Fråga Lund om matematik
Frågor och svar november 2004
30 november 2004 23.35.47
Hur visar man att den primitiva funktionen till f(x)=sinx/x inte kan uttryckas i elementära funktioner?
Anders
Svar:
Beviset är för omfattande för att tas upp här. En bra sammanfattning av resonemanget finns på sidan Non-Elementary Antiderivatives. Där finns också länkar till böcker och artiklar om ämnet.
Kjell Elfström
30 november 2004 21.17.12
Hej Kjell. Skulle du vilja påstå att medelvärdessatsen är "starkare" än Rolles sats?
Andreas
Svar:
Medelvärdessatsen och Rolles sats är ekvivalenta. Du känner säkert till att man brukar bevisa medelvärdessatsen med hjälp av Rolles sats. Samtidigt följer ju Rolles sats trivialt från medelvärdessatsen. De är alltså lika starka. På ett ytligare plan kan man kanske påstå att medelvärdessatsen är starkare eftersom Rolles sats på ett så uppenbart sätt är ett specialfall av medelvärdessatsen.
Kjell Elfström
30 november 2004 18.26.34
Hur beräknas den generaliserade dubbelintegralen
§§(1/(1 + (xy)^2)dxdy
över området
1<= x <= 2, y>= 0
hur jag än gör måste ja integrera en funktion av typen arctanx/x till slut, och det går inget vidare
Mats
Svar:
Integrera med avseende på y först. Det gäller att
Integrera nu detta uttryck med avseende på x.
Kjell Elfström
30 november 2004 16.16.58
Känner du till Helmholtz differentialekvation:
(delta+k^2)u=0
där u är longitudinell komponent i elektriska eller magnetiska fält? I så fall, hur kan man beskriva denna ekvation i polära koordinater? Mycket tacksam för svar.
Olof i Värnamo
Svar:
Se Helmholtz Differential Equation--Spherical Coordinates.
Kjell Elfström
30 november 2004 16.03.42
Jag har grunnat ett tag på en fråga... Tjockleken hos en plåt som valsas beror av temperaturen,t, och hastigheten,s. Man vet att tjockleken är 4 mm då t=900 C och s=10 m/s. Om s ökar med 0,2m/s så ökar tjockleken med 0,06 mm. Om t ökar med 10 C så minskar tjockleken med 0,04 mm. Hur approximerar man tjockleken om s=10,1 m/s och t= 880 C? Antar att man använder sig av s=10 och t=900 i ett inledande skede för att sedan addera 0,1 och 20 på något sätt. Men hur??
Studentskan
Svar:
Approximerar man funktionen med en lineär funktion, vilket kan vara rimligt för små avvikelser i hastighet och temperatur blir
där T är temperaturen, v hastigheten, d tjockleken och a och b konstanter. Här är T0 = 900, v0 = 10 och d(T0,v0) = 4. Uppgifterna i frågan ger att 0,06 = 0,2b och -0,04 = 10a. Ur dessa ekvationer kan du lösa ut a och b.
Kjell Elfström
30 november 2004 15.56.35
Kan man med hjälp av Maple lösa ekvationssystem, t.ex.
sinx+siny=1
y^2-x^3=0
med Newtons metod?
Hur går man till väga genom Maple? Hur räknar man "manuellt" med Newtons metod?
Herr N.
Svar:
Antag att vi vill lösa ett ekvationssystem u(x,y) = v(x,y) = 0, där u och v är C2-funktioner. Taylorutvecklar vi får vi
| u(x + h,y + k) = | u(x,y) + hdu/dx + kdu/dy + O(h2 + k2) |
| v(x + h,y + k) = | v(x,y) + hdv/dx + kdv/dy + O(h2 + k2) |
Behåller vi bara termerna av första ordningen får vi
| u(x + h,y + k) = | u(x,y) + hdu/dx + kdu/dy |
| v(x + h,y + k) = | v(x,y) + hdv/dx + kdv/dy |
och om vi är ute efter att bestämma h och k så att vänsterledet är noll skall vi ha
| 0 = | u(x,y) + hdu/dx + kdu/dy |
| 0 = | v(x,y) + hdv/dx + kdv/dy |
eller med x = xn, y = yn, xn + 1 = xn + h, yn + 1 = yn + k
| (xn + 1 - xn)du/dx + (yn + 1 - yn)du/dy | = -u(xn,yn) |
| (xn + 1 - xn)dv/dx + (yn + 1 - yn)dv/dy | = -v(xn,yn) |
Man får naturligtvis på något sätt välja en lämplig startapproximation (x0,y0). Denna metod kan användas manuellt och även programmeras i Maple. I Maple bör det dock vara enklare att använda den inbyggda ekvationslösaren. Man kan skriva
fsolve({sin(x)+sin(y)=1,y**2-x**3=0},{x=1,y=2});
där jag på måfå valt x = 1 och y = 2 som startvärden.
Kjell Elfström
30 november 2004 14.33.57
Hej! Det är ett tag sedan sist men nu har det dykt upp några frågor som jag behöver ventilera. det tycks gälla att ett plus produkten av fyra konsekutiva naturliga tal alltid är lika med ett kvadrattal, dvs a*b*c*d + 1 = p^2. Hur visar man det?? ( 1*2*3*4 + 1= 25 = 5^2; 2*3*4*5 +1 = 121 = 11^2; 3*4*5*6 +1 =361 = 19^2, 4*5*6*7 +1 = 29^2 etc. Det tycks också vara så att differensen mellan de tal som tas i kvadrat, enl ovan 5, 11, 19 hela tiden ökar med 2; 11-5 =6, 19 - 11 =8, 29 - 19 = 10 osv.)
Thomas Ålander
Svar:
Det gäller att
Kjell Elfström
30 november 2004 13.39.10
Hur räknar man ut area?
anna
Svar:
Det beror på hur figuren ser ut. Arean av en cirkel är t ex pi r2, där r är cirkelns radie.
Kjell Elfström
30 november 2004 13.26.50
Hejsan , jag är jens palmborg , jag bor i borås , jag har en fråga om matte , jag undrar hur många gånger man kan dubbla 100 ? haha .. dt vore skojj att vta :)
jensa
Svar:
En gång, sedan är det inte 100 längre.
Kjell Elfström
30 november 2004 13.24.52
Hej!, jag undrar vem som kom på matematik ? . och jag kopmmer från byttorpskolan , mitt namn är cassandra isberg . Tack ! , Dt vore snällt om du kunde svara :) haha .. Nå är vi två tjejer , Martina heter en och den andra heter MY och den sista är ju jag cassandra ,
Puss & kram , Snälla svara ;)
cassandra & martina
Svar:
Jag får det inte att gå ihop. Är ni två tjejer med tre namn? Jag tror inte att man kan säga att någon kom på matematiken, den har nog utvecklats gradvis på många olika håll. Hur som helst så är det mycket länge sedan och även om det var någon som kom på den så skulle ingen veta vem det var.
Kjell Elfström
30 november 2004 12.55.23
Var är tyngdpunkten i en på längden delad ellipsoid? Ellipsoidhalvan är homogen.
Bengt Persson
Svar:
Låt oss bestämma tyngdpunkten hos ellipsoidhalvan
Volymen av K är V = (2pi/3)abc. Det är klart att x- och y-koordinaterna båda är noll så det återstår att beräkna z-koordinaten
Gör variabelbytet
Funktionaldeterminanten är abcr2 sin s så integralen i uttrycket ovan blir
z-koordinaten blir därför 3c/8.
Kjell Elfström
30 november 2004 11.35.25
Vad kallas brytpunkten på en linje
Svar:
Jag vet inte vad som menas med en brytpunkt på en linje.
Kjell Elfström
28 november 2004 23.57.09
Har en fråga om variabelbyten i dubbel(även trippel osv) integraler. Så som jag förstått det så byter man variabler till några nya som täcker området man vill integrera över? Vill man t, ex integrera över en cirkel byter man till planpolära som ju täcker en hel cirkel i xy-planet. Men hur bör man tänka när det är andra områden? T, ex om området är |x|+|y| <=1 som blir en roterad fyrkant. Altså jag vet vad jag ska byta till men förstår inte riktigt varför bytet täcker hela området. Undrar även hur man gör för att "trycka" ihop en ellips till en cirkel och varför det fungerar.
Ozzom
Svar:
Något allmänt recept kan jag inte ge. När det gäller att överföra en rektangel på en annan rektangel eller transformera en ellips till en annan kan man använda metoder från lineär algebra. För att rotera (x,y) ett kvarts varv moturs kan man multiplicera med matrisen
| 1/21/2 | -1/21/2 |
| 1/21/2 | 1/21/2 |
och få u = (1/212)(x - y), v = (1/21/2)(x + y). I den ursprungliga kvadraten ligger både x - y och x + y mellan -1 och 1, varför u och v båda ligger mellan -1/21/2 och 1/21/2. Normalt brukar man utelämna faktorn 1/21/2 i definitionen av u och v. Man får då andra gränser för u och v och en funktionaldeterminant som inte nödvändigtvis är 1. Detta koordinatbyte ser man också direkt om man använder att |x| + |y| = ±x ± y, beroende på i vilken kvadrant man befinner sig. Att transformera en ellips x2/a2 + y2/b2 = 1 till en cirkel är enkelt. Det är bara att sätta u = x/a, v = y/b, så blir u2 + v2 = 1. Om ellipsens axlar inte är parallella med koordinataxlarna eller ellipsen inte har sin medelpunkt i origo kan man börja med att göra ett koordinatbyte som roterar ellipsen och flyttar den så medelpunkten hamnar i origo och därefter göra ovan nämnda koordinatbyte.
Kjell Elfström
28 november 2004 13.49.59
Hej !1) Kan ni förklara hur man eliminerar den godtyckliga funktionen f från ekvationen z=xy+f(x^2+y^2)
2)Hur man eliminerar a från ekvationen 2*z=(ax+y)^2+b ?Jag antar att här z betyder f(x,y).Vore tacksam för utförlig förklaring.
Magnus
Svar:
Jag förstår inte frågorna.
Kjell Elfström
27 november 2004 22.55.18
Hejsan! Undrar ifall du har något tips för att attackera problemet att finna alla heltalslösningar till
x^{13}+y^{13}+z^{13}=2002^{2008} ?
Jättetack på förhand!
A.K
Svar:
Efter att försökt finna någon lösning utan resultat börjar man tro att ekvationen saknar lösning. För att visa det kan man visa att den saknar lösning modulo något primtal p. Man väljer helst ett primtal p sådant att x13 antar få värden (mod p). Då p = 53 är x13 antingen 0, ±1 eller ±23 (mod p). Nu är 2002 = -12 (mod 53) så 20022008 = 122008 (mod 53). Vidare är 2008 = 32 (mod 52), vilket enligt Fermats lilla sats ger att 122008 = 1232 (mod 53). Ytterligare några räkningar ger att 20022008 = 36 (mod 53). Eftersom 36 inte kan skrivas som en summa modulo 53 av tre tal som är 0, ±1 eller ±23 så har inte kongruensen och därför heller inte ekvationen någon lösning.
Kjell Elfström
26 november 2004 22.02.20
Hej
Kan ni en formel till svaret på detta tal: 1^2 * 2^2 * 3^2 * 4^2 ... 2004^2 ?
Linus
Svar:
Jag ser att produkten kan skrivas (2004!)2 men det är ingen produkt jag skulle vilja beräkna för hand.
Kjell Elfström
26 november 2004 17.37.13
Hur kan man kolla om en partiell diffekv.är linjär eller inte,och vad är den geometriska betydelsen,finns det någon sådan ?
Sune
Svar:
Skriver man ekvationen som L(f) = h så är den lineär om L är en lineär avbildning, dvs L(af + bg) = aL(f) + bL(g) för alla konstanter a och b. T ex är L(f) = fxy'' + fx' = x2 + y2 lineär men inte L(f) = (fx')2 = x.
Kjell Elfström
26 november 2004 13.31.09
Går det att explicit (analytiskt) lösa ut x ur ett sjättegradspolynom t ex y(x) = ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx + g eller krävs någon numerisk lösning? Vet du i så hur man skriver i Maple?
Med vänlig hälsning
Martin
Svar:
Det går inte att lösa femtegradsekvationer och högre genom rotutdragningar. I Maple skriver man solve(y(x)=0,x); där y är polynomet men även i Maple måste man för det mesta nöja sig med numeriska lösningar och sådana får man genom att används fsolve i stället för solve.
Kjell Elfström
25 november 2004 17.25.54
Hej!
Jag har ett par frågor angående Picards sats i komplex analys:
1. Finns det något konstruktivt bevis av denna sats, dvs ett bevis som givet en funktion f med väsentlig singularitet i z_0 och en omgivining U av z_0, ger det värde w(U) för vilket f(z)=w inte har oändligt många lösningar om detta existerar?
2. Jag skulle gissa att det inte finns något sådant bevis. Är det helt orimligt att ett sådant bevis är möjligt?
Patrik
Svar:
Jag har inte lyckats hitta något konstruktivt bevis för satsen.
Kjell Elfström
25 november 2004 17.24.37
Vad menas med matematsk förmåga och matematisk förståelse?Är det någon skildnad? Finns det någon lättläst litteratur om det?
Betty
Svar:
Jag läser sällan litteratur av det slag du efterfrågar och har inga tips att ge. Jag kan heller inte ge några exakta definitioner av de begrepp du anger. Matematisk förmåga har man väl om man klarar av att lösa tillräckligt svåra matematiska problem. Det kan ju också vara en latent förmåga: man skulle lätt ha kunnat lära sig så mycket matematik att man hade haft ovan nämnda aktuella förmåga. Vanligen kräver matematisk förmåga att man har matematisk förståelse men man kan säkerligen förstå en hel del matematik utan att för den skull klara av att lösa särskilt svåra problem.
Kjell Elfström
25 november 2004 15.38.46
Hej, Jag undrar hur man beräknar procentmarginal på en vara som tex har inpris på 8:- och säljs för 19:-
Mats
Svar:
Marginalen och pålägget räknade i kronor är lika stora, i detta fall 19 - 8 = 11 kronor. När man anger pålägget i procent menar man förhållandet mellan pålägget och inpriset, här 11/8 = 137,5 procent. När man anger marginalen i procent menar man förhållandet mellan marginalen och försäljningspriset, i detta fall 11/19 ~= 57,9 procent.
Kjell Elfström
25 november 2004 15.26.37
Ställde två frågor förra veckan och blev jätteglad för svar! Ny fråga: Jag antar att professionella matematiker använder program som Mathematica, Mathcad eller Maples. Själv har jag Mathcad 2000 Professional i min dator, men har svårt att få programmet att utföra det jag vill. (Jag är amatör-matematiker specialintresserad av talteori, och vill lösa kvadratiska kongruenser av typ x^2 kongruent med 1 mod (2^32+1).) Trots ett par goda instruktionsböcker klarar jag inte av uppgiften [Jag har de facto löst just denna kongruens genom att kombinera teoretiska tricks med en ohygglig massa trial and errors. Rötterna är tiosiffriga liksom modulen.] FRÅGA: Finns några bra kurser i användningen av Mathcad eller Mathematica? Jag har hört mig för på både KTH och Stockholms Universitet utan att få någon klarhet. Tacksam för svar.
Lars Strömbeck
Svar:
I Maple fungerade
with(numtheory); msolve(x*x=1,2**32+1);och gav svaret
{x = 1}, {x = 1366885067}, {x = 2928082230}, {x = 4294967296}
Jag har inte testat de andra programmen på problemet. Tyvärr kan jag inte ge dig mer information om mathcadkurser än den jag själv finner genom att söka på internet.För övrigt är det känt att Fermattalet 232 + 1 inte är ett primtal och man kan då börja med att faktorisera det. Faktorerna är 641 och 6700417. De icketriviala lösningarna till kongruensen ges därför av de båda lineära ekvationerna x = 1 + 6700417m = -1 + 641n och x = -1 + 6700417m = 1 + 641n.
Kjell Elfström
25 november 2004 13.28.45
Hej Kjell!
En fråga till från mig den här veckan. Jag är intresserad av att finna så många heltalslösningar som möjligt till ekvationen x^3 + y^2 = z^4.
Man kan se ekvationen som en Mordell-ekvation y^2 = x^3 + n med parametern n = z^4 och -x i stället för x. Med hjälp av tabeller, exempelvis http://tnt.math.metro-u.ac.jp/simath/MORDELL/ kan man hitta en del lösningar. Vidare, givet en lösning (a,b,c) så är även (a*n^4,b*n^6,c*n^3) lösningar men dessa tal är inte relativt prima.
Känner du till någon mängd av (uppräkneligt) oändligt många lösningar (x,y,z) där x,y och z är är parvis relativt prima, eller i varje fall där inte alla tre har någon gemensam heltalsfaktor skild från 1 och -1 och som är explicit givna i lösningsformler i ett ändligt antal parametrar (gärna bara en eller två parametrar). Själv har jag lyckats hitta en tvåparametrig lösnigsmängd av rationella tal men, tyvärr, inte heltal. En allmän lösning är naturligtvis det mest önskvärda men av vad jag har lyckats hitta i litteraturen och på nätet gissar jag att detta är ett svårt problem, möjligen olöst.
Bengt Månsson
Svar:
Jag har inte heller hittat något om ekvationen och jag känner inte till om den är löst. I stället för att betrakta z4 som en parameter känns det naturligare att skriva om ekvationen som
Att x, y och z bara har de gemensamma delarna ±1 är detsamma som att de är parvis relativt prima om de satisfierar ekvationen. Vi förutsätter därför att de är parvis relativt prima och då följer det att den största gemensamma delaren till faktorerna z2 + y och z2 - y antingen är 1 eller 2. Detta följer av att om ett primtal p delar båda så delar det summan 2z2 och skillnaden 2y. Vi antar i fortsättningen att faktorerna är relativt prima och då är båda udda eftersom de har samma paritet. Eftersom de är relativt prima och produkten är en kub måste båda vara kuber, dvs
varav
Det gäller att a och b är relativt prima och eftersom de båda är udda är u = (a + b)/2 och v = (a - b)/2 heltal. Vi har också att
Detta ger att u och v är relativt prima och vi får att
Kan vi nu finna u och v, sådana att u3 + 3uv2 är kvadraten på ett heltal, har vi funnit en lösning eftersom y automatiskt blir ett heltal. Att bestämma u och v allmänt är inte så lätt men väljer vi u = 1 får vi Pells ekvation
Här är z = 2, v = 1 en lösning och samtliga icke-negativa lösningar till denna ekvation ges av
Alla dessa ger inte upphov till relativt prima lösningar x, y och z men då n = 2p får vi
och vi ser att v är jämn, vilket ger att a och b är udda och det följer att x, y och z är relativt prima. Sammanfattningsvis får man oändligt många relativt prima lösningar genom
där
I dessa lösningar är x negativ.
Man kan försöka lösa ekvationen z2 = u3 + 3uv2 litet mer allmänt. Låt d = (z,u), så att z = dz2, u = du2, där z2 och u2 är relativt prima. Enligt ekvationen är då
Vi finner att u2 delar d. Skriv d = u2d2. Vi får
vilket ger att d2 delar 3v2. Vi nöjer oss med att titta på fallet d2 = 1 och då är d = u2. Ekvationen kan då skrivas
och efter faktorisering
Om t ex
har vi en lösning. Löser vi ut z2 och u2 får vi
och vi kan välja v = 2ab. Vi får nu
Denna ekvation är uppfylld av t ex b - u2 = 3c2, b + u2 = e2. Vi får
och kan t ex välja a = ce. Välj nu c och e udda, relativt prima och sådana att 3 inte delar e. Definiera
och
Då är u och v relativt prima och v är jämn så x, y och z är relativt prima som innan. Väljer vi t ex c = 1 och e = 1 + 6t, t > 0, är dessutom x >= 0.
