Fråga Lund om matematik

Frågor och svar november 2011


30 november 2011 18.19.42
Hej,
Jag har en fråga rörande rätvinlig triamgel. Om man känner till längden på den motstående kateten och vinkeln mellan den och hypotenusan, kan man då beräkna längden för den närliggande kateten?
Jörgen

Svar:

Om triangeln ABC är rätvinklig vid B och vinkeln A är θ, så är tan θ = BC/AB. Om vinkeln och en av kateterna är kända, så kan man alltså beräkna den andra kateten.

Kjell Elfström


30 november 2011 17.55.22
Vilken formel användas för att beräkna sannolika högsta och lägsta värden för slumpmässigt gjorda val ur en population där vissa är behäftade med fel?
Exempel
Avkommor totalt antal 29
Undersökta avkommor 14
Felaktiga avkommor 3
Åke Sjöström

Svar:

Se 4 oktober 2011 18.32.45. p där är det skattade värdet 3/14 på andelen felaktiga avkommor och n = 14. Antalet felaktiga avkommor kommer då att ligga mellan p − z√(p(1 − p)/n) och p + z√(p(1 − p)/n) med sannolikheten 95%, om man väljer z = 1,96. Det kan tyckas märkligt att resultatet inte verkar bero på det totala antalet. Det gör det dock, men som approximation fungerar de framräknade värdena ofta.

Kjell Elfström


30 november 2011 06.20.32
Angående 28 januari 1997 10.06.25. Jag undrar om den sats som du bevisar ger antalet nollställen räknade med multiplicitet eller utan multiplicitet?
Johan

Svar:

De räknas inte med multiplicitet där.

Kjell Elfström


30 november 2011 06.10.44
Om man läser på quartic function på wikipedia så står det under Galois theory and factorization att s0=-b/2. Hur inser man det?
Johan

Svar:

Det är sambandet mellan rötter och koefficienter, som du har frågat om tidigare.

Kjell Elfström


30 november 2011 06.08.51
Jag vill lösa ekvationen z^6 - 2z^3 + 2 = 0. Har försökt med alla möjliga tänkbara metoder men hittar endast två komplexa rötter. De resterade 4 kan jag inte på något sätt hitta.
Jag försökte så här: Genom att sätta w = z^3 så fick jag ekvationen w^2 - 2w + 2 = 0. Denna har rötterna w = 1±i. Det medför sedan att z = w^(1/3) = (1±i)^(1/3). Enligt faktor satsen ska det sedan gälla att z^6 - 2z^3 + 2 = (((1+i)^(1/3))((1-i)^(1/3)))k(z) för något fjärdegradspolynom k(z).
Denna polynom division är omöjlig. Försökte även med att skriva ut k(z) = az^4 + bz^3 + cz^2 + dz + e och koefficient identifiera men vet inte hur jag ska behandla och multiplicera ut allting då ^(1/3) kommer in i bilden.
Försökte även att lösa z^3 = 1±i som en binomisk ekvation men kom sedan på att HL måste vara en komplex konstant (kom dock fram till några svar med denna metod men dessa var helt annorlunda de Maple anger). Maple klarar av att lösa denna ekvation men har ingen aning om hur man algebraiskt får de 4 konstiga komplexa rötterna. Tacksam för hjälp.
FabledIntegral

Svar:

Du har rätt i att w = 1 ± i. Du får sedan lösa de båda binomiska ekvationerna z3 = 1 + i och z3 = 1 − i. Det gäller att 1 + i = (√2)(1/√2 + i/√2) = √2eπi/4 och 1 − i = (√2)(1/√2 − i/√2) = √2eπi/4. Sätt z = re. Den första av de två binomiska ekvationerna är ekvivalent med r3e3 = √2eπi/4. Denna ekvation i sin tur är ekvivalent med att r3 = √2 och 3θ = π/4 + 2πk, där k är ett godtyckligt heltal, dvs r = 21/6 och θ = π/12 + 2πk/3. Lösningarna till den ekvationen ges alltså av z = 21/6ei(π/12 + 2πk/3), k = 0,1,2. Eftersom eix är 2π-periodisk ger alla övriga värden på k också något av dessa tre värden. Lösningarna till den andra binomiska ekvationen ges på samma sätt av z = 21/6ei(−π/12 + 2πk/3), k = 0,1,2.

Svaret som Maple ger är inte helt tillfredsställande, eftersom man gärna vill skriva t ex (1 + i)1/3 på formen a + bi. Det gäller att

eπi/12 = eπi/3eπi/4 = (cos(π/3) + isin(π/3))(cos(π/4) − isin(π/4)) = (1/2 + i√3/2)(1/√2 − i/√2) = ((√2)/4)(√3 + 1 + i(√3 − 1)).

Detta kan du utnyttja, om du vill skriva de sex rötterna på formen a + bi.

Kjell Elfström


28 november 2011 22.13.26
Hej! Jag undrar hur jag ska tänka på följande uppgift:
Lös nedanstående ekvationsystem exakt:
2y-12x=13
4x+3y=25
Sandra Nilsson

Svar:

Multiplicerar du den andra ekvationens led med 3, så får du 12x + 9y = 75. Nu är koefficienterna för x lika så när som på tecknet. Adderar du den nya ekvationens led till den första ekvationen i systemet, blir du av med x-termerna. Du får 11y = 88, varav y = 8. Den andra ursprungliga ekvationen ger sedan att 4x = 25 − 3y = 25 − 3·8 = 1, varför x = 1/4.

Kjell Elfström


28 november 2011 20.58.47
en cola burk rymmer som rymmer 33cl har en diameter på 62mm. Hur hög är burken? avrunda till hela millimeter. hur ska jag kunna räkna ut det utan höjden?
Marcus

Svar:

Volymen av en cylinder är basarean gånger höjden. Basarean är πr2 = π·312 mm2. Om h är höjden i millimeter, får vi eftersom 33 cl är 33·104 mm3, att ·312 = 33·104, vilket ger att h = 330000/(961π) ≈ 109 mm.

Kjell Elfström


28 november 2011 15.04.39
var ligger felet i detta?
-1=(-1)^1=(-1)^(2/2)=((-1)^2)^(1/2)=1^(1/2)=1
kalle

Svar:

Likheten (−1)2/2 = ((−1)2)1/2 är fel. Potenslagen (ab)c = abc gäller inte för negativa värden på a.

Kjell Elfström


27 november 2011 22.37.52
Angående 14 december 1997 13.32.37. Jag tror att din lösning av fjärdegradsekvationen är Ferraris lösning. Den går ut på att man räknar ut endast en rot till tredjegradsekvationen q2 = 4(2u - p)(u2 - r). Jag är intresserad av ett bevis där man räknar ut alla rötterna till tredjegradsekvationen q2 = 4(2u - p)(u2 - r).
Johan

Svar:

Man löser ekvationen som man löser en tredjegradsekvation i allmänhet. Att göra en härledning av fjärdegradsekvationens lösningar, där man använder alla lösningarna till tredjegradsekvationen, kan jag inte se någon mening med.

Kjell Elfström


27 november 2011 20.19.06
Dyker den så kallade resolvent cubic upp vid allmänna lösningen till fjärdegradsekvationen?
Johan

Svar:

Se Quartic Equation.

Kjell Elfström


27 november 2011 19.24.33
Hur översätter man cubic resolvent till svenska?
Johan

Svar:

Kubisk resolvent.

Kjell Elfström


27 november 2011 00.37.16
Hej,
det komplexa talplanet innehåller en imaginär axel och en reell axel. Rummet med 3 reella axlar används ganska ofta rent praktiskt. Är ett rum med två imaginära axlar och reell, eller tvärtom, användbart så som tex komplexa talplanet är? Om inte, kan man förklara matematiskt varför?
Tack
Fisnik

Svar:

Om det inte bara skall vara en lek med ord, så handlar väl frågan om huruvida man kan införa multiplikation i R3 på ett vettigt sätt. Om man kräver att man också skall kunna dividera, är detta möjligt bara i två och fyra dimensioner. Se Quaternion.

Kjell Elfström


26 november 2011 20.47.35
Hej!
Jag vet att ni tidigare har svarat på frågan hur många nollor en googolplex innehåller, men jag förstår inte svaret. Ett googoltal är ju en 1 följt av hundra nollor. Jag har sett svaret på googolplex till att vara 10 upphöjt till 10 upphöjt till 100. Innebär då det en 1 följt av tusen eller tiotusen nollor eller ännu fler? /Alf

Svar:

Ännu fler. En googol kan skrivas som en etta följd av hundra nollor. En googolplex kan skrivas som en etta följd av en googol nollor, och en googol är ju mycket större än 10000.

Kjell Elfström


26 november 2011 17.21.07
Finns det någon metod för att beräkna hur många reella rötter en fjärdegradsekvation har?
Johan

Svar:

Man kan derivera två gånger. Andraderivatans nollställen kan bestämmas exakt, om det finns några. Andraderivatan ger information om derivatan, som i sin tur ger information om funktionen.

