Fråga Lund om matematik
Frågor och svar oktober 2011
31 oktober 2011 00.25.18
ett rederier 30% rabatt till studerande. vid en överfart var 245 personer ombord på färjan, varav 55 var studerande. rederiet fick in 47985 kr i biljettavgifter. hur mycket betalar en studerande för överfarten?
karin
Svar:
Antag att en studerande betalar x kronor. Om y är det ordinarie priset, så gäller det att x = 0,7y, varav y = 10x/7. Det var 55 personer, som betalade x kronor, och 190, som betalade 10x/7 kronor. Detta ger oss ekvationen 55x + 190⋅10x/7 = 47985. Multiplikation av båda led med 7 ger 385x + 1900x = 335895, varav x = 335895/2285 = 147 kronor.
Kjell Elfström
30 oktober 2011 23.50.25
Hej!
Jag undrar om detta blir en geometrisk talföljd, jag blir lite konfunderad över Δan Write out the first five terms of the sequence satisfying the following difference equation
Δan = 0,5a0 a0 = 1
Tack för hjälpen
Olle D
Svar:
Förmodligen står Δan för an + 1 − an. Jag antar att du har skrivit fel, och att ekvationen skall vara Δan = (1/2)an. Det betyder då att an + 1 = (3/2)an, n ≥ 0, vilket också kan skrivas an = (3/2)an − 1, n ≥ 1. Eftersom a0 = 1, så är a1 = 3/2, a2 = (3/2)2, och man inser att an = (3/2)n.
Kjell Elfström
30 oktober 2011 18.44.49
Hejsan Kjell, vilket matematikprogram använder du för att få såna fina PDF-filer som du har under t.ex. "Vanliga Frågor"?
-.-*
Svar:
Jag skriver filerna i LaTeX, vilket är det typsättningssystem de flesta matematiker använder. Figurerna har jag gjort direkt i postscript, som kan inkluderas i tex-filer.
Kjell Elfström
30 oktober 2011 15.48.13
Jag vill göra ett spelschema för 8 tennisspelare som ska spela dubbelmatcher i olika konstellationer i 7 omgångar så att
1) alla får spela med alla andra 1 match var.
2) alla får spela mot alla andra 2 gånger var.
Går detta att få till, och i så fall kan man hitta en algoritm som genererar spelschemat?
Jan N
Svar:
Vi behöver först dela in de 8 spelarna i 4 grupper om 2 personer för varje omgång. Det blir sammanlagt 28 grupper, och ingen sådan grupp får innehålla samma två personer. Detta problem kallas The Social Golfer Problem. Lösningarna på detta specifika problem finns på 7 weeks play in 4 groups of 2 golfers. Vi väljer den med beteckningen ”Solution 1”. På så sätt har vi valt ut vilka som skall spela tillsammans i matcherna. Nu måste vi också bestämma vilka par som skall spela mot varandra, och här prövar vi oss fram.
| Match 1 | Match 2 | |||
| Omgång | Par 1 | Par 2 | Par 1 | Par 2 |
| 1 | 1,2 | 3,4 | 5,6 | 7,8 |
| 2 | 1,3 | 5,7 | 2,4 | 6,8 |
| 3 | 1,4 | 5,8 | 2,3 | 6,7 |
| 4 | 1,5 | 2,6 | 3,7 | 4,8 |
| 5 | 1,6 | 4,7 | 2,5 | 3,8 |
| 6 | 1,7 | 2,8 | 3,5 | 4,6 |
| 7 | 1,8 | 3,6 | 2,7 | 4,5 |
Kjell Elfström
30 oktober 2011 12.44.19
En kanske löjligt enkel uppgift. Jag läser just nu Mot bättre vetande i matematik, en slags repetitionskurs inför högskolestudier. Under Integraler/partialbråksuppdelning finns S 1/(e^x +1) dx med integrationsgränserna ln2 och 0 (S är i stället för integraltecknet). Det är just bråkuppdelningen jag inte förstår. Hjälp, tack påförhand !
Stig Larsson
Svar:
Tanken är väl att man skall sätta t = ex, så att x = ln t. Då är dx = dt/t, och integralen övergår i ∫12 dt/(t(t + 1)). Att partialbråksuppdela integranden innebär att skriva den som
där A och B är konstanter. Multiplicerar vi båda led med vänsterledets nämnare, får vi
Sätter vi in t = 0 försvinner B-termen, och vi ser att A = 1. Sätter vi in t = −1, så att A-termen försvinner, får vi B = −1. Integralen är alltså lika med
Ett mycket enklare sätt att beräkna integralen på är att skriva om integranden som e−x/(1 + e−x) = −(−e−x)/(1 + e−x). I uttrycket (−e−x)/(1 + e−x) är täljaren derivatan av nämnaren, och därför är en primitiv funktion till detta uttryck den naturliga logaritmen av nämnaren. Din integral kan alltså skrivas som [−ln(1 + e−x)]0ln 2 = −ln(1 + 1/2) + ln 2, vilket kan förenklas till ln 4 − ln 3.
Kjell Elfström
29 oktober 2011 21.46.22
Hej, jag undrar om det finns något kortare sätt att skriva 10^10^...10^a, n st tior (jag antar att konventionen är att 10^^n^a=(10^^n)^a=(10^10^...10)^a, vilket ju är något annat än vad jag söker)? Tacksam för svar.
Magnus
Svar:
Jag känner inte till något vedertaget kort sätt att skriva talet på. (10^^n)a och 10^^(na) är inte samma sak.
Kjell Elfström
29 oktober 2011 21.45.05
Angående 23 oktober 2011 19.07.41. Har den sats som knyter samman algebrans fundamentalsats och faktorsatsen något namn?
Johan
Svar:
Nej, inte vad jag känner till. Steget från algebrans fundamentalsats, som säger att varje icke-konstant polynom över C har minst ett komplext nollställe, och satsen, som säger att varje polynom av grad n över C har precis n nollställen, om man räknar dem med sina multipliciteter, följer enkelt från varandra (på det ena hållet med hjälp av faktorsatsen). Därför tenderar man ibland att betrakta satserna som samma sats.
Kjell Elfström
29 oktober 2011 19.51.00
Medelvärdet av fyra tal är sex. Två av dessa tal är två.
Vad är medelvärdet av de andra talen?
(x+y+z+q)/4 = 6 [x,y=2] ["De andra talen"; z,q]
(2+2+z+q)/4 = 6
z+q = 24-4 = 20
----------------------
(z+q)/2 = 10?
AK
Svar:
Det ser rätt ut.
Kjell Elfström
29 oktober 2011 15.26.14
Om alla ingående rötter i den allmänna lösningen för tredjegradsekvationen har positiva diskriminanter och vi beräknar rötterna som om dem vore reella rötter. Kan man då säga att den lösning man får garanterat är en giltig rot, det vill säga inte är en falsk rot?
Johan
Svar:
Om en av kvadratrötterna är reell, så är också den andra reell. Om p dessutom är ett reellt tal, så är den ena tredjeroten också reell, om den andra är reell.
Kjell Elfström
29 oktober 2011 08.21.48
En bil är utrustad med ett punkteringsindikeringssystem. Systemet varnar när det skiljer 30 % +/- 10 % (20 %-40%) i rotationshastighet mellan hjulparen.
Hjulets ursprungliga diameter benäms D och det punkterade benäms d.
Hjulet har dimensionen 285/35-19 (däck) och 19x9,5 (fälg). Diametern (D) är 682,1 mm (2x285x35%+19x25,4). 285 [mm] är däckbredd. 35 [%] är däckhöjd av däckbredd. 19 [tum] är fälgdiameter. 9,5 [tum] är fälgbredd. Hjulets tvärsnitt kan då antas ha formen av en parallelltrapets med däcktjocklek 10 mm.
När det skiljer 20%/30%/40% i rotationshastghet Vad blir då d? Kan man göra en formel?
Nu lite fysikinslag.
Om man har 2,8 bar i hjulen. Vad blir då trycket i det punkterade hjulet vid 20%/30%/40% skillnad i rotationshastighet?
Mycket tacksam för svar
Tobbe
Svar:
En cirkel med diametern D har omkretsen πD. När hjulet med diametern D snurrar ett varv, flyttar sig bilen sträckan πD. Då måste hjulet med diametern d snurra πD/(πd) = D/d varv. Förhållandet mellan hastigheten hos d-hjulet och D-hjulet är alltså D/d. Om D-hjulet snurrar p% fortare än det andra, så är alltså D/d = (100 + p)/100, varav d = 100D/(100 + p).
Svaret på den sista frågan måste bero också på däckmaterialet.
Kjell Elfström
29 oktober 2011 07.46.11
Hur många procent fortare roterar det yttre hjulet jämfört med det inre hjulet vid vändning? Hur många procent långsammare roterar det inre hjulet jämfört med yttre hjulet vid vändning?
Hjulbas 1567 mm. Vänddiameter 12,5 m (yttre hjulet). Hjuldiameter 682,1 mm.
Tobbe
Svar:
Jag är kanske inte tillräckligt insatt i ämnet, men det verkar som om man behöver veta hjulaxlarnas längder också.