Kjell Elfström
25 november 2004 12.18.11
Hej! Behöver hjälp med en fysikfråga. Vet inte riktigt vilken formel jag ska använda, men det känns som att någon formel kan lösa problemet. Jag har en båt och ett ankare i båten. Ekipaget ligger på vattnet. När jag släpper i ankaret i vattnet så kommer vattennivån att sjunka eftersom ankaret har högre densitet än vattnet. Jag har gjort detta test med olika material för ankaret. Tänkte om du kunde sammanställa nån formel för att räkna ut hur mycket vattennivån sjunker när man släpper i ankaret i vattnet. Gör så allmänt och utförligt som möjligt, vore väldigt tacksam för din hjälp.
Mvh Juha
Svar:
Enligt Arkimedes princip är volymen av den delen av vattnet som båten tränger undan lika stor som mg, där m är massan av båten och ankaret resp. båten utan ankare och g tyngdaccelerationen (vi förutsätter att vattnets densitet är 1 kg/dm3). Hur mycket vattenlinjen sjunker beror på båtens form.
Kjell Elfström
25 november 2004 10.15.17
Hej!
Bevisen för arean av diverse geometriska figurer tycks härröra i det yttersta från arean av en rektangel. Men hur bevisar man formeln för arean av en rektangel? Och vad är egentligen definitionen av area?
Bengt Bengtsson
Svar:
Man måste börja någonstans och vanligen definierar man arean av en rektangel som ab om sidlängderna är a och b. Låt oss kalla en mängd för ett rektangelområde om det består av ändligt många rektanglar som inte överlappar varande utom möjligen utefter kanterna. Arean av ett sådant definieras som summan av de ingående rektanglarnas areor. Man kan sedan definiera arean av begränsade områden O i planet på följande sätt: Ett yttre rektangelområde är ett rektangelområde som innesluter O och ett inre rektangelområde är ett rektangelområde som är inneslutet i O. Om det finns precis ett tal A som är mindre än eller lika med varje area av ett yttre rektangelområde och större än eller lika med varje area av ett inre rektangelområde så säger man att O har arean A. En del komplicerade områden får ingen area på detta sätt. Genom att definiera arean på ett mer sofistikerat sätt kan man uppnå att fler områden får en area men det kommer ändå att finnas områden som blir utan area.
Beskrivingen ovan passar in på Riemannintegralens definition. Arean av ett begränsat område O i planet är dubbelintegralen av den funktion som är 1 i området och noll utanför om denna integral existerar. En mer sofistikerad integral är Lebesgueintegralen.
Kjell Elfström
25 november 2004 04.09.30
Hej! Jag undrar som det finns någon definition av positiv (negativ) orientering av vektorer och kryssprodukt i R^n. Begreppet positv orientering känner jag till för R^2 och R^3, dock verkar jag inte kunna se mönstret i generaliseringen från R^2 till R^3 av positiv orientering för kunna generalisera till R^n allmänt.
Svar:
Vektorerna u1,...,un (i den ordningen) i Rn är positivt orienterade om determinanten som har dessa vektorer som kolonner är positiv. En vektorprodukt av två vektorer kan bara definieras i 3 och 7 dimensioner. Se Cross product.
Kjell Elfström
24 november 2004 19.16.06
Hej
Vad är definitionen av <A|B> (skalärprodukten mellan A & B), där A & B är 2x2- matriser?
Johan
Svar:
Det finns många val av skalärprodukt. Man tänker kanske i första hand på skalärprodukten för n×n-matriser definierad genom <A|B> = Tr(AB*). Här betecknar Tr spåret av en matris, dvs summan av diagonalelementen, och B* är konjugattransponering. Motsvarande vektornorm ||A|| = (summa |ajk|2)1/2 kallas Frobeniusnormen och är en matrisnorm.
Kjell Elfström
24 november 2004 16.55.31
Ett komplext tal z uppfyller villkoret |z-25i|<=15. Vilket är talet om det har minsta möjliga argument i intervallet 0<=z<=2pi?
Hans
Svar:
Drag den tangent till cirkeln som går genom origo och har positiv lutning. Den tangerar då cirkeln i den sökta punkten P. Låt M vara cirkelns medelpunkt och O origo. Då är triangeln OPM rätvinklig vid P. Om d är avståndet från O till P så är d 2 = 252 - 152 = 400, varav d = 20. Om P = x + iy så ger likformiga trianglar att x/15 = d/25, varför x = 12. Pythagoras sats ger sedan att y2 = d 2 - x2 = 256, varav y = 16. Talet är alltså 12 + 16i.
Kjell Elfström
24 november 2004 15.38.55
Hej Kjell!
Ett udda primtal kan som bekant skrivas skrivas 4n+1 eller 4n+3 (liksom f ö alla udda heltal). Finns det oändligt många primtal av vardera typen?
Bengt Månsson
Svar:
Det finns oändligt många primtal av vartdera slaget. Detta är en följd av Dirichlets sats om primtal i aritmetiska progressioner: Om a och b är relativt prima så finns det oändligt många primtal på formen an + b. Beviset finns inte i en bok jag ofta refererar till, Hardy and Wright: The Theory of Numbers, eftersom författarna anser att det är för svårt för att passa där. Ett ganska lättillgängligt bevis finns i Apostol: Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag.
Det finns också direkta bevis för de progressioner det är fråga om här. I båda fallen visar man att om p är ett godtyckligt udda primtal så finns det ett primtal som är större än p och på den önskade formen. Detta visar att det finns godtyckligt stora primtal på önskad form.
Fallet 4n + 3: Bilda c = 2⋅2⋅3⋅5⋅7⋅⋅⋅p - 1. I produkten förekommer primtalet 2 två gånger och alla udda primtal upp till och med p en gång. Då är c på formen 4n + 3 (eftersom 4 delar produkten) och delas inte av några av primtalen 2,3,5,...,p. Talet c kan inte vara en produkt av enbart primtal på formen 4n + 1 eftersom c i så fall självt skulle vara på den formen. Därför är c delbart med ett primtal 4n + 3 som är större än p.
Fallet 4n + 1: Detta fall är litet svårare. Beviset bygger på att om a och b är relativt prima så är varje udda primtalsdelare till a2 + b2 på formen 4n + 1. Detta är en följd av den entydiga faktoriseringen i ringen G av Gaussiska heltal. Det är välkänt att ett vanligt primtal q på formen 4n + 3 också är ett primelement i G. Om ett sådant primtal delar a2 + b2 = (a + bi)(a - bi) så delar det därför antingen a + bi eller a - bi i ringen G med följd att q delar både a + bi och a - bi. Detta resulterar i att q delar både a och b i ringen Z, vilket motsäger att a och b är relativt prima.
Bilda c = 32⋅52⋅72⋅⋅⋅p2 + 22, som är en summa av två kvadrater som är relativt prima. Talet c delas inte av något primtal mindre än eller lika med p. Det har därför en primtalsdelare som är större än p och denna måste vara på formen 4n + 1.
Kjell Elfström
24 november 2004 13.47.48
Funkionen y=cosx approximeras med y=1-kx^2 så att areorna blir lika i intervallet mellan -pi/2 och pi/2.Bestäm konstanten k. Tacksam för förklaring och svar. Hälsningar Linda
Linda
Svar:
Det gäller att ∫-pi/2pi/2cos x dx = [sin x]-pi/2pi/2 = 2 och ∫-pi/2pi/2(1 - kx2)dx = [x - kx3/3]-pi/2pi/2 = pi - k pi 3/12. Löser man ut k ur ekvationen pi - k pi 3/12 = 2 så får man k = 12(pi - 2)/pi 3.
Kjell Elfström
24 november 2004 12.50.07
Hejsan! Vi har klurat på ett problem, utan att komma på någon vettig lösning. Problemet är att med logik lösa antalet tiopotenser för 100-fakultet.
Vi har även stött på (i strängteorin) att summan av alla naturliga heltal skall vara likamed -1/12, hur skulle en tänkbar förklaring för detta kunna vara? Intuitivt motsäger sig detta kraftigt allt sunt förnuft. Har försökt fördjupa oss i Riemanns Zeta funktion och förstått en del av den matematiska biten. Finns det vidare litteratur som behandlar området?
Tack på förhand!
Daniel och Albin
Svar:
Hur många nollor slutar 100! på? Av de ingående faktorerna är 20 delbara med 5 och 4 är delbara med 25. Ingen är delbar med någon större 5-potens. Faktorn 5 förekommer därför 20 + 4 = 24 gånger i primtalsfaktoriseringen av 100!. Faktorn 2 förekommer mer än 50 gånger. Därför är 100! delbart med 1024 men inte med 1025. 100! slutar alltså på 24 nollor.
Påståendet om summan av de natuliga talen är naturligtvis inte sant men kan ändå förklaras. Då Re s > 1 är serien summan = 1oo(1/ns) konvergent och definierar en funktion f(s) i halvplanet Re s > 1. Denna funktion kan visas vara analytisk och det går att utvidga den till en analytisk funktion zeta(s) definierad för alla komplexa tal s utom s = 1. Denna funktion kallas Riemanns zeta-funktion och det gäller att zeta(-1) = -1/12. Den bok man tänker på först är Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-Function, Oxford Science Publications. För att få behållning av en bok om Riemanns zeta-funktion måste man ha en del kunskaper om teorin för analytiska funktioner.
Kjell Elfström
23 november 2004 19.54.57
Kan ni hjälpa mig med den här ekvationen?
0,1y=0,5(y-1)
efter: 0,5y-0,5=0,1y
0,5y-0,1y=0,5
0,4y=0,5
y=0,5/0,4
så kom jag fram till att y=1,25, men i en mattebok jag har lånat
stod det att y var 12,5. Tryckfel?Har jag rätt?
Jonas von Essen ,13 år
Svar:
Jag får också att y = 1,25. Antingen är det ett tryckfel i boken eller så har du skrivit av boken fel.
Kjell Elfström
23 november 2004 19.48.47
Hej Kjell
Har problem att derivera F(x)=(1-x)^4
F(x)´´
F(x)´´´
F(x)´´´´
Andy
Svar:
Det gäller att D(yn) = nyn - 1 och därför att D2(yn) = D(nyn - 1) = n(n - 1)yn - 2 osv. Allmänt gäller det att Dk(yn) = n(n - 1)⋅⋅⋅(n - k + 1)yn - k = (n!/k!)yn - k då k <= n. Då k > n är Dk(yn) = 0. Eftersom F(x) = (x - 1)4 (man kan byta plats på 1 och x eftersom exponenten 4 är jämn) kan du använda formeln med y = x - 1. Den inre derivatan är ju 1. Man får att F '(x) = 4(x - 1)3, F ''(x) = 4⋅3(x - 1)2, F '''(x) = 4⋅3⋅2(x - 1) och F(4)(x) = 4⋅3⋅2⋅1.
Kjell Elfström
23 november 2004 18.11.12
Har du någån bild eller skiss på en trapets. Jag har totalt glömt dess from...
MvH // Davud
Davud Ahmedzari
Svar:
Det heter ett parallelltrapets. Definition och figur finns på Trapezoid.
Kjell Elfström
23 november 2004 18.08.19
Jag håller och på att laga en stupränna hemma utav 3 bräder. Brädorna är 15 cm breda, vid genomskärning har stuprännan trapetsform. Jag undrar hur måtten på rännan borde vara?
Mvh Arne
Arne Bergström
Svar:
Det beror på vad du är ute efter. Du vill kanske ha en så stor tvärsnittsarea som möjligt. Bottenbrädan är 15 och väggarna skall antingen vara vinkelräta mot bottnen eller luta utåt. Lutar någon inåt kan man nämligen lätt göra en ränna med samma höjd i vilken båda vägarna lutar utåt. Denna ränna har större tvärsnittsarea än den med den inåtlutande väggen. Antag att höjden är h och att det övre horisontella måttet är 15 + 2x. Då ger Pythagoras sats att h2 = 152 - x2. Tvärsnittet består av en rektangel med måtten 15 och h samt två rätvinkliga trianglar, båda med kateterna x och h. Rektangelarean är 15h och den sammanlagda trianglelarean är hx. Tvärsnittsarean blir h(15 + x) och kvadraten på densamma blir
Derivatan blir
och dess teckenväxling visar att f, och därför också arean, antar sitt största värde då x = 15/2. Höjden är då 15⋅31/2/2.
Kjell Elfström
23 november 2004 16.17.07
Hej!
Skulle vilja ha hjälp med två uppgifter
Skriv som en funktion av y
a) ln(y)=a+bx
b) lg(y)=a+bx
vore tacksam för svar mvh Pino
pino
Svar:
Det låter som om du vill lösa ut x och i så fall får man i a) att x = (ln y - a)/b. Det är ju bara att lösa ut x ur ekvationen. Vill du lösa ut y som funktion av x i stället ger definitionen av ln och lg att y = ea + bx = ea⋅ebx i a) och y = 10a + bx = 10a⋅10bx i b).
Kjell Elfström
23 november 2004 15.02.23
Varför använder vi oss av parenteser? Jag är lärare på grundskolan och håller just nu på med algebra. Flera elever har frågat mig varför man tex skriver 2+(3X-3) istället för 2+3X-3 vilket blir samma sak. Jag har inte hittat en förklaringsmetod som eleven förstår. Hur skall jag på ett ENKELT sätt förklara detta. Tacksam för svar.
Thorbjörn Widerström
Svar:
Exemplet 2 + (3x - 3) är kanske inte så väl valt eftersom parenteserna inte behövs där men man kan vända på frågan och fråga sig om man inte alltid skulle ha parenteser. Addition, subtraktion, multiplikation och division är egentligen operationer som utförs på två tal. I (a + b) + c adderar man summan a + b till c medan man i a + (b + c) adderar a till summan b + c. Parenteserna anger ordningen i vilken operationerna utförs. I det första fallet lägger man först ihop a och b och lägger sedan till c, i det andra fallet först b och c och sedan a. Nu finns det en så kallad associativ lag som säger att ordningen saknar betydelse vid addition och därför behöver man inte bekymra sig om parenteserna i dessa två formler utan kan skriva båda formlerna som a + b + c och lägga ihop i valfri ordning. Någon sådan associativ lag för subtraktion finns inte. Normalt är inte a - (b - c) detsamma som (a - b) - c. Med a = 3, b = 2 och c = 1 får man 2 i det första fallet och 0 i det andra. Här behövs alltså parenteserna. Samma sak gäller i formler som a⋅(b + c) och (a⋅b) + c. Med a, b och c som innan blir resultatet 9 resp. 7. Formler med många parenteser i tenderar att bli svårlästa och därför försöker man att använda så få som möjligt utan att ge avkall på tydligheten. Man inför en ordning i vilken operationer skall utföras. T ex skall multiplikation och division utföras före addition och subtraktion. Vid lika prioritet utförs operationer från vänster till höger. Skriver man a - b - c utan parenteser blir vänsterhögerregeln tillämplig. Formeln skall alltså tolkas som (a - b) - c. Denna formel kan alltså skrivas utan parenteser. I formeln a - (b - c) måste man däremot ha kvar parenteserna eftersom man här vill utföra subtraktionerna från höger till vänster. Skriver man ab + c skall multiplikationen utföras först och sedan additionen eftersom multiplikation alltid utförs före addition. Denna formel utan parenteser kan alltså skrivas (ab) + c med parenteser. Vill man att additionen skall utföras först måste man ha parenteser kring b + c. I det sista exemplet skall vi räkna från vänster till höger om parenteser saknas men det var en ren tillfällighet. Multiplikation utförs alltid före addition om inte parenteserna säger annat. Även i a + bc skall alltså multiplikationen utföras först.
Gör om mitt svar så det passar eleverna och tag exempel där man får olika resultat beroende på hur parenteserna sitter. Man kan också notera att parenteser dyker upp i tillämpningar. Om man har 1000 kronor på banken och först tar ut 200 och sedan 300 kr får man kvar 1000 - (200 + 300) eller (1000 - 200) - 300 kr beroende på hur man tänker. I det senare fallet är parenteserna överflödiga.
Kjell Elfström
23 november 2004 13.35.46
hur ska man göra om man har svrt att lära sej matte????
Anna
Svar:
Jag har fått liknande frågor några gånger och har inget svar som passar alla. Man bör dock försöka att få en djupare förståelse av matematiken. Att lära sig en massa formler utantill och försöka finna någon formel som passar in på ett problem gör matematiken både tråkig och obegriplig. Man bör fråga sig varför man gör på ett sätt och hur hänger den här delen ihop med den där delen. Många som inte är så roade av matematik och tycker att det är ett torrt ämne bör också försöka hitta tillämpningar som gör matematiken intressant (lös många "läsuppgifter"). Det kan också ge en ökad förståelse av matematiken som sådan.
Kjell Elfström
23 november 2004 12.15.19
Hej! Jag har en fråga om partiell integration.
Vad händer om man fortsätter att "integrera ut" termer oändligt många gånger?
Den funktion man deriverat varje gång har ju då deriverats oändligt många gånger och alla dess derivator finns i den oändliga summan av utintegrerarde termer. Betyder det att integralen "försvunnit" ur svaret?
Peter
Svar:
När man integrerat partiellt n gånger har man uttryckt den ursprungliga integralen som en summa av n termer i vilka det inte ingår någon integral och en integral In. Om det visar sig att In går mot noll då n --> oo så får man en oändlig "integralfri" serie vars summa är den ursprungliga integralen. Man kan härleda Taylors formel på detta sätt.
Kjell Elfström
22 november 2004 12.05.50
Hej!
Jag skulle behöva eulers formel härledd med hjälp av Maclaurinserieutvecklingar.
Tack på förhand.
Nilsson
Svar:
Här är en formell räkning som leder fram till den ena av Eulers formler:
| eix + e-ix = | (1 + (ix) + (ix)2/2! + (ix)3/3! + (ix)4/4! + ...) + (1 + (-ix) + (-ix)2/2! |
| + (-ix)3/3! + (-ix)4/4! + ...) = 2 - 2x2/2 + 2x4/4! + ... = 2 cos x. |
Man har antingen visat att serierna ovan konvergerar och definierat exponentialfunktionen och cos x med hjälp av serierna eller så har man definierat funktionerna på något annat sätt och då återstår att bevisa att serierna är konvergenta med summorna ovan men detta följer av att de ingående funktionerna är analytiska i hela det komplexa talplanet och att deras derivator ser ut som de gör.
Kjell Elfström
22 november 2004 11.22.24
Min lärare går igenom negativa tal och jag förstår inte hur minus och minus blir plus vid gånger, delat och minus.
Malin Folkesson
Svar:
Minus minus blir plus: Det gäller att -x är det tal som lagt till x ger summan 0. För t ex x = -7 innebär detta att -(-7) är det tal som lagt till -7 ger summan 0. Eftersom -7 + 7 = 0 så är det sökta talet -(-7) lika med 7. Allmänt gäller att -(-x) = x. På samma sätt är x - y det tal som lagt till y ger summan x. Då y = -z ger detta att x - (-z) är det tal som skall läggas till -z för att man skall få x. Men lägger man x + z till -z så får man ju x och detta medför att x - (-z) = x + z.
Minus gånger minus blir plus: Att (-x)(-y) = xy är en följd av att vissa räknelagar skall vara uppfyllda. Vi kan börja med att förklara varför (-x)y = -(xy). Distributiva lagen, dvs (a + b)c = ac + bc, ger att 0 = 0⋅y = (x + -(x))y = xy + (-x)y. Detta visar att om man lägger (-x)y till xy får man summan noll. Enligt vad som sades i första stycket innebär detta att (-x)y = -(xy). Vi får sedan att 0 = 0⋅(-y) = (x + (-x))(-y) = x(-y) + (-x)(-y), vilket ger att (-x)(-y) = -(x(-y)) = -((-y)x) = -(-(yx)) = yx = xy.
