's Treasure Trove of Mathematics för mer information och exempel.

Stefan Jakobsson


5 november 1998 10.49.50
Hejsa, Skulle du kunna förklara hur man använder simpsons formel.
Roger

Svar:

Simpsons formel används för att integrera funktioner numeriskt. Om du vill beräkna integralen

I=integralen[a till b] f(x)dx

men inte lyckas hitta någon primitiv funktion till f så kan man approximativt beräkna I på följande sätt: låt n vara ett heltal dela upp intervallet [a,b] i 2n stycken delintervall [xk-1,xk], k=1,2,3,...,2n , där xk=a+(b-a)k/(2n) k=0,1,2,3,...,2n. Alla delintervallen har längden h=(b-a)/2n. I är nu approximativt lika med

Iappr=(b-a)/(6n)(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+...+2f(x2n-2)+4f(x2n-1)+f(x2n)).

Det ska vara en fyra framför varannat funktionsvärde och tvåor annars förutom framför det första och sista funktionsvärdet. Felet i denna approximation (skillnaden mellan I och Iappr) kan uppskattas med

|(b-a)/(180 h4)|.max(|f(4)(x)|,a<x<b)

där f(4) är fjärdederivatan av f.

Stefan Jakobsson


5 november 1998 09.38.42
Hej. Jag har sett formeln e upphöjt till(2 pi i) = 1 där i = roten ur -1 Hur kan man få den formeln att stämma?
Anders Eriksson

Svar:

Följande samband kallas för Eulers formel

ei x=cos(x)+i sin(x) )(*).

Sätter vi in x=2 pi så får vi

ei 2 pi=cos(2 pi)+i sin(2 pi) =1+i 0=1.

Nu kan man förstås fråga sig varför Eulers formel stämmer. Faktum är att formeln ofta används som definition av ei x. Se 12 september 1997 09.09.55. Ett sätt att övertyga sig om dess riktighet är att kontrollera att Taylorserierna för högerledet och vänsterledet av (*) är lika. Taylorserierna för exponential, cosinus och sinusfunktionerna är

ex=summa[k=0 till oändligheten] xk/k!, cos(x)=summa[k=0 till oändligheten](-1)k x2k/(2k)!,

och sin(x)=summa[k=0 till oändligheten] (-1)k x2k+1/(2k+1)!.

Sätter vi in i x istället för x i Taylorserien för exponentialfunktionen och delar upp summan i jämna respektive udda k så får vi

eix=summa[k=0 till oändligheten] (i)kxk/k!=

summa[k=0 till oändligheten](i)2k x2k/(2k)!+summa[k=0 till oändligheten] (i)2k+1 x2k+1/(2k+1)!=

summa[k=0 till oändligheten](-1)k x2k/(2k)!+i summa[k=0 till oändligheten] (-1)k x2k+1/(2k+1)!=

cos(x)+i sin(x).

Stefan Jakobsson


4 november 1998 21.24.01
En population som ökar enligt den logistiska tillväxtekvationen har från början 200 individer och tillväxthastigheten 10 individer/vecka. Den maximala antalet är 1800 individer. Bestäm den logistiska tillväxtkonstanten med en numerisk metod.

Svar:

Den logistiska tillväxtlagen säger att

y ' = ky(1 - y/B)

och i detta fall är B = 1800. Tillväxthastigheten är 10 individer per vecka då antalet individer är 200. Detta ger att

10 = 200k(1 - 200/1800)

och det som återstår är att lösa ut k ur denna ekvation.

Kjell Elfström


4 november 1998 18.51.18
Kan ni bevisa att följande iterativa formel konvergerar mot sierpinskitriangeln? Låt A,B och C vara de tre hörnen i en triangel. Välj en godtycklig startpunkt i triangeln och välj slumpvist ett av triangelns hörn A,B eller C. Gå halva vägen till detta hörn och markera denna punkt. Utgå från denna punkt och välj slumpvist ett av hörnen A,B,C... osv Om detta utförs 1000 gånger och man tar bort de 10 första punkterna så framträder en bild av sierpinskitriangeln. Detta görs lämpligast på en dator. Men kan man bevisa matematiskt varför det blir så? Tacksam för svar
Daniel

Svar:

Se t ex sidan Why does the Sierpinski triangle arise from the chaos game?, Boston University.

Kjell Elfström


4 november 1998 18.03.48
Hej! Jag skulle uppskatta att få hjälp med två problem. För det första: visa att (a^2+b^2+c^2)^3 - 27a^2b^2c^2 >= 0 (om det stämmer, vilket jag tror att det gör). För det andra: bestäm en primitiv funktion till ln (cos x) (då cos x > 0). Tack på förhand!
Martin

Svar:

Olikheten kan skrivas

(a2 + b2 + c2)3 >= 27a2b2c2

och eftersom funktionen f(x) = x3 är strängt växande är det ekvivalent med

a2 + b2 + c2 >= 3(a2b2c2)1/3

vilket är ekvivalent med

(a2 + b2 + c2)/3 >= (a2b2c2)1/3

och att detta är sant följer av olikheten mellan geometriskt och aritmetiskt medelvärde.

Jag tror inte att man kan uttrycka en primitiv funktion till ln(cos x) med hjälp av de elementära funktionerna. Däremot är ln(cos x) primitiv funktion till -tan x.

Kjell Elfström


4 november 1998 14.02.20
Hej! Jag läste i en lärobok i matematik att man kan bestämma en primitiv funktion till ett partialbråk av formen (Ax + B)/(x^2+ax+b)^n genom en fullständig faktorisering av nämnaren i komplexa faktorer och en uppdelning i komplexa partialbråk. Hur går detta till? Till exempel om man vill lösa F(x) av f(x)=(3-x^2)/(x^2+2x+3)^2 Tack på förhand!
Peter Karlsson

Svar:

Varje rationell funktion f  kan efter eventuell polynomdivision skrivas

f(x) = g(x) + h(x)

där g är ett polynom och h(x) = p(x)/q(x) är en rationell funktion med deg(p) < deg(q). För att kunna integrera en rationell funktion behöver vi dels kunna integrera polynom (och det behöver vi inte orda mer om) och dels rationella funktioner där gradtalet av täljaren är mindre än gradtalet av nämnaren.

Nämnaren q(x) kan vidare faktoriseras i irreducibla faktorer, dvs faktorer som inte kan faktoriseras ytterligare. De irreducibla faktorerna i R[x] är dels polynom av grad 1, dels polynom av grad 2, som saknar reella nollställen. I C[x] kan de senare faktorerna faktoriseras ytterligare, så de irreducibla polynomen i C[x] är alla förstagradspolynom.

Om

q(x) = (x + a1)s1(x + a2)s2...(x + am)sm(x2 + b1x + c1)t1(x2 + b2x + c2)t2...(x2 + bnx + cn)tn

är en sådan faktorisering kan h(x) skrivas som en summa där varje term är en summa. Varje faktor på formen (x + a)s ger upphov till en term

A1/(x + a) + A2/(x + a)2 + ... + As/(x + a)s

och varje faktor på formen (x2 + bx + c)t ger upphov till en term

(B1x + C1)/(x2 + bx + c) + (B2x + C2)/(x2 + bx + c)2 + ... + (Btx + Ct)/(x2 + bx + c)t.

T ex kan vi skriva

(x + 1)/((x + 2)(x + 3)2(x2 + 2x + 2)) = A/(x + 2) + B/(x + 3) + C/(x + 3)2 + (Dx + E)/(x2 + 2x + 2).

Detta kallas partialbråksuppdelning och för att illustrera tar vi ett exempel.

(4x + 5)/ ((x + 1)(x + 2)) = A/(x + 1) + B/(x + 2).

För att bestämma konstanterna A och B multiplicerar vi båda led med nämnaren i vänsterledet varefter vi får

4x + 5 = A(x + 2) + B(x + 1) = (A + B)x + 2A + B.

För att likhet skall gälla för alla x måste de nya ledens koefficienter vara lika, dvs.

A + B = 4
2A + B = 5

Detta ekvationssystem har lösningen A = 1, B = 3, varför

(4x + 5)/ ((x + 1)(x + 2)) = 1/(x + 1) + 3/(x + 2).

Efter denna diskussion inser man att man bara behöver kunna integrera polynom och rationella funktioner på formen

A/(x + a)m   och   (Bx + C)/(x2 + bx + c)n

för att kunna integrera vilken rationell funktion som helst. Vi koncentrerar oss på den senare typen. Eftersom x2 + bx + c saknar reella nollställen kan vi kvadratkomplettera och få att

x2 + bx + c = (x + d)2 + e

där e > 0. Efter variabelbytet x + d = te1/2 kan vi skriva integranden

(Dt + E)/(t2 + 1)n = Dt/(t2 + 1)n + E/(t2 + 1)n.

Den första av dessa kan man integrera antingen direkt eller genom att sätta u = t2 + 1.

n = 1 är en primitiv funktion till den andra Earctan t. Det återstår att visa hur man bestämmer primitiv funktion till 1/(t2 + 1)nn > 1. Detta kan göras antingen genom en rekursionsformel som brukar anges i de flesta läroböcker i envariabelanalys, t ex Hellström-Morander-Tengstrand: Envariabelanalys eller genom att göra en komplex partialbråksuppdelning.

Låt oss ta

1/(t2 + 1)2 = (1/4)(i/(t + i) - 1/(t + i)2 - i/(t - i) - 1/(t - i)2),

där vi partialbråksuppdelat som ovan, som exempel. Då vi inte vill befatta oss med komplexa logaritmer skriver vi om detta som

1/(t2 + 1)2 = (1/4)(2/(t2 + 1) - 1/(t + i)2 - 1/(t - i)2)

och en primitiv funktion är

(1/2)arctan t + (1/4)(1/(t + i) + 1/(t - i)) = (1/2)arctan t + (1/2)t/(t2 + 1).

Kjell Elfström


4 november 1998 12.41.00
Hur är detta möjligt? Föreställ dig att du viker ett o,1 mm tjockt pappersark dubbelt, sedan det vikta arket dubbelt igen osv. 40 gånger. Beräkna höjden. Svar: 110 000km.
Maria Sandström

Svar:

Varje gång papperet viks fördubblas tjockleken. Viker man det 40 gånger ökar tjockleken alltså med en faktor 240 = 1.099.511.627.776 och tjockleken blir alltså 109.951,162.777.6 km.

Kjell Elfström


4 november 1998 07.48.01
Man hör talas om 80/20-regeln i många sammanhang. 20% av bilarna står för 80% av utsläppen, 80% av felen i t ex ett telenät orsakas av 20% av nätkomponenterna, osv. Min fråga är om detta är ren empiri eller om det finns någon statistisk function som ger ett sådant utfall. Mina kunskaper i statistik och sannolikhetskalkyl är bristfälliga. Jag har provat med Poisson-distributionen men utan framgång.
Pelle Nilsson

Svar:

Jag har heller inte rönt någon framgång, ens efter att ha talat med statistiker.

