Fråga Lund om matematik

Sökresultat


20 april 1999 20.04.45
Hejsan! Har ej någon matematisk uppgift som jag vill att ni löser utan undrar bara hur ni (ni som besvarar folks matte-frågor) tänker när ni ställs inför ett matteproblem (eller vad det nu är..kanske fysik). Det vill säga, hur går ni tillväga för att lösa problemet, har ni någon plan som ni följer i erat problemlösande? En till fråga: Vilken utbildning har ni som besvarar våra frågor här på denna sida? Är alla forskare inom matematik? Mvh Christian G
Christian G

Svar:

I stället för att svara direkt rekommenderar jag en bok, Pólya: How to Solve It; A New Aspect of Mathematical Method, (Princeton Science Library). De flesta som besvarar frågorna är forskarstuderande i matematik.

Kjell Elfström


20 april 1999 19.48.50
Hejsan! En formel som man ofta stöter på inom kombinatoriken är följande:(n+r-1 över r) Vilket betyder antalet oordnade urval med repetition av r objekt från en mängd av n objekt. Varför subtraherar man med 1? Hur härleder man denna formel? Varför går det inte lika bra att skriva:(n+r över r)? Ge gärna ett enkelt exempel.
Stefan

Svar:

Att formeln inte kan bytas mot (n+r över r) beror helt enkelt på att detta tal ej är det samma som (n+r-1 över r).

Exempel: Vi har en urna med tre olikfärgade kulor i. Om man tar upp en kula skriver dess färg på ett papper och lägger tillbaka kulan i urnan igen, hur många utfall finns det då om vi gör detta fyra gånger om man bortser från ordningen?
Säg att färgerna är gul = g, vit = v och röd = r, vi får alternativen
gggg gggv gggr ggvv ggvr
ggrr gvvv gvvr gvrr grrr
vrrr vvrr vvvr vvvv rrrr
dvs 15 alternativ.
Här har vi ordnat utfallen så att antalet gula kommer först, sedan antalet vita och sist antalet röda.
Vi kan även göra detta med ettor och nollor så att ettor anger antal och nollorna anger färg. Så att
gggg = 1111 0 0, gggr = 111 0 0 1, gvvr = 1 0 11 0 1, vvrr = 0 11 0 11 etc.
Detta är praktiskt när vi skall visa den allmänna formeln.

Bevis av formeln:
Antag nu att vi vill besvara samma fråga med n st färgade kulor och med r st dragningar. Vi kan namnge färgerna till a1, a2,...,an. När vi dragit r st kulor kan vi ordna utfallet så att vi skriver upp en etta för varje förekomst av a1 följt av en nolla, sedan skriver vi upp en etta för varje förekomst av a2 följt av en nolla, etc...
På detta sätt får vi en följd med r st ettor och n - 1 st nollor. De n-1 stycken nollorna kan vara vart som helst bland de r + n - 1 talen av nollor och ettor.
Således finns det  (r + n - 1 över n-1) sätt att placera ut nollorna (färgerna), men
  (r + n - 1 över n - 1) = (r + n - 1)!/[(n - 1)!(r + n - 1 - (n - 1))!]
                                 = (n + r - 1)!/[(n + r - 1 - r)!r!] = (n + r - 1 över r).

Anders Dahlner


20 april 1999 19.25.15
Hej Varför blir multiplikationen av två negativa tal positiv? Tack på förhand
Per Andersson

Svar:

Se  16 mars 1998 14.04.10. Naiv tabell:
(-1)*3     = -3
(-1)*2     = -2
(-1)*1     = -1
(-1)*0     = 0
(-1)*(-1)  =  ?

Anders Dahlner


20 april 1999 16.00.09
Hjälp! Jag behöver hjälp med denna diffen! En tank som rymmer 200 l och som från början är fylld med vatten, börjar läcka i botten. 20% av vattnet rinner ut de första 5 minuterna. Bestäm ett uttryck för hur mycket vatten som finns kvar i tanken t minuter efter det att tanken började läcka om vattnet rinner ut med en hastighet som är proportionell mot produkten av tiden som förflutit och mängden vatten som finns i tanken. Förklara utförligt! Tack på förhand!
Tina

Svar:

y(t) = antal liter vatten efter t minuter.
Givet:
(1)  y(0) = 200
(2)  y(5) = 200 - 0.2*200 = 160
(3)  y'(t) = -kt y(t)       (k konstant)
Differentialekvationen i (3) är separabel:
  y'/y = -kt   =>  Int(y'/y) = Int(-kt)
                  =>  ln(y) = -kt2/2 + C
                  =>  y = exp(-kt2/2 + C) = D exp(-kt2/2)
Nu ger (1) att:
  200 = y(0) = D exp(0) = D
och med denna information ger (2) att
  160 = y(5) = 200 exp(-25k/2)  =>  exp(-25k/2) = 4/5
                  =>  -25k/2 = ln(4/5)
                  =>  -k/2 = ln(4/5)/25
Alltså y(t) = 200 exp(-ln(5/4)t2/25).

Anders Dahlner


20 april 1999 11.36.39
En flotte av trä i en form av ett rätblock har bredden 1,0 m höjden 0,5 m och längden 2,0 m. Flotten flyter i vatten och densiteten för flotten antas vara 800 kg/m^3. Hur stort arbete åtegår för att lyfta flotten upp ur vattnet. Jag skulle vara glad om ni skulle kunna hjälpa mig, med att visa hur jag ska komma fram till integralen som bestämmer massan.
Jonas Karlsson

Svar:

Att densiteten för flotten är 4/5 av vattnets densitet får till effekt att 4/5 av flottens höjd ligger under vattenytan. Vi inför
m = flottens massa ; m = 1,0*0,5*2,0*800 kg = 800 kg,
g = tyngdaccelerationen ; g = 9,81 m/s2,
x = avståndet mellan flottens botten och vattenytan. Vattnets lyftkraft motsvarar enligt Arkimedes princip tyngden av den undanträngda vattenvolymen. Kraften som krävs för att motverka tyngdkraften är då F(x)=mg-1,0*2,0*x*1000*g=800g(1-x/0,4) (N) för x mellan 0 och 0,4. Arbetet som krävs för att lyfta upp flotten ur vattnet är integralen A=800g*Int00,4(1-x/0,4)dx=800g*0,4/2=1570 (Nm).

Joakim Petersson


20 april 1999 10.59.14
-3 Jag undrar hur man löser detta: Beräkna med ett fel om högst 1·10 volymen av den kropp som bildas då arean som inneslutes av kurvorna ê·x -1 y = ------- 1 + x och y=sin(2x),x >= 0 (är större med eller lika med) får rotera kring x-axeln. Tack i förhand!
Bengt Johansson

Svar:

Jag kan tyvärr inte tyda vad den första kurvan skall vara. Vid rotation kring x-axeln av kurvan y=y(x) mellan x=a och x=b blir volymen Intab Pi*y2dx. Om en kurva ligger ovanför en annan, subtraherar man rotationsvolymen hörande till den undre kurvan.

Joakim Petersson


19 april 1999 17.29.17
Hej igen! Nu har jag samlat ihop 6 stycken frågor som jag inte klarar att lösa. Kan ni? Utförliga svar tack! 1) En cylindrisk ölburk skall rymma en given volym. Bestäm burkens proportioner så att materialåtgången blir så liten som möjligt. 2) Bestäm minsta och största värdet av funktionen x^(2)*e^(-x) i intervallet där x ska vara större eller lika med -1 och x ska vara mindre eller lika med 3. 3) Rita funktionskurvan y= x^3 / (x+1)^2 och ange eventuella lokala extrempunkter och asymptoter. 4) Två punkter A och B i ett plan är givna. Avståndet mellan dem är 1 längdenhet. Bestäm en punkt P i planet sådan att triangeln ABP har arean 2 ytenheter och minimal omkrets. 5) Rita funktionskurvan y = sqrt(x^2 + x) med angivande av eventuella lokala extrempunkter och asymptoter. 6) Visa olikheten ln (1 + 4*x) >arctan 3*x för x>0.
Anneli Karlsson; Västervik

Svar:

1) Låt burken ha cirkulär botten med radien r och ha höjden h. Då är volymen V=Pi*r2h konstant och vi skall minimera arean A(r)=2Pi*r2+2Pi*rh=2Pi*r2+2V/r, som vi får genom de kända formlerna för sidoytornas area. Denna funktion för r>0 har sitt minimum då A'(r)=4Pi*r-2V/r2=0, alltså då r3=V/(2Pi), varav h=V/(Pi*r2)=2r. Burken skall vara lika hög som bred.

2) Låt f(x)=x2e-x, -1<=x<=3. Man ser att minimum är 0 för x=0. Som f'(x)=x(2-x)e-x har f lokalt maximum 4e-2=0.541.. för x=2, varför maximum antas i ändpunkten x= -1 och är e=2.718...

3) Låt f(x)=x3/(x+1)2. Som f'(x)=x2(x+3)/(x+1)3 ser man att x=0 är en inflexionspunkt och x= -3 en lokal maximipunkt. Vidare är linjen x= -1 en asymptot till kurvan, som du lämpligen skissar med hjälp av denna information.

4) Rita upp A och B på en vågrät linje. Eftersom arean skall vara konstant (=2) måste P ligga på en parallell linje (på avståndet 4/|AB|=4); säg ovanför den första linjen. Märk också ut punkten B' som är B speglad i den andra linjen. Att minimera omkretsen betyder att minimera vägen från A till B, vilket pga symmetri är lika med vägen från A till B' (|BP|=|B'P|). Vägen blir givetvis kortast längs sträckan AB'. Detta bestämmer P och triangeln skall vara likbent (|AP|=|BP|).

5) Låt x>0. Vi kan skriva sqrt(x2+x)-x=x/(sqrt(x2+x)+x) som går mot 1/2 då x går mot oändligheten. Funktionskurvan har därför asymptoten y=x+1/2. Lokala extrempunkter för x>0 saknas, för y'=(2x+1)/(2sqrt(x2+x)).

6) Låt f(x)=ln(1+4x)-arctan(3x). Nu är f'(x)=4/(1+4x)-3/(1+9x2)=(1-6x)2/((1+4x)(1+9x2)). Eftersom derivatan är ickenegativ och f(0)=0 följer av medelvärdessatsen att f(x)>0 då x>0.

Joakim Petersson


19 april 1999 10.00.55
Hej. Jag undrar vem som först visade att Cantors mängdlära inte var motsägelsefri. Var det möjligen Russell, som med sitt exempel med självrefererande mängder gjorde det?
Andreas

Svar:

Bertrand Russell brukar få äran av att ha upptäckt "Russells paradox", som visar på en motsägelse i Cantors mängdbegrepp från 1870-talet. Den uppstår genom att man betraktar mängden M av alla mängder som inte innehåller sig själva. Frågan är om M tillhör sig själv? Det står en del om Russells matematiska gärning på http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Russell.html. För att förstå hur svårt det är att visa att ett antal axiom är konsistenta, dvs inte ger några motsägelser då de kombineras, kan man betänka att ingen hittills har kunnat visa motsägelsefrihet i Zermelo-Fraenkels axiomsystem, som är en modern kandidat till beteckningen mängdlära. Frågor om matematikens grundvalar har för övrigt på senare tid blivit som en matematisk disciplin bland andra, kallad matematisk logik.

Joakim Petersson


18 april 1999 15.21.23
Kan man praktiskt sett utnyttja fraktaler?
Johnas Bofjäll

Svar:

Om du söker tillämpningar tycker jag att du skall vända dig till någon representant för naturvetenskaperna (inbegripet dataloger och teknologer). Som lekman tror jag att det finns tillämpningar inom tex fysik, biologi (vilken är lungornas fraktala dimension?) och datalogi. Se även frågan 17 mars 1997 16.57.52.

Joakim Petersson


18 april 1999 15.17.14
Jag har problem med att lösa diff-ekvationen y''+2x*y'+y^2=0. Jag skulle vara mycket tacksam om du kunde lösa denna algebraiskt.
Magnus Sundström

Svar:

Att lösa differentialekvationer är inte lätt! Det närmaste jag kommer en analytisk lösning nu är att om y(0)=c0 och y'(0)=c1 specificeras, så finns en entydigt bestämd lösning y(x)=c0+c1x+c2x2+... som konvergerar för alla (komplexa) x i en omgivning av x=0. Koefficienterna cn beräknas rekursivt ur (n+1)(n+2)cn+2= -2ncn- (c0cn+c1cn-1+...+cnc0), n=0,1,...