Kjell Elfström
28 oktober 2011 20.49.16
Hur integrerar jag {(( ( 1 - ln x)x^x/1)/x^2)dx och verifiera
Sead
Svar:
Jag antar att du har skrivit fel och att det skall vara integralen av f(x) = (1 − ln x)x1/x/x2 i stället. Det gäller att f(x) = (1 − ln x)e(1/x) ln x/x2. Sätter vi nu t = (1/x) ln x, så får vi att dt = ((1 − ln x)/x2) dx, och integralen övergår i ∫ et dt = et + C = x1/x + C.
Kjell Elfström
28 oktober 2011 20.10.36
Hej, kan ni rekommendera någon bra bok om algebra på högskolenivå, jag läser inte kurslitteratur (läser matematik på fritiden)? Skulle gärna uppskatta ett svar. Tack!
Gustaf
Svar:
Nybörjarkurser i algebra brukar handla om enkel talteori, såsom delbarhet, primtal, lineära diofantiska ekvationer, polynom och komplexa tal. Är det någon sådan bok du söker, kan jag rekommendera vår kursbok Vretblad, Ekstig: Algebra och geometri. Jag vet inte vad du menar med att du inte läser kurslitteratur, men om det inte skall vara någon rent populärvetenskaplig bok, får det noga vara en bok som kan vara kurslitteratur. Är du ute efter något mer avancerat kan jag också rekommendera en kursbok, J.B. Fraleigh: A First Course In Abstract Algebra. Där introduceras begrepp i den abstrakta algebran såsom grupper, ringar och kroppar.
Kjell Elfström
28 oktober 2011 07.26.45
har hört att det finns en kontinuerlig funktion som går genom alla punkter i en kvadrat. Hur ser den ut ?
anders
Svar:
Någon sådan funktionskurva kan det inte finnas, eftersom en funktionskurva inte kan gå genom två olika punkter med samma x-koordinat. Däremot finns det sådana kurvor. En kurva i planet är en funktion c(t) = (x(t),y(t)), t ∈ I, där I är ett intervall. Kurvans spår är mängden av de punkter, som har koordinaterna (x(t),y(t)) för något t ∈ I. En vanlig funktionskurva y = f(x), a ≤ x ≤ b, är (spåret av) en kurva, nämligen x(t) = t, y(t) = f(t), t ∈ [a,b]. Enhetscirkeln är inte funktionskurva men spåret av en kurva, t ex x(t) = cos t, y = sin t, t ∈ [0,2π). Enhetscirkeln kan också framställas som x(t) = cos t, y = sin t, t ∈ (−∞,∞). Här genomlöps cirkeln oändligt många gånger. Om x och y är kontinuerliga funktioner av t, kallar man kurvan c kontinuerlig. Det finns kontinuerliga kurvor c(t) = (x(t),y(t)), t ∈ [1,1], vilkas spår utgör hela enhetskvadraten [0,1]×[0,1]. Se Space-filling curve.
Kjell Elfström
27 oktober 2011 15.11.05
Ange alla lösningar v med v ≤ 0 till 2 cos(2v) = 0,259. svara med en decimal
Anna
Svar:
Ekvationen är ekvivalent med cos 2v = 0,259/2 = 0,1295. Denna ekvation är ekvivalent med 2v = ±arccos 0,1295 + n⋅360° ≈ ±82,55929980° + n⋅360°, varav v ≈ ±41,28° + n⋅180°. De lösningar, för vilka v ≤ 0, ges av v ≈ 41,28° + n⋅180°, där n < 0, eller v ≈ −41,28° + n⋅180°, där n ≤ 0.
Kjell Elfström
27 oktober 2011 01.16.09
Hej Kjell!
Under antagandet att funktionen f:R->R är n gånger kontinuerligt deriverbar, så gäller tydligen att f^{n}(x) > 0 för alla x i R medför att f högst har n stycken nollställen. Hur bör man gå tillväga för att visa detta?
Med vänliga hälsningar
Jonas
Svar:
Om derivatan av en funktion g är kontinuerlig och har n nollställen, så har g′ ett bestämt tecken mellan två på varandra följande nollställen och före det minsta och efter det största. Den reella axeln delas på så sätt upp i n + 1 delintervall, sådana att g är strängt monoton i vart och ett av dem. Funktionen g kan därför inte ha fler än n + 1 nollställen.
Om f(n) är positiv, har följaktligen f(n − 1) högst 1 nollställe, f(n − 2) högst 2 nollställen, f(n − 3) högst 3 nollställen och så vidare. Man kommer fram till att f har högst n nollställen.
Kjell Elfström
26 oktober 2011 18.15.05
De logaritmlagar som gäller för den reella logaritmen, gäller dessa logaritmlagar även för den komplexa logaritmen?
Johan
Svar:
Ja, på sätt och vis. Ibland kan leden skilja sig åt med en multipel av 2πi.
Kjell Elfström
26 oktober 2011 14.35.14
Angående 19 oktober 2011 18.03.33. Du skriver att b^(1/a) är positivt därför att b är positivt. Jag förstår inte varför det förhåller sig på det viset?
Johan
Svar:
Potensfunktionen xa definieras bara då x är positivt, och då på så sätt att x = b1/a är den positiva lösningen till ekvationen xa = b. För vissa exponenter kan man inom reell analys definiera xa på ett meningsfullt sätt även då x är negativt. Detta gäller t ex om a = 1/n, där n är ett udda heltal.
Kjell Elfström
25 oktober 2011 14.44.43
En tanke som slog mig är att det kanske är lättare att gissa rötter till en tredjegradsekvation om man använder substitutionen som används i den allmänna lösningen för tredjegradsekvationen? Brukar substitutionen användas i detta syfte? Jag undrar också om det finns någon annan substitution till tredjegradsekvationen som man kan använda?
Johan
Svar:
Jag tror inte det. Om en tredjegradsekvation har en rationell lösning är den enkel att finna. Annars tror jag att man har svårt att komma någonstans med gissningar.
Kjell Elfström
24 oktober 2011 13.12.33
om du har en hel kortlek framför dig. hur stor är sanolikheten att du får en kung om du drar ett kort?
anonym
Svar:
Eftersom det finns 13 valörer, är sannolikheten 1/13.
Kjell Elfström
24 oktober 2011 11.33.18
Hej, går det att skicka in en fil med en fråga? I så fall vart ska den skickas. Mvh, Joakim
Joakim Widström
Svar:
Man kan lägga ut filen i något forum och skicka en länk till filen i frågan.
Kjell Elfström
24 oktober 2011 10.51.45
Man finner att talparen (1,1) och (5,13) när man försöker lösa den diofantiska ekvationen 7x^2 - 6 = y^2 men hur hittar man fler ?
Sture Sjöstedt
Svar:
Se Representation av heltal med kvadratiska former i två variabler. Att y2 − 7x2 = −6 betyder att N(y + x√7) = −6, där N(y + x√7) = y2 − 7x2. Denna norm är multiplikativ. För två element α och β i Q[√7] gäller det att N(αβ) = N(α)N(β). Om N(u + v√7) = 1, dvs om u och v löser Pells ekvation, så är N((y − x√7)(u + v√7)n) = (−6)⋅1 = −6, där n är ett godtyckligt heltal. Den fundamentala lösningen till Pells ekvation för d = 7 är 8 + 3√7. Det innebär att om y + x√7 = (1 + √7)(8 + 3√7)n, så är (x,y) en lösning till din ekvation. Också om y + x√7 = (13 + 5√7)(8 + 3√7)n, är (x,y) en lösning. För att se att alla lösningar kan skrivas på det ena eller andra sättet krävs det att man gör en undersökning som i dokumentet jag hänvisar till.
Kjell Elfström
23 oktober 2011 19.07.41
Jag tror att det finns något samband mellan faktorsatsen och algebrans fundamentalsats men kommer inte ihåg vilket?
Johan
Svar:
Algebrans fundamentalsats säger att varje icke-konstant polynom över C har minst ett nollställe. Använder man sedan faktorsatsen, så får man att varje icke-konstant polynom över C kan skrivas som en produkt av en komplex konstant och lineära polynom över C.
Kjell Elfström
23 oktober 2011 16.44.37
Hello!
Ok, so we've got twelve balls all marked with a distict number between 1 and 12. ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) (10) (11) (12) In how many ways can we pick three balls from the twelve so that the difference between the numbers written on them is at least 2.
For example: we are not allowed to pick ( 1 ) ( 2 ) ( 5 ) since 2-1=1, but are allowed to choose ( 1 ) ( 5 ) (12).
Thak You!
Rama
Svar:
Vi kan bestämma vilka kulor som skall väljas genom att ange hur många kulor före den första vi väljer bort, hur många mellan den första och andra vi väljer bort, hur många mellan den andra och tredje som väljs bort och hur många som inte valts efter den tredje. Kalla dessa tal för x1,x2,x3 och x4. Då är x1 + x2 + x3 + x4 = 9. Enligt förutsättningarna är x2 ≥ 1 och x3 ≥ 1. Vi inför nya variabler genom x1 = y1, x2 = y2 + 1, x3 = y3 + 1 och x4 = y4. För varje lösning till ekvationen
får vi ett tillåtet kulval.
