Fråga Lund om matematik

Sökresultat


18 februari 1999 23.45.57
Jag undrar över hur man löser en tredjegrads kurva aX^3+bX^2+cX+d.
Henrik Andersson

Svar:

Jag antar att du menar hur man löser motsvarande ekvation ax3 + bx2 + cx +d=0. Förenkla först ekvationen genom att införa en ny variabel y=x+b/3a. Dividera sedan med koefficienten framför y3. Det ger en ny ekvation i y som är av formen y3+py +q=0 för några tal p och q. Den har de tre lösningarna u+v, -(u+v)/2 +-(u-v)i sqrt(3)/2, där u =(-q/2 + sqrt(p3/27+q2/4))1/3 och v = (-q/2 - sqrt(p3/27+q2/4))1/3. Dra ifrån b/3a för att få de x-värden som löser den ursprungliga ekvationen.

Anna Torstensson


18 februari 1999 14.20.45
Låt G vara en abelsk grupp och låt T={g element G: g^n=e, ngt n element N+ }. Visa att T är en normal delgrupp och att G/T är en torsionsfri grupp, dvs att det inte finns något element skilt ifrån enheten i G/T sådant att elementet har ändlig ordning. Hur visar vi detta????
Birgitta Högberg

Svar:

Först måste vi visa att T är en undergrupp i G. Det följer om vi lyckas visa att produkten av två element i T ligger i T, e ligger i T samt att inversen till element i T ligger i T. Om h och h' är element i T så finns n och n' så att hn=e och h'n'=e. Då är (hh')nn'=(hn)n'(hn')n=e hh' ligger också i T. Det är klart ett e tillhör T. Invers: Antag att h ligger i T (hn=e). Då ligger h-1 i T ( (h-1)n = (hn)-1 = e-1 = e ).

Att T är en normal undergrupp betyder att gT = { gh; h tillhör T} är lika med Tg = {hg; h tillhör T}. Detta skall gälla för varje element g i G. Eftersom G är en abelsk grupp är det klart att gT=Tg.

G/T är torsionsfri: Antag att gT i G/T har ändlig ordning dvs att (gT)n=gnT=T för något n. (T är identiteten i G/T.) Det betyder att gn ligger i Tgnm=e för något m. Alltså måste g självt vara i T gT=T=identiteten. Det enda elementet av ändlig ordning är alltså identitetselementet.

Anna Torstensson


17 februari 1999 19.42.54
Finns det någon matematisk eller "metamatematisk" modell för att bygga upp något slags "inre produktrum" för den matematiska bevisföringen? Det är ju väldigt tilltalande att tänka sig de matematiska axiomen som en slags basvektorer i ett inre produktrum där teoremen är vektorer. Således skulle man kunna beräkna projektioner, osv. Finns någon dylikt? Är det öht. möjligt att åstadkomma?
Martin Sahlén - f98-msa@nada.kth.se

Svar:

Det verkar svårt att skapa någon sådan modell som du beskriver, men däremot har det gjorts flera försök i den matematiska historien att hitta referensramar för att fullständigt beskriva matematiken, bl.a av Bertrand Russell. Dessa försök upphörde i princip då Kurt Gödel (1906-1978) kom med sin berömda ofullständighetssats 1931, som i kort säger att i varje tillräckligt avancerat axiomatiskt system, så finns det påståenden som varken kan visas sanna eller falska inom axiomsystemet. Jag rekommenderar boken Gödel, Escher, Bach av Douglas Hofstadter om du vill läsa mer om detta.

Jonas Månsson


17 februari 1999 18.14.36
Den här frågan är inspirerad från ett TV-program. En person ställs inför n personer, som han vet har n olika givna yrken. Hans uppgift är att kombinera varje person med sitt rätta yrke. Om han gissar på måfå är ju sannolikheten 1/n! att han prickar in alla rätt. Men, hur stor är sannolikheten att han gissar alla fel ? Och hur blir det med denna sannolikhet om n går mot oändligheten ? (jag har en känsla av att ett gränsvärde finns.) Tacksam för svar.
Thomas Dahl, Göteborg

Svar:

Det gissningar som ger "alla fel" kallas på engelska för derangements (jag vet inte om det finns någon bra svensk översättning), och antalet ges av formeln:

dn=n! - (n över 1)*(n-1)! + (n över 2)*(n-2)! - . . . +(-1)k*(n över k)(n-k)! + . . . + (-1)n*(n över n)*0! =

= ( n ! )*( 1 - (n över 1)*((n-1)! / n !) + (n över 2)*( (n-2)! / n !) - . . . + (-1)n*(n över n)*( 0! / n !) )=

=( n ! )*( 1 - 1 + (1/2!) - (1/3!) + . . . + (-1)n*(1/n!) )

Sannolikheten Pn får du genom att dividera med n!, d.v.s

Pn = 1 - 1 + (1/2!) - (1/3!) + . . . + (-1)n*(1/n!)

Observera att sannolikheten i princip är lika stor oavsett storleken av n (undantaget om n är väldigt litet). Den andra faktorn i sista uttrycket är identisk med de första termerna i Taylor-serien för exponentialfunktionen ex taget i punkten x=-1. När n växer kommer antalet termer också att växa och

Pn = dn/n! går mot e-1 ( ca 0.368 ) då n går mot oändligheten.

Jonas Månsson


17 februari 1999 17.23.44
Hej, Kommer intervallet (-(1+n)/n,(1+n)/n) att konvergera mot det slutna intervallet [-1,1] eller det öppna (-1,1) då n går mot oändligheten. Mvh /Peter
Peter

Svar:

Jag är inte riktigt på det klara med vad du menar med att konvergera mot ett intervall, men jag antar du menar att du vill bestämma snittet av intervallen In=(-(1+n)/n,(1+n)/n) för n heltal>1. Då blir svaret [-1,1]. Punkterna -1 och 1 tillhör alltid In för alla värden på n.

Jonas Månsson


17 februari 1999 17.00.24
Ett runt rör som är ihåligt kallas cylinder. Jag undrar vad ett trekantigt rör som är ihåligt kallas?
Jesper J

Svar:

En cylinderyta är en yta som uppkommer när en rät linje parallellförflyttas utefter en sluten kurva. En cylinder begränsas av en cylinderyta och två plan som är parallella med varandra men inte med linjen. Är den genererande kurvan en cirkel kallas cylindern cirkulär. Ett "trekantigt rör" är alltså också en cylinder och detta specialfall kallas ett prisma. En cylinder behöver inte nödvändigtvis inte vara ihålig.

Jonas Månsson


17 februari 1999 15.16.31
I en likbent triangel är omkretsen 98 cm och höjden mot basen 21cm. Beräkna triangelns area.
Helena

Svar:

Låt de lika långa sidorna har längd y. Vidare gäller att höjden delar basen i två lika långa delar med längd x. Då omkretsen är 98 cm måste

2*x + 2*y = 98 <=> x + y = 49 <=> y = 49-x

Höjden delar den ursprungliga trianglen i två mindre. Pythagoras sats på en sådan deltriangel ger

x2 + (21)2 = y2 <=> x2 + 441 = (49 - x)2 <=> x2 + 441 = 2401 - 98*x + x2 <=>

98*x = 1960 <=> x = 20

Av detta följer att basen har längd b = 2*x = 40, och arean A=b*h/2 = 40*21/2 = 420 (cm)2

Jonas Månsson


17 februari 1999 12.53.30
Hur up fans datorn.
Niklas Jakim Sandberg.

Svar:

Det här är ingen matematikfråga.

Jonas Månsson


17 februari 1999 12.46.58
Hur gammal blev han. Vad ville han. Vilka Sjärnor titta han på. Under villket årtal levde han. När blev han berömmnd.
Niklas Joakim Sandberg.

Svar:

Det här är en fråga för Fråga astronomen

Jonas Månsson


17 februari 1999 12.41.15
Vad jorde Nicolaos Kopernicus. Var han doktor.
Niklas Joakim Sandberg.

Svar:

Det här är en fråga för Fråga astronomen

Jonas Månsson


17 februari 1999 12.24.30
Hej! Om vi sätter kraftlagen F = m*a = m*(d^2)r/dt^2 lika med kraften enligt Newtons gravitationslag, F = -GMm/r^2 får vi differentialekvationen (d^2)r/dt^2 = -GM/r^2, där G och M är konstanter. Hur löser man denna differentialekvation med en allmän (exakt) metod, det vill säga utan att använda dimensionsanalys? Tack på förhand.
Martin

Svar:

Sätt p=dr/dt. Då får vi

d2r/dt2=p dp/dr och p dp/dr=-GM/r2

Detta kan vi skriva p dp=-GM/r2 dr och integral( p dp) = integral( -GM/r2 dr) + C

Alltså p2/2 = GM/r + C. Genom att lösa ut p i r kan vi nu på samma sätt lösa p=dr/dt.

Jonas Månsson


17 februari 1999 12.19.19
1, Hur räknar man ut (ett tal vad som helst)^i ? 2, Förklara hur formeln y=real(e^iX) kan bli en cosinuskurva? Tack så mycket för hjälpen!
Christer Tallgren

Svar:

1) Vi definierar för komplexa tal z och a

za=ea*log z

där log z är en s.k multifunktion definierad av

log z = ln |z| +i*arg z

2)

eix=cos x +i* sin x

per definition, så därav följer y=cos x

Jonas Månsson


17 februari 1999 12.16.16
Jag har en stege som står brant mot en vägg. Jag låter den glida nedför väggen så att dess nedre ända glider med konstant fart tills stegen ligger ned. På vilket sätt rör sig då den översta punkten på stegen? Accelererar den (i så fall hur)? På vilka sätt vore det lämpligast att visa detta?
Joni Karlbom

Svar:

Ja, den accelererar. Beteckna stegens längd med r, avståndet mellan dess nedre ända och väggen med x samt avståndet mellan den övre delen och marken med y. Pythagoras sats ger

x2 + y2 =r2 => y=sqrt(r2-x2)

Sätt x=vt, där v är den konstanta farten och t tiden. Substitution ger

y(t)=sqrt(r2-v2t2)

Vi deriverar och erhåller

y'(t)=-v2t/sqrt(r2-v2t) <=> y'(t)=-v2/sqrt(r2/t2-v2)

om vi antar att t skilt från 0. Vi kan nu se att farten, d.v.s y'(t) växer från 0 till oändligheten då t varierar mellan 0 och r/v.

