Fråga Lund om matematik

Sökresultat


16 maj 2000 12.45.06
Hej! Jag har fått intrycket att ju mer matematiken utvecklas desto svårare blir det att nå fram till dess frontlinje. Idag lär det ju vara nästintill omöjligt att bevisa några nya satser utan att vara extremt begåvad och utbilda sig under åtskilliga år. Man skulle kunna tänka sig att det finns en gräns för hur långt man kan tränga in i den matematiska djungeln eftersom det till slut krävs en hel livstid att nå fram till outforskade områden. Å andra sidan har jag hört att matematiken ständigt "grenar ut sig" så att man kanske alltid kommer att kunna nå okända områden utan alltför mycket möda. Jag undrar hur pass livligt dessa frågor diskuteras i forskarvärlden och om det finns några bra sidor på nätet om dem.
Magnus K

Svar:

Tyvärr känner jag inte till några fora där dessa frågor diskuteras.

Kjell Elfström


16 maj 2000 12.34.19
Hej! Antag att en liten kropp faller rakt mot en stor (orörlig) kropp under inverkan av enbart gravitationen. Om x=x(t) betecknar avståndet mellan tyngdpunkterna hos den lilla och den stora kroppen vid tiden t gäller då (*) d^2x/(dt^2) + A/x^2 = 0, A positiv konstant Jag har lyckats bestämma t=t(x) ur denna diff.ekv, men kan inte ur denna relation lösa ut x som funktion av t. Går det att ur (*) explicit bestämma x som funktion av t, och hur gör man det i så fall?
Magnus K

Svar:

Jag tror att det är svårt att lösa ut x som funktion av t. Multiplicerar man ekvationen med 2x' får man

(d/dt)(x')2 = 2A(d/dt)(1/x),

vilket ger att

(x')2 = 2A/x + C.

Drar vi roten ur båda led får vi

x'(x/(2A + Cx))1/2 = 1.

Sätter man y = (x/(2A + Cx))1/2 klarar man av att integrera och alltså att lösa ut t som funktion av x. Jag kommer dock inte längre än så.

Kjell Elfström


16 maj 2000 10.41.57
Hej! Jag skulle vilja få en utförlig redovisning om matriser. hur man räknar.Vilka operationer man kan gör(addition,multiplikation). De böcker som jag har läst går ej att förstå. Tacksam för svar så fort som möjligt.
Sandra.

Svar:

Svaret på denna fråga skulle bli för omfattande. Det finns många läroböcker i lineär algebra där definitionerna av matrismultiplikation och addition görs. Den bok vi för närvarande använder är Tengstrand: Lineär algebra med vektorgeometri. Studentlitteratur 1994.

Kjell Elfström


15 maj 2000 23.03.09
Jag skulle vara hemskt tacksam om ni svarade på den här frågan: Hur stor är sannolikheten att åtminstone 2 stycken elever i en klass med 13 elever fyller år på samma dag (de behöver inte vara lika gamla)?
Göran

Svar:

Se 19 november 1997 20.42.10.

Kjell Elfström


15 maj 2000 22.08.26
Hejsan, jag skulle vilja ha svar på denna kniviga uppgift: Låt q(a) vara det minsta egenvärdet till problemet u´´(x)+qu(x)=0 där u(0)=au(1)+u´(1)=0. Visa att q(a) växer monotont från minus oändligheten till pi^2 då a växer från minus oändligheten till plus oändligheten
Jörgen

Svar:

Se 15 mars 2000 09.41.07.

Kjell Elfström


15 maj 2000 20.58.06
En upp och nedvänd kon med höjden 60 cm och radien 12 cm är delvis fylld med vatten.Vattnet läcker ut med en hastighet som är portionell mot den area som är i kontakt med vattnet. Man fyller på vatten i konen uppifrån. Påfyllnadshastigheten är 100 cm^3/min kommer vattenytan att sjunka med hastigheten 0,6 cm/min då vattenhöjden i konen är 24 cm Hur stor ska påfyllnadshastigheten vara om man vill att vattenytan ska hålla sig konstant på en viss nivå? Snälla svara så enkelt, men utförligt som möjligt!Tack!
Eva Persson

Svar:

Se 24 maj 1999 14.08.38.

Kjell Elfström


15 maj 2000 20.49.07
Jag ska konstruera en cylinderformad öppen vattentank. Den ska rymma 1000 m^3 och bottnens tjocklek vara 0,25 m. Väggtjockleken är t m och t= 0,002*x*r. r=radie x=höjd Hur mycket cement behöver jag? Jag vore tacksam för en inte allt för krånglig förklaring, men ändå en eller flera grundliga! Tack på förhand!
Eva Persson

Svar:

Se 17 maj 1999 10.22.22.

Kjell Elfström


15 maj 2000 17.27.25
Hur bevisas att det genom en punkt går en och endast en paralell linje till en annan rät linje.
Björn Norén, Halmstad högskola

Svar:

Det kan man inte! Se 2 maj 2000 16.23.26.

Kjell Elfström


15 maj 2000 15.39.36
Hej! Här kommer en upp. En doftkula har volymen 3,0 cm3. På grund av avdunsning minskar kulans volym med t månader på ett sådant sätt att volymändringen per tidsenhet är proportionell mot kulans area. Efter 1 månad är doftkulens volym 2,0 cm3.
a). Visa att förutsättningarna ovan leder till att dr/dt = k där k är en konstant och r cm betecknar kulans radie efter t månader.
b). Beräkna kulans volym efter 4 månader.
HK

Svar:

Om r är radien, V volymen och A arean så är V = k1r3 och A = k2r2. Enligt förutsättningarna är

dV/dt = k3A = k4r2
och eftersom

dV/dt = (dV/dr)(dr/dt) = 3k1r2(dr/dt)

följer det att

dr/dt = k4/(3k1) = k.

b) löses genom att man löser denna differentialekvation.

Kjell Elfström


15 maj 2000 15.17.33
Hej!
Hur visar man att det bara finns 17 olika uppsättningar av tal som uppfyller ekvationen:
(a-2)/2+(b-2)/2+.....+(n-2)/2=2 där a,b,...,n är godtyckligt antal tal? Tack på förhand?!
Henrik Åberg

Svar:

Det tog ett tag att fundera ut vad som frågades efter. Vi formulerar om likheten:

(a1 - 2)/2 + (a2 - 2)/2 + ... +(an - 2)/2 = 2.

För varje värde på n finns det ett antal följder a1,a2,...,an av olika positiva heltal sådana att ekvationen är uppfylld. Det som skall visas är att om man adderar antalet lösningar för de olika värdena på n, så får man 17. Börja med att skriva om likheten som

a1 + a2 + ... + an = 2n + 4.

Eftersom heltalen är olika är summan minst

1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2.

Vi måste då kräva att n(n + 1)/2 <= 2n + 4 och löser man denna olikhet får man att n <= 4 om det finns några lösningar. Därefter är det bara att räkna ut hur många lösningar det finns för n = 1, 2, 3, 4 och se att det sammanlagda antalet är 17.

Kjell Elfström


15 maj 2000 14.56.33
Hej! Jag har två uppgifter.
1. När lösningarna till ekvationen x^3 - 4x^2 + 5x = 0 anges som punkter i det komplexa talplanet kan en cirkel ritas som går genom all punkterna. Bestäm cikelns radie?
2. Linjen genom punkterna P= (1,0) och Q = (4,2) samt grafen till y=(x)^(1/2) avgränsar tillsammans med x-axeln ett område i första kvadranten. När området roteras kring x-axeln uppstår en rotationskropp. Visa att den har volymen 4pi volymsenheter. (Det som krånglar till här är integralen till rotationen kring x-axeln.)
Alltid tacksam!
"Delighted by arithmetic"

Svar:

1. Börja med att lösa ekvationen. Lösningarna (betraktade som punkter) har då koordinaterna P1 = (x1,y1), P2 =  (x2,y2), P3 =  (x3,y3). Låt P =  (x,y) vara koordinaterna för cirkelns medelpunkt och r cirkelns radie. Då gäller att

|P1P|2 =  r2
|P2P|2 =  r2
|P3P|2 =  r2

Drag nu den första ekvationen från den andra och den tredje. Då blir nya andra och tredje ekvationerna lineära i x och y. Lös ut x och y ur dessa båda ekvationer och sätt därefter in i den första ekvationen för att bestämma r.

2. Volymen av den rotationskropp som uppstår då kurvan y = f(x), a <= x <= b, roterar kring x-axeln är integralen från a till b av pi (f(x))2. Kurvan och linjen skär varandra då x = b = 4. Beräkna först volymen av området som uppstår då kurvan y = x1/2, 0 <= x <= 4 roterar. Drag därefter ifrån volymen av kroppen som uppstår då linjen y = (2/3)(x - 1), 1 <= x <= 4 roterar.

Kjell Elfström


15 maj 2000 14.40.21
Kan ni hjälpa mig att lösa detta? Låt I vara den räta linje genom origo i ett ortonormerat koordinatsystem Oxyz, som bildar vinkeln 45 grader med positiva z-axeln och vars projektion på xy-planet bildar vinkeln 45 grader med positiva x-axeln. a/ Bestäm matrisen för rotation 90 grader kring I. b/ Bestäm bildpunkterna vid denna rotation till punkterna ( 0,0,1) (1,0,1) och (1,1,1). Tacksam för hjälp!.
Mattias Ericsson

Svar:

En riktningsvektor för I är (1,1,21/2). Det är lätt att se att (1,-1,0) är vinkelrät mot riktningsvektorn. Bestäm en vektor som är vinkelrät mot båda dessa. Normerar du dessa vektorer får du en ON-bas för rummet. Det är lätt att se vad dessa tre vektorer avbildas på. På så sätt får du avbildningens matris i denna nya bas. Övergå sedan till de gamla koordinaterna.

Kjell Elfström


15 maj 2000 12.44.20
Min fråga är så, att jag köpte en grafiskt räknare TI-86 och jag kan inte lösa grafiskt på TI-86,jag har bruksanvisning men inte så bra på språk? TAck.
Visar

Svar:

Jag känner inte till TI-86.

