Fråga Lund om matematik

Frågor och svar mars 2002


31 mars 2002 19.05.11
Vad är derivatan av f(x,y) = 4(x^2 + y^2 - 2y)^2 - (x^2 + y^2 + x + 1/6)
Martin och Helen

Svar:

Jag antar att det är de partiella derivatorna df/dx och df/dy ni är ute efter. Man håller i det första fallet y fix och deriverar med avseende på x och i det andra fallet tvärtom. Jag beräknar bara df/dx och överlåter förenklingsarbetet på er.

df/dx = 4·2(x2 + y2 - 2y)·2x - (2x + 1).

Kjell Elfström


31 mars 2002 18.01.19
Hej. Tack för en bra sida! Jag läser just nu gymnasiematte, men jag har nyligen stött på n! (fakultet) i privata studier, och undrar nu vad det är och vad det kan användas till?
Nästa fråga: Hur kommer man fram till ellipsens ekvation ((x^2/a^2)+(y^2/b^2)) ?
Vore tacksam för svar på mina dunkla frågor.
dek

Svar:

Man definierar n! som n! = 1·2·3···(n - 1)·n om n är ett positivt heltal och sätter 0! = 1. Antalet sätt att placera n människor i en kö är n!. Den förste kan nämligen väljas som vem som helst av de n personerna, dvs på n olika sätt. När vi valt ut den förste har vi n - 1 personer kvar. Vi har alltså n - 1 möjligheter att välja ut den andre. Den tredje kan väljas på n - 2 sätt osv. Den näst siste kan väljas på 2 sätt och den allra siste bara på ett sätt. Kön kan alltså bildas på n(n - 1)(n - 2)···2·1 = n! sätt. Man inser att om man vill bilda en kö med k personer ur en samling med n personer (k <= n) så kan detta göras på n(n - 1)···(n - k + 1). Det är bara att utföra samma resonemang som ovan och observera att när den siste skall väljas så har vi n - k + 1 personer att välja bland eftersom vi redan valt ut k - 1 av de n personerna och alltså har n - (k - 1) personer kvar. Genom att förkorta

n!/(n - k)! = n(n - 1)···(n - k + 1)(n - k)···2·1/((n - k)···2·1)

ser vi att antalet köer med k personer ur en samling med n personer är n!/(n - k)!. Ett dylikt köarrangemang kallas en permutation av n element i det första fallet och en permutation av k element ur n givna element i det andra. Ett besläktat begrepp är kombination. Antalet kombinationer med k element ur en given mängd med n element betecknas (nk). n:et skall egentligen vara rakt ovanför k:et och symbolen utläses n över k. Eftersom k personer kan ordnas på k! sätt så finns det k! gånger så många permutationer som kombinationer av k element ur n givna. Det betyder att

(nk) = n!/(k!(n - k)!).

Det finns t ex

(357) = 35!/(7!28!) = 35·34·33·32·31·30·29/(1·2·3·4·5·6·7)

olika lottorader eftersom en lottorad bestäms av att vi väljer ut sju rutor av 35 möjliga.

En ellips är mängden av punkter P i planet som är sådana att summan av avstånden från P till två brännpunkter F1 och F2 är konstant 2a där a är ett positivt tal som är större än halva avståndet mellan brännpunkterna. Fäster man ett snöre av längden 2a med häftstift i brännpunkterna och håller snöret spänt med en penna samtidigt som man ritar får man ellips. Ellipsens ekvation kan skrivas

x2/a2 + y2/b2 = 1

om brännpunkterna ligger på x-axeln på var sin sida om origo och på samma avstånd från origo. Antag att F1 och F2 har koordinaterna (-c,0) resp. (c,0). Låt P = (x,y) vara en punkt i planet. Avstånden från P till F1 och F2 kallar vi för r1 resp. r2. Villkoret att P ligger på ellipsen är att r1 + r2 = 2a. Enligt Pythagoras sats är r12 = (x + c)2 + y2 och r22 = (x - c)2 + y2. Utvecklar vi kvadraterna (x ± c)2 med kvadreringsregeln och drar r22 från r12 så får vi

(r1 - r2)(r1 + r2) = r12 - r22 = 4xc.

Eftersom r1 + r2 = 2a så får vi

r1 + r2 = 2a
r1 - r2 = 2xc/a

Adderar vi dessa ekvationer blir vi av med r2 och får (efter division med 2)

r1 = a + xc/a   ==>   r12 = a2 + 2xc + x2c2/a2.

Eftersom r12 = (x + c)2 + y2 = x2 + 2xc + c2 + y2 enligt ovan så får vi

x2 + c2 + y2 = a2 + x2c2/a2   <==>   x2(a2 - c2)/a2 + y2 = a2 - c2.

Sätter vi nu b = (a2 - c2)1/2 och dividerar båda leden med b2 får vi ellipsens ekvation.

Kjell Elfström


31 mars 2002 17.24.33
Jag skulle vilja ha lösningen på dubbel-pendel problemet. En utförlig lösning med förklaringar vore bra eller en länk till en sådan lösning.
Pedro

Svar:

Jag kan inte så mycket om detta utan hänvisar till Double Pendulum.

Kjell Elfström


31 mars 2002 14.51.05
Hej! Undrar hur det är med dimensionsbegreppet. Man kan rita en fyrdimensionell kub,och man vet att den har 8 stycken 3-D sidokuber,24 kvadrater och 16 hörn eller punkter och ändå påstår man att den inte finns?!Hur kan man då rita något som inte finns!Visserligen är det en projektion på ett 2-D papper, men även en diaprojektor visar något som finns.Om man nu kan ritar något som inte finns,borde man väl kunnna tillverka något som inte finns! Det logiska för mig är då att allt som kan visas också kan konstrueras och därmed tillverkas,och då man nu kan rita en 4-d kub,måste man väl även kunna tillverka en sådan.Mitt resonemang är kanske ologiskt,och isåfall ber jag om en förklaring.Vore tacksam för en tydlig förklaring.
Peter Elven

Svar:

En tredimensionell kub kan konstrueras. En representation av den tredimensionella kuben på papper skulle kunna var den tvådimesionella (en kvadrat), som också kan konstrueras. Detta förhållande bör man inte dra för stora växlar på. Den fyrdimensionella kuben är ett matematiskt objekt i R4. Den kan projiceras på R3 så att man får en tredimesionell kub, också ett matematiskt objekt. Av att denna "bild" kan realiseras, följer inte nödvändigtvis att den fyrdimensionella kuben kan realiseras.

Kjell Elfström


31 mars 2002 14.05.30
Jag har ett överbestämt linjärt ekvationssystem av storleksordningen 10 variabler (och strängt taget hur många ekvationer jag vill). Trots ganska idogt sökande på Internet har jag inte funnit något behändigt program som hjälper mig med det, trots att det ju rimligtvis finns ett antal... Vidare föreligger så vitt jag vet inga mätfel (indata är inte mätvärden, men en liten slumpfaktor kan möjligen ha lagts till). Kan du hjälpa till med tips på användbar mjukvara, även excelblad, eller annan hjälp på traven?
Lars Hjalmarsson

Svar:

De program som jag känner till för Windows kostar pengar. Matlab är mycket användbart för att lösa lineära ekvationssystem. Maple är ett program med vilkets hjälp man kan lösa ekvationer såväl exakt som numeriskt. Du kan också se NIST Guide to Available Mathematical Software.

Kjell Elfström


31 mars 2002 13.32.58
Om jag har integralen;
 x
S  f'(t)dt 
 0

och skjuter in en etta under integraltecknet och väljer att partialintegrera med (t-x) som primitiv till funktionen 1 istället för t, får jag enligt min bok följande resultat:
            x      x
[(t-x)f'(t)]    - S (t-x)f''(t) dt
            t=0    0

--------------- Varför skall den första termen behandlas som en primitiv (från t=0 till x), något sådant händer ju inte om man använder t som primitiv till 1. Det känns som om det funnes ett enkelt svar på detta men jag kan inte se det.
Mvh Per
Per

Svar:

Även om du väljer den primitiva funktionen t skall du väl sätta in gränserna 0 och x.

0xf '(t) dt = [tf '(t)]0x - 0x tf ''(t) dt = xf '(x) - 0f '(0) - 0x tf ''(t) dt.

Att man väljer den primitiva funktionen t - x i beviset för Taylors formel beror på att man inte vill ha någon term xf '(x).

Kjell Elfström


29 mars 2002 17.26.16
hur ska man veta när man ska använda partiell integrering, variabelsubstitution eller nån annan? jobbigt ju.
ollie

Svar:

Någon allmän regel tror jag inte finns. Många integraler klarar man på grund av att de har likheter med någon integral man sett tidigare. Alla integrander av formen p(x)f(x), där p är en polynomfunktion och f en exponentialfunktion, sinus- eller cosinusfunktion klarar man med partiell integration. När man deriverar p(x) får man ett nytt polynom av lägre grad och inget farligt händer med f när man integrerar den. Upprepar man den partiella integrationen tillräckligt många gånger förvandlas p(x) till slut till en konstant. Integrander där ln x eller arctan x ingår kan man också ibland klara med partiell integration. Anledningen är att deras derivator är rationella funktioner. Du känner formodligen till att en primitiv funktion till ln x kan bestämmas genom att man integrerar (1·ln x)dx partiellt. Även integraler av typen (cos ax)ebx klarar man med partiellt integration. Integrerar man partiellt två gånger får man nämligen tillbaka integralen man började med, med en konstant framför. Integralen ingår alltså i en ekvation ur vilken den kan lösas ut. Nästan alla integraler i övningsexempel på partiell integration är bildade på något av ovanstående sätt. Rationella funktioner partialbråksuppdelar man och vid andra typer av integraler använder man ofta variabelsubstitution. I övningsuppgifter är ofta substitutionerna "naturliga". Det första som slår en när man ser  sin x1/2 dx är att sätta t = x1/2. Det finns ytterligare några integraler som man lär sig, t ex sådana där (1 ± x2)1/2 ingår. Då substituerar man ofta x = sin t i fallet med minustecknet och x = sinh t, eller x = tan t i det andra fallet.

Kjell Elfström


29 mars 2002 00.48.02
Om man önskar utföra en rotation av ett ON-system i 3 dimensioner så använder man sig ju av någon lämplig rotationsmatris. T ex matrisen
 cos(ß) sin(ß) 0
-sin(ß) cos(ß) 0
   0      0    1

för en rotation kring z-axeln i ett cartesiskt system. Om man nu skapar ett fyrdimensionellt ON-system. T ex
e1=(1 0 0 0) e2=(0 1 0 0) e3=(0 0 1 0) e4=(0 0 0 1)
kan man då skapa en rotationsmatris för rotationer kring t ex den fjärde axeln? Hur ser isåfall denna rotationsmatris ut?
Tobbe

Svar:

Man kan bara rotera kring ett (n - 2)-dimensionellt underrum. I planet kan man rotera kring en punkt, i rummet kring en linje och i R4 kring ett plan. Se 2 maj 1997 19.53.32.

Kjell Elfström


28 mars 2002 19.48.47
varför blir det + när man multiplicerar två negativa tal?
Anton

Svar:

Jag föreslår att du söker efter (-1)(-1) på vår söksida, så hittar du svaren på nästan alla frågor av samma slag.

Kjell Elfström


28 mars 2002 18.52.00
Sambandet mellan tan, sin och cos är om jag har förtstått saken rätt: tan x = sin x / cos x. Hur ser sambandet ut när det gäller arctan, arcsin och arccos?? Egentligen är jag bara intresserad av att kunna arsätta arctan med arcsin, arccos (alt. vanliga sin eller cos). Är detta möjligt och hur ser sambandet i så fall ut??
Jack Jönsson

Svar:

y = arctanx är den entydigt bestämda lösningen y i intervallet (-Pi/2,Pi/2) till ekvationen tan y = x, x är ett godtyckligt reellt tal. Ekvationen är ekvivalent med tan2y = x2, x och y har samma tecken. Denna ekvation kan skrivas (sin2y)/(cos2y) = x2, eller om vi använder trigonometriska ettan,

sin2y = x2(1 - sin2y)   <==>   sin2y = x2/(1 + x2)   <==>   sin y = x/(1 + x2)1/2.

Eftersom y tillhör (-Pi/2,Pi/2) betyder detta att arctan x = y = arcsin(x/(1 + x2)1/2).

Kjell Elfström


28 mars 2002 15.08.36
Hej! vi har en liten fråga angående Josephus. vi är ute efter en eller flera formler som talar om vart man ska ställa sig i ringen om n människor är med och var tredje ska ta livet av sig, för att vara sist kvar, överlevande...? Tack på förhand,
Peter Svensson

Svar:

Se Josephus Problem.

Kjell Elfström


28 mars 2002 11.26.40
Hur räknar man ut längden av kurvan sin(x), på intervallet 0=<x>=pi ?
Christer Hanson

Svar:

Man använder formeln

L = ab (1 + (dy/dx)2)1/2 dx

och får att

L = 0Pi (1 + cos2 x)1/2 dx.

Tyvärr går det inte att uttrycka en primitiv funktion i de elementära funktionerna. Man är därför hänvisad till att beräkna integralen med numeriska metoder.

Kjell Elfström


28 mars 2002 11.05.28
Hej! Jag och en god vän till mig har sutit och blivit besatta av spelet Backgammon. En dag när vi spelade så började vi diskutera de matematiska faktorerna, tex hur stor chansen är att vinna och hur avgörande det är att börja eller att börja som 2:a. Det jag undrar nu är förljande: Hur stor chans är det att vinna om man börjar som 1:a spelare respektive 2:a spelare. Och hur många strategiska flyttningar finns det på planen. Jag frågar oxå om det är någon som har forskat om spelteori angående Backgammon o om man kan få tag på den avhandlingen någonstanns. Tack på förhand!
Johan

Svar:

Tyvärr känner jag inte till så mycket om denna sak. Det är också ganska svårt att analysera denna typ av spel. Jag sökte på internet efter backgammon strategies och fann någon sida av vetenskaplig karaktär. Du kan själv göra sökningen och se om du finner något.

Kjell Elfström


28 mars 2002 00.21.14
Jag är så rädd för att gå till tandläkaren att jag inte kan sova dagen innan jag ska dit. Pga detta sa tandläkaren till mig att han en gång under denna vecka (Må-Fr) ska ringa mig kl.10 på morgonen och be mig komma. Han lovade att jag innan denna morgon kl.10 inte skulle ha vetskap om påringningen. Detta så att jag lugnt och ovetande om mitt fruktade tandläkarbesök kan sova alla dar i veckan.
Jag sa då till tandläkaren att han ju inte kunde ringa någon dag i veckan.
-Varför då sa han förvånat.
- Jo, på fredag morgon kan du ju inte ringa eftersom detta är sista behandlingsdagen, för då vet jag ju kvällen innan att behandlingen sker dagen därpå och jag kommer likväl vara sömnlös denna natt.
Likväl på torsdag så kan du ju inte heller ringa eftersom jag då kvällen innan vet att immorgon är sissta dagen du kan ringa och natten blir sömnlös. Likaså resten av dagarna!
Bevis: Induktion
Om du inte kan ringa dagen p så kan du inte ringa dagen p-1. Sätt k = lördag, så kan du inte ringa på fredag. Sätt k = fredag, -----------------------Lördag. osv.
Han kan alltså inte ringa någon dag i veckan. Detta verkar ologiskt. Med en eller tom två dagar verkar det rimligt, men med hu månda som helst???
Hur förklarar ni detta?
Ank

Svar:

Det går alltså inte att lura en patient som är tillräckligt insatt i hur tandläkaren tänker. Behandlingsdagen blir ju på så sätt inte slumpmässigt vald.

Kjell Elfström


27 mars 2002 21.09.48
Hej! Vore mycket tacksam för hjälp med följande:
Ola
1) Lös ekvationen 2^x(2^x+1) = 6
2) Bestäm tan 2x då cos x = -1/2 och Pi< x <3*Pi/2
Ola Andersson

Svar:

1) Sätt t = 2x. Du får då en andragradsekvation i t.

2) Eftersom x = 4Pi/3 så är tan 2x = tan(8Pi/3) = tan(2Pi/3) = (31/2/2)/(-1/2) = -31/2.

Kjell Elfström


27 mars 2002 20.45.11
1.Vet du någon webbsida där hela Wiles bevis för Fermats sista sats (också känd som Fermats förmodan) finns?
2.Vad kan man byta ut sin(x/2) resp tan(x/2) mot?

Svar:

1. Jag är nästan övertygad att det inte finns någon sida på nätet där beviset tas upp i detalj. Se The Mathematics of Fermat's Last Theorem.

2. cos x = cos 2(x/2) = 1 - 2 sin2(x/2) = 2 cos2 (x/2) - 1 och ur dessa ekvationer kan du lösa ut sin (x/2) och cos (x/2) om du känner deras tecken.

Kjell Elfström


27 mars 2002 16.55.51
Anta att du har en elektrisk svängningskrets. Kondensatorn är från början laddad med q = 10^-5 C. När man sluter strömbrytaren kommer laddningen, strömmen och spänningen att svänga fram och tillbaka. (Om vi dessutom antar att det inte finns några som helst förluster kommer detta förlopp att upprepa sig oändligt länge.) Teckna ett uttryck för spänningen över resistorn som, funktion av tiden och ange dess maximala värde om R = 10 Ohm, L = 1 mH och C = 1 µF. (Ledning: Med hjälp av Kirchhoffs andra lag bör du få en homogen ekvation av andra ordningen.) (Kretsen består av en resistor, kondensator och spole som är seriekopplade. plus en strömbrytare.)
klara

Svar:

Kirchoffs andra lag ger att LI ' + RI + Q/C = 0 och eftersom U = RI får vi

LU ' + RU +QR/C = 0.

Deriverar vi detta och utnyttjar att U/R = I = Q ' så får vi

U '' +(R/L)U ' + U/(CL) = 0.

Det karakteristiska polynomet har nollställena -R/(2L) ± i(R2/(4L2) - 1/(LC))1/2 så differentialekvationens lösningar ges av

U = Ae-kt cos (mt + fi),

där k = -R/(2L) och m = (1/(LC) - R2/(4L2))1/2. Utnyttjar vi att U(0) = 0 så får vi att fi = ±Pi/2. Oavsett om det är plus- eller minustecknet som gäller så kan vi skriva

U = Be-kt sin mt.

Derivera nu U och utnyttja att

LU '(0) + RU(0) +RQ(0)/C = 0

för att bestämma B. Sätt sedan U ' = 0 och gör en teckenundersökning av derivatan.