Jonas Månsson


17 februari 1999 10.55.57
"Det enkla kan ofta bli det svåra beroende på att man inte ser enkelheten." Hur blir formeln för att beräkna summan vid n:te talet i en serie av reella tal, t.ex. 1+2+3+4+5?
Göran Sandberg

Svar:

Den summa du refererar till kallas för den aritmetiska summan, och för den gäller

Sn=1+2+3+...+n = n*(n+1)/2

Det visas lätt genom att först skriva upp summan två gånger under varandra på följande sätt:

Sn = 1 + 2 + . . . + (n-1) + n

Sn = n + (n-1) + ... + 2 + 1

Om vi summerar varje lodrät rad får vi alltid n+1, och då vi har n st. rader blir totalsumman n*(n+1). Alltså,

2*Sn=n*(n+1) <=> Sn=n*(n+1)/2

Jonas Månsson


17 februari 1999 07.23.19
Kan ni hjälpa mej med lite lättare matte? finns det nån sida med hjälp för typ, a-kurs/b-kurs matte på gymnasiet?? Måste ha help =( går åt h''vete på skolan annars.
knugen

Svar:

Den här sidan är till för all slags matematik, oavsett nivå. Vilken typ av frågor som tas upp beror helt på vad som skickas in. Du är välkommen att skicka in dina frågor hit.

Jonas Månsson


16 februari 1999 21.09.57
Hej! Jag håller på med en uppgift liknande den "15 april 1997 19.49.50" om en fontän och jag har haft problem med derivatan. Jag fick sedan hjälp av en kille som sa att jag skulle derivera y med avseende på a (alpha). y'(a) = -gx2sina/(v2cos3a) + x/cos2a. Varför gör man det och inte deriverar med avseende på x som man brukar? Vore tacksam för svar...

Svar:

Det beror helt på vad man vill beräkna. Om vi deriverar med avseende på x kan vi bestämma den högsta punkten för en vattendroppe som sprutas iväg med en fix vinkel alfa. Men detta är inte till någon nytta när vi vill bestämma gränskurvan (som ska bero på x).

Jonas Månsson


16 februari 1999 20.33.56
Skulle det vara möjligt att definiera ett talsystem (kanske till och med ett matematiskt system) uppbyggt kring (t.ex.) e, pi sqrt(-1) så att diverse ekvationer mm som nu är "krångliga" och/eller saknar explicit lösning, men som i samtidigt värsta fall gör det besvärligt att handla äpplen på torget. Med andra ord ett talsystem där de naturliga talen inte är naturliga samtidigt som diverse transcedenta och algebraiska tal blir "naturliga"?
Lars Bärring

Svar:

Ja det går att definiera ett sådant nytt matematiskt system, t.ex. kan vi döpa om den vanliga ettan till exempelvis pi, och betrakta den ring som generaras av 0 och pi. Den ringen får då samma struktur som ringen av heltal.

(pi + pi + pi + . . . + pi ) + (pi + pi + pi + . . . + pi) = pi + pi + pi + . . . + pi

(pi + pi + pi + . . . + pi ) * (pi + pi + pi + . . . + pi) = pi + pi + pi + . . . + pi

I första fallet innehåller första parentesen m st pi:n, den andra n st och den tredje m+n.

I andra fallet får vi m st, n st respektive m*n st.

Vi får nu en ring som är isomorf med (har samma struktur som) den vanliga ringen av heltal. I denna ring är pi ett naturligt tal (t.o.m identitet). Om vi nu däremot tolkar pi som vanligt, d.v.s som förhållandet mellan cirkelns diameter och omkrets kommer vi däremot att få en ganska (intuitivt sett) besynnerlig tolkning av multiplikation.

Jonas Månsson


16 februari 1999 17.34.34
Jag skulle vilja veta hur jag kan bestämma en Hammingkod av typ (120,127)?
Katti

Svar:

Jag hänvisar till svaret på fråga från 27 maj 1997 11.33.09.

Jonas Månsson


16 februari 1999 16.26.15
Vad kallar vi ett bråk vars täljare och nämnare saknar gemensam delare större än 1? Har vi något svenskt namn p Eulers fi-funktion svarande mot den engelska benämningen "totient function"? Terminologi gällande kedjebråk: i kedjebråket 1 1 1 1 1 1 1 __ __ __ __ __ __ __ 2+ 1+ 2+ 1+ 1+ 17+ 2 kallas 12, 2, 1, 2, 1, 1, 17, 2 "partial quotients", och bråken 12/1, 25/2, 37/3, .. benämns "convergents". Vad skulle vi säga på svenska?
Torkel Franzen

Svar:

Jag skulle säga fullständigt förkortat bråk. Problemet med dina övriga frågor är att det knappt finns några böcker i talteori skrivna på svenska, och därför är mycket av dess terminologi inte standardiserad. Överhuvud taget är detta, att hitta lämpliga svenska namn på engelska matematiska uttryck, ett mycket vanligt förekommande problem. Eulers phi-funktion kallas nog bara för just det, och konvergenter kanske vore ett lämpligt namn på 'convergents'.

Jonas Månsson


16 februari 1999 09.35.45
Jag antar att t.ex. 5-logaritmen för 3 är ett irrationellt tal. Jag tänker mig att detta kan bevisas med motsägelse. Alltså: SGD(p,q) = 1 om log 3 är rationellt? log 3 = p/q ger 3 = 5^(p/q) = 5^(p-q) Om nu p/q är ett rationellt tal måste (p-q) vara ett heltal. Därmed måste ovanstående uttryck vara falskt, eller hur? Har jag nu gjort ett acceptabelt bevis?
Lars Mattsson

Svar:

Ditt resonemang är tyvärr fel då 5(p/q) inte är lika med 5(p-q). Däremot gäller att 3=5(p/q) => 3q=5p för några heltal p och q. Detta är omöjligt då 3 och 5 är relativt prima. Alltså måste 5:te logaritmen av 3 vara irrationell.

Jonas Månsson


15 februari 1999 22.53.19
Hej! Jag har en uppgift gällande en funktion som jag skulle vilja ha hjälp med: För den linjära funktionen f gäller: f(3)-f(1) = 10 f(4)+f(2) = 34 Bestäm f Tacksam för svar
Jarmo Niiranen

Svar:

Att f är linjär betyder att f(x)=ax+b där a och b är några konstanter. Vi vet att 10 = f(3)-f(1) = (3a+b)-(a+b) = 2a. Det ger att a=5. Det andra villkoret blir då 34=f(4)+f(2)=(5*4+b) + (5*2 +b) = 30 + 2b, så b=2. Vi får alltså att f(x)=5x+2.

Anna Torstensson


15 februari 1999 20.29.33
om jag har 50 äpplen och äter 47 vad får jag då?
pelle

Svar:

Ont i magen.

Anna Torstensson


15 februari 1999 19.58.57
Løs problemet å maksimere f(x,y) = under bibetingelsen 4x +y = 80 med Lagranges metode. For de verdiene av x og y som gir maksimum for f(x,y), finner du at Lagrange- multiplikatoren l =1/4. Følgelig er Lagrange-funksjonen L(x,y) = - 1/4(4x + y - 80) Vis hvorvidt denne funksjonen har et maksimum, et minimum eller et sadelpunkt for de verdiene av x og y som gir maksimum for f(x,y).
annie

Svar:

Tyvärr har beskrivningen av funktionen inte kommit med i brevet så jag kan inte beskriva hur Lagranges metod fungerar på just den här funktionen men en allmän beskrivning finns på 21 februari 1997 16.56.34

Anna Torstensson


15 februari 1999 19.58.16
En bedrift produserer og selger en vare som har denne etterspørselsfunksjonen: p = 2100 - 4x2 der p er prisen pr. enhet av varen og x er antall enheter solgt pr. måned. Bedriftens salgsinntekt pr. måned, R (x) er følgelig R(x) = px = 2100x - 4x3 Bedriftens samlede produksjonskostnader pr. måned er gitt som C(x) = 500 + 3x3 (Følgelig er bedriftens profitt per måned p = R(x) - C (x) a) Utled et uttrykk for den direkte priselastisiteten i etterspørselen etter varen. b) Vi antar at antall produserte og solgte enheter pr. måned er det samme. Beregn det antall produserte enheter pr. måned som gir maksimal profitt og vis matematisk at det er et punkt for maksimal profitt du har funnet. c) Beregn varens pris og den direkte priselastisiteten i etterspørselen for det antall enheter som gir maksimal profitt. Hvordan vil du karakterisere denne priselastisiteten?
anita

Svar:

Vinsten V ges av V(x)=R(x)-C(x)=-7x3+2100x-500. Där vinsten har en extrempunkt (max, min eller sadelpunkt) är derivatan V'(x) = 0. Eftersom V'(x)=-21x2+2100 inträffar detta i punkterna 10 och -10. På grund av problemformuleringen är vi endast intresserade av positiva x. Man ser på V'(x) att den är positiv till vänster om 10 och negativ till höger så V växer till vänster om punkten x=10 och avtar till höger. Detta visar att det rör sig om en maximipunkt. Varans pris får vi sedan från p=2100-4x2=2100-400=1700. Priselasticitet är ett ekonomiskt begrepp som jag inte känner till, så om du vill veta mer om matematiska egenskaper hos priselasticitet får du ge mig en definition av detta begrepp.