Joakim Petersson


18 april 1999 14.23.58
Hej! En allmän tredjegradsekvation är Ex^3+Fx^2+Gx+H=0. Om en lösning x1=a måste ekvationen kunna skrivas om på formen B(x-a)^3+C(x-a)^2+D(x-a)=0 Jag har därefter kommit fram till följande samband: C^3+(9EG-3F^2)*C=9EFG-27HE^2-2F^3 och D=(C^2-F^2)/(3E)+G Eftersom B=E kan man medelst substitutionen t=x-a få fram ekvationen Bt^3+Ct^2+Dt=0, vilken lätt kan lösas. Om koefficienterna E...H är heltal blir det följaktligen endast heltalskoefficienter i ekvationen C^3+... Min fråga är om man på något sätt kan utnyttja detta samband för att lösa allmänna tredjegradsekvationer då koefficienterna är heltal? Tack på förhand!
Tomas Torstensson

Svar:

Dina samband är riktiga (de följer om man löser ut roten a ur C=F+3Ea och sätter in i den ursprungliga ekvationen resp motsvarande uttryck för D), men tyvärr hjälper de inte oss att lösa någon tredjegradsekvation. Vad gäller algebraiska tal, se gärna tex frågan 4 februari 1999 14.53.34.

Joakim Petersson


18 april 1999 13.09.46
Om jag har en formel som ser ut så här: h+ V * sin(a)*t - (gt²)/2 = 0 Hur ska man gföra för att bryta ut t till t= utan att få 't' i högerledet? MVH
Hjalmar

Svar:

"Tricket" är att skriva ekvationen som t2+pt+q=(t+p/2)2+q-p2/4=0 (kvadratkomplettering). Om du känner till konsten att dra kvadratrötter så kan du nog lösa problemet och samtidigt visa en allmän formel för rötterna till en andragradsekvation.

Joakim Petersson


17 april 1999 17.43.36
hej! jag har två frågor som gäller matte E, komplexa tal. 1) visa att om absolut beloppet för z=2 så är talet z+(4/z) ett reellt tal. 2)bestäm den reella konstanten k i y=e^kix så att 4y"+y=0 det vore snällt om ni kunde läsa dem åt mig! tack!
Karin Mannesson

Svar:

1) Om z=x+iy (x,y reella) kan vi införa dess konjugat z*=x-iy. Då gäller för absolutbeloppet att |z|2=x2+y2=zz*. Om nu |z|=2 så är z+4/z=z+z*=2x, som är reellt.

2) En klassisk relation är eix=cos x+isin x, som ofta tas som definition av vänsterledet då x är ett reellt tal. Man kan då derivera exponentialfunktioner med imaginärt argument "på vanligt sätt". Vi sätter y=eikx och får att 4y''+y=(1-4k2)eikx=0 om k=1/2 eller k=-1/2.

Joakim Petersson


17 april 1999 15.14.36
*Hur många följder av längd n innehållande de fyra symbolerna 0, 1, 2 och 3 finns det som innehåller precis r stycken ettor?

Svar:

Det finns C(n,r)*3n-r sådana följder, för de r st ettorna kan placeras ut på C(n,r)=n!/(r!(n-r)!) olika sätt, och för varje sådant kan de övriga n-r platserna besättas med symbolerna 0, 2 och 3 på 3n-r sätt. Summerar man detta över r från 0 till n så får man det totala antalet följder 4n i överensstämmelse med den s.k. binomialsatsen.

Joakim Petersson


17 april 1999 15.10.11
Fråga 1. a) n tillhör Z+. Visa att produjten av n konsekutiva (på varandra följande) positiva heltal är delbar med n! ? b) Visa att summan av två konsekutiva udda primtal är en produkt av minst tre primfaktorer! fråga 2. Låt m och n vara positiva heltal och d deras största gemensamma delare. Sätt W=e^(i2PI/m). Visa att exakt d av de komplexa talen ( 1, W, W^2,..., W^(m-1) satisfierar ekvationen Z^n = 1! Fråga 3.(permutation) Kan du förklara skillnaden mellan att välja kulor med eller utan åteupplägning? Vad finns det för användbara formler?
Student

Svar:

1.a) Produkten dividerad med n! är (m+1)(m+2)..(m+n)/n!=(m+n)!/(m!n!)=C(m+n,n) och uttrycker antalet sätt att välja ut n objekt av m+n.

b) Summan är jämn, och vi kan skriva p(n-1)+p(n)=2p, där p(n-1)<p<p(n). Då kan inte p vara ett primtal, så det finns minst 3 faktorer.

2) Lösningarna till zn=1 är precis z=e2Pi*ik/n, k=0,..,n-1, medan wj=e2Pi*ij/m, j=0,..,m-1. Om m=dm', n=dn', där (m',n')=1, så är exponenterna lika precis då km'=jn', vilket är för k=0,n',..,(d-1)n', j=0,m',..,(d-1)m'.

3) Säg att vi skall ta r kulor ur en urna med n olika kulor. Med återläggning är det tillåtet att välja samma kula flera gånger. Användbara formler: Om hänsyn till ordningen tas, så finns med återläggning nr möjligheter, annars n(n-1)..(n-r+1). Om ordningen är irrelevant, så är antalet med återläggning C(n-1+r,r) och utan återläggning C(n,r).

Joakim Petersson


17 april 1999 12.20.07
Finns det någon effektiv ALGORITM som tar fram en ev. icke-parameterlösning på ett linjärt ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta? Tack på förhand!
Morgan Gunnarsson

Svar:

Det bästa sättet att lösa lineära ekvationssystem, både vid räkning för hand och maskinellt, är att använda Gausselimination, se 11 mars 1998 18.41.07 . Algoritmer för detta studeras inom numerisk analys och datalogi.

Joakim Petersson


17 april 1999 10.41.20
Hjälp mig att skissa grafeena y=a^x och y=a log x (obs i ekv. y= a log x står det ej a gånger log x, utan a:t skall vara upphöjt) i samma diagram där a) a = 2 b) a=½ c) a=3 d) a = 1/3
Anneli Karlsson, Västervik

Svar:

Jag nöjer mig med att rita kurvorna då a=2. En exponentialfunktion ax med a>1 växer mycket snabbt (just exponentiellt) och dess inversa funktion betecknas alog x.

image1JE.JPG

Joakim Petersson


16 april 1999 09.12.56
Hej! Jag har försökt lösa följande problem, men ej lyckats lösa och hoppas på eran hjälp! Tack på förhand! On the points of the curve with equation y=x3, an operation * is defined as follows. Let, for any two points A and B on the curve, A*B denote the reflection of the third intersection point of line AB with the curve about the origin. (If some two points involved in the definition coincide, then the tangent to the curve at the given point is considered instead of the connecting line.) Prove that operation * is associative.
John

Svar:

Vi skall visa att i själva verket c=a+b om A=(a,a3), B=(b,b3) och C=A*B=(c,c3). Det är ju då klart att operationen * är associativ, dvs att (A*B)*C=A*(B*C). Att linjen AB skär kurvan y=x3 innebär en tredjegradsekvation x3=y=a3+k(x-a), k=(b3-a3)/(b-a)=a2+ab+b2. Här är två rötter a och b kända (om A=B så är a=b en dubbelrot). Men summan av rötterna är noll eftersom koefficienten för x2 är noll, så AB skär kurvan i punkten C', där a+b+c'=0. Efter spegling i origo får vi att A*B=C= -C', där C ligger på kurvan och c=a+b.

Joakim Petersson


16 april 1999 08.51.42
Hur många överlevde TITANIC
Angelica och Suzanne

Svar:

Jag vet inte exakt, men ungefär 400 av de 1800 ombord. Jag hoppas att ni kan få svar någon annanstans.

Joakim Petersson


16 april 1999 01.12.49
Hur kan man med induktionsprincipen lösa följande uppgift: Låt Pn beteckna det n:te primtalet, n=1,2,3... Visa att Pn < 2^(2^n). Tacksam för svar.
Andreas Karlsson

Svar:

Detta bygger på Euklides bevis för att det finns oändligt många primtal: Antag att 2=p(1)<p(2)<..<p(n) är de enda primtalen som finns. Bilda talet p(1)p(2)..p(n)+1. Varje heltal 2,3,.. kan skrivas som en produkt av ett eller flera primtal. Men vårt tal ger resten 1 vid division med varje primtal p(1),..,p(n). Det måste då antingen vara ett nytt primtal eller kunna skrivas som en produkt av nya primtal, vilket ger en motsägelse. Resonemanget i beviset ger nu att p(n+1)<=p(1)p(2)..p(n)+1. Att p(n)<2^(2n) är klart för n=1 (2<4). Om detta antas vara sant för de n>=1 första primtalen får vi att p(n+1)<=p(1)p(2)..p(n)+1<2^(2+22+..+2n)=2^(2n+1-2)+1<2^(2n+1), vilket visar påståendet för p(n+1) och därmed allmänt. Sättet att använda induktionsprincipen här kallas fullständig induktion.

Joakim Petersson


16 april 1999 00.46.07
Fråga I I vilken/vilka punkter har ytan Z=f(x,y) sin brantaste lutning? f(x,y)= e^(x2-2y2) Fråga II åt vilket håll är lutningen som störst? Z=32/1+x2+y2
Tommy

Svar:

I) Gradienten är en vektor som pekar i den riktning i planet i vilken funktionsvärdena växer som mest, och dess belopp är ett mått på ytans brantaste lutning i punkten. Den ges av de partiella derivatorna till f. Om z=f(x,y)=exp(x2-2y2) så är gradienten grad f=(2x,-4y)exp(x2-2y2) och |grad f|2=(4x2+16y2)exp(2x2-4y2). Lutningen kan här bli hur stor som helst, tex för stora x och y=0.
II) Funktionen f(x,y)=32/(1+x2+y2) beror bara på avståndet till origo och har en topp där. Gradienten
grad f= -64(x,y)/(1+x2+y2)2 pekar alltid mot origo, så lutningen är som störst i den riktningen (den är för övrigt allra störst på cirkeln kring origo med radien 3-1/2).

Joakim Petersson


15 april 1999 17.23.12
hur många negativa tal kan man skriva med 8 bitar ordlängd?
Katta

Svar:

Att placera två tecken på åtta platser kan ske på 28 = 256 sätt. Men att talet är negativt bör kanske också kodas in och då får man bara sju platser kvar dvs 27 = 128. Sedan är nollan inte negativ så det blir 27 - 1 =127 tal.

Anders Dahlner


15 april 1999 17.12.45
Hej ! 1) Visa att för alla tredjegradskurvor som har en maximi- och en minimipunkt är andraderivatan 0 i den punkten som ligger mitt emellan maximi och minimipunkten. 2) Linjen y=kx+m skär kurvan y=x² i punkterna A och B. Bestäm koordinaterna för punkten P på kurvbågen AOB då triangeln APB har maximal area.

Svar:

1) Jag antar att du menar tredjegradspolynom. Låt y beteckna polynomet. Derivatan till y har två reella rötter säg a och b, där a < b. Således är y = c(x-a)(x-b) = cx2-c(a+b)x + c(ab) och y'' = 2cx -c(a+b). Detta ger att y'' = 0 precis om x = (a+b)/2.

2) Jag antar att du menar att A = (a,a2), B = (b,b2), a < b och att du vill maximaera arean av triangeln APB där P = (p,p2) och a<p<b.
Arean av triangeln APB ges av
A(p) = INTab((b+a)x - ab) - INTap((a+p)x - ap) - INTpb ((p+b)x - bp)
    = (b+a)b2/2 -ab2-(b+a)a2/2+a2b - (a+p)p2/2+ap2+(a+p)a2/2-a2p-(p+b)b2/2+b2p+(p+b)p2/2-bp2
    =  (a-b)p2/2 +(b2 -a2)p/2 +ab(a-b)/2 = -(b-a)(p2 - (a+b)p + ab)/2
som antar sitt maximum i (a+b)/2. Den största arean är alltså A((a+b)/2).

Anders Dahlner


15 april 1999 16.33.35
Hej ! Bestäm gränsvärdet av lim n->oänd. A(n)/n , där a) A(n) = Summan av alla k , då k går från 1 till n. Visa olikheten n² <= 2^n gäller för 4,5,6 ... med induktion.

Svar:

Summan A(n) = 1 + 2 + ...+ n kan man beräkna enligt följande:
2A(n) = (1 + n) + (2 + (n-1)) + (3 + (n-2)) + ... + (n + 1) = n(n+1),
så att A(n) = n(n+1)/2.
Det följer att A(n)/n = (n+1)/2 som går mot +oändligheten då n->+oändligheten.

