Fråga Lund om matematik

Sökresultat


15 februari 2001 20.50.55
Hej! Har några problem i komplex analys-boken, som jag har gått bet på:
1) På vilken mängd är SQRT(z^2-2) analytisk? Beräkna derivatan.
2) Låt f = (z-i)/(z+i). Vilken är f:s bild av den reella linjen, cirkeln med centrum 0 och radie 2, cirkeln med centrum 0 och radie 1, samt imaginära axeln?
3) Besräm en "fractional linear transformation" som tar enhetsskivan till det övre halvplanet med f(0)=2+2i
4) Bestäm en konform avbildning som tar området A={z : |z-1|>2 och |z-2| < 2} till B={z : 0 < Re z < 1}
Fredrik

Svar:

1) Skriv (z2 - 2)1/2 = exp((1/2)log(z2 - 2)). Logaritmen log w kan definieras analytiskt i en omgivning till w = w0 för varje punkt w0 <> 0. Derivera den sammansatta funktionen med hjälp av kedjeregeln.

2) a) Bilden är en cirkel eller en linje. För reella z antas inte oo. Därför är bilden en cirkel. i och -i är inversa punkter med avseende på den reella axeln, varför deras bilder 0 och oo är inversa punkter med avseende på bilden. Cirkelns medelpunkt är alltså 0. 0 avbildas på -1 varför cirkelns radie är 1. b) Bilden här är också en cirkel eftersom oo inte ingår. -i avbildas på oo. Invers punkt p till -i ges av pi = 4 ==> p = -4i. p avbildas på medelpunkten 5/3. 2i avbildas på 1/3. Radien är därför 4/3. c) Bilden är en linje eftersom oo ingår. De inversa punkterna 0 och oo avbildas på -1 och 1. Bilden är alltså den imaginära axeln. d) Linje innehållande 0 och 1/3. Den reella axeln.

3) Antag att avbildningen ges av w = (az + b)/(cz + d). 0 avbildas på 2 + 2i och oo på 2 - 2i = a/c. Bryt ut a/c. w = (2 - 2i)(z + e)/(z + f). Sätter vi in z = 0 får vi efter litet räknande att f = -ie. Vi får därför att w = (2 - 2i)(z + e)/(z - ie).Bilderna av punkterna på enhetscirkeln är reella om och endast om |e| = 1.

4) Realdelen av cirklarnas skärningspunkter är 3/2. Translatera först området, z --> z - 3/2, så att skärningspunkterna ±bi hamnar på den imaginära axeln. Avbildningen z --> (bi - z)/(bi + z) avbildar de båda cirklarna på räta linjer som skär varandra i origo. Den positiva imaginära axeln avbildas på den negativa reella axeln. Cirklarna är varandras spegelbilder i den imaginära axeln. Eftersom avbildningen är konform är linjerna varandras spegelbilder i den reella axeln (och därför också i den imaginära). Drag tangenter till cirklarna i den övre skärningspunkten. Antag att den "övre" vinkeln är a. Denna avbildas så att bilden delas av den reella axeln. Bilden motsvarande A är den övre sektorn som delas av den imaginära axeln. Dess vinkel är Pi - a. z --> log z avbildar denna på bandet a/2 < Im z < Pi - a/2. Sätter du samman de ovan angivna avbildningarna kommer A att avbildas konformt på detta band. Du behöver sedan bara translatera och rotera bandet och multiplicera med en konstant faktor så avbildas detta på B.

Kjell Elfström


15 februari 2001 20.23.42
Hej.
Jag undrar vad 0/0 är ? satt och fundera lite, det borde ju inte vara likamed något eft divition med noll inte är definierat, men å andra sidan är ju ett tal dividerat med sig själv alltid 1 (eller ?), eller är det här
något paradox ?
henttunen

Svar:

Om a inte är noll så har ekvationen ax = b en entydig lösning och denna kallas b/a. Om a = 0 men b <> 0 har inte ekvationen någon lösning och därför definierar man inte b/0. Om både a och b är noll har ekvationen oändligt många lösningar. Därför definierar man heller inte 0/0. Vilken lösning skulle man välja?

Kjell Elfström


15 februari 2001 19.10.22
Hej!
Jag hoppas kunna få hjälp med följande problem. Konstruera en kropp med 9 element.
Hälsningar
Emma

Svar:

Om p är ett primtal och n är ett positivt heltal finns det en kropp med pn element och alla kroppar med pn element är isomorfa. Den multiplikativa gruppen av element skilda från noll är cyklisk. Låt t vara en generator. Då är t8 = 1, varav det följer att t4 = ±1. Den enda möjligheten är att t4 = -1 = 2 eftersom ordningen av t är 8. (1 + t2)2 = 1 + 2t2 + t4 = 2t2 = t6. Det följer att 1 + t2 = ±t3. Om 1 + t2 = -t3 kan vi kalla -t, som också är en generator, för t och få att 1 + t2 = t3. Konjugatregeln ger nu att (1 - t2)(1 + t2) = 1 - t4 = -1 = t4. Eftersom 1 + t2 = t3 så är 1 + t6 = 1 - t2 = t-3t4 = t. Detta ger oss sedan att 1 + t = 2 + t6 = t4 + t6 = t4(1 + t2) = t7. Genom att fortsätta på detta sätt kan man uttrycka 1 + tk, k = 0,1,2,...,7, som potenser av t. Multiplicerar man sedan dessa likheter med t-potenser får man hela additionstabellen.

Kjell Elfström


15 februari 2001 18.14.42
Hej! Har problem med en uppgift (eller 3 :)
>Rufus Eldfluga skall ut på fältet och skörda majs. Rufus, som är
>morgonpigg och full av arbetsiver, börjar med att skörda inte mindre
>än 200 skäppor per timme. Emellertid tröttnar
>Rufus efterhand så att efter t timmar är hastigheten nere i
>200e^(-0.2t) skäppor per timme.
>Hur mycket majs hinner Rufus skörda om han arbetar oavbrutet i 8
>timmar ? (1:a, ger lite bakgrund till nästkommande frågeställningar:)
>Nästa dag är Rufus inte lika entusiastisk inför arbetet. För att
>göra dagen mer uthärdlig beslutar han sig för att göra en paus.
>Pausen blir så lång att han hinner återhämta sig helt innan han
>fortsätter arbetet. Antag att Rufus återhämtar sig lika snabbt som
>han tröttnar
>(dvs. om han arbetar i två timmar så tar det två timmar innan han är
>utvilad igen).
>När skall Rufus ta sin paus för att han efter dagen skall ha skördat
>så mycket som möjligt ?
>Jämför med hur mycket han skördade utan paus. Den svåraste biten:
>Hur kort skall arbetsdagen vara för att det inte skall löna sig att
>ta någon paus ?
Hur löser jag den sista uppgiften ? Lite tips vore kanon! :) Eller om Ni kan ge mig en komplett lösning så är jag tacksam! Sista frågan på den uppgiften är skum:
>Otis Drivved vill också vara med och skörda. Han tröttnar i samma
>takt som Rufus, men
>återhämtar sig linjärt, dvs. för varje minut han vilar kommer han
>att skörda en halv skäppa
>mer per timme, när han väl sätter igång igen. När bör Otis ta sin
>paus ? Här kommer det luriga:
>Så småningom ansluter sig även Hugo Kryphål till arbetslaget. Hugo
>
>skördar 200e^(-0.1*t^2)
Man vet ju INGENTING om "hur" han vilar sig, linjärt, exponentiellt etc.. !? Skall man anta att han vilar som någon av de andra två figuerna eller skall man försöka hitta någon slags medelvärde för hur de 2 andra vilar sig? Tack på förhand!
Daniel Ringius

Svar:

Sätt f(t) = 200e-0,2t. Under 8 timmar skördar Rufus int08 f(tdt skäppor. Antag att Rufus tar paus efter x timmar. 2x timmar efter att arbetet började börjar han igen. Han arbetar 8 - 2x timmar det andra passet. Antalet skäppor blir

S(x) = int0x f(t) dt + int08 - 2x f(t) dt.

Enligt integralkalkylens huvudsats är

S '(x) = f(x) - 2f(8 - 2x).

Undersök derivatans teckenväxling.

Ersätt sedan 8 med arbetsdagens längd som vi kan kalla b och derivera. Uttryck derivatans nollställe x som en funktion av b. Om b är litet kommer derivatans nollställe att vara negativt så att det största värdet av S antas när x = 0. Var går gränsen?

Det verkat som om man inte kan hjälpa Otis med en exakt lösning. Vi antar att han tar paus efter x timmar. Arbetstakten är då f(x) skäppor per timme. Han vilar sig y timmar. Återhämtningen är 30y skäppor per timme. Skall han komma upp i 200 är alltså y = (200 - f(x)/30. Antalet skäppor under de 8 timmarna blir

int0x f(t) dt + int08 - x - y f(t) dt.

Man deriverar denna funktion, vilket kan göras exakt och bestämmer derivatans nollställen med numeriska metoder. Jag roade mig med att plotta funktionen och såg att maximum låg ungefär vid x = 1,5.

Jag föreslår att du låter Hugo göra sin egen kalkyl. Annars får du hitta på förutsättningar och se om det går att lösa utifrån dem.

Kjell Elfström


15 februari 2001 15.18.32
Befolkningens åldersstruktur i ett land anges med klassindelning och klassbredden 5 år (0-4 år, 5-9 år osv). I varje klass får man reda på antalet personer. Är det då korrekt att fråga efter sannolikheten för att en person som är t.ex. 20 år gammal kommer att bli 80 år men inte 85 år? Förändringen i åldersstrukturen över tiden är ju obekant. Uppgiften är en provfråga i min dotters gymnasiekurs i statistik och sannolikhetskalkyl.
Paul Håkans

Svar:

I ett ganska kort tidsperspektiv kan man nog få en tillförlitlig skattning om man antar att ålderstrukturen inte ändras.

Kjell Elfström


15 februari 2001 14.52.48
Hej.
Hur skapar men en dynamisk funktion som beskriver en yta med hjälp av ett antal koordinater i ett koordinatsystem. Dvs. jag har ett antal X resp. Y koordinater som tillsammans bildar ett område. jag skall sedan jämnföra om en X-Y koordinat befinner sig i det tidigare skapade området eller ej? Tack på förhand Tomas Ohlsson
Tomas Ohlsson

Svar:

Att redogöra för detta skulle bli alltför omfattande. Det finns många olika metoder, t ex interpolation, minsta-kvadratmetoden och approximation med splines. Vilken metod som används beror på vilka förutsättningarna är. Sök efter surface+fitting, interpolation, least+square+fitting, splines.

Kjell Elfström


15 februari 2001 13.30.07
hejsan!
Jag har stött på "talcirklar" sk. modulära former, och förstår + och - , men däremot blir jag helt ställd vid multiplikation och division. Skulle vara tacksam för förklaring.
violeta <diezutopia@hotmail.com>

Svar:

Det verkar som om du frågar om moduloaritmetik. Om a och b är heltal och n är ett positivt heltal säger man att a = b (mod n) om n delar a - b eller, ekvivalent, om a och b ger samma rest vid heltalsdivision med n. Likhetstecknet skall egentligen skrivas med tre streck. Med ord säger man att a och b är kongruenta modulo n. Kongruensräkning modulo n kan realiseras som en talcirkel, där talen 0,1,...,n - 1 är utmärkta i storleksordning och så att alla talen har samma avstånd till nästa. Om t ex n = 5 så hamnar man i samma position om man tar 4 eller 9 steg med utgångspunkt i 0. 4 och 9 är alltså kongruenta modulo 5. Summan av två tal a och b fås genom att först gå a steg med utgångspunkt i 0 och därefter b steg med utgångspunkt från den punkt man hamnade i. Om man skall addera 9 och 13 modulo 5 bör det vara klart att man får samma resultat om man adderar 4 och 3. Man får 7 vilket är det samma som 2 modulo 5. Multiplikation är upprepad addition och multiplikation av a och b svarar mot att man går b steg a gånger efter varandra. 9·13 = 117 = 2 (mod 5). Här inser man att man kan utföra reduktionen före multiplikationen. Går man ett visst antal steg 5 gånger eller går man 5 steg ett visst antal gånger hamnar man slutligen i samma position som den man startade i. Därför är 9·13 = 4·3 = 12 = 2 (mod 5). Att gå 4 steg framåt motsvarar att gå ett bakåt. Man har därför också 9·13 = (-1)(-2) = 2 (mod 5). Division är som vanligt omvänd multiplikation. 1/3 representeras av ett heltal a sådant att 3a = 1 (mod 5). Alla tal a kongruenta med 2 duger och inga andra. Räknar man modulo ett primtal kan man alltid dividera med tal som inte är delbara med primtalet. Däremot kan man inte dividera 1 med 2 modulo 4. För kvoten x mellan a och b gäller alltså att a = bx (mod n). Detta betyder att n delar a - bx, dvs det finns ett heltal y sådant att a - bx = ny <==> bx + ny = a. Detta är en diofantisk ekvation som kan lösas med hjälp av Euklides algoritm. Att utföra division kräver alltså viss möda.

