Fråga Lund om matematik

Frågor och svar oktober 2008


31 oktober 2008 20.16.17
I en bok jag har är en övningsuppgift att använda medelvärdet av funktioner på intervall [a,b]. Där ges formeln för medelvärdet M av en funktion f(x) till:
M = 1/(b - a) * \int_{a}^{b} f(x) dx
Jag undrar om man kan motivera denna formel på något vis. Integralen ger ju ett värde på arean, och b - a kan ses som längden på området. Så dessa delat med varandra (om det vore ett perfekt rektangulärt område) skulle ge höjden på området. Men, hur motiverar man formeln mer allmänt?
Hedlund

Svar:

Det vanliga medelvärdet av n tal y1,y2…,yn är (y1 + y2 + … + yn)/n = (1/n) ∑k = 1n yk. Dela upp intervallet i n lika stora delintervall med mittpunkterna xk, k = 1,2,…,n. Varje delintervall har då längden Δx = (b − a)/n. Approximera funktionen med yk = f(xk) i det k:e intervallet. Medelvärdet av dessa y-värden är (1/n) ∑k = 1n yk = (1/(b − a)) ∑k = 1n f(xk) Δx, som har gränsvärdet (1/(b − a)) ∫ab f(xdx, då n → ∞, eftersom summan är en Riemannsumma.

Kjell Elfström


31 oktober 2008 20.11.22
Heej! Jag skulle behöva hjälp angående begränsningsarea geometri. Hur räknar man ut det här? Vilka mått har en kub som har begränsningsarean 54cm2???
Matilda

Svar:

Kuben begränsas av sex kvadrater. Om kubens kant är x, så har varje kvadrat sidan x. Arean av en sida är därför x2, och begränsningsarean är 6x2 = 54. Det ger att x2 = 9, varför x = 3. Svaret är alltså att kubens sida är 3 cm.

Kjell Elfström


31 oktober 2008 15.50.27
I matematiken finns det olika typer av tal, som tex. ett naturligt tal som betecknas med versalt N. Kan detta användas i logiska sammanhang som tex. 15+2=N ? Tack på förhand!
Christoffer Ekblom

Svar:

Om N betecknar ett naturligt tal, kan det naturligtvis vara så att 15 + 2 = N, och i så fall är N = 17. Mängden av naturliga tal brukar betecknas N, och det är inte så att 15 + 2 = N. Du skall kanske förtydliga frågan.

Kjell Elfström


31 oktober 2008 09.34.54
Hur många kor har en bonde ungifär.
Maja

Svar:

Detta är ingen matematikfråga.

Kjell Elfström


30 oktober 2008 10.34.58
Hejsan.
Hur avgör jag om serien ∑ 2ⁿ/n! (Intervallet nedre gräns n=1, och övre ∞) är konvergent eller divergent?
Sabrina Hajduk

Svar:

Eftersom den allmänna termen an är en produkt, ligger det nära till hands att försöka med d´Alemberts kriterium. Det gäller att

an + 1/an = (2n + 1/(n + 1)!)/(2n/n!) = 2n!/((n + 1)n!) = 2/(n + 1) → 0 < 1,   då n → ∞,

vilket visar att serien är konvergent. Man kan också använda jämförelsesatsen mer direkt. Då k ≥ 2 är 2/k ≤ 1. Då n ≥ 3 gäller därför att

an = (2/1)(2/2)…(2/(n − 2))(2/(n − 1)(2/n) ≤ 2⋅1⋅…⋅1⋅(2/(n − 1))(2/n) ≤ 8/(n − 1)2.

Att serien konvergerar följer nu av att ∑(1/n2) är konvergent.

Kjell Elfström


30 oktober 2008 10.22.40
Hej!
Jag skulle behöva hjälp med att lösa en differentialekvation med hjälp av laplacetranform.
dp/dt=rp - W
p(0)=p.
för t>0 , r och W är konstanter.
Dino D

Svar:

Om L(φ) betecknar Laplacetransformen av funktionen φ, så gäller det att L(φ′)(s) = sL(φ)(s) − φ(0). Jag väljer att beteckna p(0) med q för att undvika sammanblandning. Då är L(dp/dt)(s) = sL(p)(s) − q. Detta är Laplacetransformen av ekvationens vänsterled. För att beräkna Laplacetransformen av högerledet utnyttjar vi att L(1)(s) = 1/s och att transformen är lineär. Transformen av högerledet är därför rL(p)(s) − W/s. Vi får sL(p)(s) − q = rL(p)(s) − W/s, vilket kan skrivas L(p)(s) = (sq − W)/(s(s − r)). Partialbråksuppdelar vi högerledet, får vi

L(p)(s) = A/s + B/(s − r),

där A = W/r och B = (rq − W)/r. Utnyttjar vi nu att L(eat)(s) = 1/(s − a), kan vi skriva högerledet som AL(1)(s) + BL(ert)(s). Utnyttjar vi lineariteten, får vi ekvationen

L(p)(s) = L(A + Bert)(s).

Det faktum att Laplacetransformen är omvändbar ger sedan att

p = A + Bert.

Kjell Elfström


28 oktober 2008 15.43.09
mängden av alla reella tal som uppfyller ekvationen X^2 - 5 = 0 jag vill se hur du har kommit till lösningen. och även denna fråga Hur många delmängder har mängden {1, 2, 5, 7, 8} visa hela lösningen
Hemin Adam

Svar:

Ekvationen har lösningarna x = ±√5, så mängden blir {−√5,√5}.

Varje mängd med n element har 2n delmängder. En delmängd är bestämd när vi avgjort vilka element som skall finnas i den. För varje element i hela mängden skall vi avgöra om det skall vara med i delmängden eller inte. Vi har alltså för vart och ett av de n elementen två möjligheter. Sammantaget finns det därför 2⋅2⋅2⋅…⋅2 = 2n möjligheter och därmed lika många delmängder. Svaret på den andra frågan är alltså 25 = 32.

Kjell Elfström


28 oktober 2008 12.50.58
Hej, jag förstår inte hur man får ut resten på detta talet (matte E):
737/32
Kvoten får man genom att ta 737/32 = 23
Kan du förklara hur man får ut resten?
Bjorn

Svar:

Använder man till exempel ”liggande stolen”, så får man ut både kvoten och resten. Du har kanske på något annat sätt fått att kvoten är 23. Har man 737 karameller att fördela mellan 32 barn, så skall varje barn få 23 karameller. Antalet karameller som blir över är resten. Barnen har sammanlagt fått 32⋅23 karameller. Resten blir därför 737 − 32⋅23 = 1.

Kjell Elfström


28 oktober 2008 12.31.51
Hej Lund,
-En cirkel med radie 0.5 m är centrerad i en cirkel med radien: 1 m.
-Längs ned på respektive cirkels omkrets markerar vi punkt: a resp punkt: A.
-Drag en horisontell linje med start i punkt A och slutpunkt B som är lika med omkretsen för cirkel med radien 1.
-Drag en horisontell linje med start i punkt a och slutpunkt b.
-Rotera/translatera cirklar från startpunkterna till och med slutpunkterna för respektive cirkel.
Fråga: De båda cirklarnas omkrets är 2pi m resp pi m. Men å andra sidan så mäter vi ju samma horisontella avstånd för de båda sträckorna. Hur kommer det sig?
Vänligen
Sven

Svar:

Om cirklarna sitter fast i varandra och den stora cirkeln rullar längs sträckan AB, så kan inte den lilla cirkeln rulla längs ab utan att slira. Om å andra sidan de båda cirklarna har en gemensam axel genom medelpunkterna men kan röra sig fritt i förhållande till varandra, så kommer den lilla cirkeln att rotera mer än ett varv, medan den stora roterar ett varv.

Kjell Elfström


28 oktober 2008 07.16.59
Hur är datapunkterna(datavärden funna med minsta kvadratmetoden) i ett diagram/figur som visar en linje y = mx + b relaterad till öppningen av en viss vektorn som visar en projektion (p). Hur hittar jag öppningarna av (p) i figuren/diagrammet?
Ulf

Svar:

Jag kanske inte förstår frågan rätt. Antag att datapunkterna är (x1,y1),…,(xn,yn). Vi vill då finna den vektor y′ = (mx1 + b,…,mxn + b), som ligger så nära vektorn y = (y1,…,yn) som möjligt. Avståndet är det vanliga avståndet i Rn. Om A är matrisen som har kolonnerna (x1,…,xn) och (1,…,1) och v kolonnvektorn (m,b), så är y′ = Av. Vektorn y′ tillhör alltså värderummet V(A) till A och är den vektor i V(A), som ligger närmast y. Därför är y′ den ortogonala projektionen av yV(A). Man använder minsta kvadratmetoden för att bestämma m och b. När det är gjort, så kan man rita upp linjen. Projektionen du frågar efter är förmodligen y′, och dess komponenter kan du avläsa genom att för varje xi beräkna mxi + b. Dessa tal är alltså y-koordinater för punkter på linjen. Någon rent geometrisk representation av vektorn i diagrammet med linjen finns inte.

Kjell Elfström


28 oktober 2008 07.08.28
hej
Kalkulera en Matris A och sedan A^TA.
Är det så att kolonnerna i A är symmetriska? Liknande produkterna blir i spegling i huvuddiagonalen, som du beskrev i en fråga nyligen?
Linn

Svar:

Jag antar att du undrar om kolonnerna i AtA blir symmetriska. Om du med detta menar att man får tillbaka kolonnen om man vänder den upp och ner, så gäller det inte i allmänhet. Det gäller ju t ex inte om A är en enhetsmatris.

Kjell Elfström


27 oktober 2008 20.28.36
En silo består av en rak cirkulär kon och en rak cirkulär cylinder. Mantelytorna hos konen och cylindern är tillsammans 150cm^2. Bestäm h och s så att silons volym blir så stor som möjligt. (h är konens höjd och s är cylinderns höjd och radien på den cirkulära bottenaren är 4m)
Memphis

Svar:

Volymen av cylindern är π⋅42s = 16πs, och volymen av konen är 16πh/3. Deras sammanlagda volym är V = (16π/3)(3s + h). Cylinderarean får man om man skär upp cylindern efter en generatris och rullar ut den. Den förvandlas då till en rektangel med lika stor area. Rektangelsidorna är 2π⋅4 = 8π och s, varför cylinderarean är 8πs. Kalla konens sidlängd för k. Då är k2 = 42 + h2 = 16 + h2 enligt Pythagoras sats. Konens basomkrets är 8π. Skär man upp konen efter en generatris och plattar ut den, så får man en cirkelsektor med radien k och bågen 8π. Den cirkel, i vilken sektorn ingår, har arean πk2. Sektorn utgör 8π/(2πk) = 4/k av cirkeln. Sektorns och konens area är därför (4/k)πk2 = 4πk. Den sammanlagda arean är 8πs + 4πk = 150. Man får att s = 75/(4π) − k/2. Sätter man in detta i uttrycket för V, så får man att V = C(D + h − 3k/2), där C är en positiv konstant och D en konstant. V är maximal, då h − 3k/2 = h − (3/2)√(16 + h2) = f(h) är maximal. Deriverar vi, får vi att f ′(h) = 1 − 3h/(2√(16 + h2)). Derivatans enda nollställe är h = 8/√5. Teckenundersökning av f ′ visar att f har ett maximum i denna punkt. Beräkna nu s genom att använda sambandet mellan s och k.

Kjell Elfström


27 oktober 2008 20.25.07
Hejsan Kjell. Har inget bättre för mej, har tagit studenten o väntar på att åka till Florida den 15 januari för att utbilda mej till pilot. Har plötsligt fått en enorm lust att bara sitta plugga matte, tog fram min gamla book o strulade med en uppgift som jag lite halvt förstod. Sä här lyder den:
Anna betraktar på ett museum en tavla som är två meter hög och vars underkant hänger 2,5 m över golvet. Hur långt fråm väggen ska stå för att betrakta tavlan under maximal synvinkel? Annas ögon är 1,5 m över golvet?
Jag började med att utrycka vinkeln v som en funktion av den efterfrågade sträckan x och fick tan(u+v)=3/x. efter att ha substituerat (v+u) med a och deriverat med avseende på a så fick jag att x´=-3sin^2(a). Sätter följande utryck lika med 0 för att få ett maximum MEN får det falska argumentet sin(a)=sqrt(3). I vilket steg har jag gjort fel? och har jag ens tänkt liiite rätt i alla fall?
Tack på förhand
FabledIntegral

Svar:

Det är vinkeln v som skall maximeras, inte x. Du skall alltså uttrycka x med hjälp av vinkeln v och derivera detta uttryck med avseende på v. Se 9 mars 2007 21.12.49.

Kjell Elfström


26 oktober 2008 03.24.24
Finns det ett officiellt "tal" som är definierat som större än alla tal men mindre än oändligheten? En slags reell oändlighet så att säga. Jag vet att om man lägger till 1 till ett tal så blir det större, jag undrar mest om nån forskare bestämt att kalla det tal som alltid är större för något och om det skulle ha nåt användningsområde.
John T. Aagathon

Svar:

Jag vet inte vad du menar med "mindre än oändligheten”. Något som är större än alla tal, bör väl vara oändligt. Det första så kallade kardinaltalet, som är större än alla naturliga tal, betecknas alef0, där alef är den första bokstaven i det hebreiska alfabetet. Kardinaltal används till att beteckna ”storleken” av mängder. En mängd med sju element har kardinaltalet 7, som är ändligt. Mängden av alla naturliga tal är oändlig och har kardinaltalet alef0. Mängden av alla rationella tal har samma kardinaltal, trots att mängden av naturliga tal utgör en äkta delmängd av mängden av rationella tal. Detta brukar tas som definition av begreppet oändlig mängd: att mängden är lika stor som en äkta delmängd av den. Det finns oändliga mängder med större kardinaltal än alef0. En sådan mängd är mängden av reella tal, vars kardinaltal ofta brukar betecknas c. Kontinuumhypotesen säger att c = alef1, där alef1 är det andra oändliga kardinaltalet. Det har bevisats att varken kontinuumhypotesen eller dess negation motsäger de vanliga axiomen för mängdläran. Med hjälp av dem kan man alltså inte avgöra om hypotesen är sann.

Om du vill veta hur bokstaven alef ser ut, så hittar du den på sidan http://unicode.org/charts/PDF/U0590.pdf, där den har koden 05D0.

Kjell Elfström


25 oktober 2008 23.45.23
Hur löser jag partikulär lösning till följande begynnelsevärdesproblem: y''+3y'-4y=4x y(0)=0 , y'(0)=1
Olle

Svar:

För att finna en partikulärlösning kan du ansätta y = Ax + B. Deriverar man, får man y′ = A och y″ = 0. Insatt ger detta att 3A − 4B − 4Ax = 4x. Löser du ekvationssystemet −4A = 4, 3A − 4B = 0, så får du en partikulärlösning till differentialekvationen.

Kjell Elfström


25 oktober 2008 22.31.27
Kan inte lösa den här uppgiften och ber om hjälp.
Vektorfältet (P,Q) kan skrivas
(P(x,y),Q(x,y))=f(r)(-y,x) där r=(x^2+y^2)^(1/2)
Bestäm alla kontinuerligt deriverbara funktioner f(r) av en variabel sådana att (P,Q) blir ett potentialfält i högra halvplanet (x>0)
Adam

Svar:

Att fältet skall vara ett potentialfält betyder att ∂xF(x,y) = −yf(r), ∂yF(x,y) = xf(r) för någon potentialfunktion F. Eftersom potentialfunktioner är kontinuerligt deriverbara, så är ∂xyF = ∂yxF. Deriverar vi den första likheten ovan med avseende på y och den andra med avseende på x, så får vi

f(r) − y2f ′(r)/r = ∂yxF(x,y) = ∂xyF(x,y) = f(r) + x2f ′(r)/r.

och vi får att 2f(r) = −rf ′(r). Lös nu denna differentialekvation.

