Fråga Lund om matematik

Frågor och svar september 2011


30 september 2011 22.47.32
Denna fråga kommer direkt ur en bok om statistik. Är desperat och behöver hjälp!
"En skidlift är dimensionerad för max 100 personer och klarar av en totalvikt av 8200 kg (max vikt för de 100 personerna). Om medelvikt och standardavvikelse är 79 resp 14 kg, vad är sannolikheten att den maximalt tillåtna vikten överskrids då 100 personer åker samtidigt i liften?"
Jag går statistik och vi är inne på centrala gränsvärdesatsen nu!
Tack på förhand, Jonas.
Jonas

Svar:

Om Xk, k = 1,2,3,…, är oberoende likafördelade stokastiska variabler med samma väntevärde μ och samma varians σ2, säger centrala gränsvärdessatsen, att

P(∑k = 1nXk −  ≤ n) → (1/(√(2π))∫−∞x et2/2 dt   då   n → ∞.

De stokastiska variablerna i detta fall är de 100 personernas vikter, och X = ∑k = 1100Xk är personernas sammanlagda vikt. Vi tolkar gränsvärdet ovan som att

P(X −  ≤ n) ≈ (1/(√(2π))∫−∞x et2/2 dt.

Här är integralen i högerledet lika med sannolikheten att en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 0 och standardavvikelsen 1 är mindre än eller lika med x. Detta värde brukar enkelt kunna beräknas på räknare eller slås upp i en tabell.

Vi beräknar först sannolikheten att maxvikten ej överstiges. Det betyder att X ≤ 8200. Olikheten X −  ≤ n kan skrivas om som X ≤  + n. I detta fall är n = 100, μ = 79 och σ = 14, och olikheten blir X ≤ 7900 + 140x. Sätter vi 7900 + 140x = 8200, får vi x = 15/7. Det gäller alltså att

P(X ≤ 8200) ≈ (1/(√(2π))∫−∞15/7 et2/2 dt ≈ 0,9839377140.

Den sökta sannolikheten är 1 − P(X ≤ 8200) ≈ 0,016.

Kjell Elfström


30 september 2011 22.36.26
Om man har en serie på n stycken kast med en symmetrisk tärning, hur str är då sannolikheten att den relativa frekvensen sexor ligger i intervallet 1/6 +- 1/18, samt intervallsgränserna, om n=30.
Elias

Svar:

Det gäller att 1/6 − 1/18 = 1/9 och 1/6 + 1/18 = 2/9. Att 1/9 ≤ x/30 ≤ 2/9 är ekvivalent med att 10/3 ≤ x ≤ 20/3. Eftersom x är ett heltal, duger bara x = 4, 5 eller 6. Man behöver nu bara räkna ut sannolikheterna för att få 4, 5 och 6 sexor och addera dem. De 30 kasten kan utfalla på 1/630 sätt. För att se i hur många av dem vi får exakt x sexor, väljer vi ut de x kasten, och det kan göras på (30x) sätt. I varje annat kast har vi 5 möjliga utfall. Det ger att antalet kast med x sexor är (30x)530 − x. Den sökta sannolikheten är därför

((304)530 − 4 + (305)530 − 5 + (306)530 − 6)/630
   = 6594359874725341796875/12281884428929630994432
   ≈ 0,5369175970.

Kjell Elfström


30 september 2011 17.19.52
Hej går i nian och jag har ett stort matteproblem, inte lika avancerat som alla andra har frågat men jag behöver verkligen hjälp! detta är en uppgift: I en liksidig triangel är sidorna 6 cm, beräkna höjden och svara exakt. Jag räknade ut att höjden är√27, i facit står det 3√3. Jag vet att man kan ändra svaret så där i men i denna frågan förstår jag inte riktigt varför det blev så, skulle vara tacksam för hjälp då jag har ett stort på Onsdag som mitt betyg hänger på.
MIMIO

Svar:

Att höjden är √27 följer av Pythagoras sats. Halva triangeln är rätvinklig med den ena kateten 3 och hypotenusan 6. Den andra kateten är därför √(62 − 32) = √27. Eftersom 27 = 9·3, så är √27 = √(9·3) = √9√3 = 3√3.

Kjell Elfström


30 september 2011 12.20.21
Angående frågan: 24 september 2011 13.56.45 Varför används cn? Jag har verkligen stora problem med att skriva om uttrycket vi får till svaret som ska vara: 2/pi -4/n (summa från N=1 till oändligheten)(cos(2nx))/(4n^2-1) Ska man använda identiterna för sinx = (exp(inx)+exp(-inx))/(2i) och cosinus för att skriva om detta?
Hampus

Svar:

Det är ofta lättare att räkna med den komplexa exponentialfunktionen än med trigonometriska funktioner. Tänk bara på hur enkla potenslagarna är jämfört med de trigonometriska formlerna. Man kan använda Eulers formler för att gå emellan de olika framställningarna. Du har dock inte skrivit formeln för sin x rätt.

Kjell Elfström


29 september 2011 14.53.30
Om du har en fyrkantig träbit av gran, densitet 0.5 g/cm3, som är 40 x 40 mm, hur stor kraft krävs för att knäcka den träbiten? Trycket ligger vinkeltätt mot fiberriktningen.
Örjan Modén

Svar:

För att svara på denna fråga måste man inte bara ha kunskaper i matematik utan också tillräckliga kunskaper om granar, vilket jag inte har.

Kjell Elfström


29 september 2011 10.35.19
Hej! Hur går man tillväga för att hitta primtalsfaktorerna i talet: 6958? Ska man pröva sig fram med miniräknaren, eller finns det någon annan metod? Svaret ska vara: 6958=2*7*7*71
Per

Svar:

Man är nog tvungen att pröva sig fram men inte på måfå. Att ett heltal a ≥ 2 inte är ett primtal betyder att det finns två heltal b och c, sådana att b ≥ 2, c ≥ 2 och a = bc. Om b > √a och c > √a, så är bc > √aa = a, vilket ju inte är fallet. Talet a måste alltså har en delare b, sådan att 2 ≤ b ≤ √a, om a inte är ett primtal.

När man vill faktorisera a börjar man med att kontrollera om a är delbart med 2. Om det inte är det, fortsätter man och kontrollerar delbarhet med 3. Är det inte heller delbart med 3 kontrollerar man delbarhet med 5. Man behöver inte kontrollera delbarhet med 4, eftersom det inte är ett primtal. Man behöver dock inte undersöka om varje eventuell delare man kontrollerar är ett primtal, man kan testa den i alla fall. Kontrollerar man delarna i växande storlek, får man ändå bara primtalsdelare i slutprodukten. När man kontrollerat alla tal upp till och med heltalsdelen av √a och inte hittat någon delare, så kan man draga slutsatsen att a är ett primtal. Annars hittar man en delare p1, som måste vara ett primtal. Man avbryter då proceduren, beräknar a1 = a/p1 och testar vidare på a1. Man hittar kanske en delare p2 till a1. Man beräknar a2 = a1/p2 och går vidare med a2 och fortsätter på det sättet, tills man får en faktor an − 1 = pn, som själv är ett primtal. Man har då fått faktoriseringen a = p1pn.

När det gäller a = 6958 ser man direkt att talet är jämnt. Man får alltså att p1 = 2 och a1 = a/p1 = 3479. Det gäller att √a1 ≈ 58,98304841. Här behöver vi alltså bara kontrollera eventuella delare upp till och med 58. Varken 2, 3 eller 5 delar a1. Vi behöver inte kontrollera delaren 6, eftersom den inte är ett primtal. Däremot är a1 delbart med p2 = 7, och kvoten a2 = a1/p2 är 497. Beräknar vi √a2, finner vi att vi bara behöver pröva med delare upp till 22. Man behöver heller inte kontrollera med 2, 3 och 5, eftersom dessa tal inte delade a1. Vi börjar kontrollera om 7 delar a2, vilket är fallet. Vi får p3 = 7 och a3 = a2/p3 = 71. Vi har √71 ≈ 8,4. Vi får kontrollera med delare upp till och med 8. Vi vet att inget av talen 2, 3, och 5 delar a3, eftersom dessa inte delade a2. Vi behöver heller inte kontrollera 8, eftersom det inte är ett primtal. Det enda återstående talet att kontrollera är alltså 7, som inte delar 71. Talet a3 = p4 är alltså ett primtal. Vi får att a = p1p2p3p4 = 2·7·7·71.

Kjell Elfström


28 september 2011 18.34.49
Integralen i den komplexa logaritmen går att beräkna tror jag och den primitiva funktionen till 1/z är väl log(z). Men som jag uppfattar det så är denna primitiva funktion en logaritm utan integral. Det innebär väl att vi i definitionen av komplex logaritm med integral har två olika definitioner av log(z)?
Johan

Svar:

Jag tror inte att jag förstår frågan. Om man får olika definitioner av logaritm, är detta ingenting märkligt. Då z ≠ 0, har ju ekvationen ew = z oändligt många lösningar.

Kjell Elfström


28 september 2011 16.48.47
ABC är tre konsekutiva hörn i en regelbunden n+1-hörning med centrum O. P är mittpunkten på AB och Q på BC. Avstånden PB och BQ är n. D ligger på PB med avståndet PD=k och E på BQ med avståndet EQ=k. DO' är parallell med PO och EO' med QO - O'DBE är alltså en mindre kopia av OPBQ. Cirkelbågen DE har O' som centrum. Hur stor är arean av OPDEQ - alltså "polygonsektorn" med "avrundat hörn"?
Jonas Wallgren

Svar:

Eftersom det är en (n + 1)-hörning, så är vinkeln AOB lika med 2π/(n + 1), varav vinkeln OPB är π/(n + 1). Sträckan OP är därför n cot(π/(n + 1)). Arean av triangeln OPB, som är rätvinklig vid P, är alltså (n·n cot(π/(n + 1)))/2. Fyrhörningen OPBQ har därför arean n2 cot(π/(n + 1)). Sträckan DB är n − k. Längderna i fyrhörningen ODBE förhåller sig till motsvarande längder i fyrhörningen OPBQ som (n − k)/n. Arean av fyrhörningen ODBE är därför ((n − k)/n)2n2 cot(π/(n + 1)) = (n − k)2 cot(π/(n + 1)). Cirkelsektorn ODE har vinkeln 2π/(n + 1) och radien (n − k)cot(π/(n + 1)) och därför arean (π/(n + 1))((n − k)cot(π/(n + 1)))2 = π(n − k)2(cot2(π/n + 1))/(n + 1). Nu behöver du bara addera den större fyrhörningens area och sektorns och sedan subtrahera den mindre fyrhörningens area.

Kjell Elfström


28 september 2011 16.36.25
Vilken (parameteriserad?) ekvation har de(n) parab(e)l(er) som har axeln ax+by=1 och som går genom (c,d) och där har dy/dx=e?

Svar:

Det finns ingen anledning att utesluta axlar, som går genom origo. Jag antar därför att ekvationen för axeln är ax + by = c. Vi antar att punkten P = (u1,u2) ligger på parabeln och att derivatan dy/dx där är k. Beteckna koordinaterna i det vanliga koordinatsystemet med x1 och x2 i stället för x och y, så att linjen har ekvationen ax1 + bx2 = c. Välj en punkt Q = (v1,v2) på linjen. Om b ≠ 0, kan vi välja (0,c/b), annars (c/a,0). Vektorn f1 = (1/√(a2 + b2))(a,b) är vinkelrät mot linjen och f2 = (1/√(a2 + b2))(−b,a) är parallell med linjen. Dessa vektorer har längden 1 och är vinkelräta mot varandra. Tillsammans med punkten Q utgör de alltså ett nytt ortonormerat koordinatsystem för planet. Betecknar vi koordinaterna i detta system med (y1,y2), så har parabeln i detta koordinatsystem en ekvation av formen y2 = Ay12 + B. Antag att en punkt har koordinaterna (x1,x2) i det vanliga systemet och (y1,y2) i det nya. Då gäller det att

(x1,x2) = (v1,v2) + (y1/√(a2 + b2))(a,b) + (y2/√(a2 + b2))(−b,a).

Löser vi ut y1 och y2 ur detta system, får vi

y1 = (ax1 + bx2 − av1 − bv2)/√(a2 + b2),   y2 = (−bx1 + ax2 + bv1 − av2)/√(a2 + b2),

och insatt i parabelns ekvation ger detta

(−bx1 + ax2 + bv1 − av2)/√(a2 + b2) = A(ax1 + bx2 − av1 − bv2)2/(a2 + b2) + B.

Sätter vi in koordinaterna för P, ger detta ekvationen

(−bu1 + au2 + bv1 − av2)/√(a2 + b2) = A(au1 + bu2 − av1 − bv2)2/(a2 + b2) + B.

Detta är en lineär ekvation i A och B, i vilken alla andra storheter är kända. Deriverar vi båda led i parabelns ekvation med avseende på x1, får vi

(−b + ax2′)/√(a2 + b2) = 2A(ax1 + bx2 − av1 − bv2)(a + bx2′)/(a2 + b2),

där x2′ betecknar derivatan av x2 med avseende på x1. Utnyttjar vi förutsättningen om derivatan i punkten P, får vi

(−b + ak)/√(a2 + b2) = 2A(au1 + bu2 − av1 − bv2)(a + bk)/(a2 + b2).

