Fråga Lund om matematik

Sökresultat


13 mars 2000 16.23.38
om två föremålets massa är givna, hur ska man räkna ut gravitationens styrka? tack för svaret!

Svar:

Se 8 mars 2000 13.54.45.

Kjell Elfström


13 mars 2000 10.03.26
Hej! Min matematik lärare på gymnasiet sade att i en rätvinklig triangel kan kateterna aldrig vara större än hypotenusans längd. Jag tycker dock att jag läst någonstans att detta inte alltid stämmer. Vem har rätt jag som hävdar att kateterna kan vara i fall att de är komplexa eller läraren som sade att de aldrig kan vara längre än hypotensusan. Svara snarast.
Ralf Palmgren

Svar:

Det beror på vad man menar med triangel. I den Euklidiska geometrin är kateterna alltid kortare än hypotenusan. I den sfäriska geometrin är "räta linjer" storcirklar på en sfär och där gäller inte din gymnasielärares regel.

Kjell Elfström


12 mars 2000 19.12.33
Hej, En kanske enkel fråga men nog så svår för mig än så länge! Hur får man fram inversen till en ekvation som har ex formen (3 x 3)? Jag vet hur man löser ekvationen till ordningen (2 x 2), men det blev lite klurigare med 3x3. Tacksam för svar snarast!
sydub00

Svar:

Tyvärr förstår jag inte frågan.

Kjell Elfström


12 mars 2000 19.10.16
Hur kan jag geometriskt visa subtraktionsformeln för cosinus nedan? cos(a-b)= cosacosb +sinasinb
Fredrik Persson

Svar:

Cirkeln nedan är enhetscirkeln. Punkterna A, B, C och D har koordinaterna (cos a,sin a), (cos b,sin b), (cos(a - b),sin(a - b)) resp. (1,0).

additionsformel

Utnyttja nu att sträckorna AB och CD är lika långa.

sqrt((cos a - cos b)2 + (sin a - sin b)2) = sqrt((cos (a - b) - 1)2 + sin2 (a - b)).

Kvadrera de båda leden, utveckla och använd triginometriska ettan.

Kjell Elfström


11 mars 2000 14.31.00
Har på flera ställen sett att de skriver 1/i = -i . Min fråga är egentligen hur kan man säga det?
Linda

Svar:

Eftersom (-i)i = 1 är 1/i = -i.

Kjell Elfström


11 mars 2000 12.18.13

Svar:

Frågan gick inte att läsa.

Kjell Elfström


11 mars 2000 12.10.43
Hejsan, jag undrar hur man löser följande två part.diff.ekv.
dv/dt+dv/dx=0
du/dt-du/dx=0,
Tomas

Svar:

Gör ett variabelbyte y = t + x, z = t - x. Kedjeregeln ger då att

dv/dt =dv/dydy/dt + dv/dzdz/dt = dv/dy + dv/dz
dv/dx =dv/dydy/dx + dv/dzdz/dx = dv/dy - dv/dz

Detta ger att dv/dy = 0, varför v = f(z) =  f(t - x) för någon funktion f av en variabel.

Nu klarar du säkert den andra ekvationen själv.

Kjell Elfström


10 mars 2000 21.32.09
Jag funderar på en sak kring min portkod. Den fungerar så, att man skall slå de fyra rätta siffrorna, men det gör inget om man först slår andra siffror. Tex 123456 täcker 1234, 2345, 3456. Hur många gånger måste man då slå för att vara säker på att få rätt kod?

Svar:

En minimal cyklisk sträng med tecken från ett alfabet om k symboler som är sådan att varje ord med n symboler finns med som en delsträng kallas en de Bruijn-sträng. Det är känt att längden av en sådan är kn. I det fall att strängen inte är cyklisk får man lägga till de inledande n - 1 symbolerna i slutet varför det behövs kn + n - 1 tecken. I ditt fall räcker det alltså med 10003 tryckningar.

Sök på nätet efter debruijn eller de Bruijn sequences eller graphs. Det finns till och med en sida där du kan få en de Bruijn-sträng utskriven Generate Necklaces. Tyvärr fungerar den inte om strängarna blir för långa. n = 4, k = 10 är för stort.

Kjell Elfström


10 mars 2000 16.24.11
Hej! Jag är en som går i 9:an och mitt problem är följande : En jeep kan sammanlagt ta 200 liter bensin i tanken och i lösa dunkar. Den kan köra 2,5 km på 1 liter bensin. Med hjälp av jeepen ska jag ta mig genom en öken, från oasen BEN JUTA till oasen PAR GOJ. Avståndet mellan oaserna är 1000 km. Det finns bränsle att köpa i BEN JUTA eller PAR GOJ, men ingenstans under vägen ! Skall man klara färden måste man alltså placera ut besindunkar i depåer utefter vägen! Hur mycket bränsle går åt och var ska nkarna placeras? Tack i förhand!
Ashraf

Svar:

Se 19 februari 1997 18.12.48.

Kjell Elfström


10 mars 2000 15.37.09
Hej! Jag undrar om Euler menade något med sitt uttalande till ateisten, filosofen och författaren Diderot. Vill minnas att det var något i stil med 'Sir! (a + b^n)/n = x ; Hence God exists. Reply!'. Inte på engelska kanske, men svenskan blir så tafatt, och vår käre Eulers modersmål behärskar jag icke. Alltså: Betydde a, b, n, x något, eller var det bara något han drog till med. Eller är alltihop bara en skröna? Har även läst någonstans att Euler gjorde samma uttalande till Solkungen själv, var på denne svarade 'Ja..., så måste det vara.' Någon av er som hört samma sak?
Min fråga är behöver inte ses som någon prio ett sådan, men det vore kul om ni ville dela med er av vad ni vet om detta.
MVH
Christian

Svar:

Jag har också hört att han yttrade de orden till Diderot, fast på franska. Det lär ha hänt hos Katarina den stora, som ville tysta ner Diderots tal om ateism. Hon sade därför till Diderot att en berämd matematiker var närvarande och att han hade ett algebraiskt bevis för guds existens.

Som sats betraktad är Eulers utsaga rent nonsens och jag tror inte det ligger något djupare bakom valet av formulering.

Kjell Elfström


10 mars 2000 15.03.26
Hej jag har en fråga om fritt fall med luftmotstånd. En person hoppar fallskärm från 2400 m. Hur länge kan personen vänta med att låta fallskärmen utveckla sig ? Personen väger med utrustning 60 kg och sluthastigheten är 6,5 m/s om fallskärmen är utvecklad och 65 m/s om den inte är utvecklad.
m*dv/dt= mg-k*v upphöjt i alfa,
vad blir ekvationen om man alfa=1
Christoffer

Svar:

Hur länge han kan vänta beror på vilken sluthastighet han tål. Känner man m, g och alfa kan man bestämma k, dels för fall utan skärm dels för fall med skärm. Utan skärm är v = 65 ett jämviktsläge, då alltså v' = 0. Detta ger ekvationen

0 = mg - k.65alfa

och ur denna kan man lösa ut k. Det går naturligtvis lika bra om v = 6,5. Om alfa = 1 är differentialekvationen lineär och du kan säker lösa den själv, nu när alla konstanter är kända.

Kjell Elfström


10 mars 2000 14.20.22
Hej! Skulle du kunna ge mig ett geometriskt bevis av Pythagoras sats. (Gärna med bild) Tack på förhand!
Markus Johansson

Svar:

Du kan få ett utan bild. Se 9 september 1997 14.41.38.

Kjell Elfström


9 mars 2000 18.32.31
(1/i)^2 = (1^2)/(i^2) = 1/-1 = -1 = i^2
Detta stämmer, eller...? Om man drar roten ur alla oven stående led får man:
(1/i) = i Men detta är inte sant. Var brister det?
Torgny Andersson

Svar:

Av att a2 = b2 kan man inte dra slutsatsen att a = b, inte ens för reella tal. Bara att a = ±b. T ex är 32 = (-3)2.

Kjell Elfström


9 mars 2000 18.08.57
Here is a fun question!
Imagine there is an ant at each vertex and that the ants all simultaneously crawl along an edge to the next vertex, each ant choosing its path randomly. What is the probability that no ant will encounter another, either en route or at the next vertex, for each of the following regular polyhedrons?
i)A tetrahedron
ii)A cube
iii)An octahedron
iv)A dodecahedron
v)An icosahedron
Tim Zedig

Svar:

Att beräkna antalet möjliga utfall är trivialt, så problemet gäller antalet gynnsamma utfall. Jag lyckades inte finna någon generell metod som besvarade alla frågorna på en gång. Därför gav jag upp efter oktaedern. Antalet gynnsamma utfall är 6 för tetraedern, 24 för kuben och 48 för oktaedern.