Kjell Elfström


15 februari 2001 09.33.35
hej vet du var jag kan hitta en sida om räkne stickans historia?
marre

Svar:

Söker man efter slide+rules+history får man några träffar, t ex Slide Rules.

Kjell Elfström


14 februari 2001 23.52.27
hej jag undrar en sak och jag tänkte att du kanske kan svara på mina funderingar: vad är matriser för någonting och hur räknar man med matriser. och ifall du kunde visa några tillämpningar med matriser, skulle jag vara jätte tacksam.
olle

Svar:

En matris är ett rektangulärt schema av tal. Elementen kan delas upp i rader eller kolonner. En matris med p rader och n kolonner kallas en p×n-matris. Om två matriser A och B är av samma typ definieras deras summa A + B som den matris vars element i rad i, kolonn k, är summan av motsvarande matriselement i A och B. Produkten sA av ett tal s och en matris A är den matris av samma typ som A vars element är s gånger elementen i A. Skalärprodukten av två vektorer, (a1,a2,...,an)·(b1,b2,...,bn), definieras som a1b1 + a2b2 + ... + anbn. Produkten AB av en p×q-matris A och en q×n-matris B (antalet kolonner i A är lika med antalet rader i B) är en p×n-matris. Elementet i rad i, kolonn k, är skalärprodukten mellan rad i i A och kolonn k i B.

Matriser kan användas för att på ett kompakt sätt skriva ekvationssystem och för att beskriva lineära avbildningar. Detta är inte särskilt komplicerat men en detaljerad redogörelse kräver en hel del skrivarbete. Därför rekommenderar jag att du skaffar en bok i lineär algebra, t ex Karl Gustav Andersson: Lineär algebra, Studentlitteratur. Du kan också söka efter matris på vår söksida.

Kjell Elfström


14 februari 2001 12.13.14
Hej!
Finns det ett sätt att implementera modulo(x) operatorn med hjälp av operatorerna ln, log, x^y, max, min, +, - , * och division (ej heltalsdivision). Tackar på förhand!
Bo Alvelid

Svar:

Om dessa byggstenar är de enda så tror jag inte att det finns det men jag har inte funnit något bevis för detta. Tillåts rekursion kan man ju använda upprepad subtraktion.

Kjell Elfström


14 februari 2001 11.54.03
Visa, att om man ritar en tangent till funktionen f(x)=-2x^3+4x^2-x i punkten 1 så är denna tangent också en normal till denna funktion.

Svar:

Derivatan är f '(x) = -6x2 + 8x - 1. f(1) = 1 och f '(1) = 1. Tangentens riktningskoefficient är alltså 1 och dess ekvation (y - 1) = (x - 1) <==> y = x. Vi kallar denna tangent för T. Eftersom produkten av tangentens och normalens riktningskoefficienter i en punkt är -1 är f '(x) = -1 i en punkt där T är normal. Löser man den ekvationen får man x = 0 eller x = 3/4. Normalerna i dessa punkter har alltså riktningskoefficient 1 och är därför parallella med T. Punkten på kurvan med x-koordinat 0 är (0,0). Eftersom T går genom (0,0) är T normal till kurvan i denna punkt.

Kjell Elfström


14 februari 2001 11.51.29
Om ett föremål kastas på månens yta snett uppåt i en 45 gradersvinkel (inte radianvinkel), så följer dess bana parabeln y=x-(1,67/v^2)x^2, där v är starthasigheten (m/s). Man kastar föremålet från origo. Koordinatsystemets enhet är 1 meter. Hur högt går
a) en fjäder som kastas med starthastigheten 20 m/s?
b) en gasbalong uppskjuten med hastigheten 400 m/s?

Svar:

Derivera och bestäm maximum av funktionen.

Kjell Elfström


14 februari 2001 11.36.15
Bestäm funktionens (3x+1)^2(4x-1)^2 extrempunkter?

Svar:

Derivatan är

3·2(3x + 1)(4x - 1)2 + 4·2(3x + 1)2(4x - 1) = 2(3x + 1)(4x - 1)(3(4x - 1) + 4(3x + 1))
= 2(3x + 1)(4x - 1)(24x + 1).

Nu är det bara att genomföra teckenundersökningen.

Kjell Elfström


14 februari 2001 11.34.29
En rektangels två sidor finns på de positiva koordinataxlarna och det ena hörnet på kurvan y=1-2x^3. Vilket är det största möjliga värdet som rektangelns area kan få?

Svar:

Kurvan skär axlarna då x = 0 och då x = 2-1/3. Arean är basen gånger höjden, dvs x(1 - 2x3) = x - 2x4. Bestäm det största värdet av detta uttryck i intervallet [0,2-1/3] genom att derivera och undersöka teckenväxlingarna av derivatan.

Kjell Elfström


14 februari 2001 11.26.20
Du har till ditt befogande 160 cm ståltråd. Planera måtten för en lampskärm med utseendet av en rak cirkulär kon, med kvadratiskt botten. Kanterna görs av ståltråden medan mantelytans och övre basytans sammanlagda area skall vara så stor som möjligt. Svara med en millimeters noggrannhet.

Svar:

En kon kan inte vara cirkulär när bottnen är kvadratisk. När du sedan talar om övre basyta tror jag inte det är en kon över huvud taget. Är skärmen formad som en låda med kvadratiskt lock och utan botten? Vi antar det. Om höjden är x cm så går det åt 4x cm ståltråd till de vertikala kanterna. Resten 160 - 4x cm skall fördelas på de 8 horisonetella kanterna. Det blir 20 - x/2 cm till varje sådan kant. Arean av locket är då (20 - x/2)2. Arean av varje sidorektangel är x(20 - x/2). Den sammanlagda arean är därför

f(x) = (20 - x/2)2 + 4x(20 - x/2) = 400 + 60x -(3/2)x2.

Derivera nu och undersök var derivatan växlar tecken.

Kjell Elfström


14 februari 2001 11.23.50
För vilket värde för den oberoende variabeln minskar funktionens h(x)=x^3+3x^2-4x värden långsammast? Alltså var sluttar grafen minst?
Hasse

Svar:

Frågan verkar vara något felformulerad. Deriverar vi två gånger får vi att f ''(x) = 6x + 6 = 0 <==> x = -1. Krökningen f ''(x)/(1 + (f '(x))2)3/2, som är ett mått på hur snabbt tangentens lutning ändras, är alltså 0 bara då x = -1.

Kjell Elfström


14 februari 2001 11.19.20
Var är funktionen f(x)=x^3-15^x^5 växande respektive avtagande? Bestäm funktionens extrempunkter.

Svar:

Derivatan är

3x2 - 75x4 = (75)x2(1/25 - x2) = -(3/25)x2(x - 1/5)(x + 1/5)

är större än eller lika med 0 i [-1/5,1/5] och mindre än eller lika med 0 i (-oo,-1/5] och i [1/5,oo). Funktionen är därför växande i det första intervallet och avtagande i vart och ett av de senare. I -1/5 och 1/5 växlar derivatan tecken och därför är dessa extrempunkter. I 0 är derivatan 0 men växlar inte tecken. 0 är alltså ingen extrempunkt men en terrasspunkt.

Kjell Elfström


14 februari 2001 11.07.12
hej jag har några frågor här.
Vad kallas det största prexit resp. minsta man har namngivit?
Vad menas med att x i en funktion är fixt?
I svar 23 november 2000, 17.22.12 beskrivs ett sätt att gå till väga när man vill bevis herons formel. Jag är med ändå till att man får 2ax=b^2+^2-c^2, sen tar det tvärstopp. Vad får du "sedan kan man skriva 16A^2=16(ah/2)^2=4a^2(b^2-x^2=(2ab-2ax)(2ab+2ax") ifrån?
Vore mycket tacksam om svar snarast!
Börje

Svar:

Jag vet inte vad prexit är. Om prefix kan du läsa i 7 november 1997 14.24.20.

Det betyder bara att man tänker sig att x är en konstant och att funktionen beror på en annan variabel. T ex kan man betrakta f(x,y) = x + 2y som en funktion av x och hålla y fixt eller som en funktion av y och hålla x fixt. Om f(x,y) är höjden över havet i den position som har längdgrad x och breddgrad y så studerar man hur höjden förändras när man rör sig utefter en viss fix längdgrad x när man håller x fixt och låter y variera.

Den ursprungliga frågan ställdes den 23 november 2000 17.22.12. A = ah/2, där h är höjden. Detta ger den första likheten. I svaret står det att h2 = b2 - x2, av vilket den andra likheten följer. Den tredje följer av konjugatregeln.

Kjell Elfström


13 februari 2001 22.33.07
Hej, jag har haft problem med den här uppgiften och skulle vara tacksam ifall du kunde hjälpa mig med den så här går hela frågan:approximera f^(x). Den centrala differenskvoten C(x)=f(x+h)-f(x-h)/2h är en bra approximation till derivatan f^(x). Undersök C(x)-f^(x) för polynom(och eventuellt för andra funktioner).
Timo

Svar:

Enligt Taylors formel är

f(x + h) = f(x) + f '(x)h + f ''(x)h2/2 + f '''(c+)h3/6
f(x - h) = f(x) - f '(x)h + f ''(x)h2/2 - f '''(c)h3/6.

Dividerar vi ekvationerna med 2h och drar den ena ekvationen från den andra får vi

C(x) - f '(x) = (f '''(c+) + f '''(c))h2/12.

Felet är alltså i storleksordningen h2. För polynom av grad högst 2 är C(x) = f '(x) eftersom tredjederivatan är 0.

Kjell Elfström


13 februari 2001 21.59.37
Hej! Min fråga är om Midasformeln bara är en myt eller om den existerar i verkligheten? Om den existerar, hur lyder den?
Peter Rönn

Svar:

Formeln används för att prissätta optioner och kallas vanligen Black-Scholes formel efter sina upphovsmän Fischer Black och Myron Scholes. Formeln återfinns på Black-Scholes formula. Den finns diskuterad på Risky Riskless Trading och en mer djuplodande utveckling av ämnet finns på Option pricing model....

Kjell Elfström


13 februari 2001 19.02.35
brodskande: behöver ett program som löser Mersennes primtalsföljd. 2^n-1 och ett annat program (eller samma) som löser fermats seende på talföljden ~2^2^n+1
Karin

Svar:

Vad gäller Fermattalen är det enklast att du låter programmet skriva ut 3, 5, 17, 257 och 65537. Detta är nämligen de enda kända primtalen bland Fermattalen och inget datorprogram har ännu funnit något annat (det kanske inte ens finns något). För Mersennetalen gäller det att om Mn = 2n - 1 är ett primtal så måste n vara ett primtal. Det räcker alltså att testa om 2p - 1 är ett primtal då p är ett primtal. Att undersöka om ett tal är ett primtal kan göras med elementära metoder. Ett program i C kan se ut som följer.

for(d=2; (d*d <= p) && (p%d); d++)
    ;
if (p%d)
    printf("primtal");
else
    printf("sammansatt");
Programmet undersöker om något tal d <= p1/2 delar p. Denna metod är för långsam för att hitta stora Mersenneprimtal. För att finna sådana brukar Lucas-Lehmers primtalstest användas. Definiera talföljden Sn rekursivt genom S1 = 4, Sn = Sn - 12 - 2. Om p är ett udda primtal så gäller att Mp är ett primtal om och endast om Mp delar Sp - 1. För att snabba upp sådana program används den snabba Fouriertransformen för att utföra multiplikationer av de stora tal det är fråga om. Det snabbaste på en Pentiumprocessor är förmodligen det som skrivits av George Woltman, se GIMPS Home Page.