För att beräkna antalet lösningar gör vi ordning tio positioner i en rad och placerar ut 7 mynt och 3 avskiljare i dessa positioner. Om vi låter y1 vara antalet mynt före den första avskiljaren, y2 antalet mellan den första och andra, y3 antalet mellan den andra och tredje och y4 antalet efter den sista, så motsvarar varje arrangemang med mynt och avskiljare precis en lösning. Eftersom vi kan placera ut avskiljarna på (103) sätt finns det lika många lösningar till ekvationen och därför också lika många sätt att välja ut de tre kulorna på önskat sätt.
Kjell Elfström
23 oktober 2011 16.22.03
När man säger att det inte finns någon naturlig ordningsrelation mellan de komplexa talen. Har det något med ekvivalensrelationer att göra?
Johan
Svar:
Ordningsrelationer är inte ekvivalensrelationer.
Kjell Elfström
23 oktober 2011 16.18.52
Låt n vara ett positivt heltal och p vara ett primtal. Hur visar man att p alltid delar n^p-n?
Cecilia
Svar:
Om p delar n är saken klar. Antag att p inte delar n. Antag att an och bn ger samma rest vid division med p. Då delas n(a − b) av p, och eftersom p inte delar n, så måste p dela a − b. Det betyder att a och b också ger samma rest vid division med p. Talen n⋅1,n⋅2,…,n(p − 1) ger då olika rester och därför resterna 1,2,…,p-1, men kanske inte i den ordningen. Därför ger 1⋅2⋅…⋅(p − 1) samma rest som (n⋅1)⋅(n⋅2)⋅…⋅n(p − 1), vilket ger att p delar (n⋅1)⋅(n⋅2)⋅…⋅n(p − 1) − 1⋅2⋅…⋅(p − 1) = (np − 1 − 1)⋅1⋅2⋅…⋅(p − 1). Eftersom p inte delar 1⋅2⋅…⋅(p − 1), så måste p dela np − 1 − 1 och därför också np − n. Det räcker att n är ett heltal, det behöver inte vara positivt.
Kjell Elfström
23 oktober 2011 15.25.35
hej! jag hittade ett problem i Vretblads "algebra och geometri" (uppg. 5.3 på s 117) som jag inte blir klok på. det lyder:
"Om Sveriges befolkning är 9000000 personer, så måste det finnas en dag på året då minst ..., ja, hur många personer har födelsedag?"
svaret jag vill ha är 24657 (förvisso räknar jag inte med skottår) men det är fel! hur löser man uppg?
Tack!
Leo
Svar:
Vi antar att det är ett vanligt år. Det gäller att 9000000/365 = 24657 + 195/365. Det kan alltså vara så att det största antalet födelsedagsbarn någon dag är 24658, men det kan inte vara så att det största antalet är 24657.
Kjell Elfström
21 oktober 2011 18.15.50
Angående 21 september 2011 21.42.45. Du har skrivit 8i=8e^(ipi/2). Jag tror att det är fel?
Johan
Svar:
Nej, det är inte fel.
Kjell Elfström
21 oktober 2011 18.04.50
Hej, Jag har problem med ett ekvationssystem.
Jag ska försöka finna kvoterna Tb/Ta och Tc/Ta med hjälp av följande ekvationssystem:
TcVc^(Y-1)=TdV^(Y-1)
TaV^(Y-1)=TbVb^(Y-1)
V/Vb=11.2
Td/Ta=1.62
Vb/Vc=Tb/Tc
De små bokstäverna är index
De korrekta svaren ska vara Tb/Ta=5,0 respektive Tc/Ta=6,7
Jag kan inte se hur man ska få ihop det, tacksam för hjälp.
Robin
Svar:
Jag ser inte lösningen.
Kjell Elfström
20 oktober 2011 19.30.30
Hej! En spegelsymmetri har två symmetriaxlar. Är det ett tillräckligt villkor för att spegelsymmetrin ska vara en rotationssymmetri? Och oavsett om det är eller inte är det - hur visar man det?
Oskar Gauffin
Svar:
Varje isometrisk lineär avbildning i två dimensioner är antingen en spegling i en linje eller en rotation. Avbildningen är en rotation, om dess determinant är 1 och en spegling, om dess determinant är -1. Enligt produktsatsen för determinanter blir en sammansättning av en spegling i en linje med en spegling i en annan en rotation, och eftersom linjerna är olika, så är denna rotation inte en urartad sådan. Om figuren har två olika symmetriaxlar, så förändras inte figuren om man speglar i någon av dem. Den ändras därför heller inte under under den sammansatta avbildningen ”spegla först i den ena linjen och sedan i den andra”, som är en rotation. Spegelsymmetrin med två axlar är alltså också en rotationssymmetri.
Kjell Elfström
20 oktober 2011 13.42.59
Om man har ett 'summaproblem', dvs ett problem på formen a+b+c=120, vilka är talen a,b,c? och man får några ledtrådar hur a,b,c förhåller sig till varandra. Hur tittar man snabbt hur många lösningar problemet kan ha?
Ett exempel är en högskoleprovuppgift:
A, B, C är tre tal. Vilket är talens medelvärde?
1. summan av de två största talen är 130
2. summan av de två minsta talen är 110
Denna är olöslig på grund av flera lösningar. Med litet tänkande kan man komma fram till det. Fast hur uttrycker man en "sökning efter flera lösningar" eller testar man sig fram?
En följdfråga på allt detta blir, om man inte säger att det gäller heltal har väl alla för många lösningar om man exempelvis kan ha en massa decimaler där man bara ändrar en av alla dessa decimaler i två av variablerna för att X,decimaler+Y,decimaler = Z (heltal utan decimaler), förstår du?
Adam
Svar:
Det är svårt att ange villkor för entydig lösning, när det gäller ett så stort antal olika problem som kan förekomma. Om man anger tre lineära ekvationer för tre obekanta är det utom i urartningsfall tillräckligt för att bestämma var och en av de obekanta. Två lineära ekvationer kan aldrig räcka till. I din fråga är det dock inte de individuella värdena av a, b och c som söks utan deras medelvärde. Då är det tillräckligt om man känner ett enda tal, t ex deras summa. Det nu sagda gäller också när man söker andra lösningar än heltal.
Kjell Elfström
20 oktober 2011 11.05.06
Är Q ett linjärt rum? Är Q en kropp? Är Q en kroppsutvidgning?
anders
Svar:
Q är ett lineärt rum över Q med den vanliga additionen i Q och där multiplikation med skalär är den vanliga multiplikationen i Q. Q är en kropp med den vanliga additionen och multiplikationen. Q/Q är en kropputvidgning, dvs Q är en delkropp av Q. Däremot är inte Q en utvidgning av en icke-trivial delkropp till Q, eftersom det inte finns några sådana.
Kjell Elfström
20 oktober 2011 08.34.53
Adam köper 1.8 kg äpplen för 27.90 kr. Hur mycket får Anna betala för 0.70 kg äpplen?
Svar:
Informationen räcker inte till att svara på frågan, så jag antar att Anna betalar samma pris per kg äpplen som Adam. 1 kg kostar 27,90/1,8 kr. Anna får då betala 0,70⋅27,90/1,8 kr.
Kjell Elfström
19 oktober 2011 22.41.58
Hej!
Jag hoppas ni kan hjälpa mig med en uppgift.
En punkt P ligger på grafen till funktionen y = x2, 0 < x < 2. Punkten P är ett av hörnen i en rektangel, där en av sidorna ligger på x-axeln och en på linjen x = 2. Bestäm den största möjliga area som rektangeln kan ha.
Man skall dessutom rita hur grafen och rektangel i den kommer att se ut.
Tackar för svaret
Linda
Svar:
Börja med att rita figuren. Om x är punktens x-koordinat, så är dess y-koordinat x2. Rektangelns bas är därför 2 − x och dess höjd x2. Arean är alltså (2 − x)x2 = 2x2 − x3. Derivatan 4x − 3x2 = 3x(4/3 − x) är positiv i intervallet (0,4/3) och negativ i (4/3,2). Rektangelarean är därför störst då x = 4/3. Sätt in detta värde på x i uttrycket för rektangelarean, så får du den maximala arean.
Kjell Elfström
19 oktober 2011 22.34.16
För en funktion gäller: Den är alltid växande, utom i en enda punkt (dvs en terrasspunkt). Rita hur grafen till funktionens derivata kan se ut! (Man skall rita en graf alltså.) Tack
Marita
Svar:
Kurvan y = x3 uppfyller förutsättningarna. Rita grafen y = 3x2 till funktionens derivata.
Kjell Elfström
19 oktober 2011 22.26.12
Rita en graf där f(x)<0 och f'(x)>0 för x- värden mellan 3 och 7.
Tackar för svaret
Linda
Svar:
T ex y = x − 8.
Kjell Elfström
19 oktober 2011 22.04.17
Hej!
1. Är lösningen till ekvationen x^x=a (x ej heltal) ett algebraiskt tal?
2. Ang fråga 10 februari 2009 om normala tal: De flesta reella tal är normala, då har väl mängden av dessa normala tal samma mäktighet som mängden av alla reella tal. Men på länkade Wikipediasidan står att de icke-normala talen ändå är "uncountably" (vilket jag tolkar som fler än uppräkneligt många). Men då är de väl lika många som de (ouppräkneligt många) normala talen?