Minus delat med minus är plus: Detta följer direkt av att y/x är det tal som multiplicerat med x ger produkten y och reglerna för multiplikation.
Att din lärare går igenom negativa tal med dig får mig att tro att du går i grundskolan och att du inte förstod så mycket av vad som sades ovan. Vi försöker med tallinjen som har en nolla någonstans, negativa tal till vänster om nollan och positiva till höger. Talet 5 ligger då 5 enheter till höger om 0 och talet -5 ligger 5 enheter till vänster om 0. Att addera ett positivt tal, t ex 7, till ett tal skall betyda att man förflyttar sig så många enheter åt höger. Man inser då att -5 + 7 = 2 och 5 + 7 = 12. Att addera ett negativt tal innebär att flytta sig ett antal enheter åt vänster. Att addera -7 betyder att gå 7 enheter åt vänster. -5 + (-7) = -12, 5 + (-7) = -2. Att subtrahera betyder att gå åt motsatta hållet. Att subtrahera 7 från 5 betyder alltså att flytta sig 7 steg åt vänster. Att subtrahera (-7) från 5 att gå 7 enheter åt höger och då hamnar man i 12.
Vad gäller multiplikation kan man resonera på ett liknande sätt men där är kanske multiplikationstabellen bättre. En del av treans tabell bakifrån är 4⋅3 = 12, 3⋅3 = 9, 2⋅3 = 6, 1⋅3 = 3, 0⋅3 = 0. Hur skall vi fortsätta, dvs vad skall (-1)⋅3 vara? Eftersom talen minskat med 3 i varje steg innan så bör de väl fortsätta att göra det. Efter 0 bör alltså -3 komma. Fortsättningen blir (-1)⋅3 = -3, (-2)⋅3 = -6 osv. Ett grundläggande krav på multiplikation är att ordningsföljden inte skall ha någon betydelse. Vi inser då att 4⋅(-3) = -12, 3⋅(-3) = -9, 2⋅(-3) = -6, 1⋅(-3) = -3, 0⋅(-3) = 0. Här ökar talen med 3 i stället. Den naturliga fortsättningen blir (-1)⋅(-3) = 3, (-2)⋅(-3) = 6 osv.
Kjell Elfström
22 november 2004 10.45.47
Hej!
Om jag har ett papper format som en cirkel. Sedan klipper jag ut två sträckar (2 stycker radier) så bildas ju en vinkel i cirkelns mitt. Om jag nu håller ihop ändarna av den urklippta cirkeln bildas en kon.
Nu kommer frågan: Hur kan man beräkna vinkeln som klipps ut så att cirkeln får så stor volym som möjligt?
* Det måste ju deriveras och alla sträckor är okända i cirkeln. Det gäller att komma på en bra formel för detta ändamål utan kända sträckor.
Alexander!
Svar:
Kjell Elfström
21 november 2004 19.22.42
Hejsan! Jag vore väldigt tacksam för lite hjälp på vägen att lösa denna uppgift.
Några statsplanerare som bygger en stad vill att varje gata ska korsa varje annan gata exakt en gång. Hur många kvarter, dvs områden avgränsade av gator på alla sidor, blir det i deras stad om det är "n" gator? Med tre gator blir det förstås ett kvarter.
Tack på förhand!
Mvh//Emilia
Emilia Forsberg
Svar:
Antag att du redan har en stad med n - 1 gator och bygger en till så denna skär var och en av dem du redan har. Räkna upp skärningspunkterna på den nya gatan i ordningsföljd: P1,P2,...,Pn - 1. Då kommer P1, P2 och en gammal skärningspunkt att bilda ett kvarter. Detta är antingen helt nytt eller så delas ett gammalt i två delar. På samma sätt ger P2, P3 och en gammal skärningspunkt upphov till ett kvarter. För varje par av intilliggande punkter ökar kvartersantalet med 1. Antalet kvarter ökar därför med n - 2 på grund av den nya gatan. Då n = 3 är antalet kvarter 1. Då n = 4 är det 1 + 2 och allmänt då antalet gator är n >= 3 kommer antalet kvarter att vara 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) = (n - 1)(n - 2)/2.
Kjell Elfström
21 november 2004 15.40.57
Hur många tal mellan 1000 och 15000 är jämnt delbara med 7 eller 3? Man kan låta A vara mångden av de tal som är jämnt delbara 7 och B mängden av de tal som är jämnt delbara med 3. Snittet Av mängderna A och B innehåller då de tal som är jämnt delbara med 21. Det som efterfrågas är är antalet element i A u B, antalet tal som är jämnt delbara med 7 eller 3 (eller med båda). Kan du hjälpa mig lösa denna tror du. Vore tacksam för svar
Thomas Johnsson
Svar:
Jag vet inte om talen 1000 och 15000 skall räknas med men jag antar det. 15000 och 999 är båda delbara med 3. Man kan därför dela upp heltalen i fråga i klasser {1000,1001,1002},...,{14998,14999,15000} sådana att det sista talet i varje klass är delbart med 3. Det finns (15000 - 999)/3 = 4667 sådana klasser. Mängden B innehåller därför 4667 element. Vi noterar sedan att 1001 är delbart med 7. Vi delar in i klasser med början på 1001 så att det första elementet i varje klass är delbart med 7: {1001,1002,1003,1004,1005,1006,1007},... Eftersom (15000 - 1000)/7 = 2000 finns det 2000 sådana klasser så A innehåller 2000 element. 1008 är det första tal bland talen som är delbart med 21. Vi gör en likadan klassindelning som tidigare med början på 1008. Det gäller att (15000 - 1007)/21 = 666 + 1/3. Det finns därför 667 tal delbara med 21. Dessa 667 tal finns både i A och B. Det sökta antalet är därför 4667 + 2000 - 667 = 6000. Om 1000 och 15000 inte skall räknas med blir det 5999 eftersom 1000 varken är delbart med 3 eller 7 och 15000 bara är delbart med 3.
Kjell Elfström
21 november 2004 12.59.44
Hur många kvadratmeter omfattar ett rum med måtten:
2,54 m x2
2,12 m x 2
???
Anders Nordin
Svar:
2,54⋅2,12 = 5,3848 m2 om rummet är rektangulärt med sidorna 2,54 m och 2,12 m.
Kjell Elfström
20 november 2004 20.59.55
Hej! Hur kan man bevisa detta?:
Två positiva heltal m och k med m>k. Då är ett av talen m, m+1, m+2, ... m+k-1 delbara med ett primtal p>k.
Patrik
Svar:
Detta är en generalisering av Bertrands postulat. Det finns ett icke helt fullständigt bevis i Shapiro: Introduction to the Theory of Numbers, Wiley Interscience, sid. 370. Issai Schurs bevis finns i artikeln Einige Sätze über Primzahlen mit Anwendungen auf Irreduzibilitatsfragen I i Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1929, 125-136. Beviset är alldeles för långt för att jag skall kunna återge det här.
Kjell Elfström
20 november 2004 18.04.54
I parallelltrapetset ABCD, ABkCD,skär diagonalerna AC och BD varandra i S så att triangeln ABS är likbent: AS = BS Antag att ABS rentav är liksidig.Beteckna med K,L och M mittpunkterna på AS,BC resp. DS.
Visa att KLM också är liksidig.
Linda
Svar:
Med hjälp av lineär algebra och hårt arbete kommer man ofta långt:
Jag antar att hörnen A,B,C,D är uppräknade moturs och att AB är parallell med DC. Inför en bas u1 = (1/2)SA, u2 = (1/2)SB. Eftersom längderna av AB, BS och AS är lika kan vi antaga att u1 och u2 har längden 1. Vidare inser man lätt att triangeln SAD är liksidig och vi kallar sidlängden i den triangeln för 2k. Låt S vara origo. Då är K = (1,0), M = (0,-k), L = (-k,1). Detta ger att ML = (-k,1 + k), MK = (1,k) och KL = (-1 - k,1). Inför nu en ON-bas e1,e2 så att u1 = e1 och u2 = (1/2)e1 + (31/2/2)e2. I denna nya bas får ML, MK och KL koordinaterna (1/2)(1 - k,31/2(1 + k)), (1/2)(2 + k,31/2k) resp. (1/2)(-1 - 2k,31/2). Det är nu lätt att visa att |ML|2 = |MK|2 = |KL|2 = k2 + k + 1.
Följande lösning, som jag har Bengt Gamstedt att tacka för, visar den klassiska geometrins elegans:
Likformighet ger att KM = (1/2)AD. Inför punkten P på sträckan CA:s förlängning så att K blir mittpunkt på sträckan CP. Då blir trianglarna PAB och DSA kongruenta, så att PB = DA. Likformighet ger nu att KL = (1/2)PB = KM. Inför sedan en punkt Q på BD:s förlängning så att M blir mittpunkt på BQ. Nu är trianglarna QDC och ASD kongruenta. Likformighet ger att ML = (1/2)QC = (1/2)AD = KM.
Kjell Elfström
20 november 2004 10.38.56
Tjena! hade varit grymt tacksam om du kunde hjälpa mej med denna uppgift. tack på förhand!
Kaninerna Sluggo och hans favoritdate Lisa bor i varsin håla på den triangelformade åkern RÅG.
Sluggo bor precis vid staketet mitt emellan hörnen Å och G. Lisa bor på åkern i skärningspunkten mellan linjerna L1 och L2. Linjen L1 går genom hörnet G och en punkt på staketet RÅ en fjärdedel av längden från R och L2 skär båda staketen RÅ och RG på en tredjedel av längden från R. Sluggo som är en rät(t)skaffens kanin kan tyvärr bara springa i riktningar som är parallella med staketen RÅ och RG. Hjälp Sluggo med en vägbeskrivning till Lisa!
Bengt
Svar:
Låt R vara origo och e1 = RG och e2 = RÅ vara basvektorer i ett koordinatsystem. Linjen L1 går genom (1,0) och (0,1/4) vilket ger att L1 har ekvationen x + 4y = 1. Linjen L2 går genom (1/3,0) och (0,1/3) och har ekvationen 3x + 3y = 1. Lisa bor i skärningspunkten L: (1/9,2/9) och Sluggo bor i S: (1/2,1/2). Vektorn SL har därför koordinaterna (1/9 - 1/2,2/9 - 1/2) = (-7/18,-5/18).
Kjell Elfström
20 november 2004 01.58.53
Om man bevisar att sannolikheten för att det finns oändligt många primtalstvillingar går mot noll då n går mot oändligheten eller om man helt enkelt bevisar att sannolikheten är 0, duger någon av dessa bevis och förekommer det bevis av denna typ inom matematiken? Tack på förhand.
Johan
Svar:
Det finns en gren av matematiken som kallas probabilistisk talteori men i den framkommer inte resultat av det slag du anger. Vad det första skall betyda, att sannolikheten går mot noll då n --> oo, förstår jag inte. Att sannolikheten är noll för att det skall finnas oändligt många primtalstvillingar måste betyda att det inte finns oändligt många primtalstvillingar och detta kräver ett riktigt bevis. Sannolikheten för att ett tal skall tillhöra en viss mängd är ett mått på mängdens relativa storlek och när det handlar om oändliga mängder kan måttet vara noll utan att mängden är tom. Till exempel är sannolikheten för att ett reellt tal är rationellt noll, trots att det uppenbarligen finns rationella tal. Intervallet [0,1] har Lebesguemåttet 1. Mängden av de rationella tal som ligger i intervallet har Lebesguemåttet 0.
Kjell Elfström
20 november 2004 01.49.28
Vid derivering används ibland beteckningen d/dx och ibland används samma beteckning fast då är d:na istället spegelvända sexor, vad är det för skillnad? Tack på förhand.
Johan
Svar:
Vanligt d i d/dx används när man deriverar funktioner av en variabel. De stiliserade d:na används när man anger partiella derivator av en funktion av flera variabler.
Kjell Elfström
19 november 2004 22.18.14
Har "fördjupat" mig i en segsliten fråga om varför 0,999...(oändlig decimalutvekling med 9:or)=1. I ett mera formellt bevis säger man då att gränsvärdet för (1/10)^n är 0 då n-->oändligheten. I mitt tycke är det eg samma sak som att säga att 0,999.... med oändligt antal 9:or är lika med 1. I båda fallen bestämmer man sig ju för något. Mao: Vad är det som gör att gärnsvärdesberäkningen är ett mera övertygande bevis(!) än att bara säga att 0,999....(med oändligt antal 9:or) är 1?? Jag är förvisso inte oense om resultatet, men bevismetoden tycker jag ändå är något sorts cirkelbevis som bara eg säger samma sak som grundfrågan.
Kjell-Åke
Svar:
Det är väl klart att man kan definiera 0,999... som 1 men man kan i så fall likaväl definiera det som 2 eller 3 eller någonting annat. Om man nu definierar 0,999... som 1 så är det någon som undrar vad 0,1999.. är och då måste man definiera det talet också. Många definitioner blir det, som en känd uppfinnare från Sundbyberg säkert skulle ha sagt. Med seriedefinitionen har man en gång för alla fastslagit hur alla oändliga decimalbråk skall tolkas på ett sätt som är tämligen okontroversiellt (åtminstone mindre kontroversiellt än att säga att 0,999... är 2).
Kjell Elfström
19 november 2004 12.16.36
varför finns mattematik?
amanda.hallesjo
Svar:
Jag kan inte ge ett säkert svar på frågan varför människan utvecklat en förmåga att bedriva matematik. Slumpen har nog varit en avgörande faktor.
Kjell Elfström
19 november 2004 11.14.02
Hur räknar man ut maxkraften som kan påverka en hängbro av furu med en tvärtsnitts area 560 mm2???
Chaly
Svar:
Jag har inte tillräckliga materialkunskaper för att besvara frågan.
Kjell Elfström
19 november 2004 08.59.38
hej lund. jag komer från malmö och här förklarar läraren inte hur man räknar : beräkna 0,5/3
tina
Svar:
Vill du ha resultatet som ett allmänt bråk kan du skriva om 0,5 som 1/2 och utnyttja att (1/2)/3 = 1/(2⋅3) = 1/6. Räkneregeln är rimlig. Tänk dig att en tårta delas i två lika delar så att varje del är en halv. (1/2)/3 skall då motsvara en bit som är en tredjedel av en halva. Delar du tårtan i 2⋅3 = 6 delar så har du samtidigt (om du placerar snitten rätt) delat varje halva i tre delar. Vill du räkna ut bråket i decimalform så kan du dividera 0,5 med 3 med hjälp av liggande stolen genom att tänka in ett lämpligt antal nollor till höger om 0,5. Se http://www.fritext.se/matte/grunder/posi3.html. Jag vet inte vilken utgångspunkt du har och det är svårt att bedriva undervisning i denna frågespalt. Jag föreslår att du ber din lärare ta upp detta med dig.
Kjell Elfström
18 november 2004 22.28.32
Jag ska göra en primitiv funktion av funktionen f(x) = (3+(sin(x/250-45.55)^2))^0.5.
Hur gör jag?
Tack på förhand
Hans
Svar:
Det går inte att uttrycka en primitiv funktion i elementära funktioner. Man kan uttrycka den som en så kallad elliptisk integral men jag tror inte det blir så mycket bättre än det uttryck du redan har.
Kjell Elfström
18 november 2004 21.40.10
Vad är den svenska benämningen på "tail probability"? (långt från centralvärden av täthetsfunktion)
Christer Frank
Svar:
Jag hittade benämningen svanssannolikhet i två dokument publicerade av Statistiska institutionen i Lund.
Kjell Elfström
18 november 2004 20.16.38
Om jag roterar funktionen 1/x runt x-axeln kan jag räkna ut volymen av den "strut" som uppstår. Denna blir en ändlig mängd medan ytan av samma kropp kommer att bli oändligt stor. Kan du förklara hur detta hänger ihop?
Petter Forth
Svar:
Det kan verka paradoxalt när man tänker att man kan måla hela insidan genom att hälla en ändlig mängd färg i struten trots att insidan har oändlig area. Detta är ingen paradox. När man målar så målar man vanligen med ett jämntjockt lager färg. När man häller färg i struten blir färglagret allt tunnare.
Kjell Elfström
18 november 2004 18.53.16
I den matematikbok vi använder för årskurs 7 har man utan vidare kommentarer veckat y-axeln i flera stapeldiagram. Jag hävdar att detta är en styggelse som vi måste varna våra elever för men får inte medhåll av mina kollegor. Vad säger ni; måste inte hela stapeln eller stolpen vara utritad vid sådana diagram? Att det däremot är OK vid linje- och kurvdiagram ifrågasätter jag inte.
Kalle Strand, Halmstad
Svar:
I någon mening är både stapel- och linjediagram ett slags kurvdiagram. I samtliga typer av diagram kan man tolka arean under grafen som en sannolikhet och om man veckar y-axeln, eller kanske rentav kapar den så att bara topparna syns, får man en felaktig bild av dessa sannolikheter. Är det proportionerna man vill framhäva bör man inte kapa eller vecka axeln utan skala om den. Är det däremot skillnader man vill framhäva måste man nog ibland göra på detta sätt men det måste självklart tydligt framgå att man gjort det.
Kjell Elfström
18 november 2004 16.11.19
Hej!
På högskolan har ni (om jag förstått det rätt) adjunkter, lektorer och professorer. Vad är det för skillnad på dessa och vad tjänar dom? Vad behöver man för utbildning för att bli tex. adjunkt i matematik?
Finns det många lediga jobb inom matematiken?
Calle
Svar:
För att bli lektor eller professor krävs i allmänhet att man har doktorsexamen, vilket inte är nödvändigt för en adjunktstjänst. Det anställs mycket få adjunkter, åtminstone vid Naturvetenskaplig fakultet i Lund. Professorer bedriver ofta mycket forskning i sina tjänster medan adjunkter undervisar i större utsträckning. Lektorer hamnar någonstans där emellan. Det är svårare att bli professor än lektor eftersom det i allmänhet krävs bättre meriter i form av publicerade forskningsresultat mm. Medellönerna för hela Lunds universitet var ungefär 34000 kronor för en lektor och ungefär 39000 kronor för en professor i mars 2004. Man kan inte säga att det finns gott om lediga lärartjänster.
Kjell Elfström
18 november 2004 14.19.04
Finns det några specialvärden på ellipsaxlarna a och b, för vilka ellipsens omkrets antar några "enkla" värden?
Lars Strömbeck
Svar:
Jag känner bara till att värdet blir enkelt när a = b, dvs då ellipsen är en cirkel.
Kjell Elfström
18 november 2004 14.18.43
Hur ska jag lösa olikheten? X2 +3≤│x+5│, x є R
Susanne
Svar:
Dela upp problemet i två fall, x >= -5 eller x < -5. I det första fallet är |x + 5| = x + 5 och i det andra är |x + 5| = -x - 5.
Kjell Elfström
18 november 2004 14.15.08
Är det sant att cykloidens båge är exakt åtta gånger radien?
Lars Strömbeck
Svar:
Ja, se t ex Cycloid.
Kjell Elfström
18 november 2004 13.59.39
Hej! Har problem med två tal. Kan ni hjälpa mig?
√x+17-√√x+17-6 =0, x є R
2
∫dx/x2-2x-3
0
LENA GUSTAFSSON THIM
Svar:
Jag är inte helt säker på hur den första uppgiften skall lyda men det verkar rimligt att tolka den som
Sätt t = (x + 17)1/4. Ekvationen kan då skrivas t 2 - t - 6 = 0. Denna andragradsekvation har rötterna t = 1/2 ± 5/2. Den enda icke-negativa lösningen är t = 3. Det gäller att x + 17 = t 4 = 81, varav x = 64.