Kjell Elfström


26 november 2011 11.56.45
Jag inser att det är min okunnighet inom matematik som gör att jag inte förstår vad forskningen inom området bidrar till. Tänker man sig yngre forskare inom andra områden kan de alltid ha hand om den laborativa processen, hålla en enkätstudie osv, men inom matematik? "Du kan ju försöka lösa detta problem och skriva en vetenskapliga artikel på det".
Än mer förvirrande blir det när man köper datorer till KTH som väl hade en kostnad på 120 miljoner för fyra år för att kunna utföra snabba uträkningar.
Andra letar flera decimaler på pi.
Jag har googlat runt och försökt hitta lite matematikforskning, inte nödvändigtvis sådant som knyter an till andra ämnen, t.ex matematisk fysik osv.
Några verkar sitta och försöka lösa matematiska problem som funnits i århundranden. Vad får man oftast ut av dessa? Typ Fermats stora sats.
Detta kan låta som en förolämpning men ärligt talat är jag nyfiken på hur den rent matematiska forskningen går till. Jag förstår bara att den matematiska forskningen bidrar till mycket men egentligen inte till vad.
Jonas

Svar:

Det som driver forskare att forska är nog mycket oftare nyfikenhet och äregirighet än en önskan om att göra gott. Detta gäller, är jag övertygad om, inte bara inom matematik utan alla vetenskaper. Att stater och andra mecenater stöder forskning som inte omedelbart verkar gagna mänskligheten beror väl på att sådan forskning ibland ger användbara och revolutionerande resultat, som förmodligen inte målmedveten forskning hade givit. Ta bara sådana saker som penicillinet och röntgenstrålning. Fermats stora sats hör till talteorin, som länge bara ansågs ha ett akademiskt intresse. Numera används RSA-kryptotekniken, när man vill kommunicera mellan datorer utan att avslöja meddelandets innehåll, t ex när man skickar inloggningsuppgifter till sin bank. Här är det talteori som används. Matematisk forskning består bland annat i att försöka lösa gamla olösta problem. Hit hör beviset av Fermats stora sats. Denna typ av problem karakteriseras ofta av att problemet är ganska lätt att förstå men så gott som omöjligt att lösa. Mycket oftare handlar matematisk forskning om att driva matematiken framåt genom ny teoribildning. Ibland uppstår frågeställningarna inom fysiken, ibland inom ekonomi, ibland inom något annat ämne och ofta inom matematiken själv. Ofta är dessa problem ganska svåra att förstå om man inte är specialist på området, eftersom det krävs ganska mycket studier att ta sig till den punkt där vetenskapen nu befinner sig.

Kjell Elfström


26 november 2011 09.40.09
Hej Kjell!
Jag funderar på potenser med negativa baser och rationella exponenter, och förstår att någonting inte står rätt till när jag tänker så här: (-1)^1=(-1)^(2/2)=((-1)^(2/1))^(1/2)=1^(1/2)=1.
Men jag har svårt att sätta fingret på vad som är fel. Får man inte förlänga exponenten om basen är negativ? Får man förkorta en exponent om basen är negativ? T.ex. 1=((-1)^2)^(1/2)=(-1)^(2/2)=(-1)^1=-1
Och potenser med irrationella exponenter och negativ bas, är de definierade för de reella talen?
Och proportionaliteter, hur definieras de? Jag har sett exempel i en gymnasiemattebok på proportionaliteter som pekar mot en definition typ: y=kx^a, där k och a är reella tal, med lite krav på k och a för att undvika roten ur negativa tal, division med noll och att y=k. Dvs en proportionalitet är en funktion vars graf går genom origo?
Oskar

Svar:

Potenslagarna gäller om basen är positiv. I stället för att försöka lära sig utantill lagar, som styr potenser med negativ bas, är det bättre att tänka igenom problemet varje gång man stöter på det. T ex är (−a)1/3 = −a1/3, om a är ett positivt tal. Detta kan man sedan utnyttja, om man vill upphöja uttrycket till 2. Man får ((−a)1/3)2 = (−a1/3)2 = −−a2/3 = a2/3. Att (a1/3)2 = a2/3 följer av att a > 0 och potenslagarna.

Man definierar inte potenser med negativa baser och irrationella exponenter.

Att en funktion f är en proportionalitet betyder att f(x) = kx för någon konstant x. Grafen går alltså genom origo. Att säga att en funktion f är proportionell mot en annan funktion g betyder att f(x) = kg(x). Om inte grafen till g går genom origo, så gör inte heller grafen till f genom origo, såvida inte k = 0. Det finns många funktioner, vilkas grafer går genom origo utan att vara proportionaliteter.

Kjell Elfström


25 november 2011 21.08.30
Angående 16 november 2011 18.06.06. Jag trodde att bijektioner alltid var mellan mängder. Men här är det ju mellan två funktioner hur kommer det sig?
Johan

Svar:

Jag vet inte vad du menar. Funktionen som avbildar tt − a/3 är en bijektion mellan R och R.

Kjell Elfström


25 november 2011 12.32.50
Hej,
Jag har en fråga som jag inte kan hitta svaret på. Jag har en cylinder rostfritt stål med volymen ca 6.3x10(-5)m3, som håller en temp på 25 grader C.
Hur räknar jag ut tiden det tar för cylindern att få samma temp som omgivningen, 20 grader C?
mvh
Jonas Wohnerow

Svar:

Ställ frågan till fysikerna.

Kjell Elfström


25 november 2011 11.30.14
Det fanns två stycken frågor på årets högskoleprov jag tacksamt tar en förklaring på. Har sett hur de flyttas om hit och dit men förstår inte varför man gör så.
1. Skriv om roten ur (50), svaret blev 5 * roten ur (2).
2. Vad är xyz om x^2*y*z^3 = w^3 och xy^2 = w^9? Svar: w^4. Jag har sett att man sätter de lika med varandra. Men hur och varför?
Johan

Svar:

1. Eftersom 50 = 2·52, så blir √(50) = √(2)·√(52) = 5√2.

2. Multiplicerar man de båda likheternas vänsterled och högerled var för sig, så får man likheten

(xyz)3 = x2yz3xy2 = w3w9 = w12,

varav xyz = w4.

Kjell Elfström


24 november 2011 19.11.49
Angående 14 december 1997 13.32.37. Du skriver “Q = sqrt(2u - p)x - q/(2sqrt(2u - p))”. Blir det inte mer än fyra rötter att beakta om (2u-p) är komplext?
Johan

Svar:

Ekvationen z2 = w har precis två olika rötter z för varje komplext tal w ≠ 0.

Kjell Elfström


24 november 2011 12.31.44
Har problem att flytta om i formler. Kan du bara beskriva vad jag begår för misstag enligt följande (löser ut c):
a = (bcd)/e multiplicerar bd
abd = c/e multiplicerar e
abde = c
Man multiplicerar väl över variabler i ett bråk, eller blir det fel när de står i täljaren? Det riktiga sättet, efter lite trial and error:
a = (bcd)/e multiplicerar e
ae = bcd dividerar med bd
ae/bd = c
Fast vari ligger felet enligt första? Man multiplicerar väl över sådant som står i bråk, eller dividerar om det är multiplikation. Fast räknas täljaren i exempelet ovan som multiplikation trots att de står i ett bråk?
Sedan en till:
y = (5*(x-1)/(x-1) eftersom det är multiplikation i täljaren tar (x-1) ut varandra då eller måste den första multipliceras med 5? Och således blir den ju inte x-1?
Micke

Svar:

Principen är att man multiplicerar eller dividerar båda led med samma tal. Man kan också addera samma tal till båda led eller subtrahera samma tal från båda led. Var de båda leden lika från början, är de det också efter dessa operationer.

Du skriver att du multiplicerar med bd, och det gör du väl också, men du multiplicerar inte båda led med bd, och därför blir det fel. Vill du ha c ensamt, kan du börja med att dividera med bd. Du får då

a/(bd) = (bcd/e)/(bd) = c/e,

alltså

a/(bd) = c/e.

Nu multiplicerar vi båda led med e och får

ea/(bd) = ec/e = c,

vilket ger att

c = ae/(bd).

I ditt andra exempel är uttrycket i högerledet bara definierat, då x ≠ 1, och då är y = 5. Man kan alltså inte lösa ut x entydigt. Om y ≠ 5 finns det inga x, som uppfyller likheten, och om y = 5, gäller likheten för alla x ≠ 1.

Kjell Elfström


23 november 2011 20.12.49
Hej.Här kommer en talpyramid.Vad har dessa tal gemensamt.
                          21                                                    
 
                         2211                                                   
                        222111                                             
                       22221111                                                 

                      2222211111                                    
M.v.h.
Tord L

Svar:

De är triangeltal. Det n:e talet i uppräkningen är

an = 2·10n·∑k = 0n − 110k + ∑k = 0n − 110k = (2/9)·10n(10n − 1) + (1/9)·(10n − 1)
= (1/9)(2·102n − 10n − 1) = (1/9)(2x2 − x − 1),

där x = 10n. Faktorisering av 2x2 − x − 1 = (x − 1)(2x + 1) ger att

an = (1/9)(10n − 1)(2·10n + 1) = (1/3)(10n − 1)(1/3)(2·10n + 1)
= (1/2)(6/9)(10n − 1)((6/9)(10n − 1) + 1)

är det m:e triangeltalet, där

m = (6/9)(10n − 1) = 6·∑k = 0n − 110k.

Kjell Elfström


23 november 2011 19.30.19
Hej!
Hoppas ni kan hjälpa mig med den här uppgiften! Det är Matte D så det är inte tänkt att man ska använda sig av integralvolym, utan att man på något nnat sätt ska kunna lösa den. Man kan dock använda sig av integraler för att räkna ut areor.
Swimmingpoolen har en cirkulär kantlinje med radien 3,0 m. Poolens tvärsnitt följer formen av en parabel med ekvationen y=0.2x^2. När man tömmer poolen pumpar man vattnet över kanten och ner i vattenbrunnen. Hur stort arbete behövs för att tömma poolen?
Malin Österman

Svar:

Jag kan inte se hur man klarar sig utan integraler. Arbetet blir dessutom olika stort beroende på hur man pumpar. Om man pumpar från ytan blir sträckan vattnet behöver lyftas kortare än om man pumpar från bottnen. I det senare fallet skall man lyfta hela vattenvolymen en sträcka som är lika med bassängens djup. Jag antar att det är som i det senare fallet. Eftersom y = x2/5, och radien är 3, så är djupet y = 32/5 = 9/5. På djupet y, där 0 ≤ y ≤ 9/5, är det horisontella tvärsnittet en cirkelskiva med radien r = x = √(5y). Denna skiva har arean πr2 = 5πy. En skiva med denna radie och tjockleken dy har volymen 5πy dy. Genom att dela in bassängen i ett stort antal sådana tunna skivor och addera deras volymer, får man en approximativ totalvolym. Detta antyder att den exakta volymen är ∫09/55πy dy = 45π/2. Sedan behöver du bara beräkna vattenvolymens tyngd och multiplicera med lyfthöjden 9/5.