MT
Svar:
1. Enligt en känd sats av Gelfond och Schneider gäller det att ab är ett transcendent tal, om a och b är algebraiska tal, a ≠ 0, a ≠ 1 och b är irrationellt. Antag nu att a är algebraiskt, a ≠ 0, a ≠ 1 och att en rot x till ekvationen xx = a är algebraisk och irrationell. Då är x = a1/x ett algebraiskt tal. Men då är också 1/x algebraiskt, och enligt Gelfond-Schneiders sats får vi att x = a1/x är transcendent. Detta är en motsägelse, som visar att x är transcendent. Om a är algebraiskt, a ≠ 0, a ≠ 1, så kan alltså x vara algebraiskt bara om x är rationellt. Mer än detta kan jag inte säga.
2. Både mängden av normala reella tal och mängden av icke-normala reella tal har samma mäktighet som mängden av alla reella tal. I den meningen finns det alltså lika många normala som icke-normala tal. Att nästan alla reella tal är normala betyder definitionsmässigt att ∫−∞∞ Χ(x) dx = 0, om Χ är den karakteristiska funktionen för mängden av icke-normala reella tal, dvs Χ(x) = 0 om x är normalt och Χ(x) = 1 om x är icke-normalt. Detta påstående bevisades av Borel 1909 och motsäger inte att de båda mängderna har samma kardinaltal.
Kjell Elfström
19 oktober 2011 20.15.24
Om jag satsar 10 000 kronor i Petersburg paradoxen, vad blir den förväntade vinsten?
Gustaf
Svar:
Väntevärdet blir oändligt. Vad den förväntade vinsten blir beror på vilka illusioner du gör dig. Se St. Petersburg paradox.
Kjell Elfström
19 oktober 2011 18.47.40
Hur bevisar man logaritmlagen ln(xy)=ln(x)+ln(y) med hjälp av integraldefinitionen av naturliga logaritmen?
Johan
Svar:
Du kan omöjligen lära dig en hel analyskurs genom att ställa frågor till Fråga Lund om matematik. Jag föreslår att du införskaffar en analysbok.
Det gäller att ln xy = ∫1xy dt/t. Sätt t = uy. Då är dt = y dy, och vi får att
Denna likhet ger, då x = 1, att ln y = ln 1 − ln(1/y) = −ln(1/y), och vi får ln xy = ln x + ln y.
Kjell Elfström
19 oktober 2011 18.16.10
Hur bevisar man potenslagen (a^x)(a^y^)=a^(x+y) i reell analys förutsatt att man har logaritmlagarna redan bevisade?
Johan
Svar:
Visa att uttrycken har samma logaritm. Eftersom logaritmen är inverterbar, så måste uttrycken vara lika.
Kjell Elfström
19 oktober 2011 18.03.33
Angående 12 oktober 2011 15.37.13. Ska man då definiera a-roten ur b som den positiva lösningen till ekvationen x^a=b? Ska man även göra definitionen a-roten ur b=b^(1/a)?
Johan
Svar:
Man definierar b1/a med hjälp av logaritmen. Då b är ett positivt reellt tal, blir detta tal också positivt. Därefter visar man att (b1/a)a = b, vilket visar att ekvationen xa = b har en positiv rot. Denna rot till ekvationen förtjänar av den anledningen att kallas a:e-roten ur b.
Kjell Elfström
19 oktober 2011 17.34.32
Jag försöker lösa denna ekvation: 0,5 = 0,99999^t
Hur gör jag för att byta plats på t och 0,5?
Linnea
Svar:
Tag den naturliga logaritmen av båda led, så får du ln 0,5 = ln(0,99999t) = t ln 0,99999. Detta ger sedan att t = (ln 0,5)/(ln 0,99999).
Kjell Elfström
18 oktober 2011 17.37.22
Om man inför potenser med hjälp av logaritmer behöver man då införa en definition x^(-a)=1/x^a? Jag tror inte det för jag tror att det följer av potenslagarna men jag är inte säker?
Johan
Svar:
Nej, x−a blir ju också definierad med hjälp av logaritmen. Likheten du anger får anses vara en sats, och den följer av definitionen.
Kjell Elfström
18 oktober 2011 16.38.18
Om man inför potenser med hjälp av logaritmer så har man väl bara en definition av potens som lyder x^a=e^alnx. Med hjälp av den definitionen så kan man bevisa potenslagarna. Men vi måste väl ändå definiera att sqrt(x)=x^(1/2) och då använder vi ju inte vår definition av potens? Hur kommer detta sig?
Johan
Svar:
Man bevisar att (x1/2)2 = x, om x1/2 definieras med hjälp av logaritmen. På så sätt blir beteckningen vettig.
Kjell Elfström
18 oktober 2011 16.31.13
fem positiva heltal skrivs upp rune en cirkel.de ska skrivas så att två eller tre intilliggande tal aldrig ger en summa som delbar med tre hur många av de fem talen är själva delbara med tre
hawkar
Svar:
Resterna vid division med 3 kan antas vara −1, 0 och 1. Två intilliggande tal kan inte båda ge resten 0. Av tre tal i följd kan inte alla ge samma rest, eftersom summan då är delbar med 3. Det kan heller inte vara så, att ett tal ger resten 1 och ett intilliggande resten −1, eftersom summan av dessa två tal i så fall vore delbar med 3. Om inget av tre tal i följd ger resten 0, måste därför alla tre ge samma rest, vilket alltså inte är möjligt. Av tre tal i följd ger alltså precis ett resten 0.
Numrera talen a0,a1,a2,a3,a4 med stigande index när cirkeln genomlöps medurs. Något tal ger resten 0, och vi kan numrera dem så, att a0 ger resten 0. Då kan inte a1 eller a4 ge resten 0. De kan heller inte ge olika rester. Säg att båda ger resten 1. Då kan inte a2 eller a3 ge resten −1. Om inget av dessa två tal ger resten 0, har vi alltså tre tal i följd, som alla ger resten 1, vilket är omöjligt. Något av talen a2 och a3 ger alltså resten 1 och det andra resten 0. Fallet då a1 och a4 ger resten −1 behandlas på samma sätt. Vi har alltså kommit fram till att precis två av talen är delbara med 3 och att de övriga tre talen ger samma rest, antingen 1 eller −1.
Kjell Elfström
18 oktober 2011 13.53.55
Angående 18 mars 1997 02.44.41. t är summan av två tredjegradsrötter som vardera ger tre rötter. Vi får totalt 9 komplexa rötter. Men varje tredjegradsrot innehåller ju kvadratroten sqrt(q^2/4+p^3/27). Är denna kvadratrot en komplex rot eller är det en vanlig reell kvadratrot? Om den är en komplex kvadratrot så borde det väl bli fler än 9 möjligheter? Hur kommer det sig i så fall att kvadratrötterna är reella rötter medans tredjerötterna är komplexa rötter? Dessutom undrar jag varför den andra tredjegradsroten ska väljas så att produkten av de båda tredjegradsrötterna är –p/3? Hur kommer du fram till det?
Johan
Svar:
Kvadratroten är en komplex rot, som naturligtvis kan vara reell. De båda kvadratrötterna skiljer sig åt bara med tecknet, dvs den ena är minus den andra. För varje val av tredjerötter i uttrycket för t får man därför bara ett värde på t oavsett vilken kvadratrot man väljer. t ändras ju inte om man byter tecken på de båda kvadratrötterna.
Vi bestämmer u och v, så att 3uv + p = 0.
Kjell Elfström
17 oktober 2011 22.55.32
En likbent triangel med sidorna 2, delas lika av en parallelltransversal, så att arean blir 0.5 av den övre triangeln. Sökt sträckan x. Se mitt försök till figur nedan.
.
. .
2 ....... 2
. X .
...........
David MiderstigSvar:
Vad menar du? Att arean av den övre triangeln är hälften av arean av hela triangeln är omöjligt. Du menar kanske att arean av den övre triangeln är 1/2. Jag antar att så är fallet. Att triangeln delas lika av parallelltransversalen tolkar jag som att sidorna i topptriangeln är 1. Topptriangeln är också likbent och delas av höjden i två kongruenta trianglar, var och en med basen x/2. Om h är topptriangelns höjd, ger Pythagoras sats att h = √(1 − (x/2)2). Att arean är 1/2 ger därför att (x/2)h = 1/2, vilket ger att x√(1 − (x/2)2) = 1. Kvadrering ger x2(1 − x2/4) = 1. Detta ger att x4 − 4x2 + 4 = 0. Enligt kvadreringsregeln kan detta skrivas (x2 − 2)2 = 0, och vi ser att x = √2.
Kjell Elfström
17 oktober 2011 01.01.43
Vad är den maximala volymen för ett rätblock med given begränsingsarea S?
Vad är den maximala volymen för ett rätblock av given omkrets P? (Där med omkrets menas summan av längderna på alla kanter)
Vad är den maximala begränsingarean för ett rätblock av given omkrets P?
Ska gå att lösa analytiskt med flervariabelanalys.
Pontus
Svar:
Olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde lyder
med likhet om och endast om a1 = a2 = … = an. Talen ai förutsätts vara positiva tal.
