Fråga Lund om matematik

Sökresultat


12 januari 2001 09.56.43
Från den sibiriska tundran har man funnit en mammuts ben där kol isotopen C-14 har minskat med 14% från den mängd som fanns hos en levande mammut. För hur länge sedan levde mammuten?
Från en egyptisk pyramid funnen mumie fanns år 1970 en 65% minskning av kolisotopen c-14. Från vilken tid är mumien?
Triin Gyllenberg

Svar:

Enligt modellen för radioaktivt sönderfall är mängden kvarvarande radioaktivt kol y = y0e-Lt, där y0 är mängden vid tiden t = 0 och L en positiv konstant. Om H är halveringstiden för radioaktivt kol gäller

(1/2)y0 = y0e-LH <--> -ln 2 = ln(1/2) = -LH <--> L = (ln 2)/H.

Vi nöjer oss nu med mammuten. Enligt uppgifterna är

0,14 = e-t(ln 2)/H <--> -t(ln 2)/H = ln 0,14 <--> t = -H(ln 0,14)/(ln 2).

H får du slå upp i någon tabell.

Kjell Elfström


12 januari 2001 09.06.34
Positiva tals HARMONISKA MEDELVÄRDE är de positiva talens inverterade tals medelvärde. Och deras inverterade tal. Jag antar att ni lundare nog vet vad ett HARMONSIKT MEDELVÄRDE är.
a)Bestäm ett uttryck för talen a och b harmonsika medelvärde.
b)Halva resan körs med medelhastigheten v1 och andra halvan med v2. Bestäm ett uttryck för hela färden medelhastighet. (Gjort) Bevisa, att hela färdens medelhastighet är färdens två halvors medelhastigheter v1 och v2 harmonisa medelvärde.
c)Första tredjedelen av resan åktes med hastigheten 60 km/h, den andra tredjedelen med hastigheten 80 km/h och den tredje med hastigheten 100 km/h. Vilken var medelhastigheten under hela resan

Svar:

Det harmoniska medelvärdet H av de positiva talen v1,v2,...,vn definieras genom

1/H = (1/v1 + 1/v2 + ... + 1/vn)/n,

dvs som det inverterade värdet av det aritmetiska medelvärdet av de inverterade värdena. Antag nu att en färdväg med längden s delas upp i n lika långa delar och att medelhastigheten i vägavsnitt nr k är vk. Låt tk vara den tid det tar att tillryggalägga detta vägavsnitt. Då är tk = (s/n)/vk. Om tiden för hela vägsträckan är t och medelhastigheten är v så gäller att

s/v = t = t1 + t2 + ... + tn = (s/n)/v1 + (s/n)/v2 + ... + (s/n)/vn = (s/n)(1/v1 + 1/v2 + ... + 1/vn),

varav det följer att

1/v = (1/v1 + 1/v2 + ... + 1/vn)/n.

Detta visar att v är det harmoniska medelvärdet av delhastigheterna.

Kjell Elfström


12 januari 2001 08.58.40
Två tredjedelar av färden kördes med medelhastigheten v1 och den sista redjedelen av färden med medelhastigheten v2. Bilda ett rationellt uttryck för hela färdens medelhastighet. Räkna sedan ut medelhastigheten för hela färden, om hastigheten i början är 50 km/h och i slutet 199 km/h. I denna uppgift tappar jag bort mig då jag formar uttrycket. Kan ni hjälpa mig att forma detta rationella uttryck.
Katharina Kronstedt

Svar:

Se 10 januari 2001 11.26.30.

Kjell Elfström


12 januari 2001 01.11.14
man har 12 nötter och en våg. 11 nötter är fräscha och 1 är rutten. hur hittar man den ruttna nötten om man bara får väga 3 gånger? Anta att man har en balansvåg. man vet inte hur mycket den ruttna eller de fräscha nötterna väger, bara att en fräsch nöt inte väger lika mycket som en rutten nöt.
kalle

Svar:

Se 9 april 1997 20.59.45.

Kjell Elfström


11 januari 2001 22.04.50
Hej
Har en uppgift som jag grunnat på ett tag. Jag har ett lemma där jag antar att a och b är heltal och p är ett primtal så dant att det delar ab. Då gäller att p delar a eller p delar b. Varför ska man anta här att p är ett primtal? Gäller det om det inte är ett primtal? Hur vet jag det?Är här någon koppling till aritmetikens fundamentalsats eller Euklides algoritm?
Eva

Svar:

Om p inte är ett primtal kan man inte dra den slutsatsen. T ex är ju 2·3 delbart med 6 men varken 2 eller 3 är delbart med 6. Lemmat kan bevisas med hjälp av Euklides algoritm och beviset av aritmetikens fundamentalsats bygger på lemmat.

Kjell Elfström


11 januari 2001 17.00.10
I den likbenta triangeln ABC är AB=AC. Vidare är D en punkt på BC och E en punkt på AC så att AD=AE och vinkeln BAD=40 grader. Bestäm vinkeln EDC.
tacksam för svar
Björn J

Svar:

Låt a, b och c vara vinklarna ABC, ADE resp. den sökta vinkeln. Utnyttjar vi att vinkelsumman i ABD är 180° får vi

a + 180° - b - c + 40° = 180°.

Utnyttjar vi sedan att vinkelsumman i CDE är 180° får vi

a + c + 180° - b = 180°.

Drar vi den ena ekvationen från den andra blir vi av med a och b och kan lösa ut c.

Kjell Elfström


11 januari 2001 14.38.38
ja går på gymnasiet och har fått i uppgift att utreda vad en matris är. vore tacksam för hjälp.
sofia

Svar:

En matris är ett rektangulärt schema av tal. Se t ex 5 december 2000 11.07.14. Matris heter på engelska matrix, men vill du söka på Internet bör du söka efter matrices, som är pluralformen. Matrix ger väldigt många irrelevanta träffar.

Kjell Elfström


11 januari 2001 14.22.56
Fins det en allmen formel för att lösa högregrads ekvationer med?
Primosz

Svar:

Se 18 mars 1997 02.44.41.

Kjell Elfström


11 januari 2001 13.50.40
Hej! Jag laddade ned ett grafritande program för ett tag sedan och undrar nu en sak. Det fanns två "nya" rutnätsvarianter jag aldrig kommit i kontakt med tidigare. Det var
Angular Grid
Radial Grid
Vad är detta för "rutnät" (end. Grid) och när används dom?
Stefan

Svar:

Ett polärt koordinatsystem i planet bestäms av en pol och en riktning. De polära koordinaterna (r,t) för en punkt med avseende på detta koordinatsystem bestäms av att r är punktens avstånd från polen och t är vinkeln mellan riktningsstrålen och en stråle från polen som går genom punkten. På jordytan (som visserligen inte är ett plan) är nordpolen en pol och meridianen som utgår från nordpolen och går genom Greenwhich en sådan riktning. Breddgrad och längdgrad är de polära koordinaterna för en ort på jordytan. Vissa kurvor får enklare ekvationer i polära koordianter än i vanliga cartesiska koordinater. T ex är ekvationen för en cirkel med radien a kort och gott r = a i polära koordinater medan t ex r = tt > 0 är ekvationen för en spiral. Att i ett vanligt koordinatsystem skapa ett rutnät genom att rita axelparallella linjer svarar i ett polärt koordinatsystem mot att man ritar cirklar med medelpunkt i polen och strålar utgående från polen, Man får då ett nät likt det som består av vissa utvalda bredd- och längdgrader på en jordglob. Med radial grid brukar då avses cirklarna och angular grid strålarna.

Kjell Elfström


11 januari 2001 13.19.50
Hej! Jag skulle behöva hjälp med en primitiv funktion till Sqrt(r2-x2)med avseende på x
Tack på förhand!!!!
Andy

Svar:

Se 28 januari 1999 12.48.27.

Kjell Elfström


11 januari 2001 12.26.53
Vad är den Gyllene medelvägen?
Emma

Svar:

Det är den väg det är bäst att gå, men något matematiskt begrepp tror jag inte det är.

Kjell Elfström


11 januari 2001 09.38.25
Vad kallas en cirkel som har lite av en triangelform, typ vankelmotor.
petta

Svar:

Tyvärr har jag inget namnförslag. Du kan försöka att leta själv på 2d curves eller Famous Curves Index.

Kjell Elfström


10 januari 2001 18.25.57
Hej.
Denna fråga gäller beviset för associativa räknelagen,
ix) A(BC) = (AB)C ,
för matriser (sid 34, kap 2, i Tengstrands bok Lineär Algebra och vektorgeometri)
Beviset går som följer;
Tre kolonnmatriser X,Y,Z och tre godtyckliga matriser A,B,C (med sådana typer att matrismultiplikation är definierad antar jag) Och likheterna;
Y=CX, Z=BY, U=AZ är givna.
Genom substitution fås;
U=(AB)Y (a)
U=((AB)C)X (1)
och,
Z=(BC)X
U(A(BC))X (2)
Dvs, (1)=(2) vilket visar det hela.
Jag tycker nu att (a), U=(AB)Y, verkar vara cirkelbevisföring. Borde det inte stå U=A(BY) när det nu är Z=BY som sätts in i U=AZ??
Eller är det så att jag missar det självklara?
mvh
Nils
Imperium Romanum

Svar:

Du missar ingenting självklart men du missar påståendet mitt på sidan 32. Författaren har alltså visat att resonemanget är tillåtet i ett specialfall och han talar där om att det är tillåtet allmänt utan att bevisa detta.

Kjell Elfström


10 januari 2001 17.55.02
Jag vill veta hur man räknar ut det här:
lim ((sinx/sin2)^(1/x-2)) x->2
reza ghorbani

Svar:

Skriv först om uttrycket som ef(x), där f(x) = ln((sin x)/(sin 2))/(x - 2). Eftersom kvoten under logaritmen går mot 1 skriver vi om den som 1 + t, där t = (sin x)/(sin 2) - 1 --> 0 då x-->2 för att få ett standardgränsvärde. Vi kan då skriva

f(x) = (ln(1 + t)/t)(t/(x - 2)) = (1/sin 2)(ln(1 + t)/t)(sin x - sin 2)/(x - 2).

Den sista kvoten är differenskvoten för sin i punkten 2 så den går mot sinusderivatans värde i 2, dvs cos 2. Vi får alltså att f(x) --> (cos 2)/(sin 2) = cot 2 då x-->2 varför den ursprungliga funktionens gränsvärde då x-->2 är ecot 2.