Kjell Elfström


13 februari 2001 18.17.40
Hej, Jag undrar varför man utför en faltning mellan två funktioner? Har den någon speciell fysikalisk/matematisk innebörd?
Fredrik

Svar:

Jag tar ett exempel med en population. Antag att det föds f(x) individer per tidsenhet vid tiden x och att andelen g(t) som uppnår åldern t är oberoende av vid vilken tidpunkt vi räknar och bara beror på åldern. Här är g(t) = 0 om t < 0. Av dem som föddes under ett kort tidsintervall [x,x + dx] är det kvar f(x)dxg(y - x) vid tiden y. Summerar vi och låter dx gå mot 0 får vi integralen int-oooo f(x)g(y - xdx = (f*g)(y) som alltså är populationens storlek vid tiden y. Detta kan översättas till många andra liknande situationer. T ex dyker faltning upp som lösningar till differentialekvationer, i signalteori och i sannolikhetslära. Om X och Y är två oberoende stokastiska variabler med täthetsfunktionerna f och g så är täthetsfunktionen för X + Y faltningen f*g. Polynommultiplikation kan betraktas som en diskret faltning. Om a(x) = summa akxk och b(x) = summa bkxk där vi summerar från -oo till oo och använder konventionen att koeefficienterna är noll för negativa index och för index större än gradtalet så är k:e-gradskoefficienten i a(x)b(x) summa aibk - i.

Kjell Elfström


13 februari 2001 15.28.32
Hur ser sanningsvärdestabellerna ut för
a) ((P och Q) eller (icke R och icke Q)) --> (P eller icke R)
b) (P <--> (Q och R)) --> ( icke P --> icke R)
Johan

Svar:

Gör en tabell där rubriken i de tre första kolumnerna är P, Q och R och rubriken i nästa kolumn är påståendet. Därunder får du åtta rader, en för varje sanningsvärdeskombination hos P, Q och R: SSS, SSF, SFS, SFF, FSS, FSF, FFS, FFF. Räkna för varje kombination ut sanningsvärdet hos påståendet. Tar vi t ex SFF blir P och Q F, icke R S, icke Q S och därför blir (icke R och  icke Q) S, varför den vänstra delen av implikationen blir S. Den högra blir också S, varför hela påståendet blir S. En implikation är sann utom då den vänstra delen är sann och den högra falsk.

Kjell Elfström


13 februari 2001 15.10.53
Ett sätt att beräkna tals avstånd från varandra är att kvadrera deras differens. Har inte läst en kurs i talföljder och serier, så använd instruktionen ovan! Frågan lyder: Vilket tal a på tallinjen befinner sig best i detta förhållande från talen talen x1,x2,...,xn-1,xn, d.v.s. med vilket värde på a är kvadraternas summa (x1-a)^2+(x2-a)^2+...+(xn-1-a)^2+(xn-a)^2 blir så liten som möjligt? Hoppas ni förstår!

Svar:

Derivatan av funktionen

f(a) = (x1 - a)2 + ... + (xn - a)2

är

f '(a) = -2(x1 - a) - ... - 2(xn - a)

och denna är noll då a = (x1 + ... + xn)/n. Andraderivatan är 2n > 0 så detta är ett lokalt minimum. Eftersom det är den enda lokala extrempunkten måste det vara ett minimum.

Kjell Elfström


13 februari 2001 15.01.52
Bestäm funktionens x(x^2-4)^4 extrempunkter. Jag har deribverat fram till (x^2-4)^4+(x^2-4)^3*8x^2 men sedan är det stopp!!! Hur fortsätter jag? Skall man inte nu utspjälka de gemensamma nämnarna? Kan ni visa hur man gör det? Jag tycker nämligen att utspjälkning är väldigt svårt.
Sabina

Svar:

Om du menar bryta ut de gemensamma faktorerna så har du rätt.

(x2 - 4)4 + 8x2(x2 - 4)3 = (x2 - 4)3(x2 - 4 + 8x2) = (x2 - 4)3(9x2 - 4).

Derivatan är alltså noll då x2 = 4/9 eller x2 = 4. Detta ger 4 nollställen. Studera nu teckenväxlingen hos derivatan.

Kjell Elfström


13 februari 2001 14.38.44
Hej. Undrar om du skulle vilja hjälpa mig med frågan vad är Armstrongs tal?. Tack på förhand
Jan

Svar:

Ett Armstrong-tal är ett n-siffrigt tal som är summan av n-potenserna av dess siffror. T ex är 153 = 13 + 53 + 33 ett sådant tal.

Kjell Elfström


13 februari 2001 04.30.55
På vilket sätt kan ni (som svarar på frågorna), med er stora kunskap om matekatik bidra till att världen blir bättre?
Johan E

Svar:

Se Quotations by G H Hardy.

Kjell Elfström


12 februari 2001 20.36.11
Hej!
Kan ni hjälpa mig med följande:
Visa att (17^47+20^12)^14-4 är delbart med 13.
Löses med kongruensräkning. Jag har bla försökat att skriva om så att jag får kongruenser av typ: a [kongruenstecken] 1 (mod b) men ite lyckats komma ända fram..
mvh Anders
Anders I

Svar:

Noterar man att 33 = 27 = 1 (mod 13) får man

(1747 + 2012)14 - 4 = ((-9)47 + (-6)12)14 - 4 = (-394 + 366)14 - 4 = (-3 + 36)12 - 4
= (-2)14 - 4 = 4·163 - 4 = 4·33 - 4 = 0 (mod 13).

Kjell Elfström


12 februari 2001 03.23.01
Hur deriverar man funktioner av typen: f(x)=arccos(x)?
Tacksam för svar.
Mikael Flodin

Svar:

Deriveringsreglerna för arcusfunktionerna finns härledda i nästan varje nybörjarbok i analys. Härledningarna bygger på derivationsregeln (f -1)'(x) = 1/f '(y), där x = f(y), som gäller för strängt monotona kontinuerliga funktioner f i punkter där f '(y) <> 0. För t ex arcsin gäller y = arcsin x <==>x = sin y för -Pi/2 < y < Pi/2, varför

dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/cos y = 1/(1 - sin2y)1/2 = 1/(1 - x2)1/2,   -1 < x < 1.

Derivatorna av arccos x, arctan x och arccot x är -1/(1 - x2)1/2, -1 < x < 1, 1/(1 + x2) resp. -1/(1 + x2)

Kjell Elfström


11 februari 2001 17.08.12
Hej ! Jag har lite frågor om begreppet bas.
1) När man talar om R^3 eller rummet är det då underförstått att det är standardbasen?
2) Utgår alla andra baser ifrån standardbasen?
3) Hur anger man basen för planet eller rummet?
Johan

Svar:

Elementen i R3 är i sig tripler x = (x1,x2,x3). För att förtydliga kunde man kalla (x1,x2,x3) för komponenterna av x. I standardbasen e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) har x koordinaterna (x1,x2,x3) eftersom x = x1e1 + x2e2 + x3e3. I denna bas sammanfaller begreppen komponenter och koordinater, medan koordinaterna i andra baser inte är komponenterna. Rumsvektorer, som brukar defineras som ekvivalensklasser av riktade sträckor, karakteriseras av längd och riktning. Addition definieras genom kraftparallellogrammen och multiplikation med skalär som längdförändring följd av byte av riktning om skalären är negativ. Här blir tre vektorer som inte ligger i samma plan en bas för rummet eftersom varje vektor på ett entydigt sätt kan skrivas som en lineärkombination av dessa. När man väl infört en fix bas för rumsvektorerna kan man identifiera rumsvektorerna med deras koordinater med avseende på denna bas. Det är på detta sätt man kan säga att elementen i R3 är rumsvektorer. Den fixa basen i rummet kommer då att motsvaras av standardbasen i R3. Om man sedan inför en ny bas av rumsvektorer kan dessa ju uttryckas som lineärkombinationer av vektorerna i den fixa basen och har koordinater med avseende på denna. Den nya basen motsvarar element i R3 som utgör en bas i R3. Koordinaterna för de senare med avseende på standardbasen är de samma som koordinaterna för rumsvektorerna med avseende på den fixa basen.

Kjell Elfström


11 februari 2001 15.58.18
Hej!
Jag har en fråga i logik som jag skulle bli tacksam om du kunde förklara/lösa åt mej. Hur bevisar man att resolutionsmetoden för satslogik är såväl sund som fullständig? Tack på förhand.
Peter Wilhelmsson

Svar:

Med resolutionsmetoden visar man att C följer av C1,...,Cn genom att tillämpa regeln som säger att man kan lägga till {A eller B} till {icke C,C1,...,Cn}, när man stöter på {(A eller P),(B eller icke P)}, och på så sätt småningom erhålla tomma mängden. Vid denna procedur byggs ett träd upp, en så kallad riktad acyklisk graf. Att metoden är sund visas med induktion över antalet noder genom att man visar att löven i ett sådant träd är ekvivalenta med alla noderna. Eftersom tomma mängden ingår bland noderna är konjunktionen av löven alltid falsk. Fullständigheten visas genom att man visar att det finns en algoritm som omvandlar ett deduktivt bevis, t ex enligt Gentzens speciella system för konjunktiv normalform, till en härledning enligt resolutionsmetoden. Det krävs naturligtvis att man visar att Gentzens system är fullständigt men det är lättare. För detaljer hänvisar jag till Gallier: Logic for Computer Science, Harper and Row.

Kjell Elfström


11 februari 2001 15.03.25
Hej ! Jag har en fråga angående vektorer: Om man har två punkter i rummet P och Q med koordinaterna Q=(1,2,3) och P=(4,4,4). Och sedan bildar vektorn PQ=(4,4,4)-(1,2,3)=(3,2,1). Min fråga är nu om denna vektor har en fix placering i rummet med startpunkt Q och slutpunkt P och om alla vektorer i rummet har bestämda placeringar, för oftast är man ju bara given en vektor, tex (7,1,3) och man kan ju visserligen räkna ut längden av vektorn men det är ju i detta fallet omöjligt att bestämma start och slutpunkt. Skulle vara intressant om ni kunde reda ut begreppen.
Johan

Svar:

Jag börjar med att rätta dig. Det är vektorn QP som har koordinaterna (3,2,1). Nej, den har inte en fix placering. En vektor bestäms av sin längd och riktning enbart. Om R = (2,3,4) och S = (5,5,5) är vektorn RS lika med vektorn QP. Man kan säga att en vektor är en förflyttning och det är samma förflyttning som tar dig från Q till P som från R till S.

Kjell Elfström


11 februari 2001 10.22.17
HEJ!
Hur ska jag undersöka om f(x,y)=4xy-2x+2y+1 kan anta värdet 52, då y< = (mindre lika) 7-x, xy> = (större lika) 6, x>0 ? kan inte hitta någon liknande fråga i er databas...
Tack och hej
Robban

Svar:

Eftersom x > 0 är

f(x,y) <= 4x(7 - x) - 2x + 2(7 - x) + 1 = 24x - 4x2 + 15 = 51 - (2x - 6)2 < 52,

y <= 7 - x. Detta verkade gå alldeles för lätt och vi behövde aldrig förutsättningen om att xy >= 6. Problemförfattaren har kanske tänkt sig att man skall bestämma det största värdet av f(x,y) enligt konstens alla regler, dvs beräkna de partiella derivatorna och finna stationära punkter samt undersöka funktionen på randen.

Kjell Elfström


9 februari 2001 22.10.45
Om man vill få fram den sista (entals) siffran i det uträknade talet 7^999999. Finns det ett bättre sätt än att ta
7^1 --> 7
7^2 --> 9
7^3 --> 3
7^4 --> 1
7^5 --> 7
(För att här upptäcka att det upprepar sig.) Sedan ta 999999/4 = 249999.75 i och med att det slutar på .75 så ser man att den sista siffran ska vara den tredje i följden av fyra dvs 3.
Christian

Svar:

Räknar man modulo 10 får man följande räkning.

7999999 = (-3)999999 = (-3)(-3)999998 = (-3)9499999 = (-3)(-1)499999 = (-3)(-1) = 3 (mod 10).

Kjell Elfström


9 februari 2001 20.34.41
Jag söker information om undervisningen i matematik under antiken och den tidiga medeltiden. Var kan jag hitta böcker eller artiklar som skrivits om detta? Har sökt på LIBRIS, KB samt Sthlms Universitet.
Staffan Magnusson

Svar:

Det finns många bra sidor på Internet om matematikens historia, t ex The MacTutor History of Mathematics archive och Encyclopædia Britannica. Den sistnämnda har också en omfattande bibliografi.