Kjell Elfström


23 november 2011 19.00.16
kan man dela en kvadrat med hjälp av fyra linjer så att man får 6 mindre kvadrater
undrare

Svar:

Se 14 januari 2008 17.31.18.

Kjell Elfström


23 november 2011 10.02.54
Hur tänker jag här? Finn en datamängd där medelvärdet är större än medianen samtidigt som typvärdet är samma som medelvärdet.
Stina Eraldsson

Svar:

Man ser till att välja flera lika värden, som man vill skall bli lika med medelvärdet. Väljer man alla andra värden olika, så blir detta medelvärde lika med typvärdet. Det räcker att vi väljer två lika värden, t ex 10 och 10. Väljer vi sedan ett värde, som är större än 10 och fyra, som är mindre, så blir medianen lika med det största av de värden, som är mindre än 10. Vi tar med värdena 0, 1, 2 och 3. Vi skall ta med ytterligare ett värde x, så att medelvärdet blir (0 + 1 + 2 + 3 + 10 + 10 + x)/7 = 10. Lösningen till denna ekvation är x = 44. Man kan alltså ta datavärdena 0,1,2,3,10,10,44.

Kjell Elfström


23 november 2011 10.01.18
Hej!
Har haft denna fråga ur en tidning i snart 15 år och kan inte lösa den. Hoppas Ni kan hjälpa mig.
I en randig påse finns två vita och en svart kula. I en prickig påse finns fyra vita och tre svarta kulor. Utan att titta tar du en kula ur den randiga påsen och lägger i den prickiga påsen. Därefter tar du, utan att titta, en kula från den prickiga påsen. Hur stor är sannolikheten att den kula du slutligen drog från den prickiga påsen är vit?
Kerstin Elofsson

Svar:

Sannolikheten att dra en vit kula ur den randiga påsen är 2/3 och sannolikheten att dra en svart är 1/3. Drar du en vit, har du efter att du lagt den i den prickiga påsen 5 vita och 3 svarta kulor. Drar du en svart har du i stället 4 vita och 4 svarta kulor i den prickiga påsen. I det första fallet är sannolikheten att dra en vit kula ur den prickiga påsen 5/8 och i det andra är den 1/2. Den sökta sannolikheten blir därför (2/3)·(5/8) + (1/3)·(1/2), vilket jag överlåter åt dig att förenkla.

Kjell Elfström


22 november 2011 21.03.21
Hej igen, Hej, jag har en generell fråga om vad man ska tänka på när man skalar om faktorer för att passa in dem på samma skala i en matematisk modell. Har du något bra exempel på hur en skalning av faktorer skulle kunna utföras? Var ska man börja? Vilken skala bör man välja? Beror det på vad man vill ha ut för information? Vad ska man tänka på om man inkluderar viktfaktorer eller till att börja med exkludera dem? Om man t ex har en massa frekvenser med tillhörande sannolikhet för vardera frekvens och modellen inklusive viktfaktorer skulle kunna se ut på följande sätt a*A+b*B, där A är frekvens och B en sannolikhet. Hur skulle man kunna skala in vardera frekvens med tillhörande sannolikhet och få ut ett nytt värde varje gång man stoppar in en ny frekvens med tillhörande sannolikhet i en skala mellan t ex 0 till 1? T ex om man har en matris innehållande två kolumner: kolumn1 med sannolikheter för hur pass skadlig en mutation är och kolumn2 med frekvenser för hur sannolikt det är att en viss mutation förekommer i populationen. Eftersom den ena är slhet och den andra är en frekvens och jag vill kombinera dessa till ett gemensamt värde för varje mutation med tillhörande slhet samt frekvens, så måste man väl skala om faktorerna till en gemensam skala? Jag vill alltså slå ihop A och B till en enda enhet (skala) för att på så sätt kunna få en bättre score och även få ett gemensamt värde för vardera mutation. Men A och B har ju inte samma skala... Hur skulle man kunna göra för att skala in A och B på samma skala och sedan addera ihop dem två värdena för respektive mutation. Om frekvensen är ett lågt värde så vill jag att den nya skalan ska ge ett högt värde (dsv mutationen är skadlig) och tvärtom, p.s.s för slhen.
Sofia

Svar:

Om man dividerar en variabel med det största möjliga värdet M den kan antaga, så får man en ny variabel med värden mellan 0 och 1. Att dividera med M är detsamma som att multiplicera med 1/M. Är variabeln en sannolikhet, ligger dess värde redan mellan 0 och 1. Är den en frekvens, kan man dividera med totalpopulationen, så att man får den relativa frekvensen, som ligger mellan 0 och 1. Vill man att små värden på variabeln skall ha stor vikt och stora liten vikt, kan man göra som ovan och sedan ta 1 minus värdet man fick.

Kjell Elfström


22 november 2011 17.17.22
Hej! Jag har börjat hobbyräkna lite på fritiden och behöver hjälp med att lösa och följa uträkningen på uppgiften: Ange ekvationen för två linjer som båda är vinkelräta mot linjen y=-x/5-3
Elin Andersson

Svar:

Två linjer är vinkelräta mot varandra om och endast om produkten av deras riktningskoefficienter är lika med −1. Eftersom den givna linjen har riktningskoefficient −1/5, kan du välja vilken linje som helst, som har riktningskoefficient 5. y = 5x och y = 5x + 1 är två linjer, som är vinkelräta mot den givna linjen.

Kjell Elfström


22 november 2011 15.50.56
En fråga från verkliga livet - på IVA (Intensivvårdsavdelningen) fick jag (som för övrigt är medicinteknisk ingenjör) följande fråga:
Givet är att det finns infusionspåsar om 1000 ml vardera, och dessa förvaras i ett värmeskåp så att de håller temperaturen 43 grader Celsius. Hur lång tid tar det för infusionsvätskan i påsen att ha kylts ner till rumstemperatur, om vätskan infunderas med hastigheten 210 ml/h, och det är 21 grader Celsius i operationssalen?
Bästa hälsningar,
Magnus Eriksson
Chef Specialistgruppen
Södersjukhuset
Magnus Eriksson

Svar:

Det räcker inte med en matematisk modell här. Man måste också ha empiriska fakta, såsom vätskans värmeavgivningsförmåga och påsens värmegenomsläpplighet. Jag föreslår att du tar reda på så mycket fakta du kan och skickar frågan till fysikerna.

Kjell Elfström


21 november 2011 19.43.19
En liten kommentar appropå lineära, andra ordningens differens-ekationer med variabla koefficienter. Jag har tittat på de länkar jag fick i svaret på mitt förra spörsmål. Det intressanta här är att man kommit fram till en lösning med kontinuerliga kedjebråk,dvs samma som även jag tar fram i min allmänna lösning i min artikel "Differensekvationer på nytt sätt" publicerad i NORMAT, 1996/2. Skillnaden i tillvägagångssättet ligger närmast i min sk symbol- eller kompaktform. Beteckningssätten är förstås i övrigt olika. Skulle vara väldigt glad att få höra andras åsikter om min metod att lösa differensekvationer på.
Henrik Sjöholm

Svar:

Jag har tyvärr inte tid att recensera din artikel.

Kjell Elfström


21 november 2011 13.29.42
Refererar till min fråga den18 november 2011 16.55.55 Hej Jag har en uppgift om premutationer.
S5 12345
   ↓↓↓↓↓
σ= 23415
   ↓↓↓↓↓
π= 35412
Vad skickar på vad? Cykel notationen för uppgiften hur ser den ut? Och hur ska jag tänka?
Mvh
Annette
Hej Kjell
Tack så hemskt mycket för en så bra förklaring. Har försökt läsa mig till förståelse men det är för brett för att bara läsa till en uppgift. Ni skrev att τ2 skulle utföras först och sedan τ1 sedan var det bara att räkna med jag har aldrig räknat ett sådant tal tidigare . Det är första gången. Hur fortsätter jag? och vad är det jag vill veta med det jag gör? Dvs Vad är det jag egentligen räknar data språk kemi ekonomi eller logik ect?
Mvh
Annette

Svar:

Antag att du har 5 kulor numrerade från 1 till 5. En permutation av kulorna brukar man säga är ett sätt att räkna upp dem i en viss ordning. Det behöver naturligtvis inte vara kulor. Har man fem personer, så kan man också permutera dem. En permutation av dem är helt enkelt ett sätt att räkna upp dem i en viss ordning. Detta blir aktuellt, när man bildar köer av de fem personerna. Kön Andersson,Bengtsson,Carlsson,Davidsson,Eriksson är inte samma kö som Bengtsson,Eriksson,Andersson,Davidsson,Carlsson. Det är här praktiskt att döpa om personerna, så att de heter 1,2,3,4,5 i stället, och då inser vi att vi lika väl kan tänka på personerna som numrerade kulor.