Kjell Elfström


10 januari 2001 17.08.08
Hej. En fråga om Alef-tal. De rationella talen har kardinaltalet Alef-noll. Innebär det att även mängden av rötter till de rationella talen har kardinaltalet Alef-noll ? Trancendenta tal ska vara alla tal som inte är rötter i en algebraisk ekvation med rationell koefficienter. Är det samma sak som att säga att det är alla tal som inte är rötter till rationella tal ? God fortsättning
Thomas

Svar:

De algebraiska talen är de tal som är nollställen till polynom med rationella koefficienter (dock inte nollpolynomet) och det finns algebraiska tal som inte är rötter till rationella tal. T ex är 1 + 21/2 ett algebraiskt tal eftersom det är nollställe till polynomet x2 - 2x - 1. Däremot är det inte kvadratrot till något rationellt tal eftersom dess kvadrat 3 + 2·21/2 är irrationell. Den norske matematikern Abel har visat att det till och med finns algebraiska tal som inte kan erhållas genom successiva rotutdragningar (andra-, tredje- och högre rötter) från de rationella talen. Det är sant att mängden av rötter till de rationella talen har karidinaltalet Alef0 men det är också kardinaltalet för de algebraiska talen. För att förenkla resonemanget kan vi först konstatera att om ett tal är nollställe till ett polynom med rationella koefficienter så är det också nollställe till ett polynom med heltalskoefficienter. Det är ju bara att multiplicera det rationella polynomet med alla koefficienternas nämnare så får man ett polynom med heltalskoefficienter som har samma nollställen som det rationella. Sedan kan man börja med att konstatera att mängden av polynom med heltalskoefficienter är uppräknelig (dvs har kardinaltalet Alef0). Tag först alla polynom med heltalskoefficienter av grad högst 1 som är sådana att det största av koefficienternas absolutbelopp är högst 1, men tag inte med nollpolynomet. Det finns bara ändligt många sådana, närmare bestämt åtta stycken. Räkna upp dessa i en viss ordning. Tag sedan alla av grad högst 2 sådana att det största av koefficienternas absolutbelopp är högst 2, utom dem vi redan tagit. Fortsätt uppräkningen med dessa. I det n:e steget tar man alla polynom av grad högst n sådana att det största av koefficienternas absolutbelopp är högst n och fortsätter så, men tar inte med nollpolynomet. På detta sätt får man en uppräkning av av alla polynom med heltalskoefficienter utom nollpolynomet. Därefter kan man räkna upp de algebraiska talen genom att först ta med alla nollställen till det första polynomet i uppräkningen (om det finns några) och räkna upp dessa i en viss ordning, sedan tar man det andra polynomets nollställen (de som inte kommit med som nollställen till ett tidigare polynom) och fortsätter uppräkningen med dessa. Genom att fortsätta så får man med alla algebraiska tal i uppräkningen.

Kjell Elfström


10 januari 2001 17.03.07
Hej! Jag har en fundering. När man säger att vi oftast utgår från att vårt tredimensionella rum är euklidiskt. Exakt vad innebär detta?
Fredrik

Svar:

I ett euklidiskt rum gäller parallellpostulatet, dvs att genom en punkt utanför en linje L1 går precis en linje L2 som är parallell med L1. Om det inte är euklidiskt är det krökt. Man förstår det kanske bäst i två dimensioner. Begreppet linje är egentligen ett odefinierat begrepp, vars egenskaper fastslås i postulat. Vanliga linjer i ett plan uppfyller dessa postulat, men det gör också t ex storcirklar på en sfär om man bortser från parallellpostulatet. Tvådimensionella varelser som bor i ytan av en sfär skulle uppleva storcirklarna som linjer. Skall de gå kortaste vägen från en punkt till en annan skall de följa en storcirkel som går genom punkterna. Men i deras geometri gäller inte parallellpostulatet. Två storcirklar skär nämligen alltid varandra. Det finns också så kallade hyperboliska geometrier. Där finns alltid flera linjer som går genom en punkt utanför en given linjen och är parallella med denna. I den tredimensionella rymden böjs ljusstrålar av när de passerar massor på grund av gravitationen. Man kan tolka detta som att de följer geodetiska linjer i en krökt rymd.

Kjell Elfström


10 januari 2001 16.09.00
Hej. En praktisk fråga. Jag har en cylider-formad tank som "ligger" ner.. höjden är 1.1M, bredden är 1.5M (1.5m3) det finns olja upp till 27cm från botten. Hur räknar man på ett enkelt sätt ut hur många liter det finns kvar. Hoppas på svar /mvh tommy
Tommy Svensson

Svar:

Se 30 januari 1997 09.59.08.

Kjell Elfström


10 januari 2001 15.01.02
Jag skriver just nu på ett skolarbete om fraktaler och min lärare tipsade om att ta reda på vad begreppet kaos innebär i sammanhanget. Alltså: Vad har "kaos" att göra med fraktaler?
Anders Gunnarson

Svar:

För många rekursivt definierade talföljder

zn + 1 = f(zn)

gäller att zn stabiliseras nära ett visst värde ganska oberoende av vilket värde man startar med. Sådana talföljder dyker ofta upp i ekologin. zn kan då vara antalet individer i den n:e generationen av någon djurpopulation och f beskriver hur antalet individer i en generation beror på den föregående. Sådana modeller används för t ex insekter där en generation fortplantar sig för att sedan gå under så att generationerna inte flyter in i varandra. Om talföljden stabilseras oberoende av startvärde kommer en stabil population som utsätts för någon störning, säg en epidemi som gör att en stor del av populationen dör, småningom att stabiliseras på samma värde. Fraktaler definieras ofta med hjälp av rekursionsföljder med helt andra egenskaper. En ytterst liten ändring i startvärde gör att följden utvecklas på ett helt annat sätt. Sådana modeller antas uppträda i t ex meteorologin, där ytterst små förändringar någonstans på jorden kan göra att vädret någon annanstans genomgår dramatiska förändringar. Detta är ett kaotiskt, ej förutsägbart beteende. Se också 17 mars 1997 16.57.52.

Kjell Elfström


10 januari 2001 12.52.19
Hur löser jag ut k ur följande ekvation?
Y=F(k-c)/(A+k-B)(k-c)-k^2
Kristian

Svar:

Sättet på vilket du satt parenteserna får mig att tvivla på att du skrivit rätt. Om det andra (k - c) skall vara i nämnaren kan man ju förkorta bort det mot det första och i annat fall är det en besynnerlig upprepning. Eller skall F vara en funktion? I så fall kan man inte ge någon allmän metod.

Kjell Elfström


10 januari 2001 11.26.30
Två tredjedelar av färden kördes med medelhastigheten v1 och sista tredjedelen av färden med medelhastigheten v2. Forma ett rationellt uttryck för hela färdens medelhastighet. Räkna sedan medelhastigheten för hela färden, om hastigheten i början är 50 ikm/h och i slutet 100 km/h
Harry

Svar:

Jag förutsätter att medelhastigheten var v1 under två tredjedelar av vägen och inte av tiden färden tog. Antag att medelhastigheten var v1 sträckan s1 och v2 sträckan s2 och att s1 + s2 = s är hela sträckan. Antag att tiden för att färdas den första sträckan är t1 och tiden för den andra t2. Medelhastigheten är då v = s/(t1 + t2). Men t1 = s1/v1 och t2 = s2/v2 och vi får

v = s/(s1/v1 + s2/v2) = sv1v2/(s1v2 + s2v1).

Eftersom s1 = (2/3)s och s2 = (1/3)s får vi

v = 3v1v2/(v1 + 2v2).

Kjell Elfström


10 januari 2001 10.25.32
Jag har en gång tidigare frågat denna fråga av er man fick inget svar: Kraftiga jordbävningar mäts enligt richterskalan. Styrkan M richter anknyter sig till mängden lösgjord energi E enligt formeln: M=3,2+LOG(Basen 32)*E Energins enhet är (MWh).
A) År -94 hade en jordbävning styrkan 6,1 richter. Beräkna mängden frigjord energi. Ifall ett kraftverk producerar 880 MWh energi hur länge tar det innan mängden lösgjord energi skulle ha producerats?
B) Bilda ett uttryck med vars hjälp energin E kan räknas ut ur richterskalan M.
C) Ifall en jordbävningens styrka är ca. 8 richter. Hur mångfaldig blir energimängden jämfört med skalvet -94?
D) Hur mångfaldig blir skalvets energimängd om jordbävningens styrka ökar med en richter? Två richter?
Detta är en mycket lång fråga men jag har sammanställt olika frågor för att frågas på en gång.
Jan-Anders Salenius

Svar:

Jag svarar på B och D eftersom A och C är specialfall av dessa.

B Vi har alltså M = 3,2 + 32log E. Detta ger att 32log E = M - 32, vilket i sin tur ger att E = 32M - 3,2.

D Av B följer att om M ökar en enhet så ökar E 32 gånger. Ökar M med m enheter ökar E 32m gånger.

Kjell Elfström


10 januari 2001 10.15.27
Vilket är det största värdet funktionen h(X)=x^3-10x-2^x får mellan klammer(-10,10)? Ange svaret med två siffrors noggranhet. Skall man inte derivera?
Johanna

Svar:

Vill man göra en stringent undersökning så kan man börja med att derivera tre gånger. Man kan nämligen bestämma tredjederivatans nollställen exakt. Det visar sig att tredjederivatan har precis ett nollställe i intervallet. Till vänster om detta är tredjederivatan positiv och till höger negativ. Av detta följer att andraderivatan är strängt växande till vänster och strängt avtagande till höger om detta nollställe. Genom att studera tecknet av andraderivatan i ändpunkterna och i extrempunkten finner man att andraderivatan har precis två nollställen. h'' är först negativ, sedan positiv och sedan negativ igen. Av detta följer att förstaderivatan först är strängt avtagande, sedan strängt växande och sedan strängt avtagande igen. Genom att sätta in några lämpliga värden i förstaderivatan finner man att den har precis tre nollställen och att det bara i det första och det tredje sker en sådan teckenväxling att h har lokalt maximum. Då kan man sluta sig till att det största värdet av h måste antas i någon av dessa båda punkter. Man kan även få fram att dessa nollställen till derivatan ligger kring -2 och 8. Finn nu approximationer till dessa båda lösningar till ekvationen h'(x) med Newton-Raphsons metod. Sätt sedan in dessa båda närmevärden i h och se vilket som är störst.

Kjell Elfström


10 januari 2001 10.12.54
Då köttfärsens kilopris var 56 sek, fick kötthandlaren sålt 120 kg kött i dagen. Kötthandlaren förutspådde, att för varje en kronas förhöjning i kilopriset minskar dagsförsäljningen med 6 kg. Hur ser funktionens uttryck ut och vilken blir definitionsmängden?
Kim

Svar:

Om priset är 56 + t kronor är försäljningen 120 - 6t kg per dag. Byt ut t mot x - 56 så får vi att priset x kronor ger försäljningen f(x) = 120 + 6·56 - 6x = 456 - 6x kg per dag. Definitionsmängden bestäms av att x >= 0 och f(x) >= 0.

Kjell Elfström


10 januari 2001 10.09.32
Bestäm a så, att funktionen f(x)=(x+a)(x-2) gäller f(-1)=0. Med vilket värde för x får funktionen f då värdet 1. Jag har länge funderat på detta men tyvär inget konkret har jag åstadkommit.

Svar:

För att

f(-1) = (-1 + a)(-1 - 2) = 3(1 - a)

skall vara 0 så måste a = 1. Din andra fråga får du besvarad om du löser ekvationen

f(x) = (x + 1)(x - 2) = 1.

Kjell Elfström


10 januari 2001 09.59.13
Tina märkte, att hennes födelseår 1980 är produkten av två på varandra följande naturliga tal. Vilka är dessa två tal? Vilket är följande lika bra år? Jag bara frågar?
Johan

Svar:

Påståendet betyder att 1980 = n(n + 1) för något naturligt tal n. Denna andragradsekvation har rötterna n = -45 och n = 44, av vilka bara det sista är ett naturligt tal. Nästa lika bra årtal är alltså 45·46 = 2070.

Kjell Elfström


10 januari 2001 09.57.34
Hur löser man andragradsekvationen utan!!! rotforlmen??? Ingen aning!
Matthias

Svar:

Med hjälp av kvadratkomplettering. Eftersom (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 så är (x + p/2)2 = x2 + px + (p/2)2 varav det följer att

x2 + px + q = (x + p/2)2 + q - (p/2)2.

Ekvationen

x2 + px + q = 0

är alltså ekvivalent med

(x + p/2)2 = (p/2)2 - q,

varav det följer att x + p/2 = ±((p/2)2 - q)1/2. Detta är beviset för det du kallar rotformeln, men metoden kan användas direkt också när p och q har kända värden.

Kjell Elfström


10 januari 2001 09.56.09
Av talen a och b vet vi, att a-b=-3 och att a^2-b^2=2 Vad är talenas (a:s och b:s) summa??? Vet inte hur man gör
Kalle

Svar:

Använd konjugatregeln, (a + b)(a - b) = a2 - b2 = 2. Eftersom a - b = -3 får vi (a + b)(-3) = 2 varför a + b = -2/3.