Anna Torstensson


15 februari 1999 19.57.33
Gitt funksjonen F[x,y] = x2 + y2 - 3/2 x - xy + 1 a) Finn eventuelle stasjonærpunkt og avgjør hvorvidt dette/disse er maksimums-, minimums- eller sadelpunkt. b) Utled differensialet til F[x,y] c) x og y er begge funksjoner av t, x(t) = 2t - 1 y(t) = t2 Utled differensialet til F[x(t),y(t)]. Beregn dF/dt for t = 1.
susi

Svar:

I stationära punkter är båda de partiella derivatorna noll. Här har vi att F'x = 2x-3/2-y och att F'y=2y-x. Om båda är noll måste (x,y)=(1,1/2). Vilken typ av stationär punkt det rör sig om ser man på den kvadratiska formen F''xx h2 + 2F''xy hk + F''yy k2 i punkten (1,1/2) som blir 2h2 -2hk + 2k2 i denna punkt. Den är positivt definit (dvs antar endast värden > 0 utom i origo där den blir 0) vilket ses genom att skriva om den som 2((h-k/2)2+3k2/4). Då är extrempunkten ett minimum. Differentialen för Fges av dF(x,y)(h1,h2)=F'x (x,y)h1 + F'y (x,y)h2 = (2x-3/2-y)h1 + (2y-x)h2. Differetialen för G(t)= F(2t-1,t2) = t4-2t3+5t2-7t+7/2 är dG(t)(h)=(4t3-6t2-7)(h). dF/dt(1)=G'(1)=-9.

Anna Torstensson


15 februari 1999 19.56.30
Oppgave 1 Gitt likningen 2x2 + y2 - 2xy = 100 a) Finn y' = dy/dx og y'' = d2y/dx2 ved implisitt derivasjon. b) (8, 14) er et punkt på grafen til likningen. Regn ut y' og y'' i dette punktet. Er grafen konkav eller konveks i (8, 14)?
Adriane

Svar:

Om vi deriverar 2x2 + y(x)2 - 2xy(x) = 100 m a p x får vi 4x+2y(x)y'(x)-2y(x)-2xy'(x)=0. Ur detta uttryck kan man beräkna y'(a) om man har givet en punkt (a,y(a)) på kurvan. Här får vi i (8,14) att 32+28y'(8)-28-16y'(8)=0 dvs y'(8)=-1/3. På samma sätt får man vid ytterligare en derivation att 4+2y'(x)2-4y'(x)+2y'(x)y''(x)-2xy''(x)=0 och att y''(8)=-25/54. Eftersom andraderivatan är negativ vet vi att grafen är konkav i punkten (8,14).

Anna Torstensson


15 februari 1999 16.02.21
1+2+3+4....+n=m^2. m och n är positiva heltal. 1=1^2 och 1+2+3+4+5+6+7+8=6^2 t.ex. Hur hittar jag det i:te n:et och m:et utan numeriska beräkningar? Hur ser den fullständiga lösningen till problemet ut? Tack på förhand
Dennis Eriksson

Svar:

Summan 1+2+3 ... +n blir n(n+1)/2. Tal av den formen kallas triangulära eftersom man får en triangel om man ritar 1 punkt på rad 1, två punkter på rad 2 osv. Din fråga handlar alltså om vilka triangulära tal som är kvadratiska. Man kan visa att det finns oändligt många sådana tal och att man successivt kan generera dem med den rekursiva formeln an = 34an-1 - an-2 +2. Genom att lösa denna rekursionsekvation får man ett direkt uttryck för an. Det blir

an = 1/32((17-12 sqrt(2))i + (17-12 sqrt(2))i -2)

(Uttrycket i VL blir ett heltal för varje i även om det kanske inte ser ut så.) Nu har vi alltså ett uttryck för den i:te summan. För att få det i:te värdet på m tar vi sqrt(an) och för att få det i:te värdet på n löser vi ekvationen n(n+1)=2an. Om du vill veta mer kan du söka efter kombinationen "triangular number" och "perfect square" på internet!

Anna Torstensson


15 februari 1999 09.31.48
Delbargetsreglen för talet 7?

Svar:

Jag känner inte till någon speciell delbarhetsregel för 7. Genom att räkna modulo 7 kan man se att talet an an-1 ... a4 a3 a2 a1 a0 är delbart med 7 precis om a0 + 3a1 +2a2-a3-3a4-2a5+a6+3a7+2a8-a9-3a10 ...osv ( multiplikation med 1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2 ...)är delbart med 7 men det verkar inte vara någon särskilt användbar regel. T ex ser man att 549157 är delbart med 7 eftersom 1*7+3*5+2*1-1*9-3*4-2*5=-7, som är delbart med 7.

Anna Torstensson


14 februari 1999 22.04.20
Jag har kört fast, även på denna uppgift: "Fyrhörningen ABCD är inskriven i en cirkel. Vinkeln A är 70 grader och vinkeln B är 105 grader. Beräkna de andra vinklarna i fyrhörningen." Facit säger "Vinkeln C=110 grader, vinkel D=75 grader" Min fråga är hur jag redovisar lösningen till uppgiften.
Johan Sturk, Sthlm

Svar:

Vinkelsumman för två motstående vinklar i en fyrhörning inskriven i en cirkel är alltid 180o.

Detta kan visas på följande sätt. Låt O beteckna cirkelns mittpunkt. Då är trianglarna OAB, OAD, OCD och OBC likbenta trianglar, och dess "basvinklar" måste vara lika. Vi låter de lika vinklarna i trianglarna ovan, i tur och ordning ha värdena a,b,c och d. Då vinkelsumman i en fyrhörning alltid är 360o måste 2*a+2*b+2*c+2*d=360 <=> a+b+c+d=180. Vinkelsumman av två motstående hörn blir nu alltid a+b+c+d (kontrollera!)

Jonas Månsson


14 februari 1999 21.55.40
Jag har kört fast på följande uppgift: "Fyrhörningen ABCD är inskriven i en cirkel. Vinkeln ABD är 110 grader och vinkel BDC är 40 grader. Beräkna vinkeln mellan AC och BD." Facit till denna uppgift säger "30 grader (vinkeln BAC=vinkeln BDC;bågvinklarna på samma båge)" Min fråga är hur fyrhörningen ser ut. Jag vet inte hur jag ska rita denna.
Johan Sturk, Sthlm

Svar:

inskriven

Kjell Elfström


14 februari 1999 16.25.48
Ett problem som jag grubblat på länge är, hur man visar att : (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) < 1/10 ? Tack på förhand.
Mårten

Svar:

(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(2n-1/2n)=2-2*n*(2n)!/(n!)2=2-2*n*(2*n över n)

och (2n)!/(n!)2 kan uppskattas med Stirlings formel.

Jonas Månsson


14 februari 1999 15.32.04
Jag undrar vad svaret av detta blir: (x2+y2-1)3-4x2y3 , Allt utom 1:an och 4:an är upphöjt...
Pierre

Svar:

(x2+y2-1)3-4x2y3 = x6+3x4y2+3x2y4+y6-4x2y3-3x4-6x2y2-3y4+3x2+3y2-1

Jonas Månsson


14 februari 1999 05.39.20
Jag undrar varför mantelarean av ett klot är 4*Pi*R*R. Jag fick den till Pi*Pi*R*R när jag försökte lösa problemet.
Anders

Svar:

Arean A för en rotationskropp kan bestämmas m h a följande integral:

A=2*pi*integral[a,b](f(x)*sqrt(1+(df/dx)2)).

Om vi nu betraktar övre halvcirkeln i planetmed radie R, som kan beskrivas med funktionen

f(x)=sqrt(R2-x2) , -R<x<R

och låter den rotera kring x-axeln så får vi

A = 2*pi*integral[-R,R](f(x)*sqrt(1+(df/dx)2)) =

2*pi*integral[-R,R](sqrt(R2-x2) *sqrt(1+(-x/sqrt(R2-x2))2)) =

2*pi*integral[-R,R](sqrt(R2-x2) *R/sqrt(R2-x2)) = 4*pi*R2.

Jonas Månsson


13 februari 1999 19.13.34
Ett litet katt o råtta problem: I hörnet av ett kvadratiskt rum ABCD med sidan 1 l.e ligger en katt o lurar. I hörnet B startar en liten mus en dödsföraktande rusning mot räddningen i form av ett hål i hörnet C. I samma ögonblick störtar sig även katten iväg med hastigheten V och rör sig hela tiden i riktning mot musen. Musen springer utmed väggen BC med konstant hastighet v=kV, där k<1. När katten befinner sig i punkten k=(x,k(x)) och musen i punkten M=(1,m(x)) skall altså tangenten till kattkurvan y = k(x) hela tiden gå genom M och vidare skall m(x)=ks(x) däe s(x) är längden av kurvbågen y=k(x) mellan 0 och K. Det går nu att ställa upp två villkor för s(x). och därgenom eliminera s(x), varefter man erhåller en integralekvation för k(x).Hur går man till väga för att beräkna det minsta tillåtna värdet på k för att musen ska klara sig ?? (s(x) är alltså formeln för båglängd)
Ante

Svar:

Vi beskriver situationen när katten har x-koordinaten a. Då befinner sig katten i (a,k(a)) och musen i (1,m(a)) där k och m är okända funktioner för kattens resp. musens y-koordinater. Tangenten till k(x) i a blir y-k(a)=k'(a)(x-a). På denna tangent skall punkten (1,m(a)) ligga så

m(a)-k(a)=k'(a)(1-a).

Eftersom musens hastighet är K gånger kattens har musen alltid sprungit K gånger så långt som katten. Det ger att

m(a)=K integral[0,a] sqrt(1+k'(x)2) dx.