Antag att kantlängderna är x, y och z. Då är xy + xz + yz = S/2 och volymen V = xyz. Olikheten mellan geometriskt och aritmetiskt medelvärde tillämpad på talen xy, xz och yz ger att
med likhet om och endast om xy = xz = yz, dvs om och endast om x = y = z. Detta visar att volymen är störst, då rätblocket är en kub. Volymen är då (S/6)3/2.
Man kan också lösa problemet med hjälp av metoden med Lagranges multiplikatorer. Här skall f(x,y,z) = xyz maximeras under bivillkoret g(x,y,z) = 2xy + 2xz + 2yz − S = 0. För att göra det måste man veta att det finns ett maximum. Beräkna f(x,y,z) för någon punkt, som uppfyller bivillkoren. Man får då ett värde V0 på volymen, som kan antas av f. Bivillkoret ger att xy ≤ S/2, xz ≤ S/2 och yz ≤ S/2. Låt ε > 0 vara ett litet tal. Om z < ε, så är f(x,y,z) < Sε/2. Om ε är tillräckligt litet, så kommer Sε/2 att vara mindre än V0. I detta resonemang kan klart z ersättas med x eller y. Detta ger att utanför området, som ges av x ≥ ε, y ≥ ε, z ≥ ε, g(x,y,z) = 0 är f(x,y,z) < V0. Under förutsättningen att g(x,y,z) = 0 och x ≥ ε, y ≥ ε, z ≥ ε kan inte x, y och z antaga godtyckligt stora värden. Det betyder att vi får ett område ε ≤ x ≤ R, ε ≤ y ≤ R, ε ≤ z ≤ R, g(x,y,z) = 0, utanför vilket f(x,y,z) < V0. Eftersom detta område är en kompakt del av ytan g(x,y,z) = 0, så har f ett maximum i detta område, och det måste antagas i en punkt (x,y,z) för vilken grad f(x,y,z) = (yz,xz,xy) och grad g(x,y,z) = 2(y + z,x + z,x + y) är proportionella. Detta betyder att (y + z)/(yz) = (x + z)/(xz) = (x + y)/(xy), av vilket det följer att x = y = z.
Slutligen kan man använda bivillkoret till att lösa ut en av variablerna, t ex z, som en funktion av de övriga, och sätta in i uttrycket för volymen. På så sätt får man ett optimeringsproblem i två variabler. Även här behöver man visa att det är tillräckligt att hålla sig inom ett kompakt område av R2.
Ditt andra problem löses också enklast med hjälp av olikheten mellan geometriskt och aritmetiskt medelvärde. Här är P = 4(x + y + z). Man får nu att
med likhet om och endast om x = y = z. Även nu får man maximal volym, då rätblocket är en kub, och den är (P/12)3.
I det tredje problemet är x + y + z = P/4 och S = 2(xy + xz + yz). Om x = y = z, så är x = y = z = P/12 och S = P2/24. Om någon av variablerna, säg z, är 0, så är x + y = P/4 och S = 2xy. Olikheten mellan geometriskt och aritmetiskt medelvärde ger då att
varav S ≤ P2/32. Området x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z = P/4 är kompakt, så vi vet att S har ett maximum. Vi har visat att detta antas i skärningen mellan planet g(x,y,z) = x + y + z − P/4 och den öppna oktanten x > 0, y > 0, z > 0. Vi kan även nu använda metoden med Lagranges multiplikatorer. Villkoret blir nu att vektorerna 2(y + z,x + z,x + y) och (1,1,1) är proportionella. Det betyder att y + z = x + z = x + y, vilket ger att x = y = z. Även nu är det optimala rätblocket en kub.
Kjell Elfström
15 oktober 2011 23.19.07
Hej! Jag undrar om det finns något som beskriver en matris med operatorer, där man först utför multiplikationer över ett index och summa över ett annat index? Tex: (1, sin^2, cos^2; 1,sin^2,sin^2; 1,cos^2,phi^-1) * (r,theta,phi) = r*sin^2theta*cos^2phi + r*sin^2theta*sin^2phi + r*cos^2theta*phi^-1*phi= r(sin^2theta(cos^2phi +sin^2phi) +cos^2theta)
Emil
Svar:
Inte vad jag känner till.
Kjell Elfström
15 oktober 2011 19.45.44
Det finns väl bara en definition för logaritm i reell och komplex analys och den lyder:w=log(z) om och endast om e^w=z. Allt annat är väl härledningar utifrån denna definition? Har jag tänkt rätt?
Johan
Svar:
Logaritmen w skall uppfylla det du skriver i frågan.
Kjell Elfström
14 oktober 2011 22.47.09
Hej Kjäll!
Kan du svara den här frågan snabbt, jag behöver den så fort så möjligt. Ekvation e^x + 2x - 8 = 0 har en rot mellan 1 och 2. Lös ekvationen med tre decimaler. Mvh Amelia
Amelia
Svar:
Tanken är kanske att ni skall använda Newton-Raphsons metod. I detta fall är f(x) = ex + 2x − 8, och man får att f ′(x) = ex + 2. Rekursionsformeln blir därför
Startar man med x0 = 1,5, vilket är rimligt, eftersom det är intervallets mittpunkt, får man först x1 = 1,579965412, sedan x2 = 1,577818195 och sedan x3 = 1,577816562. Vi slutar nu, eftersom de två sista värdena överensstämmer i de fem första decimalerna. Vi väljer att svara 1,578. För att kontrollera att detta är ett korrekt närmevärde med 3 decimaler måste vi kontrollera att den exakta roten ligger mellan 1,5775 och 1,5785. Eftersom f ′(x) > 0 för alla x, är f strängt växande. Om f(1,5775) och f(1,5785) har olika tecken, måste det exakta värdet ligga mellan 1,5775 och 1,5785. Kontroll visar att det första funktionsvärdet är negativt och det andra positivt. Vi kan alltså svara 1,578.
Kjell Elfström
14 oktober 2011 16.49.00
I svaret 1 september 2011 13.53.10 så visar du att funktionen f(z) är en enkelvärd analytisk logaritm på U. Men hur visar man att f(z) är en flervärd logaritm för z skilt från noll på hela det komplexa talplanet?
Johan
Svar:
Vilket värde integralen ger beror på vilken kurva du väljer från a till z. Man kan visa att två olika kurvor ger integraler, som skiljer sig åt på en multipel av 2πi.
Kjell Elfström
14 oktober 2011 13.31.36
Hur räknar man ut snittet mellan två plan?
Linnea
Svar:
Vardera planet har en ekvation av formen ax + by + cz = d. Säg att planen är givna som x + 2y + 2z = 1 och x + y + 3z = 3. Dessa ekvationer utgör ett ekvationssystem. En punkt med koordinaterna (x,y,z) ligger i båda planen om och endast om koordinaterna uppfyller båda ekvationerna, dvs är en lösning till ekvationssystemet. Löser man systemet med successiv elimination, kan man börja med att subtrahera den första ekvationen från den andra. Man får då det ekvivalenta systemet, som består av de två ekvationerna
Här ser vi att vi kan låta z vara ett godtyckligt reellt tal t. Man får sedan att y = t − 2 ur den andra ekvationen och x = 5 − 4t ur den första. Skärningen mellan planen är alltså en linje, vars ekvation på parameterform är (x,y,z) = (5 − 4t,t − 2,t). Linjen går genom punkten (5,−2,0) och har riktningsvektorn (−4,1,1).
Kjell Elfström
13 oktober 2011 20.42.44
''hur kan det bli större när man delar?'' Hur förklarar du det?
Svar:
Om man har en påse med 21 karameller, så kan man behöva dela med 7 av två anledningar. Det kanske är så att sju barn skall dela rättvist på karamellerna. Man räknar då ut att de skall ha 21/7 = 3 karameller vardera. Det kan också vara så att man bestämmer sig för att dela ut sju karameller till ett antal barn, och finner då att karamellerna räcker till 21/7 = 3 barn. Det är samma sak om man har två tårtor och sju barn. Varje barn får då 2/7 tårta. Har man två tårtor, vill man kanske att varje barn skall få 1/5 tårta. Man vill då beräkna antalet barn tårtorna räcker till, och bör nu få 2/(1/5) = 10 barn. Här är resultatet 10 större än talet 2, som man dividerade, och det är ingenting konstigt med det.
Kjell Elfström
13 oktober 2011 13.18.26
Hej Kjell hjälp !frågan är från matte D.
Ett föremåls hastighet i m/s ges av funktionen v(t)= 0,6t^2 +2t ; där tiden i sekunder. Hur långt rör sig föremålet under tidsintervallet. t= 3 till t= 7.
Mvh Amelia
Amelia
Svar:
Eftersom hastigheten är derivatan av sträckan, så är sträckan en primitiv funktion till hastigheten. Det betyder att s(t) = 0,6t3/3 + t2 + C = 0,2t3 + t2 + C för någon konstant C. Nu behöver du bara räkna ut
Man kan observera att detta är samma sak som ∫37 v(t) dt.
Kjell Elfström
13 oktober 2011 11.11.15
Finns komplexa lösningar till e^z är mindre än eller lika med 0? Finns komplexa lösningar till beloppet av sin(z) är större än 1?