Kjell Elfström


10 januari 2001 09.54.15
Ett tal och dess inversa tals summa är 5. Vad är samma tals kvadrat och dess inversa tals summa? Svaret borde bli 23. Men jag får ett helt annat svar vad göra och hur?
Sanna

Svar:

Om x + 1/x = 5 så är (x + 1/x)2 = 25. Men (x + 1/x)2 = x2 + 1/x2 + 2 så det följer att x2 + 1/x2 = 25 - 2 = 23.

Kjell Elfström


10 januari 2001 09.51.32
Uttrycket är LOG(basen 3)(5x+4).
Jag två frågor: med vilka värden för x är uttrycket större än 2? Mindre eller lika med 2? Jag har försökt men kommer ingen vart. Hjälp!!
Hans

Svar:

ax är strängt växande om a > 1. Speciellt är 3x strängt växande. 3log(y) > b om och endast om y > 3b. I ditt problem är y = 5x + 4 och b = 2.

Kjell Elfström


10 januari 2001 09.18.55
Hur ser man direkt ur ekvationen x^2-14x-74=0 att rötter inte är 18 och -4?
Fundersam

Svar:

Det följer av sambandet mellan rötter och koefficienter. Låt f(x) = x2 + px + q vara ett andragradspolynom med högstagradskoefficient 1 och kalla nollställena för a och b. Då följer av faktorsatsen att

f(x) = x2 + px + q = (x - a)(x - b) = x2 - (a + b)x + ab.

Identifierar vi koefficienter får vi a + b = -p och ab = q. Eftersom 18·(-4) inte är -74 kan 18 och -4 inte vara rötterna till ekvationen.

Kjell Elfström


10 januari 2001 00.19.04
Vad är polynomdivision och hur fungerar det?
Olle

Svar:

För att förstå polynomdivision är det lämpligt att först förstå vanlig heltalsdivision. Antag att vi vill dividera a med b. Vi antager för enkelhets skull att båda är positiva. Det gäller då att från a dra bort så många b som möjligt utan att det som är kvar, resten r, blir negativ. Kvoten k är antalet b vi kunde dra bort. Vi kan skriva detta som

a = kb + r, där 0 <= r < b.

Om r = 0 säger vi att divisionen gick jämnt ut. I praktiken drar man ju inte bort ett b i taget utan använder den välbekanta divisionsalgoritmen, som finns i många varianter, t ex liggande stolen och trappan. Antag att vi vill dividera 571 med 7. Metoden går då ut på att först se hur många sjuor vi kan dra från 5, dvs hur många hundra sjuor vi kan dra från 500. Inga! Hur många sjuor kan vi dra från 57, dvs hur många tiotal sjuor kan vi dra från 570. Svaret är 8 så vi kan dra 80 sjuor från 571. 8.7 = 56, så att dra bort dessa sjuor svarar mot att dra 560 från 571. Kvar har vi 11, som fortfarande är en för stor rest. Från 11 kan vi dra en sjua. Kvoten blir alltså 80 + 1 och resten 11 - 7 = 4.

Vid polynomdivision skall vi i stället dra bort en multipel av ett polynom b(x) från polynomet a(x) så att resten r(x) får ett gradtal som är lägre än gradtalet av b(x). Om k(x) är kvoten skall nu gälla att

a(x) = k(x)b(x) + r(x),

där r(x) antingen är nollpolynomet eller ett polynom av gradtal lägre än gradtalet av b(x). Låt oss dividera a(x) = x3 + 3x2 + 5x + 4 med b(x) = x + 1. Vi börjar med att dra bort en multipel av b(x) så att högstagradstermen i a(x) försvinner. Drag alltså bort x2b(x). Vi får kvar 2x2 + 5x + 4. Drag nu bort multipeln 2xb(x) från denna rest för att eliminera högstagradstermen. Vi får kvar 3x + 4. Drag nu bort 3b(x). Kvar är resten 1, som har lägre gradtal än gradtalet av b(x). Vi har alltså dragit bort kvoten k(x) = x2 + 2x + 3 gånger b(x) från a(x) och fått kvar resten 1.

Räkningarna vid polynomdivision kan organiseras på samma sätt som heltalsdivision, t ex liggande stolen.

Kjell Elfström


9 januari 2001 15.50.43
Hej Om man delar upp kortleken i en hög med svatra och en med röda kort och därefter blandar korten varanat rött varanat svart. Därefter upprepar jag proceduren med att dela leken på mitten och blanda varanat kort. Kan jag använda någon formel för att räkna ut hurmånga blandningar jag måste göra för att återigen få en hög med svata kort och en med röda kort. Tack
Niklas Toral

Svar:

För att vara allmängiltiga antar vi att kortleken har 2n kort, där n är ett positivt heltal. För en vanlig kortlek är alltså n = 26. Vid en perfekt riffelblandning delar man kortleken på mitten. Man får två högar med vardera n kort och tar vartannat kort från den undre och vartannat från den övre högen. Man börjar med den undre, så att inget kort är på samma plats efter blandningen som före. Kortet i position 1 hamnar i position 2, 2 i 4, 3 i 6, ..., n i 2n, n + 1 i 1, n + 2 i 3, ..., 2n i 2n - 1. Vi får en funktion p, där p(k) är den nya positionen för kortet i position k. Vi observerar att p(k) = 2k om 1 <= k <= n och p(k) = 2k - (2n + 1) om n + 1 <= k <= 2n. Detta innebär att p(k) är kongruent med 2k (mod 2n + 1). Utför vi blandningen m gånger ges positionerna av p(p(p(...(p(k))))) = 2mk (mod 2n + 1).

Vi behandlar först problemet att bestämma efter hur många blandningar varje kort återvänt till sin ursprungliga position. Villkoret för att kortleken efter m blandningar skall vara i det ursprungliga skicket är alltså att

2mk = k (mod 2n + 1) för k = 1,2,3,...,2n,

vilket är ekvivalent med att

2m = 1 (mod 2n + 1).

Enligt Eulers sats är 2fi(2n + 1) = 1 (mod 2n + 1), där fi är Eulers fi-funktion. Det krävs alltså aldrig mer än fi(2n + 1) blandningar för att komma tillbaka i ursprungligt läge. Då n = 26 är 2n + 1 = 53 ett primtal, och för ett primtal q är fi(q) = q - 1. Det krävs alltså inte fler än 52 blandningar för att komma tillbaka. Av resonemanget framgår att alla korten är på sina ursprungliga platser när det översta kortet har kommit tillbaka och man kan kontrollera att detta verkligen sker först efter 52 blandningar.

Antag nu att de övre korten är svarta och de undre röda. Det är nu klart att efter 52 blandningar är de övre åter svarta och de undre röda eftersom alla kort återvänt. För att färgerna skall hamna rätt måste alla kort ha återvänt. För att visa detta antar vi att korten ej återvänt. Då är inte 2m kongruent med 1 (mod 2n + 1). Antag att 2m är kongruent med r (mod 2n + 1), där 2 <= r < 2n + 1. Om n < r < 2n + 1 befinner sig det ursprungligen översta kortet i den undre halvan och färgerna kan inte ha hamnat rätt. Antag att 2 <= r <= n. Låt då k vara kvoten vid heltalsdivisionen 2n/r. Då är

2n = kr + s, där 0 <= s < r.

Det följer att 2 <= k <= n och n < rk <= 2n, vilket visar att det svarta kortet i position k hamnat i en röd position.

Kjell Elfström


9 januari 2001 13.45.16
Hej!
Har något som jag funderat på. När man talar om tensorer säger man att de är geometriska objekt som själva är desamma men att komponenterna förändras. Hur definierar man då i första skedet en tensor, utan att nämna komponenter. Samma fråga gäller vektorer.
Lars Jansson

Svar:

Låt V vara ett vektorrum över en kropp F (t ex de reella talen) och V* dess duala rum, dvs rummet av lineära former på V. En tensor av typ (sr) kan definieras som en multilineär avbildning från V*s×Vr till F. Se t ex Broida and Williamson: A Comprehensive Introduction to Linear Algebra.

Vektorer brukar ju införas som n-tipler i Rn och har på så sätt inbyggda komponenter. Det är dock inte nödvändigtvis dessa som avses. Den mer intuitiva definitionen av en vektor som mängden av alla riktade sträckor som är lika långa, parallella och lika riktade som en viss given sträcka belyser kanske bättre den geometriska betydelsen. En vektor är alltså inte en riktad sträcka (en pil) eftersom den senare har en begynnelsepunkt men den kan representeras av en riktad sträcka med en viss längd och riktning och det saknar betydelse från vilken punkt man avsätter sträckan. Vektoraddition och multiplikation med skalär införs. Sedan konstaterar man att om man har tre vektorer e1,e2,e3 i rummet som inte är parallella med ett och samma plan så kan varje vektor v i rummet skrivas som en lineärkombination

v = x1e1 + x2e2 + x3e3

med entydigt bestämda koordinater x1,x2,x3. Man säger att (x1,x2,x3) är koordinaterna, eller komponenterna, för v med avseende på basen e1,e2,e3 och skriver när man vet vilken bas som avses ofta v =  (x1,x2,x3).

Även för vektorerna i Rn finns det baser. T ex är e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) en bas i R3 och koordinaterna för vektorn (x1,x2,x3) = x1e1 +  x2e2 +  x3e3 är med avseende på just denna bas (x1,x2,x3). Även f1=(1,0,1), f2=(0,1,1), f3=(1,0,1) är en bas. Koordinaterna för t ex vektorn (2,2,2) är med avseende på denna bas (1,1,1).

När man har en mängd element i vilken man har definierat en addition och en multiplikation med skalär som uppfyller vissa räkneregler så har man ett vektorrum. Även tensorer kan adderas och multipliceras med skalärer på ett naturligt sätt och alla tensorer av en viss typ bildar ett vektorrum T. Komponenterna av en tensor är alltid med avseende på en viss bas i vektorrummet V. Men dessa komponenter är även koordinater för tensorerna med avseende på någon bas i vektorrummet T.

Kjell Elfström


9 januari 2001 09.58.00
Hej!
Jag kanske är fullständogt ute och cyklar men jag undrar om det finns något sätt att konvertera "figurer" från "ekvationsform" till parameterform. OK, låt mig ge ett exempel: En cirkel kan skrivas x^2+y^2=r^2 men också x=r*cos(t); y=r*sin(t). Finns det något systematiserat sätt som man kan göra detta på. Jag förker göra om ekvationer på typen ax^n*y^(k-n)+...+bx^(k-n)*y^n=c till parameterform.
Holmes

Svar:

Någon allmän metod att parametrisera kurvor känner jag inte till. Jag får hänvisa till böcker om differentialgeometri.

Kjell Elfström


8 januari 2001 23.08.48
Vad är skillnad mellan topptriangelsatsen och transversalsatsen

Svar:

Topptriangelsatsen säger att en topptriangel är likformig med hela triangeln om transversalen är en parallelltransversal. Transversalsatsen säger att en parallelltransversal delar två sidor i en triangel i samma förhållande. Den senare satsen följer av den förra.

Kjell Elfström


8 januari 2001 21.53.19
Om jag har talet X^0.5 så är det = roten ur X. Om jag har tex X^0.8, hur ska jag lösa detta för hand, och om jag har tex X^1.7, är det samma lösnings sätt?
Fredrik

Svar:

Man kan ju också fråga sig hur man räknar ut roten ur x. a1/2 är den positiva lösningen till ekvationen f(x) = x2 - a = 0 och denna ekvation kan lösas med Newton-Raphsons metod. Sök på vår söksida! Eftersom 0,8 = 4/5 är, om x = a0,8, x5 = a4. Här kan man använda Newton-Raphsons metod på funktionen f(x) = x5 - a4. Vi har också att a1,7 = aa7/10 och a7/10 kan bestämmas på liknande sätt. Om man har rutiner för att räkna ut exponentialfunktionen ex och logaritmfunktionen ln(x) kan man också utnyttja att ab = ebln a. Dessa båda funktioners värden beräknas i vissa intervall lämpligen med Taylorapproximation. Sök efter Taylor!