Kjell Elfström


3 november 1998 20.09.30
In the production of a certain type of copper, two types of copper powder (types A&B) are mixed together and sintered (heated) for a certain length of time. For a fixed volume of sintered copper, the producer measures the proportion of Y1 of the volume due to solid copper ( some pores will have to be filled with air) and the proportion Y2 of the solid mass due to type A crystal. Assume that appropriate probability densities for Y1 and Y2 are 6y1(1-y1), 0£ y1£1 f1(ya) = 0, elsewhere 3y2, 0 £y2 £1 f2(y2)= 0 , elsewhere The proportion of the sample volume due to type A crystal is then Y1Y2. Assuming that Y1 and Y2 are independent, find p(Y1Y2£ 0.5).
Jadi nejad

Svar:

Eftersom en sannolikhetsfördelning alltid har totalmassa 1 så måste den formel du angivit för f2 vara fel men om man kvadrerar y2 så stämmer det.. Formlerna för sannolikhetsfördelningarna för Y1 respektive Y2 ska antagligen vara

f1(y1)=6y1(1-y1) då 0=<y1=<1 annars 0 och f2(y2)=3y22 då 0=<y2=<1 annars 0.

Den komplementära händelsen till Y1Y2 <0,5 är Y1Y2 >=0,5 så

P(Y1Y2 <0,5)=1-P(Y1Y2 >=0,5).

Eftersom Y1och Y2 är oberoende så är den gemensamma fördelningsfunktionen F(y1,y2) lika produkten av f1(y1) och f2(y2). Olikheterna Y1Y2 >=0,5, 0=<Y1=<1 och 0=<Y2=<1kan också skrivas

0,5=<Y1=<1 och 0,5/Y1=<Y2=<1

så sannolikheten för Y1Y2 >=0,5 ges av

P(Y1Y2 >=0,5)=integralen[0,5 till 1]integralen[0,5/ Y1 till 1]3y226y1(1-y1)dy2dy1=3/4ln(2)-1/4.

Detta ger att

P(Y1Y2 <0,5)=3/4(1-ln(2)).

Stefan Jakobsson


3 november 1998 19.37.04
Hur hittar jag 3 X-VÄRDEN
IBRAHIM

Svar:

Jag förstår inte poängen med denna fråga.

Stefan Jakobsson


3 november 1998 19.30.23
Jag undrar om ni vet var man kan få tag på bevis för fyrfärgssatsen. Finns det några böcker i ämnet?
Joakim Abeleen

Svar:

Kolla in "Four-Color Theorem" på Eric's Treasure Trove of Mathematics . Där finns referenser till bevis och även till böcker i ämnet.

Stefan Jakobsson


3 november 1998 08.49.21
jag vill veta hur man kan räkna ut hur djup en brunn är genom att släppa ner en sten.
Karin Ingvarsson

Svar:

Ett föremål i fritt fall faller har efter t sekunder fallit sträckan s(t)=v0.t+g.t2 /2 där v0 är starthastigheten och g är tyngdaccelerationen vilket är ungefär 9,8 m/s2. Om man släpper ned en sten i en brunn utan att ge den någon fart startögonblicket och hör ett plask efter sekunder så gäller följande samband mellan brunnens djup l och tiden t

l=g.t2 /2.

Om brunnen är djup så måste man också ta hänsyn till att det tar en viss tid för ljudet att komma upp ur brunnen och till att luftmotståndet bromsar stenens acceleration.

Stefan Jakobsson


3 november 1998 01.46.59
Hej! Hur bevisar man att det finns oändligt många primtal? MVH Kenneth Scwarz
Kenneth Scharz

Svar:

Följande motsägelsebevis har tillskrivits Euklides:

Antag att de endast finns ändligt många primtal p1,p2,...,pn. Bilda talet q=p1.p2..... pn+1. Delar man q med något primtal p1,p2,...,pn så är resten alltid 1 vilket innebär att q är inte delbar med något primtal. Detta motsäger aritmetikens fundamentalsats som säger att alla tal kan skrivas som en produkt av primtal. Alltså måste det finnas oändligt många primtal.

Stefan Jakobsson


2 november 1998 19.09.16
Hej Jag arbetar nu med Dedekind-snitt och kontinuerliga funktioner och undrar om du kan hjälpa mig med följande: Antag att vi har en funktion f som är större el lika med 0(>=), f är en kontinuerlig funktion på intervallet [a,b]. Visa att f = 0 i någon punkt eller så är f >=epsilon för något epsilon > 0. Gäller denna sats om f är en kontinuerlig funktion på (a,b) (istället för [a,b])? Tackar i förhand och för en bra sida!!!
Kenneth

Svar:

En kontinuerlig funktion definierad på ett kompakt intervall I = [a,b] antar där såväl ett största som ett minsta värde. Om f(x) <> 0 (och f(x) >= 0) för alla x i I är det minsta värdet epsilon > 0 varav det följer att f(x) >= epsilon för alla x i I.

Svaret på den andra frågan är nej. Tag som exempel f(x) = x och I = (0,1).

Kjell Elfström


2 november 1998 18.43.52
var får jag tag i "pythagorasatsoch hu fungerar den?
Emil

Svar:

Se 9 september 1997 14.41.38.

Kjell Elfström


2 november 1998 17.37.55
X,Y,Z - stokastiska variabler. X exponentialfördelad med parameter a. Y = heltalsdelen av X, och Z = X - Y = decimalbråksdelen av X. Visa att Y och Z är oberoende och finn fördelningarna för Y och Z.
Tack på förhand!
Ragnar Johansson

Svar:

Frekvensfunktionen för X är ae-ax, vilket ger att

P(X <= x) = 1 - e-ax.

Vi får

P(Y <= y) = P(X < y + 1) = 1 - e-a(y + 1),

och formeln för den geometriska summan ger att

P(Z <= z) = Summa[k=0, oändligheten](P(k <= X < k + z)) = Summa[k=0, oändligheten](e-ak(1 - e-az)) = (1 - e-az)/(1 - e-a),

P(Y <= y och Z <= z) = Summa[k=0, y](P(k <= X < k + z)) = Summa[k=0, y](e-ak(1 - e-az)) = (1 - e-az)(1 - e-a(y + 1))/(1 - ea).

Vi ser att produkten av de båda första sannolikheterna är lika med den sista och detta visar att Y och Z är oberoende.

Kjell Elfström


2 november 1998 14.47.42
Jag skulle vilja ha en definition på nollan, 0, och vilka räkneregler som gäller. Skriver ett examensarbete om hur grundskoleelever och deras matematiklärare uppfattar begreppet noll. Som en beteckning för en tom mängd eller som en beteckning för en tom position i ett positionssystem.
Ingela Olsson

Svar:

I ett axiomsystem för t ex de reella talen fastslås att det finns ett, för addition, neutralt element 0, dvs

0 + x = x + 0 = x.

Betydelsen av talet 0 fastslås alltså genom dessa räkneregler.

Börjar man med axiomen för mängdlära och definierar de reella talen som vissa mängder är innebörden att 0 står för tomma mängden och addition införs på ett sådant sätt att 0 blir ett neutralt element.

Historiskt var det så att 0 behövdes för att undvika missförstånd när tal skulle anges i positionssystem.

Jag ber också att få hänvisa till Fråga Kristianstad om matematikdidaktik.

Kjell Elfström


2 november 1998 07.11.22
Hej
Hur faktoriserar jag x^8-1 så långt som möjligt,i C[x] samt i R[x]?
Johan Axelsson

Svar:

Enligt konjugatregeln är

x8 - 1 = (x4 - 1)(x4 + 1) = (x2 - 1)(x2 + 1) (x4 + 1) = (x - 1) (x + 1) (x2 + 1) (x4 + 1).

Faktorn (x2 + 1) har nollställena ±i och kan inte faktorisera ytterligare i R[x], men däremot är (x2 + 1) = (x - i)(x + i) i C[x]. Den sista faktorn kan skrivas

x4 + 1 = x4 + 1 + 2x2 - 2x2 = (x2 + 1)2 - (21/2x)2 = (x2 + 1 - 21/2x)(x2 + 1 + 21/2x).

Dessa faktorer har nollställena 2-1/2(1 ± i) respektive 2-1/2(-1 ± i) och kan alltså inte faktoriseras i R[x]. Faktoriseringen blir

(x - 1) (x + 1) (x2 + 1) (x2 + 1 - 21/2x)(x2 + 1 + 21/2x)

i R[x] och

(x - 1) (x + 1) (x - i) (x + i)(x - 2-1/2(1 + i))(x - 2-1/2(1 - i))(x + 2-1/2(1 + i))(x + 2-1/2(1 - i))

i C[x].

Ett annat sätt att göra faktoriseringarna på är att först bestämma rötterna till den binomiska ekvationen

x8 - 1 = 0

och sedan direkt utföra faktoriseringen i C[x]. För att sedan finna de reella faktorerna behöver vi bara para ihop de icke-reella rötterna i konjugerade par och multiplicera ihop motsvarande faktorer.

Kjell Elfström


31 oktober 1998 14.17.30
Jag har några frågor ang. Gauss. a) Hur kan man visa att alla vanliga primtal är/inte är gaussiska primtal?(Ma2000) b)Är alla gaussiska heltal vars norm är ett vanligt primtal också ett gaussiskt primtal? (Ma2000) c)Hur fungerar minsta kvadratmetoden? d) Hur kan man på enklaste sätt visa algebrans fundamentalsats?
Sandra

Svar:

a) T ex är 2 inget primelement i Z[i] ty 2 = (1 + i)(1 - i).

b) Antag att aa* = p, där p är ett primtal (primelement i ringen Z). Om a = bc så gäller att p = aa* = bc(bc)* = bb*cc* varför någon av bb* och cc* är 1, dvs b eller c är ett enhetselement i Z[i]. Av detta följer att a är ett irreducibelt element och eftersom man har entydig faktorisering i ringen av Gaussiska heltal är primelement och irreducibla element samma sak.

c) Se 3 oktober 1998 16.29.47.

d) Se 2 april 1997 13.47.56.

Kjell Elfström


30 oktober 1998 14.58.31
Jeg vil gerne have check på talsystemet ud over millioner, milliarder - hvad er en billion på dansk/svensk? på amerikansk? Hvad er en trillion, en trilliard osv
Rebecca Berntsen

Svar:

Triljard är inget räkneord och inte biljard heller (det är som bekant ett spel). Se 10 december 1997 12.35.49.