Ur denna ekvation kan man, om (au1 + bu2 − av1 − bv2)(a + bk) ≠ 0, lösa ut A och sedan lösa ut B ur den förra ekvationen. På så sätt får man parabelns ekvation i det vanliga systemet. Det är inte så stor mening i att skriva ut denna. I ett specifikt exempel, då alla storheterna är kända, är det ganska enkelt att, direkt ur de ekvationer man får då, bestämma A och B och sedan ekvationen.

Kjell Elfström


28 september 2011 15.34.07
Angående 16 september 2011 11.01.05. Jag har försökt göra ett bevis som inte blandar in Cauchyföljder. Jag undrar om det är korrekt? Det lyder så här. Jag betecknar epsilon med e. Vi kan välja ett tal N>0 så att abs(x_n-x)<e/c för någon positiv konstant c. Det innebär att abs(a^x_n-a^x)<abs(a^(x+e/c)-a^x)<e för ett tillräckligt högt värde på konstanten c. Det innebär att gränsvärdet a^x_n har gränsvärdet a^x då n går mot oändligheten.
Johan

Svar:

Man använder ju tekniken för att definiera vad ax är. Hur kan du, innan du definierat ax, visa att axn har gränsvärdet ax? Man tar en följd xn av rationella tal, sådan att xn → x och visar sedan att axn har ett gränsvärde. Detta betecknar man sedan med ax.

Kjell Elfström


28 september 2011 12.53.41
När jag kollade igenom repetitionsuppgifter för min mattekurs insåg jag att variabelseparation var en riktig tankenöt. Skulle vara jätteglad om jag fick hjälp med denna uppgift.. Lös randvärdesproblemet: uxx +uyy =0, 0<x<a 0<y<b u(0,y)=ux(a,y)=0, u(x,0)=0, u(x,b)=x^2-2ax
Mathias

Svar:

Se 27 september 2011 20.32.03.

Kjell Elfström


28 september 2011 12.30.52
Jag har problem med en uppgift i fourierserier som visade sig vara ganska svår.. Funktionen f(x) =x(2-x), 0<=x<2 är 2-periodisk. Hitta en 2-periodisk lösning för differentialekvationen: y''(x)+y'(x) +2y(x)=f(x), som komplexa fourierserier. Tackar på förhand!
Lasse

Svar:

Se 27 september 2011 13.09.10.

Kjell Elfström


28 september 2011 12.09.59
Hejsan!
Jag bor i ett hus med låg takhöjd, ca 190 cm. Nu ska jag inhandla en ny kyl men är osäker på om det går att tippa upp det eller om jag måste såga upp taket. :) Skåpet har en höjd på 179cm, bredd 92cm och djup 74cm. Hur räknar jag ut om det är möjligt?
Tack på förhand! Maria
Maria

Svar:

Du får alltså in skåpet liggande genom dörren och undrar om sedan kan tippa upp det till stående ställning i rummet med takhöjden 190 cm. Säg att du vill tippa upp det, så att en av kanterna, som är 92 cm, ligger mot golvet under proceduren. Då lyckas du bara om diagonalen i sidorna med måtten 179×74 cm understiger 190 cm. Pythagoras sats ger att denna diagonal är √(1792 + 742) ≈ 193,7 cm. Försöker du i stället tippa skåpet så att en kant med längden 74 cm ligger mot golvet, så får du en längre diagonal, √(1792 + 922) cm, som sätter stopp för tippningen. Det går alltså inte utan att du gör åverkan på taket eller skåpet.

Kjell Elfström


28 september 2011 09.12.53
Denna fråga har jag ställt förut men upplever att svaret inte var fullständigt.
Var kan man hitta ett bevis av deriveringsregel D x^n = n*x^n-1
Där n är ett reellt(vilket somhelst) tal. Dvs INTE ett heltal . Som vi såg ett bevis för förra gången jag frågade. Ursäkta för att ha upprepat mej!
OLLE LUNDBERG

Svar:

Vägen till ett bevis är ganska lång och beror på hur potenser införs. Det enklaste sättet är nog att börja med att införa logaritmen som ln x = ∫1x(dt/t). Då har man redan infört integralen och tagit upp några viktiga satser om den, så att man kan visa att derivatan av ln x är lika med 1/x. Eftersom derivatan är positiv för de x, för vilka ln är definierad, så är ln en strängt växande funktion och har därför en invers funktion, som brukar kallas exp. Det följer av satser om derivator att exp är deriverbar. Deriverar man de båda leden i likheten ln(exp x) = x, så får man enligt kedjeregeln, att (1/exp(x))D(exp(x)) = 1, vilket visar att derivatan av exp x är lika med exp x. Man definierar sedan ab genom ab = exp(b ln a). Låter man e vara talet exp(1), får man att ln e = 1 och att ex = exp(x ln e) = exp(x).

Efter detta kan man enkelt visa den deriveringsregel du är ute efter. Man har ju att xa = ea ln x. Deriverar vi detta med hjälp av kedjeregeln, så får vi derivatan ea ln x·(a/x) = xa·a/x = axa − 1. Bevis för deriveringsregeln finns i så gott som alla nybörjarböcker i matematisk analys, t ex Forsling, Neymark: Matematisk analys, en variabel.

Kjell Elfström


27 september 2011 23.32.05
När man löser en uppgift m h a kvadratkomplettering så kan man t ex komma fram till att x = roten ur 9 = plus/minus 3. Min lärare å andra sidan säger att man ska skriva x = plus/minus roten ur 9 = plus/minus 3. Om man skriver så borde ju x få fyra olika värden, vilket stämmer egentligen?
Trolle

Svar:

Din lärare har rätt. Om a är ett positivt reellt tal, så är x = √a det positiva reella tal x, för vilket det gäller att x2 = a. Talet √9 är alltså lika med 3 och ingenting annat. Ekvationen x2 = 9 har två olika lösningar. Ekvationen är ekvivalent med x = √9 eller x = −√9. Byter man ut √9 i detta svar mot 3 (och ingenting annat), så får man att x = 3 eller x = −3.

Kommer du bara med svaret x = √9, så kan man aldrig få det till x = ±3, bara till x = 3. För att få x = ±3 krävs alltså att man har fått x = ±√9.

Kjell Elfström


27 september 2011 20.32.03
Hej!
Har snart tentamen i en klurig mattekurs och variabelseparation är en riktig stötesten för mig..
En variabelseparationsuppgift som jag gärna får förklarad för mig för att kunna komma igång med andra uppgifter:
Lös randvärdesproblemet: (Laplaces ekvation)
uxx + uyy = 0, 0 < x < 2, 0 < y < 1,
u(0, y) = ux(2, y) = 0, limy→∞ u(x, y) = 0,
u(x, 0) = 0, 0 < x < 1, u(x, 0) = 1, 1 < x < 2
MVH
Magnus

Svar:

Det är ganska omfattande att lösa en uppgift som denna, och det finns ganska många exempel på nätet och säkert i din lärobok också. Jag avstår därför. Se t ex Laplace's equation eller Solutions to Laplace's Equation in CartesianCoordinates.

Kjell Elfström


27 september 2011 20.25.07
Har problem med en fourieruppgift:
Först litet allmänt om fourierserier: (hänvisar till http://sv.wikipedia.org/wiki/Fourierserie) En funktion som är 2pi-periodisk kan definieras med an och bn, men varför används cn i den och i vilka fall kommer detta till nytta? Vad innebär egentligen den komplexa representationen av Fourierserien? (Har hittills mest bara försökt få uttrycken att smälta in)
Jag har inte klarat av uppgiften: (Skulle gärna verkligen uppskatta en enkel förklaring till varför de olika uttrycken används i de steg som görs) 9.
Funktionen f(x) =abs(x)^3, abs(x)<=2 är 4-periodisk.
Hitta Fourierserieexpansionen för både f och f'.
Conny

Svar:

Jag har nyligen löst en uppgift som är lik den i frågan. Jag tyckte formuleringen i den frågan såg märklig ut och misstänker nu att det egentligen är samma problem. Frågan ställdes den 27 september 2011 13.04.50. Byt ut x3 i det svaret mot |x3|.

Många funktioner kan skrivas som summan av en cosinus- och en sinus-serie och en konstant. Man kan då visa att man kan slå ihop de båda serierna med hjälp av Eulers formler, så att funktionen kan skrivas som en komplex Fourierserie. Detta är egentligen mest ett förenklat sätt att skriva funktionen på. Det är också lättare att handskas med potenser än med trigonometrisk uttryck.

Kjell Elfström


27 september 2011 19.58.24
var kan man hitta en bra bok om distrubtionsderviator ?
Lundstrom

Svar:

Förra gången vi gav en kurs i distributionsteori använde vi boken A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms av Strichartz. Jag kan inte recensera den, eftersom jag själv inte läst den, men jag litar på att den kursansvarige valde en bra bok.

Kjell Elfström


27 september 2011 19.11.07
Om 3x-6y=12, hur mycket är då 3x+3y?
Björn

Svar:

Det vet jag inte. Talen x och y är inte entydigt bestämda av ekvationen. Om x = 6 och y = 1, så blir 3x + 3y = 21 och om x = 8 och y = 2, så blir summan 30.

Kjell Elfström


27 september 2011 18.34.30
Är alla tal med ett ändligt antal decimaler rationella?
Per

Svar:

Ja. I själva verket är ett reellt tal rationellt om och endast om dess decimalbråksutveckling är periodisk. Att den är periodisk betyder att från och med en viss position så upprepas en grupp siffror. I ändliga decimalbråk upprepas siffran 0 från och med en viss position.

Att rationella tal har periodiska decimalutvecklingar är lätt att inse. Antag för enkelhets skull att a och b är positiva heltal. När man använder liggande stolen för att dividera a med b, så får man successivt kvoter q1,q2,q3,… och rester r1,r2,r3,…, där a = r1. Kvoten qi är siffran, som förs upp på linjen, och den bestäms av ri. Eftersom 0 ≤ ri < b, så finns det bara ändligt många rester. Därför måste det finnas två som är lika. Säg att rj = rk, där k > j. Då blir rj + 1 = rk + 1, rj + 2 = rk + 2 osv. Då kommer också decimalerna qi från och med position j att upprepas på samma sätt. Man får en grupp med k − j decimaler qjqj + 1qk − 1, som upprepas i all oändlighet från och med position j.

Omvänt, om decimalutvecklingen av det reella talet r är periodisk med periodlängden n, och det finns m inledande decimaler, som inte förekommer i perioden, så gäller det att 10n·10mr och 10mr har samma decimaldel. Skillnaden mellan dessa tal är därför ett heltal a, och vi får att 10n·10mr − 10mr = a, vilket är ekvivalent med att r = a/(10n + m − 10m), och detta tal är rationellt.

Kjell Elfström


27 september 2011 15.20.48
Nina är ute och joggar med sin hund Rudi. De springer fram och tillbaka till stranden. På vägen dit håller de en hastighet på 3 m/s, men på vägen tillbaka orkar de bara springa i 2,5 m/s. Sammanlagt är de borta i 15 minuter. Hur långt är det till stranden?
Björn

Svar:

Antag att det är x meter till stranden. Den sammanlagda tiden i sekunder blir då x/3 + x/2,5 = 15·60. Jag tror att du kan förenkla ekvationen och lösa den själv.

Kjell Elfström


27 september 2011 13.09.10
The data function f(x) = x(2-x), 0<=x<=2 is 2-periodic. Find a 2-periodic solution for the differential equation
y''(x) + y'(x) + 2y'(x) = f(x)
as a complex fourier series.
Zai

Svar:

Fourierserien till funktionen f har koefficienterna

cn = (1/2)∫02(2x − x2)eiπnx dx.

Vi ser att c0 = 2/3. För övriga värden på n ger två partiella integrationer att cn = −2/(π2n2). Antag att y har Fourierkoefficienterna dn. Då har y′ och y″ koefficienterna iπndn respektive −π2n2dn. Identifierar vi vänster- och högerledets Fourierkoefficienter, så får vi att (−π2n2 + iπn + 2)dn = cn, varav d0 = 1/3, och dn = 2/(π2n2(π2n2 − iπn − 2)), då n ≠ 0.

Kjell Elfström


27 september 2011 13.06.53
hej har ett par frågor angående fourier serier.
1
funktionen f(x)=2x där 0=<x<=1, är periodisk med perioden p=1.
a) beräkna fourierexpansionen av f(x)
b) använd resultatet i a) för att beräkna summan 1/n^2 för n=1 till oändligheten.
2. Beräkna fourierexpansionen av f(x)=x^2, 0<x<2 där f(x) är 2-periodisk.
Alex Blom

Svar:

1 a) Det gäller att

cn = ∫01 2xe−2iπnxdx.

n = 0 är cn = 1. Annars integrerar vi partiellt en gång:

cn = [2xe−2iπnx/(−2iπn)]01 + ∫01 2e−2iπnx/(−2iπndx = i/(πn).

b) Använder vi nu Parsevals formel, så får vi att

n = 1(1/n2) = (1/2)∑n ≠ 0(1/n2) = (π2/2)∑n ≠ 0(1/(πn)2) + π2/2 − π2/2
= (π2/2)∑n = −∞ cn − π2/2 = (π2/2)∫01|2x|2dx − π2/2 = π2/6.

Uppgift 2 löses som uppgift 1 a).