Kjell Elfström


8 januari 2001 21.52.57
Jag har en fråga om tredjegradsekvationer. Jag har ekvationen X^3+2X^2-2X-2=0. När jag löser den med den allmäna formlen så får jag ju ETT svar och det är X = 1.17. När jag löser den grafisk på miniräknaren får jag tre lösningar: X = 1.17 X = -0.7 X = -2.5. Jag undrar hur jag ska göra för att få fram alla tre lösningarna för hand.
Fredrik

Svar:

Jag vet inte vilken allmän formel du avser. Löser man den exakt får man väldigt otympliga uttryck. För att lösa den numeriskt börjar man med att undersöka hur kurvan ser ut, t ex genom att derivera. Man finner att derivatan har två nollställen och att funktionen har ett lokalt maximum i det minsta och ett lokalt minimum i det största samt att f(x) går mot -oo då x går mot -oo och att f(x) går mot oo då x går mot oo. Eftersom det lokala maximivärdet är positivt och det lokala minimivärdet är negativt har funktionen precis tre nollställen. Dessa kan bestämmas med hjälp av Newton-Raphsons metod genom att man väljer lämpliga startvärden i närheten av nollställena. Sök efter Newton-Raphson från söksidan.

Kjell Elfström


8 januari 2001 21.48.45
Hittade en uppgift från skolornas Matematiktävling 1977, som jag har svårt att få grepp om. Vid navigation i mörker finns följande tumregel att användas när man observerar ett fyrljus just över horisonten: Om ögats höjd över vatten är h meter och fyrljusets höjd över vattnet är h1 meter är avståndet till fyren 2(h^0,5 +h1^0,5) mätt i nautiska mil. Motivera denna regel. (Jordens omkrets=40 000 km. En nautisk mil är 1/(360*60) av jordens omkrets.) M.V.H
Nisse

Svar:

Det är naturligtvis fråga om en approximation. Antag att jordens medelpunkt är M, att fyrens topp befinner sig i F1, att ögat befinner sig i F och att linjen genom F och F1 tangerar jordytan i T. Avståndet kan då approximativt beräknas som |TF| + |TF1|. Låt r vara jordradien. Då är enligt Pythagoras sats

|TF| = ((r + h)2 - r2)1/2 = (2hr + h2)1/2.

Eftersom h är försumbar i förhållande till hr är detta ungefär (2hr)1/2. En liknande uträkning av |TF1| ger att det sökta avståndet är ungefär

(2hr)1/2 + (2h1r)1/2 = (2r)1/2(h1/2 + h11/2).

Detta blir ungefär 1,93(h1/2 + h11/2) nautiska mil.

Kjell Elfström


8 januari 2001 20.35.45
Tjena! Vad är egentligen cos, sin och tan. Alltså deras definition. Jag vet att sin är ett tal mellan -1 och 1 eller dess värde. Hur ligger det till egentligen och vem kom på dessa termer eller vad det nu är för något. M V H Sven
Sven

Svar:

Betrakta en triangel ABC, som är rätvinklig vid C och låt v vara vinkeln vid A. Beteckna sidorna stående mot A, B och C för a, b resp. c. Eftersom alla sådana trianglar med samma vinkel v är likformiga beror kvoterna a/c och b/c bara på vinkeln v. Om v är en vinkel kan man därför definiera sin v som a/c och cos v som b/c för någon sådan triangel. På detta sätt blir cos och sin definierade för vinklar v mellan 0 och Pi/2. För att utvidga definitionen till godtyckliga tal v kan vi betrakta en enhetscirkel (med radie 1) med medelpunkt i origo i ett vanligt rätvinkligt koordinatsystem. Låt A vara medelpunkten och D punkten med koordinater (1,0). Om v är ett positivt tal färdas vi nu utifrån D v längdenheter moturs utefter cirkelns periferi och hamnar i en punkt B. Är v negativt färdas vi i stället medurs -v längdenheter. Om B har koordinaterna (x,y) definieras cos v och sin v som x resp. y. v förutsätts här angiven i radianer och det gäller att 1° = Pi/180 radianer.

Sinus är latin och betyder veck, vik, bukt. Cosinus betyder complementi sinus, komplementets sinus. Troligen var Thomas Fincke (1561-1656) den förste som använde förkortningen sin för sinus.

Kjell Elfström


8 januari 2001 19.33.45
Hej
Jag behöver hjälp med detta.... Är detta rätt?
sinx/(1+cosx) derivata skulle vara: -cosx*cos^2-sin^2/(1+cosx)^2
sabrina

Svar:

Då jag inte riktigt begriper vad du skrivit tar vi det från början: Derivatan av täljaren är cos x och derivatan av nämnaren är -sin x. Enligt regeln för derivatan av en kvot blir derivatan

((cos x)(1 + cos x) - (sin x)(-sin x))/(1 + cos x)2 = (cos x + cos2x + sin2x)/(1 + cos x)2.

Använder vi trigonometriska ettan får vi att detta är

(cos x + 1)/(1 + cos x)2 = 1/(1 + cos x).

Kjell Elfström


8 januari 2001 19.25.45
Ett 100 meters lopp
Jag har en fråga om en uppgift i min mattebok, som min lärare inte kunde hjälpa mig med. Det står en tabell över hastigheten för en löpare vid olika tidpunkter från 1 till 10 sekunder. Upgiften är att finna en funktion för hur löparens hastighet beror av tiden; samt stöda sig något teoretiskt resonemang.
Tabell:
Tid (s)     Hastighet (m/s)

 1              5,3
 2              6,8 
 3              7,7  
 4              8,4 
 5              9,0  
 6              9,4 
 7              9,5
 8              9,6 
 9              9,6 
10              9,6
Om man plottar värderna liknar kurvan någon form av Ln X funktion. Varken läraren eller jag vet dock vilken, eller hur man får fram den. Jag vore mycket tacksam för er hjälp.
Peter Lund

Svar:

Enligt Hill-Keller-modellen uppfyller hastigheten v hos en löpare begynnelseproblemet

v'(t) = - kv(t) + p(t),  v(0) = 0,

där p är någon kontinuerlig funktion, som mäter kroppens inre motstånd. För korta lopp kan man alltså antaga att p(t) = p är konstant. Lösningen till problemet är i så fall v = (p/k)(1 - e-kt). Vi ser att gränsvärdet av vt --> oo är p/k. Enligt tabellen bör detta värde vara 9,6. Vi kan låta w vara avvikelsen av v från jämviktsläget 9,6 dividerad med 9,6 och får

w = 1 - v/9,6 = e-kt.

Logaritmerar vi detta får vi

y = ln w = -kt.

Plottar man y mot t skall alltså punkterna ligga ungefär på en rät linje genom origo. Riktningskoefficienten -k kan då utläsas grafiskt eller bestämmas med minsta-kvadratmetoden.

Kjell Elfström


8 januari 2001 19.23.22
Hej
Jag behöver hjälp med detta....tackar för den tid som ni tog er att läsa min brev. Hur kan man bestämma förändring av diameter av en cirkel med respekt till area.
sabrina

Svar:

Eftersom A = (Pi/4)d2 så är d = (2/Pi)(A Pi)1/2, varför d' = 1/(Pi A)1/2. Om förändringen dA i A är liten är förändringen i d ungefär dA d'.

Kjell Elfström


8 januari 2001 19.15.10
Hej fråga Lund Jag har en fråga
f(x)= (1-2X)/(1+X)
inversen av f(x) blir G(x)=(1-X)/(x+2)
D.mängden ? V.mängden ?
sabrina

Svar:

Definitionsmängden Df till f är {xx <> -1}. Värdemängden Vf är mängden av y sådana att det finns något x för vilket y = f(x). Löser man ut x ur ekvationen

(1 - 2x)/(1 + x) = y

får man just x = G(y) för y <> 2 och finner att lösning saknas för y = 2. Vf är alltså {yy <> 2}.

Kjell Elfström


8 januari 2001 16.32.24
Hej!
Jag har fem frågor faktiskt.
1.Lös ekvationen z^5-z^4+4z-4=0 där z är en komplex variabel
2.{a}från 0 till oändligt är en talföjld, där a0 = 0 och a(n+1)-an = 4n+1
Visa med induktion att an = n(2n-1)
Gör en geometrisk tolkning av talföljden.
3.Bevisa att om F(x)= ao+a1x+a2x^2+a3x^3+......anx^n är ett polynom med reella koefficienter och har ett nollställe z=a+ib, så är även z=a-ab ett nollställe till polynomet.
Gäller beviset för komplexa koefficienter också?
4.För vilka reella värden på a har polynomet p(x)=x^4+4x^2+a ett nollställe av multiplicitet 2 ?
5. Bevisa genom induktion att om x>=0 och y>=0 så är [(x+y)/2]^n<=(x^n+y^n)/2 för n=1,2,3....
När gäller likheten?
Tacksam för snabt svar
Ivan

Svar:

1. Man ser att z = 1 är en rot till ekvationen. Enligt faktorsatsen delar z - 1 polynomet. Division ger att

z5 - z4 + 4z - 4 = (z - 1)(z4 + 4).

Polynomet är alltså noll bara då z - 1 = 0 eller z4 + 4 = 0. Den senare ekvationen är en binomisk ekvation, z4 = -4. Sätt z = reit. Ekvationen kan då skrivas

r4e4it = 4ePi i.

Identifierar vi belopp och argument får vi

r = 41/4 = 21/2 och 4t = Pi + 2Pi n <==> t = Pi/4 + n Pi/2,

där n är ett godtyckligt heltal. De fyra olika rötterna fås då n = 0,1,2,3 eftersom n och n + 4 ger samma rot. Nu återstår bara att skriva rötterna på formen a + bi, vilket jag överlåter åt dig.

2. Påståendet är uppenbarligen sant för n = 0. Antag att det är sant för ett visst naturligt tal n. Då är

an + 1 = an + 4n + 1 = n(2n - 1) + 4n + 1

och direkt uträkning visar att detta är lika med (n + 1)(2(n + 1) - 1).

3. Du har skrivit fel i frågan. Man skall visa att z = a - ib är ett nollställe. Det gäller att  a - ib = (a - ib)*, där * betecknar konjugering; vi förutsätter naturligtvis att a och b är reella. Låt alltså z vara ett komplext nollställe, dvs F(z) = 0. Då är

F(z*) = a0 + a1z* + a2(z*)2 + ... + an(z*)n.

Eftersom koefficienterna är reella är ai* = ai och det följer av räknereglerna för konjugat att

F(z*) = (F(z))* = 0* = 0.

4. Ett nollställe till ett polynom är av multiplicitet 2 när det är nollställe till polynomet och till dess derivata men inte till dess andraderivata. Derivatan har nollställena 0 och ±21/2i oberoende av a, så dessa tre är de enda möjliga dubbla nollställena till polynomet. Kräver vi att polynomet är 0 för x = 0 får vi a = 0. Eftersom tredjederivatan inte är noll för x = 0 är 0 ett dubbelt nollställe för a = 0. Behandla de båda övriga möjliga dubbla nollställena på samma sätt.

5. För n = 1 är påståendet uppenbarligen sant med likhet för alla x och y. Antag att det är sant för ett visst n >= 1. Då är

((x + y)/2)n + 1 = ((x + y)/2)((x + y)/2)n <= ((x + y)/2)(xn + yn)/2
= (xn + 1 + yn + 1)/4 + (yxn + xyn)/4.