Kjell Elfström


15 maj 2000 11.21.14
Jag gjorde en tenta i Flervariabelanalys och skulle där räkna ut en dubbelintegral. Jag gjorde ett slarvfel och fick en determinant till negativ. Detta följde med uträkningen och jag svarade med ett negativt värde på integralen. Detta fick jag noll poäng för. Såvitt jag vet så borde det gå att svara med en negativ area, vad tycker ni? Är det rätt att få uppgiften underkänd för det?
Patrik

Svar:

Determinanten kan mycket väl vara negativ. I formeln för variabelbyte skall man ta absolutbeloppet av determinanten, varför determinantens tecken inte har någon betydelse. Integraler kan också vara negativa, men beräknar man integralen av en positiv funktion bör man reagera om man får ett negativt svar. Jag har inga synpunkter på examinatorns bedömning av din lösning.

Kjell Elfström


15 maj 2000 10.52.29
Låt V vara ett Hilbertrum och M=[e1,e2,e3,...,ek]där e1,e2,e3,...,ek är en ON-följd av vektorer i V. Låt vidare P vara den operator på V som bestäms av y=Px om och endast om II x-y II=inf II x-z II, z tillhör M. (II II=normen) Bestäm egenvärden och egenvektorer till P.
Niklas, Fille

Svar:

Det skall rimligtvis vara så att y tillhör M. Då är P den ortogonala projektionen av VM. Efter den upplysningen bör ni klara uppgiften själva.

Kjell Elfström


13 maj 2000 21.36.16
Om man tänker sig att en linje som är parallell med en cirkels "diameter" avgränsar cirkeln. Kan man då sätta arean som en funktion av höjden på linjen? (Närmare förklaring: Om höjden=0 är arean=0, är höjden=50%(r) är arean=50%, höjden=100%(2r el d.) arean=100% etc). Vore mycket tacksam om ni kan svara på vad linjens ekvation blir.
Erik Löfgren

Svar:

 En sådan linje som först tangerar cirkeln i en punkt och sedan parallellförflyttas så att den så småningom ligger över en diameter till cirkeln och slutligen tangerar cirkeln på motsatt sida skär ut en area som, vid parallellförflyttning en sträcka h och cirkelradien r, ges av uttrycket

A(h) = r2arccos((r-h)/r)-(r-h)sqrt(r2-(r-h)2), 0<=h<=2r.

Då är speciellt A(0) = 0, A(r) = Pi*r2/2 och A(2r) = Pi*r2. Du kan komma fram till detta genom kunskap om hur man beräknar en cirkelsektors area och lite trigonometri. Jag hoppas att detta besvarar din fråga (vad menar du med linjens ekvation?).

Joakim Petersson


11 maj 2000 21.12.17
Hur löser man denna diff ekvation: y''+c*sin(y)=0
Fredrik

Svar:

Låt begynnelsevärdena y(0) = y0 och y'(0) = y1 vara givna. Vi antar att y1>=0. Vi multiplicerar ekvationen med y' och får y''y' = -cy'siny. Här kan vi integrera och får (y')2/2 = c*cosy+A, där begynnelsevillkoret ger A = y12/2-c*cosy0. Antagandet y1>=0 ger y' = sqrt(y12+2c(cosy-cosy0)). Detta är en separabel ekvation ur vilken vi kan få fram x = Inty0y (y12+2c(cosu-cosy0))-1/2 du. Med detta får vi låta oss nöja. Ekvationen beskriver om c>0 utslaget kring lodlinjen av en pendel, och jag skulle tro att det är så du har stött på den.

Joakim Petersson


11 maj 2000 20.45.53
Hejsan! Läste frågan av Svante E Persson (7 november 1997 ), men hängde inte riktigt med på ditt svar. Varför byter du ut x mot 8sint och hur får du ut formeln för din integral?? Först ersätter du x i formeln sqrt(64 - x2)dx, vilket man kan förstå, men vad händer sedan? Kan man inte integrera f(x)g(x) dx från 0 - 8 direkt, utan att ändra utseende på x? Skulle också vara intressant att veta vartifrån du tar gränsvärdena. Tack för en sida som man kan tillbringa många timmar framför!!
Jens Isaksson

Svar:

Du syftar på frågan 7 november 1997 13.53.40. När man beräknar integraler kan man ofta göra på olika sätt. Vilket som är enklast blir ibland en smaksak. I det här fallet föreslås att man i integralerna Int08 sqrt(64-x2) dx och Int08 x2sqrt(64-x2) dx gör variabelsubstitutionen x = 8sint. Gränserna x = 0 och x = 8 motsvaras då av t = 0 och t = Pi/2 eftersom funktionen sint växer från 0 till 1 då t går mellan 0 och Pi/2. De båda intervallen avbildas därför på varandra vid bytet av variabler. Integralerna överförs på det viset till integraler av trigonometriska funktioner. Men precis som du skriver kan man också undvika variabelsubstitution och beräkna integralerna som de står med partiell integration. Tex kan man i den andra integralen skriva integranden som x*f(x), integrera f(x) och derivera x (så som man gör vid partiell integration). Efter omskrivning får man då tillbaka samma integral och den lättare första integralen, som också kan beräknas med partiell integration. Roligt att sidan uppskattas! Hoppas att jag inte bara rörde till det ännu mer.

Joakim Petersson


11 maj 2000 19.04.07
Hej! jag tycker att du inte riktigt kan förklara olika matematiska lösningar, man ska ju förklara sina lösningar steg för steg och inte skriva hela högen på samma gång!!!!!
Klas Eriksson

Svar:

Tack för kritiken. Det är svårt att förklara matematik, det kan nog de flesta vara överens om. Inte minst på en sådan här sida, där det finns naturliga gränser för hur fullständiga och detaljerade svaren kan vara. Du ska dock veta att vi som skriver det här alltid försöker ge svar som den som frågar blir nöjd med, även om det inte alltid är så lätt.

Joakim Petersson


11 maj 2000 16.45.22
Hej !! Två satser : 1. Sambandet mellan derivata och integral. 2. Integralkalkylens huvudsats. Det är egentligen den första satsen som intresserar mig mest. Där utnyttjar man den vanliga gränsvärdesdefinitionen för derivata. Då förstår jag varför man "deriverar baklänges" för att kunna använda "integralkalkylens huvudsats". Jag förstår alltså varför man har lärt sig att derivera så många funktioner på gymnasiet. (Jag förstår att man kan utvidga mängden integrerbara funktioner beroende på om man använder Riemann, Lebeshue eller den allmänna integrationsteorin. Det är dock inte detta som jag är intresserad av.) Finns det någon annan metod, exempelvis någon annan typ av gränsvärdesdefinition, som skulle kunna ge ett annat samband mellan derivata och integral. Finns det alltså någon information om alternativa lösningar till "delta y / delta x" ? Jag kan förstå om det inte finns någon alternativ lösning ty då skulle det finnas andra typer av differentialekvationer och integralekvationer m.m. Mycket tacksam för svar. Bosse
Bosse

Svar:

Jag måste göra dig besviken. Derivatan är så naturligt och bra definierad att "alternativa lösningar" saknas. Något som på sätt och vis hör samman med och kompletterar derivation är differensräkning, differensekvationer och liknande.

Joakim Petersson


11 maj 2000 14.30.54
Consider an hermitian matrix A. Erase the first column and the first row from A and you get the matrix B. How can it the be proven that: If the eigenvalues of A are non-negative, then this also holds for the matrix B?
Mark

Svar:

 Let * denote the operation of both (complex) conjugation and transposition. Recall that A is called hermitian if A* = A. Let A be hermitian. Then there is an orthonormal basis of eigenvectors to A and all eigenvalues of A are real. If x = b1e1+...+bnen, where Aej = rjej, then x*Ax = r1|b1|2+...+rn|bn|2. Hence all eigenvalues are non-negative if and only if x*Ax>=0 for every complex vector x. Erasing the first column and the first row in order to get the matrix B implies that y*By = x*Ax, where x = (0,yt) (check this!). Thus y*By>=0 for every complex (n-1)-vector y, and all eigenvalues of B are non-negative.

Joakim Petersson


10 maj 2000 18.43.47
I en bok jag läst står det följande: " Således 2m upphöjt till 4 lika med en kub, eller 2m en kub". Varför står det så?. Jag har skrivit detta för tredje gången. Glöm mina tidigare frågor.
Georg karavidas

Svar:

Låt a och b vara positiva heltal som uppfyller a4 = b3. Om något av talen är 1 måste även det andra vara 1, så vi kan anta att a,b>1. Anledningen till att a måste vara en kub (och b en fjärdepotens) är den entydiga primtalsfaktoriseringen. Vi kan skriva a4 = b3 som p14a1...pm4am = q13b1...qn3bn där primtalsfaktorerna är ordnade efter storlek. Entydigheten ger att m = n, p1 = q1 osv och att 4a1 = 3b1 osv. Detta innebär emellertid, eftersom 3 och 4 saknar gemensamma delare, att 3 delar a1 (och 4 delar b1) osv (återigen tex på grund av entydig primtalsfaktorisering). Men då är a en kub eftersom alla exponenterna i primtalsfaktoriseringen av a är delbara med 3.

Joakim Petersson


10 maj 2000 16.44.52
Jag söker tips på (matematisk)litteratur där Zenons tidsparadoxer utreds grundligt så att jag kan börja sova på nätterna igen. Hälsningar Lars
lars jonsson

Svar:

Jag hänvisar till Zenons paradoxer.

Joakim Petersson


10 maj 2000 13.57.37
En stokastisk variabel X har väntevärdet my och variansen sigma i kvadrat. I syfte att skatta my görs 3 oberoende observationer på variabeln, varefter följande skattningar bildas: my_1 = 1/3 X1 + 1/3 X2 + 1/3 X3 my_2 = 1/4 X1 + 1/2 X2 + 1/4 X3 my_3 = 1/2 X1 + 1/2 X2 a) Vilka av skattningarna är väntevärdesriktiga ? b) Vilken skattning är "bäst" ?
Magnus Österberg

Svar:

Väntevärdet är en lineär funktion, så alla dessa skattningar är väntevärdesriktiga, dvs väntevärdet av skattningarna är my. För oberoende stokastiska variabler gäller lagen V(aX+bY) = a2V(X)+b2V(Y) för variansen. Den första skattningen har minst varians, sigma i kvadrat/3 och kan i viss statistisk mening anses vara bäst. Det aritmetiska medelvärdet är också den skattning bland alla vägda medelvärden av observationerna som har minst varians.

Joakim Petersson


10 maj 2000 13.18.21
Kan någon lösa denna ekvationen? 120+((X*11)* 0,0005) = (5*(X/1000)) + ((X*60)* 0,0005) OBS! Den andra ekvationen jag sände var felaktig!
magnusmalmstrom@user.bip.net

Svar:

Då hoppas vi att det här är rätt ekvation! Genom att multiplicera ekvationens båda led med 2000 så får vi en ekvation med samma lösningar, nämligen

240000+11x = 10x+60x.