Kjell Elfström


27 september 2011 13.04.50
The function f(x) = x^3 ,x<=2 is 4-periodic. Find the Fourier series expansion for both f and f'.
Zai

Svar:

Att funktionen f har perioden 4 tolkar jag som att f(x) = x3 då −2 < x ≤ 2. Det gäller att dess Fourierkoefficient är lika med

cn = (1/4)∫−22 x3ei·2πnx/4 dx.

n = 0 är integralen enkel att beräkna. Annars kan den beräknas med hjälp av tre partiella integrationer. Fourierkoefficienten för derivatan blir sedan (i·2πn/4)cn, vilket är ett välkänt resultat.

Kjell Elfström


26 september 2011 16.24.47
jag har ett tal i matten som jag inte förstår kan du förklara mig det? talet är ge exempel på tre primtal vars summa är 61
andrina

Svar:

Man får pröva sig fram. Man försöker lämpligen hitta ett ganska stort primtal. Har man tur, kan man sedan fylla på med två små. Vi väljer primtalet 53. Det fattas då 8 upp till 61. Vi kan nu fylla på med primtalen 3 och 5 och få att 61 = 3 + 5 + 53. Det går också bra med 3 + 11 + 47. Du kan kanske själv hitta ytterligare uppdelningar.

Kjell Elfström


25 september 2011 22.54.55
Hej! Har ett matte problem jag skulle behöva hjälp med. Finns det en talserie/talföljd a1, a2, a3, a4 ....an, där 2 slumpmässigt valda tals summa är lika med alla de övriga dvs Tidigare talen i talseriens summa + en konstant V.Alla termer skall vara större än noll, också konstanten V. Kan man skriva serien som en formel? Hur ser serien ut i såna fall?
exempel hur jag menar: a6+a3=a1+a2+a4+a5+V
Undrar också över hur serien ändrar då man ökar/minskar antalet termer som i mitt exempel var på vänstra ledet och högra ledets 'system' bibehålls.
Mycket tacksam för svar!
Robert

Svar:

Om 1 ≤ m < n, skall det alltså gälla att am + an = ∑ ak + v, där summan tas över alla k utom m från och med 1 till och med n − 1. Adderar vi am + an till båda led, får vi att 2(am + an) = ∑k = 1n ak + v. Detta visar att am har samma värde för alla m, sådana att 1 ≤ m < n. Eftersom vi kan välja n godtyckligt stort, måste am ha samma värde för alla m ≥ 1. Kräver vi att elementen är positiva, kan det alltså inte finnas någon sådan följd.

Kjell Elfström


25 september 2011 18.48.13
Kan den komplexa logaritmen vara analytisk även om den inte är definierad på ett enkelt sammanhängande område som inte innehåller noll?
Johan

Svar:

Om det finns en enkelt sammanhängande kurva i området, och kurvan går runt origo, kan man inte definiera logaritmen analytiskt i området. Startar man i en punkt på kurvan, så ökar nämligen argumentet när man följer kurvan moturs och har ökat med 2π när man gått runt till punkten man började vid.

Kjell Elfström


24 september 2011 13.56.45
Fourierserier:
Anta att funktionen f är 2pi-periodisk.
Hitta fourierserierna till
a) f(x) = abs(sinx) (abs= absolutbelopp)
a) f(x) = abs(cosx) (abs= absolutbelopp)
Jag har väldigt svårt för Fourierserier, skulle verkligen uppskatta hjälp med detta.
Hampus

Svar:

Jag löser den första a-uppgiften, så kan du själv lösa den andra. Fourierkoefficienten är

cn = (1/(2π))∫02π |sin x|einx dx.

I intervallet [0,π] är sin x ≥ 0 och i intervallet [π,2π] är sin x ≤ 0. Det gäller därför att

cn = (1/(2π))∫0π (sin x)einx dx + (1/(2π))∫π2π (−sin x)einx dx.

Om n = 0, så är

cn = (1/(2π))∫0π (sin xdx + (1/(2π))∫π2π (−sin xdx = 2/π.

Antag nu att n ≠ 0. Enligt Eulers formler är sin x = (1/(2i))(eix − eix). Därför är

I = ∫ (sin x)einx dx = (1/(2i))∫ (eix(1 − n) − eix(1 + n))dx.

Om n = 1, är

I = (1/(2i))(x + (1/(2i))e−2ix) + C.

Om n = −1, är

I = (1/(2i))((1/(2i))e2ix − x) + C.

Om n ≠ 0 och n ≠ ±1, så är

I = (1/(2i))((1/(i(1 − n)))eix(1 − n) + (1/(i(1 + n)))eix(1 + n)) + C.

Nu får du själv fullborda räkningarna.

Kjell Elfström


24 september 2011 13.53.12
Vi har nyligen börjat med Laplacetransformationer, det känns som jag har greppat grunden hur det fungerar, men det blev rörigt med invers Laplace transform..
Jag har tre olika funktioner som jag vill hitta invers Laplace Transform till:
A. 1/(s(s+2)^2)
B. 1/(s^2 + 4s + 29)
C. ln((s+3)/(s+2))
Tackar på förhand
Alexander

Svar:

Se Laplace transform. Partialbråksuppdela i det första fallet. Man får att uttrycket kan skrivas (1/4)(1/s − 1/(s + 2) − 2/(s + 2)2). Man utnyttjar sedan att Laplacetransformen och dess invers är lineära. Man kan alltså ta de inversa transformerna av de tre termerna inom parentes och addera dessa och sedan multiplicera resultatet med 1/4. Titta i den andra tabellen på sidan jag hänvisade till. Du kan tänka på u(t) i tabellen som en etta. Detta är egentligen Heavisidefunktionen, som är lika med 1 för positiva t och 0 för negativa. Eftersom jag tror att det är den ensidiga Laplacetransformen det handlar om i din fråga så är u(t) = 1 i hela integrationsområdet. På den tredje raden i tabellen ser du att 1/s kommer från funktionen 1. På den nionde raden kan du läsa att 1/(s + 2) och 1/(s + 2)2 kommer ifrån e−2t resp. te−2t. Lineariteten ger därför att den inversa transformen är (1/4)(1 − e−2t − 2te−2t).

Man kvadratkompletterar nämnaren i den andra funktionen för att se om den har nollställen. Har den det, kan man faktorisera nämnaren och sedan partialbråksuppdela. Kvadratkompletteringen gav att funktionen kan skrivas 1/((s + 2)2 + 25). Nämnaren saknar nollställen. Letar vi efter något som liknar detta i tabellen, så finner vi raden Exponentially-decaying sine wave. Vi skriver om uttrycket som (1/5)·5/((s + 2)2 + 52) och finner att den inversa transformen är (1/5)e−2tsin(5t).

Om f(t) har transformen F(s), så har tf(t) transformen −F ′(s). Om f(t) har transformen ln(s + 3) − ln(s + 2), så har alltså tf(f) transformen 1/(s + 2) − 1/(s + 3). Bestäm nu den inversa transformen g(t) till denna funktion på samma sätt som i den första deluppgiften (partialbråksuppdelning behövs inte här). Då blir tf(t) = g(t), varav f(t) = g(t)/t.

Kjell Elfström


23 september 2011 20.23.54
Angående 16 september 2011 11.01.05. Får jag utgå ifrån att gränsvärdet x_n går mot x då n går mot oändligheten existerar?
Johan

Svar:

Jag kan inte se hur det skall användas i svaret på frågan. När du studerar axn får du använda det.

Kjell Elfström


23 september 2011 16.59.28
Hej!
Hur löser jag följande uppgift: I triangeln ABC är sidan AC 3 gånger så lång som sidan BC så när som på 13 cm. Sidan AB är 15 cm. Undersök hur lång sidan BC minst måste vara.
Oskar

Svar:

Villkoret är att summan av längderna av AC och BC måste vara större än längden av AB. Kallar vi längden av BC för x, så är längden av AC lika med 3x − 13. Vi får att 3x − 13 + x > 15, vilket är ekvivalent med att x > 7.

Kjell Elfström


23 september 2011 00.53.52
Hej
Om man skulle kunna accelerera en rymdfarkost så att kraften blir 1 G och bromsar halvägs också med 1 G hur lång tid skulle det då ta att fara t.ex. till Mars har ni något tips på hur man skulle kunna räkna ut sådant. Jag har fått för mig att i framtiden kommer magnetfält eller något annat att fixa det.
Tacksam för svar
Örjan Andersson

Svar:

Fråga fysikerna.

Kjell Elfström


22 september 2011 13.42.25
Det finns 500 st lotter och 50% är vinst jag tar 200st, hur stor är sannolikheten att jag bara får en vinst?
Lukas

Svar:

Det finns (500200) olika utfall. För att få precis en vinst skall du välja 1 vinstlott och 199 nitlotter. Vinstlotten kan väljas på 250 olika sätt, nitlotterna på (250199) sätt. Sannolikheten blir 250·(250199)/(500200) ≈ 2,614001665·10−89.

Kjell Elfström


22 september 2011 10.31.42
Hej! Jag skulle gärna vilja hitta en primitiv funktion till följande funktion: f(t) = (a+t)^N * (b-t)^M * exp(c*t), där t>=0. Det verkar dock ganska svårt. Här är a, b och c reella och positiva konstanter. M och N är positiva heltal. Dvs, finns ett slutet uttryck för INTEGRAL f(t)dt? TACK!
Jenny

Svar:

Man kan uttrycka den med hjälp av Gammafunktionen tillsammans med den ofullständiga Gammafunktionen, men jag tror inte att du har mycket nytta av den kunskapen.

Kjell Elfström


22 september 2011 01.46.22
Hej Kjell,
På sidan 153 i Gunnar Sparrs bok "Linjär Algebra" så återfinns raden "Denna olikhet gäller även med A ersatt av A^T" rörande beviset av rangsatsen. Har du möjlighet att förtydliga denna substitution, då jag inte är helt med på varför detta går att göra.
Tack på förhand!
Jonas

Svar:

Där står att rang(A) ≤ rang(At). Byter vi bokstav till B blir detta rang(B) ≤ rang(Bt), som alltså gäller för alla matriser B. Sätter vi in B = At gäller olikheten alltså, och man får då rang(At) ≤ rang((At)t) = rang(A), där man i det sista steget utnyttjar, att om man transponerar en matris två gånger, får man tillbaka den.

Kjell Elfström


21 september 2011 21.42.45
Hur angriper man ekvationen (z + i)^3 = 8i ?
Jari Kinnunen

Svar:

Skriv 8i = 8eπi/2 och sätt z + i = re. Då lyder ekvationen r3e3 = 8eπi/2, vilket är ekvivalent med att r3 = 8 och 3θ = π/2 + 2πk. Vi får r = 2 och θ = π/6 + 2πk/3. Det gäller alltså att z + i = 2e(π/6 + 2πk/3)i, k = 0,1,2. Nu kan du gå vidare själv.

Kjell Elfström


21 september 2011 20.54.14
Jag har två frågor:
Använd Laplacetransformation för att lösa följande initialvärdesproblem:
1. y''-y =1
y(0)=0
y'(0)=1
Den andra som jag inte förstår är:
2. y'' + 2y' + y =exp(t)
y(0)=0
y'(0)=0
Jag kan definitionen för Laplacetransformationen, och hur den ser ut i några fall, men inte hur jag ska tillämpa den på detta sätt.
Tackar på förhand!
Roland

Svar:

Se Laplace transform. Om F är Laplacetransformen av f, så framgår det där av den första tabellen, att Laplacetransformen av f ′ är sF(s) − f(0), och Laplacetransformen av f ″ är s2F(s) − sf(0) − f ′(0). Eftersom Laplacetransformen är lineär, blir Laplacetransformen av den första ekvationens vänsterled lika med

s2Y(s) − sy(0) − y′(0) − Y(s) = (s2 − 1)Y(s) − 1,

där Y är Laplacetransformen av y. Eftersom Laplacetransformen av 1 är 1/s enligt den andra tabellen på sidan (läs vid u(t), som är lika med 1 för t > 0 och 0 för övrigt), så kan ekvationen skrivas

(s2 − 1)Y(s) − 1 = 1/s,

vilket är ekvivalent med

Y(s) = 1/(s(s − 1)).

Partialbråksuppdelning av högerledet ger

Y(s) = 1/(s − 1) − 1/s.

Nu läser vi baklänges i den andra tabellen. Vi finner att 1/s är transformen av 1, vilket vi redan visste, och att 1/(s − 1) är transformen av et (raden benämnd exponential decay). Det gäller alltså att Y(s) är transformen av et − 1, varför y(t) = et − 1. Den andra ekvationen löses på samma sätt.

Kjell Elfström


21 september 2011 17.38.35
Are continuous functions f: R^n -> R with compact support uniformly continous on R^n?
Euler

Svar:

Antag att f har stöd i den kompakta mängden K. Då är K begränsad, och vi kan hitta ett slutet klot B, sådant att K ⊆ B och avståndet från ett element utanför B till ett element i K är minst 1. Låt ε > 0. Till varje a i B kan vi finna ett tal δa > 0, sådant att |f(x) − f(a)| < ε/2, om |x − a| < δa. Låt ωa = {x; |x − a| < δa/2}. Då gäller det att B ⊆ ∪ωa, där unionen tas över alla a ∈ B. Eftersom B är kompakt, finns det ändligt många element a1,…,an, sådana att B ⊆ ∪ωai, där unionen tas över dessa element. Låt δ vara det minsta av talen δa1/2,…,δan/2,1. Låt x och y vara två element i Rn, och antag att |x − y| < δ. Om ett av dem ligger utanför B, så ligger det andra utanför K, och det gäller att |f(x) − f(y)| = 0 < ε. Annars ligger båda i B. Det finns då ett element ai, sådant att x ∈ ωai. Då är

|y − ai| = |y − x + x − ai| ≤ |y − x| + |x − ai| < δ + δai/2 ≤ δai/2 + δai/2 = δai.