Svar:
Om z = x + iy, så är ez = ex(cos y + i sin y). Detta är reellt om och endast om sin y = 0, vilket betyder att y = nπ, där n är ett heltal. Då är alltså ez = ex cos nπ. Det finns inget värde på z, för vilket ez = 0. ez är ett negativt reellt tal, då n = 2k + 1 är ett udda heltal. ez är alltså ett negativt reellt tal, om och endast om z = x + (2k + 1)πi, där x är ett godtyckligt reellt tal och k ett godtyckligt heltal.
Om t ex z = −ix, där x är ett reellt tal, så är sin z = (ex − e−x)/(2i). Genom att välja x ≥ 0 tillräckligt stort kan vi alltså få |sin z| = sinh x hur stort vi vill.
Kjell Elfström
13 oktober 2011 00.17.03
Betrakta a^z där a är ett reellt positivt tal och z är ett komplext tal. Då kan vi skriva om så att vi får e^(zlna). Om vi nu använder potensserien e^z och sätter z=zlna. Får vi då en entydig definition av a^z eller är det så att vi bara har använt principalgrenen i den komplexa logaritmen?
Johan
Svar:
Värdet av az beror på vilken logaritm som används. az är också en flervärd funktion.
Kjell Elfström
12 oktober 2011 23.35.52
Varför måste man göra en parametrisering när man beräknar en integral i komplex analys?
Johan
Svar:
Det är så integralen definieras.
Kjell Elfström
12 oktober 2011 21.54.30
Angående 18 mars 1997 02.44.41. Hur kommer du fram till att uttrycket ger 9 komplexa rötter?
Johan
Svar:
Man kan ge varje term i summan tre olika värden. Eftersom det är två termer, blir det normalt 3⋅3 möjliga värden.
Kjell Elfström
12 oktober 2011 17.36.01
Angående 4 oktober 2011 14.09.09. Hur vet du att log(1)=0? Det enda du har att gå efter är ju den givna definitionen?
Johan
Svar:
Det spelar ingen roll vilket värde man använder på z0. Man får välja log z0 som ett komplext tal, för vilket elog z0 = z0. Väljer man z0 annorlunda eller log z0 annorlunda, t ex log 1 = 2πi, kan man få en annan gren av logaritmen. Väljer man två olika sådana definitioner, så kommer de sålunda definierade logaritmerna att skilja sig åt med en multipel av 2πi för samma tal z.
Kjell Elfström
12 oktober 2011 15.53.37
om det är 500 cm hur mycke är m
Svar:
Jag tolkar frågan som att du vill veta hur många meter 500 cm är. Eftersom en meter är 100 cm blir svaret 5 m.
Kjell Elfström
12 oktober 2011 15.37.13
Om man inför potenser med hjälp av logaritmer istället för cauchy följder. Behöver man då bevisa existens av rot med hjälp av satsen om mellanliggande värden?
Johan
Svar:
Ja, man kan visa existensen av rötter genom att först visa att funktionen som avbildar x på xa är en kontinuerlig funktion och sedan använda satsen om mellanliggande värden.
Kjell Elfström
11 oktober 2011 17.37.26
Angående 5 oktober 2011 16.32.42. Jag funderar på att ge upp ett bevis med cauchyföljder. Men jag förstår inte varför du skriver att man ska börja med integraler? På vilket sätt har integraler med saken att göra?
Johan
Svar:
Kjell Elfström
9 oktober 2011 22.22.45
Är det möjligt att beräkna den impropra integralen INT(x^3/(e^x-1))dx med gränserna 0 till oändligheten exakt med hjälp av residue-kalkyl? Det verkar lockande med tanke på alternativen... Problemet som jag ser det är att man får ett oändligt antal poler om man väljer standardkurvan (halvcirkel på övre halvan av komplexa talplanet) och därför blir summan av residuerna divergent. Kan man t.ex välja någon annan sluten kurva? Eller har jag helt enkelt räknat fel?
David
Svar:
Det är känt att Γ(x)ζ(x) = ∫0∞(ux − 1/(eu − 1))du, då x > 1. Se t ex Wolfram MathWorld. Det är också känt hur man beräknar värdet av ζ(x), då x är ett jämnt positivt heltal. Se Values of the Riemann zeta function at integers.
Vill man beräkna värdet direkt med residykalkyl, kan man börja med att sätta x = log t och gå vidare från detta. Räkningarna blir dock tämligen komplicerade.
Kjell Elfström
9 oktober 2011 15.33.13
En trubadur kom förbi och diktade så här om våra djur: "5 är inte hundar, minst 4 är inte katter, minst 3 är gäss, högst 2 är kor, minst 1 är kanin." Hur många djur har vi alltså?
Tacksam på snabbt svar!!
Amanda A
Svar:
Det går inte att svara på. 0 katter, 3 gäss, 1 ko, 1 kanin och ett godtyckligt antal hundar uppfyller villkoren.
Kjell Elfström
9 oktober 2011 12.04.42
Om omkretsen på ett a4 ark betecknas X. Hur stor är då ett a5 eller ett a3 uttryckt i X?
Kjell E
Svar:
Om x är den långa sidan och y den korta sidan i ett papper i serien, så är y den långa sidan på nästa mindre papper i serien. Kalla den korta sidan i detta för z. Då är x = 2z. Eftersom papperen skall vara likformiga, gäller det att y/z = x/y, varav y2 = xz = 2z2. Förhållandet mellan den långa och korta sidan är alltså √2. Eftersom den korta sidan är den långa i närmast mindre papper, så är omkretsförhållandet mellan ett papper och närmast mindre lika med √2. För A5 blir alltså omkretsen X/√2 = (X√2)/2 och för A3 X√2.
Kjell Elfström
9 oktober 2011 09.37.13
Lös ekvationssystemet i Z (mod 5)
x + 2*y = 4
4*x + 3*4 = 4
Jag har prövat på flera olika sätt bl a med prövning av alla värden i Z (mod 5) och kan inte hitta någon lösning. Min fråga är nu har jag rätt om jag påstår att ekvationen saknar lösning i Z(mod 5)?
Gun-Britt Bent
Svar:
Du har kanske skrivit fel i systemets andra rad. Jag löser först systemet, som det står. Då kan vi dividera med 4 i den andra ekvationen (man kan dividera med varje tal, som inte är delbart med 5) och få att x + 3 ≡ 1, varav x ≡ −2 ≡ 3 (mod 5). Man får sedan att 2y ≡ 4 − x ≡ 6, varav y ≡ 3.
Om den andra raden egentligen skall vara 4x + 3y ≡ 4 (mod 5), så kan man subtrahera 4 gånger den första raden från den andra. Detta är detsamma som att addera den första raden till den andra, eftersom 4 + 1 ≡ 0 (mod 5). Man får då den nya andra raden 5x + 5y ≡ 8 (mod 5). Detta är ekvivalent med 0 ≡ 3 (mod 5). Systemet saknar alltså lösning.
Kjell Elfström
8 oktober 2011 20.48.43
Om man har ett ekvationssystem med tre ekvationer 1, 2 och 3. Får man ta 1+2 och 1-2 i ett steg eller måste man göra en sak i sänder? Faktum är väl att det inte blir samma sak om man tar en sak i sänder?
Johan
Svar:
Man får göra det i ett steg. Man får ju tillbaka det ursprungliga systemet, om man gör likadant på det nya systemet och sedan dividerar med 2. Nej, man får inte samma sak.
Kjell Elfström
8 oktober 2011 20.22.18
Angående 16 januari 2011 17.19.36. Jag kan inte se att du har gjort något som inte är ekvivalens?
Johan
Svar:
Inte jag heller.
Kjell Elfström
7 oktober 2011 20.22.11
Hur definieras den naturliga logaritmen? Det verkar som det finns en definition med integral?
Johan
Svar:
ln x = ∫1x dt/t.
Kjell Elfström
7 oktober 2011 19.58.40
Jag tror att man kan beräkna derivatan av den naturliga logaritmen med hjälp av standardgränsvärde. Kan derivatan av den komplexa logaritmen beräknas på liknande sätt?
Johan
Svar:
Ja.
Kjell Elfström
7 oktober 2011 10.26.18
hur löser jag detta ko 10kr gris 3kr höns 50 öre fick får inte bli mer än 100kr och det får inte vara mera än 100djur
Nicklagården björken
Svar:
Kjell Elfström
7 oktober 2011 09.07.59
Hej!
Jag har funderat runt fraktaler. Många gånger har jag sett inzoomningar i dessa på youtube.
Jag undrar vad som händer om man zoomar in i en Mandelbrot i ljusets hastighet?
Tex med en superdator med skärm.
Marcus Gustafsson
Svar:
Ingenting särskilt rent matematiskt. Vilka upplevelser det ger dig, får andra vetenskaper svara på.
Kjell Elfström
7 oktober 2011 07.15.49
Antag att vi har ett tal X (från till exempel mätexperiment) och en mängd Y bestående av tal, finns det då en enkel algoritm för att avgöra hur X kan skrivas som en kombination av elementen i Y om man tillåter operationerna, +,-,*,/ och ^? En kandidat till X, X' sägs vara lämplig om |X-X'| < t där t är ett toleranskrav, till exempel t = 10^-6.