Kjell Elfström


9 februari 2001 18.23.02
Vad skiljer begreppen "differentierbar" och "partiellt deriverbar"?
Malin och Hugo

Svar:

Att en funktion f är partiellt deriverbar i en punkt betyder bara att de partiella derivatorna existerar där. Att den är differentierbar i x i Rn betyder att den är deriverbar där och att det finns en funktion e:Rn-->R sådan att

f(x + h) - f(x) = h·grad(f(x)) + |h|e(h),

och e(h)-->0 då h-->0. · betcknar skalärprodukt. Differentierbara funktioner är kontinuerliga men deriverbara funktioner av mer än en variabel behöver inte vara detta, vilket är klart eftersom funktionen kan vara definierad hur som helst utom på axelparallella linjer genom x. För funktioner av en variabel sammanfaller begreppen.

Kjell Elfström


9 februari 2001 14.56.37
Jag är tolv år och jag kan mer matematik än mina andra klasskamrater. Och till frågan om jag är för liten för att läsa Euklides elementa.
Kim

Svar:

Om du märker att du har behållning av att läsa den tycker jag absolut att du skall göra det.

Kjell Elfström


9 februari 2001 14.55.12
matris
Hussein

Svar:

Rektangulärt schema av tal.

Kjell Elfström


9 februari 2001 09.05.52
O store guru!
Kan du hjälpa mig med att finna en algoritm som returnerar nollstället nr n till Besselfunktionen J(m,x). m är Besselfunktionens ordning, x är en reell variabel och det minsta nollstället har nr 0 o.s.v. Alltå skall algoritmen vara en funktion A(m,n) som tar heltal och returnerar ett reellt tal. Hur kan man försäkra sig om att ingen rot hoppas över ?
Tack för er förmämliga sida.
En enkel tjänare

Svar:

Jag är inte så insatt i detta, men vet att det finns en formel som bygger på Newton-Raphsons metod. Ett problem är då att finna initialvärden så att man inte missar lösningar. Jag får hänvisa till litteraturen. Se t ex Wimp: Computation with Recurrence Relations och Watson: A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Du hittar dessa böcker i Libris databas.

Kjell Elfström


8 februari 2001 17.51.50
Jag skriver ett arbete om primtal och undrar om det finns en bra sida på nätet om primtalens historia och hur detta begrepp uppkom. M.v.h.
Karin

Svar:

The Prime Pages innehåller ganska mycket information om primtal. En sida med historisk information är Prime numbers.

Kjell Elfström


8 februari 2001 15.38.16
Hur uttalar man följande tal: 500 000 000 000 000 000? Jag skulle vilja säga nåt i stil med 500 miljoners triljarder men känner mig lite osäker på vad som kommer efter miljarder.
Liz Tencic

Svar:

1012 = 10000002 heter biljon, 1018 = 10000003 triljon och 1024 = 10000004 kvadriljon. Även för n > 4 kan man använda det latinska räkneordet för n för att namnge (1000000)n på samma sätt. Så heter t ex 10600 centiljon. Miljard faller utanför detta mönster. En miljard är 1000 miljoner och skulle enligt mönstret hetat seskiljon från det latinska ordet för en och en halv. Biljard är ett spel och triljard finns över huvud inte. Talet i frågan är 500000 biljoner eller en halv triljon.

Kjell Elfström


8 februari 2001 11.12.14
Jag har samma problem som Ralph Palmgren hade den 05.02.2001 klockan 12:23:15
Men nu är det så att jag inte riktigt förstår, kan ni beskriva litet mera detaljerat hur ni gör. Jag går på tvåan i gymnasiet och detta är ganska nytt för mig.
H. Kalle

Svar:

Derivera funktionen f och bestäm derivatans nollställen. Dessa blir 0 och 3/4. De största och minsta värdena av f(x) då -1 <= x <= 1 kan bara antas i någon punkt x, -1 <  x < 1, där derivatan är 0, eller i någon av ändpunkterna ±1. I detta fall i någon av punkterna ±1, 0 och 3/4. Genom att beräkna funktionsvärdena i dessa fyra punkter och jämföra dem ser man att det största värdet antas i -1 och det minsta i 3/4. Detta är x-koordinaterna för de sökta punkterna. Eftersom punkterna ligger på cirkeln är x2 + y2 = 1, vilket ger att y = ±(1 - x2)1/2. x = -1 ger y = 0 och x = 3/4 ger y = ±71/2/4. Svaret i a är alltså (3/4,71/2/4) och (3/4,-71/2/4) medan svaret i b är (-1,0).

Kjell Elfström


8 februari 2001 11.06.00
Jag har den 05.02.2001 ställt en från klockan 13.28.35!!! Nu undrar jag om formeln 0,86=(1/2)^(t/5730) är korrekt? Jag har löst ut t men får ett fel svar enligt facit!!! Det korrekt svaret bör vara 16000 år sedan. Var är felet hos mig eller hos er, beskriv hur ni gör

Svar:

Ja, den är korrekt utifrån förutsättningarna. Däremot får man ett svar kring 16000 om den döda mammutens kol-14-innehåll är 14% av innehållet i en levande mammut i stället för 14% mindre, som det stod i frågan. I ekvationen skall i så fall 0,86 bytas ut mot 0,14.

Kjell Elfström


8 februari 2001 10.45.33
Vad är mega för något?
Lasse

Svar:

Ordet mega kommer från grekiskans megas som betyder stor. Det används bland annat som måttenhetsprefix och står då för 106. 1 Megahertz är alltså 1 miljon hertz.

Kjell Elfström


8 februari 2001 09.54.26
Vad är resten då 40! delas med 1763?
Anna

Svar:

Vi kan skriva 1763 = 41·43. Enligt Wilsons sats är 40! = -1 (mod 41) och 42! = -1 (mod 43). Men 42! = (-1)(-2)·40! = 2·40! (mod 43), varför 2·40! = -1 (mod 43). Detta betyder att r = -1 (mod 41) och 2r = -1 (mod 43), där r är resten. Detta betyder att r = 41a - 1 och 2r = 43b - 1. Vi får 82a - 43b = 1. Lös nu denna diofantiska ekvation och sätt in i uttrycket för r.

Kjell Elfström


8 februari 2001 00.19.17
För kulbanans koordinater gäller: x= vcos a*t y=h+vsin a*t -(gt^2)/2 där t är tiden och g är tyngaccelerationen. Bestäm först ett uttryck för kastlängden R och studera sedan hur R beror av v, a och h. Du kan använda g=9.8m/s^2 samt variera h kring 2 meter, v kring 12 m/s och a kring 45 grader. Vad blir R och vad är bästa kastvinkel?
Ulf

Svar:

Eftersom h <> 0 verkar det som om uppgiften skall lösas numeriskt. Kastlängden får du genom att bestämma tidpunkten t för vilken y blir 0 och sedan sätta in detta värde på t i uttrycket för x. Ekvationen i t är en andragradsekvation som har två rötter, en positiv och en negativ. Det är den positiva du skall välja.

t = (1/g)(v sin a +(2hg + v2sin2a)1/2).

Kastlängden är alltså

R = R(a) = (v/g)(cos a)(v sin a +(2hg + v2sin2a)1/2).

Sätt nu in de givna värdena på g, h och v. Derivera och bestäm derivatans nollställen med hjälp av något matematikprogram. Ofta får man ange ett startvärde vid numerisk lösning av ekvationer. Du skall då välja ett i närheten av 45° eller Pi/4 beroende på om programmet räknar i grader eller radianer.

Kjell Elfström


7 februari 2001 22.35.29
Hej!
Eftersom det i naturen finns mycket "inbyggd" matematik, undrar jag om det finns en given funktion för konturen på ett ägg. I mina tankar har jag lagt ägget på sidan och placerat det i ett koordinatsystem, där x-axeln är centrerad i ägget och där den trubbiga änden ligger i origo.
I mina helt egna antaganden (icke bevisade) har den trubbiga änden då formen av en perfekt halvcirkel, men resten? I samma fall har jag också antagit att den totala höjden är 3*r av samma cirkel.
Finns det några belägg för mina antaganden, och framför allt, finns det en funktion för "grafen" som det liggande ägget bildar?
Martin Björnson

Svar:

Jag känner inte till vilka matematiska funktioner som bäst lämpar sig för att beskriva formen av ett ägg. Det verkar dock vara rimligt att, som du gör, antaga att det är rotationssymmetriskt och att det räcker att beskriva ett lämpligt tvärsnitt av det.

Kjell Elfström


7 februari 2001 22.30.55
Hej, jag har fått i uppgift att lära mig Runge-Kutta metoden för att sedan redovisa detta för min klass. I Calculus finner man inte någon vidare bra förklaring, utan det jag behöver är en fullständig förklaring hur det hela funkar, plus ett par bra exempel. Har ni någon aning vart jag kan finna denna information?
mvh Erik Larsson 'LiTH'

Svar:

Runge-Kutta-metoder tas upp i så gott som alla elementära läroböcker i numerisk analys. Leta i biblioteket på Matematiska institutionen vid LiU.

Kjell Elfström


7 februari 2001 22.27.33
Hej! Läser Endimensionell analys 1 på egen hand och har ingen att ställa frågor till då jag får problem, så därför bollar jag problemet till er: Låt f(x)= /sin x/ + /cos x/. Ange värdemängden till f genom att bestämma dess maximum och minimum. Har f några asymptoter?
Henrik

Svar:

Funktionen f(x) = |sin x| + |cos x| är periodisk med perioden Pi/2 eftersom |sin (x + Pi/2)| =  |cos  x| och |cos (x + Pi/2)| =  |sin  x|. Det räcker alltså att undersöka den i intervallet [0,Pi/2], där den kan skrivas f(x) = sin x + cos x. Derivatan är där f '(x) = cos x - sin x och det enda nollstället i intervallet är x = Pi/4. f(0) = 1, f(Pi/4) = 21/2 och f(Pi/2) = 1. Eftersom f är kontinuerlig i det kompakta intervallet [0,Pi/2] har den såväl maximum som minimum där och dessa måste antas i någon av ändpunkterna 0 och Pi/2 eller i derivatans nollställe Pi/4 eftersom funktionen är deriverbar med derivatan skild från noll i övriga inre punkter till intervallet. Det största värdet är alltså 21/2 och det minsta 1. Lodräta asymptoter saknas eftersom f är kontinuerlig. Även sneda saknas eftersom f(x)/x --> 0 då x --> ±oo och f(x) - 0x saknar gränsvärde då x --> ±oo.

Kjell Elfström


7 februari 2001 21.27.16
Har problem med paramerisering tex. ax+by=c eller ax^2+by^2=c var kan jag finna teori på internet som hjälper mig med parametrisering.
Anders Ohls

Svar:

Jag har tidigare fått frågor om allmänna metoder för att parametrisera kurvor och inte kunnat svara på dessa. Vissa kurvor, t ex den räta linjen och ellipsen, har dock välkända parametriseringar. I linjens ekvation är någon av koefficienterna a och b skild från noll. Om a <> 0 kan man sätta y = t och lösa ut x. Man får då

(x,y) = (c/a - (b/a)t,t) = (c/a,0) + (-b/a,1)t.

Ur parametriseringen får man informationen att linjen går genom punkten (c/a,0) och är parallell med riktningsvektorn (-b/a,1).

Att cirkeln med radie r och centrum i origo har parametriseringen (x,y) = r(cos t,sin t) följer direkt av definitionen av cosinus och sinus. Om a, b och c är positiva i din andra ekvation så är den ekvationen för en ellips. Dividerar man med c kan den skrivas om som

x2/A2 + y2/B2 = 1,

där A = (c/a)1/2 och B = (c/b)1/2. Vi kan därför utnyttja cirkelns parametrisering och sätta

x/A = cos t, y/B = sin t <==>(x,y) = (A cos t,B sin t).

Om koefficienterna a, b och c är skilda från noll och inte har samma tecken kan man skriva om din ekvation som x2/A2 - y2/B2 = 1 eller med tecknen framför x och y omkastade. För de hyperboliska funktionerna cosh och sinh gäller att cosh2 t - sinh2 t = 1. Om plustecknet är framför x kan man alltså använda parametriseringen

(x,y) = (A cosh t,B sinh t).

Kjell Elfström


7 februari 2001 20.28.57
hur mättes area förr i tiden?
anna

Svar:

Jag vet inte om du menar rent praktiskt, eller hur man matematiskt bar sig åt utan integraler. I det senare fallet varierade det från problem till problem och arean av många figurer som vi med lätthet beräknar i dag klarade man ofta inte av att beräkna.