Integralen tolkar jag som ∫02 dx/(x2 - 2x - 3). Faktorisera nämnaren och partialbråksuppdela. Integranden blir (1/4)(1/(x - 3) - 1/(x + 1)), varför (1/4)ln|(x - 3)/(x + 1)| är en primitiv funktion. Sätt nu in gränserna.
Kjell Elfström
18 november 2004 13.44.13
Hur räknar man ut ytan av en rätvinklig (ej likbent) triangel om man vet längden på de tre sidorna?
Gunilla
Svar:
Med hjälp av Herons formel kan man räkna ut arean av en godtycklig triangel om man vet kantlängderna. Se Utvalda frågor. Om triangeln är rätvinklig och de kanter som bildar rät vinkel mot varandra har längderna a och b så är arean ab/2. Triangeln är ju en halv rektangel med kanterna a och b.
Kjell Elfström
18 november 2004 13.40.32
Hej. Jag såg tre bilar på en parkeringsplats avsedd för sex st. Varje bil hade tre likadana bokstäver på skylten, AAA, HHH och LLL. Vilken är sannolikheten för det? Tack för hjälpen.
pyramide25
Svar:
Jag är inte helt säker på vilken sannolikhet du efterfrågar, att precis tre bilar på parkeringsplatsen har skyltar med tre likadana bokstäver, att minst tre sådana bilar står där eller att bilar med AAA, HHH och LLL står där, eller något annat. Om många ägare till bilar med AAA, HHH och LLL bor i närheten är sannolikheten naturligtvis större än annars. Vidare så måste man veta hur många registreringsnummer som används.
Antag att vi har en urna med alla tänkbara registreringsskyltar. Eftersom jag inte vet exakt vilka bokstavskombinationer som är tillåtna gissar jag att alla bokstäver utom Å, Ä och Ö får användas i varje position. Urnan innehåller då n = 253⋅103 olika skyltar. Vi drar sex skyltar. Vilken är sannolikheten att precis en av dem inleds med AAA, en med HHH och en med LLL? Det finns 1000 skyltar som börjar på AAA, 1000 som börjar på HHH och 1000 som börjar på LLL. Att dra dessa tre kan därför göras på 10003 sätt. Vi skall sedan dra tre av de övriga. Det finns n - 3000 övriga och de kan därför dras på (n - 30003) sätt. Det totala antalet sätt är (n6). Sannolikheten blir därför 10003(n - 30003)/(n6) ~= 3⋅10-11.
Kjell Elfström
18 november 2004 09.39.09
Next problem. Två punkter rör sig moturs längs en cirkel med radien 50 meter. De båda punkterna börjar i samma punkt (vid tidpunkten t=0) och rör sig sedan moturs med hastigheterna 5m/s resp. 8m/s.
Fråga A) Hur lång tid (räknat från t=0) dröjer det innan punkterna möts igen?
Fråga B)Hur långt har de rört sig då? Fråga A kom jag en bra bit på men jag har inget effektivt sätt att lösa detta på... Tacksam för svar//
Silvia
Svar:
Ett varv är 100pi m. Deras hastigheter är därför 5/(100pi) resp. 8/(100pi) varv per sekund. Första gången de möts igen efter starten är skillnaden mellan deras tillryggalagda sträckor ett varv. Om t är tiden för mötet gäller därför att t⋅8/(100pi) - t⋅5/(100pi) = 1, dvs t = 100pi/3. De har då rört sig 500pi/3 resp. 800pi/3 meter.
Kjell Elfström
18 november 2004 09.33.44
Hejsan. Snubblade över denna sida då jag sökte svar på hur man skriver om ekvationer utan logaritmer. Dessa problem har jag: Lös ekvationerna OM MÖJLIGT utan logaritmer: A)3upphöjti2X =27 B)ln(X-3)=2 C)10eupphöjti5X =20 Hur gör jag för att skriva ekvationerna utan logaritmer? Dvs de som går att skriva utan logaritmer. Please Help
Silvia
Svar:
A) 32x = 27 = 33 <==> 2x = 3.
B) ln(x - 3) = 2 <==> x - 3 = e2. Detta följer av logaritmens definition.
C) 105x = 20. Här behöver jag logaritmer. 5x ln(10) = ln(20).
Kjell Elfström
18 november 2004 09.01.01
Hej Kjell!
Jag har en fråga angående matematikkurser.
Jag har fastnat för diskret matematik(speciellt kombinatorik/talteori). Skulle du kunna rekommendera några bra kurser nere i Lund?
Svar:
Vi har en kurs på B-nivå, Diskret matematik, som omfattar bland annat kombinatorik och kodningsteori. På C-nivå har vi Algebra 2, en allmän kurs i abstrakt algebra, och en kurs som heter Talteori. På D-nivå brukar vi ge Grupp- och ringteori.
Jag vet inte hur mycket matematik du läst men för att få börja på en kurs på en nivå måste man normalt ha läst 20 poäng på nivån under. Den lägsta nivån är A-nivån. Se Kurser.
Kjell Elfström
17 november 2004 21.47.53
Hej!
1. Hur löser jag en ekvation av formen X^13 - PX + R = 0 ? Finns det något knep för att hitta lösningar algebraisk eller är loppet kört när någon av X-termerna har en grad över fyra?
2. Finns det något gratisprogram på internet som kan lösa ekvationer liknande den jag nämnt?
Mårten
Svar:
1. Någon generell lösningsmetod som bygger på rotutdragningar finns inte. För vissa värden på P och R går det naturligtvis att lösa ekvationen exakt. Om det finns en rationell rot x = a/b, där a och b är relativt prima så är ju a13 - Pab12 + Rb13 = 0, vilket visar atta delar R och b = ±1. Därför måste en rationell lösning x vara ett heltal som delar R.
2. Det finns naturligtvis inga program som löser allmänna sådana ekvationer exakt. Du kan själv botanisera bland programmen hos MathArchives. Många program löser sådana ekvationer numeriskt. En del kanske till och med kan lösa exakt de ekvationer som är möjliga att lösa exakt.
Kjell Elfström
17 november 2004 21.02.12
säger man 6x9 i sexans gångertabell eller 9x6 i sexans gångertabell.
undrar lina
Svar:
Det verkar inte ha någon större betydelse i vilken ordning man anger faktorerna. Eftersom du vill ha ett svar skall jag ändå försöka ge ett. Man tänker sig nog sexans tabell som 0, 6, 6+6, 6+6+6, 6+6+6+6 osv. 9⋅6 låter som en summa med 9 sexor medan 6⋅9 låter mer som en summa med 6 nior. Därför föreslår jag att du använder 9⋅6.
Kjell Elfström
17 november 2004 17.40.22
Finns det något "standardpaket" som många använder sig av när de vill skriva ett övningshäfte i t.ex. matematik med hjälp av LaTeX? Jag är intresserad av att ha "\problem"-, "\hint"-, "\answer"- och "\solution"-nivåer och att man kan välja att placera svaren antingen direkt vid övningarna eller separat senare i dokumentet.
Nisse
Svar:
Det vet jag inte. Själv brukar jag anpassa list-omgivningen.
Kjell Elfström
17 november 2004 17.34.22
Hej
Hur löser jag ekvationen sin x=x^2 utan miniräknare?
Emil
Svar:
Man hittar förmodligen lösningen x = 0. Man kan visa att ekvationen har en lösning till men denna kan inte bestämmas exakt.
Kjell Elfström
17 november 2004 16.17.22
Hej!
Jag har löst en matteuppgift som handlar om Bodes formel (Bodes grundformel för numerisk integration med fyra delintervall, Af(-2h) + Bf(-h) + Cf(0) + Bf(h) + A f(2h.
Min fråga är om ni vet vad han hette i förnamn och var man isåfall kan få reda på mer information om honom?
Rikard Nylander
Svar:
Bodes regel är ett tidigt feltryck. Formeln bör rätteligen heta Booles regel (se Boole's Rule) efter George Boole.
Kjell Elfström
16 november 2004 19.57.39
Definiera andraderivatan?
Svar:
Andraderivatan av en funktion är derivatan av derivatan av funktionen.
Kjell Elfström
16 november 2004 19.12.26
Hej!
Problem: Jag lånar på banken 100.000 :- med en ränta på 3% och återbetalar 12000:- om året. Bestäm lånet y(t) som en funktion av tiden.
När jag skulle hjälpa en god vän med detta problem så tänkte jag först använda mina nyvunna kunskaper i differentialekvationer och reducerade problemet till att lösa: y´ = 0.03y - 12000. Lösningen jag fick fram med y(0) = 100.000 var: y = 400.000 - 300.000e^0.03t. Nåväl, jag tänkte till ytterligare, för jag tyckte att man borde kunna lösa problemet utan denna metod och skrev upp funktionen: y = (100.000 - 12000t)*1.03^t . Detta svar verkar i någon mening vara lika rätt, men trots att kurvorna liknar varandra så är de ju inte ekvivalenta, lånet återbetalas snabbare med den senare funktionen. Så nu till min fråga, vad är det egentligen jag har räknat ut?, efter vilka förutsättningar rör sig de båda kurvorna?
Robert Simon
Svar:
Enligt differentialekvationen så tillväxer skulden kontinuerligt och avbetalningen görs också kontinuerligt. Under en dag betalar du därför av 12000/365 kronor, under en timme 12000/(365⋅24) kr. och så vidare. Det är ju knappast så det går till i verkligheten. Räntan brukar belastas kontot en gång per år eller kvartal eller månad och samma sak gäller för amorteringarna. Kurvan skall alltså egentligen vara en trappstegskurva och funktionen kan inte uppfylla en differentialekvation. Din andra modell stämmer vanligen sämre. Här läggs inte räntan till skulden. När t = 100000/12000 är lånet slutbetalt, dvs vid samma tidpunkt som om räntan varit 0.
Kjell Elfström
16 november 2004 16.18.39
Vilket är det minsta heltal > 1 som delar något tal i följden
31, 331, 3331, 33331, ...
Patrik
Svar:
Kalla det n:e talet i följden för an. Det sökta talet p måste vara ett primtal eftersom varje delare till an delas av ett primtal. Vi noterar genast att an ger resten 1 vid division med 2, 3 och 5 och drar slutsatsen att p > 5. Det gäller att
Att p delar an är ekvivalent med att p delar bn = 10n + 1 - 7 eftersom p != 3. Eftersom bn = 3n + 1 (mod 7) och bn = (-1)n + 1 + 4 (mod 11) så är p > 11. Vidare är bn = (-3)n + 1 + 6 (mod 13). Om n + 1 = 3k + r så är bn = -(-3)r + 6 (mod 13). Det följer att bn är kongruent med 5, 9 eller 10 (mod 13), vilket visar att p > 13. Det gäller att bn = (-7)n + 1 - 7 = -7((-7)n + 1) (mod 17). Eftersom (-7)8 = 494 = (-2)4 = 16 = -1 (mod 17) så är a8 = 333333331 delbart med 17, vilket visar att p = 17.
Kjell Elfström
16 november 2004 15.24.07
Hej. Har en fråga om area- och volyms-optimering. Om ett känt antal cirklar av olika storlek ska placeras i en rektangel med kända maxmått, hur får man reda på deras placering och den minimala arean på plattan? Går det att utvidga resonemanget till 3D, dvs hur ska ett känt antal ringar (typ däck) av olika diameter och bredd placeras i en kub (typ container med kända maxmått) för att volymen ska bli minimal? Förtydligande: antalet av varje dimension i de båda fallen är känt.
Michael & Patrik
Svar:
Detta är ett i stort sett olöst problem.
Kjell Elfström
16 november 2004 14.32.17
Detta bråktal skall räknas ut och förkortas, utan att använda sig av varken miniräknare eller primfaktorisering.
(277/777)-(136/399)
Någon sa att man skulle använda sig av Euklides algoritm, men jag klarar inte av att lösa problemet ändå!
Julia
Svar:
Det verkar inte gå att förkorta bråken som de står. Man får då beräkna skillnaden.
Man noterar att täljarens siffersumma är 18 så täljaren är delbar med 9. På samma sätt ser man att 777 och 399 båda är delbara med 3. Vi kan alltså förkorta med 9.
Nu kan vi bestämma den största gemensamma delaren till 539 och 34447 med hjälp av Euklides algoritm.
| 34447 = | 64⋅539 - 49 |
| 539 = | 11⋅49 |
Den största gemensamma delaren är alltså 49. Förkortning med 49 ger resultatet 11/703.
Kjell Elfström
16 november 2004 13.48.44
hej jag har kört fast på två ekvationer sin(2v)=sin^2(v) och sin2x=cos(x) underavsnitet trigonmetri och formler. jag undrar om nån har en lösning till dessa tal, gärna detaljerad så man förstår'?
Louise
Svar:
Utnyttjar man att sin 2v = 2 sin v cos v kan den första ekvationen skrivas 2 sin v cos v = sin2v. Flytta över allt till det ena ledet: 2 sin v cos v - sin2v = 0. Bryt ut sin v : (sin v)(2 cos v - sin v) = 0. Detta är ekvivalent med att sin v = 0 eller 2 cos v = sin v. Den första likheten betyder att v = n pi, där n är ett heltal. Den andra kan skrivas som tan v = 2, vilket betyder att v = arctan 2 + n pi = 1,107148718 + n pi. Den sista likheten är bara approximativ. Den andra ekvationen löses på samma sätt.
Kjell Elfström
16 november 2004 11.00.01
hur mycket är ett tunnland i kvm?
Svar:
Kjell Elfström
15 november 2004 16.48.33
Hej. Jag har ett problem med cirklar och polygoner. Om jag har en 4-sidig polygon med sidan 2400 mm så har jag räknat ut att jag får via enkel grundskolematematik en cirkel med radien ca. 1697 mm. Finns det någon formel där jag kan med en fast sida om 2400 räkna ut radien på en cirkel om jag ökar antalet sidor i polygonen?
Mats Johansson
Svar:
Det verkar som om du omskriver cirkeln kring en regelbunden polygon, i fallet med fyra sidor en kvadrat. Kalla sidan (den som är 2400 mm) för s och låt n vara antalet sidor. Polygonen består då av n likbenta trianglar, alla med mittpunktsvinkeln 2pi/n och den motstående sidan lika med s. Den radie r du söker är längden av de båda lika långa sidorna. Dela triangeln på mitten genom att dra bisektrisen till mittpunktsvinkeln. Du får då två rätvinkliga trianglar. I varje triangel är den ena sidan s/2 och motstående vinkel är pi/n. Eftersom triangeln är rätvinklig gäller att r = (s/2)/(sin pi/n) = s/(2 sin pi/n).
Kjell Elfström
15 november 2004 16.32.03
Hej!
Jag har en fråga som jag skulle vara mycket tacksam för svaret på.
Vad menas med Diskriminanten och hur är härledningen för denna hos andra - men främst tredjegradsekvationer. Att diskriminanten för ekvationen: X^2+bx+c = b^2+4bc vet jag, men jag vet inte hur man har kommit fram till detta samband.
När det gäller tredjegradsekvationer så har jag läst om att det ska gå att ta reda på diskriminanten även för denna. Hur ser då härledningen för denna ut? Hur kan man påvisa att diskriminanten, då den är större än 0, har tre reella rötter?
Jag är som sagt mycket tacksam för svar!
Kristoffer
Svar:
Du har fel vad gäller diskriminanten till andragradspolynomet. Den skall vara b2 - 4c. Låt f(x) vara ett n:e-gradspolynom. Då har f n nollställen x1,...,xn. Bilda skillnaderna dij = xi - xj. Diskriminanten till f definieras som produkten av alla dij, där i != j. Alternativt kan man säga att diskriminanten är kvadraten av produkten av alla dij, där i < j. Eftersom andragradspolynomet har nollställena x1 = -b/2 + (b2 - 4c)1/2/2 och x2 = -b/2 - (b2 - 4c)1/2/2 och x1 - x2 = (b2 - 4c)1/2 följer det att diskriminanten är b2 - 4c. Man kan visa att diskriminanten alltid ligger i samma kropp som koefficienterna. Om koefficienterna är rationella så är också diskriminanten rationell även om nollställena skulle vara irrationella. I själva verket är diskriminanten ett polynom i koefficienterna.
Betrakta nu tredjegradspolynomet f(x) = x3 + ax2 + bx + c = (x - x1)(x - x2)(x - x3). Eftersom
så får vi genom att identifiera koefficienter att
Detta brukar kallas sambandet mellan rötter och koefficienter. Vi kan skaffa oss ytterligare några identiteter. Eftersom
får vi att
Vi har också att
vilket ger att
Slutligen har vi
| x12x2 + x12x3 + x22x1 + x22a3 + x32x1 + x32x2 | |
| = (x1 + x2 + x3)(x1x2 + x1x3 + x2x3) - 3x 1x2x3, |
varav
För att beräkna diskriminanten D utnyttjar vi nu att
varav -D = f '(x1)f '(x2)f '(x3). Samtidigt är ju f '(x) = 3x2 + 2ax + b. Detta ger, efter en del räknande, att
| -D = | 27x1x2x3 |
| + 18ax1x2x3(x1x2 + x1x3 + x2x3) | |
| + 12a2x1x2x3(x1 + x2 + x3) | |
| + 9b((x1x2)2 + (x1x3)2 + (x2x3)2) | |
| + 6ab(x12x2 + x12x3 + x22x1 + x22x3 + x32x1 + x32x2) | |
| + 3b2(x12 + x22 + x32) | |
| + 8a3x1x2x3 | |
| + 4a2b(x1x2 + x1x3 + x2x3) | |
| + 2ab2(x1 + x2 + x3) | |
| + b3. |
Genom att utnyttja sambanden ovan får vi att
För tredjegradspolynom med reella koefficienter följer det direkt av diskrimantens definition att den är noll om och endast om f har något multipelt nollställe och att den är positiv om och endast om f har tre olika reella nollställen. För att visa det sista behöver man bara utnyttja att icke-reella nollställen förekommer i konjugerade par.
Kjell Elfström
14 november 2004 20.46.56
Vem uppfann "det gyllene snittet"? Jag håller på att skriva en uppsats, men kan inte hitta något om hur det gyllene snittet uppfanns/uppkom.
Marcus Zetterlund
Svar:
Det gyllene snittet var känt av de gamla grekerna. Platon nämner det och Euklides använder det i Elementa. Ibland tillskrivs upptäkten Pythagoréerna men det är osäkert. Upphovsmannen är och förblir troligen okänd. Enligt Mathworld var det Martin Ohm som först använde beteckningen "goldene Schnitt".
Kjell Elfström
14 november 2004 13.02.02
Visa att
(1/(n+1))*(n^n/(k^k * (n-k)^(n-k))) < (n k) < n^n/(k^k * (n-k)^(n-k))
Finns det kanske någon kombinatorisk tolkning av det här?
Tacksam för svar.
Kape
Svar:
Det måste vara så att olikheterna skall visas då 1 <= k <= n - 1 och n >= 2. Använder vi binomialsatsen får vi
| nn/(kk(n - k)n - k) | = (n - k + k)n/(kk(n - k)n - k) |
| = summar = 0n(nr)kr(n - k)n - r/(kk(n - k)n - k). |
Summan innehåller mer än en term och termerna är positiva. Det följer att summan är större än den term för vilken r = k och detta ger den högra olikheten. För att visa den vänstra olikheten räcker det, eftersom summan innehåller n + 1 termer, att vi visar att den term för vilken r = k är större än alla de övriga termerna. Att term r är mindre än term k betyder att
vilket är ekvivalent med att
Antag nu att r < k. Då kan vänsterledet skrivas
Här innehåller täljaren k - r faktorer som alla är större än n - k och nämnaren innehåller k - r faktorer som alla är mindre än eller lika med k, varav olikheten följer. Fallet r > k visas genom en liknande omskrivning.