Exempel 1: Säg att vi har X = 3.14626437... och att vi har mängden Y = {sqrt(p) : p primtal} då kan vi säga att:
X' = sqrt(2)+sqrt(3) är ett sådant eftersom X' = 3.14626437.. och att |X-X'| < 10^(-6)
Exempel 2: Vi har talet X = 1.64493407 och mängden Y = N U {pi} där N är mängden av naturliga tal då är en kandidat X' = pi^2/6 = 1.64493407... eftersom |X-X'| < 10^(-6).
Daniel
Svar:
Om Y innehåller något element y ≠ 0, så kan alla heltal erhållas från detta enda element i Y. Man har ju att 1 = y/y, 2 = y/y + y/y osv. Det betyder att varje tal a⋅10n, där n är ett godtyckligt heltal, positivt, negativt eller noll, och a är ett av heltalen 0,1,2,…,9, kan framställas. Eftersom varje reellt tal kan approximeras godtyckligt noggrant med ett tal av formen ∑k = mnak⋅10k, så behöver man inte kunna avgöra om X har ett sådant närmevärde X′, som du anger. Vi är garanterade, att så är fallet.
Kjell Elfström
6 oktober 2011 16.40.55
Finns det många värden på x för vilka både x+1 och 3x+1 är kvadrattal ?
Sture Sjöstedt
Svar:
Ja. Ekvationen 3y2 − z2 = 2 har en lösning, y = z = 1, och då har den oändligt många.
Kjell Elfström
6 oktober 2011 13.45.04
Hur beräknar jag lokalkostnaden per timma? Årskostnad 10.000 kr för 12 m2?
Birgitta K
Svar:
På ett år går det 365⋅24 = 8760 timmar, om det inte är ett skottår. Det enkla svaret är 10000/8760 ≈ 1,14 kr/h. Räknat per kvadratmeter också, så blir det (10000/8760)/12 ≈ 0,095 kr/m2/h.
Situationen kan ju vara mer komplicerad. Du hyr kanske lokalen själv, och vill hyra den vidare per timme till föreningar för deras sammankomster. Godhjärtad som du är, vill du inte tjäna något, men heller inte förlora på affären. Då får du försöka uppskatta hur många timmar du kommer att hyra ut lokalen under ett år, och ersätta 8760 med detta antal i beräkningarna ovan.
Kjell Elfström
6 oktober 2011 06.47.21
Hej!
d/dx(e^(y/x)) = (e^(y/x))*(x*dy-(y/x^2)*dx), denna likhet tolkas som true av www.wolframalpha.com
När jag räknar som jag lärt mig får jag:
d/dx(e^(y/x)) = -e^(y/x) * ln(e^y) * 1/x^2
Första likheten ska vara riktig men jag kommer inte på hur högerledet ska fås fram så min fråga blir: hur ska jag räkna eller vilka eventuella regler finns att ta till?
Högerledet finns med som del i svaret på problem 27 i boken "Differential Equations with BOUNDARY-VALUE PROBLEMS" Tredje Upplagan, av Zill och Cullen. Man ska verifiera att (x^2+y^2)dx + (x^2-xy)dy = 0 när k(x+y)^2=xe^(y/x)
Peter Carlsson
Svar:
Den inledande likheten måste halta. Om man betraktar y som en funktion av x, så får man att
Formellt ger detta dey/x = ey/x(dy/x) − y dx/x2).
Löser man ut k i den sista likheten i frågan, så får man att xey/x/(x + y)2 = k. Deriverar man båda led med avseende på x, så får man
Detta är, eftersom ey/x ≠ 0, ekvivalent med
Formellt kan du multiplicera båda led med dx och sedan fortsätta med algebraiska manipulationer, som inte involverar derivator, för att komma fram till den önskade resultatet.
Jag har ändrat ett likhetstecken till ett plustecken i din fråga, enligt instruktioner jag fått från dig senare.
Kjell Elfström
5 oktober 2011 18.56.32
Hej,
vi har en fundering kring integraler.
Problemet är att bestämma integralen från 0 till 2 av 1/(x-1). Är integralen divergent eller konvergen? Eller hur kommer singulariteten i x=1 att påverka?
Finns det en sats som säger att en integral är konvergent om och endast om varje delintegral är konvergent?
Tack på förhand
A och S
Svar:
Integralen är divergent. Om en funktion f är integrerbar i intervallen [a,b − ε] och [b + ε,c] för alla ε > 0, sådana att b − ε > a och b + ε < c, där a < b < c, så säges integralen ∫ac f(x) dx vara konvergent om de båda gränsvärdena limε → 0+ ∫ab − ε f(x) dx och limε → 0+ ∫b + εc f(x) dx existerar. I så fall är den generaliserade integralens värde summan av dessa gränsvärden. Det krävs alltså att de båda generaliserade integralerna ∫ab f(x) dx och ∫bc f(x) dx konvergerar. Motsvarande gäller också generaliserade integraler av formen ∫−∞∞ f(x) dx, där f är integrerbar på varje kompakt intervall. För att integralen skall vara konvergent krävs det att de båda integralerna ∫−∞0 f(x) dx och ∫0∞ f(x) dx är konvergenta. Detta är inga satser utan definitioner.
Kjell Elfström
5 oktober 2011 17.18.25
Hörde om att det finns så kallade "vänliga tal och dessa två skulle vara sådan 220 & 248" min fråga är vad är ett vänligt tal? Hur räknar man ut detta?
En som undra.
Thommy
Svar:
Varje heltal a ≥ 2 har positiva delare andra än talet självt. T ex har a = 2 förutom talet 2 bara den positiva delaren 1. Talet 12 har förutom talet 12 självt de positiva delarna 1, 2, 3, 4 och 6. Beteckna summan av de positiva delarna till a utom a självt med s(a). Då är s(2) = 1 och s(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16. Vi kan också definiera s(1) = 0. Om det är så att s(a) = a, kallas a ett perfekt tal. Ett exempel är a = 6, eftersom s(6) = 1 + 2 + 3 = 6. Om det för två olika positiva heltal a och b gäller att s(a) = b och s(b) = a, kallas talen för amicable numbers på engelska. Den svenska motsvarigheten är vänskapliga tal. Vänliga tal är kanske den svenska motsvarigheten till friendly numbers, som inte är samma sak. 220 och 284 är vänskapliga tal (inte 248, som du har skrivit).
Vi noterar att primtalsfaktoriseringen av 220 är 220 = 22⋅5⋅11. Vi kan nu enkelt bestämma alla delare till 220. Först tar vi den som inte innehåller något av dessa primtal, nämligen delaren 1. Sedan dem som innehåller precis ett av primtalen, nämligen 2, 5 och 11. Sedan produkter av två primtal: 2⋅2 = 4, 2⋅5 = 10, 2⋅11 = 22, 5⋅11 = 55. Sedan produkter med tre av primtalen, och dessa beräknas kanske enklast som 220/2 = 110, 220/5 = 44 och 220/11 = 20. Summerar vi alla dessa delare, får vi
Bestämmer man delarna till 284 på samma sätt, finner man att de är 1,2,4,71,142, och deras summa är 220. Det gäller alltså att s(220) = 284 och s(284) = 220. 220 och 284 är alltså vänskapliga tal.
Kjell Elfström
5 oktober 2011 16.32.42
Angående 28 september 2011 15.34.07. Jag har modifierat mitt bevis. Jag undrar om det är korrekt? Det lyder så här. Jag betecknar epsilon med e. Låt e vara ett godtyckligt tal >0. Det finns då ett N>0 så att abs(x_m-x_n)<e/c för någon positiv konstant c. Vi får då att abs(a^x_m-a^x_n)<abs(a^(e/c+x_n)-a^x_n)<e för ett tillräckligt högt värde på c. Det innebär att talföljden a^x_n har ett gränsvärde som vi betecknar a^x.
Johan
Svar:
Du behöver fortfarande visa att ax och ay ligger nära varandra, om x och y är rationella tal, som ligger nära varandra. Att införa potenser på detta sätt innebär bara en stor mängd arbete. Att börja med integraler, sedan logaritmer och därefter potenser blir mycket enklare.
Kjell Elfström
4 oktober 2011 23.34.23
Helo Kjell ! Hjälp...
Frågan :
*Rita upp kurvan y = 4 - x^2 ; x>0 rita sedan en linje mellan kurvans skärningspunkt med y-axeln och dess skärningspunkt med x-axeln. Härvid uppkommer två st areor. Beräkna förhållandet mellan dessa båda areor.
*Gör om detta på samma sätt, fast med kurvan y= 5 - x^2.
*Undersök vad resultatet blir för den allmänna kurvan y= a - x^2.
*Undersök vad som händer om du i stället har kurvan Y= 4 - 2x^2, eller i det allmänna fallet y= a - bx^2.
Mvh Matuta
Matuta
Svar:
1. Kurvan skär y-axeln då x = 0, dvs i punkten A = (0,4). Den skär x-axeln då 4 − x2 = 0, dvs då x = 2 eller x = −2. Eftersom en av förutsättningarna var att x ≥ 0, så duger bara x = 2. Kurvan skär alltså x-axeln i B = (2,0). Den ena delen av området är alltså triangeln med hörn i O, A och B, där O är origo. Triangelns bas är 2, och dess höjd är 4. Dess area blir därför 2⋅4/2 = 4. Arean av området som begränsas av de positiva koordinataxlarna och kurvan är
Den andra av de två delarna är området som ligger ovanför triangeln men under kurvan. Dennas area är därför skillnaden mellan de beräknade areorna, dvs 16/3 − 4 = 4/3. Triangelarean är därför 3 gånger så stor som den andra arean.