Kjell Elfström


30 oktober 1998 04.01.26
Hjälp! Jag har försökt att förklara för några av mina vänner att sannolikheten för att slå en sexa på en tärning är oberoende av tidigare resultat av tärningskast. Exempel : Jag slå med en tärning tio sexor i rad ( vilket är i och för sig ganska osannolikt ) Vad är då sannolikheten för att jag skall slå ytterligare en sexa ? Jag tycker det är ganska självklart att sannolikheten är 1/6 Men några av mina vänner hävdar att sannolikheten är < 1/6. Med motiveringen att eftersom det har blivit tio sexor i rad så måste sannolikheten minska att det blir ytterligare en sexa. Hjälp mig att förklara att dom har fel och jag har rätt
Torbjörn Nilsson

Svar:

Det är ett ganska vanligt missförstånd att tro att sannolikheten för att få en sexa sjunker bara för att man fått många sexor i rad. Ett skäl till detta kan vara att man vet att det är mycket ovanligt att få många sexor i rad och man därför drar slutsatsen att sannolikheten för att få ytterligare en sexa måste sjunka. Man blandar ihop den betingade sannolikheten att få en sexa givet att man fått n stycken sexor vilket är 1/6 med med sannolikheten att få n+1 sexor i rad vilket är (1/6)n+1.

Nu till mitt försök att övertyga dina vänner: En tärning har inget minne. Utfallet av ett tärningskast kan inte påverkas av resultatet av andra kast så sannolikheten att få en sexa är konstant och lika med 1/6.

Stefan Jakobsson


30 oktober 1998 00.01.52
Hej ! Kan ni bevisa Cauchys olikhet med hjälp av skalärprodukt. Dvs att ... (x1x2+y1+y2)² <=

((x1)²+(y1)²)*((x2)²+(y2)²)

Svar:

Det har smugit in sig ett fel i din formel. Olikheten skall vara

(x1x2+y1y2)2=<(x12+y12)(x22+y22) (*).

Låt a=( x1, y1) och b=( x2, y2). Skalärprodukten < a , b> definieras som <a , b>=x1x2+y1y2 och den uppfyller 0<=<v,v> (**) för alla vektorer v. Talet ||v||=<v,v>1/2 brukar kallas för normen eller längden av v. Speciellt gäller (**) för vektorn a+t b (där t är ett reellt tal som ska bestämmas senare)

0=<||a+t b||2=<a+t b,a+t b>=<a,a>+2t<a, b>+t2< b,b> (***).

Om b är nollvektorn dvs om x2 =0 och y2=0 så är (*) trivialt uppfylld eftersom båda sidorna är noll då. Om b ej är nollvektorn så är < b,b>>0 och vi kan kvadratkomplettera högerledet av (***)

0=< < b,b>((t+<a, b>/< b,b>)2+<a, a>/< b,b>-<a, b>2/< b,b>2).

Sätter vi in t=-<a, b>/< b,b> får vi efter några lätta omskrivningar Cauchys olikhet

<a, b>2=<<a, a>< b,b>.

Stefan Jakobsson


29 oktober 1998 18.12.06
Jag har läst i en bok att tangensfunktionen avbildar intervallet (-pi/2,pi/2) bijektivt på R. Jag är dock något skeptisk till detta för arctan är ju inte surjektiv på intervallet (-pi/2,pi/2). Har det betydelse om intervallet är öppet eller slutet? Jag är tacksam för ett svar som reder ut detta.
Andreas

Svar:

tan avbildar intervallet (-pi/2,pi/2) bijektivt på R och arctan avbildar R bijektivt på (-pi/2,pi/2).

Kjell Elfström


29 oktober 1998 01.10.44
En kvadrat med sidan r, säg 10 cm, innehåller två lika stora cirklar som inte överlappar varandra på något sätt. Cirklarna nuddar varandras tangenter och två sidor av rektangeln var. Vad är cirklarnas maximum area?
Peter Bengtsson

Svar:

Om cirklarna tangerar samma sida i kvadraten är radien R = r/4.

I annat fall är deras gemensamma tangent den ena diagonalen och tangeringspunkten den punkt där diagonalerna skär varandra. Låt d vara längden av kvadratens diagonal. Likformiga trianglar ger då att

d/r = (d/2 - R)/R
vilket ger att

R =dr/(2(d + r)) = r/(2 + sqrt(2)) > r/4.

eftersom d = r sqrt(2). De båda cirklarnas sammanlagda area är alltså pir2/(1 + sqrt(2))2.

Cirklar

Kjell Elfström


28 oktober 1998 21.34.31
När är (x-a) en faktor till polynomet a/ x²-2ax+4?, b/x³-6ax²+8a²x-3a³? vore tacksam för hjälp. Mackan.

Svar:

Enligt faktorsatsen så är (x-a) en faktor till ett polynom om och endast om a är ett nollställe till polynomet. Sätter vi x=a i första polynomet får vi

4-a2.

a måste alltså vara 2 eller -2 för att x-a skall vara en faktor till det första ploynomet. För det andra polynomet får vi 0 om vi sätter x=ax-a är alltid en faktor till detta polynom oberoende av a.

Stefan Jakobsson


28 oktober 1998 19.38.08
Hej! Jag skulle gärna vilja ha hjälp med två uppgifter. (1)-Funktionen f har udda symmetri (m.a.p. origo) och är periodisk med perioden 8. Man vet att integralen(0 till 4)f(x)dx=1. Beräkna integralen(-16 till -8)f(x)dx. (2)-Med samma förutsättningar som i föregående uppg. , vad blir integralen(-16 till -8) abs(f(x))dx. Tack på förhand.
COOP/98 (Mdh)

Svar:

Eftersom f är udda så är

integralen[-4 till 0] f(x)dx=-1.

f är periodisk med period 8 så har vi också att

integralen[-16 till -12] f(x)dx=integralen[0 till 4] f(x+(-2).8)dx=integralen[0 till 4] f(x)dx=1

och

integralen[-12 till -8] f(x)dx=integralen[-4 till 0] f(x+(-1).8)dx=integralen[-4 till 0] f(x)dx=-1.

Svaret på första frågan är summan av dessa integraler vilket är 0.

Integralen

integralen[-16 till -8] abs(f(x))dx

kan inte beräknas eftersom det inte är givet att f är positiv på hela intervallet 0 till 4.

Stefan Jakobsson


28 oktober 1998 15.37.05
Angående min fråga 20 oktober 1998 21.39.14: Svaret på en annan av mina frågor (7 maj 1998 08.37.07) om W-funktionen ger visserligen vid handen att serien Summa ( (-k)^(k-1)*e^(-k)/k! , k=1,...,inf ) divergerar men hur bevisar man det?
Bengt Månsson

Svar:

Summan faktiskt absolutkonvergent. För att visa detta nvänder vi Stirlings formel

k !=(2 pi)1/2 kk+1/2 e-k(1+O(1/k)).

Sätter vi in denna uppskattning i termerna ak= (-k)k-1e-k/k! får vi att absolutbeloppet av ak är

|ak|=(2 pi)-1/2 k-3/2/(1+O(1/k)).

Termerna |ak| är alltså av samma storleksordning om k-3/2 . Eftersom

summa[k=1 till oändligheten] k-3/2

är konvergent så ger jämförelsesatsen för serier att

summa[k=1 till oändligheten] (-k)k-1e-k/k!

är absolutkonvergent och därmed konvergent.

Stefan Jakobsson


27 oktober 1998 18.36.16
Kan man räkna ut att 2+2 blir 5 En kompis påstår detta
Robban

Svar:

Sådana formler är resultat av felslut. Sök efter sqrt(-1) för att se svaren till liknande frågor.

Kjell Elfström


27 oktober 1998 00.04.55
Hej jag håller på med självstudier i matte, och har fastnat: Om f(z)=z säger man att z är en fixpunkt till f. vad innebär detta, och man skall bestämma fixpungten till f(z)= z-4i/iz+1. och f(z)=3iz+5/z+i. Tacksam för hjälp och kanske en liten förklaring. Mackan
Mackan.

Svar:

Att z är en fixpunkt till f betyder definitionsmässigt att f(z) = z. För en rekursivt definierad talföljd

zn + 1 = f(zn)

innebär det att z är ett jämviktsläge. Startar man med z0 = z blir zn = z för alla n. En rekursivt definierad talföljd kan betraktas som en differensekvation och sådana är närbesläktade med differentialekvationer så fixpunkter förekommer i teorin för dessa också. Se Eric's Treasure Trove of Mathematics.

I ditt första exempel tror jag att du glömt vissa parenteser. Skall det möjligen vara

f(z) = (z - 4i)/(iz + 1) ?

Ekvationen f(z) = z är i så fall ekvivalent med

(z - 4i) = z(iz + 1) = iz2 + z <=> z2 = -4
så fixpunkterna är z = ±2i.

Kjell Elfström


26 oktober 1998 23.05.56
Hur kan man med så lite analys som möjligt visa att arcsin(y)>=y+y^3/6 om 0<=y<=1 ?
Ann

Svar:

Om f är en tre gånger deriverbar funktion och x>0 så säger Taylors formel att

f(y)=f(0)+f'(0)y+f''(0)y2/2+f(3)(x)y3/6.

där x ligger mellan 0 och y.

Om f(y)=arcsin(y) får vi

f'(y)=(1-y2)-1/2, f''(y)=y(1-y2)-3/2, f(3)(y)=(2y2+1)/(1-y2)-5/2

vilket ger

f'(0)=1, f''(0)=0, f(3)(x)>=1.

Sätter vi in detta i Taylors formel så får vi den sökta uppskattningen för 0<=y<=1.

Stefan Jakobsson


26 oktober 1998 16.30.19
Hej! Beträffande frågan som jag skickade 30 september 1998 17.19.37, så var det precis så långt jag hade kommit till problemet, så skulle Ni kunna hjälpa mig lite mer? MVH A.G.

Svar:

Här är en lösning av Pontus Andersson i Uppsala.

Enligt 30 september 1998 17.19.37 så är problemet ekvivalent med att bestämma vilka positiva heltal k som kan skrivas som en produkt av tal på formen (2a+1)/(a+1), där a är ett naturligt tal, och att detta är omöjligt då k är jämnt. Jag visar nu med induktion att varje udda positivt heltal kan skrivas på detta sätt.

För k=1 är det trivialt. (Tag antingen en faktor med a=0 eller ingen faktor alls.) Antag nu att k>=3 är udda och att varje mindre (udda) tal kan skrivas på önskat sätt. Låt m och n vara naturliga tal sådana att k+1=(2n+1)*2^m, och definiera a_j=(2^{j-1}-1)*2^{m-j+2}*(2n+1)-1, j=2,...,m+1. Alla a_j är naturligtvis positiva heltal. Det är lätt att kontrollera att talen (2^j-1)a_j/((2^{j-1}-1)a_{j+1}), j=2,...,m, och talet a_{m+1}/((2^m-1)(2n+1)) alla är på formen (2a+1)/(a+1). (Det är bara att kolla att täljaren=2*nämnaren-1.) Genom teleskopering ser man att produkten av dessa m tal är a_2/(2n+1)=k/(2n+1). Men det är lätt att se att 2n+1<k, ty k>1 och m>0 eftersom k är udda. Enligt induktionsantagandet kan därför 2n+1 skrivas som en produkt av tal på önskad form. Men då är ju k produkten av dessa tal och de m talen ovan. Klart!