Kjell Elfström
14 november 2004 11.40.50
Hej ! En tegelsten väger 2 kilo + hälften av sin egen vikt,vad väger tegelstenen ? Kan man stella upp detta problem som en ekvation med x och y ?
Nybörjare
Svar:
Om tegelstenens vikt är x så gäller att x = 2 + x/2. Den väger alltså 4 kg.
Kjell Elfström
13 november 2004 22.53.52
I den linjära algebran talas ofta om linjära avbildningar eller linjära funktioner,linjära transformationer och linjära rum. I ett svar från den 18 mars 2004 16.41.09 skriver du att "Det finns ingenting som i logisk mening binder dessa definitioner vid motsvarande geometriska begrepp." Har jag förstått det hela rätt så finns det inte någon geometrisk motsvarig till begreppet"linjärt" utan det är endast definitionen som förklarar vad linjaritet innebär ?
Peter Lundin
Svar:
Det är definitionen som bestämmer vad lineär avbildning betyder och i rum av större dimension än 3 finns det ingen direkt geometrisk koppling. Namnet lineär är naturligtvis inte valt på måfå. I två och tre dimensioner avbildar lineära avbildningar punkter, linjer och plan på punkter, linjer och plan, dvs "raka" mängder avbildas på raka mängder.
Kjell Elfström
13 november 2004 22.42.34
Hur räknar man division när nämnaren har en eller flera decimaler?
Dedu
Svar:
Multiplicera både nämnaren och täljaren med en tillräckligt stor tiopotens innan du utför divisionen. T ex är 25/1,2345 = (10000⋅25)/(10000⋅1,2345) = 250000/12345.
Kjell Elfström
13 november 2004 21.39.28
Hejsan! Jag har fått lite problem med att bestämma integralerna till följande uppgifter:
1) 1/(x+1+x*sqrt(x^2+2)
2) 1/(1+sqrt(x^2+1))
Jarl Gustavsson
Svar:
1) Man kan förvandla integranden till en rationell funktion genom att substituera (x2 + 2)1/2 = t + x. Jag klarar dock inte att faktorisera den nämnare jag får på ett sätt som får mig att gå vidare med uppgiften.
2) Här fungerar substitutionen (x2 + 1)1/2 = t + x och ger integralen -∫((1 + t2)/(t(1 + t)2))dt. Partialbråksuppdelning ger att integralen är ∫(2/(1 + t)2 - 1/t)dt och du kan fortsätta härifrån på egen hand.
Kjell Elfström
13 november 2004 19.03.28
Hur kan man klassifiera (och vilka är dom) alla delgrupper av Q?
L.H. @ SU
Svar:
(Q,+) är en torsionsfri grupp av rang 1 och varje Abelsk torsionsfri grupp av rang 1 är isomorf med en undergrupp till (Q,+). En karakteristik är en följd a = (a1,a2,...), i vilken varje element antingen är ett naturligt tal eller +oo. a och b = (b1,b2,...) kallas ekvivalenta om an = bn utom möjligen för ändligt många n för vilka både an och bn är skilda från +oo. En ekvivalensklass kallas en typ. Låt G vara en torsionsfri grupp av rang 1. Till ett gruppelement g <> 0 i G kan vi associera en karakteristik a på följande sätt: Låt pn vara det n:e primtalet. Om pnx = g inte har någon lösning i G sätter vi an = 0. Om pnkx = g har en lösning i G men pnk + 1x = g saknar lösning i G sätter vi an = k. Om pnkx = g har en lösning i G för varje k > 0 sätter vi an = +oo. Det visar sig att alla nollskilda element i G har ekvivalenta karakteristiker och vi kan associera en typ med gruppen G. Det gäller då att två grupper är isomorfa om och endast om de har samma typ. Låt Qa, där a är en karakteristik, vara undergruppen av Q som innehåller alla reducerade bråk x/y, som är sådana att y inte är delbar med pnk om k > an. Varje torsionsfri grupp av rang 1 vars karakteristiker är ekvivalenta med a är isomorf med Qa. Detta tas upp i många böcker om gruppteori, t ex Kurosh: Theory of Groups, Vol I, Chelsea.
Kjell Elfström
13 november 2004 15.46.36
Hej
Jag har med datorns hjälp utfört 5000 stickprov där T=summan av 10 oberoende slumpvariabler och väntevärde=0,5. Medelvärdet av de 5000 summorna blev 4.879 och standardavvikelsen 1,4409.Beräkna det teoretiska medelvärdet (µT), samt den teoretiska standardavvikelsen (sigmaT). Hur ska jag göra? Mvh Irene
Irene Andersson
Svar:
Väntevärdet är 10⋅0,5 = 5. Variansen är summan av de ingående slumpvariablernas varianser eftersom variablerna är oberoende. Om sigma är variablernas gemensamma standardavvikelse är därför sigmaT = (10⋅sigma2)1/2 = 101/2sigma.
Kjell Elfström
13 november 2004 12.23.23
Om punkten anses vara ett matematiskt grundobjekt utan utsträckning (i rymden), varför kan då en punktmängd (t.ex. en kvadrat) som består av oändligt många punkter ha en area (då det finns oändligt med punkter men ingen av dem (och därmed inte heller ytan?) har någon area)?
Björn
Svar:
Arean av en punkt är noll. Har man en mängd med ändligt många punkter har denna också arean noll eftersom areamåttet är additivt i den meningen att om A och B är disjunkta mängder med måtten a och b så har unionen av A och B måttet a + b. Denna additivitet gäller inte oändliga unioner. Om en mängd är en union av en oändlig uppsättning disjunkta delmängder behöver arean av mängden inte vara lika med "summan" av areorna av delmängderna.
Kjell Elfström
12 november 2004 22.04.25
Kan Ni bevisa den här olikheten?
För x,y,z > 0 och 1/x + 1/y + 1/z = 1, så är
sqrt(x + yz) + sqrt(y + xz) + sqrt(z + xy) >= sqrt(xyz) + sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z)
Tacksam för hjälp.
Danne
Svar:
Eftersom x, y och z är positiva så får vi en ekvivalent olikhet om vi dividerar båda led med (xyz)1/2. Sätter man u = 1/x, v = 1/y och w = 1/z så övergår denna i
Det gäller att (vw + u)1/2 >= u + (vw)1/2 eftersom denna olikhet är ekvivalent med
och den sista olikheten följer av olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde. På samma sätt får man att (uw + v)1/2 >= v + (uw)1/2 och (uv + w)1/2 >= w + (uv)1/2. Addera dessa tre olikheter och utnyttja att u + v + w = 1 så får du den sökta olikheten.
Kjell Elfström
12 november 2004 20.06.08
hur dividerar man svåra tal ?
mahmoud
Svar:
Se Standardmetoden och divisionsmaskinen.
Kjell Elfström
12 november 2004 12.56.07
Vad betyder är avrundning
Prayut Yutiban
Svar:
Man avrundar ett tal med många decimaler till ett som har färre decimaler enligt vissa regler. T ex kan man avrunda 4,6789 till 4,7. Det behöver finnas några decimaler alls till höger om decimalkommat utan egentligen avrundar man ett tal med många signifikanta siffror till ett med färre. T ex kan man avrunda 46789 till 47000.
Kjell Elfström
12 november 2004 02.33.41
Hej Skulle någon vilja definiera skillnaden på begreppen antal och mängd.
Jesper Hemming
Svar:
En mängd är en samling av element. Antalet element i samlingen är ett mått på hur stor samlingen är. En samling bestående av fem päron och en samling med fem bananer är två olika mängder men antalet element i mängderna är detsamma. När någon säger att ett antal bananer låg i skålen så menar han egentligen att det låg en mängd bananer i skålen. Förhållandet mellan antal och mängd är ungeför det samma som förhållandet mellan area och yta. Ytan är utsidan på något och arean av ytan är ett mått på hur stor ytan är. Ganska ofta hör man att ytan är en kvadratmeter men då menar man egentligen att arean av ytan är en kvadratmeter.
Kjell Elfström
11 november 2004 22.52.10
Hej
Vi har en fråga angående tärningsspelet Yatzy: I spelet, där fem tärningar kastas, kan man bl.a. få stora och små stegar (1,2,3,4,5 resp. 2,3,4,5,6) och "Yatzy" (fem av samma valör). Enligt våra beräkningar är chansen att på första kastet få någon av stegarna mycket större än att slå en Yatzy. Saken är den att vi inte fattar hur fan det går till! Så snälla Lund, hjälp oss!
Två undrande
Svar:
Det finns 65 möjliga utfall för de fem tärningarna. Det är bara 6 utfall som är gynnsamma för att få Yatsy, så sannolikheten för det är 6/65 = 1/64 = 1/1296. Sannolikheten för stor stege är naturligtvis lika stor som sannolikheten för liten stege så låt oss räkna på den sista sannolikheten. Vilken som helst av de fem tärningarna kan visa en etta. Av de återstående fyra skall en visa en tvåa, av de återstående tre skall en visa en trea. av de återstående två skall en visa en fyra och sedan måste den enda återstående visa en femma. Det ger oss 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 gynnsamma utfall och sannolikheten för liten stege är därför 120/65 = 5/324.
Kjell Elfström
11 november 2004 21.26.40
Hej! En fråga gällande disktret matte som jag inte lyckas lösa. 20 studenter har valt bland kurserna A, B och C. Ur valblanketterna framgår:
13 har valt A
7 har varken valt A eller B
4 har valt alla tre
6 har valt A och C
alla har valt någon kurs
Bestäm hur många som valt B och C men inte A.
Tack på förhand!
Anna
Svar:
Det enklaste sättet att lösa problem som detta är att rita ett mängddiagram och fylla i fälten efter hand. 6 har valt A och C och 7 har valt bara C. 13 har valt A. Av dem har 6 valt både A och C. Det återstår 7 som valt A men inte C. Vi har nu tre disjunkta mängder med 7, 6 och 7 studenter. Dessa 20 studenter har antingen valt A eller bara C. Eftersom det bara fanns 20 studenter kan ingen ha valt B och C men inte A.
Kjell Elfström
11 november 2004 21.23.44
Hej!
Jag har ett klurigt problem som jag aldrig lyckats få någon lösning på: Stadens fängelse var fullt. därför bestämdes att en av de tre senaste fångarna skulle släppas fri. Man sätter ögonbindel på fångarna A och B, men fånge C som var blind, slapp ögonbindel.
Därefter väljs tre hattar bland fem på hyllan. tre av dessa var vita och två var röda. En hatt sätts på vardera v fångarna och de två övriga hattanr göms undan. Ögonbindlarna tas sedan av och man förklarar för fångarna vad som gjorts (inkl det faktum att det från början fanns tre vita och två röda hattar att välja bland). Därefter s'gs fäökamde toöö f¨mgarma: Den som kan säga färgen på sin hatt utan att titta efter på sitt eget huvud, den skall gå fri. Följande händer: 1 A säger att han inte kan säga färgen på sin hatt. Han förs till sin cell 2 B säger att han inte kan säga färgen på sin hatt. Även han förs tiill cellen. 3 Den blinde fången C säger då att han vet färgen på sin hatt. Han svarar rätt och är därför fri. Vilken färg hade fånge C på sin hatt och hur resonerade han sig fram till svaret?
Anna
Svar:
Eftersom A inte vet färgen på sin hatt kan inte de andra fångarna båda ha röda hattar. Om C har en röd hatt vet B att han själv har en vit hatt. Därför måste C har en vit hatt.
Kjell Elfström
11 november 2004 20.09.19
hUR SKALL MAN UTTALA DETTA TAL 1 350 000 000 000
Donald Monvall
Svar:
En biljon 350 miljarder.
Kjell Elfström
11 november 2004 16.29.07
HEJ!
Jag har en fråga om asymptot, eller gränsvärde egentligen..
Varför är:
Lim x går mot 1+ 1/3xln(x) = +OO
Lim x går mot 1- 1/3xln(x) = -OO
Någon bra förklaring kanske?
Tack på förhand.
MVH Marcus
Marcus
Svar:
Jag tolkar uttrycket som 1/(3x ln x). Det gäller att ln 1 = 0 och eftersom ln är kontinuerlig i punkten 1 så gäller att ln x -> 0 då x -> 1. Detta leder till att x lnx -> 0 då x -> 1. Påståendet följer nu av att x ln x > 0 då x > 1 och x ln x < 0 då 0 < x < 1
Kjell Elfström
11 november 2004 16.29.04
Hej
Kan man på något sätt från varje punkt i en konkav polygon bestämma om man har gått medsols eller motsols runt polygonen. Om man har en konvex polygon är det ju bara att ta kryssprodukten mellan två vektorer i den ordning man gått förbi dem för att bestämma om man går motsols eller medsols, men detta fungerar ju inte i en konvex polygon.
Finns det något sätt att veta?
Daniel E
Svar:
Det kan inte vara tillräckligt att känna till i vilken ordning man passerat två punkter ens i en konvex polygon. Man kan starta i punkten A och gå till B antingen medurs eller moturs. Däremot kan man avgöra åt vilket håll man går om de två punkterna befinner sig på samma sida i polygonen. Planet måste vara orienterat, så att det har en ovansida. Välj en normalvektor n som pekar uppåt. Bilda vektorn u = PQ, där P är den först passerade punkten på sidan och bilda sedan vektorprodukten v = n×u. Låt M vara mittpunkten på sträckan PQ. Då kan inte M vara ett hörn. Om strålen från M i riktningen v går in i polygonen så är omloppsriktningen moturs. För att avgöra om strålen går in i polygonen kan man i princip undersöka om den skär polygonen ett udda antal gånger. Särskild hänsyn måste dock tas till sidor som sammanfaller med strålen och hörn som ligger på strålen.
Kjell Elfström
11 november 2004 11.02.38
Detta vill jag kunna faktorisera så långt det går. Hur gör man på bästa sätt?
ax^2-a
Krister Karlsson
Svar:
Bryt ut a och använd sedan konjugatregeln. a(x2 - 1) = a(x + 1)(x - 1).
Kjell Elfström
11 november 2004 11.01.47
Jag behöver hjälp med att lösa denna ekvationen: (z+x/100)^x=3
MVH
Samuel Andersson
Svar:
Kjell Elfström
11 november 2004 11.00.43
Bestäm x som minimerar f(x)=x^4-x^3-4x^2+x
Tack
Viktoria Engström
Svar:
Har du inte skrivit fel? Nollställena till derivatan blir mycket komplicerade. Se 8 november 2004 15.06.24. Uppgiften verkar vara felskriven där också men genom att tolka f som 1 lyckades jag lösa uppgiften i svaret till den frågan.
Kjell Elfström
11 november 2004 10.58.02
Har här en fråga om Celcius och Fahrenheit. Har löst uppgiften av funktionerna C och F. Men nu nästa fråga till detta. Två rättvisande termometrar, en graderad i C och en graderad i F, ger samma utslag vid temperatuern t. Beräkna t, som får redovisas i Celcius eller Fahrenheit men inte nåt annat.
Tack för all hjäl
Jennie Ohlsson
Svar:
Kjell Elfström
11 november 2004 10.43.11
Hej
Har här 1,5 som spökar för mig. Hur får jag lättast svar på detta?
Lös ekvationen (1+x)^1,5=2. Ge svaret både som en formel och som ett lämpligt närmevärde.
Tack på hörhand
Bettan Karlsson
Svar:
Vi skriver ekvationen som (1 + x)3/2 = 2. Upphöj båda leden till 2/3 så får du
varav x = 22/3 - 1.
Kjell Elfström
11 november 2004 10.23.28
Lös ekvationssystemet
4xnersänkt1+xnersänkt2=25
3xnersänkt1-2xnersänkt2=s7
Tacksam för hjälp
Mimmie Andersson
Svar:
Kjell Elfström
11 november 2004 10.18.57
Beräkna det minsta värde funktionen f(x)=3x^2-4x+7.antar, bevisa att det svar du funnit verkligen är det minsta värdet och ange vid vliket x det infaller. Har kommit så långt att jag derivera och att x=2/3. Men sedan beräkna och visa vilket som är minsta värdet hänger jag inte med på.
MVH
Sofia
Sofia Sahlin
Svar:
Derivatan 6x - 4 är ju negativ då x < 2/3 och positiv då x > 2/3. Funktionen f är därför strängt avtagande i intervallet (-oo,2/3] och strängt växande i intervallet [2/3,oo). Detta visar att f(2/3) är funktionens minsta värde.
Kjell Elfström
10 november 2004 21.55.31
Vad är en snäll vinkel?
Anki Johnson
Svar:
Det är en vinkel t som är sådan att cos t och sin t båda är rationella tal.
Kjell Elfström
10 november 2004 15.47.02
Finns det någon delbarhetsregel för 12?
Mia
Svar:
Det enklaste är att notera att ett heltal är delbart med 12 om och endast om det är delbart både med 3 och 4. För att kontrollera om det är delbart med 3 kan du kontrollera om siffersumman är delbar med 3. Ett tal är delbart med 4 om och endast om det tal som består av de två sista siffrorna är delbart med 4. T ex är 12528 delbart med 12. Siffersumman är 1 + 2 + 5 + 2 + 8 = 18 som är delbar med 3. Talet bestående av de två sista siffrorna är 28 som är delbart med 4.
Kjell Elfström
10 november 2004 14.20.49
Hej Lund!
Läser en bok om diskret matematik och har fastnat lite...
Fråga: Hitta en sluten form p(n) = summa i^2 (i=0 tom n) med hjälp av genererande funktioner.
Tack för hjälpen!!
Svar:
Det gäller att summan = 0oo p(n)xn = (summan = 0oo xn)(summan = 0oo n2xn). Det gäller att summan = 0oo xn = 1/(1 - x). Därför är summan = 1oo nxn - 1 = (d/dx)(1/(1 - x)) = 1/(1 - x)2, vilket ger att summan = 0oo nxn = x/(1 - x)2. Deriverar man en gång till får man att summan = 0oo n2xn = (x + x2)/(1 - x)3. Detta ger att
Vi utvecklar och får
varav
| summan = 0oo p(n)xn | = x + summan = 0oo ((n + 43) + (n + 33))xn + 2 |
| = summan = 0oo((2n + 1)(n + 1)n/6)xn. |
Detta ger att p(n) = (2n + 1)(n + 1)n/6.
Kjell Elfström
10 november 2004 13.36.06
Om ljusets hastighet skulle skulle minska för vart år, skulle det betyda att tiden går allt långsammare i Universum ?
John Engel
Svar:
Fråga Nationellt resurscentrum för fysik.
Kjell Elfström
10 november 2004 13.33.27
Analytiska geometrin gör anspråk på att översätta hela den Euklidiska geometrin till algebra. Eller ... är det verkligen så ? kan man bevisa Pytagoras sats med analytisk geometri ?
John Engel
Svar:
Den Euklidiska geometrin kan formuleras med hjälp av lineär algebra och dess satser bevisas med algebraiska metoder. En del satser har enklare, eller naturligare, klassiska bevis men många får betydligt mycket enklare moderna bevis. Pythagoras sats hör till den senare kategorin. Två vektorer u och v är ortogonala, eller vinkelräta, om skalärprodukten u⋅v = 0. Antag att u och v är ortogonala. Då är |u + v|2 = (u + v)⋅(u + v) = u⋅u + 2u⋅v + v⋅v = |u|2 + |v|2 eftersom u⋅v = 0. Mycket enklare än så kan det knappast bli.