Genom att samla ihop alla x-termer i högerledet så får vi

240000 = 59x,

varav x = 240000/59. Detta bråk kan inte förkortas men ett ungefärligt värde är 4068.

Joakim Petersson


9 maj 2000 12.55.39
Hail! På en okänd ö fanns det en gång en lustig kamelont ras, kamelonterna fanns i tre oklika färger: röd, grön och gul. Var gång när 2 eller flera kamelonter möttes så bytte dom färg till en tredje färg. Dvs att när 1 röd möter 1 grön blir båda två gula och så vice versa i de andra fallen. Det finns 13 gula, 15 röda, 17 gula. Kan alla någonsin bli samma färg? Lägg fram ett bevis för det här. Tack på förhand.
Fredrik W

Svar:

Jag saknar information om när och hur färgbyten sker. Om två kameleonter av samma färg möter varandra, byter de färg då?, till vilken?. Om tre eller flera möts, vad händer då? Förmodligen inget, men det framgår inte av din text.

Joakim Petersson


8 maj 2000 19.44.01
Hejsan, jag vill veta hur man bevisar Herons formel?
Lovisa Ohlsson

Svar:

Se 31 januari 1997 12.32.10 för ett bevis av Herons formel.

Joakim Petersson


8 maj 2000 18.42.58
U,V,W är vektorer. Vektorn U = (13,-3). Hur gör man för att räkna om koordinaterna i (V,W) istället. Anta att V = (5,3) och W = (0,-4)
N.E

Svar:

Vi kan skriva U = (13,-3) = 13e-3f, där vektorerna e = (1,0) och f = (0,1) utgör standardbasen. Ur V = 5e+3f och W = -4f kan vi lösa ut e = V/5+3W/20 och f = -W/4. Uttryckt i basvektorerna V och W är alltså U = 13e-3f = 13V/5+27W/10, så de nya koordinaterna är (13/5,27/10).

Joakim Petersson


8 maj 2000 13.02.33
Akilles tävlar mot en sköldpadda. Akilles springer med en hastighet av 10 m/s, sköldpaddan med 1 m/s. Sköldpaddan har fått ett försprång av 36 m. När hinner Akilles upp sköldpaddan? Jag tror efter 4 s, stämmer detta och hur räknas det fram. Snälla svara.
Jenny Svensson

Svar:

Det är riktigt, för efter 4 s har båda hunnit 40 m, och sedan springer Akilles förbi sköldpaddan. För att lösa problemet, antag att t sekunder har förflutit sedan starten. Då har Akilles hunnit 10t meter och sköldpaddan 36+t meter. De har hunnit lika långt precis då 10t = 36+t, vilket är detsamma som 9t = 36, så att t = 4.

Joakim Petersson


8 maj 2000 09.33.57
Hej, har ett litet problem med en uppgift, som varken jag eller mina två mattelärare kan lösa: Bestäm den primitiva funktionen F till f så att: f(x)=(2+3x)^2 och F(-2)=-7 Om man "löser upp" kvadraten så får man att C=1, om man däremot får fram den primitiva funktionen direkt genom att höja upp exponent och dela med ny exponent multiplicerat med inre derivata, så får man att C=1/9. Vad är problemet? Svaren borde ju bli desamma. Tacksam för svar!
Erik Sjöberg

Svar:

Om den primitiva funktionen skrives F(x) = (2+3x)3/9+C, så ger villkoret F(-2) = -7 att C = 1/9, medan om f(x) först utvecklas och man skriver F(x) = 4x+6x2+3x3+D så erhålles att D = 1. Men C och D skall inte vara lika, för bortsett från integrationskonstanterna C och D så har vi i första fallet den primitiva funktion som är 8/9 för x = 0 och i andra fallet den som är noll för x = 0.

Joakim Petersson


6 maj 2000 17.13.36
Hej ! Jag har en fråga om diffekvationer. Det är ett system av två st och har utseendet
m(d^2x/dt^2)-qB(dy/dt)=0
m(d^2y/dt^2)+qB(dx/dt)=0
Hur löser man detta.Tack på förhand
Lars

Svar:

Den första ekvationen säger att mdx/dt och qBy har samma derivata. Därför är

mdx/dt = qBy+ C,

där C är en konstant. Detta ger att

dx/dt = (qB/m)y+ C/m.

Sätt in detta i den andra ekvationen så förvandlas den till en andra ordningens ekvation i enbart y.

Kjell Elfström


5 maj 2000 23.07.28
Detta problem fick vi på en skrivning på gymnasiets Tekniska linje: Antag att tomten står i origo och har en släde ståendes i punkten (1,0). Ett snöre med längdenheten 1 förbinder tomten med släden. Tomten startar sin färd upp efter y-axeln varpå släden kommer att beskriva en kurva som närmar sig y-axeln. Formulera en funktion som beskriver denna kurva.
Ingen fick någon poäng på denna uppgift, och jag har fortfarande än idag inte funderat ut något sätt att lösa denna om man ska hålla sig till gymnasienivå - hur gör man, eller ställde läraren en för svår fråga?
Gordon

Svar:

Antag att kurvans ekvation är y = f(x). Då är f(1) = 0. Om släden befinner sig i punkten (a,f(a)) på kurvan förbinder snöret punkterna (a,f(a)) och (0, f(a) + (1 - a2)1/2) (använd Pythagoras sats och att snöret har längden 1). Snöret bör vara tangent till kurvan. Tangentens i punkten (a,f(a)) har ekvationen

y - f(a) = f '(a)(x - a).

Eftersom tangenten skall gå genom (0, f(a) + (1 - a2)1/2) får vi

(1 - a2)1/2 = f '(a)(-a)  <=>   f '(a) = -(1 - a2)1/2/a.

f är alltså en primitiv funktion till -(1 - a2)1/2/a. För att bestämma f gör vi variabelsubstitutionen t = (1 - a2)1/2. Då är

a = (1 - t2)1/2  och  da = -tdt/(1 - t2)1/2.

De primitiva funktionerna ges därför av

t2dt/(1 - t2) = ∫ (1/(1 - t2) - 1)dt = ∫ ((1/2)(1/(1 - t) + 1/(1 + t)) - 1)dt.

Den sista likheten fick vi genom partialbråksuppdelning. Nu kan du gå vidare själv och få att

f(a) = (1/2)ln ((1 + (1 - a2)1/2)/(1 - (1 - a2)1/2)) - (1 - a2)1/2.

Problemet kan nog vara aningen svårt för de flesta gymnasister!

Kjell Elfström


5 maj 2000 22.29.55
Hejsan! Hur räknar man ut arean av området som begränsas av x-axeln, y-axeln samt kurvan 1/x? Närmar den sig överhuvudtaget ett gränsvärde?
Martin A.

Svar:

Detta område har ingen ändlig area. Vi kan betrakta området som om det består av två delar, en del där 0 < x <= 1 och en del där x > 1. Inget av dessa områden har ändlig area. En primitiv funktion till 1/x är nämligen ln x. Vi får därför att

integrala1 dx/x = ln 1 - ln a = - ln a -> oo då a -> 0+

och

integral1b dx/x = ln b - ln 1 = ln b -> oo då b -> oo.

Kjell Elfström


4 maj 2000 17.44.32
Jag skulle vilja ha hjälp med uträkningen av nedanstående ekvation;
Anta att det finns N st system och M st tillämpningar i varje system. Vilken funktion K=f(N,M) svarar mot antalet protokollomvandlingar K.
a) Om det inte existerar ett gemensamt språk mellan systemen.
b) Om anpassningarna görs för ett gemensamt protokoll.
Tacksam för svar snarast.
Anna

Svar:

Jag känner inte till detta.

Kjell Elfström


4 maj 2000 12.37.44
Hej!
Sedan Andrew Wiles löste Fermats stora sats, finns det något mer klassiskt matematiskt problem som fortfarande är olöst? Dessutom undrar jag om det finns en gräns för hur långt matematiken kan utvecklas, dvs. kommer mänskligheten någon gång till den punkten där vi kan säga att vi vet ALLT om matematik? Håller ni på Matematikcentrum med mig att människan har både upptäckt och uppfunnit matematiken? Låt mig ta ett exempel: Vi har upptäckt talet pi, men däremot uppfunnit diverse olika sätt att räkna ut pi på.
MVH
Thorleif Nilsson thorleif.nilsson@spray.se

Svar:

Se Unsloved Problems för en lista med några klassiska olösta problem. Vi kommer nog aldrig någonsin att kunna säga att vi kan all matematik. Om inte annat, så har vi ju Gödels ofullständighetssats, som säger att det finns matematiska påståenden som varken kan bevisas eller motbevisas.

Kjell Elfström


4 maj 2000 00.46.53
Jag undrar vad är p-adiska tal för något? Hur uppkommer de och hur skiljer de sig från de reella talen?
Ulrica Johansson

Svar:

Se Eric Weisstein's World of Mathematics.

Kjell Elfström


3 maj 2000 20.22.53
Jag hörde följande matematiska fråga med medföljande svar, vid något tillfälle. Jag skulle uppskatta ett svar och hur man räknar ut detta!
Dra ett rep (rep A) så att det ligger på marken, runt hela jordklotet. Längden på detta rep är exakt 4000 mil.
Dra ytterliggare ett rep (rep B) runt jorden. Detta rep ska vid varje punkt "sväva" 10 cm över jordytan.
Hur långt är rep B?
Svar: Rep B är 4000 mil och 10 cm!!??? Detta måste väl ändå vara fel? Eller?
Timo Karvinen

Svar:

Ja, det är fel. Det är omkring 4000 mil och 63 cm. Detta följer av om r är jordradien så är omkretsen 2pi r = 4·107 m. Ökar vi radien med 0,1 m blir omkretsen 2pi(r + 0,1) = 4·107 + 0,2pi m.

Kjell Elfström


3 maj 2000 19.18.48
Vad blir gränsvärdet av f(x,y) = x^y, då (x,y) -> (0,0)
Parra

Svar:

Vi börjar med att göra omskrivningen

f(x) = eyln x.

Om nu (x,y) går mot (0,0) längs linjen y = x ser vi att gränsvärdet är 1. Låter vi å andra sidan (x,y) går mot (0,0) längs kurvan y = 1/ln x ser vi att gränsvärdet blir e. Något gränsvärde kan alltså inte finnas.