Stefan Jakobsson


26 oktober 1998 16.25.52
Hej! Jag har haft ett problem ganska länge utan att ha kunnat lösa den. Det handlar om programmering i Maple: Vi har en funktion f som är definierad för alla positiva heltal n. Vi har f(1)=1, f(3)=3 f(4*n+1)=2*f(2*n+1)-f(n) f(4*n+3)=3*f(2*n+1)-2*f(n) Frågan nu är: Hur ser det programmet ut som kan visa PÅ EN ENDA GÅNG de positiva heltal n<=m, där m ska kunna väljas godtyckligt, som uppfyller villkoret f(n)=n? Och lite mer avancerat skall programmet också kunna skriva ut på skärmen hur många positiva heltal n<=m, som uppfyller villkoret ovan, nämligen f(n)=n. MVH A.S.G
A.S.G

Svar:

Du har glömt att definiera f för udda tal.

Stefan Jakobsson


26 oktober 1998 12.58.10
Finns det någon allmän formel för lösning av andragradsekvationer i det komplexa talplanet?
Fredrik Hansson

Svar:

För att lösa en andragradsekvation

z2+az+b=0

så är det lämpligt att kvadratkomplettera vänsterledet oavsett om a och b är rent reella tal eller ej

(z+a/2)2=a2/4-b.

Om a och b är reella tal och a2/4-b>=0 så kan vi använda den vanliga lösningsformeln som ger att z=-a/2 +-(a2/4-b)1/2. Om a och b är komplexa tal så kan man också använda denna formel om man tolkar (a2/4-b)1/2 som ett av de komplexa tal vars kvadrat är a2/4-b. Se 22 oktober 1997 16.01.13 för en metod att beräkna detta. Denna metod behandlas också i Anders Vretblads bok Algebra och kombinatorik.

Stefan Jakobsson


26 oktober 1998 12.51.57
Hur bevisar man att Fibonacciföljden ej är begränsad?
Gunnar Björklund

Svar:

Fibonaccitalen definieras av F0=F1=1 och Fn=Fn-1+Fn-2 för n>1. Följande enkla uppskattning innebär att Fibonaccitalen är obegränsade

Fn>=n, n=0,1,2,3,....

För att visa detta använder vi induktion. Vi ser direkt att det gäller för n=0, n=1 och n=2 (ty F2=2). Antag nu att påståendet gäller för alla positiva heltal mindre eller lika med n där n>=2. Då har vi

Fn+1=Fn+Fn-1 >=n+(n-1)>=n+1.

Påståendet gäller alltså för n+1 också. Induktionsprincipen ger att påståendet är sant för alla positiva heltal.

Det går även att beräkna en exakt formel för Fibonaccitalen som visar att de är obegränsade.

Stefan Jakobsson


26 oktober 1998 11.37.42
Hej, Jag håller på att försöka reda ut en s.k. kaotisk talutveckling. Jag gör det för att jag tycker det är kul, jag är inte matematiker (utan fabriksarbetare). Men det vore roligt att få synpunkter från någon matematiker som är intresserad av det här området. Jag vill inte ha något "facit" förrän jag har grubblat färdigt själv, utan än så länge bara veta om jag är på rätt väg eller helt ute och cyklar. Min utredning (som fortfarande pågår) finns på den här sidan: http://w1.882.telia.com/~u88202211/kaos.html .Varning: Det är hemskt mycket att läsa... m.v.h./Elzie
Elzie

Svar:

Som du har noterat så har f(x)=ax(1-x) två stycken fixpunkter 0 och g=(a-1)/a. En fixpunkt är attraherande (närliggande punkter dras in mot fixpunkten) om absolutbeloppet av derivatan är mindre än 1 där. Derivatan av f är f'(x)=a-2ax. Sätter vi in fixpunkterna 0 och (a-1)/a får vi

f'(0)=a och f'((a-1)/a)=2-a.

0är alltså attraherande fixpunkt då -1<a<1 och (a-1)/a är attraherande fixpunkt då 1<a<3(detta kan också se på de grafer som du plottat). Då a=3 så är g fortfarande en attraherande fixpunkt men konvergensen är väldigt långsam. När sedan a ökas till strax över 3 så dyker det upp punkter som har period 2 dvs f(f(x))=x för dessa punkter. g är fortfarande en fixpunkt men är nu repellerande medans andra punkter dras in mot punkterna med period 2. Detta kan man kontrollera genom att derivera f(f(x)) och kolla beloppet på derivatan i dess fixpunkter. Ökar man a ytterligare så får man punkter med period 4,8,16,... osv (perioden fördubblas). När a ligger någonstans vid 3,6 blir beteendet väldigt kaotiskt. Då finns det punkter med godtycklig period .

Du har funnit många av de fenomen som dyker upp vid iteration av den logistiska funktionen. Matematiker som forskar om kaotiska dynamiska system använder både simuleringar och teori i sina undersökningar. Ett bra teoretiskt verktyg för att studera fixpunkter och periodiska banor är derivata vilket jag rekommenderar att du använder dina i fortsatta studier.

I boken 'A First Course in Chaotic Dynamical Systems' av Robert L. Devaney, Addison Wesley, behandlas sådana här typer av frågeställningar utförligt.

Stefan Jakobsson


25 oktober 1998 21.57.00
Om u är harmonisk och u(r,theta)->0, r->oändl. så är u konstant=0. Detta är som bekant Liouvilles sats, men hur bevisar jag den?
Fredrik

Svar:

Låt (x0,y0) vara en punkt i talplanet. Då är u(x0,y0) medelvärdet av u på cirkeln med medelpunkt i (x0,y0) och radie r, dvs

u(x0,y0) = (1/2pi) integral[0,2pi](u(x0 + rcos t,y0 + rsin t)dt).

Låter vi r gå mot oändligheten följer det att u(x0,y0) = 0.

Vi kan också identifiera R2 med det komplexa talplanet och betrakta u som en funktion av en komplex variabel z = x + iy. Då är u = Re f där f är en analytisk funktion och påståendet följer av maximumprincipen. Om detta kan man läsa i varje elementär bok om analytiska funktioner.

Kjell Elfström


25 oktober 1998 16.18.07
Var kan jag hitta info om tidskriften "nämnaren" på nätet?
Anna Gäddlin

Svar:

Se Nämnaren.

Kjell Elfström


25 oktober 1998 13.47.57
Dela upp en cirkel i tre till ytan lika stora delar med en "T". Hur lång är "T"-ets stapel (vertikala del)? "t"-ets stapel går genom mittpunkten av cirkeln.
Jola Sigmond

Svar:

T:ets "tak" skall alltså dela cirkeln i förhållandet 2:1. Antag att cirkeln har radien 1 och att den är placerad i ett koordinatsystem så att medelpunkten hamnar i origo. Antag vidare att T:ets vertikala del sammanfaller med x-axeln och att taket skär x-axeln då x = a > 0. Då gäller att

integral[-1,a](sqrt(1 - x2)dx) = 2 integral[a,1](sqrt(1 - x2)dx).

Eftersom (1/2)(xsqrt(1 - x2) + arcsin x) är en primitiv funktion till integranden innebär detta att

3asqrt(1 - a2) + 3arcsin a = pi/2

och denna ekvation kan inte lösas exakt, uttryckt i elementära funktioner.

Kjell Elfström


25 oktober 1998 01.23.55
Hej! Om f(x)=arctanx Vad är då F(X), dvs den primitiva funktionen till f(x)? Tack!
Sven Eriksson, MEA

Svar:

Integrerar vi 1·arctan x partiellt får vi

xarctan x - integralen av (x/(1 + x2))dx.

Den senare är (1/2)ln(1 + x2) - C varför de primitiva funktionerna till arctan x är

xarctan x - (1/2)ln(1 + x2) + C.

Kjell Elfström


25 oktober 1998 01.03.05
Hej! Jag undrar hur gränsvärden varierar beroende på konstanter. Ex om man har: lim (sin(at))/t x->0 Hur varierar detta gränsvärde om a är ett positivt heltal? Tack på förhand!
Peter Karlsson

Svar:

Vi har att

(sin(at))/t = a·(sin(at))/(at)

och eftersom at går mot 0 då t går mot 0 följer enligt gränsvärdeslagarna att gränsvärdet är at går mot 0.

Läser jag frågan noga, ser jag att gränsvärdet då x går mot noll efterfrågas och detta är (sin(at))/t.

Kjell Elfström


24 oktober 1998 17.30.05
Tre lag ska göra upp om vem som är best. Två och två möts åt gången. Ett av lagen vinner alltid. Är det möjligt att få fram en vinnare där alla har lika stor chans att vinna? Alla kan ju möta alla, men då finns det en risk att alla lagen får en vinst och en förlust var. Om lag nr 1 och 2 möts och lag nr 3 möter vinnaren har ju lag nr 3 större chans att vinna totalt än lag nr 1 och 2.
Niklas Wahlström

Svar:

Om lagen skall mötas i ett i förväg bestämt maximalt antal matcher kan rättvisa inte uppnås. Utgångarna av matcherna för ett visst lag kan redovisas i ett träddiagram och sannolikheten för varje gren blir a/2k för några naturliga tal a och k. Summerar vi grenarna som leder till vinst får vi en sannolikhet b/2k där b också är ett naturligt tal. Att b/2k = 1/3 leder till att 2k är delbart med 3, vilket inte är fallet.

Problemet kan lösas, t ex genom att alla lag möter alla andra lag en gång. Skulle detta inte leda till ett avgörande upprepas det tills någon har vunnit. Sannolikheten att aldrig få ett avgörande är 0, men man känner inte i förväg till något maximalt antal matcher.

Kjell Elfström


24 oktober 1998 00.28.05
Jag har en fråga om svaret till frågan om matriser den 6 oktober. Där skriver ni att adjunkten till en matris är när man byter rader mot kolonner. Vad jag har för mig är det transponatet av en matris som gör det och adjunkten är en transponerad matris bestående av kofaktorer. Kommer jag ihåg fel? Sen undrar jag hur man räknar ut inversen med Cramer's regel. I vår lärobok står det att det är ett sätt att lösa ekvationssystem.
Anders

Svar:

Adjunkten till en matris A är den som förekommer i Cramers regel. Låt A vara en n×n-matris och låt dik vara determinanten av den (n - 1)×(n - 1)-matris som fås då rad i och kolonn k stryks i A. Adjunkten A~ är då den n×n-matris vars element i rad i, kolonn k är (-1)i + kdki. Det gäller att

AA~ = det(A)
varför

A-1 = (1/det(A))A~

om A är inverterbar.