Ordnar man kulorna som 2,3,4,1,5, så har man en permutation av dem. Ett av elementen är det första, nämligen 2, 3 är det andra, 4 det tredje osv. Betecknar vi den k:e kulans nummer med σ(k), så har vi i detta fall att σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 4, σ(4) = 1 och σ(5) = 5. σ är en funktion från mängden {1,2,3,4,5} till samma mängd, sådan att olika tal ger olika funktionsvärden. Matematiker brukar kalla denna funktion för en permutation. Allmänt är en permutation av n element en funktion från mängden {1,2,3,…,n} till samma mängd, sådan att olika tal avbildas på olika tal.

I stället för att skriva σ(1) = 3, σ(2) = 2, σ(3) = 4, σ(4) = 1 och σ(5) = 5 brukar man skriva att σ = 

1 2 3 4 5
2 3 4 1 5

där det uttrycket egentligen skall vara mellan parenteser. I översta raden står talen k och i den undre funktionsvärdena σ(k).

Har vi två permutationer σ och π av talen {1,2,3,4,5}, så kan vi eftersom de egentligen är funktioner sätta samman dem som funktioner. Här varierar det något hur man skriver, men ofta menar man med πσ den sammansatta funktionen πoσ. Det gäller alltså att (πσ)(k) = π(σ(k)). Om π är permutationen

1 2 3 4 5
1 3 5 4 2

så är σ(1) = 2 och π(σ(1)) = π(2) = 3. På samma sätt är π(σ(2)) = π(3) = 5, π(σ(3)) = π(4) = 4, π(σ(4)) = π(1) = 1, och π(σ(5)) = π(5) = 2. Den sammansatt permutationen är alltså πσ =

1 2 3 4 5
3 5 4 1 2

Permutationerna σ och π är desamma som permutationerna i din ursprungliga fråga.

Börjar du med att lägga kulorna i nummerordning i en rad, och sedan flyttar om dem som permutationen σ säger, så hamnar de i ordningen 2,3,4,1,5. Klistra nu över numren med numrerade klisterlappar, så att den första kulan från nummer 1, den andra nummer 2 och så vidare. Permutera nu kulorna som permutationen π säger. Då hamnar kulorna i klisterlappsordningen 1,3,5,4,2. Tar du sedan bort klisterlapparna, så är den riktiga numreringen den som πσ anger, nämligen 3,5,4,1,2.

Nu vet du vad sammansättningar av permutationer innebär. En permutation är den identiska permutationen ι. För den gäller att ι(k) = k för alla k i mängden {1,2,3,…,n}. För den identiska permutationen ι av fem element gäller alltså ι(1) = 1, ι(2) = 2, ι(3) = 3, ι(4) = 4, ι(5) = 5. Denna permutation innebär att man lägger kulorna i rätt ordning, och det gäller att ισ = σι = σ för alla permutationer σ av fem element.

Tittar vi på σ igen, så ser vi att 1 avbildas på 2, 2 på 3, 3 på 4 och 4 på 1. Detta är en cykel. Vi börjar på 1 och kommer tillbaka till 1. Med (1,2,3,4) betecknar man permutationen som avbildar 1 på 2, 2 på 3, 3 på 4 och 4 på 1 och avbildar alla andra ingående tal på sig själva. Vi ser då att σ = (1,2,3,4). Vi ser att π avbildar 2 på 3, 3 på 5, 5 på 2 och 1 och 4 på 1 och 4. Därför är π = (2,3,5). Den sammansatta permutationen πσ avbildar 1 på 3, 3 på 4, 4 på 1, och det är en cykel (1,3,4). Sedan avbildar πσ 2 på 5 och 5 på 2. Det är en annan cykel (2,5). På detta sätt blir πσ = (1,3,4)(2,5).

Kjell Elfström


21 november 2011 07.58.55
Hej!
Hur räknar jag ut sannolikheten att samtliga personers längd, överstiger 175 cm, om väntevärdet för männens längd är 180 cm (med standardavvikelse 5 cm) och väntevärdet för kvinnornas längd är 160 cm med standardavvikelse 3 cm?
Antar att normalfördelning för antas.
Hans W

Svar:

Vilka är förutsättningarna? Är det ett sällskap bestående av ett visst antal män och kvinnor. Du kan väl inte mena alla personer i hela världen.

Kjell Elfström


20 november 2011 22.12.42
Vilket tal saknas i talföljden? 0 1 64 243 256 _?_ 36 7 1
Alexander

Svar:

Talen ser ut att vara 08, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71 och 80. Det saknade talet är i så fall 125.

Kjell Elfström


20 november 2011 11.32.15
Hejsan,
när man använder variabelseparation för partiella differentialekvationer så antar man att lösningen som beror på flera variabler kan skrivas som en produkt av envariabel-funktioner. Det borde väl finnas funktioner som inte kan skrivas på det sättet? Hur ska man då i förväg veta när en funktion gör det, finns det vissa villkor som funktionerna ska uppfylla?
Tack på förhand :)
Fisnik

Svar:

Man kan nog inte i förväg veta om man kan separera variablerna. Ibland, t ex i värmeledningsekvationen med vissa typer av randvillkor, kan man visa att man får alla lösningar på detta sätt.

Kjell Elfström


19 november 2011 12.22.04
Roten ur à upphöjt i 2 + b upphöjt i 2 =
Kalle

Svar:

√((à2 + b)2) = |à2 + b|.

Kjell Elfström


18 november 2011 20.40.09
Jag har upptäckt Descartes' rule of signs på Wikipedia. Jag hittar dock inget bevis. Om det är ett enkelt bevis kanske du kan skriva ner det, annars kanske du kan tipsa om en bok som har med beviset?
Johan

Svar:

Se http://sepwww.stanford.edu/oldsep/stew/descartes.pdf.

Kjell Elfström


18 november 2011 16.55.55
Hej JAg har en uppgift om premutationer.
S5 12345
   ↓↓↓↓↓
σ= 23415
   ↓↓↓↓↓
π= 35412
Vad skickar på vad? Cykel notationen för uppgiften hur ser den ut? Och hur ska jag tänka?
Mvh
Annette

Svar:

Sammansättningen πσ, dvs σ först och sedan π, skickar 1 på 3, 2 på 5, 3 på 4, 4 på 1 och 5 på 2. Tittar vi på σ så har vi 1→2→3→4→1 och 5→5. Med cykelnotationen blir detta σ = (1,2,3,4). Tittar vi på π får vi 1→1, 2→3→5→2, 4→4. Med cykelnotation får vi π = (2,3,5). Sammansättningen blir τ = (1,3,4)(2,5) = τ1τ2, där τ1 = (1,3,4) och τ2 = (2,5). Här skall τ2 utföras först och sedan τ1, men de kan lika väl utföras i omvänd ordning, eftersom de är disjunkta. T ex skickar τ2 2 på 5 och τ1 skickar 5 på 5, vilket stämmer. τ skickar ju 2 på 5.

Kjell Elfström


18 november 2011 16.48.25
Hej
Hur visar jag algebraiskt och kombinatorisk att (n över l) ( l över k)=(n över k)( n-k över l-k). Tack. Mvh Annette
Annette

Svar:

Vi förutsätter att 0 ≤ k ≤ l ≤ n. Vänsterledet är lika med

(n!/(l!(n − l)!))(l!/(k!(l − k))) = n!/((n − l)!k!(l − k)!).

Högerledet är lika med

(n!/(k!(n − k)!))((n − k)!/((l − k)!(n − k − (l − k))!)) = n!/((n − l)!k!(l − k)!).

De båda leden är alltså lika.

Låt oss betrakta en grupp om n personer. Vi skall välja ut en kommitte med l personer och i denna kommitte skall utses en arbetsgrupp om k personer. Kommitten kan då väljas på (nl) sätt och därefter kan arbetsgruppen väljas på (lk) sätt. Antalet sätt att göra dessa val blir enligt multiplikationsprincipen lika med formelns vänsterled.

Vi kan göra samma val genom att först välja ut de k personerna, som skall ingå i arbetsgruppen, bland hela gruppen. Därefter har vi n − k personer kvar och av dessa skall ytterligare l − k personer väljas till kommitten, de som inte skall ingå i arbetsgruppen. Nu får vi att antalet sätt är (nk)(n − kl − k), dvs. högerledet i formeln.

Kjell Elfström


18 november 2011 16.07.02
Hur integrerar jag f(x) = sqrt(tan(x))?
-.-*

Svar:

Vi får förutsätta att πn ≤ x < π/2 + πn för något heltal n. Sätt t = √(tan x). Då är t2 = tan x, vilket är ekvivalent med x  = arctan t2 + πn. Då är dx = (2t/(1 + t4)) dt. Integralen övergår i ∫ (2t2/(1 + t4)) dt. För att faktorisera 1 + t4 gör vi ansatsen (1 + at + t2)(1 − at + t2) = 1 + t4 och finner att a = √2 duger. Vi partialbråksuppdelar nu integranden, och gör därför ansatsen

2t2/((t2 + √2 t + 1)(t2 − √2 t + 1)) = (At + B)/(t2 + √2 t + 1) + (Ct + D)/(t2 − √2 t + 1).

Sätter vi t = 0, får vi att B + D = 0. Multiplicerar vi båda led med t och låter t → ∞, får vi A + C = 0. Utnyttjar vi sedan att Ct + D = −(At + B) och multiplicerar båda leden med nämnaren i vänsterledet, får vi

2t2 = (At + B)(−2√2t).

Identifierar vi koefficienter, får vi nu A = −1/√2 och B = 0. Integralen kan alltså skrivas

(1/√2)∫(t/(t2 − √2t + 1) − t/(t2 + √2t + 1)) dt.