Kjell Elfström


27 mars 2002 15.03.06
Hej!
Jag skulle vara mycket tacksam ifall ni kunde lösa det här problemet åt mig så att jag ser ifall jag gjort rätt eller ej. Jag har skickat in det 2-3 ggr men har inte fått något svar. Så här lyder problemet: Anna och Bo tävlade i löpning. De startade i samma punkt på löparbanan men sprang åt motsatta håll. Det möttes för första gången efter 40 s. Då hade Bo sprungit 1/9 mer än vad Anna har sprungit. Då Anna har sprungit 3 varv stannar hon för att knyta sina skor. Uppehållet tog exakt 18 s. Precis när hon började springa mötte hon Bo som då hade avslutat sig fjärde varv. Efter att Bo sprungit åtta varv stannar nu han för att knyta sin skor. Hur länge får han vänta på Anna?
1000 tack för svar.
Mvh
Danne
Danne Kapetanovic

Svar:

Frågan är vad 1/9 mer betyder. Det kan inte betyda att Bo sprungit Annas sträcka plus 1/9 av denna, eftersom tidsangivelserna inte kan stämma då. Om det betyder att Bo sprungit 1/9 varv mer än Anna går det att få ihop det. Är det så, så har Anna sprungit 4/9 varv på 40 s, så det tar henne 90 s att springa ett varv. När Bo sprungit 8 varv har han sprungit 4 varv sedan Anna knöt skorna. Under den tiden har Anna kommit 18 s in på sitt fjärde varv (hon springer i stället för att knyta skorna denna gång) och det tar henne ytterligare 72 s att fullborda varvet.

Kjell Elfström


27 mars 2002 14.38.11
1. Låt l, m och n vara tre olika linjer. Antag att l är parallell med m och m är parallell med n. Visa att l är parallell med n.
2. Betrakta relationen // (ska vara raka!) på mängden av alla linjer i det euklidiska planet: l//m omm l är parallell med m. Är relationen // en ekvivalensrelation?
3. Visa att följande relation är en ekvivalensrelation: l~m omm l=m eller l//m.
Tack för svar!
Maria

Svar:

1. Om l inte är parallell med n så skär l n i en punkt P. Genom P, som inte ligger på m, går alltså två olika linjer som är parallella med m, vilket motsäger parallellaxiomet.

2. Det verkar som om l || m betyder att l och m är olika och parallella. || kan då inte vara en ekvivalensrelation, eftersom det inte är sant att l || l.

3. Det är klart att l ~ l, eftersom l = l. Det är också klart att l ~ m medför att m ~ l. Om l ~ m och m ~ n så visade vi i 1) att l ~ n om l, m och n är olika och jag överlåter åt dig att tänka igenom fallen där två eller tre av dem är lika.

Kjell Elfström


27 mars 2002 14.35.33
Definera operationen * på mängden Z av heltalen genom m*n=mn+m+n. Bestäm alla element i Z som har invers. Hur gör jag?
Maria

Svar:

Det är talet 0 som är neutralt element och m*n = 0 betyder att mn + n + m = 0 <==> n = -m/(m + 1) = 1/(m + 1) - 1. Bara m = 0 och m = -2 ger heltalsvärden på n och dessa är 0 resp. -2. 0 och -2 är de enda inverterbara elementen och de är sina egna inverser.

Kjell Elfström


27 mars 2002 14.33.58
Hur bestämmer jag alla element i Z som har invers?
Maria

Svar:

Om Z är mängden av heltal har varje element a en additiv invers -a. a har en multiplikativ invers om och endast om det finns ett heltal b, sådant att ab = 1. Om |a| > 1 så är |ab| > |b| >= 1 så de enda möjliga inverterbara elementen är 1 och -1 eftersom 0 självklart inte är inverterbart.

Kjell Elfström


27 mars 2002 14.33.24
Visa att en punkt P ligger på mittpunktsnormalen till sträckan AB om och endast om P ligger på samma avstånd från A och B. Hur bevisar man det?
Maria

Svar:

Låt M vara punkten på AB, där mittpunktsnormalen skär AB. Om P ligger på mittpunktsnormalen så är trianglarna AMP och BMP kongruenta vilket medför att AP = BP. Om AP = BP och N är skärningspunkten mellan linjen genom A och B och linjen genom P som är vinkelrät mot AB så följer det av Pythagoras sats att AN = BN, så N = M.

Kjell Elfström


27 mars 2002 12.41.00
En liksidig fyrkant med volym kallas kub... Vad kallas en rektangel där man kan räkna volymen??
Jessica

Svar:

En figur som begränsas av tre par av plan sådana att planen i varje par är parallella och planen i två olika par är vinkelräta mot varandra kallas ett rätblock. En tegelsten brukar ha formen av ett rätblock.

Kjell Elfström


27 mars 2002 12.29.27
Hej. Jag har problem om hur jag ska ställa in mitt nyinköpta teleskop. Det som gäller för mig är polaxeln och vilken grad jag ska följa.
jan.o.franzen@euromail.se

Svar:

Fråga astronomen!

Kjell Elfström


27 mars 2002 10.55.43
En väldigt basic fråga: Hur ser man om en diffekvation är linjär?
Fredrik

Svar:

En differentialekvation är lineär om den kan skrivas

y(n)(x) + a1(x)y(n - 1)(x) + a2(x)y(n - 2)(x) + ... + an - 1(x)y'(x) + an(x)y(x) = b(x),

där koefficienterna ai och b är kontinuerliga funktioner.

Kjell Elfström


27 mars 2002 09.29.43
Hejsan! Varför delas en cirkel in i 360 grader?
Jonas Enarsson

Svar:

Se 23 mars 2002 14.51.40.

Kjell Elfström


26 mars 2002 23.26.15
Hej!!! Jag ställde en fråga 10 dagar sedan ( den 17/03) men har inte fått någåt svar. Jag försöker igen.Jag undrar om du kan hjälpa mig att ställa up ekvation i följande uppgift: En förorenad sjö har volymen 240 miljoner m3. Koncentrationen av det förorenade ämnet är 2.5 ppm. Vattentillströmmningen till sjön är 15 miljoner m3 per dag. Genom rening är det möjligt att minska föroreningsnivån i inflödet till 0.5 ppm. Det blandade vattnet rinner ut ur sjön med en hastighet av 15 miljoner m3 per dag. Hur lång tid tar det innan koncentrationen av föroreningar sjunker under 1 ppm ?
Hoppas på ett svar:
Sanja
Sanja

Svar:

Låt V vara den konstanta vattenvolymen i sjön, v vattnets in- och utflödeshastighet och c koncentrationen av föroreningen i inflödet. Låt vidare y(t) vara föroreningsvolymen och z(t) föroreningskoncentrationen i sjön. Då har vattnet i utflödet samma koncentration. Ökningstakten av y som härrör från inflödet är vc. Minskningstakten som härrör från utflödet är vz(t) och vi får differentialekvationen

y'(t) = vc - vz(t).

Eftersom y(t) = Vz(t) så är y'(t) = Vz'(t) och vi får att

z' = (v/V)c - (v/V)z.

Löser man denna differentialekvation får man z = c + Ae-(v/V)t, där A är en konstant. Sätter vi t = 0 så får vi att A = z0 - c, där z0 = z(0). Lösningen ges alltså av

z - c = (z0 - c)e-(v/V)t.

Låter vi nu z1 vara den önskade koncetrationen på 1 ppm skall vi lösa ekvationen

z1 - c = (z0 - c)e-(v/V)t.

Dividerar vi båda led med z1 - c och med exponentialfunktionen och sedan logaritmerar så får vi

t = (V/v)ln((z0 - c)/(z1 - c)) = ((240·106)/(15·106)) ln ((2,5 - 0,5)/(1,5 - 0,5)) = 16 ln 2

dagar.

Kjell Elfström


26 mars 2002 21.24.37
Jag blir mycket tacksam om jag kan få någon hjälp eller något tips med den här frågan:
Givet X= X1+X2i+X3j+X4K
Sök ett uttryck för X^2.
Lös sedan X^2= 4 och X^2= -4
Hur definerar man en kvadratrot?går det?(använd vad ovanstående leden till) .Tack för hjälpen och hoppas att jag kan få ett svar så fort ni kan .Mvh/George
George Karlsson

Svar:

Villkoret att x2 = a = a1 + a2i + a3j + a4k är att

x12 - x22 - x32 - x42 = a1,  x1x2 = a2/2,  x1x3 = a3/2,  x1x4 = a4/2.

(Se 26 mars 2002 21.15.41.) Antag först att a2 = a3 = a4 = 0, så att a är ett reellt tal. Om a >= 0 så kan vi sätta x = a1/2. Om a < 0 så kan vi sätta x1 = 0 och välja x2, x3 och x4 hur som helst så att x22 + x32 + x42 = -a. Om a inte är reellt så måste x1 <> 0. Multiplicerar vi den första likheten med x12 så får vi, genom att använda de övriga tre likheterna,

x14 - a1x12 = (a22 + a32 + a42)/4.

Härur kan du lösa ut x1 och sedan definiera x2, x3 och x4 så att de tre sista likheterna blir uppfyllda.

Kjell Elfström


26 mars 2002 21.15.41
om Kvaternioner:
Bestäm a = a1 + a2i + a3j +a4k
För vilka gäller a^2 = -1
Tack i förhand och gratulerar för en mycket användbar sida!
David

Svar:

Beräkna a2 under iakttagande av räknereglerna i2 = j2 = k2 = -1, ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j. Man får

a2 = a12 - a22 - a32 - a42 + 2a1a2i + 2a1a3j + 2a1a4k = -1.

Eftersom 1,i,j,k är lineärt oberoende måste koefficienterna för i, j och k vara noll. Om a1 <> 0 måste a2 = a3 = a4 = 0, vilket ger att a12 = -1, vilket är en omöjlighet. Därför är a1 = 0 och a22 + a32 + a42 = 1.

Kjell Elfström


26 mars 2002 15.23.33
Inom vissa böcker säger man att det minsta naturliga talet är 1 medans andra säger att det är 0. Vad tjänar man på att ha 1 resp. 0 som minsta element bland naturliga tal?
Marko

Svar:

Du kan läsa om naturliga tal på Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (N). Numera är det nog vanligast att inkludera nollan bland de naturliga talen. Personligen tycker jag det verkar mest vettigt eftersom de positiva heltalen gott kan kallas positiva heltal och det är onödigt med synonymen naturliga tal. Denna beteckning kan i stället stå för de icke-negativa talen som är en längre och otympligare beteckning.

Kjell Elfström


26 mars 2002 13.15.00
Hej!Jag ska träna mattematik B med data finns någon prågram.
soheil

Svar:

Du kanske hittar något på NIST Guide to Available Mathematical Software. Jag känner inte till så mycket om sådana program. Du kan också fråga på någon gymnasieskola.

Kjell Elfström


26 mars 2002 11.00.34
En jeep i öknenen som har 200 liter bensin i tanken och i lösa dunkar. Jeepen kommer 2,5km på en liter bensin. Anta att du färdas 1000km in i öknen och att det bränsle bara finns vid startpunkten och vid målet. Vill du klara färden måste man först placera ut ut bensin i depåer längs färdvägen. Hur mycke bränsle går det åt och var ska dunkarna placeras ut?
Lisa Andersson

Svar:

Frågan är redan besvarad. Se 19 februari 1997 18.12.48.

Kjell Elfström


26 mars 2002 08.54.01
Kan du hjälpa mej hur man MacLaurinutvecklar f(x)=sin(3x)^2/x hur jag hitar en primitiv funktion till den och seriens konvergensintervall. Jag har sett ett svar men förstår inte gången i det. Tack till du som kan!
Eva Mattson, Hig

Svar:

Jag antar att parenteserna skall sitta så här: f(x) = (sin((3x)2))/x. För att Taylorutveckla den börjar vi med att Taylorutveckla sin t.

sin t = summak = 0oo ((-1)k/(2k + 1)!) t2k + 1.

Serien konvergerar mot sin t för alla värden på t eftersom

sin t = summak = 0n ((-1)k/(2k + 1)!) t2k + 1 + ((-1)n + 1/(2n + 3)!) t2n + 3 cos theta t

och resttermen går mot 0 då n --> oo för varje t. Taylorutvecklingen för f(x) fås genom att ersätta t med (3x)2 och sedan dividera varje term med x. Att den så erhållna serien konvergerar mot f(x) för varje x är självklart och att det är Taylorutvecklingen följer av entydighetssatsen. Resttermen kan nämligen skrivas som x4n + 5 B(x), där B är begränsad i en omgivning av 0. Konvergensradien är alltså oo, dvs serien kovergerar i (-oo,oo). Tag sedan till var och en av termerna i serien den "naturliga" primitiva funktionen, dvs välj integrationskonstanten noll, och bilda en serie av dessa termer. Denna serie har också konvergensradien oo eftersom ak + 1/ak --> 0 då k --> oo, där ak är koefficienten för x2k. Derivatan av seriens summa är f(x) eftersom den deriverade serien är likformigt konvergent i varje ändligt intervall.

Kjell Elfström


26 mars 2002 08.50.22
Hej ! Hur kommer det sej att (e^-x)^2 är detsamma som e^-¨2x?
Håkan Lövström

Svar:

En av potenslagarna säger att (ab)c = abc. Om b och c är heltal är detta självklart. Potenser där exponenterna inte är heltal definieras sedan på ett sådant sätt att potenslagarna som gäller då exponenterna är heltal gäller även för andra exponenter.

Kjell Elfström


25 mars 2002 22.16.39
Hej, jag har ett par frågor!
1) Lt U vara ett underrum i R5, så att U genereras av (1,2,0,0,0) och (1,0,3,0,0). Hur bestämmer man det ortogonala komplementet till U?
2)Arbete är en fysikalisk tolkning av kurvintegraler, av ett vektorfält över ett orienterat kurvstycke. Antag att en partikel befinner sig i det konstanta vektorfältet F(x(t),y(t))=(2,3). Antag att partikeln förflyttas rätlinjigt från (0,0) till (1,2). Vilket arbete uträttar vektorfältet på partikeln?
Andreas

Svar:

Ortogonala komplementet till U är mängden av vektorer i R5 som är ortogonala mot alla vektorer i U. Eftersom u1 = (1,2,0,0,0) och u2 = (1,0,3,0,0) genererar U så är v = (x1,x2,x3,x4,x5) ortogonal mot alla vektorer i U om och endast om v är ortogonal mot u! och u2, dvs u1·v = 0 och u2·v = 0. Detta betyder att

1x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 0
1x1 + 0x2 + 3x3 + 0x4 + 0x5 = 0

Detta ekvationssystem har lösningen x1 = 6s1, x2 = -3s1, x3 = -2s1, x4 = s2, x5 = s3. Vi får alltså att v = s1(6,-3,-2,0,0) + s2(0,0,0,1,0) + s3(0,0,0,0,1) så ortogonala komplementet genereras av (6,-3,-2,0,0), (0,0,0,1,0) och (0,0,0,0,1).

Om vi betecknar kraftens axelparallella komposanter med P(x,y) = 2 och Q(x,y) = 3 så är arbetet (P dx + Q dy). En parametrisering av vägen är (x,y) = t(1,2), 0 <= t <= 1 så kurvintegralen blir 01 (2·1 + 3·2)dt = 8.

Kjell Elfström


25 mars 2002 21.02.25
Hej Kan du förklara varför formeln för ett klots volym är som den är? Varför gånger fyra? Varför delat med 3?
Lena

Svar:

Antag att klotet har radien r och medelpunkten i origo. Delar vi upp klotet i tunna skivor parallella med yz-planet så är dess volym lika med de sammanlagda volymerna av skivorna. Antag att varje skiva har tjockleken delta x. Betrakta skivan som befinner sig vid xx-axeln. Enligt Pythagoras sats har den radien (r2 - x2)1/2. Dess area är alltså ungefär Pi(r2 - x2) och dess volym ungefär Pi(r2 - x2)delta x. Summerar vi skivvolymerna får vi summa Pi(r2 - x2)delta x som går mot -rr Pi(r2 - x2dx då skivtjockleken delta x går mot 0. Trean får vi när vi bestämmer en primitiv funktion Pi(r2x - x3/3). Sätter vi in gränserna får vi klotets volym 4Pi r3/3.

Kjell Elfström


25 mars 2002 18.30.56
Hejsan! Skulle vara evigt tacksam föt hjälp med två uppgifter(helst fullständiga lösningar)
Katarina
1) Lös ekvationen x^2 + 2|x| = 3
2) Skriv funktionen f(x) = |2x-4|-x på ett alternativt sätt utan beloppstecken

Svar:

I båda fallen använder man definitionen

|x| = x om x >= 0   och   |x| = -x om x < 0

för att bli av med absolutbeloppen.

1) Vi antar först att x >= 0. Då är ekvationen ekvivalent med x2 + 2x = 3. Denna ekvation har rötterna 1 och -3. Bara x = 1 uppfyller att x >= 0 så detta är den enda icke-negativa roten till den ursprungliga ekvationen. Nu antar vi att x < 0. Då blir ekvationen x2 - 2x = 3. Denna har rötterna -1 och 3, men bara -1 är negativ. Rötterna till den ursprungliga ekvationen är alltså 1 och -1. Just denna ekvation kan man lösa litet enklare genom att sätta t = |x|. Den övergår då i t2 +2t = 3 som har lösningen t = 1 (eftersom t = |x| >= 0 duger inte t = -3). |x| = t = 1 är ekvivalent med att x = ±1.

2) 2x - 4 >= 0 om x >= 2 och negativt för övrigt. Om x >= 2 är alltså f(x) = 2x - 4 - x = x - 4. Om x < 2 är f(x) = -(2x - 4) - x = 4 - 3x.

Kjell Elfström


25 mars 2002 18.06.13
Om a^x=0, a>0, är då x=-oändligheten eller är x odefinierat?

Svar:

Det finns inget tal x, sådant att ax = 0 om a > 0. Däremot gäller det att ax --> 0 då x --> -oo.

Kjell Elfström


25 mars 2002 18.01.39
Stämmer det att det finns fler imaginära tal än det finns reela tal? Hur bevisas detta och hur kan det finnas något som är större än oändligheten?

Svar:

Att två ändliga mängder A och B har lika många element betyder att man kan para ihop varje element i den ena mängden med ett element i den andra så att inga element återstår i någon av mängderna. Man vet ju att det finns lika många gifta män som gifta kvinnor utan att för den skull behöva räkna efter hur många det finns. Det innebär att det finns en funktion f från A till B med egenskapen att

1) Om x1 <> x2 så är f(x1) <> f(x2) (f är injektiv)
2) Om y är ett element i B så finns det ett element x i A sådant att y = f(x) (f är surjektiv).

En sådan funktion kallas bijektiv. Om det finns fler element i B än i A så finns det en injektiv funktion från A till B men ingen surjektiv.