4. Det allmänna fallet y = a − bx2, där vi får förutsätta att a och b är positiva, behandlas på samma sätt. Skärningspunkten med y-axeln blir A = (0,a). Skärningspunkten med x-axeln blir B = (√(a/b),0). Triangelarean blir (a√(a/b))/2. Arean under kurvan blir
| ∫0√(a/b)(a − bx2) dx | = [ax − bx3/3]0√(a/b) = a√(a/b) − b(√(a/b))3/3 |
| = a√(a/b) − a√(a/b)/3 = (2/3)a√(a/b). |
Arean av området mellan triangeln och kurvan blir nu (2/3)a√(a/b) − (1/2)a√(a/b) = (1/6)a√(a/b). Också i det allmänna fallet är alltså triangelarean 3 gånger så stor som den andra arean.
Kjell Elfström
4 oktober 2011 23.21.35
Hej Kjell !
Fråga om Matte D.
Ett område begränsas av kurvan y= x^2, x-axeln och linjen x=1. Bestäm k, så att linjen x=k delar området i två lika stora delar. Mvh Jack
Jack
Svar:
Arean av området som begränsas av x-axeln, kurvan y = x2 och linjen x = k, där k > 0, är
Sätter vi in k = 1, får vi arean av området som begränsas av parabeln, x-axeln och linjen x = 1. Arean blir 1/3. Halva denna area är 1/6. Vi skall alltså bestämma k, så att k3/3 = 1/6, och får k = 1/21/3.
Kjell Elfström
4 oktober 2011 21.28.42
Hej om jag lägger 1- krona på ruta ett sen ska jag dubbla 2 4 8 16 32 64 128.
Var blir slut tal på ruta 64.
rockabillyroy@hotmail.com
Svar:
På ruta nummer k finns det 2k − 1 kronor. Det finns alltså 263 kronor på den sista rutan. Sammanlagt blir det
på brädet enligt formeln för den geometriska summan.
Kjell Elfström
4 oktober 2011 20.26.06
hur men räknar en del av treangel
habib
Svar:
Vad menar du?
Kjell Elfström
4 oktober 2011 18.32.45
Ett syfte i en undersökning är att utröna människors inställning till chocklad. Bredden av ett 95%+igt konfidensintervall för proportionen positiva till en viss chocklad får max/högst vara 6 procentenheter. Hur stort urval ska jag ta om antalet värnpliktiga är 1775 vid undersökningstillfället?
Markus
Svar:
Det beror på hur intervallet väljs. Ofta brukar man ta ett intervall med medelpunkt i det skattade värdet p och bredd 2z1 − α/2√(p(1 − p)/n), där n är urvalets storlek och z1 − α/2 är z-värdet för konfidensen. Då denna skall vara 95% är z = 1,96. Eftersom man inte känner p före undersökningen, så kan man gardera sig genom att välja p i intervallbredden, så denna blir så stor som möjligt, och det blir den då p = 0,5. Vi skall då ha att 2⋅1,96⋅0,5√(1/n) ≤ 0,06. Denna olikhet är ekvivalent med n ≥ (1,96/0,06)2 ≈ 1067,1. Det krävs alltså ett urval på 1068 personer.
Kjell Elfström
4 oktober 2011 14.09.09
Den komplexa logaritmen kan definieras som log(z)=log(z_0)+integral från z_0 till z med integranden 1/t. Hur beräknar man log(1+i) med denna definition?
Johan
Svar:
Väljer vi t ex z0 = 1, så kan vi välja log(z0) = 0. Vi kan integrera utefter det räta linjestycke, som går från 1 till 1 + i. En parametrisering är z = 1 + it, 0 ≤ t ≤ 1. Vi får att
| log(1 + i) | = ∫11 + i dz/z = ∫01(1/(1 + it))i dt = ∫01(i/(1 + t2) + t/(1 + t2)) dt |
| = [i arctan t + (1/2)ln(1 + t2)]01 = ln √2 + iπ/4. |
Kjell Elfström
3 oktober 2011 09.54.02
Jag fundrerar på hur man kan utvidga Weierstrassfunktionen till en funktion av två variabler på ett snyggt sätt. Om jag bara multiplicerar två blir resultatet väldigt regelbundna kvadrater. Kan man på något sätt göra en "mer" fraktal funktionsyta
f00bar
Svar:
f(x − y) ger ett ganska fraktalt utseende.
Kjell Elfström
2 oktober 2011 17.22.36
Priset på en burk hallonsylt var 15 kr. Priset ökade med 10%, medan vikten på innehållet bara ökade med 5%. Hur många procent höjdes kilopriset? Svara med en decimal.
svara snabbt snälla
anton
Svar:
Antag att burken innehåller x kg. Då är kilopriset 15/x kr. Efter ändringen innehåller burken 1,05x kg och kostar 1,10⋅15 kr. Kilopriset är nu 1,10⋅15/(1,05x). Förhållandet mellan det nya kilopriset och det gamla är (1,10⋅15/(1,05x))/(15/x) = 1,10/1,05 = 110/105 ≈ 1,048. Ökningen är alltså 4,8%. Man inser förmodligen att uppgiften att burken kostar 15 kr är oväsentlig. Man kan alltså direkt göra räkningen 1,10/1,05.
Kjell Elfström
2 oktober 2011 17.16.17
c) Kl 08.00 var temperaturen -4°C utomhus och + 22°C inomhus. Två timmar senare hade temperaturen utomhus stigit med sju grader och inomhus hade den sjunkit med tre grader. Hur stor var då differensen mellan utomhustemperatur och inomhustemperatur?
kevin
Svar:
Utomhus var temperaturen −4 + 7 = 3 grader och inomhus 22 − 3 = 19 grader, Skillnaden är 16 grader.
Kjell Elfström
1 oktober 2011 19.38.34
Om man vill använda någon sats som är tillämpbar på en kropp. Hur gör man om man vill använda satsen på polynom? Är det på kroppen av alla polynom med reella koefficienter man använder satsen på eller är det helt enkelt mängden R. För ett polynom exempelvis (x+2) är ju ett reellt tal om x är reellt.
Johan
Svar:
Mängden av polynom med reella koefficienter är inte en kropp, eftersom som man normalt inte kan dividera med polynom. Mängden av rationella funktioner är däremot en kropp. En del satser, som upplevs handla om kroppar, handlar om polynomringar över kroppar.
Kjell Elfström
1 oktober 2011 18.58.49
Vad är derivatan av a^x? Om man skriver om uttrycket så får man e^xlna och då borde derivatan vara (lna)a^x. Hur kommer det sig att man måste göra denna omskrivning för att derivera uttrycket a^x?
Johan
Svar:
Jag vet inte om man måste göra så, men det är det enda bevis jag sett.
Kjell Elfström
1 oktober 2011 17.49.06
Hej Kjell,
Jag har problem med lösningen av en differentialekvation. Låt f(p,m) vara en funktion av p och m. Ekvationen är:
df(p,m)/dm = [y/(m^4)]*[(p^2) – z*f(p,m)]
där y,p och z är vanliga reella tal. Jag fuskade och löste ekvationen i Mathematica och fick svaret:
f(p,m) = (p^2)/z + exp[(y*z)/(m^3)]*c(p)
där c(p) är en function av p.
Jag har problem att verifiera detta och undrar om du kan ge mig en hint. Tack!
Per
Svar:
I så fall är det fel i Mathematica. Jag får svaret f = p2/z + eyz/(3m3)c(p). För att verifiera att detta är en lösning behöver man bara sätta in i ekvationen och se att den satisfieras. Det är kanske mer intressant att se hur man kommer fram till lösningen. Eftersom det inte förekommer några derivator med avseende på p kan man för varje fixt p betrakta differentialekvationen som en ordinär differentialekvation med avseende på m. Den är lineär av första ordningen och kan skrivas
En primitiv funktion till yz/m4 är −yz/(3m3). En integrerande faktor är alltså e−yz/(3m3). Multiplicerar vi med den, övergår ekvationen i (d/dm)(fe−yz/(3m3)) = (yp2/m4)e−yz/(3m3). En primitiv funktion till högerledet är (p2/z)e−yz/(3m3), varför lösningarna ges av fe−yz/(3m3) = (p2/z)e−yz/(3m3) + c(p). Multiplicerar vi båda led med eyz/(3m3), får vi det svar jag angav.
Kjell Elfström
1 oktober 2011 16.06.59
Hur kommer det sig att en rektangel och en kvadrat med samma omkrets har olika area?
Peter
Svar:
Kjell Elfström
1 oktober 2011 12.16.40
Hur kan man logiska ekvationer framställa ett multibelt Universum?
Tommy Andesson
Svar:
Det vet jag inte, jag kan inte ens framställa ett vanligt. Jag föreslår att du ställer frågan till fysikerna.
Kjell Elfström
Innehållsansvarig är Kjell Elfström