Vi beräknar nu (1/√2)∫(t/(t2 − √2t + 1)) dt. Vi kvadratkompletterar nämnaren och får t2 − √2t + 1 = (t − 1/√2)2 + 1/2 = (1/2)((√2t − 1)2 + 1). Integralen kan alltså skrivas

∫(√2t/((√2t − 1)2 + 1)) dt
 = (1/(2√2))∫(2√2(√2t − 1)/((√2t − 1)2 + 1)) dt + ∫(1/((√2t − 1)2 + 1)) dt.

Den första integralen är (1/(2√2))∫ (f ′(t)/f(t)) dt, där f(t) = (√2t − 1)2 + 1, och är därför lika med (1/(2√2)) ln|f(t)| + C1 = (1/(2√2)) ln((√2t − 1)2 + 1) + C1. Det gäller också att ∫(1/((√2t − 1)2 + 1)) dt = (1/√2)arctan(√2t − 1) + C2. Därför är

(1/√2)∫(t/(t2 − √2t + 1)) dt = (1/(2√2)) ln((√2t − 1)2 + 1) + (1/√2)arctan(√2t − 1) + D1.

På samma sätt är

(1/√2)∫(t/(t2 + √2t + 1)) dt = (1/(2√2)) ln((√2t + 1)2 + 1) − (1/√2)arctan(√2t + 1) + D2.

Den sökta integralen är alltså

(1/(2√2)) (ln((√2t − 1)2 + 1) − ln((√2t + 1)2 + 1)) + (1/√2)(arctan(√2t − 1) + arctan(√2t + 1)) + C.

Nu återstår det bara att sätta in t = √(tan x) och förenkla.

Kjell Elfström


18 november 2011 15.21.07
Hejsan Kjell. Jag har besvär att hitta en primitiv funktion till f(x) = sec^3(x).
Har försökt partialintegrera men fastnar.
FabledIntegral

Svar:

Du kan skriva om 1/cos3x som (cos x)/(cos4x) = (cos x)/(1 − sin2x)2. Sätter du sedan t = sin x, så övergår integralen i ∫ dt/(1 − t2)2 = ∫ dt/((1 − t)2(1 + t)2). Man partialbråksuppdelar sedan. Därför gör man ansatsen

1/((1 − t)2(1 + t)2) = A/(1 − t) + B/(1 − t)2 + C/(1 + t) + D/(1 + t)2

och multiplicerar båda leden med vänsterledets nämnare.

1 = A(1 − t)(1 + t)2 + B(1 + t)2 + C(1 − t)2(1 + t) + D(1 − t)2

Sätter man in t = 1, får man att B = 1/4. Sätter man in t = −1, får man D = 1/4. Insättning av t = 0 ger A + B + C + D = 1, varav A + C = 1/2. Dividerar man likheten med t3 och låter t → ∞, får man att A = C, varför A = B = C = D = 1/4. Integralen är alltså lika med

(1/4)∫ (1/(1 − t) + 1/(1 − t)2 + 1/(1 + t) + 1/(1 + t)2dt
 = (1/4)ln((1 + t)/(1 − t)) + t/(2(1 − t2)) + C = (1/2)(ln|sec x + tan x| + (sin x)sec2x) + C.

Kjell Elfström


17 november 2011 22.44.43
Om vi har en algebraisk ekvation så kan vi faktorisera den och bestämma lösningar med hjälp av annulleringslagen. Finns det någon annan tillämpning av annulleringslagen på algebraiska ekvationer?
Johan

Svar:

Metoden kan naturligtvis användas i alla typer av ekvationer, inte bara algebraiska, där man lyckas faktorisera vänsterledet och högerledet är noll.

Kjell Elfström


17 november 2011 19.07.44
Hej
I den matematiska litteraturen finns det på många ställen omnämnt att en lineär, andra ordningens, icke-homogen differensekvation med variabla koefficienter saknar i det allmänna fallet en allmän lösning. T ex sidan 156 i "Elementary Differential Equations with Applications" av W.R.Derrick och S.I.Grossman,1982. Gäller detta fortfarande 2011?
jhs
Henrik Sjöholm

Svar:

Enligt en artikel, Difference equations, determinants and the Secret Santa problem, av Tony Ward i The Mathematical Gazette, Vol. 89, No. 514, Mar., 2005 verkar man ha löst problemet. Författaren hänvisar till en artikel, A comment on the solution of finite-difference equations, Math. Gaz. 86 (July 2002) pp. 277-279 av P. T. Krasopoulos.

Kjell Elfström


16 november 2011 23.24.40
Hej, jag har en generell fråga om vad man ska tänka på när man skalar om faktorer för att passa in dem på samma skala i en matematisk modell. Har du något bra exempel på hur en skalning av faktorer skulle kunna utföras? Var ska man börja? Vilken skala bör man välja? Beror det på vad man vill ha ut för information? Vad ska man tänka på om man inkluderar viktfaktorer eller till att börja med exkludera dem? Om man t ex har en massa frekvenser med tillhörande sannolikhet för vardera frekvens och modellen inklusive viktfaktorer skulle kunna se ut på följande sätt a*A+b*B, där A är frekvens och B en sannolikhet. Hur skulle man kunna skala in vardera frekvens med tillhörande sannolikhet och få ut ett nytt värde varje gång man stoppar in en ny frekvens med tillhörande sannolikhet i en skala mellan t ex 0 till 1? T ex om man har en matris innehållande två kolumner: kolumn1 med sannolikheter för hur pass skadlig en mutation är och kolumn2 med frekvenser för hur sannolikt det är att en viss mutation förekommer i populationen. Eftersom den ena är slhet och den andra är en frekvens och jag vill kombinera dessa till ett gemensamt värde för varje mutation med tillhörande slhet samt frekvens, så måste man väl skala om faktorerna till en gemensam skala?
Sofia

Svar:

Jag tror inte att jag förstår frågan. Är det inte naturligare att använda frekvenserna, eller relativa sådana, för att skala sannolikheterna?

Kjell Elfström


16 november 2011 20.19.06
Hej Kjell! Jag har ett problem som lyder enligt följande:
Avståndet mellan två grafer i ett koordinatsystem kan för x-koordinaten x=a definieras som avståndet mellan de två punkter som skärs av linjen x=a.
Bestäm det största och minsta avståndet mellan grafterna till funktionerna f(x)=x^3 + x^2 -x - 20 och g(x)= x^3 - x^2 + 2x + 16 i intervallet -3<x<4 ("<" ska vara understruket).
Skulle man kunna definiera avståndet mellan två grafer på något annat sätt?
Adam

Svar:

Du måste mena avståndet mellan de två punkter, som är skärningspunkter mellan graferna och linjen x = a. Skärningspunkterna är (a,f(a)) och (a,g(a)). Eftersom punkterna har samma x-koordinat, så är avståndet

|f(a) − g(a)| = |2a2 − 3a − 36|.

Vi undersöker funktionen h(a) = 2a2 − 3a − 36. Det gäller att h′(a) = 4a − 3 = 0 om och endast om a = 3/4. Man finner att h har ett minimum i denna punkt. Det gäller vidare att h(−3) = −9, h(3/4) = −297/8 och h(4) = −16. Detta visar att h(a) < 0 för alla a i intervallet [−3,4]. Därför är |h(a)| = −h(a), det minsta avståndet 9 och det största 297/8.

Om man skall definiera avståndet mellan graferna som sådana, kan man definiera detta som det största avståndet beräknat som ovan. Vanliga avståndsdefinitioner är med hjälp av integraler, t ex (∫ab (f(x) − g(x))2 dx)1/2.

Kjell Elfström


16 november 2011 18.06.06
Angående 28 januari 1997 10.06.25. Hur inser man att funktionerna f och g har lika många nollställen? Är det för att det finns en bijektion mellan f och g?
Johan

Svar:

Det är för att sambandet x = t − a/3 är en bijektion.

Kjell Elfström


16 november 2011 12.05.44
Om man tittar på en cirkel som ligger på ett bord rakt ovan ifrån, 90 grader (v) mot bordets plan, verkar cirkeln givetvis rund. Om man nu minskar vinkeln dvs att man mer och mer börjar titta utmed bordets plan, minska vinkeln så att den blir mindre än 90 grader, upplevs cirkeln som en ellips. Om man nu mäter den uppfattade ellipsen längd (l) och bredd (b) borde man väl kunna räkna fram betraktelse vinkeln.
Hur skulle en sådan formel se ut dvs v=f(l,b)
Volker Münch

Svar:

Eftersom man får ta hänsyn till perspektiveffekter blir problemet ganska komplicerat. Se 16 maj 2007 10.21.52 för det omvända problemet, att bestämma lill- och storaxeln, då vinkeln är känd.

Kjell Elfström


16 november 2011 00.17.03
På vissa hemsidor står det att polynom inte innehåller division. På andra hemsidor jag har kollat på, så finns det exempel med polynom som innhåller division.
Vilket är rätt?
Per-Anders Samuelsson

Svar:

Om jag har uppfattat frågan rätt, så har du sett både att polynom kan divideras med varandra och motsatsen. Vi börjar med att diskutera heltalen. Det finns till exempel inget heltal x , sådant att 7x = 3. Betraktar man ringen Z, som är mängden av heltal försedd med vanlig addition och multiplikation, så är det alltså inte alltid sant att man kan dividera ett element i Z med ett nollskilt element i Z. Betraktar man i stället ringen Q, som är mängden av rationella tal med vanlig addition och multiplikation, så kan man alltid dividera ett element med ett nollskilt element i denna ring. Heltalen ingår i Q, och i denna struktur kan man nu utföra divisionen  x = 3/7, som inte gick att utföra i Z. Vissa divisioner går att utföra i Z men inte alla. Det finns ju t ex ett heltal y, sådant att 3y = 6, vilket visar att divisionen 6/3 kan utföras i Z.