Detta tar man fasta på när man definierar att oändliga mängder är lika stora (har samma mäktighet). T ex är mängden A av positiva heltal och mängden B av heltal lika stora. Den bijektiva funktionen f kan väljas som den som avbildar 1,2,3,4,5,6,7... på 0,-1,1,2,-2,3,-3,... Man ser att olika positiva heltal avbildas på olika heltal och att varje heltal kommer med. Även mängderna av rationella tal och heltal är lika stora. Man tar först talet 0 och sedan alla kvoter a/b där både a och b varierar bland talen -1 och 1 och tar bort lika tal så att man bara får med varje tal en gång. Man får då 1/1 och (-1)/1. Därefter tar man alla där absolutbeloppen av a och b är högst 2 och tar bort de man tidigare tagit med. Man tar alltså bort t ex 2/2 eftersom 2/2 = 1/1 som redan är med. Sedan tar man alla där absolutbeloppen är högst 3 osv. På detta sätt får man en uppräkning av de rationella talen, alltså en bijektion från de positiva heltalen till de rationella talen.

Mängden av reella tal är däremot större än mängden av positiva heltal. För att visa detta räcker det att visa att mängden av reella tal som är större än eller lika med 0 och mindre än 1 är större än mängden av positiva heltal. Dessa reella tal kan representeras som en nolla följd av en oändlig decimalbråksutveckling. Vi skall visa att det inte kan finnas någon uppräkning av dessa reella tal. Vi antar att det gör det och får fram en motsägelse. Vi skall nämligen konstruera ett tal som inte är med i uppräkningen. Om den första decimalen efter nollan i det första talet är en etta låter vi den första decimalen i det tal vi skall konstruera vara en nolla, i annat fall en etta. Om den andra decimalen i det andra talet är en etta låter vi den andra decimalen vara en nolla, annars en etta. Allmänt låter vi decimalen på plats n i det nya talet vara en nolla om den n:e decimalen i det n:e talet är en etta, i annat fall låter vi den vara en etta. Det konstruerade talet skiljer sig från vart och ett av talen i uppräkningen på minst en plats i decimalutvecklingen och vi har fått vår motsägelse.

Det är alltid så att den kartesiska produkten A×A av en oändlig mängd är lika stor som A. Det var väsentligen detta det berodde på att mängden av heltal och mängden av rationella tal var lika stora och av den anledningen är mängden av reella tal och mängden av komplexa tal lika stora.

Mängden av alla delmängder till en icke-tom mängd är alltid större än mängden själv, så man kan hitta allt större mängder.

Kjell Elfström


25 mars 2002 17.58.19
Hur bevisar man Benfords lag?

Svar:

Lagen finns beskriven på Eric Weissteins's world of mathematics och en antydan till bevis finns också där.

Kjell Elfström


25 mars 2002 17.56.21
Kan man uttrycka arean av en regelbunden n-hörning som en funktion f(n), n=3,4,5,6... (för alla naturliga tal n>=3 alltså),om radien i en cirkel som precis omsluter n-hörningen är r?
Christian

Svar:

En regelbunden n-hörning består av n likbenta kongruenta trianglar. De båda lika långa sidorna är r och halva toppvinkeln Pi/n. Detta medför att halva basen är r sin Pi/n och höjden r cos Pi/n så arean av de n trianglarna är nr2 (cos Pi/n)(sin Pi/n) = (nr2/2)sinPi/n.

Kjell Elfström


25 mars 2002 17.10.54
Finns det någon konkret mängd M som innehåller sig själv? jag tänker då på russells paradox. Jag frågade min universitets lektor han sade något om hologram att om man slog i sönder det skulle varge liten del representera hela hologramet i mindre format stämmer detta. Jag har nämligen inte ekonomin att prova =)
Tor

Svar:

Jag kan inte hitta något exempel på en sådan mängd. I fallet med hologrammet så är det ju inte hologrammet självt som tillhör hologrammet. Den mindre kopian tillhör nog heller inte hologrammet utan är snarare en delmängd. Man brukar ofta i axiomatisk mängdlära tillfoga ett axiom, axiom of foundation, som medför att ingen mängd tillhör sig själv.

Kjell Elfström


25 mars 2002 16.30.01
Hej Jag har en fråga om definitionen av kvadratrötter. I läroböcker och i WoW´s matematiklexikon står att varje positivt reellt tal a har en kvadratrot, "det positiva tal vars kvadrat är a". Eller med en annan formulering : "För varje reellt tal b gäller att roten ur(b^2) = absolutbeloppet av b. Men när jag läser om n:e rötter står att "varje positivt tal har exakt två reella rötter, om n är jämnt". Hur ska dom ha det, undrar jag. Vad är det som gäller ? Själv har jag gått och trott det senare, alltså att tex 4 har kvadratrötterna +2 och -2. Så borde det väl vara, om "roten ur" är inversen till "kvadraten på". Det är ju också som formeln för andragradsekvationer är härledd. Men, i så fall får ju "roten ur(4) x roten ur (4)" också två svar, +4 och -4. Kan ni reda ut definitionen så är jag tacksam
Thomas

Svar:

n:e-roten (i bestämd form) ur ett positivt tal a är det positiva tal x som är sådant att xn = a. När man säger n:e-rötterna (i obestämd form) menar man samtliga reella eller komplexa rötter till ekvationen xn = a. Andrarötterna till 2 är alltså roten ur 2 och minus roten ur 2.

Kjell Elfström


25 mars 2002 15.40.45
en följdfråga till fråga 11 mars 2002 angående derivator. Derivatan av ln x kan härledas utan att man känner till derivatan av e^x. Tag (f(x+ h)- f(x) )/h = (ln(x+h) -ln x)/h = ln(1 + h/x)/h= 1/x*(x/h)ln(1 + h/x)= 1/x ln(1 + h/x)^x/h --> 1/x * ln e då h--> 0. Ett motsvarande bevis för derivatan av e^x skulle då se ut i denna stilen: (f(x + h) -f(x) )/ h = (e^x+h - e^x )/h ... man bryter ut e^x och får då problemet med (e^h - 1)/h då h--> 0. Hur knäcker man det gränsvärdet med algebraiska metoder bortsett från Maclaurinutveckling av täljaren? Tacksam för svar. Det är tråkigt att bara uppskatta gränsvärdet numeriskt.(gränsvärdet är 1)
anders Wallgren

Svar:

Det verkar som om du definierar talet e som gränsvärdet av talföljden (1 + 1/n)nn --> oo. Då visar man att (1 + 1/x)x --> ex --> ±oo och kan härleda derivatan av ln x så som du gör. Sätt t = ex - 1. Då är x = ln(1 + t) så

(ex - 1)/x = t/ln(1 + t).

Kontinuiteten hos ex ger att t --> 0 då x --> 0 och vi får att gränsvärdet blir 1.

Kjell Elfström


25 mars 2002 15.37.41
Var kan jag hitta information om geometriska sannolikheter? Jag har ett par problem att lösa. Tack på förhand
Michael Litton

Svar:

Jag vet inte riktigt vad du menar med geometriska sannolikheter. En stokastisk variabel X säges ha en geometrisk fördelning om sannolikheten att X är lika med x är px - 1(1 - p), där 0 < p < 1. Om t ex ett mynt kastas tills man får klave (miss) och sannolikheten att få krona (träff) är p så är X = antalet träffar före den första missen geometriskt fördelad. Väntevärdet är 1/(1 - p) och variansen p/(1 - p)2.

Kjell Elfström


25 mars 2002 13.05.28
Vad är "roten ur" kan du förklara?
Kalle

Svar:

Låt oss börja med kvadraten på ett tal. Kvadraten av talet a är a·a och betecknas a2. Kvadraten av 5 är 52 = 5·5 = 25 och kvadraten av -3 är (-3)2 = (-3)(-3) = 9. Eftersom två minustecken ger ett plustecken är det lätt att se att alla kvadrater av reella tal är icke-negativa och att -a och a har samma kvadrat. Med kvadratroten (eller bara roten) ur ett icke-negativt tal b menas det icke-negativa tal a, vars kvadrat är b. Roten ur 25 är alltså 5 och roten ur 9 är 3 (inte -3). Finns då roten ur varje icke-negativt tal frågar man sig. Finns det t ex något tal x, sådant att x2 = 2? Eftersom 1,42 = 1,96 och 1,52 = 2,25 måste x vara större än 1,4 och mindre än 1,5. Av samma skäl måste x vara större än 1,41 och mindre än 1,42, större än 1,414 och mindre än 1,415 osv. Man kommer aldrig att finna något avslutat decimalbråk, vars kvadrat är 2. Därför inför man de reella talen (som motsvarar punkterna på tallinjen). De reella talen kan sägas vara alla avslutade och oavslutade decimalbråk. Bland dessa finns det då ett tal vars kvadrat är 2 och detta tal kallas roten ur 2. Slår du roten ur 2 på en räknare får ett ungefärligt värde, t ex 1,4142135624.

Kjell Elfström


25 mars 2002 12.05.47
lös ln för 1oo:60 med vänlig hälsning
bengt olovsson

Svar:

Jag förstår inte vad du vill att jag skall göra.

Kjell Elfström


24 mars 2002 23.24.51
vad är diskret matematik?
patrik

Svar:

Denna fråga har redan besvarats här: 1 april 2000 16.19.00.

Hans Öfverbeck


24 mars 2002 12.44.37
Hej. Ett rationellt tal har en så kallad periodisk decimalutveckling,och ofta kan man hitta längden på perioden ganska snabbt genom att helt enkelt dividera a/b.Nu undrar jag om det finns perioder som att t.ex.det först visar sig att ett tal är rationellt efter tio eller trettio decimaler eller ännu längre fram,ge då gärna exempel på ett sådant tal.Enligt min erfarenhet så är de flesta perioderna ganska korta,så efter tre eller fyra decimaler brukar det sedan visa sig om ett tal är rationellt eller irrationellt.Detta är en komplettering på en tidigare fråga ifrån mig. Tack på förhand.
Peter Elven

Svar:

På följande sätt kan man konstruera ett rationellt tal med godtyckligt lång period:
Låt n vara den önskade periodlängden (n är ett positivt heltal, t.ex. 30). Definiera det rationella talet r som r=0,10 ... 010 ... 010 ... 010 ...
alltså en etta sedan n-1 nollor, sen en etta sedan n-1 nollor o.s.v. Detta tal är rationellt, eftersom r·10n=10 ... 0,10 ... 010 ...
så är r·(10n - 1) = 10n-1
vilket ger r = 10n-1 / (10n - 1)
så vi ser att r är ett rationellt tal och vi såg ovan att dess decimalutveckling hade period n.

Hans Öfverbeck


24 mars 2002 01.06.48
Hej. Hur ritar man en fyrdimensionell kub,och går det att tillverka den i verkligheten?
Peter Engberg

Svar:

För att tillverka en fyrdimensionell kub, eller hyperkub som det också kallas, skulle man behöva ha tillgång till fyra rumsdimensioner, något som vi normalt inte har (om man inte räknar tiden som en rumsdimension). Det går inte att direkt rita en hyperkub, däremot kan man rita projektionen av en hyperkub i tre dimensioner, mer om detta finns på Visualizing the Hypercube

Hans Öfverbeck


23 mars 2002 23.43.17
Hej. Jag undrar om det finns något bevis för att ett irrationellt tal t.ex 24/17 är ett irrationellt tal? Beviset för att roten ur 2 är ett irrationellt tal går inte att använda för andra irrationella tal.Sen undrar jag om det finns något rekord för hur lång en periodisk decimalutveckling kan vara,alltså för ett rationellt tal?
Peter Elven

Svar:

Först och främst vill jag påpeka att du verkar ha missupfattat vad ett irrationellt tal är:
Ett tal som kan skrivas på formen a/b där a och b är heltal, b inte lika med noll, kallas rationellt, ett tal som ej är rationellt kallas irrationellt.
Således är 24/17 ett rationellt tal. Nu till din fråga; det finns ingen allmän metod för att visa att ett tal är irrationellt, något som gör att det i allmänhet är väldigt svårt att visa irrationalitet. För svar på din andra fråga se 24 mars 2002 12.44.37.

Hans Öfverbeck


23 mars 2002 14.51.40
Varför indelas ett varv i 360 grader? Jag vet att gradus är latin och betyder steg men varför just 360?
Åke Olsson

Svar:

Se 17 april 1997 14.41.41.

Hans Öfverbeck


23 mars 2002 03.56.58
Hejsan. Jag pluggar på universitetsnivå och har en fråga om diffekvationer: Om den karakteristiska ekvationen för en diffekvation ger imaginära rötter kan lösningen uttryckas både med hjälp av sin- och costermer eller med termer innehållande e. Skulle vilja ha en motivering till hur dessa kan vara ekvivalenta. Det känns som att trigonometriska och exponentiella funktioner inte borde ha så mycket att göra med varandra.
Erik

Svar:

Trigonometriska och exponentiella funktioner är nära sammankopplade. Inom teorin för så kallade analytiska funktioner definierar man sinus och cosinus via Eulers formler
sin(x) = (ei·x - e-i·x)/2i
cos(x) = (ei·x + e-i·x)/2
Beviset för att man får de "vanliga" trigonometriska funktionerna från dessa definitioner kan göras m.h.a. så kallade taylorutvecklingar.

Hans Öfverbeck


22 mars 2002 22.50.38
Finns det någon funktion y=f(x) som inte är deriverbar i någon punkt men som ändå har en konternuelig graf (alltså inte t ex f(x)=1 då x är irrationellt, f(x)=-1 då x är rationellt)?

Svar:

Javisst finns det sådana funktioner, ett exempel finns på A continuous, nowhere differentiable function.

Hans Öfverbeck


22 mars 2002 14.06.03
Hur kan man bevisa att en rät vikel är rät, genom att bara använda penna, linjal och passare??
Linda Linjal

Svar:

Titta på följande figur:

vinkel

Om vi har två linjer som skär varandra och vill avgöra om vinkeln är rät kan göra på följande sätt:

  1. Förläng linjerna så att de sticker ut en bit på båda sidor om skärningspunkten.
  2. Välj en punkt A på den ena linjen som mittpunkt för den ena cirkeln, ställ in radien på passaren så att den är något större än avståndet från A till skärningspunkten. Rita en cirkel.
  3. Rita en till cirkel med samma radie och centrum i punkten B där den första cirkeln skär linjen som A ligger på.
  4. Om skärningspunkterna mellan cirklarna ligger på den andra linjen (som i figuren) så är linjerna vinkelräta, annars inte.

Hans Öfverbeck


22 mars 2002 13.50.32
Hejsan! En kort fråga: Vad är en em-algoritm??
Rita & Charlotte

Svar:

Följande länk kanske kan vara av intresse: A Gentle Tutorial to the EM Algorithm and ....

Hans Öfverbeck


22 mars 2002 11.55.46
vad är kvadratroten av det komplexa talet i?
emma hermansson

Svar:

Med kvadratroten ur ett positivt reellt tal, a, menas det positiva talet som uppfyller ekvationen x2=a. Om a ej är positivt eller reellt brukar man inte definiera kvadratroten ur talet eftersom det finns två olika komplexa lösningar till ekvationen ovan i dessa fall och man inte har något naturligt sätt att skilja dessa, man kan ej definiera positivt, negativt på ett meningsfullt sätt för komplexa tal. Man kan naturligtvis titta på lösningarna till ekvationen:
x2=i
Om vi ansätter x=a + bi där a och b är reella, ger identifierande av real- och imaginärdel i ovanstående ekvation:
a2 - b2 = 0
2ab = 1
Lösning av detta ekvationssystem ger:
a = ± 1/sqrt(2)
b = ± 1/sqrt(2)
Där lika tecken hänger ihop. Detta ger lösningarna: x = ± (1+i)/sqrt(2)

Hans Öfverbeck


22 mars 2002 10.44.11
Varför är graderna på en cirkel 360?
Jonas Enarsson

Svar:

Se 17 april 1997 14.41.41.

Hans Öfverbeck


21 mars 2002 23.47.02
Hej! Jag har en fråga som är svårt och lösa y=37+0,1x-0,001x^2 är matematisk modell över kroppstemperaturen vid en sjukdom. Där y är kroppstemperaturen och x är antalet timmar efter det sjukdomen brutit ut. Hur kan jag veta hur hög feber får den sjuke som mest enligt ekvationen.
Anet

Svar:

Detta kan göras m.h.a. så kallad kvadratkomplettering, vi skriver om uttrycket som en summa av en jämn kvadrat och en konstant:

y = 37+0,1·x-0,001·x2 = -0,001·(x2 - 100·x - 37000)
= -0,001·( [ x2 - 2·50 + 502 ] - 502 - 37000) =

Där vi ser att uttrycket mellan hakparenteserna är en jämn kvadrat:

= -0,001·( (x - 50)2 - 2500 - 37000) = -0,001·( (x - 50)2 - 39500)
= 39,5 - 0,001·(x - 50)2

Eftersom den sista termen i ovanstående uttryck är en jämn kvadrat kan den aldrig vara negativ, men är däremot noll då x = 50, vilket ger att maxtemperaturen är 39,5.

Hans Öfverbeck


21 mars 2002 22.57.45
Hejsan. Har lite problem med denna uppgift. vänliga hälsningar Daniella Nordström

Bestäm cos(x/2) då cos x = -1/2 och Pi/2 < x < Pi

Svar:

Det finns en trigonometrisk formel som säger:
cos(2a) = 2·cos2(a) - 1
låter vi a= x/2 och löser ut cos2(x/2) så får vi:
cos2(x/2) = (1 + cos(x))/2
insättning av cos(x) = -1/2 ger cos2(x/2) = 1/4 vilket i sin tur ger cos(x/2) = ±1/2. För att veta vilket tecken som gäller observerar vi att Pi/4 < x/2 < Pi/2 och konstaterar genom att titta på enhetscirkeln (gör det!) att cosinus är positiv i detta intervall, således är cos(x/2) = 1/2.

Hans Öfverbeck


21 mars 2002 08.33.24
Är det sant att kvadratroten ur -1=j
Henrik

Svar:

Kvadratroten av ett tal är endast definierat då talet är större än eller lika med noll, kvadratroten av -1 är således ej definierad. Däremot kan man införa ett tal j (eller i) med egenskapen j2=-1. Anledningen till att vi ej kan definiera kvadratroten ur -1 är att -j också uppfyller samma ekvation och vi vet ej vilken av dessa vi skall välja att kalla "kvadratroten ur -1". Se även 22 mars 2002 11.55.46.

Hans Öfverbeck


20 mars 2002 14.40.07
hård nöt att knäcka? var är den primitiva funktionen av 2 (talet e som bas och x i kvadrat som exponent x e
mikael stenlund

Svar:

En primitiv funktion till ex2 kan ej uttryckas som en sammansättning av de elementära funktionerna, se t.ex. Functions without elementary antiderivative av Matthew P Wiener.