Språkbruket vacklar något. På engelska är Adjoint Matrix en sådan matris som avses i frågan den 6 oktober 1998 14.13.10. Denna typ av matris hör samman med begreppet adjungerad operator och kan kallas adjungerad matris.

Kjell Elfström


23 oktober 1998 12.45.41
Hej, Två bröder har en cirkelformad gräsmatta och den en broderns get skall få beta av hälften av gräsmattans yta. Brodern binder sin get vid en stolpe i gräsmattans/cirkelns ytterkant. Hur långt skall snöret som geten binds men vara för att den skall kunna beta av halva ytan? "Får inte till det"
Allan

Svar:

Se svaret på frågan den 6 oktober 1998 19.37.55.

Kjell Elfström


22 oktober 1998 16.11.02
I SÖ:s Matematikterminologi i skolan står det att kvadratroten ur ett tal är a det positiva tal vars kvadrat är a. I nationalencyklopedien står att kvadratroten är både det positiva och det negativa talet. Vad är det som gäller ?
Göran Roth

Svar:

Kvadratroten av ett icke-negativt tal a är det icke-negativa tal vars kvadrat är a och det är detta som rottecken betyder.
Ordet rot betyder också lösning till en ekvation och detta kan vara något förvillande. Exempelvis har ekvationen (x - 5)(x - 3)(x + 1) = 0 rötterna x = 5, x = 3, x = -1. Ekvationen x2 = a, där a är positivt, har rötterna x = sqrt(a) och x = -sqrt(a). (sqrt(a) står för kvadratroten av a och är den engelska förkortningen av square-root.)

Björn Samuelsson


22 oktober 1998 15.12.08
Hej! Jag vill fördjupa mig i ämnet p-adiska tal men har problem med att hitta material. Finns det nådon i södra Sverige som har forskat på området? Tacksam för råd och tips! Tack på förhand.
Katarzyna Grabowska e-mail: p98kgr@matematik.su.se

Svar:

För en beskrivning av p-adiska tal, se Eric's Treasure Trove of Mathematics. Ytterligare referenser är
Borevich, Shafarevich: Number theory, Acad. Press 1966
Lang: Algebraic numbers, Springer 1986
Weil: Basic number theory, Springer 1974.

P-adiska tal används bl a vid studiet av lösningarna till diofantiska ekvationer. Ett nödvändigt villkor för att ekvationen

F(x1,x2,...,xn)=0,
där F är ett polynom med heltalskoefficienter, skall ha en heltalslösning är att den är lösbar i ringen av p-adiska tal för alla primtal p. Frågan om och under vilka förutsättningar detta är ett tillräckligt villkor är ett forskningsämne inom den moderna talteorin.

Jag känner inte till om någon i södra Sverige forskar om p-adiska tal.

Kjell Elfström


21 oktober 1998 17.15.22
Hur räknar man ut volym och area av en lökkupol?
Kalle

Svar:

För att kunna detta måste man känna till formen av kupolen. Lökar förekommer som bekant i många olika former. Om man tänker sig att löken ligger ner, med rot och spets på x-axeln och om den är symmetrisk, kan den fås genom att man roterar en kurva y = f(x), a < x < b, kring x-axeln. Volymen är integralen från a till b av pi (f(x))2dx.

Kjell Elfström


21 oktober 1998 14.21.45
Finns det någon litteratur som handlar om matematik på skolgården och/eller i närmiljön??
Marika Larsson

Svar:

Tyvärr kan jag inte så mycket om detta. Hör med någon lärarhögskola.

Kjell Elfström


21 oktober 1998 12.13.23
a) Har Ni något lättförståeligt bevis för Fermats Stora Sats? b) Hur lyder Fermats Lilla Sats och hur bevisas den?
Daniel Klevebring, Södra Latins Gymnasium

Svar:

a) Nej. Vi har fått ett antal frågor om Fermats stora sats. Sök på Fermat för att se svaren på dessa.

b) Fermats lilla sats säger att om p är ett primtal är ap - a delbart med p. Detta är ekvivalent med att ap - 1 är kongruent med 1 (mod p) om a inte är kongruent med 0 (mod p). Eftersom den multiplikativa gruppen i Zp har p - 1 element är p - 1 delbart med ordingen av elementet a, varav påståendet följer. Man kan också bevisa satsen med induktion över a. Till detta är kunskap om binomialsatsen värdefull.

Kjell Elfström


20 oktober 1998 21.39.14
Konvergerar serien Summa ( (-k)^(k-1)*e^(-k)/k! , k=1,...,inf ) ? Serien är potensserien för Lamberts W-funktion, i punkten z=1/e på randen av konvergenscirkeln.
Bengt Månsson

Svar:

Se svaret på frågan den 7 maj 1998 08.37.07.

Kjell Elfström


20 oktober 1998 13.19.22
Hva gjør man når man må ta del i et matematik kurs foor å få studiekompetanse, og ikke skjønner noen ting av opgavene og motivasjonen er under frysepunktet?? Jeg trengerr råd om studieteknikk og jegg trenger motivasjon!!

Svar:

Jag rekommenderar dig att ta kontakt med en studievägledare på din institution eller skola.

Kjell Elfström


20 oktober 1998 13.14.29
Hej. Är ett oändligt litet tal verkligt - dvs finns det. T.e.x vid gränsvärden - man låter något gå mot noll - oändligt litet. Vänligen Sven E Larsson
Sven E Larsson

Svar:

Både ja och nej.

Analysens grundare tänkte sig nog derivator som kvoter mellan två tal som var oändligt små men ändå inte 0. Sådana "tal" kallades infinitesimaler. Man fick senare en ordentlig definition av gränsvärde där det inte fanns något behov av begreppet oändligt litet tal. När man säger att sin x/x går mot 1 då x går mot 0, menar man bara enligt den definitionen att bara x är tillräckligt nära 0 (men inte lika med 0) kan sin x/x fås godtyckligt nära 1.

På 1960-talet utvecklades så kallad Nonstandard Analysis i vilken de reella talen utvidgades till att innehålla även infinitesimaler. Se Eric's Treasure Trove of Mathematics.

Kjell Elfström


20 oktober 1998 09.46.13
Jag skulle vilja ha lite information om hur man definierar och räknar på dubbel- & trippelintegraler!
alexander.eriksson@forsmark.uu.se

Svar:

Tanken är ju att, för en positiv funktion f av två variabler, integralen av f(x,y)dxdy över ett område K i planet skall vara volymen av området mellan området och funktionens graf. Definitionen går ut på att approximera funktionen med funktioner som är konstanta på intervall (dvs rektanglar). Volymen under grafen till sådana är ju enkel att bestämma. Integralen fås sedan genom en gränsvärdesprocess, där man gör allt bättre approximationer.

Om området K är ett intervall [a,b]x[c,d] kan man ofta beräkna I = integralen av f(x,y)dxdy över K genom successiva enkelintegrationer:

I = integral[c,d](integral[a,b](f(x,y)dx)dy).

Om t ex f(x,y) = 1 + xy och K =  [0,1]x[2,3] blir den inre integralen

integral[0,1](1+xy)dx = [x + x2y/2]01 = 1 + y/2

och den yttre integralen alltså

[y + y2/4]23 = 9/4.

Definitionen av tripelintegraler görs på liknande sätt och beräkningen utföres genom tre successiva enkelintegrationer.

Om den exakta definitionen kan man läsa om i de flesta grundläggande böcker som behandlar analys av funktioner av flera variabler.

Kjell Elfström


19 oktober 1998 21.12.32
Hur löser man en kaosekvation av första graden egentligen? Alltså en av de fem kaosekvationer som bygger upp den första elementära kaosteorin (bla hur stjärnor och galaxer hamnar i univerum, och hur jämvikt kan skapas ur kaos och vice versa)? 2) Hur bevisar man den andra kaosekvationen egentligen? Jag har försökt härleda bitar av relativitetsteorin men det är för svårt!!! 3) Om man hat tre rullband på varandra, och låter det ena rullbandet ha hastigheten 0,5i där i är ljusetshastiget, och låter sedan den andra bandet ha dubbelt så hög hastighet¨på det första bandet, och slutligen låter det sista bandet ha ytterliggare dubbelt så hög hastighet på det andra bandet, hur hög hadtighet får då det sista bandet. Banden är olika långa.
Isaac

Svar:

Tyvärr besitter jag inte de nödvändiga kunskaperna. Du kunde kanske vända dig till Ask a Physicist.

Kjell Elfström


19 oktober 1998 19.09.31
För Riemanns "upptäckt" - det "tredimensionella sfäriska rummet" (Einsteins benämningar) med radien R, ges volymen (också enligt Einstein) av denna formel: 2**^2*R^3. Hur kom Riemann fram till just denna formel?
Åke Hedberg

Svar:

Jag ber att få hänvisa till någon bok om differentialgeometri, t ex J.A. Thorpe: Elementary Topics in Differential Geometry.

Kjell Elfström


19 oktober 1998 10.41.10
En vattentank har formen av en rak cirkulär cylinder. Diametern är 1,24 m och höjden 2,44 m. Tanken ligger på sidan så att de cirkulära basytorna är vinkelräta mot horizontalplanet. Den fylls med en hastighet av 0,0045m3 per sekund. Hur snabbt stiger vattennivån i tanken i det ögonblick som vattendjupet är 0,32m?
Marko

Svar:

Tankens radie är 1,24 m / 2 = 0,62 m och vattenytans avstånd till cylinderns centrum är 0,62 m - 0,32 m = 0,30 m. Låt b m vara vattenlinjens längd längs cirklarna i cylinderns ändar. Då ger pythagoras sats 0,622 = 0,302 + (b/2)2 och vi får b = 2 sqrt(0,622 - 0,302) = 1,085. Detta ger att vattenytans area är 1,085 m * 2,44 m = 2,647 m2. Just det ögonblick när vattenytans höjd är 0,32 m fördelas alltså det påfyllda vattnet över denna yta. Då får vi att vattenytan stiger med hastigheten 0,0045  m3/s / (2,647 m2) = 0,0017 m/s = 1,7 mm/s.

För att verifiera det sista steget i beräkningarna kan man räkna på vad som händer under den korta tidsperioden t s. Då tillförs t * 0.0045 m3 vatten och när denna volym är liten kan den approximeras med ett rätblock med basytan 2,647 m2. Då är rätblockets höjd t * 0.0045 / 2,647 m. Hastigheten vattenytan har stigit med är då t * 0.0045 / 2,647 m / (t s) = 0.0045 / 2,647 m/s = 0,0017 m/s.