Kjell Elfström
10 november 2004 13.32.21
Inom dimensionsanalys i fysik säger man att en dimension är en potensprodukt av andra dimensioner. Varför är det så ?
John Engel
Svar:
Det beror på att fysikaliska storheter definieras utifrån andra storheter på ett sådant sätt. Om man skulle göra en definition som strider mot detta skulle regeln inte gälla längre. Se Dimensionsanalys och pi-satsen.
Kjell Elfström
10 november 2004 12.55.08
Hur räknar man ut luftens densitet
mikael
Svar:
Fråga Nationellt resurscentrum för fysik.
Kjell Elfström
10 november 2004 09.24.17
hej....har ett litet problem som jag skulle vilja ha hjälp med. hur ser funktionen f ut om du vet att F´(x)= 12 * e upphöjt till -0,6x och F(0)= 30
janne
Svar:
En primitiv funktion till eax är (1/a)eax om a != 0. Därför är F(x) = 12(1/(-0,6))e-0,6x + C = -20e-0,6x + C, där C är en godtycklig konstant. F(0) = 30 är ekvivalent med att -20 + C = 30 så C = 50.
Kjell Elfström
9 november 2004 20.44.34
Hur såg arabiska siffror ut innan våra siffror???
rosanna
Svar:
Kjell Elfström
9 november 2004 18.13.19
Hej Kjell!
Detta är ingen fråga. Jag undrar bara vad sysslar med just nu. Undervisar du? Och så vill jag passa på att ge dig stort eloge för att du tar dig tid att svara på våra frågor!
sticman
Svar:
Ja, jag undervisar på kursen Matematik 1 beta denna terminshalva. Tack för de uppmuntrande orden.
Kjell Elfström
9 november 2004 16.54.50
hur mycket väger en påse socker på månen? på gjorden väger den 1 kilo.
ahmad
Svar:
Fråga Nationellt resurscentrum för fysik.
Kjell Elfström
9 november 2004 14.23.13
Hej! Jag skulle vilje veta hur man deriverar funktionen y = arctan((d+a)/x) - arctan(d/x) om man räknar med att a är en konstant och d är en koefficient. Tacksam för svar. Mvh /
Michaela Nilsson
Svar:
Derivatan av arctan x är ju 1/(1 + x2). Den sökta derivatan blir därför
| (1/(1 + ((d + a)/x)2))(-(d + a)/x2) - (1/(1 + (d/x)2))(-d/x2) | |
| = (ad(d + a) - ax2)/((x2 + d2)(x2 + (d + a)2)). |
Kjell Elfström
9 november 2004 13.45.05
Jag hade tänkt göra ett matteprojekt... Finns det några lämpliga daker att skriva ett proJekt. dvs skriva lite historik om något ämne. Snälla skriv en lista på lämpliga 'a'mnen.
HuGo HörNSteiN
Svar:
Se t ex Förslag på projektarbeten i matematik.
Kjell Elfström
9 november 2004 12.39.51
Hur är ett stadium alltså det forngrekiska längdmåttet?
john österberg
Svar:
En stadion var 600 fot. Eftersom längden av den grekiska foten varierade något mellan olika platser så varierade också måttet stadion. Se Ancient Greece.
Kjell Elfström
9 november 2004 11.00.14
Hej, jag undrar hur man definierar (och beräknar) 2^pi?
Sökte i redan ställda frågor utan att hitta något om detta
Magnus Waller
Svar:
Antag att a > 0. Du vet ju hur an definieras då n är ett heltal. Då m och n är positiva heltal kan man definiera am/n som (n:e-roten ur a)m och utvidga definitionen till negativa rationella exponenter r genom ar = 1/ar. Då x är ett irrationellt tal blir definitionen av ax litet mer komplicerad. Efftekten blir dock den att om rn är en följd av (t ex rationella) tal som har x som gränsvärde så kommer ax att vara gränsvärdet av arn då n -> oo. En följd av rationella tal som har pi som gränsvärde är 3;3,1;3,14;3,141;3,1415;3,14159;... Genom att ta med tillräckligt många decimaler i utvecklingen av pi så kan du få ett godtyckligt noggrant närmevärde till 2pi .
Kjell Elfström
8 november 2004 20.53.07
En torped rör sig genom vattnet med hastigheten 60 km/h då den får "bensinstopp". Om vattnet hindrar torpedens framfart med en kraft som är proportionell mot torpedens hastighet, och om en 1 km färd reducerar hastigheten till 30 km/h, hur långt komer den att färdas?
dv/dt=dv/ds*ds/dt
Svar:
Kjell Elfström
8 november 2004 20.10.15
hur räknar man ut symetrilinjen? om jag har två kordinater och vill räkna ut symetrilinjen till dessa vilken formel använder jag då...???
anna
Svar:
Du menar kanske att du har två punkter P och Q i planet och vill bestämma symmetrilinjen till dessa, dvs den linje som är sådan att om man speglar den ena punkten i linjen så få man den andra. Linjen skall gå genom mittpunkten på sträckan PQ och vara vinkelrät mot denna sträcka. Om O är origo och M mittpunkten så gäller att OM = (1/2)(OP + OQ). Låt v vara vektorn PQ. En punkt R ligger då på symmetrilinjen om och endast om vektorn MR är vinkelrät mot v, dvs skalärprodukten (v|MR) = 0. Antar vi att P och Q har koordinaterna (x1,y1) resp. (x2,y2) så har M koordinaterna ((x1 + x2)/2,(y1 + y2)/2) och v = (x2 - x1,y2 - y1). Om R har koordinaterna (x,y) så ligger R på linjen om och endast om skalärproukten av (x - (x1 + x2)/2,y - (y1 + y2)/2) och (x2 - x1,y2 - y1) är noll, dvs
Kjell Elfström
8 november 2004 18.53.54
Hej Kjell!
Jag sitter här och läser om "feluppskattning" vid iterativ lösning av lineära ekvationssystem.
Det jag skulle behöva hjälp med är att bevisa följande:
Om II * II är en kompatibel norm och II B II <= m < 1 så gäller att
II x^(k+1) - x II <= m/(1-m) * II x^(k+1) -x II där x^(k+1) är k+1:e iterationen och x är den exakta lösningen.
Och så har jag en fråga till:
Visa att ekv. syst.
2a - 10b - 3c + d = 4
3a - b + c - 8d = -21
5a - b - c - d = 9
3a - b - 8c - d = 11.
Mvh student
Svar:
En liknande fråga ställdes den 8 november 2004 14.03.34.
Kjell Elfström
8 november 2004 15.06.24
Hej
Jag har lite olika uppgifter
1 Lös ekvationssystemet
4x(nersänkt 1) + x(nersänkt 2) = 25
3x(nersänkt 1 - 2x(nersänkt 2) 0 27
2 En temperatur uttryckt i C skrivs här x(nersänkt c). Man vet att det går att omvandla till Fahrenheit genom x(nersänkt F) = 32 + 1,8x(nersänkt c).
Skriv x(nersänkt c) som en funktion av x(nersänkt F)
3 Se föregående uppgift. Två rättvisande termometera, en graderad i C och en graderad i F, ger samma utslag vid temperaturen t. Beräkna t, som får redovisas i Celcius eller Fahrenheit men inte nått annat.
4 Sandy skall bygga en dansbana på sin tomt. Hon har virke som räcker till 100 m(upphöjd 2) golv. Dansgolvet skall vara kvadratiskt och det skall finnas en scen som är 2 meter bred och nästan lika lång som dansgolvets sida, men 1 meter skall tas undan eftersom en trappa skall komma upp där. De 100 kvadratmetrarna golv skall användas till dansgolvet och till scengolvet.
Hur stor skall dansgolvets sida x vara?
(Dansgolvet är en kvadrat med x på båda sidor. Till höger om dansgolvet finns det en trappa som är 2 meter "lång" och 1 meter bred. Brevid trappan finns då scenen som skall vara 2 meter bred och är då x-1 meter lång.)
5 a Bestäm det x som minimerar f(x)=x(upphöjd 4)-x(upphöd 3)-fx(upphöjd 2)+x.
b Du får ett erbjudande om att placera pengar med en skaplig ränta, men du måste bestämma i förväg hur länge du skall ha pengarna insatta, och ju längre tid desto högre ränta. I det här fallet får du x procent ränta om du lånar ut pengarna i x år, och du är inte trungen att hålla dig till hela år. Du nappar på iden och vill låta pengarna växa tills de är värda 3 gåner så mycket som du satte in. Hur lång tid går det åt? Man måste lösa ekvationen (1+x/100)Upphöjt till x = 3, men den är itne så enkel.
c Faktorisera ax(upphöjd 2)+a så lång du kan.
Tack för all god hjälp för att hjälpa mig lösa detta.
Sofia Sahlin
Svar:
1. Addera två gånger den första ekvationen till den andra så blir du av med x2. Man får 11x1 = 77, varav x1 = 7. Insättning i den första ekvationen ger sedan att x2 = -3.
2. Jag kallar värdena för f och c i stället. Det gäller då att f = 32 + (9/5)c. Flytta över 32 och dividera med 9/5 så får du c = (f - 32)/(9/5) = (5/9)(f - 32).
3. Om f = c så är c = 32 + (9/5)c, vilket ger att (4/5)c = -32 som är ekvivalent med att c = -40.
4. Den sammanlagda arean är x2 + 2(x - 1) = 100. Lös ut x ur denna andragradsekvation.
5. a) Det står f framför x2. Jag tolkar det som en felskrivning och antar att f(x) = x4 - x3 - x2 + x. Derivatan är f '(x) = 4x3 - 3x2 - 2x + 1. Man ser att x = 1 är ett nollställe. Dividerar vi f '(x) med x - 1 får vi f '(x) = (x - 1)(4x2 + x - 1). Nollställena till andragradsfaktorn är x1 = -1/8 - 171/2/8 och x2 = -1/8 + 171/2/8. Därför är f '(x) = 4(x - x1)(x - x2)(x - 1). Teckenstudium av derivatan visar att det minsta värdet av f(x) antas antingen då x = x1 eller då x = 1. Uträkning av f(1) och f(x1) visar att det sökta x-värdet är x1.
5 b) Ekvationen går inte att lösa exakt. Ett närmevärde beräknat med ett matematikprogram är x = 10,75.
5 c) a(x2 + 1) = a(x + i)(x - i).
Kjell Elfström
8 november 2004 14.03.34
Hej Kjell!
Hur bevisar man att II B II(normen) = m < 1, så konvergerar Gauss-Jacobis/Gauss-Seidel's metoder oavsett startvektor?
Svar:
Metoderna är av formen xn + 1 = Bxn + c och om x är den exakta lösningen så är x = Bx + c. Det gäller därför att
Om m = ||B|| så är ||xn - x|| <= ||x0 - x||⋅mn, vilket visar att ||xn - x|| -> 0 då n -> oo om m < 1.
Kjell Elfström
8 november 2004 00.09.35
Jag har en kanske lite metamatematisk fråga, om matriser och egenvärden. Jag förstår begreppen och kan räkna med dem inom ramen för analytisk mekanik o dyl., men jag får ingen riktig känsla för dem. Går det att förklara på vilket sätt egenvärdena och egenvektorerna beskriver en matris? Vad är det som gör att de verkar vara så fundamentala, eftersom de återkommer i applikation efter applikation?
Eric
Svar:
Lineära avbildningar på ändligtdimensionella rum kan ju beskrivas med matriser. Matrisen beror på vilken bas som används och om basen består av egenvektorer blir matrisen en diagonalmatris. Den stora fördelen med att arbeta med diagonalmatriser är att räkningarna blir mycket enkla och sambanden enkla att genomskåda.
Kjell Elfström
7 november 2004 22.13.58
Hej! Hur kan man räkna ut integralen från 0 till oändligheten av sin(x^n) där n är ett heltal?
Peter
Svar:
Då n = 1 är integralen divergent. Vi antar att n >= 2. Funktionen f(z) = e-zn är analytisk i hela det komplexa talplanet. Därför är integralen av f längs en sluten kurva C lika med noll. Tillämpa detta på kurvan C som består av C1: x-axeln från 0 till R, C2: cirkelbågen |z| = R från arg z = 0 till arg z = pi/(2n) och linjestycket C3 från Rei⋅pi/(2n) till origo. Integralen längs C1 är naturligtvis lika med ∫0Re-xndx. Om -C3 är C3 orienterad från origo och ut så kan vi parametrisera -C3 genom z = tei⋅pi/(2n). Integralen längs -C3 är därför
| ∫0Rei⋅pi/(2n)e-tnei⋅pi/2dt | = ∫0Rei⋅pi/(2n)e-itndt |
| = (cos (pi/(2n)) + i sin(pi/(2n)))∫0R(cos t n - i sin t n)dt. |
Integralen längs -C3 är alltså lika med
C2 parametriseras med z = Reit, 0 <= t <= pi/(2n). Integralen längs C2 är därför
Beloppet av denna integral är mindre än eller lika med
och genom att uppskatta sin v kan man visa att integralen över C2 går mot 0 då R -> oo. Då R -> oo har alltså integralerna över C1 och -C3 samma gränsvärde och det är lika med ∫0ooe-xndx. Eftersom såväl real- som imaginärdelen av integralen över -C3 har gränsvärden måste integralerna I = ∫0oosin tndt och J = ∫0oocos tndt vara (åtminstone betingat) konvergenta. Studerar vi imaginärdelen av integralen längs -C3 finner vi att
Studium av realdelen ger att
Löser vi ut I får vi
Substitutionen u = xn ger sedan att
där Gamma är Gammafunktionen.
Kjell Elfström
7 november 2004 21.28.56
värdet av en maskin minskar med 70% på 4 år.vilken är den årliga procentuella minskningen?
hannah 16
Svar:
Antag att den årliga minskningen är p%. Då är värdet efter 4 år (1 - p/100)4 av det ursprungliga värdet. Det gäller därför att (1 - p/100)4 = 0,30. Vi får att 1 - p/100 = 0,31/4, varav p = 100(1 - 0,31/4). Vi får att p är ungefär 26.
Kjell Elfström
7 november 2004 21.27.17
om n upphöjt till -2)blir 0.0625, vad blir då kvadratroten ur n upphöjt till 3?
anonym 15
Svar:
Vi har att n-2 = 0,0625. Upphöj båda leden till -1/2 så får du att n = 0,0625-1/2 = 4. Kvadratroten ur n är n1/2 och upphöjer vi den till 3 får vi n3/2 = 43/2 = 8.
Kjell Elfström
7 november 2004 21.25.30
fredrik sätter under en räntekris in 20000kr på banken.av vissa skäl måste han utnyttja 2 konton, ett som ger 12%i ränta o ett som ger 14%i ränta.hur skall han fördela pengarna på kontona om han vill ha 2700kr i årsränta på sitt kapital?förklara med ekvation!
hannah 16
Svar:
Han sätter in x kronor på 12-procentskontot och y kronor på det andra. Då är x + y = 20000. Räntan blir 0,12x + 0,14y = 0,12x + 0,14(20000 - x) = 2800 - 0,02x. Räntan är 2700 kronor då 2800 - 0,02x = 2700, dvs då 0,02x = 100. Han skall alltså sätta in 5000 kronor på 12-procentskontot och 15000 kronor på det andra kontot.
Kjell Elfström
7 november 2004 21.22.43
en pyramid "kapas" på mitten(vid halva höjden) och toppyramiden tas bort. med hur många procent har volymen minskat?
kan du förklara detta för mig..
anna lindgren
Svar:
Eftersom volymerna förhåller sig som kuberna av längderna och toppyramidens höjd är hälften av hela pyramidens höjd så är toppyramidens volym (1/2)3 = 1/8 av hela pyramidens volym.
Kjell Elfström
7 november 2004 21.19.51
hejsan kjell!
en av sidorna i en rektangel minskas med 10%.hur mycket ska den andra sidan minskas för att rektangelns area skall halveras?
förklara!
Svar:
Antag att triangelsidorna från början är a och b. Vi antar att a minskas med 10% till 0,9a och att b minskas till c. Arean före minskningen är ab och efter minskningen 0,9ac. Att arean efter minskningen är hälften av vad den var före innebär att 0,9ac = 0,5ab, dvs c = (5/9)b. Den andra sidan skall alltså minskas med faktorn 4/9.
Kjell Elfström
7 november 2004 18.46.56
Om man med utgångpunkt från minstakvadratmetoden tar sig friheten att istället för kvadraten använda sig av exponenten 3 och tredjeroten. Får jag då ett mer exakt svar, oavsett negativa eller positiva värden? Testar jag detta upp till grad 11 så får jag en periodisk kurva som stabiliserar sig mot ett visst värde...
nsqrt((1/n)*((a1)^n+(a2)^n+(a3)^n+...+(aN)^n)
Magnus
Svar:
Den linje som är den bästa i en norm är vanligen en annan än den bästa i en annan norm. Man kan inte säga att en norm ger en bättre linje än den andra utan att ange vad som menas med en bra anpassning. Något absolut mått på bra anpassning känner jag inte till. En linje är bra i minsta-kvadratmening eller minsta kub-mening osv.
Kjell Elfström
7 november 2004 16.49.37
Hejsan, jag har en optimerings problem som jag skulle vara tacksam om du kunde hjälpa mig med det.
Fråga:
Antag att (vektor x) är ett lokal minimum till minF(x) då A=x=b A=n*m, antag att F är differentierbar och visa(ej med kuhn-tuckers sats)att det finns lamda som ligger i R^m så att gradientF(vektorx)+(lamda)^t*A=0 Tack på förhand.
Estrella
Svar:
Att x tillhör nollrummet N(A) till A betyder att Ax = 0. Detta betyder i sin tur att x är ortogonal mot raderna i A, dvs. mot kolonnerna i At. Detta i sin tur är ekvivalent med att x tillhör det ortogonala komplementet till värderummet V(At) till At. N(A) är därför lika med det ortogonala komplementet till V(At). Detta leder till att V(At) är lika med det ortogonala komplementet till N(A). Att y tillhör V(At) betyder att yt = Atz, dvs y = ztA för någon vektor z. Skriver vi z = -lambda betyder detta att y + lambdatA = 0. Efter denna utredning ser vi att det räcker att visa att y = grad(F(x)) är ortogonal mot N(A).
Låt e1,e2,...,er vara en bas för N(A). Det gäller då att A(t1e1 + ... + trer + x) = b för alla (t1,...,tr). Funktionen G(t1,...,tr) = F(t1e1 + ... + trer + x) har därför ett lokalt minimum i t = 0, vilket medför att de partiella derivatorna (dG/dtk)(0) alla är noll. Enligt kedjeregeln är
| 0 | = (dG/dtk)(0) = (dF/dx1)(x)ek1 + (dF/dx2)(x)ek2 + ... + (dF/dxm)(x)ekm |
| = (grad(F(x)|ek), |
då k = 1,2,...,r. Gradienten är alltså ortogonal mot vektorerna ek och därför mot N(A).
Kjell Elfström
7 november 2004 12.42.00
Hej ! Gäller definitionen (6.7) på sidan 128,i Amstrongs bok,Basic Topology (Simplicial Approximation)för alla dimensioner ?
Johan
Svar:
I den bok jag har tillgång till är 6.7 en sats. Alla definitioner och satser på sidan 128 gäller i alla dimensioner.
Kjell Elfström
7 november 2004 12.13.30
Hej Kjell!
Jag skulle behöva hjälp med att visa två räknelagar för matriser:
A är en kxm-matris och B är en mxn-matris. Jag vill då visa
1. (AB)^T(transponatet) = B^T * A^T.
2. (AB)^H(konjugattransponatet) = B^H * A^H.