(Integralen ger längden av kattkurvan.) Derivation ger att m'(a)=K sqrt(1+k'(a)2) och derivation av tangentvillkoret ger att m'(a)=k''(a)(1-a) så vi får att

k''(a)(1-a) =K sqrt(1+k'(a)2)

Om vi sätter l(a)=k'(a) får vi den separabla differentialekvationen

l'(a)(1-a) = K sqrt(1+l(a)2)

som kan skrivas dl/(sqrt(1+l2)) = K da/(1-a). Integration ger att ln(l + sqrt(l2 + 1)) = -K ln(1-a) +C. Exponentiering och användning av villkoret l(0)=k'(0)=0 ger

l + sqrt(l2 + 1) = (1-a)-K

Samma räkningar med n(a)=-k'(a)=-l(a) visar att

-l + sqrt(l2+1)=(1-a)K

Nu kan vi lösa ut l som

2l = (1-a)-K + (1-a)K

och därefter k som

2k=primitiv funktion till (1-a)-K + (1-a)K = (1-a)1-K/(K-1) + (1-a)K+1/(K+1 )+ C

0=2k(0) ger att C=2K/(1-K2).

Katten hinner ta råttan om k(1)<= 1 och k(1)=K/(1-K2)<=1 om och endast om K <= -1/2 + sqrt(5)/2 för K mellan 0 och 1. Musen måste alltså springa minst -1/2 + sqrt(5)/2 (ca 0,618) gånger så snabbt som katten för att klara sig.

Anna Torstensson


13 februari 1999 16.08.14
Hej! Snälla hjälp mig följande problem så fort Ni kan!!! -Vik ett A4-papper(har tjockleken 0,1 mm) så många gånger Du kan. Förklara varför det inte går att vika den mer än 7 ggr. Hur många gånger går det o vika den om den har tjockleken 0,01 mm istället? MVH Linda

Svar:

Varje gång man viker pappret fördubblas tjockleken. När du vikt pappret 7 gånger blir det 27 gånger så tjockt som från början, dvs 128*0,1 mm = 1,28 cm Om pappret är 0,01 mm från början kan man vika det 10 gånger innan tjockleken överstiger 1 cm. Efter 10 vikningar blir det 1024*0,01 mm = 1,024 cm.

Anna Torstensson


13 februari 1999 14.57.53
Hej ! Hur löser man denna ekvation ? 0 = 10 e( 0,02t + ln (1/4 ) / ( 1 + e( 0,02t + ln (1/4 ) ) Tack snälla på förhand
Maria

Svar:

Multiplikation med uttrycket i nämnaren och division med 10e på båda sidor ger 0=0,02t + ln(1/4). Här kan vi lätt lösa ut t genom att flytta över ln(1/4)=-ln4 och dividera med 0,02. Vi får t= ln4/0,02=50 ln4

Anna Torstensson


13 februari 1999 14.48.04
I ett visst(ej nödvändigtvis ortonomerat) koordinatsystem {O e1 e2} i planet är punkterna P=(-1,0) och Q=(0,2), samt den räta linjen l: 2x + y + 4 = 0 givna. Ett nytt koordinatsystem {O' e1' e2'} väljs genom O'=P , e1'=vektorn OP och e2'=vektorn PQ. Ange en ekvation för linjen l i koordinatsystemet {O' e1' e2'}.
Jenny Begané

Svar:

I det gamla koordinatsystemet består linjen av punkter med koordinaterna (t,-4-2t) där t varierar. Det betyder att om R är en punkt på linjen så är OR = te1+(-4-2t)e2. I det nya systemet vill vi skriva O'R = ae1' + be2' men vi känner inte till a och b. Vi har dock att e1'=-e1, e2'=e1+2e2 och O'R = e1 + OR. Om vi löser ut e1 och e2 ochsätter in detta i vårt uttryck för OR ovan så får vi att O'R+e1'=t(-e1') + (-4-2t)(e2' + e1')/2 dvs O'R=e1'(-2t-3)+e2'(-2-t). I det nya systemet har alltså punkterna på linjen koordinater (-2t-3,-2-t). I ekvationsform blir det x-2y -1=0.

Anna Torstensson


12 februari 1999 20.41.55
Låt V1, V2, V3 och V4 vara de vinklar som en given rät linje bildar med rymddiagonalerna i en given kub i rummet. Beräkna summan av: (cos V1)^2 + (cos V2)^2 + (cos V3)^2 + (cos V4)^2 Mvh
Roland Bengtsson

Svar:

Vi kan anta att kuben har sidlängd 1. I standardbasen i R3 ges rymddiagonalerna av

D1=(1,1,1)-(0,0,0)=(1,1,1), D2=(0,1,1)-(1,0,0)=(-1,1,1), D3=(1,0,1)-(0,1,0)=(1,-1,1), D4=(1, 1,0)-(0,0,1)=(1,1,-1).

Låt u=(u1,u2,u3) vara en vektor på linjen av längd 1. Då har vi att <Di,u>=|Di| cosVi, dvs skalärprodukten av Di och u är lika med längden av Di gånger cos Vi. Det följer att

(cos V1)2+ (cos V2)2 + (cos V3)2 + (cos V4)2 =( <V1,u>2 +<V2,u>2 + <V3,u>2+<V4,u>2)/3 = 4(u12 + u22 + u32)/3 = 4/3

I näst sista steget har vi använt att formeln <u,v>=u1v1 + u2v2 + u3v3 gäller i vår ortonormerade bas och i sista steget har vi använt att u har längden 1.

Anna Torstensson


12 februari 1999 19.59.01
Hur härleder jag ekvationen för en spiral vars radie ökar linjärt - eller enligt en godtycklig funktion r(v) - mot gradtalet för hur mycket spiralen har "snurrat" kring sin medelpunkt?
Bertil Olsson

Svar:

När spiralen snurrat vinkeln v kring sin medelpunkt befinner vi oss på en punkt som ligger på avståndet r(v) från mittpunkten. Om vi antar att spiralens mittpunkt ligger i origo på vårt koordinatsystem har punkten vi befinner oss på koordinaterna (r(v)cos v, r(v)sinv).

Anna Torstensson


12 februari 1999 16.17.24
Läste just Fermat gåta av Simon Singh, där nämns Bachet och hans vikt problem, ex i boken (1-40) kan nås med följande vikter, 1, 3, 9, och 27. Nu undrar jag om man skall nå 100, krävs du samma vikter plus 81, alltså 5 vikter, eller går det att uppnås med 4 andra vikter? I så fall vilka?
Dennis

Svar: Man kan få fram vikten k med hjälp av vikterna m1, m2, m3 och m4 om och endast om man kan skriva k genom att använda några av siffrorna mj samt plus och minustecken. (Detta gäller om man tillåter användning av båda vågskålarna som i boken.) Plustecken betyder att man lägger vikten i ena vågskålen och minustecken att man lägger den i den andra. För varje av de fyra ikterna har vi tre val: inte använda den, lägga den i vågskål 1 eller lägga den i vågskål 2. Totalt ger detta 34=81 möjligheter så vi kan aldrig få alla vikter mellan 1 och 100 med fyra vikter.

Anna Torstensson


12 februari 1999 11.47.10
Hej, jag har en uppgift som jag behöver hjälp med: "Åldersgrupp Andel av totalbefolkningen
0-10 12,81
11-20 11,48
21-30 13,08
31-40 13,71
41-50 13,59
51-60 12,33
61-70 9,02
71-80 8,23
81-90 5,14
91-100 0,61
Åldersfördelningen kan visas i ett histogram där arean av varje stapel svarar mot procentandelen i denna grupp. Sammanlagda arean blir då 100% = 1. Enheten på den vertikala axeln är %/år och år på den horisontella. Bestäm en polynomfunktion p(t) av lämpligt gradtal som "jämmar ut" histogrammet (ev kan olika polynom i olika intervall användas). För p(t) gäller integralen med gränserna 1 och 100 p(t)dt=1. Funktionen p(t) kallas ibland förr en frekvens funktion. Undersök vilka egenskaper den har och hur den kan användas för att bestämma median och medelvärde för befolkningens ålder. I många andra sammanhang följer fördelningen den normala frekvensfunktionen. Vilka egenskaper har den?" MVH
Yad Azad

Svar:

Se svaret 17 april 1998 13.02.27.

Anna Torstensson


12 februari 1999 11.29.07
Hej, jag har jobbat med den här uppgiften i matte E, men jag har inte lyvkats mrd att lösa den. Jag hoppas att ni kan hjälpa mig. Tack i förväg! Den som odlar fisk i en damm vill naturligtvis ta upp fisken när den sammanlagda vikten är maximal. För en viss laxfisk gäller: 1. Fiskens längd L ges av formeln L=80(1-o.96^t) t=månader fisken varit i dammen 2. Fiskens vikt i gram ges av tabellen Längd/cm Vikt/gram 10,1 15 25 236 32 520 35,4 660 43,8 1250 45,5 1425 55,7 2590 3.Fiskens livslängd kan bestämmas ur formeln N=1000*0,96^t där N är antalet fiskar av 1000 utplanterade som är kvar t månader efter utplanteringen. Hur länge bör fisken vara kvar i dammen?
Sofia L.

Svar:

Se svaret 4 maj 1998 19.29.31.

Anna Torstensson


11 februari 1999 23.16.09
Hej Hur löser man följande ekvation: x * cosx = 3 - x (ej grafiskt)?
Gustav

Svar:

Prova med t.ex. Newton-Raphsons metod. Se 31 mars 1997 11.44.13.

Jonas Månsson


11 februari 1999 21.22.27
Hur integrerar man följande funktion: 3x-x*sqrt(1+x^2).
Lars.