Basen n=4: 42 = (22)2 = 24.
Induktionssteget: Antag att n2 <= 2n för något n >= 4. Då är (n+1)2 < (sqrt(2) n)2 = 2n2 <= 2*2n = 2n+1.
Ty n+1 < sqrt(2) n, gäller precis om 1+1/n < sqrt(2), vilket gäller om n >= 3.

Anders Dahlner


15 april 1999 13.57.44
Snälla hjälp mig.Redogör så utförligt som möjligt. Tack! Beräkna arctac ½ + arctan 2. Beräkna arccos 3/5 + arxcxos 4/5.
Annika Ahl i Vadstena

Svar:

Jag vet inte hur arctac och arxcxos definieras.

Anders Dahlner


14 april 1999 22.26.18
vad är en eliminerad budget
Lennarth Sanfridsson

Svar:

Frågan bör ställas till en ekonom.

Anders Dahlner


14 april 1999 22.18.14
Visa att talen a och b kan väljas så att y = (ax + b)e^x blir en lösning till diffrentialekvationen y'+ 2y = xe^x ,ange sedan diffrentialekvationens allmänna lösning.
Mattias

Svar:

Om y =  (ax + b)ex så är y' = aex + (ax+b)ex, så
y' +2y = aex + 3(ax+b)ex = (a+3b)ex + 3axex.
Alltså är y' + 2y = xex om a+3b=0 och a = 1/3, dvs om a = 1/3 och b = - 1/9.
Allmänna lösningen får vi om vi vet när y' + 2y = 0, detta gäller precis om y = Ce-2x, där C är en konstant (vilken som helst).
Alltså är den allmänna lösningen y = (x/3-1/9)ex +  Ce-2x.

Anders Dahlner


14 april 1999 21.17.20
Hur bevisar man att talet pi:s decimalutveckling verkligen styrs av en slump? Visserligen kan man räkna ut många decimaler och SE det, men går det att bevisa? Hur utvecklar man följande uttryck: (x+y^2+z^3-p^2-q))^4 Tack!
Tetris

Svar:

Med att pi's decimalbråksutveckling styrs av en slump tror jag att du menar att pi ej är rationell, detta är svårt att visa. Se  19 januari 1999 13.35.51 .
Vi är inte till för att beräkna uttryck som dessa: (x+y2+z3-p2-q)4. Vad skall du med det till?

Anders Dahlner
 


14 april 1999 18.08.39
Jag har tre problem ur "Analys för ingenjörer" som jag inte klarar av. Kan ni hjälpa mig, vore jag mycket tacksam! 1) Beräkna exakta värdet av sin(x+2y) om x och y är två vinklar mellan 0 och pi/2 sådana att sin x = 0.5 och sin y = 0.3 2) Lös ekvationen 9^x - 3^(x+1) +2 = 0. 3) Visa att cos^2x - cos^4x = sin^2x - sin^4x. (Cos upphöjt till 2 gånger x minus cos upphöjt till 4 gånger x är lika med sin upphöjt till 2 gånger x minus sin upphöjt till 4 gånger x.)
Lena Andersson, Västervik

Svar:

1) sin(x+2y) = sin(x)cos(2y) + sin(2y)cos(x) = sin(x)(cos2x - sin2x) +2sin(y)cos(y)cos(x)
                  = sin(x)(1-2sin2x) +2sin(y)(1-sin2y)1/2(1-sin2x)1/2,(positiva rötter eftersom cosinus är positiv på intervallet i fråga). Här kan du stoppa in dinna tal och räkna ut vad det blir.

2) Sätt t = 3x , och du får andragradsekvationen t2 - 3t + 2 = 0, som du kan lösa. Om t1 och t2 är rötterna till denna ekvation så löser du ut x till ln t1/ln 3 och ln t2/ln 3 vilka är giltiga rötter till den första ekvationen precis om t1 och t2 är > 0.

3) Texten efter formeln är något förvillande... Vi har att
cos2x - cos4x = 1-sin2x - (1 - sin2x)2 = 1 - sin2x - (1 - 2sin2x + sin4x)
                     = 1 - sin2x - 1 + 2sin2x - sin4x = sin2x - sin4x.

Anders Dahlner


14 april 1999 18.02.01
Hej! Kan ni hjälpa mig med två problem angående derivering. Problem 1) Beräkna derivatan av arcsin2x roten ur(1-x^2), där x<(1/roten ur 2) Problem 2) Beräkna f´(0) om f(x)= roten ur((1+x^3)(x-5)^7(2x+7)^5)/((x^2+2)^3)
Lena Andersson, Västervik

Svar:

1) Du måste mena arcsin(2x (1-x^2)1/2).
arcsin(2x (1-x^2)1/2)' = (1/(1 - (2x (1-x^2)1/2)2)1/2 )*(2x(1-x^2)1/2)' =
                                = (1/(1- 2x2(1-x2)))*(2(1-x^2)1/2 -2x2(1-x^2)-1/2).

2) Om f(x) = [((1+x3)(x-5)7(2x+7)5)/((x2+2)3)]1/2, så är
f '(x) = 3x2(x-5)7(2x+7)5/(x2+2)3/2 +  7(1+x3)(x-5)6(2x+7)5/(x2+2)3/2 +
           + 10(1+x3)(x-5)7(2x+7)4/(x2+2)3/2 - 3(1+x3)(x-5)7(2x+7)5(x2+2)2x/(x2+2)9/2
så f '(0) = 7(-5)6(7)5/23/2 + 10(-5)7(7)4/23/2 = -37515625/23/2.

Anders Dahlner


14 april 1999 14.47.57
För att räkna ut egenvärdenena för en enkel nxn matris A kan man använda sig av den vanliga formeln det(A-lamda*E) = 0 och räkna för hand. Men om man har större matriser blir det för jobbigt. Finns det nått bra numeriskt sätt att räkna ut egenvärena och egenvektorerna som man lätt kan implementera i ett datorprogamm ?
Johan Pettai

Svar:

Inte exakt, detta är vad AltaVista fann. Annars bör du fråga någon som jobbar med numerisk analys.

Anders Dahlner


14 april 1999 13.02.03
Hej! För vilka x konvergerar sum(1-sqrt(cos(1/n))*x^n,1 .. infinity)?
Johan Sandberg

Svar:

Serien konvergerar för de x med
|x| < limn->oändligheten (1-sqrt(cos(1/n)))-1/n = 1.
Men även för x = -1, eftersom koefficienterna är > 0 och går mot 0.

Anders Dahlner


14 april 1999 10.41.06
Skissa grafen till funktionen... y=(x^2+3x-1)/(x-2) ange lokala extrempunkter,asymtoter och intervall där y är konvex resp konkav.
Eva Liljegren

Svar:

Vi har att
y = (x2 + 3x - 1)/(x - 2) = (x2 - 2x + 5x - 1)/(x - 2)
   = x + (5x - 1)/(x-2) = x + (5x - 10 + 9)/(x-2) = x + 5 + 9/(x - 2).
Man ser att funktionen f(x) = x + 5 är assymptot i både +oändligheten och i -oändligheten, och att man har en lodrät assymptot i x = 2.

Derivatan ges tydligen av
y'(x) = 1 - 9/(x-2)2,
alltså är y'(x) = 0 precis om x= -1 eller om x = 5.

Andra derivatan ges av
y''(x) = 18/(x-2)3,
Således är y'' > eller lika med 0 precis om x är större eller lika med 2,
och y'' < eller lika med 0 precis om x är mindre eller lika med 2.
Alltså är y konvex i intervallet [2,+oändligheten) och konkav i intervallet (-oändligheten,2], speciellt har  y lokalt minimum i x = 5 och lokalt maximum i x = -1.

Ur denna information kan man skissera grafen hyfsat.

Anders Dahlner


14 april 1999 09.26.10
Hej, jag och en kompis skriver ett litet arbete om ny teknik. Vi skriver om GPS och har hittat ganska mycket fakta. Problemet är att vi behöver veta lite om hur man räknar ut de två skärningspunkterna som tre överlappande sfärer blidar. En formel, med förklaring vore mycket uppskattat! Tyvärr måste jag be er att skynda er lite, vi har en ganska snäv tidsram. Tack på förhand /Olof Jonmarker NV1a Spyken
Olof Jonmarker

Svar:

Ni bör specificera ekvationerna för era sfärer, om man har tre sfärer så kan skärningen vara
1) en sfär, 2) en cirkel, 3) två punkter, 4) ingenting.

Anders Dahlner


14 april 1999 09.14.58
Hej! Jag undrar om ni kunde hjälpa mig med följande fråga: In a regular pentagon, v1, v2, ..., v5 denote the vectors from the centre to the vertices of the pentagon, respectively. Given that integers k1, k2, k3, k4, k5 satisfy k1v1+k2v2+...+k5v5=0, prove that k1=k2=...=k5.
John

Svar:

Vi antar att vektorerna v1, v2, v3, v4, v5 ligger i denna ordning på pentagonen.
Reguläriteten ger att
(1)   v1 + v2 + v3 + v4 + v5 = 0, och att
(22)   vj + vj+1 = cvj+3,    j = 1,...,5
där v6 = v1, v7 = v2, v8 = v3, och där c = -2cos(2*Pi/5) = -2/(1+51/2) (som man får om man betraktar vektorerna som femte enhetsrötter, dvs rötter till ekvationen z5 = 1).

Antag nu att
(3)  k1v1 + k2v2 + k3v3 + k4v4 + k5v5 = 0, där kj är heltal för j = 1,...,5.
Om vi multiplicerar (1) med k1, och tar skillnaden mellan resultatet och (3) får vi
(4)  (k2 - k1)v2 + (k3 - k1)v3 + (k4 - k1)v4 + (k5 - k1)v5 = 0.
Om man nu använder ekvationerna (22), (24) och (4) så har man tre ekvationer och fyra parvis linjärt oberoende vektorer. Detta leder till att om talen kj, j=1,...,5 är olika så kan konstanten c skrivas som en kvot av heltal vilket strider mot att c är irratonell.

Anders Dahlner


14 april 1999 00.49.49
Vad är en analytisk funktion ?
Lars Berglund

Svar:

Ett polynom är en funktion p(x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0. En analytisk funktion är en generalisering av polynom där summationen kan vara oändlig. En funktion är analytisk i en punkt a om f kan skrivas som en potensserie i in omgivning till a:
f(x) = a0 + a1(x - a) + a2(x-a)2 + . . . = SUMn = 0oändligheten an(x-a)n.

Analytiska funktioner har många trevliga egenskaper, man kan till exempel derivera dem hur många gånger som helst. När man studerar analys i en komplex variabel så kommer analytiska funktioner på ett mycket naturligt sätt in, ty en funktion f är analytisk precis om den är deriverbar med avseende på den komplexa variabeln. Alltså gäller det att om f beror på en komplex variabel och är deriverbar i denna så är f deriverbar hur många gånger som helst.

För mer information rekomenderar jag  Complex Variables and Applications av Churchill, Ruel.

Anders Dahlner


13 april 1999 20.43.48
Matematik tillämpad på nationalekonomi, närmare bestämt följande problem, som bl a Walras funderade på: Hur bevisar man existensen av jämviktspriser under antagandena att individernas efterfrågefunktioner är homogena av grad noll och kontinuerliga? Jag såg ett informellt "bevis" i Nicolson, Walter "Microeconomic Theory. Basic Principles and Extensions" ss. 483-488 (där man bl a försöker utnyttja "Brouwer's Fixed-Point Theorem", men skulle gärna vilja se ett mer strikt, formellt bevis. Det skulle också vara intressant att se beviset för "Brouwer's Fixed-Point Theorem", som det kallas på engelska (vet ej vad det heter på svenska). Tack på förhand
Frederik Lundtofte

Svar:

Ekonimifrågan kan jag inte besvara då jag inte är insatt i termerna. Brouwers fixpunktssats säger att om f är en kontinuerlig avbildning från Bn till Bn, där Bn är enhetsbollen i Rn, så finns det ett x så att f(x) = x (en fixpunkt).
Beviset kräver dessvärre en del algebraisk topologi som vi inte kan förutsätta att alla kan och kan därför inte visas här.  Läs Armstrongs bok  Basic topology - här finns även ett lätt bevis för dimension ett.

Anders Dahlner


13 april 1999 12.21.39
Hej! Kan du förklara hur man ska tänka när man ritar upp ett Hasse-diagram skulle jag bli glad.
Tuula i Gävle

Svar:

Detta kan endast göras om partialordningen är ändlig. Tag en punkt x i mängden titta på de y med x<y, och sådana att det inte finns något z med x<z<y, skriv upp dessa y på en rad ovanför x och dra en linje från varje y till x. Denna process utförs på alla element i mängden och du får ditt Hassediagram.