När man säger att polynom kan eller inte kan divideras beror det också på vilken ring man studerar. Mängden av polynom med reella koefficienter brukar ofta betecknas R[x]. Ringstrukturen fås genom att polynomen adderas och multipliceras på vanligt sätt. I denna ring kan man bilda kvoten mellan vissa polynom. T ex är x2 − 1 = (x − 1)(x + 1), vilket visar att man får polynomet x + 1, när man dividerar x2 − 1 med x − 1. Däremot finns det inget polynom f(x), sådant att x2 − 1 = f(x)(x + 2). Man kan alltså inte dividera x2 − 1 med x + 2. Det följer av att högerledet är noll för x = −2, vilket vänsterledet inte är. Om Z motsvarar R[x], så motsvaras Q av R(x), som är mängden av rationella funktioner, dvs kvoter mellan polynom i R[x]. Här blir kvoten mellan x2 − 1 och x + 2 den rationella funktionen (x2 − 1)/(x + 2), som ligger i R(x) men inte i R[x].

Kjell Elfström


15 november 2011 20.39.38
Enligt Wikipedia så finns det en halvsymmetrisk fjärdegradsekvation som kan lösas med hjälp av substitution. Jag undrar varför den kallas halvsymmetrisk?
Johan

Svar:

Jag hade aldrig stött på begreppet, innan jag fick din fråga, och har bara lyckats hitta det på Wikipedia. Det måste ha att göra med att a, b och c i någon mening förekommer symmetriskt. Om m = 1, finns det fog för att kalla ekvationen symmetrisk.

Kjell Elfström


15 november 2011 11.02.59
Hej!
Jag har en lurig fråga här som jag försökt att lösa med lösningsformeln, men inte lyckats.
Ange värden för a i ekvationen ½x^2+ax+a=0 så att
a.) ekvationen saknar lösning.
b.)ekvationen har endast en lösning.
c.)ekvationen har precis två lösningar.
(Jag vet inte hur jag får siffror upphöjt till på datorn så jag använder ^ det tecknet i talet i min fråga.)
Jolene Larsson

Svar:

Multiplicerar vi de båda leden i ekvationen med 2, får vi den ekvivalenta ekvationen x2 + 2ax + 2a = 0. Här ger kvadratkomplettering att vänsterledet är lika med (x + a)2 + 2a − a2. Ekvationen kan alltså skrivas (x + a)2 = a2 − 2a. Ekvationen har ingen reell lösning om högerledet är negativt, en reell lösning om högerledet är noll och två reella lösningar annars. Högerledet är lika med a(a − 2). Om a > 2 eller a < 0, har faktorerna samma tecken och högerledet är positivt. Om 0 < a < 2 har faktorerna olika tecken och högerledet är negativt. Om a = 0 eller a = 2 är högerledet noll.

a) 0 < a < 2.

b) a = 0 eller a = 2.

c) a > 2 eller a < 0.

Kjell Elfström


14 november 2011 21.02.05
Angående 14 december 1997 13.32.37. Du skriver "Låt nu u vara en fix rot till tredjegradsekvationen". Menar du att det går bra att välja vilken som helst av de tre rötterna eller måste man räkna ut alla tre? Om det räcker med en av de tre rötterna så kan jag förstå att de två andragradsekvationerna P+Q=0 och P-Q=0 ger precis 4 rötter.
Johan

Svar:

Du skall välja en enda av rötterna till tredjegradsekvationen.

Kjell Elfström


14 november 2011 18.38.37
Uppgift:Jenny köpte en jacka på rea. Priset på jackan hade först höjts med 1400 kr, men sänktes sedan under rean med 30 procent. Priset var nu 820 kr lägre än det var från början. Vad kostade jackan från början?
b

Svar:

Antag att jackan kostade x kronor från början. Efter höjningen var priset x + 1400 kr och efter sänkningen 0,7·(x + 1400). Eftersom priset efter sänkningen är x − 820 kronor, är 0,7·(x + 1400) = x − 820. Lös ut x ur denna ekvation.

Kjell Elfström


14 november 2011 17.54.33
En talföljd startar med 1,4,25,41,260,1649,2705,17156 och man kan finna fler termer med rekursionen a(n)=66*a(n-3)-a(n-6).Finns någon rekursion där man klarar sig färre startvärden?
Sture Sjöstedt

Svar:

Ekvationen 17x2 − 16 = y2 har tre oberoende lösningsskaror. Det krävs därför tre startvärden (x,y) och därför rimligen sex startvärden x.

Kjell Elfström


13 november 2011 23.40.01
Sträckan AB är parallell med sträckan EC. Sträckan ED är 6,0 cm, sträckan AE är 4,5 cm och sträckan CB är 1,8 cm. Beräkna sträckan DC. Jag förstår inte hur man ska räkna ut det?
emma

Svar:

Inte jag heller. Du har förmodligen glömt att ta med någon förutsättning. Finns det mer information om var D ligger?

Kjell Elfström


13 november 2011 00.06.34
Hej, jag har en generell fråga om vad man ska tänka på när man skalar om faktorer för att passa in dem på samma skala i en matematisk modell. Har du något bra exempel på hur en skalning av faktorer skulle kunna utföras? Var ska man börja? Vilken skala bör man välja? Beror det på vad man vill ha ut för information? Vad ska man tänka på om man inkluderar viktfaktorer eller till att börja med exkludera dem? Om man t ex har en massa frekvenser med tillhörande sannolikhet för vardera frekvens och modellen inklusive viktfaktorer skulle kunna se ut på följande sätt a*A+b*B, där A är frekvens och B en sannolikhet. Hur skulle man kunna skala in vardera frekvens med tillhörande sannolikhet och få ut ett nytt värde varje gång man stoppar in en ny frekvens med tillhörande sannolikhet i en skala mellan t ex 0 till 1?
Sofia

Svar:

Jag vet inte hur jag kan ge ett generellt svar på frågan. Kan du exemplifiera?

Kjell Elfström


12 november 2011 03.00.32
Hejsan Kjell,
Min fråga den 27 oktober 2011 01.16.09 har tydligen även en närliggande sats, som säger att om f:R->R är n gånger kontinuerligt deriverbar, och f^(n)(x) är större än eller lika med 0 för alla x i R, så gäller antingen att f har högst n stycken nollställen eller också finns det ett slutet intervall I, ändligt eller oändligt och som innehåller mer än en punkt, så att f(x) = 0 om och endast om x tillhör I.
Hur går man tillväga här för att bevisa detta?
Jonas

Svar:

1) Låt I vara en icke-tom mängd av reella tal, sådan att om x och y ligger i I och x < z < y, så ligger z också i I. Då är I ett intervall.

För att bevisa detta använder vi axiomet om övre gräns. Om I är uppåt begränsad, så har I en minsta övre gräns sup I. Om I är nedåt begränsad, har I en största undre gräns inf I. Om I inte är uppåt begränsad, sätter vi sup I = ∞, och om I inte är nedåt begränsad, så sätter vi inf I = −∞. Om I bara innehåller ett element a, så är I = [a,a]. Annars är det tillräckligt att visa att (inf I,sup I) ⊆ I. Låt därför z vara ett reellt tal, sådant att inf I < z < sup I. Det finns då x och y i I, sådana att x < z < y, vilket visar att z också tillhör I.

2) Antag att f ′ är kontinuerlig och har precis m nollställen, där m ≥ 0. Då har f högst m + 1 nollställen.

Om m = 0, har f ′ ett bestämt tecken på hela axeln, eftersom f ′ är kontinuerlig. Då är f strängt monoton och kan ha högst 1 nollställe. Antag annars att nollställena till f ′ är x1,x2,…,xm uppräknade i växande ordning. Eftersom f ′ är kontinuerlig, så har f ′ ett bestämt tecken i vart och ett av intervallen (−∞,x1),(x1,x2),…,(xm − 1,xm),(xm,∞). Därför är f strängt monoton i vart och ett av intervallen (−∞,x1],(x1,x2],…,(xm − 1,xm],(xm,∞). I vart och ett av dessa intervall kan f ha högst ett nollställe och alltså sammanlagt högst m + 1 nollställen.

3) Antag att f (n) är kontinuerlig och har precis m nollställen, där m ≥ 0. Då har f högst m + n nollställen.

Beviset görs med induktion över n. Då n = 1 följer påståendet från 2). Antag att påståendet är visat för ett visst värde på n ≥ 1. Eftersom f (n + 1) = (f ′) (n), så ger induktionsantagandet att f ′ har högst n + m nollställen, varefter 2) ger att f har högst n + m + 1 = m + (n + 1) nollställen.

4) Antag att f ′ är kontinuerlig och att mängden av nollställen till f ′ utgör ett slutet intervall med mer än ett element. Då har antingen f högst två nollställen, eller så utgör nollställena till f ett slutet intervall med mer än ett element.

Beteckna intervallet, som utgör nollställena till f ′, med I. Om I = (−∞,∞), så är f konstant. Om det konstanta värdet är noll, är I mängden av nollställen till f också. I annat fall saknar f nollställen, varmed påståendet är visat i detta fall. Om I = (−∞,a], så är f konstant på (−∞,a] och strängt monoton på intervallet (a,∞). Om det konstanta värdet är noll, så är I mängden av nollställen till f också. I annat fall har f högst ett nollställe, och det ligger i så fall i (a,∞). Fallet då I = [a,∞) behandlas på samma sätt. Antag slutligen att I = [a,b]. Då är f konstant i [a,b] och strängt monoton i vart och ett av intervallen (−∞,a) och (b,∞). Om det konstanta värdet är noll inser man att mängden av nollställen till f är lika med I. I annat fall har f högst ett nollställe i (−∞,a) och högst ett i (b,∞), alltså sammanlagt högst två.