Svar:

integral(3*x-x*sqrt(1+x2)) = (3/2)*x2-(1/3)(1+x2)3/2+C

Jonas Månsson


11 februari 1999 18.33.26
Hej! Visa att uttrycket n (upphöjt till 3) - n , där n är ett positivt heltal, alltid delbart med 6?
????????????

Svar:

n3-n = n(n2-1) = (n-1)n(n+1)

Då detta är produkten av tre intilliggande heltal, måste precis ett av dem vara delbart med 3. Dessutom måste minst ett tal vara delbart med 2. Då 2 och 3 är relativt prima följer att 2*3=6 är en delare till hela talet.

Jonas Månsson


11 februari 1999 18.31.03
Hej! Ett sexsiffrigt tal abb2ac är delbart med 3,5,7 och 11 samt med ytterligare en udda primtalsfaktor. Sök siffrorna a, b och c med hjälp av delbarhetsreglerna? Tack på förhand!
Frågetecknet

Svar:

Vi använder oss av s.k kongruensräkning och låter '=' stå för kongruenstecknet.

Nu gäller

n=a*105+b*104+b*103+2*102+a*10+c =9*a+2+c=0 mod 11.

Samtidigt då 5|n, så måste c=0 eller c=5. Prova med c=5. Då får vi 9*a=4 mod 11 som har den enda lösningen a=9 mod 11, d.v.s a=9. Vi har även

n=a*105+b*104+b*103+2*102+a*10+c=a+3*b+4+c=9+3*b+4+5=3*b+4=0 mod 7.

3*b=3 mod 7 => b=1.

och

n=911295=32*5*7*11*263

uppfyller kriteriet i uppgiften.

Jonas Månsson


11 februari 1999 16.20.36
Hej! Jag har en fråga som jag skulle vilja få en lösning på (Matte E): En Fallskärmshoppare landar slumpvis inom ett kvadratiskt skogsområde med sidan 1 mil. I områdets fyra hörn finns radiosändare. Vad är sannorlikheten att hon i sin radio kan höra alla sändarna om räckvidden är 1 mil?
Anna Malmgren

Svar:

Vi vill bestämma arean av det område som bildas om vi ritar ut cirkelbågar med avstånd 1 från varje hörn. Detta område består av en kvadrat och fyra cirkelsegment. Om vi inför ett koordinatsystem med origo i ena hörnet får två intilliggande skärningspunkter mellan cirkelbågarna koordinaterna (1/2,sqrt(3)/2) samt (sqrt(3)/2,1/2). Avståndet mellan dessa punkter blir m h a pythagoras sats sqrt(2-sqrt(3)). Sålunda är arean av kvadratdelen K=2-sqrt(3). Arean av ett av cirkelsegmenten är (r2/2)(a-sin a)=(1/2)(a-sin a) där a är vinkeln av motsvarande cirkelsektor. Från cosinussatsen får vi att vinkeln måste vara pi/6 (=30o). Insättning ger att ett cirkelsegment har arean S=pi/12-1/4, och således är den totala arean A=K+4S=pi/3+1-sqrt(3), vilket är identiskt med sannolikheten (då totalarean är 1).

Jonas Månsson


11 februari 1999 14.23.12
Vad blir x^4o(1) + x^5o(1) där o(1) är lilla ordo?
Per Andersson

Svar:

Att en funktion f(x)=o(xa) då x går mot 0 betyder att f(x)/xa går mot 0 då x går mot 0. Sålunda måste x4o(1) + x5o(1) =o(x4)+o(x5)=o(x4).

Jonas Månsson


11 februari 1999 12.05.39
Vad är en algoritm (per definition)
Bengt Sjöholm

Svar:

En formel eller en följd av operationer för att lösa ett specifikt problem. För att vara en algoritm krävs att vi har tillgång till ett regelsystem som inte är motsägelsefullt, samt att proceduren alltid avslutas.

Jonas Månsson


11 februari 1999 10.09.57
Hur anges en vinkel i uppvektor? T.ex vinkeln 35 grader. Är X- och Y-axlarna definierade som "vanligt" eller är de omkastade?
NW & RL

Svar:

Jag vet tyvärr inte vad en uppvektor är. Var vänlig förklara.

Jonas Månsson


11 februari 1999 09.40.25
En stor, öppen och cylinderformad vattentank ska konstrueras. Tanken ska rymma 1000m3 och ha en bottentjockleck på 0.25m. För väggtjockleken t meter gäller att t=0.002*x*r, där x meter ät det maximala vattendjupet och r meter är tankens radie. Hur mycket cement går det minst åt?
Farbror Blå.

Svar:

Se svar på fråga från 29 januari 1997 12.24.13.

Jonas Månsson


11 februari 1999 09.06.19
Egyptiska siffror?
jonas8408@hotmail.com

Svar:

Se svar på fråga från 6 maj 1998 19.43.47

Jonas Månsson


11 februari 1999 08.48.33
Hur mycket är 5*6
joffa

Svar:

Det beror på i vilken ring du avser. I den vanliga heltalsringen är det lika med 30, men i t.ex Z7 är det lika med 2.

Jonas Månsson


11 februari 1999 03.12.33
Hejsan! Jag undrar om ni har hört talats om wawelets och isåfall vad är det och vad kan man använda den till?
Tommy Jansson

Svar:

Se t.ex. An Introduction to Wavelets .

Jonas Månsson


10 februari 1999 22.36.24
Hej, och tack för en bra svarsspalt. Jag har en fråga angående sannolikheten att en patiens ska gå ut. 123-patiensen lägger man på följande sätt: Man tar det första kortet i (den blandade) kortleken och säger "ett". Är kortet inte ett ess så tar man nästa kort och säger "två". Är kortet inte en tvåa tar man nästa kort och säger "tre". Är det inte en trea så börjar man om på 1 igen. Enligt mina beräkningar tycker jag att sannolikheten att denna patiens går ut borde vara (2/3)^12 eftersom det finns 12 "farliga" kort (3*4) och man har 2/3 chans på varje kort. Stämmer detta? Jag har nämligen gjort en simulering på datorn och där stämmer det inte riktigt. Istället tenderar sannolikheten att gå mot 0,0082 (istf för (2/3)^12 som är 0,0077), och detta efter 1000000 partier av patiensen. Jag tycker att det borde stämma bättre efter så många partier. Är det mitt räknande som är fel eller min programmering? Tack på förhand.
Peter

Svar:

Med ditt resonemang får man en approximation av sannolikheten. Att räkna ut den exakta sannolikheten är något mer komplicerat. Det beror på att sannolikheten för att få ett ess som andra kort är större om man vet att man inte fick ett ess som första kort än om man bara tar ett kort slumpmässigt. Jag räkande ut sannolikheten på följande sätt:

Korten i en kortlek kan ordnas på 52! sätt. Vi räknar ut hur många ordningar som är tillåtna. Essen måste placeras på '2-förbjudna' och '3-förbjudna' platser. Om k st ess är på '2-förbjudna' platser så har vi

binomial(17,k)binomial(17,4-k)binomial(4,k)k!(4-k)!

möjligheter för vi väljer först vilka k av de '2-förbjudna' platserna vi skall använda. Sedan vilka av de '3-förbjudna' platserna, vilka av de 4 essen som skall vara på '2-förbjudna' platser och slutligen i vilken ordning essen i de två grupperna skall placeras. Nu återstår 18 'ess-förbjudna' platser, 17-k '2-förbjudna' och 13+k '3-förbjudna. Med ungefär samma resonemang som ovan får man att antalet sätt att placera ut 2orna , med n st på 'ess-förbjudna' platser, är

binomial(18,n)binomial(13+k,4-n)binomial(4,n)n!(4-n)!

Sedan finns 35-n-k platser kvar som 3orna kan placeras på. Det kan göras på binomial(35-n-k,4)4! sätt. Övriga kort kan ordnas på 40! sätt. Antalet sätt att få ut patiensen med k ess på '2-förbjudna' platser och n 2or på 'essförbjudna' platser är alltså

binomial(17,k)binomial(17,4-k)binomial(4,k)k!(4-k)! binomial(18,n)binomial(13+k,4-n)binomial(4,n)n!(4-n)!binomial(35-n-k,4)4!40!

Genom att summera över alla n och k mellan 0 och 4 får man totala antalet sätt att få ut patiensen. Division med 52! ger sannolikheten . Den blir 24532967512/3004641364725 vilket är ungefär 0,008165. Det verkar alltså som ditt simuleringsprogram fungerar.

Anna Torstensson


10 februari 1999 22.26.46
Vi har cirkeln y*y + x*x = a*a och parabeln x*x + a*y = a*a. P är en punkt på parabeln. Tangenten i P skär cirkeln i punkterna A och B. Bestäm max av kordan AB!
David Wennström

Svar:

Parabelfunktionen kan skrivas y=f(x)=a-x2/a. Vår punkt P har alltså koordinaterna (b,a-b2/a), där vi låter b variera. Tangenten i P har ekvationen

(y-(a-b2/a))/(x-b)=f'(b)=-2b/a

Förenkling ger att y=-2bx/a+a+b2/a

Punkterna A och B ligger både på tangenten och cirkeln så de är lösningarna till systemet:

y=-2bx/a+a+b2/a

x2+y2=a2

Insättning av y i andra ekvationen och förenkling ger att A och B har x-koordinaterna

Ax,Bx=b(2a2+2b2+-asqrt(2a2-b2))/(a2+4b2)

Eftersom A och B ligger på tangenten ges deras y-koordinater av

Ay,By=-2b(Ax eller Bx)/a +a +b2/a= (ab2 + a3 +-2b2sqrt(2a2-b2))/(a2+4b2)

Vi vill maximera avståndet mellan A och B genom att variera b så vi ser på avståndsfunktionen

d(b)=(Ax-Bx)2+(Ay-By)2

(d(b) ger egentligen avståndet i kvadrat men d(b) har maximum samtidigt som sqrt(d(b)) )

Efter förenklingar får vi att d(b)=-4b2(-2a2+b2)/(a2+4b2)

I d:s extrempunkter är derivatan d' lika med noll så vi beräknar

d'(b)=-16b(-a4+a2b2+2b4)/(a2+4b2)2

d'(b)=0 om b=0 eller -a4+a2b2+2b4=0

Ekvationen är lätt att lösa med substitutionen z=b2, och vi får lösningarna ai,-ai,a/sqrt(2),-a/sqrt(2). Eftersom vi söker (en reell) koordinat är vi bara intresserade av de reella lösningarna. T ex genom att studera hur d'(b):s tecken varierar inser man att b=+-a/sqrt(2) är de lösningar som ger maximum.