Hans Öfverbeck


20 mars 2002 00.27.44
Hej! Jag har fortfarande problem med denna uppgift nedan, jag är mycket tacksam om ni kunde hjälpa mig: Vatten pumpas i en konisk behållare som har måtten: sida= 2m. d= 2m. Vattehöjden i konen ökar med 0.1 m/min. Man ska bestämma hastigheten vattnet pumpas in vid t=15 min om behållaren är tom då pumpen startas vid t= 0. MVH!!!
Tony (Varberg)

Svar:

Hej,
Om jag förstått problemet rätt så har vi en kon med diameter 2m och höjd 2m som står på sin spets och är öppen uppåt. Låt h(t) beteckna vattnets höjd (i meter) vid tiden t (i minuter), enligt vad som givits så är:
h(t) = 0,1·t
Volymen av en kon med höjd h och radie r är:
V = Pi·r2·h/3
i vårt fall är vi intresserade av vattenkonen i botten på den stora konen, radien på denna kon beskrivs av: r(t) = h(t)/2. Således är volymen vid tiden t:
V(t) = Pi·h3(t)/12 = ( 0,001·Pi·t3 )/12
För att få antalet liter per minut som pumpas in i konen deriverar man ovanstående funktion:
V'(t) = ( 0,001·Pi·3·t2 )/12 = ( 0,001·Pi·t2 )/4
Vi kan nu sätta in t = 15 min i ovanstående formel, och får då ut V'(15) = 0,177 m3/min.

Hans Öfverbeck


19 mars 2002 16.48.52
Betrakta följande två differentialekvationer:

1. y' + y '' + y''' + ... = y (*)

Derivera båda led, y'' + y''' + ... = y' och subtrahera från (*). Då får vi helt enkelt y' = y - y' eller y' - 1/2 y = 0 , som har den allmänna lösningen y = C e^(x/2). Denna satisfierar också (*) eftersom (*) är linjär och D e^(x/2) + D2 e^(x/2) + D3 e^(x/2) + ... = = e^(x/2)*(1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) = e^(x/2)*1 = e^(x/2).

2. y' = y + y' + 1/2 y'' + ... + 1/n! y^(n) + ... (**)

Om f(x) är en analytisk funktion så är

f(x) + f'(x) + 1/2 f''(x) + ... + 1/n! f^(n) (x) + ... = f(x + 1)

och därför är (**) ekvivalent med

y'(x) = y(x + 1). (***)

(*) och (**) är alltså mycket olika. När kan en ODE av oändlig ordning reduceras till en av ändlig ordning som (*) och när leder den till en ekvation av typ (***) eller något annat? Referenser?

Bengt Månsson

Svar:

Hej Bengt,
Det enda jag kan bidra med är en referens, nämligen artikeln "Finite dimensionality of cohomology grpups attached to systems of linear differential equations" av Takahiro Kawai, publicerad i "Journal of Mathematics of Kyoto University, Vol. 13 No. 1 1972". Denna artikel innehåller kanske några ytterligare referenser som kan vara intressanta för dig.

Hans Öfverbeck


19 mars 2002 12.22.02
vad är en algotitm
michael hansen

Svar:

Se 15 oktober 2000 22.13.55 och 11 februari 1999 12.05.39.

Hans Öfverbeck


19 mars 2002 11.40.44
Kan ni nämna några kända matematiker?
sanna

Svar:

Ett par kända matematiker: Johann Carl Friedrich Gauss, Evariste Galois, Pierre de Fermat, Andrew Wiles. Om ni vill veta mer ni titta in på MacTutor.

Hans Öfverbeck


18 mars 2002 12.46.41
Hej!!Jag har ställt en fråga innan också om det här uppgiften nedan, men har ej fått svar. Jag har svårt för att lösa det här så jag vill gärna att ni hjälper mig: Bestäm maximala volymen for en kon, med generatrisens längd lika med s.

Svar:

Se 11 mars 2002 11.50.25.

Hans Öfverbeck


16 mars 2002 22.57.12
Vad är ekvationen för en cirkel? För ett klot?
fornbo@swipnet.se

Svar:

Om (x,y) är kartesiska koordinater i planet  beskriver (x-a)2+(y-b)2= r2 en cirkel med centrum i punkten (a,b) och radie r .
 Ekvationen för ett klot med centrum i punkten (a,b,c) i rummet och radie r ges av:  (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2
om x, y, z är de vanliga koordinaterna i rummet.

Anna-Maria Simbotin


16 mars 2002 21.27.45
Vad är/betyder kongruenta trianglar? Och finns det något samband mellan begreppet romb och begreppet kongruents trianglar?
Maria Gustavsson

Svar:

Två trianglar säges vara kongruenta om varje sida i den ena triangeln är lika med någon sida i den andra triangeln och tvärtom.
Observera att om så är fallet, detsamma gäller för trianglarnas vinklar. För att avgöra om två trianglar är kongruenta kan man också  verifiera
- om två av den ena triangelns sidor är lika med några två sidor i den andra triangeln, samtidigt som vinkeln emellan dem
  är lika med  motsvarande vinkel i den andra triangeln.
- om två av den ena triangelns vinklar är lika med några två vinklar i den andra triangeln, samtidigt som sidan emellan dem är lika med motsvarande sida i den andra triangeln.
Däremot räcker inte att varje vinkeln i den ena triangeln är lika med någon vinkel i den andra triangeln för att trianglarna skall vara kongruenta.
Gällande sambandet mellan kongruenta trianglar och romb, det första man kan anmärka är att om man speglar en likbent triangel i sin egen bas så får man en romb.

(Om definitionen verkar krånglig tänk att om du ritat två trianglar på en bit papper så att de inte överlappar varandra
på något sätt och du klipper ut en av dem,  skall du kunna passa in den klipta triangeln på den andra, rand på rand, om de är kongruenta.)

Anna-Maria Simbotin


16 mars 2002 13.57.37
För att kunna använda mig av Dinis sats måste jag visa att given talföljd är monoton bl. a. Hur visar jag att (nsin(n/x))/x^2 är monoton talföljd
Amir

Svar:

Hej Amir!

En funktionsföljd fn kallas monoton i en mängd K om det antigen gäller fn(x)<fn+1(x) eller också att fn(x)>fn+1(x) för alla n>1 och alla  x som tillhör mängden K. Dinis sats tillämpas på en följd av kontinuerliga funktioner som är  monoton i en kompakt mängd K och som konvergerar mot en kontinuerlig funktion på K.  För att kunna avgöra om funktionsföljden fn (x) =(nsin(n/x))/x^2 är monoton måste man specificera definitionsmängden. Eftersom f(x)= sin(x) avtar och växer periodiskt på den reela axeln, måste du avgöra om  (nsin(n/x))/x2 <((n+1)sin((n+1)/x))/x2 eller om  (nsin(n/x))/x2 <((n+1)sin((n+1)/x))/x2 , då  x tillhör det kompakta  intervallet som du antagligen har glömt att nämna i din fråga.

Anna-Maria Simbotin


16 mars 2002 13.57.10
Hejsan! Skulle behöva hjälp med vad detta gränsvärde blir. lim, då x -> - oändligheten, (sqrt(4x^2 + 4x +1))/3x Jag får det till 2/3, men det ska bli -2/3 enligt min lärare (som jag antar har rätt *ler*). I alla fall skulle jag behöva en förklaring varför det blir det ena och inte det andra. Tack på förhand!
Frida

Svar:

Hej Frida!

Jag antar att felet inträffar när du bryter ut den dominerande faktorn x2 ur rottecknet.  Det är vanligt att man glömmer att sqrt(x2)=| x|. Eftersom x-> - oo så är |x| = - x och detta gör att gränsvärdet blir -2/3 och inte 2/3 .  Ett annat sätt att inse detta är att göra en enkel variabelsubstitution. Låt y = -x . Eftersom y-> oo  om x-> - oo, får vi att
lim x -> - oo (sqrt(4x^2 + 4x +1))/3x=limy -> oo (sqrt(4y^2 -4x +1))/(-3y)=-2/3.

Anna-Maria Simbotin


14 mars 2002 15.28.14
Här kommer några tal som fått mitt huvud att vrida sig. Dessa tal är säker enormt lätta för dig men inte för mig. Tal 1: 12x+0,7=2x Tal 2: 0,2x +5 * 10^4 = 8* 10^4 + 0,6x (Obs! "10^4" betuder 10 upp höjt i 4. Tiopotens. Hittade inget tecken för den.) Tal 3: 10^-3 -0,8x = 4 * 10^-2 -x (Obs! Samma här "10^-3" och "10^-2" betyder 10 upphöjt i -3 resptive 10 upphöjt i -2.) Tack på förhand Jonas 14år
Jonas

Svar:

Hej Jonas !

Ekvationen 12x+0,7=2x löser man på följande sätt. Vi samlar termerna som innehåller variabeln x på ena sidan av ekvationen:
12x-2x=- 0,7. Detta ger 10x=-0,7 och man kan äntligen lösa ut x=-0,7/10=-0,07 .
Samma metod kan användas till att lösa den andra ekvationen 0,2x +5 * 104 = 8* 104 + 0,6x :
0,6x- 0,2x=5 * 104 - 8* 104    vilket ger 0,4x=-3*104 och slutligen  x=-3*104 /0,4=-(3/4)*105.
Den tredje ekvationen löses givetvis på samma sätt:
10-3 -0,8x = 4 * 10-2 -x  är ekvivalent med x -0,8x= 4 * 10-2 -10-3 . Vi får  att 0,2x=0,04-0,001 alltså att 0,2x=0,039 vilket ger x=0,195.

Anna-Maria Simbotin


13 mars 2002 16.22.17
Hej. Skulle vara tacksam för lösning (helst fullständig)av följande: MVH Linus Skär linjerna L1 : x = y = 1- z och L2 : x + 1 = 6-2y = 2z varandra? och är de paralella?

Svar:

Hej Linus!
Linjerna skär varandra i en punkt som har koordinaterna x', y', och z' om dessa uppfyller samtidigt att
x' =  y'= 1- z' och  x' + 1 = 6-2y' = 2z'.
Observera att det andra sambandet kan skrivas som  x' =5-2 y'= 2z'-1 (man substraherar 1 från varje led).
Då måste  y'=5-2 y' = 1- z'= 2z'-1, vilket ger att y'=5/3 (från den första likheten) och z'=2/3 (från den sista likheten).
Eftersom för dessa värden av y' och z' gäller inte den andra lihheten, kan vi dra slutsatsen att linjerna inte skär varandra.

En alternativ metod som kanske  är lättare att genomskåda använder linjernas ekvation på parameter form.
(Hoppas du är bekant med den!).
L1's ekvation på parameterform är (x,y,z)=(0,0,1)+ t(1,1,-1) (för att få fram detta låt x vara lika med parametern t)
medan L2's ekvation blir: (x,y,z)=(-1,3,0) +s(2,-1,1) (välj z=s).
L1 och L2 skär varandra om ekvationsystemet
(0,0,1)+ t(1,1,-1)=(-1,3,0) +s(2,-1,1) har någon lösning s och t. (Observera att vi har tre ekvationer, en till varje koordinat
och endast två obekanta, vilket gör att ekvationsystemet är överbestämt.) Kontrollera gärna att ekvationsystemet inte har någon lösning!

För att avgöra om två linjer är parallella jämför man deras riktningsvektorer. Riktningsvektorerna (1,1,-1) och (2,-1,1) är inte parallella,  vilket innebär att L1 och L2 inte är det heller.
Det kan vid första anbliken verka paradoxalt att två linjer som inte skär varandra är inte parallella heller.
Men så är det inte! De ligger i parallella plan.

Anna-Maria Simbotin


13 mars 2002 15.13.35
Hej! Jag undrar vad som menas med "lacunary", "lacunary function", "lacunary polynomial" samt "lacunary trigonometric series". Finns det en översättning till svenska av ordet "lacunary"?
Patrik Andersson

Svar:

Hej Patrik!

Jag är ingen expert på svenska men jag skulle kunna hjälpa till med "lacunary " ändå. Ordet "lacuna" kommer från latin och betyder hålighet eller tomrum.  I engelska tester  kan man träffa på "gap series" vilket är ett annat namn på "lacunary series ". Vi skulle kanske kunna kalla dem "hålaktiga" och med detta avse polynom eller serier som saknar vissa termer. Ett exempel är f(z)=sumk>0z^(2^k)

Anna-Maria Simbotin


12 mars 2002 21.11.17
Hej! Om jag vill visa att ekvationen (x^3+ax^2+bx=0) övergår i (x^3+px+q=0) om x ersätts med (x-a/3) och sedan... När har den första ekv. tre reella rötter som är olika stora? Hur visar jag det i ett pq-system de områden där ekv. har en, två resp. tre reella rötter. Tacksam för svar
Mikael

Svar:

Hej Mikael!

Kolla gärna frågan (och svaret givetvis) från 28 januari 1997 10.06.25!

Anna-Maria Simbotin


12 mars 2002 17.39.48
Hej! Skulle behöva hjälp med följande:  Skriv på formen a+ bi det komplexa tal z som bestäms av villkoren arg z = 2*Pi/3 och Re z = -2
Erik Andersson

Svar:

Varje komplext tal kan skrivas på formen z=a+bi=r(cos t +i sin t), där sambandet mellan de kartesiska koordinaterna a, b och de polära koordinaterna r och t beskrivs av:
a=Re z=r cos t,
b=Im z=r sin t och härmed
r=|z|=(a^2+b^2)^½ och t=arg z=arctan(b/a).
I ditt exempel känner vi till a= Re z= -2 och det återstår att beräkna b.  En metod vore att använda sambandet t=arctan(b/a), eftersom både a och t är kända. Då får man: b= a tan t= -2 (- 3^½)=2 *3^½ och  z= -2 + 2 * 3^½ i

Anna-Maria Simbotin


12 mars 2002 15.33.11
Har Andrew Wiles fått Fields medalj för beviset av Fermats stora sats, om inte isåfall varför?
Johan

Svar:

Fields medaljer tilldelas vart fjärde år för enastående insatser, till matematiker som inte är äldre än 40 år. Andrew J.Wiles,  född den 11 april 1953, hade precis fyllt 40 år när han var klar med beviset av Fermats stora sats och därför har han inte  fått en "vanlig" Fields medalj. Däremot figurerar hans nams på Fieldsmedaljorernas lista från 1998 med anmärkningen "special award". Wiles insats har hedrats  med International Mathematical Union's Silver Plaque. För ytterligare information se:   www.j4.com/scientists/wiles_andrew.php.

Anna-Maria Simbotin


12 mars 2002 13.55.37
Vad är vänskapliga tal?
Anna

Svar:

Två naturliga tal sägs vara vänskapliga om summan av det ena talets delare, inklusive 1 och talet självt, är lika med det andra talet och viceversa.
Ett  exempel vore talparet 220 och 284.

Anna-Maria Simbotin


12 mars 2002 10.49.20
hur deriverar man (roten ur X) upphöjd i X?
Abbe

Svar:

Jag antar att svårigheten med att derivera  funktionen f(x)= (x1/2)ligger i att f(x) är varken en vanlig potens eller en exponentiellfunktion och man har inte någon standard regel till att derivera funktioner av just detta slag. Men man kan undvika det här problemet via en  omskrivning :
f(x)=xx/2= eln(x^(x/2))  =e(x/2)ln x.  Då är f'(x)=e(x/2)ln x(x/2 ln x)'.  Faktorn e(x/2)ln x  kan  skrivas om igen som xx/2
och för att beräkna (x/2 ln x)' tillämpar man regeln för att derivera en produkt av två funktioner.  Slutligen får man att : f(x)=xx/2((1/2) ln x+(x/2)*(1/x))=1/2 xx/2(ln x+1).
Den här metoden kan användas allmänt, nämligen när man deriverar f(x)g(x)   :
(f(x)g(x))'=(e g(x)lnf(x))'=e g(x)lnf(x)*(g'(x)ln f(x)+g(x)/x)=f(x)g(x)*(g'(x)ln f(x)+g(x)/x).

Anna-Maria Simbotin


12 mars 2002 09.46.57
Hej! Jag undrar om Ni kan hjälpa mig med följande problem: Jag har en cylinderformad tank (som ett rör) till min båt. Tanken ligger ned. Jag undrar om det finns något sätt att räkna ut hur mycket bensin den rymmer samt hur jag räknar ut hur mycket bensin som finns i tanken när det är 3/4, hälften respektive 1/4 och 1/8 kvar i tanken. Hade tankte stått upp hade ju allt varit mycket enklare (för mig i alla fall :-)). Jag vore väldigt tacksam ifall Ni vill / har möjlighet att hjälpa mig med mitt problem. Tack på förhand!! Med vänliga hälsningar Marie Reinholdz marie.reinholdz@runo.se
Marie Reinholdz

Svar:

Hej Marie!
Eftersom du är inte den enda som har undrat över hur man räknar ut olika volymnivåer i en liggande cylinder, kan jag hänvisa till en liknande fråga från 30 januari 1997 09.59.08.

Anna-Maria Simbotin


12 mars 2002 02.15.08
Hej! Skulle vilja veta varför det, vid hashning, blir bättre spridning på koderna när man använder ett primtal vid moduloräkningen än ett heltal som inte är ett primtal? Tack på förhand!
Mattias

Svar:

Hej Mattias!

I allmänhet får man bättre spridning på koderna om man väljer en hash-funktion av typen h(x)= x mod p, p primtal än när man använder ett heltal n av ungefär samma storlek.  Skälet är att det är mindre sannolikt att indatan x är multipel av ett stort primtal än att den är en multipel av de mindre primtalen som förekommer i heltalets n faktorisering . 
Följande exempel illustrerar att man får sämre spridning om man räknar modulo ett heltal: alla multiplar av 4 avbildas på jämna heltal om vi räknar modulo ett jämnt heltal.

Anna-Maria Simbotin


11 mars 2002 21.27.51
Jag skulle vilja ha en enkel förklaring på lådagram!! Tack på förhand..
Mikaela

Svar:

Hej Mikaela!
Du kan hitta en tydlig förklaring här.

Anna-Maria Simbotin


11 mars 2002 20.40.34
Jag har läst om hur man räknar ut decimaler på PI nuförtiden. Den vanligaste och snabbaste metoden tycks vara Gauss AGM algoritm. Skulle ni kunna förklara hur den här algoritmen fungerar och varför den är så bra?
Sebastian

Svar:

Hej Sebastian!