Björn Samuelsson


18 oktober 1998 21.48.33
Hej! jag undrar hur man beräknar flödet hos en fläkt för ex. ventilation av datorlådor mm. När jag har tittat i ELFA-katalogen och räknat på en fläkts area, tjocklek/stigning och varvtal så får jag ett svar som ligger långt under deras spec. varför ???
Christofer Lundblad

Svar:

Jag hänvisar till Fråga vetenskapen om fysik.

Kjell Elfström


18 oktober 1998 19.12.57
Följande förmodan är närbesläktad med Fermats sista och abc-förmodan: Låt a,b och c vara tre parvis relativt prima positiva heltal. Då finns det högst en uppsättning heltal x,y och z ; x>1,y>1,z>1 sådana att a^x+b^y=c^z. Finn ett motexempel eller hänvisa till literatur.
Andreas Björklund

Svar:

I Notices of the American Mathematical Society, volume 44, nr 11, finns Beals förmodan omnämnd. Den säger att ekvationen

ax + by = cz

inte har någon lösning i positiva heltal a, b, c, x, y och z där x, y och z är minst 3 och a, b och c är parvis relativt prima. Bankmannen Beal utlyste ett pris på 5000 dollar till den som kunde lösa problemet. Detta pris skulle sedan öka med 5000 dollar per år upp till högst 50000 dollar tills problemet är löst. Jag känner tyvärr inte till mer om detta.

Kjell Elfström


17 oktober 1998 22.04.25
Jag undrar om jag skulle kunna få hjälp med att finna lämplig litteratur för ett specialarbete i matematik E-kurs (gymnasie) om Trigonometriska Fourierserier.
Fredrik Nilsson

Svar:

En bok jag kan tänka mig att rekommendera är Joseph Weaver: Applications of Discrete and Continuous Fourier Analysis, Wiley 1983.

Kjell Elfström


17 oktober 1998 20.46.17
Hej. Jag har en fråga. Jag skulle vilja ha ett bevis för problemet: Visa att näst sista siffran i 3^n alltid är en jämn siffra om n är ett positivt heltal som är större eller lika med noll.
Daniel Klevebring, Södra Latins Gymnasium

Svar:

För att lösa det här problemet är det lämpligt att använda sig av kongruensräkning. Se svaret till frågan 12 maj 1997 10.06.07 för att få en introduktion i kongruensräkning.
HTML stöder inte kongruenstecken och jag har därför använt vanliga likhetstecken. Följder av likhetstecken som följs av (mod 20) ska bytas ut mot kongruenstecken.
Ett positivt heltal t kan skrivas som 100A + 10b + c där A är det talet man får om man stryker entals och tiotalssiffran, b är tiotalssiffran och c är entalssiffran. Om b är udda så kan b skrivas b = 2d + 1 och vi har

= 100+ 10c =10= 10(2d + 1) + c = 10 + c (mod 20)

eftersom 100 = 20 = 0 (mod 20). Eftersom c är ett tal mellan 0 och 9 så ger det att t är kongruent ett tal mellan 10 och 19 (mod 20) om b är udda. Detta ger att om t inte är kongruent med något tal mellan 10 och 19 (mod 20) så måste b vara jämt. Två olika tal mellan 0 och 19 kan aldrig vara kongruenta (mod 20) och detta ger att om t är kongruent med ett tal mellan 0 och 9 (mod 20) så är tiotalssiffran b jämn. Det gäller alltså att visa att 3n alltid är kongruent med något tal mellan 0 och 9. Vi testar med några låga n.

30 = 1 (mod 20)
31 = 3 (mod 20)
32 = 9 (mod 20)
33 = 7(mod 20)
34 = 1 (mod 20)

Man ser att 3n är kongruent med något tal mellan 0 och 9 för 0 <= n <= 3. Dessutom går det, med hjälp av division, att välja q och r där 0 <= r <= 3 så att n = 4q + r och det ger

3= 34r = (34)*3r = 1*3r = 3r (mod 20)

Alltså 3 = 3r (mod 20) för något r, 0 <= r <= 3. Detta ger att 3n är kongruent med något tal mellan 0 och 9 för alla n. Enligt ovanstående resonemang leder detta till att tiotalssiffran är jämn, vilket skulle visas.

Björn Samuelsson


17 oktober 1998 17.41.46
Oj en fråga till. Det är faktiskt ett problem som jag har, vilket handlar om matematik. Jag funderar på att läsa civil -Teknisk Fysik, men har faktiskt små funderingar på att läsa ngn helt matematisk utbildning, som sträcker sig över några år. Att läsa en j-vla massa matte med andra ord. Skulle detta innebära att jag är "fast" på universitetet för all framtid, eller finns det faktiskt arbete för högutbildade matematiker, alltså de som "inte kan annt än att räkna",ute i arbetslivet. Skulle vara tacksam för ett svar på min kanske lite annorlunda fråga. Jag vet att man kan fråga SYO-konsulenter oxå, men jag tänkte att det vore bättre att fråga en matematiker.
Ande

Svar:

Arbetsmarknaden utanför universitet och högskolor är begränsad om man endast har läst matematik. Är man intresserad av matematik kan man kanske tänka sig att kombinera metematikstudierna med studier av matematisk statistik och datalogi, ämnen som ligger matematiken nära, och då finns en god arbetsmarknad.

Kjell Elfström


17 oktober 1998 17.32.50
Jag vet vad en integral är, men jag har hört om dubbelintegraler eller var det trippelintegraler. Helt enkelt, vad är det. Skulle ni kunna visa ngt problem vilket man enklast löser genom att använda ngn dubbel/trippel- integral. Hoppas inte frågan blev för luddig. ;-)
Andreas

Svar:

Dubbelintegraler och trippelintegraler skriver man med dubbla respektive tredubbla integraltecken. Området man integrerar över i nedanstående exempel skriver man under det sista integraltecknet.
I en enkal integral integrerar man som bekant över en variabel och får ytan under den integrerade funktionens graf. I en dubbelintegral integrerar man över två variabler och den kan skrivas dubbelintegral[D] f(xydxdy, där D är ett område i xy-planet. Detta betyder att man integrerar funktionen f(x, y) över området D. Om man ritar upp ytan z = f(x, y) i ett tredimensionellt koordinatsystem så ger dubbelintegral[D] f(xydxdy volymen av det område mellan den uppritade ytan och xy-planet där (x , y) ligger i D.
På motsvarande sätt integrerar man över tre variabler i en trippelintegral som kan skrivas trippelintegral[D] f(xyzdxdydz, där D är ett område i rummet. Här är det lite svårare att göra samma tolkning som för dubbelintegralen. Det kräver nämligen att man tänker sig 4 dimensioner. I stället kan man tänka sig att man har ett föremål som täcker upp området D, och som inom detta område har densiteten f(xyz) i (xyz). Då ger trippelintegral[D] f(xyzdxdydz förmålets vikt. Dubbel- och trippelintegraler kan för övrigt skrivas med övre och undre gränser, på samma sätt som enkla integraler. Då är gränserna på det innersta integraltecknet gränserna för den innersta variabeln och motsvarar att man skrivit enkla integraler i varandra.

Följande svar på tidigare frågor innehåller dubbel- och trippelintegraler:
13 september 1998 18.12.22, 13 maj 1998 16.11.02, 21 januari 1998 09.08.43, 17 juli 1997 14.12.45, 16 april 1997 12.30.24.

Björn Samuelsson


17 oktober 1998 16.43.39
Hur bestämmer jag en vektor längs linjen 2x-4=y+1=x och linjen x-y+3z=8 då z=2?
Peter

Svar:

I det första fallet med linjen 2- 4 = + 1 = x får vi börja med att lösa ekvationen 2- 4 = x och vi får = 4. Då ger + 1 = x att = 3. x och y är alltså konstanta och det är bara z som kan variera. Alltså är en vektor längs linjen (xyz) = (0, 0, 1).
I det andra fallet bestäms linjen av + 3z = 8 då = 2. Först sätter vi in = 2 i ekvationen + 3= 8, så vi får + 6 = 8 som ger x  = 2 + y. Vi kan sätta y = 0, och får då x = 2. Om vi istället sätter y = 1, så får vi x = 3. Vi har också = 2 Punkterna (2, 0, 2) och (3, 1, 2) ligger alltså på linjen och en vektor läns linjen är (xyz) = (3, 1, 2) - (2, 0, 2) = (1, 1, 0).

Björn Samuelsson


16 oktober 1998 19.25.04
Frågan om för vilken vinkel man kan se jorden från ett rymdskepp , skall svaret vara 122 grader. B uppgiften ska vara 6378 km.

Svar:

Se frågan den 12 oktober 1998 17.09.34. Jag utgår från svaret för att beräkna rymdskeppets höjd, för att sedan visa hur man löser uppgiften i rätt ordning. h km får vara rymdskeppets höjd över jorden. Vinkeln ska vara 122 grader för hela jorden och då är vinkeln mellan jordens medelpunkt och horisonten hälften så stor, 61 grader. Om man står på en punkt på jorden, som ser ut att vara jordens horisont sett från rymdskeppet, så ser rymdskeppet ut att befinna sig vid horisonten (om vi låtsas att man kan se rymdskeppet därifrån). Denna punkt bildar alltså en rätvinklig triangel med jordens medelpunkt och rymdskeppet. Avståndet mellan rymdskeppet och jordens medelpunkt är h km + 6378 km och avståndet mellan jordens medelpunkt och den valda punkten är 6378 km, så vi får.

sin 61o = 6378/(h + 6378)
h + 6378 = 6378/sin 61o
h = 6378/sin 61o - 6378 = 914.3

Rymdskeppet är alltså 914 km över jorden.
För att beränkna vinkeln om man vet att höjden är 914 km löser man ut den sökta vinkeln v ur

sin(v/2) = 6378/(914 + 6378)
och får
v = 2*arcsin(6378 / 7292)

Björn Samuelsson


16 oktober 1998 18.18.23
Jag undrar om det finns något sätt att räkna ut följande integral utan att behöva göra ett gäng partiella integrationer: integral (från 0 till 10) ((0.5)**6)*(x**5)*(exp(-x/2))/5! och hur det i så fall går till
Jonas

Svar:

Det går på flöljande sätt:
Först kan man bli av med lite trista konstanter genom att göra en variabelsubstitution med x = 2t.
Då gäller dx = 2dt och vi får

integral[0 till 10]  0.56 x5 e-x/2/5! dx =
= integral[0 till 5]  0.56 (2t)5 e-(2t) /2/5! 2dt =
= integral[0 till 5] t5/5! e-t dt

Låt F(t) vara en primitiv funktion till t5/5! e-t. Man kan ana att e-t ingår i alla termer i F(t). Därför är det rimligt att integralen blir lättare att beräkna om vi antar att vi har en funktion g(t), sådan att F(t) = g(t)e-t. Då gäller enligt derivatan av en produkt:

t5/5! e-t = F'(t) = g(t)(-e-t) + g'(t)e-t = (-g(t) + g'(x))e-t som ger
t5/5! = -g(t) + g'(t)

Nu gäller det att bestämma g(t). Derivatan av t5/5! är t4/4!, så om en term i g(t) är -t5/5! så måste -t4/4! finnas med för att ta ut derivatan av -t5/5!. Såhär kan man fortsätta resonera. Vi testar med

g(t) = -t5/5! - t4/4! - t3/3! - t2/2 - t - 1 som ger
g'(t) = -t4/4! - t3/3! - t2/2 - t - 1 och vi får
-g(t) + g(t) = t5/5!