Kjell Elfström


3 maj 2000 19.18.36
Hur ritar jag i Maple följande graf z^2 = w^3+1, där z och w är komplexa?
Parra

Svar:

Eftersom det är fyra reella tal inblandade kan man inte rita den. Vissa aspekter kan dock åskådliggöras. Man kan t ex rita upp kurvan för reella tal.

Kjell Elfström


3 maj 2000 19.18.22
Varför är den associativa lagen viktigare än kommutativa när det gäller olika utvidgningar av reella talen som exempelvis Hamiltons och Cayles tal.
Parra

Svar:

Jag vet inte om den är viktigare. Oktonionerna uppfyller t ex inte den associativa lagen.

Kjell Elfström


3 maj 2000 18.40.00
Euklidisk geometri från 2 maj - vilka är de övriga geometriska postulaten?
Falsk Euklides

Svar:

Se t ex Eric Weisstein's World of Mathematics eller Euclid's Elements.

Kjell Elfström


3 maj 2000 17.18.29
Min fråga:
På linjen y=2x finns en punkt P vars avstånd till origo är 24 längdenheter. Beräkna punkten P:s x-koordinat, x>0
Vore tacksam för svar.
Henrik Frithiof

Svar:

Antag att punktens koordinater är x,y. Då är y = 2x. Avståndet till origo ges av Pythagoras sats och är

(x2 + y2)1/2 = (x2 + 4x2)1/2 = (5x2)1/2.

x > 0 är avståndet alltså 51/2x = 24. Lös nu ut x.

Kjell Elfström


3 maj 2000 14.53.04
Hej!
Jag har ett litet problem.
f(x)=x^-2x-8
Med detta ska jag finna max- eller minimipunkt. Problemet är att de skriver förklaringar i boken så dåligt och ber därför om din hjälp. Tack på förhand!
Grete

Svar:

Jag tror nog att du känner till kvadreringsregeln

(x + a)2 = x2 + 2ax + a2.

Vi använder denna till att skriva om f(x) som en kvadrat plus en konstant. Vi känner igen x2 - 2x som x2 + 2ax från kvadreringsregeln, där a = -1. Kvadreringsregeln, i dess helhet, ger nu

(x - 1)2 = x2 - 2x + 1

och drar vi 9 från detta får vi f(x). Alltså har vi nu

f(x) = (x - 1)2 - 9.

Vi ser att kvadraten kan bli hur stor som helst, så något största värde kan inte finnas. Däremot kan kvadraten aldrig bli negativ. Det minsta värdet är när kvadraten är noll, dvs då x = 1. Värdet är då -9. Denna metod fungerar när man har ett andragradspolynom och den kallas kvadratkomplettering.

Ett annat sätt att lösa problemet är att derivera funktionen.

f '(x) = 2x - 2.

Vi bestämmer nu de punkter x där derivatan är 0. I detta fall är det bara x = 1. Det viktiga är sedan tecknet av derivatan och det är lätt att se att derivatan är negativ till vänster och positiv till höger om x = 1. Till vänster är alltså funktionen avtagande och till höger växande, vilket ger att x = 1 är en lokal minimipunkt. Nu är det bara att räkna ut f(1) = -9.

Kjell Elfström


3 maj 2000 13.57.50
Hej!
Jag har också en annan upp. som jag glömde fråga om. I ett rätblock vet vi att två av sidorna är 10 cm^2 respektive 20 cm^2. Undersök med hjälp av derivata vilka värden som summan av kantlängder kan anta.
Mvh
Henrik

Svar:

Kalla kantlängderna för x, y och z. Vi vill undersöka summan x + y + z. Vi kan anta att xy = 10 och xz = 20 och få att y = 10/x, z = 20/x. Summan blir

f(x) = x + 30/x,   x > 0

och vi får

f '(x) = 1 - 30/x2,

och teckenundersökning visar att x = 301/2 är en minimipunkt. Eftersom f är kontinuerlig och f(x) går mot oändligheten då x går mot 0 och då x går mot oändligheten kan summan anta alla värden >= 2·301/2.

Kjell Elfström


3 maj 2000 13.45.36
Hej!
Jag har en uppgift. En vacker vårkväll tänker surströmmningsälskaren Anders avnjuta innehållet i en burk som han köpt förra sommaren. Under vintern har burkens botten och lock börjat bukta ut. Det som från början kunde beskrivas som en rak cirkulär cylinder, med diamertern 12 cm och höjden 5 cm är nu en kropp vars lock och botten har buktat ut 1 cm på varje sida samtidigt som diameter och kanthöjd är oförändrade. Anders observerar att lockets, och ävens bottens, "profil" ganska exakt kan beskrivas med graften till en andragradsekvation av typen y=ax^2+bx+c. Beräkna volymsökningen i procent. Tack!
Henrik

Svar:

Jag tror att det är tillräckligt att jag visar hur volymen av det utbuktande locket beräknas. Detta område fås genom att man låter kurvan

y = f(x) = ax2 + bx + c,   0 <= x <= 6

rotera kring y-axeln. Koefficienterna a, b och c bestäms av att f(±6) = 0, f(0) = 1 och vi får

f(x) = -(1/36)x2 + 1.

Enligt skalmetoden är volymen

2pi integral06 xf(x) dx.

Kjell Elfström


3 maj 2000 13.36.09
Hej
Jag har hört vid något tillfälle att de siffror vi använder ursprungligen var utformade så att deras värde skulle gå att utläsa ur siffrans form. Jag tror att antalet vinklar skulle motsvara siffrans värde. Så är t.ex. 1 en linje med en vinkel högst upp. Jag antar att 2 och 3 skrevs som zigzag linjer.
2:
\
/
\
3:
\
/
\
/
Vet ni om detta är sant, och var man i så fall kan hitta mer information?
MVH Cecilia
Cecilia Burman

Svar:

Talen ett, två och tre betecknades tidigt med med ett, två respektive tre parallella streck. Det anses att vår siffra 1 uppkommit från ett lodrätt streck och att 2 och 3 har uppkommit genom att två resp. tre vågräta streck förbundits med varandra. Förbinder man i stället två eller tre lodräta streck får man de siffror för två och tre som idag används i arabiska länder. Det är ovisst hur övriga arabiska siffror uppkommit. Se också Islam and Islamic History and The Middle East.

Kjell Elfström


3 maj 2000 12.52.48
Hej!
1. Är det omöjligt eller kanske rent av möjligt att det kan finnas ett mönster i den oändliga raden av decimaler i pi?
2. Om det finns ett mönster i pi, vore det i så fall en matematisk sensation?
Thorleif Nilsson

Svar:

Jag hänvisar till svaret på en likartad fråga. Se 10 december 1998 00.01.44.

Kjell Elfström


3 maj 2000 12.41.00
Vi gör ett projekt om automatic theorem proving mha programmet otter. Pga likhet i ett uttryck använder sig programmet av Knuth-Bendix metod. Frågan är helt enkelt om ni vet nåt ställe på nätet som visar denna metod eller ev vilka böcker som tar upp detta. Tack på förhand.
Timo

Svar:

Jag har inte hittat något på nätet som lämpar sig för ett snabbt inträngande i ämnet. Här är dock ett par länkar: Ben-Gurion University, Institutionen för Datavetenskap, CTH/GU. De har en del länkar till postscript-filer. Har ni ingen postscriptläsare, kan ni spara filerna och skriva ut dem med en postscriptskrivare.

Kjell Elfström


2 maj 2000 16.23.26
Vad är Euklidisk geometri/matematik?
Falsk Euklides

Svar:

Euklidisk geometri är en geometri i vilken parallellaxiomet gäller. Parallellaxiomet säger att givet en rät linje och en punkt som ej ligger på linjen så finns det precis en rät linje som går genom punkten och ej skär den först nämnda linjen. Behåller man de övriga geometriska postulaten men ersätter parallellaxiomet med

1. Genom varje punkt utanför en rät linje går det många räta linjer som ej skär den först nämnda linjen.

eller

2. Genom varje punkt utanför en rät linje går det inga räta linjer som ej skär den först nämnda linjen.

får man också motsägelsefria system. En geometri där det först nämnda postulatet gäller är den hyperboliska och en modell för denna är Poincarés hyperboliska disk. Ett modell för elliptisk geometri, där det andra postulatet gäller, är en sfär där "rät linje" betyder storcirkel.

Kjell Elfström


2 maj 2000 14.09.23
En fråga om Pythagoras sats. Vilka begrepp behöver en elev ha för att
a) räkna med formeln
b) förstå teoremet
Kjell Gustafsson

Svar:

a) Med kunskap om addition, subtraktion, multiplikation, kvadratrotsutdragning och lösande av ekvation genom överflyttning kan man beräkna en av de tre sidorna i en rätvinklig triangel om man känner de övriga två.

b) Triangel, rät vinkel, hypotenusa, katet.

Kjell Elfström


2 maj 2000 12.22.26
Hur motiverar man att f(g(A)) = (f o g) (A), där A är en matris? Vi antar att f och g är definierade på Sp(A).
Andreas

Svar:

Jag är inte säker på att jag förstår frågan. Den sista meningen i frågan antyder att f(A) =  f(B) om Sp(A) = Sp(B) och likadant för g. På så sätt kan betrakta f och g också som funktioner av reella tal.

Kjell Elfström


2 maj 2000 11.25.55
Jag har en fundering om oändligheten, om en sekund strax skall uppnås så måste det först bli 0.9999999 och så vidare, men eftersom oändligheten existerar så blir det en oändlig ström av 9:or som aldrig tar slut och ju längre tiden går så blir det närmare 1 och fler 9:or, men hur blir det då talet 1?
Daniel Karling

Svar:

Detta påminner om en av Zenons paradoxer. Se också Zeno of Elea. När en sekund har gått har alla de oändligt många tidpunkterna passerats, men detta är väl egentligen ingen paradox. Däremot torde det vara omöjligt att passera alla tidpunkter 1 sek, 2 sek , 3 sek, osv i all oändlighet eftersom vi inte skulle ha tid till det.

Kjell Elfström


2 maj 2000 11.18.50
Hej Fråga Lund!
Tack för att ni finns!!!
Jag hoppas att Ni kan hjälpa mig med en uppgift. Jag har en kropp som faller från höjden 3600m. Hur länge kan personen vänta med att låta fallskärmen utvecka sig? Personen väger 70 kg och hans sluthastighet är 7,5 m/s om fallskärmen är utvecklad och 75 m/s om den inte är utvecklad. Rörelseekvationen är följande: m(dv/dt)=mg - kv^a. Kan ni förklara stegvist? Man skall också undersöka a för några andra värden än 1. Vad innebär det här a och hur det påverkar en fallande kropp?
Hanna

Svar:

Se 10 mars 2000 15.03.26.