Kordans maximala längd blir sqrt(d(a/sqrt(2)))=sqrt(d(-a/sqrt(2))=a.

Anna Torstensson


10 februari 1999 20.06.53
Hej! Jag skulle vilja veta mer om talet e. Vart kommer det ifrån och vad är defenitionen på e? Jag är också tacksam om ni har tips på hemsidor/böcker där jag kan få veta mer om e. mvh Ingrid Pettersson
Ingrid Pettersson

Svar:

Talet e definieras som gränsvärdet av (1+1/n)n n går mot oändligheten. Mer om talet e kan du läsa på The Natural Logarithmic Base . Där finns också tips på andra internetsidor och litteratur som handlar om e.

Anna Torstensson


10 februari 1999 15.23.54
Hej Kjell, ställde en fråga som försvann den 2 februari angående formeln för en Superelips. Formeln är (x/a)^3+(y/b)^3=1. Jag har problem med att lösa ut X ut denna. Hur gör man?
Mats Remgård

Svar:

Flytta över (y/b)3 till högerledet och multiplicera med a3 . Då får vi att x3 = a3-(ay/b)3. Det finns exakt ett värde på x som uppfyller denna ekvation (för givna a, y och b). Detta x-värde kallas tredje roten ur a3-(ay/b)3 eller (a3-(ay/b)3)1/3. Svaret är alltså x=(a3-(ay/b)3)1/3.

Anna Torstensson


10 februari 1999 15.21.06
Hur används en gradskivas nedre del? (jag tänker på de äldre gradskivorna).
Babak Bassari

Svar:

När det gäller att mäta och rita vinklar är den halvcirkelformade skivan fullt tillräcklig, men vill man rita en cirkelbåge vars vinkel överstiger 180° kan man fördel använda en cirkulär gradskiva.

Kjell Elfström


10 februari 1999 13.16.22
Hej! Jag håller på med en liten tankenöt som ser ut som följer:
(a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(e-x)(f-x)(g-x)(h-x)(i-x)(j-x)(k-x)(l-x)(m-x)(n-x)(o-x)(p-x)(q-x)(r-x)(s-x)(t-x)(u-x)(v-x)(x-x)(y-x)(z-x)(å-x)(ä-x)(ö-x)
Min mattelärare påstår att jag borde kunna lösa den utan att "grovjobba" den, men kan inte förmå mig att förstå hur detta skulle gå till. Tack på förhand!
Fredrik Paues

Svar:

Ledning: betrakta termen (x-x) i produkten.

Dmitri Apassov.


10 februari 1999 12.09.54
Vad är 1+1?
2

Svar:

Detta är riktigt.

Dmitri Apassov.


10 februari 1999 11.01.49
Snälla hur får man ett probelm för en i sjuan? Tack på förhand ,skicka svar till Max_taxen@hotmail.com
Max Tillberg

Svar:

Visa att (x2+1)(y2+1)(z2+1) >= 8xyz för alla positiva heltal x,y och z.

Ledning: visa först att x + 1/x >=2.

Dmitri Apassov.


10 februari 1999 10.52.36
Var kan man hitta ett problem som ingen har löst? Skicka svar till Max_taxen.@.hotmail.com
Max Tillberg

Svar:

Sådana problem är i allmänhet alldeles för svåra att ge sig på utan nödnändiga bakgrundskunskaper. Du kan söka på Internet efter t ex unsolved mathematical problems. Se också t ex 10 februari 1999 10.45.31. En sida där du kan finna tävlingsproblem är Unga Matematiker Lagtävlingar.

Kjell Elfström


10 februari 1999 10.45.31
Är det verkligen bevisat att alla jämna tal (förutom 2) är summan av två primtal?
Martin

Svar:

Nej, detta är fortfarande okänt - men forskningen fortsätter. Man jobbar t ex med att uppskatta storleken av den s k Exceptional Goldbach Set (mängden av de jämna tal som inte kan skrivas som summan av två primtal) för att (eventuellt) bevisa att EGS är tom.

Dmitri Apassov.


10 februari 1999 09.22.35
Ang diagnostiska test. Hur många elever bör ha utprovat testet för att normeringarna ska vara vederhäftiga? Räcker det med 350 st eller bör det vara minst 1000st
Christer Bosson

Svar:

Frågan är utanför mitt kompetensområde. Titta i någon statistisk lärobok.

Dmitri Apassov.


9 februari 1999 17.22.44
Vilket är det största talet?
Susanne

Svar:

Det finns inget största tal, ty funnes det ett sådant tal a skulle a + 1 vara mindre än eller lika med a vilket är orimligt.

Kjell Elfström


9 februari 1999 09.19.16
Antag att du har en sfär med en godtycklig radie r. Sfären är uppbyggd i ett latitud, logitud system. På den sfären så finns det två punkter. P1 som har koordinaten lat1, lng1 och förflyttar sig i riktningen alpha1 P2 som har koordinaten lat2, lng2 och förflyttar sig i riktningen alpha2 Vinklarna är i förhållandet "tänkta riktningen" och riktningen "latitudens pol" (eller norr) Antag att punkterna roterar runt sfären så att plan bildas. Vilken är den enklaste formeln för att beräkna koordinaterna på sfärens yta där "planen" skär varandra, och hur ser den formeln ut?
Kjell

Svar:

Enligt svar från 7 november 1996 14.52.50 kan motsvarande plan bestämmas av sina normaler n1 och n2, som i sin tur bestäms utav Pi och alphai - som entydigt definierar storcirklar längs vilka punkterna förflyttar sig.

En punkt P(x,y,z) som ligger i skärningen måste uppfylla:

x2 + y2 + z2 = 1

(x,y,z)n1 = (x,y,z)n2 = 0

Detta är enklaste formen på lösningen jag kan tänka mig.

Dmitri Apassov.


9 februari 1999 07.48.36
Hur stor ska toppvinkeln på en rak kon vara för att få störst möjliga area?
Ann

Svar:

Jag måste också veta vilken av kons parametrar (höjden, radien ..) som hålls konstanta. Var god att förtydliga.

Dmitri Apassov.


8 februari 1999 23.39.42
10 Lerduveskyttar står beredda att skjuta på 10 lerduvor som kastas iväg.Alla skyttar träffar den lerduva de siktat på.De väljer slumpvis lerduva och helt oberoende av varandra.Hur många lerduvor åker i backen i snitt,om man skjuter låt säga 1000 salvor !! Hjälp mej !!
Marcus

Svar:

Sannolikheten att en viss lerduva inte blir nedskjuten vid en salva är (9/10)10 varför sannolikheten att den blir nedskjuten är 1 - (9/10)10 vilket är ungefär 0,651. I genomsnitt träffas alltså 6,51 duvor vid varje salva.

Kjell Elfström


8 februari 1999 22.50.19
Jag undrar lite över det matematiska språket. Är det internationellt? Kan man man säga något om de tecken som används och varför de används?
Marianne

Svar:

De formella beteckningarna är internationella. Engelskan och franskan används mest i texten. Om hur och varför de olika beteckningar används hänsvisar jag till motsvarande sida på nätet:

History of Math Topics Index.

Dmitri Apassov.


8 februari 1999 20.40.37
Hej. Kan ni maila mig och informera mig om Hamiltonian grafer och "traveling salesman problem" hamiltonstig, hamiltoncykel Gärna om ni har matrial på svenska, men jag tar gärna emot bra tips fr. weben min mail d97-amo@nada.kth.se Mvh Amo.
amo

Svar:

Om hamiltoncykler/vägar läs

Dmitri Apassov.


8 februari 1999 11.50.20
Hur bevisar man att kvadratroten ur 2 är ett irrationellt tal?
Vilsen mattestuderande

Svar:

Antag motsatsen, dvs att 21/2 = m/n där m och n heltal utan gemensamma delare (ekvivalent med att sgd(n,m) =1). Kvadrera likheten och multiplicera med n2: 2n2 = m2, vilket medför att m2 och således även m är delbar med 2; alltså är m = 2k för något heltal k.

Substitutionen ger n2 = 2k2 och det följer att n2 (och då även n) är delbart med 2. Detta motsäger antagandet sgd(n,m) =1.

Dmitri Apassov.


8 februari 1999 08.20.34
Hur snabbt rör sig jorden runt solen i km/h???
Anna, Anna, Reuben, Dennis

Svar:

Detta är en fysikfråga. Se vår länksida under frågelådor.

Kjell Elfström


7 februari 1999 18.52.34
Hej! Talet Phi är det enda tal som kan sättas in i formeln x=1+1/x. Finns det benämningar på talet x och y i formlerna: x=2+1/x och y=3+1/y?
Mats Andersson

Svar:

Nej, det tror jag inte.

Dmitri Apassov.


7 februari 1999 18.16.08
Kan du ge ett exempel på en mängd som har ett större kardinaltal än de reella talen förutom potensmängden av de reella talen? MVH
Marius Pontmercy

Svar:

T ex mängden av alla funktioner R->R.