Anders Dahlner


13 april 1999 11.20.10
Hejsan! Jag har ett problem i tillämpad matematik, jag hoppades ni skulle kunna hjälpa mig med. I en glasbehållare med fuktad sågspån görs växtförsök med frön. Med behållaren stillastående några dygn kan man iaktta hur grodden växer praktiskt taget längs en lodrät linje. Om fröet placerats i punkten x = a, y = 0, följer grodden således kruvan x = a. Anordningen placeras nu istället på en horisontell skiva som under några dygn hålls i rotation kring y-axeln med konstant vinkelhastighet (omega). Beräkna ekvationen för den kurva som grodden nu följer.
Antisa Bronic

Svar:

Säg att fröet har vuxit f(t) cm i höjdled efter tiden t, då kommer kurvan att bli (a cos(wt),a sin(wt),f(t)) - där w = omega.

Anders Dahlner


13 april 1999 11.00.24
Tjenare! Skulle vilja fråga er några saker! Jag hittade i en matematisk handbok några integraler som kallades Fresnels integraler. De såg ut följande: C(x)= 1/sqrt(2Pi) * INT(cos(t)/sqrt(t)) dt, INT gränser från 0 till x. S(x)= 1/sqrt(2Pi) * INT(sin(t)/sqrt(t)) dt, INT gränser från 0 till x. Jag vet att primitiva funktioner till integralerna kan inte uttryckas med hjälp av elementära funktioner, men jag är interesserad var dessa integraler förekommer. Jag skulle också vara tacksam om ni visade hur dessa integraler kan räknas fram analytiskt, t.ex. när integrations gränserna går från noll mot oändlighet.
Antisa Bronic

Svar:

Integralerna förekommer i både fysik och i matematik. För att räkna ut
INT0oändligheten(sin x)/sqrt(x) dx = 2*INT0oändligheten sin (x2) dx
och
INT0oändligheten(cos x)/sqrt(x) dx = 2*INT0oändligheten cos (x2) dx
så använder man lämpligen residykalkyl.
Integrera exp(-z2) på randen av sektorn S(R) = {z = r*exp(it) :  0 < r < R, 0 < t < Pi/4}, denna  rand består av linjesegmetet L1 (0,R) på x-axeln, cirkelsegmentet C från punkten (R,0) till punkten (R/sqrt(2),R/sqrt(2)) (i positivt led) samt linje linjesegmentet L2 från (R/sqrt(2),R/sqrt(2)) till origo.
På L1 får vi
INT(exp(-z2))dz = INT0R(exp(-r2))dr  -> Pi1/2/2  då R -> oändligheten.
På C får vi
INT(exp(-z2))dz = INT0Pi/4(exp(-R2exp(it) )) iR*exp(it) dt  -> 0  då R -> oändligheten.
På L2 får vi
INT(exp(-z2))dz = -INT0R(exp(-r2exp(i*Pi/2) ))exp(i*Pi/4) dr
                         = -sqrt(2)*INT0R(exp(-ir2)(1+i) dr
                         = -sqrt(2)*INT0R(cos(r2)-isin(r2))(1+i) dr
                         = -sqrt(2)*(1+i) INT0R cos(r2) dr -sqrt(2)*(1-i) INT0Rsin(r2) dr.
Men enligt Cauchys sats är INTS(R)exp(-z2)dz = 0. Så
(1+i) INT0R cos(r2) dr+(1-i) INT0Rsin(r2) dr -> Pi1/2/(2*sqrt(2)) då R->oändligheten
tar vi imaginärdelen, så får vi att
 INT0R cos(r2) dr    och  INT0Rsin(r2) dr   har samma gränsvärde då R->oändligheten
tar vi realdelen så får vi att
 INT0R cos(r2) dr  -> Pi1/2/(4*sqrt(2))  då R -> oändligheten.

Ur detta kan man lösa ut vad S(x) och C(x) går mot då R -> oändligheten.

Anders Dahlner


13 april 1999 10.58.48
Hej! Jag hittade ett problem i en bok (Adams, Calculus), som jag ej kunnat lösa. Undrar om ni kan hjälpa mig? A wine glass in the shape of a right-circular cone of height h and a semi-vertical angle c is filled with wine. Slowly a ball is lowered into glass, displacing wine and causing it to overflow. Find the radius R of the ball that causes the greatest volume of wine to overflow out of the glass. \-----¢ / \ h| / \ | / \ |c / \ | / \ / | | | | | ---------
marinac

Svar: Se 14 maj 1997 22.28.59.

Kjell Elfström


13 april 1999 10.58.04
Hej! Jag håller på med ett projektarbete i gymnasiet om strålningsprocesser och jag tänkte härledda Stefan-Boltzmanns lag ur Plancks strålningslag. Jag kommer då till en oriktig integral vars värde jag kan (ur tabeller), men jag vet inte hur de fått värdet. Jag har försökt både med parameterisering och partiell integrering (dock inte residualkalkyl), men misslyckats. Lyckades få approximativt värde genom att serie- utveckla integranden. Jag undrar om ni skulle vara vänliga och lösa denna oriktiga integral eller åtminstdone ge mig tips. Integralen lyder följande: I = INT(x^3/(e^x-1))dx Integrationsgränserna går från noll mot oändlighet. Integralen har värdet (Pi^4)/15 Tack på förhand MVH Marko Marin
Marko Marin

Svar:

Skriv
x3/(ex-1) = x3e-x/(1-e-x) = x3e-x SUMMAn=0oändligheten e-nx = SUMMAn=0oändligheten x3e-(n+1)x .
Om vi integrerar detta från 0 till oändligheten, så kan vi kasta om ordningen på summan och integralen (absolutkonvergens).
Nu är (partial integrera)
INT(x3e-kx) = (-k)-1x3e-kx - 3(-k)-1 INT(x2e-kx)
                  = (-k)-1x3e-kx - 3(-k)-2x2e-kx + 6(-k)-2 INT(xe-kx)
                  = (-k)-1x3e-kx - 3(-k)-2x2e-kx + 6(-k)-3 xe-kx- 6(-k)-3 INT(e-kx)
                  = (-k)-1x3e-kx - 3(-k)-2x2e-kx + 6(-k)-3 xe-kx- 6(-k)-4 e-kx
Sätter vi in gränserna får vi
INT0oändligheten(x3e-kx) = 6k-4.
Alltså din integral är lika med
6*SUMMAn=1oändligheten n-4.
Serien SUMMAn=1oändligheten n-4 är känd och kan beräknas till PI4/90, men för att göra detta behöver man använda lite mer avancerad matematik än gymnasiet erbjuder, t ex Fourieranalys: Parservals formel applicerad på funktionen f(x)=x2 i intervallet (-PI,PI).

Anders Dahlner


13 april 1999 10.56.21
Hej! Vad undrar vad är L. S. Pontrjagins maximum princip i optimal styrningen och vilket samband har den med variationskalkylen.
marinac

Svar:

Jag är inte insatt i detta men det handlar om att finna kurvor som minimerar vissa integraler.

Anders Dahlner


13 april 1999 10.53.37
Hej! Jag undrar om ni kan ge mig lite information om Sturms teorem och Sturms funktioner? Jag har hört att den bl.a. används för att bestämma antalet rötter till ett polynomfunktion i ett slutet intervall. Dessutom undrar jag om satsen används i något annat område av matematiken eller naturvetenskaperna.
marinac

Svar: Sturms sats handlar om antalet reella rötter till en algebraisk ekvation. Se Eric's Treasure Troves of Science.

Kjell Elfström


13 april 1999 10.53.03
Hej! Jag undrar om ni skulle kunna härleda inverser till hyperboliska funktioner. Exempelvis så skriver Bronstein och Semendjajev i sin matematiska handbok, att inverser till hyperboliska funktioner är inget annat än arean av en hyperbel (bara högra sidan). Jag är interesserad av denna härledning. De kallar också arcustangen hyperbolicus för area tangens. Är det egentligen ett mera korrekt namn på inversen till tanh?
Antisa Bronic

Svar:

Vi har att sinh(x) = (ex - e-x)/2 och cosh(x) = (ex + e-x)/2.
Vi vill lösa ut x ur ekvationen y =  (ex +se-x)/2, där s=-1 eller 1
Dvs vi vill lösa ekvationen e2x-2exy+s=0 <=> (ex-y)2 = y2 - s <=>
ex - y = (y2 - s)1/2
eller
ex - y = -(y2 - s)1/2,

x= ln (y - (y2 - s)1/2),
eller
x= ln (y + (y2 - s)1/2)
Man inser lätt att den första lösningen är falsk eftersom gränsvärdet då y-> +oändligheten skall vara +oändligheten.

Man har att cosh2(x) - sinh2(x) = 1 vilket beskriver en hyperbel, samt att om man ritar ut linjerna från origo till punkterna (cosh(x),sinh(x)) och (cosh(x),-sinh(x)) på hyperbeln så innesluter dessa linjer tillsammans med hyperbeln ett område vars area är lika med x (där jag antog att x>0).

Namnet arcustangens hyperbolicus är klassiskt.

Anders Dahlner


13 april 1999 10.52.05
Hejsan! Jag håller på med ett specialarbete i matematisk analys. Jag läste i en rysk mattehandbok om en märklig funktion som kallades impuls funktionen. Denna funktion förekom i samband med ordinära differential- ekvationer, som löstes med hjälp av Carson-Heaviside transform teori. Nu undrar jag vad är egentligen denna impuls funktion för något,och jag undrar också ni skulle kunna förklara denna Carson-Heaviside transform och kanske gemföra den genemot L-transformat, Fourier-transformat osv. Dessutom skickar jag med ett problem som de löste i handboken, med hjälp av dessa. Exempel1. Hitta rörelselagen för en materiell punkt med massan m under verkan av momentan impulsen A, som verkar i momentet t=0. Start-koordinaten är x0 = 0, och start hastigheten är xo(prim) = 0. ?(t) står för impulsfunktionen ¨x är andra derivatan. Lösning: Rörelseekvationen blir m¨x = A?(t). Hjälpekvationen blir mp^2'x = Ap, varifrån fås 'x = A/(mp), dvs. x = At/m. Dessutom undrar jag vad symbolerna ÷ och -> står för i teorin för ordinära differentialekvationer, t.ex. Borels teorem.
Marko

Svar:

Du bör specificera vad du menar med impuls funktion  (dirac-delta?), samt hur Carson-Heaviside transformen definieras. Vad symbolerna ÷ och -> vet jag inte, beskriv gärna i vilket sammanhang som du sett dessa.
 

Anders Dahlner


13 april 1999 10.48.10
Hej! Jag skriver ett specialarbete i matematik, och jag skulle vilja be er om ni kunde ge mig lite information om Cauchys metod vid lösningen av lineära differentialekvationer.
Filip

Svar:

Jag antar att du avser den metod som brukar kallas Eulers stegmetod eller Cauchy-Eulers polygonmetod. Se svaret på frågan från 7 december 1998 10.29.43.

Andreas Axelsson


13 april 1999 10.47.23
Hej! Jag undrar vad är Legendres polynomer och var de används. Jag hörde att de användes vid bestämningen av gravitationsfälten kring sfäroider?
Filip

Svar:

(Pluralis av polynom är polynom)
Legendrepolynomen är, såsom som på en konstant, den följd av polynom som fås om man ortogonaliserar monomen m a p den naturliga skalärprodukten på L2[-1,1]. Sök på Legendre Polynomial i Eric's Treasure Trove för en utförlig beskrivning.