Kjell Elfström


2 maj 2000 10.23.54
Hej. Mina frågor har tydligen kommit bort eftersom jag inte fick något svar? Jag försöker igen:
1. Bestäm ekvationerna för rotationsaxeln till andragradsytan Q3(x,y,z) =1, där Q3 (x,y,z) är den kvadratiska formen: 7x^2 + y^2 + z^2 + 8 xy + 8 xz - 16 yz.
2. Bestäm maximum och minimum för den kvadratiska formen: x^2 + 2 y^2 + 3 z^2 + 4 xy - 4 yz på sfären: x^2 + y^2 + z^2 = 2.
Bo Mattson

Svar:

1. Bestäm en ortonormerad bas av egenvektorer till den kvadratiska formens symmetriska matris. I denna bas får ytan utseendet

ax'2 + by'2 + cz'2 = d

och man får svaret genom inspektion.

2. Bestäm även här en ortonormerad bas av egenvektorer och låt x', y', z' vara de nya koordinaterna. Eftersom basen är ortonormerad är längden av en vektor med koordinaterna (x,y,z) i den gamla och (x',y',z') i den nya basen av

(x2 + y2 + z2)1/2 = (x'2 + y'2 + z'2)1/2.

Alltså är x'2 + y'2 + z'2 = 1 då x2 + y2 + z2 = 1. Den kvadratiska formen får i den nya basen utseendet

q = ax'2 + by'2 + cz'2.

Om d är den största av koefficienterna är det inte svårt att se att

q <= dx'2 + dy'2 + dz'2 <= d

x'2 + y'2 + z'2 = 1. Den kvadratiska formen antar också värdet d i den punkt där den mot koefficienten d svarande koordinaten är 1 och de övriga 0.

Kjell Elfström


1 maj 2000 21.09.27
Hej!
Jag har hållt på och räkna i ett räkneprogram som heter Cheops pyramid och jag undrar hur många trianglar en stor triangel respektive pyramid innehåller?
Tacksam för svar.
//Fredrik Lindberg
Fredrik Lindberg

Svar:

Jag vet inte på vilket sätt den stora triangeln eller pyramiden är uppbyggd av trianglar och kan därför inte svara på frågan.

Kjell Elfström


30 april 2000 21.40.37
Hur förändras vektorn u av A*u om A=
|cos v  -sin v|
|sin v    cos v|
Beräkna även A^2
Jan

Svar:

Varje vektor u i planet kan skrivas

u=(r cost, r sint),
där r=|u| och t är den vinkel u gör mot x-axeln. Produkten Au blir alltså
Au=(r(cosvcost-sinvsint),r(sinvcost+cosvsint))=(r cos(v+t),r sin(v+t)),
dvs vektorn u roterad v radianer motsols.

Jesper Thorén.


29 april 2000 22.50.17
a tillhör de naturliga talen. Vilka värden är möjliga rester efter a^2 delat med fyra. Hur bevisar man detta med kongruent modulo? u,v,w är vektorer. Vektorn u är (13,-3). Räkna om koordinaterna i (v,w) istället om dessa blir givna. Visa gärna med exempel hur man gör.
Nicklas

Svar:

Varje heltal a kan skrivas på precis ett av följande sätt:

a=4n,
a=4n+1,
a=4n+2,
a=4n+3,
för något heltal n.
Då är
a2=16n2=0 (mod 4),
a2=16n2+8n+1=1 (mod 4),
a2=16n2+16n+4=0 (mod 4),
a2=16n2+24n+9=9=8+1=1 (mod 4),
respektive. Så de enda rester som förekommer är 0 och 1.

Jesper Thorén.


29 april 2000 22.01.18
Härled en formel för avståndet mellan en punkt (x1,y1) och en linje (ax+by+c=0). Avståndet som söks är INTE det kortaste avståndet mellan punkten och linjen (detta har ni redan svarat på), utan avståndet mellan en valfri punkt på linjen och punkten (x1,y1). Det ska vara lösbart med de kunskaper en trea på gymnasiet har.
Olle Karlström

Svar:

En linje i planet kan skrivas y=kx+m (i detta fall blir k=-a/b, m=-c/b om b ej är 0), så varje punkt (x0,y0) på linjen kan skrivas

(x0,y0)=(x0 ,kx0+m).
Om d är avståndet mellan (x0,y0) och (x1,y1), gäller enligt Pythagoras sats att
d2=(x0-x1)2+(y0-y1)2,
(rita!) dvs
d2=(x0-x1)2+(kx0+m-y1)2,
med k och m som ovan.

Jesper Thorén.


28 april 2000 15.59.11
1.Beskriv grundtanken med McLaurinutveckling 2. Vad får sfärer, cirklar, plan och linjer för skärningsytor med varandra? 3. Hur kan man använda Pascals triangel? 4.Förklara följande ord:determinant, transponat, överbestämt system och egenvektor
Erik

Svar:

1. Se svaret till frågan 14 oktober 1997 14.13.54.
2. Skärningen mellan en sfär och ett plan är en cirkel och skärningen mellan två icke-parallella plan är en linje. Förutom specialfall (en cirkel kan ju ligga i ett plan så att skärningen blir en cirkel) blir skärningen för de övriga kombinationerna högst ett ändligt antal punkter.
3. Se svaret till frågan 21 april 1997 11.50.11.
4. För determinanten, se svaret till frågan 28 januari 1999 12.54.35. Transponatet av en matris A är den matris man får om man låter rader och kolonner byta plats med varandra i A. Ett lineärt ekvationssystem som består av fler ekvationer än obekanta brukar kallas överbestämt. För definitionen av egenvektor, se svaret till frågan 23 april 2000 21.25.19.

Jesper Thorén.


28 april 2000 15.40.28
Hejsan! Har fastnat på följande: Bevisa att om p är ett primtal och p|b*c så gäller antingen p|b eller p|c Kan ni ge exempel ur verkligheten där vi har en mängd vars element i sin tur är mängder?
Mats

Svar:

Antag att p inte delar b. Vi måste då visa att p delar c. Eftersom p inte delar b och p är ett primtal, är SGD(p,b)=1. Så det finns heltal x och y sådana att

xp+yb=1.
Men då är
xpc+ybc=c,
och eftersom p delar vänsterledet, måste p dela högerledet, dvs p delar c.
En samling element kallas för en mängd,  så det är lätt att ge exempel på mängder av mängder (även kallade klasser).
Varje par av bollar är en mängd med två bollar (=element). En låda innehållande en jämn mängd bollar är en mängd av par av bollar, dvs en mängd av mängder av bollar. En lokal fylld med sådana lådor är en mängd av mängder av mängder av bollar. Många bollar blir det.

Jesper Thorén.


28 april 2000 12.22.21
Hej! Jag har ett problem som jag inte kunnat lösa. En person går på en väg som leder genom en viadukt. På viadukten sitter 4 m över ögonhöjd en skylt som är 2 m hög. När personen är x m från viadukten ser han skylten under synvinkeln y. a). Visa att y = arctan (6/x) - arctan (4,5/x). b). Hur lång från viadukten syns skylten under största möjliga synvinkeln? Lös problemet numeriskt genom att beräkna y för lämligt valda x-värden. c). Lös b-uppgiften genom använding av derivata. Tack på förhand!!!
Hanna

Svar:

Vinkeln a mellan "ögonhöjd" och toppen av skylten uppfyller tana=6/x, så a=arctan(6/x). Vinkeln b mellan "ögonhöjd" och botten av skylten uppfyller tanb=4/x, så b=arctan(4/x). Därför är synvinkeln y=a-b, dvs

y(x)=arctan(6/x)-arctan(4/x).
För att hitta största värdet på y deriverar vi y med avseende på x. Vi får att
y'(x)=-6/(x2+36)+4/(x2+16),
och y'(x)=0 om och endast om
-2(x2-24)=0.
x är positivt,får vi (efter teckenstudium) att x=241/2 ger maxvärdet på y.

Jesper Thorén.


28 april 2000 02.03.06
frågan är: Visa att avbildningen som i en ON-bas har matrisen
(1 3 2
4 1 -1
2 -3 1)
är imverterbar ?
lina

Svar:

Matrisen är inverterbar eftersom det A=1-6-24-4-3-12<0.

Jesper Thorén.


27 april 2000 18.41.42
Hur beräknar jag matrisprodukten
(x y) (a b) (x)
          c d   y
Tack på förhand
Ronny Keinvall

Svar:

Eftersom multiplikation av matriser är associativ, kan man multiplicera två näraliggande matriser åt gången i vilken ordning som helst. Om A är matrisen

a  b
c  d
och u=(x  y), blir
uAuT=(uA)uT=(xa+cy xb+yd)uT=ax2+cxy+bxy+dy2=ax2+(b+c)xy+dy2.

Jesper Thorén.


27 april 2000 18.35.40
Hej. Jag undrar hur man skriver x^2+2xy+y^2 m h a matriser
Kalle

Svar:

Med u=(x  y) och A matrisen

1  1
1  1
blir
uAuT=(x+y  x+y)uT=x2+yx+xy+y2=x2+2xy+y2.

Jesper Thorén.


27 april 2000 11.48.52
Hej Jag undrar hur man löser den här uppgiften? Visa att ekvationen x3+ax2+bx+c=0 (1) över går i x3+px+q=0 (2) om x ersätts med x-a/3. När har ekvationen (1) tre reella rötter som är olika stora? Visa i ett pq-system de områden där ekvationen (2) har en, två respektive tre reella rötter. Tacksam för svar
Kristina

Svar:

Lösningen finns i svaret till frågan 28 januari 1997 10.06.25.

Jesper Thorén.


27 april 2000 10.06.05
Tänkte konstruera ett dataprogram som givet ett heltal x i basen tio kan räkna ut vad x blir i andra baser. Användaren skall kunna mata in ett heltal samt en bas. Hur ser denna matematiska procedur ut? Försök vara tydlig i varje steg. :o)
Stefan

Svar:

Om n är ett (positivt) heltal som vi vill uttrycka i basen b (heltal), vill vi finna heltal ai sådana att
0=<ai<b för alla i och

n=akbk+ak-1bk-1+...+a2b2+a1b+a0.
Observera att
n=q1b+a0,
q1=q2b+a1,
...
qk=ak,
för några tal q1,...,qk. Följande algoritm producerar talen ai:

Sätt i=0.
(*) dela n med b, låt q vara heltalsdelen och sätt ai=n-qb
Om q ej är 0, öka i med 1 och låt n=q. Upprepa från (*).