Kjell Elfström


25 oktober 2008 08.27.25
MM^T och M^T*M
Produkterna till matrisen ovan har speciella egenskaper - vad är dessa?Ingångarna till produktmatrisen ser speciella ut, öppningen ovanför huvuddiagonalen är är relaterad till dem nedanför, eller hur? har jag missat något mer??
Ulf

Matriserna MMt och MtM är symmetriska. Det betyder de inte ändras om man speglar dem i huvuddiagonalen.

Kjell Elfström


24 oktober 2008 22.23.19
Beräkna volymen av den kropp som beskrivs av olikheterna x^2+y^2+4z^2^>=4 , 4x^2+4y^2+z^2<=4 och z>=0.
Adam

Svar:

Vi börjar med att bestämma skärningen mellan ytorna x2 + y2 + 4z2 = 4 och 4x2 + 4y2 + z2 = 4, som är två ellipsoider. Multiplicerar vi den sista ekvationen med 4 och drar den första ekvationen från denna nya ekvation, får vi 15x2 + 15y2 = 12. Detta är ekvivalent med x2 + y2 = 4/5. Projektionen av skärningen på xy-planet är alltså en cirkel med radien 2/√5. Vi betecknar motsvarande cirkelskiva med D. De delar av ytorna som ligger ovanför xy-planet har ekvationerna z = 2√(1 − x2 − y2) resp. z = √(1 − x2/4 − y2/4). Volymen blir ∫∫D (2√(1 − x2 − y2) − √(1 − x2/4 − y2/4)) dx dy. Inför polära koordinater, x = r cos θ, y = r sin θ, 0 ≤ r ≤ 2/√5, 0 ≤ θ ≤ 2π, och beräkna integralen.

Kjell Elfström


24 oktober 2008 22.13.52
Bestäm största och minsta värde av funktionen f(x,y)=3x^2+y^3-3xy^2 i området 0<=x<=y<=2
Adam

Svar:

Deriverar man, finner man att de partiella derivatorna blir fx = 6x − 3y2 och fy = 3y2 − 6xy. Då båda är noll, är 6x − 6xy = 0, vilket är ekvivalent med att x = 0 eller y = 1. Sätter man in x = 0, får man att y = 0, och sätter man in y = 1, får man att x = 1/2. De stationära punkterna är alltså (0,0) och (1/2,1). Av dessa är bara den senare en inre punkt. Vi studerar nu funktionen på randen och börjar med den del där x = 0, 0 ≤ y ≤ 2. Här är f(x,y) = y3 en strängt växande funktion av y. Om f antar sitt största eller minsta värde på den delen av randen, så måste det vara i en av ändpunkterna (0,0) och (0,2). På den delen av randen där y = 2, 0 ≤ x ≤ 2, är f(x,y) = 3x2 − 12x + 8 = g(x). Man finner att g′(x) = 6x − 12 bara har ett nollställe då x = 2. Även på den delen av randen antas eventuella maximi- och minimipunkter alltså i någon av ändpunkterna (0,2) och (2,2). På den tredje delen av randen är y = x, 0 ≤ x ≤ 2. Här är f(x,y) = 3x2 − 2x3 = h(x). Det gäller att h′(x) = 6x − 6x2. Nollställena till h′ är alltså 0 och 1. Det första motsvarar en ändpunkt till [0,2] medan det andra är en inre punkt i detta intervall. Förutom hörnpunkterna på den delen av randen är alltså (1,1) också en möjlig maximi- eller minimipunkt till f.

Eftersom f är kontinuerlig och området kompakt, så vet man att f antar såväl maximum som minimum i området. Om detta sker i en inre punkt, så gäller det antingen att den är stationär eller att f inte är partiellt deriverbar i den punkten. De enda möjliga maximi- och minimipunkterna är alltså (1/2,1), (0,0), (0,2), (2,2), (1,1). Beräkna funktionen i dessa punkter. Funktionens största värde är det största av dessa funktionsvärden och motsvarande vad gäller det minsta värdet.

Kjell Elfström


24 oktober 2008 11.54.14
Hej Jag fick avbryta studier, pga sjukdomsfall i familjen, ska återuppta studier i vår 09, och försöker nu därför hemma plugga ikapp en del kurser så jag fixar tentor i vår. Jag har ingen tillgång till lärare eller annan hjälp, har en uppgift från boken jag vill ha en bra förklaring/bevis till problemet som tar upp minsta kvadratmetoden så jag förstår allt. Tacksam för vägledning...
I minstakvadratmetoden vill man lösa en ekvation: Ax = b som är inkonsistent och saknar lösning, i minsta kvadratmening. Detta betyder att man vill hitta x som anger den linjärkombination av matrisens kolonnvektorer som ligger närmast vektorn b.
Matrisen A förutsätts ha linjärt oberoende kolonner och minsta kvadratlösningen är lösningen till den så kallade normalekvationen:
A^t Ax = A^t b
Bevisa eller förklara varför denna normalekvation har en unik lösning.
Framförallt bör det framgå varför matrisen: A^t A är inverterbar.
Mina från Ljungby

Svar:

Vi börjar med konstatera att följande påståenden är ekvivalenta, där V(A) och N(A) betecknar värderummet och nollrummet av en matris A:

1) x ∈ ortogonala komplementet av V(A)
2) x är ortogonal mot V(A)
3) x är ortogonal mot kolonnerna i A
4) x är ortogonal mot raderna i At
5) Atx = 0
6) x ∈ N(At)

Det följer alltså att ortogonala komplementet av V(A) är lika med N(At). Låt nu b vara en vektor, och beteckna med b′ den ortogonala projektionen av bV(A). Eftersom b′ ∈ V(A), finns det x, sådant att Ax = b′. Det gäller därför att AtAx = Atb′. Men b′ − b är ortogonal mot V(A). Därför är At(b′ − b) = 0, vilket visar att Atb′ = Atb och därmed att AtAx = Atb. Ekvationen AtAx = Atb har alltså en lösning. För att visa att lösningen är entydigt bestämd, är det tillräckligt att visa att AtA är inverterbar. Antag därför att AtAx = 0. Då gäller det att Ax ∈ N(At), varför Ax är ortogonal mot V(A). Men det gäller också att Ax ∈ V(A). Alltså är Ax ortogonal mot sig själv, och det är bara möjligt om Ax = 0. Eftersom kolonnerna i A är lineärt oberoende, följer det att x = 0.

Av att AtA är inverterbar följer i själva verket både existensen och entydigheten av en lösning. Jag valde att visa existensen separat med en metod som visar att normalekvationerna ger en lösning i minstakvadratmening till ekvationssystemet Ax = b. Man ser också att man inte behöver kräva att kolonnerna i A är lineärt oberoende för existensen av en lösning.

Kjell Elfström


24 oktober 2008 11.44.31
Tjena Kjell
Jag sitter och pluggar inför en tenta, och fastnade med på denna uppgift då jag varken har miniräknare eller maple...vore tacksam om du kan ge lösning för problemet;
Hitta det uttryck pÅ formen
y = ae^−2x + be^−3x
som bäst anpassar sig till punkterna. Detta kan t.ex. tolkas som att y är antalet sönderfall som mäts av en Geigermätare när vi har två ämnen med sönderfallskonstanter −2 och −3 och mätningen sker vid tidpunkterna som anges av t.^3
Bonden i norr

Svar:

Du skall förmodligen beräkna e−2x och e−3x för varje x-värde. Kallar du dessa värden för z och w, så får du en lista, som ser ut på följande sätt:

y1 = z1a + w1b
y2 = z2a + w2b
       
yn = zna + wnb

Här är n antalet mätvärden och variablerna betecknade med y, z och w kända värden. Bestäm nu a och b med hjälp av minsta-kvadratmetoden.

Kjell Elfström


24 oktober 2008 07.49.00
Det finns ett annat namn för utrycken: im(A) och Ker(A), vilket är det nu igen?( Ker(A) kommer från en basuträkning och im(A) = {y 2 Rm : y = Ax f¨or n°agot x 2 Rn})
Bonden i norr

Svar:

När det gäller lineära avbildningar, brukar de svenska beteckningarna vara värderummet och nollrummet, så att im A = V(A) och ker A = N(A).

Kjell Elfström


22 oktober 2008 23.37.06
Vad blir derivatan av den här funktionen: (vilka delar gäller Kjedjeregeln osv)
y(x)=(A cos3x + B sin3x)e^(-x)+2e^(-x)
Arne

Svar:

Derivatan av cos 3x är enligt kedjeregeln 3(−sin 3x) = −3 sin 3x. Derivatan av A cos 3x är därför A(−3 sin 3x) = −3A sin 3x. På samma sätt är derivatan av B sin 3x lika med 3B cos 3x. Enligt derivationsregeln för en summa är derivatan av A cos 3x + B sin 3x lika med summan −3A sin 3x + 3B cos 3x av de framräknade derivatorna. Derivatan av −x är −1 och derivatan av ey är ey. Enligt kedjeregeln är derivatan av ex lika med (−1)ex = −ex. Derivatan av den första termen (A cos 3x + B sin 3x)ex kan nu beräknas enligt produktregeln. Dess derivata blir

(−3A sin 3x + 3B cos 3x)ex + (A cos 3x + B sin 3x)(−ex).

Derivatan av 2ex blir −2ex. Använder vi nu derivationsregeln för en summa får vi att derivatan blir

(−3A sin 3x + 3B cos 3x)ex + (A cos 3x + B sin 3x)(−ex) − 2ex.

Nu är vi klara med derivationen. Svaret bör naturligtvis förenklas, men det överlåter jag åt dig att göra.

Kjell Elfström


22 oktober 2008 17.40.07
Avrunda 175,038
A) heltal
b) en decimal
c) hundratal
d) hundradelar
Vad är svarat ? jag har försökt och gör men det gick inte:(
ABBD

Svar:

Talet ligger mellan heltalen 175 och 176. Det av dessa tal som ligger närmast talet är 175, vilket är svaret i a-uppgiften. Talet ligger mellan 175,0 och 175,1 och närmast 175,0, vilket är svaret i b). Talet ligger mellan hundratalen 100 och 200 men närmast 200, vilket är svaret i c). I d) konstaterar vi att det ligger mellan 175,03 och 175,04 och närmast 175,04.

Kjell Elfström


22 oktober 2008 17.03.43
Hej,
Jag har precis läst en bok om Fermats sista sats, och blev intresserad av vad en modulär form är/beskrivs som, och hur de kopplas till elliptiska ekvationer?
Jonatan Olofsson

Svar:

Ämnet är för omfattande för att avhandlas i ett svar här. Jag hänvisar i stället till The Mathematics of Fermat's Last Theorem.

Kjell Elfström


22 oktober 2008 16.56.44
Du har en urna med 13 svarta kulor och 6 vita. Du tar 4 utan att titta. På hur många sätt får du minst 2 vita.
Gustav

Svar:

Man kan få precis 2 vita. Då skall man välja 2 vita av 6 och 2 svarta av 13. Antalet sätt att få precis 2 vita är därför (62)(132) enligt multiplikationsprincipen. Antalet sätt att få 3 vita är (63)(131), och antalet sätt att få 4 vita är (64). Svaret blir summan av dessa tre tal.

Kjell Elfström


22 oktober 2008 15.59.46
Jag är tacksam för steg för steg förklaring och till denna uppgift
Bestäm tangentplanet till funktionsytan z=f(x,y)=xy^3 i punkten där (x,y)=(3,1)
Olle

Svar:

Då (x,y) = (3,1) och (x,y,z) är en punkt på ytan, så är z = 3⋅13 = 3. Tangentplanet skall därför gå genom punkten (3,1,3) och har en ekvation A(x − 3) + B(y − 1) + C(z − 3) = 0, där (A,B,C) är en normalvektor till planet. Ytans ekvation kan skrivas F(x,y,z) = z − xy3 = 0, och det gäller att gradienten till F i punkten (3,1,3) är en normalvektor till tangentplanet. Gradienten är (−y3,−3xy2,1). I punkten (3,1,3) är den (A,B,C) = (−1,−9,1).

Kjell Elfström


22 oktober 2008 14.09.33
Jag behöver hjälp att lösa denna uppgift:
Beräkna volymen av den begränsade kropp som begränsas av ytan z=x^2+y^2 och planet x-z=0
Malin

Svar:

Då ytorna skär varandra är x2 − x + y2 = 0, vilket efter kvadratkomplettering kan skrivas (x − 1/2)2 + y2 = (1/2)2. Områdets projektion på xy-planet är alltså en cirkelskiva D med medelpunkten (1/2,0) och radien 1/2. Den sökta volymen är därför

D (x − (x2 + y2)) dx dy = ∫D (1/4 − (x − 1/2)2 − y2dx dy.

För att beräkna denna integral kan man inför polära koordinater, x − 1/2 = r cos θ, y = r sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1/2. Integralen övergår då i

02π01/2 r(1/4 − r2dr  = 2π[r2/8 − r4/4]01/2 = π/32.

Kjell Elfström


22 oktober 2008 14.03.16
Hur löser jag förkjande uppgift:
Beräkna kurvintegralen då gamma är det räta linjestycket från (1,0) till (0,1)
\[
\iint\limits_\gamma {y^{2dx + x^2 } dy}
\]
Tack
Olle

Svar:

Jag antar att du har skrivit fel, och att det är ∫γ (y2 dx + x2 dy), som skall beräknas. En parametrisering av linjestycket är x = 1 − t, y = t, 0 ≤ t ≤ 1. Då är dx/dt = −1 och dy/dt = 1, varför

γ (y2 dx + x2 dy) = ∫01 t2⋅(−1) + (1 − t)2⋅1)dt.

Denna enkelintegral kan du beräkna på egen hand.

Kjell Elfström


22 oktober 2008 09.53.22
Hej? Vid en enkät i ett bostadsområde tillfrågades 1000 hushåll om de skulle handla i en närbutik om det fanns en sådan i området.Man fick svar från 728 hushåll och av dessa svarade 65% "ja". Man ringde sedan upp ett urval av dem som inte svarat och av dessa svarade 20% "ja". Hur många procent av hushållen skulle med största sannolikhet handla i närbutiken. tack!
Malin

Svar:

Man kan kanske tro att 0,65⋅728 + 0,20⋅(1000 − 728) hushåll skulle handla i butiken. Multiplicerar man detta antal med 100/1000 = 1/10, så får man procenttalet.

Kjell Elfström


22 oktober 2008 00.34.25
Betrakta området mellan kurvstycket
\[
\frac{x}
{{\sqrt {x^2 + 1} }}
\]
\[
0 \leqslant x \leqslant 1
\]
Beräkna volymen av den kropp som uppstår då området roterar kring x-axeln.
Behöver vägledning för att lösa uppgiften. Tack
Olle

Svar:

Integralen som skall beräknas verkar vara π ∫01 (x2/(1 + x2)2dx. Integranden kan skrivas x(x/(1 + x2)2). Man ser direkt att ∫ (x/(1 + x2)2dx = −(1/2)(1/(1 + x2)) + C. Om man inte gör det, kan man substituera t = x2. Integrera nu den ursprungliga integralen partiellt genom att derivera x och integrera x/(1 + x2)2.