Som namnet antyder (AGM en förkortning för arithmetic-geometric mean), bygger AGM algoritmen på att konstruera två talföljder genom att iterativt beräkna det aritmetiska och det geometriska medelvärdet . Detta sker på följande sätt:
-om a0 och b0 är två positiva tal definierar man an+1=(an+bn)/2 och bn+1=(anbn)1/2.
-med a0 =1 och b0=1/(21/2) definierar man pn=2(an+1)2/(1-sum0<k<n 2k(ak2-bk2)).
-talföljden pn konvergerar mot pi
Algoritmens efektivitet beror på att konvergensen är kvadratisk, vilket i praktiken innebär att antalet korrekta decimaler fördubblas efter varje iteration.  Till exempel, de första 171 decimalerna i p7 är korrekta, medan  p8 har 344 korrekta decimaler.

Anna-Maria Simbotin


11 mars 2002 15.30.47
Uppgift 11.3 i Tengstrands bok "lineär algebra med vektorgeometri" på sid 221. Det står att vektorerna tillhör R^5, men vi vet alltså inte om vektorerna är koordinater för en viss bas eller om dom är vektorer.
Johan

Svar:

Hej Johan!

Varje punkt i Rn beskrivs av sina koordinater i standard basen. Och till varje punkt kan man associera en ortsvektor som förbinder origo med punkten, på samma sätt som till två punkter A och B kan associeras en vektor riktad från A till B. Om A och B är t. ex två punkter i rummet R3 med koordinaterna (1,2,3) och (2,4,5) så har vektorn AB koordinaterna (2-1, 4-3, 5-4)=(1,1,1). På samma sätt ges ortsvektorn av OA=(1,2,3)-(0,0,0)=(1,2,3). Hoppas du märker att begreppen sammanfaller på sätt och vis. Dessutom betraktar man varje translation av en ortsvektor som samma vektor; varje translation har samma koordinater som den ursprungliga vektorn. I uppgiften du nämner har vi till exempel att u1= (1,2,-1,2,0); (1,2,-1,2,0) är u1's koordinater i standardbasen för R5 och de definierar vektorn entydigt. Jag hoppas att mitt svar skall skapa lite klarhet, även för de andra frågorna som du har ställt!

Anna-Maria Simbotin


11 mars 2002 15.17.08
När man ritar upp funktioner i analysen, gör man det ju i ett vanligt rätvinkligt koordinatsystem. Men vad är det som säger att koordinatsystemet måste se ut på detta sättet?
Johan

Svar:

Hej Johan!

Din fråga är befogad. Att representera funktioner i ett rätvinkligt koordinatsystem är inte ett måste. Vi gör det för att det känns mest naturligt. En punkt  P i planet representeras av ett koordinatpar (x,y) som uttrycker avstånden från P till två linjer som skär varandra: x-axeln och y-axeln. I ett rätvinkligt koordinatsystem är axlarna ortogonala och avstånden x och y beräknas genom att projicera P ortogonalt på x- respektive y-axeln. Men man kan göra detsamma i ett snett koordinatsystem:  koordinarna beräknas genom att projicera P på x-respektive y-axeln längs linjer parallella med axlarna.

Anna-Maria Simbotin


11 mars 2002 12.56.12
Hej! Var finns det logiska med att 1/1=1 ? Ta bara ett sådant konkret exempel som att du har ett limpa och skär den på mitten. Då får du ju två delar.. och inte en okluven limpa.. som om du aldrig hade delat den. Min teori är att uttrycket existerar för att inte skapa kaos eller tomrum i resten av algebran.. för om 1/1= 2 , skulle t.ex. 2/2 = 2 vilket skulle medföra att 2*2 = 2 och inte 4.. '
Sven

Svar:

Hej Sven!

Det faktum att 1/1=1 har givetvis en logisk förklaring och man skulle kunna bygga på ditt exempel med limpan.  Vi kan börja för enkelhetsskull med den situation som verkar förefalla dig mer naturlig, nämligen att dela limpan till två personer på ett sådant sätt att varje person får lika mycket. Du håller med om att varje person får en halv limpa. På samma sätt kan man rättvist dela en hel limpa till tre personer och då är resultatet att varje person får en tredjedel av limpan. Poängen är att när man utför en division så kan man betrakta hela processen som om man delar en viss kvantitet (som då motsvarar täljaren) till ett visst antal personer (som motsvarar nämnaren) och resultatet är då den kvantitet som tilldelas varje person.
Då är det inte så konstigt att om man delar 1 limpa till 1 person, får den personen hela (1) limpan. Det blir inte heller konstigt att uttrycket 1/0 inte  har någon mening, eftersom om vi har inga personer att dela limpan till.
Men du har rätt på sätt och vis! Det hade blivit kaotiskt i annat fall!

Anna-Maria Simbotin


11 mars 2002 11.50.25
Hej Kjell! Tack för denna hemsida! Kan du hjälpa mig med en upgift som lyder: Bestäm maximala volymen för en kon, med generatrisens längd lika med s.
LINDA

Svar:

Hej Linda!

Volymen av en kon beräknar man enligt formeln v=pi r2 h/3 där r betecknar basens radie och h konens höjd och sambandet mellan h, r
och generatrisens längd ges av Pytagoras sats: s2=h2+r2 . Volymen är en funktion i  variablerna r och h, men eftersom generatrisens längd s antas känd, kan man ersätta t. ex. r2 med s2-h2   och då blir volymen v(h)=pi( s2-h2 )h/3 en funktion i variabeln h som kan optimeras på vanligt sätt. Vi teckenstuderar derivatan: v'(h)=pi/3(s2-3h2)=pi/3(s-31/2h)(s+31/2h) i intervallet h>0. Vi har att  v'(h)>0 och volymen växer om h<s/(31/2) och v'(h)<0, volymen avtar om h<s/(31/2). Volymen blir alltså störst när h= s/(31/2) och den är lika med 2pi s3/(34/3).

Anna-Maria Simbotin


11 mars 2002 11.47.48
kan ni ge beviset för derivatan av e^x där man utnyttjar att man vet derivatan av ln x? och vice versa? jag har för mig att det var lättare att bevisa derivatan av e^x om man visste derivatan av ln x. Allmän metod med derivatan av invers funktion får inte användas. Tacksam för svar och grundlig undersökning.
anders wallgren

Svar:

Hej Anders!

Jag antar att du vill se hur man härleder att (ex)'= ex om man vet att (ln x)'=1/x och viceversa.
Man kan använda det faktum att ex och ln x är inversa funktioner och derivera sambandet eln x = x.  Om f(x)= ex så är f( ln x) = x.
Derivering ger nu att  f'(ln x) 1/x =1 som är ekvivalent med f'(ln x)= x. Detta medför att f' och ln är inversa funktioner och härmed är f'(x)=ex
vilket bevisar att (ex)'= ex .
Använd samma metod för att härleda (ln x)'=1/x!

Anna-Maria Simbotin


11 mars 2002 11.32.27
Hej, jag har problem med följande: "En låda, med kvadratisk botten och utan lock, skall tillverkas så att den rymmer 32 liter. Bestäm dess mått så att materialkostnaden blir så liten som möjligt". Vilket uttryck ska man få ut av detta?!
Linda

Svar:

Hej Linda!
Låt v och a beteckna lådans volym respektive area, b bottnens sida och h lådans höjd. Ditt problem innebär att bestämma b och h så att
v= b2 h=32 liter=32 dm3 och arean a= b2+4 bh  blir så liten som möjligt. För att minimera arean löser vi ut den ena variabeln ur det första sambandet och det är enklast att lösa ut höjden: h=32/b2 (b är givetvis skilt från noll). Då kan vi betrakta arean som en funktion av b:
a(b) = b2+4 b*32/b2= b2+128/b och problemet reduceras till att bestämma funktionens minimipunkt (dvs punkten där funktionen antar sitt minsta värde). Detta görs genom att teckenstudera funktionens derivata. Vi har att a'(b)=2 b-128/b2= 2(b3-64)/b2 (den sista likheten får man genom att förlänga den första termen med b2 och bryta ut den gemensamma faktorn 2). Det sista uttrycket kan faktoriseras på följande sätt:
a'(b)= 2(b-4)(b2+4b+16)/b2 (man använder att x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2); observera att 64=43). Eftersom b2+4b+16 = (b+2)2+12 >0 och 2b2 >0  är b-4 den enda faktor som påverkar derivatans tecken. Vi får att om b<4 så är a'(b)<0  och funktionen a(b) är avtagande och om b>4 så är a'(b)>0 och a(b) växer. Detta innebär att areafunktionen antar sitt minsta värde om b= 4 dm. De önskade dimensionerna är b= 4 dm och h=2

Anna-Maria Simbotin


10 mars 2002 22.07.09
om man har ett objekt A med hörn och linjestycken: p1=(1,1,1), p2=(5,2,1), p3=(5,6,5), p4=(4,6,9) p1<->p2, p2<->3, p3<->p1, p1<->p4, p2<->p4, p3<->p4 hur kan jag bestämma en matris som reflekterar A i planet y = x, och en matris som reflekterar A i planet x + 2y = 3z ?
johan

Svar:

Matrisen för reflexion i ett plan beror bara på planet och basen och inte på vad som reflekteras. Jag visar hur man kan bestämma matrisen i fallet med planet x + 2y - 3z = 0. En normalvektor till planet av längden 1 är e = 14-1/2(1,2,-3). Den ortogonala projektionen av u = (x,y,z) på e är u' = (u·e)e. Spegelbilden av u i planet är (rita en figur nu om du inte har gjort det)

v u - 2u' = (x,y,z) - (2/14)(x + 2y - 3z)(1,2,-3)
= (1/7)(6x - 2y + 3z,-2x + 3y + 6z,3x + 6y - 2z)

så matrisen blir

6/7 -2/7 3/7
-2/7 3/7 6/7
3/7 6/7 -2/7

Kjell Elfström


10 mars 2002 15.01.34
Jag vill visa att en kontinuerlig funktion på ett slutet begränsat intervall är likformigt kontinuerlig. Min fråga är då ifall man inte kan visa det genom att göra en intervall halvering och sedan titta på mittpunkten i varje intervall och se ifall det "delta" som ges av kontinuiteten för det givna "epsilon" är stort nog att täcka hela intervallet, är det inte det så fortsätter man bara med halveringen av intervallen. Det är väl en ändlig process och sedan tar man bara det minsta "deltat" man hittar? Det låter som ett enkelt sätt men jag kanske gör något tankefel.Berätta vilket isåfall.
Simon

Svar:

Du har själv svaret på din fråga när du skriver "Det är väl en ändlig process". Det är ju det men det gäller att bevisa det! Varför inte använda att om ett kompakt intervall är innehållet i en union av av öppna mängder så kan man välja ut ett ändligt antal av de öppna mängderna så att intervallet är innehållet i unionen av dessa. Denna sats kallas Heine-Borels övertäckningssats. Då kan man resonera som följer:

Låt e > 0. Då finns det på grund av kontinuiteten till varje a i intervallet I ett tal da sådant att

|x - a| < da ==> |f(x) - f(a)| < e/2.

Sätt Oa = (a - da /2,a + da /2}. Då är I innehållet i unionen av mängderna Oa, där a varierar i I. Enligt Heine-Borels sats kan vi välja en ändlig uppsättning tal a1,a2,...,an sådana att I är innehållet i unionen av mängderna Oai. Låt d vara det minsta av talen dai/2. Antag att x och y tillhör I och att |x - y| < d. x tillhör då någon av mängderna Oai så att |x - ai| < dai /2. Då är

|y - ai| = |y - x + x - ai| <= |y - x| + |x - ai| < d + dai /2 <= dai

och vi får att

|f(x) - f(y)| = |f(x) - f(ai) + f(ai) - f(y)| < e/2 + e/2 = e.

Kjell Elfström


10 mars 2002 09.42.40
Vad är svaret på integralen mellan intervallen pi/2 mot oändligheten sin x i kvadrat dx. Tacksam för lösning
Jörgen Damberg

Svar:

Jag tror inte att man kan beräkna integralen Pi/2oo sin x2 dx exakt, uttryckt i elementära funktioner. Däremot kan man beräkna 0oo sin x2 dx exakt. f(z) = exp(-z2) är analytisk så integralen över triangeln med hörn i 0, b och b(1 + i) är noll. Integralen från 0 till b är 0b exp(-x2dx, integralen från b till b(1 + i) är bi 01 exp(-b2(1 - t2 + 2ti)) dt, vilket man får genom att sätta z = b(1 + ti). Sätter man slutligen z = t(1 + i)/21/2 får man att integralen från 0 till b(1 + i) är

(1 + i)2-1/2 0b exp(-it2dt = 2-1/2 0b (cos t2 + sin t2) dt + i2-1/2 0b (cos t2 - sin t2) dt.

Denna integral är alltså summan av de två första integralerna. Att den första integralen går mot (1/2)Pi1/2b --> oo visas i elementära kurser i flervariabelanalys. Den andra integralen uppskattar vi.

|bi 01 exp(-b2(1 - t2 + 2ti)) dt| b 01 exp(-b2(1 - t2)) dt
b 01 exp(-b2(1 - t)) dt = (1 - exp(-b2))/b.

Detta visar att den går mot 0 då b --> oo. Vi får att

2-1/2 0b (cos t2 + sin t2) dt --> (1/2)Pi1/2 och 2-1/2 0b (cos t2 - sin t2) dt --> 0 då b --> oo.

Subtraherar vi dessa gränsvärden får vi att

0oo sin x2 dx = 2-3/2 Pi1/2.

Kjell Elfström


10 mars 2002 01.38.16
Hur beräknar man inverserna till de hyperboliska funktionerna, sinh(x) och cosh(x)?
Tobbe

Svar:

De hyperboliska funktionerna definieras genom

sinh x = (ex - e-x)/2,   cosh x = (ex + e-x)/2.

Vi bestämmer inversen till sinh. Sätter vi t = ex är

y = (ex - e-x)/2 <==> 2y = t - 1/t <==> t2 - 2yt = 1 <==> t = y ± (1 + y2)1/2

Eftersom t > 0 är lösningen

t = y + (1 + y2)1/2 <==> x = ln(y + (1 + y2)1/2).

Vi har fått att sinh-1 x = ln(x + (1 + x2)1/2), x tillhör R. cosh är inte inverterbar eftersom cosh(-x) = cosh x. Restriktionen till R+ är inverterbar och man kan bestämma inversen till denna funktion på samma sätt som ovan.

Kjell Elfström


9 mars 2002 20.46.39
Hej! Jag ställde tidigare i år en fråga om hur kommutativa lagen för addition av naturliga tal kan härledas ur Peanos axiomsystem - och mottog ett bra svar. Min nästa fråga är mer omfattande: Ur Peanos axiomsystem kan följande utsagor härledas: 1) a+b=b+a, 2) (a+b)+c=a+(b+c), 3) ab=ba,4) (ab)c=a(bc), 5)a(b+c)=ab+ac, 6) a+0=a, 7) 0*a=0, 8) 1*a=a, 9) a+b=a+c => b=c, 10) ab=ac och a skilt från 0 => b=c. Egenskap 7) kan sedan enkelt visas med hjälp av de övriga lagarna. Min fråga är följande: Hur bevisar man utsagor 1)-6) samt 8)-10)? Jag hoppas inte att frågan är alltför omfattande.
Andreas

Svar:

Jag förutsatte när jag skrev svaret till 22 januari 2002 01.23.43 att 1 var det första talet. Jag har nu ändrat svaret så att 0 är det första talet. På så sätt blir svaret förenligt med Peano's Axioms.

I det tidigare svaret visas att 2) ==> 1). Vi visar 2):

Låt M vara mängden av tal c för vilka 2) är uppfylld för alla tal a och b. Då tillhör 0 M eftersom

(a + b) + 0 = a + b = a + (b + 0).

Om c tillhör M så gäller det att

(a + b) + c' = ((a + b) + c)' = (a + (b + c))' = a + (b + c)' = a + (b + c').

Påståendet gäller alltså för alla c enligt axiom 5.

Nu behöver vi definitionen av multiplikation.

x·0 = 0,
xy' = xy + x.

Jag bevisar 5') (b + c)aba + ca med induktion över a. (Axiom 5 igen.)

(b + c)·0 = 0 = 0 + 0 = b·0 + c·0.

Om påståendet är sant för a så gäller

(b + c)a' = (b + c)a + (b + c) = (ba + ca) + (b + c) = (ba + b) + (ca + c) = ba' + ca'

enligt 1) och 2).

6) är definition.

Bevis av 7): Vi visar att 0·a = 0 med induktion över a. För a = 0 är det sant enligt definitionen. Antag att det är sant för a. Då är

a' = 0·a + 0 = 0·a = 0.

Bevis av 8).

1·0 = 0. Antag att 1·a = a. Då är

a' = 1·a + 1 = a + 1 = a'.

Bevis av 3).

Induktion över b. Att det gäller då b = 0 följer av definitionen och 7). Antag att det är sant för b. Då är

ab' = ab + a = ba + a = ba + 1·a = (b + 1)a = b'a

enligt 5') och 8).

Nu följer 5) av 5') och 3).

Bevis av 4).

Induktion över c.

(ab)0 = 0 = a0 = a(b0).

(ab)c' = (ab)c + ab = a(bc) + ab = a(bc + b) = a(bc').

Bevis av 9).

Induktion över a. Då a = 0 följer påståendet av 1) och 6). Antag att det är sant för a. Om a' + b = a' + c så är

(a + b)' = (b + a)' = b + a' = a' + b = a' + c = c + a' = (c + a)' = (a + c)'.

Det följer av axiom 4) att a + b = a + c och sedan av induktionsantagandet att b = c.

Bevis av 10). Här behöver vi några hjälpresultat.

a) Om a <> 0 så finns ett tal b sådant att a = b'.

Bevis. Vi visar påståendet med induktion över a. Om a = 0 är påståendet sant eftersom implikationens första led är falskt. Om påståendet är sant för a så är det trivialt sant för a' (och detta utan att vi ens behöver använda förutsättningen på a).

b) Om ab = 0 och a <> 0 så är b = 0.

Bevis. Om ab = 0 och a <> 0 och b <> 0 så finns tal c och d sådana att a = c' och b = d '. Men då är

0 = ab = c'd ' = c'd + c' = (c'd + c)',

och vi får att 0 = e' för något tal e, vilket motsäger axiom 3.

c) Om a och b är tal så är minst ett av följande påståenden sant:

i) det finns ett tal c sådant att a = b + c
ii) det finns ett tal c sådant att b = a + c

Bevis. Induktion över a. Om a = 0 så är b = a + b. Antag att påståendet är sant för a. Om det finns ett tal c sådant att a = b + c så är

a' = (b + c)' = b + c'

och vi är klara. Antag att det finns ett tal c sådant att b = a + c. Om c = 0 så är a' = b + 1. Om c <> 0 så finns ett tal d sådant att c = d '. Vi får att

b = a + c = a + d ' = (a + d)' = (d + a)' = d + a' = a' + d.