"Siffrorna" för n i basen b finns nu i a0,...,ak.  Återkom gärna om du behöver ytterligare hjälp.

Jesper Thorén.


26 april 2000 17.17.47
Jobbar på en mellanstadieskola och har råkat ut för ett praktiskt matteproblem. Vi har gjort cirklar som vi ska räkna ut arean på, en av dessa cirklar antog en elliptiskt form och min fråga är kort o gott kan man beräkna ellipsens area enligt följande formel: A=pi*ab? Har letat bland era frågor och svar men inte hittat någon enkel formel att lära ut till eleverna som är vetgiriga.
Jenny

Svar:

Javisst. Se svaret till frågan 4 december 1998 09.51.25 för ett bevis.

Jesper Thorén.


25 april 2000 19.50.55
Hej Fråga Lund!!! Jag skull bli oerhört tacksam om ni kunde hjälpa mig med detta tal: I triangeln CAB vill man få reda på x (höjden). Man vet att A är 48 grader och att B är 53 grader. Man vet även att sträckan AB är 100 meter. Jag hoppas att ni förstår hur triangeln ser ut annars kan ni titta på den bild jag gjort. http://user.tninet.se/~otf264f Hjälp!!!! Det har slakit helt slint i hjärnan , jag vet att man borde använda sin, cos och tan men hur.... Vore mycket glad över en detaljerad beskrivning, samt varför det blir som det blir. ( Svaret är 60 meter) PS Går i 9:an och är inte jättebra i matte så jag vore glad om ni inte använder några svåra uttryck eller förkortningar. DS
Erik Pettersson

Svar:

Låt D vara punkten där höjden träffar sidan AB. Antag att sträckan AD är s, så att sträckan DB är 100-s. Då är

x=s tan48 och x=(100-s)tan53,
dvs
s tan48=(100-s)tan53.
om t=tan53/tan48, blir alltså s=100t/(1+t), så att
x=100tan53/(1+t).

Jesper Thorén.


25 april 2000 19.47.30
Hur hittar man en partikulärlösning till y''-6y'+10y=e^(3x)*cos x?
Stefan

Svar:

Lösningen till

y''-6y'+10y=e3xcosx
ges av realdelen av lösningen till
y''-6y'+10y=e(3+i)x,
eftersom eix=cosx+isinx. Vi ansätter y=ze(3+i)x och söker funktionen z(x). Vi har att
y'=(z'+(3+i)z)e(3+i)x,
och
y''=(z''+2(3+i)z'+(3+i)2)e(3+i)x.
Insatt i ekvationen ger ekvationen
z''+2iz'=1,
med partikulärlösning z=-ix/2, så y=-ixe(3+i)x/2, och
Re(y)=xe3xsinx/2
är en partikulärlösning till den ursprungliga differentialekvationen.

Jesper Thorén.


25 april 2000 17.30.19
Jag skulle vara hemskt tacksam om ni svarar på den här frågan: Summan av de n första termerna i serien 24 + 20 + 16 + ... är 80. Bestäm n.
Göran

Svar:

Vi kan skriva

(28-1.4)+(28-2.4)+(28-3.4)+...+(28-n.4)=80
som
28n-4(1+2+3+...+n)=80.
Enligt svaret till frågan 17 februari 1999 10.55.57 är
1+2+3+...+n=n(n+1)/2,
så vi får ekvationen
28n-2n(n+1)=80
med rötterna n=5 och n=-8, dvs
24+20+16+12+8=80,
och
24+20+16+12+8+4+0-4=80.

Jesper Thorén.


25 april 2000 11.11.43
Hejsan! Jag skulle vilja ha hjälp med en andragradsekvation. t^2 - (2V*sina*t)/g - (2h)/g = 0 Så här långt har jag kommit: (endast + då tiden ej kan vara neg.) t = (V*sina)/g + ((4V^2*sin^2a-4h^2)/g^2)^1/2 Här har jag fastnat. Hur kommer jag vidare?? Tack på förhand för hjälpen!
Annika

Svar:

Eftersom rötterna till ekvationen

t2+pt+q=0
ges av
t=-p/2+-(p2/4-q)1/2,
ges rötterna till
t2-(2Vsina/g)t-2h/g=0
av
t=Vsina/g+-(V2sin2a/g2+2h/g)1/2.

Jesper Thorén.


25 april 2000 11.10.14
Hej! hoppas ni kan hjälpa mig med följande problem. På alla marknader förekommer utbud och efterfrågan. Både utbud och efterfrågan bestäms av priset(P). Ofta bestäms efterfrågan också av förväntningar om framtida priser. Dessa förväntningar uppkommer ofta av observerad pristrend. Trenden uttrycks av dP/dt och d*dP/dt*t Betrakta följande efterfråge och utbudssamband: Efterfråge samband: Xd=42-4*P-4*(dP/dt)+(d*dP/dt*t) Utbudssamband: Xs=-6+8*P Jämvikt: Xd=Xs ; Xd=efterfrågad mängd varor ; Xs=utbjuden mängd varor Initialvillkor P(0)=6 och dP(0)/dt=4 Finn ett uttryck för tidsvägen P(t) vid jämnvikt. Tack. Marina

Svar:

Om jag förstår frågan rätt vill du hitta den funktion P(t) som uppfyller differentialekvationen

42-4P-4P'+P''=-6+8P,
med P(0)=6 och P'(0)=4. Ekvationen kan skrivas
P''-4P'-12P=-48.
Den karakteristiska ekvationen är r2-4r-12=0, med rötterna r=-2 och r=6, så den homogena lösningen ges av
Ph=Ae-2t+Be6t,
för reella tal A och B. En partikulärlösning är Pp=4, så den allmänna lösningen blir
P=Ae-2t+Be6t+4.
Jag hoppas att du själv kan bestämma A och B så att P(0)=6 och P'(0)=4 (sätt t=0 i den allmänna lösningen och i dess derivata).

Jesper Thorén.


24 april 2000 20.17.07
Det är Clara igen. Jag med berg- och dalbanan. jag har pratat med min lärare och hongav mig några formler som jag kan använda: längden, L= (integralen från d till a roten ur 1+(fprim(x))upphöjt i 2 * delta x) men jag kan fortfarande inte räkna ut den. Kan jag få hjälp?
Clara

Svar:

Jag nöjer mig med att skissa på en lösning. Kanske är det så att man endast ska approximera längden.
Låt f1(x)=ax2+bx+c vara den funktion vars graf följer banan mellan A och B. Då är

f1(0)=30=c,
f1(8)=10=64a+8b+30,
och eftersom
f1´(x)=2ax+b,
och
f1'(0)=-tan10°=b,
är f1 helt given (dvs ovanstående ger a, b och c). Längden av f1 mellan 0(=A) och 8(=B) kan nu räknas ut med hjälp av formeln din lärare visade dig.
På samma sätt kan man bestämma f2(x)=dx2+ex+f som följer banan mellan B och C. Vi har ju givet att
f2(8)=10=64d+8e+f,
f2(11)=10=121d+11e+f.
Vidare ska f2'(8)=f1'(8), så vi har tillräckligt med information för att finna f2.
Vi bestämmer nu en funktionen f3(x)=a(x-x0)2+35 så att den följer sträckan mellan C och D. Vi har att
f3'(x)=2a(x-x0),
så att
f3(x0)=35,
och
f3'(x0)=0.
Givet är att
f3(11)=10=a(11-x0)2+35,
och om f3'(11)=f2'(11)=t säg, så är
t=2a(11-x0),
vilket ger
10=a(t/2a)2+35,
så vi kan hitta både a och x0, vilket ger f3.

Jesper Thorén.


24 april 2000 19.00.12
en uppgift! 2(x-5)"upphöjt till 2" =12
myran

Svar:

Ekvationen

2(x-5)2=12
kan skrivas
x2-10x+25=6,
dvs
x2-10x+19=0,
med rötterna x=5+-61/2.

Jesper Thorén.


24 april 2000 12.18.19
Hej,jag har en del frågor som jag gärna ser besvarade: 1) 2(lnx)^2 = 2*2(lnx)? Kan man använda ln-lagarna på detta viset? 2) Jag har en ekvation som lyder sin(3x) = cosx som jag vill lösa ut x genom att skriva om cosx till sin((pi/2)-x) och får då x = (pi/2)+n*(pi/4), n godtyckligt heltal, tyvärr stämmer det inte med bokens svar som är annorlunda eftersom de har skrivit om sin(3x) till cos(pi/2)-3x) och får då x=pi/8+n*(pi/2) eller x=pi/4+n*pi. Varför fungerar det inte med min omskrivning? 3)|w-z|/|z-w| = 1, stämmer detta? Isåfall - varför? 4) Vad används för standardgränsvärde om 2x/ln(1-2x) -> 1 när x->0 (vilket står som lösning till en uppgift)? Det enda liknande jag hittar är ln(1-x)/x -> 1, när x-> 0, men det är väl inte samma sak? 5) Jag undrar hur man kan definiera e^ix för alla reella tal x - ska man använda sig av Eulers formler? Isåfall hur? Eller räcker det att enbart skriva att e^ix = cosx + isinx? Hur bevisar man detta? Slutligen vill jag tacka för en jättebra sida!
Johanna

Svar:

1. Enligt logaritmlagarna är

2.2lnx=2lnx2,
vilket inte är det samma som
2(lnx)2=2lnx lnx.

2. Eftersom cosx=sin(pi/2-x), ska

sin3x=sin(pi/2-x),
dvs
3x=pi/2-x+n2pi
eller
3x=pi-(pi/2-x)+n2pi
för något heltal n (rita i enhetscirkeln). Detta ger
4x=pi/2+n2pi,
respektive
2x=pi/2+n2pi.
Ekvationen är alltså uppfylld då
x=pi/8+npi/2,
och då
x=pi/4+npi,
så det går bra att använda din metod också.

3. Vi har att

|w-z|=|-(z-w)|=|-1||z-w|=|z-w|
enligt räknereglerna för absolutbeloppet, så
|w-z|/|z-w|=1.

4. Standardgränsvärdet

ln(1+y)/y går mot 1 då y går mot 0
ger att
2x/ln(1-2x)=-1/(ln(1+(-2x))/(-2x)) går mot -1 då x går mot 0,
eftersom y=-2x går mot 0 då.