Den sista termen kan skrivas om som

((y - x)xn + (x - y)yn + xn + 1 + yn + 1)/4 = (y - x)(xn - yn)/4 + (xn + 1 + yn + 1)/4
≤ (xn + 1 + yn + 1)/4

med likhet bara då x = y, eftersom (y - x) och (xn - yn) antingen båda är noll (när x = y) eller har olika tecken.

Kjell Elfström


8 januari 2001 14.38.00
Kender I nogle gode bøger om konstruktion af ellipser , evt tilpasning af en elliptisk kurve til et givet datasæt.
Venlig hilsen
Erik Pedersen

Svar:

Att anpassa en ellips till en punktmängd kan göras med minsta-kvadratmetoden. Antag att ellipsen har ekvationen

ax2 + bxy + cy2 = 1

och att punkterna är (xi,yi), i = 1,2,...,n. Genom att sätta in punkterna i ellipsens ekvation får man n ekvationer på formen

axi2 + bxiyi + cyi2 = 1,

alltså ett ekvationssystem i de obekanta a, b och c med n ekvationer. Om A är koefficientmatrisen, dvs n×3-matrisen med där rad i är xi2  xiyi  yi2, och B är n×1-matrisen bestående av n ettor och Z 3×1-matrisen med elementen a, b, c får man ut a, b och c genom att lösa normalekvationerna

AtAZ = AtB.

Om punkterna ligger ungefär utefter en ellips kommer kurvan att vara en ellips men annars kan det bli vilken andragradskurva som helst, t ex en hyperbel. Om minstakvadratmetoden kan man läsa i många böcker om lineär algebra, t ex K G Andersson: Lineär algebra, Studentlitteratur, 2000.

Kjell Elfström


8 januari 2001 12.31.53
Hur uppstod matematiken?
Hälsningar Klass 4-5K Lillebyn Torslanda Göteborg
erikjohan_berggren@hotmail.com

Svar:

Att räkna är en förmåga som människan fått genom evolutionen. Många djurarter anses kunna räkna, t ex ruvande fåglar som märker om ett ägg saknas. Matematik är, till skillnad från rent räknande, en mer specifikt mänsklig sysselsättning. Man ser regelbundenheter och samband när man räknar, systematiserar dessa och försöker bevisa dem. Matematiken har, som alla andra vetenskaper, uppstått på grund av människans behov av att förstå och systematisera omvärlden. Aktiviteter i tidiga kulturer, såsom den babylonska, egyptiska, kinesiska och indiankulturerna i Sydamerika, som påskyndat utvecklingen är handel, byggnadskonst, lantmäteri och astronomi. Se The MacTutor History of Mathematics archive.

Kjell Elfström


18 december 2000 06.59.36
Hej Lund !
Håller på med Riemannsummor men boken beskriver inte detta bra om jag har
n
summa((4/(1+(k/n)^2)) * 1/n)
k=1
om n->00
om jag skall göra om detta till
b
integralf(x)dx
a
hur får jag då fram a och b ? boken skriver visserligen att D: a=x0 < x1 < ... < xn = b förstår ändå inte riktigt
Björn

Svar:

Satsen om Riemannsummor säger följande:

Låt f vara en funktion som är kontinuerlig i [a,b] och antag att Deltap är en följd av indelningar av [a,b] sådan att längden av det största delintervallet i Deltap går mot 0 då p går mot oo. Låt vidare ck, k = 1,2,...,n(p) vara punkter i indelningens delintervall. Då gäller att

sumk = 1n(p) f(ck) Delta xk --> intab f(x) dxp --> oo.

För att se att summan i frågan är en Riemannsumma måste man alltså hitta en funktion f och delningspunkter som i satsen. xk = k/n, som förekommer i summan, är ju vanligt förekommande delningspunkter så vi chansar på att det blir en Riemannsumma med de delningspunkterna. Men då är ju

Delta xk = xk - xk - 1 = k/n - (k - 1)/n = 1/n
och vi ser att med f(x) = 4/(1 + x2) och ck = xk är summan en Riemannsumma. I summan går k från 1 till n, vilket svarar mot punkterna c1,...,cn. c1 skall ligga i [x0,x1] och allmänt skall ck ligga i [xk - 1,xk]. Detta ger att de förekommande delningspunkterna är xkk = 0,...,n. Här råkar den p:e indelningen innehålla n(p) = p delintervall och vi kan lika väl tala om den n:e indelningen Deltan = {0/n,1/n,...,n/n} och vi ser att alla indelningarna är indelningar av [0,1], varför a = 0, b = 1.

Kjell Elfström


18 december 2000 00.11.53
En uppgift som skapat en del problem.. Beräkna följande integral från -1 till 2
integral:(abs(x+(1/2)))(2-(absx))
tack för en bra sida !
Ove

Svar:

Det är förmodligen absolutbeloppen som ställer till det. Uttrycken under absolutbeloppen byter tecken då x = -1/2 och då x = 0. I intervallet [-1,-1/2] är integranden (-x - 1/2)(2 + x), i [-1/2,0] är den (x + 1/2)(2 + x) och i [0,2] är den (x + 1/2)(2 - x). Beräkna nu integralen som summan av de tre integralena över [-1,-1/2], [-1/2,0] och [0,2].

Kjell Elfström


17 december 2000 22.08.05
Skulle vilja göra en matematisk modell över jordenårstider & dagsljus, min fråga är om det finns en färdig formel för beräkning av skymningsgränserna beroende på zenithöjden.
Hans G

Svar:

Jag hänvisar till  Fråga vetenskapen om fysik.

Catarina Petersson


16 december 2000 19.36.24
En halvcirkelformad plåtskiva med diametern d, formas till en öppen kon. Gör ett utryck som visar att konens volym beror av d.....???
Oskar

Svar:

Volymen av en rak cirkulär kon är

pi*rk2*hk/3,
där rk är radien i basytan och hk är höjden. Vi måste alltså bestämma rk och hk uttryckta i d.

Plåtskivans halvcirkelformade kant har längden 2*pi*(d/2)/2=pi*d/2. Detta ska vara lika med konens bascirkels omkrets som är 2*pi*rk, och alltså är rk=d/4. Vidare gäller enligt pytagoras sats att

hk2+rk2=(d/2)2,
vilket ger att hk=sqrt(3)*d/4.
Vi får nu att konens volym är
pi*d3/(64*sqrt(3)).

Catarina Petersson


16 december 2000 12.18.52
Finns det någon bra funktion för en s-kurva? Dvs att den börjar med en svag ökning, en ökning som sedan ökar, för att densamme sedan ska minska mer och mer. Den får formen som ett "s".
Niklas Wahlström

Svar:

Funktionen

f(x)=e0.5*x/(1+e0.5*x)
har det utseende Du beskriver.

Catarina Petersson


15 december 2000 20.51.41
Vad är "cutting-edge" forskning inom matematiken idag? Vad är det för intressanta upptäckter som görs? Eller är det kanske så att "vi" fortfarande är sysselsatta med gamla problem och teorier? Med andra ord: Vad är "Hi-tech" inom matematiken idag?
Johan E.

Svar:

Jag vet inte riktigt vad som anses som det mest moderna. Här kan Du dock se vad forskarna här på Matematikcentrum i Lund håller på med.

Catarina Petersson


15 december 2000 13.44.50
Hej Lund! Om jag har -integral[dt/rot((t+1)^2 +2)] = -ln(t + 1 + rot((t+1)^2 +2))) + C hur skall jag se detta ur logisk synvinkel
Björn P

Svar:

Det vi gör då vi beräknar

 -integral[dt/sqrt((t+1)2 +2)]

är att vi hittar en funktion vars derivata är -1/sqrt((t+1)2 +2). Vi säger att vi beräknar en primitiv funktion till funktionen
-1/sqrt((t+1)2 +2).
Vi ser att om vi deriverar -ln(t + 1 + sqrt((t+1)2 +2))) får vi tillbaka funktionen -1/sqrt((t+1)2 +2), och eftersom derivatan av en konstant är 0 kan vi till den primitiva funktionen -ln(t + 1 + sqrt((t+1)2 +2))) även addera en godtycklig konstant C.

Catarina Petersson


14 december 2000 19.37.53
hej jeg har nogle opgaver som du gerne må hjælpe mig med: nr.1 hedder " Find skæringspunkterne mellem andenaksen og cirklen med ligningen (x-6)² + (y+1)² = 48" nr2 hedder "Betragt cirklen med ligningen (x-4)² + (y-7)² = 75 . Gør rede for at punktet P med koordinatsæt (-1,-5) ligger på cirklen. Bestem en ligning for cirklens tangent i punktet p" på forhånd tak hilsen Mette
Mette Widmer

Svar:

y-axeln är x=0 och sätter vi in detta i ekvationen för cirkeln får vi

(0-6)2+(y+1)2=48,
dvs (y+1)2=12.
Detta är uppfyllt för y=-1+sqrt(12) och y=-1-sqrt(12), och alltså är cirkelns skärning med y-axeln de båda punkterna (0, -1+sqrt(12)) och (0,-1-sqrt(12)).

Punkten (-1,-5) ligger inte på cirkeln ty talparet (x, y)=(-1,-5) uppfyller inte ekvationen (x-4)2+(y-7)2=75.

Ekvationen för tangenten till en kurva y = f(x) i en punkt (a, f(a)) är

    y - f(a) = f '(a)*(x - a).

Den övre halvan av cirkeln (dvs y>7) beskrivs av funktionen

y=f(x)=7+sqrt(75-(x-4)2),
medan den nedre halvan (y<7) är
y=f(x)=7-sqrt(75-(x-4)2).
Dessa funktioner har derivatorna
-(x-4)/sqrt(75-(x-4)2)
respektive
(x-4)/sqrt(75-(x-4)2).
Om P=(a,b) med b>7 får vi alltså
y-(7+sqrt(75-(a-4)2)=-(a-4)/sqrt(75-(a-4)2)*(x-a),
och om b<7
y-(7-sqrt(75-(a-4)2)=(a-4)/sqrt(75-(a-4)2)*(x-a),

vilket vi sedan kan förenkla till formen y=k*x+m.

I punkterna (4-sqrt(75),7) och (4+sqrt(75),7) är tangenterna de lodräta linjerna x=4-sqrt(75) respektive x=4+sqrt(75).

Catarina Petersson


13 december 2000 20.41.48
hej! jag har med hjälp av en grafritande miniräknare studerat den (enligt min mening) intressanta funktionen f(x)=x^(1/x). Det fängslande med funktionen är att den ser ut att anta ett maximivärde då x är nånstans mellan 2 och 3. jag har, som jag sa tidigare, använt en grafritande miniräknare för att lokalisera detta maximivärde och kommit fram till det häpnadsväckande resultatet att f(x) ser ut att anta ett maximivärde då x=e. Min fråga är alltså: är detta antagande korrekt och går det att bevisa det?
Rasmus Mattsson

Svar:
Det är sant att funktionen f(x)=x1/x har ett maximivärde för x=e. Detta ser vi genom att derivera funktionen. För att kunna göra detta skriver vi först  f som e(1/x)*lnx. Vi får därefter

f'(x)=e(1/x)*lnx*(-1/x2*lnx+1/x*1/x)=x1/x*1/x2*(1-lnx),

som har det enda nollstället x=e. Vidare ser vi att derivatan är positiv för x<e och negativ för x>e, och alltså är x=e en maximipunkt.

Catarina Petersson


13 december 2000 13.25.36
Jag läste Fermats gåta och där tog man upp sannolikhet. Finns det några standard formler eller är det olika vid varje enskilt fall ? Ex:Hur stor är sannolikheten att 2 personer är födda samma dag om antalet personer är 23 ? Hur ser uträkningen ut ?
goran.rosander@if.se

Svar:

I svaret till frågan  19 november 1997 20.42.10   ser Du hur man räknar ut en liknande sannolikhet.