Andreas Axelsson


13 april 1999 10.46.32
Hej! Jag håller på med ett specialarbete i gymnasiet. Ämnet heter differential- och integralkalkyl. I samband med mitt arbete har jag presenterat några tillämpningar från fysiken och mekaniken, som löses med hjälp av analys. Men det är ett problem jag inte kunnat lösa. Jag tror nämligen att den skulle enklast lösas med hjälp av dubbelintegraler. Problemet handlar om hur mycket energi behövs det för att totalt spränga Jorden i bitar. Jag citerar: "When the first nuclear weapons were detonated, concern was expressed in some quarters that a huge nuclear chain reaction would be set up, blowing the earth to pieces. Show that a energy that would be required to disassemble the earth completely into pieces totally separate form each other is (3/5)GMe^2/re. (e står för Earth) Hint: Imagine that layers of the earth are peeled off one by one like layers of an onion." Så här långt har jag kommit: massan av ett infinitesmalt koncentriskt skal är: dm = (rho * 4Pi * r^2) * dr. kraften mellan koncentriska skalen och jorden är: F(r)= G[dm(M-dm)]/r^2 => F(r)= G(Mdm)/r^2, jag försummade differentialen i kvadrat. Gravitationsfältet från Jorden minskar med avtagande radie, dvs. det kommer krävas mindre energi att skalen avlägsnas öändligt bort från ytan. Jag tror nu att man skulle ha användning av en dubbelintegral. Den första som går från r till 0, och den andra från r mot oändlighet. Längre fram kommer jag inte. Jag skulle vara väldigt tacksam om ni kunde hjälpa mig med detta problem. Tack på förhand! MVH Marko Marin, Tumbagymnasium
Marko Marin

Svar:

Löst sagt, tekniken som används i fysiken för att lösa problem med differentialer är att man styckar upp hela processen i fråga (oändligt) många (infinitesimala) steg, där man i varje infinitesimalt steg (till första ordningen) kan approximera förloppet med ett enklare. Låt oss se på ditt exempel:
Inför storheterna
rho: Jordens densitet
G: gravitationskonstanten
M: Jordens totala massa
R: (Hela) Jordens radie
r: variabeln som beskriver jordens radie vid en viss tidpunkt under "avskalningsprocessen"
m: på samma sätt för massan
Det är smidigt att använda sig av begreppet gravitationspotential V, vilket är den potentiella energin/ testladdningens massa (läs i lämplig fysikbok om begreppet är obekant). Då jorden har massa m ger den en gravitationspotential i en punkt på avstånd d som är
V(d)= -Gm/ d
Vi tänker oss nu att ett skal med massa dm avlägsnas från ytan till oändligheten. För detta krävs en energi dE= 0*dm- V(r)*dm, och integrerar vi ihop detta får vi att den totala energiåtgången blir
E= INTEGRAL0R (-V(r)) dm.
Sätt nu in -V(r)= G(rho*4pi*r3/3)/r och dm= rho*4pi*r2dr och integrera så får du
E= G(4pi*rho)2R5/15= 3/5*GM2/R.
(Någon dubbelintegral behöver du inte ta till här.)

Andreas Axelsson


13 april 1999 10.38.47
Tjenare! Jag har ett problem jag inte kunnat lösa. Hoppas ni kan hjälpa mig. Tack på förhand! En liten ring kan glida utan friktion längs en ståltråd, som är böjd till en viss form. Tråden placeras i ett vertikalplan (y-axeln riktad nedåt). Man vill att trådens form skall vara sådan att ringens hastighet i varje ögonblick har den konstanta vertikala komposanten vo. Bestäm trådens ekvation, dvs. ett samband som satisfieras av x- och y-koordinaterna för varje punkt på tråden, om tråden placeras så att den tangerar y-axeln i origo.
Marko

Svar:

Låt ringen ha farten v= v(y). Energiprincipen ger
mv02/2= mv2/2- mgy.
Men Pythagoras sats visar att v2= v02+ (v0x'(y))2,
vilket ger att
x'= sqrt(2gy/v02),
vilket integrerat och kvadrerat ger
9v02x2= 8gy3.

Andreas Axelsson


13 april 1999 08.28.31
Jag har en tank som ligger ner.Den är 2500 mm lång och diametern är 1105 mm.och den är cylinderformad. Jag måste veta hur många centimeter från botten räknat det blir om jag slår i 100 liter vatten respektive 200,300,400,500,600,700,800,900,1000,1100,1200 resten kan jag räkna ut själv för vid 1200 liter har man kommit till mitten sedan är det ju bara att räkna spegel vänt tillbaka
greppet@swipnet.se

Svar:

Låt oss först beräkna arean A som vattnet ligger an mot vid en av de cirkulära ändarna givet vattenhöjden h. Kalla skärningspunkterna mellan vattenytan och cirkeln för P och Q, mittpunkten på PQ för R och cirkelns centrum för O. Då har OR längd r-h, OP och OQ längd r. Kalla vidare längden av RQ (= RP) för a och vinkeln QOR (=POR) för v. Vi får då ekvationerna
A= pi*r2(2v/2pi)- a(r-h),
a2= r2- (r-h)2,
cos(v)= (r-h)/ r.
Låt oss av räknemässiga skäl byta ut variabeln h mot x= (r-h)/ r. Lite algebra ger då
A(x)= r2(arccos(x)- x*sqrt(1-x2)).
För att beräkna vattenhöjden h gör du så här:
dela volymen med tankens längd, vilket ger A. Lös ut x ur ekvationen ovan (förslagsvis numeriskt), vilket ger h= r(1- x).
Vid lösningen av ekvationen kan du ha nytta av att observera att A'(x)= -2*sqrt(1-x2) och att då x < 0.5 approximerar pi/2- 2x väl funktionen A(x).

Andreas Axelsson


12 april 1999 23.38.24
Hej. Jag har länge försökt bevisa följande: Anta att vi vet vilken rest ett tal ger vid divition med p och vid divition med q. Då vet vi också vilken rest det ger vid divition med N = p * q förutsatt att P [ej är lika med] q och p och q är primtal. Jag har försökt med att blanda in talet b som ger samma rest som a vid divition med p och q. Och sedan visa att a-b är delbart med både p, q och p*q. Men kommer inte längre än att visa att a och b ger samma rest vid divition med p*q. Skulle verkligen uppskatta om du kunde visa att det även ger samma rest som p och q.
Jagur Carlsson

Svar:

Antag att n0 har resten r vid division med p och resten r' vid division med q, dvs det finns heltal a och b så att n0 = ap + r = bq + r', där r och r' är större eller lika med 0 samt r < p och r' < q.

(1)  Påstående: de tal n som har resten r vid division med p och resten r' vid division med q, är på formen n=n0+kpq för något heltal k. (Omvänt är det klart att ett sådant tal kommer att ha dessa rester vid divison med p resp. q.)
Att detta är sant ser man lätt genom att titta på n - n0 som kommer att ha resten 0 vid division med p eller q. Detta betyder att både p och q delar n - n0 så både p och q finns med i primtalsfaktoriseringen av n-n0, varför n - n0 = kpq för något heltal k.

Delar vi nu ett tal n med resten  r vid division med p och resten r' vid division med q, så gäller enligt (1) att om vi delar med pq så får vi:
n/pq = n0/pq + heltal,
det vill säga n och n0 har samma rest efter division med pq.

Anders Dahlner


12 april 1999 23.23.31
Vi har en graf med ett antal noder. Somliga av dessa noder är märkta med bokstaven A de övriga är märkta med bokstaven D. Samtliga noder märkta A är löv medan noder märkta D både kan vara löv och noder inuti grafen. Grafen kan men behöver inte vara ett träd. Noderna kan alltså vara förbundna kors och tvärs. I varje nod finns ett antal soldater.A-noderna strider med D-noderna. Man kan bara strida med grannar. Striden utkämpas med tärningar.A-soldaterna får slänga tre tärningar vid varje batalj men D-soldaterna bara får slänga två. Man jämför A-soldaternas högsta slag med D-soldaternas högsta slag. Om A-soldaterna har slagit högre förlorar D-soldaterna en man. Är det lika eller om D-soldaterna slagit högre förlorar A-soldaterna en man. Samma sak görs med båda sidors näst högsta tärning. När soldatantalet i en A-nod är 3 får de bara strida med två tärningar. Vid 2 soldater används 1 tärning och vid 1 soldat får de inte anfalla. Om D-sidan bara har 1 soldat får den bara strida med en tärning annars med två. Om någondera sidan strider med en tärning kan bara en soldat förloras i endera noden. Om soldaterna tar slut i en D-nod måste den anfallande A-noden skicka över minst en soldat. Sannolikheten för att en A-nod ska lyckas erövra en D-nod givet antalet soldater i de bägge noderna går att få fram genom att göra ett sannolikhetsträd träd där alla möjliga senarion finns med och addera de sannolikheter som är till A-nodens favör. Med ökande antal soldater blir emmelertid detta träd snabbt ohanterligt stort. Min första fråga är om det finns något bättre sätt att räkna ut sannolikheten för att en A-nod ska kunna erövra en D-nod än genom att göra ett sannolikhetsträd? Min andra fråga är om det finns något annat sätt än att göra ett sannolikhetsträd för att räkna ut sannolikheten för att D-noderna ska kunna erövra hela grafen?
Micke L

Svar:

Du bör specificera reglerna mer noggrant. Hur många soldater står i varje nod? Hur ser grafen ut? etc. Annars är komplexiteten hos problemet alldeles för stort för att vi skall kunna hantera det under rimlig tid.

Anders Dahlner


12 april 1999 22.08.36
Hej. Jag håller på med självstudier i elementär linjär algebra och har kört fast på problemet: Anpassa med minsta kvadratmetoden ett andragradspolynom y=ax2+bx+c till punkterna (0,3);(1,1);(2,7);(3,14). Tacksam för hjälp för jag har ingen lärare att rådfråga.
c-e.andersson@hem-pc.bip.net

Svar:

Vi vill finna a,b och c så att
m(a,b,c) = (y(0) - 3)2 + (y(1) - 1)2 + (y(2) - 7)2 +(y(3) - 14)2
             = (c - 3)2 + (a + b + c -1)2 +(4a + 2b +c -7)2 + (9a + 3b + c -14)2,
blir minimal där y(x) = ax2 + bx + c.

Undersök när de partiella derivatorna m'a, m'b, m'c, är noll:
m'a =2(a + b + c -1) + 8(4a + 2b +c -7) + 18(9a + 3b + c -14) = 0
är ekvivalent med att
98a+36b+14c = 155,
m'b =2(a + b + c -1) + 4(4a + 2b +c -7) + 6(9a + 3b + c -14) = 0
är ekvivalent med att
36a + 14b + 6c = 57,
m'c =2(c - 3) + 2(a + b + c -1) + 2(4a + 2b +c -7) + 2(9a + 3b + c -14) = 0
är ekvivalent med att
14a + 6b + 4c =25.
Matrisräkning ger att
 c =  53/20
 b = -57/20
a = 9/4.

Anders Dahlner


12 april 1999 20.47.35
Hur räknar man ut längden på tex en avbruten elstolpe om den del som står kvar är 6,6 m och vinklarna är 90,35 och 55 grader.
Martin

Svar:

Är det så att om S1 är den del av stolpen som står kvar och S2 är den andra delen av stolpen, så vilar S2 mot S1 och mot marken, så att marken mellan stolparna bildar en triangel med inre vinklar 90,35 grader mellan marken och S1 samt 55 grader mellan marken och S2. Om detta gäller så ger sinussatsen att
|S1|/sin(55) = |S2|/sin(90,35), där |Si| är längden av Si.
Alltså längden av S2 är |S1| sin(90,35)/ sin(55) = 6,6 sin(90,35)/ sin(55) = (ungefär) = 8.056961953, således var längden (av den delen av ) stolpen (som var ovanför marken) ungefär lika med 14,66 m.

Anders Dahlner


12 april 1999 19.06.32
Hej, jag har en subtil lite navelskådaraktig undran angående hur man definierar MEDIANEN. Om man har en ordnad mängd med udda antal objekt är det naturligtvis det mittersta objektet, men när man har jämnt antal? Jag har sett att man i statistiken brukar ta medelvärdet av de 2 mittersta. Men detta är ju fult (vad har medelvärde med saken att göra?) och inte generellt användbart eftersom det kanske inte finns något "medelvärde" i det sammanhang man verkar (t.ex. om man rangordnar filmer utan att sätta siffror på dem, eller om man bara sysslar med heltal). Jag tycker att det i jämnt-antal fallet finns TVÅ medianelement med tillhörande medianvärden. Vad tycker ni?/Vad är den etablerade definitionen?
JagTänkerAlltsåRäknarJagInte :-)

Svar:

Medianen av en ordnad följd med tal definieras som det mittersta elementet om sådant finns (om mängden har udda antal element), och medelvärdet av de två mittersta annars. Jag tycker att definitionen är bra där det är av intresse att använda den, dvs när man skall räkna ut saker. När man t ex rangordnar filmer, med säg glada gubbar, så behöver man oftast inte titta på medianen av filmers rangordning - i värsta fall så säger man väl att medianen är t ex 4 och en halv-glad gubbe ( :-), :-), :-), :-), :-| )...

Anders Dahlner


12 april 1999 18.39.33
Hej. Hur gör man för att integrera x^2*exp(-x^2) ? Dessutom undrar jag om ni vet om någon bra tabell för fouriertransformer - både tidskontinuerligt och diskret.
Urban

Svar:
Om vi partialintegrerar x*(x*exp(-x2)) så får vi
-x*exp(-x2)/2 + Int(exp(-x2))/2.
Den primitiva funktionen till exp(-x2) kan dess värre inte uttryckas med "elementära funktioner", men man kan t ex skriva upp dess Taylorserie. Se även  29 mars 1999 23.01.00 .