Kjell Elfström


7 februari 2001 18.39.51
Håller på att lösa Ma E projektuppgift 4207: "Mona har 90 daars sommarferie som hon tänker tillbringa så här: varannan dag ska hon ta en simtur, vartredja dag ska hon klippa halva gräsmattan och var femte dag ska hon lösa matteproblem. /.../ Hur många dagar kommer hon att antingen bara simma eller inte göra något alls.
undrar hur man löser den på bästa sätt. Har skrivit ett program som ska lösa ut svaret men det är ingen lösning och man kan ju knappast sitta och pröva sig fram 90 ggr. tack iförhand,
Karin

Svar:

Numrera dagarna från 0 till 89. Antalet dagar som hon inte klipper gräs eller löser matematikproblem efterfrågas alltså. De dagar vilkas nummer är delbara med 3 klipper hon gräs, dvs 30 dagar. Dagarna med nummer delbara med 5 löser hon matematikproblem, 18 dagar. I summan 30 + 18 har dagarna hon utför båda sysslorna kommit med två gånger. Dagarna vilkas nummer är delbara med både 3 och 5, dvs de vilkas nummer är delbara med 15, utför hon båda sysslorna. Dessa dagar är 6 till antalet. Svaret blir 90 - (30 + 18 - 6).

Kjell Elfström


7 februari 2001 18.04.18
Hej Kjell!
Jag märkte att du verkar vara väldigt duktig på programmering, tycker du att man först bör vara duktig på matematik innan man börjar seriöst med programmering?
Min andra fråga är om du är duktig på reverse engineering eller "crackning", måste man först vara jätteduktig i assembler innan man kan cracka program? I så fall vad är lämplig litteratur om man ska kunna cracka?
Sir Francis

Svar:

Matematikstudier ger bra övning i att tänka strukturerat, vilket inte är en nackdel vid programmering. Dina övriga frågor bör du ställa till en datavetare.

Kjell Elfström


7 februari 2001 15.28.58
Hej!
Jag undrar hur Mercator gick tillväga matematiskt när han utvecklade sin kartprojektion?
Kan ni hjälpa mig med den nöten vore jag tacksam.
Tack på förhand!
Kent den "Goa gubben"

Svar:

Jag känner inte till dessa historiska fakta. Se The Mercator Conformal Projection.

Kjell Elfström


7 februari 2001 13.43.05
Ett fält har formen av en rätvinklig triangel med motstående kateten a och närliggande kateten b. Från fältet avskiljer man en rektangelformad tomt enligt figuren. Bestäm sidorna s och t så att tomtens area är maximal. Jag har kommit fram till att vilken som helst av sidorna s och t kan väljas till variabel. De små trianglarna är likformiga med hela triangeln. Samt att man skall bilda en ekvation som gör det möjligt att uttrycka den ena sidan i rektangeln med hjälp av den andra. Men sedan går jag vilse i räkningarna med variablerna. Kan ni ge en detaljerad beskrivning av de olika skedena, så att jag inte tappar bort mig på nytt!
H. Ekman

Svar:

Kalla triangelns hörn för A, B och C och antag att den räta vinkeln är vid C. Antag att BC = a och AC = b. Rektangeln har ett hörn i C och ett hörn på vardera sidan av triangeln. Kalla det på BC för A', det på BA för C ' och det på AC för B'. (Beteckningarna är logiska vilket du ser om du ritar en figur.) Antag att A'C = s och B'C = t. Eftersom A'BC ' är likformig med CBA är (a - s)/t = a/b, vilket ger att t = b(a - s)/a. Arean är alltså

f(s) = (b/a)(as - s2),

ett uttryck som är lätt att derivera.

Kjell Elfström


7 februari 2001 13.36.42
Man planerar en låda i form av ett rätblock med kvadratisk bas. Av 720 cm ståltråd gör man först en stomme enligt en figur. (Det ser ut som två rätblock som är lika stora och placerade på varandra.) Bestäm baskanten och höjden så att volymen blir maximal.
Matthias

Svar:

Jag är inte säker på att jag förstår det här med två rätblock placerade på varandra. Ett rätblock är ju en tredimensionell figur. Låt mig få antaga att trådstommen består av två kvadrater, den ena ovanför den andra och att varje hörn i den övre är förbundet med det hörn i den undre som ligger rakt under det förstnämnda hörnet. Om kvadratens sida är x och lådans höjd h är ståltrådens längd 8x + 4h = 720, vilket ger att h = 180 - 2x. Lådans volym är

f(x) = hx2 = 180x2 - 2x3.

Derivera nu och studera derivatans tecken.

Kjell Elfström


6 februari 2001 23.36.20
Hur taylorutvecklar jag e^(x*sin(x))? (upp till x^4 termen) Jag vet att man kan delvis utveckla e^t=1+t+t^2/2... men sen då?
olle

Svar:

Vi har att

et = 1 + t + t2/2 + t3B1(t),

där B1(t) är begränsad för alla små t och

t = x sin x = x(x - x3/6 + x5B2(x)) = x2(1 - x2/6 + x4B2(x)),

där B2(x) är begränsad för små x. Sätt nu in utvecklingen av t i utvecklingen av et och visa att den är på formen

ex sin x = p(x) + x5B(x),

där p(x) är ett polynom av grad högst 4 och B(x) är begränsad för alla små x. På grund av entydighetssatsen för Taylorutvecklingar vet du då att det är Taylorutvecklingen av grad 4 du fått och inte någon utveckling, vilken som helst.

Kjell Elfström


6 februari 2001 21.19.06
Hur är det med matriser och vänster- och högerinverser? När existerar den ena och inte den andra? Vilken ges av Gauss-elimination?
Yngve

Svar:

Låt A vara en p×n-matris. Om det finns en n×p-matris B, sådan att AB = E så har ekvationssystemet Ax = y minst en lösning x i Rn för varje y i Rp. En sådan är ju x = By. För att bevisa omvändningen konstaterar vi att AB = E, där B är en n×p-matris betyder att ABk = Ek för k = 1,2,...,p, där Bk och Ek betecknar de k:e kolonnerna i B och E. Om ekvationssystemet Ax = y är lösbart för varje högerled y i Rp är speciellt de ekvationssystem där högerleden är kolonnerna i E lösbara. Väljer vi en lösning till vart och ett av dessa och låter lösningarna vara kolonner i matrisen B är alltså AB = E. Detta visar att A har en högerinvers B om kolonnerna i A genererar Rp och att denna då kan erhållas genom att man löser ekvationssystemet Ax = y med Gausselimination.

Antag nu att BA = E, där A är en p×n-matris och B en n×p-matris. Om Ax = 0 så är i så fall x = BAx = B0 = 0. Detta betyder att kolonnerna i A är lineärt oberoende. Omvänt, om kolonnerna i A är lineärt oberoende så dim V(A) = n, varför även dim V(At) = n, dvs kolonnerna i At genererar Rn. Detta visar att At har en högerinvers C. B = C t blir då vänsterinvers till A eftersom C tA = (AtC)t = Et = E.

Om A är kvadratisk gäller att AB = E <==> BA = E.

Kjell Elfström


6 februari 2001 20.57.26
Hej!
Har problem med en uppgift i komplex analys. Eller snarare två...
1) Vilken del av det komplexa talplanet kontraheras resp. expanderas av avbildningen f(z)=z^2+2z
2) Låt f och g vara analytiska i ett öppet sammanhängande område D och att de har samma realdel där. Visa att f och g är lika så när som på en rent imaginär konstant: f(z)=g(z)+iK, z tillhör D, K reell.
Tack på förhand!
Peter

Svar:

1. Betraktar man f som en avbildning från R2 till R2 ges den av f(x,y) = (x2 - y2 + 2x,2xy + 2y). Denna avbildnings funktionaldeterminant är 4((x + 1)2 + y2). Området där absolutbeloppet av denna är större än 1 förstoras och området där absolutbeloppet är mindre än 1 förminskas. Eftersom f är analytisk följer det av Cauchy-Riemanns ekvationer att funktionaldeterminanten är lika med |f '(z)|2 = 4|z + 1|2. Detta uttryck är mindre än 1 i cirkelskivan |z + 1| < 1/2.

2. Skillnaden h(z) är rent imaginär. Om h(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) så är u(x,y) = 0, varför Cauchy-Riemanns ekvationer ger att vx' = vy' = 0, av vilket påståendet följer.

Kjell Elfström


6 februari 2001 18.47.23
Hur bevisades Bertrands postulat?
Danne

Svar:

Bevis för denna sats finns i många om talteori, t ex Niven, Zuckerman: An Introduction to The Theory of Numbers, Wiley. Jag hittade också ett bevis på nätet, men jag har inte läst det så noga att jag garanterar att det är felfritt. Se Bertrand's Postulate.

Kjell Elfström


6 februari 2001 17.37.59
Hejsan
Jag ställde frågan den 2 februari om negativa talbaser. Jag går bara andra året på gymnasiet och förstod inte riktigt hur du resorerade dig fram till hur du skulle göra. Om du skulle kunna förklara det lite 'enklare' så skulle jag vara tacksam.
2. Jag försökte skapa ett datorprogram som skulle använda din algoritm, men jag lyckades inte riktigt. Skulle du kunna skriva ett flödesshema som omvandlar talet x[bas 10] till basen n?
Tack på förhand
David
David Szotten

Svar:

Först måste man förstå hur man omvandlar från basen tio till en vanlig positiv bas B. Det allra enklaste är naturligtvis att omvandla från basen tio till basen tio. Det är ju bara att avläsa siffrorna. Men om vill utföra detta på ett sätt som även kan användas vid omvandling till andra baser kan man göra som följer. Antag att vi vill omvandla talet q = 1234 till basen tio och spara siffrorna i strängen s som vi sedan skriver ut när vi är klara. Börja med att heltalsdividera q med 10. Kvoten blir 123 och resten blir 4. Resten är entalssiffran så den sparar vi undan i s. Ersätt innehållet i q med kvoten. Om q = 0 är vi klara annars fortsätter vi och dividerar q med 10. Nu är kvoten 12 och resten 3. Spara resten till vänster i strängen och sätt q lika med den nya kvoten 12. Nästa gång är kvoten 1 och resten 2. Spara 2 i s, 1 i q. Nästa gång är kvoten 0 och resten 1. Spara 1 i s och 0 i q. Vi kontrollerar varje gång om q = 0 och så är fallet nu. Vi är alltså klara. Skriver vi ut s får vi utskriften 1234.

Vill man omvandla från basen tio till den positiva basen B gör man likadant fast dividerar med B i stället för med 10. I något programmeringsspråk skulle det kunna se ut så här.

/* / betecknar heltalsdivision, % betecknar resten vid division
   i - heltal, anger index i strängen s
   q - kvoten
   r - resten
   A - divisor
*/
A = B
i = 0
r = q%A
s[i] = r  /* här får man omvandla från tal till siffra */
i = i + 1
q = q/A
while (q <> 0) {
   r = q%A
   s[i] = r
   i = i + 1
   q = q/A
}
/* skriv ut /*
for (j = i - 1 to 0 step -1) {
   print s[j]
}  
Språket liknar C. I BASIC lägger man kanske till en siffra i strängen med s=CHR$(r+48)+s och skriver ut den med PRINT(s). När man vill omvandla till en negativ bas B sätter man A = -B i stället och r = q%A, q = -q/A. Här får man vara försiktig eftersom de flesta programmeringsspråk ger en negativ rest när man dividerar ett negativt tal.
r = q%A
q = -q/A
if r < 0 then {
   r = r + A
   q = q + 1
}

Kjell Elfström


6 februari 2001 16.21.11
Hej
Finns det någon formel som kan besvara följande: Du har 1 million kulor i en låda. 1 av dessa har en avvikande färg. Du plockar 5 st kulor per sekund från lådan. Hur stor är sanolikheten för att du får fram den avvikande kulan inom 60 sekunder?
Anders Eriksson

Svar:

Under de 60 sekunderna hinner man ta 300 kulor. Sannolikheten för att den avvikande kulan befinner sig bland dessa är 300/1000000.