Catarina Petersson
 


13 december 2000 13.02.48
Hej min fråga är följande: Till funktionskurvan till funktionen f(x)=x^2-4x-5 dras tangenten. Denna tangent går förutom genom tangeringspunkten även genom punkten (2,-10). Bestäm tangeringspunktens koordinater.
mitza

Svar:

Antag att tangeringspunktens x-koordinat är a. Ekvationen för tangenten till kurvan y = f(x) i en punkt (a,f(a)) är

    y - f(a) = f '(a)*(x - a).

Att tangenten går genom punkten (2,-10) innebär att talparet (x, y) =(2,-10) satisfierar tangentens ekvation. Vi får

-10-f(a)=(2a-4)*(2-a).

Eftersom f(a)=a2-4a-5 ger detta ekvationen a2-4a+3=0, som har lösningarna a=1 och a=3.
Det finns alltså två tangenter till f(x) som går genom punkten (2,-10), och dessa har tangeringspunkterna (1,-8) respektive (3,-8).

Catarina Petersson


13 december 2000 12.56.18
Hej! Jag undrar hur jag löser följande ekvation: x^2+3x+4=0 i Z(11)?
Niklas B.

Svar:

Det enklaste sättet är att bara prova talen 0,1,2,...10 och se om de uppfyller ekvationen.

Catarina Petersson


13 december 2000 11.40.15
Hej, Vet ni någon bra internetsida, där det finns beskrivet hur man genererar fraktaler med matlab?
Fredde

Svar:

Du kan titta på den här sidan.

Catarina Petersson


12 december 2000 23.28.01
vad är matriser och hur räknar man med matriser? Visa ett par tilllämpningar av matriser
Änge Holma

Svar:

En matris är ett rektangulärt schema av tal. En genomgång av hur man räknar med matriser blir för omfattande för att återges här, och för definitioner av räkneoperationerna får jag därför hänvisa till någon lärobok i lineär algebra, tex. Tengstrand: Lineär algebra med vektorgeometri, Studentlitteratur 1994.
I svaret till frågan  5 december 2000 11.07.14  ser Du vad man kan ha matriser till.

Catarina Petersson


12 december 2000 16.35.57
jag har lite frågor om likformighet... 1. Om man ritar upp en triangel ABC och en punkt P utanför trianglen. Rotera den sedan 45 grader runt P. Är de båda trianglarna kongurenta? 2 Om man ritar en triangel ABC och en punkt P utanför trianglen. Speglar sedan trianglen i punkten P. Är de båda trianglarna kongurenta? 3Om man ritar en triangel ABC och en linje L utanför trianglen. Speglar sedan trianglen i L. Är de båda trianglarna kongurenta Många Juliga och vänliga hälsningar Kämparinnan
Klaudia

Svar:

Trianglarna är kongruenta i alla tre fallen. Observera att det heter kongruent och inte kongurent.

Catarina Petersson


12 december 2000 15.43.27
Jag undrar om det finns någon bra sida med uppgifter på matriser, determinanter och ekvationssystem?
Petra Andersson

Svar:

Jag känner inte till någon sådan. Det bästa är nog att Du läser i någon lärobok i lineär algebra.

Catarina Petersson


12 december 2000 15.13.54
Hej. Om man tittar på solrosblommans mönster, pärlbåtens tillväxt enligt logaritmiska spiralen hittar man ett mönster där fibonacciserien och gyllene snittet ligger till grund. Av vilka orsaker använder sig naturen av dessa samband? Vinner den utrymme, materialåtgång, tid.....? Bo Sikström, Tyresö
Bo Sikström

Svar:

På den här  sidan  hittar Du massor av information om Fibonacci-talens förekomst i naturen.

Catarina Petersson


12 december 2000 09.27.58
Vi försöker i vårat examensarbete lösa temperaturekvationen. Vi har en källa H=H0*e^(-iwt) som bestrålar ett prov sinusformat och vi vill
 ta reda på temperaturförändringen T(x,t) i provet. Vi har alltså ekvationen: H0*e^(iwt)+grad(grad (T))=1/D*dT/dt där D är material konstanter. Problemet är att den generella lösningen inte blir separabel, har ni något tips på hur man kan lösa denna ekvation.
Jenny Hammarström

Svar:

Det är oklart vad Du menar med att "den generella lösningen inte blir separabel". Förmodligen är det den inhomogena termen H0*eiwt. För att eliminera den behöver Du finna en partikulärlösning till den givna ekvationen och subtrahera den, varefter det som återstår är att lösa den
homogena värmeledningsekvationen. Ett problem är att denna operation påverkar randvillkoren, och om man till exempel från början har homogena randvillkor (dvs. T=0), så bör man finna en partikulärlösning med nollrandvärden. Nu skriver Du inte något om området (är det kanske hela rummet) eller randvillkor, så det är svårt att lämna ytterligare upplysningar på rimligt utrymme.

Catarina Petersson


11 december 2000 23.14.18
Hur gör man för att visa att 3|x^3-x? Man kan ju notera att 3|x*(x+1)*(x+2) <=> 3|x^3+3x^2+2x. Om 3|x^3-x så är också 3|x^3+3x^2+2x-(x^3-x) <=> 3|3*(x^2+x), vilket uppenbarligen stämmer. _Kan man göra på något annat sätt_?
Johan Winge

Svar:

Vi ser att x3-x=(x-1)*x*(x+1) och eftersom 3 alltid delar något av tre på varandra följande heltal är påståendet bevisat.
Det Du har gjort ovan leder tyvärr ingenstans eftersom Du antar det du vill bevisa; det säger bara att om 3 delar både x3-3 och x3+3x2+2x så delar 3 summan av uttrycken. Detta är en grundläggande sats inom algebran: Om a|b och a|c så gäller att a|(b+c).

Catarina Petersson


11 december 2000 20.08.04
Hej! Jag har en fråga om en formulering som ni har använt er av, nämligen: "...eftersom man har entydig faktorisering i ringen av Gaussiska heltal är primelementen och irreducibla element samma sak" Vad är ett irreducibelt element, ett primelement och entydig faktorisreing? Och vad är en ring av Gaussiska heltal?
Helen

Svar:
Ett Gaussiskt heltal är ett komplext tal a+ib, där a, b tillhör Z. De Gaussiska heltalen betecknas Z(i) och är ett integritetsområde, dvs en kommutativ ring med etta som inte innehåller några nolldelare.

Vi definierar nu begreppen irreducibelt element, primelement och entydig faktorisering.

Låt D vara ett integritetsområde.
Låt p vara ett element i D som varken är nollelementet eller en enhet (en enhet är ett element som har en multiplikativ invers). Man säger att p är ett irreducibelt element om det för varje faktorisering p=ab i D gäller att antingen a eller b är en enhet.

Om p i D inte är nollelementet eller en enhet och har egenskapen att om p|ab så måste p|a eller p|b, så sägs p vara ett primelement.

D har entydig faktorisering om
1) Varje element i D som varken är nollelementet eller en enhet kan faktoriseras i en produkt av ett ändligt antal irreducibla element.
2) Om p1...pr och q1...qs är två faktoriseringar av samma element i D i irreducibla element, så är r=s och qj kan omnumreras så att pi och qi är associerade element.

Att två element a,b i D är associerade element i D betyder att a=bu, där u är en enhet i D.

Om D har entydig faktorisering sammanfaller begreppen irreducibelt element och primelement.

Catarina Petersson


11 december 2000 12.58.34
Hej! Hur löser man ekvationer av typen: x^3+ax^2+bx+c=0 Tack på förhand, med hopp om ett snabbt svar!
Per Edberg

Svar:

I svaret till frågan 18 mars 1997 02.44.41 hittar Du en metod att lösa tredjegradsekvationer.

Catarina Petersson


11 december 2000 10.23.31
Hur långt kan man åka i rymden?

Svar:

Jag hänvisar till  Fråga vetenskapen om fysik.

Catarina Petersson


11 december 2000 10.22.55
Vatför finns det inte luft på andra planeter?

Svar:

Jag hänvisar till  Fråga vetenskapen om fysik.

Catarina Petersson


11 december 2000 10.22.28
Vatför finns planeter?

Svar:

Jag hänvisar till  Fråga vetenskapen om fysik.

Catarina Petersson


10 december 2000 20.57.57
Hej! Jag ställde följande fråga 6e December. Jag undrar hur det kan komma sig att volymen av rotationskroppen som uppstår när kurvan y=1/x roterar kring x-axeln(mellan x=1,oändl) är finit, men arean under kurvan i xy-planet inte är det.
Jag följde länken och läste svaret till 13 maj 1999 16.22.20, men har fortfarande problem att förstå att det inte rör sig om en motsägelse.
hälsningar
Lars

Svar:

Någon paradox i matematisk mening kan det inte vara även om du kanske tycker det är märkligt. Man måste ha klart för sig att generaliserade integraler endast är gränsvärden av vanliga integraler. Man hugger av struten vid x = b, beräknar arean och volymen av denna stympade strut, låter sedan b gå mot oo och ser vad som händer. Att arean går mot oo då b går mot oo innebär bara att arean växer med b och kan bli större än vilket givet tal som helst. Tar vi alltså bara b tillräckligt stort räcker inte färgburken till för att måla ytan med ett jämntjockt lager färg. Även volymen växer med b och kan komma hur nära Pi som helst bara vi tar b tillräckligt stort, men volymen kan aldrig bli Pi eller mer. Oavsett hur lång vår ändliga stympade strut är räcker Pi liter färg till för att fylla den om längdenheten är dm.

Kjell Elfström


10 december 2000 19.06.22
Hej.
Jag undrar var jag kan hitta bevis för de trigonometriska formlerna, ex additions och subtraktions formlerna.
Niclas

Svar:

Förhoppningsvis i de böcker i gymnasiet som behandlar trigonometri. Eftersom man inte längre kan ta sådana saker för givna finns det ett bevis i 12 mars 2000 19.10.16 för att cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b. Genom att ersätta b överallt i denna formel med -b får man

cos(a + b) = cos a cos(-b) + sin a sin(-b) = cos a cos b - sin a sin b

eftersom cos(-b) = cos b och sin(-b) = -sin b. Man kan sedan utnyttja att sin c = cos(Pi/2 - c) och cos c = sin(Pi/2 - c):

sin(a + b) = cos(Pi/2 - (a + b)) = cos((Pi/2 - a) - b)
= cos(Pi/2 - a)cos b + sin(Pi/2 - a)sin b = sin a cos b + cos a sin b.

Formeln för sin(a - b) klarar du efter detta säkert själv att bevisa.

Formlerna för dubbla vinkeln kan man lätt härleda utifrån additionsformlerna eftersom t ex cos 2a = cos(a + a).

Kjell Elfström


10 december 2000 13.45.33
Fråga: antag att man har ett kvarter ordnat i ett perfekt rutnät och det finns fyra längs-gående gator och sex tvär-gående gator! Man skall färdas från den första tvärgatan längst ned till den sista längst upp. hur många kombinationer finns det om man bara färdas den kortaste vägen?
Anders Frånlund

Svar:

Vi antar att det finns 4 syd-nordgående gator och 6 öst-västgående. Vi står i det sydvästra hörnet och skall gå till det nordöstra. Går vi den kortaste vägen skall vi i tur och ordning göra 8 förflyttningar från en korsning till nästa, 5 norrut och 3 österut. När vi valt ut de tre östliga är vägen bestämd. Det finns alltså (83) = 56 möjliga vägar.