Nu är vi mogna för beviset av 10). Antag att ab = ac, a <> 0. Då finns det ett tal d sådant att b = c + d eller c = b + d. Antag att det första av dessa påståenden gäller. Då är

ac + ad = a(c + d) = ab = ac = ac + 0,

vilket enligt 1) och 9) ger att ad = 0. Enligt b) så är d = 0, vilket ger att b = c. Beviset i fallet c = b + d går naturligtvis till på samma sätt.

Svaret blev i alla fall omfattande!

Kjell Elfström


9 mars 2002 18.11.31
Jag skulle behöva hjälp och ta fram en formel eller ett enkelt räknesätt för att ta reda på hur lång tid det är mella två tillfällen.
Tillfälle 1 = 2002-03-02 21:00:10
Tillfälle 2 = 2003-02-01 18:10:00
Alltså en formel som räknar ut hur lång tid det är mellan Tillfälle 1 och Tillfälle 2 och få ett svar i sekunder.
Hoppas att nån förstår vad jag menar, varken lätt o räkna detta eller och förklara riktigt vad jag menar.
/Tomas
Tomas

Svar:

De båda tidpunkterna är angivna på formen y-m-d h:min:s. Vi beräknar antalet sekunder från tidpunkt 1 till tidpunkt 2 och sätter vid behov index 1 resp 2 på de ingående variablerna.

Vi börjar med att för var och en av tidpunkterna beräkna antalet sekunder som förflutit sedan senaste årskiftet före den tidpunkten. Under det senaste dygnet har det gått 3600 h + 60 min + s sekunder. I fortsättningen kan vi beräkna antalet dygn och förvandla till sekunder efteråt. Antalet dygn sedan senaste månadsskiftet är d - 1. Slutligen skall vi räkna på tiden från det senaste årsskiftet till det senaste månadsskiftet och här kan det vara bra, åtminstone om vi skall skriva ett dataprogram som utför beräkningen, med en tabell med månadernas längd. Vi måste också veta om det är skottår. Om m = 1 blir det 0 dygn, m = 2 ger 31 dygn, m = 3 ger 31 + 28 dygn osv. Om m >= 3 och det är skottår skall ytterligare ett dygn läggas till. Utför först divisionen y/4. Om den inte gick jämnt ut är det inte skottår. I annat fall utför vi divisionen y/100. Om den inte gick jämnt ut så är det skottår. I annat fall undersöker vi om divisionen y/400 går jämnt ut. I så fall är det skottår, i annat fall inte. Vi har nu beräknat antalet dygn dygn och får antalet sekunder sedan nyår det året som 24·3600 dygn + 3600 h + 60 min + s. Gör denna beräkning för var och en av tidpunkterna och kalla resultaten för S1 resp. S2. Kalla skillnaden S2 - S1 för Delta S. Observera att Delta S kan vara positiv, noll eller negativ.

Antalet hela år är y2 - y1. Antalet sekunder blir 365·24·3600 (y2 - y1) och detta skall adderas till Delta S. Nu återstår det bara att beräkna antalet skottdagar mellan åren. Ett år är ett skottår om årtalet är delbart med 400. I annat fall är det ett skottår om årtalet är delbart med 4 och inte delbart med 100. Vi beräknar ett tal, som du kan tänka på som antalet skottdagar sedan år 0, för vart och ett av årtalen y1 och y2. Detta beräknas som (y - 1)/400 - (y - 1)/100 + (y - 1)/4, där divisionstecknen står för heltalsdivision. Kvoterna är alltså heltal. Tag nu skillnaden mellan de mot tidpunkt 2 och tidpunkt 1 svarande talen, multiplicera denna med 24·3600 och lägg resultatet till den tidigare framräknade sekundskillnaden.

Kjell Elfström


8 mars 2002 21.22.25
vad är kubikmeter
nasra

Svar:

En kubisk behållare med kantlängden 1 m (en "fyrkantig" behållare där alla kanter har längden 1 m) rymmer 1 kubikmeter. Det är ett rymdmått och är det samma som 1000 liter. Har man en låda där kanterna i de tre riktningarna har måtten 2 m, 3 m och 4 m så får det plats 2·3·4 = 24 "kubikmeterlådor" i lådan. Den rymmer alltså 24 kubikmeter.

Kjell Elfström


8 mars 2002 17.31.47
Funderar över vilken som är den effektivaste metoden att bestämma minsta gemensamma nämnare (mgn) för addition/subtraktion av bråk på högstadienivå. De böcker jag gått igenom tar inte upp någon speciell metod.
Peter

Svar:

Den minsta gemensamma multipeln MGM(a,b) (som man brukar kalla den) av två heltal a och b är det minsta positiva heltal m, sådant att både a och b delar m. Om a och b inte är alltför stora kan man primtalsfaktorisera dem. För att bilda m tar man med varje primtal p som ingår i någon av faktoriseringarna lika många gånger som det förekommer i den faktorisering där det förekommer flest gånger.

Exempel. Vi bestämmer m = MGM(a,b), där a = 1176 och b = 630. Vi primfaktoriserar och får a = 2·2·2·3·7·7 och b = 2·3·3·5·7. De primtal som förekommer är 2, 3, 5 och 7. 2 förekommer som mest tre gånger, 3 två gånger, 5 en gång och 7 två gånger. m = 2·2·2·3·3·5·7·7 = 17640.

Ett nära relaterat begrepp är den största gemensamma delaren SGD(a,b) av två heltal a och b. Den är det största heltal som delar både a och b. Den kan man bestämma genom att ta med varje primtal som förekommer i båda faktoriseringarna det antal gånger det förekommer i den faktorisering där det finns med minst antal gånger. För talen a och b i exemplet blir d = SGD(a,b) = 2·3·7 = 42.

Det gäller att m = d(a/d)(b/d) = a(b/d) = (a/d)b. Man kan alltså bestämma MGM(a,b) genom att bestämma SGD(a,b) och om a och b är så stora att det är besvärligt att primtalsfaktorisera så kan man använda Euklides algoritm. Vi börjar med att dividera det större av talen med det mindre. 630 går 1 gång i 1176 och resten blir 546.

1176 = 1·630 + 546.

Nu dividerar vi det mindre av talen med resten vi fick. 546 går en gång i 630, resten blir 84.

630 = 1·546 + 84.

Vi dividerar 546 med 84. Kvoten blir 6 och resten blir 42.

546 = 6·84 + 42.

När vi nu dividerar 84 med 42 ser vi att kvoten blir 2 och att divisionen gick jämnt ut. Vi är färdiga. Schematiskt ser det ut så här.

1176 = 1·630 + 546
630 = 1·546 + 84
546 = 6·84 + 42
84 = 2·42

De tal man dividerar är de som står i högerledet på raden ovanför och man håller på tills man får resten noll. Den sista icke försvinnande resten, 42 i detta exempel, är den största gemensamma delaren till talen. Att algoritmen fungerar beror på att SGD(1176,630) = SGD(630,546). Man ser i den översta raden att ett tal delar både 1176 och 630 om och endast om det delar både 630 och 546. Tar man raderna i tur och ordning ser man att

SGD(1176,630) = SGD(630,546) = SGD(546,84) = SGD(84,42) = 42.

Nu behöver man bara beräkna 1176·(630/42) för att få den minsta gemensamma multipeln av 1176 och 630. För att beräkna kvoten kan man räkna "baklänges" i Euklides algoritm.

630 = 546 + 84 = (6·84 + 42) + 84 = 7·84 + 42 = 7·2·42 + 42 = 15·42.

Kvoten är alltså 15 så MGM(1176,630) = 1176·15 = 17640. Naturligtvis hade vi bara kunnat dividera 630 med 42, men genom att räkna som vi gjorde så slapp vi dividera. Division är ju det av de fyra räknesätten som är mödosammast att genomföra.

Kjell Elfström


8 mars 2002 17.27.33
Hej jag skulle få reda på hur man löser följande uppgift. En kula kastas från höjden H.För kulbanans koordinater gäller att X=v cos alfa*t och Y= h+ v sin alfa*t-gt(upphöjt till 2) där t är tiden och g är tyngd accelerationen. Jag önskar få ett uttryck för kastlängden R.
mvh katra

Svar:

Jag antar att du har glömt att dividera gt2 med 2. I så fall är detta samma fråga som 13 februari 2002 13.51.36.

Kjell Elfström


8 mars 2002 17.19.53
Hej , Jag undrar följande Hur många rötter har cosX=aX? Och hur beror antalet rötter av konstanten a
Katra

Svar:

Sätt f(x) = (cos x)/x. Då är

f '(x) = -(x sin x + cos x)/x2.

Om g(x) = x sin x + cos x så är g'(x) = x cos x. Vi ser att g'(x) <> 0 i varje intervall In = (-Pi/2 + Pi n,Pi/2 + Pi n) utom I0. Utom i I0 har g olika tecken i intervalländpunkterna och därför har g, och därmed f ', precis ett nollställe xn i Inn <> 0. I I0 har f ' inget nollställe. xn är en lokal maximipunkt till f om n = 2k eller n = 1 - 2k där k är ett positivt heltal. För övriga värden på n <> 0 är xn en lokal minimipunkt. Eftersom f(x) = 0 i intervalländpunkterna så är de lokala maximivärdena positiva och de lokala minimivärdena negativa. Tar man hänsyn till i vilket intervall xn ligger och utnyttjar att tan xn = -1/xn så får man att xn = -arctan(1/xn) + n Pi. Detta betyder att

sin x2k = -sin arctan(1/x2k) och sin x1 - 2k = sin arctan(1/x1 - 2k) då k > 0,

vilket ger att

|sin xn| = sin arctan(1/|xn|) då n = 2k eller n = 1 - 2k där k > 0.

Eftersom f(xn) = -sin xn följer det att

f(x-1) > f(x2) > f(x-3) > f(x4) > ... > 0.

Det räcker att vi undersöker hur antalet rötter beror på aa > 0 eftersom f är en udda funktion. I I0 har ekvationen precis en rot för varje val av a > 0. Det följer av att f(x) < 0 då x < 0 och tillhör I0, att f är strängt monoton i (0,Pi/2], f(x) --> oo då x --> 0+ och f(Pi/2) = 0. Definiera nu an, n >= 1 genom a2k - 1 = f(x1 - 2k) och a2k = f(x2k), k >= 1. Då är antalet rötter till ekvationen 1 om |a| > a1, 2n om |a| = an, 2n + 1 om an + 1 < |a| < an och om a = 0 finns det oändligt många.

Kjell Elfström


8 mars 2002 16.03.39
Jag har fått veta av en klasskompis om den här sidan, och det verkar vara helt perfekt. Man sitter ofta fast och kommer ingenstans med lösningen!! Som jag i den här uppgiften: Låt f(x)=|x-3|+|x-1|. Bestäm f'(0)& f'(2). MVH!
Fredrik Malmberg

Svar:

x < 1 är f(x) = -(x - 3) - (x - 1) = 4 - 2x, varför f '(x) = -2x. Då 1 < x < 3 är f(x) = -(x - 3) + (x - 1) = 2 så f '(x) = 0.

Kjell Elfström


8 mars 2002 14.55.56
Hej, jag har problem med att derivera följande funktion:
y=arctan(1,5tanx)-x
Jag behöver nämligen hitta maximivärdet för vinkeln y.
Vore hemskt tacksam för svar!
Mattias

Svar:

Om t = tan x så är

dt/dx = 1/cos2x = 1 + tan2x = 1 + t2.

Därför är

dy/dx = (3/2)(1 + t2)/(1 + (9/4)t2) - 1.

dy/dx är noll då

t2 = 2/3 <==> t = ±61/2/3 <==> x = ±arctan(61/2/3) + n Pi,

där n är ett godtyckligt heltal.

Kjell Elfström


8 mars 2002 13.37.34
Kurvan y=9-x^2, där -3<x<3. Tänk dig att denna kurvbåge nu får rotera omkring y-axeln. En cylinder placeras nu under den roterande kurvbågen. Vilken är den största volym, som denna cylinder kan anta?
Magnus Jason

Svar:

Om cylinderns radie är x så är dess höjd 9 - x2. Volymen är

f(x) = Bh = Pi x2(9 - x2).

Derivatan är

f '(x) = Pi (2x(9 - x2) - 2x3) = 2Pi x(9 - 2x2) = 4Pi x(3/21/2 + x)(3/21/2 - x).

Teckenstudium visar att volymen är maximal då x = 3/21/2 och då är den

f(3/21/2) = Pi(9/2)(9 - 9/2) ) = 81Pi/4.

En betydligt enklare lösning får man om man kvadratkompletterar.

f(x) = Pi(81/4 - (x2 - 9/2)2).

Kjell Elfström


8 mars 2002 09.48.59
Jag har en fråga om ett matematiskt tecken. Vad betyder likamed-tecken med ett extra, parallellt, streck, alltså tre streck?

Svar:

Det kan betyda olika saker men vanligen står tecknet för kongruens eller identiskt lika med.

Två heltal a och b säges vara kongruenta modulo n om skillnaden a - b är delbar med n. Detta skrives

a (tre streck) b (mod n).

Två funktionsuttryck f(x) och g(x) säges vara identiskt lika om f(x) = g(x) för alla x i någon mängd. Ibland skriver man

f(x) (tre streck) g(x)

och slipper på så sätt göra tillägget "för alla x".

Kjell Elfström


8 mars 2002 09.08.47
Är det bevisat, motbevisat eller okänt om man kan konstruera en liksidig n hörning för alla heltal n större än 2?
Robert

Svar:

Med konstruktion menas konstruktion med enbart passare och ograderad linjal. Gauss publicerade 1801 i Disquisitiones Arithmeticae ett bevis för att man kan konstruera en regelbunden n-hörning om n = 2mp1p2...pk. där k och m är icke-negativa heltal och pi är Fermatprimtal, dvs primtal av formen 22r + 1, där r är ett icke-negativt heltal. Dessa är också de enda konstruerbara regelbundna n-hörningarna. Den förste som publicerade ett bevis för detta var Wantzel 1837.

Kjell Elfström


7 mars 2002 18.58.05
Om en vektor definieras:
u= x1e1 + x2e2
får e1 och e2 då vara talpar som är koordinater? Tex standardbasen om vi syftar på den fixa basen i planet? Jag vet inte om jag förstått det här riktigt än. Tacksam för svar.
Johan

Svar:

Om e1 och e2 är en bas i planet så kan varje vektor u i planet på ett entydigt sätt skrivas u = x1e1 + x2e2. u har koordinaterna (x1,x2) med avseende på basen. Tar vi sedan en annan vektor v som har koordinaterna (y1,y2) så är

u + v = x1e1 + x2e2 + y1e1 + y2e2 = (x1 + y1)e1 + (x2 + y2)e2,

vilket visar att u + v har koordinaterna (x1 + y1,x2 + y2). På samma sätt visar man att su har koordinaterna (sx1,sx2). x = (x1,x2) och y = (y1,y2) är vektorer i R2. Du vet ju hur addition och multiplikation med skalär i R2 definieras och ovanstående räkningar visar att om u har koordinaterna x och v koordinaterna y med avseende på basen e1,e2 så har u + v koordinaterna x + y och su koordinaterna sx med avseende på samma bas. Detta visar att vektorerna u planet och koordinatvektorerna x i R2 uppför sig på samma sätt vad gäller addition och multiplikation med skalär. Så länge som man adderar och multiplicerar kan man alltså betrakta u och x som samma sak (även om de inte är det i alla avseenden).

epsilon1 = (1,0) och epsilon2 = (0,1) är standardbasen i R2. Eftersom e1 = 1e1 + 0e2 och e2 = 0e1 + 1e2 har e1 och e2 koordinaterna epsilon1 resp. epsilon2 med avseende på basen e1,e2. Att säga att u = x1e1 + x2e2 är alltså det samma som att säga x = x1epsilon1 + x2epsilon2 så länge som det är klart att de senare vektorerna i R2 är koordinater för motsvarande vektorer i planet. När man väl förstått att man inte behöver skilja på vektorerna av de båda slagen kan man använda beteckningarna u, e1 och e2 ömsom för vektorerna och ömsom för koordinaterna.

Kjell Elfström


7 mars 2002 16.11.07
Jag har stött på såna uppgifter men det här är nåt jag har svårt att lösa: 2^n=5. Bestäm 64^(n/3) MVH!!!
Linda

Svar:

Eftersom 64 = 26 så är

64n/3 = (26)n/3 = 26n/3 = (2n)6/3 = (2n)2 = 52 = 25.

Kjell Elfström


7 mars 2002 16.09.03
Jag skulle vara tacksam om ni hjälpte mig med en uppgift som berör geometri.
sin^2(Pi/12)-cos^2(Pi/12)
Helena Axelson

Svar:

Använder vi formeln cos(2x) = cos2x - sin2x så får vi att

sin2(Pi/12) - cos2(Pi/12) = -cos(Pi/6) = -31/2/2.

Kjell Elfström


7 mars 2002 15.17.12
Jag har en uppgift gällande konvergens och gränsvärde.
Låt f:]0,1] -> R vara en kontinuerlig funktion, vars oegentliga integral konvergerar. Visa att man kan välja en avtagande talföljd xn inom intervallet ]0,1], så att xn -> 0 då n -> oändligt och xn*f(xn) -> 0 då n -> oändligt. Snälla hjälp! Jag har funderat länge på det här beviset!
Ann-Katrin Nylund

Svar:

Sätt I = 01 f(xdx. Då gäller det att

In = 2-n - 12-n f(xdx = 2-n - 11 f(xdx - 2-n1 f(xdx --> I - I = 0 då n --> oo.

Den undre gränsen är alltså 2-n -1 och den övre 2-n i den första integralen. Enligt integralkalkylens medelvärdessats finns det till varje n >= 1 ett tal xn sådant att 2-n -1 <= xn <= 2-n och

In = (2-n - 2-n - 1)f(xn) = 2-n - 1f(xn).

Då gäller det självklart att xn avtar mot 0 då n --> oo. Eftersom

|xnf(xn)| = |2n + 1xnIn| <= 2|In|

så gäller det också att xnf(xn) --> 0 då n --> oo.

Kjell Elfström


7 mars 2002 15.07.00
Hur löser jag int{(1/t)*e^(-t) dt}
Allan Elfström

Svar:

Det finns ingen primitiv funktion uppbyggd av elementära funktioner. Se också 1 mars 2002 14.31.24.