Kjell Elfström


22 oktober 2008 00.26.19
Hur beräknar jag den här integralen?
\[
\int\limits_1^{\sqrt 3 } {\frac{{x + 1}}
{{x^4 + x^2 }}dx}
\]
Olle

Svar:

Partialbråksuppdela integranden. Gör man ansatsen

(x + 1)/(x4 + x2) = (x + 1)/(x2(1 + x2)) = A/x + B/x2 + (Cx + D)/(1 + x2),

så får man att A = B = 1 och C = D = −1. Utnyttja sedan att ∫ (1/(1 + x2)) dx = arctan x + E och ∫ (x/(1 + x2)) dx = (1/2) ln(1 + x2) + F.

Kjell Elfström


21 oktober 2008 15.06.46
Trollkarlen Truxa säger: Tänk på ett tal, fördubbla det, lägg till 3, multiplicera resultatet med 5 och subtrahera produkten med 11. Stryk sedan sista siffran. Nu har du talet du tänkte på! Hur gick tricket till? I lösningen står det: starta med talet x. Du får då 10x+4. Stryk 4:an. Men 10x är ju inte talet x som jag tänkte på. Vad är det som är fel. När jag räknar får jag också 10x, som i lösningen.
Per

Svar:

Ersätter man fyran i 10x + 4 med en nolla får man 10x. Stryker man i stället fyran får man bara x. Om t ex x = 17, så är 10x + 4 = 174, och stryker du fyran får du 17.

Kjell Elfström


20 oktober 2008 20.08.03
Hej! Kylaren på en bil innehåller 6 liter 40-procentig glykolblandning. För att höja glykolhalten till 50% ska man tappa ur en viss mängd 40-procentig glykolblandning och ersätta den med sama mängd 80-procentig blandning. Hur mycket 40_procentig blandning ska man då tappa av?
Adam Fins

Svar:

Antag att den sökta volymen är x liter. Före operationen innehåller kylaren 0,40⋅6 = 2,4 liter glykol. Efter operationen skall den innehålla 0,50⋅6 = 3 liter glykol. Glykolvolymen skall alltså öka med 0,6 liter. Tappar man ut x liter 40-procentig blandning så minskar mängden glykol med 0,4x liter. När man sedan fyller på med x liter 80-procentig blandning ökar den med 0,8x liter. Vi får därför ut x, om vi löser ekvationen 0,8x − 0,4x = 0,6. Svaret blir 1,5 liter.

Kjell Elfström


20 oktober 2008 13.42.53
Den 10 oktober 2008 11.48.43 ställde jag följande fråga:
Hur skall man bedöma svaren från följande fråga(ställt på ett prov). "Det var 12639 åskådare på matchen. Vilket tal skall adderas till antalet åskådare för att tiotalssiffran skall ändras till 8?" Svaren varierade där en del elever bl.a. svarade 41 och andra svarade 50. Vilket/vilka svar är korrekt/korrekta? Har något svar en högre abstaktionsnivå än ett annat?
Peter Eriksson
Svar:
Båda svaren måste anses vara korrekta, vilket för övrigt svaren 141, 241, 250 och −59 också är. Om frågeställaren egentligen undrar hur många fler åskådare det krävs, för att tiotalssiffran skall bli en åtta, så bör han formulera frågan så att detta framgår. I så fall torde endast svaret 41 vara korrekt. Jag förstår inte hur abstraktionsnivå kommer in i sammanhanget.
Kjell Elfström
Det som en del lärare menar är att endast talet 50 borde accepteras då det är endast detta tal som gör att ENDAST tiotalssiffran ändras. I alla andra tal som gör att tiotalssiffran ändras så medför det att även andra siffror i talet ändras. Detta skulle då vara "sämre" och ligga på en lägre abstraktionsnivå. Frågan är då huruvida texten i uppgiften visar med 100 % säkerhet att endast talet 50 kan godkännas. Framgår det i texten med all säkerhet?? Det verkar inte så utifrån ditt svar.
Mvh Peter

Svar:

Enligt min mening framgår det inte alls av frågan, att det bara är tiotalssiffran, som skall ändras. Man kan lika väl tro, att frågeställaren vill veta när tiotalssiffran slår om till en åtta, och då är det 41 som han har i tankarna. Att tala om abstraktionsnivå i sammanhanget är meningslöst. Hade provfrågan ställts utanför en provsituation av en uppriktigt undrande person, så hade svararen säkerligen bett frågeställaren om ett förtydligande. När frågan ställs på ett prov, och förtydliganden inte är möjliga, bör problemkonstruktören formulera frågan med större omsorg. I det här fallet är det frågeställaren som bör bli underkänd, inte de elever som inte klarat att rätt gissa frågeställarens avsikter.

Kjell Elfström


19 oktober 2008 23.47.44
Angående min fråga 10 oktober 2008 23.12.44.Som jag uppfattar det så begränsar du godtyckligt x med abs(x-1)<4. Min fråga är således om det går lika bra att begränsa x med till exempel abs(x-1)<3? Hur viktigt är det annars att förstå gränsvärdesdefinitionen? Om den är så viktig varför prioriteras den inte mer i de inledande matematikkurserna? Tack på förhand.
Johan

Svar:

Riktigt godtyckligt är det inte. Det går t ex inte med |x − 1| < 5, eftersom vi vill att x > −3 i det valda intervallet. Det går dock bra med |x − 1| < a, där a är ett godtyckligt tal mellan 0 och 4.

För en matematiker är det mycket viktigt att känna till och förstå gränsvärdesdefinitionen, och jag anser att vi tar upp den ganska ordentligt i nybörjarkursen vid Naturvetenskaplig fakultet vid Lunds universitet. Hur andra gör kan jag inte svara på.

Kjell Elfström


18 oktober 2008 17.22.22
hej! ett kugghjul med 96 kuggar är fast monterat på ett bord.ett annat kugghjul med 12 kuggar roterar runt det stora .hur många varv har det lilla hjulet snurrat när det har gjort ett varv runt det stora kugghjulet? jag förstår inte vrf det blir 9 varv, jag har alltid fått det till 8 varv
Hanna

Svar:

Placera det lilla hjulet rakt söder om det stora, och rita en visare från det lilla hjulets medelpunkt ut till den punkt där hjulen möter varandra. Då pekar visaren rakt norrut i startögonblicket. Rotera det lilla hjulet tills visaren möter det stora hjulet igen. Om rotationen kring det stora hjulet sker medurs, kommer pekaren då att peka åt nordöst. Det lilla hjulet har alltså roterat mer än ett varv, närmare bestämt 1 + 1/8 varv. Utför man sammanlagt åtta rotationer av det lilla hjulet, så är man tillbaka där man började, och det lilla hjulet har roterat 8(1 + 1/8) = 9 varv. Hade det stora hjulets kuggar legat utefter en rät linje i stället hade det lilla hjulet roterat åtta varv. Jämför med situationen att du bara släpar det lilla hjulet. Gör du det utefter den räta linjen kommer det inte alls att rotera, men gör du det utefter det stora hjulet kommer det att ha roterat ett varv.

Kjell Elfström


18 oktober 2008 16.40.14
Vad menas med en totalmatris rang?
Oscar

Svar:

Rangen av en matris är det maximala antalet lineärt oberoende kolonner i matrisen, och detta antal är lika med det maximala antalet lineärt oberoende rader i samma matris. Detta gäller naturligtvis också om matrisen råkar vara en totalmatris till ett ekvationssystem.

Kjell Elfström


18 oktober 2008 16.37.30
If a system of three equations in three unknowns has a unique solution, what can we say about the three planes the system represents? //Thanks Liam
Liam

Svar:

Det finns precis en punkt som ligger i alla tre planen.

Kjell Elfström


18 oktober 2008 16.33.56
Hejsan!
Hur kan jag se att en lösning av ett problem (linjärt ekvationssystem//totalmatris) är unikt - alltså att jag inte bara ser en av många möjliga lösningar?
not just seeing one of many possible solutions.
Arne

Svar:

Ett lineärt ekvationssystem har antingen ingen lösning, precis en lösning eller oändligt många lösningar. Löser man ekvationssystemet med hjälp av Gausselimination, framgår det vid framtagandet av lösningarna vilket som är fallet. Det finns alltså ingen anledning att undersöka i efterhand hur många lösningar det finns. Om ekvationssystemet har färre ekvationer än obekanta finns det antingen ingen lösning eller oändligt många. Om antalet ekvationer och obekanta är lika, så kan man beräkna determinanten av koefficientmatrisen. Om den är skild från noll har systemet en entydigt bestämd lösning. I annat fall finns det ingen eller oändligt många lösningar. Se också 18 oktober 2008 16.26.22

Kjell Elfström


18 oktober 2008 16.26.22
Vad är sambandet mellan antalet fria variabler, antalet icke-noll ekvationer i det "reducerade rad echelon systemet", och antalet okända --för ett system med system med oändligt många lösningar och för ett system med ett bestämt antal lösningar? Hur är det med antalet lösningar man kan finna i ett givet system? Kan det t ex vara så att det bara finns exakt två lösningar? //Tacksam för svar för att få en ökad förståelse av linjär algebra!
Ulf

Svar:

Efter att man eventuellt bytt namn på variablerna kan man skriva ett reducerat radechelonsystem som

x1 + a12x2 + + a1kxk + + a1nxn = y1
    x2 + + a2kxk + + a2nxn = y2
                       
            xk + + aknxn = yk
                    0 = yk + 1
                       
                    0 = ym

Systemet har m ekvationer, varav k är vad du kallar för icke-nollekvationer, och n obekanta. Om yi ≠ 0 för något i > k, så har systemet ingen lösning, eftersom man då får en motsägelse i den i:e ekvationen. Om yk + 1 = … = ym = 0 kan vi bortse från de m − k sista ekvationerna.

Om k = n, så är systemet entydigt lösbart. Värdet av xk = xn är ju då entydigt bestämt av den k:e ekvationen, och sedan blir xk − 1 entydigt bestämt av den (k − 1):a ekvationen osv. Antag att n > k. Då kan man ge variablerna xk + 1, xk + 2,…,xn godtyckliga värden, och sedan lösa ut x1,x2,…,xk. Det finns då oändligt många lösningar.

Sammanfattningsvis har systemet ingen, precis en eller oändligt många lösningar. ”Antalet fria variabler” + ”antalet icke-nollekvationer" = ”det totala antalet obekanta”.

Kjell Elfström


18 oktober 2008 15.11.12
f(x,y)=x+y+3 Df är triangelskivan med hörn i (-1,0),(0,0) och (0,1) bestäm funktionens värdemängd
sinan

Svar:

Deriverar man funktionen partiellt, ser man att den saknar stationära punkter. Dess största och minsta värde antages alltså på randen. För att se varför dessa värden är intressanta, se 18 oktober 2008 15.08.34. På triangelns lodräta sida är f(x,y) = f(0,y) = 3 + y. Det största och minsta värdet på den delen är alltså 4 resp. 3. På den vågräta sidan är f(x,y) = f(x,0) = x + 3, och det största och minsta värdet är 3 resp. 2. På den tredje sida är y = x + 1 och f(x,y) = 2x + 4. Det största och minsta värdet där är alltså 4 resp. 2. Funktionens största och minsta värde är därför 4 resp. 2 och Vf = [2.4].

Kjell Elfström


18 oktober 2008 15.08.34
hej Kjell jag hoppas att kan hjälpa mig med den frågan. jag förstår inte det som står i boken. min fråga är:
f(x,y)=x^2+y^2-2xy+3 Df är kvadraten med hörn i (-2,-2),(-2,4),(3,4),(3,-2) bestäm funktionens värdemängd
sinan

Svar:

Funktionen är kontinuerlig, och eftersom definitionsmängden är sammanhängande och kompakt, så är värdemängden ett kompakt intervall. Värdemängden är alltså [m,M], där m och M är funktionens minsta resp. största värde. Definitionsmängden, som är en rektangel men inte en kvadrat, bestäms av −2 ≤ x ≤ 3, −2 ≤ y ≤ 4. Det gäller att f(x,y) = (x − y)2 + 3. Funktionens minsta värde är alltså 3. Detta funktionsvärde antages i de punkter där y = x, och sådana finns det ju inom rektangeln. Funktionens partiella derivator är 2(x − y) och 2(y − x). Förutom de punkter i rektangeln, för vilka x = y, finns det inga inre stationära punkter. Det största värdet måste alltså antagas på randen. På den nedre delen av randen är f(x,y) = f(x,−2) = (x + 2)2 + 3. Funktionens största värde på den delen av randen är alltså f(3,−2) = 28. På den högra delen av randen är f(x,y) = f(3,y) = (3 − y)2 + 3. Här är det största värdet f(3,−2) = 28. På den övre delen är f(x,y) = (x − 4)2 + 3. Här är det största värdet f(−2,4) = 39. På den vänstra delen slutligen är f(x,y) = (−2 − y)2 + 3 och det största värdet där är också 39. Funktionens största värde är alltså 39, och värdemängden är [3,39].

Kjell Elfström


17 oktober 2008 11.37.24
hej jag undrar om du kan hjälpa mig att lösa den här ekvationen: z^2 -(3-2i)z +5 -i
sedat

Svar:

Se 15 oktober 2008 19.52.57.

Kjell Elfström


16 oktober 2008 22.30.17
Lös ekvationen bland komplexa tal z^8 – 17z^4 + 16 = 0
robban

Svar:

Sätter man w = z4, så får man w2 − 17w + 16 = 0. Denna ekvation har rötterna w = 1 och w = 16. Sedan återstår att lösa de båda ekvationerna z4 = 1 och z4 = 16. Sätter vi i det senare fallet z = 2u, övergår den ekvationen i u4 = 1. Ekvationen z4 = 1 kan betraktas som en binomisk ekvation och lösas med de metoder som är förknippade med sådana ekvationer. Man kan också skriva om den som z4 − 1 = (z2 − 1)(z2 + 1) = 0, och då ser man att dess rötter är ±1 och ±i. Samtliga rötter till den ursprungliga ekvationen är alltså ±1, ±i, ±2 och ±2i.

Kjell Elfström


16 oktober 2008 22.29.03
bevisa att följande talföljd 37, 537, 5537, 5537, 55537, 555537, ... innehåller oändligt många sammansatta tal? Även talföljden 13, 14913, 14914913, 14914914913, ... innehåller oändligt många sammansatta tal?
robban

Svar:

Se 16 oktober 2008 21.09.19. Den andra följden kan behandlas på väsentligen samma sätt som den första. För den följden gäller det att

an + 1 = 13 + 14900(1 + 1000 + 10002 + … + 1000n − 1), n = 1,2,3,…

Kjell Elfström


16 oktober 2008 21.09.19
kan du hjälpa mig att bevisa att följande talföljd 37, 537, 5537, 5537, 55537, 555537, ... innehåller oändligt många sammansatta tal?
robban

Svar:

Jag tror inte att talet 5537 skall förekomma två gånger. Jag förtränger den ena förekomsten. Om vi kallar det n:e elementet för an, så är an + 1 =  37 + 500(1 + 10 + 102 + … + 10n − 1), n = 1,2,3,… Enligt formeln för den geometriska summan är an + 1 = 37 + 500(10n − 1)/9. Eftersom (10,37) = 1, så gäller det enligt Fermats lilla sats att 1036 ≡ 1 (mod 37), och därför är 1036k ≡ 1 (mod 37), då k = 1,2,3,… Eftersom (9,37) = 1, så är a36k + 1 ≡ 0 (mod 37), då k =1,2,3,… Eftersom dessa element är större än 37, är de sammansatta.