I fallet med oktaedern kan man välja ut ett hörn. En myra kryper till hörnet och en därifrån. Dessa båda myror kan krypa på en av de fyra närliggande trianglarna. Den sammanhängande väg myrorna går på kan vara orienterad på två sätt. Detta ger 4.2 = 8 olika möjligheter för dessa båda myror. Om någon myra även kryper på den tredje kanten i triangeln måste de övriga tre myrvägarna vara på den motstående triangeln. I så fall finns bara två möjligheter, antingen är den sammanlagda vägen orienterad motsols eller medsols. För fallet att tre myror kryper utefter kanterna på en enda triangel finns alltså 8.2 = 16 möjligheter. I de fall att den tredje sidan i triangeln inte är någon myras väg finns 4 möjligheter för varje fall, så dessa ger upphov till 8.4 = 32 fall. Totalt 16 + 32 = 48 gynnsamma fall.

oktaeder

Kjell Elfström


9 mars 2000 00.17.37
Hej och tack för svaret på mina frågor den 6 mars 2000 00.04.44. Dock blev det ett missförstånd av den första p.g.a. klantig formulering från min sida. Alltså, för jämnt M=2*n har vi n personer på varsin LÅNGsida av ett bord. Personen längst upp till vänster sitter stilla, de andra roterar ett steg medsols för varje n-månaders period. Väntetid och partner sprids maximalt symmetriskt.
I fallet M=2*n+1 har vi n personer på varje LÅNGsida och en på, låt säga, vänster kortsida. Återigen n par för varje n-månaders period, den på kortsidan står över en period. Alla 2*n+1 roterar ett steg medsols varje n-månaders period. Personen längst NER till vänster får uppenbarligen vänta 2*n månader tills han blir personen längst UPP till vänster (i par med den som var 2:a granne till höger när personen var längst ner till vänster). Går det att få enbart väntetider n,n+1 och n-1 här också? (Bordet är endast ett visualiseringsknep, analogt problem har vi om M lag skall mötas i en turnering, alla-mot-alla. Det finns bara en spelplan och vi vill ha så jämna och rättvisa väntetider som möjligt.)
Kettil Häing

Svar:

Jag inser att jag måste ha tänkt fel. Jag har tyvärr inte hittat någonting om detta.

Kjell Elfström


8 mars 2000 22.31.25
En vattenfylld termos med begynnelsetemperaturen 90°C står utomhus. Ute är det -10°C. Temperaturen på vattnet avtar på så sätt att minskningen av temperaturdifferensen mellan vattnets temperatur och temperaturen utomhus i varje ögonblick sker med en takt som är 15% per timme av den aktuella temperaturdifferensen.
a) Ställ upp en differentialekvation med begynnelsevillkor som motsvarar denna beskrivning.
b) Lös ekvationen och bestäm den längsta tid som får gå innan personen vill använda vattet, om man vill att tempraturen minst ska vara 50°C
Oscar Andersson

Svar:

Om z är temperaturskillnaden är z' = -0,15z och denna differentialekvation har den allmänna lösningen z = Ce-0,15t. Eftersom z(0) = 90 - (-10) = 100 är C = 100 och vi får z = 100e-0,15t. Nu får vi nog anta att utomhustemperaturen är konstant. Temperaturen 50 grader svarar mot z = 60. Vi löser ut t ur ekvationen

60 = 100e-0,15t

och får t = (1/0,15)ln(5/3).

Kjell Elfström


8 mars 2000 19.25.38
En teraeder rymmer 12 liter. Hur mycket rymmer den om man halverar basarean och håller höjden konstant? Hur mycket rymmer den om man halverar höjden och håller basarean konstant?Hur mycket rymmer den om man halverar både basarean och höjden?
Agneta Gaversjö

Svar:

Volymen av en tetraeder är proportionell mot höjden gånger basarean. 6, 6 och 3 liter.

Kjell Elfström


8 mars 2000 18.50.21
Hur räknar man egentligen ut roten ur ett tal, visst jag kan trycka på den knappen på miniräknaren eller prova mig fram genom att ta tal i kvadrat, men finns det något sätt att matematiskt lösa roten ur?
Carl

Svar:

En enkel metod är intervallhalvering. Eftersom 12 < 2 < 22 vet man att 21/2 ligger mellan 1 och 2. Tag mittpunkten på intervallet från 1 till 2, som är 1,5. Eftersom 1,52 = 2,25 > 2 ligger roten mellan 1 och 1,5. Tag nu mittpunkten 1,25 och fortsätt på detta sätt. Man får då roten ur två instängd mellan två tal och kan därmed ange ett antal korrekta decimaler.

En snabbare och något mer sofistikerad metod som lämpar sig väl för rotutdragningar är Newton-Raphsons metod. Se 31 mars 1997 11.44.13.

Kjell Elfström


8 mars 2000 13.54.45
Vad är formeln för gravitationskraften?
Ann Olofsson

Svar:

Två massor m1 och m2 på avståndet r från varandra påverkar varandra med en kraft F enligt

F = Cm1m2/r2,

där C = 6,670.10-11 Nm2/kg2.

Kjell Elfström


8 mars 2000 13.53.42
Vilket år kommer det att vara 30 dagar i februari.Har nämligen hör att det kommer att inträffa nu under de närmsta åren, det inträffar ungefär vart 400år. Är detta sant?
Ann Olofsson

Svar:

Nej, jag tror inte det är sant. Vart fjärde år är skottår med en viss undantagsregel. De år vilkas årtal är delbara med 100 är nämligen bara skottår om årtalen är delbara med 400. Därför var 1600 och 2000 skottår men inte 1700, 1800 och 1900. 2100, 2200 och 2300 är inte heller skottår men det är 2400.

Kjell Elfström


7 mars 2000 15.35.23
Ibland tycker jag atmosfären på Fråga Lund är lite trist: bara den senaste veckan har en uppgift blivit avsnäst som läxuppgift och en skämtare förolämpats. Vad är meningen med det? Vill Fråga Lund alls ha några frågor? Får man inte skicka in uppgifter man har problem att lösa själv? (Oseriösa inlägg kan väl ändå sorteras bort?)
Hans Larsson

Svar:

Alla är naturligtvis varmt välkomna med sina frågor och har någon frågeställare känt sig förolämpad har det inte alls varit avsikten. En skämtare kan väl på sin höjd bara vänta sig ett skämtsamt svar. I den andra frågan berättade jag om våra urvalskriterier och påpekade att frågan hörde till kategorin läxproblem. Vi måste göra ett urval och läxproblem får man ju normalt lösningen till vid nästa lektion. Risken är alltså stor att man fått svaret av sin lärare innan man fått det av oss. Så gott som alla oseriösa frågor sorteras bort. Läxfrågor är inte oseriösa och vi svarar på ganska många sådana.

Kjell Elfström


7 mars 2000 13.28.30
I ett svar nämndes galoisteori - vad är det och vad används det för? (Jag skulle vilja dedikera min fråga till Tom Jones.)
Dogge III, Uppföljaren

Svar:

I Galoisteorin ordnar man en grupp, Galoisgruppen, till en algebraisk ekvation, dvs en ekvation

p(x) = 0,

där p(x) är ett polynom. Genom att studera gruppens egenskaper kan man få en uppfattning om hur ekvationens rötter kan uttryckas med hjälp av polynomets koefficienter. Detta är en gren av den abstrakta algebran och det krävs en del förkunskaper för att förstå resonemangen.

Kjell Elfström


7 mars 2000 00.51.44
Hej igen !
Tack för svaret på min fråga om hur många miljoner det går på en centiljon. har en till fråga om det är ok.
Undrar just vilket tal är det högsta man känner till, och hur många miljoner det går på detta för den novise obegripliga tal?. Om det nu överhuvudtaget finns något "gräns" i matematikens underbara värld förstås.
Med vänlig hälsning Matte novisen
René L

Svar:

En googol är 10100, alltså en etta följd av 100 nollor. En googolplex är en etta följd av en googol nollor. Det finns ju inget största tal så det är egentligen endast meningsfullt att fråga vilket det största namngivna talet är. Detta är emellertid ett lättslaget rekord eftersom man alltid kan hitta på ett namn på ett ännu större tal.

Kjell Elfström


6 mars 2000 23.45.42
Hej! Jag undrar hur man löser en godtycklig fjärdegradsekvation "för hand". Tack på förhand.
Erik

Svar:

Se 14 december 1997 13.32.37.

Kjell Elfström


6 mars 2000 23.43.30
Hej!
Jag undrar hur man löser detta: Framställ en polynomfunktion av (a) 2:a graden (b) 4:e graden som approximerar y = sin x i intervallet 0<= x <= (pi/2).
Detta skall lämpligen lösas med matrismatematik.
Ulf

Svar:

Man får bestämma sig för vad man menar med approximerar (så bra som möjligt). Ett sätt att mäta avståndet mellan funktioner är att först införa skalärprodukten

(u,v) = Integral0pi/2 u(t) v(t) dt,

därefter normen ||u|| = (u,u)1/2 och låta avståndet mellan u och v vara ||u - v||. Detta är motsvarigheten till minsta kvadrat-metoden i Rn.

Polynomen u1(t) = 1, u2(t) = t och u3(t) = t2 utgör en bas i rummet av polynom av grad högst 2. Om u = x1u1 +  x2u2 +  x3u3 och v = sin skall vi alltså bestämma x1, x2, x3 så ||u - v|| blir så liten som möjligt. Eftersom det minsta avståndet är det vinkelräta skall u - v vara ortogonal mot alla polynom av grad högst 2, dvs mot basvektorerna. Detta ger att (u - v,ui) = 0, i = 1,2,3. Detta är ett ekvationssystem i x1, x2, x3 som brukar kallas normalekvationerna.