5.  Oftast definieras eix som cosx+isinx för alla reella x, och man behöver därför inte visa att det är sant. Eulers formler följer sedan ur denna definition.

Jesper Thorén.


23 april 2000 23.27.01
Har ett matte problem som jag önskar lösning till. det är ur Matte E kursen. Jag ska bestämma längden av en berg- och dalbana. Den består av tre parabelformade delar AB, BC och CD. Om längdenheten är meter gäller: Punkten A har höjden 30 meter och banan lutar där 10 grader Punkten B har koordinaterna (8, 10) Punkten C har koordinaterna (11, 10) Punkten D har höjden 35 meter. Lutningen är där 0 grader. Tipsen: jämför med hur lång em sinusbåge är. Tacksam för snabbt svar
Clara

Svar:

Längden av en sinusbåge kan inte beräknas exakt. Ni har kanske approximativa formler, och jag antar att det gäller att på något sätt anpassa sinusbågar till kurvan för att få ett approximativt svar. Fråga din lärare.

Kjell Elfström


23 april 2000 21.25.19
Hej! Vad är en egenvektor?
Christer

Svar:

Vektorn u säges vara en egenvektor till den lineära avbildningen F om u inte är nollvektorn och det finns ett tal s sådant att Fu = su. Talet s kallas då ett egenvärde till F. För en spegling av vektorerna i ett plan i en rät linje är egenvektorerna de vektorer u som är parallella med linjen och de vektorer v som är vinkelräta mot linjen. Vektorerna u har egenvärdet 1 och vektorerna v egenvärdet -1, eftersom de förra är sina egna spegelbilder och en av de senare speglas på en vektor som är motsatt riktad som, och parallell med vektorn som speglas. En rotation i planet har inga egenvektorer alls.

Kjell Elfström


23 april 2000 19.14.58
Hur kan enkelt definiera gradienten av en funktion? Jag skulle även vilja få lite fysikaliska eller tekniska exempel på när gradient är ett viktigt begrepp?
Peter Nilsson

Svar:

Gradienten grad f(x,y) av en funktion av två variabler definieras som vektorn (df/dx,df/dy). Om e är en enhetsvektor i planet är skalärprodukten e·gradf(x,y) den riktade derivatan i riktningen e. Denna är störst då e =  gradf(x,y) varför funktionen växer snabbast i gradientens riktning. Gradienten i en punkt är även vinkelrät mot den nivåkurva f(x,y) = C som går genom punkten, vilket ju verkar naturligt.

Kjell Elfström


23 april 2000 19.10.10
Hur bestämmer man med Greens sats vilken enkel sluten kurva med positiv orientering som kurvintegralen: / x^2*y dx +(4*x-2*x*y^2)dy antar sitt största värde?
Peter Nilsson

Svar:

Greens formel säger att

integralg P dx + Q dy = dubbelintegralD (dQ/dx - dP/dy) dxdy,

där den enkla slutna kurvan g är positivt orienterad och D är området som är inneslutet av kurvan. I detta fall är

dQ/dx - dP/dy = 4 - x2 - 2y2.

Eftersom detta uttryck är positivt innanför ellipsen x2 + 2y2 = 4 och negativt utanför måste den efterfrågade kurvan vara ellipsen.

Kjell Elfström


23 april 2000 19.04.52
deriveringsproblem:
f(x,y)=arctan(y/x)
vad blir df/dx=? och df/dy=?
vad blir d2f/dx2=? och d2f/dy2=?
Peter Nilsson

Svar:

Den partiella derivatan med avseende på x av funktionen f av två variabler (x,y) i punkten (a,b) definieras som derivatan av funktionen x -> g(x) = f(x,b) i punkten a. Därför blir derivatan av arctan x/y

(1/(1 + (x/y)2))(-y/x2) = -y/(x2 + y2).

Det är bara att tänka på y som en konstant och derivera med avseende på x. Derivatan med avseende på y definieras på analogt sätt.

Kjell Elfström


23 april 2000 00.46.27
Hej du vise i Lund. Jag håller just på med Ma E just nu. Vi håller då på med talet e väldigt mycket. Min fråga är vad representar konstanten egentligen och på vilket vis uppstod behovet av den egentligen.
En förklaring vore härlig
Vilse i Uppsala
Jan Karlén

Svar:

Tänk dig en generös bank som betalar ut 100 procents ränta en gång om året på insatt kapital. Har vi från början 1 krona har vi efter ett år 2 kronor. Den relativa ökningen (ökningen i förhållande till kapitalet) är

(2 - 1)/1 = 1.

Med tidsenheten 1 år är dessutom den relativa ökningen per tidsenhet 1. Om banken betalar ut ränta två gånger om året (halvårsvis) i stället för en, och om den relativa ökningen per tidsenhet fortfarande skall vara 1, skall banken betala 50 procents ränta på kapitalet vid varje tillfälle. Efter första utbetalningen har vi (1+1/2)·1 =  (1+1/2) = 1,50 kronor. Nu kommer ränta-på-ränta-effekten in. När ytterligare ett halvår har gått har vi

(1+1/2) (1+1/2) = (1+1/2)2 = 2,25 kronor.

Alltså 25 öre mer än om räntan bara betalas ut en gång per år. Om vi fortsätter på samma sätt kan vi tänka oss att banken betalar ut ränta n gånger per år. Räntesatsen skall då vara 100/n procent vid varje tillfälle om den relativa ökningen per tidsenhet skall vara 1. Efter ett år har vi nu

(1 + 1/n)(1 + 1/n)(1 + 1/n)...(1 + 1/n) = (1 + 1/n)n kronor.

Man kan visa att (1 + 1/n)n har ett gränsvärde då n går mot oändligheten och att detta gränsvärde är ungefär 2,72. Detta tal kallas e. Denna typ av kontinuerlig förräntning är osannolik i bankvärden. Om kapitalet däremot är antalet individer i en bakteriepopulation kan bakteriernas förökning, åtminstone approximativt, beskrivas som kontinuerlig förräntning och om den relativa tillväxthastigheten är 100 procent per tidsenhet kommer antalet bakterier efter 1 tidsenhet att vara e gånger så stort som från början. Detta kan förklara varför konstanten dyker upp i så många naturliga sammanhang.

Kjell Elfström


20 april 2000 18.41.13
Tack för snabbt svar på min tidigare fråga kring dagens matematiska problem! En annan fråga som jag fascineras en smula över: Hur arbetar en matematiker? Hur ser en vanlig arbetsdag ut?
EKE

Svar:

Det är nog väldigt olika för olika personer. Undervisning, forskning, administrativt arbete är delar av vardagen i olika proportioner för olika matematiker.

Kjell Elfström


20 april 2000 18.18.13
Intressant spörsmål den avdankade studenten tar upp... Jag kan personligen tänka mig att professorerna i historisk tid självsvåldigt bestämde forskningens innehåll och inriktning, men hur sker beslutsgången i dag? Hur pass fri är den svenske forskaren år 2000?
Dogge III, Uppföljaren

Svar:

Förhoppningsvis är det de mest framstående forskarna som blir professorer, dvs de som har störst förmåga att komma fram till inressanta resultat. Och forskning som leder till resultat prioriteras.

Kjell Elfström


20 april 2000 12.48.46
Om jag ska räkna ut vad arctan(roten ur 3) är i radianer, hur går jag till väga? Jag har börjat med att skriva om arctanx med cosx/sinx men kommer inte vidare...
Tacksam för svar

Svar:

Eftersom tan pi/3 = 31/2 är arctan 31/2 = pi/3.

Kjell Elfström


20 april 2000 02.21.49
Hej, jag har ett antal frågor:
1a) Vad är definitionen på Teorem, Axiom och Postulat?
b) Hur kommer satser och bevis in i bilden?
2) Vad är skillnaden på en mängd och en klass?
3) Vad betyder transfinit?
4) Vad är ett "ordinaltal" (har läst lite i en Russel bok)?
Johan Viklund

Svar:

1. Ett teorem är det samma som en sats. Axiom och postulat är också normalt synonymer. Axiom är påståenden som betraktas som självklara sanningar och alltså inte behöver bevisas. I en teori finns det odefinierade objekt och axiom. Ett typexempel är den Euklidiska geometrin som har punkter och linjer som odefinierade objekt (trots deras ledande namn) och ett antal axiom som fastslår betydelsen av dessa. Om man avstår från parallellaxiomet behöver dessa linjer inte vara vanliga linjer utan t ex storcirklar på en sfär (den sfäriska geometrin). Satser är påståenden som följer från axiomen.

2. Ofta är det samma sak. En klass är ofta en mängd bestående av mängder.

3. Kardinaltal är mått på storleken av mängder. Kardinaltalet för en ändlig mängd är helt enkelt antalet element i mängden. Två mängder är lika mäktiga om man kan para ihop elementen i den ena mängden med elementen i den andra på ett uttömmande sätt, dvs det finns en bijektion mellan dem. T ex är mängderna {1,2,3} och {11,12,13} lika mäktiga eftersom man kan bilda paren (1,11), (2,12), (3,13). Detta mäktighetstänkande kan utvidgas till oändliga mängder. Till exempel är mängden av positiva heltal och mängden av par av positiva heltal lika mäktiga. Man kan nämligen räkna upp paren av positiva heltal (1,1), (2,1), (1,2), (3,1), (2,2), (1,3), ... så att alla där summan är 2 kommer först, sedan alla med summan 3, osv. Däremot kan man inte para ihop alla reella tal med heltalen på detta sätt. Mängden av reella tal har större mäktighet än mängden av heltal. Man kan införa kardinaltal på ett sådant sätt att två mängder har samma kardinaltal om och endast om de har samma mäktighet. T ex kallas kardinaltalet som hör till de hela talen för alef0 (alef är den första bokstaven i det hebreiska alfabetet). Dessa oändliga kardinaltal kallas transfinita kardinaltal.

4. Elementen i en mängd kan välordnas på olika sätt. Elementen i den ändliga mängden {1,2,3}, kan ordnas på sex olika sätt: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), Alla dessa ordningar är olika men ändå i någon mening lika. Man kan få en genom att byta namn på elementen i en annan. Man säger att ordningarna är isomorfa. Det finns väsentligen bara ett sätt att ordna en ändlig mängd på. Varje ordning tilldelas ett ordinaltal på så sätt att isomorfa ordningar får samma ordinaltal. Då har alla ordningar av en ändlig mängd samma ordninaltal, men ordningar till två ändliga mängder med olika många element har olika ordinaltal. För ändliga mängder kan man säga att ordinaltal och kardinaltal är samma sak. Tar man en oändlig mängd, t ex mängden av par av positiva heltal kan denna ordnas på flera väsentligen olika sätt. En ordning är den som ges i svaret till fråga 3. En annan är den där vi först tar alla par som börjar på en etta, sedan alla som börjar på en tvåa osv. Dessa har samma kardinaltal men olika ordinaltal.