Tabeller på Fouriertransform över reella talen finns t ex i BETA-MATHEMATICS HANDBOOK FOR SCIENCE AND ENGINEERING, Råde Westergren . Tabeller för diskret Fourier transform är onödigt, allt man behöver veta är att transformen är linjär samt att Fouriertransformen av vektorn dk
som har nollor på alla platser förutom plats nummer k där den har en etta, är exp(2Pi *i*k/N) där N är dimensionen.

Anders Dahlner


12 april 1999 17.46.37
Jag ställde denna frågan för ett tag sedan och jag har läst ditt svar och funderat och tänkt........ Men jag förstår inte riktigt vad du menar sqrt(2).... vad är det ???? Vore glad om du kunde förklara lite närmare MVH/Marcus Karlsson 9 april 1999 16.51.49 Jag har en lite fråga här som jag ej klara lösa...... Förutsättningarna är följande: Låt P och Q vara två punkter på en hyrperbel sådana att den räta linjen PQ går genom hyperbelns ena brännpunt. Tangenterna i dessa båda punkter skär varandra i R. Bestäm avståndet mellan R och den räta linjen som går genom hyperbelns medelpunkt och som är vinkelrät mot hyperbelns axel. Vi antar att hyperbelns transversalaxel är 2a och avståndet mellan hyperbelns brännpunkt är 2c. Du kan förutsätta att P och Q ligger på samma hyperbelgren. Marcus Karlsson
Marcus Karlsson

Svar:

sqrt står för square root, så att sqrt(2) = 21/2 = roten ur 2.

Anders Dahlner


12 april 1999 15.50.15
g(x)= 1-abs x , abs x mindre än/ lika med 1 0 för övriga x Bestäm g's Fourierserie.
Peter

Svar:

Jag gissar att du menar att g är 2-Pi periodisk och har ovanstående utseende på intervallet [-Pi,Pi].  g's Fourierserie ges då av
1 + SUMMAn=1oändligheten (1-cos(n))*cos(nx)/(Pi*n^2).

Anders Dahlner


12 april 1999 15.25.59
Hej ! Jag tillverkade en svängd trappa i stålprofiler där de bärande balkarna låg på undersidan av stegen 20 cm från ändarna. I trappan fanns det en 90 graders böj med stigningen 70,1 cm alltså 280,4 cm på 360 grader. Det märkliga var att balken som låg närmast vridnings centrum(20cm i från)hadde samma svängning som det yttre järnet(80 cm i från centrum) Jag fick det till att järnen skulle ha radien 103 cm för att kunna passa i trappen. Hur beräknar man järnens radie utan att behöva använda "Flinta metoden" och såga olika mallar ? Jag har trappen ritad i Autocad så jag kan skicka ritningarna för att åskådligjöra vad jag menar. Tack på förhand !! Dag Brunnström
dbss@algonet.se

Svar:

Balkarna är skruvlinjer, som allmänt kan beskrivas av ekvationerna

x  =  r cos t
y  =  r sin t
z  =  at

där jag lagt trappans axel utmed z-axeln. Trappbalkens radie är r, och stigningen på ett varv är a/(2 Pi) (vinkelmåttet i trig funktionerna är radianer). En tangentvektor till skruvlinjen fås genom derivering vilket ger vektorn (-rsin t,rcos t,a) vars längd är kvadratroten ur kvadratsumman av koordinaterna, dvs sqrt(r2 + a2), som jag i fortsättningen kallar b. Tangentvektorns längd är alltså oberoende av parametern t. Genom att införa som ny parameter s = bt blir tangentvekorns längd 1, och då är det bekant att kurvans krökningsradie är 1 dividerat med längden av tangentvektorns derivata. I detta fall blir vektorn -r(cos(s/b),sin(s/b),0)/b2 och krökningsradien därmed b2/r eller

r + a2/r.

Om stigningen a är konstant ser man att man får samma krökningsradie för balken som hör till radien r och den som hör till radien a2/r. I ditt fall är a=280,4/(2 Pi) = 44,6 så om r = 80 blir krökningsradien 105. Man får samma krökningsradie för r = 25. Siffrorna stämmer alltså inte helt med de du anger, men jag antar att balkarna har en viss tjocklek också, och då är det ju inte helt klart hur deras radie resp krökning skall mätas.

Christer Bennewitz


12 april 1999 14.10.54
Teorin för polynom i en variabel kan väl ganska obehindrat föras över till homogena polynom i två eller flera variabler. Men hur blir det med icke homogena polynom? Finns det exempelvis någon motsvarighet till Eisensteins kriterium för faktorisering över Q? Litteratur?
Bengt Månsson

Svar:

Jag vet inte hur det blir, du kan prova att söka på nätet.
Här är i alla fall något:
Sats (Finns i många algebra böcker, Eisensteins kriterium) Låt R vara ett unikt faktoriserings domän (UFD), och K är dess kvot kropp. Låt f(x) = anxn+...+a0, vara ett polynom över R av grad > 0. Låt p vara ett primt element i R och anta att
1) p inte delar an,
2) p delar ak om k < n,
3) p2 inte delar a0.
Då är f irreducibel i K[x].

Sats (Finns i många algebra böcker) Om R är ett unikt faktoriserings domän, så är polynomringen R[x] också det.

Elementen i R[x,y] kan ses som polynom över R[x], således gäller för ett polynom
f(x,y) =  an(x)yn+...+a0(x), av grad > 0. Att om p(x) är irreducibel i R[x] och
1) p(x) inte delar an(x),
2) p(x) delar ak(x) för alla k<n,
3) p(x)2 inte delar a0(x),
så är f(x,y) irreducibel i R(x)[y].

Men detta är mycket svagare än det du söker.

Anders Dahlner


12 april 1999 13.33.58
Behöver hjälp med ett bevis. Hur bevisar man att man får en parallellogram om man förbinder sidornas mittpunkter med varandra i en godtycklig 4-hörning? Tacksam för svar.
Oskar

Svar:

Låt ABCD vara 4-hörningen.
Låt E vara mittpunkten på segmentet mellan A och B.
Låt F vara mittpunkten på segmentet mellan B och C.
Låt G vara mittpunkten på segmentet mellan C och D.
Låt H vara mittpunkten på segmentet mellan D och A.
Det räcker att visa att EF + EH = EG.

Vi har att
EG = EB + BC + CG
men också
EG = EA + AD + DG
vilket ger
2EG = BC + AD         (1)
(eftersom EB+EA = CG + DG = 0).

Vi har också att
EF  = EB + BF = EB + BC/2
och
EH = EA + AH = EA + AD/2

EF + EH = BC/2 + AD/2      (2)
(eftersom EA + EB = 0).
Satsen följer ur (1) och (2).

Anders Dahlner


12 april 1999 11.16.32
Hej! Hur förklarar man begreppet procent och i vilka sammanhang använder man sig av procent-räknin?
Frida

Svar:

Se  27 november 1998 09.38.41. Procenträkning kommer in när man vill beräkna andelar av något tal, och används till exempel när man skall beräkna moms på varor.

Anders Dahlner


11 april 1999 20.22.20
1. Hur kan man via datorn räkna ut tal_1^tal_2 för alla reela tal?
2. Jag har försökt men vid vissa tal så buggar datorn ur, detta gäller t.ex då jag försöker ta (-0.12)^(-0.25) varför???
Stefan Johansson

Svar:

Om din dator klarar av att räkna ut uttryck som ovan eller inte beror på hur välprogrammerad den är. Om man skriver in ditt uttryck i MAPLE t ex så får man svaret 1.201405707-1.201405707*I, ett komplext tal. Även om vi får ett svar så får vi dock inte hela sanningen här heller, utan lite eget tänkande krävs faktiskt också.
En matematisk definition av ab, där a och b är komplexa tal och a <> 0 ges av
ab := exp(b*log(a)).
Vad menas nu med detta? Jo, exp står för exponentialfunktionen vilken definieras som summan av den oändliga konvergenta serien
exp(z) := 1+ z+ z2/2!+ z3/3!+ z4/4!+ ...
Vi kan även beräkna detta med sinus och cosinusfunktionerna:
exp(a+i*b)= cos(a)+ i*sin(b).
Den komplexa logaritmfunktionen log är vad man kallar en flervärd funktion, dvs ger man den ett argument a returnerar den inte bara ett värde utan en hel mängd av värden(lika många som heltalen i detta fall). Skriver vi a= r*exp(iv) på polär form så blir
log(a)= ln(r)+ i(v+n*2pi), där n är heltal och ln är den vanliga reella (envärda) logaritmfunktionen.
I det komplexa talplanet ligger punkterna log(a) på en lodrät linje på avstånd 2pi mellan varandra.
I ditt exempel får vi (-0.12)-1/4= exp(-1/4*(ln(0.12)+i(pi+ n*2pi)))= 0.12-1/4*exp(i(-pi/4+n*pi/2)),
så vi får fyra komplexa tal
0.12-1/4*exp(i*pi/4), 0.12-1/4*exp(i*3pi/4), 0.12-1/4*exp(i*5pi/4) och 0.12-1/4*exp(i*7pi/4) som ligger symmetriskt mitt i de fyra kvadranterna och där det sista var vad vi fick med MAPLE. Notera att anledningen till att vi fick fyra svar beror på att exponenten var ett rationellt tal med 4 i nämnaren. Hade vi tagit ett irrationellt tal hade vi fått oändligt många svar!

Andreas Axelsson


11 april 1999 14.52.56
Hej, jag sitter och skriver ett program som skall lösa n:te gradare, finns det någon generell regel för hur man skall gå till vida för att lösa 1,2,3,4,5,6,7... gradare. Om du kan, svara gärna i algoritmer vilket skulle underlätta mycket för mig. Tack på förhand.
Stefan Johansson

Svar:

Angående lösningar till tredje-, fjärde och femtegradsekvationen se 18 mars 1997 02.44.41, 14 december 1997 13.32.37 respektive 4 september 1998 22.11.04.

Andreas Axelsson


11 april 1999 13.49.59
Hej! Hur integrerar man uttrycket (1,2x - x2)0,5 ? x= 0,6 ska ge y= 2 Tack på förhand
Sofia Ideström

Svar:

Jag antar att du med sista termen i parentesen menar x2 och med 0.5 efter parentesen menar kvadratroten. Ett andragradspolynom under ett rottecken ropar efter kvadratkomplettering. Detta ger 0.62- (x- 0.6)2. Här bör du nu göra variabelsubstitutionen x- 0.6 = 0.6*sin(t) vilken med trig. ettan ger integralen
INTEGRAL(0.36*cos2(t) dt).
Lös nu denna med t ex "dubbla vinkeln för cosinus" och gå tillbaka till variabeln x så har du där din primitiv. Voila.

Andreas Axelsson


10 april 1999 23.40.59
Hej. Kan man säga att oändligheten - oändliheten är lika med oändligheten eller! noll. Alltså både och. Om inte, bara ngt av dem. Om man ej kan def. vilket jag får känslan av att man trots allt ej kan.....varför går ej detta. Finns det ngt axiomsystem som man har skapat för att kunna def. (oo - oo)

Svar:

Låt mig använda oo för oändligheten. Det är vanligt att införa räknelagar på [0, oo] genom att definiera
oo + a := oo, för varje 0 <= a <= oo,
oo * a := oo, för 0 < a <= oo samt
oo * 0 := 0,
speciellt i integrationsteorin. Detta är naturligt eftersom alla välbekanta räknelagar fortfarande gäller, vilket lätt kan verifieras.
Att införa räknelagar på hela den utvidgade talaxeln [-oo, oo] går däremot inte lika lätt, för hur man än gör kommer vissa räknelagar att upphöra att gälla. Låt oss t ex försöka definiera oo - oo:
(1) Låt säga att vi definierar oo - oo := a, där -oo <= a <= oo. Det är då nödvändigt att a= 0 för att distributiva lagen ska gälla, ty
-a= (-1)*(oo- oo)= -oo+ oo= a.
(2) Men om vi nu definierar oo- oo := 0, så gäller inte associativa lagen för om detta vore fallet skulle vi ha att
x= x+ 0= x+ (oo- oo)= (x+ oo)- oo= oo- oo= 0,
för alla reella x, vilket är absurt. Så hur vi än gör kan vi inte få fungerande räknelagar!