Eftersom också |x − ai| < δai, så gäller det att

|f(x) − f(y)| = |f(x) − f(ai) + f(ai) − f(y)| ≤ |f(x) − f(ai)| + |f(ai) − f(y)| < ε/2 + ε/2 = ε.

Kjell Elfström


20 september 2011 22.11.46
För att illustrera rekursion inom programmering används ofta exempelprogram som beräknar n! genom att anropa sig självt för att beräkna (n-1)! och sedan multiplicera detta med n. Detta är ju onödigt, då man lika gärna kan använda en algoritm som börjar "nerifrån", dvs börjar med 2*3*4... och sedan arbetar sig uppåt till n, vilket kräver mycket mindre minne, särskilt vid stora n. Nu undrar jag: går alla rekursiva algoritmer att på liknande sätt skriva om utan att använda rekursion, eller finns det beräkningsproblem som kräver rekursion för att kunna lösas?
Martin

Svar:

När en funktion anropar en annan sparas data och återhoppsadress på stacken. Om funktionen själv manipulerar en stack och itererar tills stacken är tom, bör all rekursion kunna ersättas av iteration.

Kjell Elfström


20 september 2011 22.04.45
I en regelbunden n-hörning med sidlängden p är en cirkel med radien r inskriven. Givet att man känner till kvoten p/r, finns det något sätt att bestämma n?
Martin

Svar:

Det gäller att n-hörningen och dess inre består av n likbenta rektanglar med basen p och höjden r. Triangelns toppvinkel är 2π/n. Halva triangeln är rät med en vinkel π/n. Det gäller därför att p/2 = r sin(π/n), varav p/(2r) =  sin(π/n). Det följer att π/n = arcsin(p/(2r)), varför n = π/arcsin(p/(2r)).

Kjell Elfström


20 september 2011 21.22.50
Hur bevisar man att den komplexa logaritmen har derivatan 1/z?
Johan

Svar:

Antingen genom att utnyttja definitionen med hjälp av integralen, eller genom att utnyttja att elog z = z och derivera båda led. Den senare metoden kräver att man vet att log z är deriverbar.

Kjell Elfström


20 september 2011 14.52.16
en vara höjs med 20 % sedan sänks den med 20 %. Bestäm prisändringen i procent
Amela

Svar:

Om det ursprungliga priset är a, så är det 1,20a efter höjningen och 0,80·1,20a = 0,96a efter sänkningen. Prisändringen är alltså en sänkning på 4%.

Kjell Elfström


19 september 2011 22.17.54
Hej
Jag behöver hjälp med att räkna ut vad synvinkelnär för månen?
Peter

Svar:

Enligt Wikipedia är månens ekvatorsradie 1738,1 km och dess medelavstånd till jorden 384400 km. Vi bildar triangeln med hörn i jordens medelpunkt J, månens medelpunkt M och en punkt P på månens yta, sådan att vinkeln JMP blir rät. Vinkeln MJP är då halva synvinkeln. Om Synvinkeln är θ, gäller det alltså att sin(θ/2) = 1738,1/384400 ≈ 0,004521592092. Detta ger att θ/2 ≈ 0,2590690262°, varav θ ≈ 0,52°. Eftersom avståndet varierar, varierar också synvinkeln något. Enligt samma Wikipediasida varierar avståndet mellan 363104 km och 405696 km. Du bör nu själv kunna räkna ut motsvarande synvinklar.

Kjell Elfström


18 september 2011 11.32.23
I svenska Wikipedia så skiljer man mellan Cauchys integralformel och Cauchys integralsats. Varför gör man denna åtskillnad?
Johan

Svar:

Det gör man i den engelskspråkiga också. Formeln och satsen säger inte samma sak.

Kjell Elfström


18 september 2011 10.59.29
Har en fråga som gäckar mig. Läser lite sannolikhet för skoj skull. Och skulle försöka mig på en fråga som är "Difficult", gick väl sådär :-)
Frågan:
Du har en population där 95% har en könssjukdom. Och ett test som är 95% säkert (dvs, av 100 tester visar den 95 positiva som positiva, och 5 negativa som positiva).
Jag har försökt med en rad olika försök men kommer aldrig nära lösningen som säger att det är 50/50 att ta en med äkta könssjukdom och en med "falsk" könssjukdom. Tyvärr är det bara en fråga med ett kort svar och inga ledtrådar eller så..
Erik

Svar:

Antingen är frågan felaktigt formulerad eller så fattas det information.

Kjell Elfström


18 september 2011 00.57.31
Hej Kjell! jag har problem att lösa den här övningen om logaritmen.
Funktion M(t)=128e^(-t/359) beskriver mängden av en radioaktiv isotop som funktion av tiden t(år). Efter hur lång tid har mängden sjunkit till 1/3 av den ursprungliga? Svaret kan skrivas som t=alnb där a och b är heltal och a≠1.
Mvh Jack
Delete ReplyReply ForwardNot SpamMovePrint Actions NextPrevious
Jack

Svar:

Se 17 september 2011 22.15.17.

Kjell Elfström


17 september 2011 22.15.17
Funktion M(t)=128e^(-t/359) beskriver mängden av en radioaktiv isotop som funktion av tiden t(år). Efter hur lång tid har mängden sjunkit till 1/3 av den ursprungliga? Svaret kan skrivas som t=alnb där a och b är heltal och a≠1. Hoppas att du kan hjälpa mig för att jag vet inte hur jag ska räkna mer :(
Nelia

Svar:

Det gäller att M(0) = 128. Frågan är när M(t) = 128/3. Detta är ekvivalent med att et/359 = 1/3, vilket i sin tur är ekvivalent med −t/359 = ln(1/3) = −ln 3. Man får alltså att t = 359 ln 3.

Kjell Elfström


17 september 2011 22.11.57
Hur bevisar man att t^n/n! går mot noll då n går mot oändligheten om t är ett komplext tal?
Johan

Svar:

På exakt samma sätt, som då t är reellt. Välj det positiva heltalet n0, så att n0 ≥ |t|. Då är, om n > n0, |tn/n!| = |t|n/n! = (|t|n0/n0!)(tn − n0/((n0 + 1)(n0 + 2)…n)) ≤ (|t|n0/n0!)(|t|/(n0 + 1))n − n0 och det senare uttrycket går mot 0 då n → ∞, eftersom |t|/(n0 + 1)< 1.

Kjell Elfström


17 september 2011 14.00.59
Hur definieras omgivning i matematiken?
Johan

Svar:

Vanligen brukar man med en omgivning till en punkt a mena en öppen mängd, som innehåller a.

Kjell Elfström


16 september 2011 22.38.46
A girl was carrying a basket of eggs, and a man driving a horse hit the basket and broke all the eggs. Wishing to pay for the damage, he asked the girl how many eggs there were. The girl said she did not know, but she remembered that
When she had taken them out of the basket 473 eggs at a time, there were 322 eggs left.
When she had taken them out 517 at a time, there were 476 left.
When she had taken them out 611 at a time, there were 241 left.
When she had taken them out 637 at a time, there were 163 left.
When she had taken them out 651 at a time, there were 100 left.
When she had taken them out 657 at a time, there were 565 left.
`Well,' said the man, `I can tell you how many eggs you had at a minimum.' What was his answer?
Hint: If the basket is emptied 10 eggs at a time, there will be no eggs left. The answer is greater than 2³²
HjortronCream

Svar:

För lösningen x gäller det att

x 322 (mod 473)
x 476 ≡ −41 (mod 517)
x 241 (mod 611)
x 163 (mod 637)
x 100 (mod 651)
x 565 ≡ −92 (mod 657)

Faktorisering ger att

473 = 11·43, 517 = 11·47, 611 = 13·47, 637 = 72·13, 651 = 3·7·31, 657 = 32·73.

För x måste det alltså gälla att

x 322 (mod 473)
x −41 ≡ 6 (mod 47)
x 241 ≡ 7 (mod 13)
x 163 ≡ 16 (mod 49)
x 100 ≡ 7 (mod 31)
x −92 (mod 657)

Eftersom 322 − 476 = −154 ≡ 0 (mod 11), 476 − 241 = 235 ≡ 0 (mod 47), 611 − 637 = −26 ≡ 0 (mod 13), 637 − 651 = −14 (mod 7) och 651 − 657 = −6 ≡ 0 (mod 3), så är detta också ett tillräckligt villkor. Sätt nu a1 = 322, a2 = −41, a3 = 7, a4 = 16, a5 = −7, a6 = −102, n1 = 473, n2 = 47, n3 = 13, n4 = 49, n5 = 31 och n6 = 657 och notera att nk, k = 1,2,3,4,5,6, är parvis relativt prima. Vi sätter sedan Nk = n1n2n3n4n5n6/nk, noterar att nk och Nk är relativt prima. Vi kan därför finna xk, så att xkNk ≡ 1 (mod nk). En lösning blir då

x = ∑k = 16 xkakNk.

Talen xk bestäms med hjälp av Euklides algoritm. En lösning blir 914980061977, och alla lösningar ges av x = 914980061977 + tn, där n = n1n2n3n4n5n6 = 288420080949. Den minsta positiva lösningen är x = 49719819130.

Kjell Elfström


16 september 2011 16.00.06
Varför måste funktionen f(x) ha kontinuerliga derivator i Taylors formel?
Johan

Svar:

Den derivata, som förekommer i resttermen på Lagranges form, behöver inte vara kontinuerlig. Övriga derivator är med nödvändighet kontinuerliga, eftersom de är deriverbara. För en restterm på integralform förutsätter man att också den sista derivatan är kontinuerlig. Om man vet det, kan man enkelt gå från integralformen till Lagranges form via medelvärdessatsen för integraler. Se PlanetMath för ett bevis utan förutsättningen om kontinuerlig derivata. Beviset blir något mer komplicerat.

Kjell Elfström


16 september 2011 12.35.59
Hur kommer det sig att den komplexa logaritmen ibland definieras utan integralen?
Johan

Svar:

För att man vet att ekvationen ew = z har en lösning w för varje z ≠ 0.

Kjell Elfström


16 september 2011 11.01.05
Angående 9 september 2011 12.15.19.Hur bevisar man att gränsvärdet a^x existerar och är oberoende av vilken följd man väljer?
Johan

Svar:

Man visar att ax och ay ligger nära varandra om de rationella talen x och y ligger nära varandra.

Kjell Elfström


16 september 2011 10.54.01
Hejsan, tack för en bra sida. Här kommer ett problem jag funderar över.
I ett rum finns 10 tunnor som står på en rad, i varje tunna ligger ett unikt personnamn. 10 personer, de med namnen i tunnorna, får en och en gå in i rummet och titta i fem av tunnorna. Innan den första personen går in får man prata ihop sig om taktik men sedan får man inte komunisera. Man får inte heller ändra något i rummet, typ flytta tunnor eller spotta i en tunna eller liknande. Hur ska personera lägga upp taktiken så att det är mer än 30% att alla 10 personer hittar sitt eget namn. Namnen är slumpmässigt placerade i tunnorna. Lösningen ska även funka på N tunnor om alla får titta i N/2 tunnor för alla jämna N.
Urban

Svar:

Se 14 februari 2008 04.17.43.

Kjell Elfström


16 september 2011 10.35.18
Hej.Ett x antal positiva tal upphöjda till 7,kan summan av de talen bli ett tal som är upphöjt till 7.Det är en del talteorier som talar om att det ska finnas.Det ska nog finnas vilken upphöjning man än använder av ett x antal tal,så kan summan bli ett tal som är upphöjning av samma tal.Till exempel,ett x antal positiva tal upphöjda till 100 ska summan kunna bli ett tal upphöjt till 100.Är det så. Med vänliga hälsningar.
Tord L.

Svar:

Ja, det är så, och det följer av svaret till frågan från den 18 januari 2011 14.02.43.

Kjell Elfström


16 september 2011 10.00.17
Hej Kjell. Med risk för att bli tjatig: Om man alltid kan klämma in ett reellt tal r mellan två andra tal på den reella talllinjen, kan man då säga, att den reella tallinjen är kontinuerlig innan man har klämt in talet r. Det verkar som en paradox. Är tallinjen kontinuerlig så får inget annat plats, för om något annat får plats så har den reella tallinjen åtminstone en diskontinuitet. Kanske ska man betrakta den reella tallinjen som tänjbar.
Lasse

Svar:

Det är inte så att man klämmer in r. Det finns där redan. Det rätta sättet att uttrycka påståendet på är att det mellan två olika tal på tallinjen alltid (redan) finns ytterligare ett reellt tal.

Kjell Elfström


15 september 2011 21.13.23
hej, jag går i 9an och skriver ett arbete om primtal.jag har mest skrivit om dessa tal och inte räknat på dessa så mycket.
jag tänkte lägga till en liten tipsruta hur man snabbast undersöker om ett tal är ett primtal. hur gör du tex om du ska bestämma vilket av 71 och 72 som är primtal?
tack
erik

Svar:

Ett enkelt sätt att avgöra om p är ett primtal är att undersöka om p har någon delare bland talen 2,3,…,p − 1. Om p inte är ett primtal, kan vi skriva p = ab, där a ≥ 2 och b ≥ 2. Om både a och b är större än √p, så blir ab > √pp = p. Det kan alltså inte vara så att både a och b är större än √p. Vi behöver alltså bara testa om p är delbart med något heltal a, där 2 ≤ a ≤ √p.