Kjell Elfström


6 mars 2000 23.38.41
Hejhej!
Jag har stött på ett problem som jag tänkte att ni kunde hjälpa mig med.
Bestäm en icke singulär matris P så att
           |6  0|
P^-1*A*P = |0 -1|
        |1  2|
om A =  |5  4|

Jakop

Svar:

6 och -1 är egenvärden till matrisen A. En bas av egenvektorer är t ex (2,5) och (1,-1). I denna bas har avbildningen den diagonalmatris som anges i frågan. Enligt reglerna för basbyte kan P väljas som den matris vars kolonner utgörs av koordinaterna för egenvektorerna.

Kjell Elfström


6 mars 2000 17.41.52
Hej! Med förståelse för att ni inte har tid till allt som frågas här måste jag ändå få tycka att ni svarar ganska ofta på samma saker! Gör ni urval så bör det väl i alla fall skilja sig lite mellan veckorna. Som exempel Fermats stora sats, den har varit med 3-4ggr på ett par veckor nu. Själv har jag problem med Fourierserier och önskar gärna ett svar. Jag ska bestämma en funktions Fourierserie, där f(x)=|x| för |x|<=1 och 0 för övrigt. Sedan ska seriens summa beräknas för x=25pi/6. Hur göra?
Rikard

Svar:

Vi svarar ofta på liknande frågor eftersom liknande frågor ofta ställs. Dessutom tar det inte speciellt lång tid att hänvisa till en redan besvarad fråga. Frågan om Fermats stora sats är inte en läxuppgift (för de allra flesta åtminstone), vilket däremot din fråga är.

Jag tror nog att funktionen skall vara periodisk med perioden T = 2 med den definition du angett då |x| <= 1, alltså en sågtandsfunktion. Fourierkoefficienterna cn beräknas som 1/T gånger integralen från -T/2 till T/2 av

f(y)e-2pi iny/Tdy

och Fourierserien blir summan då n går från -oändligheten till oändligheten av

cne2pi inx/T.

Kjell Elfström


6 mars 2000 16.56.17
Tack för ert svar på min fråga om andraderivata (3 mars 11.58.52). Tyvärr såg jag att jag har skrivit fel fråga! På ett ställe står det "derivatan", men det skulle stå "andraderivatan" även där. Vad jag undrar är alltså, vad som skiljer mellan två maxpunkter, den ena med negativ andraderivata och den andra med andraderivatan=noll? Ur Mathematics handbook får jag att om en punkt där derivata och andraderivata är noll ska vara en terasspunkt ska det gå att hitta en högre derivata skild från noll. Varför? Tacksam för svar!
Jeanette

Svar:

Jag förstod att det var ett skrivfel men glömde att påpeka det. Betrakta Taylorutvecklingen i det förra svaret. Om den första derivatan där som är skild från 0 för x = 0 har udda ordning n har funktionen en terrasspunkt i 0 eftersom den då uppför sig som xnf n(0)/n! för små x. Har den jämn ordning är det en lokal extrempunkt. Man kan Taylorutveckla kring andra punkter a än 0 och frågan om terrasspunkt i a behandlas likadant.

Kjell Elfström


6 mars 2000 13.25.54
Hej jag undrar om du kan svara på följande fråga:
Ange antalet färgsättningar på en kvadrat vars sidor färgas med 6 olika färger om:
a)Ingen färg används mer än en gång.
b)Varje färg används som man vill.
Henrik

Svar:

En kvadrat har fyra sidor så det måste bli minst två färger över.

a) Det finns 6.5.4.3 = 360 olika sätt att välja ut fyra färger av de sex i en viss ordning. En kvadrat har 8 symmetrier så antalet färgsättningar bör bli 360/8 = 45.

b) Med en färg finns det 6 möjligheter. Två färger kan väljas ut på 15 sätt. En sida med en färg och tre med den andra ger två möjligheter. Två sidor med vardera färgen ger också två möjligheter: antingen är två intilligande färgade lika eller så är de det inte. Med två färger har vi alltså 15(2 + 2) = 60 färgsättningar. Tre färger kan väljas ut på 20 sätt. Då måste två sidor vara lika färgade och de övriga två ha andra olika färger. I fallet att två intilliggande är lika färgade får vi 3 möjligheter och i fallet att två motstående är lika får vi också 3 möjligheter. 20.(3 + 3) = 120. Fallet med fyra färger behandlades i a). Nu är det bara att summera: 6 + 60 + 120 + 45 = 231.

Kjell Elfström


6 mars 2000 02.04.43
Läste om det ofattbara talet; "Centiljon", som lär ha sexhundra nollor. Är novis i matematik, och förstår inte hur man räknar ut hur många miljoner en Centiljon egentligen är?.
En annan fundering är vad alla decimaler heter i följd. D.v.s. det heter ju: hundratal, tusental, o.s.v...
René L

Svar:

Eftersom 1 centiljon är 10600 och 1 miljon är 106 går det 10600/106 = 10594 miljoner på en centiljon. Sök efter miljard (eller biljard som inte är ett räkneord) så får du se svaren på relaterade frågor. Angående din andra fundering tycker jag att man kan fortsätta på samma sätt: miljontal, miljardtal osv.

Kjell Elfström


6 mars 2000 00.04.44
Hej! Jag har två förhoppningsvis rätt intressanta frågor till er:
1. Anta att vi har M personer i en förening som parvis skall ansvara för en viss uppgift en gång i månaden långt framåt i tiden. Man vill dels att det blir nya par varje gång (cykliskt förstås), dels att varje person får uppgiften med så jämnt intervall som möjligt.
Jag har löst fallet med jämnt antal personer men inte med udda (än så länge). Om 2*n personer placerar man n pers på varje sida om ett bord. Första n månaderna tar man mittemotsittande par, vänster->höger. I fortsättningen låter man en och samma person sitta stilla medans de övriga roterar ett steg medsols för varje nya n månader. Vänteintervallet blir n för den stillasittande och n,n+1,n-1 för de övriga. Vackert! Men för 2*n+1 personer verkar det knepigare, analog lösning där en person står över varje gång (n-månaders period) på ena kortsidan och alla roterar ett steg varje gång ger vänteintervall n,n+1,n-1,2*n. Men man vill ju gärna smeta ut 2*n-väntningen enligt kriterie ovan. Har ni någon schysst systematisk lösning?
2. På stryktipset kan man använda s.k. reducerade system (med iden att öka vinstchansen på bekostnad av lägre vinst). Ett fullt system kräver F=2^(antal halvgarderingar)*3^(antal helgarderingar)=2^A*3^E rader. Om man plockar ut ett visst antal av dessa rader(=R stycken) får man generellt 'n-fels garanti' vilket innebär att om man hade fått m rätt på det fulla systemet så är man garanterad minst (m-n) rätt på minst en rad i det reducerade. Chansen att få m rätt är förstås R/F. Nu undrar jag rätt girigt hur den allmänna formeln ser ut för minimum antal R-rader om n-felsgaranti och A halvg. och E helg. Jag har hittat en undre gräns i fallet 1-felsgaranti: min(R(1-fels))>=2^(A-1)*3^(E-1)*(2*E+3*A)/(2*E+A) Jag misstänker att det inte finns någon "snygg" lösning och att detta är ett ruggigt svårt problem, rätt...? Tack på förhand.
Kettil Häing

Svar:

Med din lösning för udda M verkar det inte som om någon person behöver vänta mer än n + 1 gånger. Det är ju oväsentligt att det kan dröja längre tid mellan tillfällena då två kortsidepersoner väljs.

Det är i mycket få fall som man bestämt minsta antalet rader i ett reducerat system med en viss garanti. Se 13 oktober 1998 14.15.46.

Kjell Elfström


5 mars 2000 15.11.42
Hejsan

Dom påstår i min mattebok att en tegelsten som väger 3 KG plus halva sin vikt väger 6 KG?!?! Tryckfel? Jag kan inte få det till mer än 4,5 kilo hur jag än vrider och vänder på det.
Peter

Svar:

Hälften av 6 är 3 och 3 + 3 = 6 så det verkar stämma. Om den väger x kg så gäller ju att

x = 3 + x/2

och lösningen till denna ekvation är x = 6.

Kjell Elfström


5 mars 2000 13.32.55
Vad ordet gradtal, då man pratar om en rationell funktion och säger att täljarens gratal är mindre än nämnarens.
Göran

Svar:

En rationell funktion är en kvot mellan två polynom och det är deras gradtal som avses. För nollpolynomet brukar inte något gradtal definieras. Övriga polynom har en term axn, där a är skilt från 0, av högst grad. Polynomets gradtal definieras som n.

Kjell Elfström


5 mars 2000 00.23.27
1. En mus av försummbar strl ska äta sig igenom en kub sammansatt av 27 (3*3*3)mindre kuber ost, så att det ligger 9 ost kuber i varje plan och det finns 3 plan. Han får börja vart han vill från utsidan! Om han rör sig enligt detta mönster: I mitten av varje liten del-ost kub måste han göra en 90grad sväng och han får inte gå genom samma del-ost kub två ggr. Hur många kan han då ta sig igenom innan han tar sig ut ur kuben?
tacksam för svar...
William Håkansson

Svar:

Denna fråga har stora likheter med 9 december 1998 15.36.14.