Kjell Elfström


7 mars 2002 13.08.04
Hej. Jag har ett problem som jag försöker att lösa. Jag känner vinkeln mellan tangenterna till en cirkel och en punkt. Jag känner också den kortaste längden från punkten till cirkelns periferi, dvs att den är mätt mitt imellan de två tangenterna. Hur beräknar jag nu radien?
Hasse Björling

Svar:

Jag tolkar det som att cirkeln har två tangenter som tangerar cirkeln i punkterna P och Q, att tangenterna skär varandra i en punkt R och att vinkeln PRQ = a är känd. Drag sträckan genom R och cirkelns medelpunkt O. Denna skär cirkeln i en punkt S. Sträckan RS = d är känd. Längderna av OP och OS är båda r, där r är cirkelns radie. Triangeln OPR är rätvinklig. Vi får därför att

sin(a/2) = OP/OR = r/(d + r)

varför

r = (d sin(a/2))/(1 - sin(a/2)).

Kjell Elfström


7 mars 2002 12.14.19
Hej Kjell!
Jag hoppas att du kan hjälpa mig med ett problem som jag har funderat på. Tänk att en stege står upprätt mot en vägg. Denna stege börjar sakta glida längs marken samtidigt som den hela tiden har kontakt med väggen. Om man ritar upp detta skede i ett kordinatsystem kan man se att stegen bildar en kurva som liknar en kvartscirkel. Vidare kan man i kordinatsystemet rita fler linjer som följer samma mönster och därmed bilda en "inverterad" cirkel. Som du märker har jag lite svårt att förklara och därmed troligtvis inte de rätta kunskaperna att behandla detta problem. Jag har hört att det kallas envelop och har sökt på internet efter information om hur man beräknar ett envelop men inte hittat något. Hoppas att du kan hjälpa mig att hitta ekvationen för detta envelop som är rätt vackert att rita. Tänkte också höra var man kan hitta mer information om envelop?
Vidare läste jag ditt svar angående volymen av ett klot. Är det fel att tänka att volymen är summan av alla areor från 0 till r? Därmed integrerar man area formeln för klotet. Var det kanske så att area- formeln härleddes från volymformeln?
Tack på förhand!
Per Norman

Svar:

I Envelope beskrivs begreppet envelop. Vi antar att stegen har längden 1 och att den nedre delen befinner sig i punkten (c,0), där 0 <= c <= 1. Den övre delen befinner sig då, enligt Pythagoras sats, i punkten (0,(1 - c2)1/2). Linjen som stegen ligger på har ekvationen (x,y) = (f(t,c),g(t,c)), där

f(t,c) = c - tc,   g(t) = t(1 - c2)1/2.

Beräknar vi de partiella derivatorna av f och g och använder ekvationen på Envelope får vi

(-c)(-tc)/(1 - c2)1/2 - (1 - t)(1 - c2)1/2 = 0.

Multiplikation av båda led med (1 - c2)1/2 ger, efter förenkling, att 1 - t = c2 och sätter vi in detta i uttrycken för x och y får vi

x = c3,   y = (1 - c2)3/2.

Sätter vi c = sin u får vi

(x,y) = (sin3  u, cos3  u), 0 <= u <= Pi/2.

Vi kan också lösa ut y som funktion av x,

y = (1 - x2/3)3/2.

Man kan härleda volymformeln från areaformeln på det sätt du beskriver.

Kjell Elfström


7 mars 2002 09.08.51
Beräkna volymen av det solida området mellan rotationsytan:
x = r cost
y = r sint
z = sinr^2
och xy-planet.
Har försökt beräkna volymen i mathematica, men får då endast uttrycket "FreshnelS". Hur löser man primitivfunktion av sinr^2?
Jenny Davidsson

Svar:

Man kan inte uttrycka en primitiv funktion till sin x2 med hjälp av de elementära funktionerna (man räknar inte fresnelfunktionerna som elementära). Det behöver man heller inte för att lösa problemet. Kroppen fås genom att rotera kurvan z = f(x) = sin x2, 0 <= x <= Pi1/2, y = 0, kring z-axeln. Vi använder skalmetoden för att beräkna volymen. Ett cylindriskt skal på avståndet x från z-axeln har volymen 2Pi xf(x)dx så volymen blir

0sqrt(Pi) 2Pi x sin x2 dx = Pi [-cos x2]0sqrt(Pi).

Kjell Elfström


6 mars 2002 21.02.44
hej,
sitter med ett integreringsproblem, (tror jag).. Uppgiften( Adams Calculus kap 7:2 uppg.15) lyder: "a 45 degr. notch is cut to the centre of a cylindrical log having radius 20cm. One plane face of the notch is perpendicular to the axis of the log. What volume of wood was removed from the log by cutting the notch" inbillar mig att vi i detta fall inte nödvändigtvis behöver veta radien utan kan generalisera...? vore mycket tacksam för ett pedagogiskt svar på frågeställningen.
uppgiven student

Svar:

Kalla trädstammens radie för r. Skär cylindern x2 + y2 = r2 med xy-planet och planet z = x. Vi räknar ut volymen av den del av cylindern som ligger mellan planen och vars punkter har icke-negativa x-koordinater. För varje x, 0 <= x <= r, låter vi A(x) vara arean av kroppens tvärsnitt parallellt med yz-planet. Tvärsnittet är en rektangel med höjden x. Rektangelns bas är (r2 - x2)1/2 - (-(r2 - x2)1/2) = 2(r2 - x2)1/2. Den sökta volymen blir därför

0r A(x) dx = 20r x(r2 - x2)1/2 dx.

Kjell Elfström


6 mars 2002 20.11.28
Jag undrar om ni kan nån metod där man kan räkna ut två tvåsiffriga tal multiplicerat med varandra i huvudet. Jag menar till exempel 56*78=4368

Svar:

Jag känner inte till någon mirakelmetod. Ofta kan man dock hitta genvägar som beror på hur talen ser ut. När man räknar på papper tar man ju 8·56 och lägger till 70·56. Det verkar vara enklare att ta 80·56 och dra ifrån 2·56. Eftersom multiplikation med 5 är är detsamma som multiplikation med 10 åtföljt av en halvering kan man räkna så här i ditt exempel:

5·78 = 780/2 = 390. Därför blir produkten 3900 + 390 + 78 = 4368.

Kjell Elfström


6 mars 2002 17.40.51
En topologi fråga: Är det rätt att skriva
A closed in X <==> X-A open in X
För i min bok använder dom ej någon implikationspil.
Johan

Svar:

Enligt definitionen av sluten mängd så är A sluten om och endast om X \ A är öppen så det är riktigt att skriva som du gör.

Kjell Elfström


6 mars 2002 16.01.37
I Tengstrands bok om linjär algebra kan man på sidan 216 läsa att man generaliserar satserna som gäller för vektorer i rummet till R^n och att man inte kan illustrera geometriskt då n>3. Men jag trodde ju att rummet och R^3 var två olika vektorrum och att man därför inte skulle kunna illustrera geometriskt vad vi gör i R^3 till rummet. Anta att vi i vektorrummet R^3 har tex vektorerna e1=(1,1,1) och e2= (1,3,4) hur ska vi då kunna illustera detta geometriskt? Dessa vektorer är ju inte koordinater och jag trodde att alla tripplar i rummet var koordinater? När jag pratar om vektorrummet rummet tänker jag mig mängden av riktade sträckor i rymden.Tacksam för svar.
Johan

Svar:

När man väl infört en bas i rummet kan vektorerna beskrivas med hjälp av sina koordinater. Förhållandet mellan rummet och R3 är ungefär detsamma som mellan Sveriges yta och en karta över Sverige. I själva verket är ju landet tredimensionellt och det faktum att en tvådimensionell karta ger en ganska bra bild av landet antyder att man även i någon mån kan åskådliggöra vektorrum av högre dimension än 2. Funktioner i analysen är ju inte heller de blyertsskisser som du säkerligen har haft stor hjälp av vid problemlösning.

Kjell Elfström


6 mars 2002 14.34.31
Varför är egentligen (-1)*(-1) = 1 ?
Det kanske låter trivialt men ju mer jag funderar desto mer ofattbart blir det för mig!
Björn Karlsson

Svar:

Om man vill att de vanliga räknelagarna för positiva tal skall gälla även för negativa måste det vara så. Se 23 oktober 2000 15.30.10 eller gå till vår söksida och sök efter (-1)(-1).

Kjell Elfström


6 mars 2002 11.06.14
"The miraculous Bailey-Plouffe pi algorithm", som det frågades om 4 mars 2002 19.21.23, ger ju bara hexadecimala (eller binära) siffror vilket ät vackert nog. Men det kom en algothm för decimala siffror senare, "The Spigot Algorithm" (inte bara för pi f ö). Tyvärr har jag bara hittat ganska luddiga beskrivningar av denna. Vet ni var man kan hitta en ordentlig beskrivning av algoritmen samt ett bevis för att den är korrekt? Mvh,
Bengt Månsson

Svar:

Den finns beskriven i artikeln A Spigot Algorithm for the Digits of Pi, S. Rabinowitz & S. Wagon, American Mathematical Monthly, 102, 3, March 1995, pp195-203. Där finns även bevis för att den fungerar. Något mer lättillgängligt, t ex en sida på internet, har jag inte hittat.

Kjell Elfström


6 mars 2002 10.47.53
Vad heter det största talet? Jag vill minnas att jag hört att det kan skrivas ut som en etta följd av sex hundra nollor. Stämmer detta? Tacksam för svar.
Christer Ritola

Svar:

Det finns inget största tal. Däremot bör det finnas ett största namngivet tal. Det tal du nämner brukar anses vara det största i serien miljon, biljon, triljon osv. och heter en centiljon. Prefixet anger vad en miljon skall upphöjas till för att ge talet så en centiljon är (106)100 = 10600. Det största namngivna talet över huvud taget anses vara en googolplex. Se 18 oktober 2000 10.18.53.

Kjell Elfström


6 mars 2002 08.53.44
Kan någon förklara hur "trollformeln" i något som heter leka med statestik ser ut?
Jan Åberg

Svar:

Jag vet inte vad "leka med statistik" är.

Kjell Elfström


5 mars 2002 18.52.41
Hej - mitt problem gäller att bestämma en lämplig Fourierserie för en stegfunktion f(t) med perioden T=60. Funktionsvärdet är 0 då -30<t<8 och 1 då 8<t<30. Fourierserien ska vara på trigonometrisk form och jag vore särskilt tacksam om ni kunde ge ett bra tips på hur man bestämmer termen a0/2 - det tips jag har fått av mer kunniga inom matematik säger att man ska sätta n=0 men detta leder bara till nya problem eftersom n finns i nämnaren både hos an- och bn-termerna (förutsatt att jag beräknat dessa korrekt, vilket är tveksamt). Tacksam för all hjälp.
Hans-Erik Ljungberg

Svar:

Koefficienten an ges av

an = (1/30)-3030 f(t) cos (Pi nt/30) dt = (1/30)830 cos (Pi nt/30) dt

n = 0 är alltså

an = (1/30)830 1 dt = 11/15,

och då n <> 0 är

an = (1/(Pi n))[sin(Pi nt/30)]830.

Man kan alltså inte sätta n = 0 i den senare formeln för att få a0.

Kjell Elfström


5 mars 2002 17.46.59
Hej ! Jag har en fråga angående lottosystemen. Hur ser den matematiska formeln ut för hur många spelfält ett visst antal kryss kommer att innebära? 7 kryss innebär ju som bekant ett spelfält 8 kryss innebär 8 spelfält vilket är enkelt att förstå men varför ger 9 kryss 36 spelfält 10 kryss 120 o.s.v. Tack på förhand!
Humanisten

Svar:

Att tippa 9 kryss är ju detsamma som att lämna in det antal enkelrader som behövs för att täcka alla utfall där den rätta raden har alla kryssen bland de nio tippade.

Vill man välja ut k föremål ur en mängd med n föremål kan detta göras på n(n - 1)(n - 2)···(n - k + 1) sätt om man tar hänsyn till i vilken ordning man väljer ut föremålen. Det första kan ju väljas på n sätt, nästa på n - 1 sätt eftersom vi bara har n - 1 föremål kvar när vi valt det första. Nästa igen kan väljas på n - 2 sätt osv. Den sista gången vi väljer har vi redan tagit bort k - 1 föremål. Det finns alltså n - (k - 1) = n - k + 1 sätt att välja den sista gången. Vill man betrakta de dragningar som lika i vilka de valda föremålen är desamma oavsett i vilken ordning de kommer skall man dividera ovanstående tal med k(k - 1)(k - 2)···1 eftersom k föremål kan ordnas på så många sätt. Definierar man n! = n(n - 1)···2·1 och 0! = 1 (n med utropstecken efter, utläses n-fakultet) så kan antalet sätt att välja ut k föremål ur en mängd med n föremål om man inte tar hänsyn till orningsföljden skrivas n!(k!(n - k)!). Sådana tal förekommer så ofta att de fått en särskild beteckning, (nk) som utläses n över k.

Att välja ut de 7 krysspositionerna bland de 9 givna positionerna kan göras på

(97) = (9!)/(7!·2!) = (9·8·7·6·5·4·3·2·1)/((7·6·5·4·3·2·1)(2·1)) = 9·8/(2·1) = 36 sätt.

Kjell Elfström


5 mars 2002 16.42.18
Hej!
Har en fundering när det gäller metrik. Denna skall ju i någon abstrakt mening ge "avståndet" mellan punkter i rummet. Vad bestämmer egentligen metriken för ett rum? Hur kan vi bestämma metriken för vår rumtid?
Lars

Svar:

Den speciella relativitetsteorin ger att Minkowski-metriken är en lämplig metrik för rum-tiden. Hur detta går till kan du läsa om på Spacetime 101.

Kjell Elfström


5 mars 2002 16.32.35
Hej.
jag är en tjej som går i klass 8 och undrar hur man gör när man ska gångra t.ex. 5 7:e delar och 9 10:delar!? Tack på förhand.
Lisa Ewald

Svar:

Man multiplicerar täljarna med varandra och nämnarna med varandra. T ex är (5/7)(9/10) = (5·9)/(7·10) = 45/70.

Vill man ta 9/10 av något, t ex en paj, skall man ju först dela upp pajen i 10 delar och ta 9 av dessa. Vill man sedan äta upp 5/7 av det man tog av pajen kan man ju dela varje bit man tog i 7 delar. Detta svarar mot att man delat pajen i 7·10 = 70 delar. För varje ursprunglig bit äter man sedan 5 av de nya delarna. Man äter alltså 5·9 = 45 bitar, dvs 45/70 av pajen.

Ofta brukar man förkorta en uträknat bråk om det är möjligt. 70 = 5·14. Delar man upp pajen i 14:e-delar i stället skall man alltså äta 5 gånger så få delar, dvs 45/5 = 9. Man kan skriva 45/70 = 9/14.

Kjell Elfström


5 mars 2002 15.49.15
Om vi har u = x1e1 + x2e2 så har ju vektorn u koordinaterna (x1,x2) med avseende på basen (e1,e2), och om basen e1,e2 är standardbasen så är vektorn u = (x1,x2). Men i denna definition som jag tror finns i Tengstrands bok, här måste väl u alltid vara en vektor när u är angiven på ovanstående sätt, jag menar u kan väl inte vara koordinater för en vektor? Tacksam för svar.
Johan

Svar:

Det finns ju många olika vektorrum. I alla tvådimensionella vektorrum U kan man införa en bas e1,e2. Sedan kan varje vektor i U skrivas u = x1e1 + x2e2 med entydigt bestämda koordinater x1,x2. När man vet vilken bas som avses kan man alltså ange en vektor genom att ange dess koordinater. Vad är då koordinater? Man kan ju säga att koordinaterna för u är talparet (x1,x2), alltså ett element i R2. Vanligtvis kan då inte vektorn u vara lika med sina koordinater. u kan exempelvis vara en funktion i ett funktionsrum eller en ekvivalensklass av lika långa och lika riktade sträckor. Däremot står naturligtvis u i något förhållande till sina koordinater, vi skulle ju kunna skriva u ~ (x1,x2). När inga missförstånd kan uppstå ersätter man ofta ~ med =, trots att det inte är fråga om likhet - man identifierar U med R2. Nu är ju också R2 ett vektorrum och en vektor i R2 kan ju vara lika med sina koordinater i någon bas. Oftast är det ganska ointressant om en vektor råkar vara lika med sina koordinater. Det intressanta är om två vektorer är lika vilket är samma sak som att deras koordinater med avseende på en och samma bas är lika.

Kjell Elfström


5 mars 2002 15.16.27
hur kan jag visa att för varje a > 1; (sum(n går från 1 till oändligheten) n^x )konvergerar likformigt i x<= -a.
Senko

Svar:

Om x <= -a så är nx <= n-a för alla positiva heltal n. Om a > 1 så är summa n-a konvergent enligt Cauchys integralkriterium. Den ursprungliga serien är därför likformigt konvergent då x <= -a om a > 1 enligt Weierstrass majorantsats.

Kjell Elfström


5 mars 2002 13.44.40
Hej,
Den här är väldigt lätt att räkna ut men varföt blir det så?
En flaska + en kork kostar 1,10kr. Flaskan kostar 1kr mer än vad korken kostar. Vad kostar korken?

Svar:

Vill du ha en krånglig lösning på ett problem där du omedelbart ser svaret?

x + y = 110
x - y = 100

Adderar vi ekvationerna så får vi att 2x = 210, alltså x = 105. Flaskan kostar alltså 105 öre och, enligt den andra ekvationen, korken 5 öre.

Kjell Elfström


5 mars 2002 12.56.53
Kommentar till fråga 27 februari 2002 08.43.49: I svaret hänvisas till tidigare svar där det bl a sägs att "Sinus är latin och betyder veck, vik, bukt.". Men historien är ganska intressant. Ordet har sitt ursprung i ett sanskritord som via en arabisk översättning blev sinus på latin. Men detta ord tycks ha valts på grund av en sammanblandning av två ljudlika arabiska ord av vilka det man felaktigt valde betyder vik eller veck mm. Läs mer här: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/trig/sines.html
Bengt Månsson

Svar:

Jag tackar för upplysningen.

Kjell Elfström


4 mars 2002 23.04.23
hej!
jag har två frågor.
1. för att avgöra om ett antal vektorer spänner upp ett plan, kan man säga att de gör det om det finns ett y=0.
alltså:
 
x1 + x2 = y1
x1      = y2
spänner upp medan
x1 + x2 = y1
0       = y2
inte gör det?
2. hur avgör man om (1,2,2,0), (2,-1,0,2), (2,0,-1,-2), (0,2,-2,1) är linjärt oberoende.
Frasse, d01

Svar:

1. Att en uppsättning vektorer u1,u2,...,uk i ett underrum U spänner upp U betyder att det för varje vektor u i U skall finnas tal xi, sådana att

u = x1u1 + x2u2 + ... + xkuk.