Andreas Axelsson


10 april 1999 19.48.37
Jag hara svårt för bevis och visa att uppgifter. Kan ni hjälpa mig med dessa uppgifter? Bevisa formlerna cos 3x = 4cox ^3x - 3 cos x och sin 3x = 3 sin x - 4sin^3x. och Visa att cox^2x - cox^4x = sin^2x - sin^4x.
Eva Andersson

Svar:

De två första kan lösas med additionsformlerna. Snyggare och kortare är dock att räkna komplext:
cos(3x)+i*sin(3x)= exp(i*3x)= (exp(ix))3= cos3(x)+ 3i*cos2(x)sin(x)- 3cos(x)sin2(x)-i*cos3(x).
Genom att använda trig. ettan på andra och tredje termen och separera real och imaginärdel fås dina två formler.
Den tredje bevisas genom att flytta kvadraterna till V.L. och 4- potenserna till H.L. och sedan använda konjugatregeln och trig. ettan.

Andreas Axelsson


10 april 1999 19.45.51
Vill ni hjälpa mig att lösa följande ekvationer: 1) En rot till ekvationen x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 6x + a = 0 är x = roten ur 2. Bestäm a och lös ekvationen. 2) 3 cos x + 4 sin x = 1. 3) cos (x + pi/2) - cos ( x - pi/ 2) = 1. Tack för hjälpen.
Erik R

Svar:

(1) Sätt in x= sqrt(2) och lös ut a. För att förenkla polynomdivisionen sedan bör du notera att även -sqrt(2) är en rot så du kan direkt dela med polynomet x2-2 och slippa under kvadratrötterna.
(2) Låt v vara den spetsigaste vinkel i 345- triangeln. Då blir V.L. = 5*sin(x+v) m h a additionsformeln för sinus baklänges. M h a periodiciteten på 2pi och symmetrin kring pi/2 för sinus får du nu på vanligt sätt din familj av lösningar.
(3) Första termen är -sin(x) och andra är sin(x).

Andreas Axelsson


10 april 1999 19.42.12
Ett radioaktivt ämne har halveringstiden 5 minuter. Efter hur lång tid återstår 10 % av ämnet?
Kulla Gulla

Svar:

Den matematiska modellen för radioaktivt sönderfall är y= A*exp(-kt).
Halveringstiden ger k= ln(2)/5. Lös nu ut t ur
0.1= exp(-ln(2)/5*t).

Andreas Axelsson


10 april 1999 19.40.51
Vi håller just nu på med att lära oss att dela upp i partialbråk. Kan ni förklara hur man gör och kan ni hjälpa mig med en uppgift: Dela upp (x^3 + 1)/(x^2 - 3x + 2) i partialbråk.
Bråkstaken

Svar:

Steg för steg:
(1) Gör en polynomdivision vilket algoritmiskt kan gör med en "trappa". Med lite vana ser jag att täljaren bör skrivas
x3+ 1= (x3- 3x2+ 2x)+ (3x2- 9x+ 6)+ 7x- 5,
(ser du mönstret?) vlket efter division ger att det givna uttycket är
x+ 3+ (7x- 5)/(x2- 3x+ 2).
(2) Faktorisera nämnarpolynomet till (x-1)(x-2). Ansatsen för partialbråksuppdelningen blir A/(x-1)+ B/(x-2) och med handpåläggning får vi att A= -2 och B= 9.
En mer utförlig beskrivning av partialbråksuppdelning hittar du i de flesta analysböcker, t ex Persson/Böiers: Analys i en variabel.

Andreas Axelsson


10 april 1999 19.38.54
En lösnings pH-värde definieras pH = -lg c där c är lösningens vätejonskoncentrartion, mätt i gramjoner per liter. a) Beräkna pH om c = 4.2 * 10^-3 gramjoner per liter. b) Beräkna vätejonkoncentrationen om pH = 5.3. Vore tacksam om ni kunde hjälpa mig! Obs! Detta är faktiskt en matematikfråga.
Uppsala bo

Svar:

(a) Slå på miniräknaren.
(b) Använd inversen till -lg(x), d v s 10-x följt av ledtråden i (a).

Andreas Axelsson


10 april 1999 19.35.21
En uppgift som jag har kört fast på: Bestäm inversen till funktionen f(x) = x + roten ur x, där x är större än eller lika med noll. Kan ni?
Bengt Mattson

Svar:

Notera först att f är definierad, positiv och monotont växande för x >= 0. Flytta x till V.L. och kvadrera. Detta ger en andragradsekvation i x som löses till
x= 1/2+ y+- sqrt(1/4+ y).
Eftersom y(0)= 0 ska minustecknet väljas.

Andreas Axelsson


10 april 1999 19.33.17
Bestäm konstanten a så att x = 3 är en rot till ekvationen x^3 - 9x^2 +20x + a = 0 och lös ekvationen fullständigt. Kan Ni lösa detta åt mig?
Linda

Svar:

Sätt in x= 3 och lös ut a, faktorisera ut x-3 och lös den kvarvarande andragradaren.

Andreas Axelsson


10 april 1999 19.02.25
Kan ni lösa detta ekvationssysten? 2x + 3y- z = 5 - 3y + 5 z = 1 4 z = 8
svarslös

Svar:

Utför gausselimination; hur detta går till finns beskrivet i varje lärobok i linjär algebra.

Andreas Axelsson


10 april 1999 15.10.40
Vem är Sveriges störste matematiker genom tiderna?
Bobbegren

Svar:

Det är inte min sak att utnämna någon som Sveriges störste matematiker. Vad jag kan ge dig är en (någorlunda) kronologisk lista över stora svenska /i Sverige verkande matematiker vars namn är välkända för mig:
Gösta Mittag-Leffler
Sonja Kovalevski
Erik Ivar Fredholm
Marcel Riesz
Torsten Carleman
Arne Beurling
Lars Gårding
Lennart Carleson
Lars Hörmander

Andreas Axelsson


10 april 1999 14.34.14
Hej, Detta är kanske ingen regelrätt fråga utan mer en kommentar. Två gånger på dessa sidor har det frågats om det så kallade "secretary problem" eller "interviewing problem", en gång av mig själv (13 december 1998 och 18 mars 1999). Ni kunde inte ge någon lösning på detta problem just då, men jag har nu i alla fall hittat referenser till lösningen. Problemet bestod i att hitta den bästa sekreteraren av N st när varje sekreterare kan värderas enkelt med ett reellt tal. Efter att ha intervjuat sekreteraren måste man bestämma sig om man ska anställa henne eller intervjua nästa. Problemet består då i att bestämma hur många som ska intervjuas (jämförelsemängden) innan man väljer nästa sekreterare med högra värde än de i jämförelsemängden. Först kan jag säga att då antalet sekreterare N går mot oändligheten så går den optimala jämförelsemängden mot N/e. Problemet ställdes antagligen först av Martin Gardner med titeln "The game of gogool" i "New mathematical diversions from Scientific American", Simon & Schuster 1966, sid 35. Där finns även på sidan 41 en enkel lösning av Moser och Pounder. Problemet har även diskuterats av Thomas Ferguson i Statist. Sci. 4 (1989), sid 282-289.
Rickard Bengtsson

Svar:

Tack för kommentaren.

Andreas Axelsson


9 april 1999 18.44.41
Hejsan! Jag har ett problem jag kan inte förstå. Nämligen: Varför är: d (dy/dx)(dy/dx)^2 - Sqrt(1+(dy/dx)^2) = ---------------- dx Sqrt(1+(dy/dx)^2) Dessutom undrar jag om ni kan hänvisa mig till någon sida på Internet om elliptiska funktioner. Tack på förhand MVH Marko
Marko

Svar:

Din första fråga förstår jag är: Hur deriveras sqrt(1+(dy/dx)2) m a p x, där y(x) är en funktion av x.
Låt f(x)= sqrt(1+ x). Då är df/dx= 1/(2*sqrt(1+ x)). Den sökta derivatan är derivatan av sammansättningen av de tre funktionerna f, x2 och dy/dx. Enligt kedjeregeln erhåller vi
(sqrt(1+(dy/dx)2))'= 1/(2*sqrt(1+(dy/dx)2))*(2*dy/dx)*(d2y/dx2),
vilket efter förkortning med 2 ger svaret (i frågeformuleringen har du blandat ihop andraderivatan med kvadraten på förstaderivatan).
För din andra fråga, se t ex på avsnittet om elliptiska funktioner i Eric's Treasure Trove..

Andreas Axelsson


9 april 1999 16.53.48
Hej ! Jag sitter och försöker konvertera geografiska koordinater mellan olika referensellipsoider. Jag har då fastnat i en fjärdegradsekvation med tan(latituden), som obekant. Hur löser jag detta bäst? Det skall väl finnas analytiska metoder för detta upp till grad 5 om jag inte missminner mig. m.v.h Johan
Johan Jansson

Svar:

På din beskrivning av problemets uppkomst tycker jag att det låter som en numerisk lösning med dator skulle vara att föredra. Visserligen finns formler för lösningarna till både tredje- och fjärdegradsekvationer men de är ganska omfattande. Se svaren på frågorna från 18 mars 1997 02.44.41 och 14 december 1997 13.32.37.

Andreas Axelsson


9 april 1999 16.51.49
Jag har en lite fråga här som jag ej klara lösa...... Förutsättningarna är följande: Låt P och Q vara två punkter på en hyrperbel sådana att den räta linjen PQ går genom hyperbelns ena brännpunt. Tangenterna i dessa båda punkter skär varandra i R. Bestäm avståndet mellan R och den räta linjen som går genom hyperbelns medelpunkt och som är vinkelrät mot hyperbelns axel. Vi antar att hyperbelns transversalaxel är 2a och avståndet mellan hyperbelns brännpunkt är 2c. Du kan förutsätta att P och Q ligger på samma hyperbelgren.
Marcus Karlsson

Svar:

(1) Börja med ett koordinatsystem med koordinater (x,y) i vilket hyperbeln har standardformen
(x/a)2- (y/b)2= 1.
Vi använder oss av Linjär Algebrans grundtanke, nämligen att utföra räkningarna i ett koordinatsystem där de blir enkla(re). Inför därför koordinater (u,v) sådana att
u= x/a-y/b
v=x/a+y/b,
vilket gör att hyperbelns ekvation övergår i
uv= 1.
Den geometriska verkan av detta är att hyperbeln rätas ut så att asymptoterna blir vinkelräta följt av en vridning 90 grader moturs. Notera att brännpunkterna (+-c, 0), där c2= a2+ b2, i (x,y) systemet inte allmänt överförs på brännpunkterna +-(sqrt(2),sqrt(2)) för hyperbeln uv= 1 i (u,v) systemet. Detta händer bara om a= b, dvs om avbildningen inte involverar någon skuvning.
(2) Låt P och Q på uv= 1 ha u-koordinater p resp. q, och låt 0< p< q. För att bestämma sambandet mellan p och q, inför brännpunkten B= (sqrt(2),sqrt(2)) och punkterna G= (p, 1/q) och H= (sqrt(2), 1/q), och betrakta trianglarna PHB och PGQ. Likformighet ger
(1/p- 1/q)/ (sqrt(2)- 1/q)= (q- p)/ (q- sqrt(2)).
Så q ges av möbiustransformationen
q= (p-sqrt(2))/ (sqrt(2)* p- 1).
Vidare har tangentlinjen vid P ekvationen
v= 1/p- 1/p2(u- p)= 2/p- u/p2,
och likadant för Q. Skärningspunkten R får därför u-koordinat
u= 2/ (1/p+ 1/q)= sqrt(2)* p(p- sqrt(2))/ (p2- 1).
Beräknar vi u+ v fås
u+ 2/p- u/p2= ...= sqrt(2),
så R ligger alltid på linjen u+ v= sqrt(2) oberoende av var P (och Q) ligger. Återgår vi till (x,y) systemet ligger alltså alltid R på linjen x= a/ sqrt(2), så detta är det sökta avståndet (obs: oberoende av c!).