Att 72 inte är ett primtal följer av att det är delbart med 2. För att undersöka om 71 är ett primtal beräknar vi först √71 ≈ 8,43. Vi behöver alltså bara testa om 71 är delbart med 2,3,4,5,6,7,8. 71 är inte delbart med 2, och då kan det heller inte vara delbart med 4, 6 eller 8. 71 är heller inte delbart med 3, 5 eller 7. 71 är alltså ett primtal.

Problemet med denna metod är att den är långsam, om man vill avgöra om stora tal är primtal. Det finns mer effektiva metoder för att avgöra om stora tal är primtal, men dessa är mycket mer komplicerade att förklara.

Kjell Elfström


15 september 2011 18.17.40
Hej, jag undrar hur man ska tänka när man ska sätta ihop två scorer till en enda, i syfte att hitta en så stor åtskillnad som möjligt mellan fall och kontroller. Om man t ex har en mutation och så vill jag räkna in olika faktorer i denna mutation, diverse frekvenser/scores för att se om denna mutation är skadlig eller ej. Hur skulle man då gå tillväga för att skala om faktorerna till ett intervall inom t ex 0 och 1 där 0 skulle vara att mutationen inte är skadlig och 1 att den är skadlig. Tänker att modellen skulle kunna se ut på följande sätt: score(mutation)=a*A+b*B+c*C, där a+b+c=1 är kofaktorer och A, B, C är respektive faktor skalad till ett nytt scoringsystem. Vad ska man tänka på? Hur skulle man kunna skala om fakorernas råa värden till att tvingas in i min skala? Om man t ex utgår från den enklaste modellen, dvs utan kofaktorerna a och b och endast inkluderar 2 faktorer. Och sedan sätter att A scoras inom ett intervall för 0 och 1, där 1 är skadlig och 0 ej, och p.s.s för B. Och att scoringmodellen då endast är beroende av antalet faktorer. Hur skulle då denna enkla modell bli? Jag erhöll att mutationen är skadlig för resultatet för faktor A, men där resultatet inte alls var rapporterad i faktor B, som endast innehåller friska individer (vilket borde ge antagandet att den är skadlig, eftersom jag håller på att kolla på väldigt ovanliga och skadliga mutationer). Hur skulle man nu kunna göra på enklast möjliga sätt för att tvinga in dem båda faktorerna i modellen?
Sofia

Svar:

Jag är inte tillräckligt insatt i ämnet för att förstå frågan.

Kjell Elfström


15 september 2011 18.01.26
Finns slumpen i matematiken? Jag tänker att det används för att vi människor inte hanterar för stora osannolikhetstal? Om vi skulle rada upp alla enheter på jorden på rad, skulle vi logiskt få ett mönster förr eller senare, detta ser jag som motargumentet till slump. Min världsvy är att allt är matematiskt i slutändan.

Svar:

I matematiken finns ingen slump, men det verkar inte vara det din fråga handlar om. Den verkar i stället handla om huruvida universum är deterministiskt, dvs. kan man exakt förutsäga framtiden om man fullständigt känner till det nuvarande tillståndet. Denna fråga ger inte matematiken något svar på. Det är snarare en fysisk eller filosofisk fråga.

Kjell Elfström


15 september 2011 12.56.26
Sorry Kjell, tyvär skrev jag fel färg på fråga 110901. Så här ska den se ut: Kan man inte som alternativ till din lösning på getproblemet 7 mars 99 direkt integrera den gröna arean i figuren? Om vinkeln t ökar med dt så ändras tangenten PQ med dt och genererar arean dA=0,5(a-rt)^2dt som lätt kan integreras?
Sture
Sture Åkerlund

Svar:

Du har rätt. Det är ett betydligt enklare sätt att räkna ut arean av det gröna området. Jag har ändrat svaret till frågan 7 mars 1999 00.19.32.

Kjell Elfström


14 september 2011 11.37.58
En tangent dras till y(x)=e^-x, tangenten tillsammans med de postitiva koordinataxlarna bildar en triangel. Bestäm triangelns maximala area.
Sam

Svar:

Funktionens derivata är −ex. Tangenten till kurvan i punkten (a,ea) har därför ekvationen y − ea = −ea(x − a). Den skär x-axeln, då −ea = −ea(x − a), dvs. då x = a + 1. Den skär y-axeln, då y − ea = −ea(−a), dvs. då y = (a + 1)ea. Det är bara då a ≥ −1, som tangenten skär de positiva koordinataxlarna. Triangelarean är då xy/2 = (a + 1)2ea/2 = f(a). Derivering ger att f ′(a) = (2(a + 1) − (a + 1)2)ea/2 = (a + 1)(1 − a)ea/2. Man ser att derivatan är positiv i (−1,1) och negativ i (1,∞). Det största värdet av f antas alltså i punkten 1. Arean blir då f(1) = 2e−1.

Kjell Elfström


13 september 2011 14.04.00
Hej,
Jag undrar hur man fullständigt faktoriserar uttrycket x^3 - cx^2 - bx^2 + bcx - ax^2 + acx + abx -abc ? Det skulle vara snällt om du kunde visa steg för steg hur man gör och även hur man ska tänka när man får ett utryck av detta slag.
Tack på förhand.
Nils

Svar:

Om ett polynom anxn + an − 1xn − 1 + … + a1x + a0 har nollställena b1,b2,…,bn, där varje nollställe räknas med sin multiplicitet, så kan polynomet faktoriseras som an(x − b1)(x − b2)…(x − bn). Problemet är ofta att finna nollställena. Detta lärs ut i skolan då polynomet är av andra graden. Det finns allmänna formler också då polynomen är av tredje och fjärde graden, men dessa är så komplicerade att man helst låter bli. För polynom av högre grad kan man visa att det inte kan finnas formler för att uttrycka nollställena med hjälp av de fyra räknesätten och rotutdragningar. Detta är förklaringen hur man gör i liknande fall, och mer än så kan jag inte säga.

Ditt specifika problem är tillrättalagt. Tittar man intensivt och koncentrerat en stund på uttrycket, så ser man nog att det är lika med noll, då x är någon av a, b och c. Är man bekant med sambandet mellan rötter och koefficienter, så ser man det förmodligen snabbare. Uttrycket kan alltså skrivas (x − a)(x − b)(x − c).

Kjell Elfström


12 september 2011 20.07.03
hur beräknar man kurvlängder? Ex : kurvlängden mellan (0,0) 0ch (3,9) på kurvan y=x*x
anders

Svar:

Se exempel 4 i Några integraler under Utvalda frågor.

Kjell Elfström


12 september 2011 18.55.42
Bestäm med hjälp av derivata det x-värde för vilket funktionen y(x) = x^2 + e^(-2x) antar sitt minsta värde. Svara med det bästa närmevärdet med två decimaler. Derivatan y´= 2x - 2e^(-2x) ska sättas lika med noll och då får jag att x - e^(-2x) = 0 och sedan är det stopp.
Jari Kinnunen

Svar:

Frågans formulering antyder att man inte kan lösa uppgiften exakt. Deriverar man en gång till, får man y″ = 2 + 4e−2x > 0. Detta visar att y′ är strängt växande. Man inser att y′ är positiv för stora x och negativ för "stora” negativa x. Derivatan y′ har alltså precis ett nollställe, och teckenväxlingen visar att detta är ett lokalt minimum. På grund av derivatans tecken inser man att det också är ett minimum.

Man får försöka finna nollstället med numeriska metoder. En sådan är Newton-Raphsons metod. För att lösa ekvationen f(x) = 0, skall man börja med ett lämpligt värde x0. Nya värden beräknas sedan med hjälp av formeln

xn + 1 = xn − f(xn)/f ′(xn).

I detta problem är f(x) = y′(x). Formeln lyder då

xn + 1 = xn − (2xn − 2e−2xn)/(2 + 4e−2xn) = (2xn + 1)/(e2xn + 2).

Sätter man x0 = 1, så får man x1 ≈ 0,3195209367, x2 ≈ 0,4208428728, x3 ≈ 0,4262890010, x4 ≈ 0,4263027509, x5 ≈ 0,4263027511. Detta leder oss att tro att det korrekta värdet med två decimaler är 0,43. För att kontrollera att detta stämmer, behöver vi bara kontrollera att y′(0,425) och y′(0,435) har olika tecken, vilket de har.

Kjell Elfström


12 september 2011 17.37.56
hur kan man räkna ut figutens omkrets. halva cirkeln
mahdi

Svar:

Antag att en cirkel har radien r. Då är cirkelns omkrets 2πr och diametern är 2r. Halvcirkeln består av diametern och halva cirkelbågen. Halvcirkelns omkrets är därför 2r + (2πr)/2 = (2 + π)r.

Kjell Elfström


12 september 2011 12.32.37
Hej igen,
Jag ställde tidigare en fråga om en differensekvation som har följande utseende:
c[n]^4-4*c[n]^2+c[n-1]^2=0
Det som ska tilläggas är startvärdet som är:
c[0] = sqrt(2-2*cos(v))
Med vänlig hälsning,
Fredrik Bierich

Svar:

Sätt xn = cn2. Då lyder ekvationen

xn2 − 4xn + xn − 1 = 0,   x0 = 2 − 2 cos v.

Kompletterar vi kvadraten, kan ekvationen skrivas

(xn − 2)2 = 4 − xn − 1.

Sätter vi sedan yn = xn − 2, får vi

yn2 = 2 − yn − 1,   y0 = −2 cos v.

Detta ger att yn = √(2 − yn − 1), y0 = −2 cos v, vilket i sig är en differensekvation, men av enklare slag. Mer än så kan nog inte göras. Man inser att yn blir ett uttryck med kapslade rotuttryck. T ex är

y1 = √(2 + 2 cos v), y2 = √(2 − √(2 + 2 cos v)), y3 = √(2 − √(2 − √(2 + 2 cos v))).

Man får sedan att cn = √(yn + 2).

Kjell Elfström


10 september 2011 19.03.18
Angående 1 september 2011 13.53.10. Att f är analytisk antar jag att du visar när du deriverar f? Men hur drar du slutsatsen att g(a)=1 medför att f är en enkelvärd funktion?
Johan

Svar:

Att f är enkelvärd beror inte på detta utan på hur den är definierad. Definitionen ger bara ett värde för varje z i området. Att g(a) = 1 används tillsammans med att derivatan av g är noll till att visa att g(z) = 1 i området. Detta visar att ef(z) = z.

Kjell Elfström


9 september 2011 23.19.32
3 st sekanter med lutningen 1 i kurvan f(x)=0,1x^2 Jag lyckas inte finna något svar
JO

Svar:

En sekant går genom två punkter på kurvan. Antag att dessa punkter är (a,a2/10) och (b,b2/10). Riktningskoefficienten för sekanten är då (b2/10 − a2/10)/(b − a) = (1/10)(b − a)(b + a)/(b − a) = (a + b)/10 enligt konjugatregeln. Du kan alltså välja a och b godtyckligt, bara du ser till att deras summa är 10.

Kjell Elfström


9 september 2011 23.16.13
Kan man redan vid säg 15 års ålder avgöra om ett barn skall välja matematikintensiva utbildningar p.g.a goda/dåliga resultat på säg standardprov i grundskolans högre årskurs? Är matematiken på universitetsnivå av en helt annan karaktär så att resultat i grundskolan är direkt missvisande eller intetsägande?
orolig förälder Svante

Svar:

I grundskolan består matematikundervisningen till stor del i att man får lära sig räknealgoritmer utantill och tränar mycket på att tillämpa dem. Man räknar alltså ganska mycket. Universitetsundervisningen är mer inriktad på att man skall få en förståelse av matematiken. Man drar slutsatser från givna premisser och försöker komma fram till en lösning på ett problem. Räknande utgör naturligtvis ett inslag i detta problemlösande, men man räknar mindre och inte i samma utsträckning för att nöta in algoritmer. I gymnasiets högre årskurser är matematiken ett mellanting mellan de två synsätten.

Din första fråga är inte enkel att ge ett säkert svar på. Goda resultat i skolan är förmodligen ett tecken på en viss fallenhet för matematik. Omvänt, om man har matematisk begåvning, så erbjuder skolmatematiken inga större svårigheter, även om den kan upplevas som tråkig ibland, och då visar det sig nog i goda resultat. Samtidigt måste man inse att dåliga resultat kan bero på andra saker än bristande begåvning, som t ex skoltrötthet, dåliga lärare eller sociala problem. Är man intresserad av något ämne som kräver högre matematik, så kan man nog övervinna de eventuella svårigheter man har med matematiken. Man behöver ju inte bli specialist i matematik för att kunna tillämpa vissa delar matematiken på något annat ämne.

Kjell Elfström


9 september 2011 15.20.45
Hur många reella resp irreella rötter har ekvationen z^4 = 16? Stämmer det att man först löser ekvationen med avseende på de reella, i detta fall får vi lösningarna 2 resp - 2 och att de övriga 2 är irreella?
Linus Davidsson

Svar:

Man kan lösa ekvationen genom att ansätta w = z2. Den lyder då w2 = 16. Lösningarna till denna är w = ±4. Dessa två värden på w ger sedan upphov till ekvationerna z2 = 4 och z2 = −4. Den förra har rötterna z = ±2 och den senare z = ±2i.