Kjell Elfström


6 februari 2001 15.27.09
Jag är en 15 kille som nyss har valt gymnasieprogrammet NV- matematik- data. Och jag undrar om det är svår att komma in på Lund?
DARK {[]} VISION

Svar:

Om du undrar över om det är svårt att komma in på gymnasieprogrammet får du ta kontakt med skolan du sökt till och fråga där. De behöriga som efter gymnasiet sökt Matematisk-naturvetenskaplig utbildning vid Lunds universitet, ingång Matematik-fysik-data-kemi, har alla blivit antagna den senaste tiden.

Kjell Elfström


6 februari 2001 15.11.24
Vad säger egentligen Kurt Gödels sats, är vissa påstenden inom matematik omöjliga att bevisa?
Marko

Svar:

Den säger att vissa sanna påståenden i matematiken inte går att bevisa. I det formella språk som, föutom av de predikatlogiska byggstenarna, utgörs av siffror, <, +, · och exponentiering finns det alltid sanna utsagor om de naturliga talen som inte kan härledas från axiomen, oavsett vilken avgörbar uppsättning sanna påståenden man väljer som axiom. Att uppsättningen är avgörbar innebär att det skall finnas en effektiv procedur med vilkens hjälp man kan avgöra om en formel är ett axiom eller inte. (Man kan allså inte välja alla sanna påståenden som axiom.) Man kan därför inte fylla igen luckorna genom att säga att ett påstående som man misstänker är sant, men inte bevisbart från de axiom man har, är ett axiom. Det finns ändå alltid något annat obevisbart sant påstående.

Kjell Elfström


6 februari 2001 15.09.43
Om två räta linijer är vinkelräta så är produkten av deras riktiningskoefficienter -1. Hur visar jag detta och hur bestämer jag tangens av vinkeln mellan två icke parallela linjer?
Marko

Svar:

En linje med riktningskoefficient k har riktningsvektorn (1,k). (1,k1) och (1,k2) är vinkelräta om och endast om deras skalärptodukt 1·1 + k1k2 = 0. Man kan också bevisa påståendet genom att utnyttja likformiga trianglar. Det är ingen inskränkning att antaga att båda linjerna går genom origo. Den ena riktningskoefficienten, säg k1, måste vara positiv och den andra negativ. Sätt A = (1,k1), B = (0,0), C = (1,k2) och D = (1,0). Då är trianglarna ABC och BDA rätvinkliga. Det följer att BDA är likformig med CDB. Därför är 1/k1 = -k2/1 av vilket det följer att produkten av riktningskoefficienterna är -1.

Låter vi t1 och t2 vara vinklarna som linjerna bildar med x-axeln är tan t1 = k1 och tan t2 = k2. Därför är

tan(t1 - t2) = (tan t2 - tan t1)/(1 + tan t1 tan t2) = (k2 - k1)/(1 + k1k2).

Kjell Elfström


6 februari 2001 15.08.12
Varför är 2x-4/(x-1) inte lika med 2x/(x-1) - 4/(x-1)???
Markus

Svar:

Det beror på att division skall utföras före subtraktion. Sätter du parenteser lämpligt får du likhet.

(2x - 4)/(x - 1) = 2x/(x - 1) - 4/(x - 1),   x <> 1.

Kjell Elfström


6 februari 2001 13.15.13
Hej Kjell, Jag kan inte se att din invändning "Det verkar som om du utifrån ditt påstående om att skillnaden mellan två på varandra följande kvadrater är udda, vilket är korrekt, drar slutsatsen att varje udda tal kan skrivas så, därför speciellt kvadrattalen. Det senare följer inte av det förra." är relevant för min lösning. Skillnaden mellan två på varandra följande kvadrattal n^2 och (n+1)^2 är ju (2n + 1). Ex.: Skillnaden mellan kvadrattalen 1, 4, 9, 16, 25... är 3, 5, 7, 9... dvs en följd av udda positiva heltal, där inte något udda tal hoppas över. Då finns ju också kvadraterna av de udda positiva heltalen med, eller hur?
AGV

Svar:

Jag tyckte bara att du borde ha redovisat det viktigaste argumentet i ditt resonemang, nämligen att varje udda tal, större än eller lika med 3, är skillnaden mellan två positiva kvadrattal. Nu har du gjort det och fått ett snyggt och kort bevis för ditt påstående.

Kjell Elfström


6 februari 2001 11.29.59
Hur löser man ett sånt problem: slh för att datorn går sönder en arbetsdag är en på tusen.Slh att den går sönder om det kommer blixtnedslag är en på tio.Slh för blixtnedslag är en på femhundra.Vad är sannolikheten att blixten har slagit ner om datorn är sönder? Allt jag vet att man kan löser den m.j.a Bayers sats,men hur?
Tack på för hand
Hälsning,Åsa

Svar:

Sannolikheten P(A|B) för A under betingelsen B definieras genom P(A|B) = P(A och B)/P(B). Av detta följer det att

P(A|B)P(B) = P(A och B) = P(B|A)P(A),

vilket är innebörden av Bayes sats. Vi vet att P(D) = 1/1000, P(D|B) = 1/10 och P(B) = 1/500. Enligt Bayes sats får vi då att

P(B|D) = P(B)P(D|B)/P(D) = 1/5.

Kjell Elfström


6 februari 2001 11.24.41
Hej!Jag undrar hur man löser denna frågan: Hur många sätt finns det att placera fem likadana blommor i tolv vaser?
Tack

Svar:

Antalet sätt att välja ut k element bland n givna element är (nk) = n!/((n - k)!k!). Gäller det att placera högst en blomma i varje vas skall vi alltså välja ut 5 vaser bland de 12. Detta kan göras på (125) = 792 sätt. Får man placera flera blommor i varje vas blir antalet möjligheter lika med koefficienten för x5 i utvecklingen av (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5)12, vilken är 4368.

Kjell Elfström


6 februari 2001 00.24.58
God Kväll! Jag skulle vara oerhört tacksam om du ville vara så vänlig att hjälpa mig med följande problem. Låt G bestå av alla par (a,b), där a,b tillhör Z(mod11) och a är skillt från 0. Låt p:G-->Z*(mod11), där p((a,b))=a. Visa att p är en grupphomomorfi vars kärna är isomorf med Z(mod11). Motivera att G/ker p är isomorf med Z*(mod11).
Elisabeth

Svar:

Det gäller alltså att G = Z11* ×Z11, där den första gruppen är den multiplikativa gruppen av element skilda från 0 och den andra den additiva. Gruppoperationen i G ges alltså av (a,b)(c,d) = (ac,b + d). Det gäller därför att

p((a,b)(c,d)) = p((ac,b + d)) = ac = p((a,b))p((c,d)),

vilket visar att p är en homomorfi. ker p är mängden av (a,b) sådana att p((a,b)) = 1, dvs alla element i G på formen (1,b). Det är nu trivialt att visa att b --> (1,b) är en gruppisomorfi mellan Z11 och ker p. Det är också klart att im p = Z11*. Det sista påståendet följer nu av att im p är isomorf med G/ker p.

Kjell Elfström


5 februari 2001 23.50.49
Hej (igen).
Jag har ett problem som jag inte vet var jag ska börja (tror inte ens att någon liknande matte har funnits i mina tidigare ma kurser A-D +analys)
Ok:
En person startar ett ryckte, detta ryckte förmedlar han till en person i en by rycktet sprids sedan vidare av varje person som får veta det, så fortsätter det tills en person som redan vet det får veta det igen då avstannar det, hur många personer i byn blir ovetande om rycktet ?, hur tänker man matematiskt ? ,jag ska programera detta.
Tack på förhand
Matias henttunen

Svar:

Det verkar vara fråga om en simuleringsuppgift och jag antar att slumpen skall avgöra vilka personer som råkas. Befolkningen i byn kan representeras av en vektor b[n] med n positioner, en för varje byinnevånare. Man kan t ex använda konventionen att b[k] = 0 om invånare nummer k inte har hört ryktet och 1 annars. Börja med att sätta b[0] = 1 (den som hörde ryktet utifrån) och b[k] = 0, 1 <= k <= n - 1. Ha också en räknare r för antalet personer som känner till ryktet. Från början är r = 1. Huvuddelen av programmet är en slinga där personerna möts. Välj i varje varv ut två personer med slumptalsfunktionen. Om ingen av dem hört ryktet händer ingenting, om bara en av dem hört det ökas r med 1 och den som inte hört det får en etta i sin vektorposition. Har båda hört det avslutas slingan och talet i r skrivs ut.

Denna lösning har inte mycket med matematik att göra.

Kjell Elfström


5 februari 2001 23.35.54
Hej !
Jag undrar varför f(x)=|x| inte har någon invers ? eller är det för att den inte är monotom i hela intervallet -oo -> +oo
? borde inte den funktionen ha en invers i alla fall i intervallet 0<x<oo
Mvh Matias

Svar:

Det är riktigt att strängt monotona funktioner har invers men det finns också andra inverterbara funktioner. En funktion f säges vara inverterbar eller omvändbar om olika värden på x i definitionsmängden Df ger olika värden på f(x). Detta kan också uttryckas som att

f(x1) = f(x2) ==> x1 = x2,    x1, x2 i Df.

Om det förhåller sig så, så har ekvationen f(x) = y en entydigt bestämd lösning x i Df för varje y i Vf. Vi kan då definiera f -1(y) som denna entydigt bestämda lösning x. T ex är f(x) = x3, x i R, inverterbar eftersom ekvationen x3 = y har en entydigt bestämd lösning x = y1/3 för varje reellt tal y. Inversen är alltså f -1(y) = y1/3. Funktionen f(x) = |x|, x i R är inte inverterbar eftersom t ex f(1) = f(-1). Däremot är restriktionen g(x) = |x|, x >= 0 inverterbar eftersom lösningen till ekvationen |x| = y, x >= 0 är entydigt bestämd och lika med y. Denna funktion är alltså sin egen invers.

Kjell Elfström


5 februari 2001 23.21.43
Hej! Jag har kört fast med en uppgift och skulle gärna få lite hjälp på traven med den lyder så här: Emma har under några år studerat hur snabbt olja förbtukas omkring den 15:e varje månad i Svenssons villapanna. Här är medelvärden av hennes data:
Tidpunkt   15/1 15/2 15/3 15/4 15/5 15/6 15/7 15/8 15/9 15/10 15/11 15/12
liter/dygn 16    15   12   9    5    2    1     2   5    9     13    15
a)Anpassa en lämplig sinusfunktion till dessa data
b)Använd den matematiska modellen för att ställa och besvara några frågor
* Anta att oljetanken rymmer 2000 liter och att den fylls 15/1. När bör man då senast tanka igen om oljevolymen i tanken inte ska understiga 200 liter?
*Hur många procent av det totala oljebehovet för ett år faller på det första kvartalet?
Det var allt....
Tack på förhand Perra
Pär Olsson

Svar:

Hur man anpassar en sinuskurva till kända data med hjälp av ickelineär regression kan du läsa om i 18 oktober 2000 14.17.31. Man kan också göra det litet mindre rigoröst. Perioden skall vara 365 dygn. Amplituden verkar vara (16 - 1)/2 = 15/2 och medelvärdet (16 + 1)/2 = 17/2. Om t är tiden i dygn sedan årsskiftet något år verkar det som om funktionens största värde antas då t = 15. Detta ger oss att funktionen är

f(t) = 17/2 + (15/2)sin(Pi/2 + 2Pi(t - 15)/365) = 17/2 + (15/2)cos(2Pi(t - 15)/365).

Mängden olja som förbrukas mellan två tidpunkter a och b är intab f(tdt. Man skall lösa ekvationen int15b f(tdt = 2000 - 200 = 1800. Integralen är lätt att bestämma men den så uppkomna ekvationen kan bara lösas numeriskt. Jag fick b = 276.9720540.

Integrera dels från 0 till 90, dels från 0 till 365 och beräkna sedan kvoten.

Kjell Elfström


5 februari 2001 21.31.47
Hej. Jag undrar hur man löser ut X ur följande formel:
ax^2+bx+C=0 M V H Johan
Johan Karlsson

Svar:

Börja med att dividera med a. Ekvationen kan då skrivas x2 + px + q = 0, där p = b/a och q = C/a. Lösningarna ges nu av x = -p/2 ± ((p/2)2 - q)1/2 under förutsättning att (p/2)2 >= q. Annars finns det inga reella lösningar till ekvationen. Är (p/2)2 < q ges de komplexa lösningarna av x = -p/2 ± (q - (p/2)2)1/2i. Se 10 januari 2001 09.57.34 för en härledning.