Andreas Axelsson


9 april 1999 14.18.28
Jag fick just förklarat för mig vad kongruenser kan användas till. Men algoritmerna för att lösa ekvationer som ställts upp med en kongruensrelation greppade jag inte. Finns det olika metoder? Visa hur exempelvis: x^2 - 6x + 2 [kongruenstecken] 0 (mod 5) måste sakna lösningar.
Lasse

Svar:

För att hitta partikulärlösningar till linjära kongruenser används Euklides algoritm. Ett central begrepp vid kvadratiska kongruenser är kvadratisk residy. Man säger att a är en kvadratisk residy av m om a och m är relativt prima och kongruensen x2= a (mod m) är lösbar. Allmänt gäller att om p är ett udda primtal så är precis hälften av talen 1,2,...,p-1 kvadratiska residyer och för de kvadratiska residyerna finns exakt två inkongruenta rötter.
Efter kvadratkomplettering blir kongruensen i frågan
(x- 3)2= 7= 2 (mod 5).
Genom att explicit kvadrera 1,2,3 och 4 och reducera modulo 5 ser man att de kvadratiska residyerna av 5 är 1 och 4. Alltså är din kongruens olösbar.
För att avgöra om 2 är en kvadratisk residy man även åberopa Eulers kriterium som säger att a är en kvadratisk residy av p om och endast om a(p-1)/2=1 (mod p).
Ett mer abstrakt, men möjligen mer överskådligt, sätt att se på kongruenser är att inte betrakta heltal och kongruensrelationen utan istället element i kroppen Zp och likhet (förutsatt att p är ett primtal).

Andreas Axelsson


9 april 1999 11.23.34
Varför är det ogiltigt att ha 0 i nämnaren.
Martin Borg

Svar:

Betrakta de reella talen (om dessa är obekanta för dig ta de rationella istället). På dessa finns två räkneoperationer, nämligen + och * som uppfyller vissa grundläggande lagar (- och / är inga självständiga operationer utan inverserna till + resp. *); ett mer sofistikerat sätt att säga detta är att de reella talen har en ringstruktur.
Ett mer korrekt uttryck för att "det är ogiltigt att ha 0 i nämnaren" är att säga att 0 inte har en (multiplikativ) invers eller att 0 inte är inverterbar. Så vad menas med detta; jo, en invers till ett tal a är ett tal b sådant att ab= 1. Speciellt ser vi att 0 inte kan ha någon invers, ty för varje tal b har vi att 0*b= 0 och inte 1. Detta är dock det enda undantaget, för varje annat tal har en invers; mer sofistikerat säger man att de reella talen är en kropp.

Andreas Axelsson


9 april 1999 02.32.06
TREDJEGRADSEKVATION: Visa att ekvationen x^3+ax^2+bx+c=0 (1) övergår i x^3+px+q=0 (2), om x ersätts med x-a/3. När har ekvationen(1) tre reella rötter som är olika stora? Visa i ett pq-system de områden där ekvationen(2) har en, två respektive tre reella rötter.
erik alexandersson

Svar:

Se svaret på frågan från 28 januari 1997 10.06.25.

Andreas Axelsson


9 april 1999 02.26.05
KULSTÖTNING: Kulan stöts från höjden h(på y-axeln), längden R(på x-axeln). Utgångshastighet är v, med vinkeln u(i förhållande till x-axeln). För kulbanans koordinater gäller: x= v cos u*t, y= h+v sin u*t-((gt^2)/2) } t= tid, g= tyngacceleration. Bestäm ett uttryck för kastlängden R och studera hur R beror av v,u och h. g= 9,8m/s^2, samtvariera h kring 2m, v kring 12m/s och u kring 45'
jonas ungerbeck

Svar:

Se svaret på frågan från 22 november 1997 16.51.10.

Andreas Axelsson


9 april 1999 00.06.32
Vilka lösningar finns till Z^3+Z^2+18=0 Jag skulle gärna vilja se hela uppställningen och resonemanget på lösningarna
Ronnykeinvall@swipnet.se

Svar:

Givet ett polynom av grad större än 2 med heltalskoefficienter är det första man bör göra att undersöka om problemet är akademiskt, dvs är konstruerat så att polynomet har vissa enkelt funna heltalsrötter. Man utnyttjar lämpligen följande knep: OM p/q är en rationell rot där p och q är relativt prima måste p dela konstanttermen och q dela högstagradskoeeficienten. I vårt fall får vi att q= 1 och p= 1, 2, 3, 6, 9, 18 eller motsvarande negativa tal. Man ser lätt att -3 faktiskt är en rot, så vi faktoriserar
z3+z2+18= (z+ 3)(az2+ bz+ c),
där andragradspolynomet allmänt fås genom polynomdivision. Enklare är dock att på följande sätt resonera sig fram till vad a, b och c måste vara:
a måste vara 1 för enda sättet att få z3 när vi multiplicerar paranteserna är att ta högsta termerna ur båda paranteserna. På samma sätt måste 18= 3*c, så c= 6. Sist får vi genom att betrakta z-termen att 0= 1*6+ 3*b, så b= -2, vilket kontrolleras stämma för z2-termen.
Kvadratkomplettering ger z2- 2z+ 6= (z- 1)2+ 5, så andra två rötterna är
z= 1+-i*sqrt(5).

Andreas Axelsson


8 april 1999 20.40.15
modalt medelvärde, vad är det?
Jonny

Svar:

Det modala medelvärdet (mode på engelska) används inte mycket i matematik, det är mer vanligt i statistik. Det modala medelvärdet av en mängd av tal M, är det  tal som förekommer flest gånger. Det modala medelvärdet av mängden  {1,2,3,2,1,2} är således lika med 2, mängden {1,2,3,2,1} sägs vara bimodal då där finns två modala medelvärden.

Sök på mode i följande  länk.

Anders Dahlner


8 april 1999 16.39.03
Hur får jag fram en differentialekvation hur kroppens temperatur förändras med tiden, om en kropp hittades inomhus (20 grader) och dess kroppstemperatur var 30 grader. Hastigheten med vilken kroppen nedkyls är propertionell mot differensen mellan dess temperatur(T) och omgivningens temperatur(M). Proportionalitetskonstanten(k) är relaterad till volymen, ytarean, massan och värmekapaciteten hos kroppen som avkyls.
Åke Karlsson

Svar:

Låt T(t) vara kroppens temperatur vid tidpunkten t.Givet är att
T'(t) = k(M - T(t)) = k(20 - T(t)).
Detta är den differentialekvation som du söker. Men lösningen är inte entydig, utan man får två parametrar.

Anders Dahlner


8 april 1999 15.02.05
Hejsan! Jag undrar hur och varför man använder sig av volym begrepp?
Mathilda Eliasson

Svar:

Se svaret till 25 mars 1999 13.42.01.

Anders Dahlner


8 april 1999 15.01.12
Beskriv vad volym är och hur man på olika sätt tar reda på volymen hos olika saker och rymdgeometriska figurer.Definiera och gämför olika enheter. TACK!
Hanna Karlsson 17

Svar:

Se svaret till 25 mars 1999 13.42.01.

Anders Dahlner


8 april 1999 14.59.10
Beskriv hur och varför synen på mätning av arean och ytors viktighet förändrats under historien. TACK!
Hanna Karlsson 17

Svar:

Se svaret till 25 mars 1999 13.34.19.

Anders Dahlner


8 april 1999 14.57.35
Förklara hur och varför man använder sej av areamätning i olika kulturer och sammanhang.
Kammilla

Svar:

Se hänvisningen i  25 mars 1999 13.42.01 .

Anders Dahlner


8 april 1999 14.56.08
Hej, jag skulle vilja veta hur man räknar ut arean på olika geometriska plana figurer, och så skulle jag vilja att ni förklarar och beskriver olika areaenheter.
Tomas

Svar:

Se svaret till  25 mars 1999 13.30.32.

Anders Dahlner


7 april 1999 23.25.55
Ursäkta mig, jag får nog komplettera frågan lite från 29 mars. Om man har en triangel med punkten p som sitter i ett hörn(det spelar ingen roll vilket). Utgående från denna punkt p går ett antal linjer,n, och dessa delar då upp triangeln i flera trianglar. Antalet trianglar,y, är lika med 1 då n=0. När n=1 är y=3, n=2 är y=6, n=3 är y=10,n=4 är y=15. Skriv en formel för antalet trianglar med n st linjer. Jag kom fram till formeln: y=n(2+.5(n-1))+1 genom att titta på riktningskoefficienten mellan (0,1) och några andra godtyckliga punkter. Då undrar vilket det lättaste sättet är att lösa uppgiften på? Tack på förhand. Hoppas jag har utrett något som var oklart. Ni har en väldigt bra sida förresten.
N B

Svar:

Din förklaring är för mig fortfarande lika oförståelig. Hur kan du med en linje dela en triangel i tre? Det torde väl vara självklart att y= n+1.

Andreas Axelsson


7 april 1999 22.27.26
Vad är (kortfattat) ett kedjebråk och hur fungerar det?
Tack!

Svar:

Se svaret på frågan från 26 november 1997 12.59.06.

Andreas Axelsson


7 april 1999 20.58.42
Överväger en viss typ av musik att falla just i smaken för matematiker. Vad jag tänker på är att matematiker tycker om system med ordning och logik (vanligtvis iaf), och detta därför skulle locka till en viss typ av musiksmak..... ???
Bengt

Svar:

Det går nog inte att säga att en viss musiksmak skulle vara dominerande bland matematiker. Matematiker så som alla andra påverkas av den tid och det samhälle de lever i.

Andreas Axelsson


7 april 1999 18.24.25
hur finner jag upp till fyra korsningar mellan två ellipser?
Patrik Andersson

Svar:

En allmän ellips får i ett koordinatsystem en ekvation av typ
a11x2+ a12xy+ a22y2+ a1x+ a2y+ a0= 0,
där a1= a2= 0 om ellipsen är centrerad i origo och a12= 0 om ellipsen är axelparallell.
Givet två godtyckliga ellipser A och B kan vi förenkla situationen genom att införa koordinater så att A är centrerad i origo och har storaxel längs x-axeln och lillaxel längs y-axeln. Då blir A:s ekvation
(x/b)2+ (y/c)2= 1.
Låt B:s ekvation vara som ovan. För att lösa ut x och y kan vi exempelvis flytta termerna innehållande y till högerledet och kvadrera:
(a11x2+ a22y2+ a1x+ a0)2= (a12x+a2)2y2.
Lös nu ut y2 ur A:s ekvation och sätt in i denna så får du en fjärdegradsekvation i x som ger x-koordinaterna för de högst 4 skärningspunkterna. y-koordinaterna fås till sist från de två ursprungliga ekvationerna.

Andreas Axelsson


7 april 1999 18.22.11
Om jag arbetar t.ex 70% och vill jämföra min månadslön med en som arbetar heltid alltså 100 % hur går jag då tillväga?
marianne.norberg@kommun.kalmar.se

Svar:

Multiplicera din lön med 10/7 och jämför med den heltidsarbetande.

Andreas Axelsson


7 april 1999 14.57.45
Hejsan Andreas Jag frågade den 28 mars 1999 en fråga om bilar över en bro. Jag förstår ekvations lösningen och sambandet mellan d och v. Men hur får man fram vilken av de olika hastigheterna och avståndet som är den som bör användas på myndigheternas skylt. När man fått fram d och h. Alltså vad skall stå på skylten.
Nils

Svar:

Denna fråga har ställts flera gånger till fråga Lund och har varje gång varit lika ofullständigt formulerad. Vad jag gav dig är sambandet mellan d och v som måste gälla. En högre tillåten fart v medför att avståndet d måste vara större. Men för att d ska kunna bestämmas måste v specificeras.

Andreas Axelsson


6 april 1999 23.50.52
Hej! Jag skulle vilja veta hur man löser följande trigonometriska ekvationer. cos (9x) + sin (5x) = 0 sin (7x) + cos (3x) = 0 Jag skulle bli mycket glad om ni kunde skicka ett svar till mig så fort som möjligt. M. v. h Henrik E-mail: mattsson@tripnet.se
Henrik Mattsson

Svar:

Låt oss lösa sin(5x)= -cos(9x), den andra görs på samma sätt.
Omvandla -cos till sin: sin(5x)= sin(9x- pi/2).
sin är periodisk med period 2*pi och symmetrisk kring pi/2 så: 5x= (9x- pi/2)+ n*2*pi eller 5x= pi- (9x- pi/2)+ n*2*pi, för något heltal n.
Sålunda x= pi/8- n*pi/2 eller x= 3*pi/28+ n*pi/7.

Andreas Axelsson


6 april 1999 22.39.42
Hej! Jag håller på och skriver ett specialarbete om Mandelbrotmängden. När jag itererar funktionen får jag en värdeserie på z. Om man sen drar absolutbeloppet på z kan man se om värdet tillhör mandelbrotmängden eller inte. Jag skulle vara tacksam om ni förklarar hur man bevisar att om |z| överstiger två så kommer z-serien att stiga mot oändligheten.
Jonas Kåveby

Svar:

Se nederst på sidan "1 Basic Definitions" under The Fractal Geometry of the Mandelbrot Set.

Andreas Axelsson


18251 frågor av sammanlagt 18652 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)