Kjell Elfström


5 mars 2000 00.22.44
Kan ni bevisa att det inte går att lösa ekvationen
xn + yn = zn
gär n är ett heltal större än 2?
Tacksam för svar...
William Håkansson

Svar:

Om du menar att finna lösningar där x, y och z är positiva heltal så kallas satsen som säger att det inte finns sådana lösningar då n är ett heltal större än 2 för Fermats stora sats.

Den är bevisad av Wiles. Sök efter detta ord med frågespaltens sökmaskin.

Kjell Elfström


4 mars 2000 22.22.39
Hej!!!!!! Vilken är anledningen till att t.ex sin och cos -hyperbolicus är införd i matematiken? Vilken är definitionen? Begreppet har hittills aldrig tagits upp på någon av mina matematik föreläsningar. Vad är derivatan av arctanh(x^2)? Tacksam för svar!
Andreas (en studerande student)

Svar:

Se Eric Weisstein's World of Mathematics.

Kjell Elfström


4 mars 2000 04.34.39
Hejsan. Jag undrar ifall det är möjligt att bevisa algebrans fundamentalsats med hjälp av teorin för ringar och kroppar, alltså ifall det finns nåt sätt att visa att du inte behöver utvidga någe mer efter de komplexa talen? Men det ska inte vara några Liouvillar eller dylika inblandade, bara ringar o kroppar. MYCKET tacksam för svar, vänliga hälsningar
thomas eriksson

Svar:

Man kan bevisa att C är algebraiskt sluten med hjälp av Galoisteori.

Kjell Elfström


3 mars 2000 15.01.20
Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som begränsas av y=x^2, x-axeln och x=1 roterar kring y=1
Bengt Larsson

Svar:

Du får samma volym om du roterar området som begränsas av y = 1 - x2, linjen y =  1 och linjen x = 1 kring x-axeln. Detta område ligger i en cylinder. Du kan beräkna cylindervolymen och dra ifrån volymen av den del av cylindern som inte ligger i området. Den senare volymen begränsas av y = 1 - x2 och axlarna och för att beräkna denna behöver du bara kopiera något av exemplen i din lärobok.

Kjell Elfström


3 mars 2000 14.52.31
En behållare som rymmer 100 liter är till hälften fylld med saltvatten, med salthalten 30 gram per liter. Man börjar tillföra behållaren 2 liter per sekund av saltvatten med salthalten 60 gram per liter, samtidigt som man börjar tappa 1 liter per sekund ur behållaren. Man fortsätter så tills behållaren blir full. Innehållet hålles hela tiden välblandat. Hur stor är salthalten i behållaren när den blivit full?
Frank Wolgers

Svar:

Låt y och k vara mängden resp. koncentrationen av salt i behållaren vid tiden t. Ökningen av salt per tidsenhet som inflödet ger upphov till är 2.60 = 120. Minskningen från avloppet är 1.k. Eftersom k = y/V där V = 50 + 2t är vätskevolymen bör du nu kunna ställa upp en lineär differentialekvation som beskriver dynamiken.

Kjell Elfström


3 mars 2000 11.58.52
Vad innebär egentligen "andraderivatan är noll"? Att lutningen i punkten inte ändras? Vad är det för skillnad mellan en maxpunkt där derivatan är negativ och en maxpunkt där andraderivatan är noll?
Jeanette

Svar:

Andraderivatan är ju ett mått på hur snabbt derivatan ändras. Om derivatan är noll i en punkt och andraderivatan negativ måste derivatan växla tecken från positiv till negativ varför funktionen är strängt växande i en punkterad vänsteromgivning och strängt avtagande i en punkterad högeromgivning till punkten. Om derivatan inte är noll i punkten men andraderivatan är 0 och dessutom växlar tecken är punkten inte en lokal extrempunkt men däremot en inflexionspunkt. Om andraderivatan är negativ kallas funktionen konkav, är den positiv kallas den konvex. ln xär ett exempel på en konkav funktion och ex är konvex. Rita upp dem så ser du skillnaden. Observera att båda är strängt växande. För funktionerna x3 och x4 gäller att både derivatan och andraderivatan är noll i origo. I det första fallet är origo en terrasspunkt, i det andra en minimipunkt. Vissa funktioner kan utvecklas i Taylorserie

f(x) = f(0) + f '(0)x/1! + f ''(0)x2/2! + f (3)(0)x3/3! + ...

I många avseenden uppför sig sådana funktioner lokalt som polynom. Om f  '(0) = 0 men t ex f ' '(0) < 0 uppför sig funktionen för små x som f(0) +  f ''(0)x2/2!, dvs som en andragradskurva. Är även f ' '(0) = 0 uppför funktionen som en n-gradskurva av högre grad.

Kjell Elfström


3 mars 2000 10.53.17
Mitt namn är Klas Hyllén och jag studerar på IB (International Baccalaureate) i Helsingborg. Jag har här matematik på en högre nivå o nu har vi kommit till en tidpunkt där vi ska välja ämne för en så kallad "extended essay" (specialarbete). Jag vill skriva detta i matematik och skkulle vilja göra en undersökning eller framställa ett bevis inom något matematiskt område. Vi har en gång bevisat hur Archimedes kom fram till pi, och det hade varit intressant att skriva om något liknande. Nu undrar jag om ni möjligtvis har någon ideé på något som liknar en undersökning som den kan göra på pi. (inom exempelvis geometri)
tack på förhand
klas
Klas Hyllén

Svar:

Jag vet inte riktigt på vilken nivå arbetet skall vara. En uppsats på några sidor skulle kunna skrivas om t ex Pythagoreiska tripler, som ju har en geometrisk upprinnelse, men är talteoretiskt till sin natur. Man kan också skriva om mindre lyckade försök, t ex cirkelns kvadratur eller vinkelns tredelning. Båda dessa problem var något de gamla grekerna ägnade sig åt. Senare visade det sig att de var omöjliga att lösa. Ett exempel på andra problem i ämnet konstruktion av geometriska figurer med enbart passare och linjal är det att konstruera en regelbunden n-hörning.

Kjell Elfström


3 mars 2000 00.14.16
Hej !
Vad är en bra översättning för det engelska ordet "smooth" när det gäller ytor och ordet "manifold" när det gäller ytor och mängder. Jag kan helt enkelt inte få klarhet i detta problem själv.
Henrik Landén

Svar:

Smooth brukar översättas med glatt och manifold med mångfald.

Kjell Elfström


2 mars 2000 19.23.52
Mors!
Jag har två frågor:
1) Vad är diskret mattematik?
2) jag skickade in en fråga som rörde minimum för talföljden för
Xn+1=a*Xn-b*X
Ni har inte svarat på denna fråga... Går det inte, eller har ni helt enkelt missa min fråga?
Torgny Andersson

Svar:

1. Se 18 november 1996 14.15.36.

2. Vi har inte tid och möjlighet att svara på alla frågor som kommer in och gör därför ett urval. Jag misstänker att rekursionsformeln skall vara

xn + 1 = ax2n - bxn.
Om f(x) = ax2 - bx kan formeln skrivas

xn + 1 = f(xn).

Om a > 0 har f ett minimum m. Det finns dock ingen anledning att tro att m är talföljdens minsta element, eller ens att tro att den har ett minsta element. Det enda vi säkert kan säga är att xn >= mn > 1. Talföljden kan vara uppåt begränsad eller obegränsad. Den kan ha ett största element, men behöver inte ha det ens i det första fallet.

Kjell Elfström


2 mars 2000 19.14.44
Hur bevisade Arkimedes att en cirkels area är lika stor som en rätvinklig triangel med höjden r(radien på cirkeln)och basen o(omkretsen på cirkeln)? Tackar på förhand
Malin Andersson

Svar:

Se Squaring the circle.

Kjell Elfström


2 mars 2000 18.21.46
Det är alltså ett allvarligt problem? Misstänkte nästan det...
MUS

Svar:

Hur var det Gertrude Stein sade, den förlorade dimensionen, eller var det kanske generationen?

Kjell Elfström


2 mars 2000 18.19.49
Hej jag undrar hur man visar att ringen av alla komplexa tal av typen x+iy*3^0,5 (x,y tillhör heltalen) inte är euklidisk?
Eva Andee

Svar:

2 är delare till (1 + 31/2i)(1 - 31/2i). Visa att 2 är irreducibelt men inte ett primelement.

Kjell Elfström


2 mars 2000 18.17.11
Hur visar man hur många irreducibla polynom det finns av grad 2?
Anne-Marie

Svar:

Hur många det finns beror på vilken polynomring som avses. I C[x] finns inga alls medan det i R[x] finns oändligt många. Är den underliggande ringen en kropp är de irreducibla andragradspolynomen de som inte kan faktoriseras i förstagradsfaktorer, alltså de som inte har nollställen i kroppen.

Kjell Elfström


2 mars 2000 12.00.37
Hej!
Jag undrar hur man utläser "prefix" ?
Ulrika Odén

Svar:

Är detta en språklig fråga? I så fall är det väl bara betoningen som inte är självklar. Jag betonar det på samma sätt som idé och inte som ide.