Kjell Elfström


16 oktober 2008 21.02.25
Är det möjligt att n+5, n+7 och n+15 är tre primtal, om n är naturligt tal?
robban

Svar:

Om talen är primtal, så är de udda, eftersom det minsta av dem är större än 2. Vi dividerar det minsta med 6 och får att n + 5 = 6q + r, där resten r är något av talen −1, 1 och 3. Då är n + 7 = 6q + r + 2 och n + 15 = 6(q + 1) + r + 4. Något av talen r, r + 2 och r + 4 är lika med 3, och motsvarande tal är därför delbart med 3. Eftersom talen är större än 3, är det talet sammansatt. Svaret är alltså nej.

Kjell Elfström


16 oktober 2008 18.57.38
Vad är en genomsnittliga procentuella förändring?
Tam

Svar:

Det kan variera något beroende på sammanhanget. Ofta förekommer begreppet i situationer liknande den som följer. Antag att en person från början har kapitalet 1000 kr och efter 10 år 10000 kr. Vad kapitalet har varit under mellantiden kan man naturligtvis inte veta, men om man antar att kapitalet varje år ökat med en viss procentsats, så kan man beräkna den procentsatsen, och det är den genomsnittliga procentuella förändringen. Om kapitalet ökat med p% per år, så är det efter 1 år (1 + p/100)⋅1000 kr., efter 2 år (1 + p/100)2⋅1000 kr. och efter 10 år (1 + p/100)10⋅1000 kr. För att bestämma p skall vi alltså lösa ekvationen (1 + p/100)10⋅1000 = 10000. Dividerar man båda led med 1000, så får man (1 + p/100)10 = 10, och drar man sedan tionderoten ur båda led, så får man 1 + p/100 = 101/10. Det gäller alltså att p = 100(101/10 − 1) ≈ 25,9.

Kjell Elfström


16 oktober 2008 13.38.58
Hur beräknar jag inversen till följande 3 x 3 matris? Jag är tacksam för steg för steg förklaring.
[math]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{s + 2} & 1 & 0 \\
0 & {s + 2} & 2 \\
0 & 0 & {s + 3} \\
\end{array} } \right)
[/math]
Olle

Svar:

Man skall lösa ekvationssystemet Ax = y, för ett godtyckligt högerled y. Detta system är lösbart om och endast om s + 2 ≠ 0 och s + 3 ≠ 0. Då s uppfyller dessa krav kan vi fritt multiplicera och dividera med s + 2 och s + 3. Multiplicerar vi den andra raden med s + 3, får vi

(s + 2)x1 + x2     = y1
    (s + 2)(s + 3)x2 + 2(s + 3)x3 = (s + 3)y2
        (s + 3)x3 = y3

Nu kan vi subtrahera 2 gånger den sista ekvationen från den andra och få

(s + 2)x1 + x2     = y1
    (s + 2)(s + 3)x2 +   = (s + 3)y2 − 2y3
        (s + 3)x3 = y3

Nu multiplicerar vi den första ekvationen med (s + 2)(s + 3).

(s + 2)2(s + 3)x1 + (s + 2)(s + 3)x2     = (s + 2)(s + 3)y1
    (s + 2)(s + 3)x2 +   = (s + 3)y2 − 2y3
        (s + 3)x3 = y3

Vi subtraherar sedan den andra raden från den första.

(s + 2)2(s + 3)x1         = (s + 2)(s + 3)y1 − (s + 3)y2 + 2y3
    (s + 2)(s + 3)x2     = (s + 3)y2 − 2y3
        (s + 3)x3 = y3

Nu kan du lösa ut x1, x2 och x3 och få

x1         = ((s + 2)(s + 3)y1 − (s + 3)y2 + 2y3)/((s + 2)2(s + 3))
    x2     = ((s + 2)(s + 3)y2 − 2(s + 2)y3)/((s + 2)2(s + 3))
        x3 = (s + 2)2y3/((s + 2)2(s + 3))

Koefficienterna för y i högerledet bildar nu den inversa matrisen, som alltså är 1/((s + 2)2(s + 3)) gånger matrisen

(s + 2)(s + 3) −(s + 3) 2
0 (s + 2)(s + 3) −2(s + 2)
0 0 (s + 2)2

Kjell Elfström


15 oktober 2008 21.23.37
En patient får en injektion på 5,0 mg av ett läkemedel. Man vet att denna mängd avtar exponentiellt med tiden och att halva mängden återstår efter 24h. När återstår 1,5mg?
Ashia

Svar:

Mängden läkemedel vid tiden t är f(t) = Ceλt, där C = f(0). Det gäller att f(24) = (1/2)f(0), och det ger att Ce−24λ = (1/2)C, dvs e24λ = 2. Löser man ut λ, får man λ = (ln 2)/24. Då f(t) = 1,5 är Ceλt = 1,5, vilket är ekvivalent med att eλt = C/1,5, dvs. λt = ln(C/1,5). Vi får att t = (1/λ)ln(C/1,5) = (24/(ln 2)) ln(5/1,5).

Kjell Elfström


15 oktober 2008 20.09.32
Behöver hjälp inför MA C prov. Har fastnat. En ekonom på ett företag har tänkt ut en formel för den vinst företaget kommer att göra genom att sälja en viss typ av tjänst. (Formeln är dock antagligen ovetenskaplig.) Han påstår att totala vinsten i kr är y = f (x) = -1000x2 +110000x -1000000 , där x är priset i kr man tar ut av kunden för utnyttjandet av tjänsten en gång. Vid vilka punkter är funktionen noll? Var gör företaget en vinst på att sälja tjänsten? Hur räknar jag ut kurvans tangent?
Karin

Svar:

f(x) = 0 då x2 − 110x + 1000 = 0. Löser man denna andragradsekvation, så får man x = 10 eller x = 100. Vi kan nu skriva f(x) = −1000(x − 10)(x − 1000). Det gäller att f(x) är positiv då faktorerna (x − 10) och (x − 1000) har olika tecken, och det inträffar då 10 < x < 1000. Derivatan av f är f ′(x) = −2000x + 110000. Tangenten till kurvan i punkten (a,f(a)) har alltså riktningskoefficient f ′(a) = −2000a + 110000. Eftersom tangentlinjen går genom (a,f(a)), är dess ekvation y − f(a) = f ′(a)(x − a).

Kjell Elfström


15 oktober 2008 20.05.13
En cirkel är inskriven i en triangel ABC. D är den punkt där cirkeln tangerar AB. Bestäm AD om AB = 3 dm, BC = 5 dm och AC = 6 dm
markus

Svar:

Låt E vara cirkelns tangeringspunkt med BC och F dess tangeringspunkt med AC. Då är trianglarna DAF, DEB och EFC likbenta. Sätt a = AD, b = BE och c = CF. Då är a + b = 3, a + c = 6 och b + c = 5. Lös detta ekvationssystem.

Kjell Elfström


15 oktober 2008 20.02.41
Två sträckor är givna med längderna a och b. Hur Kan man konstruera en sträcka med längden √ab och varför är konstruktionen korrekt?
markus

Svar:

Låt AB vara diameter i en cirkel, och låt C vara en punkt på AB, sådan att AC och CB har längderna a resp. b. Drar man en linje genom C vinkelrätt mot AB, skär denna linje cirkeln i två punkter D och E. Om h är längden av CD, som är lika med längden av CE, så ger kordasatsen att h2 = ab, dvs h = √(ab).

Konstruktionen kan alltså göras så att sträckan b förflyttas, så att den hamnar efter sträckan a i linje med denna. Man får då sträckan AB och punkten C på denna. Därefter konstruerar man medelpunkten till sträckan AB. Sedan ritar man en cirkel, som går genom A och har sin medelpunkt i denna medelpunkt. I nästa steg konstruerar man linjen, som går genom C och är vinkelrät mot AB. Denna linje skär cirkeln i D, och CD har längden √(ab).

Kjell Elfström


15 oktober 2008 19.52.57
Lös ekvationen z^2 +(1+i)z – 6 – 2i = 0
kattis

Svar:

Man kan skriva ekvationen som z2 + (1 + i)z = 6 + 2i. Kvadratkomplettering ger att (z + (1 + i)/2)2 = z2 + (1 + i)z + i/2. Genom att addera i/2 till ekvationens led kan vi alltså skriva om den som (z + (1 + i)/2)2 = 6 + 5i/2. Skriv nu z + (1 + i)/2 = x + iy. Då är (x + iy)2 = x2 − y2 + 2ixy = 6 + 5i/2. Identifierar vi real- och imaginärdelar, får vi x2 − y2 = 6 (1) och 2xy = 5/2 (2). Beräknar vi absolutbeloppet av båda led, får vi x2 + y2 = √(62 + (5/2)2) = 13/2 (3). Adderar vi ekvation (1) till ekvation (3), får vi x2 = 25/4, och subtraherar vi ekvation (1) från (3), får vi att y2 = 1/4. Ekvation (2) ger att x och y har samma tecken, eftersom produkten är positiv. Vi får att x + iy = ±(5/2 + i/2), och därför att z = −(1 + i)/2 ± (5 + i)/2.

Kjell Elfström


15 oktober 2008 19.50.55
Om två heltal båda kan skrivas som summan av två kvadrater, då kan även deras produkt skrivas som summan av två kvadrater. Till exempel
2 = 1^2 + 1^2, 5= 2^2 + 1^2 och 2 5 = 3^2 + 1^2
Bevisa att påståendet är alltid sant.
jonte

Svar:

Låt z* beteckna konjugatet av det komplexa talet z. Om x = a2 + b2, y = c2 + d2, z = a + bi och w = c + di, så gäller det att xy = zz*ww* = (zw)(zw)*. Eftersom zw = (ac − bd) + i(ad + bc), så får man att xy = (ac − bd)2 + (ad + bc)2.

Kjell Elfström


15 oktober 2008 19.46.01
Bevisa att 10^n alltid kan man skriva upp som summan av två kvadrattal om n är ett positivt naturligt tal?
kent

Svar:

Det gäller att 10 = 12 + 32. Använd nu påståendet i frågan 15 oktober 2008 19.50.55.

Kjell Elfström


15 oktober 2008 19.43.45
Lös ekvationen bland primtal: p^2 – 2q^2 = 1
jaana

Svar:

p måste vara ett udda tal, ty annars är vänsterledet jämnt. Därför är 2q2 = (p − 1)(p + 1) delbart med 4, och det är bara möjligt om q är jämnt. Eftersom q är ett primtal, så är q = 2, och det följer att p = 3.

Kjell Elfström


15 oktober 2008 19.42.03
för vilka heltal n är (n-i)^4 ett heltal?
jaana

Svar:

Utvecklar man potensen, så får man n4 − 4in3 − 6n2 + 4ni + 1. Detta tal är ett heltal, om och endast om 4n3 − 4n = 0, vilket är ekvivalent med att n(n2 − 1) = 0. Potensen är alltså ett heltal bara om n = 0 eller n = ±1.

Kjell Elfström


15 oktober 2008 19.40.30
Lös ekvationen bland komplexa tal (z+1)^4 -1=0
jaana

Svar:

Skriver man om ekvationen som ((z + 1)2)2 = 1, så ser man att (z + 1)2 = ±1. I fallet med plustecken är z + 1 = ±1, och i fallet med minustecken är z + 1 = ±i. Man får rötterna 0, −2, −1 + i och −1 − i.

Kjell Elfström


15 oktober 2008 19.38.32
Om man delar 10839 och 11863 med samma tresiffriga tal, får man samma rest i båda fall. Hur stor är resten?
johanna

Svar:

Om n är talet man delar med, så gäller alltså att 11863 = nq1 + r och 10839 = nq2 + r, för några kvoter q1 och q2 och någon rest r. Bildar man skillnaden mellan talen, så får man att 1024 = 11863 − 10839 = n(q1 − q2). Talet n delar alltså 1024 och är tresiffrigt. Det gör att n är något av talen 128, 256 och 512. Nu kan du gå vidare på egen hand. Den gemensamma resten blir i alla tre fallen 87.

Kjell Elfström


15 oktober 2008 19.36.49
P(z) är ett polynom. Om man dividerar p(z) med z-1 blir resten 1, om man dividerar p(z) med z-2 blir resten 2. Vilken rest får man när p(z) divideras med (z-1)(z-2)?
johanna

Svar:

Det gäller att p(z) = (z − 1)q1(z) + 1 och p(z) = (z − 2)q2(z) + 2, där q1 och q2 är polynom. Därför är p(1) = (1 − 1)q1(1) + 1 = 1 och p(2) = 2. Den sökta resten r är av grad mindre än 2, dvs r(z) = az + b. Det gäller att p(z) = (z − 1)(z − 2)q(z) + r(z). Man får att 1 = p(1) = (1 − 1)(1 − 2)q(1) + r(1) = r(1) och 2 = r(2). Därför är a + b = 1 och 2a + b = 2. Lös ut a och b ur detta ekvationssystem.

Kjell Elfström


15 oktober 2008 16.00.50
Vad finns det för lösningar till sin x = sin (3x – 30°). Svara gärna exakt eller i grader.
Johan Igen

Svar:

Det gäller att sin x = sin y, om och endast om x = y + n360° eller x = 180° − y + n360°, där n är ett godtyckligt heltal. Detta ger att x = 3x − 30° + n360° eller x = 150° − 3x + n360°. Lös ut x ur dessa båda ekvationer.

Kjell Elfström


15 oktober 2008 15.58.06
Hur uttrycker man cos4x i cosx?
Johan

Svar:

Det gäller att cos 2x = 2 cos2x − 1. Därför är

cos 4x = cos 2(2x) = 2 cos22x − 1 = 2(2 cos2x − 1)2 − 1,

varifrån du kan gå vidare på egen hand.

Kjell Elfström


15 oktober 2008 13.31.14
hur blir jag bra på matte
paul

Svar:

Man kan bli bättre på matematik genom att träna på att lösa matematiska problem, försöka förstå sambanden mellan matematiska satser och definitioner, och tänka efter hur matematiken kommer till användning i problemlösningen. Som inom alla områden: övning ger färdighet.

Kjell Elfström


15 oktober 2008 13.27.41
Hej Kjell! Jag har två frågor:
Fråga nr. 1: Hur kan man ta reda på vilka specifika matematiska områden som det forskas på och vilka resultat som kommit av denna forskning? För att förtydliga: Om jag kommer fram till ett resultat inom något matematiskt område, kanske i form av ett teorem, hur vet jag då att ingen annan kommit fram till detta tidigare? Finns det något arkiv?
Fråga nr. 2: Hur går man till väga för att publicera sina resultat i någon matematiskt tidsskrift? Är resultaten tillskrivna dig, om du lyckas publicera dem i en tidsskrift? Och vilka är de främsta engelska och svenska tidsskrifterna för matematiska resultat, samt var kan man finna dessa?
Tack på förhand!
Isak

Svar:

1. Matematiska resultat publiceras i matematiska tidskrifter, och sådana finns det många av, uppdelade på olika områden av matematiken. Se t ex Mathematics on the Web. För att veta om någon annan hunnit före måste man nog vara ganska insatt i området och ha följt med i vad som har hänt. Annars kan det vara som att leta efter en nål i en höstack. Nästan alla tidskrifter, elektroniska och traditionella, kostar pengar. Många matematiska institutioner har dock bibliotek, där man kan få läsa tidskrifter gratis. Se t ex Centre for Mathematical Sciences, Library of Mathematics.