Kjell Elfström


9 september 2011 14.43.14
Hej Fråga Lund
Hur löser man ekvationer av typen 2^n-1 = 3^n-2, n är ett heltal?
Mattias

Svar:

Jag vet inte hur den typ du avser ser ut generellt. Diofantiska ekvationer är ofta svåra att lösa. Om din likhet egentligen skall vara 2n − 1 = 3n − 2, så inser man att ekvationen saknar lösning. Det följer av att heltal har entydig primtalsfaktorisering. Ett tal kan inte vara en produkt av bara tvåor och en produkt av bara treor. Om likheten skall vara som den faktiskt står, så kan den skrivas om som 3n − 2n = 1. Då är n = 1 den enda lösningen, vilket man ser genom att undersöka storleken på vänsterledet.

Kjell Elfström


9 september 2011 14.41.03
Hej Fråga Lund. Jag har en fråga om moduläraritmetik. På många ställen på internet finns beskrivet hur man reducerar till exempel (a + b) mod n till (a mod n) + (b mod n) eller a ^ b mod n till a ^ (b mod phi(n) + phi(n)). Finns det något sätt att förenkla (eller utveckla) uttrycket om det istället är n som är sammansatt. Dvs finns det några räknelagar för
a mod (n + m)
a mod (n * m)
a mod (n ^ m)
?
exempelvis om man vill räkna ut 2 ^ (3 ^ 80 - 4) mod (3 ^ 80 - 4). Hur skulle man göra då?
Mattias

Svar:

Jag känner inte till några enkla regler för detta.

Kjell Elfström


9 september 2011 12.15.19
Förra veckan så ställde jag frågan: hur bevisar man potenslagen (a^x)(a^y)=a^(x+y) när a>0 och x, y är irrationella tal? Jag fick inte svar på frågan men du besvarade min fråga då x och y är komplexa tal vilket inkluderar (tror jag) irrationella x och y. Men jag är intresserad av ett bevis i reell analys, om ni inte vill svara på frågan så kanske ni kan säga i vilken bok jag kan hitta beviset? Jag vet inte heller om det är korrekt att bevisa då både x och y är irrationella, för x kan ju vara rationellt och y irrationellt, skulle vara tacksam för ett svar på den problematiken också.
Johan

Svar:

Det beror litet på hur man inför potenser. Börjar man med att införa logaritmer, så bevisar man logaritmlagarna, och sedan följer potenslagarna utifrån dessa. Annars inför man först potenser med rationella exponenter. Därefter kan man definiera ax, där x är irrationellt, genom att välja en följd xn av rationella tal, sådan att xn → xn → ∞, och definiera ax som gränsvärdet av axnn → ∞. Man måste självklart då bevisa att detta gränsvärde existerar och är oberoende av vilken följd man väljer. Därefter följer potenslagarna av gränsvärdeslagarna.

De flesta elementära läroböcker i analys innehåller bevis för potenslagarna på det ena eller andra sättet.

Kjell Elfström


9 september 2011 11.45.21
För vilka heltal E,T>0 är (2T+E)^2/(ET) heltal utöver E=T, E=2T, E=4T?
Jonas Wallgren

Svar:

Jag använder tecknen e och t i stället för E och T. Det gäller att (2t + e)2/(et) = (4t2 + 4et + e2)/(et) = 4t/e + 4 + e/t är ett heltal om och endast om 4t/e + e/t är ett heltal. e/t är ett rationellt tal. Förkortar vi så långt det går, kan vi skriva e/t = p/q, där p och q är relativt prima positiva heltal. Villkoret blir att 4q/p + p/q = (4q2 + p2)/(pq) är ett heltal. Då måste p dela täljaren och därför delar p också 4q2. Eftersom p och q är relativt prima, så måste p dela 4. p är alltså något av talen 1, 2 och 4. På samma sätt måste q dela p2 och det följer nu att q = 1, eftersom p och q är relativt prima. e/t = p/q är alltså något av talen 1, 2 och 4. Det finns alltså inga ytterligare lösningar.

Kjell Elfström


8 september 2011 18.48.08
Hejsan,
Har suttit och klurat på en uppgift ganska länge nu: ln(9t+72)-ln(2-t)=ln(t+6)^2
oskar

Svar:

Vänsterledet kan enligt logaritmlagen ln a − ln b = ln (a/b) skrivas ln((9t+72)/(2-t)). Talen (9t+72)/(2-t) och (t + 6)2 har alltså samma logaritm och måste därför vara lika. Vi kan skriva om denna ekvation som

9t + 72 = (t + 6)2(2 − t) = −t3 − 10t2 − 12t + 72.

Överflyttning ger

t3 + 10t2 + 21t = 0.

Antingen är t = 0 eller så är t2 + 10t + 21 = 0, och den senare ekvationen har rötterna −3 och −7. Den ursprungliga ekvationens led är definierade för alla tre rötterna, så dessa är rötterna till den ursprungliga ekvationen också.

Kjell Elfström


8 september 2011 18.46.33
hej kjell! jag har problem med en uppgift: 4^(y-1)+9*2^(y-2)=9, hur gör jag? mvh Peter

Svar:

Sätt x = 2y. Då är 4y − 1 = (22)y − 1 = 22(y − 1) = 22y − 2 = (2y)2/4 = x2/4 och 2y − 2 = x/4. Ekvationen är nu x2/4 + 9x/4 = 9, eller ekvivalent x2 + 9x = 36. Detta är en vanlig andragradsekvation. Den har rötterna x = 3 och x = −12. Man löser sedan ut y ur 2y = 3 och får y = ln 3. Roten −12 ger inte upphov till någon lösning y, eftersom 2y måste vara positivt.

Kjell Elfström


8 september 2011 18.40.30
kan du förklara de Meres paradox ?
Anders

Svar:

Se de Méré's Problem. Det är ingen paradox, så det är inte mycket att förklara.

Kjell Elfström


8 september 2011 17.38.50
Hej
Mitt problem lyder enligt:
Z(t) är en stokastisk process som vid tidpnkten t=t1 är enformigt distribuerat. över intervallet [-pi/2, pi/2]. Jag vill bestämma den endimensionella täthetsfunktionen för processen X(t)=tanZ(t) för t=t1.
Har fastnat då jag inte riktigt får fram fördelninsfunktionen så jag via den kan beräkna täthetsfuntionen.
Peter

Svar:

Vi kan kalla variablerna för X och Z. Sannolikheten för att X ≤ x är densamma som sannolikheten att tan Z ≤ x. Detta påstående är ekvivalent med att −π/2 < Z ≤ arctan x. Sannolikheten är därför (arctan x + π/2)/π, eftersom Z är likformigt fördelad. Där har du din fördelningsfunktion. Derivatan av den är 1/(π(1 + x2)).

Kjell Elfström


8 september 2011 13.51.14
Hej! Jättebra frågespalt!
Det finns 12 stycken tuggummin, 11 stycken av dessa väger exakt lika mycket varav ett väger mer eller mindre. Man får 3 vägningar på sig att bestämma vilket det är. Med hjälp av en vågskål.
Detta kan jag lösa genom att bara rita upp olika scenarion. Är det möjligt att lösa denna typ av problem rent matematiskt med gymnasiematematik (matematik A-D)?
En följdfråga blir i sånt fall, om det kan skrivas på en allmän formel att man kan ha n som en variabel för antalet föremål. T.ex om hur många vägningar som krävs där n=12 och också kunna räkna ut för n = 1000.
Johan, Stockholm

Svar:

Se dokumentet Myntvägningar under Utvalda frågor.

Kjell Elfström


8 september 2011 12.35.17
Jag undrar om det står fel i svenska Wikipedia om man slår på Analytisk funktion. Borde inte derivatan beräknas i punkten zo om den ska vara analytisk i zo?
Johan

Svar:

Nej, inte bara i z0. En funktion säges vara analytisk i en punkt om den är deriverbar i en omgivning av punkten. Funktionen är analytisk i ett område, om den är analytisk i varje punkt i området, dvs deriverbar i en omgivning av varje punkt i området. Om området är en öppen mängd, är alltså funktionen analytisk i området om och endast om den är deriverbar i varje punkt i området.

Kjell Elfström


8 september 2011 12.14.49
Måste man definiera den komplexa logaritmen på ett enkelt sammanhängande område som inte innehåller noll?
Johan

Svar:

Ja, om man vill ha bara en gren av den flervärda funktionen.

Kjell Elfström


8 september 2011 12.11.42
1 september 2011 13.53.10. Hade man kunnat bevisa samma sak genom att utveckla i potensserien e^z?
Johan

Svar:

Det handlade inte om att visa att ez är analytisk. Det förutsattes i svaret.

Kjell Elfström


8 september 2011 11.55.16
Hur bevisar man att z^n är analytisk då n är ett positivt heltal? Måste man använda ett enkelt sammanhängande område?
Johan

Svar:

Man kan använda definitionen av derivata tillsammans med binomialsatsen. Funktionen är definierad i hela det komplexa talplanet.

Kjell Elfström


8 september 2011 09.33.57
Jag vet ju att LaTeX är vanligt i den akademiska världen, men använder ni lärare LaTeX även när ni skriver matematiktentor som bara är en A4 sida?
Johan

Svar:

Jag och många av mina kolleger använder LaTeX till nästan alla dokument vi skriver, inte bara dokument med matematisk text. Tentamina typsätter vi självklart med LaTeX.

Kjell Elfström


8 september 2011 03.18.11
Angående signifikanta siffror. Jag fick höra att tydligen är t.ex. 1 + 0,0001 = 1 och inte 1,0001 Stämmer verkligen detta i alla tänkbara fall? Säg vi har en våg som mäter med en noggrannhet på 1/10 000 gram. Vi lägger sedan dit en vikt som råkar väga exakt 1 gram och sedan lägger vi dit en annan vikt som väger 0.0001 gram. Ska vi då skriva att summan av vikterna är 1 gram eller 1,0001 gram?
Olle

Svar:

Felet i viktangivelserna är högst 0,0001 g. Om x är det exakta värdet av den stora vikten och y det exakta värdet av den lilla, så är alltså 1 − 0,0001 ≤ x ≤ 1 + 0,0001 och 0,0001 − 0,0001 ≤ y ≤ 0,0001 + 0,0001. Addition av olikheterna ger att 0,9999 ≤ x + y ≤ 1,0003. Anger man den sammanlagda vikten till 1,0001, förleder man läsaren att tro att den exakta sammanlagda vikten ligger mellan 1,00005 och 1,00015, vilket den alltså inte behöver göra. Anger man den till 1,000 g, så menar man att den verkliga vikten ligger mellan 0,9995 g och 1,0005 g, vilket stämmer med förutsättningarna.

Kjell Elfström


7 september 2011 18.50.30
z^3 - 3z^2 + 4z -12
hur löser man den tredjegradsekvationen?
stefan

Svar:

Man kan försöka gissa en lösning. Om det finns en rationell rot z = a/b, där a och b är relativt prima heltal och b > 0, så gäller det att a3/b3 − 3a2/b2 + 4a/b − 12 = 0. Multiplikation med b3 ger a3 − 3a2b + 4ab2 − 12b3 = 0. Eftersom varje term utom möjligen den sista är delbar med a, så är den sista termen också delbar med a. Eftersom a och b är relativt prima, så är 12 delbart med a. På samma sätt får man att högstagradskoefficienten 1 är delbar med b. Det visar att b = 1 och att a är något av talen ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 och ±12. Det kan inte vara så, att a är negativ, eftersom ekvationens vänsterled då blir negativt. Man börjar lämpligen att pröva med a = 1 och sedan med a = 2. Ingen av dessa gav en lösning. Man fortsätter med a = 3 och finner att z = 3 faktiskt är en lösning. Division av ekvationens vänsterled med z − 3 ger att ekvationen kan skrivas

(z − 3)(z2 + 4) = 0.

Lösningarna är alltså 3 och ±2i.

Kjell Elfström


7 september 2011 11.45.08
Hej.
Jag kan vara på helt fel ställe och ställa lustiga frågor, men: Jag arbetar som programmerare och har fått i uppgift att göra ett diagram över den sannolika tidpunkten för en händelse. Det finns ett antal olika mätmetoder som används som bedömningsunderlag, som alla har olika träffsäkerhet beroende på olika omständigheter. Varje metod ger mig ett sannolikt tidsintervall för händelsen. Det jag vill göra är att utifrån dessa viktade intervall generera en normalfördelningskurva och markera ut 95 percentilen.
Alltså, i korthet, vill jag från ett underlag med mätpunkter enl: [från tid], [till tid], [vikt mellan 0-1] generera en normalfördelningskurva.
Hoppas att frågan går att förstå.
Jesper Öhnstedt

Svar:

Magnus Wiktorsson vid Matematisk statistik har sagt att han tittar på problemet, om du ber honom om hjälp.

Kjell Elfström


6 september 2011 22.50.38
Hej Kjell kan du derivera mig den här funktionen, jag fick många svar! jag vete inte vad är rätt svar ?
y = 2x^1/2 + 1/x^2
Hälsningar Matuta
Matuta

Svar:

Derivatan av axb är abxb − 1. Skriver man y = 2x1/2 + x−2, så ger denna regel tillsammans med regeln för derivatan av en summa, att derivatan är 2·(1/2)x−1/2 + (−2)x−3 = x−1/2 − 2x−3.