Kjell Elfström


10 december 2000 09.32.24
Hur ska jag visa att kvadraten kar 8 symmetrier? Hjälp snarast förvirrad NV-elev
Johan

Svar:

En symmetri av kvadraten är en avbildning F av kvadraten på sig själv som bevarar avstånd, dvs avståndet mellan punkterna F(P) och F(Q) är lika stort som mellan punkterna P och Q. Två motstående hörn måste avbildas på två motstående hörn eftersom inget annat par av punkter i kvadraten har så stort inbördes avstånd. Hörn måste alltså avbildas på hörn och hörn som ligger på samma sida måste avbildas på hörn som ligger på samma sida. Hela avbildningen är bestämd av dess effekt på två hörn A och B som ligger på samma sida. Låt nämligen P vara en annan punkt i kvadraten. Att P ligger på avståndet a resp. b från A och B betyder att P ligger på en cirkel med radie a och medelpunkt i A och på en cirkel med radie b och medelpunkt i B. Bilden F(P) måste då ligga på en cirkel med radie a och medelpunkt i F(A) och på en cirkel med radie b och medelpunkt i F(B). Eftersom det bara kan finnas en gemensam punkt på cirklarna inuti kvadraten är positionen för F(P) bestämd av F(A) och F(B).

Låt A, B, C, D vara hörnen uppräknade moturs när vi går runt kvadraten. Eftersom F(A) och F(B) skall ligga intill varandra finns bara följande möjligheter för F(A) och F(B):

(A,B), (B,C), (C,D), (D,A), (C,B), (D,C), (A,D), (B,A).

Detta är 8 möjligheter. Nu frågar man sig om det verkligen finns symmetrier som har dessa efftekter på A och B. Låt I, R och S vara enhetsavbildningen, rotation ett kvarts varv moturs runt kvadratens tyngdpunkt respektive spegling av kvadratens punkter i linjen genom B och D. Då är I, R, R2, R3, S, RS, R2S, R3S symmetrier som har de angivna effekterna på hörnen A och B. Rn betyder att vi utför rotationen n gånger i följd och RnS att vi först speglar och sedan roterar n gånger.

Kjell Elfström


10 december 2000 09.30.57
Runt vilka punkter kan man rotera en kvadrat och få tillbaka kvadraten? Tack på förhand...
Marcus

Svar:

Jag är inte säker på vad du menar.

Kjell Elfström


9 december 2000 16.57.16
Hej!
hur löser man en ekvation som ser ut så:
k^2*[8^+(11-k)^2*V1=(11-k)^2*(12+k)^2*V2
OBS! värden på V1 och V2 är kända.
Tack så hemsk mycket..!!
MVH amauta2000@evryday.com
Josef Broman

Svar:

Det finns visserligen lösningsmetoder för den allmänna fjärdegradsekvationen men jag misstänker att man genom kännedom om konstanternas värde kan nå fram till lösningarna på enklare sätt, åtminstone om detta är något slags läxproblem. Jag är heller inte helt säker på vad det skall stå vid [8^ (även om jag har mina aningar).

Kjell Elfström


9 december 2000 15.39.37
Hejsan! Jag hoppas verkligen att ni kan svara på följande fråga:
Kan man skriva om kvadratroten ur ett tal som en matematisk serie?
Jag menar, hur gör en miniräknare för att ta kvadratroten ur ett tal? Den "känner" ju bara till addition egentligen? Den måste således ha någon approximativ metod, eller? Eller tar den bara talet och upphöjer till en halv?
Hoppas på svar!
Molle

Svar:

Metoden som vanligen används för att beräkna kvadratrötter är Newton-Raphsons metod. Denna lämpar sig för manuell uträkning och finns även inprogrammerad i räknare, matematikprocessorer och liknande. För att beräkna roten ur a utnyttjar man att denna är ett nollställe till funktionen f(x) = x2 - a. Se 29 oktober 2000 19.55.40.

Kjell Elfström


9 december 2000 13.48.24
Jag skulle vilja ha lite information om det binära talsystemet och speciellt om den/dem som uppfann det... Tack för en kanonbra tjänst.
Nils Johan Törnström

Svar:

Jag tror inte man kan säga vem som uppfann det. Det har visserligen fått stor användning efter datorernas intåg men att man kunnat uttrycka tal i positionssystem med olika heltalsbaser, och därmed basen 2, har varit känt under mycket lång tid. Babylonierna använde till exempel basen 60, därav indelningen av en cirkel i 360 grader och av en timme i 60 minuter.

Kjell Elfström


9 december 2000 11.29.44
Jag håller på med integraler och har fastnat vid en uppgift om konvergens. Jag har tyvär ingen aning om hur man löser den för hand. Uppgiften är att undersöka konvergensen av följande generaliserade integral med gränserna 0 till oändligheten.
integral: 1/(root[3](x)*root[5](5+x^4)) dx
Tack på förhand
Johan

Svar:

Vi har följande satser:

int01(dx/xa) är konvergent om och endast om a < 1.

int1oo(dx/xa) är konvergent om och endast om a > 1.

Om f(x) och g(x) är integrerbara i [a,1] för varje a, 0 < a <= 1, är positiva för alla x i en punkterad högeromgivning av 0 och om f(x)/g(x) --> A > 0 då x --> 0 från höger så gäller att int01(f(xdx) konvergerar om och endast om int01(g(xdx) konvergerar.

Om f(x) och h(x) är integrerbara i [1,b] för varje b >= 1, är positiva för alla stora x och om f(x)/h(x) --> A > 0 då x --> oo så gäller att int1oo(f(xdx) konvergerar om och endast om int1oo(h(xdx) konvergerar.

Om f(x) = 1/(x1/3(5 + x4)1/5) så gäller det att hitta en lämplig funktion g att jämföra med för små x och en funktion h för stora x. Låt oss börja med g. Faktorn (5 + x4)1/5 uppför sig som 51/5 (i den bemärkelsen att kvoten mellan dessa funktioner går mot 1 då x --> 0) och x1/3 uppför sig som sig själv (detta är en lämplig jämförelsefunktion enligt den första jämförelsesatsen). Vi bör alltså sätta g(x) = 1/(x1/351/5). Det är nu lätt att konstatera att f(x)/g(x) --> 1 > 0 då x --> 0+ så den tredje satsen är tillämplig. Eftersom, enligt sats 1, integralen av 1/x1/3 är konvergent så är integralen av g(x) också konvergent vilket enligt jämförelsesatsen ger att integralen från 0 till 1 av f(x) är konvergent. (Vi hade naturligtvis kunnat sätta g(x) = 1/x1/3 i stället och fått ett annat positivt gränsvärde.)

När det gäller att hitta på en funktion h konstaterar vi att för stora x uppför sig (5 + x4)1/5 i stället som (x4)1/5 = x4/5, varför en lämplig funktion h är h(x) = 1/(x1/3x4/5) = 1/x17/15. Jämförelsesatsen ger nu att integralen från 1 till oo av f(x) är konvergent.

Konvergensen av dessa båda integraler ger att den ursprungliga integralen är konvergent.

Kjell Elfström


8 december 2000 17.36.27
Hej Lund.
Jag skulle vilja ha hjälp med följande uppgift:
y'=(y^2-8y+7)e^2t
Visa gärna varje steg och om det finns en länk med information om liknande uppgifter skulle jag vara tacksam eftersom jag är helt vilsen inom det här. Tack i förhand.
Peter Ekhjärta

Svar:

Differentialekvationen är separabel,

y'/(y2 - 8y +7) = y'/((y - 1)(y - 7))= e2t.
Partialbråksuppdelning ger att

1/((y - 1)(y - 7)) = (1/6)(1/(y - 7) - 1/(y - 1))

varför lösningen ges av

(1/6)ln|(y - 7)/(y - 1)| = (1/2)e2t + C.

Härur kan man lösa ut |(y - 7)/(y - 1)| som funktion av t och om man känner tecknet av (y - 7)/(y - 1) också y som funktion av t.

Kjell Elfström


8 december 2000 16.05.32
Hej !
Jag försöker lösa ett problem som handlar om elektriska fält. Har två släta och fina ytor som är skeva och har diverse bulor. Potentialen på ytorna är givna. Går det att analytiskt bestämma en potentialfunktion V(x,y,z) d.v.s lösa Laplace-ekvationen med randvärden i tre dimensioner?
Pär Fritsberg

Svar:

Detta ämne är för omfattande för att avhandlas här. Se t ex Müller, Claus: Grundprobleme der mathematischen Theorie elektromagnetischer Schwingungen , eller många andra böcker om matematisk fysik eller partiella differentialekvationer.

Kjell Elfström


8 december 2000 15.52.50
Hej!
Kan ni beräkna INT[ln(x^2+1)/(x^2+1)]dx integrationsgränserna går från -oo till +oo
Jakob

Svar:

Integralen kan inte uttryckas med hjälp av de elementära funktionerna.

Kjell Elfström


8 december 2000 15.48.01
Det var väldigt vad många frågor ni har besvarat den här veckan. Imponerande! Här får ni en till:
För en del år sedan läste jag någonstans att analyticitetsområdet för en analytisk funktion av flera (minst 2) komplexa variabler alltid kan utvidgas så att det inte innesluter isolerade områden där funktionen inte är analytisk och så att det inte finns inskjutande hörn i analyticitetsområdet. Detta till skillnaden från funktioner av en variabel där (maximala) analyticitetsområdet kan var begränsat av vilken kurva som helst. Tyvärr har jag inte lyckats hitta beviset. Har ni någon lämplig referens eller kanske själva beviset till hands? Tack på förhand.
Bengt Månsson

Svar:

Se t ex Krantz, Steven George: Function theory of several complex variables.

Kjell Elfström


8 december 2000 12.39.23
Hejsan! Jag undrar hur man beräknar trigonometriska integraler med residykalkyl, exempelvis integralen av sin(x)/(2+sin(x)+cos(x)) när x går från 0 till 2*Pi
Fredrik

Svar:

Byter vi ut x mot t så är integranden en rationell funktion av cos t och sin t, dvs integranden är på formen Q(cos t,sin t), där Q är en rationell funktion av två variabler. Antag att Q är kontinuerlig på enhetscirkeln. För integranden i frågan är Q(x,y) = y/(2 + x + y). Sätter vi z = eit är enligt Eulers formler cos t = (z + 1/z)/2 och sin t = (z - 1/z)/(2i). Betrakta funktionen f(z) = Q((z + 1/z)/2,(z - 1/z)/(2i))/iz. Om C är enhetscirkeln är intCf(zdz summan av residyerna till f inuti enhetscirkeln, multiplicerad med 2Pi i. Nu behöver vi bara utnyttja att

intCf(zdz = int02Pif(eit)ieit dt = int02PiQ(cos t,sin tdt,

för att få en metod att beräkna den sökta integralen.

Kjell Elfström


7 december 2000 22.44.36
Lösningen för en ordinär homogen diff-ekv. av typen
y´´ + ay' + by = 0
är y = Ae^(zx) + Be^(z*x). (z* = konj av z) Hur visar man att detta är = Ce^(ax)cos(bx) + De^(ax)sin(bx) (a, b real- resp. img-del av z)? Blir det inte ett i framför den sista termen?
Charles

Svar:

Antag att det karakteristiska polynomet

z2 + Az + B

till differentialekvationen

y'' + Ay' + By = 0

har nollställena z1 och z2. Om differentialekvationen har reella koefficienter och något nollställe är ickereellt är båda ickereella och varandras konjugat,

z1 = a + bi, z2 = a - bi,

där a och b är reella tal. Lösningarna till differentialekvationen ges då av

y = C1exp(z1x) + C2exp(z2x) = C1eax(cos bx + isin bx) + C2eax(cos bx - isin bx)
= eax((C1 + C2)cos bx + i(C1 - C2)sin bx).

Sätt nu C = C1 + C2 och D = i(C1 - C2) så får du önskat resultat. Den imaginära enheten i finns alltså inbakad i konstanten D.