Dmitri Apassov.


7 februari 1999 18.12.09
Jag har läst i en populärvetenskaplig tidning att två matematiker har bevisat att alla (!) människor är bekanta med varandra genom ett led av maximal sex vänner.Är detta påstående sant ? Hur kan man bevisa det i fall att det är sant? MVH
Marius Pontmercy

Svar:

Ack dessa populärvetenskapliga tidskrifter! Vid närmare eftertanke kan jag tänka mig 6 kompisar som lever på ett öde ö och känner bara varandra, vilket motsäger tidningens påstående...

Dmitri Apassov.


7 februari 1999 18.03.58
Jag har läst ditt svar angående kontinuumhypotesen ( 25 september 1997). Kan du förklara hur det är möjligt att bevisa att man inte kan vederlägga en hypotesn (Gödel) respektive att man inte kan bevisa den (Cohen)? MVH
Marius Pontmercy

Svar:

Se svar från 17 april 1997 20.06.03.

Dmitri Apassov.


7 februari 1999 17.40.09
Vad är wavelets, och vad kan man använda den till?
Ulf Lennart Nilsson

Svar:

en supercool sida om krusningar (som de heter på svenska) finns här.

Dmitri Apassov.


7 februari 1999 15.46.03
Hur härleder man tyngdpunkten för en halvcirkel???
zwahlen@bigfoot.com

Svar:

Vi antar att halvcirkeln D har radie 1, centrum i origo och ligger i övre halvplanet.Först beräknar man momenten

Mx = dubbelintegralen[över D] x dxdy = 0

och

My= dubbelintegralen[över D]y dxdy = 2/3.

Tyngdpunkten har koordinater (Mx/A , My/A) = (0,2/3pi) där A = pi är cirkelns area.

Dmitri Apassov.


7 februari 1999 14.27.13
Hej. Säg att en cirkel har diametern 1,20m. Hur räknar jag då ut den arean som gäller under en tänkt 0,45m-linje?
Björn Sinclair

Svar:

Jag tolkar din fråga som att du önskar beräkna arean av ett cirkelsegment. Se 30 januari 1997 09.59.08.

Kjell Elfström


7 februari 1999 14.11.37
Hej! På senare tid har det pratats en del om pi-ramsor. Det finns en på svenska som ger 31 siffror.
"Ack, o fasa, numer förringas
ty skolan låter var adept itvingas
räknelära medelst räknedosa
och så ges tilltron till tabell en dyster kosa.
Nej, låt istället dem nu tokpoem bibringas!"
Den längsta pi-ramsa man kommit på ger 740 siffror. Den hittar man bl.a på följande URL: http://www.geocities.com/TelevisionCity/Studio/2300/pi/korp.html
Mats Andersson

Svar:

Tack för din insats. Vi gör en länk:

Den längsta pi-ramsa man kommit på.

Dmitri Apassov.


7 februari 1999 13.10.23
Hejsan! Jag skulle behöva hjälp med följande problem: Visa att ekvationen: x^3+ax^2+bx+c=0 (1) övergår i: x^3+px+q=0 (2) om x ersätts med: x-a/3 När har ekvationen (1) tre reella rötter som är olika stora? Visa i ett pq-system de områden där ekvation (2) har en, två, respektive tre reella rötter. Vad är ett pq-system förresten?
Johan

Svar:

Jag hänvisar till svaret från 28 januari 1997 10.06.25.

Dmitri Apassov


7 februari 1999 11.15.53
En kvadrats area är 60 kvadratcm. större än en annan kvadrats area. Den mindre kvadratens sidor är 4 cm kortare än den större kvadratens sidor. beräkna den midre kvadratens omkrets.
Anders Kläringe

Svar:

Låt x vara den stora kvadratens sidolängd och y den lilla kvadratens ditto. Då är villkoren att x2 = 60 + y2 och x = 4+y. Insättningen ger (4+y)2 = y2 + 8 y + 16 = 60 + y2 => y = 11/2. Omkretsen av den lilla kvadraten är då lika med 4 y = 22.

Dmitri Apassov.


7 februari 1999 09.26.01
Hur bevisar man entydighetssatsen för Taylorutvecklingar?
Martin

Svar:

Jag hänvisar till beviset på sid. 398 i Tengstrands Envariabelanalys.

Dmitri Apassov.


6 februari 1999 23.44.19
Läser andra året på natur och undrar följande: Givet ett rektangulärt rum med bredden tre samt längden fyra meter. Antag nu, att vi lägger ut en matta (ungefär längs diagonalen) med bredden en meter på ett sådant sätt att hörnen i mattan tangerar väggarna.
Hur lång är mattan ?
Tim Zedig

Svar:

Kalla rummets hörn A, B, C och D och antag att de är uppräknade så de ligger intill varandra och låt på samma sätt mattans hörn vara P, Q, R och S. Antag att P tangerar väggen AB och att Q tangerar BC samt att AB är 3 meter och att PQ är 1 meter. Låt vidare PB vara x, BQ y och mattans längd z meter. Likformiga trianglar ger då att

z/(3 - x) = 1/y

och

z/(4 - y) = 1/x

vilket kan skrivas

3 - x = yz,   4 - y = xz

och adderar vi dessa båda likheter får vi

7 - (x + y) = (x + y)z
vilket ger att

x + y = 7/(1 + z).

Vi utnyttjar nu också att rummets area är 12 m2 och att denna kan fås som summan av mattans area och areorna av de fyra trianglarna.

12 = z + xy + (3 - x)(4 - y) = z + xy + yzxz = z + xy + xyz2,

vilket ger att

xy = (12 - z)/(1 + z2).

Enligt Ptyhagoras sats är

(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = 1 + 2xy

och sätter vi in uttrycken för xy och x + y i denna ekvation och multiplicerar med nämnarna får vi fjärdegradsekvationen

z4 - 27z2 + 48z - 24 = 0.

Denna ekvation har bara en positiv rot och den är ungefär 4,085.

Kjell Elfström


5 februari 1999 16.46.30
Jag ska rita upp hur liten en måltavla (d=1.22 m) ser ut i bågskyttens ögon (90 m avstånd). Hur ska jag bära mig åt?
johan.andersson@sgb.se

Svar:

Hur stor måltavlan skall ritas på ett papper så att den ser lika stor ut som den verkliga måltavlan beror på hur långt från ögonen papperet skall hållas. Vi antar att detta avstånd är 25 cm. Tänk dig då papperet som en glasskiva och att du befinner dig 25 cm från skivan och 9000 cm från tavlan. Ljusstrålarna från tavlan skär ut en cirkel i glasskivan. Om R är tavlans radie och r bildens radie ger likformiga trianglar att

R/9000 = r/25

varav följer att

r = 25R/9000 = 25.61/9000 cm.

Kjell Elfström


5 februari 1999 16.22.49
Hej!
Ställde en fråga angående en formel för att ta reda på hur många kort ett korthus innehåller. Tyvärr var formeln inte den rätta. Rätt formel jag vill ha förkortad (om det går) är:
y=((x-1)^2+x-1)/2+x^2+x
där y är antalet kort och x antalet våningar. Kan denna formel förkortas ytterligare? Tack på förhand!
Mats Andersson

Svar:

Oavsett vad formeln gäller kan den skrivas som

y = x(3x + 1)/2.

Kjell Elfström


5 februari 1999 16.06.20
Jag undrar vad vedisk matematik är och om det finns några böcker om den
Tack per larsson

Svar:

Söker man på nätet efter Vedic mathematics får man många träffar och många av dem verkar handla om en bok som heter just så. Se t ex Vedic Mathematics.

Kjell Elfström


5 februari 1999 13.12.26
Hej ! Jag har en uppgift att skapa ett program i Visual Basic, där man skriver in ett tal i arabiska siffror och får det skrivet i romerska siffror, samt skriva in ett tal i romerska siffror och får det tillbaks i arabiska siffror. Jag vet att det är inte ren matematisk fråga men jag uppskattar all hjälp jag kan få. Tack, Madde.
Madde .

Svar:

Implementera reglerna som är beskrivna här till exempel. Mer om romerska siffrorna här.

Dmitri Apassov.


5 februari 1999 08.49.49
Jag fick i uppdrag av min lärare att söka efter Laborativ matematik men jag hittar inte något. Vad är det? Var kan jag hitta det?
Gurra s

Svar:

Jag vet inte riktigt vad laborativ matematik är för någonting men detta är vad Altavista hittar.

Dmitri Apassov.


5 februari 1999 01.32.20
Hej igen! Jag skulle också vilja kommentera Kjells svar på min fråga 9/12 om enhetshyperkuben som har halv-enhetshypersfärer med centrum i varje kubhörn. En maximal inskriven hypersfär hamnar märkligt nog delvis utanför kuben vid dimension>=5. Visst finns det inget i konstruktionen som logiskt hindrar detta (tack gode gud) men poängen var ju om det är svårt att intuitivt se detta även för er tränade matematiker(som inte vet att den logiskt skall hamna utanför). Jag antar att intuitionen spelar en väsentlig vägledande roll vid t.ex. forskning i matematik, därför bör man väl sätta värde>0 även på dessa slags problemställningar. Dessutom, vad som händer när man ritar 4 "små" cirklar i kvadratfallet är helt irrelevant och bara fusk-analogt. Enligt konstruktionen begränsas varje sida i hyperkuben av 4 "stora" hypersfärer (som touchar varandra), detta oavsett dimension. Lik förbenat slipper den rackarn ut... av kuben
Kettil Häing

Svar:

Visst är intuitionen viktig. I vissa fall (som ditt) räcker den dock inte : observationen baserad på de smådimensionella experiment (dimension 2,3) visar sig vara helt fel...

Sånt stöter man på hela tiden när man forskar.

Dmitri Apassov.