Kjell Elfström


1 mars 2000 21.21.53
Hej.
Försöker hitta en okänd exponent. Exempelvis kan man tänka sig: 2^x=8 där x då måste vara 3 eller 2^x=16 där x då är 4.
Kan man skriva detta på formen a^x=y. Hur gör man för att lösa x om a och y är kända?
Ingemar

Svar:

För att lösa ekvationen ax = y logaritmerar man dess led.

xln a = ln ax = ln y

vilket ger att x = (ln y)/(ln a).

Kjell Elfström


1 mars 2000 21.15.01
Hej hej! jag går på gymnasiet och undar en sak om primtal, vad är kvasiprimtal och Carmichaeltal? vore tacksam för svar då jag håller på med ett projekt om primtal
Oscar

Svar:

Jag misstänker att du menar pseudoprimtal.

Fermats lilla sats säger att om p är ett primtal och a ett heltal som inte är delbart med p så är ap - 1 kongruent med 1 (mod p).

Om för något tal a, sådant att största gemensamma delaren till a och n är 1, an - 1 inte är kongruent med 1 (mod n) kan man alltså dra slutsatsen att n inte är ett primtal. Ett tal n som inte är ett primtal, men för vilket kongruensen gäller, kallas ett pseudoprimtal med basen a.

Ett Charmichaeltal är ett heltal, som inte är ett primtal, men som är ett pseudoprimtal för varje bas a, sådan att största gemensamma delaren till a och n är 1.

Kjell Elfström


1 mars 2000 15.33.33
Hej!
Har ni några råd hur man skulle kunna lösa denna integral: INT[sin(nx)/((1+2^x)*sin(x))]dx (där n är ett naturligt tal), gränserna går från -pi till pi. Denna integral var en av uppgifterna på matematik olympiaden 1996 för universitets studenter som hölls i Plovdiv i Bulgarien.
MVH
Marko

Svar:

Se International Mathematics Competition for University Students , där lösningen finns publicerad.

Kjell Elfström


1 mars 2000 13.03.05
Hej!
jag har några frågor:
1) Vad är en asympot? hur ska man räkna?
2) Vad blir derivatan till ln(5X) ; ln(x(kvadrat)) och ln(x-5x8kvadrat))?
Hälsn. Linda

Svar:

Frågor som dessa kan man få besvarade i vilken nybörjarbok som helst i analys. En asymptot är en linje som en kurva närmar sig, antingen då x går mot en punkt a eller mot ±oändligheten. Derivatan av en sammansatt funktion f(x) = g(h(x)) ges av f '(x) = g'(h(x))h'(x). I det andra fallet är g(y) = ln(y) och h(x) = x2, varför f '(x) = (1/x2)·2x = 2/x. Detta kan man också komma fram till genom att använda logaritmlagarna innan man deriverar.

Kjell Elfström


1 mars 2000 11.53.54
En pyramid med 89 rum. På hur många olika sätt kan de rum turordnas?
Svara med en matematisk förkortning!!!
Steve Reinhold

Svar:

Jag vet inte exakt vad du menar med turordnas men förutsätter att uppgiften om pyramiden bara är till för att ge litet glans åt uppgiften. 89 objekt kan räknas upp i en viss ordning på 89! sätt.

Kjell Elfström


1 mars 2000 10.28.08
Har precis börjat med matte...Hur löser jag en
x^3-9x^2+6x-56=0
Snabbt svar...!
Sofia

Svar:

Detta är en tredjegradsekvation och om hur man löser en sådan allmänt finns besked i 18 mars 1997 02.44.41.

Om ekvationen har en rationell rot x = p/q och ekvationens koefficienter är heltal måste högstagradskoefficienten vara delbar med q och den konstanta termen med p. Detta ger då en metod att hitta eventuella rationella rötter. Eftersom högstagradskoefficienten är 1 måste rationella rötter till ekvationen i frågan vara heltal som delar 56. De möjliga rationella rötterna är alltså ±1, ±2, ±4, ±7, ±8, ±14, ±28, ±56. Vi ser omedelbart att vi kan utesluta de negativa möjliga rötterna. Vi prövar de övriga och finner att ingen av dem löser ekvationen. Vi är alltså hänvisade till den allmänna lösningsmetoden.

Kjell Elfström


29 februari 2000 21.15.49
Jag skulle vara hemskt tacksam om ni skulle kunna redogöra väldigt utförligt hur man kommer till svaret på den här frågan!

Visa att arean av den triangel som begränsas av koordinataxlarna och en tangent i en godtycklig punkt på kurvan xy=1, inte är beroende av punkten. (Ledning: Bestäm först ekvationen för tangenten i punkten (a, 1/a).
Göran

Svar:

Kurvans ekvation kan skrivas y = 1/x och dy/dx = -1/x2. I en punkt (a,1/a) på kurvan är tangentens riktningskoefficient alltså -1/a2 varför dess ekvation är

y - 1/a = (-1/a2)(x - a).

Denna tangent skär y-axeln då x = 0, dvs då y = 2/a och x-axeln då y = 0, dvs då x = 2a. Arean blir alltså 2 oberoende av a.

Kjell Elfström


29 februari 2000 19.54.11
Hej Jag min lärare frågade innan vad ordet matematik betyder men du har väl inte svarat än kan du maila svaret till Homeboy_007@hotmail.com
Raman

Svar:

Se 30 november 1999 14.51.17.

Kjell Elfström


29 februari 2000 17.06.32
Jag gillar andragradskurvor men inte andragradsytor. Vad har jag för problem?
MUS

Svar:

Jag förstår varför du föredrar att vara anonym.

Kjell Elfström


29 februari 2000 17.03.39
Ibland används tre streck i "likhetstecknet" - vilken är regeln bakom detta bruk? Jag har observerat att fysiken tenderar att använda det i definitioner, matematiker i "identiteter".
Dogge III, Uppföljaren

Svar:

I matematiken används tre streck i kongruenser, men det är inte sådana som avses i frågan. Ofta används tre streck i identiteter där en likhet gäller för alla x, t ex f(x) (=med 3 streck) 5, för att markera att likheten inte bara gäller för ett visst värde på x.

Kjell Elfström


29 februari 2000 14.21.27
Hej,
Jag har följande problem.
Givet ett intervall, 1 .. n, och ett tal k. Vad är väntevärdet för max-värdet av k stycken slumpvärden i intervallet? (Rektangelfördelade slumptal).
Anders Dellien

Svar:

Det verkar som om slumptalen är heltal. Utfallen är då k-tipler av heltal i intervallet [1,n]. Antalet möjliga utfall är nk. Antalet utfall med 1 som det största talet är 1, antalet med 2 är 2k - 1, antalet med 3 är 3k - 2k osv. Antalet utfall där m är det största talet är mk - (m - 1)k. Sannolikheten att m är det största talet är alltså pm =  (mk - (m - 1)k)/nk. Summerar vi får vi efter förenkling att väntevärdet är

p1.1 + p2.2 + ... + pn.n = (nk + 1 - (1 + 2k + 3k + ... + (n - 1)k))/nk.

Kjell Elfström


29 februari 2000 12.10.57
Det ända jag vill veta är hur man löser ut s ur denna här. t=roten ur(2s/g)+s/v Roten ur gäller bara det innanför parantesen. Tack i förhand
Grabben!!!

Svar:

Flytta över så att rottecknet är ensamt på den ena sidan och kvadrera. Då uppstår en andragradsekvation i s. Lös denna.

Kjell Elfström


29 februari 2000 11.28.08
Hej!
I Persson och Böiers övningshäfte för flervariabel analys hittar man följande:
1.21) Beskriv analytiskt följande avbildningar från R2 till R2:
a) Vinkelrät projektion på linjen x+y=0.
b) Rotation kring origo vinkeln Pi/3.
c) Projektion på närmsta punkt enhetscirkeln (ej definerad i origo).
Hur skall man gå tillväga?
Maui

Svar:

De båda första avbildningarna är lineära och avbildningen kan beskrivas med en matris där kolonnerna är bilderna av basvektorerna (1,0) och (0,1). I a) avbildas (1,0) på (1/sqrt(2),1/sqrt(2)) och (0,1) på (-1/sqrt(2),1/sqrt(2)).

I c) avbildas (x,y) på (1/sqrt(x2 + y2))(x,y). Vi dividerar bara med avståndet från punkten till origo.

Kjell Elfström


29 februari 2000 09.42.50
Vid överföring av en roterande rörelse till en stegvis rörelse kam man använda ett "geneva wheel". Min fråga är vilket är det minsta antalet spår som kan användas?
Gustav Andersson

Svar:

Jag känner inte till definitionen av Geneva wheel men intuitivt tror jag att det är tre spår. Det verkar som om man kan konstruera sådana hjul utifrån en regelbunden n-hörning genom att skära av hörnen med cirklar.

Kjell Elfström


28 februari 2000 17.04.49
Hur konstruerar man en fuktion som har en torus som en nivåyta?
Karl Larsson

Svar:

Skärningen mellan torusen och högra halvan av xz-planet utgörs av en cirkel med radie r och medelpunkt c. Torusen fås genom att rotera denna cirkel kring z-axeln. Cirkelns ekvation är

z2 + (x - c)2 = r2.