2. Det kan vara svårt för en amatörmatematiker att få sina resultat publicerade. Det är mycket enklare för en yrkesverksam matematiker, som är anställd vid ett universitet. Som amatör kan man kontakta någon matematisk institution och få sina resultat bedömda och, om de visar sig vara värdefulla, få dem publicerade i någon tidskrift. Det är självklart så att upphovsmannen till resultaten kommer att stå som författare, och på så sätt får läsarna reda på vem som står för upptäckten.

Kjell Elfström


15 oktober 2008 09.18.07
Denna sida är gammal fråm 1996. Ges det fortfarande svar på frågor?
M.v.h Volker
Volker Münch

Svar:

Ja.

Kjell Elfström


14 oktober 2008 21.37.54
Hej. Läser diskret matematik och har fastnat på två frågor om mängdlära.
1. En mängd som består av alla delmängder till en given mängd A kallas P(A). Bestäm P({ö,1}) (ö=den tomma mängden) Jag vill få svaret till {ö,1,{ö,1}} men facit säger {ö,{ö},{{1}},{ö,{1}}} Tänker jag fel eller står det fel i facit?
2. Ge exempel på mängder A, B och C där A är en delmängd av B, B en delmängd av C men där A inte är en delmängd av C. I facit står det A=ö B={ö} och C= {{ö}}, men är inte den tomma mängden en delmängd av alla mängder, och följaktligen en delmängd av C också?
/Stina

Svar:

1. Ditt svar kan inte vara rätt eftersom en mängd med n element har 2n delmängder. Delmängderna till mängden A = {Ø,1} är Ø, {Ø}, {1}, {Ø,1}. Därför är P(A) = {Ø,{Ø},{1},{Ø,1}}. Tomma mängden Ø är delmängd till alla mängder. Om B = {x,1}, där x är ett godtyckligt element, som inte är lika med 1, så är P(B) = {Ø,{x},{1},{x,1}}. I P(A) skall Ø ingå eftersom Ø är en delmängd av A, och {Ø} skall ingå, eftersom Ø är ett element i A. Svaret i facit är P(C), där C = {Ø,{1}}. Mängderna A och C är inte lika. Antingen är det fel i facit, eller så har du skrivit av uppgiften eller svaret i facit fel.

2. Det går inte att ge ett sådant exempel som efterfrågas. Om A ⊆ B ⊆ C, så gäller att A ⊆ C. Om uppgiften däremot är att ge exempel på mängder A, B och C, sådana att A ∈ B, B ∈ C och A inte tillhör C, så duger svaret i facit. Ø är en delmängd av alla mängder, men tillhör inte alla mängder.

Kjell Elfström


14 oktober 2008 11.52.02
I en bägare finns 100ml saltvatten med salthalten 6%. Visa att salthalten minskar till 5% om man häller i 26 ml sötvatten.
Lina

Svar:

I bägaren finns 6 ml salt, och när man fyllt på sötvatten, så finns där 126 ml saltvatten. Andelen salt är alltså 6/126 = 1/21 ≈ 4,8%. Påståendet är alltså bara nästan sant. Du har kanske skrivit fel. Häller man i 20 ml sötvatten, så blir andelen salt 6/120 = 1/20 = 5%.

Kjell Elfström


13 oktober 2008 20.48.11
Hej Kjell!
Vid en mätning av 212 personer visar det sig att 23 personer är kortare än 160cm,87 kortare än 170cm,202 kortare än 180cm,212 kortare än 190cm.Hur stor är sannolikheten att en slumpmässigt vald person är mellan 170 och 180 cm? Tack!
Sara

Svar:

Av de 212 personerna har 202 − 87 = 15 en längd mellan 170 och 180 cm. Sannolikheten blir 15/212.

Kjell Elfström


13 oktober 2008 20.41.46
Hej.
Hur ska man tänka när man ska faktorisera uppgifter som:
a) n!-(n-1)!
b) (n+2)!-2n!
Gustav

Svar:

Utnyttja att n! är en produkt. Det gäller ju att n! = n(n − 1)!, och därför får man det faktoriserade uttrycket n(n − 1)! − (n − 1)! = (n − 1)(n − 1)! i a). I b) utnyttjar man att (n + 2)! = (n + 2)(n + 1)n! och får uttrycket ((n + 2)(n + 1) − 2)n! = (n2 + 3n)n! = n(n + 3)n!.

Kjell Elfström


13 oktober 2008 20.38.27
hej!
Uppskatta sannolikheten att
a)man väljer ut en av Sveriges invånare och det är du?
b)man väljer ut en av Sveriges invånare och den personen bor i samma kommun som du?
c)man väljer ut en av jordens invånare och det är du?
d)man väljer ut en av jordens invånare och den personen bor i Sverige?
e)man väljer ut en av jordens invånare och den personen bor i Europa? tack!
Anna

Svar:

a) Antalet gynnsamma utfall är 1, det totala antalet är n = antalet invånare i Sverige. Sannolikheten är 1/n.

b) Antalet gynnsamma utfall är g = antalet invånare i min kommun, det totala antalet är detsamma som i a). Sannolikheten blir g/n.

c) 1/n, där n är antalet invånare på jorden.

d) g/n, där g är antalet invånare i Sverige, n antalet på jorden.

e) g/n, där g är antalet invånare i Europa och n på jorden.

Kjell Elfström


12 oktober 2008 18.43.17
Hur Räknar man ut hur mycket papper det är på en mjölpaket Räknar man inte Höjden xBredden xDjupet?
Sten Andersson

Svar:

Med den av dig föreslagna räkningen får man paketets volym. Jag antar att man vill beräkna papperets area. Bottenarean är bredden×djupet. Topparean är lika stor. Framsidans area är bredden×höjden. Baksidan är lika stor. Gavlarnas areor är båda lika med djupet×höjden. Den sammanlagda arean är alltså 2(bd + bh + dh), där b är bredden, d är djupet och h höjden. Vill man sedan veta papperets volym, så får man multiplicera arean med papperstjockleken.

Kjell Elfström


12 oktober 2008 13.57.41
Hej!
Läser just nu matematik C. Om vi har f(x)=x^3-3x var en uppgift att avgöra om f(x) är växande eller avtagande i en punkt a som ligger mellan x=-1 och x=1. Man ser att f(x) då är avtagande. Kan funktionen verkligen vara avtagande i en punkt? Denna funktion är väl avtagande i intervallet från och med x=-1 till och med x=1? Tacksam för svar.
Hans Johansson

Svar:

Att en funktion skulle vara avtagande i en punkt är meningslöst. En funktion är avtagande på ett intervall I om det för alla punkter x och y i I gäller att f(x) ≥ f(y) om x ≤ y. Om det är så att funktionen f är deriverbar på I, så kan man visa att f är avtagande på I om och endast om f ′(x) ≤ 0 för alla x ∈ I. Genom att undersöka derivatan av funktionen f i frågan ser man att f är avtagande i [−1,1]. Detta faktum kan inte uttryckas med det meningslösa påståendet att f är avtagande i x för varje x ∈ [−1,1].

Kjell Elfström


12 oktober 2008 12.49.21
hej Kjell kan du hjälpa mig med den frångan: an =5, an+1= ( an + 10)/2 för alla naturligt tal n. Bevisa att talföljden är monoton och begränsad och räkna gränsvärdet
diyar

Svar:

Det skall väl stå att a0 = 5, an + 1 = (an + 10)/2. Antag att följden har ett gränsvärde A. Då gäller att an → A, då n → ∞, och an + 1 → A, då n → ∞. Enligt rekursionsformeln och gränsvärdeslagarna gäller det därför att an + 1 → (A + 10)/2, då n. → ∞. På grund av gränsvärdets entydighet är A = (A + 10)/2, vilket ger att A = 10.

Vi har visat att om följden har ett gränsvärde, så är gränsvärdet lika med 10. Det återstår att visa att följden har ett gränsvärde, dvs är konvergent. Beräknar vi a1 finner vi att a1 = (5 + 10)/2 = 15/2 ≥ a0. Vi gissar att an är växande och uppåt begränsad av talet 10. Vi börjar med det sista påståendet och bevisar det med induktion. Det gäller att a0 = 5 ≤ 10. Antag att an ≤ 10. Då är an + 1 ≤ (10 + 10)/2 = 10. Påståendet är därmed bevisat. För att visa att följden är växande skall vi visa att an ≤ an + 1 för alla naturliga tal n. För n = 0 lyder påståendet a0 ≤ a1 och det har vi redan visat. Antag att an ≤ an + 1. Då är an + 1 = (an + 10)/2 ≤ (an + 1 + 10)/2 = an + 2 = a(n + 1) + 1.

Eftersom följden är växande och uppåt begränsad har den ett gränsvärde A, och den enda möjligheten är att A = 10.

Kjell Elfström


12 oktober 2008 11.10.30
hej lund
tre tal som håller sig 3:5:8 (obs!!! vad menas när de säger talet och :)summan av talen är 176 vilka är talen ?
sara

Svar:

Om talen är x, y och z, så gäller det att x/y = 3/5 och x/z = 3/8, vilket kan skrivas som y = (5/3)x och z = (8/3)x. Uppgiften om summan ger att x + y + z = 176. Sätt nu in uttrycken y = (5/3)x och z = (8/3)x i denna ekvation, så får du en ekvation, vars enda obekanta är x.

Kjell Elfström


12 oktober 2008 11.01.36
hej lund Dela talet 65 i två delar så att du får samma resultat när du multiplicerar den ena delen med 2 och den andra deren med 3.
sara

Svar:

Om delarna är x och y, så är x + y = 65 och 2x = 3y. Se svaren på dina tidigare frågor för fortsättningen.

Kjell Elfström


12 oktober 2008 10.58.24
Valentin har tre gånger så mycket pengar som andrej. så när som på 4 kr obs!!(vad betyder så när som på) . Tillsammanns har de 104 kr. Hur mycket har var och en
sara

Svar:

Det betyder att Valentin inte har riktigt tre gånger så mycket pengar som Andrej. Det fattas 4 kronor. Om Valentin har x kronor och Andrej y kronor, så gäller alltså att x = 3y − 4. Man vet också att x + y = 104. Sätter man in det första uttrycket för x i den andra ekvationen, så får man 3y − 4 + y = 104, vilket ger att y = 25. Man får sedan att x = 3y − 4 = 71.

Kjell Elfström


12 oktober 2008 10.54.50
ett tal är 6 större än annat tal om du multiplicerar den mindre talet med fyra får du samma svar som du multiplicerar det större talet med 3 .vilka är talen
sara

Svar:

Om det större talet är x och det mindre y, så gäller det att x = y + 6 och 4y = 3x. Multiplicerar man båda led i den första ekvationen med 4, så får man 4x = 4y + 24. Eftersom 4y = 3x, ger detta att 4x = 3x + 24, vilket ger att x = 24. Det följer sedan att y = 24 − 6 = 18.

Kjell Elfström


12 oktober 2008 10.49.20
hej lund
sami samlar femkronor och tiokronor han har lika många mynt i vrje slag sammanlagt av mynten är 450 kr .hur många mynt av varje slag har sami
sara

Svar:

Om han har x mynt av varje slag, så är beloppet 5x + 10x = 15x = 450. Löser man ut x, så får man x = 30.

Kjell Elfström


12 oktober 2008 10.47.04
två tal förhåller sig som 7:3 (obs! vad menas med 7:3) summan av talen 150 .vilka är talen?
sara

Svar:

7:3 är detsamma som 7/3. Om talen är a och b, så gäller det att a/b = 7/3 och a + b = 150. Det gäller därför att 7b = 3a. Multiplicerar vi den andra ekvationen med 3, får vi 3a + 3b = 450. Utnyttjar man att 3a = 7b, så får man att 10b = 7b + 3b = 3a + 3b = 450, varför b = 45. Man får sedan att a = 105, eftersom summan är 150.

Kjell Elfström


12 oktober 2008 10.42.55
hej lund
undersök på samma sätt som i föregående uppgift om )summan av fyra tal som följer på varandra alltid är delbar med 4
b)summan av fem tal som följer på varandra alltid är delbar med 5
sara

Svar:

a) x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 4x + 6 = 4(x + 1) + 2. Detta tal är inte delbart med 4, eftersom resten vid division med 4 blir 2.

Kjell Elfström


12 oktober 2008 10.40.46
hej lund
om du adderar tre tal som följer på varandra ,till ex 13+14+15, så får du en summa som är delbar med 3.visa att det alltid är så .(ledtråd: kalla det minsta av talen för x
sara

Svar:

Om det minsta talet är x, så blir summan x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3 = 3(x + 1), som är delbart med 3.

Kjell Elfström


12 oktober 2008 10.36.06
-tänk på ett tal mellan 1 och 10
-multiplicera talet med 4
-addera det tal du nu har med 16
-dividera med 2
subtrahera med8
-dividera med 2
om du har gjort rätt har du kommit tillbaka till det tal du tänkte på från början.visa att det alltid blir så genom att kalla talet du började med för x
nadi

Svar:

Det tal som x omvandlas till enligt reglerna du anger är

((4x + 16)/2 − 8)/2 = (4x + 16)/4 − 4 = x + 4 − 4 = x.

Kjell Elfström


12 oktober 2008 10.32.33
hej
det udda talen är som bekant 1,3,5,7,9,....
a)tekna ett uttryck för det n:6 udda talet (obs!!!!!! vad menas med n:6)
b)använd uttrycket och räkna ut vilket det 735:6 udda talet är
yakom

Svar:

Jag vet inte vad n:6 betyder, men gissar att det är en felskrivning för n:e. För t ex n = 3 blir det n:e det 3:e, dvs det tredje. Det första udda talet är 1 = − 1 + 2. Man inser att man får det n:e udda talet genom att till talet −1 addera n tvåor. Det n:e udda talet är därför −1 + 2n. Det 735:e udda talet är −1 + 735⋅2 = 1469.

Kjell Elfström


12 oktober 2008 10.27.44
förenkla
a)10x^2-x(6x-1)+18x-4x(x+5)
b)3y(2y+z)-3y(y-2z)-3y(y+3z)
mari

Svar:

Se 12 oktober 2008 10.17.45.

Kjell Elfström


12 oktober 2008 10.24.07
en pool rymmer x liter vatten . poolen fylls genom två kranar.den ena kranen ger y liter vatten per minut och den andra ger z liter per minut.antag att den första kranen står på i a minuter och den andra i b minuter .tekna ett uttryck för hur många liter vatten som sedan fattas innan poolen är fylld
yabik

Svar:

Efter påfyllningen innehåller poolen ay + bz liter vatten, och det fattas x − (ay + bz) = x − ay − bz liter.

Kjell Elfström


12 oktober 2008 10.17.45
Forenkla
a) 6(5x- 3y) - 4y(2x- l) + 5xy-2(x-7y)
b) a(c + b) - c(a- d) + d(b-c) - b(a+ d)
yabom

Svar:

a) Multiplicera in 6, 4y och 2 i parenteserna, så får du

30x − 18y − 8xy + 4y + 5xy − 2x + 14y = 28x − 3xy = x(28 − 3y).

b) Gör likadant.

Kjell Elfström


12 oktober 2008 10.14.48
Förenkla uttrycken
a) 4x(y + z) - 3x(y + 2z)
a) 9xy-3x(3y-2)- 6x
yakob

Svar:

a) Bryter man ut x, så får man uttrycket x(4y + 4z − 3y − 6z) = x(y − 2z).

b) Även här kan man bryta ut x.