5 februari 1999 00.44.27
Hej! Jag har ett påpekande och två frågor: I svaret på Michael Eklunds fråga den 26/1 (från 2 blandade kortlekar dras parallellt ett kort åt gången, vad är sannolikheten för att det minst en gång blir samma kort) hävdar Dmitri att P=51/52 för träff. Men problemet verkar vara knepigare än så: Samma problem fås om vi har numrerat korten 1-52, blandar och kollar om något kort ligger på samma plats som sitt nummer. Vi har P(nå'n träff)=1-P(ingen träff). Men nu kan man inte säga att det finns 51 icke-träff-platser för det första kortet, 50 för det andra osv...eftersom de inte är oberoende. Om nummer 1 med 51 miss-platser hamnar på plats 2, har nummer 2 också 51 miss-platser (inte 50). Empiriskt, intuitivt och induktivt har jag hittat en rekursiv formel för antalet möjligheter att missa om n kort: m(n)=(n-1)*(m(n-1)+m(n-2)), m>=4, m(2)=1 och m(3)=2. Vi får P(nå'n träff)=1-m(n)/n!. Numeriskt verkar m(n)/n! sick-sacka mot 1/e=0.367.. då n->infinitium (intressant nog samma sannolikhet som för att misslyckas n ggr i rad om chansen är 1/n att lyckas varje gång, då n drar iväg). Frågor: 1.Stämmer formeln och mina påståenden ovan? 2.Finns det någon naturlig förklaring till att n!/m(n) går mot e? PS. Beundransvärt arbete ni har gjort genom att svara på alla frågor på dessa sidor! DS.
Kettil Häing

Svar:

Vi har n kort numrerade från 1 till n och lägger ut dem i en slumpvis ordning och söker sannolikheten att minst ett kort hamnar på samma plats som sitt nummer.

Vi bestämmer oss för k kort och inser att sannolikheten att dessa hamnar på rätt platser (och de övriga hur som helst) är (n - k)!/n!. De k korten kan väljas ut på (nk) sätt och

(nk)(n - k)!/n! = 1/k!.

Lagen om inklusion och exklusion ger sedan att sannolikheten att inget kort hamnar rätt är

1 - (n1)(n - 1)!/n! + (n2)(n - 2)!/n! - (n3)(n - 3)!/n! + ... + (-1)n(nn)(n - n)!/n! = 1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)n/n!

och detta går ju mycket riktigt mot 1/en går mot oändligheten.

Kjell Elfström


4 februari 1999 20.35.27
Hej, jag har en fråga gällande kontinuitet. Om vi antar att f,g:U->V är kontinuerliga avbildningar mellan vektorrum, hur bevisar man då att f+g är kontinuerlig. Om vi vidare sätter V=C(de komplexa talen), hur visas då att fg och f/g är kontinuerliga(då g är skilt från noll)??
Ann

Svar:

Kontinuiteten av f: U->V för topologiska vektorrum U och V innebär att

För varje punkt u i U och en omgivning O(f(u)) i V existerar en omgivning O(u) i U s.a. för alla x i O(u) f(x) ligger i O(f(u)).

Antag nu att f och g kontinuerliga avbildningar U->V.

Tag ett u i U och vilken som helst omgivning O(f(u)+g(u)) i V. Då är O(f(u)+g(u)) - g(u) en omgivning till f(u) => existerar motsvarande O1(u) i U. Likadant är O(f(u)+g(u)) - f(u) en omgivning till g(u) => existerar O2(u).

Om x ligger i skärningen utav O1 och O2 då ligger f(x) i O(f(u)+g(u)) - g(u) och g(x) i O(f(u)+g(u)) - f(u) <=> f(x) +g(x) ligger i O(f(u)+g(u)) .

Om U =V = C, de komplexa talen är kontinuiteten av produkten en följd av en av limesräknelagarna :

lim x-> a f(x)g(x) = limx->af(x)lim x->a g(x) = f(a)g(a) eftersom f och g är kontinuerliga i a.

Dmitri Apassov.


4 februari 1999 19.29.13
Hej! Jag har hittat en formel (jag är säkert inte först) för att räkna ut hur många kort ett korthus med x antal våningar innehåller. Formeln lyder: ((x-1)^2+x-2)/2+x^2+x+0.5 Kan den förkortas ytterligare?
Mats Andersson

Svar:

Antag att det finns n våningar i huset. vi måste ta n + (n-1) +...+ 1 kort att bygga golv med. Dessutom har vi 2 kort som är en "pelare" över varje golvkort. Totalt blir det

3(n + (n-1) +...+ 1) = (3/2)(n+1)n kort.

Dmitri Apassov.


4 februari 1999 17.13.52
Vi har ett system av rekursioner sådana att
a (n+1) = sqr(1) b (n)
b (n+1) = sqr(2) c(n) + sqr(1) a(n)
c (n+1) = sqr(3) d(n) + sqr(2) b(n)
d (n+1) = sqr(4) e(n) + sqr(3) c(n)
o.s.v. med begynnelse villkoret att alla startvärden dvs x(0) = 0 med undantaget a(0) = 1 frågan är vad a(n) = ???
Peter Johansson

Svar:

Räknar man ut några element i följderna ser man att an, cn, en, och så vidare verkar vara 0 för udda n, medan de övriga är 0 för jämna n. Vidare kan man gissa att

an = (n-1)!!, n jämnt,

bn = n!!=n(n-2)!!, n udda,

cn = 21/2n(n-1)!!/2=21/2(n2)(n-3)!!, n jämnt,

dn = 61/2(n3)(n-4)!!, n udda,

en = 241/2(n4)(n-5)!!, n jämnt,

dvs att om vi sätter an0 = an, an1 =bn, an2=cn, an3=dn, . . . är

ank = (k!)1/2(nk)(n-k-1)!!, n-k jämn,

ank = 0, n-k udda,

där man måste tolka (-1)!! som 1, dvs ann = (n!)1/2, och vidare är ank=0 om n<k. När man väl har gissat denna formel är det lätt att kolla att den stämmer med de givna rekursionsekvationerna.

Hjalmar Rosengren


4 februari 1999 14.53.34
Nollställena till ett polynom över Q är (definitionsmässigt) algebraiska tal. Nollställena till ett polynom med algebraiska koefficienter är (enligt algebrans fundamentalsats) komplexa tal men är de alltid algebriska tal? Bevis (eller en referens)?
Bengt Månsson

Svar:

För varje algebraiskt tal c finns det ett irreducibelt polynom över Q s. a. f(c) = 0. Andra rötter till f kallas för konjugat till c.

Antag att a är ett nollställe till f(x) = cnxn + cn-1xn-1 + ... + c0 , ett polynom med algebraiska koefficienter. Om vi låter i-te koefficienten genomlöpa alla konjugat till ci , gör det för alla i och tar sedan produkten av alla möjliga sådana polynom, blir resultates koefficienter symmetriska funktioner i cj och dess konjugat, dvs rationella tal. Talet a är naturligtvis ett nollställe till produktpolynomet, alltså algebraiskt.

Mer detaljerat bevis finns t ex i någon bok om algebraisk talteori.

Dmitri Apassov.


4 februari 1999 14.41.32
Tjena jag funderar på hur man löser det här talet :
xz+yz = 6,03x + 6,03y + 6,03z
xy+zy = 3,12x + 3,12y + 3,12z
yx+zx = 3,14x + 3,14y + 3,14z
Daniel Holm

Svar:

Man ser omedelbart att x = y = z = 0 är en lösning och jag överlåter åt dig att visa att om någon obekant är noll, så är samtliga noll. För att finna övriga lösningar kan vi sätta u = 1/x, v = 1/y, w = 1/z. Sätter vi in detta och gör liknämnigt får vi

u + v     = 6,03(uv + vw + wu)
u +     w = 3,12(uv + vw + wu)
    v + w = 3,14(uv + vw + wu)

Drar vi nu 3,12/6,03 gånger den första ekvationen från den andra och 3,14/6,03 gånger den första från den tredje får vi ett homogent lineärt ekvationssystem med två ekvationer och tre obekanta. Sätt u = t och uttryck v och w i t och sätt in i den översta ekvationen ovan och lös ut t ur denna andragradsekvation i t.

Kjell Elfström


4 februari 1999 12.32.47
Hur skall jag få volym/nivå, nivå/volym i en V-formad tank med mått som ej är kända ifrån början. Tackar på förhand å föreningens vägnar!
Steffo

Svar:

Var god och förtydliga: vilka mätningar är tillåtna, vad för redskap har du till förfogande osv. Med V-formad menar du antagligen konisk. Läs här och här om koner och volymberäkning.

Dmitri Apassov.


4 februari 1999 10.49.33
Jag undrar om talet 10 upphöjt till 25 har något speciellt namn?
Peter Eriksson

Svar:

Ytterst utförlig artikel om stora tal finns hos Eric's Treasure Trove.

Dmitri Apassov.


4 februari 1999 00.24.10
Hej och tack för en bra sida! Jag tror att jag har kommit på en ny matematisk lag/sats/teori/metod. Vad gör jag nu? Hur gör egentligen matematiker för att få sina teorier erkända?
Frode Thorsén

Svar:

Skriv ner det du har kommit på i någon ordbehandlingsprogram, skriv ut och skicka till någon matematisk tidskrift. Låna t ex Nordisk Matematik på ditt lokala bibliotek, där finns instruktioner hur man gör.

Annars kan du först skicka det till oss

K. Elfström, Lunds Universitet, Matematiska institutionen, Box 118, 221 00 Lund, Sweden

för att få en bedömning.

Lycka till!

Dmitri Apassov.


17922 frågor av sammanlagt 18319 innehåller sökorden.

Frågorna 16401–16500 av de överensstämmande frågorna visas ovan.

Visa frågorna:16301–1640016401–1650016501–16600

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)