Kjell Elfström


5 februari 2001 19.48.27
Tack för svaret angående heltalssidor >=3 (Pythagoras sats). Frågan ställdes den 5/2. Min idé ser ut så här: Differensen mellan två på varandra följande kvadrattal är alltid ett udda tal. Därför kommer även kvadraten av alla udda tal att finnas som skillnaden mellan två på varandra följande kvadrattal. Ex.: 13^2 - 12^2 = 5^2. Multipler av dessa (udda) kvadrattal ger även de sidor, vars längder är jämna tal med ett undantag: Heltalssidor, som kan skrivas som en produkt av enbart tvåor. Eftersom 4 ingår som sida i en egyptisk triangel, kommer multipler av 4 att ge de saknade jämna talen. Längerna 1 och 2 inte kan ingå i en rätviklig triangel med positiva heltalssidor. Därför gäller vilkoret för längder >=3
Duger detta som bevis?
Hälsningar
AGV

Svar:

Jag kan inte se att det följer av ditt resonemang att varje udda kvadrattal utom 1 är skillnaden mellan två kvadrattal. Det verkar som om du utifrån ditt påstående om att skillnaden mellan två på varandra följande kvadrater är udda, vilket är korrekt, drar slutsatsen att varje udda tal kan skrivas så, därför speciellt kvadrattalen. Det senare följer inte av det förra. Ditt resonemang om jämna kvadrattal är det samma som mitt.

Kjell Elfström


5 februari 2001 18.41.48
jag stött på ett problem. jag skulle med hjälp av logiska kvantorer formulera Goldbachs förmodan om primtal där N och P skulle användas som beteckning för naturliga resp primtalen. Därefter skulle jag formulerar negationen till goldbachs förmodan så att negationssymbolen inte förekommer! Lite Klurigt??!!
Skulle Ni kunna hjälpa mig med det? Tack i förhand!
MVH
Adnan Dado@worldonline.se
Adnan Arslanagic

Svar:

Goldbachs förmodan är att varje jämnt heltal större än 2 kan skrivas som summan av två primtal.

An((n tillhör N och n > 2 och 2|n) ==> EpEq(p tillhör P och q tillhör P och n = p + q)).

A och E skall egentligen skrivas upp och ner resp. bak och fram. Negationen blir

En(n tillhör N och n > 2 och 2|n och ApAq((p tillhör P och q tillhör P) ==> n <> p + q)).

Kjell Elfström


5 februari 2001 17.21.23
Tänkte bara påpeka att bokmalens färdsträcka faktiskt blir (2*40-2*3)mm = 74mm eftersom malen inte äter sig igenom första och sista pärmen.
Christian

Svar:

Nej, det är också fel. Se 5 februari 2001 17.13.19

Kjell Elfström


5 februari 2001 17.13.19
A-háá. Lurad! Svaret till Anders i förra veckan om Bokmalen som kröp från den vänstra bokens första sida till den högra boken sista sida fick nog fel svar - av dig. Det är en kuggfråga och fordrar eftertanke. Ställ upp böckerna i hyllan. Se nu efter var den vä bokens första sida finns. Jo längst till hö innanför den bokens pärm. Kolla samtidigt in var den hö bokens sista sida finns. Jo, ytterst till vänster innanför den bokens pärm. Bokmalen som heter Bertram kröp allts bara genom två pärmar. 2 x 0,3 cm = 0,6 cm Kul att kunna sätta dit ett snille.
Rättat av Anders Farfar som kunde svaret

Svar:

Jag tror inte det stod att böckerna hade ryggarna mot betraktaren! Nåväl, jag erkänner att jag tänkte fel. Svaret till 2 februari 2001 14.02.50 är nu korrigerat.

Kjell Elfström


5 februari 2001 16.50.46
Fråga om chanser i Måltips.
Det finns att tippa ett reducerat system där man får ange 11 matscher istället för de 8 som krävs för att ha alla rätt. Men om den rätta raden ryms inom de 11 tippade är det inte säkert att man har 8 rätt. Där gäller att rätta med en reduceringsmall som ofta ger mindre. Både 7 och 6 rätt måste accepteras. Min fråga är: Hur stor chans har jag att få de eftertraktade 8 om de ryms inom de 11 tippade. Alla har gått in allstå. Jag har haft den situationen två gånger men alltid fått mindre än 8 rätt när reduceringstabellen bestämmer utdelningen till mig. Detta naturligtvis till stor besvikelse. En amatörmatematiker i min bekanskapskrets säger (tror) att det är en chans på ca 17. Sant? En fråga till. Hur stor är chansen att få in de där 8 eftertraktde när man spätt på med 3 förlsag mer. Alltså 11 markerade Hoppas Ni förstår frågan. När jag ringde tip-stänst förstod de inte vad jag menadade.
Börje Axner i Örebro

Svar:

Den första frågan kan jag inte svara på. Det beror på hur det reducerade systemet är konstruerat. De som tillhandahåller sådana system brukar ha analyserat dem. Du pratade kanske med fel person på Tipstjänst. Jag tolkar din andra fråga som att du lämnar in ett oreducerat system med 11 markeringar och att du undrar vilken sannolikheten är att du bland dessa har med de åtta rätta. Systemet är på (118) = 165 rader. Det totala antalet rader är (308) = 5852925. Sannolikheten blir kvoten mellan dessa som är ungefär 0,000028. Jag har här antagit att precis åtta matcher är de rätta, dvs att antalet mål i var och en av alla de övriga matcherna är färre än i dessa åtta.

Kjell Elfström


5 februari 2001 13.28.35
Använd INTE den NATURLIGA LOGARITMEN (LN)!!! LÖS med den "BRIGGSKA LOGARITMEN" beteckning LOG eller LG!!!
Från den sibiriska tundran har man funnit en mammut, vars kol-14 (C-14) mängd är 14% mindre än hos en levande mammut. För hur länge sedan levde mammuten? Kol-14 (C-14) halveras på 5730 år.
LÖS INTE MED!!! Naturlig logaritm

Svar:

Mängden radioaktivt kol i mammuten är (1/2)t/5730 av vad den var vid dödsögonblicket t år senare.

0,86 = (1/2)t/5730 <==> lg 0,86 = (t/5730) lg(1/2).

Lös nu ut t.

Kjell Elfström


5 februari 2001 13.21.56
Använd INTE!!! INTEGRALER Hur löser man UTAN integraler uppgiften: Vi antar att funktionen är överallt deriverbar och dess derivata i punkten x är x??? Använd INTE integraler, lös på annat sätt!!!!
Martin

Svar:

Man känner till en funktion vars derivata är x, nämligen x2/2. Av medelvärdessatsen följer att varje annan funktion med samma derivata skiljer sig från x2/2 med en konstant. Detta är kanske att använda integraler. Vilken var uppgiften förresten?

Kjell Elfström


5 februari 2001 12.23.15
I vilken punkt på cirkeln x^2+y^2=1 är uttryckets x^2(1-x-y^2) värde
a)Minst?
b)Störst?
Ralph Palmgren

Svar:

x2 + y2 = 1 är x2(1 - x - y2) =x2(x2 - x) = x4 - x3 = f(x). Bestäm nu x, -1 <= x <= 1, så att f(x) får sitt minsta resp. största värde. Motsvarande punkter på cirkeln blir (x,±(1 - x2)1/2).

Kjell Elfström


5 februari 2001 12.20.25
Vilket är det största respektive minsta värde, uttrycket absolutabeloppet av (x^3+5x^2+7x-6) får i det slutna intervallet (-2,1)???
Ralf Palmgren

Svar:

Deriverar vi f(x) = x3 + 5x2 + 7x - 6 finner vi att derivatans enda nollställe i intervallet [-2,1] är -1. f(-2) = -8, f(-1) = -9 och f(1) = 7. Eftersom f är kontinuerlig antar den värdet 0 någonstans i intervallet så det minsta värdet av |f(x)| i intervallet är 0. Vidare inser man att det största värdet av |f(x)| är 9 i intervallet.

Kjell Elfström


5 februari 2001 10.26.43
Tack för svaret på förra frågan..
Hur löser man problemet nedan?
Utgå från formlerna:
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
Bevisa följande formel:
cos(u) + cos(v) = 2cos((u+v)/2)cos((u-v)/2)
Christoffer & Alexander

Svar:

Addition av de givna formlerna ger

cos(x + y) + cos(x - y) = 2 cos x cos y.

Sätt in x = (u + v)/2 och y = (u - v)/2 i denna formel och observera att x + y = u, x - y = v.

Kjell Elfström


5 februari 2001 09.11.02
Jag har en idé om hur man skall bevisa att en sträcka, vars längd är ett heltal >=3, ingår som sida i minst en rätvinklig triangel med heltalssidor. Det skulle vara intressant att se vilka lösningar som "Fråga Lund" har på det här problemet.
AGV

Svar:

Man säger att (x,y,z) är en Pythagoreisk tripel om x, y och z är positiva heltal och x2 + y2 = z2. Man säger att det är en primitiv Pythagoreisk tripel om x, y och z är relativt prima, dvs inte har någon primfaktor gemensam. I så fall är det klart att inte alla tre kan vara jämna. Det kan inte heller vara så att både x och y är jämna ty i så fall måste också z vara jämn. Om både x = 2m + 1 och y = 2n + 1 är udda måste z = 2p vara jämn. Detta leder till att x2 + y2 ger resten 2 vid division med 4 medan z2 är delbart med 4. En av x och y måste alltså vara jämn och den andra udda, varav det följer att också z är udda. Vi antar i fortsättningen att x är udda och y jämn. Vi kan skriva om likheten som (z - y)(z + y) = x2. Om x, y och z är relativt prima så är också (z - y) och (z + y) relativt prima. Hade de nämligen innehållit en gemensam primfaktor hade denna delat x och därför varit udda. Den hade också delat deras summa 2z och deras skillnad 2y och därför både y och z eftersom den är udda. Uppdelar man x i primfaktorer kommer varje faktor att förekomma ett jämnt antal gånger i x2. Ingen av dessa faktorer finns i både (z - y) och (z + y), varför varje primtal i deras faktoriseringar förekommer ett jämnt antal gånger. (z - y) = m2 och (z + y) = n2 är alltså kvadrater på heltal m och n, som är relativt prima. Det följer att x = mn, varför båda är udda. Vidare är y = (n2 - m2)/2 och z = (n2 + m2)/2. Varje primitiv Pythagoreisk tripel (x,y,z), där x är udda, kan alltså skrivas på detta sätt med m < n udda och relativt prima. Omvänt så är (x,y,z) en primitiv Pythagoreisk tripel med x udda om den kan skrivas på detta sätt. Om n >= 3 är ett udda heltal kan vi alltså välja m = 1 och få en primitiv Pythagoerisk tripel där x = n. Vidare finns det en Pythagoreisk tripel (4,3,5) med x = 4. Om N >= 3 kan vi skriva N = 2pn, där p >= 0 är ett heltal och n >= 3 är udda eller n = 4. Det finns då en Pythagoreisk tripel där x = n. Multiplicerar vi x, y och z med 2p får vi en ny Pythagoreisk tripel med x = N.

Kjell Elfström


5 februari 2001 09.05.32
Hej
Är det någon som kan ställa upp med att lösa den här uppgift. Frågan lyder så här:
Vi köper nio tuggummin i en godisautomat med två sorters tuggummin.Automaten har dubbelt så många röda tuggummin som blå.Vad är slh att få fyra röda totalt?Vad är slh att få två röda bland de fem första?Vad är slh att få tre röda,varav en först och en sist?
Tack på för hand
Hälsning,Ola
effisio@hotmail.com

Svar:

För att beräkna de exakta sannolikheterna räcker det inte att veta förhållandena mellan de två slagen av tuggummin. När man tagit ett tuggummi av en viss färg lägger man ju inte tillbaka det och förhållandet mellan färgerna ändras. Vet man inte antalet tuggummin kan man inte beräkna det nya förhållandet. Är det många tuggummin i automaten får man dock en approximativ lösning genom att räkna som om man lade tillbaka varje tuggummi efter att man avläst färgen.

Sannolikheten att ta ett rött tuggummi är p = 2/3, sannolikheten att ta ett blått är q = 1 - p = 1/3. Sannolikheten att ta k röda och n - k blå i en viss bestämd ordning om man tar n tuggummin är pkqn - k. Sannolikheten att ta k röda och n - k blå i någon ordning vilken som helst när man tar n tuggummin är (nk)pkqn - k eftersom den inbördes ordningen mellan färgerna kan vara på (nk) olika sätt. En fördelning med denna sannolikhetsfunktion kallas binomialfördelning.