Svar:
Beteckna med Aij elementen i rad i, kolonn j, i matrisen A.
1) Det gäller att
och
Jag tror du klarar den andra uppgiften själv efter detta.
Kjell Elfström
6 november 2004 23.08.49
Vilket är det enklaste beviset att varje primtal av formen 4m+1 är summan av två heltalskvadrater? (Läste i ett bevis om Gaussiska primtal att det var "självklart", men hur?)
Pär
Svar:
Man visar i teorin för Gaussiska heltal att ett vanligt primtal är ett Gaussiskt primtal om och endast om p = 3 (mod 4). Om p = 1 (mod 4) så är primtalet p alltså inte ett Gaussiskt primtal. Det finns därför ett Gaussiskt heltal a + bi som inte är ett enhetselement ±1 eller ±i och heller inte är associerat med p men delar p i ringen av Gaussiska heltal. Om N betecknar normen så gäller det därför att N(a + bi) delar N(p) i ringen av heltal och 1 < N(a + bi) < N(p) = p2. I ringen av heltal är de enda positiva delarna till p2 talen 1, p och p2. Det gäller därför att N(a + bi) = p. Påståendet följer nu av att N(a + bi) = a2 + b2.
Kjell Elfström
6 november 2004 13.40.57
Jag har funderat över n-te roten ur a. Stämmer det att om:
n jämnt ==> positiva lösningen till x^n = a.
n udda ==> lösningen till x^n = a.
Om detta ej stämmer vilken är då den generella definitionen för n-te roten ur a ? Tack på förhand.
Johan
Svar:
Ja, det stämmer. Då n är jämnt måste a >= 0.
Kjell Elfström
6 november 2004 01.19.27
Hej igen!
jag har två frågor jag skulle vilja ställa:
Den första kräver lite bakgrundshistoria...
Jag frågade den 13 januari 2004 13.33.46 om en algoritm som kunde fylla polygoner eftersom jag inte var helt nöjd med min egenhändigt skrivna sådan. Jag fick svaret att en "Nonzero winding number rule"- algoritm var lösningen. Jag hade dock redan tittat på den och uteslutit den från mina försök när den var näst intill likvärdig med andra algoritmers prestationer. Helst skulle jag velat använda en flood filling algoritm då du själv får bestämma vilka delar som skall fyllas. Tyvärr är det omöjligt med tanke på att jag jobbar i JavaScript och algoritmen ska vara snabb nog att kunna konkurrera med en bild av motsvarande höjd och bredd i renderings- resp. nedladdnings-hastighet.
Efter mycket slit kom jag äntligen på lösningen. Jag använde mig av en blandning av min förra algoritm och en flood-filling algoritm. Dvs att den nya algoritmen jobbar utifrån ett antal givna punkter och den följer "insidan" av polygonens kanter (eller konturer).
Generellt sett blir fyllningen exakt likadan som om den gjorts med en flood-filling algoritm fast utan problemen med att algoritmen "läcker ut" mellan pixlarna och hamnar utanför polygonen om du förstår vad jag menar. Istället för att testa alla 8 närliggande pixlar som en floodfilling algoritm gör, kan man säga att min algoritm testar hela områden mellan konturer för att se om de ska fyllas eller inte. Detta gör den otroligt mycket snabbare.
Det är inte lätt att förklara i detalj hur den fungerar men jag är supernöjd med den. Jag kan inte beskriva den matematiskt heller eftersom den inte använder sig av formler etc.. Vill du ha en mer ingående förklaring kan jag skicka en med e-mail senare.
Hursomhelst, jag vill veta om någon annan kommit på några liknande algoritmer för fyllning av polygoner. De jag känner till är de vanliga varianterna på sveplinjekonvertering med Edge Tables etc och NZWNR som du nämnde samt Flood Filling med 4 eller 8 spridnings-riktningar. Den enda algoritmen som utåt sett beter sig näst intill exakt som min är "QuickFill: An efficient flood fill algorithm. By John R. Shaw" (Finns på Code Project), men koden är helt annorlunda.
Den andra frågan är också relaterad till polygoner, men denna gång hur man ritar dem. (Hmm, börjar jag bli tjatig? ;)
Jag kan nu rita upp polygoner med hjälp av raka linjer, men jag vill gärna kunna rita cirklar och elipser eller delar av dem också. Därför tänkte jag använda mig av samma sätt att göra en båge som man gör i FMS robotar. Dvs att jag defininerar en startpunkt, en mittpunkt och en slutpunkt på bågen och roboten rör sig då i en båge som överensstämmer med punkterna (i ett och samma plan). Problemet är att jag inte får detta att gå ihop.
I frågorna från 7 september 2004 22.31.31, 3 september 2003 15.06.39 och 22 maj 1998 14.32.37 tar du upp hur man finner mittpunkten för den cirkel som punkterna kan bilda. Vad jag vill veta är hur jag efterliknar den rörelse som roboten gör så att jag kan iterera mig igenom bågen, pixel för pixel så att säga, för att rita upp den på skärmen.
Att sedan fylla en polygon med en eller flera sidor som inte är raka är ingen skillnad mot en vanlig polygon med min algoritm så det är inga problem.
Hoppas du förstår vad jag menar, jag själv är som du märkt sen länge förlorad i polygonträsket...
Henrik
Svar:
Du verkare sitta djupare i polygonträsket än jag någonsin varit och när det gäller praktiska metoder för att fylla polygoner verkar du också kunna mer än jag. Jag tolkar den andra delen av frågan som att du vill rita upp cirkelbågar pixel för pixel och inte splines. Jag kan inte särskilt mycket om praktiska lösningar där heller. Det verkar dock vara klart att bågen bör parametriseras på något sätt. En cirkel med centrum i (c,d) och radie r kan parametriseras genom x = c + r cos kt, y = d + r sin kt, där k är en godtycklig konstant. Är k tillräckligt liten kommer varje pixel som cirkeln går genom att färgläggas när du ökar t med 1 för varje pixelfärgning. Problemet är att välja k optimalt, eller kanske till och med variera k, så att en och samma pixel inte färgas för många gånger, eftersom det gör algoritmen långsam. Dina problem har säkerligen lösts av datavetare. Jag föreslår att du skaffar dig någon datavetenskaplig bok som tar upp ämnet.
Kjell Elfström
6 november 2004 00.14.16
Hur visar man enklast att 1 + 1/2 + 1/3 ... + 1/n inte är ett heltal (för n>1)?
Pär
Svar:
Om n > 1 är ett heltal låter vi p vara det största primtalet <= n. Enligt Bertrands postulat finns det ett primtal q sådant att p < q < 2p och därför är n < 2p. Om an = 1 + 1/2 + ... + 1/n är ett heltal så är an⋅n! = summak = 1n n!/k delbar med p. Detta är dock omöjligt eftersom n!/p inte är delbar med p men varje annan term i summan är delbar med p. Påståendet är därmed bevisat.
Kjell Elfström
6 november 2004 00.11.49
Läste i Edwards "Fermatbok" Eulers bevis att varje primtal av formen 4n+1 är summan av två kvadrater. Mitt i beviset står "Let x be a factor of a^2+b^2. By division a=mx+/-c, b=nx+/-d where c and d are at most x/2 in absolute value". Hur kan detta resonmang "räddas" då varje faktor av a^2+b^2 är större än både a och b (t.ex. i fallet 11^2+10^2=221=17x13)?
Pär
Svar:
Jag kan inte inse att det krävs någon räddningsinsats. Divisionsalgoritmen säger att om a och x är positiva heltal så finns det heltal q och r, sådana att 0 <= r < x och a = qx + r. Om r <= x/2 så kan vi sätta m = q och c = r. Om x/2 < r < x så är a = (q + 1)x - (x - r) och vi kan sätta m = q + 1 och c = x - r. För x = 17 är 10 = 0⋅17 + 10 = 1⋅17 - 7 och 11 = 0⋅17 + 11 = 1⋅17 - 6.
Kjell Elfström
6 november 2004 00.00.36
Räknade ut formlerna för "3 heltalskvadrater på lika avstånd" (t.ex. 1, 25, 49 eller 49, 169, 289). Det lär inte finnas "4 heltalskvadrater på lika avstånd". Finns det ett enkelt bevis för detta?
Pär
Svar:
Om det finns fyra heltalskvadrater på lika positivt avstånd så finns det fyra heltalskvadrater x2 < y2 < z2 < w2 sådana att det gemensamma positiva avståndet w2 - z2 = z2 - y2 = y2 - x2 är det minsta möjliga. Vi skall visa att detta är omöjligt med hjälp av ett motsägelsebevis där vi visar att i så fall finns det fyra heltalskvadrater på mindre positivt avstånd.
Om avståndet är minimalt så måste x,y,z,w vara parvis relativt prima. Om t ex primtalet p delar både x och y så delar det också y och z och slutligen z och w. Vi kan då dividera de fyra talen med p och få fyra kvadrater med mindre gemensamt avstånd. Att visa att två tal som inte ligger direkt intill varandra är relativt prima är något litet besvärligare men du klarar säkert av den detaljen själv. Det följer nu att alla fyra talen är udda. Om t ex w är jämnt så ger den första avståndslikheten att också y är jämnt och detta strider mot att w och y är relativt prima. Även här överlåter jag detaljerna åt dig.
Eftersom z och x är udda finns det heltal u och v sådana att z + x = 2u och z - x = 2v. Det följer att z = u + v och x = u - v. Man inser också att u och v är relativt prima eftersom x och z är relativt prima. Avståndslikheterna ger nu att y2 = (x2 + z2)/2 = u2 + v2. Det gemensamma avståndet är (1/2)(z2 - y2 + y2 - x2) = (z2 - x2)/2 = 2uv. Vi har också att w2 - y2 = z2 - x2 = 4uv, varav ((w - y)/2)((w + y)/2) = uv. Här är faktorerna till vänster relativt prima liksom faktorerna till höger. Det medför att det finns fyra parvis relativt prima tal a, b, c och d, ett jämnt och de övriga udda, sådana att u = ab, v = cd, w + y = 2ac och w - y = 2bd. Vi noterar också att det gemensamma avståndet är 2abcd. Vi får att y = ac - bd varefter y2 = u2 + v2 ger att (ab)2 + (cd)2 = (ac - bd)2. Vi skall nu utifrån enbart denna likhet konstruera fyra kvadrater på ett positivt gemensamt avstånd som är mindre än 2abcd. På grund av symmetri kan vi antaga att c är jämnt. Skulle t ex a vara jämnt i stället kan vi låta a och c byta namn med varandra och b och d med varandra. Ekvationen kommer fortfarande att vara uppfylld och kvantiteten 2abcd kommer att vara oförändrad. Ekvationen kan skrivas c2 + 2c(abd/(d2 - a2)) = b2 och kvadratkomplettering ger att
Detta visar att heltalet a4 + d4 - a2d2 är kvadraten på ett rationellt tal och därför kvadraten på ett heltal p. Vi har alltså att
och att p är udda. Eftersom a och d är udda och relativt prima så finns det relativt prima heltal e och f sådana att a2 = e + f och d2 = e - f. Sätter vi in detta i fjärdegradsekvationen får vi
Räkning modulo 4 ger att e är udda och f är jämn. Vi får
Det gäller därför att antingen p - e eller p + e är delbar med 3. Sätt g = -e i det första fallet och g = e i det andra så att 3 delar p + g. På grund av att (p + g)/6 och (p - g)/2 är relativt prima och att deras produkt är en heltalskvadrat så är de själva heltalskvadrater,
Här är q och r relativt prima, en udda och den andra jämn. Löser vi ut p och g får vi p = 3q2 + r2 och g = 3q2 - r2. Sätter vi in i uttrycket för 3(f/2)2 får vi f = ±2qr. Insättning i uttrycken för a2 och d2 ger att en av dessa är ±(3q2 - r2 + 2qr) = ±(q + r)(3q - r) och att den andra är ±(3q2 - r2 - 2qr) = ±(q - r)(3q + r). Eftersom q + r och 3q - r är relativt prima liksom q - r och 3q + r så är |r - 3q|, |r - q|, |r + q| och |r + 3q| alla kvadrater på heltal. Vi visar nu att (r - 3q), (r - q), (r + q) och (r + 3q) alla har samma tecken. Om det inte är så, så finns det antingen två negativa i följd vid sidan av en positiv eller två postiva i följd vid sidan av en negativ. Eftersom absolutbeloppen är kvadrater skulle vi få att C2 - B2 = B2 + A2, eller C2 - A2 = 2B2. Eftersom A, B och C är udda så är vänsterledet kongruent med 0 medan högerledet är kongruent med 2 modulo 4, vilket ger en motsägelse. r - 3q, r - q, r + q och r + 3q är därför kvadrater med det gemensamma avståndet 2q. Eftersom alla hade samma tecken är 3q < r. Nu ger p = 3q2 + r2 att p > 12q2. Fjärdegradsekvationen ger att p2 < a4 + d4 + 2a2d2 = (a2 + d2)2, varav p < a2 + d2. Det följer att 12q2 < 2⋅max(a2,d2), varför 2q < max(a,d) <= 2abcd.
Kjell Elfström
5 november 2004 19.25.11
Bestäm ekvationen för normallinjen till grafen av funktionen f(x,y)=(sin y)e^(-x^4) i punkten (x,y)=(0,3).
Emma Niitynperä
Svar:
Vi har att df/dx = -4x3sin y e-x4 och df/dy = cos y e-x4. I punkten (0,3) är de partiella derivatorna därför lika med 0 resp. cos 3. Tangentplanets ekvation är z = 0(x - 0) + (cos 3)(y - 3). En normalvektor till planet är (0,cos 3,-1). Normallinjens ekvation på parameterform blir (x,y,z) = (0,3,sin 3) + t(0,cos 3,-1).
Kjell Elfström
5 november 2004 15.24.15
Hejsan håller vi på att räkna med Volym i skolan, och sak ha matteprov på måndag, Min fråga är hur man räknar ut Basytan? jag har glömt bort det eftersom jag inte har räknat på ett tag.
Emme
Svar:
Hur man räknar ut arean av en basyta beror på till vilket slags figur basytan hör.
Kjell Elfström
5 november 2004 02.34.13
Finns det något annat enkelt bevis för att visa att roten ur 2 är irrationellt, än det vanliga motsägelse beviset ? Tack på förhand.
Johan
Svar:
Jag känner inte till något annat enkelt bevis för att roten ur 2 är irrationell.
Kjell Elfström
4 november 2004 21.21.06
hej,
jag undrar hur ett induktionsbevis på euler's relation för planära grafer ser ut. jag har letat överallt men kan inte hitta det.
Peter Zarén, 14 år
Svar:
Se t ex Section 3: Planar Graphs.
Kjell Elfström
4 november 2004 11.21.54
Hej ! Tack för svaret från den 28 oktober 2004 13.47.20 skulle du kunna tillämpa definitionen 6.5 på sidan 128 i Amstrongs bok på exemplet på sidan 129 i fallet f:K^2 -> L där ju då F(ax+by)= aF(x)+bF(y) måste bli negativ i fråga om det är en linjär avbildning eller är det omöjligt ?
Studerande,Stockholm
Svar:
Jag skriver ju i svaret du hänvisar till att lineär avbildning i detta sammanhang betyder vanlig lineär avbildning eventuellt sammansatt med en translation.
Kjell Elfström
4 november 2004 10.46.59
Hej ! Ursäkta men jag skrev fel det ska heta "windingnumber" och inte "linkingnumber" som det frågades om.På tyska "Verschlingungszahl",så går det att förklara utförligt vad det innebär så vore jag tacksam !
Artur Kloos,Älvsjö
Svar:
Det är antalet gånger en sluten kurva går runt en punkt. Se Contour Winding Number.
Kjell Elfström
4 november 2004 10.33.40
Hej,
Jag heter Gamini Samarasinghe och hjälper några indiska studenter vid Kristianstads Universitet med deras anpassning här. En av de studenter som gör sin Masters in Embedded Systems har frågat mig om möjligheten att kontakta någon i Lunds Universitet angående några original kunskaper inom sitt område(jag är en gammal biokemist och vet inte vad han tala om!).
Kan du hjäper mig med detta så att jag kunde överföra .
TACK
Här nedan är hsns ord...
"The new methods which i have found is on sequencing and transportation.The subject is operation research.This subject is studied by M.B.A students.Its a mathematical and logical subject"
Gamini Samarasinghe
Svar:
Jag känner ingen matematiker som sysslar med operationsanalys, som väl får anses vara tillämpad matematik. Det ges kurser i ämnet i tekniska, ekonomiska och statistiska utbildningar bland annat.
Kjell Elfström
4 november 2004 00.02.25
Hej Kjell!
Söndagen den 31/10 skrev några professorer i matematik på DNs debattsida att de ville reformera matematikundervisningen i skolorna och att de inte tyckte matematik var "viktigt" för alla att lära sig och att man skulle inrikta utbildningen mot mer av beräkningsmatematik. Har du läst artikeln? I så fall skulle det vara intressant och höra dina tankar kring detta.
Anders
Svar:
Jag har läst artikeln. Det är klart att beräkningsmatematiken får en allmer betydande ställning. Det är också klart att det behövs specialister i matematik, både beräkningsmatematik och annan, och att inte alla kan eller vill bli det. Jag tycker dock inte att matematikundervisningen skall differentieras alltför tidigt utan att samtliga skolelever skall få en god matematisk grund att stå på. Intresset hos många matematikintresserade vuxna väcktes också i skolan och risken är stor att färre förmås att intressera sig för matematik med en mer differentierad undervisning. I takt med ökad användning av beräkningsmatematik bör även denna inlemmas i skolundervisningen i större utsträckning men det betyder inte att den traditionella matematiken blir mindre viktig. Den utgör ju en bas för beräkningsmatematiken samtidigt som den på ett utmärkt sätt synliggör de logiska resonemang som all vetenskap bygger på. Sist men inte minst så utgör den en del av vårt kulturarv. Jag tror inte vi skulle vilja vara utan undervisningen i ämnen som litteraturvetenskap, religionskunskap och andra främmande språk än engelska även om man kan ifrågasätta nyttan av dessa ämnen. Eller är det kanske tillräckligt att några få specialister vet vem Strindberg är?
Kjell Elfström
3 november 2004 23.23.11
Läser just nu om partiella derivator i flervariabelanalysen, och har kommit till differentialekvationer. Då gör vi som så att vi får ett variabelbyte, transformerar derivatorna till dessa variabler å sätter in i ekvationen som då (förhoppningsvis) förenklas. Men hur funkar detta egentligen, känns lite hokus pokus över det när det gäller vad man får och inte får göra. Vår föreläsare sa i princip bara "använd kedjeregeln å sätt in i ekvationen, strunta i varför det blir rätt" men hur fungerar det egentligen och varför får man göra så? I en uppgift skulle man t, ex visa att en viss funktion uppfyller en differentialekvation.. Man byter t, ex till u = x+y v = x*y transformerar, och får en differentialekvation med bara u och v.. och ser att denna är "samma" som den givna, fast med u och v istället för x och y, och då är de samma (trots att u och v egentligen är funktioner av x och y). Hur går det till egentligen, strikt matematiskt utan "trix"?