Kjell Elfström


11 oktober 2008 21.33.25
Benen i en likbent triangel har en konstant längd L. Bestäm med en exakt metod hur stor vinkeln( elfa). skall vara för att trinagelns area skall bli maximal. De har ritat en triangel ABC . AB = BC sen de vill ha vinkeln som ligger mellan AB och CA som heter elfa
Nor

Svar:

Det gäller att AB = BC = L. Lägg triangeln så att BA bildar dess bas. Om BC är vinkelrät mot BA, så är BC = L höjden i triangeln, och om BC inte är vinkelrät mot BA, så är höjden mindre än L. Den största höjden, och därmed också den största arean, får man alltså då BA och BC bildar rät vinkel. Eftersom de återstående vinklarna i triangeln är lika, och vinkelsumman är två räta, så är α = π/4 = 45°.

Kjell Elfström


11 oktober 2008 11.29.20
Hej!
Kan du förklara följande för mig: Jag vet att tre sidor i en rektangel är 360 m. Beräkna maxmala arean. Jag ställer upp funktionen A = x(360 - 2x) = 360x - 2x^2. Jag deriverar och sätt A´= 0 och får att när x = 90 blir maxarean 16 200 m^2. Jag kollar via andraderivatan att den bli negativ så det är en maxpunkt när x =90. MEN när jag sedan sitter och studerar rektangeln som jag vet har en omkrets på 540 m kan jag ju få betydligt större areor än den jag beräknade. T ex 100 x 170 = 17 000 m^2. Jag trodde att jag beräknade den största arean.
Tänker jag helt tokigt?
Anna

Svar:

Om summan av tre sidor i en rektangel är 360 m, så är den maximala arean 16200 m2. Din beräkning är korrekt genomförd. På slutet glömmer du bort den ursprungliga begränsningen, att summan av tre sidor är 360 m. Rektangeln med sidorna 100 m och 170 m har en större area, men det gäller heller inte att summan av tre sidor i denna rektangel är 360 m.

Kjell Elfström


11 oktober 2008 10.43.53
beräkna den kortaste avståndet mellan punkten (3,4,0) och planen (x-1)^2 + (y-1)^2 = 4
delen

Svar:

(x − 1)2 + (y − 1)2 = 4 är inte ekvationen för ett plan utan för en cylinder. Eftersom punkten (3,4,0) ligger i xy-planet, och cylinderns axel är parallell med z-axeln, så är det sökta avståndet detsamma som avståndet mellan punkten (3,4) och cirkeln (x − 1)2 + (y − 1)2 = 4 i ett tvådimensionellt koordinatsystem. Låter man linjen genom cirkelns medelpunkt och punkten (3,4) skära cirkeln, så får man två skärningspunkter. En av dessa är den punkt på cirkeln, som ligger närmast (3,4).

Linjen genom (3,4) och cirkelns medelpunkt (1,1) har ekvationen (x,y) = (1,1) + t(2,3). Sätter vi in detta i cirkelns ekvation, får vi (2t)2 + (3t)2 = 4, och denna ekvation har rötterna t = ±2/√13. Det är klart att det positiva t-värdet motsvarar den närmaste punkten, och den blir (1 + 4/√13,1 + 6/√13). Vektorn från denna punkt till punkten (3,4) har koordinaterna (2 − 4/√13,3 − 6/√13), och dess längd är √(17 − 4√13) = √13 − 2.

Kjell Elfström


11 oktober 2008 09.10.27
Jag håller på egen hand att försöka få grepp om logaritmer.
Bl a att byta bas. I en regelsamling har jag hittat:
loga(x)=loga(b)*logb(x)
1. Är osäker hur den ska tillämpas.
Testat: Att byta till basen 2.
log8(27) =log8(2)*log2(27) = 1/3*log2(27) verkar enkelt log3(5) =log3(2)*log2(5) Hur kan jag gå vidare här?
2. Hur kan man inse att ln(6)/ln(2)= log4(36)?
P-O

Svar:

1. Din omskrivning av log35 är korrekt, men du kan inte gå vidare, eftersom de ingående logaritmerna inte kan uttryckas exakt.

2. Enligt regeln du använder är ln x = (ln 4)⋅(log4x), och därför är (ln 6)/(ln 2) = (log46)/(log42). Eftersom 2 = 41/2, så är log42 = 1/2, och man får att (ln 6)/(ln 2) = 2 log46 = log462 = log436.

Kjell Elfström


11 oktober 2008 02.25.55
Hejsan! En kon är inskriven med sidan a i en kub. Beräkna det exakta förhållandet mellan konens volym och kubens volym.
Abdul Jabar

Svar:

Jag antar att det är en cirkulär kon, som har sin basyta på en av kubens sidor och toppen på den motstående sidan. Om kuben har sidan a, så är dess volym a3. Konens bottenyta har radien a/2 och konens höjd är a. Konens volym är därmed lika med π(a/2)2a/3 = πa3/12, och förhållandet blir π/12.

Kjell Elfström


11 oktober 2008 00.42.27
Elsa har två systrar,Astrid och Selma.I staden där dom bor finns det ungefär 1600trebarnsfamiljier.I hur många av dessa familjer är det sannolikt att det finns tre döttrar?
tack
ana

Svar:

Om barnens kön är oberoende händelser, så är sannolikheten att det i en trebarnsfamilj finns tre döttrar lika med (1/2)3 = 1/8. Väntevärdet på antalet familjer med tre döttrar i staden är därför (1/8)⋅1600 = 200.

Kjell Elfström


10 oktober 2008 23.12.44
Det gäller att
(2-sqrt(x+3))/(x-1)-->-1/4 då x-->1.
Jag vill att gränsvärdet bevisas med gränsvärdesdefinitionen, d.v.s. med epsilon, delta teknik. Tack på förhand.
Johan

Svar:

Sätt f(x) = (2 − √(x + 3))/(x − 1). Förlängning med konjugatet till täljaren ger att f(x) = (1 − x)/((x − 1)(2 + √(x + 3))) = −1/(2 + √(x + 3)). Man får att

|f(x) − (−1/4)| = |1/4 − 1/(2 + √(x + 3))| = |(√(x + 3) − 2)/(√(x + 3) + 2)|.

Förlänger vi med täljarens konjugat, får vi nu att

|f(x) − (−1/4)| = |(x − 1)/(√(x + 3) + 2)2| = |x − 1|/(√(x + 3) + 2)2 ≤ |x − 1|/4

för alla x > −3. Det gäller att x > −3 om |x − 1| < 4. Låt nu ε > 0, och sätt δ = min(4,4ε). Det gäller då att |f(x) − (−1/4)| < ε, om 0 < |x − 1| < δ.

Kjell Elfström


10 oktober 2008 20.25.54
Varför har talet e fått just beteckningen e? Har det med von Euler att göra?
Jan

Svar:

Det var Leonhard Euler (inte von Euler) som introducerade beteckningen, men den har säkerligen ingenting med hans namn att göra. Det spekuleras i varför han valde just den bokstaven, och flera förklaringar har framkastats. Ingen vet dock med säkerhet varför han valde e. Några tror att det var därför att det var den första oanvända bokstaven efter de vanligt förekommande a, b, c och d.

Kjell Elfström


10 oktober 2008 13.45.52
23 september 2008 20.56.26
Hej,
Hur ser lösningen ut på följande?
Ange kvoten mellan det skuggade områdets area och hela kvadratens area. kvadratens sida benämns a. det skuggade området är en ellips diagonalt i kvadraten skapad av två motstående bågsektorer med sidan a dvs slipsen utgörs av två bågsektorer minus två trianglar a*a.
tacksam för svar
Christer Eberger

Om man ritar en bågsektor i kvadraten och bågsektorns radie är lika med kvadratens sida skapas en båge i kvadraten med början och slut i diagonalt motsatta hörn i kvadraten. Gör du det från två diagonalt motsatta hörn får du två sådana båglinjer vilka bildar en ellipsformad yta diagonalt i kvadraten. Problemet är att ange en kvot mellan detta områdes yta och kvadratens yta i absolut form, dvs med en ekvation motsv. Låt kvadratens sida representeras av[a]. Jag får inte till det med min mattekunskap. Enligt några kan man härleda den elliptiska ytan som att kvadratens yta (a*2)minus bågsektorn ((sektorns vinkel/2)*radien^2 osv men där tar det stopp för mig. Kan du hjälpa mig?
Christer

Svar:

Området är, som jag förstår din beskrivning, ingen ellips. Man ritar kvartscirklar med radien a och medelpunkter i två motsatta hörn i kvadraten. På så sätt delas kvadraten upp i tre delar, två trehörniga delar och en som begränsas av två cirkelbågar. De båda trehörniga delarna är lika stora. Kvadraten består av en kvartscirkel och ett trehörnigt område. Kvartscirkelns area är πa2/4, och eftersom trehörningen utgör resten av kvadraten, är dess area a2 − πa2/4. De båda trehörningarnas sammanlagda area är 2(a2 − πa2/4). Området i mitten har därför arean a2 − 2(a2 − πa2/4) = a2(π/2 − 1), och den sökta kvoten blir π/2 − 1.

Kjell Elfström


10 oktober 2008 11.48.43
Hur skall man bedöma svaren från följande fråga(ställt på ett prov). "Det var 12639 åskådare på matchen. Vilket tal skall adderas till antalet åskådare för att tiotalssiffran skall ändras till 8?" Svaren varierade där en del elever bl.a. svarade 41 och andra svarade 50. Vilket/vilka svar är korrekt/korrekta? Har något svar en högre abstaktionsnivå än ett annat?
Peter Eriksson

Svar:

Båda svaren måste anses vara korrekta, vilket för övrigt svaren 141, 241, 250 och −59 också är. Om frågeställaren egentligen undrar hur många fler åskådare det krävs, för att tiotalssiffran skall bli en åtta, så bör han formulera frågan så att detta framgår. I så fall torde endast svaret 41 vara korrekt. Jag förstår inte hur abstraktionsnivå kommer in i sammanhanget.

Kjell Elfström


9 oktober 2008 21.09.05
Hej! Det finns ju ett antal datorer som räknar ut decimal efter decimal på talet pi. Men med vilken formel/metod/samband arbetar de med? Alltså hur ställer man upp ett uttryck för att beräkna pi?
Gustav

Svar:

I nybörjarkurser i analys lär man ut att Taylorutvecklingen av arctan x är x − x3/3 + x5/5 − x7/7 + … och att utvecklingen konvergerar mot arctan x om −1 ≤ x ≤ 1. För x = 1 får man

π/4 = arctan 1 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …

Genom att taga med tillräckligt många termer i utvecklingen kan man komma hur nära π/4 man vill. Problemet är bara att konvergensen sker mycket långsamt. För att få den noggrannhet som redan Arkimedes hade, nämligen 3,140 < π < 3,143, får man taga med omkring 4000 termer.

Genom att använda additionsformlerna för tangens, något som man kan efter ovan nämnda nybörjarkurser, kan man visa att

π/4 = 4 arctan(1/5) − arctan(1/239).

Denna formel kallas Machins formel efter 1700-talsmatematikern Machin. Nu kan man utveckla de ingående arctan-termerna och få mycket snabbare konvergens, eftersom argumenten 1/5 och 1/239 är mycket mindre än 1. Machin beräknade 100 korrekta decimaler i π med hjälp av sin formel.

Den indiske matematikern Srinivasa Ramanujan verkade i början av 1900-talet och upptäckte en mängd formler för π. En av dem är

1/π = (2(√2)/9801) ∑k = 0 (4k)!(1103 + 26390k)/((k!)⋅3964k).

(Nu räcker inte nybörjarkursen till längre.) Formeln ger ungefär åtta nya korrekta decimaler i π för varje ny term man tar med. Med hjälp av denna formel beräknade William Gosper 17 miljoner decimaler i π år 1985.

1995 upptäckte Simon Plouffe en märklig formel:

π = ∑k = 0(4/(8k + 1) − 2/(8k + 4) − 1/(8k + 5) − 1/(8k + 6)).

Den går under namnet BBP-formel efter författarna Bailey, Borwein och Plouffe, vilka var författarna till artikeln i vilken den först förekom. Med hjälp av formeln kan en hexadecimal siffra i π beräknas utan att man behöver beräkna de föregående hexadecimala siffrorna.

Kjell Elfström


9 oktober 2008 11.37.14
Vi har talserien 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 .....
hur skriver man den serien formelmässigt ?
Anders Karelid

Svar:

Det n:e elementet i följden är lika med den aritmetiska summan 1 + 2 + 3 + … + n, alltså summan av de n minsta positiva heltalen. Det är välkänt att en aritmetisk summa är lika med antalet termer gånger summan av den första och sista termen dividerad med 2. Det n:e elementet är alltså n(n + 1)/2.

Kjell Elfström


8 oktober 2008 22.19.19
Hej Kjell
Du skrev i förra månaden så här "Snurrar man hjulet 2000 gånger, så är sannolikheten för att få 1000 svarta och 1000 röda bara 0,018." Hur räknar man detta? Tack på för hand
Jangaly
Jangaly

Svar:

Antalet svarta utfall är binomialfördelat med sannolikheten 1/2 för svart (om man bortser från nollan). Sannolikheten för exakt 1000 svarta vid 2000 försök är då (20001000)⋅(1/2)1000⋅(1/2)1000. Symbolen (nk) står för n!/(k!(n − k)!). För n = 2000 och k = 1000 blir den 2000⋅1999⋅1998⋅…⋅1002⋅1001/(1000⋅999⋅998⋅…⋅2⋅1). Om man frågar efter sannolikheten att få svart i 1000 i förväg bestämda försök och rött i de återstående, så blir sannolikheten att vi lyckas i varje försök (1/2)⋅(1/2)⋅…⋅(1/2) = (1/2)2000. Man kan emellertid få svart i 1000 försök och rött i de återstående på flera sätt. Antalet sätt att välja ut de 1000 försök, i vilka vi skall få svart, är (20001000), och därför multiplicerar vi sannolikheten (1/2)2000 med (20001000).

Kjell Elfström


8 oktober 2008 22.10.29
En elev i årskurs 9 har givit mig detta problem från sin mattebok. Diagonalt över en gata ställs två stegar som då korsar varandra. De står alltså med bottenändan mot det ena huset och toppenändan mot det andra. De korsar varandra 5 meter över gatan. Hur bred är gatan? Hur löser man en sådan uppgift? Är det rimligt att man kan det i årskurs 9?
Pytte

Svar:

Se 19 februari 2008 13.47.05 och 17 februari 2008 21.01.37.

Kjell Elfström


8 oktober 2008 19.42.15
Beräkna volymen av den begränsade kropp som begränsas av de två paraboloiderna z=14-x^2-y^2 och z=2+(x+2)^2+(y-2)^2
Mvh
Olle

Svar:

Skillnaden mellan funktionerna är

f(x,y) = 14 − x2 − y2 − 2 − (x + 2)2 − (y − 1)2 = −2(x2 + y2 − 2y2 − 4x + 4y)
= −2((x + 1)2 + (y − 1)2 − 22).

Projektionen på xy-planet av ytornas skärning är alltså cirkeln (x + 1)2 + (y − 1)2 = 22. Om D är motsvarande cirkelskiva, så är den sökta volymen lika med ∫D f(x,ydx dy. För att beräkna denna parametriserar man lämpligen cirkelskivan genom x + 1 = r cos θ, y − 1 = r sin θ. 0 ≤ θ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π. Volymen blir −2 ∫02π02 r(r2 − 22dr  = 16π.