5) Antag att f (n) är kontinuerlig och att mängden av nollställen till f (n) utgör ett slutet intervall med mer än ett element. Då gäller det antingen att f har högst n + 1 nollställen eller att mängden av nollställen till f utgör ett slutet intervall med mer än ett element.

Även nu genomför vi beviset med induktion över n. Då n = 1 följer påståendet av 4). Antag att påståendet är sant för ett visst värde på n. Det gäller att f (n + 1) = (f ′) (n). Enligt induktionsantagandet har antingen f ′ högst n + 1 nollställen eller så utgör mängden av nollställen till f ′ ett slutet intervall med mer än ett element. I det första fallet följer det av 2) att f har högst n + 2 nollställen och i det andra av 4) att f antingen har högst 2 ≤ n + 1 nollställen eller att nollställena till f utgör ett slutet intervall med mer än ett element.

6) Antag att f ′(x) ≥ 0 för alla x. Då har antingen f högst ett nollställe eller så utgör mängden av nollställen till f ett slutet intervall med mer än ett element.

Antag att f har mer än ett nollställe. Låt x och y vara två nollställen, där x < y. Om x < z < y, så är 0 = f(x) ≤ f(z) ≤ f(y) = 0, eftersom f är växande. Det gäller alltså att z också är ett nollställe. Enligt 1) är alltså mängden av nollställen till f ett intervall med mer än ett element. Eftersom f är kontinuerlig och {0} är en sluten mängd, så är också intervallet slutet.

7) Antag att f (n)(x) ≥ 0 för alla x. Då har antingen f högst n nollställen eller så utgör nollställena till f ett slutet intervall med mer än ett element.

Om n = 1 följer påståendet från 6). Antag att n > 1. Då följer av 6) att f (n − 1) antingen har högst ett nollställe eller att nollställena till f (n − 1) utgör ett slutet intervall med mer än ett element. I det första fallet följer det av 3) att f har högst n − 1 + 1 = n nollställen. I det andra fallet följer det av 5) att f antingen har högst n nollställen eller att nollställena till f utgör ett slutet intervall med mer än ett element.

Observera att vi aldrig behövde använda förutsättningen att f (n) är kontinuerlig i 7).

Kjell Elfström


11 november 2011 21.33.18
Jag vet att nollställen kan räknas med multiplicitet. Gäller detta även rötter?
Johan

Svar:

Ja.

Kjell Elfström


11 november 2011 16.12.10
Är det felaktigt att säga att ekvationen x^2=1 har lösningarna x=1 och x=-1 istället för rötterna x=1 och x=-1?
Johan

Svar:

Nej.

Kjell Elfström


11 november 2011 15.25.56
Hej! uppgiften: bestäm talet (a) så att f`(0)=6, om f(x)= 3*e^ax fick jag f`(x)= 3a* e^(-ax) enligt formeln f(x) = k*x^a blir i mitt fall f(x)= k*e^xa då derivatan blir f`(x)= k*a*e^(xa-1) osv f´(x) = k*a * e^(-xa). Då fick jag enligt uppgiftens beskrivning: f´(0)= 6 = 3a*e^(-ax) blir 3a=6 osv a=2. Är det rätt funderingar tog jag från början? eller fick jag rätt svaret genom att anpassa mitt resultaten till facit?
Tack.
MVH Lyudmyla
Lyudmyla

Svar:

Du har inte räknat rätt. Funktionen eax är inte av formen kxa. Derivatan av ex är ex. Kedjeregeln ger att derivatan av eax är aeax, eftersom derivatan av ax är lika med a. Detta ger att f ′(x) = 3aeax. Sätter vi in x = 0, får vi att f ′(0) = 3a = 6, vilket är ekvivalent med att a = 2.

Kjell Elfström


10 november 2011 18.20.13
Angående 14 december 1997 13.32.37. Ger din lösning av fjärdegradsekvationen exakt 4 rötter eller är det så att den ger fler och att man måste utesluta rötter genom att sätta in dem i fjärdegradsekvationen?
Johan

Svar:

Metoden ger de fyra rötterna (räknade med multiplicitet).

Kjell Elfström


10 november 2011 17.49.55
Lös ekvationen f(x+1)-f(x-1)-42=0 då f(x)=(x-1)(x+1). Hur sjutton tänker jag här?
Jolene Larsson

Svar:

Det gäller att f(x + 1) = ((x + 1) − 1)((x + 1) + 1) = x(x + 2) och f(x − 1) = ((x − 1) − 1)((x − 1) + 1) = (x − 2)x. Därför är f(x + 1) − f(x − 1) = x(x + 2) − x(x − 2) = 4x. Ekvationen kan alltså skrivas om som 4x = 42, och lösningen är x = 21/2.

Kjell Elfström


10 november 2011 14.49.08
hUR MYCKET ÄR GIGA

Svar:

Giga är ett prefix, som betyder 109 = 1 miljard. I datasammanhang betyder gigabyte ibland 230 byte, dvs 1.073.741.824 byte. Numera har en standard införts, så att gigabyte betyder 1 miljard byte och 230 byte har kommit att kallas en gibibyte.

Kjell Elfström


10 november 2011 11.59.42
hej jag håller på med omvandling och vill veta hur man räknar ut hur mycket 105 kg är hektogram?
Radmila

Svar:

1 kg = 1000 g och 1 hg = 100 g. Därför är 1 kg = 10 hg. Man skall alltså multiplicera med 10.

Kjell Elfström


9 november 2011 21.15.13
Angående svaret på frågan 29 oktober 2011 21.46.22, om 10^(10^(10^...))), så förefaller detta vara ett tämligen direkt exempel på (det enklaste fallet av) Knuths uppilsnotation (http://en.wikipedia.org/wiki/Knuth%27s_up-arrow_notation).
Lars Hellström

Svar:

Jag kan inte se det. Hur skriver man t ex 1010105?

Kjell Elfström


9 november 2011 21.05.09
Om du slumpmässigt väljer en av nedanstående svarsalternativ, vad är chansen för att du gissar rätt?
a) 25%
b) 50%
c) 25%
d) 67%
Jag tänker som följer:
Att välja rätt är 1/4 = 25%, men eftersom du har två alternativ som ger 25% så måste det innebära att der är 50% chans att välja en av de 25%-svaren. Men sedan är det ju 25% att välja 50%-svaret. Så 25%?
Tycker det låter förnuftigt. Hur skulle du motivera dig Kjell?

Svar:

Sannolikheten att välja rätt måste vara 1/3. Det spelar ingen roll hur du bestämmer dig för vad du skall gissa på.

Kjell Elfström


9 november 2011 20.59.21
Hejsan Kjell, jag har några frågor beträffande att doktorera i matematik.
1) Vilka grenar inom detta ämne kan man doktorera i?
2) Hur lång tid tar det?
3) Är en doktorsgraden i matematik svårare att skaffa sig än i andra ämnen?
4) Skulle du kunna beskriva lite kort (stegvis) hur man ska gå tillväga och vad jag måste göra för att bli doktor via Lunds Universitet om man inte har någon kandidat examen eller master och vill börja från noll?
5) Hur är livet som en doktorand? Som en doktor?
6) Har du någon mer information i form av länkar där jag kan läsa vidare om detta?
FabledIntegral

Svar:

1) Man kan göra avhandlingen i de grenar som finns representerade vid det universitet man studerar.

2) Normalt fyra år för studierna och avhandlingen. Eftersom man normalt har en doktorandtjänst för försörjningen, tar det ofta omkring fem år sammanlagt.

3) Representanter för andra ämnen skulle kanske ta illa upp, om jag svarade ja på denna fråga.

4) Man börjar från början, tar en kandidatexamen och en avancerad examen (masterexamen eller ettårig magisterexamen). Efter detta är man behörig till forskarstudier, om man har tillräckligt mycket matematikkurser på tillräckligt hög nivå. Det betyder dock inte att man blir antagen. Det krävs numera att man kan visa att man har försörjning under studietiden, och det är nästan bara en doktorandtjänst som duger för detta. Antalet doktorandtjänster är begränsat.

5) Man ägnar som doktorand en ganska stor del av sin tid åt studier och andra arbetsuppgifter som ingår i tjänsten, såsom att vara övningsledare. Doktor är inte en tjänstetitel utan en lärdomsgrad. Många doktorer i matematik arbetar som lektorer eller professorer vid något universitet.

6) Se t ex Utbildning på forskarnivå.

Kjell Elfström


9 november 2011 16.33.31
vad är 1+2x3 ?
sandra

Svar:

Multiplikationen utförs före additionen enligt gängse konventioner. Svaret blir alltså 7.

Kjell Elfström


8 november 2011 20.27.42
Om du har 4 lika delar, du skuggar en fjärdedel, då har du kvar 3 fjärdedelar som är vita. Hur ser en subtraktion ut som visar vad som blir kvar när du tar bort den skuggade delen??? 1- ???
Maria

Svar:

1 − 1/4 = 4/4 − 1/4 = (4 − 1)/4 = 3/4.

Kjell Elfström


8 november 2011 17.08.54
vad menas med parallell
Ludvig Nordahl

Svar:

Två linjer i planet säges vara parallella, om de inte har några gemensamma punkter. Två linjer i rummet är parallella, om de ligger i ett gemensamt plan och saknar gemensamma punkter.