Torusens ekvation blir följaktligen

f(x,y,z) = z2 + (sqrt(x2 + y2) - c)2 = r2.

Kjell Elfström


28 februari 2000 15.30.16
När börjar ny millennium och varför?
Mikko Siirilä

Svar:

Ett millennium är en tusenårsperiod och varje ögonblick är början på ett nytt millennium. Att millenniet som började vid årskiftet 1999/2000 fått så stor uppmärksamhet beror på att den första siffran i årtalet ändrades. Det har ju debatterats i tidningarnas insändarspalter om man inte i stället borde tillmäta början av ett annat millennium denna stora betydelse. Det år då Jesus antas ha fötts är år 1 och det är anledningen till denna lilla kontrovers. Den som tycker om att festa kan ju passa på vid båda dessa tilldragelser.

Kjell Elfström


28 februari 2000 09.52.37
Jag har problem med Logaritmer och exponentialfunktioner. Allting som rör e, är bara ett stort töcken... Kan ni tipsa mig om bra litteratur till att komma på rästida med problemet?
Anders Gustafsson

Svar:

Jag tror nog att svaren på dina frågor står i de läroböcker ni använder. Speciell litteratur om ämnet behandlar säkerligen mer avancerade och sofistikerade aspekter. De potenser som är enklast att förstå är de med heltalsexponenter, speciellt positiva sådana. Om a är ett tal och n ett positivt heltal definieras an = aa...a som en produkt av n stycken faktorer a. För sådana potenser gäller de så kallade potenslagarna, dvs

am + n =  aman
am - n =  am/an om m > n, a <> 0
amn =  (am)n
(ab)n =  anbn
(a/b)n =  an/bn om b <> 0

Att dessa lagar gäller följer direkt av definitionen. Målet är sedan att definiera ax för alla reella tal x och alla positiva tal a på ett sådant sätt att ovanstående lagar gäller oförändrade och så att ax blir kontinuerlig: om x och y ligger nära varandra skall också ax och ay ligga nära varandra. Hur detta görs är kanske inte så betydelsefullt.

Om a > 1 är funktionen ax strängt växande så att olika värden på x ger olika värden på ax. Vidare finns för varje positivt tal y ett (och därför precis ett) tal x sådant att ax = y. Detta tal x kallas a-logaritmen av y, alog y. Det gäller därför att

a^(alog y) = y och alog ax = x.

Med hjälp av detta kan man utifrån potenslagarna visa logaritmlagarna.

alog x + alog y =  alog xy
alog x - alog y =  alog x/y
yalog x =   alog xy

När man sedan studerar differenskvoten

(ax - 1)/x

visar det sig att för vissa värden på a går denna mot ett tal mindre än 1 och för andra mot ett tal större än 1 då x går mot 0. Gränsvärdet är ett mått på hur snabbt ax förändras när x = 0. Det bör alltså finnas ett tal a så att detta gränsvärde blir 1. Det gör det också och detta tal kallas e.

Nu definierar man ln x = elog x.

Kjell Elfström


27 februari 2000 15.25.34
Hur beräknar man den euklidiska normen av en 3X3 matris?
Katarina Persson

Svar:

En mxm-matris kan identifieras med ett element i Rm*m (med matriselementen som koordinater) och den euklidiska normen (det finns flera andra matrisnormer) kan då definieras som den vanliga normen i Rm*m, dvs roten ur summan av kvadraterna på matriselementen.

Joakim Petersson


27 februari 2000 00.32.14
Vad är en Radian??
Robban

Svar:

Radianen är ett vinkelmått och definieras som den vinkel som på enhetscirkeln motsvaras av en cirkelbåge med längden 1. Eftersom enhetscirkeln har omkretsen 2Pi och ett varv är 360 grader, följer av definitionen att d grader motsvaras av (2Pi/360)*d radianer. Detta vinkelmått är mycket praktiskt vid den matematiska behandlingen av de sk trigonometriska funktionerna, sin x, cos x etc, som du kanske känner till.

Joakim Petersson


26 februari 2000 19.38.55
Hej, jag har 2 frågor jag funderat lite på. 1. Kan man derivera e^(x^2) exakt? Om inte, varför inte? 2. Man har ofta läst om att vissa exvationer inte gåt att lösa med linjär algebra, så vad är då olinjär algeba?
Anders

Svar:

1. Derivatan av ex*x är 2x*ex*x, så det går. Vad gäller primitiv funktion (funktion som har ex*x som derivata) se tex frågan 3 maj 1999 12.41.57.

2. Det finns många olika sorters ekvationer som alla kräver sina egna lösningsmetoder. Tyvärr förstår jag inte riktigt vilka du syftar på här.

Joakim Petersson


26 februari 2000 19.04.41
Kommentar till Hans Ljungholms fråga angående väta/hastighet ställd den 15/2 -00. Det gjordes faktiskt en seriös avhandling rörande detta ämne av en Japansk fysiker för ett par år sedan. Jag har tyvärr glömt hans namn, men jag har för mig att den optimala hastigheten för en gående, "normalstor" person var 2,6 m/s.
Erik Holm

Svar:

Ja, när man skall gå in på det här regnproblemet i detalj, med alla förutsättningar väl preciserade, så är det förstås från en fysiker man kan vänta sig en seriös avhandling.

Joakim Petersson


26 februari 2000 18.54.36
I en kvartscirkel med radien R är en cirkel inskriven, hur stor radie har cirkeln ????
Åke Kyrkander

Svar:

Den inskrivna cirkeln har radien (sqrt(2)-1)*R. Dra de positiva koordinataxlarna och låt C vara en cirkel i första kvadranten som tangerar båda axlarna. Låt C ha radien r. C blir då inskriven i en kvartscirkel med medelpunkt i origo för precis ett värde R på denna kvartscirkels radie. Men de axelparallella linjerna från den inskrivna cirkelns medelpunkt skär tillsammans med axlarna ut en kvadrat med sidan r. Man ser då att R = r+sqrt(2)*r = (1+sqrt(2))*r, varav r = (sqrt(2)-1)*R. (En bild säger som bekant mer än tusen ord, men den möjligheten har vi tyvärr inte.)

Joakim Petersson


26 februari 2000 14.50.35
Hej. jag undrar hur man löser följande problem. En sluten plåtbehållare med forem av ett rätblock med kvadratisk basyta tillverkas av sammanlagt 1m^2 plåt. Den görs dessutom så, att den får största möjliga volym. Bestäm längdrna av behållarens kanter.
Per-Anders Ljungström

Svar:

Låt r vara basytans sida och h höjden mot basytan. Vi vet att arean är A = 2r2+4rh = 1, varur h kan lösas ut. Vi skall maximera volymen V = V(r) = r2h = r/4*(1-2r2), där 0<r<1/sqrt(2) (för att r och h skall bli positiva). Denna funktion kan maximeras genom att vi sätter V'(r) = 1/4-3r2/2 = 0, varav r = 1/sqrt(6). V(r) blir nämligen störst för detta r. Vi kan sedan få fram h = 1/sqrt(6), så rätblocket är en kub. Om behållaren saknar lock (som jag har räknat med) gör vi på samma sätt.

Joakim Petersson


25 februari 2000 14.01.17
HUr löser jag denna? Funktionen g (x,y) är differentierbar i hela R2 och satisfierar den partiella diffekv. dg/dx-2dg/dy = 0 Visa att linjerna 2x + y = C (C en reell konstant) utgör nivåkurvor till g. Vad är g (1,1) om g (0,y) = y2?
Göran

Svar:

Jag förmodar att du kan läsa om det teoretiska i någon lärobok. Räkningarna blir följande: Nivåkurvorna bestäms av dy/dx = -2, som satisfieras precis av linjerna 2x+y = C. Efter variabelbyte till variablerna 2x+y och y får vi att g(x,y) = f(2x+y) för någon funktion f. Villkoret g(0,y) = y2 ger slutligen att g(x,y) = (2x+y)2 så att g(1,1) = 9.

Joakim Petersson


25 februari 2000 12.59.35
Jag har tittat på svaren gällande frågan om "Bilar över bron". Alltså den här : Vid en bro med bara en körbana uppstår ofta långa köer på morgnar och kvällar. Myndigheterna vill därför sätta upp en skylt med texten: Rekommendation för färd över bron Hastighet: ? km/h Avstånd mellan bilarna: ? m Rekommendationen grundar sig på följande data: Bilarna är 4m och avståndet mellan bilarna bör vara (r+b/2)m där r m är reaktionssträckan vid bromsning och b m själva bromssträckan. Reaktionstiden är 0,2s och bromssträckans kvadratiska beroende av hastigheten kan bestämmas ur tabellen. Hastighet (km/h) 30, 50, 70, 80, 100 Bromsstträcka (m) 6, 16, 32, 43, 69 VAD BÖR STÅ PÅ SKYLTEN? Ju fortare man kör dessto större blir ju avståndet och det är meningen att man ska få fram en hastighet som ger ett lagomt avstånd som gör att så många bilar som möjligt passerar bron varje "tidsenhet". Inget utav era är riktigt riktig vad jag erfarar? Man borde väl kunna göra en anpassad funktion mellan b (Y) och v (x) som då blir en andragradsfunktion. Sedan förstår man att s (verkligt avstånd) = a + 4 = 0,2v + y/2 +4 där y är b (hämtat ur funktionen jag tidigare nämnt). Sedan är sambandet v = s/t och t = s/v = (0,2v + y/2 +4)/v Då vet man sedan t och kan derivera till t´. Men sedan har jag kört fast?
Erik

Svar:

Jag kan bara säga att jag fortfarande föredrar min lösning från frågan 25 april 1999 11.44.39 .