Kjell Elfström


7 december 2000 22.10.36
Hej, jag försöker bevisa Herons formel för areor av trianglar. Den 31 januari 1997 12.32.10 läser jag ett gammalt svar, men jag fastnar på en punkt nämligen där det står: "Direkt uträkning ger nu att T2 = (ah/2)*(ah/2) = (a2)( h2)/4 = (a+b+c)( a+b-c)( a-b+c)(- a+b+c)/16 = p(p-a)( p-b)( p-c)." Hur då direkt uträkning. Skulle du kunna skriva upp ett par steg?
Karl Ericksson

Svar:

Av uppgifterna i 31 januari 1997 12.32.10 får man att

4a2h2 = 2a2b2 + 2a2c2 - a4 - (b2 - c2)2.

Enligt konjugatregeln har vi också att

(a + b - c)(a - b + c)(a + b + c)(-a + b + c) = (a2 - (b - c)2)((b + c)2 - a2) = -a4 + a2((b - c)2 + (b + c)2) - ((b + c)(b - c))2.

Utveckla kvadraterna i den mittersta termen och använd konjugatregeln på den sista så finner du att de båda uttrycken är lika.

Kjell Elfström


7 december 2000 18.55.04
Hur många kombinationer kan bildas av rutorna på en rubikskub?
Ludvig Orvegård

Svar:

Antalet permutationer av rutorna som kan erållas genom en följd av rotationer av de nio småkuberna på någon sida ett kvarts varv är 43252003274489856000. Se Analyzing Rubik's Cube with GAP..

Kjell Elfström


7 december 2000 14.19.46
Hej jag har en liten fråga angående lösning til en ekvation. Det är nämligen så att ekvationen: -arcustangens(w)-w=-pi, endast står förklarad med sitt numeriskt beräknade svar och inte hur man kommer fram till detta svar. Visst är det lätt att låta en dator beräkna svaret, men hur kommer man fram till det utan att ha tillgång till dessa?
Hampus

Svar:

Funktionen f(x) = arctan x + x - Pi är strängt växande vilket man ser genom att studera derivatans tecken. Vidare så går f(x) mot oo då x --> oo och f(x) --> -oo då x --> -oo. Detta visar att ekvationen f(x) = 0 har precis en rot. Denna kan bestämmas numeriskt med hjälp av Newton-Raphsons metod, se 29 oktober 2000 19.55.40.

Kjell Elfström


7 december 2000 14.02.16
Hejsan jag har problem med ett mattespel på pc som handlar om egyptiska siffror. Jag har letat i uppslagsböcker, både mattematiska och vanliga och dessutom frågat lärare men utan resultat. Problemet är att jag måste ha en kod för att öppna en dörr, koden består av 4 siffror men är skrivet som egyptiska siffror i stil med det som står innom parentes ( "I ) två korta diagonala streck och ett I. Jag blir väldigt tacksam om ni kan hjälpa mig med detta. Om det är möjligt så skicka gärna svaret till marwin100@hotmail.com
Micke

Svar:

Se Egyptian Mathematics. Det som står inom parentesen bör enligt den refererade sidan vara 201.

Kjell Elfström


7 december 2000 13.18.41
Antag att z är proportionell mot x och att z dessutom är proportionell mot y. Då är z proportionell mot xy. Hur bevisar men det ? (Problemet dyker upp i samband med kraftekvationen i fysik.)
Ingemar Niklasson

Svar:

Innebörden är att z är en funktion av x och y. För varje fixt y är z en funktion av x som är proportionell mot x och för varje fixt x är z en funktion av y som är proportionell mot y. Vi har alltså att

z = k(y)x och z = l(x)y,

där "konstanterna" beror på y resp. x. För t ex y = 1 är de båda uttrycken för z lika för alla x. Detta ger att l(x) = k(1)x, vilket sedan ger att z = kxy, där k = k(1).

Kjell Elfström


7 december 2000 13.16.13
Hur löser man andragradsekvationen s^2-v^2(1/g+2t/v)s+v^2t^2=0?
Martin Johansson

Svar:

Ekvationen kan skrivas

s2 - (v(v + 2gt)/g)s = -v2t2.

Kvadratkompletterar vi får vi

(s - v(v + 2gt)/(2g))2 = v2((v + 2gt)/(2g))2 - v2t2 = (v2/(2g)2)((v + 2gt)2 - (2g)2t2)
= (v2/(2g)2)(v2 + 4vgt),

varför

s = v(v + 2gt)/(2g) ± (v/(2g))(v2 + 4vgt)1/2 = (v/(2g))(v + 2gt ± (v2 + 4vgt)1/2).

Kjell Elfström


7 december 2000 11.57.52
3. Låt a, b, och c vara tre olika tal ,Bestäm x, y 0ch z ur ekvation systemet.
x + ay + a^2z + a^3 =0
x + by + b^2z + b^3 =0
x + cy + c^2z + c^3=0

tilwol@hotmail.com

Svar:

Börja med att dra den första ekvationen från den andra och tredje. Du blir då av med x-termerna i de senare ekvationerna. Utnyttja nu att b2 - a2 = (b - a)(b + a) och b3 - a3 = (b - a)(a2 + ab + b2) och dividera den nya andra ekvationen med (b - a), som inte är noll. Gör motsvarande med den nya tredje ekvationen. Drag sedan den så uppkomna andra ekvationen från den nya tredje ekvationen och gör sedan ungefär på samma sätt.

Kjell Elfström


7 december 2000 11.53.07
2.Dela upp vektorn (2,1,3) i komposanter i riktningarna
e1 = (0.707, 0, 0.707)
e2 = (0.707, 0, -0.707)
e3 = ( 0, 1, 0 )
tilwol@hotmail.com

Svar:

Om vi byter ut 0,707 mot 1/21/2 blir e1,e2,e3 en ortonormerad bas. Då gäller för varje vektor u att

u = (u·e1)e1 + (u·e2)e2 + (u·e3)e3.

Eftersom (u·e1) = 5/21/2, (u·e2) = -1/21/2, (u·e3) = 1 blir komposanterna 5/21/2e1 = (5/2,0,5/2), -1/21/2e2 = (-1/2,0,1/2) och e3 = (0,1,0).

Kjell Elfström


6 december 2000 23.34.30
Hej.
Jag undrar hur det kan komma sig att volymen av rotationskroppen som uppstår när kurvan y=1/x roterar kring x-axeln(mellan x=1,oändl) är finit, men arean under kurvan i xy-planet inte är det.
Hälsningar
Lars

Svar:

Se 13 maj 1999 16.22.20.

Kjell Elfström


6 december 2000 17.59.39
hej jag heter koni och går på felings brofollhsskola, och jag har en fråga om vilka planetr man kan se utom jupiter ? och sen undrar jag om man kan resa in i svarta hålet? ni kan melia mig min adres är koni_67@spray.se
koni bijelic

Svar:

Jag uppmanar dig att Fråga astronomen.

Kjell Elfström


6 december 2000 14.52.24
Varför ska vi lära oss matematik?
Mats Enestam

Svar:

Huruvida man skall lära sig matematik är en politisk fråga. Det kan finnas många anledningar till att man vill lära sig matematik. Den lägre matematik som undervisas i skolorna (de fyra räknesätten, procenträkning, areaberäkningar mm) är nog nödvändig för de allra flesta. När det gäller den högre matematiken kan man behöva den i studiet av andra ämnen såsom fysik eller ekonomi eller så kanske man läser den för dess (och sin) egen skull.

Kjell Elfström


6 december 2000 08.04.11
Hur gör man: Bestäm lösningen till differentialekvationen y´´+4y´=24x + 22 för vilken y(0)=4 och y´(0)=4
Erik

Svar:

Se 6 december 2000 08.01.55 för hur man får den allmänna lösningen som summan av en partikulärlösning till ekvationen och den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation. I denna differentialekvation saknas y-termen. När man bestämmer en parikulärlösning y0 måste man därför gå upp ett gradtal och sätta y0 = Ax2 + Bx.

Kjell Elfström


6 december 2000 08.01.55
Hej, jag undrar hur man löser: Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y´´+9y=9x^2+21 sin 4x
Mycket bra sida till stor hjälp!
Maggie

Svar:

Differentialekvationen är lineär av andra ordningen. Om man lyckas finna en enda "partikulärlösning" y0 ges lösningarna av y = y0 + yh där yh är en godtycklig lösning till den homogena ekvationen

L(y) = y'' + 9y = 0.

Typiskt för lineära differentialekvationer är också att om y1 är en lösning till L(y) = h1 och y2 en lösning till L(y) = h2 (samma vänsterled men två olika högerled) så är y1 + y2 en lösning till L(y) = h1 + h2. I detta fall är h1(x) = 9x2 och man kan finna en partikulärlösning y1 genom att göra ansatsen y1 = Ax2 + Bx + C, derivera, sätta in i ekvationen och bestämma koefficienterna A, B och C. y2 kan man finna genom att göra ansatsen y2 = Dcos 4x + Esin 4x. Partikulärlösningen till den ursprungliga ekvationen blir y0 =  y1 +  y2 och den allmänna lösningen till den ursprungliga ekvationen blir y = yh + y1 +  y2.

Kjell Elfström


6 december 2000 07.58.56
Hej, hur löser man: 2x^2-7x+5=0
Edit

Svar:

Man börjar med att dividera med 2 för att få högstagradskoefficienten 1. Ekvationen blir då

x2 - (7/2)x + 5/2 = 0.

Därefter kvadratkompletterar man. Eftersom

(x + a)2 = x2 + 2ax + a2,

så är

x2 + 2ax = (x + a)2 - a2.

Detta ger att

x2 - (7/2)x = (x - 7/4)2 - (-7/4)2 = (x - 7/4)2 - (7/4)2.

Ekvationen kan nu skrivas

(x - 7/4)2 - (7/4)2 + 5/2 = 0 <==> (x - 7/4)2 = (7/4)2 - 5/2 = 9/16.

Det följer att x - 7/4 = ±3/4, av vilket det följer att x = 7/4 ± 3/4, dvs x = 1 eller x = 5/2.

Kjell Elfström


5 december 2000 18.10.07
Hej (igen)! Förra veckan ställde jag en fråga om feluppskattningar vid approximationer av funktioner via kedjebråk och ni bad mig att utveckla. Vad jag menar är till expempel kedjebråksutveklingen
tan(x)=x/(1-x^2/(3-x^2/(5-x^2/(7-x^2/(9-...)))).
Om man hugger av kedjebråket, dvs räknar ut den n:te konvergenten P_n/Q_n för något n, finns det då formler för att uppskatta felet Abs(tan(x)-P_n/Q_n) som en funktion av n och x? Tack på förhand!
Patrik Andersson

Svar:

Vi har följande resultat av Seidel-Stern:

Låt bn vara positiva tal och betrakta kedjebråket

1/(b1 + 1/(b2 + 1/(b3 + ...))).

Om fn är dess n:e approximant (konvergent) så är

f2n - 1 < f2n + 1 < f2n + 2 < f2n,  n = 1,2,3...,

varför f2n och f2n + 1 båda konvergerar (fast kanske inte mot samma värde). Om dessutom summa bn divergerar så konvergerar kedjebråket mot ett ändligt värde f och det gäller att

|f - fn| < |fn - fn - 1|,  n = 2,3,4,...

Nu är inte denna sats direkt tillämplig på tan x. Betrakta i stället kedjebråket

a1z/(1 + a2z/(1 + a3z/(1 + ...))),

där an > 0 och z är ett komplext tal. Antag vidare att kedjebråket konvergerar i området |arg z| < Pi mot en holomorf funktion f(z). Under förutsättning att |arg z| <= Pi/2 gäller, som i den förra satsen, |f(z) - fn(z)| < |fn(z) - fn - 1(z)|.

Med z = -w2, a1 = 1, an = (2n - 3) (2n - 1) då n > 1 konvergerar kedjebråket mot -wtan w och trunkeringsfelet kan uppskattas som i satsen.

Jag kan rekommendera boken Jones, Thron: Continued Fractions, Analytic Theory and Applications, Addison-Wesley 1980.

Kjell Elfström


19663 frågor av sammanlagt 20094 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)