Kjell Elfström


8 oktober 2008 19.18.15
hur beräknar jag följande integral: integraltecken går från 2 till 1 ((ye^(-1)-ye^(-y^2)) dy
Sven

Svar:

Ditt huvudproblem är väl att bestämma primitiv funktion. Den första termen är y gånger en konstant, och en primitiv funktion blir (y2/2)e−1. En primitiv funktion till −yey2 är (1/2)ey2. Detta ser man troligen direkt, och skulle man inte göra det, så kan man substituera t = y2. En primitiv funktion till integranden är alltså (y2/2)e−1 + (1/2)ey2.

Kjell Elfström


8 oktober 2008 19.15.25
Hej! Har här en mattefråga som givit mig en hel del huvudbry: Vid produktionen av en vara är den genomsnittliga kostnaden G(x) kr per enhet där G(x) = 9000/x + 40 + x/30. Frågan lyder sedan hur många enheter tillverkas om genomsnittskostnaden är 96 kronor? Hur löses detta, med pq-formeln? Det känns som om jag provat allt men jag är så lpngt ifrån rätt svar man kan komma. (Det skall bli två lösningar; 180 eller 1500 st)Stort tack på förhand för hjälp med detta mysterium.
MVH Eric
Eric Johansson

Svar:

Att genomsnittskostnaden är 96 kr betyder att 9000/x + 40 + x/30 = 96. Multiplicerar man båda leden med x, så får man en andragradsekvation, nämligen 9000 + 40x + x2/30 = 96x. Vi subtraherar först 96x från båda led, och därefter multiplicerar vi de nya leden med 30. Ekvationen övergår då i x2 − 1680x + 270000 = 0. Denna ekvation kan lösas med hjälp av formeln för lösningarna till andragradsekvationen.

Kjell Elfström


8 oktober 2008 14.50.11
Hej!
Illustrerad Vetenskap nr. 9/2008 skriver: "Oändlighet är ett otroligt svårt begrepp som fortfarande vållar matematiker problem, då logikens regler inför denna kollapsar. Oändlighet kan dock hanteras, om man etablerar förhållandet mellan två talmängder så att det för varje tal i den ena mängden också finns ett i den andra."
Varför är oändlighet ett svårt begrepp?
Varför kollapsar logiken inför oändligheten?
Hälsningar Alf Nilsson
Alf Nilsson

Svar:

Jag tror inte oändligheten är ett svårare begrepp inom matematiken än många andra begrepp. Det är heller inte så att logiken kollapsar. Problemet är kanske att många har en diffus uppfattning om begreppets innebörd, och då upplevs många resultat som ointuitiva. Två mängder säges vara lika mäktiga (man föredrar kanske att säga ”ha lika många element”, när mängderna är ändliga) om det finns en bijektiv funktion från den ena till den andra. Det är på så sätt du kan avgöra om du har lika många fingrar på dina händer. Du parar ihop den ena handens fingrar med den andras. Om det inte blir något finger över, så har händerna lika många fingrar. Man har en bijektiv funktion f från t ex vänsterhandens fingrar till högerhandens. T ex är f(lillfingret) = lillfingret osv. Det gäller då att det finns lika många heltal som naturliga tal. Man kan avbilda 0 på 0, 1 på 1, 2 på −1, 3 på 2, 4 på −2 osv. Man kan alltså para ihop de naturliga talen med heltalen på samma sätt som vi gjorde med fingrarna. Det är till och med så att det i den här meningen finns ”lika många¨ rationella tal, som det finns heltal. Detta kan för mångas intuition verka paradoxalt och rent av ologiskt. Men studerar man definitionen av ”lika många” är det fullständigt logiskt.

Kjell Elfström


8 oktober 2008 12.13.31
Hej
Tacksam för all hjälp jag har fått. Vid standardiserad normalfördilning räknar man Z mha tabiln när z < 1,29. Hur kan man räkna sannolikheten dvs storFi(1,36) eller när z > 1,29 ?
tack en gång till
Kazem
Kazem Vafaeian

Svar:

Det gäller att Φ(z) = ∫−∞z f(xdx, där f(x) = (1/√(2π))ex2/2. Det finns flera sätt att beräkna approximativa värden av Φ(z). Många av dem bygger på att man ersätter f med en annan funktion, av vilken man kan beräkna integralen exakt. Man kan t ex Taylorutveckla f eller använda Simpsons formel. Man utnyttjar då att Φ(z) = 1/2 + ∫0z f(xdx, och beräknar integralen approximativt.

Abramowitz and Stegun har följande approximation: Sätt p = 0,33267, t = 1/(1 + pz), a = 0,4361836, b = −0,1201676 och c = 0,9372980. Då är Φ(z) ≈ 1 − f(z)(at + bt2 + ct3) med ett fel mindre än 10−5.

Kjell Elfström


7 oktober 2008 14.22.23
Till ett visst apotek, med fem kassor med gemensam kö, ankommer kunderna med exponentialfördelad tid mellan ankomsterna med ett väntevärde på 1/λ minuter. Betjäningstiden är exponentialfördelad och varje kassa betjänar kunderna med en intensitet av µ kunder per minut. Hur stor är sannolikheten att fem eller fler kunder står i kö?
Peter

Svar:

Se 22 september 2008 10.23.22.

Kjell Elfström


7 oktober 2008 10.38.25
det tar 16 minuter att fylla annas badkar.ibadkaret finns då 240 liter vatten det tar sedan 20 minuter att tömma badkaret en dag glömmer anna att sätta i proppen när hon ska fylla bad karet .hur lång tid tar det då innan badkarey blir fullt?
yakob

Svar:

Påfyllningshastigheten är 1/16 badkar/min och utflödeshastigheten 1/20 badkar/min. Vattnet i karet ökar med 1/16 − 1/20 = 1/80 badkar/min. Det tar alltså 80 minuter innan karet är fullt.

Kjell Elfström


6 oktober 2008 11.35.18
Jag har experimenterat med y=(1+1/x)^x på min räknare. När man stoppar in stora tal blir svaret nästan e. Upp till ca 10^13 då händer det konstiga saker och till slut funktionen lägger sig på y=1, när x är ca 10^14. Kan du förklara vad som händer?
Jason

Svar:

Det gäller att (1 + 1/x)x → ex → ∞. Rent matematiskt så skall alltså värdena ligga nära e också då x > 1014. Att det blir fel i räknaren beror förmodligen på att 1 + 1/x beräknas först, och om x är för stort approximeras detta värde med 1. Denna etta upphöjs sedan, och då får man resultatet 1.

Kjell Elfström


6 oktober 2008 10.28.53
En fråga jag kom på i samband med gränsvärden för rationellafunktioner. Om man betraktar funktionen (x^2-1)/(x-1). Då kan man ju förkorta bort x-1 och få x+1. Men räknas funktionen som "samma" som x+1? Det går ju inte att förkorta när x=1. Är det samma funktion?
Jacob

Svar:

För att entydigt bestämma en funktion räcker det inte att bara ange ett uttryck. Funktionerna f och g definierade genom f(x) = x2, x ∈ R och g(x) = x2, x ∈ R+, är olika funktioner. Den första är definierad för alla reella tal x och den andra bara för de positiva. Skriver man bara h(x) = x2 i en kurs i reell analys menar man vanligen att h = f och inte att h = g. Man anser att funktionen skall vara definierad för alla x, för vilka funktionsuttrycket är meningsfullt, om inte definitionsmängden är särskilt angiven.

I enlighet med denna praxis är funktionerna f och g definierade genom f(x) = (x2 − 1)/(x − 1) och g(x) = x + 1 olika funktioner. f är bara definierad då x ≠ 1, medan g är definierad för alla reella x.

Kjell Elfström


5 oktober 2008 17.13.13
Hej! Har lekt lite med liksidiga trianglar. Om man delar upp en sådan i mindre trianglar så får man vid första delningen två rader och totalt 5 st trianglar. Jag har fortsatt och delat och fått fler och fler rader, och ännu större antal på totala antalet trianglar. Jag har försökt hitta en formel för att lättare kunna beräkna totala antalet trianglar hos en triangel med exempelvis 43 rader. Kan du hjälpa mig?!
Jesper

Svar:

Se 14 mars 2005 23.09.20.

Kjell Elfström


5 oktober 2008 16.42.30
hej! hur skulle man linjärisera med följande ekv d^2y/dt^2 = g - i^2 L/ 2ma(1+y/a)^2 Tack
heza

Svar:

Betrakta högerledet som en funktion f av y. Antag att y(t0) = y0, så att problemet är ett begynnelsevärdesproblem. Utvecklar du f(y) i Taylorserie kring y = y0 och stryker termer av grad större än 1, så får du det lineariserade högerledet.

Kjell Elfström


5 oktober 2008 13.57.57
En djuraffär säljer katter och kanariefåglar. En katt är värd 100 kr och en kanariefågel 150 kr. Alla katter och fåglar i affären är tillsammans värda 3600 kr. En natt lämnas en dörr öppen. Två katter försvinner och de övriga äter upp hälften av kanariefåglarna. Nu är det totala värdet bara 2200 kr. Hur många katter och fåglar var det från början?
Uppgiften och svaret känns så banala att jag inte förstår poängen med den som författarna har kastat in bland andra avancerade uppgifter. Vilket är det mest finurliga ekvationssystem som går att sätta upp (2 variabler, 3 variabler) här och som gör att svaret inte blir så banalt?
Tack på förhand RS

Svar:

Jag vet inte på vilken nivå uppgiften förekommer och kan inte uttala mig om huruvida den är banal för den nivån. Är det x katter och y fåglar från början, får man följande ekvationssystem: 100x + 150y = 3600, 100(x − 2) + 150(y/2) = 2200. Detta kan skrivas om som 100x + 150y = 3600, 100x + 75y = 2400.

Kjell Elfström


5 oktober 2008 11.28.35
Hej
Jag har en avkapad kon vars stora diameter är 150 mm och den lilla diametern är 75 mm och höjden mellan dessa diametrar är 100 mm. Hur räknar jag ut arean på "cirkelsektorn" som blir kvar?
Simon

Svar:

Låter vi h vara den ostympade konens höjd, ger likformiga trianglar att h/150 = (h − 100)/75. Av detta följer att h = 200. Höjden av toppkonen är därför 200 − 100 = 100. Enligt Pythagoras sats är hela konens sida R = √(752 + 2002) = 25√73. Toppkonens är därför r = (25√73)/2. Skär nu upp hela konen utefter sidan, vinkelrätt mot bottenomkretsen. Då uppstår en cirkelsektor med radien R. Sektorbågen är lika stor som konens omkrets, nämligen 150π. Hela cirkelns omkrets är 2πR och dess area är πR2. Sektorns area är därför (150π/(2πR))πR2 = 75πR. Vi beräknar arean av toppsektorn på samma sätt. Dess radie är r och dess båge 75π. Dess area är därför (75/2)πr = (75/4)πR. Den sökta arean är skillnaden mellan dessa areor, nämligen (225/4)πR = (8625π√73)/4 mm2.

Kjell Elfström


4 oktober 2008 23.48.26
Hej!
Jag behöver hjälp och vägledning att beräkna denna dubbelintegral.
Tack
Låt D vara det begränsade område som begränsas av linjen y=2x och parabeln y=x^2. Beräkna dubbelintegralen
[math]
\iint_D {3xdxdy}
[/math]
Malin

Svar:

Kurvorna skär varandra då x = 0 och då x = 2. För varje sådant x skall y variera mellan x2 och 2x. Integralen kan därför beräknas som ∫02 (∫x22x 3x dydx. Den inre integralen är [3xy]x22x = 6x2 − 3x3. Dubbelintegralen blir därför lika med ∫02 (6x2 − 3x3dx.

Kjell Elfström


4 oktober 2008 23.37.09
Hej Kjell!
Hjälp mig med lösning och förklingar till följnde frågor
- Vilken av de frya funktionerna är aviblidad?
a) f(x) = 3x - x2 + 2
b) f(x) = x2 + 2x -3
c) f(x) = 2x2 - 8x - 3
d) f(x) = x2 -6x + 5
OBS: x2 betyder x upphöjt till 2
- Vilka av följande händelse här största sannolikhet
a) en tvåbarnsfamilj har två flickor
b) en trebarnsfamilj har två flickor
c) en fyra barnsfamilj har tre pojkar
förutsätt att sannolikheten att få en pojke är samma som att få en flicka
tack Eva

Svar:

Till den första uppgiften hör säkerligen någon bild, utan vilken jag inte kan ge dig något svar.

Låt oss beräkna de tre sannolikheterna. Könen på två barn kan bestämmas på 22 = 4 sätt, och om båda skall vara flickor är antalet gynnsamma utfall 1. Sannolikheten i a) är alltså 1/4. I b) finns det 23 = 8 möjliga utfall. Bara 3 av dem är gynnsamma, om två barn skall vara flickor. Ett av barnen skall då vara pojke, och det barnet kan väljas på 3 sätt. Sannolikheten blir alltså 3/8 i b). I c) skall ett barn vara flicka. Det barnet kan väljas på 4 sätt. Sannolikheten blir 4/24 = 1/4.

Kjell Elfström


4 oktober 2008 20.51.10
hur mycket är 17154kb i gb
alex

Svar:

1 gigabyte är 230 byte, och 1 kilobyte är 210 byte. Därför är 1 gigabyte 230/210 = 220 kilobyte. Svaret blir därför 17154/220 ≈ 0,016 gigabyte.

Kjell Elfström


4 oktober 2008 19.02.18
Fyra affärsmän är kallade till ett sammanträde på Scandic Hotell i Storstad. De anländer vid olika tidpunkter till staden och ber taxichauffören köra dem till Scandic. Taxichauffören meddelar då att det finns fyra olika hotell med detta namn i staden. Hur stor är chansen att alla hamnar på olika hotell? Hur stor är chansen att alla hamnar på samma hotell?
Anna

Svar:

Om affärsmännen skall hamna på olika hotell, så har den förste 4 hotell att välja bland, näste har 3, näste 2 och den siste har 1 möjligt hotell. Det blir 4⋅3⋅2⋅1 = 24 gynnsamma utfall. Det totala antalet utfall är 44, och sannolikheten för olika hotell blir 24/44. Om alla skall hamna på samma hotell, finns bara 4 gynnsamma utfall, och sannolikheten blir 4/44 = 4−3.

Kjell Elfström


4 oktober 2008 18.24.49
Ett positivt heltal upphöjt till ett bråktal är en rotutdragning men hur är det med ett heltal upphöjt till pi? Är det också en rotutdragning? Pi är ju irrationellt, vet därför inte riktigt hur man ska beräkna det? Med Hjälp av Taylorutveckling så antar jag att det förmodligen också är en rotutdragning? Men kan alla irrationella tal Taylorutvecklas? Är ej heller helt säker på att jag förstått innebörden i rotutdragning, jag tolkar det som närhelst en rot beräknas? Tack på förhand
Johan

Svar:

Att draga roten ur ett tal är att beräkna en rot. Om x är ett irrationellt tal, så finns det en följd (xn) av rationella tal, sådan att xn → x, då n → ∞. Exponentialfunktionen med basen a är kontinuerlig, vilket innebär att axn → ax, då n → ∞. Man kan definiera exponentialfunktionen för irrationella exponenter på detta sätt. Du kan alltså få ett närmevärde till aπ med godtycklig noggrannhet genom att taga med tillräckligt många decimaler i utvecklingen av π, kalla detta tal för p och beräkna ap. Man kan beräkna aπ med hjälp av Taylorutvecklingen av funktionen f(x) = ex. Man skriver då aπ = eπ ln a. Man Taylorutvecklar funktioner, inte tal.