Kjell Elfström


7 november 2011 19.55.15
"9 personer är misstänkta för mord. 2 av dessa 9 är mördare. Polisen utreder de 9 misstänkta. De ställer frågan "Är du mördaren?", inför varje fråga utdelar polisen en tärning som den misstänkte får kasta vid förhörets gång. Blir det en 6:a måste den misstänkte svara JA, oavsett, blir det <6, alltså 1, 2, 3, 4 eller 5, skall den misstänkte svara SANNINGSENLIGT. Antag att den misstänkte alltid svarar JA när denna får en 6:a och antag att det finns 95 % chans att den misstänkte ljuger om tärningen visar <6. Frågan lyder: Vad är sannolikheten att polisen tar fast de två mördarna givet att de inte tar fast de misstänkta som får en tärning visar en 6:a?"
Svar:
Vad använder polisen för kriterium, när den avgör vilka två misstänkta som skall tas fast?
Kjell Elfström
Svar:
Alla misstänkta som svarar JA, förutom de som får en 6a, spärras in.
Jag omformulerar frågan till: Vad är sannolikheten att polisen tar fast de två mördarna givet att de inte tar fast någon oskyldig?
Elias

Svar:

Låt A vara händelsen att polisen tar de två mördarna, dvs att dessa inte slår sexor och svarar ja. Låt B vara händelsen att alla oskyldiga antingen slår sexor eller svarar nej. Dessa händelser är oberoende, varför P(A|B) = P(A). Vi räknar därför på sannolikheten, att de två mördarna svarar ja och inte slår sexor. Att de inte slår sexor har sannolikheten (5/6)2 = 25/36. Att båda svarar ja, under förutsättning att de inte slagit sexor har sannolikheten 0,052. Sannolikheten blir alltså (25/36)·0,052 = 1/576.

Kjell Elfström


7 november 2011 17.15.15
Jag har kodlås på jobbet och till portuppgången hemma. Skillnaden är att den på jobbet måste man avsluta koden med en fyrkant, den till portuppgången behöver dock inte det och de fyra rätta siffrorna kan komma närhelst i en sekvens, bara de kommer i rad.
Exempel om koden är 9911:
129889911
Den sekvensen hade gått till portuppgången men inte till jobbet där det hade blivit 1298 fyrkant 8991.
Hur många försök krävs det för att knäcka koden på respektive "kodläsare"?
Erik

Svar:

På jobbet krävs det 50000 knapptryckningar för att man skall vara säker på att ha fått med koden. En sekvens om fyra siffror följd av fyrkant kan inte utgöra en del av en annan sådan kod. Hemma krävs det bara 10003 knapptryckningar. Se 27 mars 2006 12.24.34.

Kjell Elfström


7 november 2011 12.20.44
vad är Bråket 13/22 delar
Christer

Svar:

Jag förstår inte frågan.

Kjell Elfström


3 november 2011 23.04.42
9 personer är misstänkta för mord. 2 av dessa 9 är mördare. Polisen utreder de 9 misstänkta. De ställer frågan "Är du mördaren?", inför varje fråga utdelar polisen en tärning som den misstänkte får kasta vid förhörets gång. Blir det en 6:a måste den misstänkte svara JA, oavsett, blir det <6, alltså 1, 2, 3, 4 eller 5, skall den misstänkte svara SANNINGSENLIGT. Antag att den misstänkte alltid svarar JA när denna får en 6:a och antag att det finns 95 % chans att den misstänkte ljuger om tärningen visar <6.
Frågan lyder: Vad är sannolikheten att polisen tar fast de två mördarna givet att de inte tar fast de misstänkta som får en tärning visar en 6:a?
Elias

Svar:

Vad använder polisen för kriterium, när den avgör vilka två misstänkta som skall tas fast?

Kjell Elfström


3 november 2011 10.28.32
Hej!
Jag har hittat på en Travel bug å på den har jag ett matamatisk uträkning. SNÄLLA hjälp mig!! Det står 501 "nersängt" i 10 = XXX "nersängt" i 8 = så ska jag få ett tal med tre siffror.
eriksson_ew@hotmail.com (Evelina Cedervång)

Svar:

Tanken är väl att man skall skriva talet 501 i det oktala systemet, dvs talsystemet med basen 8. Dividerar man 501 med 8 får man kvoten 62 och resten 5. Det betyder att 501 = 62·8 + 5. Delar man sedan 62 med 8, får man kvoten 7 och resten 6, dvs 62 = 7·8 + 6. Detta ger att 501 = 7·82 + 6·8 + 5, varför 501tio = 765åtta.

Kjell Elfström


2 november 2011 22.14.49
En sfärisk ballong fylls med 2,5 liter gas per sekund. Hur snabbt kommer då ballongens radie att öka då r = 5 cm?
kristina

Svar:

Volymen är V = (4π/3)r3. Vid tiden t är därför dV/dt = (4π/3)·3r2(dr/dt). Eftersom 2,5 liter är 2500 cm3, så gäller det vid den tidpunkt, då r = 5 cm, att 2500 = (4π/3)·3·52(dr/dt). Löser man ut dr/dt, får man att dr/dt = 25/π cm/s.

Kjell Elfström


2 november 2011 22.14.24
Graferna till de två funktionerna y = 2 sin 3x och y = 4 cos 3x bildar tillsammans med y-axeln ett slutet område i första kvadranten. Bestäm detta områdes area.
anna

Svar:

Ekvationen 2 sin 3x = 4 cos 3x är ekvivalent med tan 3x = 2, och denna ekvation har rötterna x = (arctan 2 + nπ)/3, där n är ett godtyckligt heltal. Eftersom 0 < arctan 2 < π/2, är den minsta positiva lösningen x = (arctan 2)/3. Mellan 0 och denna rot är 4 cos 3x > 2 sin 3x. Arean blir därför

0(arctan 2)/3(4 cos 3x − 2 sin 3xdx = [(4/3)sin 3x + (2/3)cos 3x]0(arctan 2)/3
= (2/3)[2sin 3x + cos 3x]0(arctan 2)/3
= (2/3)[(cos 3x)(2tan 3x + 1)]0(arctan 2)/3.

Eftersom cos23x + sin23x = 1, gäller det att 1 + tan23x = 1/cos23x, varav cos23x = 1/(1 + tan23x). Då x = (arctan 2)/3, ligger 3x mellan 0 och π/2, varför cos 3x är positivt. För detta värde på x gäller det därför att

cos 3x = 1/√(1 + tan2 arctan 2) = 1/√(1 + 22) = 1/√5.

Arean är alltså

(2/3)((1/√5)(2·2 + 1) − 1) = (2/3)(√5 − 1).

Kjell Elfström


2 november 2011 15.35.51
När man formulerar algebrans fundamentalsats. Har det någon betydelse om man formulerar den som ett polynom eller som en ekvation? Finns det något som heter algebraiskt polynom?
Johan

Svar:

Antingen säger man nollställe till polynomet eller rot till ekvationen. Jag har inte hört talas om ”algebraiska polynom”. En ekvation, i vilken det ena ledet är ett polynom och det andra noll, brukar kallas en algebraisk ekvation.

Kjell Elfström


1 november 2011 22.09.37
Kan primtalsfaktorisera fakulteter?
T.ex. 10!
Tack
Göran

Svar:

Ja, man kan primtalsfaktorisera alla positiva heltal, om man också tillåter produkter med noll faktorer och en faktor. För att faktorisera n! faktoriserar man lämpligen talen 1,2,3,…,n och multiplicerar ihop alla faktorer man får. T ex är 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 2·2, 5 = 5, 6 = 2·3, 7 = 7, 8 = 2·2·2, 9 = 3·3 och 10 = 2·5. Det ger att 10! = 2·2·2·2·2·2·2·2·3·3·3·3·5·5·7 = 28·34·52·7.

Kjell Elfström


1 november 2011 17.50.25
Angående 18 mars 1997 02.44.41. Om vi bestämmer u och v så att villkoret uv=-p/3 är uppfyllt. Vet man då med säkerhet att dessa u och v ger en lösning till tredjegradsekvationen? Om det är så, är det något man behöver bevisa?
Johan

Svar:

Jag bevisar det i svaret till frågan du refererar till.

Kjell Elfström


1 november 2011 14.04.16
Angående 26 oktober 2011 14.35.14. Att potensfunktionen x^a bara är definierad för positiva x är väl inget bevis för att talet b^(1/a) är positivt?
Johan

Svar:

Nej och det säger jag inte heller. Jag säger att den definieras på ett sådant sätt att b1/a blir positivt.

Kjell Elfström


1 november 2011 08.41.36
Hej Kjell!
Jag behöver din hjälp med en uppgift om lån och räntor.
Det är så att jag har tagit ett lån på exempelvis 100kr, årsräntan ligger på 5%, och jag amorterar 10kr/år. Min fråga är då hur jag ska ställa upp den rekursiva formeln för hur mycket jag är skyldig efter n år?
Tack på förhand! MVH
Simon

Svar:

Vi kan kanske antaga att amorteringen görs i slutet av varje år. Om skulden vid ett årsskifte är x kr, är den ett år senare 1,05x − 10 kr. Om skulden efter n år är an, är den alltså efter n + 1 år an + 1 = 1,05an − 10. Antar vi att an är konstant lika med A, får vi A = 1,05A − 10, varav A = 200. Vi ser att rekursionsekvationen kan skrivas an + 1 − 200 = 1,05(an − 200). Eftersom a0 − 200 = −100, får vi att an − 200 = −100·1,05n, varav an = 200 − 100·1,05n.

Kjell Elfström

Innehållsansvarig är Kjell Elfström

Läs frågor månadsvis

FöregåendeNästa

Sök bland frågorna

Logisk operator

 

Text mellan citationstecken räknas som ett enda ord.
Matematikcentrum, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: 046-222 00 00 (vx)