Kjell Elfström


19 april 2000 20.59.15
Hejsan. Jag skulle vilja ha hjälp med ett litet problem som handlar om kulstötning. Om en kula stöts från höjden (h), med hastigheten (v) och med vinkeln till horisontalplanet (a). Längden från "utkastpunkten" till där den landar är R meter.
Kulbanans koordinater är
x = v * cos a * t
y = h + v * sin a * t - (gt)^2/2
t är tiden, g är tyngdaccelerationen
Hur bestämmer jag ett uttryck för kastlängde R? Hur kan jag sedan se hur R beror av v,a och h (om g=9,8 om h varieras kring 2m om v varieras kring 12 m/s och om a varieras kring 45 grader)?
Tack på förhand!
Anna

Svar:

Se 28 april 1998 13.40.44.

Kjell Elfström


19 april 2000 18.51.15
Hej! En fråga om integraler av typen f(sin(x), cos(x))dx då f är rationell i sin och cos x och integrationsintervallet är 0-2pi. Går det då att använda standardsubstitutionen tan(x/2) = t? Som jag ser det innebär det att båda integrationsgränserna blir 0 och därmed att integralens värde också blir 0 för alla funktioner f definierade enligt ovan, vilket uppenbarligen inte stämmer. Vad har jag missat? Jag vet att residykalkyl fungerar bra i detta fall men det måste ju gå att integrera genom att beräkna den primitiva funktionen när man vet att den existerar!
Patrik Lundström

Svar:

Man skall kunna lösa ut x i intervallet som en kontinuerlig funktion av t. Detta går att göra för x i intervall som inte innehåller tal på formen pi + 2pi n där n är ett heltal.

Kjell Elfström


19 april 2000 16.24.27
Hur kan det komma sig att matematikforskningen i Lund är så fokuserad kring analys i allmänhet och (partiella) differentialekvationer i synnerhet?
En avdankad student

Svar:

Vi har under lång tid haft flera framstående professorer med intresse för analys.

Kjell Elfström


19 april 2000 14.35.40
jag jobbar med cheops pyramid.(matematikprogram)för att komma vidare måste jag lösa ett tal som står med egyptiska siffror.Jag har sökt i lexikon men inte lyckats. Det ser ut ungeför så här (´´I) vad är detta för tal???
elev på domarhagsskolan

Svar:

Se Egyptian Numbers.

Kjell Elfström


19 april 2000 09.58.01
Hej!
Hur skall man göra för att bestämma en Möbiusavbildning T(z) så att T(1)=0, T(1/2+1/2*i)=1, T(i)=oo ?
Finns det någon generell formel för detta ? Måste man ha tre punkter eller räcker det med två ? En del verkar använda sig av T(w) istället för T(z), varför ? När man nu har bestämmt denna avbildning, vad kan man då bestämma?
Kaj Manninen

Svar:

En möbiusavbildning har formen

f(z) = (az + b)/(cz + d),

där ad - bc <> 0. Avbildningen bestäms av tre punkter, men koefficienterna blir inte entydigt bestämda, utan kommer att bero på en parameter. Detta beror på att

f(z) = (az + b)/(cz + d) = (atz + bt)/(ctz + dt)

för alla komplexa tal t. Se Eric Weisstein's World of Mathematics.

Kjell Elfström


18 april 2000 14.58.24
När det ändå talas så mycket om Fermat: vilka är de hetaste nötterna inom matematiken nu när den stora satsen är löst? Varför är så många olösta problem talteoretiska? Är detta en särskilt svår del av vetenskapen?
EKE

Svar:

Jag kan inte direkt ange något problem som är hetast. Anledningen till att man upplever att det finns så många olösta talteoretiska problem är förmodligen att dessa ofta är lätta att presentera för en bredare publik. Det finns gott om olösta problem inom andra grenar av matematiken också.

Kjell Elfström


18 april 2000 14.41.08
Hej! Först och främst vill vi tacka er, Ni har varit till stor hjälp.
Kan Ni hjälpa oss. Vi placerade en liten vagn långt upp på en lutande plan och mätte dess starthöjd till 18 cm. Sedan släppte vi vagnen. Vi vet nu accelerationen a som är konstant. Vi gjorde om försöket flera gånger medan vi varierade starthöjden h. Vet Ni en formel för sambandet mellan accelerationen a och höjden h? Tack så hemskt mycket.
Daniel och Mohamed

Svar:

Det är som du säger, accelerationen är konstant, så länge som det lutande planet har samma vinkel.

Kjell Elfström


18 april 2000 14.26.51
Hej! Kan Ni hjälpa mig? Jag har en metallföremål som har tyngkraften 0,69 N och en mätglas som är fylld med 60 ml vatten. Med en dynamometer sänker jag metallen ner i mätglaset en liten bit så att vätskenivån blir 66 cm3. Samtidigt blev tyngdkraften på metallen enligt dynamometern 0,64 N. Kan du formeln för sambandet mellan dynamometerns utslag och vätskenivån( eller volymen )? Tack i förhand.
MVH Daniel

Svar:

Arkimedes princip: En kropp som helt eller delvis är nedsänkt i en vätska påverkas av en uppåtriktad kraft som är lika stor som den undanträngda vätskans tyngd.

Kjell Elfström


18 april 2000 12.57.24
Hur kan jag visa att en translation följt av en reflektion i en linje som inte måste vara parallell med translationslinjen är en glidreflektion?
Fredrik Molin

Svar:

Man kan genom att införa ett lämpligt koordinatsystem anta att linjen reflexionen sker i är x2-axeln. Avbildningen F kan då beskrivas som

F(x1,x2) = (-x1,x2) + (b1,b2).

Vi söker en linje L sådan att någon glidreflexion i L ger upphov till samma avbildning. Vi kan för L välja en riktningsvektor v sådan att glidreflexionen är reflexion i L åtföljd av translation med v. Det gäller då att Fx - x - v är ortogonal mot v för alla x. Detta ger först att v1 = 0, varefter man får v2 = b2. Om a är en punkt på linjen avbildas den på a + v vilket ger att a1 = b1/2.

Kjell Elfström


18 april 2000 12.50.31
Hej, jag undrar hur man på ett matematiskt korrekt OCH enkelt sätt kan härleda Eulers formler?
Johanna

Svar:

Enligt definition är

eix = cos x + i sin x.

Ersätter vi x med -x får vi

e-ix = cos(-x) + i sin(-x) = cos x - i sin x.

Vi har alltså

eix  = cos x + i sin x
e-ix  = cos x - i sin x

Adderar vi dessa likheter får vi den ena av Eulers formler och subtraherar vi den ena från den andra får vi den andra av Eulers formler.

Kjell Elfström


18 april 2000 11.14.33
Hej! Jag har en fråga om hur man kan konvertera koordinater från en gps till en vanlig karta, typ gula kartan. Kartan skall visas på internet. Om det finns någon speciell formel kanske som man kan använda...?
Andy

Svar:

Jag känner inte till detta.

Kjell Elfström


18 april 2000 00.01.39
Apropå en nylig fråga om Fermats stora sats. Hur många är det egentligen som förmår förstå Wiles' bevis? Är det verkligen troligt att en student överhuvudtaget kommer begripa? Och en följdfråga: hur brett är en yrkesmatematikers kompetensområde? Till vilket stadium av kurser (för studenter) är stoffet trivialt för föreläsaren?
Dogge III, Uppföljaren

Svar:

Det är en ganska liten skara som förstår beviset av Fermats stora sats. Hur många det är som har förmågan att förstå det kan jag inte svara på. För att komma dithän att man förstår beviset krävs uppenbarligen en hel del matematisk begåvning och även en bra portion viljestyrka.

Angående följdfrågan skall man kanske inte tala om trivialt. De flesta av våra lärare skulle nog efter en del förberedelser kunna undervisa de flesta av våra matematik 3- och 4-kurser.

Kjell Elfström


17 april 2000 18.43.14
HUR RÄKNAR MAN UT MEDIANEN OCH MEDEL VÄRDET..OCH VAD MENAS MED SANNOLIKHET I MATTE???
JAG

Svar:

Antag att vi har en uppsättning mätvärden, t ex längden av ett antal personer. Det är kanske fem personer med i undersökningen och deras längder uppmäts till 160, 170, 180, 185, 190 cm. Medelvärdet är summan dividerad med antalet mätvärden, i detta fall 885/5 = 177 cm. Medianen är det mittersta mätvärdet när man räknat upp mätvärdena i storleksordning. I exemplet är medianen 180 cm. Skulle antalet mätvärden vara jämnt finns inget mittersta värde. Då tar man i stället medelvärdet av de båda mittersta värdena.

I ett försök, där man i förväg inte vet utfallet, finns det ett antal möjliga utfall. En del av dessa betraktar man som gynnsamma för en viss händelse. Tag som exempel kast med en tärning. Vi önskar oss en sexa. Då finns det 6 utfall: etta, tvåa, trea, fyra, femma, sexa. Endast ett är gynnsamt, nämligen sexa. Sannolikheten för att få en sexa är då antalet gynnsamma utfall dividerat med antalet utfall, dvs 1/6. Önskar vi i stället få ett udda tal har vi tre gynnsamma utfall, etta, trea, femma, och sannolikhten blir 3/6 = 1/2.

Kjell Elfström


17 april 2000 18.40.42
hej jag vill bara ställa en fråga???om du vet något om de nationella proven i matte snälla svara!!! vilken av proven är svårast,alltså vilken del????och vad händer om man inte klarar proven??? hej!!
chili

Svar:

På sidan Nationella kursprov, Enheten för pedagogiska mätningar, Umeå universitet, finns en del uppgifter som kan vara av intresse. Se t ex Information till lärare under punkt 3, provens roll.

Kjell Elfström


17 april 2000 11.51.26
Hej !
Jag vill inte ställa en fråga utan jag vill istället berömma er för att ni tillhandahar denna suveräna tjänst. Ni annar inte hur mycket sömn och ångest ni sparat åt mig. Fortsätt med detta och tack för en suverän tjänst.
Henrik

Svar:

Tack för de uppskattande orden.

Kjell Elfström


19107 frågor av sammanlagt 19520 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)