Kjell Elfström


4 oktober 2008 15.35.13
hejsan! Tack för svar på min fråga den 25 september 2008 09.16.21. "Slangarnas kapaciteter är 1/10 pol/h och 1/3 pol/h. Sammanlagt blir det 1/10 + 1/3 = 13/30 pol/h. Att fylla polen tar därför 1/(13/30) = 30/13 timmar" Vad menas med pol/h och i slutändan av uträkningen tar du 1/(13/30)= 13/13 timmar. Tack!
Adelina

Svar:

Pool råkade bli felstavat, och det borde ha stått pooler/h, som betyder pooler per timme. Om man kan fylla 3 pooler per timme, så tar det 1/3 timme att fylla en pool. Kan man fylla 13/30 pooler per timme, så tar det 1/(13/30) timmar att fylla en pool.

Kjell Elfström


4 oktober 2008 12.57.32
Ett tillämpat problem inom tipsvärlden! För Stryktipset kan man få information om hur streckfördelningen ser ut för de inlämnade raderna, t.ex. för match 1 är fördelningen 10%-35%-55% för tecknen 1-X-2. Genom att multiplicera streckfördelningen för ett givet tecken i varje av de 13 matcherna kan man få en approximation av hur många sådana rader som är spelade. Förenklat exempel: alla matcher har fördelningen 10%-35%-55%, 10000000 rader spelade => Approximation för rad som bara innehåller 2:or = 0,55^13*10000000 ~= 4214 rader. MEN - det finns en korrelation mellan de olika tipstecknen. Inte många spelar samtliga favorittecken. Hur ska man tänka här? Jag förstår att man måste göra en modell och sedan datainsamling för att bestämma parametrarna. Hur modellerar man något sådant? Inom vilket område ska jag söka expertis?
Markus

Svar:

Kanske har Magnus Wiktorsson vid Avdelningen för matematisk statistik möjlighet att ge dig ett svar.

Kjell Elfström


4 oktober 2008 12.33.18
Hur löser man ekvationer av typen 3*5^(3-x)+122=5^x ? Har förgäves försökt faktorisera men hamnar i än krångligare uttryck.
Jan

Svar:

Multiplicerar man ekvationen med 5x, så får man den ekvivalenta ekvationen 375 + 122⋅5x = (5x)2. Sätter du t = 5x, så får du en vanlig andragradsekvation. Lös denna. Om t är en positiv lösning, så är x = (ln t)/(ln 5) en lösning till den ursprungliga ekvationen.

Kjell Elfström


4 oktober 2008 10.53.46
Korleis løyser ein differensiallikninga y'=x^2+y^2 ?
Ola

Svar:

Man kan mig veterligen inte uttrycka lösningen med hjälp av elementära funktioner. Den allmänna lösningen till ekvationen är

y = −x(CJ−3/4(x2/2) + Y−3/4(x2/2))/(CJ1/4(x2/2) + Y1/4(x2/2)),

där J och Y är Besselfunktioner av det första och andra slaget.

Kjell Elfström


4 oktober 2008 01.01.56
Behöver hjälp att lösa denna uppgift. Tack i för hand. Kurvstycket y=cos x, -pi/2<=x<=pi/2 rotera kring x-axeln. Beräkna volymen och arean av den så uppkomna rotationskroppen.
Malin

Svar:

Eftersom funktionen cos är jämn, räcker det att låta kurvstycket från x = 0 till x = π/2 rotera och dubblera värdena. Volymen är därför

2π0π/2 cos2x dx = 2π0π/2 ((1 + cos 2x)/2) dx.

Härifrån kan du själv fortsätta.

Om y = cos x, så är arean

A = 2⋅2π0π/2y√(1 + (dy/dx)2dx = 4π0π/2(cos x)√(1 + sin2xdx.

Substitutionen t = sin x ger att

A = 4π ∫01 √(1 + t2dt.

Du kan se i dokumentet ”Några integraler” under Utvalda frågor hur denna integral beräknas.

Kjell Elfström


4 oktober 2008 00.52.42
Hur beräknar jag följande dubbel inegral?
Låt D vara det begränsade område som begränsas av kurvan xy=1 och de båda linjerna y=x och y=2. Beräkna dubbelintegralen:
[math]
\iint\limits_D {y^2 e^{ - xy} dxdy}
[/math]
Malin

Svar:

Området kan beskrivas genom 1 ≤ y < 2, 1/y ≤ x ≤ y. Det gäller att

1/yy y2exy dx = [−yexy]1/yy = ye−1 − yey2.

Den sökta integralen kan alltså beräknas som ∫12 (ye−1 − yey2dy, vilket jag överlåter åt dig.

Kjell Elfström


3 oktober 2008 18.03.02
de samlade in havsvatten.de samlar 30g havsvatten och det blev 3% salt av det ,de tillsatt 50g havsvatten och fick 5% sal. vlken är den nya sahalten
benjamin

Svar:

Menar du att de blandar 30 g saltvatten med salthalten 3% med 50 g saltvatten med salthalten 5%? Mängden salt i blandningen är 0,03⋅30 + 0,05⋅50 g, och blandningens salthalt blir (0,03⋅30 + 0,05⋅50)/(30 + 50) = 4,25%.

Kjell Elfström


3 oktober 2008 15.24.55
Hej, Vilka ekvationer använder man för att hitta en lösning till denna fråga: Vad är för tal om vi dividera det på 10 blir det 9 kvar, dividera det på 9 blir det 8 kvar,............, dividera det på 2 blir det 1 kvar? Tack på förhand.
Abo Nor

Svar:

Problemet kan uttryckas som att x + 1 är delbart med 2,3,4,…,9, vilket är ekvivalent med att x + 1 är delbart med talens minsta gemensamma multipel 5⋅7⋅8⋅9 = 2520. Lösningarna ges därför av x = −1 + 2520n, där n är ett godtyckligt heltal. Den minsta positiva lösningen är alltså 2519.

Kjell Elfström


2 oktober 2008 23.49.06
Jag är tacksam om jag kan få detaljerad förklaring om hur man löser denna problem.
Visa att den genaliserade integralen är konvergent och beräkna dess värde
[integral tecken] går från 1 till ∞ (x+1)e^(-2x)dx
Malin

Svar:

Integrera partiellt. Man får

1b (x + 1)e−2x dx = [−(1/2)(x + 1)e−2x]1b + ∫1b (1/2)e−2x dx
= [−(1/2)(x + 1)e−2x − (1/4)e−2x ]1b = (5/4)e−2 − (1/2)be−2b − (3/4)e−2b.

Det följer med hjälp av standardgränsvärden att de båda sista termerna går mot noll då b → ∞, och därför går integralen mot (5/4)e−2b → ∞. Detta visar enligt definitionen, att den generaliserade integralen är konvergent med värdet (5/4)e−2.

Kjell Elfström


2 oktober 2008 23.34.55
Hur löser man följande uppgift:
Bestäm tangentplanet i punkten (3,1,2) till ytan xy^2-yz^2+1=0.
Tack på förhand
Malin

Svar:

Vänsterledets gradient i punkten (x,y,z) är (y2,2xy − z2,−2yz). I punkten (3,1,2) blir den (1,2,−4). Gradienten är en normal till tangentplanet, vars ekvation alltså är 1(x − 3) + 2(y − 1) − 4(z − 2) = 0.

Kjell Elfström


2 oktober 2008 21.55.43
Jag har en utbildningsgrupp om 13 deltagare. Jag vill att var och en av deltagarna ska ha ett kort samtal mellan fyra ögon med var och en av de andra. Totalt ska alltså varje deltagare ha 12 samtal. Hur ska samtalsserien planeras så att aldrig mer än en deltagare "blir över"? Jag har löst problemet med 12 deltagare, men inte med 13.
Veine Davidsson

Svar:

Kör man programmet, som finns angivet i 31 oktober 2002 15.18.28, med n = 13, så får man utskriften

Runda 0: (0,12), (1,11), (2,10), (3,9), (4,8), (5,7), 6 står över
Runda 1: (1,0), (2,12), (3,11), (4,10), (5,9), (6,8), 7 står över
Runda 2: (2,1), (3,0), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9), 8 står över
Runda 3: (3,2), (4,1), (5,0), (6,12), (7,11), (8,10), 9 står över
Runda 4: (4,3), (5,2), (6,1), (7,0), (8,12), (9,11), 10 står över
Runda 5: (5,4), (6,3), (7,2), (8,1), (9,0), (10,12), 11 står över
Runda 6: (6,5), (7,4), (8,3), (9,2), (10,1), (11,0), 12 står över
Runda 7: (7,6), (8,5), (9,4), (10,3), (11,2), (12,1), 0 står över
Runda 8: (8,7), (9,6), (10,5), (11,4), (12,3), (0,2), 1 står över
Runda 9: (9,8), (10,7), (11,6), (12,5), (0,4), (1,3), 2 står över
Runda 10: (10,9), (11,8), (12,7), (0,6), (1,5), (2,4), 3 står över
Runda 11: (11,10), (12,9), (0,8), (1,7), (2,6), (3,5), 4 står över
Runda 12: (12,11), (0,10), (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), 5 står över

Kjell Elfström


2 oktober 2008 20.23.21
Hur räknar jag ut hur högt upp i luften jag behöver befinna mig för att kunna se hela vägen från Varberg över till Grenå i Danmark (om man nu bortser från sikt möjligheten)? Avståndet fågelvägen över havet är ungefär 11 mil.
Alex

Svar:

Jordradien är ungefär r = 6371,2 km. Jag antar att det är bågen mellan orterna som är 11 mil. Kalla de båda orterna för A och B. Antag att betraktaren står i en punkt C, som har samma avstånd till A och B. Om M är jordens medelpunkt, kallar vi skärningspunkten mellan MC och jordytan för D. Jag antar att det är bågen AB som har längden 11 mil, och då är bågen AD 55 km. Triangeln MAC är rätvinklig vid A, och vinkeln AMC är 55/r radianer. Om h är den sökta höjden, så har MC längden r + h. Det följer att r/(r + h) = cos(55/r). Löser man ut h, får man att h = r(1/cos(55/r) − 1) ≈ 0,237 km.

Kjell Elfström


2 oktober 2008 11.33.06
hej
vad är Herons formel ge exempel var snäll och kan vi använda den
sara

Svar:

Herons formel kan användas till att beräkna arean av en triangel, vars sidor är kända. Se Utvalda frågor.

Kjell Elfström


1 oktober 2008 23.31.34
Hej! Behöver förklaring om hur man löser denna uppgift:
Bestäm största och minsta värde av f(x,y)=x^2+3y^2-4x+4 på cirkelskivan x^2+y^2<=1
Olle

Svar:

Funktionen är kontinuerlig och området är kompakt. Därför antar funktionen såväl maximum som minimum i området. Dessa kan bara antagas i inre stationära punkter, på randen och i inre punkter, i vilka funktionen inte är deriverbar. Punkter av det senare slaget saknas i detta fall. För de partiella derivatorna gäller att fx = 2x − 4 och fy = 6y. Funktionen har därför bara en stationär punkt, nämligen (2,0), och den ligger inte i området. Maximum och minimum måste alltså antagas på randen, och där är y2 = 1 − x2. För sådana punkter är f(x,y) = −2x2 − 4x + 7 = g(x), −1 ≤ x ≤ 1. Det gäller att g′(x) = −4x − 4. Det finns alltså inga punkter x i det inre av intervallet [−1,1], i vilka g′(x) = 0. Det största och minsta värdet av g måste därför antagas i någon av ändpunkterna. Eftersom g(1) = 1 och g(−1) = 9, så är 1 det minsta och 9 det största värdet av g och därför också av f.

Kjell Elfström


1 oktober 2008 10.18.01
Vårt solsystem tillhör en galax som heter vintergatan. Hela Vintergatan roterar runt sitt centrum. Ett varv tar 250 miljoner år. Solsystemets hastighet är på grund av rotationen 250 km/s. Hur långt är det från vårt solsystem till Vintergatans centrum? Svara i grundpotensform. Avrunda faktorn före tiopotensen till en decimal.
ayman

Svar:

Antag att det sökta avståndet är r km. Om vårt solsystem roterar längs en cirkel kring Vintergatans centrum, så har den cirkeln radien r. Cirkelns omkrets är då 2πr. Hastigheten blir 2πr/250000000 km/år. Räknat i km/s blir detta 2πr/(250000000⋅365⋅24⋅60⋅60) = 250. Löser man ut r, får man att r = 250⋅250000000⋅365⋅24⋅60⋅60/(2π).

Kjell Elfström


1 oktober 2008 00.58.43
Kan inte lösa denna uppgift:
Bestäm alla stationära punkter till f(x,y)=x^2+3y^2-4x+4. Ange även deras karaktär.
Malin

Svar:

De partiella derivatorna med avseende på x och y blir 2x − 4 resp. 6y. De stationära punkterna fås genom att sätta dessa lika med noll. Den enda stationära punkten är alltså (2,0). Andraderivatorna blir fxx = 2, fxy = 0 och fyy = 6. Den kvadratiska formen som hör till den stationära punkten är fxx(2,0)h2 + 2fxy(2,0)hk + fyy(2,0)k2 = 2h2 + 6k2. Denna är uppenbarligen positivt definit. Den stationära punkten är alltså en lokal minimipunkt.

Kjell Elfström


1 oktober 2008 00.51.23
Behöver hjälp att lösa denna problem:
Beräkna integralen
[math]
\int\limits_0^{\sqrt 3 } {x(\arctan x)^2 } dx
[/math]
Tack och
Mvh
Olle

Svar:

Integrerar man partiellt, får man att integralen blir lika med

[(x2/2)(arctan x)2]0√3 − ∫0√3 ((x2/2)⋅2⋅(arctan x)/(1 + x2)) dx
   = π2/6 − ∫0√3 (x2/(1 + x2))(arctan xdx.

Integralen på slutet kan skrivas som

0√3 arctan x dx − ∫0√3 ((arctan x)/(1 + x2)) dx.

Den första av dessa integraler kan beräknas med hjälp av partiell integration och blir

[x arctan x]0√3 − ∫0√3 (x/(1 + x2)) dx = (√3)π/3 − [(1/2) ln(1 + x2)]0√3 = (√3)π/3 − ln 2.

För att beräkna den andra kan man sätta t = arctan x. Man ser dock direkt att en primitiv funktion till integranden är (arctan x)2/2. Den sista integralen blir därför π2/18. Räknar man samman dessa delresultat, så får man svaret 2π2/9 − (√3)π/3 + ln 2.

Kjell Elfström


1 oktober 2008 00.44.46
Hej!
Jag behöver hjälp att lösa följande problem. Tack på förhand
Betrakta området mellan kurvstycket
[math] \frac{x} {{\sqrt {x^2 + 1} }} [/math]
0≤x≤1
Beräkna områdets area.
Olle

Svar:

Menar du området som begränsas av kurvan y = x/√(x2 + 1), x-axeln och linjerna x = 0 och x = 1? Arean blir ∫01 (x/√(1 + x2)) dx. Sätt t = 1 + x2. Då är dt = 2x dx och integralen övergår i (1/2)∫12dt/√t, och den kan du nog räkna ut på egen hand.

Kjell Elfström

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

FöregåendeNästa

Sök bland frågorna

Jämställ gemener/versaler

Bara hela ord

Ignorera diakritiska tecken

Logisk operator

Eller  Och

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)