Alltså uppfyller g(t) det villkor som vi kräver och då gäller F(t) = g(t)e-t = (-t5/5! - t4/4! - t3/3! - t2/2 - - 1)e-t och vi får

integral[0 till 5]  t5/5! e-dt = F(5) - F(0) =
= (-55/5! - 54/4! - 53/3! - 52/2 - 5 - 1)e-5 - (-1)e0 =
= 1 - (55/5! + 54/4! + 53/3! + 52/2 + 5 + 1)e-5 =
= 1 - 1097/12 e-5

Detta är lika med värdet av den första integralen och resultater är alltså 1 - 1097/12 e-5 som avrundat till decimaltal blir 0.384039345167.

Björn Samuelsson


15 oktober 1998 18.41.33
Vi har problem att hitta material om sannolikhetsteorins utveckling, skulle ni kunna rekommendera någon bok eller hemsida om detta??
Linda Andersson

Svar:

På sidan History of Propability and Statistics (Clark University) finns boktips och Matematisk statistik - länkar (KTH) kan vara något.

Björn Samuelsson


15 oktober 1998 17.12.13
I min matematiklärobok sägs det att ekvationen x=x gäller för alla reela x-värden. Borde inte rimligtvis även de icke-reela talen vara lika stora som sig själva?
Viktor Blåsjö

Svar:

Jo, det stämmer, x gäller alltid, även för icke-reella tal.

Björn Samuelsson


15 oktober 1998 10.31.19
Hej! Ska vill gärna veta lite om OC-kurva. Hur får man fram AOQL-värde mm?
Kent

Svar:

När man gör kvalitetskontoll av ett parti varor så har man olika metoder för att med hjälp av att slumpvis välja ut ett antal varor att testa, bestämma om partiet ska accepteras eller inte. Man utgår då från att en viss andel defekta varor är acceptabel. Denna andel kallas AQL. Det enklaste sättet att testa ett parti varor går ut på att man testar ett bestämt antal slumpmässigt utvalda varor och om antalet defekta varor i testet inte är högre än ett bestämt värde så accepterar man partiet, annars inte. Detta är en ganska ineffektiv metod. I stället kan man börja med att testa ett litet antal varor och om det behövs testa fler på följande sätt:

Om antalet defekta enheter är under en undre gräns så accepteras partiet.
Om antalet defekta enheter är över en övre gräns så accepteras partiet inte.
I annat fall så görs ett nytt test där fler slumpmässigt utvalda varor ingår.
Såhär fortsätterman tills det är bestämt om partiet ska accepteras eller inte.

En OC-kurva visar hur stor sannolikheten är för att ett parti skall gå igenom kontrollen som funktion av andelen defekta varor. En AOQ-kurva visar den genomsnittliga andelen defekta varor som går igenom kontrollen som funktion av den inkommande andelen defekta varor. Man får AOQL värdet genom att ta den högsta punkten på AOQ-kurvan. AOCL-värdet är alltså ett mått på hur stor andel defekta varor som i värsta fall kan väntas gå igenom kontrollen.

För mer information se Quality Control, J E Beasley (Imperial College Management School) .

Björn Samuelsson


15 oktober 1998 08.21.45
Hur löser man följande fråga som jag tycker är ganska intressant: "Du har ett oändligt antal smörpaket som innehåller: 20 gram, 41 gram (jepp det stämde 41 gram), 50 gram, 100 gram, 500 gram samt 1000 gram. Nu undrar jag på hur många sätt man kan kombinera sådana här smörpaket så att man får fram 1700 gram smör?
David

Svar:

Alla smörpaket utom det på 41 gram har en vikt i gram som är delbar med 10. För att man då ska kunna få en total vikt som är delbar med 10 så måste alltså den sammanlagda vikten av smöret i 41-grams paket också vara delbar med 10. Då måste antalet 41-grams paket vara delbar med 10 och vi kan paketera ihop varje tiotal av dessa till ett 410-grams paket. Nu ser vi att antalet paket på 410, 500, och 1000 gram inte kan vara särskilt många om den sammanlagda vikten inte ska överskrida 1700 gram, så vi kan gå igenom alla möjligheter för dessa.

Summa       Vikt kvar till 1700 gram
0                   1700
410                 1290 
410*2 = 820          880
410*3 = 1230         470
410*4 = 1640          60
500                 1200
500+410 = 910        790
500+410*2 = 1320     380
500*2 = 1000         700
500*2+410 = 1410     290
500*3 = 1500         200
1000                 700
1000+410 = 1410      290
1000+500 = 1500      200

Nu gäller det att hitta ett uttryck för på hur många olika sätt den återstående vikten kan fås med paket på 20, 50 och 100 gram.
Antag att den återstående vikten är 100k där < 100, och man har a st 20-grams paket, b st 10-grams paket och c 100-grams paket. Då gäller 100= 20+ 50+ 100c. Variera nu a och b medan de andra variablerna hålls konstanta.
100(c) + k = 20+ 50b
För de återstående vikterna i ovanstående tabell gäller att k är 0, 60, 70, 80 eller 90.
När k är 0, 60 eller 80 är vänsterledet delbart med 20 och då måste b vara jämt. Man ser att b får vara alla jämna tal från 0 till 2*(c). Det är + 1 st tal.
När k är 70 eller 90 är vänsterledet inte delbart med 20 och då måste b vara udda. Man ser att b får vara alla udda tal från 1 till 2*(c) + 1. Det är + 1 st tal.
Alltså finns det + 1 olika sätt att välja a och b för varje c. c får vara varje heltal från 0 till n. Då är det totala antalet möjligheter (- 0 + 1) + (-1 + 1) + (- 2 + 1) + ... + (- n + 1 ) = (+ 1)((- 0 + 1) + (- n + 1))/2 = (+ 1)(+ 2)/2 enligt formeln för den aritmetiska summan. Då återstår det att lägga ihop dessa möjligheter utifrån tabellen över återstående vikter.

n      Antal sätt att        Antal möjligheter
       få aktullt n
0          1                     1*2/2 =   1
2          4                   4*3*4/2 =  24  
3          1                     4*5/2 =  10  
4          1                     5*6/2 =  15  
7          3                   3*8*9/2 = 108  
8          1                    9*10/2 =  45   
12         2                 2*13*14/2 = 182
17         1                   18*19/2 = 171

SUMMA:                                   556

Antalet sätt man kan få 1700 gram smör är alltså 556.

Björn Samuelsson


15 oktober 1998 07.37.58
Hej! :) Antag att jag ger en slumpartad följd av tal. Antalet tal i följden är begränsat till några miljoner. Talen är alltid mellan 0 och 255. Går det nu att ta fram en formel så att den givna följden kan återskapas? (De tal som formeln producerar efter den givna följden är ointressant.) Min intuition säger att det är möjligt och att man dessutom kan hitta godtyckligt många formler som ger följden. Min följdfråga blir då: Kan denna formel alltid göras liten i förhållande till följden? Vad jag menar med detta är att om följden upptar några tusen A4 sidor ska formeln som ger denna följd kunna skrivas ner på en handfull A4 sidor. tack på förhand!
Paul Draaisma

Svar:

Det är riktigt att man kan hitta godtyckligt många formler som ger en sådan följd. Man kan exempelvis göra på följande sätt med en följd av n tal:

Kalla talet nummer k i följden för sk.
Välj ett tal tk för varje sk så att resten av tk/256 är sk. Godtyckligt många värden duger alltså till tk.
Bestäm en term för varje k mellan 1 och n:

   (x-1)(x-2)(x-3)...(x-(k-1))(x-(k+1))(x-(k+2))(x-(k+3))...(x-n)
tk*                                                              
           
(k-1)(k-2)(k-3)...(1)(-1)(-2)(-3)...(k-n)             

När x är ett heltal mellan1 och n som inte är lika med k, så är en faktor i täljaren noll och då är hela termen är noll. När k så svarar varje faktor i täljaren mot en i nämnaren, så att de tar ut varandra och termen är lika med tk.
Lägg nu ihop dessa n st termer.
Resultatet är en formel som efter att alla multiplikationer har utförts och alla termer adderats ihop, kan skrivas.

an-1*xn-1 + an-2*xn-2 + ... + a2*x2 + a1*x + a0       där a0, a1, a2, ... , an-1 är rationella tal.

För att få fram sk sätter man in k i formeln, dividerar värdet man får med 256 och ser vilken rest man får.
Även om en sådan formel ibland kan bli mycket kort så går det inte att hitta någon metod som ger korta formler för alla slumpmässiga talföljder.
Om vi har en följd av n tal och varje tal är ett heltal mellan 0 och 255 så kan följde se ut på 256n olika sätt och det ska vi kunna representera med någon form av teckenföljd/talföljd med 256 olika tecken/tal att välja mellan. Om vi får ha högst m tecken så är antalet följder vi kan åstadkomma:

1 + 256 + 2562 + 2563 +... + 256m = (256m+1 - 1)/(256-1)

Likheten ges av formeln för den geometriska summan.
Detta måste vara minst lika med antalet följder som kan dyka upp och vi har

(256m+1 - 1)/255 >= 256n

Det ger 256m+1 > 256n och m +1 > n
Alltså gäller m >= n och vi måste tillåta minst n stycken tecken i formeln för att kunna få med alla kombinationer.

Björn Samuelsson


14 oktober 1998 22.40.16
Vet du var jag kann finna internettsidor som jag kann finna noget om flickor och matematik
Torunn

Svar:

Möjligen kan Biographies of Woman Mathematicians (Agnes Scott College, USA) vara något.

Kjell Elfström


14 oktober 1998 17.31.09
Hejsan jag har en fråga... Hur kommer det sig att frigolit nästan rent av försvinner när man lägger det i Acceton?
Martin Johansson

Svar:

Detta är snarare en fråga för Fråga Gilbert om kemi.