Om U = R2 och vektorerna är u1 = (a,b), u2 = (c,d) så genererar u1 och u2 U om och endast om det finns tal x1 och x2 sådana att

x1(a,b) + x2(c,d) = (y1,y2)

för varje val av y1 och y2. Detta betyder i sin tur att akvationssystemet

ax1 + cx2 = y1
bx1 + dx2 = y2

har en lösning för varje val av y1 och y2. Det första ekvationssystemet i frågan har han lösning för varje val av högerled medan det andra bara har en lösning om y2 = 0.

2. Att u1,u2,...,uk är lineärt oberoende betyder att

x1u1 + x2u2 + ... + xkuk = 0

bara då x1 = x2 = ... = xk = 0. För vektorerna i frågan skall vi undersöka om ekvationen

x1(1,2,2,0) + x2(2,-1,0,2) + x3(2,0,-1,-2) + x4(0,2,-2,1)
   = (x1 + 2x2 + 2x3,2x1 - x2 + 2x4,2x1 - x3 - 2x4,2x2 - 2x3 + x4) = (0,0,0,0)

bara har lösningen x1 = x2 = x3 = x4 = 0. Vektorerna i ekvationens båda led är lika bara då motsvarande vektorkomponenter är lika. Utnyttjar du det får du ett ekvationssystem med fyra obekanta och fyra ekvationer att lösa.

Kjell Elfström


4 mars 2002 20.56.01
Betrakta topologiska rummet X×Y×Z, om man nu vill generera produkttopologin hur ritar man då upp subbasis S i den fyrkant som är våran grundmängd. Sedan ska tydligen topologin vara unionen av alla ändliga snitt av element i S. Jag har lite svårt att föreställa mig detta, vad är ett ändligt snitt? Finns det något enklare sätt att uttrycka det på? Tittar man på sidan 88 i Munkres bok topology finns mängden S utritad. Och unionen av elementen i S ska ju vara lika med X (enligt definitionen på sid 82) men det stämmer väl inte här?
Johan

Svar:

Vill man illustrera strukturen i X×Y×Z som produktrum bör man rita rummet som en kub, där tre av kanterna representerar de tre ingående topologiska rummen. Underbasmängderna är då axelparallella skivor. Ett ändligt snitt är helt enkelt snittet av ett ändligt antal mängder. Snittet av en uppsättning mängder är mändgden av element som tillhör alla mängderna. Unionen är mängden av element som tillhör minst en av mängderna. Eftersom X är öppen i X så tillhör X×Y×Z underbasen på sidan 88. En underbas för R är mängden av alla intervall av typen (a,oo) och (-oo,b). Snittet mellan ett intervall av den första och den andra typen är antingen tomt eller ett intervall (a,b). Eftersom de begränsade öppna intervallen är en bas så följer det att de "halvbegränsade" intervallen utgör en underbas.

Kjell Elfström


4 mars 2002 19.21.23
Hej!
Jag har kommit över något som heter: "The miraculous Bailey-Plouffe pi algorithm". Denna lyder som följande:Pi = Summan då n går från 0 till evigheten [4/(8n+1)-2/(8n+4)-1/(8n+5)-1/(8n+6)]*[1/16]^n. Den ska tydligen, då n går mot evigheten, ge ""alla"" korrekta decimaler för pi. Jag undrar om detta verkligen stämmer för jag kan inget om programmering och har därför inte kunnat testa formeln själv?? Tack för en helschysst sida!
Banibal

Svar:

Ja, formeln är korrekt. Det finns många serieframställningar av Pi som är sådana att man får Pi med ett visst antal korrekta decimaler om man bara tar med tillräckligt många termer i summan. Det mirakulösa med denna formel är att man kan använda den för att beräkna en viss siffra i den hexadecimala utvecklingen av Pi utan att man behöver beräkna alla siffror före denna. Detta sparar givetvis tid om det är en enstaka siffra man är ute efter. Se The Miraculous Bailey-Borwein-Plouffe Pi Algorithm.

Kjell Elfström


4 mars 2002 18.05.56
Vad kan sägas om antalet diskontinuerliga punkter hos en monoton funktion definierad på ett slutet intervall? Det är väl ändligt? Låter sig detta visas på ngt enkelt sätt?
Det ursprungliga problemet var att avgöra om en monoton funktion på ett slutet intervall är integrerbar. Om detta låter sig visas enklare än det ovan så kan ni visa detta istället.
Rasmus

Svar:

Definiera funktionen f på intervallet [0,1] genom f(x) = 2-n då 2-n - 1 < x <= 2-n, där n är ett naturligt tal, och f(0) = 0. Då är f monoton och har oändligt många diskontinuitetspunkter.

Förutsättningarna är att f är begränsad och monoton på intervallet [a,b]. För att visa att f är Riemannintegrerbar använder vi kriteriet som säger att en begränsad funktion på ett intervall [a,b] där är integrerbar om det till varje e > 0 finns en översumma S och en undersumma s till f sådana att S - s < e. Vi antar att f är växande. Gör en indelning xk = a + k(b - a)/n, k = 0,1,...,n, av [a,b]. Då är delta xk = (b - a)/n. Eftersom f är växande är f(xk - 1) <= f(x) <= f(xk) då xk - 1 <= x <= xk. Därför är Sn = summak = 1n f(xk)delta xk en översumma och sn = summak = 1n f(xk - 1)delta xk en undersumma till f. Skillnaden blir

Sn - sn = ((b - a)/n)(summak = 1n f(xk) - summak = 1n f(xk - 1)) = ((b - a)/n)(f(xn) - f(x0))
= ((b - a)/n)(f(b) - f(a)),

som blir mindre än e bara n är tillräckligt stort.

Kjell Elfström


4 mars 2002 17.25.54
Hej!!! Olikheter är inte min typ i matte. Jag är mycket tacksam om ni hjälper mig med en uppgift. Jag försöker att hjälpa min brorhär men lyckas inte förklara nåt. x^2-3>5-2x. Tusen tack!!!

Svar:

Börja med att flytta över allt till den ena sidan. Vi får då en ekvivalent olikhet

x2 + 2x - 8 > 0.

När vi kommit så långt gör en liten avstickare där vi faktoriserar vänsterledet. Sätter vi vänsterledet lika med noll och löser den ekvationen får vi rötterna -4 och 2. Vänsterledet kan alltså skrivas (x + 4)(x - 2). Tillbaka till huvudspåret: Olikheten är alltså ekvivalent med

(x + 4)(x - 2) > 0.

Vi gör nu en teckentabell.

x   -4   2  
x + 4 - 0 + + +
x - 2 - - - 0 +
(x + 4)(x - 2) + 0 - 0 +

Den sista raden får vi genom att utnyttja att ett udda antal minustecken i raderna ovanför ger ett minustecken och ett jämnt antal ger ett plustecken. Vi kan ur den sista raden utläsa att olikheten satisfieras då x < -4 eller x > 2.

Kjell Elfström


4 mars 2002 17.23.16
Jag är dålig på summer som geometrisk & aritmetisk. Jag skulle vara mycket tacksamma om ni hjälpte mig att lösa en upgift som har och göra med just detta. Det lyder: Bestäm N så att n=0(summa tecken)^N(4+2n)=208. Jag hoppas att ni vet hur detta ser ut. Tack!!!
christian Plaki

Svar:

Vi skall alltså bestämma N så att

summan = 0N (4 + 2n) = 208.

Summan är en aritmetisk summa eftersom skillnaden mellan två närliggande termer är konstant 2. Den första termen är 4, den sista 4 + 2N och antalet termer är N + 1. Eftersom en aritmetisk summa är ((första termen) + (sista termen))·(antalet termer)/2 så är dess summa (8 + 2N)(N + 1)/2. Sätt detta lika med 208 och lös ut N.

Kjell Elfström


4 mars 2002 15.50.53
De räknelagar som finns för vektorer gäller dom oavsett vektorrum, om jag förstått saken rätt så är R^2 ett vektorrum (där vektorerna, tipplarna kan kallas för komponenter) och det så kallade planet ett annat där vektorerna är riktade sträckor. Dessutom undrar jag om vektorer kan ha koordinater med avseende på en vektorer angivna i sina koordinater, hoppas du förstår vad jag menar.Tacksam för svar.
Johan

Svar:

En icke-tom mängd V tillsammans med en operation + som avbildar paret (u,v) av element i V på ett nytt element u + v i V och en operation * som avbildar paret (s,u), där s är ett reellt tal och u ett element i V, på ett nytt element s*u i V säges vara ett vektorrum (över de reella talen) om (vi skriver s*u som su)

1) u + v = v + u för alla u och v i V,
2) (u +  v) + w = u + (v + w) för alla u, v och w i V,
3) det finns ett element 0 i V sådant att u + 0 = u för alla u i V,
4) det till varje u i V finns ett element -u i V sådant att u + (-u) = 0,
5) s(u + v) = su + sv för alla reella tal s och alla u och v i V,
6) (s + t)u = su + tu för alla reella tal s och t och alla u i V,
7) (st)u = s(tu) för alla reella tal s och t och alla u i V,
8) 1u = u för alla u i V.

Elementen i R2 bör rimligen kallas talpar eller bara par. I R3 kallas de trippler. Om man definierar + och * genom

(x1,x2) + (y1,y2) =  (x1 + y1,x2 + y2)

och

s*(x1,x2) = (sx1,sx2)

så får man ett vektorrum. Vektorerna e1 = (1,0) och e2 = (0,1) är en bas i detta vektorrum. Eftersom u = (x1,x2) = x1e1 + x2e2 så är koordinaterna för u med avseende på denna bas x1,x2. Om vi i stället väljer f1 = (1,1) och f2 = (1,-1) så är u = s1f1 + s2f2, där s1 = (x1 + x2)/2 och s2 = (x1 - x2)/2. Koordinaterna för u = (x1,x2) med avseende på basen f1,f2 är s1,s2.

Kjell Elfström


4 mars 2002 11.14.09
Varför får man Sierpinskitriangel om man tar bort de udda talen i Pascals triangel?
Jonas Walther

Svar:

Det är de udda talen som utgör Sierpinskitriangeln. De jämna skall alltså tas bort. Jag förutsätter att du känner till det vanliga receptet för att skapa en Sierpinskitriangel. Alternativt kan man börja med en liksidig triangel S0 med spetsen uppåt. I nästa steg lägger man till två kopior av S0 under S0 så att dess undre hörn vilar på de två nya topparna. Därefter krymper man ner denna figur till samma storlek som den ursprungliga triangeln. Vi har fått en triangel S1 bestående av två våningar. Nu lägger vi två kopior av S1 under S1 och krymper figuren till den ursprungliga storleken. Vi får då en triangel S2 med fyra våningar. Upprepar vi proceduren i all oändlighet så får vi en följd av trianglar Sn, n = 0,1,2,..., med 2n våningar. Låter vi n gå mot oo får vi Sierpinskitriangeln S. (Dvs att snittet av alla trianglarna är S.) Om vi inte krymper ihop figuren varje gång får vi allt mer detaljrika förstoringar av S. Vi kallar också dessa för Sn. Figuren visar S0, S1 och S2.

sierpinski.png

Vi ersätter varje udda tal i Pascals triangel med en etta och varje jämnt tal med en nolla. Vi får då en binär form P av Pascals triangel. Om vi räknar modulo 2 så kommer naturligtvis de vanliga identiteterna att gälla. Om pnk är elementet som svarar mot (nk) i Pascals vanliga triangel så gäller att

1) pn0 = pnn = 1,
2) p(n + 1)k = pnk + pn(k - 1) (mod 2) om 1 <= k <= n.

Det är också lätt att inse att om elementen i en binär siffertriangel uppfyller 1) och 2) så måste den vara lika med P. Vi låter B0 vara triangeln bestående av de två översta raderna i Pascals triangel, dvs

  1  
1   1

Då motsvaras S0 av B0. Vi bildar utifrån B0 en följd av siffertrianglar Bn enligt receptet för Sierpinskitriangeln genom att placera två kopior av B0 under B0 för att få B1, sedan två kopior av B1 under B1 för att få B2 osv. De tomma trianglarna fyller vi ut med nollor. Det är då klart att vi får en binär siffertriangel B som liknar Sierpinskitriangeln. För att visa att B = P behöver vi bara visa att räknereglerna 1) och 2) gäller i B och det räcker att visa att de gäller i Bn för varje n. Vi ser direkt att 1) är uppfylld för varje n. Dessutom har Bn ettor i den nedre raden. 2) kan visas med induktion över n. B0 uppfyller 2) enligt konstruktionen. Om vi antar att 2) är uppfylld i Bn så gäller den inom var och en av kopiorna av Bn i Bn + 1. Inuti den upp- och nedvända nollfyllda triangeln gäller 2) naturligtvis också beroende på att alla element är noll. 2) är alltså uppfylls när alla tre elementen p(n + 1)k, pnk och pn(k - 1) ligger i samma deltriangel. Använder man att Bn har ettor utefter alla tre sidorna så inser man att 2) gäller också när elementen tillhör olika deltrianglar.

Kjell Elfström


3 mars 2002 15.15.27
En topologi fråga:Antag att vi har ett topologiskt rum X och två stycken olika uppsättningar baser (dvs två olika collections av baselement) vi kan kalla dom B1 och B2. Min fråga är då om dessa baser alltid genererar två olika topologier,så att varje unik uppsättning baselement svarar mot en unik topologi (Tau) om vi har en viss given mängd X?
Johan

Svar:

Två olika baser kan mycket väl ge samma topologi. Kalla topologierna för T1 resp. T2. Om varje mängd i B1 tillhör T2 och varje mängd i B2 tillhör T1 så är T1 = T2. Detta följer direkt av definitionen av bas. Väljer vi i R2 B1 som mängden av alla cirkelskivor {x; |x - u| < e}, där e är ett godtyckligt positivt tal och u = (a,b) en godtycklig punkt i R2, och B2 som mängden av alla kvadrater (a - d,a + d)×(b - d,b + d), där a och b är godtyckliga reella tal och d ett positivt tal, så ger båda dessa baser den vanliga topologin i R2.

Kjell Elfström


3 mars 2002 00.05.45
Låt säg att det är sannolikheten är 0,3 för att erhålla ett stipendie. Om man är två stycken som kommer överens om att dela på eventuella pengar och man båda två söker, hur stor är sannolikheten att erhålla pengar. Jag frågar inte över det förväntade värdet utan enbart efter sannolikheten. Är 0,3+0,3=0,6 sannolikhet eller?
Ronnie

Svar:

Som du formulerar frågan verkar det som om sannolikheten att få ett stipendium är 0,3 för varje person som söker, oberoende av hur många som söker. Detta är ju en något orealistisk situation men vi räknar ändå på den sökta sannolikheten. Om sannolikheten är 0,3 att man får stipendiet så är den 0,7 att man inte får det. Sannolikheten är då 0,7·0,7 = 0,49 att ingen av de två sökande får något stipendium. Sannolikheten att minst en av dem får ett stipendium är alltså 0,51.

Kjell Elfström


2 mars 2002 13.14.22
Hur blir man smart?
Anna

Svar:

Det vet jag inte. Man kan nog bli bättre på matematik genom att träna på problemlösning.

Kjell Elfström


2 mars 2002 13.12.30
Hur mycket blir 24*34?
ANNA

Svar:

816.

Kjell Elfström


1 mars 2002 17.07.27
två vektorer: u=4, v=3
vinkeln mellan dem är pi/4
hur räknar man ut (u-2v)*(3u+v) ?
jag vet att u*v=4*3*cos(pi/4)=6*roten ur 2 men förstår intehur man ska behandla u-2v
Klaus Kinski

Svar:

Du menar väl att |u| = 4 och |v| = 3? Så här bör man räkna:

(u - 2v)·(3u + v) = 3(u·u) - 2(v·v) - 5(u·v) = 3|u|2 - 2|v|2 - 5|u||v| cos [u,v].

Kjell Elfström


1 mars 2002 15.05.52
Frågan lyder: Bestäm med hjälp av laplacetransformen till följande funktion. (e^2t)delta(t-4). Har problem med denna och skulle vara glad om du kunde hjälpa mig...TACK!!!!!
Thomas

Svar:

Utnyttja att ab delta(t - cdt = c om a < c < b.

Kjell Elfström


1 mars 2002 14.31.24
Hej, jag sitter och försöker lösa en integral nämligen: roten_ur((a+bx)/(1-x^2)), m.a.p x (första frågan). Jag börjar misstänka att den inte är elementär.
Hur kan jag avgöra om det verkligen inte går att hitta en primitiv funktion till en integral (andra frågan), då det kanske bara är jag som inte klarar av att integrera.
Magnus

Svar:

Man kan bara undantagsvis uttrycka en primitiv funktion till funktionen ovan i elementära funktioner. Det går t ex bra om a = ±b. Då t ex a = 0 och b = 1 så går det inte. Se Functions without elementary antiderivative av Matthew P Wiener.

Kjell Elfström


1 mars 2002 12.02.49
Hej!
Jag har ett par frågor angående tensorer. Basvektorer brukar skrivas med index nertill, men är inte dessa i princip tensorer av typ (1,0) och detta index skrivs väl upptill (kontravariant)? Vad menas med kotangent derivering?
Steinar

Svar:

Det är egentligen koordinaterna map en bas som utgör den kontravarianta tensorn. Man skriver ofta i sådana sammanhang u = x1e1 + x2e2 + ... + xnen och det är xi som definierar den kontravarianta tensorn. Se också Tensor. Jag har letat efter cotangent derivering utan att finna något. Möjligen kan det vara detsamma som yttre derivata, se ExteriorDerivative.

Kjell Elfström


1 mars 2002 09.24.45
rolulett spel, 2 färgar rött/svart. Finns det sannolikhet med hjälp av excel som räkna detta
EL-Hinidy

Svar:

Sannolikheterna för roulettespel kan beräknas med de fyra räknesätten och dessa finns i excel. Det finns ju 37 nummer, 18 röda, 18 svarta och noll som varken är rött eller svart. Sannolikheten att vinna om man satsar på rött är följaktligen 18/37. Sannolikheten för vinst när man satsar på en carré blir 4/37 och rent allmänt är det bara att räkna hur många gynnsamma rutor det finns för en viss roulettehändelse och dividera detta antal med 37. Det finns en utmärkt sida med alla sannolikheter redovisade: Tabelle möglicher Setzungen.

Kjell Elfström


1 mars 2002 09.23.05
var kan jag hitta dina svar fast i Excel formel ? 1000 tack
Hassaan EL-Hinidy

Svar:

Jag förstår inte frågan.

Kjell Elfström

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

FöregåendeNästa

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)