Joakim Petersson


24 februari 2000 16.46.15
Hejsan. Söker lite svar. Sök en ekvation för den kurva r=(x(t),y(t)) som går genom punkten (1,1) och skär varje nivåkurva till f(x,y)=x*y^2 under rät vinkel Tack på förhand.
Johan

Svar:

En vektor som är vinkelrät mot nivåkurvan xy2 = a i punkten (x,y) är gradienten (y2,2xy). Vi söker en kurva vars tangent är parallell med denna i alla punkter. Vi leds då till ekvationen dy/dx = 2x/y, som tillsammans med villkoret att kurvan skall gå genom punkten (1,1) ger att y2 = 2x2-1. Denna kurva kan ges på parameterform enligt r = (x(t),y(t)) = (1/sqrt(2)*cosh t, sinh t).

Joakim Petersson


24 februari 2000 15.50.41
Vad blir integral[från noll till oändligheten](sin t dt)?
ET

Svar:

Denna integral saknar värde eftersom motsvarande integral över [0,R] är 1-cos R, vilket saknar gränsvärde då R går mot oändligheten.

Joakim Petersson


24 februari 2000 11.10.46
Hej! Jag bara undrar om du vet vad TIMMS är för något? Om du har någon information om vad det är för något, eller någon web-sida där man kan gå in och läsa själv...? Tack på förhand! Hälsn.
Peter Svensson

Svar:

Jag måste erkänna att jag inte har en aning om vad TIMMS är för något.

Joakim Petersson


23 februari 2000 23.14.07
Ange en primitiv funktion till 1/(e^3 + 1). Mvh Peter
Peter

Svar:

Jag gissar att funktionen skall vara 1/(ex+1). Annars får du väl ställa frågan en gång till.

En primitiv funktion är funktionen x-ln(ex+1), vilket följer av omskrivningen 1/(ex+1) = 1-ex/(ex+1) och att täljaren är inre derivatan till nämnaren i den andra termen.

Joakim Petersson


23 februari 2000 00.36.06
Går det att algebraiskt lösa ekvationen " e^x-2x-2=0 " ?
Jerker Nilsson

Svar:

Låt f(x) = ex-2x-2. Vi vill lösa ekvationen f(x) = y med avseende på x. Vi säger att x beror algebraiskt på y ("ekvationen kan lösas algebraiskt") om rötterna x uppfyller en ekvation an(y)xn+...+a1(y)x+a0(y) = 0, där aj är polynom. Men ekvationen kan lika gärna skrivas bm(x)ym+...+b1(x)y+b0(x) = 0 genom att vi samlar potenser av y för sig. Detta visar att i så fall även y = f(x) skulle bero algebraiskt på x, och därför att ex skulle bero algebraiskt på x, vilket man kan bevisa är falskt (exponentialfunktionen är en transcendent funktion).

Joakim Petersson


22 februari 2000 22.36.41
c Lös ekvationen |x-3|+3x= |2-x|
Jennie Andersson

Svar:

Man delar upp i tre olika fall, varefter absolutbeloppstecknen kan tas bort.

x<2: 3-x+3x = 2-x. Lösning: x = -1/3.

2<=x<=3: 3-x+3x = x-2. Lösning: x = -5, men denna ligger utanför intervallet.

x>3: x-3+3x = x-2. Lösning: x = 1/3, men även denna ligger utanför rätt intervall.

Lösningen till ekvationen är alltså x = -1/3.

Joakim Petersson


22 februari 2000 14.41.38
Är alla kvadrater romber? Enligt studielitteraturen (Billstein) beskrivs romben som en figur med "fyra lika långa sidor". Svaret på min fråga borde då vara JA. Enligt ett lexikon (jag vet inte vilket)som en klasskamrat tittat i, beskrivs den enligt följande: "ej rätvinkligt parallellogram med alla lika sidor". En livlig diskussion utan slutsats uppstod i klassrummet. Så....är alla kvadrater romber eller inte?
Anna Eriksson, LHS Stockholm

Svar:

Jag tycker personligen att en romb kan få vara en kvadrat likaväl som en parallellogram kan få vara en rektangel. Det hela är en smaksak (tycker ni förresten att en cirkel skall få kallas ellips, att 1 skall räknas som primtal osv?).

Joakim Petersson


20 februari 2000 15.08.34
Hej, Hur kan man Visa att om man har 5 tal mellan 0 och 1 måste åtminstone två punkter befinna sig på ett avstånd som är mindre än eller lika med 0,25 Tack

Svar:

Antag att alla tal skiljer sig åt med minst 0,25. Det största avståndet mellan två tal blir då > 4*0,25=1, vilket är en motsägelse då alla låg intervallet [0,1].

Jonas Månsson


20 februari 2000 15.04.11
Hej, Jag behöver hjälp med en fråga. Hur många ord med tre bokstäver {a,b,c...ä,ö} måste man välja för att vara säker på att två av dem stämmer på minst en position. Exempel: aaa, dea och eda stämmer på den sista positionen. Svenska alfabetet har 29 bokstäver.
Karin

Svar:

Ett tillräckligt antal ord är 'antalet bokstäver'+1 d.v.s 30 st. För att 30 skyltar inte ska ha någon bokstav gemensam på t.ex den första positionen i ordet krävs att alla bokstäver är olika vilket är en omöjlighet. Det är också lätt att visa att det krävs minst så många ord genom att konstruera en specialuppsättning av ord.

Jonas Månsson


19 februari 2000 23.22.45
Vad är definitionen för att en funktion ska vara analytisk? Har hört något om att några villkor måste vara uppfyllda, vilka?
Erik

Svar:

Jag hänvisar till svaret från 14 april 1999 00.49.49.

Jonas Månsson


19 februari 2000 22.12.31
1. Varför skulle utomjordingar som kontaktar oss utnyttja just primtal för att få oss uppmärksamma? Kan inte primtal genereras av ett "vanligt" fysikalisk fenomen? 2. Finns det andra talföljder som har samma egenskap som primtalen? 3. Varför påstår man ett X är det hitills största kända primtalet, när man alltid kan generera ett större genom att beräkna 2*3*5*7*11*...*Pn+1 ?
Prim Tal

Svar:

1. Det är troligen för att vi uppfattar vårt heltalssystem som väldigt naturligt, och något som en annan intelligent livsform troligtvis skulle använda. Återigen, om våra grundläggande matematiska system är lika, är primtal väldigt naturliga byggstenar. Aritmetikens fundamentalsats säger att varje heltal på ett unikt sätt kan skrivas som en produkt av primtalsfaktorer.
2. Du får nog precisera närmare vad du menar med egenskaper hos primtalen i så fall.
3. Därför att 2*3*5*....*Pn+1 inte är ett primtal - den har t.ex delaren Pn+1. Det du säkert åsyftar är Euklides bevis för att det finns oändligt många primtal. Detta bevis är dock inte konstruktivt, d.v.s det genererar inte nya större primtal explicit, utan bygger på ett motsägelseargument.

Jonas Månsson


19 februari 2000 14.01.49
Skulle vara tacksam om ni steg för steg kunde förklara hur man löser en komplex andragradsekvation av typen: 5(z-5)^2+50=0 M.v.h.
David Broman

Svar:

Se svaret från 26 oktober 1998 12.58.10.

Jonas Månsson


17 februari 2000 14.58.17
Hur många veckor är det på ett ljusår?
Johan

Svar:

Ljusår är ingen tidsenhet, utan en längdenhet. Ett ljusår avser den sträcka ljuset färdas på ett år.

Jonas Månsson


16 februari 2000 22.54.36
hallå... jag går tredje året på natur och håller på med mitt specialarbete. jag har tänkt att välja någonting inom matematiks historia och då lite mer inriktat på matematiska hjälpmedel (t.ex. kulramen) och mindre på matematikerna. nu gick det åt pipan när jag letade info om kulramen och bestämde mig för att ta gyllne snittet istället och undrar då om ni har några helbra böcker eller länkar som ni kan tipsa mig om. tack på förhand kicki
kicki wigren

Svar:

Se svar från 23 november 1998 13.04.48.

Jonas Månsson


16 februari 2000 20.12.23
Hej! Jag undrar hur Sveriges matematik historia började?
Lilian

Svar:

Då kan jag rekommendera Lars Gårdings bok Matematik och Matematiker, Matematiken i Sverige före 1950 (Univ.Press 1994).

Jonas Månsson


16 februari 2000 15.22.36
Vad är och hur fungerar Venndiagrammet.Kan Ni ge exempel på vad man kan använda det till. Vi har fått den uppgiften i vår lärarutbildning men det är svårt att hitta en förklaring. Vi tackar på förhand. M.v.h. Anita och Liane
Liane Hetland

Svar:

Det är en modell för att representera förhållandet mellan olika mängder. För en utförligare beskrivning se Eric W's world of mathematics.