Kjell Elfström


13 oktober 1998 14.15.46
Hej! Jag bara undrar hur det går för Kjell att lösa frågan för tippsproblemet från 27sept 00.46.57? Kan man använda nån form av Hamming-kod eller Golay-kod för att lösa detta? Hälsningar,
Magnus

Svar:

Problemet är mig veterligen inte löst. Problemet att med ett minimalt antal rader garantera att man får 12 rätt är däremot löst. Det räcker med 310 rader. Allmänt är problemet löst då tipset består av n = (1/2)(3r-1) matcher och man vill försäkra sig om n-1 rätt. Det krävs då 3n-r tippade rader. Det är Hammingkoder som används i detta sammanhang. Se Normat 39, 1991.

Kjell Elfström


12 oktober 1998 23.30.04
Jag vill bestäma inf B och sup B om B={k(k+1)/(k+2)(k+3) ; k tillhör N} Hur gör jag detta? Tack på förhand!
Linda

Svar:

Observera att N = {0, 1, 2, ...}. Man kan lätt visa att

0 <= k(k+1)/(k+2)(k+3) <= 1 då k tillhör N. Eftersom 0 tillhör B ( sätt k = 0), Så är 0 minimum av B och speciellt så fås det att inf B = 0. Dett gäller alltså att visa sup B = 1. Vi kommer att visa att för alla e > 0, existerar l i N så att l(l+1)/(l+2)(l+3) >1 - e.

l(l+1)/(l+2)(l+3) >1 - e är ekvivalent med

(l2 + l+ 4l + 6 - 4l -6) / l2 + 5l + 6 > 1 - e

1- (4l + 6) /(l2 + 5l + 6) > 1 - e ,

(4l + 6)/(l2 + 5l + 6) < e. Vidare har vi,

(4l + 6)/(l2 + 5l + 6) < (4l + 6)/l = 4 + 6/l. Om nu

4 + 6/l < e d.v.s l > 6/(e-4) så är (4l + 6)/(l2 + 5l + 6) < e som var ekvivalent med l(l+1)/(l+2)(l+3) >1 - e. För varje e > 0 kan man alltså välja ett l i N så att l(l+1)/(l+2)(l+3) >1 - e. Vi är därmed klara.

Wolfgang Staubach.


12 oktober 1998 23.09.36
Hur visar man att skärningen av ett godtyckligt antal slutna mängder samt unionen av ett ändligt antal slutna mängder alltid är slutna?
Andreas

Svar:

Man vet av definitionen att unionen av ett godtyckligt antal öppna mängder samt skärningen av ett ändligt antal öppna mängder är alltid öppna. En mänd är sluten om och endast om des kompliment är öppen. Påståendet följer nu omedelbart av de Morgans lagar.

Wolfgang Staubach.


12 oktober 1998 23.08.14
Hej Om man använder argumentprincipen för att ta reda på hur många nollställen polynomet w=z^4+6*z^2+6*z+k har innanför enhetscirkeln tycker jag att man borde få 2st för -1<k<6.3 (räknar antal varv bilden w går runt origo). Men om man kontrollräknar genom att lösa ekvationen w=0 ges 2st nollställen innanför enhetscirleln för -1<k<8.7 . Var tänker jag fel? Mvh Fredrik
Fredrik

Svar:

Jag förstår tyvärr inte hur du har använt argumentprincipen för att bestämma antal nollställen i enhetscirkeln, annars används denna princip för att bestämma antal nollställen i olika kvadranter och olika halvplan. Eftersom man inte på förhand vet hur stort k är, är det svårt att räkna ut antalet nollställen analytiskt och man får då använda numeriska metoder.

Wolfgang Staubach.


12 oktober 1998 17.09.34
a) Ett rymdskepp befinner sig i en bana runt jorden på en höjd av 916 km .Under vilken vinkel x , kan man se hela jorden från rymdskeppet ? , då jordens radie är 6378 km. b) hur högt upp befinner sig en satellit om man kan se jorden under en vinkel av 60 grader ?

Svar:

Avståndet mellan rymdskeppet och jorden är 916 + 6378 = 7294 km. Vi får att Tan(x/2) = Jordens radie / Avståndet mellan rymdskeppet och jorden = 6378/7294. Alltså är x/2 = Arctan (6378/7294) och

x = 2Arctan (6378/7294) ~= 1,44 grader. Om h betecknar avståndet mellan jorden och satelliten så gäller,

Jordens radie/(Jordens radie + h) = Tan 30, dvs h = (3r - (3)1/2r)/(3)1/2

Wolfgang Staubach.


12 oktober 1998 15.17.16
Man har en kontenuerlig funktion som mappas från två dimensioner till en dimension. Denna funktion definieras av f(x,y)=x. Går det att hitta ett slutet intervall i två dimensioner som ej blir slutet (dvs öppet) när man mappar ner det på en dimension? Jag är inne på att f=1/x, men det blir ju ett öppet intervall eftersom nollan inte går att ha med. Alla rationella tal går inte heller (dvs Rsqr -> R) eftersom det inte får vara slutet när det mappas.
Huvudbry?

Svar:

Ett slutet och begränsat intervall i två dimensioner ges av [a,b]*[c,d]. Avbildningen f(x,y) = x är projektionen på x axeln och den avbildar ett slutet Och begränsat intervall i två dimensioner på ett slutet och begränsat intervall.

Wolfgang Staubach.


12 oktober 1998 13.18.23
vad är 1+2
tulle

Svar:

3.

Wolfgang Staubach.


12 oktober 1998 11.23.07
Hur bevisar jag att implikationen gäller, x(x-1)=<0 implicerar x>=0
Lasse

Svar:

Om man gör en teckentabell för uttrycket x(x-1) så visar det sig att x(x-1) < 0 endast då 0 < x < 1.

Wolfgang Staubach.


12 oktober 1998 11.13.33
Vem kom på namnet "pe"?

Svar:

Detta är ingen matematisk fråga, för övrigt så vet jag inte svaret.

Wolfgang Staubach.


12 oktober 1998 09.53.15
Som lärare i grundskolan, f.n. i år 1-2 ,undrar jag vad forskningen säger om införande av algoritmer i dessa och närmast efterföljande årskurser. Meningarna går isär i denna fråga i kollegiet, och jag skulle vilja veta mer om aktuell forskning i detta ämne.
Anita Hedlund, Malmaskolan,Kolsva

Svar:

Jag kan tyvärr inte svara på denna fråga.

Wolfgang Staubach.


10 oktober 1998 18.28.06
Ännu en fråga Hur bevisades Fermats stora sats ?
Hampus

Svar:

Se svaret på frågan 6 April 1998 20.28.58.

Wolfgang Staubach.


10 oktober 1998 18.26.51
Tack för en trevlig sida. Här kommer jag med en fråga: Om a+b+c=0, visa att a^3+b^3+c^3=3abc Tack för svar
Hampus

Svar:

Man gör följande uträkning,

a + b =-c

(a + b)3 = -c3

a3 + b3 + 3b2a + 3a2b= -c3

a3 + b3+ c3 = -3ab(a+b) = -3ab(-c) = 3abc.

Wolfgang Staubach.


10 oktober 1998 14.34.48
Hej ! Hur kom man fram till pythagoras sats ?
Undrande

Svar:

Se 9 sep1997 14.41.38.

Wolfgang Staubach.


10 oktober 1998 14.32.22
Hur stort är ett svart hål, och vart finns dom ?
Åsa

Svar:

För att en stjärna skall kvalificera sig till att bli ett svart hål så måste dess massa vara större eller lika med Chandraskar gränsen d.v.s 1,5 solmassor. Man tror att det finns ett gigantiskt svart hål i centrum av vintergatan.

Wolfgang Staubach.


10 oktober 1998 12.48.28
Hej. Skulle ni kunna hjälpa mig attvisa hur man går till väga och bestämmer absolutbeloppet till 1+cosv+isinv tack på förhand Annelie
Annelie Folkeson

Svar:

Absolut beloppet av ett komplext tal z=x+iy, ges av

Abs[z] = (x2 + y2)1/2.

I ditt exempel är x = 1 + Cosv och y = Sinv. Alltså Abs[z] =

((1 + Cosv)2 + (Sinv)2)1/2 = (1 + 2Cosv + Cos2v + Sin2v)1/2=

(2 + 2Cosv)1/2.

Wolfgang Staubach.


9 oktober 1998 18.44.28
Har förgäves letat efter program till min casio CFX-9850G. Det primära behovet är program för numerisk integrering med trapetsregeln, där jag själv kan välja antalet delintervall.
Peter Jonasson

Svar:

Jag kan tyvärr inte svara på din fråga. Du skall nog vända dig till en datalog.

Wolfgang Staubach.


9 oktober 1998 10.59.57
> vad är addera?
> susanne

> Svar:

Addition är samma sak som plus. Att addera 3 och 2 är detsamma som att beräkna 3+2 och svaret är som bekant 5.

Wolfgang Staubach.


8 oktober 1998 11.53.29
Är det möjligt att konstruera ett plan där avståndet mellan två godtyckliga punkter alltid är en jämn multipel av ett ändligt antal vektorer. Vilket är isåfall det minsta antalet sådana vektorer?
Felix

Svar:

Tyvärr så förstår jag inte din fråga riktigt. Därför ber jag dig återkomma med en bättre förklaring. Det är svårt att förstå hur ett avstånd skall vara en multipel av vektorer.

Wolfgang Staubach.


8 oktober 1998 10.30.42
Beskriv med en ekvation, samtliga punkter (x,y), för vilka summan av avstånden från (x,y)till punkterna (-1,0) och (1,0) är 4. Besriv även resultatet geometriskt.
Joakim Andersson

Svar:

Det är känt att denna konstruktion leder till en ellips. Mer explicit så får man

((x-1)2+y2)1/2 + ((x+1)2+y2)1/2 =4 och detta är ekvationen för en ellips.

Wolfgang Staubach.


8 oktober 1998 10.29.58
Hej! Jag undrar över benämningen av siffrorna 11-19. Varför benämns inte 11-19 enligt samma logik som 21-29, 31-39...? Varför elva, och inte tio-ett (tjugo-ett, trettio-ett)? Varför tolv, och inte tio-två (tjugo-två, trettio-två)?
Ingvar Andersson

Svar:

Tretton till nitton bildas i nästan alla indoeuropeiska språkfamiljer efter typen 3+10,4+10 osv. Då sammansättningsdelarna i dessa ord är etymologiskt identiska, kan man betrakta dem som urspråkliga. På samma sätt bildas också orden elva och tolv i samma språkfamiljer utom germanska språk och litauiskan. Här uppträder nämligen en typ, en, två + ett ord med betydelsen "överskjutande","överskott".

Wolfgang Staubach.


17555 frågor av sammanlagt 17941 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)