Kjell Elfström


6 september 2011 18.03.35
Jag söker en formel för att räkna ut exakt hur många aktier jag behöver köpa till när värdet går ner för att inte det ska bli för stor differens mellan ingångsvärdet och aktuell kurs. Säg att jag tillåter max 2:00 i minusdifferens (anskaffningsvärdet - aktuell kurs < 2:00). Säg att ingångsvärdet är 100:-/styck för 300 inköpta aktier. Kursen går ner till 70:- Hur många aktier bör jag köpa till för att kursvärdena ska diffa på högst 2:00? Normalt räknar jag ut det genom passning enligt formeln: X antal nya aktier x aktuell kurs + Y antal gamla aktier x dessas ingångsvärde, dividerat med X+Y, men det ger inte exakt antal i en räkneoperation. Och hur ser formeln ut om jag inte tillåter någon minusdifferens?
Tommy H.

Svar:

Antag att x är antalet nya aktier, y antalet gamla, p den nya kursen och q den gamla. Aktierna är då värda (x + y)p nu och deras sammanlagda inköpsvärde är xp + yq. Skillnaden blir (x + y)p − (xp + yq) = y(p − q), och den genomsnittliga skillnaden är y(p − q)/(x + y). Vid en kursnedgång är detta ett negativt tal. Minskningen per aktie är alltså y(q − p)/(x + y). Tillåter man en differens på högst 2 kr, skall man alltså lösa olikheten y(q − p)/(x + y) ≤ 2. Denna olikhet är ekvivalent med y(q − p) ≤ 2(x + y), vilket i sin tur är ekvivalent med x ≥ y(q − p − 2)/2. Detta är mindre än eller lika med noll, om den nya kursen inte understiger den gamla med mer än 2 kr, och då behöver man inte köpa till några aktier. Man kan alltså välja x = 0 i det fallet. Annars får man välja x som det minsta heltal, som är större än eller lika med y(q − p − 2)/2. Om differensen får vara högst d, så blir motsvarande formel x ≥ y(q − p − d)/d.

Kjell Elfström


6 september 2011 17.42.52
Bestäm de v som satisfierar sin(4v+pi/3)=sin(3v+pi/5). Jag har problem med uppgiften, jag fastnar hela tiden så jag behöver er hjälp.
Mvh Klas
Klas

Svar:

Det gäller att sin x = sin y, om och endast om x = y + 2πn eller x = π − y + 2πn. Detta ger att 4v + π/3 = 3v + π/5 + 2πn eller 4v + π/3 = π − (3v + π/5) + 2πn. I det första fallet får vi att v = π/5 − π/3 + 2πn = −2π/15 + 2πn. I det andra fallet får vi 7v = π − π/5 − π/3 + 2πn = 7π/15 + 2πn, vilket i detta fall ger att v = π/15 + 2πn/7.

Kjell Elfström


6 september 2011 16.23.11
Hejsan Kjell!
Vad är en bra ansats för att bevisa att om a och n är heltal (n>1), a^n - 3^n ett positivt primtal, så är a = 4 och n ett positivt primtal?
Med vänliga hälsningar
Jonas

Svar:

Man kan skriva

p = an − 3n = (a − 3)(an − 1 + 3an − 2 + 32an − 3 + … + 3n − 2a + 3n − 1).

Eftersom n > 1, så innehåller den andra faktorn minst två termer och är alltså större än eller lika med 2. Om a > 4, så är den första faktorn också större än eller lika med 2, och p är ett sammansatt tal. Det måste alltså vara så, att a = 4. Om nu n inte är ett primtal, så är n = rs sammansatt, där r ≥ 2 och s ≥ 2, eftersom n > 1. Då är

p = 4rs − 3rs = (4r)s − (3r)s
= (4r − 3r)((4r)s − 1 + 3r(4r)s − 2 + (3r)2(4r)s − 2 + … + (3r)s − 24r + (3r)s − 1)

ett sammansatt tal.

Kjell Elfström


6 september 2011 12.24.43
Y=4/3x-7
Ann Eriksson

Svar:

Vad är frågan?

Kjell Elfström


4 september 2011 20.59.32
Hej. Jag har en uppgift jag inte lyckas klara:
Vad är sannolikheten att få minst två tärningar med samma antal prickar om man kastar fyra tärningar på en gång.
Per

Svar:

Det finns 64 utfall. Att välja ut fyra olika tal bland talen 1,2,3,4,5,6 i en bestämd ordning kan göras på 6·5·4·3 = 360 sätt. Sannolikheten att alla fyra tärningarna visar olika är därför 360/64. Sannolikheten att minst två av dem visar lika är alltså 1 − 360/64.

Kjell Elfström


4 september 2011 19.05.20
Trigonometri. Hittar man alltid den största vinkeln i en triangel mitt emot den längsta sidan?
Agnes

Svar:

Ja. Detta inser man t ex med hjälp av sinussatsen.

Kjell Elfström


4 september 2011 02.23.28
Sannolikhetslära
Jag väljer ut tolv nummer mellan 1 och 35
I en dragning dras det slumpmässigt sju nummer mellan 1 och 35
Hur stor är sannolikheten att jag har minst fem rätt (alltså antingen fem, sex eller sju rätt) i dragningen ovan?
Om man sen gör ytterligare nio likadana dragningar och jag behåller samma tolv utvalda nummer hur stor är då sannolikheten att jag någon gång under dessa tio dragningar får minst fem rätt?
Om man sen gör ytterligare tio likadana dragningar och jag fortfarande behåller samma tolv nummer hur stor är då sannolikheten att jag någon gång under de totalt tjugo dragningarna får minst fem rätt?
Med vänliga hälsningar
Henrik Lestréus
Henrik Lestréus

Svar:

Jag antar att 1 och 35 också är tillåtna nummer. En urna innehåller 12 röda och 23 vita kulor. De 12 röda kulorna representerar de kulor du valt. Man tar på måfå 7 kulor ur urnan. Frågan är vad sannolikheten är, att minst 5 av dem är röda. Antalet sätt att göra dragningen på är (357). Antalet dragningar med 5 rätt är (125)(232), antalet med 6 rätt (126)(231) och antalet med 7 rätt (127)(230). Sannolikheten för minst fem rätt i en dragning är

p = ((125)(232) + (126)(231) + (127)(230))/(357).

Sannolikheten för att inte få minst fem rätt i en enskild dragning är q = 1 − p. Sannolikheten att inte få fem rätt någon gång under n dragningar är qn. Sannolikheten för att få minst fem rätt i någon av de n dragningarna är 1 − qn. Nu behöver du bara sätta n = 10 resp. n = 20 i denna formel för att svara på de två sista frågorna.

Kjell Elfström


3 september 2011 20.10.20
Jag har 2 frågor som jag försökt förstå ett tag nu, men utan framgång tyvärr..
Använd projektion för att lösa -u''(x)
-u''(x)= 0 0<x<pi u(0)=0 u(pi)=2 genom att anta att U(x)= A*sinx + B*sin2x + C*sin3x + (2/pi^2)x^2.
Jag förstår att U(x) är min approximation av lösningen av DE, med A,B,C som okända koefficienter, men vet inte hur jag ska gå vidare.. Jag tänkte först ta reda på den analytiska lösningen, vilket i så fall blir
u'(x)= A
u(x)=Ax + B
vilket då ger att B = 0 och A = 2/pi.
Vad gäller min approximation residualen definieras antar jag.
R(U(x)) = -u''(x) - 0 = -Asinx -4BSin2x -9Csin3x + 4/pi^2
Men sedan vet jag inte hur jag ska komma vidare (om jag har gjort rätt dvs)
Den andra frågan:
Beräkna grafen Pi(nedsänkt 4)(exp(-8x^2)) på [-2,2], som interpolerar exp(-8x^2)i 5 punkter som är lika långt ifrån varandra i [-2,2].
Här har jag inte en aning hur jag ska gå till väga.
Uppskattar verkligen all hjälp och vägledning!
Fredrik

Svar:

Jag är inte tillräckligt insatt i Galerkins metod.

Kjell Elfström


3 september 2011 18.42.28
hej skulle behöva hjälp med följande frågor.
1. visa att V^(q)(där v tillhör V^(q) och v(0)=0) är ett underrum av P^(q)(0,1). jag hoppas du förstår vad jag menar då jag inte kunnat skriva in alla tecken korrekt. men med V^(q) menar jag V av grad q
2. diff ekvationen u'(t)=u(t), 0<t<1, u(0)=1
Beräkna en approximativ lösning med galerkin i P^(q)(0,1) för q=1,2,3,4
Blom

Svar:

Jag vet inte vad V och P står för. Jag är heller inte tillräckligt insatt i Galerkins metod för att ge någon värdefull hjälp.

Kjell Elfström


2 september 2011 15.28.39
Förutsättning: sfäriska kulor, alla i samma storlek.
Hur ser formeln ut för att beräkna fyllnadsgraden (alltså det som inte är luft)som en funktion av kulornas storlek (kulorna ligger "så tätt som möjligt").
Tobias L

Svar:

Tätheten är π/(3√2). Det finns två tätpackningar av rummet, som ger denna maximala täthet, den kubiska och den hexagonala. Se Sphere Packing, Cubic Close Packing och Hexagonal Close Packing.

Kjell Elfström


2 september 2011 11.30.22
Hej Kjell!
kurvan y= ax^2 + bx + 10 har en minimpunkt i (3;-8) bestäm talet a och b.
Mvh Matuta

Svar:

Deriverar vi polynomet, får vi y′ = 2ax + b. Eftersom (3,−8) ligger på kurvan, är y(3) = −8, och eftersom punkten är en extrempunkt, så är y′(3) = 0. Detta ger 9a + 3b + 10 = −8 och 6a + b = 0. Den första ekvationen kan skrivas 3a + b = −6. Det är nu lätt att lösa ekvationssystemet och få att a = 2 och b = −12.

Kjell Elfström


2 september 2011 11.24.35
Hej Kjell! jag en fråga om matte D,som jag fasnade i.
Kalle skall sätta 50m stängsel runt tre sidorn rektangels fjärde sida består av en bergvägg, och här behövs alltså inget stängsel.
Hur skall stängseet sättas upp för att Kalle skall få maximal area på sitt området.
Hälsningar
Jack...
Jack

Svar:

Vill man göra det riktigt enkelt för sig, så speglar man området i bergväggen. Området tillsammans med spegelbilden är då en rektangel, som begränsas av ett dubbelt så långt stängsel. Det är välkänt, att en rektangel med konstant omkrets har störst area, då den är en kvadrat. Området (utan spegelbilden) skall därför vara en halv kvadrat. Denna lösning kräver att man visar påståendet om maximal rektangel.

En direkt lösning kan göras på följande sätt: Låt y vara längden av den del av stängslet, som är parallell med bergväggen, och x längden av var och en av de övriga sidorna. Då är 2x + y = 50. Arean är därför xy = x(50 − 2x) = 50x − 2x2. Deriverar vi detta uttryck, får vi 50 − 4x. Derivatan är noll, då x = 25/2. Teckenundersökning av derivatan visar att detta är en maximipunkt. Det skall alltså gälla att x = 25/2 och y = 25. Vi fick en halv kvadrat.

Kjell Elfström


1 september 2011 22.05.19
Vad krävs för att en kurva skall ligga på en sfär? Skulle bevisa en sådan sats i boken "differential geometry" [Oprea] men klarade inte det. Kravet skall innehålla sfärens radie,kurvans torsion och krökning. Kan du formulera satsen och bevisa den?
anders

Svar:

Jag föreslår att du tittar i Lecture Notes 7. Observera att det är ett tryckfel på sidan 4. ”we may note that α(t) = 0” skall vara ”we may note that a(t) = 0” med a i stället för alfa.

Kjell Elfström


1 september 2011 19.18.03
I den komplexa analysen så verkar det som analytisk funktion kan definieras på två sätt, antingen som en potensserie eller att derivatan existerar på en viss mängd. Jag tror att det går att bevisa att dessa två definitioner är ekvivalenta. Frågan är hur detta bevis ser ut? Jag tror att man behöver beviset för att en analytisk funktion har analytisk derivata, det vill säga att funktionen har oändligt många derivator. Det beviset tror jag att jag har hittat på internet och det verkar relativt stort så jag förstår om ni inte vill bevisa det och dessutom har jag som sagt hittat det på nätet. Så min fråga lyder hur bevisar man att definitionerna är ekvivalenta om man känner till beviset att en analytisk funktion har analytisk derivata?
Johan

Svar:

Jag hänvisar dig till litteraturen. Detta visas i de flesta elementära läroböcker i komplex analys.

Kjell Elfström


1 september 2011 18.51.15
f(x)=x^3+ax^2+bc+c x har rötterna 2,3 och 4 bestäm värdet på a, b och c. Hur går jag tillväga?
J-O G

Svar:

Använder man sambandet mellan rötter och koefficienter, så får man att a = −(2 + 3 + 4) = −9, c = 2·3 + 2·4 + 3·4 = 26 och bc = −2·3·4 = −24. Detta ger sedan att b = −24/26 = −12/13.