Eddie
Svar:
Låt oss antaga att vi vill lösa differentialekvationen df/dx - df/dy = 0, där f är en funktion av de två variablerna x och y. Funktionen F(x,y) = (x + y,x - y) är en bijektion av R2 på R2 och den har därför en invers G. Eftersom (u,v) = F(x,y) är ekvivalent med att x = (u + v)/2 och y = (u - v)/2 är G(u,v) = ((u + v)/2,(u - v)/2). Vi har därför att f = f o G o F, där ringen betecknar sammansättning. Kallar vi f o G för g har vi alltså att f = g o F. Nu är F(x,y) = (u,v), där u = x + y och v = x - y och vi kan skriva
Kedjeregeln gär att
| df/dx = | (dg/du)(du/dx) + (dg/dv)(dv/dx) = dg/du + dg/dv |
| df/dy = | (dg/du)(du/dy) + (dg/dv)(dv/dy) = dg/du - dg/dv |
där t ex dg/du skall tolkas som derivatan av g med avseende på u i punkten (x + y,x - y). Vi ser nu att df/dx - df/dy = 2dg/dv och differentialekvationen kan alltså skrivas
Detta skall egentligen tolkas som att
för alla x och y. Eftersom funktionen F är en bijektion är det ekvivalent med att
Det ger att g(u,v) = c(u), där c är en deriverbar funktion av en variabel. Vi får att
Som du märker blir framställningen tung och därför väljer man vanligen att ge funktionen g samma namn som den ursprungliga funktionen f. Man skriver då f(u,v) när man menar g(u,v) medan f(x,y) betecknar det som det ser ut att beteckna.
Kjell Elfström
3 november 2004 18.48.47
Varifrån har hagelkornsproblemet fått sitt namn?
Gymnasielärarkandidat
Svar:
Jag kände innan jag fick denna fråga inte till något problem med det namnet men förstår nu att det handlar om Collatz problem. Den något krystade förklaringen kan du läsa på sidan Hailstone Number.
Kjell Elfström
3 november 2004 16.31.14
Hej.
Jag har ett problem som handlar om texas hold em, ett poker spel. Jag hoppas nu att du vet hur det går till =) Om en person sitter på pocket 2:or (hjärter 2 och ruter 2), och en annan sitter på Ess och Kung, båda i klöver på hand. Hur gör man då för att räkna ut sannolikheten för någon av dem att vinna..?
Det jobbiga är ju att räkna med färgen, stege, räkna bort sannolikheten för att den andra inte prickar en tvåa osv..
är grymt tacksam för svar!
matte
Svar:
Det går förvisso att gå igenom alla möjliga utfall för de fem återstående korten men det är som du insett ett ganska omfattande arbete. Jag skulle föreslå en datorsimulering.
Kjell Elfström
3 november 2004 12.48.10
Hej!
Om jag har en ekvation r1XF1=r2XF2, där ri och Fi är vektorer i rummet och X bet vektorprodukten. hur gör jag då för att lösa ut F1.
Alex
Svar:
Kalla r2×F2 för v. Vi betraktar ekvationen r×F = v. På grund av vektorproduktens definition är v vinkelrät mot både r och F. Om r inte är vinkelrät mot v finns det alltså ingen lösning alls. Antag därför att r och v är vinkelräta. Det måste gälla att r, F och v är positivt orienterade. Det betyder att sett från spetsen av v sker den minsta vridning som överför vektorn r på en vektor lika riktad som F moturs. Låt F ' vara en vektor av längden 1 som är vinkelrät mot v och sådan att r, F ' och v är positivt orienterade. Låt t vara vinkeln mellan r och F '. Då löser F = (|v|/(|r| sin t))F ' ekvationen. Det finns alltså oändligt många lösningar
Kjell Elfström
3 november 2004 12.37.53
vilka anser ni vara de viktigaste skälen att undervisa om funktioner och geometri i grundskulans matematikkurser?
shpend
Svar:
Att ta upp annat i matematikundervisningen än ren räknefärdighet stimulerar eleverna och gör matematikämnet mer intressant. Geometri är en förträfflig del av matematiken när det gäller att förstå hur matematiken är uppbyggd logiskt med postulat och satser som följer av postulaten. Dessutom är ju resultaten ganska påtagliga. Man måste naturligtvis iakttaga en viss försiktighet men det skadar inte prova på viss enkel bevisföring på ett tidigt stadium.
Kjell Elfström
3 november 2004 01.46.57
Angående svaret 21 oktober 2004 20.25.20. Då skrev du: "För tidshomogena Markovprocesser är det tiden som processen är i ett visst tillstånd som är exponentialfördelad. Därför är antalet tillståndsändringar per tidsenhet Poissonfördelat." Hur kommer du fram till detta ? Jag tror att tiden som processen är i ett visst tillstånd är exponentialfördelad pga tidshomogeniteten, men jag förstår inte hur man utifrån detta inser att antalet tillståndsändringar per tidsenhet är Poissonfördelat
? Tack på förhand.
Johan
Svar:
Du får nöja dig med följande heuristiska bevis. Om tiden mellan två händelser är exponentialfördelad så är sannolikheten att en händelse inträffar i ett tidsintervall av längden t lika med 1 - e-rt och sannolikheten att ingen inträffar under denna tid är därför lika med e-rt. Vi söker nu sannolikheten att m händelser inträffar under ett tidsintervall av längden t. Dela in tidsintervallet i n tidsintervall, alla av längden t/n. Om n är tillräckligt stort så är sannolikheten att mer än en händelse inträffar i ett visst tidsintervall av längden t/n försumbar. Vi kan därför antaga att ingen eller en händelse inträffar i varje delintervall. Att m händelser inträffar under hela intervallet är då detsamma som att en händelse inträffar i m av delintervallen och ingen i de övriga. Sannolikheten för detta är
| (nm)(1 - e-rt/n)m(e-rt/n)n - m | = (1/m!)(n!/(n - m)!)(1 - e-rt/n)me-rtemrt/n |
| = (1/m!)(n!/(nm(n - m)!))((1 - e-rt/n)/(rt/n))me-rtemrt/n(rt)m. |
Låt nu n -> oo så går detta mot (1/m!)e-rt(rt)m.
Kjell Elfström
2 november 2004 17.31.36
Hej Kjell!
I en rätvinklig triangel är hypotenusan 39 cm och den ena kateten 36 cm. Beräkna längden av den andra kateten.
Petra
Svar:
Använd Pythagoras sats. Om den sökta kateten är x så är x2 + 362 = 392, varav x2 = (39 + 36)(39 - 36) = 3⋅3⋅25, vilket ger att x = 3⋅5 = 15.
Kjell Elfström
2 november 2004 15.26.41
Jag har en fråga angående hur man beräknar en signals periodogram.
Enligt litteraturen är peridogramet (power spektrum) lika med 1/N*abs(Zn(f))^2 där Zn(f) är den diskreta fouriertransformen av signalen i fråga. När jag skall göra detta i Matlab har jag hittat oliktydiga instruktioner för hur man skall göra. I de flesta fall enligt nedan:
%--Matlabkod------------------------------- ym=y-mean(y) ; Yfou=fft(ym) ; n=length(Yfou) ; n2=n/2+1; power=(abs(Yfou(1:n2)).^2)/n; nyquist=1/2; pfreq=(0:1:n/2); largofre=length(pfreq)-1; freq=pfreq/(largofre)*nyquist; plot(freq,power) %--------------------------------------------(Den exakta koden/syntaxen är i sig inte viktig utan beräkningarna som genomförs.) Jag har inga problem att förstå det som görs ovan, vilket jag tycker är helt enligt annan litteratur jag läst, men däremot blev jag förundrad när jag läste på Mathworks supportsida och hittade en annorlunda beskrivning hur man går tillväga (i Matlab):
%----------------------------------------------------------------------------------------------------- % http://www.mathworks.it/support/tech-notes/1700/1702.html, nedan ett utdrag. % FFT is symmetric, throw away second half FFTX = FFTX(1:NumUniquePts); % Take the magnitude of fft of x MX = abs(FFTX); % Scale the fft so that it is not a function of the % length of x MX = MX/length(x); % Take the square of the magnitude of fft of x. MX = MX.^2; % Multiply by 2 because you % threw out second half of FFTX above MX = MX*2; % DC Component should be unique. MX(1) = MX(1)/2; % Nyquist component should also be unique. if ~rem(NFFT,2) % Here NFFT is even; therefore,Nyquist point is included. MX(end) = MX(end)/2; end %----------------------------------------------------------------------------------------------------Här väljer de att multipicera med 2 för "andra halvan är borttagen" (MX = MX*2; ). Detta finner jag konstigt. Vad finns det för anledning till det? Det enda jag kan tänka mig är att man vill att integralen över periodogrammet skall vara lika med signalens varians (i alla fall ungefär lika numeriskt) eftersom periodogram väl kan ses som en skattning av en signals (process) spektrum (och att -oo§+oo (spektrum) = V(process) ).
Är detta måntro en fråga om olika "redovisningtekniker" av periodogram eller är det helt enkelt fel att multiplicera med 2 enligt ovan? Att bara redovisa "halva" periodogrammet är väl mer ett sätt att slippa visa både negativa och positiva frekvenser, i och med man vet att det är symmetri. Och därmed "bryter" man väl inte mot att integralen över periodogrammet skall vara lika med processes varians bara för att man endast redovisar "halva ytan", dvs det är underförstått att "halva ytan" inte redovisas.
Vill också tacka för ett utomordentligt frågeforum.
Mvh
Martin
Martin H
Svar:
Jag tror som du, att det handlar om olika redovisningstekniker. Se Spectral Analysis, särskilt stycket längst ner som handlar om ensidig PSD.
Kjell Elfström
2 november 2004 13.30.44
Hej!
f(n) = n - f(f(n-1)) och f(0) = 0. Finn f(10 000 000 000).
Jag har bevisat vissa enkla observationer hos funktionen, som t.ex att den aldrig är avtagande och att den är växande och också att det högst kan uppkomma två likadana funktionsvärden efter varandra, dvs f(k) = f(k+1) = f(k+2) är omöjligt utan f(k+2) måste i det fallet vara f(k+2) = 1 + f(k+1) (om f(k) = f(k+1)). Därefter har jag snabbt experimenterat lite och räknat ut några värden upp till n = 50 ungefär och observerat att varannan gång det sker en ändring så händer följande:
jag börjar räkna från n = 3. Vid varannan ändring i funktionsvärdet så är n = 3k fyra ggr i rad, därefter 3k+1 fyra ggr i rad och så fortsätter det så cykliskt. Dvs n = 3, sen följer: 3,6,9,12,16,19,22,25,29,32...osv. Med hjälp av det här mönstret (som jag inte bevisat än) så får jag f(10 000 000 000) = 6153846154. Är det rätt? Har också testat med att approximera funktionen med några elementära funktioner men har inte lyckats så bra. Jag skulle gärna vilja se Er lösning på problemet.
Tacksam för svar.
Danne
Svar:
Detta är den så kallade Hofstadters G-följd. Den återfinns på sidan 137 i Douglas Hofstadter: Gödel, Escher, Bach. Man kan visa att f(n) = Fk - 1 + f(n - Fk), där Fk är det Fibonaccital som uppfyller att Fk <= n < Fk + 1. Fibonaccitalen definieras rekursivt genom F 0 = 0, F1 = 1, Fn + 2 = Fn + 1 + Fn då n >= 0. Det är välkänt att Fk = 5-1/2(s-k + (-s)k), där s = (51/2 - 1)/2. Det gäller att f(n) = [s(n + 1)], där [x] betecknar heltalsdelen av x. Detta bevisas av V. Granville och J. P. Rasson, i A strange recursive relation, J. Number Theory, 30 (1988), 238-241. Beviset är ganska elementärt men något för omfattande för att återges här. Det gäller att f(10000000000) = [10000000001s] = 6180339880. Jag tvivlar på att det mönster du observerade skulle gälla för hela följden med tanke på att s är ett irrationellt tal.
Kjell Elfström
2 november 2004 10.41.04
Jag fick följande lösningsförslag (av en elev) på ekvationen:
z+iz=i
(z+iz)^2=i^2
z^2+2iz^2-z^2=i^2
2iz^2=i^2
2z^2=i
z=+-sqrt(i/2)
Med en annan lösningsmetod blir svaret:
z=(i+1)/2
Är dessa svar överensstämmande?
Carl Fredrik Egeberg
Svar:
Den kvadrerade ekvationen har två lösningar medan den ursprungliga ekvationen bara har en. Ekvationerna kan därför inte vara ekvivalenta. Betrakta den mycket enkla ekvationen x = 1, som naturligtvis bara har roten x = 1. Kvadrerar vi båda leden får vi x2 = 1, en ekvation med rötterna x = ±1. Kvadrerar man båda leden i en ekvation så kan man normalt inte gå tillbaka till den ursprungliga ekvationen eftersom det normalt finns två kvadratrötter. Förutom att elevens metod tillför en falsk rot kan man anmärka på att det inte är klart vad sqrt(w) betyder då w inte är ett icke-negativt reellt tal. Eftersom ((i + 1)/2)2 = i/2 så är (i + 1)/2 en kvadratrot till i/2 och den andra är naturligtvis -(i + 1)/2. Vilken av dessa skall vara kvadratroten i bestämd form på samma sätt som kvadratroten ur 4 är 2 (och inte -2)?
Kjell Elfström
2 november 2004 02.36.54
Hej om man tar en kortlek, och slumpmäsigt lägger upp fyra kort på bordet hur stor är sanolikheten att ett kort eller flera är hjärter.
Rasmus Lundin
Svar:
Antalet sätt att välja ut 4 kort är (524) = 52⋅51⋅50⋅49/(1⋅2⋅3⋅4). Vi räknar nu först ut antalet kombinationer där inget kort är hjärter. Vi har då 39 kort att välja bland och antalet sådana kombinationer blir (394) = 39⋅38⋅37⋅36/(1⋅2⋅3⋅4). I de återstående kombinationerna är minst ett kort hjärter och det finns (524) - (394) sådana kombinationer. Den sökta sannolikheten är därför ((524) - (394))/(524) = 1 - 39⋅38⋅37⋅36/(52⋅51⋅50⋅49) = 14498/20825.
Kjell Elfström
1 november 2004 23.49.47
1. Man börjar med en kvadrat.
2. dubbla antalet hörn så att sträckan mellan ett hörn och det motsatta hörnet alltid blir densamma som diagonalen från ursprungskvadraten.
3. upprepa steg 2 oändligt många gånger. Man har då fått fram en cirkel. Varför räknas då inte cirkeln som en fraktal? När man zoomar in på cirkeln så upprepar den sig själv på så sätt att kanten hela tiden är ett böjt streck (ju mer man zoomar desto rakare blir strecket). Om man jämför med Kochs snöflinga tycker jag inte skillnaden är så stor förrutom att snöflingans omkrets är oändlig. Dock har jag aldrig läst detta som ett kriterium för fraktaler.
Leo Taslaman
Svar:
En fraktal är en figur vars topologiska dimension är skild från dess Hausdorffdimension. För en cirkel är båda storheterna lika med 1. Se Fractal Curves and Dimension och 10 april 2001 16.38.19. Att en figur består av mindre kopior av sig själv kan inte tas som definition på att figuren är fraktal. Då skulle ju t ex linjestycken vara fraktaler också.
Kjell Elfström
1 november 2004 21.58.08
Om man vill veta egenvärdena för en projektion, går man ju tillväga så här:
(a - egenvärdet, P(e) = ae, där e är vår egenvektor.)
ae = P(e)= P(P(e))=P(ae)=aP(e)=aae
<=>
ae = aae
eller
(a-aa)e = 0
Detta ger a=0, eller a = 1
Men om man nu gör så att man projicerar 3 ggr
istället för två, dvs
ae =...= P(P(P(e)))=...= aaae
så får man (a-aaa)e = 0
som har lösningarna
a1=0 a2=1 a3=-1
Dvs 3 egenvärden.
Varför blir det så här? Hur många egenvärden har egentligen en projektion?
Per Rosqvist
Svar:
Av att a är ett egenvärde följer att det finns en vektor e <> 0 sådan att ae = a2e och därför att a = 0 eller a = 1. Påståendena är dock inte ekvivalenta och man kan inte sluta sig till att a är ett egenvärde om a = 0 eller a = 1. Den enda slutsats vi kan dra är att det inte finns andra egenvärden än 0 och 1. Den identiska avbildningen I och nollavbildningen 0 är också projektioner. Den första har bara egenvärdet 1 och den andra bara egenvärdet 0. Om u ligger i nollrummet till P så är Pu = 0. Om nollrummet inte bara består av vektorn 0 så är alltså 0 ett egenvärde. Om u ligger i värderummet till P så är u = Pv och därför Pu = PPv = Pv = u. Om värderummet inte bara består av vektorn 0 så är 1 ett egenvärde.
Kjell Elfström
1 november 2004 20.35.45
Hur bevisar man de Moivres formel?
Per Rosqvist
Svar:
De Moivres formel säger att
om n är ett heltal och x ett reellt tal. Man kan visa att den gäller för naturliga tal n med induktion. Den är uppenbarligen sann för n = 0. Antag att den är sann för ett visst naturligt tal n. Då är
| (cos x + i sin x)n + 1 | |
| = (cos x + i sin x)n(cos x + i sin x) = (cos nx + i sin nx)(cos x + i sin x) | |
| = cos nx cos x - sin nx sin x + i(cos nx sin x + sin nx cos x) | |
| = cos(nx + x) + i sin(nx + x) = cos (n + 1)x + i sin (n + 1)x |
enligt de trigonometriska additionsformlerna. Att den är sann för negativa heltal följer sedan av att
| (cos x + i sin x)-n | = 1/(cos x + i sin x)n = 1/(cos nx + i sin nx) |
| = (cos nx - i sin nx)/((cos nx + i sin nx)(cos nx - i sin nx)) | |
| = (cos nx - i sin nx)/(cos2 nx + sin2 nx) = cos(-nx) + i sin(-nx) |
då n är ett positivt heltal.
Kjell Elfström
1 november 2004 19.51.51
Vad menas med ett "Heuristiskt bevis" ? Tack på förhand.
Johan
Svar:
Heureka - jag har funnit det - lär ha varit vad Arkimedes utropade när han upptäckte Arkimedes princip. Heuristik betecknar metoder att finna ny relevant kunskap samt läran om dessa. När man söker lösningen på ett matematiskt problem eller försöker bevisa en sats försöker man ofta att dela upp problemet i mindre bitar, finna likheter med andra matematiska problem som redan har lösts osv. Man blir kanske av dessa överväganden övertygad om att satsen är sann. Förhoppningen är att man utifrån detta heuristiska bevis skall kunna konstruera ett stringent bevis för sitt påstående.
Kjell Elfström
1 november 2004 16.28.16
Hur bevisar man att, av tre udda tal i rad så måste ett vara delbart med 3 ? Tack på förhand.
Johan
Svar:
De tre talen kan skrivas a, a + 2 och a + 4. Då a = 0, 1 och 2 (mod 3) så är a = 0, a + 2 = 0 resp. a + 4 = 0 (mod 3).
Kjell Elfström
1 november 2004 16.02.40
Hur kan man på ett enkelt och pedagogiskt sätt förklara vad ett bi-linjärt samband innebär?
Tobias
Svar:
Låt f vara en avbildning från U ×V till W, där U, V och W är vektorrum. Då är f bilineär om avbildningen g(x) = f(x,y) är lineär för varje fixt y och avbildningen h(y) = f(x,y) är lineär för varje fixt x. Att en avbildning g av en variabel är lineär betyder att g(a1x1 + a2x2) = a1g(x1) + a2g(x2) för alla skalärer a1 och a2 och alla vektorer x1 och x2. Ett exempel på en bilineär avbildning från R×R till R är f(x,y) = xy.
Kjell Elfström
1 november 2004 12.33.39
jag har fått en uppgift som lyder: Hur stor area har figuren?
Figuren ser ut lite som en barbapappa. hur gör jag?
Anna h c
Svar:
Det kan jag inte svara på med så knapphändig information.
Kjell Elfström
Innehållsansvarig är Kjell Elfström