Svaren på den första och andra frågan är därför (94)(2/3)4(1/3)5 respektive (52)(2/3)2(1/3)3. Sannolikheten att den första och den sista skall vara röda är (2/3)2. Sannolikheten att en av de återstående sju är röd är ( 71)(2/3)(1/3)6 så svaret på den sista frågan är produkten ( 71)(2/3)3(1/3)6.

Kjell Elfström


5 februari 2001 02.24.03
Goddag. Efter att ha läst igenom delar av svaren har jag konstaterat att du, Kjell, numera är min personliga Gud. Jag har aldrig förr sett så klarsynta och roliga svar på matematiska frågor. Mina korridorsgrannar uppskattar kanske inte det, då jag precis väckt dem med mitt skratt :)
Kristoffer Lundgren

Svar:

Detta var ju ingen fråga men min fåfänga får mig ändå att publicera inlägget.

Kjell Elfström


4 februari 2001 21.28.01
En googol är talet med en etta följt av 100 nollor. En googolplex är en etta följt av en googol nollor. Min fråga är: Finns det någonting som är så mycket som en googolplex? Finns det ens så många atomer i universum?
Ola Öinert

Svar:

Fråga vetenskapen om fysik.

Kjell Elfström


4 februari 2001 17.12.58
Jag undrar om du kan hjälpa mig med denna uppgift: Bestäm lokala extrempunkter till funktionen
f(x,y)= 1/((x-2)(y-4)) +x +y +4
J.M.Ercsson

Svar:

Börja med att derivera. fx' = 1 - 1/((x - 2)2(y - 4)), fy' = 1 - 1/((x - 2)(y - 4)2). Att båda dessa är noll betyder att

(x - 2)2(y - 4) = 1
(x - 2)(y - 4)2 = 1.

Drar vi den ena ekvationen från den andra får vi

(x - 2)(y - 4)((x - 2) - (y - 4)) = 0.

Eftersom x <> 2 och y <> 4 är den enda möjligheten att (x - 2) = (y - 4). Sätter vi in detta i någon av ekvationerna får vi (x - 2)3 = 1. Detta ger att x = 3 och sedan får vi att y = 5. Beräknar vi andraderivatorna i punkten (3,5) finner vi att fxx''(3,5) = fyy''(3,5) = 2 och fxy''(3,5) = 1. Motsvarande kvadratiska form är

Q(h,k) = 2h2 + 2hk + 2k2 = 2(h + k/2)2 + (3/2)k2,

som är positivt definit. Den enda lokala extrempunkten är alltså (3,5) och detta är en lokal minimipunkt.

Kjell Elfström


3 februari 2001 18.46.40
Hejsan! Har ett problem som kanske kan verka lite simpelt bland alla klurigheter här, men jag skulle vara tacksam för svar. Bestäm den exakta volymen av den största raka cirkulära cylinder som kan inskrivas i en sfär med radien R.
Sofia

Svar:

Skriv in cylindern och skär sedan figuren med ett plan som innehåller cylinderns axel. Tvärsnittet visar en rektangel inskriven i en cirkel med radien R. Låt r vara cylinderns basradie och x dess halva höjd. Pythagoras sats ger då att r2 = R2 - x2. Volymen som är basarean gånger höjden är

V(x) = Pi r2·2x = 2Pi x(R2 - x2).

Undersök nu funktionen V genom att studera derivatans tecken.

Kjell Elfström


2 februari 2001 23.37.26
Hej! Jag har läst någonstans, minns inte var, att om man har väldigt många och stora slumpmässigt genererade tal så kommer onormalt många, betydligt fler än 10 procent, av dessa tal att börja på siffran 1. Stämmer detta? Och hur i hela världen kan det bli så??
Johan

Svar:

Lagen heter Benfords lag. Se The First Digit Law.

Kjell Elfström


2 februari 2001 23.19.25
  |-------R1----|
  |             |
--|--R2----R3--------R4----------
         |              |
         |-----R5--------
Hur räknar jag ut den sammamlagda resistansen i denna krets vid godtyckliga värden på resistorena? Normalt sett räknar man ju bara enligt gällande regler för serie resp. parallellkopplingar. Men R3 ställer ju till lite problem?
Mattias Axner

Svar:

Det gäller att

U2 + U3 + U4 = U, U2 + U3 = U1, U3 + U4 = U5

och

I1 + I2 = I, I2 = I3 + I5, I4 + I5 = I.

Ersätter man Ui med RiIi och U med RI får man ett ekvationssystem med de 6 obekanta Ii, i = 1,2,3,4,5 och I och med 6 ekvationer. Flyttar man över allt till det ena ledet får man ett homogent ekvationssystem med koefficientmatrisen A nedan.

0 R2 R3 R4 0 -R
-R1 R2 R3 0 0 0
0 0 R3 R4 -R5 0
1 1 0 0 0 -1
0 1 -1 0 -1 0
0 0 0 1 1 -1

Detta ekvationssystem skall vara lösbart för varje värde på I vilket innebär att det måste ha icketriviala lösningar. Lös ut R ur ekvationen det(A) = 0.

Kjell Elfström


2 februari 2001 22.09.47
Miniprojekt matematik E (Matematik 2000 uppgift 4225)
Hej, har nu suttit någon vecka och grundat på ett problem, men tycks nu totalt ha kört fast. Vore tacksam för hjälp, och då helst utförligt eftersom jag själv vill förstå det. Uppgiften lyder som följer:
Hur ändras trycket (räknat i N/cm2) på ett tvärsnitt i en människas ben om längden tiofaldigas? Hur stor skulle en jätte kunna bli om benen tål ett tryck på säg 1000N/cm2 och en normal människas ben har en tvärsnittsyta på ca 8cm2?
Mvh/Jenny

Svar:

Jag antar att det bara är längden som förändras. I så fall tiofaldigas också personens tyngd. Skall vi säga att personen före förvandlingen hade en tyngd på 800 N. Efteråt är tyngden 8000 N. För att få trycket skall du dividera tyngden med tvärsnittets area.

Kjell Elfström


2 februari 2001 20.03.33
Har du något material om Pierre de Fermat? och i så fall kunde man få det mailat?

Svar:

Se Pierre de Fermat.

Kjell Elfström


2 februari 2001 19.11.54
Vad är en variabel
Olof

Svar:

I matematiken är det en storhet som tänks variera. Motsatsen är en konstant. Uttrycket 1 + x får olika värden beroende vad x är. Här kallas x en variabel medan 1 är en konstant. När man sedan säger att a är en konstant och x en variabel i a + x menar man att a skall ha ett fixt värde, dock vilket som helst, och att x skall antaga olika värden. För varje fixt värde på a betyder ekvationen y = a + x en rät linje, dvs punkterna (x,y) som uppfyller ekvationen ligger på en rät linje. Tar man sedan ett annat värde på a får man en annan linje.

Kjell Elfström


2 februari 2001 15.05.38
Jag har i tiderna lärt mig att 10-logaritmen betecknas lg. Men på en räknare står det log. Nu tycks också läroböcker börja använda log då man avser 10-logaritmen.
Finns det någon vettig förklaring till detta? Skiljer sig tex det amerikanska sättet att beteckna från det europeiska eller har beteckningsstandarden ändrats?
Folke Rosenberg Pargas, Finland

Svar:

Jag vet inte hur lg kommit att beteckna 10-logaritmen i svenska skolböcker (och finska också tydligen). Jag tror inte det finns någon internationell standard. I mycket litteratur, många programmeringsspråk och dylikt skrivs 10-logaritmen log. I den svenska varianten av Excel används lg men i den engelskspråkiga används log. Datavetare betecknar ibland 2-logaritmen med lg och när sedan matematiker i matematisk litteratur ofta skriver log för den naturliga logaritmen borde förvirringen vara total. En sak är dock säker, ln betcknar ingenting annat än den naturliga logaritmen.

Kjell Elfström


2 februari 2001 14.02.50
2st 40mm tjocka böcker står bredvid varandra i en bokhylla. Volym ett står till vänster. Av den totala tjockleken(när boken ligger) är varje pärm 0,3cm. I volym ett finns en bokmal som ger sig ut på äventyr enligt följande: Han eller hon äter sig från den vänstra bokens första sida till den högra bokens sista sida. Hur långt har malen färdats från det att han startar tills dess att han är framme? Vandringen tog 6 timmar och 26 min med en sovpaus på 55min inräknad. Malen var snabb i början men mattades av på slutet. Av den totala tiden använde malen 92% i första boken. Fråga: Hur lång var krypsträckan???
Anders Axner

Svar:

2·3 = 6 mm.

Kjell Elfström


2 februari 2001 12.33.46
Hejsan
Jag skulle behöve lite hjälp med an algoritm för att omvandla tal från bas 10 till bas n, där n < 0. Det börde finnas två 'lösningar' eftersom varje tal i en negativ talbas kan skivas på två sätt. ex. 10 i bas [-10] = 190 eller -10...
F.ö., vet du nått ställer på nätet där man kan läsa om negativa talbaser etc. Finns det nån användning för dem?
Tackar på förhand
David Szotten

Svar:

Jag har inte tidigare stött på negativa baser så jag kan inte besvara dina senare frågor. Om A är ett heltal större än eller lika med 2 och B = -A så kan varje heltal a på ett entydigt sätt skrivas

a = a0 + a1B + ... + anBn,

där 0 <= ak < A, k=0,1,...,n. Att koefficienterna är entydigt bestämda följer av att om

a0 + a1B + ... + anBn = b0 + b1B + ... + bnBn

så är

c0 + c1B + ... + cnBn = 0,

där ck = ak - bk och -A < ck < A. Detta uttryck är 0 och därför delbart med A. Men B är delbar med A varav det följer att c0 är delbar med A. Enda möjligheten är att c0 = 0. Nu kan vi dividera uttrycket med B, upprepa resonemanget och få att c1 = 0 osv.

Nu visar vi att man verkligen kan representera a på detta sätt. Vi visar med induktion över n att varje heltal a, sådant att -An <= a <= An, har en sådan representation. Om n = 1 och a >= 0 behöver vi bara sätta a0 = a. Om a < 0 kan vi sätta a0 = a + A och a1 = 1.

Om -An + 1 <= a <= An + 1 kan vi enligt divisionsalgoritmen skriva

a = a0 + Aa' = a0 + B(-a') , 0 <= a0 <= A - 1.

Här måste -An <= -a' <= An. Enligt induktionsantagandet har därför -a' och således även a en sådan representation.

Beviset ger oss också en metod att bestämma siffrorna. Låt oss t ex bestämma siffrorna för 175 i basen B = -10. Då är A = 10. Dividera med A: 175 = 17·10 + 5 = (-17)(-10) + 5. Dividera nu -17 med A. -17 = (-2)·10 + 3 = 2(-10) + 3. Eftersom kvoten 2 nu ligger i [-A,A] är vi klara. Vi sätter in uttrycket för -17 i uttrycket för 175 och får 175 = 2(-10)2 + 3(-10) + 5.

Genom att representera -a på detta sätt får vi genom att därefter byta tecken en representation för a, där alla siffrorna är negativa eller 0. -175 = -18·10 + 5 = 18(-10) + 5. 18 = 1·10 + 8 = (-1)(-10) + 8. -1 = -1·10 + 9 = 1(-10) + 9. Sätt nu successivt in delresultaten. 18 = 1(-10)2 + 9(-10) + 8. -175 = 1(-10)3 + 9(-10)2 + 8(-10) + 5. De båda representationerna av 175 är alltså 235 och -1985.

Kjell Elfström


2 februari 2001 12.25.45
Hur förklarar man att följande delmängd av R^4 inte är ett underrum till R^4:
{(x1,x2,x3,x4) | x1+x2=x3+x4=1}
Tack!
Per

Svar:

Varje underrum innehåller origo men det gör inte denna delmängd.

Kjell Elfström


2 februari 2001 11.04.33
Hej! Kan man säga att vilken parallellogam som helst även är ett parallelltrapets på samma sätt som att begreppet parallellogram innefattar begreppen rektangel, romb och kvadrat? Om det föhåller sig så blir definitionen en fyrhörning med två motstående sidor parallella tillräcklig.
Klas

Svar:

Se 17 januari 2001 18.46.01

Kjell Elfström


19879 frågor av sammanlagt 20322 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Logisk operator

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)