Kjell Elfström


1 september 2011 17.08.27
Jag har stora problem med Galerkins metod,variationsformulering för att sedan använda hattfunktioner och Finit Element Metoden för att få fram en styvhetsmatris m.m, m.m, får inte grepp på hur allt hänger ihop riktigt.
En av uppgifterna: Beräkna styvhetsmatrisen och "load vector" i en finit element-uppskattning av randvärdesproblemet:
-u''(x)= f(x) 0<x<1 u(0)=u(1)=0
med f(x)=x och h = 1/4.
Jag skulle verkligen behöva en fullständig lösning av en uppgift av den här typen för att greppa dessa begrepp och hur jag kopplar ihop dem.
(En annan fråga, jag hörde att det finns andra typer av matriser som fås, massmatris och någon till, vilken av dessa gäller för vilka DE?)
Tackar på förhand för hjälpen!
Viktor

Svar:

Jag är inte tillräckligt insatt i Galerkins metod för att ge någon värdefull hjälp.

Kjell Elfström


1 september 2011 16.39.03
Kan man inte som alternativ till din lösning på getproblemet 7 mars 99 direkt integrera den gula arean i figuren? Om vinkeln t ökar med dt så ändras tangenten PQ med dt och genererar arean dA=0,5(a-rt)^2dt som lätt kan integreras?
Sture

Svar:

Jag kan inte se hur r kommer in i arean av den gula kvartscirkeln.

Kjell Elfström


1 september 2011 15.36.41
Hej Kjell!
Läst "Music of the Primes" av Marcus du Sautoy. Tycker tyvärr han svävar kring den centrala frågan, nämligen att om Riemannhypotesen är sann (d.v.s. att alla icke-triviala nollställen till zetafunktion har realdelen 1/2) så är primtalen "fördelade fullständigt slumpmässigt" (jag uttrycker det kanske lite slarvigt här). Kan man förklara denna koppling på ett enkelt sätt. du Sautoy verkar inte göra det utan skriver i stil med "Riemann insåg att...", vilket inte hjälper mig som läsare.
Sedan att primtalen är "fullständigt slumpmässigt fördelade" förstår jag inte riktigt. Primtalen är ju inga magiska tal som man hittat någonstans utan att (med tålamod) kan man få fram vilka primtalen är (så länge man orkar räkna). Varför talas det alltså om "fullständigt slumpmässigt fördelade primtal"? Hoppas du förstår vad jag menar.
Tack så mycket på förhand.
Pär

Svar:

Jag kan inte så mycket om detta, men se AMS lecture: Structure and randomness in the prime numbers.

Kjell Elfström


1 september 2011 15.30.37
Hejsan Kjell!
Jag har en fråga som berör Area och omkrets. Hur kommer det sig att om man t.ex. har ett snöre med omkretsen 20m så kan man få ut olika areor av samma omkrets? Borde inte samma omkrets alltid kunna täcka samma area?
Robert

Svar:

Lägger man 100 kubiska klotsar med sidan 1 cm i en rad på ett bord och knyter ett snöre om raden, så har snöret längden 202 cm och innesluter en area om 100 cm2. Tar man bort en klots i änden av raden, så frigör man 3 cm snöre. Snöret kan spännas ut till en rektangel med sidorna 99 cm och 2 cm. Man kan trycka in ytterligare en rad med 99 klotsar jämte den återstående raden. Samma snöre innesluter nu 198 cm2. Svaret på din fråga är alltså nej. Ännu tydligare blir det om man formar en rektangel så att två motstående sidor består av metallstavar och de återstående av snören. Man kan dra ut snörena, så att det uppstår en sexhörning, som buktar utåt. Man kan också trycka in snörsidorna, så att man får en sexhörning, som buktar inåt. Gör man detta på ett sådant sätt att avståndet mellan metallstavarna är detsamma i de båda fallen, inser man lätt att arean är större i det första fallet än i det andra.

Kjell Elfström


1 september 2011 13.55.15
Vad har man för nytta av att veta att x1+x2=-p och x1x2=q när det gäller andragradsekvationen. Kan du ge något exempel på när detta kan vara användbart bortsett från att kontrollera om lösningarna är korrekta?
Johan

Svar:

Sambandet kallas sambandet mellan rötter och koefficienter och liknande formler gäller också för polynom av högre gradtal. Se t ex 1 september 2011 18.51.15 för en tillämpning.

Kjell Elfström


1 september 2011 13.54.44
När man skriver matematik i ett ordbehandlingsprogram så uppstår frågan när man ska använda kursiv skrift och när man inte ska det? Jag tror att matematiska symboler ska vara kursiv skrift och vanlig text ska inte vara kursivt. Vad är det som gäller?
Johan

Svar:

Variabler brukar skrivas med kursiv stil. Det gäller inte bara tal, utan matriser, mängder, grupper osv. Siffror skrivs med rak stil, liksom vanligen beteckningarna N, Z m.fl. för etablerade konstanta talmängder. Dessa brukar också skrivas med fet stil eller dubbelstreck. Summa- produkt- och integraltecken är raka liksom beteckningar för andra operatorer och relationer, som t ex plustecken och delbarhet. Vanlig text är rak, kursiv eller fet, precis som i icke-matematisk text. Ibland vill man understryka ett ord eller fras. Att göra detta bokstavligt anses inte vara god typografi, och då kursiverar man eller använder fet stil i stället.

Kjell Elfström


1 september 2011 13.54.12
Råder det ekvivalens mellan dessa två uttryck: 1/(y^2)-y^2=a och y^4+a(y^2)-1.
Johan

Svar:

Det skall stå = 0 efter det sista uttrycket. Under förutsättning att y ≠ 0 är påståendena ekvivalenta. Man kan få det andra från det första genom att multiplicera med y2 och därefter addera ett lämpligt uttryck till båda led. Man kan få det första påståendet från det andra genom att dividera båda led med y2 och addera ett lämpligt uttryck till båda led.

Kjell Elfström


1 september 2011 13.53.49
Jag känner till en definition för potens med irrationell exponent där man använder sup och inf. Finns det något annat sätt att göra definitionen på? Om man använder definitionen med sup och inf måste man då definiera a^(-t)=1/a^(t) där t är ett irrationellt tal?
Johan

Svar:

I den axiomatiska framställningen av reella tal är det alltid axiomet om övre gräns som kommer in. Man kan i stället visa att Cauchyföljder är konvergenta med hjälp av axiomet, Man kan sedan ta en godtycklig följd tn av rationella tal, sådan att tn → tn → ∞, visa att atn är en Cauchyföljd och definiera at som gränsvärdet av atn. Man måste, om man gör på detta sätt, visa att man får samma resultat oberoende av vilken följd tn man tar.

Definierar man at för godtyckliga irrationella t med hjälp av supremum eller med hjälp av Cauchyföljder, så har man redan definierat at och at, och någon ytterligare definition behövs inte. Man får då i stället bevisa formeln. Har man bara definierat potenser för positiva rationella tal, kan man göra den definition du anger.

Kjell Elfström


1 september 2011 13.53.10
Hur bevisar man att z^c=e^clogz är en analytisk funktion då U är ett enkelt sammanhängande område och den komplexa logaritmen är definierad på U? Det gäller att z och c är komplexa tal och z är skilt från noll.
Johan

Svar:

Låt a vara ett komplext tal i området och sätt f(z) = Log a + ∫az /ζ för z i området. Integralen betecknar integralen längs en kurva i området från a till z. Det är välkänt att integralens värde inte beror på vilken kurva man väljer. Då är f ′(z) = 1/z och det följer att d/dz(zef(z)) = 0. Detta visar att zef(z) är konstant. Eftersom värdet av denna funktion är 1 i punkten a, så är värdet 1 i alla punkter i området. Funktionen f är alltså en enkelvärd analytisk logaritm definierad i hela området. Att zc är analytisk följer nu av att sammansättningar av analytiska funktioner är analytiska.

Kjell Elfström


1 september 2011 13.52.27
Jag tror att jag någon gång har hört att axiomet om övre gräns ibland är en sats och ibland ett axiom. Stämmer detta och när i så fall är det ett axiom och när är det en sats?
Johan

Svar:

Det beror på var man börjar. Inför man de reella talen axiomatiskt, så är påståendet ett axiom. Man kan också börja t ex med Peanos axiom för de naturliga talen, konstruera heltalen, sedan de rationella talen och slutligen de reella talen. Då följer påståendet av Peanos axiom och är alltså en sats.

Kjell Elfström


1 september 2011 13.51.46
Vilken bok använder ni i Lund i kursen komplex analys?
Johan

Svar:

Se kursens hemsida.

Kjell Elfström


1 september 2011 13.50.48
Hur bevisar man potenslagen (a^x)(a^y)=a^(x+y) när a>0 och x, y är komplexa tal?
Johan

Svar:

Lagen gäller då a = e. Väljer man samma gren av logaritmen i de tre ingående intrycken, följer därför likheten av att ax = ex log a.

Kjell Elfström


1 september 2011 13.50.16
Varför är begreppet analytisk funktion så viktig inom komplex analys när man väldigt sällan nämner det i reell analys?
Johan

Svar:

Komplexa analytiska funktioner har fler användbara egenskaper. Se t ex Analytic Function, ”Real versus complex analytic functions”.

Kjell Elfström


1 september 2011 13.49.46
Angående 16 januari 2011 17.19.36. När du talar om att du inte vet om det råder ekvivalens, menar du då att x och y är upphöjda till 2 och att vi därför inte vet tecknet på x och y?
Johan

Svar:

Ja menar bara att man inte behöver kontrollera ekvivalensen i varje steg.

Kjell Elfström


1 september 2011 13.47.50
Hej!
Jag undrar över följande Ma-grej: Hur räknar man fram vinkeln a som i lösningen blir 15 grader?
För tydlighetens skull tar jag med både uppgiften och lösningen:
Tre identiska cylindrar är placerade på ett plant horisontellt underlag. (En cylinder ligger ovanpå de andra två)Bestäm vilka minsta friktionskoefficienter, dels mellan cylindrarna, dels mellan en cylinder och underlaget, som är nödvändiga för att jämvikt (vila) ska råda?
Lösning: Betrakta exempelvis den vänstra, undre cylindern. Friktionskrafterna måste var lika stora =f, annars får vi vridning kring A som är mittpunkten på den vänstra undre cylindern. R är resulterande kraftpåverkan från den övre cylindern. Reaktionskraften R'=R måste ha en komposant vertikalt som "bär" halva den övre cylinderns tyngd. Således R'cos(a)=0.5mg ger R=R'=0.5mg/cos(a). Normalkraften N'vid punkten V som är belägen vid kontaktytan mellan den vänstra undre cylindern och underlaget, balanserar mg+0.5mg=1.5mg. Den resulterande kraften R måste ha sin verkningslinje ´genom v, annars har vi vridning kring v. Således likbent triangel med a=15 grader. Denna triangel har ett hörn i mittpunkten A med vinkel 150 grader. De övriga hörnen har vinklarna a=15 grader, belägna vid kontaktytan mellan nedre vänstra cylindern och underlaget, samt vid kontaktytan mellan övre cylindern och nedre vänstra cylindern.
Per

Svar:

De tre cylindrarna rör vid varandra. Kallar man den vänstra nedre cylinderns medelpunkt för A, den högra nedre triangelns för B och den övres för C, så är triangeln ABC liksidig. Varje vinkel i denna triangel är därför 60°. Kalla som i lösningen beröringspunkten mellan den nedre vänstra cylindern och underlaget för V och beröringspunkten mellan den nedre vänstra och den övre cylindern för U. Vinkeln UAV delas i två vinklar av linjen AB. Den övre av dessa vinklar är 60° och den undre är 90°. Vinkeln UAV är därför 150°. Vinklarna AVU och AUV är lika stora. Eftersom vinkelsumman i en triangel är 180°, så måste var och en av dem vara 15°.

Kjell Elfström


1 september 2011 13.22.35
Tacksam för hjälp med lösning av följande:
I uttrycket SIX/NINE=2/3 står varje bokstav för en bestämd siffra.
Vad står SIX/NINE för?
Svaret är 942/1413
Lena

Svar:

Likheten kan skrivas om som 3·SIX = 2·NINE. Vi förutsätter att S och N inte är nollor. Vänsterledet är mindre än eller lika med 3·999 < 3000. Om N ≥ 2, så blir högerledet större än eller lika med 4000. Det måste alltså vara så, att N = 1.

Om I ≥ 5, så blir högerledet större än eller lika med 3000. Detta är omöjligt. I kan heller inte vara 1, eftersom N = 1. I är alltså någon av siffrorna 0, 2, 3 och 4. Vi ser också att S är minst 6, eftersom vänsterledet annars är mindre än 1800. Om I = 0 ligger högerledet mellan 2020 och 2038. Då är vänsterledet 3·S0X och varken S = 6, 7, 8 eller 9 kan ge ett sådant värde. Det återstår att pröva I = 2, 3 och 4. Då I = 2 ligger högerledet mellan 2420 och 2438. Man ser lätt att inget S-värde gör att vänsterledet kommer mellan dessa gränser. Man utesluter I = 3 på liknande sätt. Nu återstår bara I = 4. Om S < 9 blir vänsterledet för litet. Vi har alltså 3·94X = 2·141E. Jag tror nu att du själv kan pröva dig fram till värdena på X och E.

Kjell Elfström

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

FöregåendeNästa

Sök bland frågorna

Logisk operator

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)