Jonas Månsson


15 februari 2000 16.24.20
VAd är primitiva funktionen till (ln^2 x)/(rot(x)) ?!
oller och odog

Svar:

Genom att partialintegrera två gånger (vi kan t.ex använda den primitiva funktionen för faktorn 1/sqrt(x) bägge gångerna) får vi den primitiva funktionen

F(x)=2*sqrt(x)*(ln^2(x)-4*ln(x)+8)+C

Jonas Månsson


15 februari 2000 15.06.52
Vi säljer 4000 st OLJEFILTER per år. 58procent av volymen går via egen verkstad, 18procent säljs via butik (till bruttopris) samt 24procent säljs via grossisten. Vårt totala inköpspris (baspris) är 286 560:-. Vår bruttomarginal är 55procent, externrabatten är 20procent. Fråga1 - Vad är vår totala förtjänst/vinst i kronor? Fråga2 - Vad är vår totala bruttomarginal i procent?
Roy Andersson

Svar:

Jag måste erkänna att jag inte är riktigt insatt i den terminologi du använder. Om du definierar varje begrepp tydligt och klart kan jag nog svara på frågan.

Jonas Månsson


15 februari 2000 13.23.05
Jag har provat att implementera en spline-algoritm i C++, men det fungerar inte som tänkt. Sedan hittade jag en bok som beskriver själva algoritmen, men den verkar inte vara korrekt. Bl a tilldelas vissa variabler värden, trots att de aldrig används. Vet du några bra referenser till spline-ALGORITMER?
Morgan, Chalmers

Svar:

Jag är inte insatt i spline-algoritmer. Prova med att söka på nätet. Jag lyckades hitta följande sida om splines och spline algoritmer, där kanske du hittar vad du söker.

Jonas Månsson


15 februari 2000 12.07.40
En matematisk modell ska ställas upp på frågan: Det regnar ute, ska man springa eller gå för att få så lite vatten som möjligt på sig? Hänsyn ska tas till vindstyrka, vindriktnig och hastigheten med vilken regnet faller.
Hans Ljungholm hansljungholm@hotmail.com

Svar:

Det här är nog mer en fysikfråga. Man får säkerligen mer vatten på sig om man springer. Däremot, förutsatt att det går att ta skydd från regnet någonstans, minskas givetvis den tid som spenderas i regnet. Med denna förutsättning har jag hört att det kvittar om du går eller springer - vattenmängden blir densamma.

Jonas Månsson


14 februari 2000 17.59.01
Har någon löst Fermats gåta och vilket är i så fall svaret?
knils@zeta.telenordia.se

Svar:

Jag hänvisar till svaret från den 17 mars 1997 11.30.49.

Jonas Månsson


14 februari 2000 13.38.49
Vad är addition

Svar:

Hur man inför addition mellan naturliga tal kan du läs om i svaret från 29 november 1998 14.28.24.

Jonas Månsson


12 februari 2000 16.40.29
Hej, lite frågor: 1. Om man säger att D är ett underrum till R^n, betyder det då att D är ett vektorrum vilket i sig medföra att dimD<n? 2. Gauss sats dublint(F*dS) över området D = triplint (divFdV) över en mängd omega, om D=(x^2+y^2+z^2=1 och z>=0) är då omega hela halvsfären? 3. Det slutna höljet av en mängd, är det verkligen alla inre punker och randpunkterna? Är slutna höljet av mängden (x^2+y^2>1 och x^2+y^2<4) bara "ringen" med radie mellan 1 och 2 eller är det hela cirkeln x^2+y^2<=4? Tack på förhand.
Erik Lindgren

Svar:

1) Ja, ett underrum i R^n är detsamma som ett vektorrum som är en delmängd av R^n. Eftersom dimensionen av ett vektorrum är det maximala antalet lineärt oberoende vektorer i vektorrummet och n+1 vektorer i underrummet aldrig kan vara lineärt oberoende eftersom de är lineärt beroende i R^n så måste dimensionen av underrummet vara högst n.

2) Ytan D skall vara randen av omega, så om omega är halvklotet x^2+y^2+z^2 =< 1, z >=0 så består D av halvsfären x^2+y^2+z^2=1, z>=0 samt cirkelskivan x^2+y^2 =< 1, z=0.

3) Slutna höljet av en mängd i R^2 (eller något annat topologiskt rum) är unionen av dess inre punkter och dess rand. Den mängd du beskriver,  x^2+y^2>1 och x^2+y^2<4, har endast inre punkter. Till slutna höljet tillkommer randen som består av cirklarna x^2+y^2=1 och x^2+y^2=4. Punkterna innanför den inre cirkeln tillhör inte det slutna höljet.

Anna Torstensson


11 februari 2000 16.56.40
Hur bestämmer man antalet rötter till en ekvation av typen: sin(2x) + 2sinx = a för varje reellt a?
claes

Svar: Om man först använder formeln för dubbla vinkeln sin(2x)=2sin(x)cos(x) får man ekvationen 2sin(x)(cos(x)+1)=a. Sedan kan man göra substitutionen t=sin(x), vilket ger cos(x)=+-sqrt(1-t^2). Uttryckt i t blir ekvationen 2t(1+-sqrt(1-t^2))=a eller ekvivalent +-sqrt(1-t^2)=a/(2t)-1. Varje lösning till denna ekvation är också en lösning till den ekvation vi får om vi kvadrerar båda sidor dvs 1-t^2=a^2/(4t^2)-a/t+1. Efter multiplikation med t^2 får vi en fjärdegradsekvation i t. Sådana kan lösas  med "formel" (se  14 december 1997 13.32.37) men lösningarna blir komplicerade. Om vi löser ekvationen får vi för ett givet a fyra olika (komplexa) värden på t. Av dessa är vi endast intresserade av de som är reella och ligger mellan -1 och 1. Om vi får några sådana lösningar för t ges sedan x av arcsin(t). För att vara säkra på att vi verkligen fått en lösning måste vi sedan sätta in värdet och kontrollera att det stämmer eftersom falska rötter kan ha uppstått vid kvadreringen av ekvationen.

Anna Torstensson


11 februari 2000 11.51.50
I min dotters gymnasiekurs används en lärobok, där begreppet polygon definieras som en öppen följd av i ändpunkterna sammankopplade sträckor, vilka inte behöver ligga i samma plan. Boken är översatt till svenska från ett finskspråkigt original, och översättaren säger sig ha följt Skolöverstyrelsens "Matematikterminologi i skolan". Enligt alla källor jag har hittat är en polygon alltid en sluten och plan figur. Har denna definition ändrats, och i så fall när och av vem? I samma lärobok påstås även att en pyramid är en kon och att ett prisma är en cylinder. Kan detta vara korrekt?
Paul Håkans

Svar: Nej, definitionen av polygon har inte ändrats. Ingen av de tre definitioner från läroboken som du nämner stämmer överens med de som brukar användas. Om det du har återgivit här är korrekt så tycker jag att det verkar väldigt olämpligt att använda denna lärobok. "Felaktiga" definitioner kan ju skapa stor förvirring när man senare stöter på de som brukar användas.

Anna Torstensson


10 februari 2000 23.08.11
Ar det nagon skillnad pa funktionerna f(x) = 2x/x och g(x) = 2?
Linus Thand

Svar: Ja, f är inte definierad i x=0. Ofta bestämmer man sig för att om en funktion är odefinierad i en enstaka punkt och gränsvärdena av funktionen när man närmar sig punkten från vänster och höger sammanfaller ( dvs grafen grafen har inget hopp i punkten) så ger man funktionen detta värde i punkten. I vårt fall har f vänster- och högergränsvärde 2 i x=0 så det skulle vara rimligt att bestämma sig för att f(0)=2.  Om man gör det sammanfaller de båda funktionerna.

Anna Torstensson


10 februari 2000 19.05.25
Hej, jag har en fråga om Laplacetransformer. Om jag står inför ett transformerat uttryck av typen Y(s)=1/s(1+a*s) så kan man då med hjälp av tabell komma fram till att motsvarande tidsfunktion blir y(t)=1-e^(-t/a). Om nu istället Y(s)=1/(5*s(1+s/5)), hur skall jag hantera den konstanta termen 1/5 ? Ja, jag har ju sett att man helt enkelt multiplicerar y(t) med 1/5 men varför detta? Har ni dessutom några tips på litteratur angående teorin bakom Laplacetranformen vore jag ytterligt tacksam.
Fredrik Finér

Svar: Om vi har en funktion x(t) ges dess Laplacetransform av (L(x))(s)= integral [0,oändligheten) e^(-st)x(t) dt. Det följer direkt från definitionen att om k är en konstant så L(kx)=kL(x) eftersom vi kan flytta ut konstanten i integralen utanför integraltecknet. I ditt fall känner du till att L(y)=Y och du söker z så att L(z)=Y/5, men vi har sett att L(y/5)=1/5*L(y)=Y/5z=y/5. För att kunna dra den sista slutsatsen måste man veta att Laplacetransformen har en entydig invers. Beviset för det är för långt för att återge här, men det finns många böcker om Laplacetransformer. Leta på någon av de större bokhandlarna på internet så hittar du säkert någon bok som passar dig.

Anna Torstensson


18879 frågor av sammanlagt 19289 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)